M É TO D O D O S E L E M E N TO S F I N I TO S
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Universidade Estadual de Campinas Reitor Marcelo Knobel Coordenadora Geral da Universidade Teresa Dib Zambon Atvars
Conselho Editorial Presidente Márcia Abreu Ana Carolina de Moura Delfim Maciel – Euclides de Mesquita Neto Márcio Barreto – Marcos Stefani Maria Inês Petrucci Rosa – Osvaldo Novais de Oliveira Jr. Rodrigo Lanna Franco Da Silveira – Vera Nisaka Solferini
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Aloisio Ernesto Assan
M É TO D O D O S E L E M E N TO S F I N I TO S Primeiros passos
3a edição revista e ampliada
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ficha catalográfica elaborada pelo sistema de bibliotecas da unicamp diretoria de tratamento da informação As72m
Assan, Aloisio Ernesto Método dos elementos finitos: primeiros passos / Aloisio Ernesto Assan. – 3a edição revista e ampliada – Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2020. 1. Método dos elementos finitos. 2. Teoria das estruturas. 3. Mecânica dos sólidos. I. Título.
cdd 515.353 624.171 620.105 ISBN 978-85-268-1517-9
Copyright © by Aloisio Ernesto Assan Copyright © 2020 by Editora da Unicamp
1a edição, 1999 2a edição, 2003
As opiniões, hipóteses, conclusões e recomendações expressas neste material são de responsabilidade do(s) autor(es) e não necessariamente refletem a visão da Editora da Unicamp. Direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19.2.1998. É proibida a reprodução total ou parcial sem autorização, por escrito, dos detentores dos direitos. Printed in Brazil. Foi feito o depósito legal.
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À minha esposa e aos meus filhos.
Não se deve o avanço da ciência ao fato de que se acumulam experiências perceptivas em número crescente no decorrer do tempo. Nem se deve o avanço da ciência ao fato de cada vez mais farı́amos melhor uso de nossos sentidos. Não se pode destilar a ciência a partir das experiências dos sentidos não interpretadas, por mais industrioso que seja o modo pelo qual as escolhamos e selecionamos. Nosso único meio de interpretar a natureza são as idéias audazes, as antecipações injustificadas e o pensamento especulativo: estes são nosso único organon, nosso único instrumento para captá-la. E devemos arriscá-los para conseguir o prêmio. Aqueles de nós que não estão dispostos a expor suas idéias ao risco da refutação não tomam parte no jogo da ciência. Karl Raimund Popper
Sumário
Prefácio
11
1 Notas históricas
15
2 Cálculo variacional – funcionais 2.1 Valores extremos de uma função . . . . . . 2.2 Cálculo variacional . . . . . . . . . . . . . 2.3 Operador variacional . . . . . . . . . . . . 2.4 Extremos de um funcional . . . . . . . . . 2.5 Condições de contorno naturais e essenciais 2.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 19 20 22 28 32
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3 Métodos aproximados 35 3.1 Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4 Método dos elementos finitos 4.1 Fundamentos do método dos elementos finitos 4.1.1 Elemento finito de viga reta . . . . . . 4.2 Generalização do método dos elementos finitos 4.3 Consideração de deformações iniciais . . . . . 4.4 Rotação do sistema de coordenadas . . . . . . 4.5 Elementos estruturais excêntricos . . . . . . . 4.6 Outras considerações . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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57 59 59 75 79 81 83 86 87
5 Elementos finitos unidimensionais 5.1 Elemento finito de treliça . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Elementos finitos de viga e de pórtico plano . . . . . . 5.2.1 Matriz de rigidez do elemento finito . . . . . . . 5.2.2 Vetores de cargas nodais equivalentes . . . . . . 5.2.3 Elementos finitos com rótulas . . . . . . . . . . 5.2.4 Cargas concentradas nos nós dos elementos . . . 5.2.5 Cargas concentradas fora dos nós dos elementos 5.3 Esforços nodais no elemento finito . . . . . . . . . . . . 5.4 Elemento finito de viga de Timoshenko . . . . . . . . . 5.4.1 Elemento básico de Timoshenko . . . . . . . . .
