Rodríguez Anaya Eduardo Modelos de Programación lineal Optimización I 2019 - 1 https://1386716.site123.me/
Alemán Hernández Alejandro Modelos de Programación lineal Optimización I 2019 - 1 https://hexerei.site123.me/
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ÍNDICE INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………………………………….
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Características…………………………………………………………………………………… ……. 5 Ventajas………………………………………………………………………………...………… …….. 5 Desventajas…………………………………………………………………...………………… …….. 5 Aplicaciones……………………………………………………………………………………… ……. PLANEACION DE PRODUCCION ………………………………………………………………………..
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TRANSPORTE……………………………………………………………………………………… …………….
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ASIGNACIÓN……………………………………………………………………………………… …………….
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MOCHILA…………………………………………………………………………………...…… ……………….
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MEZCLAS………………………………………………………………………………………… ………………..
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DIETAS…………………………………………………………………………………………… ………………...
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CURIOSIDADES…………………………………………………………………………………… …………….
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FUENTES…………………………………………………………………………………………… ……………..
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INTRODUCCIÓN La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa “realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate”. Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos. La programación lineal es una técnica matemática muy utilizada en la dirección de operaciones, siendo uno de los grandes avances científicos que se dieron en la primera mitad del siglo XX. Su campo de estudio es la asignación óptima de los recursos limitados entre diferentes actividades empresariales, tales como: - Selección de la mejor combinación de factores que maximicen el beneficio, con una adecuada utilización de los recursos productivos. Los factores o recursos productivos hacen referencia a la maquinaria utilizada, a la mano de obra directa, a los materiales, al dinero o capital invertido y al tiempo, ya que la información es válida para un horizonte temporal determinado. - Desarrollo del programa de producción para hacer frente a la demanda esperada, minimizando los costes que ésta origina. - Determinación de la distribución de los productos desde los almacenes hasta los puntos de venta. 3
Algunos ejemplos concretos de la utilización de la programación lineal son los siguientes: - Programación de autobuses escolares para minimizar la distancia de las rutas. - Asignación de coches patrullas en las zonas de mayor índice de criminalidad, para que el tiempo de respuesta sea el menor posible. - Programación de los cajeros en las entidades bancarias, garantizando el servicio al cliente, reduciendo los costes de mano de obra. - Elección de las materias primas en las industrias alimenticias, de manera que se obtengan alimentos de calidad con un coste mínimo. - Asignación de los espacios físicos de un centro comercial entre los diferentes arrendatarios, maximizando los ingresos de la empresa de leasing. Los requisitos de un problema de programación lineal son los siguientes: a) Tiene como objetivo maximizar o minimizar alguna cantidad. En la empresa, se maximizan beneficios y se minimizan costes. b) La existencia de restricciones que limitan el nivel de producción y venta que se pretende alcanzar. Dichas restricciones suelen estar relacionadas con la cantidad de factores disponibles, tales como las unidades de material, las horas de trabajo, etc. c) Tienen que existir diferentes alternativas de elección, de productos y de procesos, de manera que el empresario pueda elegir a la hora de asignar sus recursos. d) Tanto la función objetivo como las restricciones deben estar expresadas en ecuaciones lineales o desigualdades.
CARACTERÍSTICAS -
Función Objetivo: Función que nos dice que se desea maximizar o minimizar.
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Restricciones: Límites que tiene la función objetivo para cumplir con su propósito de maximizar o minimizar.
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No negatividad.
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VENTAJAS ● Requieren menos tiempo y es menos caro que experimentar con el objeto o la situación real. ● Permiten una identificación rápida de las expectativas esperadas. ● Reducen los riesgos asociados con la experimentación real.
Desventajas ● Se pierde información (que puede ser relevante) del fenómeno que se está estudiando. ● Las diferentes interpretaciones de la información, pueden ocasionar resultados que estén lejos de la realidad. ● La recolección de datos puede ser muy costosa y complicada. ● Sensibilidad ante errores de medición; a veces pequeñas variaciones en los datos ocasionan que se tengan resultados opuestos.
