Coleção 10 V - Livro 3 - Matemática- Professor by Editora Elabore

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MATEMÁTICA Por falar nisso A Astronomia é uma ciência natural que estuda os corpos celestes (estrelas, planetas, cometas, galáxias etc.) e fenômenos que se originam fora da atmosfera da Terra. Tal ciência estuda a formação e o desenvolvimento do Universo, preocupando-se com a evolução, a física, a química e o movimento dos objetos celestes. Muitos conceitos da trigonometria se originaram de necessidades astronômicas. Cientistas como Copérnico, Galileu e Newton desenvolveram vários desses conceitos a partir de suas observações astronômicas. Veja algumas aplicações práticas da trigonometria na astronomia. nn Cálculo do raio da sombra durante eclipses. nn Determinação das distâncias de planetas do Sistema Solar. nn Determinação do raio lunar. nn Cálculo da distância entre a Terra e o Sol. nn Determinação do raio da Terra.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A09 A10 A11 A12

Razões trigonométricas no triângulo retângulo............................292 Razões trigonométricas dos ângulos notáveis..............................297 Lei dos cossenos............................................................................302 Lei dos senos..................................................................................306

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MATEMÁTICA

MÓDULO A09

ASSUNTOS ABORDADOS nn Razões trigonométricas no triân-

gulo retângulo

nn Razões trigonométricas no triângulo retângulo

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Muito tem se falado sobre acessibilidade e inclusão social, porém a adaptação das edificações às normas de acessibilidade, em muitos casos, ainda não tem sido feita de forma correta. A norma que rege as condições de acessibilidade é a NBR 9050. Nela encontramos as orientações para o acesso universal a cadeirantes e a deficientes visuais, físicos ou auditivos, além de pessoas com mobilidade reduzida. Para projetar corretamente ambientes acessíveis, primeiramente é necessário entender as condições físicas do Portador de Necessidades Especiais (PNE). Essas condições variam de acordo com a limitação de cada deficiência, mas, ao participar de uma caminhada de acessibilidade, podemos perceber que nossa forma de interagir com o espaço público e privado é muito diferente da deles, e é necessário nos colocarmos na sua condição. O cadeirante, por exemplo, pode ter força física no tronco ou não, pode ter mobilidade nos braços ou não. Cadeiras motorizadas, por exemplo, foram projetadas para cadeirantes que não têm força nos braços para conduzir a cadeira de rodas. É por isso que a NBR 9050 coloca uma condição ideal de inclinação de rampas de acesso, à qual poucos obedecem, dificultando ou até impossibilitando o acesso sem auxílio.

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Nesse contexto, qual a relação entre trigonometria e acessibilidade?

Figura 01 - Nem sempre as rampas são projetadas de forma correta de acordo com a NBR 9050

292

É por meio do emprego da trigonometria que podemos estabelecer cálculos de comprimento, altura e inclinação de rampas, garantindo a acessibilidade às pessoas com mobilidade reduzida. Por exemplo, para uma escada de quatro degraus iguais, cada um com 10 cm de altura, deve-se construir ao lado dessa escada uma rampa com 10o de inclinação. O comprimento dessa rampa é obtido a partir da relação entre os lados de um triângulo retângulo e o ângulo de 10o. Tais relações são denominadas razões trigonométricas nos triângulos retângulos.

Matemática e suas Tecnologias

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

2ª relação: OB OD OF OH = = = = constante OA OC OE OG

Definições Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto. Observe a figura a seguir:

A essa razão, que depende apenas da medida do ângulo α, denominamos cosseno do ângulo α. Simbolicamente, temos:

cos α = No triângulo ABC, temos que:

Â é o ângulo reto. nn B̂ e Ĉ são os ângulos agudos. nn BC é a hipotenusa. nn AC é o cateto oposto ao ângulo B̂ e adjacente ao ângulo Ĉ . nn AB é o cateto oposto ao ângulo Ĉ e adjacente ao ângulo B̂ . nn

Razões trigonométricas Na figura a seguir, temosum  ângulo  agudo de medida α formado pelas semirretas OA e OB . Sobre os lados desse ângulo traçam-se os segmentos  AB , CD , EF e GH todos perpendiculares à semirreta OB .

cateto adjacente ao ângulo α hipotenusa

3ª relação:

AB CD EF GH = = = = constante OB OD OF OH A essa razão, que depende apenas da medida do ângulo α, denominamos tangente do ângulo α. Simbolicamente, temos: tg α =

cateto oposto ao ângulo α cateto adjacente ao ângulo α

Relações fundamentais Na figura a seguir, temos um triângulo retângulo ABC.

1ª razão: AB CD EF GH = = = = constante OA OC OE OG A essa razão, que depende apenas da medida do ângulo α, denominamos seno do ângulo α. Simbolicamente, temos:

sen α =

cateto oposto ao ângulo α hipotenusa

Nesse triângulo, temos que: b ⇒ b = a ⋅ senα (I) nn sen α = a nn

cos α =

tg α =

A09  Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Note que os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes entre si. Assim, podemos estabelecer as seguintes razões entre seus lados.

c ⇒ c = a ⋅ cos α (II) a b (III) c

1ª relação fundamental sen2 α + cos2 α = 1 (0° < α < 90°)

293

Matemática

Demonstração: nn Substituindo

temos:

as equações (I) e (II) no teorema de Pitágoras aplicado no ∆ABC,

b2 + c2 = a2 ⇒ (a ⋅ sen α)2 + (a ⋅ cos α)2 = a2 a2 ⋅ sen2α + a2 ⋅ cos2α = a2 ⇒ a2 ⋅ (sen2α + cos2α) = a2 nn Dividindo

toda a equação por a2 ≠ 0, temos:

sen2α + cos2α = 1 2ª relação fundamental tg α =

senα cos α

Demonstração: nn Dividindo

o numerador e o denominador da equação (III) por a ≠ 0, temos: b b a senα tg α= = = c c cos α a

EXEMPLOS 01. Considere o triângulo ABC da figura a seguir:

Sabendo que tg 18° = 0,32, calcule a altura H da torre, em metros, desprezando a altura da pessoa. RESOLUÇÃO tg 18° =

H H ⇒ 0,32 = ⇒ H = 25,6. 80 80

Portanto, a altura H = 25,6 m. 03. Sendo α um ângulo tal que sen α = 5/13 e 0° < α < 90°, calcule: Calcule os valores de x e y sabendo que sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80.

a) cos α b) tg α

A09  Razões trigonométricas no triângulo retângulo

RESOLUÇÃO

y y sen 37° = ⇒ 0,60 = ⇒ y = 30. 50 50 cos 37° =

x x ⇒ 0,80 = ⇒ x = 40. 50 50

Portanto, x = 40 e y = 30. 02. Na figura a seguir, temos uma pessoa a 80 m de distância que observa uma torre sob um ângulo de 18°.

RESOLUÇÃO a) Utilizando a 1ª relação fundamental, temos: 2

 5 sen2 α + cos2 α = 1⇒   + cos2 α =1  13 

cos2 α = 1 cos α = ±

25 144 ⇒ cos2 α = 169 169

12 12 ⇒ cos α = , pois 0° < α < 90° 13 13

b) Utilizando a 2ª relação fundamental, temos:

tg= α

294

5 senα 13 5 = = cos α 12 12 13

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de x nos triângulos das figuras a seguir utilizando um dos valores aproximados: a) Dados: sen 36° = 0,59 e tg 36° = 0,73. 11,8

b) Dados: sen 42° = 0,67 e cos 42° = 0,74. 22,2

1 5 2 5 b) sen α = , cos α = e tg α = 2 5 5

03. Na figura a seguir, temos uma rampa de 10 m de comprimento que faz um ângulo de 25° com o plano horizontal.

Nessas condições, qual é o valor de h, em metros? Dados: sen 25° = 0,43 e tg 25° = 0,47? 4,3 m

sen a

cos a

tg a

4°

0,0698

0,9976

0,0699

5°

0,0872

0,9962

0,0875

6°

0,1045

0,9945

0,1051

7°

0,1219

0,9925

0,1228

8°

0,1392

0,9903

0,1405

Usando os dados da tabela, a melhor aproximação inteira para α é: a) 4° b) 5° c) 6° d) 7° e) 8°

295

A09  Razões trigonométricas no triângulo retângulo

02. Determine o valor de sen α, cos α e tg α nos triângulos retângulos a seguir: a) sen α = 3 , cos α = 4 e tg α = 3 5

Considerando que cos 25° = 0,9, área A tem aproximadamente: a) 3 m2 b) 4 m2 c) 6 m2 d) 8 m2 e) 9 m2 05. (FGV SP) Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em oito andares, conforme indica a figura. O edifício foi feito em um terreno cuja inclinação em relação à horizontal mede α graus. A altura de cada sala é 3 m, a extensão 10 m, e a altura da pilastra de sustentação, que mantém o edifício na horizontal, é 6 m.

c) Dados: cos 10° = 0,98 e tg 10° = 0,18. 7,2

04. (Unifor CE) Uma rampa retangular, medindo 10 m2, faz um ângulo de 25° em relação ao piso horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura.

Matemática

Exercícios Complementares 01. (UFCE) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo em B.

O cosseno do ângulo BÂC é: a) 12/13 b) 11/13 c) 10/13

d) 6/13 e) 1/13

02. (Unesp SP) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 metros.

04. (UFJF MG) Considere um triângulo ABC retângulo em Ĉ e α o ângulo BÂC. Sendo AC = 1 e sen α = 1/3.

Quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo? a) 3 b)

2 2 3

3 2 4 3 e) 2 d)

A09  Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é a) 2,5 d) 15 b) 7,5 e) 30 c) 10 03. (IF PE) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso, ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida, ele caminha de A até o ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e ˆ que mede em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBA 37°. Dados: sen 37° = 0,60, cos 37° = 0,80 e tg 37° = 0,75.

Com isso, ele determinou a largura do rio e achou, em metros: a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80

296

05. (Puc RS) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16 m por 8 m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado momento de um jogo, estão posicionadas como na figura a seguir.

A distância “x”, percorrida pela jogadora B para se deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A, é: a) x = 5 ⋅ tg θ d) x = 2 ⋅ tg θ b) x = 5 ⋅ sen θ e) x = 2 ⋅ cos θ c) x = 5 ⋅ cos θ 06. (UFR RJ) Milena, diante da configuração representada a seguir, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que o sen α = 0,6.

Calcule o comprimento da sombra x. 13,33 m

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MATEMÁTICA

MÓDULO A10

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS O uso de escadas é comum em muitos segmentos e atividades produtivas, o problema é que, se mal utilizadas, elas podem ser objetos de muitos acidentes de trabalho, que podem ser pequenas escoriações ou até quedas com alto potencial de gravidade.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Razões trigonométricas dos ân-

gulos notáveis

nn Ângulos complementares nn Ângulos notáveis

Fonte: nuu_jeed / Shutterstock.com

A seguir, temos algumas observações a serem feitas para prevenção de acidentes em escadas portáteis. nn Prenda a escada na parte superior em uma estrutura firme. É importante também que o piso em que ela será apoiada esteja firme, plano e estável; obrigatório o uso do cinto de segurança para atividades em altura acima de 2,00 m. nn Jamais use mesas, caixas, tijolos ou qualquer outro tipo de apoio que permita que a escada se movimente e, consequentemente, seu usuário caia; nn Nunca se posicione acima da penúltima travessa de uma escada. Neste caso, utilize andaime; nn Suba e desça de uma escada sempre de frente para ela; nn Não suba ou desça de escadas com as mãos ocupadas com qualquer outro material; nn Não apoie contra vidros, superfícies recentemente pintadas, portas, janelas, ou locais de trânsito de pessoas e ou equipamentos; nn Ao posicionar uma escada, procure mantê-la afastada da parede ou apoio uma distância de aproximadamente ¼ de sua altura, por exemplo: Se a escada tiver 3 m de altura, deixe 75 cm na base; nn É proibido pintar escadas, pois tal conduta poderá encobrir nós, rachaduras, imperfeições e outros defeitos que a madeira pode ter; nn Não se esqueça de vistoriar as dobradiças, os ganchos e os limitadores de abertura. É fundamental ter certeza de que não estão soltos, quebrados, oxidados ou fora de alinhamento; nn Analisar se as sapatas de segurança não estão danificadas ou gastas e se a fixação delas está boa; Fonte: http://temseguranca.com/dds-pronto-para-usar-cuidado-escadas

Acesso: Abril de 2017

Figura 01 -

297

Matemática

De olho em todas essas dicas de segurança, Carlos precisa retirar uma cortina da sala de sua casa para poder reformá-la. Para isso, ele usou uma escada de dois metros de comprimento encostando-a na parede de maneira que ela forme um ângulo de 30° com o mesma. A que distância x da parede Carlos deve apoiar a escada no chão? A figura a seguir ilustra tal situação.

senβ =

b a

cos β =

c a

tg β =

b c

Note que: sen = α cos β

sen= β cos α

tg α =

1 tg β

Assim, podemos afirmar que dois ângulos são complementares se e, somente se: nn O

seno de um deles for igual ao cosseno do outro.

nn A

tangente de um deles for o inverso da tangente do outro.

Para se determinar essa distância, temos que relacionar lados e ângulos de um triângulo retângulo. Assim, devemos utilizar uma das razões trigonométricas no triângulo retângulo para o ângulo notável de 30°. Nesta aula, abordaremos as razões trigonométricas para os ângulos de 30°, 45° e 60° chamados de ângulos notáveis.

Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Observe a figura a seguir:

Ângulos notáveis Os ângulos de 30°, 45° e 60° são considerados notáveis, pois frequentemente estão presentes nos problemas envolvendo as razões trigonométricas. Ângulos notáveis no triângulo equilátero Em todo triângulo equilátero, a altura coincide com a mediana e a bissetriz. Observe a figura a seguir:

A10  Razões trigonométricas dos ângulos notáveis

No triângulo ABC, a soma dos ângulos internos é dada por: α + β + 90° = 180° ⇒ α + β = 90° Logo, os ângulos de medida α e β são complementares. Estabelecendo as razões trigonométricas para o ângulo de medida α, temos:

c a

sen α =

b cos α = a

c tg α = b

Estabelecendo as razões trigonométricas para o ângulo de medida β, temos: 298

Para esse triângulo equilátero cujos lados medem L, temos que: nn

AD é uma altura de medida h.

nn D

é ponto médio do lado BC .

nn Os triângulos ABD e ACD são retângulos e congruentes

entre si. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACD, temos: 2

L2 3L2 L 3 L  2 L= h2 +   ⇒ h2= L2 - ⇒ h2 = ⇒h = 4 4 2 2

Matemática e suas Tecnologias

Novamente no triângulo retângulo ACD, temos que:

Para esse quadrado cujos lados medem L, temos que:

L 3 h 3 = 2 ⇒ sen 60° = nn sen 60° = L L 2 L 1 h 2 = ⇒ cos 60° = nn cos 60° = 2 L L L 3 h nn tg 60° = = 2 ⇒ tg 60° = 3 L L 2 2

Como 30° e 60° são complementares, temos que: 1 nn sen 30° = cos 60° = 2 nn cos nn tg

30° = sen 60° =

30° =

3 2

1 3 1 = = 3 tg 60° 3

Ângulos notáveis no quadrado

BD é uma diagonal de medida d.

nn Os

triângulos ABD e BCD são retângulos, isósceles e congruentes entre si.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, temos:

d2= L2 + L2 ⇒ d2 = 2L2 ⇒ d = L 2 Novamente no triângulo retângulo BCD, temos que: L L 2 ⇒ sen 45° = = d L 2 2

nn sen

45° =

nn cos

45° = sen 45° =

nn tg

45° =

2 2

L ⇒ tg 45° = 1 L

Construindo uma tabela com esses ângulos notáveis, teremos:

Em todo quadrado, a diagonal coincide com a bissetriz. Observe a figura a seguir:

30°

45°

60°

sen

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tan

3 3

EXEMPLOS y=

12 3 12 3 2 ⋅ = 6 6 ⇒y= 2 2 2

A10  Razões trigonométricas dos ângulos notáveis

01. Calcule a medida de AC na figura a seguir, sabendo que AB = 12 cm.

Portanto, a medida de AC é 6 6 m. 02. Calcule o valor da expressão E =

2 ⋅ cos52° + 4 ⋅ sen38° . 5 ⋅ cos 52°

RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO Fazendo AH = x, no triângulo ABH, temos: x x 3 sen 60° = ⇒ = ⇒x= 6 3 12 12 2

Fazendo AC = y, no triângulo ACH, temos: sen 45° =

6 3 2 6 3 ⇒ = y 2 y

Note que 52° e 38° são complementares E=

2 ⋅ cos52° + 4 ⋅ sen38° 2 ⋅ cos52° + 4 ⋅ cos52° = 5 ⋅ cos 52° 5 ⋅ cos 52°

6 ⋅ cos52° 6 = 5 ⋅ cos 52° 5

Portanto, E = 6/5.

299

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule os valores de x e y no triângulo retângulo ABC da figura a seguir. x = 48 e y = 24

06. (Puc Campinas SP) A figura mostra o ângulo de visão que um mesmo observador tem de uma estrutura de caixa d’água em dois pontos diferentes. Sabe-se que a altura dos olhos, em relação ao piso plano sobre o qual a estrutura está apoiada perpendicularmente, é exatamente a metade da altura da estrutura da caixa d’água, e que a distância entre os dois pontos de observação é de 2 metros.

02. Na figura a seguir, temos que AB = 12 6 m.

A partir dessas informações, é possível determinar que a altura da estrutura da caixa d’água, em metros, é igual a: Questão 07. a) a) 3 3 - 2 N Assim, calcule a medidas de AH e AC . AH = 18

2m e AC = 36 m

03. Na figura a seguir, temos uma pipa presa a uma linha esticada formando um ângulo de 45° com o solo. 75 2 m

3 +2 3

c) 2 3 + 2 d)

3 +2

3 +1

60°

45°

1200m

Qual a altura h, em metros, da pipa em relação ao solo?

A10  Razões trigonométricas dos ângulos notáveis

04. Na figura a seguir, temos que BD = 120 m.

Assim, calcule a medida de AC . 60

b) 600 3

(

)

3 −1 m

08. (Uncisal AL) Numa praça retangular (dimensões: AB = 40 m, AD = 20 m) há um único passeio ligando um canto a um ponto da calçada oposta como mostra a figura, desenhada sem escala.

05. (Ufes ES) Um homem de 1,80 m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45° em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20 m do edifício, esse ângulo aumenta para 60°. Qual a altura do edifício? (31,8 + 10 3 ) m

300

07. (Unicamp SP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB == 1200 metros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é ˆ é de 45°. de 60°, e quando em B, verifica que o ângulo NBA a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

Se o passeio faz com a calçada da maior das dimensões um ângulo de 30o e adotarmos 3 = 1,7 , o caminho para ir de A até C através da calçada e do passeio mede, em metros: a) 34 d) 60 b) 40 e) 74 c) 46

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Uem PR) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos α = 30° e β = 60° e a medida do segmento BC = 5 m, conforme especificado na figura. Nessas condições, e considerando 2 = 1,4, quais deverão ser os valores máximos e mínimos, em metros, do comprimento dessa rampa de acesso? 10 e 7 04. (UFG GO) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60°, conforme a figura a seguir.

Nessas condições, calcule a altura da torre, em metros. 20 m 02. (UFRN) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame reto, de 30 m de comprimento, entre os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, como mostra a figura abaixo.

Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo. (6 + 4 3 ) m 05. (Enem MEC) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

A partir desses dados, calcule, em metros, o comprimento MS = 5( 3 + 2) m e SP = 5(2 3 + 1) m

03. (Unesp SP) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno bastante inclinado. Para aperfeiçoar a constru-

rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificulda-

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: a) 1000 m

des de locomoção. A figura representa esquematicamente

b) 1000 3 m

ção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma

essa rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação a mínima de 30° e máxima de 45°.

2000 3 m 3 d) 2000 m e) 2000 3 m c)

301

A10  Razões trigonométricas dos ângulos notáveis

dos segmentos MS e SP.

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MATEMÁTICA

MÓDULO A11

ASSUNTOS ABORDADOS nn Lei dos cossenos nn Lei dos cossenos nn Cosseno de ângulos suplementares nn Demonstração da lei dos cossenos

LEI DOS COSSENOS A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a trigonometria no Papiro Rhind e também na tábula cuneiforme babilônica Plimpton. A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. De qualquer maneira, os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos- ou arcos- em uma circunferência e os comprimentos de suas cordas. Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Para triângulos que não são retângulos, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos com o objetivo de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Faremos uso da lei dos cossenos e para problematizar seu emprego, levantamos a seguinte situação: em uma mesma chácara há três casas construídas (A, B e C). Medindo a distância entre as casas A e B o valor encontrado foi de 250 m; ja entre as casas A e C, a distância é de 200 m. A distância entre as casas B e C não pode ser determinada de forma direta como foi feita para as demais. Para fazê-lo, foi fornecido o ângulo BÂC, cujo valor é de 60o.

Fonte: Wikimedia Commons

Na representação do problema (figura abaixo) podemos ver que se trata de uma situação geométrica em que as três casas formam um triângulo não retângulo. Nesse caso, a distância entre as casas B e C pode ser determinada pela lei dos cossenos.

250 m

B 60°

200 m

302

Figura 01 - Na agrimensura, distâncias e ângulos podem ser medidos por meio do Teodolito. Na imangem, temos Teodolito exposto no Museu Geomineral de Madrid.

Matemática e suas Tecnologias

Lei dos cossenos Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses lados, pelo cosseno do ângulo formado por eles. Observe a figura a seguir:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACH, temos: b2 = h2 + m2 ⇒ h2 = b2 - m2 (II) Substituindo (II) em (I), temos: a2 = h2 + (c - m)2 ⇒ a2 = b2 - m2 + (c - m)2 ⇒ a2 = b2 + c2 - 2cm (III)

C b

Novamente, no triângulo ACH, temos que:

Para o triângulo ABC, podemos estabelecer a seguinte relação chamada lei dos cossenos:

cos α =

Substituindo (IV) em (III), temos: a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

Cosseno de ângulos suplementares A partir do triângulo retângulo, podemos definir cosseno apenas de ângulos agudos. No entanto, é possível estender esse conceito para ângulos suplementares a partir da circunferência trigonométrica. Assim, dados dois ângulos suplementares, um obtuso de medida α e um agudo de medida 180° – α, temos que: cosseno do ângulo obtuso α é igual ao oposto do cosseno do ângulo agudo (180° - α), ou seja:

nn O

1º caso: O triângulo ABC é acutângulo Inicialmente, vamos traçar a altura CH , relativa ao vértice C.

a h

180° – m

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACH, temos: b2 = h2 + m2 ⇒ h2 = b2 – m2 (II) Substituindo (II) em (I), temos:

Novamente, no triângulo ACH, temos que:

a2 = h2 + (c + m)2 ⇒ a2 = b2 – m2 + (c + m)2 ⇒ a2 = b2 + c2 + 2cm (III)

Inicialmente, vamos traçar a altura CH , relativa ao vértice C.

a2 = h2 + (c + m)2 (I)

Demonstração da lei dos cossenos

2º caso: O triângulo ABC é obtusângulo sendo que Â é obtuso.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCH, temos:

cos α = - cos (180° - α )

m ⇒ m = b ⋅ cos α (IV) b

c–m

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCH, temos: a2 = h2 + (c - m)2 (I)

cos(180 - α) = - cos α =

m ⇒ m = -b ⋅ cos α (IV) b

Substituindo (IV) em (III), temos:

A11  Lei dos cossenos

a2 = b2 + c2+ 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ (-cos α) ⇒ a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

303

Matemática

EXEMPLOS RESOLUÇÃO

01. Calcule a medida do lado AC da figura a seguir. A

O maior ângulo α está oposto ao maior lado 6. Assim, temos: 62 = 52 + 42 - 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ cos α 36 = 25 + 16 - 40 ⋅ cos α 40 ⋅ cos α = 5 cos α = 1/8 Portanto, cos α = 1/8.

60° B

03. Calcule o valor de cos 120°, cos 135° e cos 150°. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Fazendo AC = x e, em seguida, aplicando a lei dos cossenos, temos que: x2 = 42 + 62 – 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ cos 60° 1 x2 = 16 + 36 – 48 ⋅ 2 x2 = 52 – 24 x= 2 7 Portanto, o lado AC mede 2 7 . 02. Os lados de um triângulo são 4, 5 e 6. Calcule o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.

Os ângulos que medem 120° e 60° são suplementares, assim, temos que: 1 cos 120° = -cos 60° = 2 Os ângulos que medem 135° e 45° são suplementares, assim, temos que: 2 cos 135° = -cos 45° = 2 Os ângulos que medem 150° e 30° são suplementares, assim, temos que: 3 cos 150° = -cos 30° = 2

Exercícios de Fixação 01. Calcule a medida do lado AB da figura a seguir.

04. (UFMS) Na figura, ABCD é um quadrado. Sendo M o ponto médio do lado BC e α o ângulo correspondente ao vértice M do triângulo AMD, calcule o valor de 30 ⋅ cos α. 18 M B

3 2

45°

02. Calcule o cosseno do ângulo α da figura a seguir. 13/15

05. (UFGO) Na figura abaixo, um observador no ponto A consegue visualizar dois marcos, um no ponto B e outro no ponto C, sob um ângulo cujo cosseno é 0,4. As distâncias que separam o observador do ponto B e do ponto C são 400 m e 500 m, respectivamente.

A11  Lei dos cossenos

B lago

03. (Unicamp SP) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15. a) Quais são esses números? 3, 5 e 7 b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo. 120°

304

Nessas condições, calcule a distância entre os marcos B e C. 500 m

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (UEM PR) Um engenheiro precisa conhecer a medida de cada lado de um terreno triangular cujo perímetro é 20 m, porém a planta do terreno foi rasgada e o que restou foi um pedaço, como na figura a seguir.

60° 8m

Os lados do triângulo que não aparecem totalmente na planta do terreno medem: a) 3 3 m e 12 - 3 3 m b) 5 m e 7 m c) 4,5 m e 7,5 m d) 8 m e 4 m e) 3 m e 9 m

(

)

02. (UFSM) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. C

0,8 km 150° A

determinar a distância entre esses pontos. A medição direta da distância entre A e C não pode ser realizada, pois fica sobre a superfície do lago. Assim, marcou-se um ponto B intermediário, de modo que as distâncias entre A e B e entre B e C pudessem ser feitas sobre terra firme. Sabendo que a distância entre A e B é 100 metros, que a distância entre B e C é 60 metros e que o ângulo com vértice em B determinado por A, B e C é 120°, a distância entre A e C, em metros, é: a) 120 b) 140 c) 150 d) 155 e) 160 05. (Cesgranrio) Na figura a seguir está representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC foi marcado o ponto P, de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD , enquanto a medida de CP vale o dobro de BC . A

ˆ mede, em graus: O ângulo APB a) 90° b) 120° c) 135° d) 300° e) 160°

1 km

Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? Dado 3 = 1,7. a) 2,29 b) 2,33 c) 3,16 d) 3,50 e) 4,80

06. (UFGO) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir. S

T A

03. (UESPI) Se os lados de um triângulo medem a, b, e

04. (UFSM) Entre os pontos A e C, localizados na margem de um lago, será estendido um cabo com boias sinalizadoras que demarcará a parte permitida para o passeio de pedalinhos. Para a compra do material a ser utilizado, é necessário

A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 1 000 3 m

305

A11  Lei dos cossenos

a2 + ab + b2 , quanto mede o maior ângulo do triângulo? a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120°

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A12

ASSUNTOS ABORDADOS nn Lei dos senos nn Lei dos senos nn Seno de ângulos suplementares nn Demonstração da lei dos senos

LEI DOS SENOS No século I, com a expansão de Roma, a necessidade de crescer e abastecer a cidade crescia. Nesse contexto, o general Pompeu, por volta de 70 a.C., foi enviado à Sicília com a missão de transportar o trigo das províncias para a cidade de Roma, que passava fome devido a uma rebelião de escravos. Como os riscos das navegações eram grandes, devido às fragilidades das embarcações, dos constantes ataques de piratas e a antevisão de uma tempestade que se formava, os tripulantes daquela viagem estavam em um dilema: salvar a cidade de Roma da grave crise de abastecimento causada pela rebelião, ou fugir dos riscos da viagem mantendo-se confortáveis na cidade de Sicília. Foi então que, de acordo com o historiador Plutarco, o general Pompeu proferiu essa lendária frase: “Navigare necesse, vivere non est necesse" (navegar é necessário, viver não é necessário) Fonte: http://historiacomgosto.blogspot.com.br. Acesso: Abril de 2017

Naquela época, apoiado-se em cálculos de navegação marítima, já se podia determinar rotas bastante precisas. Já dissemos que o teodolito é um instrumento que pode determinar distâncias e ângulos, sem dizer que para cálculos envolvendo triângulos que não são retângulos podemos empregar as leis dos senos e cossenos. Pois, bem. Na navegação marítima tudo isso era empregado. Por exemplo, considere a seguinte rota de um barco, navegando em linha reta, passando sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o barco está em A, o comandante observa um farol em F, e calcula o ângulo FÂC = 30°. Após ˆ = 75° , ilustrados a seguir. navegar 6 km até B, ele verifica o ângulo FBC F

30° 6 km

75°

Fonte: Dudarev Mikhail / Shutterstock.com

Figura 01 - Na navegação marítima atual, não se utiliza mais tedolito, lei dos senos e lei dos cossenos para se determinar rotas, ângulos e distâncias, e sim sistema de navegação via satélites, por meio de GPS.