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89 89 94 95 97 101 104 105 110 116 118
. . . . . . . .
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5.4.2
5.5
5.6
5.7 5.8
Solução analı́tica da equação diferencial da viga moshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Elemento finito de Friedman e Kosmatka . . . . Vigas sobre base elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Modelo de Winkler . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Modelo de Pasternak . . . . . . . . . . . . . . . Arcos planos circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Arco básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Arco de Ashwell, Sabir e Roberts . . . . . . . . 5.6.4 Arco de Friedman e Kosmatka . . . . . . . . . . Elemento finito unidimensional em camadas . . . . . . Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Elementos finitos bidimensionais planos 6.1 Descrição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Estado plano de deformação . . . . . . . . . . 6.1.2 Estado plano de tensão . . . . . . . . . . . . . 6.2 Alguns elementos finitos bidimensionais planos . . . . 6.2.1 Elemento finito triangular . . . . . . . . . . . 6.2.2 Elemento finito retangular . . . . . . . . . . . 6.3 Elementos finitos com três graus de liberdade nodais 6.3.1 Elemento finito retangular . . . . . . . . . . . 6.3.2 Elemento finito triangular . . . . . . . . . . . 6.4 Elementos de interface . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Armadura embutida em elemento finito plano . . . 6.6 Requisitos para convergência . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Outras considerações . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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189 . 189 . 189 . 190 . 191 . 192 . 215 . 227 . 229 . 231 . 248 . 252 . 256 . 258 . 259
. . . . . . . . . . . . . .
124 133 137 141 147 157 157 159 165 168 179 185
7 Elementos finitos isoparamétricos 261 7.1 Condensação estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.2 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8 Problemas de campo 8.1 Descrição do problema . . 8.2 Transferência de calor . . 8.3 Torção de barras . . . . . 8.4 Escoamento irrotacional de 8.5 Exercı́cios . . . . . . . . .
. . . . .
277 . 277 . 278 . 282 . 304 . 326
9 Elementos finitos de placas 9.1 Introdução à teoria de placas finas isotrópicas . . . . . . . . . 9.2 Aplicação para alguns elementos finitos . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Elemento básico com quatro nós . . . . . . . . . . . . .
329 . 329 . 333 . 333
. . . . . . . . . . . . fluidos . . . .
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9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.2.7
Elemento triangular com seis nós . . . . . . . . . . . . Elemento finito T21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Placas esconsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento finito T18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento finito laminado de material composto . . . . Resumo da teoria de primeira ordem de Reissner-Mindlin para placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Introdução à análise dinâmica de estruturas 10.1 Introdução à análise dinâmica de estruturas . . . . . . . . 10.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Problemas a serem estudados . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Modelagem da estrutura . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4 Estrutura com um grau de liberdade . . . . . . . . 10.1.5 Estrutura com mais de um grau de liberdade . . . . 10.2 Formulação para o MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Formulação sem amortecimento . . . . . . . . . . . 10.2.2 Formulação com amortecimento . . . . . . . . . . . 10.3 Métodos de análise dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Obtenção das frequências naturais e seus modos de bração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Métodos de análise da vibração forçada . . . . . . . 10.3.3 Aplicação para alguns elementos finitos . . . . . . . 10.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi. . . . . . . .
. . . . .
340 341 349 350 361
. 361
. . . . . . . . . .
377 377 377 378 378 380 393 408 408 411 415
. . . .
415 423 431 471
A Referências
473
B Bibliografia complementar
479
C Integração de funções C.1 Integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Quadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . C.1.2 Fórmula de Lobatto . . . . . . . . . . . . . . C.1.3 Integração numérica em domı́nios triangulares C.2 Integração exata em domı́nios triangulares . . . . . .
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. . . . .
