FATEC-SCS MATEMÁTICA DISCRETA I PROFESSOR: EDISON
1 ASTI
EXERCÍCIOS (III) 1. Seja A = {1,2,3,4} . Considere em A as seguintes relações binárias: xαy ⇔ x < y xβy ⇔ xy é ímpar xθy ⇔ x − y ∈IN xρy ⇔ x = y 2
Escreva α, β, θ, ρ como conjunto de pares ordenados. 2. Considere a relação binária em A ={1, 2, ..., 8, 9} definida por: n R m ⇔ n + m = 10 Escreva R como conjunto de pares ordenados. 3. Desenhe o grafo orientado para cada uma das seguintes relações definidas no conjunto A ={a, b, c, d , e} . a) b) c)
{(a, a), (a, c), (b, b), (c, c), (d , d )} {(a, a), (a, c), (b, c), (b, b), (c, b), (c, c), (d , d )} {(a, b), (b, c), (b, a), (c, b), (d , d )}
4. Apresente cada uma das relações binárias definidas no exercício 3 por uma matriz. 5. Para cada uma das relações binárias definidas no exercício 3, diga justificando, se a relação é: •
Reflexiva
•
Simétrica
•
Transitiva
6. Seja A = {a, b, c, d , e} . Considere em A as seguintes relações:
ρ1 = { ( a, a ) , ( b, b ) , ( c, c ) , ( d , d ) , ( e, e )} ρ 2 = { ( a , b ) , ( b, c ) , ( a , c ) } ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7
= {( a, b ) , ( b, a ), ( c, d ) , ( d , c )}
= { ( a , b ) , ( c , e ) , ( d , a ) , ( d , b )}
= { ( a , b )}
= {( a, a ), ( b, b ) , ( c, c ) , ( d , d ), ( e, e ), ( a, b ), ( b, c )}
= {( a, a ) , ( b, b ), ( c, c ), ( d , d ), ( e, e ), ( c, d ), ( d , c )}
Quais destas relações são reflexivas? Simétricas? anti-simétricas? transitivas? 7. Classifique as seguintes relações binárias: a) Em IN , a relação R definida por xRy ⇔ x é primo com y. NOTA: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor comum entre eles é 1. b) Em IN , a relação R definida por xRy ⇔ x não é primo com y. 8. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = { x, y, z} Considere, em A × B a relação: R = {(1, y ), (1, z ), (3, y ), (4, x), (4, z )} a) Determine a matriz de R. b) Desenhe o diagrama de setas de R. c) Determine R −1 . 9. Seja A = {1,2,3,4,5,6} . Considere, em A, a relação R:
def
x R y ⇔ " x divide y "
a) Escreva R como conjunto de pares ordenados. Determine o domínio e a imagem de R. b) Desenhe o grafo orientado de R. c) Determine R −1 . Como traduz R −1 por palavras? 10. Sejam R e S as relações em A = {1, 2, 3} : R = {(1,1), (1,2), (2,3), (3,1), (3,3)} e S = {(1,2), (1,3), (2,1), (3,3)} . Determine as relações: a) R ∩ S b) R ∪ S c) R S d) S 2 = S S
1 0 1 11. Seja R = 0 1 0 a matriz de uma relação definida em A = { x, y, z} . 0 0 1 Diga se R é simétrica e se é reflexiva. Justifique.
12. Para as relações seguintes indique as suas propriedades. Diga se a relação é reflexiva, simétrica, anti-simétrica, transitiva. Refira ainda se a relação é de equivalência ou ordem parcial. Todas as relações são consideradas no conjunto dos seres humanos. a) b) c) d) e)
def
xRy ⇔x é filho de y def
xRy ⇔x tem os mesmos pais que y def
xRy ⇔x é descendente de y def
xRy ⇔x é casado com y def
xRy ⇔x é da mesma altura que y ou x é mais baixo que y