Análise computacional de estruturas by Editora da Unicamp

A N Á L I S E CO M P U TAC I O N A L D E E S T R U T U R A S

Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Coordenador Geral da Universidade Edgar Salvadori de Decca

Conselho Editorial Presidente Paulo Franchetti Alcir Pécora – Arley Ramos Moreno José A. R. Gontijo – José Roberto Zan Marcelo Knobel – Marco Antonio Zago Sedi Hirano – Yaro Burian Junior

Marco Lúcio Bittencourt

A N Á L I S E CO M P U TAC I O N A L DE ESTRUTURAS Com aplicação do Método de Elementos Finitos

ficha catalográfica elaborada pelo sistema de bibliotecas da unicamp diretoria de tratamento da informação

B548a

Bittencourt, Marco Lúcio. Análise computacional de estruturas : com aplicação do Método de Elementos Finitos / Marco Lúcio Bittencourt. – Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2010. 1. Método de Elementos Finitos. 2. Análise estrutural. 3. Teoria das estruturas. 4. ANSYS (programa de computador). I. Título. cdd 620.00151

624.171 005.43

isbn 978-85-268-0911-6 Índices para catálogo sistemático: 1. Método de Elementos Finitos 2. Análise estrutural 3. Teoria das estruturas 4. ANSYS (programa de computador)

Nenhuma parte desta publicação pode ser gravada, armazenada em sistema eletrônico, fotocopiada, reproduzida por meios mecânicos ou outros quaisquer sem autorização prévia do editor.

Editora da Unicamp Rua Caio Graco Prado, 50 – Campus Unicamp cep 13083-892 – Campinas – sp – Brasil Tel./Fax: (19) 3521-7718/7728 www.editora.unicamp.br – vendas@editora.unicamp.br

620.00151 624.171 624.171 005.43

Sum´ ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Nomenclatura

Pref´ acio

1 Introdu¸c˜ ao 1.1 Conceitos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25

2 Barra em tra¸c˜ ao e viga em flex˜ ao pura 2.1 Barra em tra¸cão simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Viga em flexão pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coeficientes de influência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Elemento de mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Elemento de barra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Deforma¸cão longitudinal espec´ıfica e tensão normal . . . . 2.5.2 Elemento de barra no sistema global de referência . . . . . 2.6 Determina¸cão da equa¸cão global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Cálculo das deforma¸cões e tensões nos elementos de barra . 2.7 Elemento de viga em flexão pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Elemento de viga em tra¸cão e flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

29 29 31 32 34 36 37 37 40 46 47 54 57

. . . .

59 60 62 90 102

3 Introdu¸c˜ ao ao programa ANSYS 3.1 Organiza¸c˜ao do ANSYS . . . . 3.2 Treli¸ca . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Viga . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Exerc´ıcios propostos . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

4 Equa¸c˜ oes b´ asicas de elasticidade 105 4.1 Estado geral de deforma¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2 Deforma¸cões térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Conceito de tensão . . . . . . . . Estado de tensão em um ponto . Equa¸cões diferenciais de equil´ıbrio Lei de Hooke . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios propostos . . . . . . .

. . . . .

5 Equa¸c˜ ao de movimento 5.1 Trabalho e energia de deforma¸cão . . . . . . 5.2 Identidade de Green . . . . . . . . . . . . . 5.3 Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . 5.4 Discretiza¸cão de um sistema cont´ınuo . . . . 5.5 Equa¸cão de movimento . . . . . . . . . . . . 5.6 Elemento de barra plana . . . . . . . . . . . 5.7 Elemento de viga plana . . . . . . . . . . . . 5.8 Forma fraca do problema de barra em tra¸cão 5.9 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . 6 Fun¸co ˜es de interpola¸c˜ ao 6.1 Sistemas de referência global e local . . . . . 6.2 Fun¸cões de forma . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Elementos unidimensionais . . . . . . . . . . 6.3.1 Elemento linear . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Elemento quadrático . . . . . . . . . 6.3.3 Elemento c´ ubico . . . . . . . . . . . 6.3.4 Elemento quártico . . . . . . . . . . 6.4 Elemento bidimensional linear . . . . . . . . 6.5 Elementos isoparamétricos . . . . . . . . . . 6.6 Jacobiano e cálculo das derivadas globais . . 6.7 Dedu¸cão da matriz de rigidez de barra plana 6.8 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

7 Fun¸co ˜es de forma para quadrados e hexaedros 7.1 Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Elemento quadrático . . . . . . . . . . . 7.2.2 Elemento c´ ubico . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Elemento quártico . . . . . . . . . . . . 7.3 Hexaedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Elemento linear . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Elemento quadrático . . . . . . . . . . . 7.3.3 Elemento c´ ubico . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

111 114 119 122 126

. . . . . . . . .

