Algebra paso a paso by editorialcid

Editorial

CID

ÁLGEBRA PASO A PASO

EDUARDO CID FIGUEROA

Eduardo Cid Figueroa Profesor de Matemática, autor de textos de Enseñanza Media y preparación PSU.

2a Edición: diciembre 2018 Editor: Eduardo Cid Figueroa I.S.B.N: 978-956-7705-43-6 N° inscripción: 298130 Autor: Eduardo Cid Figueroa PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL ©Eduardo Cid Figueroa, 2018 Consultas, pedidos y sugerencias al correo electrónico: ventas@editorialcid.com Visite nuestro sitio www.editorialcid.com

ÍNDICE CAPÍTULO 1

ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

TEMA 1 Valoración de expresiones algebraicas TEMA 2 Eliminación de paréntesis y reducción de términos semejantes TEMA 3 Multiplicación de monomios TEMA 4 Multiplicación de expresiones algebraicas Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 6 7 9 11 11 13 14

TEMA 1 Propiedades de las potencias TEMA 2 Ecuaciones exponenciales TEMA 3 Suma y resta de potencias de igual base Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 2

PRODUCTOS NOTABLES

TEMA 1 Suma por su diferencia TEMA 2 Cuadrado de binomio TEMA 3 Producto de binomios con término común TEMA 4 Cuadrado de binomio TEMA 5 Cubo de binomio TEMA 6 Operatoria con productos notables Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 3

18 19 21 22 23 24 26 27

FACTORIZACIÓN

TEMA 1 Factor común monomio 32 TEMA 2 Factor común binomio 33 TEMA 3 Factorización de diferencia de cuadrados 34 TEMA 4 Factorización de trinomio perfecto 35 TEMA 5 Factorización de trinomio de tipo: x2+px+q 36 TEMA 6 Factorización de trinomio del tipo: a2x2+bx+c 37 TEMA 7 Factorización de trinomio del tipo: ax2+bx+c con a un número que no es cuadrado perfecto 38 TEMA 8 Factorización por agrupación 39 TEMA 9 Factorización de suma y diferencia de cubos 40 Para pensar 41 Autoevaluación 42

CAPÍTULO 4

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

TEMA 1 Ecuaciones de primer grado TEMA 2 Ecuaciones fraccionarias de primer grado TEMA 3 Ecuaciones literales de primer grado Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 5

47 48 50 52 53

OPERATORIA CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 1 Simplificación de fracciones algebraicas TEMA 2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas TEMA 3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas Para pensar Autoevaluación

58 60 61 62 63

POTENCIAS

RAÍCES

TEMA 1 Operatoria de raíces TEMA 2 Racionalización TEMA 3 Operatoria con raíces cuadradas TEMA 4 Operatoria con raíces de índice superior TEMA 5 Ecuaciones irracionales Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 8

91 92 94 95 97 98 99 100

FUNCIONES

TEMA 1 Cálculo de imágenes TEMA 2 Dominio y recorrido de una función TEMA 3 Gráficos de funciones TEMA 4 Tipos de funciones TEMA 5 La función inversa TEMA 6 Composición de funciones Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 10

79 80 81 83 85 86 87

LOGARITMOS

TEMA 1 Cálculo de logaritmos utilizando la definición TEMA 2 Propiedades de los logaritmos TEMA 3 Cálculo de logaritmos a partir de otros logaritmos TEMA 4 Expresar en un solo logaritmo TEMA 5 Ecuaciones logarítmicas TEMA 6 Ecuaciones exponenciales Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 9

68 71 73 74 75

105 106 109 113 117 119 123 124

ECUACIÓN DE LA RECTA

TEMA 1 Pendiente de una recta TEMA 2 Ecuación de la recta TEMA 3 Intersección con los ejes coordenados TEMA 4 Rectas paralelas y perpendiculares TEMA 5 Cálculo de parámetros Para pensar Autoevaluación

129 132 135 136 137 139 140

CAPÍTULO 11 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS TEMA 1 Método de sustitución TEMA 2 Método de igualación TEMA 3 Método de reducción TEMA 4 Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales Para pensar Autoevaluación

146 148 149 151 152 153

ÍNDICE CAPÍTULO 12

ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

CAPÍTULO 16

TEMA 1 Resolución por factorización TEMA 2 Resolución aplicando raíz cuadrada TEMA 3 Resolución mediante formación de cuadrados TEMA 4 Resolución utilizando la resolvente TEMA 5 Ecuaciones de segundo grado y productos notables TEMA 6 Ecuaciones literales de segundo grado TEMA 7 Naturaleza de las soluciones TEMA 8 Propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática TEMA 9 Encontrar una ecuación cuadrática dadas sus soluciones TEMA 10 Ecuaciones fraccionarias de segundo grado TEMA 11 Ecuaciones bicuadráticas TEMA 12 Ecuaciones irracionales de segundo grado TEMA 13 Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas TEMA 14 Sistemas cuadráticos TEMA 15 La función cuadrática: concavidad e intersección con los ejes TEMA 16 Vértice, eje de simetría, máximo y mínimo de una función cuadrática TEMA 17 Traslación y reflexión del gráfico de la función cuadrática Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 13

177 178 180 181

187 191 192 193 195 196 197

TRIGONOMETRÍA

TEMA 1 TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4 TEMA 5

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Razones trigonométricas para ángulos especiales Determinación de lados de un triángulo rectángulo, utilizando razones trigonométricas. Determinación de ángulos en un triángulo rectángulo, conociendo sus lados. Determinar las razones trigonométricas, sabiendo una de ellas. TEMA 6 Trigonometría en el círculo unitario TEMA 7 Ecuaciones trigonométricas TEMA 8 Teorema del seno y del coseno TEMA 9 Identidades trigonométricas Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 15

175

INECUACIONES

TEMA 1 Inecuaciones lineales con una incógnita TEMA 2 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita TEMA 3 Inecuaciones con valor absoluto TEMA 4 Inecuaciones de segundo grado TEMA 5 Inecuaciones con productos y cuocientes Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 14

158 158 159 160 161 162 164 165 165 167 168 169 171 173

202 204

TEMA 1 Determinantes de dos por dos TEMA 2 Determinantes de dos por dos y regla de Cramer TEMA 3 Determinantes de tres por tres y regla de Cramer TEMA 4 Operatoria con matrices cuadradas TEMA 5 Potencia de un complejo Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 17

273 275 277 279 281 282

287 290 292 293

SUMATORIAS

TEMA 1 Cálculo de sumatorias por definición TEMA 2 Expresando como sumatoria TEMA 3 Cálculo de sumatorias utilizando propiedades TEMA 4 Propiedad telescópica Para pensar Autoevaluación

209 213 214 217 220 224 226 228

CAPÍTULO 20

301 302 303 305 306 307

234 236 238 239 241 242 244 245 246

TEOREMA DEL BINOMIO

TEMA 1 Término general de los coeficientes TEMA 2 Determinación de un término dadas ciertas condiciones Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 21

PROBABILIDADES

TEMA 1 Regla de Laplace TEMA 2 Probabilidades y combinatoria Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 19

252 253 255 257 263 266 267

ELEMENTOS DE COMBINATORIA

TEMA 1 Factorial y coeficiente binomial TEMA 2 Principio multiplicativo y aditivo TEMA 3 Permutaciones TEMA 4 Combinaciones y arreglos Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 18

207

NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 1 Operatoria con números complejos TEMA 2 Potencias de la unidad imaginaria TEMA 3 Igualdad de complejos TEMA 4 Forma polar o trigonométrica de un complejo TEMA 5 Producto y cuociente de complejos en su forma polar TEMA 6 Potencia de un complejo TEMA 7 Raíz de un número complejo Para pensar Autoevaluación

MATRICES Y DETERMINANTES

312 314 316 317

POLINOMIOS

TEMA 1 Igualdad y operatoria básica de polinomios TEMA 2 División de polinomios TEMA 3 Teorema del resto TEMA 4 Raíces de un polinomio Para pensar Autoevaluación

324 326 329 330 333 334

ÍNDICE CAPÍTULO 22

PROGRESIONES

TEMA 1 Progresión aritmética TEMA 2 Progresión geométrica TEMA 3 Progresión armónica Para pensar Autoevaluación

CAPÍTULO 23

340 343 346 347 348

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

TEMA 1 Determinación de centro y radio de una circunferencia 354 TEMA 2 Determinar la ecuación de una circunferencia 355 TEMA 3 Tangentes a una circunferencia 357 Para pensar 359 Autoevaluación 360

ÍNDICE TEMÁTICO

SOLUCIONARIO

366

368

INTRODUCCIÓN Presentamos a ustedes la segunda edición de este libro, titulado: “Álgebra Paso a Paso”, en esta nueva edición se han corregido los errores detectados en la primera, además se ha agregado un capítulo de Trigonometría (Cap. 14), en el antiguo capítulo de Números Complejos se han agregado temas relativos a su forma polar, potenciación y radicación de complejos y finalmente en el capítulo de funciones, se agregó un tema relacionado con el modelamiento. Este texto recorre el curriculum escolar desde los primeros pasos en el Álgebra (sexto básico), el plan común de Matemática, el plan diferenciado y también temas que se estudian en los primeros años de universidad, tales como polinomios, matrices, sumatorias, teorema del binomio, etc. Este texto consta de 23 capítulos, cada uno de ellos separado en temas, donde cada uno de ellos tiene variados ejemplos para una mayor comprensión del contenido, 10 a 20 ejercicios de desarrollo, 10 ejercicios de profundización en la sección titulada: “Para pensar…”, y una autoevaluación de 30 ejercicios con alternativas, para que el estudiante mida su propio aprendizaje. Este texto presenta una secuencia muy ordenada, tal como el nombre de este texto lo indica, el estudiante “paso a paso” podrá ir avanzando desde los temas más básicos hasta los temas más avanzados que corresponden a los del plan diferenciado de Matemática o de los primeros años de la universidad. Agradezco a todos los alumnos que colaboraron en la corrección de los ejercicios, y a don Luis Araos en su paciencia por el diseño de este voluminoso libro. Agradezco desde ya su acogida de este nuevo texto a la comunidad escolar. Ruego enviar sugerencias, errores y comentarios al correo: editor@editorialcid.com.

EDUARDO CID FIGUEROA PROFESOR DE MATEMÁTICA

ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

El Álgebra se preocupa del estudio de expresiones que generalizan el estudio númerico, ocupando para ello expresiones que se denominan términos algebraicos. 2 2 Un término algebraico es de la forma x 3 y 4 donde es el 5 5 coeficiente numérico o coeficiente y x 3 y 4 es la parte literal. Las expresiones algebraicas reciben su nombre de acuerdo a la cantidad de términos que posean: Ejemplo

TEMA 1 VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO 1 Calcula el valor de la expresión: -2a 2b3 + 2 ( a - b ) sabiendo que a=2 y b=-1.

Nombre

Cantidad de términos

Monomio

uno

-3a 3b-2

-2 ⋅ 22 ⋅ ( -1) + 2 ⋅ ( 2 - ( -1) ) = 8 + 6 = 14

Binomio

dos

3 3 3 a b + 2a 2c 5

EJEMPLO 2

Trinomio

tres

3a 3b3 + 2a 4b -

Multinomio o polinomio

Más de tres términos

-2a 3b3 + 7a 4b -

Sustituimos los valores en la expresión, obteniendo: 3

1 5 x c 3

10 7 x y - 8a 2z 7

Valoriza la expresión: b2 - 2a - ( a - ( a - b ) ) ⋅ b con a=-3 y b=2 En este caso, tenemos que respetar el orden de las operaciones, recordemos que primero se realizan los paréntesis de los más interiores a los exteriores, posteriormente las potencias,

Observa que un término está constituido por un coeficiente y letras ligadas entre sí solo por productos (o cuocientes).

los productos y cuocientes y finalmente las adiciones y

El grado de un término corresponde a la suma de los exponentes de sus variables.

22 - 2 ⋅ ( -3 ) - ( -3 - ( -3 - 2) ) ⋅ 2

El grado de una expresión algebraica está dado por el mayor grado de sus términos.

Resolvamos primero los paréntesis (del más interior al más

Por ejemplo, en el polinomio: -2a 3b3 + 7a 4b -

10 7 x y - 8a 2z 7

sustracciones:

exterior): 22 - 2 ⋅ ( -3 ) - ( -3 - ( -3 - 2) ) ⋅ 2 = 22 - 2 ⋅ ( -3 ) - ( -3 + 5 ) ⋅ 2

El mayor exponente resulta al sumar los exponentes del -10 7 x y tercer término: 7 Si sumamos los exponentes tenemos: 7+1 =8, por lo tanto la expresión corresponde a un polinomio de octavo grado o de grado 8.

= 22 - 2 ⋅ ( -3 ) - 2 ⋅ 2

Cuando le damos valores a las variables de una expresión algebraica se denomina valoración, primer tema que pasaremos a ejercitar a continuación.

y sustracciones, resultando 6.

ahora las potencias y productos: = 4 + 6 - 4 , y finalmente las adiciones

ELEMENTOS BÁSICOS ÁLGEBRA ELEMENTOS BÁSICOSDEL DEL ÁLGEBRA EJERCICIOS TEMA 1

(( w - x )

)

11.

12.

t + y ( x - y ) : -z + yt , si t=-5 ; x=5 ; y=-3 ; z=-4

13.

( a + 2c )

14.

( 2t

15.

(1- a

16.

-a b + c2 : 2a - b - c3

17.

x  2x b2   2a - b  - a ⋅ y , si a=-3 ; b=4 ; x=12 ; y=-4  

18.

a b - - ab2 , si a=-1 ; b=-2 ; c=-4 2 b c

19.

a a x - 2 ⋅ 2 , si a=2 ; x=-3 3x a 2x

20.

 a  2 3a 2 -   - 2a - b - a - b + c b - c

+ xw 2 , si x=-2 ; w=-4 ; t=-10

Valoriza las siguientes expresiones algebraicas, utilizando los valores dados de las variables.

x 2 - 3xy + y 3 ,

( x - y ) - ( 2w - z ) ,

( x - 3y ) : x - 4z ,

t - w 2 : w + x , si t=-2 ; w=6 ; x=-1

( w - 2t ) - ( -w2 + z3 ) ⋅ w + t ,

si x=-1 ; y=2

(

si x=-1 ; y=-3 ; w=-5 ; z=-2

si x=-2 ; y=-4 ; z=-1

)

si w=-3 ; t=-1 ; z=2

x -  x - ( y - ( z - w ) )  , si x=-3 ; y=-2 ; z=5 ; w=-4

12 ( a - b ) : ab - b2 , si a=-10 ; b=-8

3 ( a - 2) - (b - 3 ) ⋅ ( a + b - 12) , si a=-5 ; b=4

ab2 - (bc - 2a ) : ( a - b ) , si a=5 ; b=-3 ; c=-2

10.

(

)

(

+ 10v

+ 2 (b + c ) (b - 2a ) , si a=-4 ; b=-2 ; c=3 3

) - ( x - 3y ) : ( t - 2x ) , 2

+ 2ab + c2

) (

) - ( 3b - a ) 2

(

si t=-4 ; v=-3 ; x=-4 ; y=-1

, si a=3 ; b=-10 ; c=-5

)) ,

si a=-2 ; b=3 ; c=-1

(

)

2a 2 - bc2 - ( a - b ) : 2a + 3b2 + b , si a=3; b=-1; c=2 2

(

)) ,

si a=4 ; b=2 ; c=3

ELEMENTOS BÁSICOS ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA TEMA 2

DEL ÁLGEBRA

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Y REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Se denominan términos semejantes a aquellos cuyas partes literales son exactamente iguales, por ejemplo son términos semejantes: 2x 2 y 3 y -5x 2 y 3, mientras que no son términos semejantes -12a 2b3 y - 10a 3b2 Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando (o restando) los coeficientes numéricos y conservando la parte literal.

EJEMPLO 3

EJEMPLO 5

Reducir términos semejantes: 2a2b3+5a2b3-10a2b3

Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en la expresión: 12x+(8x-y-(2x+3y))

Sumando los coeficientes: 2+5-10=-3 Por lo tanto el resultado es -3a2b3.

EJEMPLO 4

Primero eliminamos el paréntesis interior, como hay un menos delante de él, cambiamos los signos de los términos que aparecen en su interior: 12x+(8x-y-2x-3y)

Reducir términos semejantes en la expresión: 2x2+10x+8x2-20x+12y En este caso tenemos que agrupar primero los términos semejantes, ocupando la propiedad conmutativa de la adición: 2x2+8x2+10x-20x+12y, sumando términos semejantes, se obtiene: 10x2-10x+12y. En el caso que aparezcan paréntesis, se deben eliminar considerando las siguientes reglas fundamentales para la eliminación de paréntesis: Si un signo “+” aparece delante de un paréntesis se puede eliminar el paréntesis: +(a-3b+c)=a-3b+c

Como hay un signo más delante del paréntesis que queda, entonces se puede eliminar este paréntesis: 12x+8x-y-2x-3y Reduciendo términos semejantes, obtenemos: 18x-4y

EJEMPLO 6 Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes: - + ( 2x - y ) - 2 - ( x - y ) + (12 - ( 6x - y ) )   

(

)

Tal como en el ejemplo anterior eliminamos los paréntesis

Si un signo “-“ aparece delante de un paréntesis se elimina el paréntesis cambiando los signos de todos los términos que aparecen en el interior de él: -(x+2y-3z)=-x-2y+3z.

de los más interiores a los más exteriores:

Si en una expresión aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se elimnan desde los más interiores a los más exteriores.

-  2x - y - 2 + x - y - 12 + 6x - y  =

- + ( 2x - y ) - ( 2 - x + y + (12 - 6x + y ) )  =

- 2x - y - ( 2 - x + y + 12 - 6x + y )  =

-2x + y + 2 - x + y + 12 - 6x + y = -9x + 3y + 14

ELEMENTOS BÁSICOS ÁLGEBRA ELEMENTOS BÁSICOSDEL DEL ÁLGEBRA EJERCICIOS TEMA 2

(

)

11.

+ 2a - ( 3b - 4c - ( a + 2b ) ) - ( ( 3a - b ) - ( 4a - c ) )

12.

3a - a - x - 2a - (18a - (14x - a ) ) - 5x   

13.

+ 2z - w - ( x - 3z ) - ( w - 2z )  + 3t 

Elimina paréntesis y reduce términos semejantes

(

- ( a + 2b ) - ( 3a - ( a - 4b ) + 5b )

)

10 - 4x - ( x - 8 ) - ( x - (12 + x ) )

- - ( x - ( x - 30 ) + ( 2x - 8 ) - 12x + 5 )

- ( 5x - 1) + 2x - ( 3x - ( 4x - 2) )

- x - 2x + 3z - ( x - z - ( x + 2z ) )

2x - y -  x - (12x - (14y - 3x ) ) - ( x + 2y ) 

- ( 2x - 8t ) + ( 5x - 3t - ( 2t - 4x ) ) 

10.

)

x - ( x - ( x + 3y ) - ( 2x - y ) )

(

)

(

( (

(

)

)) ))

14.

- 2x - ( y - 3z ) - ( 2x - ( x + 3y - z ) ) + ( x - 2y ) 

15.

- ( 3x - 2) - ( 5x - ( a - 3 ) + ( 2a - 10x - 4 ) ) - 18x 

16.

2ab - ( 3ab - 2bc ) - ( 4ab - ( 5bc + 2ac ) ) 

17.

xy - 2xy - ( 3xy + yz ) - ( 4xy - 2yz ) + 3yz 

18.

3w -  w + 2z - w - 3z - ( w + 2z - ( w - 4z ) )   

19.

a 2 - 3b2 - a 2 + 2c2 - 4a 2 - b2 - 2c2 - 3a 2 

20.

12x 2 y + 6x 2 y - y 2 z + 14x 2 y - 12x 2 z  - 3xz 2 - y 2 z + 8x 2 y  

(

)

(

))) - a

 

- 3b - ( 2a - (b - a ) - 10b ) + ( 4a - b ) 

- ( 2a - b ) - ( a - 3b - ( 2a + 4b ) - ( 2a - 18b ) ) 

(

) (

(

))

AUTOEVALUACIÓN 1.

Una expresión algebraica que tiene tres términos se denomina: a) b) c) d) e)

monomio binomio trinomio multinomio coeficiente

 2 1   2a - b  ( a + 3b ) 3   a)

2a 3 - b2

2a 2 + 6a 2b -

¿Cuál de las siguientes polinomios tiene grado 5?

x 3 y + 2xy - 3xy 2 + 4xy 2 - 5x 6

5x 6 y - 4x 3 + 2xy - y + 2

5x - 10x + 4x + 8x + 2x - 10x

4x 3 y 2 - 2x 3 y - 4x 3 y 3 + 5xy 2 - 10xy

5x 4 - 3x 2 y 2 - 16x 5 + 8y 5 - 2x 2 y 3

¿Qué monomio falta en el recuadro:

3 x+y 2

9 - a 2b2 2

9 - ab3 2

9 - a 3b 2 4

9 2 ab 4

2 2 ab ⋅ 3

(

)

8 6 -1 1 0

Al reducir la expresión: 2a - ( 3a - ( 4a - b ) + ( 5a - 3b ) ) resulta:

a) b) c) d) e)

8 9 10 11 14

El coeficiente del término resultante al desarrollar la expresión: 3x - x - ( 2x + ( 5x - 3x ) ) es a) b) c) d) e)

)

Al calcular el producto: x 2 y 2 2x 8 y -1 + 5x 4 y 6 resulta un binomio de grado:

a) b) c) d) e)

3 4 4 ab ? 2

1 ab - b2 3 1 2a 3 + 6a 2b - ab - b2 3 1 2a 3 + 6a 2b - ab + b2 3 1 2a 3 + 6a 2b + ab - b2 3

-2a+2b 8a-4b -2b -10a+4b a-4b

PRODUCTOS NOTABLES

Existen algunos productos que requieren un estudio especial debido a la frecuencia con que aparecen. Estos productos se conocen como productos notables, y en este capítulo estudiaremos los siguientes:

EJEMPLO 1

Suma por su diferencia

Cuadrado de binomio

Como este producto corresponde a un producto de una suma por la diferencia de los mismos términos, entonces equivale al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término:

Producto de binomios con término común

( 25x

Cuadrado de trinomio

Cubo de binomio

EJEMPLO 2

TEMA 1

SUMA POR SU DIFERENCIA

Cuando se multiplica una suma con una diferencia de dos términos, se obtiene el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo: a 2 - b2 = ( a + b ) ( a - b ) Esta identidad se puede visualizar geométricamente a través de la siguiente situación:

fig.2 a

fig.1

)(

) (

+ 4y 25x 2 - 4y = 25x 2

) - ( 4y ) 2

)

= 625x 4 - 16y 2

2 -3   2 -3  Calcular:  x + 3y   x - 3y  5 5    Al igual que en el ejemplo anterior ocupamos que una suma por su diferencia equivale a la diferencia de los cuadrados de los términos: 2

2 2  -3   2 -3  -3  5 x + 3y   5 x - 3y  =  5 x  - 3y     

(

)

4 2 x - 9y -6 25

EJERCICIOS TEMA 1

( 2w

+ y2

)( 2w

- y2

)

( 3w

+ z3

)( 3w

- z3

)

b a A=a -b 2

a 2

A=(a+b)(a-b)

En la figura 1, el área sombreada es la diferencia de las áreas de los dos cuadrados que aparecen en ella, A=a2-b2.

(12a

En la figura 2, el rectángulo sombreado de la parte inferior se ha girado y colocado en la parte superior, formándose un rectángulo de lados (a+b) y (a-b).

( 5w

Como ambas áreas son iguales, se obtiene la igualdad: (a+b)(a-b)=a2-b2.