Aplicaciones Comunes de PL La programación lineal es una herramienta poderosa para seleccionar alternativas en un problema de decisión y por consiguiente se aplica en una gran variedad de entornos de problemas. La cantidad de aplicaciones es tan alta que sería imposible enumerarlas todas. A continuación, indicamos algunas de las principales aplicaciones que cubren las áreas funcionales más importantes de una organización empresarial. 5
Finanzas: el problema del inversor podría ser un problema de selección del mix de su cartera de inversiones. En general, la variedad de carteras puede ser mucho mayor que lo que indica el ejemplo y se pueden agregar muchas más restricciones distintas. Otro problema de decisión implica determinar la combinación de métodos de financiación para una cantidad de productos cuando existe más de un método de financiación disponible. El objetivo puede ser maximizar las ganancias totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del método de financiación. Por ejemplo, se puede financiar con fondos internos, con deuda a corto plazo o con financiación intermedia (créditos amortizados). Puede haber limitaciones con respecto a la disponibilidad de cada una de las opciones de financiación, así como también restricciones financieras que exijan determinadas relaciones entre las opciones de financiación a los efectos de satisfacer los términos y condiciones de los préstamos bancarios o financiación intermedia. También puede haber límites con respecto a la capacidad de producción de los productos. Las variables de decisión serían la cantidad de unidades que deben ser financiadas por cada opción de financiación. Administración de Producción y Operaciones: muchas veces en las industrias de proceso, una materia prima en particular puede transformarse en una gran variedad de productos. Por ejemplo, en la industria petrolera, el crudo puede refinarse para producir nafta, kerosene, aceite para calefaccionar y distintas clases de aceite para motor. Según el margen de ganancia actual de cada producto, el problema es determinar la cantidad que se debería fabricar de cada producto. Esta decisión está sujeta a numerosas restricciones tales como límites de las capacidades de diversas operaciones de refinado, disponibilidad de materia prima, demandas de cada producto y políticas gubernamentales con respecto a la fabricación de determinados productos. En la industria de productos químicos y de procesamiento de alimentos existen problemas similares. Recursos Humanos: los problemas de planificación de personal también se pueden analizar con programación lineal. Por ejemplo, en la industria telefónica, la demanda de servicios de personal de instalación / reparación son estacionales. El problema es determinar la cantidad de personal de instalación / reparación y reparación de líneas que debemos tener incorporada en la fuerza laboral por cada mes a fin de minimizar los costos totales de contratación, despido, horas extras y salarios en horas ordinarias. El conjunto de restricciones comprende restricciones con respecto a la demanda de servicio que se debe satisfacer, uso de horas extra, acuerdos con los sindicatos y la disponibilidad de personal calificado para contratar. Este ejemplo es opuesto a la hipótesis de divisibilidad. Sin embargo, los niveles de fuerza laboral de cada mes normalmente son lo suficientemente altos como para poder redondear al número entero más cercano sin problemas, siempre y cuando no se violen las restricciones. Marketing: se puede utilizar la programación lineal para determinar el mix adecuado de medios de una campaña de publicidad. Supóngase que los medios disponibles son radio, televisión y diarios. El problema es determinar cuántos avisos hay que colocar en cada medio. Por supuesto que el costo de colocación de un aviso depende del medio elegido. El objetivo es minimizar el costo total de la campaña publicitaria, sujeto a una serie de restricciones. Dado que cada medio puede proporcionar un grado diferente de exposición a la población meta, puede haber una cota inferior con respecto a la exposición de la campaña. Asimismo, cada medio puede tener distintos ratings de eficiencia para producir resultados deseables y por consiguiente puede haber una cota inferior
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con respecto a la eficiencia. Además, puede haber límites con respecto a la disponibilidad para publicar en cada medio. Distribución: otra aplicación de programación lineal es el área de la distribución. Considere un caso en el que existen m fábricas que deben enviar productos a n depósitos. Una determinada fábrica podría realizar envíos a cualquier cantidad de depósitos. Dado el costo del envío de una unidad del producto de cada fábrica a cada depósito, el problema es determinar el patrón de envío (cantidad de unidades que cada fábrica envía a cada depósito) que minimice los costos totales. Este decisión está sujeta a restricciones que exigen que cada fábrica no pueda enviar más productos de los que tiene capacidad para producir.
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MODELO DE PLANEACION DE PRODUCCION
Definición La Planeación de la Producción tiene como objetivo prever y movilizar todos los recursos necesarios para la producción de un bien, o para la prestación de un servicio, en el plazo adecuado y en las cantidades correctas. Eso implica la determinación y cálculo de todos los recursos necesarios a la ejecución de las órdenes de producción. La planeación de la producción presenta tres procesos básicos: planeación agregada, programa maestro de producción y planeación de los requerimientos de materiales. El proceso normal de la planeación consiste en desarrollar planes agregados con el objetivo de equilibrar la demanda con los niveles de capacidad e inventario disponibles. Por su parte el programa maestro de producción toma las demandas previstas y determina un programa de actividades de producción que se utiliza como insumo para las planeación de requerimiento de materiales, que proporciona los requerimientos de las partidas de materiales y materias primas.