306

Matemática e suas Tecnologias

Para se determinar essa distância, devemos relacionar lados e ângulos de um triângulo que não é retângulo. Nessa situação, devemos utilizar a lei dos senos para obter a distância que foi pedida. Nesta aula, abordaremos a lei dos senos e suas aplicações.

A D c 2R O

Lei dos senos

Em um triângulo qualquer, a razão entre as medidas dos lados e os senos dos ângulos opostos a esses lados é constante. Essa constante é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. Observe a figura a seguir:

Em seguida, ligamos os pontos D e C, e obtemos o triângulo BCD retângulo em C. A

R O

2R O

Para o triângulo ABC, podemos estabelecer a seguinte relação chamada lei dos senos:

Os ângulos Â e D̂ são congruentes, pois ambos medem a metade do arco BC. Assim, temos que Aˆ = Dˆ = α. A

a b c = = = 2R sen α senβ sen θ

c 2R O

Seno de ângulos suplementares

nn O seno do ângulo obtuso α

é igual ao seno do ângulo

agudo (180° - α), ou seja: = senα sen(180° - α )

Demonstração da lei dos senos Inicialmente, a partir do ponto B, vamos determinar um ponto D diametralmente oposto.

No triângulo retângulo BCD, podemos estabelecer que: senα=

a a ⇒ = 2R 2R senα

Fazendo o mesmo para os ângulos B̂ e Ĉ, teremos: b c = 2R e = 2R senβ senθ

A12  Lei dos senos

A partir do triângulo retângulo, definimos o seno apenas de ângulos agudos. Ademais, é possível estender esse conceito para ângulos suplementares por meio da circunferência trigonométrica. Assim, dados dois ângulos suplementares, um obtuso de medida α e um agudo de medida 180° - α, temos que:

Logo, podemos concluir que: a b c = = = 2R sen α senβ sen θ 307

Matemática

EXEMPLOS RESOLUÇÃO

01. Calcule a medida do lado AC da figura a seguir. A

Sendo α a medida do ângulo oposto ao lado de 60 m, temos que: α + 105° + 45° = 180° ⇒ α = 30° Aplicando a lei dos senos, temos que: 60 x = ⇒ x ⋅ sen 30° = 60 ⋅ sen 45° sen30° sen45°

45°

60°

1 2 ⇒ x = 60 2 x ⋅ = 60 ⋅ 2 2

RESOLUÇÃO Fazendo AC = x e, em seguida, aplicando a lei dos senos, temos que: 12 x = ⇒ x ⋅ sen 60° = 12 ⋅ sen 45° sen60° sen45° x⋅

3 2 ⇒ =12 ⋅ 2 2

03. Calcule o valor de sen 120°, sen 135° e sen 150°. RESOLUÇÃO

3⋅x = 12 2

Os ângulos que medem 120° e 60° são suplementares, assim, temos que: 3 sen 120° = sen 60° = 2

12 2 3 ⇒ x=4 6 x = ⋅ 3 3 Portanto, o lado AC mede 4 6 . 02. Calcule o valor de x do triângulo obtusângulo ABC da figura a seguir: x

Portanto, o lado x = 60 2 m.

A 105° 60 m 45°

Os ângulos que medem 135° e 45° são suplementares, assim, temos que: 2 sen 135° = sen 45° = 2 Os ângulos que medem 150° e 30° são suplementares, assim, temos que: 1 sen 150° = sen 30° = 2

Exercícios de Fixação 01. Calcule a medida do lado AB da figura a seguir. 6

C 60° 6 3

60° B

45° C

02. Calcule o seno do ângulo α da figura a seguir. 3/8 B

Os segmentos AB , BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo

A12  Lei dos senos

com a planta e as informações dadas, é correto afirmar que a medida de R, em m, é igual a:

03. (UF JF) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

308

160 3 3

16 3 3

80 3 3

8 3 3

3 3

Matemática e suas Tecnologias

04. (UFSM) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. C

05. (UF PE) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB , escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos B̂ = 57° e Ĉ = 59°. A

m d

59°

135°

30° 57°

B B

Assim, a distância “d” é: a) 50 2 m

c) 50 3 m

50 6 m b) 3

d) 25 6 m

e) 50 6 m

Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a distância AB. (Dados: sen 59° = 0,87 e sen 64° = 0,90) 29 m

Exercícios Complementares 01. (Enem MEC) Para se calcular a distância entre duas árvores, representadas pelos pontos A e B, situados em margens opostas de um rio, foi escolhido um ponto C arbitrário, na margem onde se localiza a árvore A. As medidas necessárias foram tomadas, e os resultados obtidos foram os seguintes: nn AC = 70 m ˆ = 62° nn BAC

ˆ = 74° nn ACB C A B

Baseado nos dados da figura, determine a altura do edifício em metros e divida o resultado por 2 . Dados: AB = 30 m; ˆ = 30°; CAB ˆ = 75°; ABC ˆ = 60°; DCA ˆ = 90°. 15 m DAC

Sendo cos28° = 0,88, sen74° = 0,96 e sen44° = 0,70, podemos afirmar que a distância entre as árvores é: a) 48m b) 78m c) 85m d) 96m e) 102m 02. (UnB DF) Um observador, situado no ponto A, distante 30 m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30°, conforme a figura a seguir.

03. (Unesp SP) Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontrajunto a A afasta-se 20 m da margem, na direção da reta AB , até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores. 28 m B

A D C

ˆ e BDC ˆ medem, respecTendo verificado que os ângulos DCB tivamente, cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação

6 = 2,4?

309

A12  Lei dos senos

Rio

Matemática

04. (UFPB) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para me-

ˆ = 30°, POA ˆ = 30°, ta do rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA ˆ OP = 3 + 3 km, 45° e calcule em hectômetros. 20 AB APB =

(

)

dir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma mar-

gem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito

(instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ân-

gulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o ˆ e CAB ˆ mediam, restopógrafo observou que os ângulos BCA pectivamente, 30° e 105°, conforme ilustrado na figura a seguir. B A

200 m

105°

07. Após um naufrágio, um sobrevivente se vê na situação de ter que atravessar um rio de águas calmas. Prudente, decide só atravessá-lo depois de ter estimado a largura do rio. Improvisou então uma trena métrica e um transferidor rústicos e, para

30° C

calcular a distância entre duas árvores, digamos uma árvore A,

Rio

situada na margem em que se encontrava, e uma árvore B, situ-

Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de: a) 200 2 b) 180 2 c) 150 2 d) 100 2 e) 50 2 05. (UFRN) Para medir o raio de um pequeno lago circular, uma pesˆ de 30°, soa usa o seguinte procedimento: traça um ângulo AOB sendo que os pontos A, O e B estão sobre a margem do lago, e, em seguida, mede a distância de A a B, conforme a figura abaixo.

ada na margem oposta, procedeu da seguinte forma: – postando-se ao lado da árvore A e usando o transferidor construído, aferiu o ângulo entre a visada para a árvore B e para uma árvore C, situada na mesma margem em que se encontrava, obtendo o valor 105º; – caminhou até a árvore C e, usando a trena métrica, estimou em 300 metros a distância entre esta e a árvore A; – estando então junto à árvore C, mediu o ângulo entre as visadas para a árvore A e a árvore B, obtendo o valor 30º. B

Rio

105° A 30°

300

30°

Após os procedimentos descritos, as informações obtidas fo-

A12  Lei dos senos

Justifique por que a medida do segmento AB corresponde ao raio do lago. Use a lei dos senos no triângulo OAB. 06. (UFPE) Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância AB, são medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P, situados na margem opos310

ram reunidas e foi estimada corretamente a distância entre a árvore A e a árvore B, obtendo o valor de, aproximadamente: (considerar

2 = 1,41 e

a) 150 metros. b) 175 metros. c) 189 metros. d) 212 metros. e) 250 metros.

3 = 1,73 )

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Unesp SP) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo β em relação ao ponto Q no edifício Y.

03. (Mackenzie SP) Se as medidas dos ângulos agudos x e y de um triângulo retângulo são tais que cos2 x = 3cos2 y, então a diferença entre essas medidas é: a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75° 04. (FGV SP) A, B e C são quadrados congruentes de lado igual a 1 em um mesmo plano. Na situação inicial, os três quadrados estão dispostos de forma que dois adjacentes possuem um lado em comum e outro sobre a reta r. Na situação final, os quadrados A e C permanecem na mesma posição inicial, e o quadrado B é reposicionado, conforme indica a figura.

Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 ⋅ tg α = 4 ⋅ tgβ, a altura h do edifício Y, em metros, é: a) 40/3 b) 50/4 c) 30 d) 40 e) 50 02. (UFAL) De um ponto A, situado no mesmo nível da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. Dados: tg 20° = 0,36 e tg 18° = 0,32

30 A

r situação inicial

situação final

A menor distância da reta r a um vértice do quadrado B é: a)

2- 3 4

3- 3 4

4- 3 4

3- 3 2

4- 3 2

05. (Unesp SP) Os lados de um triângulo medem 2 3,

3 + 3. Determine o ângulo oposto ao lado que mede

Qual a altura da torre? a) 42 m b) 43 m c) 44 m d) 45 m e) 46 m

6 e 6.

30°

06. (UFGO) O para-brisa frontal de um carro tem formato plano retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 m de altura. Os limpadores de para-brisa desse carro funcionam no sistema oposto, ou seja, contêm duas palhetas idênticas, fixadas nos cantos inferiores do para-brisa, como mostra a figura. Ao serem acionadas, as palhetas fazem um movimento em sentido circular para limpar o vidro. Considere que as pontas das palhetas ficam rentes uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o menor ângulo formado entre as palhetas é θ, tal que cos θ = -0,125. 311

Matemática

1,41 m

A 1m

então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta é, em metros, a) 0,80 b) 0,94 c) 1,00 d) 1,08 e) 1,41

Guara nguetá

Campinas

80 km Sorocaba

160 km

São Paulo

07. (Mackenzie SP) Observe a figura a seguir: C

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de:

a) 80 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3

b) 80 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 A

Nessa figura, ABC e AED são triângulos retângulos. Se AC = , ˆ = DAE ˆ = 90 °, então BD é: ˆ = α, ADE ˆ = β e ABC BAC a)  ⋅ cos α b)  ⋅ sen α 2

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

c)  ⋅ cos α ⋅ sen β d)  ⋅

cos2 α sen β

e)  ⋅

sen2 α cos β

c) 80 ⋅ 6 d) 80 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 e) 80 ⋅ 7 ⋅ 3 10. (Fepecs DF) Um painel, formado por três quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo ABC de catetos AB e AC medindo 3 m e 4 m, respectivamente, necessita para sustentá-lo, de um cabo de aço retilíneo que liga os vértices P e Q como mostra a figura:

08. (UECE) Sejam x, y, e z as medidas dos lados do triângulo XYZ e R a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Se o produto dos senos dos ângulos internos do triângulo é k ⋅ x ⋅ y ⋅z , então o valor de k é: R3 a) 0,500 b) 0,250 c) 0,125 d) 1,000 09. (Unesp SP) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou,

312

P B C

O comprimento do cabo PQ vale: a) 2 10 m b) 2 11 m c)

46 m

d) 2 13 m e) 2 15 m

Matemática e suas Tecnologias

11. (UFGD MS) Considere um triângulo cujos lados medem 3a, 4a e 5a, de modo que a seja um número positivo qualquer. Determine o cosseno do menor ângulo interno deste triângulo. a) 0,8 b) 0,7 c) 0,6 d) 0,4 e) 0,2 12. (IFPE) Um professor de matemática do curso de Eletrotécnica, no Campus Pesqueira, desafiou os alunos a calcularem a que altura um transformador estava preso ao poste próximo à portaria do campus. O aluno Ranieri topou o desafio e resolveu calcular esta altura com os seus conhecimentos de trigonometria. Dirigiu-se até a base do poste e caminhou 12 m em linha reta, virou-se para o poste e, com a ajuda de um aplicativo em seu celular, verificou que hipotenusa imaginária até o transformador formava com o chão um ângulo de 22° conforme a figura abaixo.

14. (Uninorte AC) Os pontos colineares P, Q e R representam três amigos que visualizam um balão, em um mesmo instante, sob ângulos de elevação α= 30° , β= 45° e γ= 60° , de acordo com a figura.

Nessas condições, pode-se afirmar que a razão entre as distâncias de P a Q e de Q a R, isto é, PQ : QR , é igual a a)

2 2

3 2

15. (Famerp SP) No caminho de ida de sua casa (C) para a escola (E), Laura passa pela farmácia (F), pela padaria (P), e depois segue para a escola, como indica a figura 1.

13. (IFPE) Um estudante do curso técnico de Edificações do IFPE Campus Recife precisou medir a altura de um edifício de 6 andares. Para isso, afastou-se 45 metros do edifício e, com um teodolito, mediu o ângulo de 28°, conforme a imagem abaixo. Usando as aproximações sen28° = 0,47, cos28° = 0,88 e tg28° = 0,53, esse estudante concluiu corretamente que a altura desse edifício é

a) 21,15 m. b) 23,85 m.

c) 39,6 m. d) 143,1 m.

e) 126,9 m.

Na volta da escola para casa, Laura passa pelo mercado (M), pela padaria (P), e depois segue para casa (C), como indica a figura 2.

Os caminhos de ida e de volta são formados por segmentos de retas, sendo que a farmácia, a padaria e o mercado estão em uma mesma avenida reta e plana. Considerando CF = FP = 4 km, PE = 2 km, 2 = 1 ,4 e 3 = 1 ,7 , o caminho de Laura de casa à escola na ida superou o de volta em a) 1,7 km. b) 2,3 km. c) 1,2 km. d) 2,0 km. e) 0,9 km. 313

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

Sabendo que sen 22° = 0,37; cos 22° = 0,93 e tg 22° = 0,40, calcule a que altura do solo está o transformador. a) 11,16 m b) 4,44 m c) 4,80 m d) 3,00 m e) 3,24 m

FRENTE

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MATEMÁTICA Por falar nisso Várias são as situações do nosso dia a dia em que verificamos a dependência entre grandezas. O custo de fabricação de determinado produto depende da quantidade produzida; os juros pagos em empréstimos bancários dependem da taxa cobrada; a temperatura de uma cidade depende da sua altitude em relação ao nível do mar; a quantidade de combustível consumida por um veículo depende da distância percorrida por ele, e assim por diante. Essas relações denominadas funções constituem um dos assuntos mais importantes da Matemática. O conceito matemático de função surgiu em meados do século XVII paralelamente ao desenvolvimento do Cálculo. O termo função foi provavelmente utilizado pela primeira vez pelo matemático alemão Gottfried Leibniz (1646 – 1716) em uma de suas cartas na qual ele descreve a declividade de uma curva em um determinado ponto. Porém, somente após o desenvolvimento mais rigoroso da Análise Matemática e com a invenção da Teoria dos Conjuntos que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B09 B10 B11 B12

Funções - Sistema cartesiano ortogonal...................................... 316 Funções - Produto cartesiano e relações binárias....................... 320 Funções - Definição e representação........................................... 327 Funções - Estudo do domínio de uma função real...................... 333

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B09

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

ASSUNTOS ABORDADOS

Na figura a seguir, temos o tabuleiro de um jogo chamado Batalha Naval. Nesse jogo, os jogadores têm de adivinhar em que quadrados estão os navios do oponente para que ele possa derrubá-los. Ganha quem derrubar primeiro todos os navios do adversário.

nn Sistema cartesiano ortogonal nn Sistema cartesiano ortogonal nn Propriedade dos pares ordenados

Barcos: 4x

CERTO

ERRADO

Segundo as regras desse jogo, cada jogador deverá ter duas grelhas: uma que representa a disposição de seus barcos e outra que representa a disposição dos barcos do oponente. Essas grelhas são quadradas e identificadas por letras na horizontal e por números na vertical.

Gabarito questão 05 (Fixação) a)

Note que cada um dos quadrados será identificado por um par de valores, uma letra na horizontal e um número na vertical. Assim como no jogo Batalha Naval, podemos atribuir um par de números reais para localizar pontos em um sistema de eixos perpendiculares denominado sistema cartesiano ortogonal.

y C(0,8)

Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal, ou simplesmente sistema cartesiano, , foi criado por René Descartes e é constituído por um par de retas (ou eixos) perpendiculares, orientadas e numeradas. Essas retas (ou eixos) se interceptam no ponto O, denominado origem do sistema, e dividem o plano em quatro regiões chamadas de quadrantes. Observe a figura a seguir:

B(6,0) x

A(0,0) b) 24 Gabarito questão 02 (Fixação)

y C

y A

2° quadrante

1° quadrante

B x

316

3° quadrante

x 4° quadrante

Matemática e suas Tecnologias

Daí, define-se que:

 nn O eixo horizontal OX é denominado eixo das abscissas  e o eixo vertical OY é denominado eixo das ordenadas. nn O ponto O de intersecção dos dois eixos representa o zero nos dois eixos. nn No eixo das abscissas, os pontos à direita de O representam os números reais positivos e os pontos à esquerda de O representam os números negativos. nn No eixo das ordenadas, os pontos acima de O representam os números reais positivos e os pontos abaixo de O representam os números negativos. A cada ponto P do sistema cartesiano podemos associar um número real xp denominado abscissa do ponto P e um número real yp denominado ordenada do ponto P. Esse par de valores, escritos na forma P(xp, yp), é denominado par ordenado e representa as coordenadas do ponto P no sistema cartesiano. Observe a figura a seguir: y

P(xp, yp)

y A(2, 3) B(–3,1) F(3,0) x E(0, –1) D(4, –2) C(–4, –3)

Observação: Dado um ponto P(xp, yp) do sistema cartesiano ortogonal, temos que: xp > 0 e yp > 0, então P pertence ao 1º quadrante. xp < 0 e yp > 0, então P pertence ao 2º quadrante. nn Se xp < 0 e y p < 0, então P pertence ao 3º quadrante. nn Se xp > 0 e y p < 0, então P pertence ao 4º quadrante. nn Se xp = 0 e yp∈ IR, então P pertence ao eixo das ordenadas. nn Se xp∈IR e yp = 0, então P pertence ao eixo das abscissas. nn Se xp = yp = 0, então P é a origem. nn Se nn Se

Propriedade dos pares ordenados

Dados os pares ordenados (a, b) e (c, d), temos que:

Por exemplo: Marque os pares ordenados A(2, 3), B(-3, 1), C(-4, -3), D(4, -2), E(0, -1) e F(3, 0) no sistema cartesiano a seguir:

(a, b) = (c, d) ⇔= a c e= b d

EXEMPLOS 01. Escreva o par ordenado associado a cada um dos pontos do plano cartesiano a seguir. y 4

RESOLUÇÃO Para que P pertença ao 2º quadrante, devemos ter xP < 0 e yP > 0. Assim, temos que:

3 2 A 1 E –5 –4 –3 –2 –1

2k - 6 < 0 k < 3 ⇒ ⇒ -2 < k < 3  k + 2 > 0 k > -2

B 1

Portanto, os valores reais de k pertencem ao intervalo ]-2, 3[.

–1 F

–2 –3

03. Determine os valores de a e b para que os pares ordenados (a, 5b) e (2b – 1, 3a) sejam iguais.

–4

RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO nn O ponto A tem abscissa 0 e ordenada 2, portanto A(0, 2). nn O ponto B tem abscissa 4 e ordenada 1, portanto B(4, 1). nn O ponto C tem abscissa -5 e ordenada 3, portanto C(-5, 3). nn O ponto D tem abscissa 3 e ordenada -3, portanto D(3, -3). nn O ponto E tem abscissa -2 e ordenada 0, portanto E(-2, 0). nn O ponto F tem abscissa -4 e ordenada -2, portanto F(-4, -2).

a 2b - 1 = 5b = 3a

( a,5b ) =(2b - 1,3a) ⇔ 

Daí, temos: 5b = 3(2b – 1) ⇒ 5b = 6b – 3 ⇒ b = 3 e a = 5 Portanto, a = 5 e b = 3.

317

B09  Sistema cartesiano ortogonal

02. Para quais valores reais de k o ponto P(2k – 6, k + 2) pertence ao 2º quadrante do plano cartesiano?

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Escreva o par ordenado associado a cada um dos pontos do plano cartesiano a seguir. A(-4, 3), B(4, 3), C(-2, 2), D(2, 1), E(5, 0), F(-3, -1), G(1, -1) e H(3, -2)

y 4

A C

c) ABC é um triângulo isósceles, de área igual a 20 cm2. d) ABC é um triângulo equilátero, de área igual a 20 cm2. 08. (Unimar SP) A área da figura hachurada no diagrama a se-

guir vale:

3 2

1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 F

D 1

E 5

–2

–3 I

–4

1 0

02. Represente os seguintes pontos no mesmo plano cartesiano: A(2, 5) D(-7, 0)

B(-1, 3)

C(0, 8)

a) 4,0

E(9, -2)

G(-6, -6)

b) 3,5

Gabarito na página de abertura deste módulo

03. Responda aos itens a seguir: a) Para quais valores de k, o ponto P(k – 3, -k + 6) pertence ao 1º quadrante do plano cartesiano? {k ∈ IR | 3 < k < 6} b) Para quais valores de k, o ponto B(2k + 8, k – 7) pertence ao 4º quadrante do plano cartesiano? {k ∈ IR | -4 < k < 7} 04. (Fuvest SP) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: a) -2

c) 3,0 d) 4,5 e) 5,0 09. (USF SP) Por meio de uma radiografia, identificou-se um tumor no pulmão de um paciente. Para estimar o tamanho desse tumor, tomou-se um polígono de forma aproximada e calculou-se a área. O polígono está representado no plano cartesiano a seguir.

b) 0 c)

y 5

d) 1

e) 1/2 D

05. Considere um triângulo ABC do plano cartesiano cujos vérti-

2 B

ces são A(0, 0), B(6 ,0) e C(0, 8). Gabarito na página de abertura deste módulo

b) Obtenha seu perímetro.

B09  Sistema cartesiano ortogonal

06. (UFPB) Considere, no plano cartesiano XOY, o triângulo

a) Represente-o no plano cartesiano.

0 0

–1

cujos vértices são os pontos (0,0), (2,0) e (1,1). Calcule o perímetro do triângulo e a área por este delimitada. 2P = 2( 2 + 1) u.c; A = 1u.a.

07. (Unimontes MG) Considere os pontos A(6, –2) , B(–2,2) e C(1, –2) . Assumindo que as medidas estão em centímetros, podemos afirmar que a) ABC é um triângulo equilátero, de área igual a 10 cm2. b) ABC é um triângulo isósceles, de área igual a 10 cm2.

318

Qual a área ocupada por esse tumor? a) 4,0 unidades de área. b) 5,5 unidades de área. c) 7,5 unidades de área. d) 9,0 unidades de área. e) 11,0 unidades de área.

4 x

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

a) Se um ponto A pertence ao eixo das abscissas, então A tem ordenada nula. b) Se um ponto B pertence ao 2º quadrante, então B tem ordenada negativa. c) Se um ponto C pertence ao 1º quadrante, então C tem abscissa positiva. d) Se um ponto D pertence ao 4º quadrante, então D tem ordenada positiva. e) Se um ponto E pertence ao eixo das ordenadas, então E tem abscissa positiva. f) Se um ponto F pertence ao 3º quadrante, então F tem abscissa negativa. 02. (Puc MG) O mapa de certa cidade foi dividido em quatro quadrantes por meio de duas retas perpendiculares e numeradas, que se cortam no ponto (0, 0), cada um deles correspondendo a um quadrante do plano cartesiano. O sentido positivo do eixo y é o norte e, o sentido positivo do eixo x é o leste. Edificações que, nessa cidade, estiverem a mais de um quilômetro a oeste e a mais de um quilômetro ao norte estão localizadas no: a) primeiro quadrante. b) segundo quadrante. c) terceiro quadrante. d) quarto quadrante. 03. Sabendo que o ponto P(2m – 1, -3m – 4) pertence ao 3º quadrante do sistema cartesiano ortogonal, determine os possíveis valores de m. {m ∈ IR | -4/3 < m < 1/2} 04. Se (5a – 2, 2b + 1) e (2b + 3, a – 2b + 9) representam o mesmo ponto do sistema cartesiano ortogonal, a qual quadrante pertence o ponto P(-a, b)? 2º quadrante 05. Considere as seguintes definições a respeito dos pares ordenados: nn (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d. nn (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). nn (a, b) ⋅ (c, d) = (ac – bd, bc + ad). Baseando-se nessas definições, resolva a equação: a = 5 e b = -4. (2, 3) ⋅ (a, b) + (-4, 6) = (18, 13) 06. (Cesgranrio RJ) Em um sistema cartesiano ortogonal, os pontos A(a, b) e B(c, d) são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Assim, sendo, tem-se que: a) a = -c e b = -d d) a = c e b = d b) a = -c e b = d e) a = d e b = c c) a = c e b = -d

07. (Enem MEC) Alunos de um curso de engenharia desenvolveram um robô “anfíbio” que executa saltos somente nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos alunos representou a posição inicial desse robô, no plano cartesiano, pela letra P, na ilustração. y 5 4 Direções N

3 2 P

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

5 x

–2

–3 –4 –5

A direção Norte-Sul é a mesma do eixo y, sendo que o sentido Norte é o sentido de crescimento de y, e a direção Leste-Oeste é a mesma do eixo x, sendo que o sentido Leste é o sentido de crescimento de x. Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para o robô: 4 Norte, 2 Leste e 3 Sul, nos quais os coeficientes numéricos representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes, e cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano. Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do robô, no plano cartesiano, será: a) (0, 2) d) (1, 4) b) (0, 3) e) (2, 1) c) (1, 2) 08. (UFG GO) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0,0), B(0,2), C(4,2), D(4,0) e E(x,0), onde 0 < x < 4 . Considerando os segmentos BD e CE obtêm-se os triângulos T1 e T2, destacados na figura. y B

C T1 T2

D x

Para que a área do triângulo T1 seja o dobro da área de T2, o valor de x é: a) 2 - 2 b) 4 - 2 2 c) 4 - 2 d) 8 - 2 2 e) 8 - 4 2

319

B09  Sistema cartesiano ortogonal

01. A respeito dos pontos do sistema cartesiano ortogonal, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). C-E-C-E-E-C

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B10

ASSUNTOS ABORDADOS nn Produto cartesiano e relações

binárias

nn Produto cartesiano nn Relações binárias

PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÕES BINÁRIAS René Descartes, filósofo e matemático francês nascido em 1596, é um personagem de tanto destaque que até mesmo nossos dicionários acusam um substantivo e um adjetivo em referências ao seu nome: cartesianismo e cartesiano. A importância de Descartes deve-se em essência ao livro "Discurso sobre o Método", publicado em 1637, no qual o filósofo expõe sua crença na caracterização do problema do método como garantia para a obtenção da verdade. Segundo o racionalismo de Descartes, o melhor caminho para a compreensão de um problema é a ordem e a clareza com que processamos nossas reflexões. Um problema sempre será mais bem compreendido se o dividirmos em uma série de pequenos problemas que serão analisados isoladamente do todo.

Um food truck oferece em seu cardápio quatro tipos diferentes de salada e cinco tipos diferentes de carne. Uma pessoa que deseja escolher um tipo de salada e um tipo de carne poderá fazer o seu pedido de quantas maneiras? Sejam A o conjunto cujos elementos são os tipos de salada e B o conjunto cujos elementos são os tipos de carne. O número de maneiras de se realizar tal pedido é dado pelo número de pares ordenados que se pode formar de maneira que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B. Ao conjunto formado por esses pares ordenados, denomina-se produto cartesiano.

320

Fonte: Jeff Whyte/Shutterstock.com

A seguir, propomos um problema simples, presente no nosso dia a dia, que trata da quantidade de pares ordenados possível em um cardápio.

Matemática e suas Tecnologias Gabarito questão 03 (Fixação) a) {(2, -2), (2, 1), (3, -2), (3, 1), (5, -2), (5, 1)}

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B não vazios, o produto cartesiano entre A e B, nessa ordem, representado por A x B, é um conjunto de pares ordenados (x, y) tais que x ∈ A e y ∈ B. Simbolicamente, temos: = A ×B

B –2

{( x, y ) x ∈ A e y ∈B}

Por exemplo:

Obtenha o produto cartesiano entre os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}. nn A

x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}.

nn B

x A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.

b) {(-2, 2), (-2, 3), (-2, 5), (1, 2), (1, 3), (1, 5)}

Propriedades: Dados dois conjuntos A e B não vazios, temos as seguintes propriedades: ×B≠B×A =A×A nn A x ∅ = ∅ nn ∅ x ∅ = ∅ nn Sendo n(X) o número de elementos de um conjunto finito X, temos que n(A × B) = n(A) ⋅ n(B). nn A

nn A2

x Gabarito questão 04 (Fixação) a)

Representações Podemos representar graficamente um produto cartesiano por meio do diagrama de flechas ou por meio do sistema cartesiano. Por exemplo:

Represente graficamente o produto cartesiano entre os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}. Inicialmente, temos que A x B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}. Por meio do diagrama de flechas, temos:

1 2 2

Gabarito questão 05 a)

Por meio do sistema cartesiano, temos:

Gabarito questão 05 (Fixação) b)

1 x

321

B10  Produto cartesiano e relações binárias

Matemática

Relações binárias Existem cinco estradas distintas denominadas x1, x2, x3, x4 e x5, que podem ser utilizadas para ir da cidade X para a cidade Y e seis estradas distintas, denominadas y1, y2, y3, y4, y5 e y6, que podem ser utilizadas para ir da cidade Y para a cidade Z. De quantas maneiras podemos ir da cidade X para a cidade Z passando pela cidade Y de modo que a estrada utilizada para ir de X para Y e a estrada utilizada para ir de Y para Z tenham números iguais? Sejam A o conjunto cujos elementos são as estradas que ligam as cidades X e Y e B o conjunto cujos elementos são as estradas que ligam as cidades Y e Z. O total de maneiras para ir da cidade X para a cidade Z passando por Y é dado pelo número de pares ordenados que se pode formar de maneira que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B. Já sabemos que esse conjunto é chamado produto cartesiano. O conjunto formado pelos pares ordenados tais que o número da estrada utilizada para ir de X para Y é igual ao número da estrada utilizada para ir de Y para Z é um subconjunto desse produto cartesiano. Tal conjunto, dado por {(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), (x5, y5)}, é um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e B denominado relação binária de A em B. Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma relação binária R de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano entre A e B, cujos pares ordenados (x, y) satisfazem a uma determinada lei de formação. Simbolicamente, temos: R={(x, y) ∈ A × B|"lei de formação"} Nessa situação, define-se que: nn O

conjunto A é denominado conjunto de partida da relação binária R.

nn O

conjunto B é denominado conjunto de chegada da relação binária R.