)(

Calcula los siguientes productos, ocupando la identidad: (a+b)(a-b)=a2-b2.

a-b

(

Calcular el producto: 25x 2 + 4y 25x 2 - 4y

+ b4 12a 2 - b4

- 4c2

(8u

(14w

)(

+ 9z 3

)( 5w

)(8u

)(

)

+ 4c2

- 9z 3

)

- 25p2q 14w 3 + 25p2q

)

PRODUCTOS NOTABLES EJERCICIOS TEMA 2

Desarrollar los sigueintes cuadrados de binomio

- 2b2

)

2  2 x6   5  11. 4 x



2 2. (a + 3b3 ) 2 3. ( 3x 3 - 5x 2 ) 2 4. (u4 - v5 ) 2 3  5.  2a - 

2 12.  2u2 - 12  

u 

2  3x y  13.  y - 3 





2  x2 2 14.  3 + xy  y



2  2 x2  15.  2 - 

x

a





4 

2 x y 6.  

2 2 16.  u2 - v 

2 3 x 7.  + 

2  4x 2  17.  3xy + 

2  2 m2  18.  -u - 2  u  

2

x

-3

3

2

+ 2y -4

)

2 9. ( 2x -3 + 4x 4 ) 2 10. (u2 v 2 - v -3 ) 20



19.

2x 

y 

5  5  -3u + 2  u  

2 20. ( 2x - 2-x )

PRODUCTOS NOTABLES TEMA 4

CUADRADO DE TRINOMIO

El cuarto producto notable que estudiaremos es el cuadrado de trinomio, el que afirma que el cuadrado de un trinomio equivale a la suma de los cuadrados de los términos más la suma (o resta) de todos los productos posibles.

EJERCICIOS TEMA 4 Desarrolla las siguientes expresiones utilizando el producto notable: cuadrado de trinomio

( a - 2b + 3c )

2 ( 2a - b - c ) 2. Lo anterior se puede visualizar en la figura adjunta 2 ( 3a + 2b - 4c ) donde el área del cuadrado grande es (a+b+c)2 y la 3.

(a + b + c )

= a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

suma de las áreas de las figuras interiores es a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

2 ( 2u + 5b - 2w ) 5. A=(a+b+c)2

b2 bc

En el caso que haya términos con coeficientes negativos, ocupamos la regla de signos de la multiplicación, por ejemplo:

(a - b - c )

= a 2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac

2 ( 3t - 2v + 4c ) 6. 2 ( 4t - 3w - 6z ) 7. 2 8. ( 4z - 9w + 3u2 ) 2 9. ( 2z2 - 3z + w3 ) 3

10.

( 4w

- 5w + 6w 4

(

Calcular: 2x + 3y + z

)

Ocupando el producto notable, obtenemos:

( 2x ) + ( 3y ) + ( z2 ) 2

+ 2 ⋅ 2x ⋅ 3y + 2 ⋅ 3y ⋅ z2 + 2 ⋅ 2x ⋅ z2 =

4x 2 + 9y 2 + z 4 + 12xy + 6yz2 + 4xz2

EJEMPLO 8

1 2  Calcular:  x + y - 2z  3 4   En este caso tendremos lo siguiente: 2

2 2 1 2 1 2  1   3 x  +  4 y  + ( -2z ) + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y - 2 ⋅ 3 x ⋅ 2z - 2 ⋅ 4 y ⋅ 2z =     4 2 1 2 1 8 x + y + 4z 2 + xy - xz - yz 9 16 3 3

11.

2 ( 5wz - 3yz + 2xy )

12.

( 6u z - 3uz

13.

( 5a b - 4a b

(7a

14.

+ 2u3 2

)

(7a b - 5a b

16.

(12a

17.

(6a

- 3ab2 - 9a 2b4

18.

( 5a - 3b + 2ab )

19.

(6u - 9t

20.

+ 4ab3

)

+ 15x 2 - 6y 4 z

- 2ab4

15.

- 4a 2 - 2a

)

EJEMPLO 7

2 (u - 9b + 3c ) 4.

+ 2v 3

+ 5a 2b3

)

AUTOEVALUACIÓN 1.

( 2x

- y3

4x - y

4x 2 - 4x 2 y 3 + y 5

4x 4 - 4x 2 y 3 + y 6

6. Al desarrollar la expresión

( 2x - 1) - ( 3x + 1) 2

(a + b) - (a - b) 2

( 3ab a) b)

- 2x 3

)( 3ab

)

+ 2x 3 =

9ab4 - 4x 6

4a 2 + b4 + 4b2 - 4ab2 - 8ab + 4b3

2a 2 + b4 + 2b2 - 4ab2 - 8ab + 4b3

4a 2 + b4 + 4b2 - 4ab2 + 8ab + 4b3 2

x 4  2 - 2  = x  

x 2 16 + 4 4 x

x 2 16 4 x4

x 2 2 16 - + 4 x x4

x 2 4 16 - + 4 x x4

x2 4 4 - + 4 2 x x

¿Cuál de las siguientes multiplicaciones tienen como producto 64x 6 y 4 - 16x 2 y 4 ?

3a 2b4 - 4x 6

9a 2b4 - 2x 6

2 4

4a 2 + b4 + 4b2 - 4ab2 - 8ab - 4b3

9a b - 4x

)

- 2b

4a 2 + b4 + 4b2

2 4

9a b - 4x

3ab 4ab 2b2 0 -4ab

( 2a - b

resulta

un monomio. un binomio. un trinomio. un polinomio. una parte literal.

a) b) c) d) e)

4x 2 + y 6

)

c) d) e)

(8x y (8x y (8x y

) - 4xy ) - 4xy )( 8x y

+ 4xy 2

3 2

( 4x y + 4xy )( 4x y (16x y + 4xy )( 4x y 3 2 3

3 2

) - 4xy )

+ 4xy 2

- 4xy 2

)

FACTORIZACIÓN

La factorización consiste en transformar expresiones algebraicas a expresiones que contengan solo productos. Como veremos más adelante la factorización es una piedra angular en el estudio de diversos temas del Álgebra. Las factorizaciones que estudiaremos son las siguientes:

Factorizar: 12u-4 x -5 - 15u-7 x -4 Entre las potencias el máximo común divisor es la potencia con menor exponente, por ejemplo entre x-5 y x-4 es x-5. En este ejemplo el máximo factor común es 3u-7 x -5 , por lo que se obtiene la siguiente factorización: 12u-4 x -5 - 15u-7 x -4 = 3u-7 x -5 4u3 - 5x

Factor común monomio

Diferencia de cuadrados

Factor común monomio

Trinomio cuadrático

EJERCICIOS TEMA 1

Factor común binomio

Suma y diferencia de cubos

TEMA 1

FACTOR COMÚN MONOMIO

Si tenemos una expresión algebraica, donde exista un factor común (es decir un divisor común de todos los términos) poder efectuar una factorización por factor común, que no es más que ocupar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición pero en el sentido contrario al que la aplicamos en el capítulo anterior. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: a (b + c ) = ab + ac Ahora lo ocuparemos al revés: ab + ac = a (b + c )

EJEMPLO 1 Factorizar: 6a 3b2 + 4a 4b3 3 2 En este caso el factor común es 2a b , aunque hay otros factores comunes como 2a 2b , ab2 ,etc., ocuparemos siempre el máximo factor común (o máximo común divisor). Ocupamos entonces el inverso de la propiedad distributiva: 6a 3b2 + 4a 4b3 = 2a 3b2 ( 3 + 2ab ) Si quieres comprobar la factorización, basta que efectúes la multiplicación y deberías llegar a la expresión dada.

EJEMPLO 2

(

)

12x 2 y 3 - 4x 3 y 2 z

25y 6 - 125y 3 z 2 2. 12x 3 y 2 - 24x 2 y 3 3. 14x 3 y 2 - 42x 2 y 3 z 4. 36a 2b3 c - 24a 3bc2 - 48a 2b2c3 5. 15x 2 y 3 - 30x 3 y 4 - 60x 4 y 4 6. 120x10 y 8 - 48x 9 y10 - 72x 8 y 6 7. 8m3n5 - 16m4n4 - 36m5n3 8. 35t3 z 5 - 28t4 z 4 + 49t5 z 3 9. 10. 80x 3n3 + 96x 2n4 + 32x 4n2 11. 28a 3b4 c2 + 35a 2b2c3 - 49a 4b3 c4 12. 30a2 x 3 y 2 - 45a3 x 2 y 3 - 60a4 x 3 y 5 13. 36m2n4c3 - 24m3n3c4 - 48m4n3c5

14. 39a5b3m4 - 26a4b2m5 - 52a4b4m3 15. 90x10 y6 - 75x 8 y8 - 135x 9 y7 16. 33a-3b5 - 22a-4b7 - 55a-8b9 27x -4 y -5 - 36x -5 y -3 + 45x -7 y -6 17. 18. 35x -9 y6 - 42x -10 y6 - 28x -11y7 19. 40a-10b-9 - 48a-9b-8 + 56a-7b 20. 13x -5 y-6 + 39x -6 y-4 - 52x -5 y-5

FACTORIZACIÓN TEMA 9

FACTORIZACIÓN DE SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Para factorizar una suma o diferencia de cubos, ocuparemos las siguientes identidades:

(

) )

a 3 + b3 = ( a + b ) a 2 - ab + b2

(

a 3 - b3 = ( a - b ) a 2 + ab + b2

8x 3 - 1000b6

64u12 + 27w9

125p6 - 343w15

Desarrolla los productos y comprueba que las igualdades se cumplen.

EJEMPLO 14

10.

64u3 + 512p9 q3

11.

27z 3 + 1000a 6

3 6 Factorizar: 125t - 8m

Observa que la expresión dada corresponde a una diferencia de cubos:

( 5t ) - ( 2m2 ) 3

, ocupamos entonces la segunda igualdad,

( 5t - 2m ) (( 5t ) + 5t ⋅ 2m + ( 2m ) ( 5t - 2m )( 25t + 10m t + 4m ) 2

EJERCICIOS TEMA 9 1.

a 3 - 8b3

27x 3 - 64y 3

8a 3 + 125b3

x 3 y 3 + 64a 3

12.

( a - 2b )

+ 8b3

13.

8w 3 - ( 2w - x )

14.

( x - 2y ) - ( 2x + y )

15.

( a - 2b ) - ( 2b - a )

16.

(a - b)

+ (a + b)

17.

( 3a - b )

- 27a3

18.

( 3x - 2y )

- 125 ( x - 2y )

19.

a6 - b6

20.

(a - b - c )

a 3 + b3 q3

con a=5t y b=2m2 2

216w12 - m24

+ (a + b + c )

AUTOEVALUACIÓN 1.

La factorización de la expresión: 81w10 - 25p6 corresponde a a)

(9w

+ 5p3

)

(9w

+ 5p3

)(9w

(9w

+ 5p2

)

(9w ) - ( 5p )

- 5p3

)

- 5p3

)

b ( a + 2b ) + c ( a + 2b )

(b + c ) ( a + 2b )

(b + c ) ( a + b )

(a + b) (a + c )

( a + b ) (b + 2c )

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la factorización de x 4 - 13x 2 + 36 ? a)

( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 2) ( x - 2)

x 2 x 2 - 1 - 12 x 2 - 3

(

-6

)

-6

)

Se define la operación

2y ( x + y )

-2x ( x + y )

-2y ( x - y )

-2y ( x + y )

2xy

4 La factorización de 1- x corresponde a

(1+ x )

(1- x )

1+ x 2 (1+ x ) (1- x )

(1+ x ) (1- x )

(1+ x ) (1+ x ) (1- x )

- x2

)

(

)

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponden a factores de 9w 4 - 100w 2 ? I.

II.

3w + 10

III.

3w - 10

Solo I

Solo II

Solo I y II

Solo II y III

I, II y III

, mediante

a b=ab-a2, entonces (x+y) (x-y) =

La factorización de la expresión: ab + 2b 2 +ac + 2bc corresponde a

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Se denomina ecuación de primer grado a aquélla ecuación en la que después de hacer los desarrollos y reducciones posibles, el máximo exponente de la incógnita es uno. Las ecuaciones de primer grado que estudiaremos en este capítulo son las siguientes:

l Ecuaciones de primer grado con paréntesis y

productos notables

l Ecuaciones fraccionarias de primer grado

l Ecuaciones literales de primer grado

TEMA 1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PARÉNTESIS Y PRODUCTOS NOTABLES Para resolver una ecuación donde aparecen paréntesis y diversas operaciones, debemos desarrollar los paréntesis, efectuar las operaciones y reducir los términos semejantes. Recuerda las reglas para la eliminación de paréntesis (Tema 2 Cap. 1) Si aparece un signo “+” delante del paréntesis se elimina el paréntesis. Si aparece un signo “-“ delante de un paréntesis se cambian los signos de los términos que aparecen dentro del paréntesis.

EJEMPLO 1 Resolver la ecuación:

( 2x - 3 ) - ( x - 1) 2

- 5x = ( x - 5 ) ( x + 3 ) + 2x ( x + 5 )

Primero desarrollamos los productos notables: 4x 2 - 12x + 9 - ( x 2 - 2x + 1) - 5x = x 2 - 2x - 15 + 2x 2 + 10x Observa que hemos puesto un paréntesis en el desarrollo del segundo término, debido a que había un signo menos delante del cuadrado de binomio. Eliminemos ahora el paréntesis y reduzcamos términos semejantes: 4x 2 - 12x + 9 - x 2 + 2x - 1- 5x = x 2 - 2x - 15 + 2x 2 + 10x 2

3x - 15x + 8 = 3x + 8x - 15 Transponemos términos, esto es cambiamos de lugar los términos de modo que las incógnitas queden a un lado y los números al otro. Cada vez que cambiamos de lado un término, cambia de signo, mientras que cuando pasamos dividiendo de un

lado a otro, el término no cambia de signo. 3x 2 - 15x + 8 = 3x 2 + 8x - 15 3x 2 - 3x 2 - 15x - 8x = -15 - 8 -23x = -23 ⇒ x = 1

EJEMPLO 2 Resolver la ecuación: 5x - ( 3x - ( x - 2) ) = -4 x - ( 3x + ( x - 5 ) )

(

)

Primero eliminemos los paréntesis de los más interiores a los más exteriores: 5x - ( 3x - x + 2) = -4 ( x - ( 3x + x - 5 ) ) 5x - ( 3x - x + 2) = -4 ( x - 3x - x + 5 ) 5x - 3x + x - 2 = -4 ( -3x + 5 ) 3x - 2 = -4 ( -3x + 5 ) 3x - 2 = 12x - 20 Transponemos términos: 3x - 2 = 12x - 20 3x - 12x = 2 - 20 -9x = -18 Dividimos por -9 a ambos lados de la igualdad, para despejar la incógnita: -18 -9 x=2 x=

EJERCICIOS TEMA 1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

( x - 5 ) - ( 2x - 3 ) 2

( x - 4 ) - ( 2x - 3 ) 2

= ( 2 + 3x ) ( 2 - x ) = ( 2 - 3x ) ( x - 1) - 2 ( x - 3 )

3x - ( 2 - ( x - 3 ) ) - 2x ( x + 5 ) = -2 ( x - 3 ) - 12 ( x - 1)

( 5x - 2) ( 5x + 2) - ( 3x - 1)

= ( 8x - 1) ( 2x + 5 )

ECUACIONES DE PRIMER GRADO EJERCICIOS TEMA 3

Resuelve las siguientes ecuaciones literales:

a (1+ x ) - b (1- x ) = 2a

bx - a (b - x ) = a

( q - 2x ) - (p + q) 2

(

+ p2 = ( 2x - p ) - ( q - p ) - 3q2

)

b x - ( a - (b - x ) ) = 2a ( a - x ) - b ( x - a ) - 3ab

ax - c ( x - b ) = ab

14.

x (a - x ) - b (a + x ) = b (a - b) - x - b 2

12.

13.

( a - 3b ) (b - x ) = b ( a - b ) + 2b ( x - a )

11.

(1- a ) ( a + x ) = x + a (1- b )

b2 - b ( a - 2bx ) = x ( a - b ) - b ( a + b - x ) + a

15.

a 2 - b ( a - (b - x ) ) = x ( a + b ) - b ( x + 3a )

16.

(n - x ) - (m - n) 2

= x ( x + m) + 2n ( 2n + 3m)

x ( a + b ) - a (b - x ) = 2b + x ( a - b ) 2

17.

a 2 + x ( x - a ) = ( x - b ) + bx

18.

x 2 - ux + vx = ( x + v ) ( x - b ) + uv

19.

a - b (1- x ) + b ( a + ( x - b ) ) = ( a - b ) ( x - a ) + 2bx

m ( n - x ) + n ( m + x ) = 2n - x ( n + m)

( 3a - x ) (b - a ) = a (b - a - x ) + bx

x - p ( ( x + q) - (p - q) ) = p2 - 2q + p ( x + 2q) 9.

10.

20.

q ( x - p ) - q2 - (p - x ) ( q - p ) = (p - q) - pq 2

( a - b ) (b + x ) = a ( 4a - x ) - 3ab 51

AUTOEVALUACIÓN 1.

x-2

-1

No existe

Si a(x - b) - b(x - 1) = b(1- b) , entonces x= a) b) c) d) e)

x-2

La solución de la ecuación: = x + 3 x - 3 x2 - 9 es

1 b -b a a-b

La solución de la ecuación: a) b) c)

1 2 1 2 3 2

x 1 2 = , x2 - 1 x + 1 x - 1

x b , entonces x= = x-a a

b b+1

b b-1

a 1- a

ab a-b

ab b-a

La solución de la ecuación:

2 ( x - 2) - ( x + 1) = ( x - 3 ) ( x + 7) , es x= 2

-7

-2

2 Si ( 2x - a ) - ( x - a ) = 3x ( x - a ) + a , entonces x= 2

-2

No existe

-a

1 a

OPERATORIAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En este capítulo, estudiaremos la simplificación, adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones algebraicas. Tal como veremos a continuación, la operatoria con fracciones algebraicas es similar a la operatoria con fracciones numéricas.

TEMA 1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar una fracción algebraica se debe factorizar el numerador y el denominador y eliminar los factores comunes que posean.

x 2 + 5x - 24 x2 - 9 El numerador lo factorizamos utilizando la factorización de un trinomio: Simplificar la fracción:

x 2 + 5x - 24 = ( x - 3 ) ( x + 8 ) .

(Tema 5, Cap. 3)

El denominador corresponde a una suma por su diferencia: x 2 - 9 = ( x - 3) ( x + 3)

(Tema 3, Cap. 3)

Por lo tanto la fracción dada, al simplificarla queda de la forma: ( x - 3) ( x + 8 ) x + 8 x 2 + 5x - 24 = = x2 - 9 ( x - 3) ( x + 3) x + 3

EJEMPLO 1 Simplificar:

EJEMPLO 2

12x 6 y 7 z 3 18x 4 y 3 z 2

Observemos que los coeficientes del numerador común tienen un divisor común que es el tres, por lo tanto ambos los dividimos por éste número: 12 12 : 6 2 = = 18 18 : 6 3 Por otro lado las potencias de “x” se simplifican restando los exponentes: x6 x × x × x × x ×x×x = = x2 x4 x × x × x × x

EJEMPLO 3 Simplificar:

2x 2 + x - 15 4x 2 - 20x + 25

La factorización del denominador corresponde a la factorización de trinomio cuando el coeficiente cuadrático no es un cuadrado perfecto: 2x 2 + x - 15 =

4x 2 + ( 2x ) - 30

2 ( x + 3 ) ( 2x - 5 ) 2

( 2x + 6 ) ( 2x - 5 ) = 2

= ( x + 3 ) ( 2x - 5 )

Lo mismo ocurre con las demás potencias: 3 y7 = y 7-3 = y 4 z = z 3-2 = z1 = z 3 2 y ;z

Mientras que la fracción del denominador corresponde a la factorización de un trinomio perfecto: 4x 2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 ) 2

Por lo tanto la fracción simplificada, resulta: 12x 6 y 7 z 3 2x 2 y 4 z = 3 18x 4 y 3 z 2 .

Al simplificar, queda:

(Tema 4, Cap. 3)

( x + 3 ) ( 2x - 5 ) x + 3 2x 2 + x - 15 = = 2 2 2x - 5 4x - 20x + 25 ( 2x - 5 )

OPERATORIA CON FRACCIONES ALGEBRAICAS TEMA 3

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar fracciones algebraicas, procederemos a factorizar los numeradores y denominadores para poder simplificar. Posteriormente se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. En el caso de la división, la transformaremos a multiplicación, multiplicando la primera fracción con la inversa multiplicativa de la segunda: a c a d ad : = ⋅ = b d b c bc

EJEMPLO 7

x 2 - 25 x2 - 1 × 2 3x - 3 x - 4x - 5 Primero factorizamos los numeradores y denominadores para poder simplificar: ( x + 5 ) ( x - 5 ) ⋅ ( x + 1) ( x - 1) = x 2 - 25 x2 - 1 = ⋅ 2 3x - 3 x - 4x - 5 3 ( x - 1) ( x + 1) ( x - 5 ) Calcular:

( x + 5 ) ( x - 5 ) ( x + 1) ( x - 1) ⋅ 3 ( x - 1) ( x + 1) ( x - 5 )

x+5 3

9x 3 y 10x - 20 ⋅ 5x - 10 3x 2 y 3 2x 2 + 10x x 2 + x - 6 4. ⋅ x 2 + 3x - 10 x 3 + 3x 2

x 2 - 6x - 16 8x + 16 ⋅ 2x 2 + 8x + 8 4x - 32

x2 + x - 6 x 2 + 5x + 6 : 2 3x - 12x + 12 6x 2 - 24

x3 - 1 x2 - 1 7. : 2 2x + 2 x + 2x + 1 x2 x 3 - 27 x 3 + 3x 2 + 9x 8. ⋅ 2 : 2 2 x - 9 2x + 6x x + 6x + 9

10. 11.

12.

EJEMPLO 8

3x 2 - x - 2 3x 2 + 5x + 2 : 2 x2 - 1 x + 2x + 1 Factorizamos, convertimos la división a una multiplicación y simplificamos: Calcular:

( x + 1) 3x 2 - x - 2 3x 2 + 5x + 2 ( 3x + 2) ( x - 1) : 2 = = ⋅ 2 x -1 x + 2x + 1 ( x + 1) ( x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) 2

EJERCICIOS TEMA 3 Multiplica y divide las siguientes fracciones algebraicas:

x 2 - 3x x 2 + 2x ⋅ x + 2 x 3 - 3x 2

3x + 15 2x - 10 ⋅ x 2 - 5x 12x + 60

x 2 - 2x - 15 4x 2 - 4x x 3 - 5x 2 : 2 ⋅ 2 2x + 6 x + 2x - 3 x + x - 6

( x - 3)

x-2 x 2 - 8x + 15 : 2 2x - 8x + 8 x - 3x 2x 2 - 10x 2

⋅

2x 2 + 9x - 35 4x 2 - 28x x 2 - 4x + 3 ⋅ ⋅ x3 - x2 x 2 - 49 2x 2 - 11x + 15

13.

3x 2 + 14x - 5 2x 2 + 8x + 8 4x 2 - 4x + 1 ⋅ ⋅ x 2 + 7x + 10 2x 2 + 5x - 3 3x 2 + 5x - 2

14.

x2 2x - 2y x 2 + xy - 2y 2 x 2 - xy : 3 ⋅ 2 ⋅ 2 2 x - y x + 2xy x - 3xy x - 3x 2 y

15.

( 3x + 2) ( x - 1) ( x + 1) ⋅ ( x + 1) ( x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1)

x3 - y3 x 3 + x 2 y x 2 + xy + y 2 × : 2 x-y x 3 - xy 2 x - 2xy + y 2

16.

ab + ac + b2 + bc 4ab + 4ac + 4bc + 4c2 b2 + 2bc + c2 : ⋅ 2a + 2c a 3 - ab2 a 3 - a 2b

 x2 - y2 x 2 + 2xy + y 2  2xy 2 - 2y 3 :  2 : 2 4x 2 y - 8xy 2  x 2 - xy - 2y 2  x - 4xy + 4y

17.

x 2 - 16 2x 2 + 7x - 4 4x - 2 : ⋅ 3x + 6 6x + 12 3x - 12

18.