127 127 132 134 141 142 145 148 150 152

. . . . . . . . . . . .

153 153 156 157 157 158 159 160 161 163 166 169 171

. . . . . . . . .

173 173 176 176 181 183 185 185 187 188

8 Fun¸co ˜es de forma para triˆ angulos e tetraedros 8.1 Coordenadas de área . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Elemento linear . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Elemento quadrático . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Elemento c´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Elemento quártico . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Cálculo do jacobiano e das derivadas globais 8.3 Coordenadas de volume . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Tetraedro linear . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Tetraedro quadrático . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Tetraedro c´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Cálculo do jacobiano e das derivadas globais 8.5 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Integra¸c˜ ao num´ erica 9.1 Quadratura de Newton-Cotes . . . 9.2 Quadratura de Gauss-Legendre . . 9.3 Integra¸cão numérica bidimensional 9.4 Integra¸cão numérica tridimensional 9.5 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Estudo de casos 10.1 Estado plano de tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Estado plano de deforma¸cão . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Estruturas axissimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Considera¸cões sobre elementos finitos isoparamétricos 10.4.1 Integra¸cão numérica . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Cálculo de tensões . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Considera¸cões sobre modelamento . . . . . . . 10.5 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

193 193 194 195 196 200 200 204 206 207 208 209 211 212 214

. . . . .

215 215 217 220 225 225

. . . . . . . .

227 227 233 234 240 240 242 242 243

Referˆ encias bibliogr´ aficas

245

A Vetores e matrizes A.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Matriz nula . . . . . . . . . . A.2.2 Matriz quadrada . . . . . . . A.2.3 Matriz diagonal . . . . . . . . A.2.4 Matriz unit´aria ou identidade

247 247 248 249 249 249 249

. . . . . .

A.2.5 Matrizes diagonais superior e inferior A.2.6 Matriz banda . . . . . . . . . . . . . A.2.7 Matrizes simétrica e antissimétrica . A.2.8 Particionamento de uma matriz . . . A.2.9 Matriz transposta . . . . . . . . . . . A.3 Opera¸cões matriciais . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Adi¸cão e subtra¸cão . . . . . . . . . . A.3.3 Multiplica¸cão . . . . . . . . . . . . . A.4 Sistema de equa¸cões lineares . . . . . . . . . A.5 Problema de autovalor . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

250 250 251 251 252 252 252 252 252 253 253

B M´ etodo de Cholesky 255 B.1 Decomposi¸cão de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 B.2 Aplica¸cão do método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 C Comandos do programa ANSYS C.1 Comandos do ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.3 Tipo de elemento . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.4 Constantes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.5 Carregamentos e condi¸cões de contorno . . . . C.1.6 Casos de carregamentos . . . . . . . . . . . . C.1.7 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.8 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . C.1.9 Reordenamento dos elementos . . . . . . . . . C.1.10 Tipo de análise . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.11 Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.12 Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ C.1.13 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.14 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.15 Gera¸cão de malha . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.16 Aplica¸cão de condi¸cões de contorno ao modelo C.1.17 Sele¸cão de entidades . . . . . . . . . . . . . . C.1.18 Comandos / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.19 Graus de liberdade masters . . . . . . . . . . C.1.20 Comandos de visualiza¸cão . . . . . . . . . . . C.1.21 Pós-processador . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.22 Outros comandos . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 259 259 260 260 260 261 261 261 262 262 262 262 263 264 264 265 265 266 266 266 266 267 267

D Exemplos analisados com o ANSYS D.1 Estrutura reticulada . . . . . . . . . . . . . D.2 Deforma¸cão em vigas . . . . . . . . . . . . . D.3 Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.4 Estudo de um eixo . . . . . . . . . . . . . . D.5 Viga: problema de estado plano de tensão . D.6 Problema com simetria . . . . . . . . . . . . D.7 M´ ultiplos carregamentos . . . . . . . . . . . D.8 Gera¸cão automática de malhas em áreas . . D.9 Gera¸cão automática de malha em volumes . D.10 Simetria em volumes . . . . . . . . . . . . . D.11 Estrutura modelada por elementos de placa

. . . . . . . . . . .