Por exemplo: Considerando os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3, 4} e R = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 2}, temos que: nn A

x B = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}. nn R = {(0, 2), (1, 3), (2, 4)}.

B10  Produto cartesiano e relações binárias

Relação inversa O conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par é denominado relação inversa de R e indicada por R-1. Por exemplo: A relação inversa de R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)} é dada por R-1 = {(2, 1), (3, 1), (4, 1)}. Domínio e imagem Sendo R uma relação binária de A em B, temos que: nn Denomina-se domínio de R, o conjunto D(R) formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados de R. Assim, temos que D(R) ⊂ A. nn Denomina-se imagem de R, o conjunto Im(R) formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados de R. Assim, temos que Im(R) ⊂ B. 322

Matemática e suas Tecnologias

Por exemplo: Considerados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} e R = {(x, y) ∈ A x B | y ≤ x}, temos que:

Gabarito questão 08 (Fixação) a)

nn A

x B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. nn R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Daí, temos que: nn O domínio da relação binária R é o conjunto D(R) = {1, 2, 3} nn A imagem da relação binária R é o conjunto Im(R) = {1, 2, 3}.

B –2

–1

Representações

Assim como o produto cartesiano, podemos representar graficamente uma relação binária por meio do diagrama de flechas ou por meio do sistema cartesiano. Por exemplo: Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} e R = {(x, y) ∈ A x B | y é múltiplo de x}, temos que: nn A

x B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. nn R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3)}.

B –2

–1

Gabarito questão 09 (Fixação) a)

A representação gráfica da relação binária R, por meio do diagrama de flechas, é dada por:

6 5 4

B R

2 2

3 4

6 x

y 6

A representação gráfica da relação binária R, por meio do sistema cartesiano, é dada por:

5 4

y 3

5 2

4 1

B10  Produto cartesiano e relações binárias

3 Gabarito questão 10 (Fixação) b)

2 1

B 1

0 1

2 3

2 3 4

323

Matemática

EXEMPLOS 01. Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, determine o número de elementos de A x B.

RESOLUÇÃO nn A = {0, 2, 4, 6, 8} ⇒ n(A) = 5. nn B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} ⇒ n(B) = 7. nn n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) = 5 ⋅ 7 = 35 elementos. Portanto, o conjunto A × B tem 35 elementos. x

02. Dados os conjuntos A = {-2, 4}, B = ]-3, 4] e C = [2, 6[, represente no plano cartesiano os seguintes produtos cartesianos: 03. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {6, 7}, determine:

a) A × B b) C × A c) B × C

a) A × B b) B × A c) B2 RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

a) A representação de A x B no plano cartesiano é dada por um conjunto de pontos tais que x = -2 ou x = 4 e -3 < y ≤ 4. Observe a seguir:

nn A × B = {(1, 6), (1, 7), (2, 6), (2, 7), (3, 6), (3, 7)}. nn B × A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}. nn B2 = B × B = {(6, 6), (6, 7), (7, 6), (7, 7)}.

04. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2}, determine: a) R1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x}. b) R2 = {(x, y) ∈ A x B | y < x}. c) R3 = {(x, y) ∈ A x B | y = x –2}. RESOLUÇÃO

A × B = {(1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, -1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}. a) R1 = {(1, 1), (2, 2)}. b) R2 = {(1, -1), (1, 0), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (3, -1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}. c) R3 = {(1, -1), (2, 0), (3, 1)}. b) A representação de C x A no plano cartesiano é dada por um conjunto de pontos tais que 2 ≤ x < 6 e y =-2 ou y = 4. Observe a seguir: y

05. Considerando as relações binárias R1 e R2 do exercício anterior, represente R1 por meio do diagrama de flechas e R2 por meio do sistema cartesiano. RESOLUÇÃO

B10  Produto cartesiano e relações binárias

R1 no diagrama de flechas: A x

B 1

0 1

2 2 3

c) A representação de B × C no plano cartesiano é dada por um conjunto de pontos tais que -3 < x ≤ 4 e 2 ≤ y < 6. Observe a seguir:

324

Matemática e suas Tecnologias

R2 no sistema cartesiano:

3 4

2 1

R3 1

–1 –3

–2 –2

06. Obtenha o domínio e a imagem de cada uma das relações binárias a seguir: a) R1 = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, a), (3, c)}. b) A

RESOLUÇÃO a)

B 0

nn D(R2) = {0, 1, 3}. nn Im(R2) = {b, d, e}.

c) 3

nn D(R1) = {1, 2, 3}. nn Im(R1) = {a, b, c}.

nn D(R3) = ]-3, 6]. nn Im(R3) = ]-2, 4].

Exercícios de Fixação

02. Sendo A = {x ∈ IN | x < 7} e B = {x ∈ IN | 1 ≤ x ≤ 12}, determine: a) O número de elementos dos conjuntos A e B. n(A) = 7 e n(B) = 12 b) O número de elementos do conjunto A × B. 84 03. Dados os conjuntos A = {2, 3, 5} e B = {-2, 1}: a) Determine A × B e, em seguida, represente-o por meio do diagrama de flechas. b) Determine B × A e, em seguida, represente-o por meio do sistema cartesiano. 04. Dados os conjuntos A = {1, 3} e B = [-1, 5[, represente os seguintes produtos no plano cartesiano. a) A × B b) B × A 05. Dados os conjuntos A = [-2, 4[ e B = [1, 5[, represente os seguintes produtos no plano cartesiano. a) A × B b) B × A

06. (UFPA) Dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {a, b}, qual dos conjuntos abaixo é uma relação A em B? a) {(a, a), (b, b), (c, c)} b) {(a, a), (b, b), (b, c)} c) {(a, a), (b, b), (a, c)} d) {(a, a), (b, b), (a, b)} e) {(c, b), (b, c)} 07. Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, obtenha as seguintes relações binárias por meio do diagrama de flechas. a) R1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 3}. b) R2 = {(x, y) ∈ A x B | y = x2 – 1}. 08. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 4, 6}, obtenha as seguintes relações binárias por meio do plano cartesiano. a) R1 = {(x, y) ∈ A2 | y = x}. b) R2 = {(x, y) ∈ A2 | y = x2}. 09. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, obtenha: a) A relação R = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x – 1}. {(1, 1), (2, 3), (3, 5)} b) A representação de R no diagrama de flechas. c) O domínio e a imagem da relação R. D(R) = {1, 2, 3} e Im(R) = {1, 3, 5}

325

B10  Produto cartesiano e relações binárias

01. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {4, 5, 6} e C = {8, 9}, determine: a) A × B {(0, 4), (0, 5), (0, 6),(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} b) B × C {(4, 8), (4, 9), (5, 8), (5, 9), (6, 8), (6, 9)} c) C × A {(8, 0), (8, 1), (8, 2), (9, 0), (9, 1), (9, 2)} d) C2 {(8, 8), (8, 9), (9, 8), (9, 9)}

Matemática

Exercícios Complementares 01. (UFMT) Dados os conjuntos A e B tais que A × B = {(-1, 0), (2, 0), (-1, 2), (2, 2), (-1, 3), (2, 3)}. O número de elementos do conjunto A ∩ B é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02. (Puc SP) Os pares ordenados (2, 3), (3, 3) e (1, 4) são elementos do conjunto A × B. Então: a) (1, 3), (2, 4) e (3, 4) estão necessariamente em A × B. b) (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4) e (3, 4) estão necessariamente em A × B. c) (1, 1), (2, 2) e (4, 4) estão necessariamente em A × B. d) (3, 2) e (4, 1) estão necessariamente em A × B. e) Os elementos dados podem ser os únicos de A × B. 03. (Santa Casa SP) Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A × B tem 12 elementos, então A ∪ B pode ter, no máximo: a) 7 elementos b) 8 elementos c) 11 elementos d) 12 elementos e) 13 elementos 04. (Puc SP) Sejam M = {x ∈ IR | 0 ≤ x ≤ 5} e P = {x ∈ IR | 3 ≤ x ≤ 7}. y 7 6

5 4 3 2 1

B10  Produto cartesiano e relações binárias

O conjunto (M – P) x (P – M) é representado pela região: a) R1 b) R2 c) R3 d) R4 e) R1 ∪ R4 05. (UFRN) O jogo da velha tradicional consiste em um tabuleiro quadrado dividido em 9 partes, no qual dois jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada jogada). Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na diagonal, três de suas peças. Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em

326

homenagem ao criador da geometria analítica, René Descartes, consiste na construção de um subconjunto do plano cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o registro da sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em que um anotava suas jogadas com a cor azul e o outro, com a cor vermelha. Eles desistiram da partida sem perceber que um deles havia ganhado. ((1, 1), (2, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2)) Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor: a) vermelha, em sua terceira jogada. b) azul, em sua terceira jogada. c) vermelha, em sua quarta jogada. d) azul, em sua quarta jogada. 06. (UEPB) Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 5 – x e 3x elementos e A x B tem 8x + 2 elementos. Então, se pode admitir como verdadeiro que: a) A tem cinco elementos. b) B tem quatro elementos. c) B tem seis elementos. d) A tem mais de seis elementos. e) B tem menos de três elementos. 07. (Uel PR) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x, y) ∈ A x B | x é divisor de y}. Nessas condições, R é o conjunto: a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)} d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)} e) {(2,0), (2,2), (2,4)} 08. (Ufal AL) São dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos são elementos da relação R = {(x, y) ∈ A x B |x + y = 6}? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 09. Dada a relação binária M uma relação definida por: M = {(x, y) ∈ IΝ × IΝ | y + 3x = 10} Determine: a) O pares ordenados de M. {(0, 10), (1, 7), (2, 4), (3, 1)} b) O domínio e a imagem de M. D(M) = {0, 1, 2, 3} e Im(M) = {1, 4, 7, 10}

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B11

DEFINIÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES

ASSUNTOS ABORDADOS

Suponha que um determinado modelo de carro, durante uma viagem, consome, em média, 12,5 litros de gasolina para cada 100 km de distância percorrida.

nn Definição e representação de

Assim, podemos estabelecer uma relação entre o volume V, em litros, de gasolina consumida e a distância percorrida d, em quilômetros, por meio da seguinte regra de três simples. Volume (litros)

Distância percorrida (km)

12,5

100

funções

nn Definição nn Linguaguem das funções nn Aplicações de funções

Resolvendo a regra de três, temos que: 100V = 12,5d ⇒ V = 0,125d

Distância percorrida (km)

Volume (litros)

0,25

0,50

1,00

2,00

4,00

Figura 01 - Dependendo da velocidade adotada e do perfil de estrada, o consumo de combustível pode aumentar. Por exemplo, um modelo de carro brasileiro, com tanque de 48 litros de capacidade, garante autonomia de 422 km a 120 km/h, mas sobe para 619 km a 100 km/h.

Fonte: iSine/Shutterstock.com

A lei matemática V = 0,125d é um exemplo de função em que a grandeza V depende da grandeza d. Observe a tabela a seguir:

327

Matemática

Definição Dados dois conjuntos A e B não vazios e uma relação binária f de A em B. A relação binária f será uma função de A em B se, e somente se, cada x ∈ A está associado a um único elemento y ∈ B. Por exemplo: (I) Dados os conjuntos A = {-1, 0, 2, 5} e B = {-3, 0, 1, 3} e a relação binária f1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 1}, verifique se f1 é uma função de A em B. nn Para

x = -1, temos que y = -1 + 1 = 0.

nn Para

x = 0, temos que y = 0 + 1 = 1.

nn Para

x = 2, temos que y = 2 + 1 = 3.

nn Para

x = 5, temos que y = 5 + 1 = 6.

nn Assim,

(III) Dados os conjuntos A = {-2, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 3, 4, 6} e a relação binária f3 = {(x, y) ∈ A x B | y = x2}, verifique se f3 é uma função de A em B. nn Para x = -2, temos que y = (-2)2 = 4. nn Para

x = 0, temos que y = 02 = 0.

nn Para

x = 1, temos que y = 12 = 1.

nn Para

x = 2, temos que y = 22 = 4.

nn Assim,

temos que f3 = {(-2, 4), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}.

No diagrama de flechas, temos:

–2

1 2

No diagrama de fechas, temos:

4 7

2 B

–1

–3

Note que existe x ∈ A (x = 5) que não está associado a nenhum valor de y ∈ B. Assim, a relação binária f1 de A em B, expressa pela lei matemática, y = x + 1 não é uma função de A em B. (II) Dados os conjuntos A = {2, 6} e B = {1, 2, 5} e a relação binária f2 = {(x, y) ∈ A x B | y < x}, verifique se f2 é uma função de A em B. nn Para

temos que f1 = {(-1, 0), (0, 1), (2, 3)}.

Note que cada x ∈ A está associado a um único elemento de y ∈ B. Nesse caso a relação binária f3 de A em B, expressa pela lei matemática y = x2, é uma função de A em B.

Linguaguem das funções Já sabemos que, dados dois conjuntos A e B não vazios, a função f de A em B é uma relação binária na qual cada elemento x ∈ A se relaciona com um único elemento y ∈ B. Assim, dados os conjuntos: nn A

= {1, 2, 3} = {0, 2, 4, 6, 8} nn f = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x} nn B

No diagrama de flechas, temos:

x = 2, temos que y = 1.

nn Assim,

temos que f2 = {(2, 1), (6, 1), (6, 2), (6, 5)}.

0 2

No diagrama de flechas, temos: A

nn Para x = 6, temos que y = 1, y = 2 e y = 5.

6 f2

1 3

B11  Definição e representação

2 2 6 5

Logo, a relação binária f de A em B, expressa pela lei matemática y = 2x, é uma função de A em B. Daí, temos que f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} e define-se que:

Note que existe x ∈ A (x = 6) do conjunto A está associado a três valores de y ∈ B. Assim, a relação binária f2 de A em B, expressa pela lei matemática y < x, não é uma função de A em B. 328

nn O

conjunto A = {1, 2, 3} do exemplo é chamado de domínio da função f e é indicado por D(f).

nn O

conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8} do exemplo é chamado de contradomínio da função f e é indicado por CD(f).

Matemática e suas Tecnologias

elemento y ∈ B associado ao elemento x ∈ A por meio da função f é chamado de imagem de x pela função f e é indicado por y = f(x) (lê-se y é igual a f de x). No exemplo, temos que:

nn Cada

nn y

= 2 é imagem de x = 1 pela função f, logo f(1) = 2.

nn y

= 4 é imagem de x = 2 pela função f, logo f(2) = 4.

nn y

= 6 é imagem de x = 3 pela função f, logo f(3) = 6.

Aplicações de funções O Índice de Massa Corporal (IMC) é um parâmetro capaz de classificar se uma pessoa adulta é considerada gorda, obesa, normal ou abaixo do peso. Esse índice é o resultado obtido por meio da razão entre a massa em quilogramas e o quadrado da altura, em metros, de uma pessoa, nessa ordem. Simbolicamente, temos:

nn O conjunto cujos elementos y ∈ B que são as imagens dos

elementos x ∈ A é chamado de imagem da função f e é indicado por Im(f). No exemplo, temos que Im(f) = {2, 4, 6}. nn Note

que Im(f) ⊂ CD(f) para toda função f.

nn Para

indicar que f é uma função de A em B, vamos utilizar a notação f: A → B (lê-se: f de A em B). No exemplo, podemos escrever que f: {1, 2, 3} → {0, 2, 4, 6, 8} definida por y = f(x) = 2x.

IMC=

A utilização desse índice é muito comum entre os profissionais que trabalham com a saúde do corpo, tais como: médicos, fisioterapeutas e educadores físicos. A seguir, temos a tabela de valores utilizada para fazer essa classificação.

De maneira geral, podemos utilizar a seguinte linguagem:

f : A → B  y = f(x)

f : A → B  x → y B

f x

y = f(x)

Peso (Altura)2

IMC

Classificação

Abaixo de 18,5

Abaixo do peso

Entre 18,6 e 24,9

Peso ideal

Entre 25,0 e 29,9

Levemente acima do peso

Entre 30,0 e 34,9

Obesidade grau I

Entre 35,0 e 39,9

Obesidade grau II (severa)

Acima de 40

Obesidade III (mórbida)

Já sabemos que toda função é definida mediante uma lei de formação com o objetivo de relacionar dois conjuntos. Assim, as funções são capazes de expressar situações do cotidiano generalizando problemas por meio de fórmulas. Note que o valor do IMC é uma função da massa e da altura de uma pessoa. Nesta aula, abordaremos as aplicações das funções em algumas situações do nosso cotidiano. Observe os exercícios resolvidos a seguir.

EXEMPLOS

B 0

1 f

2 4 2 6 8 4

Determine: a) D(f) b) CD(f) c) Im(f) d) f(1) e) O valor dex tal que f(x) = 6

RESOLUÇÃO a) b) c) d) e)

D(f) = {1, 2, 4} CD(f) = {0, 2, 4, 6, 8, 10} Im(f) = {4, 6, 10} f(1) = 4 f(2) = 6 ⇒ x = 2.

02. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3}, determine a imagem da função f: A → IN definida por f(x) = x2 + 2x. RESOLUÇÃO

B11  Definição e representação

01. Na figura a seguir, temos um diagrama de flechas que representa uma função f de A em B.

nn Para x = 0, temos f(0) = 02 + 2 ⋅ 0 = 0. nn Para x = 1, temos f(1) = 12 + 2 ⋅ 1 = 3. nn Para x = 2, temos f(2) = 22 + 2 ⋅ 2 = 8. nn Para x = 3, temos f(3) = 32 + 2 ⋅ 3 = 15. Portanto, a imagem de f é Im(f) = {0, 3, 8, 15}. 03. Dada a função f: IR → IR definida por f(x) = x2 – 5x + 7, determine: a) f(-3). b) Os valores de x para quais f(x) = 7.

329

Matemática

f(1) = a + b + 5 = 4 ⇒ a + b = −1.

RESOLUÇÃO

Fazendo x = −2 em f(x) = ax3 + bx + 5, temos que:

f(−2) = −8a – 2b + 5 = −5 ⇒ −8a – 2b = −10.

f(-3) = (-3)2 – 5 ⋅ (-3) + 7 = 9 + 15 + 7 f(-3) = 31

Daí, temos o seguinte sistema:

a + b =-1  -10 -8a - 2b =

x2 - 5x + 7 = 7 x2 - 5x = 0 x ⋅ (x - 5) = 0 x = 0 ou x = 5.

Multiplicando a primeira equação por 2, temos:

04. Supondo que a população P, em milhares, de uma pequena cidade da6 , determine: qui x anos será dada por P = 11 x +2 a) Sua população daqui a oito anos. b) O número de anos para que a população seja de 10 600 pessoas.

-2 2a + 2b =  -10 -8a - 2b =

Somando as duas equações membro a membro, temos: 2a – 8a + 2b – 2b = −2 – 10 ⇒ − 6a = −12 ⇒ a = 2 Substituindo a = 2 na primeira equação, temos:

RESOLUÇÃO a) Fazendo x = 8 em P = 11 -

2 + b = −1 ⇒ b = −3 Portanto, a = 2 e b = -3.

6 , temos: x +2

06. Uma função f: IR → IR satisfaz às seguintes condições:

6 P = 11 =11 - 0,6 =10,4 8+2 Portanto a população será de 10 400. 6 b) Fazendo P = 10,6 em P = 11 , temos: x +2 6 6 6 10,6 = 11 ⇒ = 0,4 ⇒ x + 2 = 0,4 x +2 x +2

nn f(x + 2) = 2f(x) + f(3) nn f(5) = 12 Determine o valor de: a) f(3). b) f(7). RESOLUÇÃO

x + 2 = 15 ⇒ P = 13 Portanto o número de anos é 13.

a) Fazendo x = 3 em f(x + 2) = 2f(x) + f(3), temos:

05. Considere a função f: IR → IR dada por f(x) = ax3 + bx + 5, com a ∈ IR e b ∈ IR. Calcule os valores de a e b sabendo-se que f(1) = 4 e f(−2) =−5.

f(5) = 2 ⋅ f(3) + f(3) ⇒ 12 = 3 ⋅ f(3) ⇒ f(3) = 4 Portanto, f(3) = 4 b) Fazendo x = 5 em f(x + 2) = 2f(x) + f(3), temos:

RESOLUÇÃO

f(7) = 2 ⋅ f(5) + f(3) ⇒ f(7) = 2 ⋅ 12 + 4 ⇒ f(7) = 28. Portanto, f(7) = 28.

Fazendo x = 1 em f(x) = ax3 + bx + 5, temos que:

Exercícios de Fixação 01. Verifique, justificando sua resposta, quais diagramas de flechas, a seguir, representam uma função de A em B. a) A

4 7 10 13 16

3 4

B11  Definição e representação

b) A

–2 –3

3 4 5 6 7

4 8 12 16 20

–2 h 0 1 2

d) A

B –1

330

c) A

B 2

B –3

1/3

–2

1/4

–1

1/5

02. Escreva a lei de formação que define cada uma das funções a seguir: a) f é a função que associa cada número natural x ao seu sucessor. f(x) = x + 1 b) g é a função que associa cada número inteiro x ao seu triplo menos 7. g(x) = 3x – 7 c) h é a função que associa cada número real x ao seu cubo mais o seu dobro. h(x) = x3 + 2x 03. Dada a função f: IR → IR definida por f(x) = x3 + 3x – 1, determine: a) f(2) 13 b) f(-3) -37

5x - 1 , determine 4 o valor de x do domínio que tem imagem 11/8. 13/10

04. Seja g: IR → IR a função definida por f(x) =

Gabarito questão 01 a) É uma função, pois cada elemento x ∈ A possui uma única imagem y ∈ B. b) Não é uma função, pois existe um elemento x ∈ A que possui mais de uma imagem y ∈ B. c) É uma função, pois cada elemento x ∈ A possui uma única imagem y ∈ B. d) Não é uma função, pois existe um elemento x ∈ A que não possui imagem y ∈ B.

Matemática e suas Tecnologias

05. Considere a função f: A → B dada pelo diagrama de flechas a seguir. A

B 6

3 6

7 9 8 9

12 15

Nessas condições, determine: a) O domínio de f. D(f) = {6, 7, 8, 9} b) O contradomínio de f. CD(f) = {3, 6, 9, 12, 15} c) A imagem de f. Im(f) = {3, 6, 9, 15} d) O valor de f(9). 15 e) O valor de x para f(x) = 6. 7 06. Considere a função f: IR → IR definida por f(x) = ax3 + bx, sendo a e b constantes reais. Calcule os valores de a e b sabendo-se a = −1 e b = 6 que f(2) = 4 e f(−1) = −5. 07. Sabendo que o custo C, em reais, de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função a) R$ 1.457,00 e b) R$ 3.200,00 C(x) = x3 – 30x2 + 500x + 200, calcule: a) O custo de produção de 3 unidades do produto. b) O custo de produção de 10 unidades do produto.

08. Em uma fábrica de roupas, o número N de calças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado pela seguinte função: 2 5 ⋅ (t + t), 0 ≤ t < 4 N(t) =  20 ⋅ (t + 1), 4 ≤ t ≤ 8 Nessas condições, responda os itens a seguir: a) 60 e b) 20 a) Qual é o número de calças produzidas nas primeiras três horas de trabalho? b) Qual é o número de calças produzidas durante a sexta hora de trabalho? 09. Considere uma função f: IR → IR que possui as seguintes propriedades: nn f(x + 1) = f(x) + 5 nn f(3) = 14

Calcule: a) 19 e b) 9 a) f(4). b) f(2). 10. Considere uma função f: IR → IR que possui as seguintes propriedades: nn f(4x) = 4 ⋅ f(x) nn f(4) = −28

Calcule a) −112 e b) −7 a) f(16). b) f(1).

Exercícios Complementares

02. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-1, 0, 1, 2, 3} e g = {(x, y) ∈ A x B | y = x2 – 1}. Construa o seu diagrama de flechas e, em seguida, verifique se g é uma função. É uma função 03. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}

04. (UFPA) Dada a função f de A = {0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2} definida por f(x) = x – 1, qual o conjunto imagem de f? a) {-1, 0, 1} b) {-2, -1, 0, 1, 2} c) {0, 1, 2} d) {-2, -1, 0} e) {0, -1, 2}

f(x) 05. Dada a função =

1 1 + , determine: x -2 x -3

a) O valor de f(6). 7/12 b) O valor de x para que f(x) = 5/6. 5 06. (Uel PR) Seja IN = {0, 1, 2, 3,...}. Se n ∈ IN, qual das regras de associação a seguir define uma função de IN em IN? a) n é associado a sua metade. b) n é associado a seu antecessor. c) n é associado ao resto de sua divisão por 7. d) n é associado a p tal que p é primo e p < n. e) n é associado a m tal que m é múltiplo de n.

331

B11  Definição e representação

01. (Cescem SP) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função ou aplicação de A em B quando todo elemento de: a) B é imagem de algum elemento de A. b) B é imagem de um único elemento de A. c) A possui somente uma imagem em B. d) A possui, no mínimo, uma imagem em B. e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa.

Matemática

07. Considere a função h: IR → IR dada por lei h(x) = x2 + bx + c, sendo

11. Considere uma função f que possui as seguintes proprieda-

b e c constantes reais. Calcule os valores de b e c sabendo-se

des:

que h(1) = −1 e h(−1) = −7.

nn f(x + 2) = x ⋅ f(x) nn f(3) = 8

b = 3 e c = −5

08. (Enem MEC) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente,

Calcule: a) 24 e b) 120 a) f(5). b) f(7). 12. (Uerj RJ) O peso P de um objeto, a uma altura h acima do nível do mar, satisfaz a função:

representadas pelas equações:

 r  = P(h)   ⋅ P0  h+r 

QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P

manda e P é o preço do produto.

em que: nn P0 é peso do objeto ao nível do mar nn r é o raio da Terra.

A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os econo-

Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto se encon-

mistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja,

tra a uma altura h1. Calcule, em função de r, o valor de h1. h1 = r/9

em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de de-

quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?

13. (Unesp SP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em horas), a dis-

a) 5

tância que falta percorrer até o destino é dada, em dezenas de

b) 11

quilômetros, pela função D, definida por:

c) 13

 t+7  -1 D(t) = 4 ⋅ 2  t +1 

d) 23 e) 33 09. Sabendo que a população P, em milhares, de uma pequena cidade, daqui a x anos, será dada pela função a seguir, responda:

P(x) = 30 -

8 x +1

Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a distância, em média, por hora, que o carro percorreu, em km, foi: a) 40 b) 60 c) 80 d) 100

a) Qual será a população após 3 anos? a) 28 000 e b) 9 b) Daqui quantos anos a população terá 29200 pessoas? 10. (Enem MEC) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão t2 - + 400 , com t em minutos. Por motivos de seguranT(t) = 4 ça, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno B11  Definição e representação

atinge a temperatura de 39 °C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0 332

e) 120 14. (Espm SP) Uma função f é definida apenas para números natuf(n - 1) para n > 1. rais, de modo que f(0) = 8, f(1) = 2 e f(n) = f(n - 2) O valor de f(50) é: a) 1/8 b) 1/4 c) 8 d) 2 e) 1 15. (FGV SP) Dada a função f(x) = x2 + 3, qual o valor da expressão f(x + h) - f(x) ? h a) 2x b) 2x + 1 c) 2x – h d) 2x – 1 e) 2x + h

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B12

ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL De acordo com as últimas pesquisas, o número total de compras efetuadas com cheques utilizados no Brasil vem caindo e o uso de cartões de crédito está cada vez maior. Nas compras de consumidores domésticos, o uso do cartão já superou o do cheque como meio de pagamento.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Estudo do domínio de uma fun-

ção real

nn Domínio de uma função real nn Funções iguais

De olho nessa tendência, o gerente de um pequeno supermercado resolveu fazer uma pesquisa entre os clientes cadastrados em seu sistema para saber qual dessas formas de pagamento eles preferem utilizar. Nessa situação, apenas os clientes cadastrados em seu sistema farão parte da pesquisa, ou seja, o campo de existência dessa pesquisa está restrito a apenas esses clientes. No estudo das funções reais, existem algumas restrições que devem ser observadas para garantir sua existência. Tais restrições são conhecidas como condições de existência, campo de existência ou domínio da função. Nesta aula, abordaremos as restrições que garantem a existência das funções reais.