2x 2 + x - 3  x 2 - 6x + 5 8x + 12  : 2 ⋅ 2  2 2x + 5x - 3  2x + 2x - 12 2x - 11x + 5 

19.

xy + 5x - 2y - 10  x 2 + 2x xy + 2x - 2y - 4  : ⋅  y 2 + 8y + 15  xy + 2x xy + 3x + 2y + 6 

20.

xy + xz + ay + az xy + 2xz - 2az - ay ⋅ x 3 - ax 2 y 2 + 3yz + 2z 2

 x + a xy + 2xz  : 2 :  x-y   x - xy

AUTOEVALUACIÓN

Al simplificar la fracción:

x3 - 8 = x2 - 4

1 -1 xy 2

x+2

2xy -1

x-2

x+6

3x+2

x 2 + 2x + 4 x+2

d) e)

4x -2 y 4 , resulta: 8x -3 y 5

1 -5 -1 x y 2 1 -5 x y 2 2xy

Al simplificar la fracción:

1 x +1

2 x+2

-2 x -1

2 x-2

1 x-2

x 2 - 9 xy + 3y : = x 2 - 4x xy - 4y

2x - 4 = , resulta: x2 - 4

a-3 a 2 + 3a - 10 ⋅ 2 = a - 3a + 2 a + 2a - 15 2

a-1

( a - 1)

1 -1 a

a-2

1 a-2

-1

4x 2 - 100 = 20x 2 - 100x

1 x

-2

x-3 x

x +1

x+3 x

x-4 x-3

x +1 x x+5 5x

POTENCIAS

En este capítulo, estudiaremos en primer lugar las propiedades de las potencias, primero lo haremos con potencias numéricas y posteriormente con las potencias algebraicas.

EJEMPLO 2

(

Calcular: 0,16

)

-5

l DEFINICIÓN DE POTENCIA

Primero convertimos el decimal a fracción: 16 - 1 15 1 0,16 = = = 90 90 6

Una potencia es de la forma xn, donde “x” es la base y “n” es el exponente.

Por lo que resulta: 0,16

Si n es un número natural, entenderemos entonces que: x n = x ⋅ x ⋅ x.... ⋅ x (“n” veces) Siendo la base un número racional o irracional sin restricción. Si el exponente es “1”, por definición, tendremos que x1=x. En el caso que el exponente sea un número entero negativo, ocuparemos la siguiente definición: x -n =

1 , en este caso excluiremos el caso en que la xn

base sea cero, o bien la fracción no estará definida. Según lo anterior, se tendrá que cuando una fracción es elevada a un entero negativo, cambiamos la base por su recíproca y la elevamos a exponente positivo: -n

a b b = a     

= 65

Las propiedades de las potencias son las siguientes:

l Multiplicación de potencias de igual base: n m A ⋅ A = A n+m (se conserva la base y se suman los exponentes) l División de potencias de igual base: A n : A m = A n-m (se conserva la base y se restan los exponentes) l Multiplicación de potencias de igual exponente: n A n ⋅ Bn = ( A ⋅ B ) (se conserva el exponente y se multiplican las bases) l División de potencias de igual exponente: n n n A : B = ( A : B) (se conserva el exponente y se dividen las bases) l Potencia de una potencia: m⋅n

(se conserva la base y se multiplican los exponentes) -2

Primero es conveniente convertir la base decimal a fracción: 1 0, 25 = 4 -2

-2  1 Entonces: ( 0, 25 ) =   4 Como la base es una fracción, la invertimos y cambiamos el signo del exponente:

-5

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

m n

Calcular: ( 0, 25 )

-2

TEMA 1

)

 1 =  6

(A ) = (A)

EJEMPLO 1

( 0, 25 )

(

-5

-2

 1 =   = 42 = 16 4

EJEMPLO 3 Calcular: ( 0, 0001)

-3

Observa que 0, 0001 =

1 1 = 4 = 10-4 10000 10

(

-4 Entonces: ( 0, 0001) = 10 -3

)

-3

, usando la propiedad de

potencia de una potencia, obtenemos 1012.

POTENCIAS EJERCICIOS TEMA 2 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

( 0, 25 )

1253x-2 = ( 0, 2)

= ( 0, 5 )

x-1

x+3

x-1

( 0, 04 )

= 125

(0, 4 )

( 0, 75 )

4  81  

2x-3

3x-5

( )

14.

15.

x+2

4x-

1 2

x-3

16.

= ( 2500 ) 2

-2

(0, 6 )

x-5

= (1, 5 )

3 4

6252x-1 ⋅ 25x = 1253x-1

= ( 0, 64 )

2x-9

(

216 x-4 ⋅ 36 x+5 = 0,16

)

5x-3

((0, 001) ) x

2x-1

(

= 1003x

)

3-x

⋅ 105

( 0, 2)

x-3

= 6252x-3

1254x-1

2x ⋅ 3x = 36 x-2

( 0, 05 ) = x+5 x-3

x-3

⋅2

x-3

400

2x+1 4 x-1 = (1, 5 ) x-1 9

18.

3x+2

17.

( 0, 02)

⋅ (1, 25 )

5x-2

( )

= 0, 2

( 0, 8 )

13.

-3x-7

= 1, 3

11.

⋅ 272x-1 = 2435x-4

x-1

= (1, 5 )

x-3

12.

2x+9

(0, 3)

x-3

10.

64 x-3 ⋅ 8 x+5 =

6 x-1 3x-1

19.

(1, 5 )

x-3

⋅ ( 0, 4 )

x-3

 27  =   125 

20.

 1 2 3   

2x+4

6 ⋅  7

2x+4

= 84x+1

2x+1

POTENCIAS TEMA 3

SUMA Y RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Cuando aparezcan expresiones con sumas y restas de

EJERCICIOS TEMA 3 1.

Demuestra que:

valor real de x.

Demuestra que:

valor real de x.

2x+2 - 2x 2 = , para cualquier x+2 x-1 3 2 +2

potencias de igual base, se podrán desarrollar factorizando por la potencia de menor exponente.

EJEMPLO 9 x+3

Demostrar que:

3x-4 - 3x 10 = , para cualquier 3 3x-3 - 3x-1

x-1

2 -2 = 10 2x - 2x-2 En los ejercicios 3 al 10 debes resolver la ecuación

En el numerador, la expresión: 2x+3 - 2x-1 , la factorizamos por el menor exponente, en este caso factorizamos por 2x-1,

exponencial que se presenta.

entonces la expresión queda de la forma: 2x+3 - 2x-1 = 2x-1 ( 24 -1) = 2x-1 ⋅ 15

3x - 3x-2 9 = x+1 x 4 2 +2

Haciendo lo mismo en el denominador, obtenemos: 2x - 2x-2 = 2x-2 ( 22 -1) = 2x-2 ⋅ 3

Luego la expresión dada queda de la forma: 2x+3 - 2x-1 2x-1 ⋅ 15 x-1 - x-2 = x-2 = 2( ) ( ) ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 10 x x-2 2 -2 2 ⋅3

EJEMPLO 10

3x+1 + 3x = 1, 5 2x+3 + 2x

Resolver la ecuación:

4. 3x-3 + 3x-1 = 90 3 ⋅ 2x-2 - 2x-4 + 2x 5.

= 108

5 ⋅ 2x-4 - 3 ⋅ 2x-3 + 2x-2 = 24

2x+1 - 2x-1 + 3 ⋅ 2x-2 = 36

Factorizamos tanto el numerador y el denominador: x-2 3x ( 3 + 1) 3x+1 + 3x 3x ⋅ 4 3x ⋅ 22 3x-2  3  = = = = =   2x+3 + 2x 2x ⋅ 9 2 x ⋅ 3 2 2x- 2  2  2x 23 + 1

(

)

Luego la ecuación original nos queda: 3  2  

x-2

3  2  

x-2

= 1, 5

3x-1 + 3x-2 27 = 8 2x+1 - 2x-1

3 =   2

32x-3 - 3x = 27 3x-2 - 3

10.

2x+2 - 2x-2 = 60 22x+3 - 22x+2

Igualando exponentes, tenemos que: x-2=1, por lo tanto x=3.

(

)

ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA AUTOEVALUACIÓN ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

-2

1  Al calcular,  2 +  se obtiene: 4   -2 3  2 a)   -2 4 b) 9   65 c) 4 4  2 d) 3   e)

10-3

( 0, 04 )

-4

-3

625 a)

5-1

520

( 0,15 )

-4

-8

( )

⋅ 3, 3

2-16

2-8

216

208

-8

La solución de la ecuación exponencial: 5x+3 = ( 0, 2)

1 5 -2

-1

4x+2

, es x=

220 + 222 = 20 a)

10-1

218

240 . 5-1

282 . 5 -1

10-1

x Si 2 = 20-1 , entonces x= 5

-2

4 9

9 4

1 300

( 0,1)

100-4

( 0, 5 )

-6

101

1001

10,25

10,125

(0, 08 ) (0, 26 )

-5

3-5

2-5

3-4

(3,25)5

RAÍCES CUADRADAS Y DE INDÍCE SUPERIOR

En primer término estudiaremos las operaciones básicas entre raíces cuadráticas, la racionalización, la operatoria con raíces de índice superior a dos y terminaremos con las ecuaciones irracionales.

TEMA 1

OPERATORIA CON RAICES

Una raíz cuadrada de un número real no negativo se define de la siguiente forma: a = b , si b2=a. Por lo tanto a es un número real no negativo, ya que b20, para todo número real b. “a” se denomina la cantidad subradical o radicando. La expresión: a , se entenderá que es un número real no negativo, ya que este símbolo hace alusión a la raíz principal, es decir al número no negativo “b” cuyo cuadrado es “a”. Si tenemos 16 , el resultado es 4, ya que 42=16, a pesar de que también (-4)2=16. Si queremos calcular ( -3 ) , el resultado es 3, y no -3, podemos eliminar la raíz con el cuadrado, pero al resultado debemos aplicar valor absoluto: 2

( -3 )

= -3 = 3

En general, esta propiedad se expresa de la siguiente forma:

a2 = a La multiplicación de raíces cuadradas se realiza conservando la raíz y multiplicando las cantidades subradicales: a ⋅ b = ab , con a>0 y b>0. La división, del mismo modo, se conserva la raíz y dividiendo las cantidades subradicales: a a , con a>0 y b>0. = b b Las propiedades anteriores también se cumplen para raíces de índice superior a dos: n a ⋅nb = nb n n

a b

b Siempre que las raíces estén definidas en los números reales. La suma de raíces se puede efectuar solo entre raíces semejantes, es decir entre raíces que tengan el mismo radicando. No se puede sumar: 2 + 3 , ya que no son raíces semejantes.

Se puede sumar:2 2 + 4 2, ya que son raíces semejantes y el resultado es 6 2 es decir suman los coeficientes de las raíces y se conserva la raíz. Para calcular suma o resta de raices, estas se deben descomponer como se muestra en los siguientes ejemplos

EJEMPLO 1 Calcular: 48 + 75 - 12 Primero descomponemos las raíces: 48 + 75 - 12 = 16 ⋅ 3 + 25 ⋅ 3 - 4 ⋅ 3 = 4 3 + 5 3 - 2 3

4+5-2=7, por lo tanto el resultado es 7 3. Si las raíces son de un índice superior a dos, procedemos de la misma forma, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2 Calcular: 3 54 - 3 16 + 3 128 Descomponemos, de tal forma que uno de los factores sea un cubo perfecto: 3 54 - 3 16 + 3 128 = 3 27 ⋅ 2 - 3 8 ⋅ 2 + 3 64 ⋅ 2 = 3 3 2 - 23 2 + 4 3 2 = 53 2

EJERCICIOS TEMA 1 Calcular: 18 - 162 + 50 1. 180 + 125 - 45 2. 75 + 12 - 108 3. 54 + 96 - 600 4. 5. 12 - 18 + 75 + 32 80 - 8 + 245 + 200 - 72 6. 3 24 + 3 192 - 3 81 7. 3 8. 81 + 3 375 - 3 3000 4 20000 + 4 32 - 4 1250 9. 4 162 + 3 24 + 3 81 - 4 32 10.

RAÍCES CUADRADAS Y DE INDÍCE SUPERIOR EJERCICIOS TEMA 3

11.

Calcular: 1 4 1 6+ 4

18 - 72

13.

 2   2 -1

72 128

 2   2 8 

1    2+  2  1    2 2  

(

5 4

15.

16.

2   2 + 1

18. 50 + 8

x 2 - 25 : x+5

x-5 4

25x 2 - 25 : 9x + 9 16x - 16

3 6 4 2 3 - 6 2

2 2 +1

-1

 2  1    +    2  2 

)

2 2 -1

2 2 +1

-1

x -5

19.

1+ 1-

1 2 1

)(

2 -1

18 + 32 ⋅

  2 - 1 2

55+

2+2

 1   2   2+ ⋅ 8  2  2 

10.

17.

12.

14. 4.

2-2

 4   2

32 - 50

20.

6-4 2

AUTOEVALUACIÓN 1.

8+4 2 18 a)

2 2

3 2

(1+ 2 )

-1

2 a)

1- 2

b) c)

2- 2 2 2- 2

2-2

80 - 12 + 75 - 147 + 320 = a)

15 5 - 7 3

12 5 - 4 3

7 5-7 3

14 5 - 9 3

11 5

La solución de la ecuación irracional: 3

5 + x - 2 = 2 es:

a) b) c) d) e)

1 2

7 9 11 18 inexistente

 18 + 8    = 2   a) b) c) d) e)

5 13 14 25 13 2

a ⋅ 3 a2 a3

x3 x

a 3

 1- 2    =  2 - 2

2 1 2 1 4

2 2

LOGARITMOS

Si tenemos la ecuación exponencial 2x=5, el exponente “x” se define como el logaritmo en base 2 de 5, o recíprocamente:

EJEMPLO 2

log25, es el exponente por el que hay que elevar 2 para obtener 5.

Al igual que en el ejemplo anterior, plantearemos una ecuación exponencial y la resolveremos igualando las bases.

La definición de logaritmo es la siguiente:

Por definición:

loga b = n ⇔ an = b

( a,b > 0 y a ≠ 1)

Cuando no aparece expresada la base, se entenderá que es 10 y se denomina logaritmo vulgar o de Briggs.

TEMA 1:

CÁLCULO DE LOGARITMOS UTILIZANDO LA DEFINICIÓN

Empezaremos este estudio, calculando logaritmos utilizando la definición.

EJEMPLO 1

Calcula el siguiente logaritmo: log1,25 0,64

log1,25 0,64 = x → (1,25) = 0,64 Convertimos la base 1,25 a fracción: 125 5 1, 25 = = 100 4 Por otro lado 0,64 también lo convertimos a fracción: 16 64 0,64 = = 25 100 Entonces la ecuación exponencial queda de la forma: x

16 5   = 25 4 Tenemos que igualar bases, para ello transformamos la fracción de la derecha:

Calcula: log8 32 Por definición tenemos lo siguiente: log8 32 = x

16 42  4 2  5 -2 = =  =  4 25 52  5 

Volviendo a la ecuación exponencial: 5   4

8 = 32

5 =  4

-2

Con lo que deducimos que x=-2.

Esta ecuación exponencial la resolvemos igualando bases:

EJERCICIOS TEMA 1

8 = 32

(23 ) 3x

Calcula los siguientes logaritmos, utilizando la definición:

=2 5

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales: (ver tema 2, cap. 6)

3x = 5 ⇒ x =

5 3

Por lo tanto: log8 32 =

5 3

log16 32

log9 27

log0,110.000

log4 128

log25 ( 0,2)

log0,25 8

LOGARITMOS EJERCICIOS TEMA 3

TEMA 4

Sabiendo que log a = 0,3 y log b = 0,2 y usando propiedades de logaritmos, calcula:

Utilizando las propiedades de logaritmos (ahora vistas de izquierda a derecha), convertiremos una expresión dada en un solo logaritmo.

3a log    b

(

log a 3 ⋅ 4 b

EXPRESAR EN UN SOLO LOGARITMO

EJEMPLO 8 1 Dada la siguiente expresión: 2 logx - 3 logy - logz , 2 exprésala en un solo logaritmo.

)

Utilizando la propiedad 7 , los coeficientes se convierten en exponentes de los argumentos de los logaritmos: log x 2 − log y 3 − log z

5b log  2  a 

Los dos términos finales los agrupemos en un paréntesis:

(

log x 2 − log y 3 + log z

)

 10a  log  3  4.  b 

Por la propiedad 5, la suma de logaritmos se convierte en un logaritmo de un producto:

4b⋅3a log   5.  100 

Por la propiedad 6, la resta de logaritmos se convierte en un logaritmo de un cuociente:

 x2  log  3  , con ello hemos convertido la expresión a un y z solo logaritmo.

 1000a 2  log   b  

)

EJEMPLO 9

(

log x 2 − log y 3 z

(

)

Expresa en un solo logaritmo: log x 3 - 1 - log ( x - 1)

loga b

Utilizando la propiedad 6, la convertimos en el logaritmo de un cuociente:

loga 100 8. logb 10

 x 3 − 1 log    x −1  El numerador corresponde a una resta de cubos, ocupamos la igualdad: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2):

logb 3 a

10.

logab a 2b3

( x − 1) ( x 2 + x + 1) , simplificando nos  x 3 − 1 log   = log x −1  x −1 

queda: log ( x 2 + x + 1)

LOGARITMOS TEMA 5

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Se llama ecuación logarítmica a aquella ecuación donde la incógnita aparece en el argumento de algún logaritmo. Para resolver este tipo de ecuaciones debemos expresar los logaritmos en uno solo y posteriormente eliminar los logaritmos que aparecen. Después que determinemos el o los valores de la incógnita, debemos comprobar que los valores obtenidos son efectivamente soluciones de la ecuación dada.

EJEMPLO 11 Resolver la ecuación: log ( x + 1) + log ( x - 4 ) = 2 log 6 Convirtamos la expresión de la izquierda en un solo logaritmo y en la de la derecha, el coeficiente lo convertimos en un exponente: log ( x + 1) ( x − 4 ) = log 62 Por propiedad 9, podemos “eliminar” los logaritmos:

EJEMPLO 10

(x+1)(x-4)=36

Resolver la ecuación logarítmica: log2 ( x + 1) - log2 x = 3

Desarrollando, obtenemos la ecuación de segundo grado:

Primero, reduzcamos la resta de logaritmos al logaritmo de un cuociente:  x + 1 log2   = 3 , con ello expresamos los logaritmos en  x  uno solo. Ahora para eliminar el logaritmo, utilizamos la definición: x +1  x + 1 3 log2  =3⇔2 = x  x  Resolvemos la ecuación: x + 1 = 8x 1 x= 7

x +1 =8 x

Comprobemos en la ecuación original: 1 1  log2  + 1 − log2 = 3 7 7  1 8 log2   − log2 = 3 7 7   La resta de logaritmos la expresamos como un logaritmo de un cuociente: 1 8 log2   − log2 = 3 7 7

x2-3x-40=0, factorizando: (x-8)(x+5)=0 Las soluciones son x1=8 y x2=-5 Comprobemos en la ecuación original: x1 = 8 :

log ( 8 + 1) + log ( 8 − 4 ) = 2 log 6 log 9 + log 4 = log 62 log ( 9 ⋅ 4 ) = log 36

Lo que es correcto, por lo tanto 8 es solución, veamos ahora si x=-5 es solución. x2=-5 log ( −5 + 1) + log ( −5 − 4 ) = log 62 log ( −4 ) + log ( −9 ) = log 36 Sabemos que los logaritmos solo están definidos para números reales positivos, por lo tanto los logaritmos de la izquierda no existen, luego x=-5 no es solución de la ecuación original. Observa que aunque la igualdad (-4) . (-9)=36, es correcta, de todas formas -5 no es solución ya que los logaritmos no están definidos.

8   log2  7  1   7 log2 8=3, lo cual es correcto, por lo tanto efectivamente 1 x = es solución. 7

AUTOEVALUACIÓN 1.

log25 0, 2 =

1 2 -2

−

100

a) b)

1 2 1 125

log 0, 04 + log 2, 5 =

-3

-2

-1

 a  loga  3  =  a a)

1 3

2 3

3 2

4 3

Si x>1 e y>1, entonces

logx x 3 + logy 3 y logz 4 z 3

2 31 12 3 4

4 3

40 9

 a2  loga   - loga a 3 c =  c 

( )

-1

-1- 2 loga c

5 - 2 loga c

-2 loga c

log2a 2 + log2a a =

-2

-1

-4

1  a > 0 y a ≠  2 

FUNCIONES

Las funciones relacionan los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B. A se denomina el conjunto de partida y B el conjunto de llegada. Las funciones deben cumplir que todos los elementos del conjunto de partida deben tener imagen y esta debe ser única.

TEMA 1

CÁLCULO DE IMÁGENES

Si nos dan una función, y un elemento del conjunto de partida, podemos calcular su imagen, sustituyendo en la ecuación de la función, tal como se muestra en los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 1

EJEMPLO 4 Si f(x+1)=2x2-4x-1, hallar f(x-1). Primero hacemos el cambio de variable: x+1=u, para obtener f(u). Como x+1=u, entonces x=u-1, reemplazando en f(x+1), tenemos: f(u)=2(u-1)2-4(u-1)-1=2u2-8u+6. Es decir f(u)=2u2-8u-6, ahora reemplazamos “u” por “x-1” para obtener lo pedido: f(x-1)=2(x-1)2-8(x-1)-6=2x2-12x+4. Observa que podríamos haber realizado directamente el ejercicio (sin el cambio de variables), sustituyendo “x” por “x-2”en la expresión dada.

Si f(x)=2|x|-3x2, calcular f(-2). Reemplazamos en la ecuación “x” por -2:

EJERCICIOS TEMA 1

f ( -2) = 2 ⋅ -2 - 3 ⋅ ( -2) = 2 ⋅ 2 - 3 ⋅ 4 = -8

Resuelve los siguientes ejercicios:

EJEMPLO 2

Si f(x)=3x-1+2x , hallar f(a+b) .

x2 + x 2. Si f ( x ) = , hallar f(-1)+f(2). 2x

Reemplazamos “x” por “a+b”: f (a + b) = 3 (a + b) + 2 ⋅ (a + b) =

Si f ( x ) =

2x - 3 , hallar f(5). 2x

-1

3 3 + 2a 2 + 4ab + 2b2 + 2 (a + b) = a+b a+b

EJEMPLO 3 Si f(x)=3g(x)-2 y g(x)=2x2-5x, hallar f(-4). Reemplacemos en f(x), “x” por -4: f(-4)=3.g(-4)-2, por otro lado si sustituimos “x” por -4, en g(x), obtenemos: g(-4)=2.(-4)2-5.(-4)=2.16+20=52. Entonces f(-4)=3.52-2=156-2=154.

¿Cuál es la preimagen de -2 en la función:

f (x) =

2x - 6 ? x

2x 2 - 3x 4. Si f ( x ) = , calcula f(4). 2x

¿Cuál es la preimagen de 3 en la función: f ( x ) = 2x -1 ?

Si f ( x ) = 2x a + 3 y f(2)=11, entonces ¿cuánto es f(-2)?

Si f ( x ) = 2x + x 2 , entonces ¿cuál es la preimagen de 3?