269 269 271 272 275 278 280 283 284 286 289 292

1.2

Corpo considerado como meio cont´ınuo e sua discretiza¸c˜ao em elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superposi¸c˜ao das matrizes dos elementos na matriz global. . . . . . . .

26 27

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16

Barra submetida a uma for¸ca de tra¸cão P . . . . . . . . . . . . . . . . . Deforma¸cão em vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrutura elástica sob a¸cão de for¸cas F1 , . . . , Fn . . . . . . . . . . . . . . Mola de constante elástica k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estados de deslocamentos para a mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ . . . Elemento de barra plana segundo o sistema de referência local X. Elemento da barra no sistema global XY . . . . . . . . . . . . . . . . . Treli¸ca analisada estaticamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numera¸cão dos nós, graus de liberdade e elementos. . . . . . . . . . . . ¯ Y¯ . . . . Elemento de viga plana segundo o sistema de referência local X Estados cinemáticos para a viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo de viga plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento de viga com flexão e tra¸cão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transforma¸cão global-local para o elemento de viga com tra¸cão e flexão. Viga com esfor¸cos de flexão e tra¸cão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios 2.1 e 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 31 33 34 35 36 38 40 41 48 48 50 54 55 56 58

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Interface gráfica do ANSYS. . . Módulos do programa ANSYS. Defini¸cão do t´ıtulo da análise. . Defini¸cão do tipo de elemento. . Menu de tipos de elementos. . .

60 61 62 63 64

. . . . . . . . . . .

Lista de Figuras 1.1

. . . . .

3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47

Finalizando a sele¸cão do tipo de elemento. . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão das constantes reais para os elementos. . . . . . . . . . . . . Defini¸cão da área da se¸cão transversal das barras 1 a 4. . . . . . . . . Defini¸cão das constantes do conjunto 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão da área da se¸cão transversal das barras 5 e 6. . . . . . . . . Finalizando as defini¸cões das constantes reais. . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão do modelo de material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão do módulo de elasticidade do material. . . . . . . . . . . . . Defini¸cão dos nós usando a op¸cão Working Plane. . . . . . . . . . . . Defini¸cão das coordenadas nodais do nó 1. . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão das coordenadas nodais do nó 4. . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão dos atributos dos elementos 1 a 4. . . . . . . . . . . . . . . Cria¸cão dos elementos 1 a 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸cão do elemento 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸cão do elemento 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finalizando a defini¸cão dos elementos 1 a 4. . . . . . . . . . . . . . . Sele¸cão do segundo conjunto de constantes reais. . . . . . . . . . . . . Cria¸cão do elemento 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malha final da treli¸ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Janela para indicar os n´ umeros dos nós com apoios. . . . . . . . . . . Defini¸cão dos apoios em UX e UY dos nós 1 e 4. . . . . . . . . . . . . Treli¸ca com os apoios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplica¸cão da for¸ca sobre o nó 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mostrando a for¸ca aplicada ao nó 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela com as for¸cas nodais na treli¸ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . In´ıcio da solu¸cão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusão do processo de solu¸cão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão da tabela de resultados dos elementos. . . . . . . . . . . . . Leitura dos valores das for¸cas axiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leitura dos valores da tensão normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela final de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometria deformada da treli¸ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listagem da tabela de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela com os resultados de for¸ca e tensão normais nos elementos. . . Gráfico de for¸ca normal nas barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representa¸cão gráfica para os resultados de for¸cas normais nas barras. Sele¸cão da coluna de resultados da tensão normal. . . . . . . . . . . . Representa¸cão gráfica para a tensão normal nas barras. . . . . . . . . For¸cas de rea¸cão para os nós 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela com os valores das rea¸cões de apoio. . . . . . . . . . . . . . . Solu¸cão nodal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finalizando o programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 65 66 66 67 67 68 68 69 70 70 71 72 72 73 73 74 74 75 75 76 76 77 78 78 79 79 80 81 81 82 83 83 84 84 85 85 86 86 87 87 88