489 . 489 . 489 . 493 . 495 . 496
D Representação geométrica do Jacobiano
501
E Programas de computador
505
Índice
537
Prefácio
A motivação para escrever um texto didático sobre o método dos elementos finitos, destinado a alunos dos cursos de graduação em engenharia e àqueles que estejam iniciando-se na pós-graduação, foi a escassez de livros em português sobre este tema. Os assuntos são abordados da forma como são ministrados na disciplina Introdução ao método dos elementos finitos do curso de graduação da Faculdade de Engenharia Civil da Unicamp e têm basicamente o mesmo conteúdo de vários outros livros sobre elementos finitos dos quais alguns são citados nos Apêndices A e B. Portanto não houve a pretensão de escrever um trabalho original, no sentido de introduzir novidades ao assunto. Procurou-se escrever em linguagem simples e acessı́vel a alunos que tenham conhecimento do cálculo diferencial e integral e da mecânica das estruturas ensinados nos cursos de graduação. No Capı́tulo 1, faz-se uma abordagem histórica resumida da evolução do método dos elementos finitos. No Capı́tulo 2, apresenta-se o cálculo variacional, introduzindo a noção de funcional tomando como comparação o cálculo diferencial e integral que já é do conhecimento dos leitores. O Capı́tulo 3, traz os métodos de Rayleigh-Ritz e Galerkin, precurssores do método dos elementos finitos, expondo a teoria acompanhada de exercı́cios resolvidos, preparando o leitor para assimilar com mais facilidade o método dos elementos finitos. O método dos elementos finitos propriamente dito começa a ser visto no Capı́tulo 4, no qual é abordado o elemento unidimensional e mostrado como são determinados sua matriz de rigidez e seus vetores de cargas nodais equivalentes. Dedica-se o Capı́tulo 5 ao elemento finito unidimensional empregado na análise de pórticos planos. Nesse capı́tulo, desenvolvem-se a matriz de rigidez e vetores de cargas nodais equivalentes para o referido elemento finito. Os elementos finitos bidimensionais são vistos no Capı́tulo 6. Vários elementos triangulares e retangulares têm suas matrizes de rigidez e vetores de cargas nodais equivalentes explicitamente apresentados. Aı́ mostram-se vários exemplos comparando o comportamento dos elementos finitos expostos. Lá, também, mostram-se os requisitos para convergência dos elementos finitos baseados no modelo de deslocamentos. No Capı́tulo 7, são tratados os elementos isoparamétricos. Os problemas de campo são vistos no Capı́tulo 8. Aqui também são resol11
12 vidos diversos exemplos com valores obtidos por meio de programas de computador desenvolvidos por este autor. As referências bibliográficas estão no Apêndice A. No Apêndice B, desenrolase uma extensa lista de livros sobre o método dos elementos finitos, propiciando ao leitor outras fontes de estudo e pesquisa. O Apêndice C apresenta de forma ampla a integração de funções em domı́nios triangulares e retangulares. São mostradas as integrações aproximadas de Gauss-Legendre e Lobatto e as integrações exatas para domı́nios triangulares como consta da literatura usual. O Apêndice D contém a representação geométrica do Jacobiano. Os programas-fonte dos cinco softwares desenvolvidos pelo autor: FRAME.FOR, PLANAR.FOR, TORQ.FOR, TORT.FOR e FLUIT.FOR, respectivamente para análise de pórticos planos, estudo de problemas de estados planos de tensão e deformação, de torção com elemento finito quadrilateral, de torção de barras com elemento finito triangular e de escoamento irrotacional de fluido com elemento finito triangular e os arquivos de dados dos diversos exemplos que ilustram este livro estão disponı́veis e podem ser copiados no endereço da INTERNET: http://www.fec.unicamp.br/˜assan/. Há muitas pessoas a quem devo agradecer pela cooperação na elaboração deste livro. O apoio e incentivo da minha esposa e filhos foi essencial para que isso ocorresse. A paciência, compreensão e resignação que sempre tiveram vendo-me sentado diante do computador digitando, desenhando e elaborando os programas permitiram que eu terminasse este trabalho. A eles sou muitı́ssimo agradecido. Vários