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Entorno de la planeación de la producción.
Modelo de planeación de la producción La formulación de la planeación de la producción como un problema de programación lineal constituye un procedimiento efectivo para elaborar un óptimo plan de producción. Un modelo de programación lineal consta de tres elementos básicos: una función objetivo a optimizar, un conjunto de restricciones denominadas estructurales o funcionales y las restricciones de no negatividad. Para describir el problema de planeación de la producción se utiliza un modelo matemático bajo la suposición que todas las funciones matemáticas son lineales. La función objetivo en este caso es la minimización del costo total del plan caracterizado por costos unitarios asociados a cada variable considerada en el modelo; las variables utilizadas representan aspectos como la capacidad de planta, los materiales, la mano de obra, los niveles de inventario, los tiempos de preparación, los plazos de entrega, etc.; y las restricciones están formadas por las disponibilidades de los recursos de producción. La solución del problema correspondiente de P.L. posibilita evaluar un gran número de estrategias de producción al encontrar la alternativa con el costo menor, permite realizar análisis de sensibilidad y proporciona amplia información adicional a partir de las variables duales del problema. De esta forma, el problema de producción más básico se ciñe alrededor de aquel que pretende el aprovechamiento más óptimo y la mejor asignación de los recursos disponibles, sacando el máximo partido a la capacidad existente, bien sea con el propósito de lograr el máximo retorno o beneficio (margen de explotación) o la productividad mayor,
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o incluso para conseguir los costes totales mĂnimos dado un nivel de producciĂłn, una vez satisfecha la demanda prevista para un periodo concreto.
Ejemplo
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PROBLEMA DE TRANSPORTE
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¿QUE ES? La programación lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases de problemas para los cuales existen métodos de solución especiales. Una de estas subclases se conoce como problemas de transporte. El método símplex de programación lineal, puede servir para resolver estos problemas. Pero se han desarrollado métodos más sencillos que aprovechan ciertas características de los problemas. Entonces, el método del transporte son sólo técnicas especiales para resolver ciertos tipos de problemas de programación lineal.
El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica para la sobrevivencia de una empresa. ¿Qué significa problema de transporte? Supóngase que un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro almacenes. Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes, pero el costo de
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transporte varía con las diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar a cada almacén con el fin de minimizar el costo total de transporte. La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura “de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problemas, la intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles.
EJEMPLO Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.
SOLUCIÓN MEDIANTE PL El modelo básico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada, como es el caso de este ejercicio, sin embargo trasladar esta suposición a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear orígenes y/o destinos ficticios con el excedente de oferta y/o demanda.
Como ya lo hemos planteado en módulos anteriores el primer paso corresponde a la definición de las variables, regularmente se le denomina a las variables de manera algebraica Xi,j donde i simboliza a la fuente y j simboliza al destino. En este caso i define el 14
conjunto {Planta 1, Planta 2, Planta 3 y Planta 4}, y j define el conjunto {Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla}. Sin embargo es práctico renombrar cada fuente y destino por un número respectivo, por ende la variable X1,2 corresponde a la cantidad de millones de KW enviados diariamente de la Planta 1 a la ciudad de Bogotá.
El segundo paso corresponde a la formulación de las restricciones de oferta y demanda, cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y destinos, en este caso 16 restricciones.
Restricciones de oferta o disponibilidad, las cuales son de signo ≤:
X1,1 + X1,2 + X1,3 + X1,4 ≤ 80 X2,1 + X2,2 + X2,3 + X2,4 ≤ 30 X3,1 + X3,2 + X3,3 + X3,4 ≤ 60 X4,1 + X4,2 + X4,3 + X4,4 ≤ 45
Restricciones de demanda, las cuales son de signo ≥:
X1,1 + X2,1 + X3,1 + X4,1 ≥ 70 X1,2 + X2,2 + X3,2 + X4,2 ≥ 40 X1,3 + X2,3 + X3,3 + X4,3 ≥ 70 X1,4 + X2,4 + X3,4 + X4,4 ≥ 35
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Luego se procede a formular la función objetivo, en la cual se relaciona el costo correspondiente a cada ruta.
ZMIN = 5X1,1 + 2X1,2 + 7X1,3 + 3X1,4 + 3X2,1 + 6X2,2 + 6X2,3 + 1X2,4 + 6X3,1 + 1X3,2 + 2X3,3 + 4X3,4 + 4X4,1 + 3X4,2 + 6X4,3 + 6X4,4 Luego se puede proceder al uso de la herramienta WinQSB para resolver el modelo realizado, aquí están los resultados.
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Este problema presenta una solución óptima alternativa, aquí los resultados.