3.48 3.49 3.50 3.51 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.57 3.58 3.59 3.60 3.61 3.62 3.63 3.64 3.65 3.66 3.67 3.68 3.69 3.70

Tipo de elemento BEAM3 para a viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸cão das propriedades geométricas dos elementos de viga. . . . . . Cria¸cão do primeiro nó da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸cão do quarto nó da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uso do comando FILL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸cão dos nós com o comando FILL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malha final da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela de resultados nos elementos da malha da viga. . . . . . . . . . . Geometria deformada da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listagem das for¸cas normal e cortante e do momento fletor para os nós dos elementos de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listagem das tensões normais para os nós dos elementos de viga. . . . . Listagem das tensões normais resultantes para os nós dos elementos de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selecionando a for¸ca cortante em cada nó dos elementos de viga. . . . . Diagrama da for¸ca cortante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sele¸cão do momento fletor em cada nó dos elementos de viga. . . . . . Diagrama do momento fletor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gráficos para a coluna SDPI. . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gráficos para a coluna SDPJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gráficos para a coluna SBI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gráficos para a coluna SBJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . For¸ca nodal equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Treli¸ca do exerc´ıcio 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga do exerc´ıcio 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2 4.3

Corpo submetido à a¸cão de um sistema de for¸cas externas. . . . . . . . Elemento infinitesimal de um corpo em torno do ponto P . . . . . . . . Plano xy do elemento infinitesimal utilizado para a determina¸cão das deforma¸cões espec´ıficas ǫxx , ǫyy e distor¸cão γxy . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Elemento infinitesimal submetido a um gradiente de temperatura ∆T . . 4.5 Distribui¸cão de esfor¸cos internos na se¸cão transversal do corpo. . . . . . 4.6 Componentes de um estado geral de tensão em um ponto O do corpo tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Corpo sólido submetido a um sistema de for¸cas externas. . . . . . . . . 4.8 Partes inferiores do corpo sólido obtidas pelos cortes através dos planos mm e nn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Componentes de tensão no ponto O do corpo tridimensional. . . . . . . 4.10 Tetraedro elementar no ponto O e suas componentes médias de tensão. 4.11 Paralelep´ıpedo elementar com suas componentes médias de tensão. . . . 5.1

Diagrama for¸ca × deslocamento para a deforma¸c˜ao de um corpo.

90 91 92 92 93 93 94 94 95 95 96 96 97 98 98 99 99 100 100 101 101 103 103 106 106 107 111 112 113 115 116 117 117 120

. . . 128

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Diagrama de tensão × deforma¸cão. . . . . . . . Momento fletor na se¸cão transversal da viga. . . Proje¸cão da área elementar dS sobre o plano yz. Esfor¸cos externos em uma barra. . . . . . . . . Esfor¸cos externos em uma viga. . . . . . . . . . Meio cont´ınuo discretizado por elementos finitos. Polinômios de Hermite e suas derivadas. . . . . Vigas do exerc´ıcio 5.2. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

129 130 133 137 138 141 149 152

6.1 6.2 6.3

Mapeamento entre os sistemas de referência global X e local ξ. . . . . . Transforma¸cão entre os sistemas de referência global e local. . . . . . . Transforma¸cão entre os sistemas de referência global e local utilizando fun¸cões de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos no sistema de referência local ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional quadrático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional quártico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento quadrangular linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos lagrangianos quadrangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos finitos subparamétrico, isoparamétrico e superparamétrico. . Exemplo de transforma¸cão entre os sistemas de referência local e global utilizando-se as fun¸cões de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo de transforma¸cão de um arco de c´ırculo. . . . . . . . . . . . . Condi¸cão para que os elementos quadrangulares linear e quadrático não apresentem distor¸cão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios 6.2, 6.4 e 6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153 154

6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13

. . . . . . . .

Triângulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos planos da fam´ılia serendipity. . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸cão de forma para os nós do quadrado linear. . . . . . . . . . . Elemento quadrático da fam´ılia serendipity. . . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de forma para os nós do elemento quadrático. . . . . . . . . Elemento quadrangular c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de forma do elemento c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de forma para os elementos quadrático e c´ ubico da fam´ılia grangiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento quadrangular quártico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de forma para os nós do elemento quártico. . . . . . . . . . Elementos espaciais linear, quadrático e c´ ubico. . . . . . . . . . . . Elemento espacial linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento espacial quadrático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . la. . . . . . . . . . . .

155 156 157 158 160 161 162 163 163 165 166 168 171 175 177 177 178 179 181 183 184 185 186 186 187 189

7.14 Elemento espacial de terceiro grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16

Coordenadas de área para triângulos. . . . . . . . . . Elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento triangular linear. . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de interpola¸cão para o triângulo linear. . . . Elemento triangular quadrático. . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de interpola¸cão para o triângulo quadrático. Elemento triangular c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de interpola¸cão para o triângulo c´ ubico. . . . Elemento triangular quártico. . . . . . . . . . . . . . Fun¸cões de interpola¸cão para o triângulo quártico. . . Coordenadas de volume: componente L1 . . . . . . . . Tetraedros linear, quadrático e c´ ubico. . . . . . . . . Tetraedro linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetraedro quadrático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetraedro c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1

Pontos igualmente espa¸cados para a técnica de integra¸cão de NewtonCotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos de integra¸cão de Gauss-Legendre para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos de integra¸cão para os elementos quadrangulares planos. . . . . . Pontos de integra¸cão para os elementos triangulares planos. . . . . . . .

9.2 9.3 9.4

. . . . . . . . . . . . . . . .

10.1 Chapa sob estado plano de tensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Muro de arrimo sob pressão lateral e um rolamento sob compressão diametral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Sólido axissimétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Componentes de deforma¸cão em coordenadas cil´ındricas. . . . . . . . . 10.5 Elemento infinitesimal no plano rθ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Plano rz para um elemento infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Elemento de volume infinitesimal para um sólido de revolu¸cão. . . . . . 10.8 Problema de estado plano de tensão calculado com esquemas de integra¸cão consistente e reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194 195 196 197 197 199 201 201 203 203 207 208 208 210 212 213 216 217 223 223 227 234 235 236 236 237 239 242

A.1 Sistema cartesiano de referˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 D.1 D.2 D.3 D.4

Treli¸ca analisada. Viga em estudo. . P´ortico analisado. Eixo analisado. .

. . . .

270 271 273 276

D.5 Sistema de vigas equivalente ao eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6 Viga analisada com malha de quadrados e estado plano de tensão. . D.7 Chapa com furo submetida a um pressão interna uniforme. . . . . . D.8 Gera¸cão automática de malha em problema plano. . . . . . . . . . . D.9 Viga analisada como problema espacial utilizando cubos de oito nós. D.10 Disco gerado utilizando a simetria do problema. . . . . . . . . . . . D.11 Estrutura modelada por elementos de placa. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

277 279 281 284 287 290 292

Lista de Tabelas 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Coordenadas nodais da treli¸ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Incidência, comprimento, área e cossenos diretores dos elementos de barra. Graus de liberdade correspondentes às linhas e colunas nas quais devem ser superpostas as matrizes dos elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . Deforma¸cão espec´ıfica e tensão normal nos elementos da treli¸ca analisada. ´ Areas das barras a cada itera¸cão do dimensionamento. . . . . . . . . . Tensões nas barras a cada itera¸cão do dimensionamento. . . . . . . . . N´ umeros dos nós e graus de liberdade do exemplo da viga. . . . . . . . Solu¸cão anal´ıtica calculada nos nós do exemplo da viga. . . . . . . . . .