colegas colaboraram na revisão do texto, melhoraram-no com sugestões e contribuı́ram para o aprimoramento do livro e de meus conhecimentos. Aos alunos do curso de engenharia civil da Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp Sidney Kitadani Satake e Jeferson Cassiano, bolsistas de iniciação cientı́fica da Fapesp, sob minha orientação, agradeço pela colaboração na conferência de alguns exemplos dos Capı́tulos 6 e 8. Obrigado aos professores-doutores da Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp: Francisco Antonio Menezes, Pérsio Leister de Almeida Barros, Isaias Vizotto, Mario Conrado Cavichia e Renato Soliani. Aos dois primeiros, dois mágicos da computação que fazem o que apenas sonho em fazer, pela inestimável ajuda na edição deste livro e responsáveis pela presença das duas últimas figuras no exercı́cio 4 do Capı́tulo 8. Ao Isaias por ter utilizado parte de alguns capı́tulos, quando ainda o texto estava em fase de elaboração, na discilplina eletiva Introdução ao método dos elementos finitos ministrada na Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, o que permitiu que mais pessoas pudessem colaborar na melhoria do conteúdo e na revisão do texto. Aos dois últimos pela paciência com que me ouviram e pelas sugestões, sobretudo no primeiro capı́tulo. Externo um agradecimento especial ao professor-doutor Walter Savassi,
13 hoje aposentado pela Escola de Engenharia de São Carlos da USP, com quem tive o privilégio de trabalhar na ministração de aulas das disciplinas Resistência dos Materiais na Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, ainda em Limeira, que, como meu orientador no doutorado, conduziu-me em meus primeiros passos pelo método dos elementos finitos. Prefácio à 2a edição O objetivo da segunda edição do livro Método dos Elementos Finitos foi o de apresentar elementos finitos com formulações diversas e comparar, entre eles, os resultados obtidos na análise de vários tipos de estruturas, mostrando aos leitores como a introdução de novos parâmetros e de hipóteses nas suas formulações melhora as soluções obtidas, quando comparadas com valores teóricos, que são considerados “valores exatos”. Além disso, dois novos capı́tulos foram incluidos: um abordando a análise de placas elásticas e outro introduzindo a análise dinâmica em barras e placas. Todos os resultados dos exemplos apresentados no livro foram obtidos pelo autor com programas elaborados por ele, com a finalidade de incentivar os leitores a desenvolver seus próprios programas, realizando trabalhos de iniciação cientı́fica ou de final de curso. Essa atividade ajuda a analisar com maior firmeza os resultados obtidos com programas comerciais, quando são utilizados elementos finitos diferentes do mesmo elemento estrutural. Os Capı́tulos 1, 2, 3, 4, 7 e 8 foram mantidos. O Capı́tulo 5 foi praticamente todo reescrito, com a introdução de elementos de treliça e de arco, elementos de viga e de arco com rótulas e de viga sobre base elástica. Neste capı́tulo também foram introduzidos elementos finitos de viga e de arco formulados com a teoria de Timoshenko, que leva em consideração o efeito das deformações de cisalhamento na obtenção das matrizes de rigidez e de massa. O Capı́tulo 6 sofreu alterações, principalmente na apresentação das matrizes de rigidez e dos vetores de cargas, além da inclusão de elementos de interface. Aumentou-se o número de exemplos e de análises dos resultados. No Capı́tulo 9 encontra-se a análise de placas elásticas. Inicialmente apresenta-se um resumo da teoria de placas finas isotrópicas e em seguida são apresentados os elementos finitos. O primeiro é o denominado elemento básico por tratar-se de um elemento retangular com 4 nós e 3 graus de liberdade por nó (dois deslocamentos e uma rotação). Em seguida, vem um elemento finito triangular com 6 nós e 21 monômios que formam um polinômio completo do quinto grau nas váriáveis x e y, razão pela qual foi chamado de T21. Por consequência esse elemento tem nós nos vértices e 1 nó no meio de cada lado. Os graus de liberdade são: o deslocamento transversal, as duas rotações em x e em y, e as três curvaturas, totalizando 21 graus de liberdade. Posteriormente esse elemento é transformado no T18 com a eliminação dos nós internos aos lados. Com esse elemento pode-se impor as condições de contorno de deslocamentos e de esforços, por conter as três derivadas segundas