Domínio de uma função real

Fonte: Teerasak Ladnongkhun/Shutterstock.com

Para que uma função f: A → B esteja bem definida temos que conhecer a lei de formação y = f(x), o conjunto domínio A e o conjunto contradomínio B. Entretanto, é comum encontrar uma função f expressa apenas por sua de lei de formação.

Figura 01 - A participação de cartões no faturamento do varejo passou de 32,5% para 33,3% entre 2014 e 2015. Sendo que cresceu apenas a parcela das vendas feitas com cartão de débito, enquanto a do cartão de crédito ficou estável. É o que aponta estudo da Federação do Comércio, Bens, Serviços e Turismo do Estado de São Paulo (Fecomercio SP).

333

Matemática

Nesse caso, vamos convencionar que: nn O domínio de f é um subconjunto dos reais no qual todas as operações indicadas

na lei de formação são possíveis no conjunto dos reais. Simbolicamente, temos: D(f) = A = {x ∈ IR | f(x) ∈ IR}

nn O

contradomínio de f é o conjunto dos reais. Simbolicamente, temos: CD(f) = B = IR

Nessa situação, a função f é denominada função real de variável real, ou simplesmente, função real. O domínio de uma função também pode ser chamado de condição de existência ou campo de existência. Por exemplo: Determine o domínio das seguintes funções reais. função f(x) = x2 + 5, f(x) é um número real para todo x ∈ IR. Portanto, o domínio de f é D(f) = IR. 5x - 1 , f(x) é um número real para x ∈ IR tal que x – 3 ≠ 0. nn Na função f(x) = x -3 Portanto, o domínio de f é D(f) = IR – {3}. nn Na função f(x) = x - 6, f(x) é um número real para x ∈ IR tal que x – 6 ≥ 0. Portanto, o domínio de f é D(f) = [6, ∞[. -x + 8 , f(x) é um número real para x ∈ IR tal que x – 2 > 0. Portanto, nn Para f(x) = x -2 o domínio de f é D(f) = ]2, ∞[. nn Na

Funções iguais As funções f: A → B e g: C → D são iguais se, e somente se, satisfazem as seguintes condições: nn O

domínio de f é igual ao domínio de g, ou seja, A = C. contradomínio de f é igual ao contradomínio de g, ou seja, B = D. nn f(x) = g(x) para todo x do domínio. nn O

EXEMPLOS

B12  Estudo do domínio de uma função real

= 01. Determine o domínio da função real f(x)

RESOLUÇÃO

x + x - 5. x -2

f(x) = x – 2, ∀ x ∈ IR.

RESOLUÇÃO

x - 2 > 0 f(x)∈IR ⇔  x - 5 ≥ 0 Daí, temos que: x > 2 e x ≥ 5 ⇒ x ≥ 5. Portanto, D(f) = {x ∈ IR | x ≥ 5}.

x2 - 4 02. Verifique se as funções reais dadas por f(x) = x – 2 e g(x) = x +2 são iguais.

334

g(x) =

x 2 - 4 (x + 2).(x - 2) = = x - 2, para x ≠ -2. x +2 x +2

Note que: As leis de formação das funções f e g são iguais. D(f) = IR e D(g) = IR – {–2}. Portanto, as funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Determine o domínio das seguintes funções reais. 5x a) IR – {4} b) IR – {±3} c) IR – {–1, 5} a) f(x) = x-4 2x - 1 b) fx) = 2 x -9 1 x2 c) f(x) = x - 5 x +1

x - 8 4x x+7

b) g(x) = c) g(x) = a) [8, ∞[

x +2 x

b) ]–7, ∞[

a) h(x) = b) h(x) =

x +3 2 - - x + 6 x +1 x -5 -3

c) h(x) =

2x -x - 6 1 + 2 + 2x - 8 x -9 x -2

a) [–2, 6]

b) ]14, ∞[

c) ]2, ∞[ – {±3, 4}

04. Verifique se as funções a seguir são iguais. x 2 - 25 a) f(x) = x + 5 e g(x) = x -5 3x 3 + 6x b) f(x) = 3x e g(x) = 2 x +2

02. Determine o domínio das seguintes funções reais. a) g(x) =

03. Determine o domínio das seguintes funções reais.

a) não são iguais b) são iguais

c) [–2, ∞[ – {0}

Exercícios Complementares 01. Qual o conjunto domínio da função real f(x) = IR – {3, 4}

x +1 ? x - 7x + 12 2

02. (UFTM MG) O domínio da função real dada por

3 - 2x é o conjunto: x -1

a) {x ∈ IR | x ≤ 3/2 e x ≠ 1} b) {x ∈ IR | 1 < x ≤ 3/2} c) {x ∈ IR | x ≠ 1} d) {x ∈ IR | x > 1} e) {x ∈ IR | x ≥ 3/2} 03. (Mackenzie SP) Sendo os números reais a e b são tais que a + bx + 4 a função f(x) = tem domínio IR – {-2} e f(1) = -2, ax - 2b então a ⋅ b é igual a:

07. (Unimontes MG) O domínio da função real, definida por 3-2x f(x) = , é o conjunto: x-1   3 a) x ∈ IR - ≤ x < 1 . 2    3 b) x ∈ IR 1 < x ≤  . 2 

a) 4/7 b) 7/6 c) 5/6

  3 c) x ∈ IR x ≤ e x ≠ 1 . 2  

d) -5/9 e) -4/9 04. Determine f(x) =

junto dos números racionais. O número total de soluções reais da equação f(x) = 7 é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

B12  Estudo do domínio de uma função real

f(x) =

06. (Ibmec SP) A função f, de domínio real, é dada pela lei x 2 - 2x + 5, se x ∈ Q f(x) =  , em que Q representa o conse x ∉ Q 3x , 

domínio

imagem

função

  3 d) x ∈ IR x ≥ e x < 1 . 2  

x -5 + x -9 .

D(f) = [9, ∞[ e Im(f) = [2, ∞[

05. (Puc SP) Qual o domínio da função real f(x) = -(x 3 - 1)2 ? {1}

335

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Unicid SP) Observe o que segue:

04. (UFRN) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção cuja figura representa o produto cartesiano K × K.

y A C D

a) y

c) y

B E

O menor caminho para se ir do ponto A(1, 3) até o ponto E(9, -1) passa, necessariamente, pelo ponto B sobre o eixo x, tal como a figura. Sabendo-se que CD = DE e que A, B e E são colineares, então o comprimento do menor caminho de A até C, passando por B, é:

b) y

d) y

a) 4 5

b) 5 5

c) 6 5

d) 7 5 e) 8 5 02. (UFMG) Seja P(a, b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0, 0), (2, 0), (0, 2) e (2, 2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta figura: y 2 IV

III P

b I

II a

Considere o ponto Q

(

)

a2 + b2 , ab . Então, é correto afirmar

que o ponto Q está na região: a) I b) II c) III d) IV 03. (UFV MG) Os pares ordenados (1, 2), (2, 6), (3, 7), (4, 8) e (1, 9) pertencem ao produto cartesiano A × B. Sabendo-se que A × B tem 20 elementos, é correto afirmar que a soma dos elementos de A é: a) 9 b) 11 c) 10 d) 12 e) 15 336

05. (Puc RS) Seja R a relação de A = {x ∈ Z | -3 < x ≤ 5} em B = {x ∈ Z | -2 ≤ x < 4}, definida por x 2 = (y – 1) 2 com x ∈ A e y ∈ B. O conjunto imagem de R é: a) {x ∈ Z | -2 < x < 4} d) {x ∈ Z | -3 < x < 5} b) {x ∈ Z | -2 ≤ x < 4} e) {x ∈ Z | -3 < x ≤ 5} c) {x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 4} 06. (Ufu MG) Considerando a relação R = {(a, b) ∈ IN x IN | a + 2b = 6}, então o domínio e a imagem de R-1 são, respectivamente: a) IN e IN b) {0, 1, 2} e {2, 4, 6} c) {0, 1, 2, 3} e {0, 2, 4, 6} d) {0, 2, 4, 6} e {0, 1, 2, 3} e) {0, 1, 2, 3} e {0, 1, 2, 3} 07. (UFRN) O conjunto imagem da função f: IR → IR, definida por 1 f(x) = , contém o elemento: 1 + x2 a) -2 b) 0 c) 1/2 08. (UECE) Se f(x) = a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

d) 2 e) 5 3 + 2x , então f 

( 2 ) + f ( - 2 )

é igual a:

Matemática e suas Tecnologias

09. (Uerj RJ) O peso P de um objeto, a uma altura h acima do nível do mar, satisfaz a função: 2

 r  = P(h)   ⋅ P0  h+r 

nn r é o raio da Terra.

Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto se encontra a uma altura h1. Calcule, em função de r, o valor de h1. h1 = r/9 10. (Unesp SP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em horas), a distância que falta percorrer até o destino é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D, definida por:  t+7  -1 D(t) = 4 ⋅ 2  t +1  Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a distância, em média, por hora, que o carro percorreu, em km, foi: a) 40 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 11. (UFTM MG) Sejam p e q inteiros positivos com p > q, e f uma função de f: IR+ → IR tal que f(x) = x. Nessas condições, o valor nup-q é igual a: f(p) - f(q)

c) f(p) + f(q) d) f(p) – f(q) e) f(p) ⋅ f(q) 12. (UFRJ) Considere a função real f, tal que f(x + 1) – f(x) = 2x, para todo x ∈ IR. Determine o valor de f(7) – f(3). 36 {1}

14. (UFSM RS) Seja f: A → IR, com A ⊂ IR, uma função definida por 1 + -2x 2 + 3x + 2 . Então, o domínio da função f é: 2x + 1 a) IR – {-1/2} b) [-4, -1/2[ ∪ ]-1/2, 1] c) IR – {-1/2, 2} d) ]-∞, -1/2[ ∪ [2, ∞[ e) ]-1/2, 2]

17. (IF RS) Considerando uma função f : A B qualquer, observe as afirmações abaixo. I. Para um certo x ∈ A, pode-se ter f(x) = a e f(x) = b onde a ≠ b. II. Para um certo y ∈ B, pode-se ter f(a) = y e f(b) = y onde a ≠ b. III. Para cada y ∈ B, existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y.

18. (Enem Mec) Um curso preparatório oferece aulas de 8 disciplinas distintas. Um aluno, ao se matricular, escolhe de 3 a 8 disciplinas para cursar. O preço P, em reais, da mensalidade é 1680 calculado pela fórmula P(n) , onde n é o núme= 980 n ro de disciplinas escolhidas pelo aluno. Alex deseja matricular seu filho Júlio e, consultando seu orçamento familiar mensal, avaliou que poderia pagar uma mensalidade de, no máximo, R$ 720,00. O número máximo de disciplinas que Júlio poderá escolher ao se matricular nesse curso, sem estourar o orçamento familiar, é igual a: a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 337

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

b) p ⋅ f(q) + q ⋅ f(p)

f(x) =

16. (FGV RJ) Considere a função f, cujo domínio é o conjunto dos 3n - 98 . Para números inteiros não nulos, definida por f(n) = n alguns valores inteiros de n, o valor correspondente f(n) também é um número inteiro e, para outros, não. Por exemplo, 3 × (-1) - 98 -101 para n = –1, tem-se f(-= 1) = = 101 , mas, -1 -1 3 × 3 - 98 -89 para n = 3, tem-se , que não é um nú= f(3) = 3 3 mero inteiro. O número de valores inteiros de n para os quais o valor de f (n) também é um número inteiro é: a) 14 b) 12 c) 13 d) 10 e) 11

Quais são corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e II. e) I, II e III.

a) p ⋅ f(p) + q ⋅ f(q)

13. (Puc SP) Qual o domínio da função real f(x) = -(x 3 - 1)2 ?

f(x) - 5 = x, = é correto afirmar que o domínio de f é: f(x) + 1 a) IR* b) IR+ c) IR d) IR – {5} e) IR – {1}

Onde: nn P0 é peso do objeto ao nível do mar

mérico de

15. (Unifor CE) Se f é uma função real de variável real, tal que

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FRENTE

Ilustração de Apolônio de Tiana.

MATEMÁTICA Por falar nisso A invenção das curvas: elipse, hipérbole e parábola foi inicialmente atribuída ao matemático Menaecmus, discípulo do matemático Eudoxo, por volta de 350 a.C. Essas curvas foram mecanicamente construídas por ele e foram utilizadas na resolução do clássico problema de Delos envolvendo a duplicação do cubo. Porém, foi o matemático de origem grega, Apolônio de Tiana (15 d.C. – 100 d.C.), que obteve essas curvas por meio das intersecções planas extraídas de uma superfície cônica. Os nomes elipse, hipérbole e parábola, utilizados por Apolônio para designar tais curvas, foram extraídas de uma terminologia pitagórica específica para áreas.

Ilustração das secções cônicas de Apolônio.

Várias são as aplicações científicas e cotidianas dessas curvas. No caso da parábola, além de ser a representação gráfica de uma função polinomial do 2º grau, também temos várias aplicações importantes nos faróis de carros, nas antenas parabólicas, nos lançamento de projéteis etc. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C09 C10 C11 C12

Função quadrática – Vértice da parábola......................................340 Função quadrática – Estudo do sinal.............................................344 Função quadrática – Inequações...................................................347 Função exponencial – Definição e gráficos...................................351

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C09

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função quadrática – vértice da

parábola

nn Vértice da parábola nn Imagem, crescimento e decrescimento

FUNÇÃO QUADRÁTICA – VÉRTICE DA PARÁBOLA Não é novidade para ninguém que vários brasileiros buscam o sucesso no exterior chutando uma bola de futebol. O paulista Cairo Santos, de 24 anos, não é diferente. No entanto, a bola que ele chuta tem forma um pouco diferente da nossa, ou seja, ela é oval. Em 2014, esse jogador nascido em Limeira-SP se tornou o primeiro brasileiro a disputar um jogo da NFL National Football League (em português: Liga Nacional de Futebol Americano), principal liga de futebol americano do mundo. Hoje, em seu terceiro ano como kicker do Kansas City Chiefs, ele se tornou ídolo dos vários brasileiros que acompanham esse esporte. Atualmente, é embaixador do futebol americano e da liga em solo brasileiro, incentivando a prática do futebol da bola oval. Suponha que durante um jogo de futebol americano, o brasileiro Cairo Santos tenha feito um kickoff (chute inicial) e a trajetória da bola oval seja descrita pela função h(t) = -3t2 + 9t, sendo t o tempo, em segundos, e h a altura da bola, em metros, no instante t. Para se determinar a altura máxima alcançada pela bola, temos que obter a ordenada de um ponto muito importante da parábola que representa graficamente a função h. Nesta aula, abordaremos esse ponto denominado vértice da parábola.

Vértice da parábola

Figura 01 - Apesar do termo bola se referir aos corpos sólidos esféricos, a "bola" neste caso é oval. A bola de futebol americano usada nos Estados Unidos e Canadá é geralmente feita de couro bovino. As bolas usadas em ligas juvenis são feitas de borracha ou plástico.

340

Fonte: bertoncelj / Shutterstock.com

Sabendo que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ou coincidente com o eixo das ordenadas, vamos agora obter as coordenadas do vértice dessas parábolas.

Matemática e suas Tecnologias

Na figura a seguir, temos a representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + c. Nessa parábola, em que as coordenadas do vértice são dada por V(xV, yV), vamos considerar dois pontos A e B simétricos em relação a seu eixo de simetria.

tos convenientes. Tais pontos são: as intersecções da parábola com o eixo das abscissas (raízes reais quando houverem), a intersecção com o eixo das ordenadas (termo independente) e as coordenadas do vértice (ponto de ordenada máxima ou mínima). Por exemplo: Esboçar o gráfico da função f(x) = x2 – 4x – 5. nn Raízes:

x’ = 5 e x” = -1.

nn Termo

independente: c = -5.

-4 b ∆ (-4)2 - 4.1.(-5) - = = 2 e yv = - = = -9 nn x v = 2a 2 ⋅1 4a 4.1 nn Portanto,

V(2, -9).

Observe o gráfico a seguir:

Assim, de acordo com essa figura, temos que: nn xA

= xv – k e xB = xv + k, para todo k real positivo.

nn f(xA)

= f(xB) ⇒ f(xv – k) = f(xv + k).

Substituindo de f(x) = ax2 + bx + c, temos que: a(xv– k)2 + b(xv– k) + c = a(xv+ k)2 + b(xv+ k) + c Desenvolvendo os quadrados e, em seguida, reduzindo os termos semelhantes, temos que:

Imagem, crescimento e decrescimento

b 2a

Para se obter yv, basta substituir xv na função f. Assim, temos que: 2  b  b yv = f(xv) = a -  + b  -  + c  2a   2a  Desenvolvendo essa expressão, temos que: yv = f(xv) =

O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c, com a ≠ 0 é uma parábola com a concavidade voltada para cima (a > 0) ou com a concavidade voltada para baixo (a < 0). Assim, vamos considerar dois casos. 1º caso: a > 0

b2 b2 -b2 + 4ac - +c = 4a 2a 4a

Daí, temos que: yv = f(xv) =

- (b2 - 4ac ) 4a

∆

⇒ y v = - 4a

Portanto, o vértice da parábola é o ponto V dado por:

∆  b V  - ,-   2a 4a  Observação: nn É possível esboçar o gráfico de uma função quadrática

analisando sua concavidade e escolhendo alguns pon-

Analisando esse gráfico, temos que: nn Quando x = xv, a função tem um valor mínimo igual a yv. nn A

função é crescente para todo x ≥ xV.

nn A

função é decrescente para todo x ≤ xV.

nn A

imagem da função é {y ∈ IR | y ≥ yV}. 341

C09  Função quadrática – vértice da parábola

-4abxv = 2bk ⇒ x v = -

Matemática

2º caso: a < 0

nn A

função é crescente para todo x ≤ xV. nn A função é decrescente para todo x ≥ xV. nn A imagem da função é {y ∈ IR | y ≤yV}. Observações: nn Quando

a parábola tem a concavidade voltada para cima, dizemos que a ordenada do vértice (yV) é o valor mínimo de f.

nn Quando

a parábola tem a concavidade voltada para baixo, dizemos que a ordenada do vértice (y V) é o valor máximo de f.

Analisando esse gráfico, temos que: nn Quando x = xv, a função tem um valor máximo igual a yv.

nn A abscissa do vértice (xv) também pode ser determinada

pela média aritmética das raízes, ou seja, x v =

x'+ x" . 2

EXEMPLOS 01. Determine as coordenadas do vértice da parábola do gráfico da função f(x) = x2 – 4x – 13. RESOLUÇÃO

-4 b - = = xv = 2 2a 2.1

RESOLUÇÃO Observe por meio do esboço do gráfico de L(x) que o valor de x que produz o lucro máximo é o xv.

b 800 xv = - = = 40 2a 2.(-10)

(-4)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (-13) yv = = -17 4 ⋅1 Daí, o vértice da parábola é o ponto V(2, -17). 02. Determine o conjunto imagem da função quadrática f(x) = -2x2 – 4x + 3. RESOLUÇÃO Como a =-2 < 0, então a concavidade da parábola do gráfico da função está voltada para baixo. Assim, a maior ordenada desse gráfico é a ordenada do seu vértice. Logo, a imagem da função é {y ∈ IR | y ≤ yV}. (-4)2 - 4 ⋅ (-2) ⋅ 3 = yv = 5 4 ⋅ (-2)

C09  Função quadrática – vértice da parábola

Portanto a imagem é dada por Im = {y ∈ IR | y ≤ 5}. -4 = -1, observe o esboço do gráfico de f abaixo. Sendo, x v = 2.(-2)

Portanto, para se obter o lucro máximo devem ser fabricadas e vendidas 40 unidades do produto. 04. O saldo S, em milhares de reais, de uma conta bancária é dado por S(x) = x2 - 11x + 42, sendo x (0 ≤ x ≤ 30) é o tempo em dias de determinado mês. Assim, qual o valor do saldo mínimo? RESOLUÇÃO Observe através do esboço do gráfico de S(x) que o valor do saldo mínimo é o yv. ∆ 112 - 4 ⋅ 1 ⋅ 42 - = = yv = 11,75 4a 4 ⋅1

03. O lucro mensal L, em reais, de uma confecção é dado por L(x) = -10x2 + 800x – 200, sendo x o número de unidades produzidas e vendidas mensalmente de um determinado produto. Assim, qual o número de unidades produzidas e vendidas desse produto para se obter o maior lucro possível?

342

Portanto, o saldo mínimo é igual a R$ 11.750,00.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Obtenha as coordenadas do vértice do gráfico das funções a seguir: a) f(x) = x2 – 4x + 3 (2, -1) b) f(x) = 2x2 – 3x + 1 (3/4, -1/8) c) f(x) = -3x2 + 12x (2, 12) 02. Obtenha o conjunto imagem de cada uma das funções a seguir: a) f(x) = x2 – 10x + 9 [-16, ∞[ b) f(x) = -3x2 + 2x – 1 ]-∞, -2/3] c) f(x) = x2 + 4x + 5 [1, ∞[ 03. Determine os valores x para os quais as funções a seguir são crescentes e decrescentes? a) crescente: [5/2, ∞[ decrescente: ]-∞, 5/2] a) f(x) = 2x2 – 10x + 15 b) crescente: ]-∞, -6] decrescente: [-6, ∞[ b) f(x) = -x2 – 12x + 9 c) crescente: [-7/6, ∞[ 2 c) f(x) = 3x + 7x + 2 decrescente: ]-∞, -7/6]

04. O custo C de produção, em reais, de uma mercadoria, em função da quantidade x de unidades produzidas, é dado por C(x) = x2 – 12x + 50. Assim, responda: a) Quantas unidades devem ser produzidas para que se tenha custo mínimo? 6 unidades b) Qual é o custo mínimo, em reais? R$ 14,00 05. O lucro mensal de certa fábrica, em milhares de reais, é dado por L(x) = -x2 + 16x – 30, sendo x a quantidade de peças produzidas e vendidas, em milhares. Assim, determine: a) A quantidade de peças produzidas e vendidas para que o lucro seja máximo. 8 peças b) O lucro máximo, em reais. R$ 34.000,00

Exercícios Complementares

02. (UFJF) É correto afirmar sobre a função quadrática y = -x2 + 3x – 1 que: a) f(x) é decrescente para {x ∈ IR | x ≤ 0}. b) A concavidade é para cima. c) f(x) possui três zeros diferentes. d) f(x) tem como vértice o ponto (1/5, 4/5). e) O valor máximo de f(x) é 5/4. 03. (Puc SP) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser: a) R$ 15,00 d) R$ 37,50 b) R$ 24,50 e) R$ 42,50 c) R$ 32,75

04. (UFG GO) Para a construção de uma pousada, deseja-se cercar três lados de um terreno situado às margens de um rio, de modo que ele fique com a forma retangular, conforme a figura abaixo.

Sabe-se que o metro linear da cerca paralela ao rio custa R$ 12,00, das cercas perpendiculares ao rio custam R$ 8,00 e que o proprietário irá gastar R$ 3.840,00 com a construção total da cerca. Nessas condições, construa o gráfico da função que representa a área do terreno, em função da dimensão x, e determine as dimensões do terreno para que a sua área seja máxima. 120 m e 160 m 05. (IF BA) Jorge planta tomates em uma área de sua fazenda, e resolveu diminuir a quantidade Q (em mil litros) de agrotóxicos em suas plantações, usando a lei Q(t) = t2 – 5t + 7, onde t representa o tempo, em meses, contado a partir de t = 0. Desse modo, é correto afirmar que a quantidade mínima de agrotóxicos usada foi atingida em: a) 15 dias. b) 1 mês e 15 dias. c) 2 meses e 10 dias. d) 2 meses e 15 dias. e) 3 meses e 12 dias.

343

C09  Função quadrática – vértice da parábola

01. Determine as coordenadas do vértice das parábolas mostradas a seguir. a) (3, -4) b) (-2, 8)

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C10

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função quadrática – estudo do

sinal

nn Conceito de demanda nn Conceito de oferta nn Estudo do sinal

FUNÇÃO QUADRÁTICA – ESTUDO DO SINAL Conceito de demanda Não é de hoje que ouvimos as pessoas reclamarem que as vendas caíram e que as dificuldades nos negócios estão impossibilitando o sucesso da empresa. Quase sempre a justificativa é a "crise no país". Contudo, poucos comerciantes e empresários se apoiam em dados matemáticos e no planejamento da empresa para tocar o negócio. Entender o mercado, a oferta de produtos, a demanda do setor, os concorrentes, além dos encargos tributários, é de grande importância para que o empreendimento ganhe robustez. De maneira geral, dizemos que a demanda é a relação entre o preço de um bem e a quantidade demandada pelos compradores. A lei de demanda diz: se tudo permanecer constante, a quantidade demandada de um produto ou bem varia de maneira inversamente proporcional ao seu respectivo preço, e vice-versa. Logo, é equivalente utilizar o preço em função da quantidade ou a quantidade em função do preço. Segue diretamente da lei de demanda que, quando o preço de um produto sobe, a demanda diminui, e vice-versa.

Conceito de oferta A oferta é a relação entre o preço de um bem e a quantidade oferecida dele pelos produtores. Como mencionado acima, a lei de oferta diz: se tudo permanecer constante, a oferta de um produto, durante um período de tempo, varia de maneira diretamente proporcional ao preço. A oferta de um produto depende, essencialmente, da quantidade, do preço e do custo do produto, da tecnologia de produção e da distribuição do produto, dos concorrentes, do clima etc.

Fonte: Wikimedia Commons

É por isso que o emprego da tecnologia no auxílio das vendas de produtos e bens é de fundamental importância para o sucesso do negócio. No Rio de Janeiro, por exemplo, até mesmo a relação entre banhistas e ambulantes nas praias cariocas vem se modificando. No passado, as vendas de picolés, pipocas, águas de coco, espetinhos de carne, queijos e outros eram feitas sem nenhum uso de tecnologia e o cliente era atraído pela "voz" do vendedor, com bom humor, originalidade e muita criatividade. No entanto, era preciso esperar um tempo até o rapaz do mate, do biscoito ou do sorvete passar para comprar o seu produto. Agora, os clientes poderão chamar os vendedores pelo Na Praia, disponível no Google Play tanto para clientes quanto para vendedores, um aplicativo que serve para conectar comerciantes e consumidores. Utilizando geolocalização, o cliente pode localizar profissionais do Leme à Prainha e comprar picolés, bebidas, comidas, acessórios, utensílios, vestuário, além de serviços. De olho nesse mercado, um distribuidor de picolés, auxiliado por profissionais do setor, pediu um estudo da lucratividade de seus produtos distribuídos. Segundo ele, são distribuídos diariamente a seus vendedores ambulantes na praia caixas contendo 300 picolés em cada. Depois de algumas reuniões, cálculos e discussões foi apresentada a esse empresário a seguinte fórmula matemática, L(n) = −200n2 + 1600n − 240, relacionando as vendas e o lucro diário, em função do número n de caixas de picolés vendidas.

Figura 01 - Ilustração de um vendedor de picolé com o aplicativo "Na praia".

344

Ao receber a fórmula para análise, o distribuidor questionou qual seria a forma de interpretação da equação. O técnico de imediato disse que, para ter essas respostas exatas, o distribuidor deveria analisar o sinal da função quadrática.

Matemática e suas Tecnologias

Estudo do sinal Estudar o sinal de uma função f(x) significa determinar os valores de x para os quais f(x) é positivo, negativo e zero. Assim, para estudar o sinal de uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, devemos inicialmente determinar suas raízes ou zeros e, em seguida, esboçar o seu gráfico levando-se em conta os sinais do discriminante (∆) e do coeficiente dominante (a).

Nessa situação, temos que: nn Se x = x’ = x”, então f(x) = 0. nn Se x ≠ x’, então f(x) > 0. 4º Caso: ∆ = 0 e a < 0.

Vamos dividir esse estudo em seis possíveis casos. 1º Caso: ∆ > 0 e a > 0 Nessa situação, temos que: nn Se x = x’ = x”, então f(x) = 0. nn Se x ≠ x’, então f(x) < 0. Nessa situação, temos que: nn Se x = x’ ou x = x”, então f(x) = 0. nn Se x < x’ ou x > x”, então f(x) > 0. nn Se x’ < x < x”, então f(x) < 0.

5º Caso: ∆ < 0 e a > 0.

2º Caso: ∆ > 0 e a < 0

Nessa situação, temos que: nn Para

Nessa situação, temos que: nn Se x = x’ ou x = x”, então f(x) = 0. nn Se x < x’ ou x > x”, então f(x) < 0. nn Se x’ < x < x”, então f(x) > 0.

∀ x ∈ IR, temos que f(x) > 0.

6º Caso: ∆ < 0 e a < 0.

3º Caso: ∆ = 0 e a > 0 Nessa situação, temos que: nn Para

∀ x ∈ IR, temos que f(x) < 0.

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Vamos inicialmente determinar as raízes de f(x) = x2 – 3x – 10. x2 – 3x – 10 = 0 ⇒ x’ = 5 e x” = -2 Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Logo, temos que:

nn Se x < -2 ou x > 5, então f(x) > 0. nn Se -2 < x < 5, então f(x) < 0. 02. Estude o sinal da função quadrática f(x) = -x2 + 6x – 9. RESOLUÇÃO Vamos inicialmente determinar as raízes de f(x) = -x2 + 6x – 9. -x2 + 6x – 9 = 0 ⇒ x’ = x” = -3. Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Logo, temos que:

Assim, temos que: nn Se x = -2 ou x = 5, então f(x) = 0.