6.1

Rela¸c˜ao entre os ´ındices a, b e c para o elemento quadrangular linear. . 162

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Rela¸cão entre os ´ındices a, b e c para o elemento quadrático. . . . . . . Rela¸cão entre os ´ındices a, b e c para o elemento c´ ubico. . . . . . . . . . Rela¸cão entre os ´ındices a, b e c para o elemento quártico. . . . . . . . Rela¸cão entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial linear. . . . Rela¸cão entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial quadrático. Rela¸cão entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial de terceiro grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Rela¸cão Rela¸cão Rela¸cão Rela¸cão Rela¸cão Rela¸cão Rela¸cão

196 198 201 202 209 209 211

9.1

Coeficientes de pondera¸cão para as fórmulas de quadratura de NewtonCotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Pontos de integra¸cão e coeficientes de pondera¸cão para a quadratura de Gauss-Legendre para o intervalo (−1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.2

entre entre entre entre entre entre entre

os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices

a, a, a, a, a, a, a,

b, b, b, b, b, b, b,

c e d para o elemento linear. . . . . . c e d para o elemento quadrático. . . c e d para o elemento c´ ubico. . . . . c e d para o elemento quártico. . . . c, d e e para o tetraedro linear. . . . c, d e e para o tetraedro quadrático. c, d e e para o tetraedro c´ ubico. . . .

. . . . . . .

41 41 42 46 47 47 51 53

176 182 185 188 189

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Ordem de integra¸cão para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . Pontos de integra¸cão e coeficientes de pondera¸cão para elementos quadrangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordem de integra¸cão para os elementos quadrangulares planos. . . . . . Pontos de integra¸cão e coeficientes de pondera¸cão para elementos triangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos de integra¸cão e pondera¸cões para os tetraedros. . . . . . . . . .

220 222 223 224 225

10.1 Ordem de integra¸c˜ao consistente e reduzida para o c´alculo da matriz de rigidez dos elementos quadrangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . 241

Nomenclatura

S´ımbolos latinos a, b, c, d, e cij det[J] dA dV eV eX , eY , eZ eX¯ , eY¯ , eZ¯ k kc kij lP , mP , nP (n) la n r u, v, w u¯, v¯, w¯ A L1 , L2 , L3 , L4 (Ll1 , Ll2 , Ll3 , Ll4 ) E Fi F¯i G Hl Iz

´ındices de tensoriza¸cão coeficientes da matriz de flexibilidade determinante da matriz do jacobiano diferencial de área diferencial de volume dilata¸cão versores do sistema global de referência versores do sistema local de referência constante elástica da mola fator de cisalhamento coeficientes da matriz de rigidez cossenos diretores da normal a um plano P polinômio de Lagrange unidimensional de ordem n associado ao nó a n´ umero de nós coordenada radial componentes de deslocamento segundo o sistema de referência global componentes de deslocamento segundo o sistema de referência local área da se¸cão transversal ou área do elemento coordenadas baricêntricas coordenadas dos pontos de integra¸cão para triângulos e tetraedros módulo de elasticidade longitudinal do material for¸cas concentradas aplicadas aos pontos i = 1, . . . , n for¸ca transversal externa aplicada ao nó i na dire¸cão local Y¯ módulo de elasticidade transversal do material pondera¸cões dos pontos de integra¸cão momento de inércia da se¸cão transversal da viga com rela¸cão ao eixo Z do sistema de referência

S´ımbolos latinos P P¯i L ¯i M Mz Na Na,x , Na,y , Na,z Na,ξ , Na,η , Na,ζ Nint Nx P~i Tx , Ty , Tz T˜t T~t Ui U¯i Vy W X, Y , Z ¯ Y¯ , Z¯ X, Xa , Y a , Z a Ra , Θa , Za

for¸ca externa ¯ for¸ca axial externa aplicada ao nó i na dire¸cão local X comprimento do elemento momento fletor externo aplicado ao nó i na dire¸cão local Z¯ momento fletor nas se¸cões de uma viga com rela¸cão ao eixo Z do sistema de referência fun¸cão de interpola¸cão associada ao nó a do elemento derivadas da fun¸cão de interpola¸cão associada ao nó a em rela¸cão a X, Y , Z derivadas da fun¸cão de interpola¸cão associada ao nó a em rela¸cão a ξ, η, ζ n´ umero de pontos de integra¸cão for¸ca normal nas se¸cões de uma barra ou viga na dire¸cão do eixo X do sistema de referência vetor de for¸ca concentrada no ponto i componentes do vetor tensão vetor tensão média vetor tensão energia de deforma¸cão densidade de energia de deforma¸cão for¸ca cortante nas se¸cões de uma viga na dire¸cão do eixo Y do sistema de referência trabalho eixos do sistema de referência global eixos do sistema de referência local coordenadas nodais no sistema de referência global XY Z coordenadas nodais no sistema de referência global polar RΘZ