14 do deslocamento (as curvaturas). São apresentados exemplos comparando os resultados dos elementos básico e T18 para placas retangulares e esconsa. Outro elemento finito é apresentado; este para analisar placas laminadas de material composto. Um resumo da teoria de placas laminadas precede a apresentação do elemento finito laminado (TK6) criado por Kosmatka, que leva em consideração o efeito das deformações devidas ao esforço cortante – teoria de Reissner-Mindlin. Em quatro exemplos são apresentados os resultados utilizando os elementos T18 e o TK6, comparando as performances de ambos com os valores teóricos. O Capı́tulo 10 é dedicado à analise dinâmica. Inicialmente faz-se uma explanação da teoria utilizada neste capı́tulo, abordando a obtenção de frequências naturais para os diversos elementos estruturais mostrados nos capı́tulos anteriores e a análise dinâmica com cargas estacionárias e móveis. São obtidas as matrizes de massa para elementos de treliça, de vigas e de pórticos sem rótulas e de placas. Diversos exemplos são resolvidos e comentados. Mais uma vez agradeço aos meus colegas da FEC-Unicamp doutores Francisco Antonio Menezes e Pérsio Leister de Almeida Barros pela ajuda que permitiu que eu pudesse terminar este livro; sem eles eu certamente não teria tido sucesso. Também agradeço ao professor Dr. Gustavo Henrique Siqueira, do Departamento de Estruturas da FEC-Unicamp, pelas proveitosas sugestões para os dois últimos capı́tulos deste livro.
Capı́tulo 1
Notas históricas A intenção deste capı́tulo é mostrar que a “idéia” do método dos elementos finitos não está vinculada a uma pessoa ou a um grupo de pessoas da mesma época. Não se pretende também traçar uma revisão histórica, mas apenas ilustrar este livro com alguns nomes cuja contribuição foi marcante para seu desenvolvimento. Há mais de dois mil anos, filósofos gregos já haviam elaborado teorias nas quais supunham que todas as coisas eram formadas por inúmeras partı́culas. Assim, Leucipo e Demócrito estabeleceram que tudo era constituı́do por um número infinitamente grande de partı́culas denominadas pelo último de átomos. Eudóxio, criador do método da exaustão, que consiste em inscrever e circunscrever figuras retilı́neas em figuras curvilı́neas, já pensava, dessa forma, em discretizar a figura contı́nua para facilitar certos cálculos. Esse método permitiu que fossem calculados áreas de figuras curvas e volumes de sólidos como esferas e cones. Ele é equivalente à passagem ao limite do cálculo integral e diferencial. Mais recentemente, na década de 30, McHenry e Hrennikoff substituı́ram um elemento estrutural contı́nuo, como, por exemplo, uma placa, por uma estrutura formada por barras seguindo a geometria original, mantendo as mesmas condições de vinculação e cargas. Esses métodos, que originaram a análise matricial, embora considerem o meio contı́nuo discretizado por elementos com propriedades de rigidez e elasticidade conhecidas, não apresentam o aspecto conceitual implı́cito no método dos elementos finitos. Este consiste não apenas em transformar o sólido contı́nuo em uma associação de elementos discretos e escrever as equações de compatibilidade e equilı́brio entre eles, mas admitir funções contı́nuas que representam, por exemplo, o campo de deslocamentos no domı́nio de um elemento e, a partir daı́, obter o estado de deformações correspondente que, associado às relações constitutivas do material, permitem definir o estado de tensões em todo o elemento. Este estado de tensões é transformado em esforços internos que têm de estar em equilı́brio com as ações externas. Essa formulação é derivada do método de Rayleigh-Ritz que se baseia na minimização da energia potencial total do sistema, escrita em função de um campo predefinido de deslocamentos (método dos deslocamentos).