345

C10  Função quadrática – Estudo do sinal

01. Estude o sinal da função quadrática f(x) = x2 – 3x – 10.

Matemática

Assim, temos que: nn Se x = -3, então f(x) = 0. nn Se x ≠ -3, então f(x) < 0. 03. Estude o sinal da função quadrática f(x) = x² - 2x + 3. RESOLUÇÃO Vamos inicialmente determinar as raízes de f(x) = x² - 2x + 3. x2 - 2x + 3 = 0 ⇒ ∆ = (-2)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = -8 < 0 ⇒ não existem raízes reais.

Assim, temos que: nn Para ∀ x ∈ IR, temos que f(x) > 0.

Exercícios de Fixação 01. Estude a variação do sinal de cada uma das funções a seguir: a) f(x) = x2 – 7x + 12 b) f(x) = -x2 + 3x – 2 c) f(x) = x2 + 2x + 1 02. Responda aos itens a seguir:

a) {x ∈ IR | -2 < x < 10} b) não existe

dia de acordo com o gráfico a seguir:

a) Se x = 3 ou x = 4, então f(x) = 0. Se x < 3 ou x > 4, então f(x) > 0. Se 3 < x < 4, então f(x) < 0. b) Se x = 1 ou x = 2, então f(x) = 0. Se x < 1 ou x > 2, então f(x) < 0. Se 1 < x < 2, então f(x) > 0. c) Se x = -1, então f(x) = 0. Se x ≠ -1, então f(x) > 0.

a) Para quais valores de x a função f(x) = x2 – 8x – 20 é negativa? b) Para quais valores de x a função f(x) =-x2 + 6x – 9 é positiva?

03. Para quais valores de k a função quadrática dada por f(x) = -x2 + 8x – (3k – 2) é sempre negativa? {k ∈ IR | k > 6} 04. Para quais valores de m a função quadrática dada por f(x) = (2m – 1)x2 – 8x + 1 é sempre positiva? {m ∈ IR | m > 17/2} 05. Em uma cidade cuja amplitude térmica é elevada, a temperatura T, em graus Celsius, varia com a hora t (0 ≤ t < 24) do

Determine: a) {t ∈ IR | 4 < t < 20}; b) {t ∈ IR | 0 ≤ t < 4 ou 20 < t < 24} a) Os valores de t para os quais a temperatura é positiva. b) Os valores de t para os quais a temperatura é negativa.

Exercícios Complementares 01. Estude a variação do sinal de cada uma das funções a seguir: a) f(x) = -x2 + 4x – 4 b) f(x) = x2 – 2x + 5 c) f(x) = -3x2 + 13x – 4

a) Se x = 2, então f(x) = 0. Se x ≠ 2, então que f(x) < 0. b) ∀ x ∈ IR, temos que f(x) > 0 c) Se x = 1/3 ou x = 4, então f(x) = 0. Se x < 1/3 ou x > 4, então f(x) < 0. Se 1/3 < x < 4, então f(x) > 0.

02. Na figura a seguir, temos o gráfico de uma função f quadrática.

Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E) baseando-se no gráfico dessa função. E-E-C-C-C a) Se x = -1, então f(x) < 0. b) Se f(x) > 0, então x < -1. b) Se x > 4, então f(x) > 0. d) Se x = -1, então f(x) = 0. e) Se f(x) < 0, então -1 < x < 4.

C10  Função quadrática – Estudo do sinal

03. (FGV SP) A função f, de IR em IR, dada por f(x) = ax2 – 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(–2) é igual a: a) 4 b) 2 c) 0 d) -1/2 e) -2 04. (Unicap PE) Seja f: IR → IR a função definida por f(x) = 9x2 – 6x + k. Assinale a única alternativa que indica os valores de k ∈ IR para os quais se tem f(x) ≥ 0 qualquer que seja x. a) k ≥ 0 c) k ≥ 3 e) k ≥ 1 b) k ≤ 3 d) k ≤ -1

346

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C11

FUNÇÃO QUADRÁTICA – INEQUAÇÕES De acordo com o site www.turismo.gov.br, no ano de 2016 o Brasil tinha cerca de 10 milhões de artesãos. Pessoas extremamente criativas que vivem do bordado, da costura, de esculturas, e comercializam seus produtos em feiras, mercados ou centros de artesanato.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função quadrática – inequações nn Inequações do 2º grau

Com a venda de suas peças para os turistas, os artesãos movimentam a economia local, geram empregos e renda não só para a família do artista como também para toda a sua comunidade. Apesar da importância econômica, o artesão só passou a ter direito à carteira nacional do artesão, linhas de crédito e qualificação com a sanção da lei 13.180 de 22 de outubro de 2015. Assim, suponha que um artesão produza lembranças, e venda aos turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele sabe, por experiência, que seu lucro mensal é obtido da expressão L(x) = 400 ⋅ (15 – x) ⋅ (x – 3). Nessa situação, quais seriam os valores de x para os quais o lucro desse artesão seja maior que R$ 10.800,00? Para se determinar esse valor, bastaria resolver a inequação 400 ⋅ (15 – x) ⋅ (x – 3) > 10 800. Nessa aula, serão abordadas inequações desse tipo, conhecidas como inequações do 2º grau.

Inequação do 2º grau na variável x é toda inequação redutível a uma das formas a seguir, sendo a, b e c números reais e a ≠ 0. + bx + c > 0. nn ax + bx + c ≥ 0. nn ax2 + bx + c < 0. nn ax2 + bx + c ≤ 0. nn ax2 2

A solução de uma inequação do 2º grau é obtida através aplicação do estudo do sinal da função quadrática.

Fonte: gustavomellossa / Shutterstock.com

Inequações do 2º grau

Figura 01 - Ilustração do rico artesanato da região Nordeste do Brasil.

347

Matemática

Por exemplo:

Inicialmente, vamos obter as raízes de -x2 + 5x + 6 = 0

Vamos resolver as seguintes inequações do 2º grau: nn x2

– x – 20 ≥ 0.

Inicialmente, vamos obter as raízes de x2 – x – 20 = 0.

-x2 + 5x + 6 = 0 ⇒ x’ = 6 e x” = -1. Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Logo, temos que:

x2 – x – 20 = 0 ⇒ x’ = 5 e x” = -4. Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Logo, temos que: Como queremos os valores de x para os quais -x2 + 5x + 6 < 0, pelo gráfico percebemos que esses valores de x são menores que -1 ou maiores que 6. Como queremos os valores de x para os quais x2 – x – 20 ≥ 0, pelo gráfico percebemos que esses valores de x são menores ou iguais a -4 ou maiores ou iguais a 5. Portanto, o conjunto solução da inequação é dado por S = {x ∈ IR | x ≤ -4 ou x ≥ 5}. nn -x2

+ 5x + 6 < 0.

Portanto, o conjunto solução da inequação é dado por S = {x ∈ IR | x < -1 ou x > 6}. Observação: nn Os sistemas de inequações, as inequações simultâne-

as, as inequações produto e as inequações quociente seguem o mesmo padrão de resolução das inequações do 1º grau anteriormente abordadas.

EXEMPLOS 01. Resolva as seguintes inequações do 2º grau. a) -x2 + 7x > 0 b) 9x2 + 6x + 1 ≤ 0 c) -x2 + x – 1 < 0 RESOLUÇÃO a) -x2 + 7x = 0 ⇒ x’ = 0 e x” = 7 Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Logo, temos que:

Portanto, o conjunto solução da inequação é dado por S = IR. x 2 -5x + 4 ≤ 0 02. Resolva o sistema de inequações  2 . x + x - 6 > 0

RESOLUÇÃO Resolvendo as inequações separadamente, temos:

C11  Função quadrática – inequações

Portanto, o conjunto solução da inequação é dado por S = {x ∈ IR | 0 < x < 7}. b) 9x2 + 6x + 1 = 0 ⇒ x’ = x” = -1/3. Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Logo, temos que:

x2 – 5x + 4 ≤ 0 ⇒ x2 – 5x + 4 = 0 ⇒ x’ = 1 e x” = 4

x2 + x – 6 > 0 ⇒ x2 + x – 6 = 0 ⇒ x’ = -3 e x” = 2

Portanto, o conjunto solução da inequação é dado por S = {-1/3}. c) -x² + x - 1 = 0 ⇒ ∆ = 12 – 4 ⋅ (-1) ⋅ (-1) = -3 < 0 ⇒ não existem raízes reais.

348

Matemática e suas Tecnologias

Fazendo (1) ∩ (2), temos:

Portanto, o conjunto solução do sistema de inequações é dado por S = {x ∈ IR | 2 < x ≤ 4}.

g(x) = 5x2 – 20 = 0 ⇒ x’ = -2 e x” = 2.

Passando os sinais de f(x) e g(x) para o quadro a seguir e, em seguida, determinando o sinal de f(x) ⋅ g(x), temos:

03. Determine o conjunto solução da inequação simultânea 3x < x2 – 4 ≤ 5. RESOLUÇÃO Separando as inequações, obtemos o seguinte sistema de inequações: 2 2 x - 4 ≤ 5 x -9 ≤ 0 ⇒ 2  2 x - 4 > 3x x - 3x - 4 > 0

Resolvendo as inequações separadamente, temos:

Portanto, o conjunto solução dessa inequação é S = {x ∈ IR | -2 ≤ x ≤ 2}.

x2 – 9 ≤ 0 ⇒ x2 – 9 = 0 ⇒ x’ = -3 e x” = 3 05. Resolva, em IR, a inequação

x2 ≤8 . x -2

RESOLUÇÃO Inicialmente, vamos transpor 8 para o primeiro membro da inequação x2 – 3x – 4 > 0 ⇒ x2 – 3x – 4 = 0 ⇒ x’ = -1 e x” = 4

x2 ≤ 8. x -2

x2 x2 x 2 - 8 ⋅ (x - 2) x 2 - 8x + 16 ≤8⇒ -8≤0⇒ ≤0⇒ ≤0 x -2 x -2 x -2 x -2 Inicialmente, devemos ter x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2. Fazendo f(x) = x2 – 8x + 16 e g(x) = x – 2, vamos estudar o sinal de cada uma dessas funções separadamente.

Fazendo (1) ∩ (2), temos:

Portanto, o conjunto solução do sistema de inequações é dado por S = {x ∈ IR | -3 ≤ x < -1}.

f(x) = x2 – 8x + 16 = 0 ⇒ x’ = x” = 4.

g(x) = x – 2 = 0 ⇒ x = 2.

04. Resolva, em IR, a inequação 5x3 + 10x2 – 20x – 40 ≤ 0.

Inicialmente, vamos fatorar a expressão 5x3 + 10x2 – 20x – 40. 5x3 + 10x2 – 20x – 40 = 5x2 ⋅ (x + 2) – 20 ⋅ (x + 2) = (x + 2) ⋅ (5x2 – 20) Logo, temos que resolver a inequação produto (x + 2) ⋅ (5x2 – 20) ≤ 0.

Passando os sinais de f(x) e g(x) para o quadro a seguir e, em seguida, f(x) , temos: determinando o sinal do quociente g(x)

Sendo f(x) = x + 2 e g(x) = 5x2 – 20, vamos estudar o sinal de cada uma dessas funções separadamente. f(x) = x + 2 = 0 ⇒ x = -2.

Portanto, o conjunto solução dessa inequação é S = {x ∈ IR | x < 2 ou x = 4}.

349

C11  Função quadrática – inequações

RESOLUÇÃO

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva, em IR, as inequações a seguir: a) x2 – 4x ≥ 0 S = {x ∈ IR | x ≤ 0 ou x ≥ 4} b) 3x2 – 10x + 7 < 0 S = {x ∈ IR | 1 < x < 7/3} c) -2x2 – x + 1 ≤ 0 S = {x ∈ IR | x ≤ -1 ou x ≥ 1/2} 02. Obtenha o conjunto solução de: a) (x2 + 2x) ⋅ (x2 + 5x + 6) > 0 S = {x ∈ IR | x < -3 ou x > 0} b)

- x + 3x - 2 ≤0 x2 - 9

03. Obtenha o conjunto solução de:

x 2 - 3x + 2 > 0 a)  2 - x + 16 ≥ 0 x 2 - 1 > 0 b)  2 -2x + 6x ≤ 0

S ={x ∈ IR | -4 ≤ x < 1 ou 2 < x ≤ 4}

S = {x ∈ IR | x < -1 ou x ≥ 3}

c) 7 < x2 + 3 ≤ 4x S ={x ∈ IR | 2 < x ≤ 3}

S = {x ∈ IR | x < -3 ou 1 ≤ x ≤ 2 ou x > 3}

04. Resolva, em IR, a inequação quociente S = {x ∈ IR | -2 < x ≤ 2}

x 2 + 8x + 12 ≥2 . x 2 + 4x + 4

Exercícios Complementares 01. Uma pedra é lançada verticalmente para cima e sua altura h, em metros, em relação ao solo, t segundos depois do lançamento, é dada pela função quadrática h(t) = -3t2 + 12t + 114. Determine o tempo, em segundos, necessário para que a pedra atinja uma altura menor que 18 m. {t ∈ IR | t > 8} 02. (FGV SP) A receita mensal (em reais) de uma empresa é R = 20000p – 2000p², onde p é o preço de venda de cada unidade (0 ≤ p ≤ 10). a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ 50.000,00? R$ 5,00 b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ 37.500,00? {p ∈ IR | 0 ≤ p < 2,5 ou 7,5 < p ≤ 10}

03. (Enem MEC) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação q = 400 – 100p, na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço C11  Função quadrática – inequações

05. (UFV MG) O conjunto solução da inequação IR, é: a) {x ∈ IR | 0 < x ≤ 2 ou x ≥ 3} b) {x ∈ IR | 0 < x ≤ 3 ou x ≥ 4} c) {x ∈ IR | 0 < x ≤ 1 ou x ≥ 2} d) {x ∈ IR | 0 < x ≤ 4 ou x ≥ 5} e) {x ∈ IR | 0 < x ≤ 5 ou x ≥ 6}

x2 + 2 ≥ 3, em x

06. (Unifor CE) Quantas soluções inteiras admite o sistema de 2  x ≤ 9 inequações  ?  11 - 4x > 0 a) Duas. b) Três. c) Quatro. d) Cinco. e) Seis.

riamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arre-

x 2 - 4x + 3 > 0 se verifica para tox 2 - 7x + 10 dos os números reais x tais que:

cadação diária na venda desse produto. O preço p, em reais,

a) -1 < x ou - 3 < x < -2 ou x < -5.

do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo: a) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50 b) R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50 c) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50 d) R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50 e) R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50

b) -1 < x ou - 3 < x < -2 ou x < -5.

do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida dia-

350

04. (Fuvest SP) A solução da inequação 2x4 – x3 < 0 é: a) 0 < x < 0,5 b) 1 < x < 2 c) -1 < x < 0 d) -2 < x < -1 e) x < -1 ou x > 1

07. (IF CE) A desigualdade

c) 1 < x < 2 ou 3 < x < 5. d) x > 1 ou 2 < x < 5. e) 1 < x < 3 ou 2 < x < 5.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C12

FUNÇÃO EXPONECIAL – DEFINIÇÃO E GRÁFICOS No começo do século passado, quando a microbiologia começou a se desenvolver, notaram-se padrões nos ciclos de vida das bactérias. Esse ciclo tem um profundo impacto sobre a saúde humana e na determinação do desenvolvimento de uma colônia bacteriana.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função exponecial – definição

e gráficos

nn Função exponencial nn Gráfico cartesiano

Quando um médico receita um antibiótico, você já deve ter percebido que o remédio deve ser tomado de x em x horas por um período de y dias, semanas ou meses. Isso não é à toa, e pode ter um impacto profundo se não for respeitado. Mas como? A Matemática, a Biologia, a Farmácia e a Medicina podem explicar. Primeiramente, uma bactéria tem um ciclo de reprodução bem definido. Imagine uma colônia de 1 000 bactérias as quais têm um novo ciclo de reprodução a cada hora. Após 1 hora, serão 2 000 bactérias; depois de 2 horas, serão 4 000; em 3 horas, já são 8 000 e assim por diante. Para o combate, o médico precisa saber qual o tamanho da população depois de uma semana. Ao invés de contar as bactérias pelo microscópio, ele poderá montar uma função exponencial para obter uma estimativa da população bacteriana. Aliás, você saberia montar essa equação e apresentar a estimativa? No caso descrito acima, temos: uma hora, teremos 1 000 ⋅ 21 bactérias. nn Após duas horas, teremos 1 000 ⋅ 22 bactérias. nn Após três horas, teremos 1 000 ⋅ 23 bactérias. nn E assim sucessivamente... nn Após

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Para um médico que receita um determinado antibiótico para uma bactéria, ele está fazendo esse cálculo, só que ao contrário, pois a intenção do médico é provocar diminuição da colônia bacteriana. Depois do diagnóstico, baseado nos sintomas e na sua intensidade, na altura e peso da pessoa (isso em uma consulta ideal), ele estima o tamanho da população bacteriana que está causando a infecção. Sabendo do ciclo de reprodução, ele determina o tempo e o intervalo do uso do medicamento por um período até que a população do agente infeccioso chegue a zero. Nem pense em parar de tomar um antibiótico depois que os sintomas desaparecerem, pois as bactérias ainda podem estar lá. Sem dizer do processo de contaminação! Como as bactérias não são visíveis a olho nu, a maioria das pessoas esquecem que elas existem. Muito além de banheiros e corrimões de escadas em locais públicos, elas também estão nos teclados e mouses de computadores. Nesses locais, de acordo com pesquisas publicadas em revistas e jornais, são encontradas mais bactérias do que em um vaso sanitário ou em uma sola de sapato. Por isso, gripes e diversas infecções podem ser transmitidas pelo uso desses equipamentos. Nesta aula, faremos o estudo das funções exponenciais. É por meio dessas funções que podemos estabelecer uma relação matemática para o estudo do crescimento das colônias bacterianas e outros. No exemplo descrito, anteriormente, há uma relação entre a quantidade y de bactérias e o tempo x, em horas, que segue a lei de formação, y = 1000.2x.

Figura 01 - Ilustração de um tipo de bactéria denominada bacilo

351

Matemática

Função exponencial Uma função f: IR → IR é chamada de função exponencial de base a se for expressa pela seguinte lei de formação. f(x) = ax, com a ∈ IR*+ e a ≠ 1. Exemplos: nn f(x) = 2x, com a = 2. x

1 1 =   , com a = . 3 3 A partir das funções exponenciais do tipo f(x) = ax, podemos obter outras funções exponenciais mais complexas. nn f(x)

Exemplos: nn f(x) = 2x – 3 nn g(x) = –1 + 5x nn

1 h(x) = 2.  3

-4x

Por meio do gráfico de f(x) = 2x, podemos concluir que: nn O seu domínio é o conjunto D(f) = IR. * nn A sua imagem é o conjunto Im(f) = IR + . nn É uma função crescente e injetora. nn Passa pelo ponto (0, 1). nn Quando x aumenta indefinidamente, f(x) também aumenta indefinidamente. nn Quando x diminui indefinidamente, f(x) se aproxima cada vez mais de zero. 2º caso: 0 < a < 1. x

1 Como exemplo, vamos esboçar o gráfico da função f(x) =   . 2 Para esboçar esse gráfico vamos montar uma tabela numérica escolhendo alguns valores arbitrários para x e calculando os correspondentes valores de y.

Gráfico cartesiano O gráfico cartesiano de uma função do tipo f(x) = a , com a ∈ IR*+ e a ≠ 1, é chamado de curva exponencial. Para ilustrá-lo, vamos considerar dois casos: x

1 2

f(x) =  

-3

-2

-1

1/2

1/4

1º caso: a > 1 Como exemplo, vamos esboçar o gráfico da função f(x) = 2x. Para esboçar esse gráfico vamos montar uma tabela numérica escolhendo alguns valores arbitrários para x e calculando os correspondentes valores de y. -2

-1

f(x) = 2x

1/4

1/2

C12  Função exponecial – definição e gráficos

1 Por meio do gráfico de f(x) =   , podemos concluir que: 2 nn O seu domínio é o conjunto D(f) = IR. * nn A sua imagem é o conjunto Im(f) = IR + . nn É uma função decrescente e injetora. nn Passa pelo ponto (0, 1). nn Quando x aumenta indefinidamente, f(x) se aproxima cada vez mais de zero. nn Quando x diminui indefinidamente, f(x) aumenta indefinidamente. 352

Matemática e suas Tecnologias

Daí, de maneira geral, os gráficos de funções do tipo f(x) = ax se comportam de acordo com as ilustrações a seguir: Para a > 1

Para 0 < a < 1

Daí, para a função exponencial f: IR → IR expressa por f(x) = ax, são válidas as seguintes propriedades:

nn O

gráfico de f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. nn O gráfico de f intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). nn O gráfico de f não intercepta o eixo das abscissas. nn f é uma função injetora. nn Quando a > 1, os valores de f(x) se aproximam de zero quando x assume valores negativos cada vez menores. nn Quando 0 < a < 1, os valores de f(x) se aproximam de zero quando x assume valores positivos cada vez maiores. nn A

imagem de f é o conjunto Im(f) = {y ∈ IR | y > 0}.

EXEMPLOS 01. O valor de certo modelo de automóvel novo, em reais, daqui a t anos é dado pela função exponencial V(t) = 50 000 ⋅ (0,8)t. Assim, determine: a) O seu valor inicial. b) O seu valor daqui a 3 anos.

a) Na função f(x) = b ⋅ ax, temos que: f(1) = 6 ⇒ b ⋅ a1 = 6 ⇒ b ⋅ a = 6 f(3) = 54 ⇒ b ⋅ a3 = 54 ⇒ b ⋅ a ⋅ a2 = 54 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a = ±3 ⇒ a = 3 eb=2 b) Na função f(x) = 2 ⋅ 3x, temos que:

1 2 -1 f(-1)= 2.( 3) = 2. = 3 3

RESOLUÇÃO a) Para determinar seu valor inicial, basta fazer t = 0. V(0) = 50 000 ⋅ 0,80 = 50.000 Portanto, seu valor inicial é R$ 50.000,00. Para determinar seu valor daqui a 3 anos, basta fazer t = 3. V(3) = 50 000 ⋅ 0,83 = 25 600 Portanto, daqui a 3 anos será R$ 25.600,00. 02. Na função f(x) = b ⋅ ax, com a e b constantes reais positivas, temos que f(1) = 6 e f(3) = 54. Assim, determine: a) Os valores numéricos das constantes a e b. b) O valor de f(-1). c) O valor de x para f(x) = 2/81. RESOLUÇÃO

c) Na função f(x) = 2 ⋅ 3x, temos que:

2.3x =

2 1 ⇒ 3x = ⇒ 3x = 3-4 ⇒ x = -4 81 81

03. Dada a função exponencial f(x) = 5 ⋅ (k – 3)x, sendo k um número real, responda aos itens a seguir: a) Para quais valores de k a função f é crescente? b) Para quais valores de k a função f é decrescente? RESOLUÇÃO a) Para que a função f(x) seja crescente, devemos ter k – 3 > 1 ⇒ k > 4. b) Para que a função f(x) seja decrescente, devemos ter 0 < k – 3 < 1 ⇒ 3 < k < 4.

Exercícios de Fixação 02. Certa população de insetos cresce de acordo com a expressão N = 300 ⋅ 2t/5, sendo t o tempo em meses e N o número de insetos na população após o tempo t. Responda aos itens a seguir. a) Qual é a quantidade inicial de insetos? N = 300 b) Qual é a quantidade de insetos após 10 meses? N = 1200 c) Quantos meses são necessários para que a população de insetos atinja 4 800 indivíduos? 20 meses.

Assim, determine: a) Os valores de a e b. a = 3/2 e b = 1/2 b) O valor de f(2). 3/8

03. Suponha que a massa do césio 137 diminui em função do tempo, devido à desintegração radioativa, de acordo com a função exponencial M(t) = M0 ⋅ 2-kt. Sendo M(t) a massa, em gramas, após t em anos; M0 a massa inicial e k uma constante real, determine o valor da constante k sabendo-se que, após 87 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial. k = 3/87

353

C12  Função exponecial – definição e gráficos

01. A seguir, temos o gráfico da função f(x) = a.bx, sendo a e b constantes reais positivas.

Matemática

04. Na figura a seguir, temos a representação gráfica da função f(x) = a + b.2x, sendo a e b constantes reais positivas.

Assim, determine: a) O valor numérico de a e b. a = 1 e b = 3. b) A imagem de f(x). Im(f) = {y ∈ IR | y > 1}. c) O valor de f(-3). f(-3) = 11/8 05. A concentração C de certa substância no organismo altera-se em função do tempo t, em horas, decorrido desde a sua administração, de acordo com a expressão C(t) = K⋅3–0,5 t. Após quantas horas a concentração da substância no organismo tornou-se a nona parte da inicial? Gabarito: 4 horas

Exercícios Complementares 01. (Vunesp SP) Certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = k ⋅ 2-0,5t, em que k é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade −0 ,5.0 da substância, em gramas, no instante t. Q(t)=k.2 = 2048 k.20 = 2048 ⇒ k = 2048 −0 ,5a

Q(a)=k.2

04. (UFJF MG) Seja f: IR → IR uma função definida por f(x) = 2x. Na figura abaixo está representado, no plano cartesiano, o gráfico de f e um trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices B e C estão sobre o gráfico de f.

= 512

2048.2−0 ,5.a = 512 211.2−0 ,5a = 29 211−0 ,5a = 29 11 − 0,5a = 9

2 = 0,5a ⇒ a = 4

Considerando os dados desse processo mostrados no gráfico, determine os valores de k e de a. 02. (UEG) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0 ∙ 2-0,25t em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se? 4 anos 03. (Uerj RJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a ⋅ bx, conforme o gráfico a seguir.

A medida da área do trapézio ABCD é igual a: a) 2 b) 8/3 c) 3 d) 4 e) 6 05. (Unicamp SP) Suponha que o número de indivíduos de uma

C12  Função exponecial – definição e gráficos

determinada população seja dado pela função: F(t) = a ⋅ 2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

354

c) Esboce o gráfico da função F(t) para t ∈ [0, 40] a) a = 1 024 e b= 1/10; b) 30 anos; c)

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (IF CE) O menor valor da expressão πx a) π b) π c) 3 π d) π2 e) π/2

-4x +5

é:

02. (Fuvest SP) A função f: IR → IR tem como gráfico uma parábola

a) 35 b) 37 c) 39 d) 43 e) 45 06. (Uel PR) Sejam as funções quadráticas definidas por f(x) = 3x2 – kx + 12. Seus gráficos não cortam o eixo das abscis-

e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x – 2, para todo número real x. Então,

sas se, e somente se, k satisfizer à condição:

o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a:

a) k < 0

a) 11/6

b) k < 12

b) 7/6

c) -12 < k < 12

c) 5/6

d) 0 < k < 12

d) 0

e) -4 3 < k < 4 3

e) -5/6 03. (Enem MEC) O apresentador de um programa de auditório

07. (FGV SP) O lucro L de uma empresa é dado por L = -x2 + 8x – 7, em que x é a quantidade vendida. O lucro será positivo se, e

propôs aos participantes de uma competição a seguinte tare-

somente se:

fa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas

a) 2 < x < 5

douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado

b) x > 7 ou x < 1

à realização da competição. A pontuação dos competidores se-

c) 1 < x < 7

ria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos par-

d) 0 < x < 12

ticipantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam con-

e) x > 12

tadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação. 04. Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova? a) 0 b) 25 c) 50 d) 75 e) 100 05. (Unisinos RS) Os alunos de uma escola irão fretar um ônibus com 50 lugares para um passeio ao jardim zoológico. Cada aluno deverá pagar R$ 40,00, mais R$ 2,00 para cada lugar vago. Para que quantidade de passageiros a empresa terá receita máxima?

08. (FGV SP) Uma loja de departamentos compra cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta a R$ 28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for vendido a x reais, serão vendidos 200 – 2x cartuchos por mês. a) Encontre uma fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda x de cada cartucho. L(x) = -2x2 + 256x – 5600 b) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de x para os quais existe efetivamente lucro. {x ∈ IR | 28 < x < 100} c) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de venda x de cada cartucho? R$ 64,00 d) Qual será o lucro máximo e quantos cartuchos serão vendidos mensalmente ao preço que maximiza esse lucro? R$ 2.592,00 e 72 cartuchos

09. (Unifor CE) Uma empresa do estado do Ceará patrocinou uma exposição de um pintor cearense no espaço cultural da Universidade de Fortaleza. A direção do espaço cultural fez duas pequenas exigências para a realização do evento: 1ª exigência – A área de cada quadro deve ser, no mínimo, de 3 200 cm2 e, no máximo, de 6 000 cm2.

