N.º 04 março
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VOLUME ÚNICO 416 PÁGINAS
MATEMÁTICA A 12.º ANO
EXAMES NACIONAIS – 2010-2015 1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais
Com resoluções completas e justificadas
Edição
2016
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NOTA EXPLICATIVA
Este livro contém os enunciados integrais das provas de exame nacionais (1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais) de Matemática A do 12.º Ano, elaboradas pelo IAVE – Instituto de Avaliação Educativa e aplicadas entre 2010 e 2015. Para cada item de construção é apresentada uma proposta de resolução completa e justificada. Para cada item de seleção são igualmente apresentados um raciocínio e uma explicação completa que conduzem, em cada caso, à escolha da opção correta. Ao lado de cada item, tanto nos enunciados como nas resoluções, existe uma coluna com indicações relativas à matéria abordada, permitindo ao aluno orientar e direcionar o seu estudo para áreas específicas do programa. Propostas de resolução elaboradas por uma equipa de professores pertencentes à ASSOCIAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA (APM).
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12.º ANO
em mem martins 21 926 66 00
EXAMES NACIONAIS – 2010-2015 1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais
Com resoluções completas e justificadas
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2016
preço: € 15,90 catálogo n.º 5500 416 páginas
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1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais
Com resoluções completas e explicadas
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12.º ANO
ITENS SELECIONADOS DE EXAMES NACIONAIS – 2010-2015
1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais
1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais
PORTUGUÊS
Com resoluções completas e explicadas e orientações para o item de resposta extensa
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ENUNCIADOS
Para cada item (incluindo os itens de escolha múltipla) existe uma ENCOMENDE aqui
ENUNCIADOS GRUPO II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
N.os complexos Operações
1. Em
19 C, conjunto dos números complexos, considere � � � 2 � 2 � 2 cis i
Determine os valores de puro.
i pertencentes ao intervalo @ 0, 2 r 6, para os quais z é um número imaginário
Na resolução deste item, não utilize a calculadora.
Probabilidades
2. De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:
�� 60% dos funcionários residem fora de Coimbra; �� os restantes funcionários residem em Coimbra. Probabilidade condicionada
2.1. Relativamente aos funcionários dessa empresa, sabe-se ainda que:
�� o número de homens é igual ao número de mulheres; �� 30% dos homens residem fora de Coimbra. Escolhe-se, ao acaso, um funcionário dessa empresa. Qual é a probabilidade de o funcionário escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Combinatória
2.2. Considere agora que a empresa tem oitenta funcionários. Escolhem-se, ao acaso, três funcionários dessa empresa. A probabilidade de, entre esses funcionários, haver no máximo dois a residir em Coimbra é igual a 80C � 32 C 3 3 80C 3
Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada. Na sua resposta:
�� enuncie a regra de Laplace; �� explique o número de casos possíveis; �� explique o número de casos favoráveis. 162 162
RESOLUÇÕES
a resolução completa e justificada ENCOMENDE AQUI
RESOLUÇÕES Combinatória
2.2. Seja � o acontecimento ÒO funcion‡rio escolhido reside em CoimbraÓ. Sabe-se que: � � � � � �� � . Como a empresa tem 80 funcion‡rios, ent‹o 32 residem em Coimbra, pois �� � � �� � �� . Pretende-se determinar a probabilidade de, num grupo de 3 funcion‡rios, escolhidos ao acaso, haver no m‡ximo 2 a residir em Coimbra, ou seja, haver 2, ou 1, ou nenhum a residirem em Coimbra. O nœmero de casos poss’veis Ž dado por ���� , que corresponde ao nœmero de grupos que Ž poss’vel formar com 3 funcion‡rios escolhidos de entre os 80 funcion‡rios da empresa. O nœmero de casos favor‡veis Ž dado por ���� � ���� em que: �
��
�� representa o nœmero total de grupos (nœmero de casos poss’veis)
�
��
�� representa o nœmero de grupos de 3 funcion‡rios escolhidos de entre os 32 que residem
em Coimbra. Assim, a diferença ���� � ���� corresponde ao nœmero de grupos de 3 funcion‡rios, sendo que, em cada grupo, existem no m‡ximo 2 funcion‡rios a residir em Coimbra. De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento Ž dada pelo quociente entre o nœmero de casos favor‡veis ˆ realizaç‹o desse acontecimento e o nœmero de casos poss’veis, quando estes s‹o todos equiprov‡veis e o espaço de resultados Ž finito. Portanto, a probabilidade pedida Ž dada por:
Funções Função exponencial
3. 3.1.
��
�� � ���� . �� ��
Determinemos o raio da esfera, � . Sabe-se que a dist‰ncia do ponto � ˆ base do recipiente Ž 16 cm. Por outro lado a dist‰ncia, em cent’metros, do centro da esfera ao ponto � Ž dada em funç‹o de � , por � � � � � �� � � � � � � �� ����� . No instante inicial a esfera encontra-se na base do recipiente, pelo que a dist‰ncia do centro da base ao ponto � Ž dada por:
� � � � � �� � � � � � � ������ � � � �� � � � �� Assim, o raio da esfera Ž dado por: � � � �� � �� � � � cm. O volume da esfera Ž dado por: � �
� � � �� . �
O valor do volume arredondado ˆs centŽsimas Ž dado por: � � ���� cm � . 378 378
OBRIGADO