19 S´ımbolos gregos α αt ξ, η, ζ ξl , ηl , ζl δi δab δA δu, δv, δw δ P~ ¯i δU δW δWΦi δWχi ǫ ǫT ǫxx , ǫyy , ǫzz ǫTxx , ǫTyy , ǫTzz ǫrr , ǫθθ , ǫzz γxy , γxz , γyz γrz λ µ ν σ σ ¯ σn σxx , σyy , σzz τn θz δθz θ

coeficiente de expansão térmica fun¸cão teste para a forma fraca coordenadas locais normalizadas do elemento coordenadas dos pontos de integra¸cão para quadrados e hexaedros deslocamentos nos pontos i = 1, . . . , n delta de Kronecker área da superf´ıcie elementar componentes de deslocamento virtual ao longo dos eixos x, y e z do sistema de referência global vetor da resultante das for¸cas internas na vizinhan¸ca de um ponto densidade de energia de deforma¸cão virtual trabalho virtual das for¸cas concentradas trabalho virtual das for¸cas externas de superf´ıcie trabalho virtual das for¸cas externas de corpo deforma¸cão normal deforma¸cão normal térmica componentes de deforma¸cão normal em um ponto nas dire¸cões X, Y eZ componentes de deforma¸cão normal térmica em um ponto nas dire¸cões X, Y e Z componentes de deforma¸cão normal em um ponto nas dire¸cões polares R, Θ e Z componentes de deforma¸cão cisalhante total em um ponto segundo os planos XY , XZ e Y Z componente de deforma¸cão cisalhante total em um ponto segundo o plano polar RZ coeficiente de Lamé coeficiente de Lamé coeficiente de Poisson tensão normal tensão normal admiss´ıvel do material ~ tensão normal segundo o plano N componentes de tensão normal em um ponto nas dire¸cões X, Y , Z ~ tensão de cisalhamento segundo o plano N rota¸cão nas se¸cões de uma viga em rela¸cão ao eixo z do sistema de referência rota¸cão virtual nas se¸cões de uma viga em rela¸cão ao eixo z do sistema de referência ângulo de rota¸cão dos elementos de barra e viga em rela¸cão ao eixo Z do sistema de referência global

S´ımbolos gregos τxy τyx τxz τzx τyz τzy χx , χy , χz ω ∆T Φx , Φy , Φz

componente de tensão de cisalhamento em um ponto segundo plano XY componente de tensão de cisalhamento em um ponto segundo plano Y X componente de tensão de cisalhamento em um ponto segundo plano XZ componente de tensão de cisalhamento em um ponto segundo plano ZX componente de tensão de cisalhamento em um ponto segundo plano Y Z componente de tensão de cisalhamento em um ponto segundo plano ZY componentes das for¸cas de volume nas dire¸cões X, Y , Z frequência natural de vibra¸cão varia¸cão de temperatura componentes das for¸cas de superf´ıcie nas dire¸cões X, Y , Z

o o o o o o

Matrizes e vetores {u} {δu} {¯ ue } {ue } {F¯e } {Fe } {F } {Pp } {Q} ¯ e} {Q

vetor com as componentes de deslocamento (u, v, w) nas dire¸cões X, Y , Z vetor com as componentes de deslocamento virtual (δu, δv, δw) nas dire¸cões X, Y , Z vetor de deslocamentos nodais do elemento segundo o sistema local de referência vetor de deslocamentos nodais do elemento segundo o sistema global de referência vetor de for¸cas equivalentes nodais do elemento segundo o sistema local de referência vetor de for¸cas nodais equivalentes do elemento segundo o sistema global de referência vetor global de carregamentos nodais vetor com os cossenos diretores da normal ao plano genérico p vetor global de carregamento nodal térmico equivalente vetor de carregamento térmico equivalente nodal do elemento segundo o sistema local de referência