355

Matemática

2ª exigência – Os quadros precisam ser retangulares e a altura de cada um deve ter 40 cm a mais que a largura.

nencialmente em função do tempo, de modo que o valor, daqui

Nessas condições, podemos concluir que o menor e o maior va-

a t anos, será: y = a ⋅ bt, com a > 0 e b > 0. Se um televisor novo

lor possível da largura (em centímetros) são respectivamente:

custa R$ 4.000,00 e valerá 25% a menos daqui a 1 ano, qual

a) 40 e 80

será o seu valor daqui a 2 anos?

b) 60 e 80

defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre

d) 45 e 60

a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela

e) 50 e 70

expressão N(t) = N0 ⋅ 2kt, sendo N0 a população no início do

10. (Uel PR) O conjunto solução da inequação

( x + 3)

⋅ ( x 3 - 2x 2 )

x2 - 1

tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de

≥ 0,

no universo IR, é: a) [-1, 3] b) ]-1, +∞[ c) ]-1, 0[ ∪ ]0, 3] d) [-1, 3] ∪ [ 2, +∞[ e) ]-1, 1[ ∪ [ 2, +∞[ 11. (UFMG) Há várias regras para se determinar, com base na dose recomendada para adultos, a dose de um medicamento a ser ministrada a crianças. Analise estas duas fórmulas: x nn Regra de Young: = c ⋅a x + 12 x +1 nn Regra de Cowling: = c ⋅a 24 Em que: nn x é a idade da criança, em anos. nn a é a dose do medicamento, em cm3, para adultos. nn c é a dose do medicamento, em cm3, para crianças.

Considerando essas informações: a) Determine os valores de x para os quais as duas regras levam a doses iguais para crianças. x = 9,8 ou x = 1,2

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

R$ 2 250,00

14. (Espcex) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de

c) 40 e 60

campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a: a) 5-1 b) -5-1 c) 10 d) 10-1 e) -10-1 15. (Fuvest SP) Seja f(x) = a + 2bx + c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]-1, ∞[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4). Então, o produto abc vale: a) 4 b) 2 c) 0 d) -2 e) -4 16. (UEA AM) Em uma cidade, o número de pessoas infectadas por determinado vírus, altamente contagioso, pode ser estimado

b) Sabendo que as duas regras são aplicadas no cálculo de do-

por meio da função f(x) = 13 + 3x + 1, sendo x o número de dias,

ses para crianças entre 2 e 13 anos de idade, determine os

com x = 1 correspondendo ao dia 1º de abril e f(x) o número

valores de x para os quais a regra de Young leva a uma dose

de pessoas infectadas. Caso nenhuma providência seja toma-

maior que a regra de Cowling. 2 ≤ x < 9,8

da, o número de pessoas infectadas atingirá a marca de 2 200

c) Considerado o intervalo de 2 a 13 anos de idade, a diferença entre os valores dados por essas duas regras é máxima quando a criança tem, aproximadamente, 5 anos de idade. Determine a porcentagem da dosagem menor em relação à dosagem maior para a idade de 5 anos. 85% 12. (Fuvest SP) A equação 2x = -3x + 2, com x real, a) não tem solução. b) tem uma única solução entre 0 e 2/3. c) tem uma única solução entre - 2/3 e 0. d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa. e) tem mais de duas soluções. 356

13. (FGV SP) Um televisor com DVD embutido desvaloriza-se expo-

pessoas no dia: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. (Espm SP) Um novo aparelho eletrônico foi lançado no mercado em janeiro de 2014, quando foram vendidas cerca de 3 milhões de unidades. A partir de então, esse número teve um crescimento exponencial, dado pela expressão , onde n e k são

Matemática e suas Tecnologias

constantes reais e t é o número de meses após o lançamento (jan = 0, fev = 1 etc.). Se, em fevereiro desse ano foram vendidos 4,5 milhões de aparelhos, podemos concluir que, no mês seguinte, esse número passou para: a) 5,63 milhões b) 10,13 milhões c) 4,96 milhões d) 8,67 milhões e) 6,75 milhões 18. (FCM MG) Uma pessoa tomou 60 mg de certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas.

Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois

Como o paciente não sabia o significado de meia-vida procurou

quadrados, é:

em um dicionário e encontrou a seguinte definição:

a) 20

Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física,

b) 28

biológica) atinja metade de seu valor inicial.

c) 36 d) 40

Daí, ele conseguiu deduzir que a massa em cada instante t é dada por m(t) = 60 ⋅ 2- t/6 , com t ≥ 0 dado em horas. Após 12

21. (UFMG) Considere a desigualdade ax2 + bx + c > 0, em que a, b

horas de ingestão do remédio, a quantidade do remédio ainda

e c são números reais.

presente no organismo, em mg, é: a) 15

Sabe-se que: nn x = –62/7 e x = 7/25 satisfazem essa desigualdade.

b) 20

nn x = –42 e x = 26/25 não satisfazem essa desigualdade.

c) 25 d) 30 19. (Uniube

Assim sendo, é correto afirmar que: MG)

Considere

função

definida

por

g(x) = 2x2 – 4x + 5 ⇔ x2 ≥ 9 e g(x) = 2 ⇔ x2 < 9, e coloque (V) para verdadeiro e (F) para falso. 01. g(–2) = 21 02. g(3) = 11 03. g(0)= 2

a) a > 0 b) b > 0 c) b2 – 4ac > 0 d) c < 0 22. (Puc RS) Observe, na figura abaixo, uma parte da rampa em uma pista de skate.

04. No plano cartesiano, o gráfico de g(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima. 05. O menor valor de g(x) ocorre para x = –1.

a) V, V, V, V, F b) V, F, V, V, F c) F, V, V, F, F d) F, V, V, V, F e) V, F, F, F, V 20. (Uerj RJ) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f (x) = x2 + 2, com x ∈ IR, e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP.

Sua forma é semelhante à representação gráfica de uma função em que y = f(x) é dada por: a) y = ax + b, a ≠ 0 b) y = |ax|, a ≠ 0 c) y = ax , a ≠ 0 d) y = loga(x), a > 1 e) y = ax, a > 1

357

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

Assinale a alternativa que contém a sequência correta.

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FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso Tales de Mileto (625 – 547 a.C.) foi um grande matemático, engenheiro, homem de negócios, filósofo e astrônomo da Grécia Antiga. Considerado um dos sete sábios da antiguidade e também o “pai da filosofia”, Tales preocupou-se em entender e explicar o Universo, em vez de simplesmente curvar-se diante de seus mistérios. Conta-se que, em uma de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a medir a altura de uma pirâmide considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo, a pirâmide de Quéops. Essa pirâmide é reta, de base quadrada e seus lados medem cerca de 230 metros. Considerando que os raios solares são paralelos entre si quando incidem sobre a Terra, Tales percebeu que era possível medir a altura da pirâmide, sem a necessidade de escalá-la. Ele então fincou uma estaca vertical próximo à sombra projetada pela pirâmide e obteve uma sombra projetada de mesmo comprimento da vara. Como a altura da estaca, a sombra do bastão e o comprimento da sombra da pirâmide poderiam ser medidos diretamente, a altura da pirâmide foi devidamente determinada mediante as proporções existente entre os elementos mencionados. A partir desse raciocínio ele desenvolveu um dos teoremas importantes da geometria euclidiana, o Teorema de Tales, que até hoje é muito utilizado na Matemática e em várias outras áreas. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D09 D10 D11 D12

Quadriláteros notáveis – parte II...................................................360 Polígonos........................................................................................363 Polígonos regulares........................................................................367 Relações métricas nos polígonos regulares..................................370

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D09

ASSUNTOS ABORDADOS nn Quadriláteros notáveis – parte II nn Retângulo nn Losango nn Quadrado

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS – PARTE II Para os torneios oficiais, a FIFA (Federação Internacional de Futebol) define dimensões específicas para a bola e também para o campo de futebol. Para a bola, valores de massa e de volume, além da pressão de enchimento, são bastante rígidos. Para o campo, um quadrilátero notável, têm-se dimensões bem definidas. O documento de referência é o The Laws of the Game (As Regra do Jogo), estabelecido pela Internacional Football Association Board, entidade fundada em 1886, com sede no Reino Unido, reconhecida pela FIFA como a guardiã das regras do jogo. A bola precisa ser esférica, de couro ou de qualquer outro material adequado; deve ter uma circunferência não superior a 70 cm e não inferior a 68 cm; além de ter uma massa não superior a 450 g e não inferior a 410 g no começo da partida, e deve ser preenchida com ar a uma pressão equivalente a 0,6 – 1,1 atmosferas ao nível do mar. O campo de futebol deve ser definido por um quadrilátero notável, cuja dimensão deve ser retangular e marcada com linhas. As linhas que determinam a extensão ou o comprimento do campo são chamadas de laterais e a largura é determinada pela linhas de meta. O campo deve ser dividido em duas metades iguais e o centro deve ser marcado com um ponto na metade da linha de meio-campo. As dimensões da grande área (área de pênalti) e pequena área (área de meta) também têm valores fixos definidos.

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A área de pênalti é delimitada por duas linhas perpendiculares de 16,5 m, unidas por uma linha paralela à linha de meta. A pequena área, como o nome indica, é menor e está contida na área de pênalti, sendo delimitada por duas linhas perpendiculares de 5,5 m, unidas por uma linha paralela à linha de meta.

Figura 01 - Representação das possíveis dimensões de 360 um campo de futebol.

Matemática e suas Tecnologias

De acordo com as regras da Federação Internacional de Futebol (FIFA), os campos de futebol devem ter o formato de um quadrilátero notável denominado retângulo com as seguintes dimensões: nn Entre

90 metros e 120 metros na linha lateral

nn Entre

45 metros e 90 metros na linha de fundo.

nn A

Losango Losango é um paralelogramo que possui quatro lados congruentes. Observe a figura a seguir:

lateral deve ser maior que a linha de fundo.

Além disso, o regulamento da FIFA afirma que, em jogos internacionais, as dimensões devem ficar entre 100 metros e 110 metros para a lateral e 64 metros e 75 metros para a linha de fundo. Nesta aula, abordaremos os quadriláteros notáveis denominados retângulo, losango e quadrado.

Retângulo Retângulo é um paralelogramo que possui quatro ângulos congruentes. Observe a figura a seguir:

Além de todas as propriedades comuns aos paralelogramos, no retângulo ABCD, temos que: nn As

diagonais AC e BD são congruentes.

Além de todas as propriedades comuns aos paralelogramos, no retângulo ABCD, temos que: nn As

diagonais AC e BD são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado Quadrado é um paralelogramo que possui quatro lados congruentes e quatro ângulos congruentes. Observe a figura a seguir:

Além de todas as propriedades comuns aos paralelogramos, no retângulo ABCD, temos que: nn As diagonais

AC e BD são congruentes, perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos.

EXEMPLOS 01. Determine o perímetro de um losango cujas diagonais medem 24 cm e 10 cm.

02. Na figura a seguir, temos um retângulo ABCD.

RESOLUÇÃO As diagonais de um losango são perpendiculares e se interceptam no ponto médio. Observe a figura a seguir:

RESOLUÇÃO A medida do ângulo BÂE do triângulo retângulo BAE, é dada por: 180° – 90° – x = 90° – x A medida do ângulo DÂF do triângulo retângulo DAF, é dada por: Assim, no triângulo AOD temos que: x2 = 122 + 52 ⇒ x2 = 144 + 25

180° – 90° – y = 90° – y A medida do ângulo BÂD do retângulo ABCD é 90°. Assim, temos que:

x2 = 169 ⇒ x = 13 cm

BÂE + 50° + DÂF = 90° ⇒ 90° – x + 50° + 90° – y = 90°

2P = 4 ⋅ 13 = 52 cm.

-x – y = -140° ⇒ x + y = 140°

Portanto, o perímetro do losango é 52 cm.

Portanto, o valor de x + y é 140°.

361

D09  Quadriláteros notáveis – parte II

Calcule o valor, em graus, de x + y.

Matemática

Exercícios de Fixação 01. O quadrilátero ABCD da figura a seguir é um losango.

Sabendo-se que EF é perpendicular a AD , determine o valor de x. 50° 02. As medidas, em centímetros, das diagonais de um losango são raízes da equação x2 – 14x + 48 = 0. Calcule o perímetro desse losango. 20 cm 03. Determine as medidas dos lados de um retângulo sabendo-se que suas diagonais medem 20 cm e que a medida da base excede a medida da altura em 4 cm. 16 cm, 12 cm, 16 cm e 12 cm

04. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo equilátero interior ao quadrado.

Calcule o valor de α. 15° 05. (UFR RJ) O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quatro quadrados, como mostra a figura.

Calcule o valor da razão b/a. 5/3

Exercícios Complementares 01. Os ângulos opostos de um losango são expressos, em graus, por 2x + 30 e 3x – 40. Calcule as medidas de todos os ângulos desse losango. 70°, 70°, 110° e 110° 02. Em um retângulo ABCD, o ângulo formado pela diagonal AC e o lado AB mede 34°. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas diagonais AC e BD? 68° 03. Com um arame de 36 m construímos um quadrado e um triângulo equilátero de maneira que o perímetro do quadrado seja o dobro do perímetro do triângulo equilátero. Assim, calcule a medidas dos lados do quadrado e do triângulo equilátero. 6 m e 4 m

Calcule o valor de α. 15° 06. (UEG GO) Um macaco para levantar automóveis tem o formato de um quadrilátero articulado de lados iguais a L, cuja diagonal d é um parafuso. Esse parafuso, quando obrigado a rodar, faz variar tanto o comprimento dessa diagonal como a altura do quadrilátero. Veja a figura.

D09  Quadriláteros notáveis – parte II

04. (UFMA) Na figura abaixo, A, B, C e D são quadrados. O perímetro do quadrado A vale 16 m e o perímetro o quadrado B vale 24 m.

Calcule o perímetro do quadrado D. 64 m 05. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo equilátero exterior ao quadrado.

362

Considerando que o parafuso esteja paralelo ao solo, em função do lado do quadrilátero e de sua diagonal, o quadrado da altura é: 1 a) (2L2 + d2 ) c) 4L2+ d2 2 1 b) (2L2 - d2 ) d) 4L2– d2 2

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D10

POLÍGONOS

ASSUNTOS ABORDADOS

A bola de futebol foi desenvolvida por volta de 1860 pelo inglês HJ Lindon, que, inspirado por bexigas de porco, desenvolveu uma das primeiras bexigas de borracha infláveis. Porém, elas só começaram a ser produzidas em grande escala, a partir da criação do Campeonato Inglês (Premiere League), em 1888. No Brasil, a bola de futebol, juntamente com suas regras, foi trazida da Inglaterra pelo brasileiro Charles Miller.

nn Definição e elementos de polígonos nn Nomenclatura nn Número de diagonais (d) nn Soma dos ângulos internos (Si) nn Soma dos ângulos externos (Se)

Fonte: Arisara T / Shytterstock.com

A partir da Copa do Mundo do México em 1970, começou-se a utilizar uma bola obtida por meio de uma estrutura poliédrica chamada de icosaedro truncado, o qual é formado por 32 faces, sendo 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Observe a figura a seguir:

nn Polígonos

Figura 01 - Na imagem, vemos pentágonos e hexágonos constituintes de uma bola de futebol.

Os pentágonos (em preto) e hexágonos (em branco) presentes nesse icosaedro são duas das figuras geométricas que abordaremos nesta aula.

Definição e elementos de polígonos Linha poligonal, ou simplesmente poligonal, é a união de segmentos de reta consecutivos e não pertencentes à mesma reta (não colineares). Observe as figuras a seguir: C

Na poligonal ABCDE, temos que: nn Ela

possui extremos (pontos A e E), logo é chamada de poligonal aberta.

nn Os

segmentos AB, BC, CD e DE são seus lados.

nn Os

pontos A, B, C, D e E são seus vértices. 363

Matemática

F G

Número de lados

Nome do polígono

3 lados

Triângulo

4 lados

Quadrilátero

5 lados

Pentágono

6 lados

Hexágono

7 lados

Heptágono

8 lados

Octógono

9 lados

Eneágono

10 lados

Decágono

11 lados

Undecágono

12 lados

Dodecágono

15 lados

Pentadecágono

20 lados

Icoságono

J H I

Na poligonal FGHIJ, temos que: nn Ela não possui extremos, logo é chamada de poligonal

fechada. nn Os segmentos nn Os

FG, GH, HI, IJ, JF são seus lados.

pontos E, F, G, H, I e J são seus vértices.

Denomina-se polígono a figura plana limitada por uma poligonal fechada. Assim, a poligonal FGHIJ é um polígono sobre o qual podemos ainda destacar: F x t J

G y

H z

Observação: nn Os

I nn α, nn x,

β, θ, φ e λ são as medidas dos ângulos internos. y, z, w e t são as medidas dos ângulos externos.

Observação: nn A

soma de um ângulo interno com o externo a ele adjacente é igual a 180°.

demais polígonos não possuem denominações especiais.

Número de diagonais (d) Diagonal de um polígono é um segmento que liga dois de seus vértices não consecutivos. Observe a figura a seguir: F G

Polígonos convexos Dizemos que um polígono é convexo se, e somente se, quaisquer que sejam os pontos A e B do seu interior, o segmento de reta AB está inteiramente contido em seu interior. Observe as figuras a seguir:

J H I

Assim, nesse polígono, temos que os segmentos FH, FI, GJ, GI e HJ são suas diagonais. B A

Traçando-se todas as diagonais de um polígono de n lados, observa-se que: nn De

Polígono convexo

Polígono não convexo

Observação: D10  Polígonos

nn Todos

os ângulos internos de um polígono convexo são menores que 180°.

Nomenclatura Os polígonos, de acordo com o seu número de lados, recebem as seguintes denominações especiais. 364

cada vértice podemos traçar n – 3 diagonais.

nn O total de diagonais com extremidades em n vértices

é n ⋅ (n – 3). nn Cada

diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em dois vértices.

Portanto, o número de diagonais de um polígono é dado por: d=

n.(n - 3) 2

Matemática e suas Tecnologias

Soma dos ângulos internos (Si)

Todo polígono convexo pode, a partir de um de seus vértices, ser decomposto em triângulos. Observe a figura a seguir: F G

J H I

Nesse polígono de 5 lados, as diagonais GJ e HJ o dividem em (5 – 2) = 3 triângulos. Traçando-se todas as diagonais a partir de um mesmo vértice de um polígono de n lados, observa-se que: nn O

polígono ficará decomposto em n – 2 triângulos.

nn A soma dos ângulos internos do polígono é dada pela soma dos ângulos internos

desses n – 2 triângulos.

Portanto, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por: Si = (n – 2) ⋅ 180°

Soma dos ângulos externos (Se)

Sabendo-se que a soma de um ângulo interno de um polígono com o externo adjacente a ele é igual a 180°, temos que: Para um polígono de n lados, a soma de todos os ângulos internos e seus respectivos externos adjacentes é igual a n ⋅ 180°. Daí, tem-se: Si + Se = n ⋅ 180° ⇒ (n – 2) ⋅ 180° + Se = n ⋅ 180° n ⋅ 180° – 360° + Se = n ⋅ 180° ⇒ Se = 360° Portanto, a soma dos ângulos externos de um polígono de n lados é dada por: Se = 360°

EXEMPLOS 01. Calcule o valor de x no hexágono ABCDEF da figura a seguir:

x + 30°

130° 150°

RESOLUÇÃO C

120°

RESOLUÇÃO

a) Para o undecágono (n = 11), temos que: n – 3 = 11 – 3 = 8 diagonais por vértice. b) Para o undecágono (n = 11), temos que: = d

n ⋅ (n - 3) 11 ⋅ (11 - 3) 11 ⋅ 8 = = = 44 diagonais 2 2 2

03. Quantas diagonais possui um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 2 340°?

Para o hexágono (n = 6), temos que:

RESOLUÇÃO

Si = (n – 2) ⋅ 180° = (6 – 2) ⋅ 180° = 720°

Si = (n – 2) ⋅ 180° ⇒ 2 340° = (n – 2) ⋅ 180°

Daí, temos que: x + 20° + x + 30° + 130° + 120° + 150° + x = 720°

n-2=

3x + 450° = 720° ⇒ 3x = 270° ⇒ x = 90° Portanto, x = 90°.

= d

D10  Polígonos

x + 20°

a) A quantidade de diagonais a partir de cada um de seus vértices. b) A quantidade total de diagonais.

02. Considerando um undecágono, determine:

2340 ⇒ n - 2 = 13 ⇒ n = 15 lados 180

n ⋅ (n - 3) 15 ⋅ (15 - 3) 15 ⋅ 12 = = = 90 diagonais 2 2 2

365

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de x no polígono ABCDEF da figura a seguir. 50° B

A 3x

140° x

3x 130°

2x E

02. Na figura a seguir, temos o tampo de uma mesa no formato octogonal.

Assim, considerando um octógono, calcule: a) A soma dos seus ângulos internos. 1 080° b) A quantidade total de suas diagonais. 20 03. Responda aos itens a seguir: a) Qual é o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 3 240°? icoságono b) Qual é o polígono convexo que possui um total de 54 diagonais? dodecágono 04. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um polígono é 1440°, calcule: a) O número de lados desse polígono. 10 b) O número total de diagonais desse polígono. 35 05. Considere dois polígonos A e B com n e n + 3 lados, respectivamente. Sabendo-se que B tem 24 diagonais a mais que A, determine: a) O valor de n. 8 b) O número de diagonais de A e B. 20 e 44

Exercícios Complementares ˆ 01. Na figura a seguir, BP e DP são bissetrizes dos ângulos ABC ˆ respectivamente. e CDE, C D B

x+15° P

65° x

85° A

Calcule o valor de x, em graus. 52,5°

D10  Polígonos

02. (UEPB) Aumentando-se de 5 unidades o número de lados de um polígono, o número de diagonais aumenta de 40. Esse polígono é o: a) heptágono b) pentágono c) hexágono d) octógono e) eneágono 03. Considere um polígono que o número de diagonais é igual ao quíntuplo do número de lados para responder aos itens a seguir. a) Quantos lados possui esse polígono? 13 b) Quantas diagonais partem de um dos vértices desse polígono? 10

366

04. (Puc SP) Três polígonos convexos têm, respectivamente, n, n + 1 e n + 2 lados. A soma dos ângulos internos desses polígonos é 1 620°. Determine o valor de n. 4 05. (Fuvest SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 06. (IF MA) Leia as afirmativas. I. O polígono que possui 9 lados é denominado decágono. II. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360º. III. Um polígono convexo regular tem todos os ângulos internos com a mesma medida. IV. Se dois polígonos têm quantidades diferentes de lados, necessariamente eles têm a soma dos ângulos internos também diferentes. A(s) afirmação(ões) correta(s) são: a) IV b) I c) I, II, III e IV d) II, III e IV e) II e IV

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D11

POLÍGONOS REGULARES

ASSUNTOS ABORDADOS

Denomina-se mosaico ou recobrimento do plano a um padrão de figuras planas que cobrem inteiramente o plano sem que haja superposições e sem espaços vazios entre elas (figura 01).

nn Polígonos regulares

Podemos criar mosaicos a partir de ladrilhos na forma de polígonos e assim pavimentar uma calçada ou uma parede, por exemplo. Contudo, nem todas as combinações de polígonos servem para pavimentar uma superfície plana sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos.

nn Ângulo central (aC)

nn Definição nn Elementos nn Ângulo interno (ai) nn Ângulo externo (ae) nn Diagonais que passam pelo centro

Note que, no mosaico da figura, podemos perceber a presença de vários tipos de polígonos idênticos entre si, ou seja, as medidas dos seus lados e dos seus ângulos são congruentes. Nesta aula, abordaremos os polígonos com essas características chamados de polígonos regulares.

Definição

Fonte: LaQuartz Studio / Shytterstock.com

Um polígono é regular se, e somente se, todos os seus lados forem congruentes (equilátero) e todos os seus ângulos forem congruentes (equiângulo). Observe os exemplos a seguir:

Figura 01 - Ilustração de um piso em mosaico.

367

Matemática

Elementos

ai =

Considere o pentágono regular ABCDE da figura a seguir: A

Ângulo externo (ae)

B ai ae

Todos os ângulos externos de um polígono regular são congruentes. Assim, cada ângulo de um polígono regular de n lados é dado por:

(n - 2) ⋅ 180° n

ae =

Para esse polígono regular, destacar os elementos: nn O

é o centro. é a medida do ângulo central. nn ai é a medida do ângulo interno nn ae é a medida do ângulo externo. nn ac

Ângulo central (aC)

As semirretas com extremidades no centro O que passam pelos vértices de um polígono regular dividem o plano em n ângulos congruentes com vértice no ponto O. Assim, cada ângulo central de um polígono regular de n lados é dado por:

360° ac = n

Ângulo interno (ai)

Todos os ângulos internos de um polígono regular são congruentes. Assim, cada ângulo de um polígono regular de n lados é dado por:

360° n

Diagonais que passam pelo centro Dado um polígono regular de n lados, temos que: nn Se

o número n de lados for um número ímpar, então nenhuma de suas diagonais passa pelo seu centro. nn Se o número n de lados for um número par, então n/2 de suas diagonais passa pelo seu centro. Observe as figuras a seguir: B

C A

Para o pentágono regular ABCDE, nenhuma das 5 diagonais passa pelo centro O, já no hexágono regular ABCDEF, 3 das 9 diagonais passam pelo centro O.

EXEMPLOS 01. Considerando um octógono regular, determine: a) A medida dos seus ângulos internos. b) A medida dos seus ângulos externos. RESOLUÇÃO Para o octógono (n = 8), temos que:

= ai

(n - 2) ⋅ 180° (8 - 2) ⋅ 180° = = 135° n 8

D11  Polígonos regulares

Para o octógono (n = 8), temos que:

= ae

RESOLUÇÃO a) Para d = 35, temos que:

= 35

n ⋅ (n - 3) ⇒ n2 - 3n = - 70 0 2

n = 10 ou n = -7 (não convém) Portanto, trata-se de um decágono regular. b) Como o número n de lados é um número par, então o número de diagonais que passam pelo centro é dado por 10/2 = 5. Portanto, 5 diagonais passa pelo centro. 03. Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1 440°, então qual é a medida do seu ângulo central?

360° 360° = = 45º n 8

RESOLUÇÃO Si = (n – 2) ⋅ 180° ⇒ 1 440° = (n – 2) ⋅ 180°

02. Considere um polígono regular que possui 35 diagonais para responder aos itens a seguir. a) Qual é esse polígono? b) Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro?

368

8 = n – 2 ⇒ n = 10 lados

= ac

360° 360° = = 36° n 10

Portanto, o ângulo central mede 36°.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Determine os polígonos regulares que satisfazem as seguintes condições: a) A medida do ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo. octógono regular b) A quantidade de diagonais é o sêxtuplo do número de lados. pentadecágono

04. Considere um polígono regular ABCDE... Prolongando-se os lados AB e CD desse polígono, obtém-se um ângulo de medida 100°. Responda aos itens a seguir: a) Qual é a medida do ângulo externo desse polígono? 40° b) Quantos lados possui esse polígono? 9 05. (Fuvest SP) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular.

02. Se os ângulos externos de um polígono regular medem 20°, calcule: a) O número de lados desse polígono. 18 b) O número de diagonais que passa pelo centro desse polígono. 9 03. Se a medida do ângulo central de um polígono regular é 24°, calcule: a) A medida de cada ângulo interno. 156° b) A medida de cada ângulo externo. 24°

A B

A medida, em graus, do ângulo α é: a) 32° c) 36° b) 34° d) 38°

e) 40°

Exercícios Complementares 01. (Unifesp SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura:

A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25: a) 60° b) 45° c) 36° d) 83° e) 51°

e) 18°

02. (UFJF MG) Prolongando-se os lados AB e CD de um polígono convexo regular ABCD..., obtém-se um ângulo de 132° conforme ilustra a figura. 132° B C

04. Considere um polígono regular ABCDE... As bissetrizes internas AS e BS desse polígono interceptam-se no ponto S e a ˆ é 2/5 do seu ângulo interno. medida do ângulo ASB a) Qual é a medida do ângulo interno desse polígono? 150° b) Quantos lados possui esse polígono? 12 05. (Unioeste PR) Um pentagrama é uma figura que pode ser construída por uma linha fechada única entrelaçada, sendo considerado símbolo da perfeição. O nome pentagrama se dá em virtude da formação de um pentágono regular no seu interior, conforme ilustra a figura a seguir.

De acordo com o número de lados, esse polígono é um: a) octógono d) pentadecágono b) decágono e) icoságono c) undecágono

Com base nestas informações pode-se afirmar que a medida do ângulo α é a) 108° b) 45° c) 36° d) 180° e) 72° 369

D11  Polígonos regulares

Nessas condições, o ângulo θ mede: a) 108° c) 54° b) 72° d) 36°

03. (Faap SP) Observe a figura a seguir:

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D12

ASSUNTOS ABORDADOS nn Relações métricas nos polígonos

regulares

nn Apótema nn Propriedades nn Relações métricas nos principais polígonos regulares

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS REGULARES Nós brasileiros adoramos fazer churrasco em casa para confraternizar com os parentes e amigos. Porém, normalmente, quem fica por conta da carne, acaba não participando de maneira satisfatória do bate papo com os convidados. Pensando nisso, uma empresa americana criou o interessante objeto ilustrado na figura abaixo. Trata-se de uma mesa no formato octogonal que torna possível que os convidados se sentem próximos à churrasqueira e até assem a própria carne. Tal mesa, chamada de Jagg Grill, tem estrutura em aço e madeira. No meio, ficam as partes em aço destinadas aos locais de colocar carvão e as grelhas para assar as porções. Nas bordas, ficam as partes em madeira para acomodar os pratos, copos e talheres. Agora, imagine que um marceneiro queira fabricar a parte em madeira dessa mesa, ou seja, no formato de um octógono regular, e para isso recortou os quatro cantos de um quadrado de 2 metros de lado. Qual deveria ser a medida dos catetos dos triângulos retirados para se obter tal polígono?