Red Solución
Los análisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan ser bastante interesantes, pues pueden llegar a determinar aumentos de capacidad en las fuentes si el precio sombra de las rutas en relación a ellas lo justifica.
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PROBLEMA DE ASIGNACIÓN
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El modelo de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos que se destinan a la realización de tareas. Por ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. La asignación de personas a trabajos es una aplicación común del problema de asignación. Sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. También pueden ser máquinas, vehículos o plantas, o incluso periodos a los que se asignan tareas. “La mejor persona para el puesto” es una buena descripción del modelo de asignación. El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (de costo mínimo) de trabajadores a puestos. El modelo general de asignación con n trabajadores y n puestos se representa en la tabla siguiente:
Para que se ajuste a la definición de un problema de asignación, es necesario que este tipo de aplicaciones se formule de manera tal que se cumplan los siguientes supuestos: 1. El número de asignados es igual al número de tareas. (Este número se denota por n.) 2. A cada asignado se le asigna sólo una tarea. 3. Cada tarea debe realizarla sólo un asignado. 4. Existe un costo cij asociado con el asignado i (i 5 1, 2, . . . , n) que realiza la tarea j ( j 1, 2, . . . , n). 5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las n asignaciones para minimizar los costos totales. Se puede resolver el modelo de asignación en forma directa como modelo normal de transporte. Sin embargo, el hecho de que todas las ofertas y las demandas son iguales a 1, condujo al desarrollo de un algoritmo sencillo de solución llamado método húngaro.
EJEMPLO La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo 19
de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:
VARIABLES DE DECISIÓN Las variables de decisión de este tipo de problemas es igual a las variables de cualquier modelo de transporte tradicional, es decir variables Xi,j donde i {Equipo de mantenimiento 1,2,3} y j {Máquina 1,2,3}, y corresponden a variables binarias en las cuales el valor 1 significa la asignación de un equipo de mantenimiento a una máquina en particular.
RESTRICCIONES Dado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a más de una maquinaria, esta característica debe de restringirse mediante las siguientes inecuaciones.
X1,1 + X1,2 + X1,3 = 1 X2,1 + X2,2 + X2,3 = 1 X3,1 + X3,2 + X3,3 = 1
Además debe restringirse el hecho de que cada máquina solo requiere de un equipo de mantenimiento, por ende
X1,1 + X2,1 + X3,1 = 1 X1,2 + X2,2 + X3,2 = 1 X1,3 + X2,3 + X3,3 = 1
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Además se hace necesario que para efectos de resolución en cualquier paquete de herramientas se especifique que estas variables corresponden al conjunto de los enteros (por obvias razones) y que deben ser mayores que cero (dado que es un problema de minimización esta restricción se hace muy necesario).
Xi,j ≥ 0 Xi,j ∈ {Z}
FUNCIÓN OBJETIVO ZMIN = 10X1,1 + 9X1,2 + 5X1,3 + 9X2,1 + 8X2,2 + 3X2,3 + 6X3,1 + 4X3,2 + 7X3,3
INGRESANDO LOS DATOS A WINQSB
RESULTADOS OBTENIDO MEDIANTE EL WINQSB
Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias.
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MOCHILA
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El Problema de la Mochila (conocido también como Knapsack Problem o simplemente KP) es un problema clásico de la Investigación de Operaciones y en particular de la Programación Entera. Consiste en un excursionista que debe preparar su mochila, la cual tiene una capacidad limitada y por tanto no le permite llevar todos los artículos que quisiera tener en la excursión. Cada artículo que el excursionista puede incluir en la mochila le reporta una determinada utilidad. Luego el problema consiste en seleccionar un subconjunto de objetos de forma tal que se maximice la utilidad que el excursionista obtiene, pero sin sobrepasar la capacidad de acarrear objetos.
En este contexto existen varias aplicaciones que guardan una similitud conceptual con el Problema de la Mochila y en consecuencia nos podemos beneficiar de la formulación y resolución de un modelo de optimización matemática para dicho propósito. Consideremos el siguiente ejemplo:
EJEMPLO Un armador tiene un carguero con capacidad de hasta 700 toneladas. El carguero transporta contenedores de diferentes pesos para una determinada ruta. En la ruta actual el carguero puede transportar algunos de los siguientes contenedores:
El analista de la empresa del armador desea determinar el envío (conjunto de contenedores) que maximiza la carga transportada. Para ello se propone el siguiente modelo de Programación Entera:
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Variables de Decisión:
Función Objetivo: Consiste en maximizar la carga que transportará el carguero.
Restricciones: El peso de la carga transportada no puede exceder la capacidad máxima del carguero.