105

FUNCIONES TEMA 3

GRÁFICOS DE FUNCIONES

A continuación veremos los gráficos de algunas funciones importantes

FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN AFÍN

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

y=mx

y=mx+n

y=|x|

4 3 2 1

-3

-2

-1

-1 -2

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CÚBICA

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

y=x2

y=x3

y= x

-2

-1

y 4

0 -1

-1

0 -1

1 1

-1

-2

109

FUNCIONES TEMA 5

LA FUNCIÓN INVERSA

Cuando tenemos una función biyectiva, existe la función inversa la cual hace el “trabajo contrario”, es decir si la función original para cada “x” entregaba una única imagen “y”, ahora la función inversa a cada valor de “y” le entrega el valor de “x”. Para determinar la inversa de una función, primero tenemos que verificar que es biyectiva. Despejamos la variable “x”, después que tenemos despejada esta variable a “y” le llamamos “x” y viceversa, con lo que obtenemos la inversa de la función. Siempre se verifica que el gráfico de la función y el de su respectiva inversa son simétricos respecto de la recta de ecuación y=x: y

f(x)

y=x

La epiyectividad ya la estudiamos en el ejemplo 16, por lo que tenemos que la función es biyectiva y por ende podemos calcular su inversa. Para el cálculo de la inversa, despejamos “x”: 2x - 3 y= x -1 y ( x -1) = 2x - 3 xy - y = 2x - 3 xy - 2x = y - 3 x ( y - 2) = y - 3 x=

Ahora cambiamos “x” por “y” y viceversa: y=

f-1(x)

y-3 y-2

x-3 x-3 por lo tanto la función inversa es: f -1 ( x ) = . x-2 x-2

EJEMPLO 21 Determina la inversa de la función del ejemplo 19.  x - 2, si x ≥ 2 z (x) =   x - 2, si x < 2 Por lo visto en el ejemplo 19, ya sabemos que es biyectiva, por lo tanto su inversa es también función.

EJEMPLO 20 Hallar la inversa de la función, f :  − {1} →  − {2} , tal que: f ( x ) =

2x - 3 . x -1

Veamos primero si es inyectiva: Supongamos que f(x1)=f(x2), con x1 y x2 elementos del Dom de f. 2x1 - 3 2x 2 - 3 = x1 -1 x 2 -1

( 2x1 - 3 )( x 2 -1) = ( 2x 2 - 3 )( x1 -1) 2x1x 2 - 2x1 - 3x 2 + 3 = 2x1x 2 - 2x 2 - 3x1 + 3 x1 = x 2 Por lo tanto es inyectiva.

De la primera rama, despejemos “x”: y = x - 2 / ( )2 y2=x-2 x=y2+2, ahora cambiamos “x” por “y” y viceversa: y=x2+2 Veamos ahora que sucede con los valores que toma la variable. Tenemos que: x>2 /-2 x-2>0 / x - 2 ≥ 0 , pero y = x - 2 , por lo tanto y0. Ahora cambiamos “y” por “x”, con lo que obtenemos x>0, por lo tanto la inversa de la primera rama es: y=x2+2, con x>0.

117

AUTOEVALUACIÓN 1.

Si f(x)=2x2-5x y g(x)=3x+1, hallar “a” si g(a+1)=f(2) −

b) c) d) e)

-3 -2 0 3

124

Si f(x)=2x-1 y g(x)=

1 , hallar x tal que x

fog(4)=gof(x)

5 3

f(x)=x2-2x+3, entonces f(a+1)-f(a)= a) b) c) d) e)

2a+1 2a-1 -2a+5 -2a-5 2a-5

El dominio de la función f ( x ) = 4 - 2x es a)

{x ∈  /

x < 2}

{x ∈  /

x ≤ 2}

{x ∈  /

x > 2}

{x ∈  /

x ≥ 2}



¿Cuál(es) de las siguientes funciones es (son) inyectivas? I. II. III.

f :  +0 →  +0 , con f ( x ) = x f :  +0 →  +0 , con f ( x ) = x 2 f :  +0 →  +0 , con f ( x ) = x +1

a) b) c) d) e)

Solo I Solo III Solo I y II I, II y III Ninguna de ellas

1 2

−

7 4

3 2

1 2

Si f(x)=2x+3 y g(x)=x2, ¿cuánto vale x si f(x+1)=g(2)? a)

-3

-2

-1

Si f(x)= x + 1 y g(x)=x2-1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. II. III.

2  Dom f -2  Rec g -4  Dom gof

a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

Si g(3)=5 y f(5)=7, entonces fog(3)= a) b) c) d) e)

5 7 12 13 Falta información.

ECUACIÓN DE LA RECTA

En el capítulo anterior vimos que la función afín es de la forma: f(x)=mx+n, al graficar esta función se obtiene una recta.

EJEMPLO 2 Calcula la pendiente de la recta de la figura:

En el presente capítulo estudiaremos la relación entre la gráfica y los parámetros m y n de su ecuación.

TEMA 1

y 5 4

PENDIENTE DE LA RECTA

Empecemos entendiendo que “m” se denomina pendiente y esta guarda relación con la inclinación de la recta con respecto al eje horizontal.

3 2 1

α -6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2

Entre mayor sea la pendiente mayor es el ángulo que forma con el eje x y si el ángulo es obtuso (es decir, mide más que 90° y menos de 180°), la pendiente es negativa. En el caso que la recta forme con el eje x un ángulo recto, la pendiente no estará definida. Si tenemos los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), la pendiente de la recta que pasa por estos puntos se calcula mediante el cuociente: m=

y 2 - y1 , con x1x2 x 2 - x1

Observa que si la función afín es creciente, es decir si aumenta “y” a medida que aumenta “x”, la pendiente es positiva, como se observa en este primer ejemplo.

-3

Observa que la recta pasa por los puntos (-4,2) y (0,-1). -1- 2 3 =- . 0 - -4 4 La pendiente resulta negativa, debido a que la función es decreciente, además forma un ángulo obtuso con el semi-eje positivo de las x, medido en el sentido contrario a los punteros del reloj. (a>90°) Calculamos la pendiente y obtenemos: m =

EJEMPLO 3 En el siguiente ejemplo, veremos que si la recta es paralela al eje x, su pendiente es cero.

EJEMPLO 1

y 5 4

Calcula la pendiente de la recta cuya gráfica es la siguiente:

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

3 2

-2

1 -5

-4

-3

-2

-1

-2 -3

Observamos que las coordenadas de A y B son respectivamente (-4,-2) y (2,7), aplicando la fórmula de pendiente, -2 - 7 -9 3 = = -4 - 2 -6 2 Por lo tanto la pendiente es 3/2, y es positiva debido a que la función es creciente. tenemos que: m =

Consideremos los puntos (1,3) y (-4,3) para calcular su pendiente. (puedes tomar otros puntos). 3-3 0 =- =0. -4 -1 -5 La función anterior corresponde a la función constante f(x)=3. Entonces al calcular la pendiente de la recta que corresponde a una función constante, siempre su pendiente será nula o cero. m=

129

ECUACIÓN DE LA RECTA 3x - 2y + 4 = 0 2y = 3x + 4 / : 2

Como m = -

3 x+2 2 Esta última es la ecuación principal de la recta, donde m=3/2 y n=2. y=

El parámetro m es la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición lo que corresponde a la ordenada del punto donde la gráfica intercepta al eje y. Volvamos al gráfico dado: 6 5 4 3 2 1 0 -3

-2

-1

3 y = - x +n 4 Como los puntos que pertenecen a esta recta deben cumplir su ecuación, reemplacemos por alguno de ellos, por ejemplo el (-5,2): 3 2 = - ⋅ -5 + n 4 7 . 4 Por lo tanto la ecuación principal de la recta es: 3 7 y =- x- . 4 4 Multipliquemos por 4: Despejando “n”, se tiene que n = -

-4

3 , la ecuación principal es de la forma: 4

4y=-3x-7

-1 -2

3x+4y+7=0, la ecuación general de la recta.

-3 -4

Observa que el corte con el eje y se produce en el punto (0,2), ya que n=2 . Si calculamos la pendiente, por los dos puntos por donde pasa la gráfica, tenemos: y 2 - y1 -4 - 5 3 = = x 2 - x1 -4 - 2 2 lo que coincide con el cálculo de “m” en la ecuación principal. m=

Veamos ahora un método alternativo para hallar la ecuación de la recta dado dos puntos de ella.

Observemos que en la ecuación de la recta por dos y -y puntos: y - y1 = 2 1 ( x - x1 ) , si reemplazamos m por x 2 - x1 y2 - y 1 , obtenemos la ecuación: x 2 - x1 y - y1 = m ( x - x1 ) La que se denomina la ecuación punto-pendiente. Esta ecuación nos permite obtener una recta conociendo su pendiente y un punto de ella, como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-5,2) y (3,-4).

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2 (-4,6) y tiene pendiente . 3 Utilicemos la fórmula punto pendiente: y - y1 = m ( x - x 1 )

Primero calculamos la pendiente:

Tenemos que x1=-4 ; y1=6 y m=

EJEMPLO 6

y 2 - y1 -4 - 2 -6 3 = = =x 2 - x1 3 + 5 8 4

Observa que si hubiésemos tomados los puntos al revés habríamos obtenido la misma pendiente.

2 , reemplazando: 3

2 ( x + 4 ) multiplicando por 3, obtenemos: 3 3y-18=2x+8, o bien 2x-3y+26=0, lo que corresponde a la ecuación general de la recta pedida. y-6 =

133

ECUACIÓN DE LA RECTA EJERCICIOS TEMA 3

EJEMPLO 9

Determina la intersección de la recta dada, con los ejes coordenados:

3x-2y-6=0

4x-y-8=0

x-5y-15=0

2x-3y-12=0

5x-10y-12=0

4x-8y-9=0

3x-2y+24=0

5x-6y-8=0

3x-4y-36=0

10.

5x-2y-120=0

Determina si las rectas L1 y L2 son paralelas, perpendiculares o ninguna de las situaciones anteriores. L1:

4x-8y-7=0

L2:

6x+3y-19=0

Llevemos ambas a la ecuación principal: 1 7 L1: 4x - 8y - 7 = 0 ⇒ y = x - . 2 8 L2:

6x + 3y -19 = 0 ⇒ y = -2x +

Como la ecuación principal es de la forma: y=mx+n, deducimos que la pendiente de L1 es 1/2 y la pendiente de L2 es -2, si multiplicamos ambas pendientes, se obtiene -1, por lo tanto las rectas son perpendiculares.

EJEMPLO 10 Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto (-5,10) y es paralela a la recta 5x-3y-1=0 Encontremos primero la pendiente de la recta, para ello la llevamos a su ecuación principal: 5x - 3y -1= 0 ⇒ y =

TEMA 4 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Cuando dos rectas son paralelas el ángulo que forman con el eje x, es el mismo, por ser ángulos correspondientes entre paralelas, por lo tanto sus pendientes son iguales. En el caso de ser perpendiculares el producto de sus pendientes es -1. En este último caso, se exceptúan las rectas que son paralelas a los ejes coordenados, es decir la recta x=k e y=p, con k y p constantes son perpendiculares, sin embargo sus pendientes multiplicadas no dan -1, ya que la recta y=k tiene pendiente cero y la recta x=k tiene una pendiente no definida.

136

19 . 3

5 1 5 x- ⇒m= 3 3 3

Tenemos que la recta pedida pasa por el punto (-5,10) y tiene pendiente 5/3, ocupemos la ecuación punto-pendiente: y -10 =

5 ( x + 5 ) / ⋅3 3

3y-30=5x+25 5x-3y+55=0, lo que corresponde a la ecuación pedida.

AUTOEVALUACIÓN 1.

El punto (a-1,a+3) pertenece a la recta de ecuación: 3x-4y+5=0, entonces a=

¿cuál de las siguientes rectas pasa por el punto (-3,2)?

-20

x-y+6=0

-10

-2x-y-4=0

-4

2x-y-8=0

x+y-2=0

x=2

¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al gráfico de la recta de ecuación: 3x-6y-4=0?

¿En qué punto, la recta de la figura, intersecta al eje de las ordenadas? a)

a) x

 4  0,   5  1  0,   5

(0,1)

(-2,0)

Falta información

2 -2

b) x

¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x+y-4=0?

d) x

2x-y-3=0

x+2y-1=0

x-2y-4=0

2x+y-1=0

4x+2y-5=0

La recta de ecuación: (k+1)x-(k-1)y+3=0, intersecta al eje x en el punto (3,0), entonces k=

140

a) b) c) d) e)

-2 -1 0 1 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Supongamos que tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:

EJERCICIOS TEMA 1

L1: ax+by=e

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución:

L2: a’x+b’y=e’ Si queremos hallar el punto donde se intersectan ambas rectas, debemos encontrar un punto (x,y) que satisfaga ambas ecuaciones.

3x - y = 7 2x + 3y = 1

Para ello debemos resolver el sistema de ecuaciones:

ax + by = e a'x + b'y = e'

5x - 3y = -1 x + 2y = 5

x - 4y = 8 3x + 8y = -6

4x - 3y = 38 x + 2y = -7

En este capítulo estudiaremos tres métodos de resolución para los sistemas lineales con dos incógnitas. 1.

Método de sustitución.

Método de igualación.

Método de reducción.

TEMA 1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y “sustituirla” en la otra”.

EJEMPLO 1 Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente: 3x - y = 14 2x + 3y = 13

7x - y = 9 3x - 4y = 11

4x - 2y = 11 x - 4y = 1

De la primera ecuación despejamos “y”: y=3x-14 (podríamos haber despejado otra incógnita, pero es más fácil este despeje) Reemplazamos este valor de “y” en la otra ecuación: 2x+3(3x-14)=13 11x=55 x=5, reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones, pero es más práctico en y=3x-14 Calculando, obtenemos que y=3.5-14=1, por lo tanto la solución es el par ordenado (5,1).

146

3x + y = 0 5x - 3y = 14

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS TEMA 4

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Sabemos que al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, estamos encontrando el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones corresponden a las ecuaciones del sistema. Este punto, existirá o no dependiendo de la posición relativa de las rectas.

Caso 1: SISTEMA INCOMPATIBLE

Si las rectas son paralelas no coincidentes, las rectas no intersectan, luego el sistema no tiene soluciones. Algebraicamente, en el sistema, debe ocurrir que:

EJEMPLO 4 Determina el valor de “p” para que el sistema no tenga soluciones: (p -1) x - (p +1) y = 2 (p + 2) x - (p + 3 ) y = -3 Según el caso 1, debe ocurrir que: p -1 - (p +1) 2 (*) ≠ = p + 2 - (p + 3 ) -3 En la proporción formada por la primera igualdad, multiplicamos cruzado y resolvemos: (p-1)(p+3)=(p+1)(p+2) p2+2p-3=p2+3p+2 p=-5

ax + by = c a b c ⇔ = ≠ ⇔ paralelas no coincidentes a'x + b'y = c' a' b' c'

-6 -6 44 22 Si reemplazamos en (*), obtenemos: == ↑↑ -3 -3 22 -3 -3 Por lo tanto se cumple la condición que queríamos, o sea para p=-5, el sistema no tiene soluciones.

l Caso 2 : SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

EJEMPLO 5

Si las rectas son paralelas coincidentes, las rectas se intersectan en infinitos puntos, luego el sistema tiene infinitas soluciones.

Determina el valor de “k” para que el sistema:

En el sistema , se traduce en lo siguiente: ax + by = c a b c ⇔ = = ⇔ paralelas coincidentes a'x + b'y = c' a' b' c'

Caso 3 : SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Si las rectas son secantes, las rectas se intersectan en un solo punto, luego el sistema tiene una única solución. En el sistema, tendremos lo siguiente: ax + by = c a b c ⇔ ≠ = ⇔ rectas secantes a'x + b'y = c' a' b' c'

(k +1) x - (k + 2) y = 1 ( 2k - 3 ) x - ( 2k + 3 ) y = 6 Tenga infinitas soluciones. Esta situación corresponde al caso 2, entonces k +1 k+2 1 = = ( ) 2k - 3 2k + 3 6 En la primera proporción, multiplicamos cruzado:

(k +1)( 2k + 3 ) = (k + 2)( 2k - 3 ) 9 4 Reemplazamos en (*), para comprobar que efectivamente este valor satisface la condición: Resolviendo, obtenemos k = -

9 9 - +1 - + 2 1 4 = 4 = 9 9 - -3 - +3 6 2 2 1 1 1 = = 6 6 6 9 Por lo tanto la solución efectivamente es k = - . 4

151

AUTOEVALUACIÓN

3x - 4y = 68 Al resolver el sistema: , se tiene 2x = -3y que x+y= a)

-12

-4

¿Cuánto vale k si el sistema de ecuaciones: kx - (k +1) y = 2 no tiene soluciones? 3x + 2y = 4

3 5

−

d) e)

Pablo tiene 8 años más que el triple de la de edad de Felipe y en 2 años más tendrá el cuádruplo. ¿Cuánto suman sus edades?

3 5

5 3 3 2 -3

En un triángulo isósceles se cumple que el triple del ángulo basal tiene 25° más que el doble del ángulo no basal, ¿cuánto miden los ángulos basales?

35°

48°

55°

70°

84°

Un peluquero le cobra a los niños $4.000 y a los adultos $5.500. Un día atendió a 9 clientes recaudando $45.000, ¿cuántos adultos atendió? a)

120x - 80y = 60

Dado el sistema de ecuaciones: 160x -100y = 80 , ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera?

1 2

x=2

x=0

x+y =

y 1 = x 2

1 2

153

ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2+bx+c=0 (a≠0) Veremos a continuación los diversos métodos que disponemos para poder resolverla.

EJERCICIOS TEMA 1

TEMA 1

RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN

Para este método se debe factorizar el trinomio ax2+bx+c por alguno de los métodos vistos en el capítulo 3. Después que factorizamos ocupamos la propiedad de los números reales que afirma que si el producto de dos números reales es cero, entonces alguno (o ambos) de los factores son cero.

EJEMPLO 1 Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: x2-81=0 Esta es una ecuación cuadrática incompleta, la que se puede resolver ocupando que una diferencia de cuadrados equivale a una suma por su diferencia: x2-81=0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado ocupando el método de factorización:

x2-8x=0

x2-4x-45=0 x2+7x-60=0

x2+13x-140=0

2x2-50=0

(x+9)(x-9)=0

Por la propiedad mencionada, se debe cumplir que x+9=0 o x-9=0

De donde obtenemos que x=-9 o x=9.

EJEMPLO 2 Resuelve la ecuación cuadrática: x2-2x-24=0 Aquí ocuparemos la factorización de un trinomio de la forma x2+px+q, para ello hay que ubicar dos números que sumados den -2 y multiplicados den -24, éstos números son -6 y 4, por lo tanto la factorización nos permite escribir la ecuación en la forma: (x-6)(x+4)=0. Ocupando la misma propiedad que ocupamos en el ejemplo anterior, tenemos que: x-6=0 o x+4=0 Por lo tanto x=6 o x=-4. También podemos anotar el conjunto de las soluciones como S={-4,6}.

158

x2-16=0

x2+11x-60=0 x2-20x+96=0

x2-24x+144=0

10.

3x2+9x-324=0

TEMA 2 RESOLUCIÓN APLICANDO RAÍZ CUADRADA Cuando tenemos la ecuación: x2=9, pensamos que número elevado al cuadrado es 9, la solución son dos valores: 3 y -3 ya que ambos al cuadrado dan 9. Lo anterior, es equivalente a aplicar la raíz cuadrada positiva y la raíz cuadrada negativa a ambos lados de la ecuación x2=9

ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRATICA TEMA 10

ECUACIONES FRACCIONARIAS DE SEGUNDO GRADO

Para resolver este tipo de ecuaciones haremos lo mismo que vimos en el capítulo 5, factorizamos los denominadores, calculamos el m.c.m de los denominadores y multiplicamos la ecuación por este m.c.m, así logramos que los denominadores desaparezcan.

EJEMPLO 16 Resolver la ecuación fraccionaria: 7 3x 2 + = 6x 2 - x - 2 16x 2 - 8x - 8 3x 2 - 5x + 2 Factorizamos los denominadores:

En este caso llegarás a una ecuación cuadrática la que puedes resolver con cualquiera de los métodos vistos en este capítulo.

6x2-x-2=(2x+1)(3x-2)

EJEMPLO 15

3x2-5x+2=(3x-2)(x-1)

Resuelve la ecuación fraccionaria: x 1 x + = x 2 - 4 4x + 8 4x - 8

Primero factorizamos los denominadores: x2-4=(x+2)(x-2) 4x+8=4(x+2) 4x-8=4(x-2) El m.c.m de los denominadores es 4(x+2)(x-2), multiplicamos la ecuación por esta expresión: x 1 x + = x - 4 4x + 8 4x - 8 x 1 x + = / ⋅ 4 ( x + 2) ( x - 2) ( x + 2)( x - 2) 4 ( x + 2) 4 ( x - 2) 2

4x + x - 2 = x ( x + 2) x 2 - 3x + 2 = 0

( x - 2)( x -1) = 0 Las soluciones de esta ecuación son 1 y 2, pero el 2 no es solución de la ecuación fraccionaria ya que anula algunos de los denominadores, a saber x2-4 y 4x-8, por lo tanto no se considera este valor. Por lo tanto la única solución es x=1.

16x2-8x-8=8(2x2-x-1)=8(2x+1)(x-1)

El m.c.m. entre los denominadores es 8(2x+1)(3x-2)(x-1), multiplicamos la ecuación por esta expresión: 7 3x 2 + = 6x 2 - x - 2 16x 2 - 8x - 8 3x 2 - 5x + 2 7 2 3x = + / ⋅8 ( 2x +1)( 3x - 2)( x -1) ( 2x +1)( 3x - 2) 8 ( 2x +1)( x -1) ( 3x - 2)( x -1)

56 ( x -1) + 3x ( 3x - 2) = 16 ( 2x +1) 9x 2 +18x - 72 = 0 / : 9 x 2 + 2x - 8 = 0

( x - 2) ( x + 4 ) = 0 Las soluciones son 2 y -4, en este caso ambas sirven ya que ninguna de ellas anula algún denominador.

EJERCICIOS TEMA 10 Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:

x 2x 2 = 2 x +1 x -1 x -1

x 2x 2 + = 2. x2 - 1 x + 1 x - 1 2 4x -3 3. + = 2 x - 9 x + 3 2x - 6 x 2x -10 4. + = x 2 - 25 x + 5 7x - 35

3x 4 5 = 0 + + 2 x - 2x x + 2 x + 2x 2

167

ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRATICA TEMA 16 VÉRTICE, EJE DE SIMETRÍA, MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA l

Vértice

Si se tiene la función cuadrática: y=ax2+bx+c, el vértice es el punto donde cambia de decreciente a creciente o viceversa. En el caso en que a>0:

En el caso en que a<0:

Máximo o mínimo de una función cuadrática

Si a>0, la función tiene un mínimo y corresponde a la

 ordenada del vértice: y = 4a Si a<0, la función tiene un máximo y corresponde a la ordenada del vértice, al igual que en el caso anterior. Caso a>0

Caso a<0

y y

vértice

decreciente

creciente

Máximo valor de f

decreciente

vértice

Minimo valor de f

vértice

En ambos casos tenemos que la abscisa del vértice es: b . x=2a Si reemplazamos este valor en la ecuación de la función: y=ax2+bx+c, podemos obtener su ordenada: 2

vértice

EJEMPLO 26

ab b b b -b + 4ac  b   b  y = a-  +b-  + c = 2 +c = +c = 2a 4a 2a 4a 2a  2a   2a 

Determina el vértice, el eje de simetría y máximo o mínimo de la función cuadrática: f(x)=2x2-4x+5

Pero =b2-4ac, por lo tanto la ordenada del vértice se

b La abscisa del vértice es x = , en este caso: 2a b 4 x== = 1, para obtener la ordenada del vértice 2a 4

 puede escribir también: y = -

4a  b  ,-  .  2a 4a 

Luego las coordenadas  del vértice son  l

podemos usar que y = -

 , o equivalentemente

calcular f(1):

Eje de simetría

El eje de simetría de la parábola de ecuación: y=ax 2+bx+c, es una recta paralela al eje de las ordenadas b que pasa por el vértice, luego su ecuación es: x = . 2a y

b El eje de simetría es la recta vertical: x = , en este 2a caso es x=1. Y como a>0, la función tiene un mínimo, el que corresponde a la ordenada del vértice, por lo tanto el valor mínimo de esta función es y=3.

eje de simetría

-∆ 4a

f (1) = 2 ⋅ 12 - 4 ⋅ 1+ 5 = 2 - 4 + 5 = 3 , luego el vértice es el punto (1,3).

vértice

-b 2a

177

AUTOEVALUACIÓN 1.