Fonte: wikimedia commons

Essa mesa tem o formato de um polígono regular com o qual podemos estabelecer relações métricas entre os seus elementos. Nesta aula, abordaremos tais relações, que chamaremos de relações métricas nos polígonos regulares.

Figura 01 - Mesa em formato octogonal (Jagg Grill) criada por empresa americana aumentando a proximidade entre as pessoas durante um churrasco.

370

Matemática e suas Tecnologias

Apótema

nn Os

centros das circunferências inscrita e circunscrita são coincidentes com o centro do polígono. Observe o pentágono regular ABCDE da figura a seguir:

Dado um polígono regular, denomina-se apótema do polígono regular o segmento traçado a partir do centro até o lado do polígono, formando um ângulo reto com este lado. Observe a figura a seguir: A

B A

C O

C A E E

No hexágono regular ABCDEF, o segmento AM é um apótema. O apótema de um polígono regular é coincidente com o raio da circunferência inscrita no mesmo. Observe a figura a seguir: A

Relações métricas nos principais polígonos regulares Triângulo equilátero Dado o triângulo equilátero ABC de lado L inscrito em uma circunferência de raio R, temos: B

E O a= raio C

D C

Propriedades nn Todo polígono regular é inscritível, ou seja, existe uma

circunferência que contém todos os seus vértices. Esses vértices dividem a circunferência em arcos de mesma medida. Observe o pentágono regular ABCDE da figura a seguir.

L 120° O R a 60° M L/2

Daí, podemos destacar o triângulo retângulo OAM para relacionar o lado L, o apótema a e o raio R. Observe a figura a seguir: O

B 60° A

C O

Nesse triângulo, temos que:

nn Todo polígono regular é circunscritível, ou seja, existe

uma circunferência que é tangente a todos os seus lados. Esses pontos de tangência dividem a circunferência em arcos de mesma medida. Observe o pentágono regular ABCDE da figura a seguir: B A

C O

L /2 L R 3 ⇒= R a R o nn cos 60 = ⇒ a = R 2 Observação: nn

o sen 60=

nn Como o ponto O é o baricentro do triângulo equiláte-

ro, temos que: a medida do apótema a é igual a um terço da medida da altura h, e a medida do raio R da circunferência é igual a dois terços da medida da sua altura h. Assim, temos que:

a= E

h 3

2h 3 371

D12  Relações métricas nos polígonos regulares

L/2

Matemática

Quadrado

Hexágono regular

Dado o quadrado ABCD de lado L inscrito em uma circunferência de raio R, temos:

Dado o hexágono regular ABCDEF de lado L inscrito em uma circunferência de raio R, temos:

L O

a 45°

D L/2 M

Daí, podemos destacar o triângulo retângulo OCM para relacionar o lado L, o apótema a e o raio R. Observe a figura a seguir:

Daí, podemos destacar o triângulo retângulo OAM para relacionar o lado L, o apótema a e o raio R. Observe a figura a seguir:

O 45° a

R 45°

L/2

Nesse triângulo, temos que: L /2 L R 2 ⇒= R a R 2 o nn cos 45 = ⇒ a = R 2 nn

o sen 45=

Nesse triângulo, temos que: L /2 L R ⇒= R a R 3 o nn cos 60 = ⇒ a = R 2 nn

o sen 30=

EXEMPLOS 01. Determine a medida do apótema do triângulo equilátero cujo lado mede 12 centímetros. RESOLUÇÃO Observe a figura a seguir:

Portanto, o apótema mede 2 3 cm . 02. Calcule a razão entre o apótema de um triângulo equilátero e de um quadrado inscritos em uma circunferência de raio R. RESOLUÇÃO

D12  Relações métricas nos polígonos regulares

Sendo a3 o apótema do triângulo equilátero e a4 o apótema do quadrado, observe as figuras a seguir:

Para triângulo equilátero (n = 3), temos que:

= ac

360° 360° = = 120° n 3

Como o triângulo BOC é isósceles, temos que OM é uma bissetriz, logo BÔM mede 60°. No triângulo BOM, temos:

R = 2a3 ⇒ a3 =

R 2

Assim, temos que:

6 6 tg 60º = ⇒ 3 = ap ap = ap

372

a3 = a4

6 3 6 3 = . 3 3 3

ap = 2 3 cm

R= a4 2 ⇒ a= 4

Portanto, a razão é

2 . 2

R 2 = R 2

2 2

R 2

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Na figura a seguir, temos um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 12 centímetros.

12 3 cm e 6 cm

Determine as medidas do lado e do apótema desse triângulo. 02. Na figura a seguir, temos um quadrado ABCD inscrito numa circunferência de raio 18 centímetros.

18 2 cm e 9 2 cm

03. Na figura a seguir, temos um hexágono regular ABCDEF inscrito numa circunferência de raio 24 centímetros.

24 cm e 12 3 cm

Determine as medidas do lado e do apótema desse hexágono. 04. A medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência é 12 3 centímetros. Assim, calcule a medida do lado do hexágono regular inscrito na mesma circunferência. 24 3 cm 05. A medida do lado de um quadrado inscrito em uma circunferência é 12 2 centímetros. Assim, calcule a medida do apótema do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. 6 cm

Determine as medidas do lado e do apótema desse quadrado.

Exercícios Complementares

a) A medida do raio da circunferência inscrita. 12 cm b) A medida do raio da circunferência circunscrita. 24 cm 02. (UEG GO) Na figura abaixo, o segmento AB corresponde ao lado de um hexágono regular inscrito, enquanto o segmento BC corresponde ao lado de um quadrado também inscrito no círculo de raio 6 centímetros.

6⋅

(

04. (Unesp SP) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em cm, é: a) 3 d) 3 b) 2 e) 4 c) 2,5 05. (Ufscar SP) O projeto de uma ferramenta prevê que ela se encaixe perfeitamente em um parafuso de cabeça hexagonal regular, como indica a figura.

)

2 + 1 cm

Determine a distância percorrida de A até C, passando por B. 03. Determine a razão entre os perímetros dos quadrados inscrito e circunscrito numa circunferência de raio 10 metros.

2 2

Calcule as medidas de x e y, admitindo a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a 2 centímetros. x = 3 cm e y = 2 3 cm

373

D12  Relações métricas nos polígonos regulares

01. Considerando um triângulo equilátero de 36 m de altura, calcule:

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Fuvest SP) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O.

05. (Unifesp SP) A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900°. O ângulo remanescente mede: a) 120° d) 80° b) 105° e) 60° c) 95°

Se EP = 1, então a é: a) b) c) d) 2 e)

04. (UFPE) Calcule a soma dos ângulos internos do polígono em forma de seta ilustrado na figura abaixo. 900°

2 2 -1 2

06. (ITA SP) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 d) 70 b) 65 e) 77 c) 66

3 -1 2 2

07. (Ufu MG) Se n é um número natural maior ou igual a dois, qual o número de diagonais de um polígono regular de 2n lados que não passam seu centro? 2n ⋅ (n – 2)

2 2 -1

02. (UFMG) Observe a figura a seguir: R

C Q

S A

Nessa figura, ABCD representa um quadrado cujo lado mede 11 e AP ≡ AS ≡ CR ≡ CQ. O perímetro do quadrilátero PQRS é: a) 11 3 c) 11 2 b) 22 3 d) 22 2 03. (Cesgranrio RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN , que formam entre si o ângulo α.

08. (Ufes ES) Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus: a) 140 b) 150 c) 155 d) 160 e) 170 09. (UFSC) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono. 99 cm 20

DN 13

C M

C F

A soma dos ângulos internos Â e D̂ desse quadrilátero corresponde a: a) 3α d) α/2 b) 2α e) α/4 c) α

15 A

10. (UEPG PR) A respeito do círculo a seguir, com 4 cm de diâmetro, no qual estão inscritos o quadrado ABCD e o hexágono regular AEFCGH, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). F-V-F-V-V-F

374

Matemática e suas Tecnologias

11. (UFSCAR SP) Para fins beneficentes, foi organizado um desfile de modas num salão em forma de círculo, com 20 m de raio. A passarela foi montada de acordo com a figura abaixo, sendo que as passarelas CA e CB são lados que corresponderiam a um triângulo equilátero inscrito na circunferência. 109,2 m

14. (Enem MEC) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

Ladrilhos retangulares pavimentando o plano

Nome

Adotando 3 = 1,73 determine quantos metros cada modelo desfilou, seguindo uma única vez o roteiro BC, CA, AO e OB. 12. (Cesgranrio RJ) Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito numa circunferência e que circunscreve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3 cm, então a soma das medidas, em cm, do lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser: a) 7 b) 2 3 + 1 c) 2 3 d) 3 + 1 e) 77/32 13. (Enem MEC) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma

Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas na superposição)

Triângulo

Quadrado

Pentágono

Ângulo interno

60°

90°

108°

Nome

Hexágono

Octógono

Eneágono

120°

135°

140°

Figura

Ângulo interno

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um: a) triângulo b) quadrado c) pentágono d) hexágono e) eneágono

375

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

01. Os lados do quadrado e do hexágono regular medem, respectivamente, 4 2 cm e 4 cm. 02. A diagonal do quadrado mede 4 cm. 04. O perímetro do hexágono regular é o dobro do perímetro do quadrado. 08. O apótema do hexágono regular mede 3 cm. 16. O triângulo BAD é retângulo e isósceles. 32. A diagonal HE do hexágono regular é igual ao diâmetro do círculo.

em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? L a) R ≥ 2 2L b) R ≥ 2 L c) R ≥ π L d) R ≥ 2 L e) R ≥ 2 2

FRENTE

Per Bengtsson / Shutterstock.com

MATEMÁTICA Por falar nisso Em várias situações do nosso cotidiano, deparamo-nos com cálculos de porcentagens. Os 10% para o garçom do restaurante; os 27,5% do imposto de renda que o Governo Federal cobra sobre uma determinada faixa de salário do trabalhador; os vários aumentos do preço da gasolina; os variados descontos oferecidos nas peças de roupas que se encontram em liquidação nas lojas dos shoppings; nas capitalizações, aplicações e empréstimos bancários em geral, nos índices inflacionários etc. Na imagem desta página, temos a presença do símbolo % (porcentagem) associado ao Natal, época que há um grande aumento no consumo em, geral por parte da população à procura de presentes. A porcentagem também ganha destaque na Estatística, participando de forma ativa na apresentação de dados tanto organizacionais, quanto comparativos nos vários meios de comunicação, tais como TV, rádio, internet, revistas, jornais etc. Com base desse importante elemento matemático, somos capazes de obter valores finais a partir da aplicação de taxas percentuais (15%, 32%, 140% etc) sobre um valor específico. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E09 E10 E11 E12

Porcentagem – Variação percentual.............................................378 Porcentagem – Lucros e prejuízos.................................................382 Juros simples..................................................................................385 Juros compostos............................................................................388

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E09

ASSUNTOS ABORDADOS nn Porcentagem – Variação per-

centual

nn Variação percentual nn Aumentos e descontos

PORCENTAGEM – VARIAÇÃO PERCENTUAL Quem não gosta de obter um desconto na hora de pagar uma compra? Nos últimos anos, o brasileiro descobriu que uma das formas de conseguir poupar algum dinheiro e fechar as contas do mês de forma satisfatória é por meio dos descontos conseguidos em produtos e serviços. Assim, mesmo quando temos a sensação de que a negociação já está finalizada por parte do vendedor, é aconselhável sempre tentar obter “um desconto a mais”. As empresas estão constantemente negociando entre elas, pedindo descontos em produtos e serviços. Embora não tenhamos o mesmo poder de negociação de uma empresa (devido às quantidades compradas), muitas vezes conseguimos melhorar as condições financeiras no ato da compra. No atual cenário da economia do país, está mais fácil conseguir bons descontos, já que as empresas estão faturando menos devido à queda nas vendas. Assim, quando a procura é menor, as empresas precisam baixar os preços para conseguir vender mais. Contudo, o lojista precisa ficar atento ao máximo desconto que ele pode conceder a fim de não ter prejuízos. Por exemplo, o Sr. Elias sabe que para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Sabendo que seus clientes gostam de obter descontos no momento da compra, ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo. Com base nessa situação, qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? Nesta aula, abordaremos os acréscimos e descontos percentuais, tema de extrema importância devido à sua grande aplicabilidade em nosso cotidiano.

Fonte: Syda Productions / Shutterstock.com

Variação percentual Em um determinado restaurante da cidade de Goiânia, o preço de um prato com picanha no mês de janeiro era R$ 50,00 e de um prato com carne de sol custava R$ 35,00. Já no mês de fevereiro, o prato com picanha passou a custar R$ 59,00 e o prato com carne de sol passou a custar R$ 28,00.

Figura 01 - Nas compras em lojas e outros estabelecimentos, quase sempre, apelamos para os descontos.

378

Matemática e suas Tecnologias

nn Calculando a razão entre o preço final e preço inicial do prato com picanha, temos:

59 = 1,18 = 118% 50 Portanto, podemos afirmar que o valor final equivale a 118% do valor inicial, ou seja, 18% a mais. nn Calculando

a razão entre o preço final e preço inicial do quilo do prato com carne de sol, temos:

28 = 0,80 = 80% 35 Portanto, podemos afirmar que o valor final equivale a 80% do valor inicial, ou seja, 20% a menos. De maneira geral, podemos estabelecer a seguinte relação percentual (p) entre um valor inicial (Vi) e um valor final (Vf):

= p

Vf ⋅ 100% Vi

Daí, temos que: nn Se

p > 100%, o aumento foi de (p – 100)%.

nn Se

p < 100%, o desconto foi de (100 – p)%.

Aumentos e descontos Em uma determinada loja de eletrônicos da cidade de Brasília, o preço de tabela de um modelo de celular é R$ 800,00. Se o cliente desejar comprar esse celular a prazo, a loja aumenta tal preço em 8%. No entanto, se o cliente desejar comprar o mesmo celular à vista, a loja lhe concede um desconto de 13%. O preço pago por um cliente que deseja levar o celular a prazo é dado por: 800 + 0,08 ⋅ 800 = (1 + 0,08) ⋅ 800 = 1,08 ⋅ 800 = 972. Note que o preço de tabela ficou multiplicado por 1,08. Nessa situação, o valor pago foi 108% do preço de tabela. De maneira geral, para obter o novo preço após um aumento de p%, basta multiplicar o preço de tabela por:

p 1 + p% = 1+ 100 Essa expressão é denominada fator de aumento. E09  Porcentagem – Variação percentual

O preço pago por um cliente que deseja levar o celular à vista é dado por: 800 – 0,12 ⋅ 800 = (1 – 0,12) ⋅ 800 = 0,88 ⋅ 800 = 704. Note que o preço de tabela ficou multiplicado por 0,88. Nessa situação, o valor pago foi 88% do preço de tabela. De maneira geral, para obter o novo preço após um desconto de p%, basta multiplicar o preço de tabela por:

1 – p% = 1 -

p 100

Essa expressão é denominada fator de desconto. 379

Matemática

EXEMPLOS 01. Responda aos itens a seguir: a) Um caderno que custava R$ 12,50 passou a custar R$ 13,50. Qual foi o aumento percentual desse caderno? b) Uma joia que custava R$ 900,00, em uma liquidação passou a custar R$ 774,00. Qual foi o desconto percentual dessa joia? RESOLUÇÃO a) A razão entre o valor final e o valor inicial do caderno é dada por:

13,50 = 1,08 = 108% 12,50 Como o valor final é 108% do valor inicial, o aumento percentual foi de 8%. b) A razão entre o valor final e o valor inicial da joia é dada por:

774 = 0,86 = 86% 900 Como o valor final é 86% do valor inicial, o desconto percentual foi de 14%. 02. Determine o valor final de um valor x após: a) Um aumento de 35%. b) Um desconto de 23% RESOLUÇÃO a) Após um aumento de 35% sobre x, temos que:

35 ⋅ x = x + 0,35x = 1,35x 100

Note que para obter esse valor diretamente, basta multiplicar x por (1 + 0,35) = 1,35. b) Após um desconto de 23% sobre x, temos que:

23 ⋅ x = x - 0,23x = 0,77x 100

Note que para obter esse valor diretamente, basta multiplicar x por (1 – 0,23) = 0,77. 03. Priscila recebeu um aumento de 12% em salário e passou a receber R$ 1.792,00. Qual era seu salário antes do aumento? RESOLUÇÃO Sendo x o salário antes do aumento, temos que: x ⋅ (1 + 0,12) = 1792 ⇒ 1,12x = 1792 ⇒ x = 1600 Portanto, o salário de Priscila era de R$ 1.600,00. 04. Responda aos itens a seguir: a) Dois aumentos sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único aumento de quantos por cento? b) Dois descontos sucessivos de 20% e 15% são equivalentes a um único desconto de quantos por cento? RESOLUÇÃO a) Sendo x o valor inicial, após os dois aumentos sucessivos, temos que: x ⋅ (1 + 0,3) ⋅ (1 + 0,4) = x ⋅ 1,3 ⋅ 1,4 = 1,82x Daí, o aumento total é dado por: 1,82x – x = 0,82x = 82% de x. Portanto, são equivalentes a um único aumento de 82%. b) Sendo x o valor inicial, após os dois descontos sucessivos, temos que: x ⋅ (1 – 0,2) ⋅ (1 – 0,15) = x ⋅ 0,8 ⋅ 0,85 = 0,68x Assim, o desconto total é dado por: x – 0,68x = 0,32x = 32% de x. Portanto, são equivalentes a um único desconto de 32%.

Exercícios de Fixação

E09  Porcentagem – Variação percentual

01. Devido à inflação, determinado produto, que custava x reais, teve que ser reajustado. Calcule o preço final desse produto após: a) 1,3x b) 1,52x c) 1,08x d) 1,56x a) Um aumento de 30%. b) Um aumento de 52%. c) Um aumento de 8%. d) Dois aumentos sucessivos de 20% e 30%. 02. Devido à concorrência, determinado produto, que custava x reais, teve que ser reajustado. Calcule o preço final desse produto após: a) 0,7x b) 0,56x c) 0,94x d) 0,63x a) Um desconto de 30%. b) Um desconto de 44% c) Um desconto de 6%. d) Dois descontos sucessivos de 10% e 30%.

380

03. Ao comprar um produto que custava R$ 1.200,00 obtive um desconto de 15% para pagamento à vista. Assim, determine: a) O valor do desconto, em reais. R$ 180,00 b) O valor pago, em reais, após o desconto. R$ 1.020,00 04. Após uma diminuição de 9%, o número de pessoas infectadas na UTI de um hospital público passou a ser 364 casos por ano. Quantos casos ocorreram antes dessa diminuição? 400 05. (FGV SP) Para o consumidor individual, a editora fez esta promoção na compra de certo livro: “Compre o livro com 12% de desconto e economize R$ 10,80 em relação ao preço original”. Qual é o preço original do livro? R$ 90,00

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

02. (FGV SP) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso. Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos. Qual era seu peso original? 80 kg 03. (Mackenzie SP) Quando foi admitido em uma empresa, José contratou um plano de saúde, cujo valor correspondia a 5% do seu salário. Hoje, José tem um salário 30% maior e o plano de saúde teve, desde a admissão de José, um aumento de 82%, representando, atualmente k% do seu salário. O valor de k é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 04. (UFSC) Na segunda-feira, um comerciante decide vender um produto com um desconto de 10%. Na sexta-feira, como não obteve muito sucesso, decide acrescentar um novo desconto de 20% sobre o valor obtido após o primeiro desconto. Calcule o desconto total no preço original do produto. 28% 05. (UFCE) Logo após Joaquim comprar um par de tênis novo por 70 reais, a loja aumentou seus preços em 30%. Dois meses depois, como as vendas não estavam boas, a loja resolveu fazer uma liquidação, aplicando um desconto de 30% em todos os seus produtos. Pede-se determinar o valor do par de tênis, em reais: a) R$ 91,00 b) R$ 63,70 a) Após o primeiro reajuste e antes da liquidação. b) Durante a liquidação. 06. (Uefs BA) Em uma mesma semana, a cotação do dólar, em relação ao real, sofreu grande variação: na quarta-feira, o valor do dólar subiu 10% em relação ao de segunda-feira e, na sexta-feira, baixou 5% em relação ao de quarta-feira. Nessas condições, o aumento da cotação do dólar, na sexta-feira, em relação à segunda-feira, correspondeu a 05 01. 3,2% 02. 3,7% 03. 4,0% 04. 4,2% 05. 4,5% 07. (IF BA) Fulano, Ciclano e Beltrano resolveram doar duas cadeiras de rodas para o Orfanato “Me Acolha”. Eles contribuíram com valores relativos aos seus respectivos salários.

Fulano contribuiu com 15% do seu salário, Ciclano com 25% do seu salário e Beltrano contribuiu com o restante do valor. Sabendo que o valor das duas cadeiras de rodas foi de R$ 1.000,00, e o salário de Fulano é de R$ 800,00; o salário de Ciclano é R$ 1.200,00 e o salário de Beltrano é R$ 2.320,00, então o percentual do salário dado por Beltrano para aquisição da doação, corresponde a: a) 20% d) 35% b) 25% e) 40% c) 30% 08. (IF BA) Florenciano resolve parar sua compulsão de compras de dvd de cantores de arrocha, que totalizavam R$ 60,00 mensais. Este fato aconteceu porque ele resolveu poupar durante 15 anos, período este, na qual seu filho ingressará na universidade, guardando em sua casa mensalmente o dinheiro que gastava na compra dos dvds. Então, 20% do total que ele conseguiu juntar durante estes 15 anos, em reais, corresponde a: a) R$ 180,00 b) R$ 1200,00 c) R$ 1800,00 d) R$ 2160,00 e) R$ 3200,00 09. (IF BA) Preço da gasolina sobe e clientes são pegos de surpresa em Salvador Os motoristas que circulam por Salvador são surpreendidos pelo aumento do preço da gasolina em diversos postos de combustíveis […]. O G1 circulou por alguns estabelecimentos da capital e identificou aumentos […]. Fonte: http://g1.globo.com/bahia/noticia/2016/07/preco-da-gasolina-sobe-e-clientes-sao-pegos-de-surpresa-em-salvador.html. Acesso em 29/08/2016.

Considerando que a gasolina sofreu dois aumentos sucessivos de 2% nas últimas semanas, isso equivale a um único aumento de: a) 4,08% d) 4,00% b) 4,04% e) 3,96% c) 4,02% 10. (UCB DF) Pedro é hipertenso e, por isso, necessita tomar um comprimido diariamente. Ao pesquisar o preço na farmácia, o atendente informou que o medicamento estava em superpromoção e que ele compraria quatro caixas pelo preço de uma. Considerando essa situação, é correto afirmar que o desconto concedido pela farmácia é igual a: a) 80%. b) 75%. c) 50%. d) 40% e) 25%.

381

E09  Porcentagem – Variação percentual

01. Dois lados paralelos de um retângulo têm um aumento de 60% e os outros dois lados têm um decréscimo de 30%. Qual o aumento percentual da área desse retângulo? 12%

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E10

ASSUNTOS ABORDADOS nn Porcentagem – Lucros e prejuízos nn Lucros e prejuízos

PORCENTAGEM – LUCROS E PREJUÍZOS Noção de custo e despesas No dia a dia, é comum as pessoas confundirem os conceitos de custos e despesas. Contudo, existe uma diferença básica na definição desses dois termos. Para um empreendedor que vai abrir uma empresa, é de fundamental importância a diferenciação desses termos. Custos De maneira geral, dizemos que custo é tudo aquilo ligado diretamente à atividade da empresa. Se você produz pneus, custos são a matéria-prima da borracha, o betume, os funcionários do chão de fábrica (custos de mão de obra). Custos são a soma de gastos incorridos para produzir um determinado bem que será convertido ou transformado em algo de valor agregado, algo que estará em condições de ser vendido.

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Despesas Para as despesas, dizemos que se trata de tudo aquilo necessário para a manutenção da empresa. As despesas administrativas são ligadas à compra de papel ofício, canetas, impressão, energia elétrica (vale dizer que eletricidade pode ser custo para outras empresas, como as distribuidoras de energia elétrica), telefone etc.

382

Sabendo dessa diferença, faz-se necessário alertar que o empreendedor deve conhecer o que corta e o que incrementa. Tendo essa divisão clara dos custos e despesas, o empreendedor agora deve se fazer as perguntas: o custo de aquisição de uma máquina ou programa hoje compensa no futuro? Quais são as despesas com as quais eu teria de arcar nesse caso? O incremento deste custo pode acarretar em aumento da minha receita? O mais importante, diante da posse dos conceitos, é saber fazer as perguntas corretas. Nesta aula, discutiremos de forma breve o significado de preço de custo de um produto, que é dado pelo somatório dos seguintes valores: nn O valor pago por sua aquisição (ou fabricação). nn O valor gasto para tornar possível a sua produção (ou venda). nn O valor de eventuais despesas adicionais. Já o preço de venda é dado pelo somatório do preço de custo e do lucro.

Matemática e suas Tecnologias

Abordaremos, ainda, problemas de porcentagem ligados às operações de compra e venda envolvendo lucros e prejuízos sobre os preços de custo e de venda de mercadorias.

Lucros e prejuízos Imagine que Joana comprou um computador por R$ 1.600,00 e pretende vendê-lo em sua loja virtual por R$ 2.000,00. Nessa situação, pode-se afirmar que Joana teve lucro de R$ 400,00 obtido pela diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Também podemos expressar esse lucro em forma de porcentagem. O lucro, em porcentagem, sobre o preço de custo é dado por: 2000 - 1600 25% ⋅ 100% = 1600

O lucro, em porcentagem, sobre o preço de venda é dado por: 2000 - 1600 20% ⋅ 100% = 2000

De maneira geral, o lucro (L) em uma transação comercial de compra e venda é a diferença entre o preço de venda (V)

e o preço de custo (C), ou seja: L=V-C Expressando o lucro na forma de taxa percentual, temos que:

= Lucro sobre o custo

V-C ⋅ 100% C

= Lucro sobre a venda

V-C ⋅ 100% V

Quando a diferença entre o preço de venda e o preço de custo é negativa, ela é chamada de prejuízo. De maneira geral, o prejuízo (P) em uma transação comercial de compra e venda é a diferença entre o preço de custo (C) e o preço de venda (V), ou seja: P=C–V Expressando o prejuízo na forma de taxa percentual, temos que: C-V = ⋅ 100% Prejuízo sobre o custo C

= Prejuízo sobre a venda

C-V ⋅ 100% V

EXEMPLOS 01. Por quanto deve ser vendido um objeto que custou R$ 800,00 para que se tenha: a) Um lucro de 20% sobre o preço de custo. b) Um lucro de 20% sobre o preço de venda.

Portanto, o preço de venda deve ser R$ 1.000,00. 02. Pedro comprou um computador por R$ 2.662,00 e teve que vendê-lo com um prejuízo de 21% sobre o preço de venda. Qual foi o preço de venda?

RESOLUÇÃO Sendo: C o preço de custo, V o preço de venda e L o lucro, temos que: 20 a) L = V – C ⇒ ⋅ C = V - C ⇒ 0,2 ⋅ 800 = V – 800 ⇒ 160 = V – 800 100 ⇒ V = 960 Portanto, o preço de venda deve ser R$ 960,00. 20 b) L = V – C ⇒ ⋅ V = V - C ⇒ 0,2V = V – 800 ⇒ 0,8V = 800 100 ⇒ V = 1 000

RESOLUÇÃO Sendo: C o preço de custo, V o preço de venda e P o lucro, temos que: P=C–V⇒

21 ⋅= V 2662 - V ⇒ 0,21V = 2.662 – V 100 1,21V = 2.662 ⇒ V = 2 200

Portanto, o preço de venda foi R$ 2.200,00.