15
16
Notas históricas
Courant, matemático de renome, em 1943, aplicou esse procedimento no estudo da torção de Saint-Venant de seções vazadas. Argyris e Kelsey publicaram uma série de trabalhos, na metade dos anos 50, nos quais a formulação matricial do método de Rayleigh-Ritz ficou definitivamente determinada e foi aplicada para analisar, principalmente, fuselagems e asas de aviões, simulando-as como constituı́das por barras e painéis. O método dos elementos finitos teve sua formulação estabelecida da forma como hoje é conhecida com a publicação do trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp, em 1956. Clough, autor do nome (método dos elementos finitos, em contraposição aos elementos infinitesimais do cálculo diferencial), descreve em detalhes sua participação no desenvolvimento desse método em artigo publicado em 1980. Embora sua formulação já fosse conhecida desde o inı́cio dos anos 50, o método dos elementos finitos passou a ser difundido e aplicado nas diversas áreas – além da engenharia estrutural – com a rápida evolução e expansão dos computadores. Atualmente, há centenas de programas computacionais comerciais de uso corrente em diversas áreas do conhecimento que utilizam esse método para análises linear e não-linear. O método dos elementos finitos está hoje completamente agregado às atividades do engenheiro, de modo que seu aprendizado é essencial para que se possa lidar com lucidez com os programas comerciais disponı́veis em quase todos os escritórios de projetos. Todavia não se pode esquecer que os fundamentos nos quais o método dos elementos finitos se sustenta têm de ser apreendidos, e nomes como Bernoulli, Navier, Lagrange, Cauchy, Mohr, Maxwell, Clapeyron, Castigliano, Betti e tantos outros não podem deixar de ser lembrados.
Capı́tulo 2
Cálculo variacional – funcionais 2.1 Valores extremos de uma função Sabe-se do cálculo diferencial que a condição necessária para que uma função f (x), diferenciável no intervalo x1 < x < x2 , tenha um valor extremo no ponto (x0 , f (x0 )) é que a primeira derivada da função no ponto x0 seja nula: df (x) 0 =0 f (x0 ) = dx x=x0 Geometricamente, isso significa que a reta tangente à curva f (x) no ponto x0 é horizontal. Então, três possibilidades podem ocorrer, como mostra a Figura 2.1: a) o ponto x0 é um ponto de máximo relativo da função f (x) (Figura 2.1a); b) o ponto x0 é um ponto de mı́nimo relativo da função f (x) (Figura 2.1b); c) o ponto x0 é um ponto de inflexão da função f (x) (Figura 2.1c). Para identificar a qual dessas condições corresponde o valor extremo da função no ponto x0 , toma-se a derivada segunda da função nesse ponto. Se f 00 (x0 ) > 0, a função tem um mı́nimo relativo, se f 00 (x0 ) < 0, a função tem um máximo relativo. Pode ocorrer que, num certo ponto x = a, tenha-se f 0 (a) = f 00 (a) = 0, o que impossibilita o estudo descrito acima. Essa dificuldade é contornada escrevendo a função como uma série de Taylor expandida na vizinhança do ponto x = a: df 1 d2 f 1 d3 f 2 (x−a)+ (x−a) + (x−a)3 +· · · f (x) = f (a)+ dx x=a 2! dx2 x=a 3! dx3 x=a (2.1) admitindo que f (x) tenha derivadas contı́nuas na vizinhança do ponto x = a. A igualdade (2.1) pode ser escrita em uma forma mais compacta como: f (x) − f (a) = f 0 (a)δx +
1 00 1 f (a)(δx)2 + f 000 (a)(δx)3 + · · · 2! 3! 17
(2.2)
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Capı́tulo 2. Cálculo variacional – funcionais
onde: δx = x − a. Analisando a igualdade (2.2), pode-se chegar às condições necessária e suficiente para existência de máximos e mı́nimos. Para isso, supõe-se que f (a) seja um valor extremo da função no intervalo x1 < a < x2 . Assim, f (x) − f (a) será um número positivo se na vizinhança de x = a o valor da função for um mı́nimo; será um máximo se f (x) − f (a) for negativo. Como δx pode ser positivo ou negativo para os valores admissı́veis de x, então deve-se ter f 0 (a) = 0 por ser o primeiro termo do lado direito dessa igualdade de valor predominante. A condição necessária para que se tenha um valor extremo no ponto x = a é que f 0 (a) = 0.