En la ecuación: (2x-3)2=25, las soluciones es (son): a) b) c) d)

dos soluciones enteras positivas dos soluciones enteras negativas dos soluciones enteras de distinto signo solo una solución entera positiva

solo una solución entera negativa

¿Cuánto debe valer “a” si 3 es raíz de la ecuación: ax2-(a+1)x-6=0?

2 3

3 2

−

1 2

1 − 2

¿En cuál(es) de las siguientes ecuaciones cuadráticas sus soluciones son reales y distintas? I.

x2-6x+1=0

II.

2x2-3x+2=0

III.

5x2+4x-1=0

Solo I

Solo II

Solo I y II

Solo I y III

I, II y III

¿Cuánto debe valer “a” para que las soluciones de la ecuación: x2-(2a+4)x+8a+9=0 sean reales e iguales?

3 2

x 2 + y 2 = 25 Dado el sistema cuadrático: , x+y=7 entonces xy=

Solo 5

Solo 1

Solo -1

5 o -1

1 o -1

¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene como 2+ 2 2- 2 y ? soluciones : 2 2

x2-2x+1=0

2x2-4x+1=0

2x2+4x+1=0

2x2+2x+1=0

x2+2x-4=0

181

INECUACIONES

Una inecuación es una expresión donde hay una o más incógnitas y aparece alguno de los siguientes símbolos:

Conjunto de números reales que son mayores (o mayores o iguales) que un cierto número.

Intervalo no acotado por la derecha

“< “ (menor) “>” (mayor)

{x ∈  / x > a} ]a, +[ a

{x ∈  / x ≥ a} [a, +[

“<” (menor o igual) “>” (mayor o igual) Por ejemplo una inecuación del tipo: 2x>4, consiste en encontrar los valores de “x” que cumplan con que su doble es mayor que cuatro.

Conjunto de números reales que son menores (o menores o iguales) que un cierto número.

Intervalo no acotado por la izquierda

Las soluciones las podemos entregar como conjunto, en forma gráfica o como un intervalo de números reales. l

Intervalos

Como mencionamos anteriormente, los intervalos son conjuntos de números reales, los cuales pueden ser del siguiente tipo: Tipo de intervalo

Abierto

Cerrado

Semi-abierto por la derecha

Semi-abierto por la Izquierda

Gráfico

Descripción Conjunto de números reales que están entre dos valores reales sin considerar los extremos. Conjunto de números reales que están entre dos valores reales considerando los extremos.

Conjunto de números reales que están entre dos valores reales sin considerar el extremo derecho.

Conjunto de números reales que están entre dos valores reales sin considerar el extremo izquierdo.

Conjunto

Notación

{x ∈  / a < x < b}

]a , b[

o (a , b)

{x ∈  / x < a} ]-, a[ a

{x ∈  / x ≤ a} ]-, a]

Para poder estudiar las inecuaciones es necesario saber operar con intervalos, esto es, saber unirlos e intersectarlos. Unión de intervalos

La unión de intervalos se refiere al conjunto de números que pertenecen ya sea a uno o al otro de los intervalos (o a ambos).

Ejemplo:

b I2 c

{x ∈  / a ≤ x ≤ b} a

[a , b]

I1  I2

a,b  ∪ c, d {x ∈  / a ≤ x < b} a

[a , b[

[a , b)

I2 c

{x ∈  / a < x ≤ b}

]a , b]

o I1  I2

(a , b]

a,b  ∪  c, d

187

INECUACIONES TEMA 3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Las inecuaciones con valor absoluto se pueden reducir a la forma: |x|>a , |x|<a, |x|>a , |x|<a. Para resolver este tipo de inecuaciones hay que considerar los siguientes casos: Caso 1:

|x|<a

(a>0)

Entonces “x” se encuentra entre el inverso de “a” y “a”:

Gráficamente: Caso 2:

-a

|x|>a

(a>0)

Entonces “x” es menor que el inverso de “a” o es mayor que “a”: x<-a o x>a

7x - 3 >9 2

Por el caso 2, tenemos que De la primera inecuación:

7x - 3 7x - 3 < -9 o >9 2 2

7x - 3 < -9 2 7x - 3 < -18 15 7 De la segunda:

-a

Si a fuera un número negativo, entonces tenemos lo siguientes casos: Caso 3:

|x|<a

(a<0)

Como |x|>0, es imposible que se cumpla la desigualdad, por lo tanto la solución es el conjunto vacío: ∅ ∅ Caso 4:

|x|>a

(a<0)

En el caso que las inecuaciones consideren la igualdad, las soluciones son: , (a>0)

|x|>a

, (a>0)

-a

, (a<0) , la solución es el conjunto vacío.

|x|>a , (a<0) , la solución es todo el conjunto de los números reales.

15 o x>3 7

Gráficamente: 15  − +  ∞,- 7  ∪  3, ∞   

-15 7

y como intervalo:

EJEMPLO 7 x-2 x+5 0 3 4 En este caso es imposible que se cumpla: x-2 x+5 < 0 3 4 x-2 x+5 La única posibilidad es que: =0 3 4 x-2 x+5 Lo que equivale a plantear: =0 3 4 Multiplicamos por el m.c.m que es 12

Resolver la inecuación:

En este caso siempre se cumpliría la desigualdad, para todo valor real de “x”, entonces la solución es el conjunto de todos los reales: 

|x|<a

7x - 3 >9 2 7x - 3 > 18 7x > 21 x>3 Es decir: x < -

Gráficamente:

192

Resolver la inecuación:

x<-

-a<x<a

|x|<a

EJEMPLO 6

x-2 x+5 = 0 / ⋅12 3 4 4 ( x - 2) - 3 ( x + 5 ) = 0 4x - 8 - 3x -15 = 0 x = 23 Luego el conjunto de las soluciones es S={23}.

INECUACIONES TEMA 5 INECUACIONES CON PRODUCTOS Y CUOCIENTES Para resolver inecuaciones donde aparezcan productos y cuocientes, lo que haremos es factorizar los términos; posteriormente ocuparemos una tabla de signos donde analizaremos los signos de los factores, como se muestra en los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 10

La solución gráfica es:

x-4 0 x + 5x -14 Primero factorizamos el denominador: Resolver la inecuación:

Y como intervalo:

x-4 ≤0 ( x - 2)( x + 7) Analicemos los signos de cada uno de los términos: La expresión: x-4, se hace cero en el 4 (lo que se llama punto crítico), si tomamos un número menor que 4, como por ejemplo el “3” vemos que la expresión es negativa, por lo tanto, gráficamente la variación de signos de x-2 es la siguiente: 4 x-4

Construimos una tabla donde ponemos los tres términos que aparecen en la inecuación con su respectiva variación de signos: 2

- - - - - - - - o+ + +

x-2

- - - - - o+

x+7

(x − 4) (x − 2)(x + 7)

+ +

Cuando se construye la tabla de signos, hay que analizar con cuidado si los puntos críticos se consideran o no en las soluciones, por ejemplo el -7 y el -2 no se consideran ya que anulan el denominador, mientras que 4 anula el numerador, lo que está permitido ya que la inecuación considera la igualdad.

EJEMPLO 11 x 2 + 2x -15 >0 -x 3 + 9x 2 -14x Factoricemos primero el numerador y el denominador: Resolver la inecuación:

Construimos la tabla de signos:

+ + + +

- -o + + + + + + + + + - - - + + + - - - + + + +

-5 x-3

x-4

-7

]−∞,-7[ ∪ ]2,4]

( x - 3 )( x + 5 ) -x ( x - 7)( x - 2)

- - - - - 0 + + + + + +

-7

En la parte inferior aparece la variación de signos de la x-4 expresión: , por ejemplo para x<-7 tenemos ( x - 2)( x + 7) que: x-4<0 ; x-2<0 y x+7<0, por lo tanto el signo de la (−) (−) x-4 = = ( − ) , etc. expresión: es ( x - 2)( x + 7) ( − ) ⋅ ( − ) ( + ) x-4 ≤0 Como estábamos resolviendo: x 2 ( )( x + 7)

- - - - - - - - o+

x+5 - - o + + + -x

+ + +

+ + + + o - - - - - - - - -

x-7 - - - -

- - - - - o + +

x-2 - - - - - - - o + + + + + + (x − 3)(x + 5) − x(x − 7)(x − 2)

+ +

- -

+ +

- -

+ +

- -

Luego la solución es: ]−∞,-5[ ∪ ]0,2[ ∪ ]3,7[

195

AUTOEVALUACIÓN 1.

La solución de la inecuación: corresponde a

x>29

x>25

x>5

x>9

x<25

x -1 x +1 > 4, 2 3

Los números que son mayores que tres o mayores o iguales que siete, corresponde al intervalo:

Un número entero positivo “x” cumple con la desigualdad: (x-3)>(x-1)(x-2)-2, ¿cúantos números cumplen con lo anterior? a)

ninguno

infinitos

¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos es (son) soluciones de la inecuación: 2 ( x - 2) - ( x + 5 ) > -6 ( x + 8 ) + 4 ? 2

{x ∈  / x < 3}

7, + ∞ 

II.

{x ∈  / x < 9}

 3, ∞ 

{x ∈  / 3 < x < 9}

c) d)

]3, 7[ ]3, 7]

III. a)

Solo I

+  7, ∞ 

Solo II

Solo I y II

Solo II y III

I, II y III

La solución del sistema de inecuaciones: 2 x -1> 2 3 , corresponde al conjunto: 4 1- x < x 5 a) b) c) d) e)

5  x ∈  / x <  9  5  x ∈  / x >  9   5 9  x ∈  / < x <  9 2  9   x ∈  / x >  2 

¿Cuántos números enteros cumplen con que su mitad es a lo sumo 1,5 y su valor absoluto es menor que cinco?



197

TRIGONOMETRÍA

D La Trigonometría en sus inicios era una rama de la Matemática que buscaba establecer relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Posteriormente su estudio se ha ido enfocando al estudio de las funciones trigonométricas.

TEMA 1

Para el ángulo agudo a, se definen seis razones trigonométricas, las que presentamos a continuación:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sea un ángulo agudo a, si trazamos un triángulo rectángulo donde uno de sus ángulos es a, la razón entre dos lados de este triángulo es constante, es decir no depende del triángulo que tracemos. Por ejemplo, los triángulos rectángulos ABC y DEF de la figura, si tienen el mismo ángulo a, entonces son semejantes por el criterio (A,A). F

B a

Debido a la semejanza, se deduce que la razón entre dos de los lados de un triángulo es igual a la razón entre los lados correspondientes en el otro triángulo. FE Por ejemplo, la razón BC es igual a la razón y esta razón ED BA depende del ángulo a y no del triángulo rectángulo que se trace.

Razón trigonométrica

Definición

seno

cat. opuesto hipotenusa

sen α =

a b

coseno

cat. adyacente hipotenusa

cos a =

c b

tangente

cat. opuesto cat. adyacente

tg a =

a c

cotangente

cat. adyacente cat. opuesto

ctg a =

c a

secante

hipotenusa cat. adyacente

sec a =

b c

cosecante

hipotenusa cat. opuesto

cosec a =

B a A

202

b a

Además, tg α =

sen α ctg α = cos α , , sen α cos α

D t d

sen2 a + cos 2 a = 1 y 1+ tg2 a = sec2 a . (estas últimas se llaman identidades pitagóricas)

EJEMPLO 1 Determina sen a, cos a y tg a en el siguiente triángulo:

Por el teorema de Pitágoras, podemos calcular el cateto faltante:

U e

A partir de esta tabla, se pueden deducir algunas propiedades, por ejemplo: 1 1 1 cosec α = ; sec α = ; ctg α = sen α cos α tg α

Debido a que la razón entre dos lados de un triángulo rectángulo, depende de uno de los ángulos agudos y no del triángulo en particular, reciben nombres especiales que veremos a continuación. Supongamos que tenemos el triángulo ABC rectángulo en B y con ángulo agudo a, tal como se muestra en la siguiente figura:

En la figura

82 + x 2 = 172 ⇔ 64 + x 2 = 289 Por lo tanto, sen a =

⇔ x 2 = 225

⇔ x = 15

15 8 8 , cos a = y tg a = . 17 17 15

TRIGONOMETRÍA 15.

La cercha que se muestra en la figura, soporta un techo de dos aguas (“dos caídas”), si los techos tienen ángulos de inclinación de 30° y 45° y la altura de la cercha es 2 m. ¿cuál es el largo “L” de la viga sobre la que se sostiene? 2m

45°

16.

18.

La distancia entre dos edificios es 48 metros. Si desde la base del más bajo se mide la parte más alta del otro con un ángulo de elevación de 60° y desde la parte superior del más bajo se observa la base del otro edificio con un ángulo de depresión de 30°, ¿qué distancia existe entre las cúspides de ambas construcciones?

E d

30°

S l

Un hombre de 1,7 metros de altura, observa una estatua, de modo que su visual horizontal coincide con la base de ella. Si al observar el pie y la parte superior del monumento los ángulos de depresión y elevación miden respectivamente 30° y 45°, ¿cuál es la estatura total del monumento?

48 m

19.

A mediodía, desde la orilla de un acantilado se observa un velero que se dirige hacia al este a 60 millas por hora con un ángulo de depresión de 60° . A las 12:45, se observa que el nuevo ángulo de depresión es de 30°.

¿Cuál es la altura del acantilado?

17.

Desde un puerto ubicado en el punto A de la figura, salen dos barcos, uno con dirección 30° NE y con una rapidez de 12 2 millas por hora y el otro sale con una dirección de 60° SE. Si a los 30 minutos uno de los barcos está justo al sur del otro, entonces ¿cual es la distancia entre ellos? 20.

E 2 e d

Dos personas de 1,75 m de altura observan un globo, que está sobre ellos, con ángulos de elevación de 60° y 30°. Si la distancia entre ellos es 24 m, ¿a qué altura se encuentra el globo del suelo?

O q a t e d

N E

n A

60°

30°

206

24 m

TRIGONOMETRÍA EJEMPLO 9 2.

1194

903

903 6000

(medidas en cm)

Tal como lo habíamos dicho, si queremos medir la inclinación del techo, podemos hacerlo en grados sexagesimales (que son los que hemos trabajado en todo este capítulo), o bien medir su pendiente en términos porcentuales.

1194

1200

Las cerchas, como la de la siguiente figura, sirve para soportar un techo, ya sea para una casa, un galpón, un garaje, etc.

a =

5 2

Primero, observemos que la cercha es simétrica, es decir la caída del agua a la derecha o a izquierda tendrá la misma pendiente.

Si tomamos el lado izquierdo, vemos que el triángulo rectángulo que se forma un triángulo rectángulo de catetos: 1200 y 3000 cm:

1200

2 3 3000

Si a es el ángulo entre el techo y la horizontal, entonces 1200 tg a = = 0,4 , si multiplicamos este valor por 100, obtenemos 3000 40, lo que corresponde a la pendiente medida porcentualmente, es decir este techo tiene dos “aguas” (uno a cada lado), cada uno con una pendiente de un 40%.

Determina el ángulo a, en las siguientes situaciones, suponiendo que los lados están en las mismas unidades de longitud.

a = 6

2 2 −1 7

a 24

210

a =

3 +1

Ahora, si que queremos medir la pendiente del techo, a través del ángulo a, entonces utilizamos la inversa de la función tangente: SHIFT+TAN+(0.4)=, lo que nos da aproximadamente a= 21,8°.( se puede omitir el parentesis en este cálculo)

EJERCICIOS TEMA 4

a 3 −1

TRIGONOMETRÍA 2sen2 x + sen x = 0, si factorizamos por sen x, obtenemos:

sen x ( 2 sen x +1) = 0 , tal como lo hicimos en el ejemplo anterior,

ocupamos que uno de los factores debe ser cero, entonces

Si la ecuación es de la forma sen x=k, y una de las soluciones es a, la otra debe ser la simétrica con respecto al eje y, es decir 180°-a (siempre que -1k1, o bien no hay solución).

180°- a

Observa en la figura que a y 180°-a tiene el mismo valor para seno.

a o

0° y 180°

(1,0) x

(-1,0)

sen x=0, son

sen a

sen (180°- a)

Para resolver la ecuación, sen x=0, buscamos la ubicación del punto P de modo que su ordenada sea cero, y esto ocurre para 0° y 180°, tal como se muestra en la siguiente figura:

soluciones para

R l

sen x=0 o bien 2 sen x + 1=0.

180°

Si la ecuación es de la forma cos x =k, y una de las soluciones es a, la otra debe ser la simétrica con respecto al eje x, es decir 360°-a (siempre que -1<k<1, o bien no hay solución).

Luego la solución general es x = k ⋅ 180° (k ∈  ) .

1 2

En la otra ecuación: 2sen x +1=2 , tenemos que sen x = - . Como sen 30° =

1 , podemos geométricamente ubicar las 2

1 posiciones del punto P en los cuales su seno es 2 1 Como sen x es - , las posiciones de P deben estar bajo 2 el eje x, es decir en el tercer y cuarto cuadrante.

cos a

cos (360°-a) P

Observa en la figura que a y 360°-a tiene el mismo valor para coseno.

Entonces x puede ser 180°+30° o 360°-30°, es decir 210° o 330°. 3.

1 2

30° -

1 2

sen x= -

1 , son 2

cos (180°+ a)

1 es: 2

Por lo tanto la solución general de la ecuación dada es:

sen a

sen (180°+ a)

x cos a

Observa en la figura que los ángulos a y 180°+ a sus senos y sus cosenos difieren en el signo, por lo tanto sus tangentes serán iguales.

x = k ⋅ 180° , x = 210° + k ⋅ 360° , x = 330° + k ⋅ 360° (k ∈  )

218

210° o 330°

x = 210° + k ⋅ 360° , x = 330° + k ⋅ 360° (k ∈  ) .

soluciones para

Luego la solución general de la ecuación sen x = -

Resumiendo,

Si la ecuación es de la forma tg x =k, y una de las soluciones es a, la otra debe ser la simétrica con respecto al origen, es decir 180°+ a.

n a

TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS TEMA 8

Resuelve los siguientes triángulos, es decir determina los lados y ángulos que faltan, utilizando el teorema del seno y/o del coseno. 135°

25°

A C

n n

42°

c= b=

50°

B C

50° 19

c= b=

B C

65° A

10.

B C 12

11.

45°

60° A

12 30°

80°

42°

40°

b= b=

80°

Un poste está inclinado en 5° con respecto a la vertical. En el momento en que el sol se ubica en la misma dirección donde está inclinado el poste, este proyecta una sombra de 22 m, ¿cuál es el largo del poste?

C 15

13.

Desde una ciudad B se observa una ciudad A ubicada a 18 km hacia el oeste y una ciudad C ubicada a 12 km en dirección 68° NE. ¿Qué distancia hay entre A y C?

c= 17

32° A

En un paralelogramo sus lados adyacentes miden 12 cm y 18 cm y los ángulos interiores agudos miden 35°. ¿Cuánto mide la mayor de sus diagonales?

12.

b= g=

14.

Desde una estación de ferrocarril, salen simultáneamente dos trenes, uno en dirección este a 60 km/h y otro con dirección 18° NO a 96 km/h. ¿Qué distancia habrá entre ellos a los 20 minutos de haber partido?

223

NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos , son de la forma z=a+bi donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. El conjunto de estos números se anotan con la letra  , por lo tanto: = {z / z = a + bi, a ∈ y b ∈ } Siempre a y b son números reales y se anota, la parte real Re(z)=a y la parte imaginaria Im(z)=b, mientras que “i” es la unidad imaginaria y cumple con que i2=-1, es decir es un número que no es real. También se puede definir como: i = -1 Cuando la parte real es cero, el complejo queda de la forma bi y en este caso se denomina un número imaginario puro.

TEMA 1 OPERATORIA CON NÚMEROS COMPLEJOS Como veremos a continuación, la operatoria con números complejos tiene las mismas propiedades que la operatoria con números reales, por lo tanto podemos ocupar todo lo visto acerca de estos números: productos notables, factorización, etc. l

Adición

Se suman las partes reales y las partes imaginarias tal como si fueran términos semejantes en los números reales: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

En el caso que la parte imaginaria es cero, el complejo pasa a ser número real. por lo tantos los reales pasan a ser un caso especial de los números complejos.

La adición es asociativa, tiene elemento neutro, inverso aditivo , conmutativa y asociativa.

Existen diversas formas de expresar un número complejo:

El neutro en la adición es el complejo z=0+0i, que es igual al cero en los números reales.

1.)

Forma binomial o estándar: z=a+bi

2.)

Como par ordenado: z=(a,b)

3.) y

El inverso aditivo de z=a+bi es –z=-a-bi, ya que si sumamos ambos complejos obtenemos el neutro aditivo.

La adición es conmutativa: z1+z2=z2+z1 , para cualquier Como un vector cuyo punto de inicio es el origen par de complejos z y z . 1 2 del sistema de coordenadas y llega al punto (a,b): La adición es asociativa: z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3, para cualquier trío de complejos z1, z2 y z3. l

z=(a,b)

Sustracción

La sustracción se define mediante: 0

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i

El largo del vector de la figura se llama módulo del complejo y se designa por : z . Por el teorema de Pitágoras, se deduce que el módulo de a+bi es z = a 2 + b2 :

Es decir se restan las partes reales y las partes imaginarias respectivamente. l Multiplicación Para multiplicar dos números complejos, se multiplican tal como si multiplicáramos dos binomios, aplicando la propiedad distributiva.

y z=(a,b) a2 + b2

z = a +b 2

b x

(a + bi) ⋅ (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci + bd ⋅ (-1) = (ac - bd) + i(ad + bc) Por lo tanto: (a + bi) ⋅ (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

234

NÚMEROS COMPLEJOS TEMA 3

IGUALDAD DE COMPLEJOS

Dos complejos son iguales si las partes reales y las partes imaginarias son iguales respectivamente. a + bi = c + di ⇔ a = c y b = d Como veremos en los siguientes ejemplos, para hallar algún complejo que satisfaga una ecuación, podemos intentar despejarlo o bien utilizar la igualdad de complejos.

Por lo tanto la solución de la ecuación es el complejo: 3 16 z= + i 5 5

EJEMPLO 8 Sea z=2+ai, determina a si z 2 + 2z + 1 sea imaginario puro. Reemplacemos z en la expresión dada:

( 2 + ai)

+ 2 ( 2 - ai ) + 1

4 + 4ai - a 2 + 4 - 2ai + 1

EJEMPLO 6

9 - a 2 + 2ai

Hallar un complejo z tal que 2z + 5z = 3 - 6i

Como es un imaginario puro, la parte real debe ser cero:

Supongamos que el complejo z es de la forma a+bi, reemplacemos z=a+bi en la condición pedida:

9-a2=0, por lo tanto a =-3 o a=3.