01. Um tênis que custou R$ 400,00 foi vendido por R$ 500,00. Determine: a) 25% b) 20% a) a porcentagem do lucro sobre o preço de custo. b) a porcentagem do lucro sobre o preço de venda. 02. Uma televisão que custou R$ 2.400,00 foi vendida por R$ 1.500,00. Determine: a) 37,5% b) 60% a) a porcentagem do prejuízo sobre o preço de custo. b) a porcentagem do prejuízo sobre o preço de venda. 03. Sabendo que Marina vendeu um tablet por R$ 2.125,00 com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo, responda: a) Qual o preço de custo, em reais? R$ 2.500,00

b) Por quanto esse tablet deveria ser vendido para dar um lucro de 20% sobre o preço de custo? R$ 3.000,00 04. Um quadro que custa R$ 1.120,00 é vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda desse quadro? R$ 800,00 05. Sabendo que Talita comprou uma impressora jato de tinta por R$ 533,00 e, posteriormente, a vendeu com um lucro de 18% sobre o preço de venda, responda: a) Qual o preço de venda, em reais? R$ 650,00 b) Por quanto essa impressora deveria ser vendida para dar um lucro de 40% sobre o preço de custo? R$ 746,20 383

E10  Porcentagem – Lucros e prejuízos

Exercícios de Fixação

Matemática

Exercícios Complementares 01. Uma motocicleta que custa R$ 10.200,00 é vendida com um lucro de 40 % sobre o preço de venda. Qual o preço de venda dessa motocicleta? R$ 17.000,00

Tipo de componente

Valor de custo para mil peças

Valor de venda para mil peças

cobra R$ 5,00 por 6 peças bordadas. Quanto esta confecção

R$ 150,00

R$ 300,00

deverá cobrar por um lote de 10 peças bordadas se deseja

R$ 200,00

R$ 400,00

R$ 350,00

R$ 600,00

02. (UFF RJ) Uma confecção fabrica peças a um custo unitário de R$ 2,00. A seguir contrata os serviços de uma bordadeira que

obter um lucro de 20% em cada peça vendida? R$ 34,00 03. (Unesp SP) A diferença entre o preço de venda anunciado de uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$ 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determinar seu preço de custo. R$ 6.000,00 04. (FGV SP) a) R$ 650.000,00

b) R$ 50,00

a) O faturamento de uma empresa neste ano foi 120% superior ao do ano anterior; obtenha o faturamento do ano anterior, sabendo que o deste ano foi de R$ 1.430.000,00. b) Um comerciante compra calças a um custo de R$ 26,00 a unidade. Pretende vender cada unidade com um ganho líquido (ganho menos os impostos) igual a 30% do preço de venda. Sabendo que, por ocasião da venda, ele tem que pagar um imposto igual a 18% do preço de venda, qual deve ser esse preço? 05. (FGV SP) Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma mercadoria representa que porcentagem sobre o preço de custo da mesma mercadoria? a) 30% b) 15% c) 42,86% d) 7,5% e) 21,42% 06. (UEGO) Um artesão fabrica certo tipo de peças a um custo de R$ 10,00 cada e as vende no mercado de artesanato com E10  Porcentagem – Lucros e prejuízos

preço variável que depende da negociação com o freguês. Num certo dia, ele vendeu 2 peças por R$ 25,00 cada, 4 peças por R$ 22,50 cada e mais 4 peças por R$ 20,00 cada. O lucro médio do artesão nesse dia foi de:

O pedido feito terá um valor de custo total para a empresa de R$ 38.000,00 e será vendido por R$ 74.000,00. Dado que o lucro corresponde à diferença entre o valor de venda e o valor de custo e que metade dos componentes vendidos era do tipo A, então é correto afirmar que o lucro alcançado com as peças do tipo C, em relação ao lucro total obtido com esse pedido, corresponde a um percentual entre: a) 15% e 20%. b) 20% e 25%. c) 10% e 15%. d) 25% e 30%. e) 30% e 35%. 08. (Fgv SP) Um comerciante comprou mercadorias para revendê-las. Ele deseja marcar essas mercadorias com preços tais que, ao dar descontos de 20% sobre os preços marcados, ele ainda obtenha um lucro de 25% sobre o preço de compra. Em relação ao preço de compra, o preço marcado nas mercadorias é: a) 30% maior. b) 40% maior. c) 45% maior. d) 50% maior. e) mais de 50% maior. 09. (Fac. Direito de São Bernardo do Campo SP) Um comerciante comprou um lote com 150 “tablets” de um mesmo tipo e, no mês seguinte, vendeu todos eles. Sabe-se que: nn pela venda de 120 unidades desses “tablets” ele recebeu

a mesma quantia que pagou na compra dos 150; nn cada um dos 30 “tablets” restantes foi vendido pelo

mesmo preço unitário dos 120.

d) R$ 12,50

Logo, relativamente ao custo do lote, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de: a) 15% b) 20% c) 25%

e) R$ 12,00

d) 30%

a) R$ 22,50 b) R$ 22,00 c) R$ 19,20

384

07. (Ibmec SP) Uma empresa de componentes eletrônicos recebeu um pedido para fabricar 3 diferentes produtos cujos valores de custo e de venda estão descritos na tabela a seguir.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E11

JUROS SIMPLES Existem várias situações do nosso dia a dia nas quais encontramos o termo "juro". Nos financiamentos de carros e casas, empréstimos bancários, compras a crediário, operações com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Juros simples nn Exemplo

De maneira geral, o juro (J) é uma compensação financeira que é cobrada pelo empréstimo de uma quantia em dinheiro. No ato do empréstimo, o credor (quem empresta) estabelece a taxa de juro a ser paga pelo devedor (quem toma emprestado) a partir de uma taxa percentual. O valor do juro é obtido considerando-se as seguintes variáveis: nn Capital (C): é o valor em dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado.

(i): é a taxa percentual que se paga pelo empréstimo por unidade de tempo, que pode ser ao dia, ao mês, ao ano etc. nn 2,5% a.d. (2,5% ao dia). nn 10% a.m. (10% ao mês). nn 240% a.a. (240% ao ano). nn Tempo (t): é o intervalo de tempo o qual dura o empréstimo, o que pode ser expresso em dias, meses, bimestres, anos etc. Assim, considere que um investidor aplicou a quantia de R$ 5.000,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que nesse investimento havia um saldo de R$ 5.600,00. Assim, qual seria a taxa de juros simples desse investimento? Nesta aula, vamos abordar o tipo de juro que foi utilizado nesse investimento, ou seja, o juro simples.

Fonte: create jobs 51 / Shutterstock.com

nn Taxa

385

Matemática

Exemplo Mariana tomou R$ 2.000,00 emprestado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês e vai pagar de uma só vez esse empréstimo após 4 meses. Qual o valor, em reais, do juro que será pago por Mariana? A tabela a seguir nos permite acompanhar a evolução dos valores desse empréstimo mês a mês. Mês

No início do mês

Juros do mês

No final do mês

2.000

0,1 ⋅ 2.000 = 200

2.200,00

2.200

0,1 ⋅ 2.000 = 200

2.400,00

2.400

0,1 ⋅ 2.000 = 200

2.600,00

2.600

0,1 ⋅ 2.000 = 200

2.800,00

A quantia paga por Mariana após quatro meses será de R$ 2.800,00. Logo, o juro (J) pago por ela será dado por: J = 2.800 – 2.000 = R$ 800,00 Note que o juro de cada mês foi calculado sempre em relação ao valor inicial R$ 2.000,00. Isso é o que caracteriza o regime de capitalização chamado de juros simples. Logo, de maneira geral, o juro simples é um tipo de capitalização em que o juro de cada período é calculado sempre em relação ao capital inicial. Nesse exemplo, o juro simples obtido por um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa de 10% ao mês, após 4 meses, é dado por: J = 2000 ⋅ 0,1 + 2000 ⋅ 0,1 + 2000 ⋅ 0,1 + 2000 ⋅ 0,1 J = 2000 ⋅ 0,1 ⋅ 4 = 800 Portanto, o juro simples (J), de um capital (C), a uma taxa (i) no tempo (t), é dado por:

J = C ⋅i⋅ t Já o montante (M) é obtido somando-se o capital (C) ao juro (J), ou seja:

M = C + J = C ⋅ (1 + i ⋅ t)

EXEMPLOS 01. Calcule a taxa de juros simples semestral proporcional às seguintes taxas: a) 30% a.a. b) 3% a.m.

03. Abel pediu a Bernardo R$ 21.000,00 à taxa de 2% a.m. durante 60 dias. Quanto Abel deverá pagar a Bernardo ao final desse período?

RESOLUÇÃO

E11  Juros simples

Como nos juros simples, a taxa e o tempo são proporcionais, temos que: a) Há dois semestres em um ano, assim a taxa semestral é 30/2 = 15% a.s. b) Há seis meses em um semestre, assim, taxa semestral é 3 ⋅ 6 = 18% a.s. 02. Joaquim aplicou um capital de R$ 7.000,00 à taxa 1,2% a.m. de juros simples durante 2 anos. Quanto ele recebeu de juros? RESOLUÇÃO Os juros simples são dados por: J = C ⋅ i ⋅ t = 7 000 ⋅ 0,012 ⋅ 24 = 2 016 Portanto, Joaquim recebeu R$ 2.016,00 de juros.

386

Considerando que um mês tem 30 dias, temos 60/30 = 2 meses. Os juros simples são dados por: J = C ⋅ i ⋅ t = 21 000 ⋅ 0,02 ⋅ 2 = 840 O montante será dado por: M = C + J = 21 000 + 840 = 21 840 Portanto, Abel pagará R$ 21.840,00 a Bernardo.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Determine a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas: a) 8% ao mês. 96% b) 21% ao trimestre. 84% c) 0,2% ao dia. 72% 02. Calcule o juro simples que um capital de R$ 12.000,00 rende quando aplicado: a) Durante 8 meses, a uma taxa de 2% ao mês? R$ 1.920,00 b) Durante 3 anos, a uma taxa de 4% ao mês? R$ 17.280,00 c) Durante 2 meses, a uma taxa de 0,8% ao dia? R$ 5.760,00

03. Calcule o montante que receberá um investidor que aplicar, a juros simples, R$ 8.000,00: a) A uma taxa de 18% ao ano, durante 5 meses? R$ 8.600,00 b) A uma taxa de 28% ao ano, durante 3 anos e 9 meses? R$ 16.400,00

04. (UEPG PR) Uma pessoa tomou R$ 25.000,00 emprestados em um banco, por um prazo determinado, a juros simples de 6% ao mês. Sabendo-se que no vencimento ela pagou R$ 37.000,00 ao banco, quantos meses durou o empréstimo? 8 meses 05. Certa aplicação bancária rende 25% de juros simples ao ano. Quanto tempo um capital C deve permanecer aplicado para que o montante assim obtido seja o quádruplo de C? 12 anos

Exercícios Complementares

02. (UEG GO) Aplicados 2/3 de um capital a uma taxa de 24% ao ano e o restante a 30% ao ano, ambos a juros simples, obtém-se, em 8 meses, um rendimento de R$ 130,00. O capital aplicado, em reais, é de: a) 700 b) 720 c) 740 d) 750 e) 760 03. (FGV SP) A rede Corcovado de hipermercados promove a venda de uma máquina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve agora e pague daqui a 3 meses”. Caso o pagamento seja feito à vista, Corcovado oferece ao consumidor um desconto de 20%. Caso um consumidor prefira aproveitar a oferta, pagando no final do 3º mês após a compra, a taxa anual de juros simples que estará sendo aplicada no financiamento é de: a) 20% b) 50% c) 100% d) 80% e) 120%

04. (UFR RJ) Uma parcela de R$ 90,00 de um empréstimo deveria ter sido paga no dia 2 de um determinado mês. Quando um pagamento é atrasado, incidem sobre o valor da parcela multa de 2% e juros de mora diários de R$ 1,20. Calcule o valor pago se o pagamento da parcela for feito no dia 14 do mesmo mês. R$ 106,20 05. (Ufu MG) Um comerciante toma em empréstimo de R$ 2 000,00 junto à financiadora A, a juros simples de 6% ao mês. Alguns meses mais tarde, ele consegue tomar emprestada a mesma quantia de uma financiadora B, a juros simples de 4,5% ao mês, e paga sua dívida com a financiadora A. Um ano e meio depois de ter feito o primeiro empréstimo, ele salda sua dívida tendo, no período todo, pago um total de R$ 1.860,00 de juros. Quanto o comerciante pagou de juros a cada financiadora? A: R$ 960,00 e B: R$ 900,00 06. (Uefs BA) Os capitais T1 e T2 colocados a 75% a.a., em 8 meses, e a 5% a.m., em 6 meses, respectivamente, rendem juros simples iguais. Sabendo-se que a diferença entre eles é de R$1600,00, é correto afirmar que o menor dos capitais é de: 03 01. R$ 1.200,00. 02. R$ 1.600,00. 03. R$ 2.400,00. 04. R$ 3.200,00. 05. R$ 4.000,00. 07. (UEPG PR) Os capitais C1 = R$ 2.000,00 e C2 = R$ 1.500,00 são aplicados a juros simples de 1% ao mês e 18% ao ano, respectivamente, durante t meses. Após esse tempo, a soma dos montantes produzidos pelas duas aplicações é de R$ 3.840,00. Nesse contexto, assinale o que for correto. C-E-C-E 01. O tempo t de aplicação é superior a 6 meses. 02. O montante produzido por C2 é R$ 1.980,00. 03. C1 rendeu R$ 160,00 de juros. 04. O tempo t de aplicação é de 270 dias.

387

E11  Juros simples

01. (ESPM SP) Em junho de 2003 o Sr. João contraiu um empréstimo de R$ 12 000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Se nenhuma parcela do empréstimo foi paga, o saldo devedor em dezembro de 2004 era, de aproximadamente: a) 14 800 b) 15 000 c) 15 300 d) 15 900 e) 16 300

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E12

ASSUNTOS ABORDADOS nn Juros compostos nn Exemplo

JUROS COMPOSTOS O gerente de banco é o profissional responsável por trabalhar com gerenciamento de contas bancárias em uma instituição financeira. É quem gerencia informações sigilosas sobre o detentor da conta, confirmando operações de alto valor, realizando estornos, concedendo empréstimos bancários.

Fonte: Zadorozhnyi Viktor / Shutterstock.com

Está sob as responsabilidades de um gerente de banco abrir contas físicas ou jurídicas, atender a seus clientes em caso de problemas ou dúvidas sobre a conta, esclarecer dúvidas sobre saldos e extratos, explicar e esclarecer dúvidas sobre planos de investimentos e taxas, realizar investimentos orientados pelo detentor da conta, resolver problemas referentes a cartões de créditos ou cheques, realizar operações de grande porte, como grandes transferências de recursos, explicar as condições e oferecer empréstimos bancários, supervisionar o funcionamento de seus subordinados do departamento em questão, organizar os documentos jurídicos necessários a cada operação, oferecer novos planos de pacotes bancários que possam interessar a seus clientes, visando a trabalhar com o objetivo de satisfazer as necessidades do cliente e prezando pelo bom atendimento sempre.

388

Para que o profissional tenha um bom desempenho como gerente de banco, além da graduação, é essencial que possua bons conhecimentos de administração e economia, ter habilidade para lidar com as pessoas e capacidade de observação. Fonte: https://www.infojobs.com.br/artigos/Gerente_de_Banco__3174.aspx. Acesso: 06/2017

Matemática e suas Tecnologias

nn Aplicação 1: que tem um rendimento de 40% de juros

Note que os juros de cada mês foram calculados sempre em relação ao capital acumulado (capital inicial mais juros dos meses anteriores). Isso é o que caracteriza o regime de capitalização chamado de juros compostos. Logo, de maneira geral, juro composto é um tipo de capitalização em que os juros de cada período são calculados em relação ao capital acumulado.

Em termos de rendimento, qual das duas aplicações é mais vantajosa para o cliente?

Nesse exemplo, os montantes obtidos por um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa de 10% ao mês, durante 4 meses, são dados por:

Assim, considere que o gerente de um banco propõe a seu cliente dois tipos de aplicação: compostos ao ano. nn Aplicação 2: que tem um rendimento de 6% de juros compostos ao bimestre.

Nesta aula, vamos abordar o tipo de juro que foi proposto pelo gerente ao seu cliente, ou seja, o juro composto.

Exemplo Maria tomou R$ 2.000,00 emprestado a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e vai pagar de uma só vez esse empréstimo após 4 meses. Qual o valor, em reais, do juro que será pago por Maria? A tabela a seguir nos permite acompanhar a evolução dos valores desse empréstimo mês a mês. Ano

No início do mês

Juros do mês

No final do ano

2 000

0,1 ⋅ 2.000 = 200

2 200,00

2 200

0,1 ⋅ 2.200 = 220

2 420,00

2 420

0,1 ⋅ 2.420 = 242

2 662,00

2 662

0,1 ⋅ 2662 = 266,2

2 928,20

A quantia paga por Maria após quatro meses será de R$ 2.928,20. Logo, o juro (J) pago por ela será dado por: J = 2.928,20 – 2.000 = R$ 928,20.

Após um mês, o montante é dado por: nn 2 000 + 2 000 ⋅ 0,1 = 2 000 ⋅ (1 + 0,1) = 2 000 ⋅ 1,1 = 2 200,00 Após dois meses, o montante é: nn 2 200 + 2 200 ⋅ 0,1 = 2 200 ⋅ (1 + 0,1) = 2 200 ⋅ 1,1 = 2 420,00 Após três meses, o montante é: nn 2 420 + 2 420 ⋅ 0,1 = 2 420 ⋅ (1 + 0,1) = 2 420 ⋅ 1,1 = 2 662,00 Após quatro meses, o montante é: nn 2 662 + 2 662 ⋅ 0,1 = 2 662 ⋅ (1 + 0,1) = 2 662 ⋅ 1,1 = 2 928,20 Este último montante também pode ser escrito em função do capital da seguinte forma: nn 2 928,20 = 2000 ⋅ 1,14 = 2 000 ⋅ (1 + 0,1)4 Portanto, o montante (M), a uma taxa (i) de juros compostos no tempo (t), é dado por: M =C ⋅ (1 + i)

Já o juro (J) é obtido subtraindo o montante (M) e o capital (C), ou seja: t J= M– C = C ⋅  (1 + i ) – 1   

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO O montante a juros compostos é dado por: M = C ⋅ (1 + i)t = 4 000 ⋅ (1 + 0,3)3 = 4 000 ⋅ 1,33 = 8 788 Portanto, o montante é de R$ 8.788,00. 02. Um automóvel que foi comprado por R$ 50.000,00 sofreu uma desvalorização de 20% ao ano. Qual o valor desse automóvel após 4 anos? RESOLUÇÃO A taxa de desvalorização é i = -20% = -0,2. O montante a juros compostos é dado por: M = C ⋅ (1 + i)t = 50 000 ⋅ (1 – 0,2)4 = 50 000 ⋅ 0,84 = 20 480 Portanto, após 4 anos, o valor é de R$ 20.480,00. 03. João emprestou a Jair uma quantia de X reais, a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês. Sabendo que após um ano a dívida acumulada será de R$ 7.200,00 e utilizando a aproximação 1,0512 = 1,80, calcule o valor de X.

RESOLUÇÃO Como a taxa é mensal, o tempo t = 1 ⋅ 12 = 12 meses. O montante a juros compostos é dado por: M = C ⋅ (1 + i)t ⇒ 7 200 = X ⋅ (1 + 0,05)12 7 200 = X ⋅ 1,0512 ⇒ 7 200 = X ⋅ 1,80 ⇒ X = 4 000 Portanto, o valor de X é R$ 4.000,00. 04. Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos de 20% ao ano. Determine o tempo, em meses, necessário para que se obtenha um montante de R$ 4.000,00. Adote log2 1,2 = 0,30. RESOLUÇÃO

E12  Juros compostos

01. Determine o montante obtido por um capital de R$ 4.000,00 à taxa de juros compostos de 30% ao ano após 3 anos.

O montante a juros compostos é dado por: M = C ⋅ (1 + i)t ⇒ 4 000 = 2 000 ⋅ (1 + 0,2)n 1,2n = 2 ⇒ log2 1,2n = log2 2 ⇒ n ⋅ log2 1,2 = log2 2

1 10 = ⋅ 12 = 40 meses. 0,3 3 Portanto, o tempo é 40 meses. 0,30n = 1 ⇒ n =

389

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Qual é o montante receberá um investidor que aplicar, a juros compostos, R$ 8.000,00 a) R$ 10.648,00 b) R$ 13.824,00 a) a uma taxa de 10% ao ano, durante 3 anos? b) a uma taxa de 20% ao semestre, durante 1 ano e meio? 02. Carlos fez um empréstimo de R$ 20.000,00 que deverá ser pago, no fim de um ano, acrescido de juros compostos de 6% ao mês. Adotando a aproximação 1,0615 = 2,01, calcule o juro que Carlos deverá pagar ao final desse prazo? R$ 40.200,00 03. Bruna emprestou certo valor a Graziele, a uma taxa de 4% ao mês no regime de juros compostos. Ao final de dois meses,

Grazile quitou a dívida, pagando a Bruna R$ 10.816,00. Qual o valor que Bruna emprestou a Graziele? R$ 10.000,00 04. Considere uma aplicação financeira que é capaz de aumentar um capital em 69% em dois meses. Qual é a taxa mensal de juros compostos dessa aplicação? 30% 05. Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e após um ano recebeu R$ 6.000,00. Adotando a aproximação 12 1,4 = 1,0284; calcule a taxa mensal de juros compostos dessa aplicação. 2,84%

Exercícios Complementares 01. (Unesp SP) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante 4 meses. a) R$ 400,00 b) R$ 464,10 a) Encontre o rendimento da aplicação, no período, considerando a taxa de juros simples de 10% ao mês. b) Determine o rendimento da aplicação, no período, considerando a taxa de juros compostos de 10% ao mês. 02. (UEG GO) Uma pessoa aplicou uma parte de um capital a 4% ao ano e a outra parte a 5%, também ao ano. No final de um ano, ela recebeu de juros um total de R$ 220,00. Se os montantes aplicados tivessem sido invertidos, o que foi aplicado a 4% fosse aplicado a 5% e vice-versa, os juros recebidos teriam sofrido acréscimo de R$ 10,00. Qual foi o capital total aplicado por essa pessoa? R$ 5.000,00 03. (FGV SP) Uma TV de plasma, cujo valor à vista é R$ 4.000,00, pode ser comprada a prazo, num plano de pagamento de duas parcelas e a primeira, no valor de R$ 2.124,00, vence somente 90 dias após a compra. Se o financiamento foi realizado à taxa de juro composto de 10% ao mês, determine o valor da segunda parcela, com vencimento em 120 dias. R$ 3.520,00

E12  Juros compostos

04. (Furg RS) Um banco empresta dinheiro aos seus clientes e cobra taxa de juros de 7% ao mês. Suponha que um cliente tome dinheiro emprestado nesse banco, mas não salde nem amortize essa dívida. Em torno de quantos meses, o cliente terá sua dívida multiplicada por 10? (Adote: log 107 = 2,03) a) 12 b) 34 c) 24 d) 44 e) 6

390

05. (FGV SP) Lúcio emprestou R$ 10.000,00 a César, cobrando juros de 10% ao ano sobre o saldo devedor do ano anterior. César pagou R$ 3.000,00 um ano após o empréstimo e R$4 000,00 dois anos após o empréstimo. O valor da terceira parcela, que quitou a dívida, paga três anos após a concessão do empréstimo, foi: a) R$ 5 180,00 b) R$ 5 280,00 c) R$ 5 380,00 d) R$ 5 480,00 e) R$ 5 580,00 06. (Uerj RJ) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53.240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C. R$ 40.000,00

07. (Unifacs BA) Um médico tomou um empréstimo, a juros compostos de 2% ao mês, para investir em sua clínica, esperando que tal investimento lhe dê 8% ao mês, com o rendimento sendo reinvestido na própria clínica. Nessas condições, e usando-se, log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e log 17 = 1,23, se preciso, é correto estimar que o investimento valerá o triplo da dívida em cerca de 03 01. 02. 03. 04. 05.

8 meses. 12 meses. 16 meses. 24 meses. 30 meses.

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (UFG GO) Leia o trecho a seguir: Os números da Pesquisa Nacional por Amostragem de Domicílio (Pnad), do IBGE, mostram a maior presença de migrantes no Estado. Em 1995, 24% da população residente em Goiás eram de outra localidade. Seis anos depois os imigrantes representavam 29%. [O Popular, Goiânia, 31 ago. 2004, p. 3]

Considerando que, no período de 1995 a 2001, o número de imigrantes no estado de Goiás cresceu 40%, o aumento porcentual da população do Estado de Goiás, nesse período, foi de, aproximadamente: a) 20,8 c) 9,6 e) 5,0 b) 15,8 d) 8,3 02. (Mackenzie SP) O dono de uma loja sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de determinado produto deve ser, no mínimo, 30% superior ao preço de custo. Visando atender clientes que pedem desconto, o dono da loja define o preço de venda, acrescentando 60% ao preço de custo. Dessa forma, o maior desconto que ele pode conceder, sem ter prejuízo, é de: a) 16,25% d) 17,75% b) 18,75% e) 18,25% c) 18% 03. (Puc RJ) O preço da gasolina sofreu um reajuste de 25% em novembro e de mais 25% em dezembro. Qual a porcentagem em que deve ser reduzido o seu preço atual para que volte a custar o que custava antes dos dois reajustes? 36% 04. Supondo que um país registrou taxas anuais de inflação iguais a 15%, 20% e 25%, qual a taxa de inflação acumulada por esse país nesses três anos? 72,5% 05. (Uespi PI) Joana e Marta vendem um perfume a domicílio. Joana dá desconto de R$ 10,00 sobre o preço do perfume e recebe de comissão 15% do preço de venda. Marta vende o mesmo perfume com desconto de R$ 20,00 e recebe 30% de comissão sobre o preço de venda. Se as duas recebem o mesmo valor de comissão, qual o preço, em reais, do perfume? a) 26 c) 28 e) 30 b) 27 d) 29 06. (ESPM SP) O Sr. José possui o dinheiro necessário e suficiente para comprar uma mercadoria à vista, com 15% de desconto sobre o preço de tabela. Ele está pensando em fazer uma aplicação desse dinheiro à taxa de 5% ao mês e pagar essa mercadoria após 30 dias, com um desconto de 10% sobre o preço de tabela. Se escolher esta opção, ele:

a) Terá um lucro de 0,25% sobre o preço de tabela. b) Terá um lucro de 1,25% sobre o preço de tabela. c) Terá um prejuízo de 0,75% sobre o preço de tabela. d) Terá um prejuízo de 1,25% sobre o preço de tabela. e) Não terá lucro nem prejuízo. 07. (FGV SP) Augusto comprou dois terrenos pagando um total de R$ 45.000,00. O primeiro foi vendido com um lucro igual a 20% do preço de custo; já o segundo foi vendido com um prejuízo de 10% do preço de custo. Todavia, no total, Augusto acabou ainda lucrando R$ 3.000,00 em relação ao que pagou. A diferença (em valor absoluto) entre os preços pagos na compra, em reais, foi de: a) 3 500 d) 5 000 b) 4 000 e) 5 500 c) 4 500 08. (Mackenzie SP) Uma agência de automóveis vendeu dois veículos por preços iguais, sendo o primeiro com um lucro de 30% sobre o preço de custo e o segundo com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Então, relativamente ao custo total dos veículos, a agência: a) teve um lucro de 7%. b) teve um prejuízo de 7%. c) teve um lucro de 9%. d) teve um prejuízo de 9%. e) não teve lucro nem prejuízo. 09. (FGV SP) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores pagando uma entrada de R$ 200,00 mais uma parcela de R$ 450,00 dois meses após a compra. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho é R$ 600,00: a) R$ 6,25% ao mês b) 5 meses a) Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$ 450,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês? 10. (FGV SP) Bento emprestou R$ 10 000,00 a Carlos, pelo prazo de 10 meses, à taxa de 6,9% ao mês, no regime de juro simples. No entanto, 4 meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, Bento propôs que Carlos antecipasse o pagamento da dívida, utilizando para tal a taxa de 7,5% ao mês, ainda no regime de juro simples. Caso Carlos aceite a proposta de Bento, quanto deverá desembolsar para saldar a dívida? R$ 13.000,00 11. (FGV SP) João investiu R$ 10.000,00 num fundo de renda fixa que remunera as aplicações à taxa de juro composto de 20% ao ano, com o objetivo de comprar um automóvel cujo preço atual é R$ 30.000,00, que é desvalorizado à taxa de juro de 10% ao ano. Depois de quantos anos, João conseguirá adquirir o automóvel pretendido? (Use: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48) 4 anos 391

Matemática

12. (Cefet SP) João tomou emprestado de Beatriz R$ 500,00, comprometendo-se a pagar ao final de 30 dias com juros de 22% ao mês. Ao final dos primeiros 15 dias, João emprestou, por 15 dias, N reais para Cláudia, a juros de 25% a quinzena. Sabendo-se que o valor pago por Cláudia ao final dos 15 dias foi exatamente o mesmo valor que João devolveu para Beatriz nessa mesma data, N é igual a: a) 476 c) 482 e) 494 b) 478 d) 488 13. (UFG GO) Um capital aplicado é acrescido de 25% ao final de cada mês. Quantos meses são necessários para que o montante atinja, no mínimo, cinco vezes o capital inicial? Adote a aproximação: log 2 = 0,301. 8 meses 14. (Unesp SP) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01361 = 36. a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. e) 274,00. 15. (Enem MEC) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: nn Investimento A 3% ao mês.

d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. 16. (Enem MEC) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 180 000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de: a) 2 075,00. b) 2 093,00. c) 2 138,00. d) 2 255,00. e) 2 300,00. 17. (Enem MEC) Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$ 1 202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total. Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado).

nn Investimento B: 36% ao ano. nn Investimento C: 18% ao semestre.

FRENTE E  Exercícios de Aprofundamento

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades: n

1,03n

1,093

1,194

1,305

1,426

Questão 18 a) M1 = 1,04C + 60 e M2 = 1,03C + 150

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuas são iguais a 36%. b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. 392

Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres? a) 240,40 b) 548,11 c) 1 723,67 d) 4 026,70 e) 5 216,68

18. (UFG GO) Duas empresas financeiras, E1 e E2, operam emprestando um capital C, a ser pago numa única parcela após um mês. A empresa E1 cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais 4% de juros sobre o capital emprestado, enquanto a empresa E2 cobra uma taxa fixa de R$ 150,00 mais juros de 3% sobre o capital emprestado. Dessa forma: a) Determine as expressões que representam o valor a ser pago em função do capital emprestado, nas duas empresas, e esboce os respectivos gráficos. b) Calcule o valor de C, de modo que o valor a ser pago seja o mesmo, nas duas empresas. b) Para que o valor pago seja o mesmo, deve-se ter 60 + 1,04.C = 150 + 1,03.C Resolvendo esta equação, obtém-se que o valor do capital emprestado deve ser de R$ 9.000,00.