Figura 2.1: a) Ponto de máximo relativo. b) Ponto de mı́nimo relativo. c) Ponto de inflexão. Como o primeiro termo do lado direito da igualdade é nulo, o termo predominante da série é o que contém a derivada segunda. Como (δx)2 é sempre positivo, tem-se que f (a) é um valor mı́nimo se f 00 (a) > 0 e um valor máximo se f 00 (a) < 0, o que corresponde à condição de suficiência. Admitindo-se que as derivadas até a ordem n−1 se anulem no ponto x = a, ou seja: f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f n−1 (a) = 0 mas, sendo f n (a) 6= 0, pode-se concluir que: se n for par, então: f (a) é um valor máximo se f n (a) < 0 f (a) é um valor mı́nimo se f n (a) > 0. Se n for ı́mpar, tem-se um ponto de inflexão. De modo análogo, a condição necessária para que uma função bidimensional f (x, y), diferenciável, tenha um valor extremo no ponto de coordenadas x = x0 e y = y0 , é que seu diferencial se anule, ou seja: df =
∂f ∂f dx + dy = 0 em (x0 , y0 ) ∂x ∂y
(2.3)
Método dos elementos finitos ou de modo equivalente:
∂f ∂x
=
19 ∂f ∂y
= 0 em (x0 , y0 ).
2.2 Cálculo variacional O surgimento do cálculo variacional deve-se a Jean Bernoulli (1667-1778) que, em 1696, propôs a Euler o problema: dados dois pontos A e B em um plano vertical, qual o caminho que um corpo deve seguir, descendo de A para B, sem atrito, no mı́nimo tempo? Leonhardt Euler (1707-1783) resolveu-o encontrando a curva denominada braquistócrona (do grego: brachistos=menor e chronos=tempo) ou ciclóide. No cálculo variacional, ou cálculo de variações, não se trabalha com funções, mas com funcionais. Um funcional é uma entidade que depende de uma função, ou seja, é função de uma função. Por exemplo, as coordenadas do baricentro da figura limitada pelas funções f1 (x) e f2 (x), mostrada na Figura 2.2a, contêm funcionais do tipo: Rb
x[f2 (x) − f1 (x)]dx xc = Ra b [f (x) − f1 (x)]dx a 2 yc =
1 2
Rb a
[f2 (x) + f1 (x)][f2 (x) − f1 (x)]dx Rb [f (x) − f1 (x)]dx a 2
Figura 2.2: Exemplos de funcionais. Também é um funcional a expressão matemática que representa o comprimento de uma curva – como a mostrada na Figura 2.2b – dada por: Z
x2
l= x1
p 1 + (y 0 )2 dx
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Capı́tulo 2. Cálculo variacional – funcionais
O cálculo variacional estuda os métodos que permitem achar os valores extremos dos funcionais. As leis da mecânica que aplicam esses métodos são chamadas de princı́pios variacionais. A eles pertencem, por exemplo, o princı́pio da mı́nima energia potencial, o princı́pio da mı́nima ação e a lei da conservação da energia.
2.3 Operador variacional Seja F uma função dependente da função y e de sua derivada y 0 = representada pela notação:
dy , dx
F = F (x, y, y 0 ) No intervalo x1 < x < x2 , a função y = y(x) assume os valores y1 = y(x1 ) e y2 = y(x2 ), como mostra a Figura 2.3.
Figura 2.3: Funções y(x) e y(x). A função y(x) pode ser imaginada como sendo, por exemplo, a representação analı́tica exata das deflexões de uma viga em equilı́brio sob um certo estado de carregamento. Diz-se que uma função é admissı́vel quando, dentro de uma certa tolerância e satisfazendo as condições de contorno, representam a função exata y(x). A função admissı́vel tem a forma: ȳ(x) = y(x) + λη(x)
(2.4)