2 ( a + bi ) + 5 ( a − bi ) = 3 − 6i

EJERCICIOS TEMA 3

7a − 3bi = 3 − 6i Como esto último constituye una igualdad de complejos, igualamos las partes reales y las partes imaginarias entre sí: 3 7a = 3 → a = 7 −3b = −6 → b = 2 Por lo tanto la solución es el complejo z =

3 + 2i 7

EJEMPLO 7 Hallar un complejo z que satisfaga la igualdad: -1

 z - 2i   z+i  = 3+i   En este caso como aparece solo z, podemos despejarlo tal como lo hacíamos con las ecuaciones de primer grado en los números reales. -1

 z - 2i    = 3+i  z+i  z+i = 3+i / ⋅ ( z - 2i ) z - 2i z + i = ( z - 2i ) ⋅ ( 3 + i ) z + i = 3z + zi - 6i + 2 -2 + 7i = 2z + zi -2 + 7i 2+i 2 + 7 ⋅ 2 i i ( ) ( ) 3 + 16i = z= 5 ( 2 + i) ⋅ ( 2 - i)

-2 + 7i = z ( 2 + i ) → z =

238

Resuelve los siguientes problemas relativos a la igualdad de complejos.

Determina un número complejo z tal que:

3z + 2z = 15 + 2i

Si z=a+2ai, determina el valor de a sabiendo

(

)

que: i 3z + z = -8 + 8i

Si z=5-bi, determina b sabiendo que:

z - z + 2 + 3i = 2 - i

Determina un complejo z tal que:

Si z=a+(a-1)i, determina el valor de a sabiendo

z - 3i 9 + 2i = z-i 5

que z = 5

Determina un complejo z tal que:

z-z = -2i z+i

Si z=ai, con a0, determina el valor de a sabiendo z 2 + 3z = -3 - 2i que: z

NÚMEROS COMPLEJOS TEMA 7

RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO

EJEMPLO 17

Supongamos que tenemos el complejo z en su forma polar: z=r cis a, y queremos calcular las raíces enésimas de este complejo, es decir queremos calcular complejos tales que al elevarlos a “n” obtenemos z.

Determina las raíces quintas de la unidad imaginaria.

Estos complejos se calculan a través de la fórmula:

La primera raíz quinta es  90°  z0 = 5 1 cis   = 1 cis 18° = cis18° , las demás raíces  5  las obtenemos sumando 360°:5=72° al argumento de la raíz principal.

 α + k ⋅ 360°  z = n r cis   n  

(n ∈  )

donde k varía desde 0 hasta n-1. Esta fórmula es atribuida al matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754).

EJEMPLO 16 Determina las raíces cúbicas del complejo z=27 cis 156°. Ocupando la fórmula de De Moivre, tenemos que  156° + k ⋅ 360°  , con k variando desde n z = 3 27 cis   3   0 hasta 2. Si k=0, obtenemos la primera raíz o raíz principal:

En este caso el complejo z es i, por lo tanto su forma polar es z=1 cis 90°.

z1 = cis (18° + 72° ) = cis 90° = i , z 2 = cis ( 90° + 72° ) = cis 162° , z 3 = cis (162° + 72° ) = cis 234° , z 4 = cis ( 234° + 72° ) = cis 306° Observa que si graficamos las raíces quintas de “i”, obtenemos: y

z1 z2

72°

 156° + 0 ⋅ 360°  . z0 = 3 27 cis   = 3 cis 52° 3    156° + 1⋅ 360°  Para k=1: z1 = 3 27 cis   = 3 cis 172° 3    156° + 2 ⋅ 360°  3 Para k=2: z 2 = 27 cis   = 3 cis 292° . 3   Puedes comprar que al elevar al cubo cada uno de estos complejos se obtiene el complejo dado. Si no quieres utilizar la fórmula de De Moivre, existe una forma equivalente, la cual explicaremos a continuación. Volvamos al complejo inicial: z=27 cis 156°, por lo visto en el tema anterior es claro que uno de los complejos  156°  , 27 cis    3  por lo tanto la primera raíz es z0=3 cis 52°, ahora al argumento de este complejo le vamos sumando el ángulo que resulta de dividir 360° con “n”, en este caso: 360 : 3 =120°, de este modo vamos a ir generando todas las raíces. que elevado al cubo da z=27 cis 156°, es

72°

244

72°

Las raíces son números complejos que corresponden a los vértices de un polígono regular, debido a que todos tienen el mismo módulo y sus argumentos van aumentando en 72°. Una propiedad geométrica de las raíces enésimas de un complejo es siempre van a ser los vértices de un polígono regular de n lados. (para n3) Si por ejemplo quisiéramos calcular las raíces cúbicas de 1, obtendremos un triángulo equilátero: y

120° 120°

Por lo tanto: z1=3 cis (52°+120°)=3 cis 172°, z2=3 cis (172°+120°)=3 cis 292°.

72°

120°

z0 x

AUTOEVALUACIÓN 1.

 2  Re  =  1+ i  a)

246

Si z1=(1, 2) y z2=(1, -3), entonces a)

5 5

2 1 2 -1

-2

1   1 Im  =  1+ i 1- i 

4 3

-2i

-2

-1

-i

(1+ 2i) - (1- 3i) (1- 2i) = 2

10-i

-2+9i

-10+5i

-2+9i

2+9i

+ i23

)

-2i

-4

z1 ⋅ z 2 = z1 + z 2

Si z=2+ai y z ⋅ z = 8 , entonces a puede valer

Solo 2

Solo -2

2 o -2

4 o -4

2i o -2i

Si z + i = 1+ i , entonces z= 1- i i a)

1+i

-3i

MATRICES Y DETERMINANTES

Las matrices y los determinantes son ordenaciones de números reales dispuestos en filas y columnas.

EJEMPLO 2

El determinante de una matriz es un número que se le asigna a la matriz , que en el contexto numérico que trabajaremos en este texto, esto corresponde a un número real.

Determina el valor de x, para que se cumpla la siguiente x-2 2 -x - x +1 = igualdad: 2x + 5 - 3 3 -5 Calculemos los determinantes:

Como veremos en este capítulo, tanto las matrices como los determinantes nos permitirán resolver sistemas de ecuaciones.

-3x+6-4x-10=5x+3x-3

TEMA 1

-7x-4=8x-3

Los determinantes se anotan por medio de dos lineas paralelas que encierran los números que la conforman. Por definición los determinantes de 2x2, están formados por dos filas y dos columnas, de números reales y se definen de la siguiente forma: a b = ad - bc c d

x=-



1 5

EJERCICIOS TEMA 1 Determina el valor de la incógnita.

-2

x -1

Como dijimos anteriormente, los elementos del determinante los consideraremos números reales, por lo tanto al hacer la operación que lo define, obtendremos también un número real.

EJEMPLO 1

-1 2 -7 3 6 - 2 + + 3 - 5 -2 4 3 1 Calculemos cada uno de los determinantes:

x -1

2 x+2

3 x-2 =x+5 -5

Calcular:

-1 2 = (-1) ⋅ (-5) - 2 ⋅ 3 = 5 - 6 = -1 3 -5 -7 3 = (-7) ⋅ 4 - 3 ⋅ (-2) = -28 + 6 = -22 -2 4 6 -2 = 6 ⋅ 1- (-2) ⋅ 3 = 6 + 6 = 12 3 1

- x +1

-1

-3 - x

3 2

-1

2 x x +1 2

5 6 = 3 1

4x 2x

-1 1

x 2 = 12 -3 x -1

3 2x x 1

Sumando estos resultados obtenemos -11

252

-3(x-2)-2(2x+5)=5x-3(-x+1)

Partiremos estudiando los determinantes.

DETERMINANTES DE DOS POR DOS

MATRICES Y DETERMINANTES A continuación resolveremos sistemas de ecuaciones con tres ecuaciones y tres incógnitas a través de determinantes.

EJEMPLO 5

TEMA 3

3 2 -1 Calcula el determinante: 4 1 0 3 2 1

DETERMINANTES DE TRES POR TRES Y REGLA DE CRAMER

Un método para calcular determinantes de tres por tres (3 filas y 3 columnas) es el que se denomina “Regla de Sarrus”, el que pasaremos a explicar a continuación:

Regla de Sarrus

Supongamos que queremos calcular el siguiente determinante: a b c d e f g h i

a b c a b d e f d e g h i g h

b e h

c a f d i g +

Al calcular: aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi, nos da el valor del determinante. El determinante también se puede calcular agregado abajo las dos primeras columnas , obteniendo el mismo resultado:

3 4 3

2 1 2

a b c d e f g h i a b c d e f

Regla de Cramer

Tal como vimos anteriormente la Regla de Cramer nos permitía resolver sistemas de 2x2, ahora lo mismo se puede aplicar para resolver determinantes de 3x3.

ax+by+cz=e a'x+b'y+c'z=e' a''x+b''y+c''z=e'' Se definen los determinantes:

b e h

Ahora multiplicamos los tríos de números colocando un signo negativo a los productos que son unidos por las fichas indicadas con un signo (-):

2 -1 1 0 2 1

Si tenemos el sistema:

Ahora en diagonal vamos “uniendo” de tres elementos, tal como se indica en la siguiente figura:

a d g

3 4 3

=3+0-8-(-3)-0-8=-10

Repitamos a la derecha las dos primeras filas:

Por la regla de Sarrus tenemos:

eeee bbbb cccc aaaa eeee cccc aaaa bbbb eeee aaaa bbbb cccc =e' e' e' b' b' b' c' c' c' yy= = =a' a' a' e' e' e' c' c' c' = a' a' a' b' b' b' e' e' e' = = = a' a' b' b' c' c' c' zz= =a' a'b' b'c' c'  x x= x= y z= x = e' b' c'  y= a' e' z= a' b' e'  e'' e'' e'' b'' b'' c'' c'' a'' a'' a'' e'' e'' c' c' '''' a'' a'' a'' b'' b'' e'' e'' a'' a'' a'' b'' b'' c'' c'' e''b'' b''c'' c'' a''e'' e''c' c' a''b'' b''e'' e'' a''b'' b''c'' c''

Y las incógnitas se determinan con los siguientes cuocientes: x=

x 

y ; y= 

z ; z= 

En el caso que todos los determinantes sean cero, el sistema tiene infinitas soluciones y se llama sistema compatible indeterminado. Si solo el determinante principal () es cero el sistema no tiene solución y se llama sistema incompatible.

+ + +

Si el determinante principal () no es cero el sistema tiene solución única y se llama sistema compatible determinado.

=aei+dhc+gbf-ceg-fha-ibd

255

MATRICES Y DETERMINANTES TEMA 5

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES CON LA MATRIZ INVERSA

A continuación veremos como la matriz inversa nos permite resolver un sistema de ecuaciones. En primer lugar veamos cómo podemos escribir un sistema de ecuaciones en notación matricial: Sistema de 2x2 a b ax+by=e ⇒  cx+dy=f c d

  x  e    =   y f     

Sistema de 3x3 a b c   x  d  ax + by + cz = d      a'x + b'y + c'z = d' ⇒  a' b' c'   y  =  d'   a'' b'' c''   z   d'' a''x + b''y + c''z = d'''      En ambos casos podemos resumir, que el sistema se transforma en la ecuación matricial: A ⋅ X = B Donde la matriz A es la matriz de los coeficientes, X es la matriz columna de las incógnitas y B es la matriz columna de los términos libres. Resolvamos esta ecuación matricial multiplicando a ambos lados de la ecuación por A-1, por la izquierda (recuerda que aquí la operación no es conmutativa):

A⋅X =B

/ A -1

( A-1 ⋅A ) ⋅ X = A -1 ⋅ B I ⋅ X = A -1 ⋅ B X = A -1 ⋅ B Por lo tanto para hallar las incógnitas se debe multiplicar la inversa de la matriz de los coeficientes con la matriz columna de los términos libres. Observa que si A-1 no existe, el sistema no tiene solución y esto se produce cuando el determinante de A es nulo, lo que concuerda con lo visto con la Regla de Cramer.

EJEMPLO 15 Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente utilizando el 3x - 2y - z =12 método de la matriz inversa: 5x - y- 4z =13 2x - 3y + 5z =17 Escribamos el sistema en notación matricial: 3  5  2

-2 -1  x  12      -1 -4   y  = 13       -3 5   z  17 

Las soluciones las podemos hallar a través del producto matricial: X = A -1 ⋅ B Calculemos la inversa de A:  3 -2 -1    A =  5 -1 -4     2 -3 5   -17 -33 -13   =  13 17 5  A   7 7   7

 -17 13  t =  -33 17 A  5  -13

7  7  7 

3 -2 -1 A = 5 -1 -4 = 28 2 -3 5  -17 13 7   1   A = -33 17 7  28    -13 5 7  -1

-1 Como X = A ⋅ B , obtenemos:  -17 13 7  12   3       1  X = A ⋅B = -33 17 7  ⋅ 13  =  -2   28  5 7  17   1   -13 -1

Por lo tanto. x   y   z   

 3    -2  ⇒    1  

x = 3 ; y = -2 ; z = 1

263

AUTOEVALUACIÓN 1.

 -1 0   4 x-y   3 7  Dada la igualdad:  , = +  2 1   2 x-2y   4 11 entonces

x x-y

y = x+y

-1

 3 - 2   2 5   x-2 y+3  Si   , entonces  ⋅  =  w-2   1 0   -7 1   z x+y-2z+w= a)

-17

-15

109

-1

 2 -1  -3 2   1 0  +  0 1 =    

 3  -1 2     1 1    2   2 0    1 5   2 2  2 0    - 1 - 1   2 2

1 3  -1  , entonces A - A = 1 2  

Si A =  a)

0 1   , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones 1 0 

Si A = 

es (son) verdadera(s)? I.

At = A

1  5  3 - 2   1   1

II.

A2 = I

III.

Â=A

Solo I

3  1  2 - 2    -1 1 

Solo II

Solo I y II

Solo II y III

I, II y III

267

ELEMENTOS DE COMBINATORIA

La Combinatoria es aquella rama de la Matemática que se preocupa de las técnicas de conteo de sucesos. Entre los diversos casos que estudia la Combinatoria tenemos las permutaciones, las combinaciones y arreglos o variaciones. Antes de empezar a estudiar estas técnicas, empezaremos conociendo el factorial de un número y el coeficiente binomial, los cuales aplicaremos en los temas que trataremos en el presente capítulo.

TEMA 1 l

FACTORIAL Y COEFICIENTE BINOMIAL

Factorial de un número natural

El factorial del número natural n se anota por n! y se calcula mediante el producto: (n ∈  ) n! = 1⋅ 2 ⋅ 3... ⋅ n Por ejemplo 4!, corresponde a 4! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 . En la definición de factorial se agrega además que: 0! = 1 y 1! = 1.

EJEMPLO 2 Calcular:

Observa que el denominador tiene 2 factores menos que el numerador:

(n - 3) ! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n - 5) ⋅ (n - 4) ⋅ (n - 3) (n - 5) ! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n - 5) Si vamos simplificando los términos comunes, nos queda finalmente: (n - 4 ) ⋅ (n - 3) . Pasaremos a estudiar a continuación los coeficientes binomiales, los cuales están relacionados con los factoriales.

Coeficientes binomiales n

Un coeficiente binomial se anota en la forma:   , con k 

n, k ∈  0 y n ≥ k. n

Y por definición corresponde a:   = k 

EJEMPLO 1 Calcular: 12! + 13! - 14! 10! 11! 12! Calculemos primero el cuociente:

(n-k )! ⋅k!

Los coeficientes binomiales tienen las siguientes propiedades:

12! 10!

Observa que en el numerador tenemos un producto de 12 factores: 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 12

n   = 1, n

n ∈ 0

n    = 1, 0

n ∈ 0

n   = n, 1 

n∈ 

n  n    =   con n,k ∈  0 y n ≥ k k  n - k 

(propiedad de simetría)

n  n    +    k   k + 1

En el denominador tenemos el producto de 10 factores:

1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 10 Si vamos simplificando los factores repetidos, obtenemos: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅...⋅10 ⋅11⋅12 = 11⋅ 12 = 132 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅... ⋅10

Análogamente, en

(n-3) ! , con n ∈  y n > � 5. (n-5) !

13! , obtenemos 12.13=156 11!

14! En , obtenemos 13.14=182 12! 12! 13! 14! + = 132 +156 -182 = 106 − Por lo tanto: 10! 11! 12!

 n + 1  , con n,k ∈  0 y n ≥ k + 1.  k + 1

=

273

ELEMENTOS DE COMBINATORIA TEMA 2 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Y ADITIVO El principio multiplicativo se refiere a que si un suceso A ocurre de “m” formas distintas y un suceso B ocurre de “n” formas distintas, entonces la ocurrencia de ambos sucesos se puede producir de “m.n” formas distintas. Mientras que el principio aditivo se refiere a que si un suceso A ocurre de “m” formas distintas y un suceso B ocurre de “n” formas distintas, entonces la ocurrencia de solo uno de ambos sucesos se puede producir de “m+n” formas distintas.

Entonces tenemos:

Con los dígitos 0, 1 , 2, 4 y 5 se van a formar números de tres cifras. Si las cifras no se pueden repetir, determina: a)

¿Cuántos números se pueden formar?

¿Cuántos números pares se pueden formar?

¿Cuántos números divisibles por 5 se pueden formar?

Para una mejor comprensión supongamos que estamos rellenando tres casillas donde se ubican las cifras del número:

3 x

1 = 12 números.

U 2 x

1 = 9 números.

Si termina en cuatro:

U 4 x

1 = 9 números.

Como puede ocurrir solo uno de los casos anteriores (que termine en cero, en dos o en cuatro), utilizando el principio aditivo tenemos que hay: 12+9+9=30 números pares. c)

Como el número es divisible por cinco, puede terminar en cero o en cinco:

Si termina en cero:

U 0 1 = 12 números.

Si termina en cinco:

C a) Como la cifra de las centenas no puede ser cero, entonces tiene 4 posibilidades, la cifra de las decenas tiene 4 posibilidades, porque no se pueden repetir las cifras y la cifra de las unidades solo tiene 3 posibilidades:

U 0

Si termina en dos:

EJEMPLO 6

Si ingresan 4 personas, ¿de cuántas formas pueden sentarse?

En este caso tenemos que usar el principio multiplicativo ya que queremos que ocurran todos los sucesos (que se sienten las 4 personas), por lo tanto multiplicamos para determinar todas las posibilidades: 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 .

3 = 48 números.

Si termina en cero:

EJEMPLO 5

La primera persona que ingresa tiene 6 elecciones posibles, la segunda tiene 5 opciones, la tercera 4 opciones y el último tiene solo 3.

Como el número es par aquí hay tres casos, que termine en cero, dos o cuatro:

En un living hay 1 sofá para capacidad de 3 personas y 3 sillones donde puede sentarse una persona cada uno.

U 5

3 x 3 x 1 = 9 números. Por el principio aditivo tenemos 12+9=21 casos.

275

ELEMENTOS DE COMBINATORIA EJERCICIOS TEMA 3 1.

En una carrera de caballos participan seis caballos fina sangre.

Si se sabe que la ganadora fue la yegua “Predilecta”, ¿cuántas posibilidades de llegada existen?

Si se lanzan tres dados, ¿en cuántos casos ocurre que la suma de las caras superiores es seis?

En un partido de fútbol, los jugadores salen a la cancha en dos filas (una por cada equipo), ¿de cuántas formas distintas pueden ordenarse? (los equipos tienen 11 jugadores cada uno)

En el sistema binario los números se expresan como filas de “unos” y “ceros”, por ejemplo el número: 10011 en sistema binario equivale al número:

1⋅ 24 + 0 ⋅ 23 + 0 ⋅ 22 +1⋅ 21 +1⋅ 20 = 16 + 2 +1= 19 en

nuestro sistema decimal.

¿Cuántos números se pueden formar en el sistema binario con tres unos y dos ceros?

El código morse consta de símbolos dispuestos en línea que pueden ser puntos o líneas.

¿Cuántos mensajes se pueden formar con seis líneas y dos puntos?

Alrededor de una mesa circular, se sienta un matrimonio con sus cinco hijos, de cuántas maneras se pueden sentar si:

no hay restricción.

El matrimonio debe quedar junto.

De cuantas maneras se pueden ordenar en una fila 5 hombres y 3 mujeres, si:

los de un mismo sexo deben quedar juntos.

las mujeres deben quedar juntas.

los hombres no deben quedar juntos.

S e

L d

O e

Alrededor de una mesa circular se sientan cuatro matrimonios, ¿de cuántas maneras se pueden sentar si los matrimonios deben quedar juntos?

E q

E e d

10.

En una competencia atlética participan seis corredores, tres jamaicanos, 1 europeo, 1 norteamericano y 1 etíope.

a) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en la partida si no pueden haber un jamaicano al lado de otro?

S l ¿

¿De cuántas maneras se pueden ordenar en la partida si no pueden estar los tres jamaicanos juntos?

¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra: “matemática”, si las letras se deben usar la misma cantidad de veces que aparecen en ella?

278

P e

AUTOEVALUACIÓN 1.

282

n - 3  = 10 , entonces n= n - 5 

Si n>5 y 

ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

Se lanza un dado tres veces, ¿cuántos casos existen en que los tres números sean distintos?

120

Si n ∈  , entonces

( n + 2) ! ( n + 3 ) ! + = n! (n +1) !

En un congreso científico hay 6 químicos, 5 físicos y 4 biólogos nucleares.Se elige una comisión que represente al congreso constituida por un científico de cada especialidad, ¿cuántas comisiones se pueden formar?

2n2 + 6n + 8

2 (n+2)2

n2 + 6n + 8

2n + 5

120

2 ( n + 2)

C15 3

A 12 3

Un niño tiene una caja de acuarelas de 12 colores y va a elegir 3 colores para mezclarlos, ¿cuántas mezclas distintas puede realizar?

C12 3

12 3

12!

12!3

En una carpeta de un computador se tienen 20 archivos de música.Si la carpeta se coloca en “reproducción aleatoria”, ¿cuántas elecciones distintas se pueden generar? a)

2020

20!

202

Se tienen 5 bolitas blancas, 3 verdes y 2 rojas, ¿de cuántas maneras se pueden ordenar en una fila? a)

5! ⋅ 3! ⋅ 2!

5! ⋅ 3! ⋅ 2! ⋅ 3!

10! 5!⋅ 2!⋅ 3!

5! ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3!

10! 5 ⋅2 ⋅3

PROBABILIDADES

En este capítulo, veremos la relación entre los contenidos tratados en el capítulo anterior y las probabilidades. En el primer tema estudiaremos las probabilidades y en el segundo tema las conectaremos con Combinatoria.

TEMA 1 l

REGLA DE LAPLACE

Probabilidades de eventos simples

La probabilidad es una medida de cuán posible es que ocurra un suceso. La probabilidad de un evento A, se calcula a través del cuociente:

P(A) =

casos favorables a A casos totales

EJEMPLO 2 Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que las caras sumen 6? En este caso cada dado tiene 6 posibilidades, por el principio multiplicativo los dos dados tienen 6x6=36 posibilidades, por lo tanto los casos totales son 36. Los casos en que suman seis son los siguientes: 1-5 ; 5-1; 2-4; 4-2; 3-3. 5 . 36 Veremos a continuación, como calcular las probabilidades en el caso de la unión e intersección de eventos, lo que se denomina probabilidad de eventos compuestos. Por lo tanto la probabilidad es

EJEMPLO 3

Llamada la regla de Laplace. El espacio muestral E, corresponde al conjunto de todos los casos posibles de A.

En un mazo inglés de 52 cartas, se elige una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un “corazón” o un “as”?

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene y se designa con el símbolo: #.

En este caso la probabilidad se refiere a una unión de eventos (por aparecer la conjunción “o”), los casos favorables son los siguientes:

Por lo tanto la regla de Laplace también se puede expresar de

Para la carta de corazón son 13 casos, para los ases: 4 casos.

# (A) la forma: P ( A ) = . # (E)

Por lo tanto habría 13+4=17 casos favorables, pero tenemos el “as de corazón” que está contado dos veces, luego hay que descontar este caso repetido, luego los casos favorables son 13+4-1=16.

EJEMPLO 1 En una bolsa hay 6 bolitas negras y 10 verdes, si se saca una bolita, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bolita negra? El espacio muestral está constituido por 16 elementos (hay 16 posibles elecciones para sacar una bolita) de estos casos los favorables son 6 (casos en que es posible sacar una bolita negra). Por lo tanto la probabilidad pedida es

6 3 o bien . 16 8

Los casos totales son 52, ya que este es el número de total de cartas y estamos eligiendo una. Luego la probabilidad pedida es

16 4 o bien . 13 52

Lo visto en este ejemplo, lo podemos enunciar de la siguiente forma:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) - P ( A ∩ B)

287

PROBABILIDADES TEMA 2

PROBABILIDADES Y COMBINATORIA

Como veremos a continuación, algunas veces para el cálculo de probabilidades, tendremos que aplicar las técnicas de conteo vistas en el capítulo anterior: principio aditivo y multiplicativo, permutaciones y arreglos o variaciones.

EJEMPLO 6 Con los dígitos del 0 al 9 se forman números de tres cifras sin repetición.Si se elige uno de estos números al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea divisible por 5? Veamos primero, la cantidad de elementos que tiene el espacio muestral: La cifra de las decenas no puede ser “0”, por el principio multiplicativo hay:

= 648 números

Los números que son divisibles por 5, terminan en cero o en cinco:

EJEMPLO 7

En un librero hay tres libros de Física, dos de Química y cuatro de Matemática. Si se ordenan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los de una misma ciencia queden juntos? En este caso, la cantidad de formas posibles de ordenar todos corresponde a una permutación de nueve objetos, lo cual es 9! Si los de una misma ciencia deben quedar juntos, entonces permutamos las tres ciencias: 3! y ahora permutamos los libros de cada una de ellas, con lo que obtenemos: 3! ⋅ 2! ⋅ 4! ⋅ 3! Por lo tanto la probabilidad pedida es: 3!⋅2!⋅4!⋅3! 9!

EJEMPLO 8

= 72 números

Números que terminan en cifra cinco:

de veinte sobre cinco:



12   8   ⋅  .  3   2    

= 64 números

Por el principio aditivo, tenemos entonces que los números que terminan en cero o en cinco son: 72+64=136 136 Luego la probabilidad pedida es: , lo que simplificado 648 17 nos da: . 81

12   8  ⋅    3   2      20     5   

EJERCICIOS TEMA 2 1.

290

 20     5   

Luego, la probabilidad pedida es:

La cantidad de casos posibles, corresponde a una combinación



principio multiplicativo los casos favorables entonces son:

En una asamblea de medicina, asisten 12 chilenos y 8 extranjeros. Si se eligen cinco médicos al azar para formar una comisión, ¿cuál es la probabilidad de que esté formada por tres chilenos y dos extranjeros?

Las posibilidades de elegir tres chilenos de un total de doce 8   son: 12  y elegir dos extranjeros de los ocho es  2  , por el  3  

Números que terminan en cifra cero:

Se ordenan tres hombres y dos mujeres en una fila, ¿cuál es la probabilidad de que los del mismo sexo queden juntos? En una fila se ordena un grupo de seis amigos y dentro de ellos hay dos gemelos. ¿Cuál es la probabilidad de que los gemelos queden juntos? En un congreso hay 10 alemanes, 10 ingleses y 5 orientales. Si se elige al azar una comisión de 6 integrantes, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos de cada nacionalidad?

AUTOEVALUACIÓN 1.

Si se lanzan cinco monedas, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan 3 caras y dos sellos?

Se elige al azar un número entero entre 20 y 40, ¿cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 5 o múltiplo de 3?

5 32

7 19

1 8

8 19

5 16

3 16

1 4

d) e)

Un juego de dominó tiene 28 fichas, si se elige una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sus pintas sumen7?

1 28

1 14

3 28

5 28

3 14

10 20 10 19 9 19

De un naipe inglés de 52 cartas, se eligen dos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean reyes? a)

1 221

1 16

1 9

1 32

1 15

Si se permutan las letras de la palabra “DECORO”, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga la palabra “RECODO”?

1 36

1 360

1 180

1 6!

1 5!

293

SUMATORIAS

Si tenemos una sucesión de términos que se están sumando, como:1+3+5+7+9+11+13+15+17 Podemos expresar esta suma mediante un símbolo que se conoce con el nombre de sumatoria. i=n

La forma general de una sumatoria es: ∑ ai , donde a i i =1

corresponde al término general de la sucesión, “i” corresponde a una variable que se denomina “contador” y que en este caso varía de 1 al número de sumandos.

EJERCICIOS TEMA 1 Calcula las siguientes sumatorias:

∑ (5i) i=3

∑ ( 5) i=4

(Como veremos adelante, también el “contador” puede empezar con un número que no sea “1”).

Volviendo a la suma: 1+3+5+7+9+11+13+15+17, esta corresponde a la suma de números impares. Los números impares tienen como término general: ai = 2i - 1, por lo tanto la suma anterior escrita como sumatoria corresponde a la

i=9

∑ ( 2i -1)

expresión:

o bien:

i=1

∑ ( 2i -1) i=1

TEMA 1 CÁLCULO DE SUMATORIAS POR DEFINICIÓN En este tema calcularemos sumatorias, utilizando sólo la definición, así adquirirás una mayor comprensión de este concepto.

EJEMPLO 1 4

Calcular:

i =1

∑ (i

- 5i

i=1

)

- 5i ) = (12 - 5 ⋅ 1) + ( 22 - 5 ⋅ 2) + ( 32 - 5 ⋅ 3 ) + ( 42 - 5 ⋅ 4 ) =

-4 + 4 -10 + 9 -15 +16 - 20 = -20

- 2i)

 1 

∑  i + 1

∑ 

∑ (-1) ⋅  i+1i

i=3

i +1  i2 

∑ (-1) ⋅  i 2i+2  i 



i=5

4 (i - 1) ⋅ (i+2) 8. 3 i=1

∑

∑ ( -1) ⋅ (1+ i ) i

i=2

Calculamos los términos de la sucesión: ai = ( -1) ⋅ (1+ i ) , con i

“i” desde “2” hasta el “5”: 5

i=1

EJEMPLO 2 Calcular:

i=5

Calculamos los términos de la sucesión: ai = i - 5i , con “i” variando desde el “1” hasta el “4” y los sumamos: 4

∑ (i

∑ ( -1) ⋅ (1+ i ) = (1+ 4 ) - (1+ 9) + (1+16 ) - (1+ 25) = -14 2

∑ (i

-2

i=1

+ i-1 )

10.

1



∑  i - i + 1 i=4

i=2

301

SUMATORIAS TEMA 4

PROPIEDAD TELESCÓPICA

EJEMPLO 10

∑ (a

Cuando calculamos sumatorias de la forma

i=1

i+1

- ai )

los términos se van eliminando y quedarán solo dos, el primero y el último: n

∑ (a i=1

i+1

(

) (

)

(

)

- ai ) = a 2 - a1 + a 3 - a 2 + a 4 - a 3 + ... + an+1 - a n = an+1 - a1 n

∑ (a i=1

i+1

- ai ) = an+1 - a1

(1)

Esta propiedad se denomina la propiedad telescópica y se ocupa cuando el término general está formado por una diferencia de dos términos consecutivos de una sucesión. Variantes de la propiedad telescópica: n

∑ (a

i+1

i=p

∑ (a i=p

- ai+1 ) = a1 - an+1

(2 )

- ai ) = an+1 - ap

(3 )

- ai+1 ) = ap - an+1

( 4)

Lo cual puedes comprobar desarrollando las sumatorias, tal como lo hicimos en [1].

EJEMPLO 8 35

Calcular:

 i

A B + El término general lo expresaremos en la forma , donde A y B son expresiones por determinar. i + 2 i + 3 A B + , obtenemos: i+2 i+3 A B Ai + 3A + Bi + 2B 3A + 2B + ( A + B ) i = + = i+2 i+3 (i + 2 ) (i + 3 ) (i + 2 ) (i + 3 )

i + 1 1 35 + 1 1 36 35  i tenemos: ∑  = = = i + 3  1+ 2 35 + 3 3 38 57 i=1  i + 2

En esta última sumatoria podemos utilizar la propiedad 2, 1 1 1 1 10 = = lo que nos da : . 1+ 2 30 + 3 3 33 33 La técnica algebraica anterior se denomina “fracciones parciales” y hay que considerar lo siguiente:

∑ ( (i + 5 ) 80

i=5

- (i + 4 )

)

Aquí: ai+1 = (i + 5 ) y ai = (i + 4 ) 99

∑ ( (i + 5 )

En el ejemplo 10, en el denominador aparece “i+2”, esto es de grado uno, por lo tanto en el numerador ponemos una expresión de grado cero, esto es una constante. Si en el denominador hubiese aparecido una expresión de grado 2, en el numerador ponemos una de grado uno, por ejemplo: 1 Si queremos separar: 2 en dos fracciones, tenemos i i +2

(

EJEMPLO 9 Calcular:

Como la expresión 3A+2B+(A+B)i debe ser equivalente a 1, tenemos que: 3A+2B=1 y A+B=0, resolviendo este sistema, obtenemos que A=1 y B=-1 30 1 Entonces la sumatoria pedida: ∑ es equivalente a: i=1 (i + 2 ) (i + 3 ) 30 1   1 ∑ i + 2 - i + 3 i=1  

i=1

i=5

i=1

Si en el denominador aparece una expresión con “i” en el numerador ponemos una expresión un grado menos.

i + 1

∑  i + 2 - i + 3 

i i+1 y ai+1 = En este caso ai = , ocupando (2) i+2 i+3

∑ (i + 2 ) (i + 3 )

Al sumar:

Entonces:

i=1 n

Calcular:

- (i + 4 )

) = 85

)

A Bi + C , etc. + 2 i i +2 Si en el denominador aparecen potencias, ponemos potencias decrecientes hasta llegar al exponente 1, y en el denominador ponemos una expresión que tenga un grado menos que la base de la potencia original. que ponerla en la forma:

, ocupando [3]:

- 999

En algunos casos el término general no aparece como una diferencia de términos consecutivos de una sucesión, en ese caso tendremos que hacer manipulaciones algebraicas para transformarla, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Por ejemplo:

1 i (i + 1)

se debe descomponer en la forma:

A B C D , etc. + + + 3 2 i (i + 1) (i + 1) i + 1

305

AUTOEVALUACIÓN

∑ ( -1) ⋅ (i + 1) i

4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1+ 6 ⋅ 2 + ... + 28 ⋅ 24 =

i=1

-32

-22

¿Cuál es la suma de los primeros 100 pares positivos?

5.775

5.125

6.022

6.100

106.200

∑ (i

)

+ 2i2 - 3i - 4 =

i=1

4.500

6.868

5.050

7.050

9.900

7.102

10.000

7.198

10.100

7.440

1 1 1 1 ,en términos + + + ... + 4 6 8 48 de una sumatoria resulta:

Al escribir la suma:

1 ∑ +2 2i i =1 48

1 ∑ 2i i =1 4

1 ∑ i =1 12i

∑

∑ 2i - 2

∑ ( (i - 3 ) - (i - 2 ) 15

i=1

165

143

-143

-165

-173

i=1

( 2i)

i =1

307

TEOREMA DEL BINOMIO

D En este capítulo estudiaremos el desarrollo de potencias de exponente natural de un binomio. Es decir, veremos cómo es

el desarrollo de la potencia (a + b ) ,con n ∈ 

Fue el matemático Nicolás Tartaglia (1499/1500 – 1557), quién descubrió la regla de formación de los coeficientes de este desarrollo, este triángulo es también conocido como el Triángulo de Pascal.

TEMA 1

TÉRMINO GENERAL DE LOS COEFICIENTES

Desarrollo de una potencia de un binomio Veamos que sucede si desarrollamos las primeras potencias del binomio: (a + b )n ,con n ∈  . Potencia

Desarrollo

(a+b) =

(a+b)1=

1a+1b

(a+b) =

1a +2ab+1b

(a+b)3=

1a3+3a2b+3ab2+1b3

(a+b)4=

1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4

(a+b)4=

1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

Triángulo de Pascal 1

1 2

1 1

3 6

1 4

1 5

1 1

3 6

3 4

 2   0

1 3

4   0

4   1 

 3    2 4   2

C o

 2    2

 2   1   3   1 

 3   0

 1    1

 3    3 4   3

l 4   4

La propiedad vista en el capítulo anterior:  n   n   n +1  k  +  k +1 =  k +1 , se puede visualizar debido a que la      

Observa que los coeficientes binomiales tienen en su elemento superior el exponente de la potencia que estamos desarrollando y en el elemento inferior son números enteros que parten desde cero y van aumentando de uno en uno hasta igualar el elemento superior.

Posteriormente fue el famoso Isaac Newton (1642-1721), quién descubrió que los coeficientes anteriores correspondian a los coeficientes binomiales que aparecen al desarrollar la potencia de un binomio.

P ( d

Por ejemplo si desarrollamos (a+b)6, los coeficientes son: 6 6  

Las partes literales de los términos parten desde a 6 y después sus exponentes van decreciendo de uno en uno, mientras que los exponentes de “b” van aumentando de uno

2 3

6 6 6 6 6 6  0  1   2   3   4   5             

1 1

1    0

suma de de dos coeficientes adyacentes de una cierta línea, da el coeficiente que se ubica entre ellos en la línea inferior.

3 4

Observa que en el triángulo de Pascal, si se suman dos coeficientes, se obtiene el coeficiente que aparece en la línea inferior, exactamente entre los coeficientes que se sumaron:

0   0

en uno hasta llegar a b6 y “a” desaparece:

(a + b)

6 6 6 6 6 6 6 =   a 6 +   a 5b +   a 4b2 +   a 3b3 +   a 2b4 +   ab5 +   b6 5 0 1 2 3 4             6

Si calculamos los coeficientes binomiales, obtenemos:

(a + b)6 = a6 + 6a5b +15a4b2 + 20a3b3 +15a2b4 + 6ab5 + b6

312

TEOREMA DEL BINOMIO EJERCICIOS TEMA 2 1.

11.

Hallar el término que contiene x9 en el desarrollo de:

 2 2   3x  xy  

12.

 3 2y  x - 5  x  

¿Qué lugar ocupa el término que contiene a x en el 12 2 desarrollo de:  3x5 + 2  ? x  

Hallar el término independiente de x en el desarrollo de:  2 2y  x - 3  x  

 x2   2x  y  

14.

Hallar el o los términos centrales en el desarrollo de:

15.

Hallar el coeficiente del término que contiene x10 en el 6

2  desarrollo de: x 4  - 3x 5  x 

16.

Hallar el término independiente de x en el desarrollo



de: x 5  x 2

Hallar el término que contiene a x36 en el desarrollo 12

 x 2 y 3 2x 4  de la expresión:  - 2  y   2

Hallar el coeficiente del término que contiene x20 8 4 2 en el desarrollo de: x - 2x y

(

17.

)

y   x3 

Hallar los términos independientes de x e y en el 18  2  desarrollo de:  3x 2 y -4 + 4 2  x y  

18.

Encuentra el mayor exponente posible para x e 16

 x3  y en el desarrollo de:  x 5 y 2  y  

19. Determina qué lugar ocupa el término independiente

(

de x en el desarrollo de: x 2 + x −4

Encuentra el término que contiene el mayor exponente posible para x en el desarrollo de: 15  1 2  + x y  2   xy 

)

20.

10.

Determina qué lugar ocupa el término independiente

 x5  de x en el desarrollo de:  2x -4 +  4 



Hallar el término central en el desarrollo de:

 3 4  Hallar el coeficiente del término que contiene x38 en 10  2x - 5  3   x   el desarrollo de:  x5 − x  2 y  

Hallar el término independiente de x en el desarrollo de: 15  3 x4   2  9  x

13. 4

Determina el término que contiene a40 en el desarrollo de:  3 2 b4   8a b - 2  4a  

Hallar el término central en el desarrollo de:

Determina el coeficiente del término central del 10  x -3  -2 desarrollo de:  2xy +  4  

Encuentra el coeficiente del término que contiene el menor exponente posible para x en el desarrollo de:

2  3xz 3 - 2  x z 

315

AUTOEVALUACIÓN

2   ¿Cuál es el coeficiente del tercer término de:  x - 2  ? x  

2  ¿Cuál es el término central, al desarrollar:  x 2 -  ? x 

 5 4   2

8

 5 -4    2

-8 

 5 -8    3

16 

8

 5   3

6 -8    3

-8 

 5   2

¿Cuál es el coeficiente del término que contiene 15  2  x6 en el desarrollo de:  x - 8  ?  4 xy  a)

 15  -5  8 ⋅2  

 15  10  8 ⋅2  

 15  -10  7 ⋅2    15  10 ⋅2 7

-

No existe tal término

6 3 x  3 6 3 x  3 6  4

6 2 x  3

¿Cuál es el término independiente de “x” al desarrollar: 1  x + 2  x  

4 2  

4 3  

No existe tal término

317

POLINOMIOS

D Los polinomios que estudiaremos en este capítulo tendrán solo una variable, es decir son de la forma:

P ( x ) = an x n + an-1x n-1 + an-2 x n-2 + ...a 0 , donde los

La adición de polinomios tiene las siguientes propiedades: -Es conmutativa: (P+Q)(x)=(Q+P)(x)

-Es asociativa: (P+(Q+R))(x)=((P+Q)+R)(x)

coeficientes an , an-1,an-2 ,...,a 0 , son números reales y n ∈ .

n n-1 n-2 -Existe un elemento neutro aditivo: 0 ( x ) = 0x + 0x + 0x + ...+ 0

En este tipo de polinomios su grado corresponde a la potencia más alta, si tuviese más de una variable, el grado corresponde al grado del mayor de los grados de sus términos, donde el grado de cada término se obtiene sumando los exponentes de sus variables.

-Todo polinomio P(x) tiene su inverso aditivo, llamado –P(x):

En la primera parte de este capítulo, veremos la igualdad de polinomios y las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.

TEMA 1 IGUALDAD Y OPERATORIA BÁSICA DE POLINOMIOS l

Igualdad de polinomios

Dos polinomios son iguales cuando todos los coeficientes de las potencias respectivas son iguales: n

P ( x ) = an x + an-1x

n-1

+ an-2 x

n-2

+ ...+ a0

-P ( x ) = -an x n - an-1x

Para sumar dos polinomios se suman los términos respectivos: P ( x ) = an x n + an-1x n-1 + an-2 x n-2 + ...+ a 0 Q ( x ) = bn x n + bn-1x n-1 + bn-2 x n-2 + ...+ b0

(P + Q )( x ) = ( an + bn ) x

+ ( an-1 + bn-1 ) x

n-1

+ ( an-2 + bn-2 ) x

n-2

+ ...+ ( a 0 + b0 )

Observa que se suman términos semejantes, tal como lo vimos en el Capítulo 1. Para representar la suma de los polinomios P(x) y Q(x) utilizaremos el símbolo (P+Q)(x).

- ...- a0

Para restar los polinomios P(x) y Q(x), a P(x) se le suma el inverso aditivo de Q(x): P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))

Observa que lo anterior equivale a restar los coeficientes respectivos:

P ( x ) = an x n + an-1x n-1 + an-2 x n-2 + ...+ a 0

Q ( x ) = bn x + bn-1x n

(P + Q )( x ) = ( an + bn ) x

n-1

+ bn-2 x

+ ( an-1 + bn-1 ) x

n-1

n-2

+ ...+ b0

+ ( an-2 + bn-2 ) x n-2 + ...+ ( a 0 + b0 )

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, multiplicaremos usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, tal como lo vimos en el Cap. 2. Al producto entre P(x) y Q(x) le designamos el símbolo:(PQ)(x) Ejemplo de multiplicación de dos trinomios: P ( x ) = a 2 x 2 + a1x + a0

(P ⋅ Q)( x ) = ( a2 x 4

Q ( x ) = b2 x 2 +b1x +b0

+ a1x + a 0 ) ⋅ (b2 x +b1x +b0 ) = 2

a 2b2 x + a 2b1x + a 2b0 x 2 + a1b2 x 3 + a1b1x 2 + a1b0 x + a0b2 x 2 + a0b1x + a0b0

ahora sumamos términos semejantes a 2b2 x 4 + ( a 2b1 + a1b2 ) x 3 + ( a 2b0 + a1b1 + a0b2 ) x 2 + ( a1b0 + a0b1 ) x + a0b0

324

C p

(k = 0,1,2,...n)

Adición de polinomios

- an-2 x

n-2

Sustracción de polinomios

l l

n-1

Al igual que en el caso de la adición la sustracción de los polinomios P(x) y Q(x) lo anotamos: (P-Q)(x)

Q ( x ) = bn xn + bn-1x n-1 + bn-2 x n-2 + ...+ b0 Entonces P ( x ) = Q ( x ) ⇔ ak = bk

P ( x ) = an xn + an-1xn-1 + an-2 xn-2 + ...+ a0

C l (

R e

POLINOMIOS 7)

Nos detenemos hasta que la expresión de abajo tenga menor grado que el divisor. El cuociente es la expresión que aparece a la derecha y el resto de la división se ubica al final.

Anotamos: C(x)=-4x-10 y R(x)=-33x-23

Aunque no es necesario, se puede comprobar multiplicando el cuociente con el divisor, se le suma el resto y se debe obtener el dividendo.

En el ejemplo:

(

3 -2

El matemático Paolo Ruffini (1765-1822), descubrió un algoritmo que permite obtener en forma más simple una división de polinomios cuando el divisor es de la forma (x-a). Nuevamente para mayor claridad, explicaremos con un ejemplo.

EJEMPLO 4

(

-7

-2

-7

-6

8 -2

3 -4

El último término que aparece en la fila corresponde al resto de la división y los anteriores corresponden a los coeficientes del cuociente. En el ejemplo, estabamos dividiendo un polinomio de grado 3 con uno de primer grado, por lo tanto el cuociente debe ser un polinomio de segundo grado: 3

)

Colocamos los coeficientes del dividendo (ordenados en forma decreciente según grado) y abajo colocamos el opuesto del término libre del divisor (en el ejemplo -2), trazamos una tabla como se indica a continuación:

-6

-2

Calcular la división: 3x 3 + 2x 2 - 7x + 4 : ( x + 2 ) 1)

-7

Multiplicamos este resultado por el número de la izquierda y repetimos el procedimiento, hasta completar la fila:

)

División sintética o regla de Ruffini

3 -4

-4x 3 + 2x 2 + 5x - 3 = x 2 - 3x - 2 ⋅ (-4x -10) + (-3x + 23)

4) Sumamos los términos que aparecen uno encima del otro:

-2

-7

-6 3 -4

8 -2 1

Cuociente : 3x 2 - 4x +1

EJEMPLO 5 3

Colocamos en la fila inferior el primer término de la primera fila: 3

-7

Utilizando la regla de Ruffini: 1

Multiplicamos el número recién colocado por el que aparece a la izquierda y colocamos el resultado debajo del segundo término de la fila superior: 3 -2

Para demostrar lo anterior, debemos comprobar que el resto de la división entre x 3 + x 2 - 7x + 2 y (x-2) es cero:

-2

resto : 2

Demuestra que el polinomio: x + x - 7x + 2 tiene entre sus factores al binomio: (x-2):

2 -6

-7

-2

-1

Cuociente : x 2 + 3x -1

resto : 0

Con lo que queda comprobado. Observa que de paso encontramos que otro factor del polinomio es el trinomio: x2+3x-1, algo que ocuparemos cuando querramos calcular las raíces del polinomio (Tema 4).

327

POLINOMIOS 18.

Determina el valor de “k” para que el polinomio: x 3 + x 2 + kx + 4 tenga como factor al binomio (x+4).

EJEMPLO 8 Determina el valor de “p” para que el polinomio: px 4 - px 2 + 36 sea divisible por (x+2).

19.

Determina el valor de “p” sabiendo que el polinomio: Como (x+2) divide al polinomio, el resto de la división debe ser cero, por el Teorema del resto tenemos que: x 3 + px 2 + (p + 3 ) x + 24 es divisible por (x+2).

R = p ( -2) - p ( -2 ) + 36 = 16p - 4p + 36 = 0

20.

Determina el valor de” k” si el resto de la división:

12p+36=0, por lo tanto: p=-3

- 2x 2 + 5kx - 6 ) : ( x 2 - 3x ) es 13x-6.

TEMA 3

TEOREMA DEL RESTO

El teorema del resto nos permite hallar fácilmente el resto de una división de un polinomio con un binomio de la forma (x-a): Este teorema afirma que si dividimos un polinomio P(x) con un binomio de la forma (x-a), el resto de la división es P(a). La demostración de lo anterior es inmediata: Supongamos que el polinomio P(x) se divide por (x-a) y el cuociente es C(x) y el resto es R (aquí el resto es una constante ya que es de grado menor que el binomio).

(lo mismo que obtuvimos en el ejemplo 6)

EJERCICIOS TEMA 3 1.

Si reemplazamos x por a, tenemos:

Demuestra que los binomios: (2x-1) y (2x-3), son 3 2 factores del polinomio: 4x - 12x + 11x - 3.

Utilizando el teorema del resto, demuestra que el polinomio: 6x 3 - 17x 2 + 11x - 2 se puede factorizar como: ( 2x - 1) ( 3x - 1) ( x - 2)

3 2 Demuestra que el polinomio: x + 4x + 5x + 2 es

Entonces: P(x)=(x-a).C(x)+R

divisible por ( x + 1) .

3 2 Determina si el polinomio: x + 5x - 6x - 24 es divisible por (x-2).

De donde obtenemos que el resto R es igual a P(a).

Hallar “a” sabiendo que al dividir el polinomio: 3x 3 - 2ax 2 + ax - 1 por (x+2) resulta resto 5.

EJEMPLO 7

P(a)=(a-a).C(a)+R

Hallar a y b sabiendo que el polinomio:

Calcular el resto de la división:

x 3 + ax 2 + bx - 6 es divisible por x-2 y x+3.

)

- 2x 4 - x 3 + 2x + 10 : ( x + 2)

Por el teorema del resto, basta reemplazar -2 en el polinomio:

Determina el valor de “k” sabiendo que al efectuar la división: x 4 - (k +1) x 3 + 2x 2 + kx -1 resulta resto 3.

x 5 - 2x 4 - x 3 + 2x + 10

P ( -2) = ( -2) - 2 ⋅ ( -2) - ( -2) + 2 ⋅ ( -2) + 10 = -40

Determina el valor de “k” sabiendo que al efectuar la división: x 4 - 2kx 3 + (k +1) x 2 + 5x - 8 : ( x + 2) resulta resto 12.

Lo que corresponde al resto de la división.

Resolveremos nuevamente el ejemplo 6, utilizando ahora el Teorema del Resto:

10.

(

)

Demuestra que el polinomio: P ( x ) = x 4 -10x 2 +16 es divisible por ( x + 2 ) . n Demuestra que el polinomio: x +1 es divisible por (x+1) si n es impar.

329

AUTOEVALUACIÓN 1.

Si P ( x ) + Q ( x ) = 4x 3 - 4x 2 + 12x + 2 y el inverso 3

de Q(x) es -3x - x - 2x - 5 , entonces 2P+Q=

334

¿Cuál es el cuociente y el resto de la división:

) (

)

- 2x + 4x - 2 : x - 1 ?

cuociente

resto

5x 3 - 9x 2 + 22x - 1

-x 3 - 11x 2 + 18x - 11

x+2

;

-3

8x 3 - 9x 2 + 22x - 1

x-2

;

x 3 - 5x 2 + 10x - 3

x-2

;

7x 3 - 3x 2 + 14x + 7

x+2

;

-2

x-2

;

5x-4

Si se divide el polinomio x 4 - 2x 2 + 4 con (x+2) se obtiene un resto igual a

¿Cuánto debe valer “a” para que el polinomio:

)

- ax 2 - 2ax + 2a 2 sea divisible por (x+2)?

-20

Solo -4

Solo -2

Solo 2

2 o -2

Solo 4

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al desarrollarla, se obtiene un polinomio de grado seis?

)

II.

III.

Solo I

Solo II

Solo I y III

Solo II y III

I, II y III

- x -1

) (

-1 - x - x

)(

+ 4 x2 - 2

Si -1 es una de las raíces del polinomio: x 3 + kx 2 + ( 2k - 1) x + 6 , ¿cuánto suman ellas?

)

-6

-1

PROGRESIONES

L e Una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales.

EJEMPLO 1

Las sucesiones numéricas son aquellas cuyo recorrido son números y en este estudio consideraremos que son números reales.

1 1 5 1 Comprueba que la sucesión: 1 ,2 ,2 ,3 ,... 2 6 6 2 es una P.A. y encuentra el término general.

En términos de notación, a1 es el primer término, a2 es el segundo, etc.

Para comprobar que se trata de una P.A. debemos restar un término con el anterior y nos debe dar una constante:

1 1 13 3 4 2 2 -1 = - = = 6 2 6 2 6 3 5 1 4 2 2 -2 = = 6 6 6 3 1 5 7 17 4 2 = = 3 -2 = 2 6 2 6 6 3

2 . 3 Encontremos el termino general, reemplazando en an=a+(n-1)d, 2 3 a= y d= , con lo cual se obtiene: 3 2

En este capítulo estudiaremos unas sucesiones especiales, llamadas progresiones. Las progresiones pueden ser aritméticas (P.A.), geométricas (P.G.) o armónicas (P.H.).

TEMA 1

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Cuando en una sucesión a cada término, le sumamos una constante para generar el término siguiente se denomina progresión aritmética o simplemente P.A. En una P.A la diferencia entre un término y el anterior es constante, esta constante se llama diferencia y le llamaremos d. Si el primer término es “a”, entonces la P.A es una sucesión de la forma a, a+d, a+2d, a+3d, ...

S 2

Resulta ser entonces una P.A. y su diferencia es

an =

3 2

+ (n - 1)

2 3

4n + 5 6

EJEMPLO 2

l Término general de una P.A. Como se observa en la sucesión anterior, tenemos que:

Utilizando el término general: an=a+(n-1)d, tenemos que:

a1=a

a20=a+19d=59

a2=a+d

a25=a+24d=74

a3=a+2d

Resolviendo el sistema: a+24d=74 , obtenemos que a=2 y d=3.

a+19d=59

an = a + ( n -1) d, con n ∈ 

Lo que constituye el término general de la P.A.

L p t n 1

A d

En una P.A. los términos de lugares 20 y 25 son respectivamente 59 y 74, hallar a31.

Entonces para el enésimo término, tendremos:

F d s

¿ o

O a

Ocupando nuevamente que an=a+(n-1)d, con n=31, a=2 y d=3, se tiene: a 31 = 2 + 30 ⋅ 3 = 92

D 4 n

(

P c

340

PROGRESIONES TEMA 2

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Si tenemos una sucesión donde cada término se forma a partir del anterior multiplicándolo por una constante, entonces se denomina una progresión geométrica (P.G.).

En una P.G. la suma entre el primer y el segundo término es 9 y la suma entre el tercero y el cuarto es 36.

Al número por el cual vamos multiplicando los términos le llamaremos razón y lo denotaremos por la letra r.

Hallar los términos.

Tenemos entonces

Los términos que buscamos son los siguientes: a , ar, ar2 , ar3. Tenemos que:

a , ar , ar2 , ar3 ,... (con r0)

l Término general de una P.G. Hemos visto que los términos de una P.G. son :

a + ar = 9

ar 2 + ar 3 = 36

a1=a

Factoricemos:

a2=ar

a (1- r ) = 9 ar 2 (1+ r ) = 36

a3=ar2 En términos generales el término enésimo de la P.G. está dado por la expresión:

EJEMPLO 7

an = a ⋅ r n-1 con n ∈  y r≠0

EJEMPLO 6 Determina una P.G. , sabiendo que el sexto término es 2-3 y el décimo es 2-7. Usando la fórmula del término general, tenemos que: a6=ar5=2-3 a10=ar9=2-7 Si dividimos las dos ecuaciones, conseguimos eliminar la incógnita “a”: 5 ar 2-3 / = 9 ar 2-7 / -4

r =2 / 4

Reemplazando en cualesquiera de las ecuaciones que teníamos, podemos calcular “a”: a6=ar =2 a (2

)

, pero r=2 , entonces:

-3

-1

Si r=2 y reemplazamos en cualesquiera de las ecuaciones del sistema, obtenemos que a=3. Si r=-2, obtendremos que a=-9. Por lo tanto las posibles progresiones son: r=2: 3 , 6 , 12 , 24. r=-2: -9 , 18 , -36 , 72 Comprueba que ambas soluciones efectivamente satisfacen el enunciado.

Si restamos ambas igualdades, al lado se cancelan casi todos los términos, excepto “a” y “arn”:

r ⋅ Sn = ar + ar 2 + ar 3 + ...+ ar n-1 + ar n

-3

Por lo tanto la P.G. es: 4,2,1,

2 3 n esta igualdad por “r”: r ⋅ Sn = ar + ar + ar + ...+ ar

Sn = a + ar + ar 2 + ar 3 + ...+ ar n-1

-3

2 2-5 a = 22 a=

1 1 = ⇒ r = ±2 r2 4

Supongamos que queremos sumar los primeros n términos de la P.G.: Sn = a + ar + ar 2 + ar 3 + ...+ ar n-1 , multipliquemos

1 r = 2⇒r = 2 -1

-1 5

a/ (1+ r ) 9 , multiplicando cruzado, se obtiene que = 2 ar / (1+ r ) 36

l Suma de términos de una P.G.

Dividimos ambas ecuaciones para eliminar “a”:

Sn - r ⋅ Sn = a - ar n , factorizando: Sn (1- r ) = a (1- r n ) 1 1 , ,... 2, 4

Por lo tanto:

 1- r n  Sn = a    1- r 

(con r≠1)

343

PROGRESIONES TEMA 3

PROGRESIÓN ARMÓNICA

EJERCICIOS TEMA 3

Una progresión se llama armónica (P.H.) cuando los recíprocos de sus términos forman una progresión aritmética.

En una P.H., se tiene que a=

No existe una fórmula para el término general ni para la suma de n términos para este tipo de progresiones.

¿cuánto es a3?

Los problemas que se nos planteen, deberemos resolverlos ocupando que los recíprocos de los términos forman una P.A. y en esta última podremos ocupar lo visto en el tema 1.

EJEMPLO 11 1

En una P.H, se tiene que el tercer término es y el séptimo 4 1 es , hallar el décimo. 16 En la P.A. tenemos a3=4 y a7=16, utilizando la fórmula del término general , planteamos:

1 1 y a7= , entonces 20 2

En una P.H. ,el segundo término es Hallar el cuarto término.

20 19

y el sexto es

3 .

En una P.H., se cumple que a2=1 y a5=

¿cuál es el octavo término?

1 3

, entonces

En una P.H., se cumple que a3=

a+2d=4 a+6d=16

¿cuál es el primer término?

Al resolver obtenemos que a=-2 y d=3.

Si el primer término de una P.H. es 3 y el quinto es

un tercio, ¿cuál es la suma de los tres primeros términos?

Interpolar dos medios armónicos entre

Interpolar cuatro medios armónicos entre

Si el segundo término de una P.H. es uno y el quinto

En la P.A, el décimo término es a10=a+9d=-2+27=25, entonces en la P.H. será su recíproco:

EJEMPLO 12

4 1 y . 3 2

3 que interpolar cuatro medios aritméticos entre y 2. 4

Ocupando la fórmula de interpolación para medios aritméticos: 3 q-p , con p= , q=2 y n=4: d= 4 n+1

q-p n+1

4 =1 5 4

10.

es:

346

4 2 4 1 ,1, , , , 3 5 3 7 2

, entonces

5 3 7 ,1, , , , 2 y la correspondiente P.H. 4 4 2 4

1 3

1 8

1 2

. 1 3

es un medio, hallar los seis primeros términos.

Entonces la P.A. es:

Trabajando con la P.A. que forman los recíprocos, tenemos

y a4=

Interpolar 4 medios armónicos entre

En una P.H., se cumple que a=2 y a4=

2 3

, entonces

¿cuánto es S3?

Hallar los tres primeros términos de una P.H., sabiendo 1 3 que a2= y a7= 35 5

AUTOEVALUACIÓN 1.

¿Cuánto suman los primeros 20 múltiplos positivos de 5? a)

1.000

1.050

1.100

1.500

2.100

En una P.A. se cumple que a18=-81 y a25=-116, entonces a= a)

-5

-4

197 7

5. 197 7

En una P.G. se cumple que el tercer término es 8 y el sexto es -64, entonces r=

-4

-2

4 2 3

348

4 4 Los términos de una P.H. son , 1 , , ... , ¿cúal es 3 5 el término que sigue? a)

6 5

6 7

3 2

2 3

En una P.A. se cumple que el cuarto término es el doble del tercero y el décimo es 40, ¿cuál es la diferencia?

-5

-4

¿Cuánto es la suma de los primeros 22 términos

de la progresión: 2-5 ,2-4 ,2-3 ,... a)

212

222

2-17-2-5

217-2-5

221

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

D Consideremos una circunferencia de centro C(h,k) y radio r.

EJEMPLO 1

Si el punto P(x,y) pertenece a la circunferencia,

Determina el centro y radio de la circunferencia de ecuación: x2+y2-6x-4y+3=0.

U u

Tal como se explicó anteriormente, debido a que los coeficientes de x2 e y2 son unos, tenemos que:

S e c

debe ocurrir que la distancia entre P y C es r:

PC =

( x - h)2 + ( y - k ) 2 = r

-2h=-6

P r

O c

-2k=-4 h2+k2-r2=3

De las dos primeras ecuaciones tenemos que h=3 y k=2, por lo tanto el centro es el punto (3,2), reemplacemos estos valores en la tercera ecuación: 32+22-r2=3  r2=10, de donde deducimos que el radio de la circunferencia mide 10 .

P r 0

Elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación canónica o principal de la circunferencia:

( x - h)2 + ( y - k ) 2 = r 2

Si desarrollamos los cuadrados y ordenamos igualando a cero, obtenemos la ecuación general de la circunferencia:

EJEMPLO 2 Hallar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación: 4x2+4y2-8x+16y+19=0

Para ello, debemos “formar” los cuadrados de binomio.

D c

Primero dividamos la ecuación por 4, para que los coeficientes cuadráticos sean “unos”:

x 2 + y 2 + Mx + Ny + P = 0

4x2+4y2-8x+16y+19=0

DETERMINACIÓN DE CENTRO Y RADIO DE UNA CIRCUNFERENCIA

19 = 0 , ordenemos: 4 19 x 2 - 2x + y 2 + 4y = 4 Para que la expresión: x2-2x sea el desarrollo del cuadrado de binomio (x-1)2, le hace falta un “uno” y para que y2+4y sea también el desarrollo del cuadrado de binomio a (y+2)2, le falta un “4”, agreguemos a ambos lados de la ecuación lo que falta:

/: 4

x 2 + y 2 - 2x + 4y +

TEMA 1

S s

En este caso, lo que haremos es transformar la ecuación dada a la forma canónica:(x-h)2+(y-k)2=r2, para reconocer su centro y radio.

x 2 + y 2 - 2hx - 2ky + h2 + k 2 - r 2 = 0

o bien:

Este método se llama el método de comparación, ahora veremos el método de completación de cuadrados.

Observa que si los coeficientes de los términos cuadráticos (x2 e y2) son “unos”, el coeficiente del término lineal en x es “-2h”, el coeficiente lineal de y es “-2k” y el término libre es h 2+k 2-r 2, ecuaciones que nos permitirán conocer las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia.

(x2 - 2x +1) + (y2 + 4y + 4) = 1+ 4 - 194

1 354

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA TEMA 3

TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

Supongamos que tenemos la circunferencia de ecuación: x2+y2+Mx+Nx+P=0 y un punto (x0,y0) de ella, entonces la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia en ese punto, está dada por:

M N xx 0 + yy 0 + ( x + x 0 ) + ( y + y 0 ) + P = 0 2 2 Llamada la ecuación “desdoblada de la circunferencia”, cuyo nombre se debe a que las variables se separan en dos y a una de ellas se le reemplaza por la correspondiente coordenada

Esta fórmula nos ayudará a determinar si una recta es tangente, secante en dos puntos o no intercepta a una circunferencia dependiendo de la distancia que haya del centro a la recta. Si el radio de la circunferencia es “r” y la distancia del centro de la circunferencia a la recta es “d”, entonces: Relación entre “d” y “r”

Situación geométrica

d<r

La recta es secante en dos puntos a la circunferencia.

d=r

La recta es tangente a la circunferencia.

d>r

La recta no intercepta a la circunferencia

del punto de tangencia.

EJEMPLO 5 Determina la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: x2+y2-4x+10y-71=0 en el punto (8,3). Primero comprobemos que el punto efectivamente está en la circunferencia, para ello reemplazamos (8, 3) en la ecuación dada: 82+32-32+30-71=0, lo que se cumple. “Desdoblemos” la ecuación de la circunferencia: x 2 + y 2 - 4x +10y - 71= 0 xx + yy - 2 ( x + x ) + 5 ( y + y ) - 71= 0 Reemplazamos una de las “x” por 8 y una de las “y” por 3: xx + yy - 2 ( x + x ) + 5 ( y + y ) - 71= 0 3x + 8y - 2 ( x + 8 ) + 5 ( y + 3 ) - 71= 0 Desarrollando, obtenemos la ecuación: 3x+4y-36=0

Distancia de un punto a una recta

Otra forma de determinar tangentes a una circunferencia, es ocupar la distancia de un punto a una recta, la cual procedemos a explicar: Supongamos que tenemos un punto (x 0,y0) y queremos calcular la distancia desde este punto a la recta de ecuación: ax+by+c=0, para ello se “normalizar” la recta dividiéndola por

a 2 + b2 Recta normalizada:

EJEMPLO 6 Determina si la recta de ecuación: x-3y+2=0 intercepta o no a la circunferencia de ecuación: x2+y2-4x+2y-20=0 Por lo visto en el tema 1, determinamos que el centro de la circunferencia es (2,-1) y su radio es 5. Ahora calculamos la distancia del centro (2,-1) a la recta x-3y+2=0: Normalizamos la recta:

x - 3y + 2 10

Calculamos la distancia, sustituyendo (2,-1) en la ecuación normalizada de la recta (con valor absoluto):

ax + by + c a 2 + b2

Entonces la distancia del punto (x0,y0) a la recta corresponde al valor absoluto de la ecuación normalizada de la recta evaluada en las coordenadas del punto:

2+ 3+ 2 10

7 10

Pero el radio es 5, por lo tanto: d<r, con lo que se deduce que la recta es secante a la circunferencia.

ax 0 + by 0 + c a 2 + b2

357

AUTOEVALUACIÓN 1.

¿Cuál es el radio de la circunferencia de ecuación: x2+y2-4x-2y+4=0? a)

1 2

5. Si el punto (1,-1) pertenece a la circunferencia de ecuación: x2+y2-kx+2ky-3=0, entonces k= a)

1 2

−

2 3

-1

1 3

6. 3.

360

Si el punto (1,2) pertenece a la circunferencia de ecuación: x2+y2-2kx+3ky+3=0, entonces ¿cuál es su centro? a)

(4,-6)

(2,-3)

(-2,3)

(2,3)

(-4,6)

¿Cuál es el centro de la circunferencia de ecuación: 2x2+2y2-6x+2y-3=0?

¿En qué punto(s) la circunferencia de ecuación: (x-3)2+(y-2)2=16, intercepta a la recta de ecuación: x=3? a)

Solo en el (3,2)

Solo en el (3,6)

Solo en el (3,-2)

(3,6) y (3,-2)

En ninguno.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la circunferencia de ecuación: x2+y2-16x+4y+64=0? I.

Su radio mide 2 unidades.

(-3,1)

II.

Es tangente al eje x.

 3 1  ,-   2 2

III.

Pasa por el punto (6,-2).

b) c)

 3 1 − ,   2 2

Solo I

Solo II

(3,-1)

Solo I y II

Solo I y III

 3 1 − ,   2 2

I, II y III

ÍNDICE TEMÁTICO Arreglos o variaciones, 279 Binomio, 7 Coeficiente binomial, 273, 312 Propiedades, 273 Combinatoria, 273 Arreglos, 279 Combinaciones, 279 Permutaciones, 277 Principio multiplicativo y aditivo, 275 Determinantes, 252 De 2x2, 252 De 3x3, 255 Regla de Cramer para sistemas de 2x2, 253 Regla de Cramer para sistemas de 3x3, 255 Distancia entre dos puntos, 137 Distancia entre punto y recta, 357 Ecuación cuadrática, 158 Ecuaciones bicuadráticas, 168 Ecuaciones fraccionarias de segundo grado, 167 Ecuaciones irracionales de segundo grado, 169 Ecuaciones literales de segundo grado, 162 Naturaleza de las soluciones, 164 Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas, 171 Propiedades de las raíces, 165 Resolución aplicando raíz cuadrada, 158 Resolución por formación de cuadrados, 159 Resolución por factorización, 158 Resolución utilizando la resolvente, 160 Ecuación de la circunferencia, 354 Determinación de centro y radio, 354 Ecuación desdoblada de la circunferencia, 357 Ecuación general de una circunferencia, 354 Ecuación principal de una circunferencia, 354 Tangentes a una circunferencia en un punto de ella, 357 Ecuación de recta, 129 Ecuación general, 132 Ecuación principal, 132 Ecuación punto – pendiente, 133 Intersección con los ejes coordenados, 135 Pendiente, 129 Rectas paralelas y perpendiculares, 136 Ecuaciones, 47, 158 Ecuaciones bicuadráticas, 168 Ecuaciones con paréntesis y productos notables, 47 Ecuaciones de primer grado, 47 Ecuaciones de segundo grado, 158 Ecuaciones exponenciales, 71 Ecuaciones fraccionarias de primer grado, 48 Ecuaciones fraccionarias de segundo grado, 167 Ecuaciones irracionales de primer grado, 85 Ecuaciones irracionales de segundo grado, 169 Ecuaciones logarítmicas, 97 Ecuaciones literales de primer grado, 50

366

Ecuaciones literales de segundo grado, 162 Ecuaciones trigonométricas, 217 Eliminación de paréntesis, 9 Expresiones algebraicas, 7 Factorial de un número, 273 Factorización, 32 De diferencia de cuadrados, 34 De suma y diferencia de cubos, 40 De trinomio cuadrático, 36, 37, 38 Por agrupación, 39 Por factor común, 32 Por factor común binomio, 33 Fracciones algebraicas, 58 Adición y sustracción, 60 Multiplicación y división, 61 Simplificación, 58 Función cuadrática, 175 Concavidad e intersección con los ejes, 175 Máximos y mínimos, 177 Traslación y reflexión de gráfico, 178 Vértice y eje de simetría, 177 Funciones, 105 Aplicaciones, 120 Cálculo de imágenes, 105 Composición de funciones, 119 Dominio y recorrido, 106 Función compuesta, 119 Función cuadrática, 158 Función inversa, 117 Gráficos, 109 Tipos de funciones, 113 Grado de un expresión algebraica, 7 Inecuaciones, 188 Inecuaciones con productos y cuocientes, 195 Inecuaciones con valor absoluto, 192 Inecuaciones de segundo grado, 193 Inecuaciones lineales con una incógnita, 188 Punto crítico, 195 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita, 190 Intervalos, 187 Operatoria, 187 Logaritmos, 91 Definición, 91 Ecuaciones exponenciales con logaritmos, 98 Ecuaciones logarítmicas, 97 Propiedades, 92 Matrices, 257 Adjunta de una matriz, 260 Matriz identidad, 259 Matriz inversa, 261 Operatoria, 258 Ponderación, 258 Resolución de sistemas con matriz inversa, 263

M M M N P P P P P P P P