Al implementar computacionalmente el problema anterior haciendo uso de OpenSolver se alcanzan los siguientes resultados:
La solución óptima consiste en transportar los contenedores C1, C2, C3, C4, C8, C9 y C10, con un valor óptimo de 700 (toneladas), es decir, se utiliza la capacidad completa del carguero. Notar que otra solución óptima consiste en transportar los contenedores C1, C3, C4, C5, C6, C7, C8 y C9 lo que reporta un similar valor en la función objetivo.
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MEZCLAS
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Es un tipo de modelos que aparecen por ejemplo en aquellas situaciones en las cuales una empresa dispone para un periodo dado de cantidades limitadas bi de m recursos (materia prima, maquinaria, dinero, habilidades humanas, etc.), que utiliza para la producción de n tipos de artículo, cada uno de los cuales utiliza los recursos en cierta combinación. Es decir, se conocen los valores aij que indican el número de unidades del recurso i necesarias para producir una unidad del artículo j. También se conocen los valores cj que son las utilidades unitarias (o costos unitarios) del producto j.El problema consiste entonces en determinar la cantidad Xj a producir de cada uno de los artículos que compiten por el uso de los recursos, de tal forma que se obtenga un máximo de producción o un máximo de beneficio, o un mínimo de costo u otro objetivo especial, en un periodo determinado de producción.
EJEMPLO Una refinería de petróleos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, las cuales vende a los distribuidores en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan a partir del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene la empresa (es decir mediante mezcla), las que deben cumplir las especificaciones que se presentan en la siguiente tabla:
Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:
Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita maximizar el ingreso semanal de la refinería, satisfaciendo los requerimientos previamente detallados. Variables de Decisión: ● ●
Xnr: Barriles de petróleo nacional utilizados en la producción de gasolina regular Xne: Barriles de petróleo nacional utilizados en la producción de gasolina extra 27
● ●
Xir: Barriles de petróleo importado utilizados en la producción de gasolina regular Xie: Barriles de petróleo importado utilizados en la producción de gasolina extra
Función Objetivo: Se busca maximizar los ingresos semanales que percibe la refinería en la producción de gasolina regular y extra. Max 12*(Xnr + Xir) + 14*(Xne + Xie) Restricciones: Presión de Vapor: El promedio ponderado de la presión de vapor de los distintos tipos de petróleos que participan de la mezcla no debe superar las 23 unidades (para cada tipo de gasolina). ● ●
(25Xnr + 15Xir ) / (Xnr + Xir) <= 23 (25Xne + 15Xie ) / (Xne + Xie) <= 23
Octanaje Mínimo: El promedio ponderado del octanaje de los distintos tipos de petróleos que participan de la mezcla debe ser al menos 88 y 93 unidades para la gasolina regular y extra, respectivamente. ● ●
(87Xnr + 98Xir ) / (Xnr + Xir) >= 88 (87Xne + 98Xie ) / (Xne + Xie) >= 93
Demanda Mínima y Máxima: Para cada gasolina se debe producir semanalmente una cantidad de barriles entre el mínimo y el máximo permitido. ● ●
50.000 <= Xnr + Xir <= 100.000 5.000 <= Xne + Xie <= 20.000
Inventario: Para la producción de gasolina regular y extra se debe respetar la disponibilidad de barriles de petróleo nacional e importado. ● ●
Xnr + Xne <= 40.000 Xir + Xie <= 60.000
No Negatividad: Las variables de decisión naturalmente deben adoptar valores mayores o iguales a cero. ●
Xnr, Xne, Xir, Xie >= 0
Al implementar el modelo de optimización anterior en Solver se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo:
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Se deben destinar 30.909,09 barriles de petróleo nacional para la producción de gasolina regular, 9.090,91 barriles de petróleo nacional para la producción de gasolina extra, 49.090,91 barriles de petróleo importado para la producción de gasolina regular y 10.909,09 barriles de petróleo importado para la producción de gasolina extra. La política de producción anterior permite generar un ingreso semanal de US$1.240.000. Una recomendación en la carga computacional es rescribir las restricciones que incluyan proporciones de forma equivalente, de modo de evitar divisiones entre celdas cambiantes (variables de decisión) y adicionalmente denominadores que adopten inicialmente un valor igual a cero. Por ejemplo la restricción: (25Xnr + 15Xir ) / (Xnr + Xir) <= 23 se puede representar de forma análoga de la siguiente forma: (25Xnr + 15Xir ) -23 (Xnr + Xir) <= 0. De esta forma se puede corrobar, por ejemplo, que en la solución óptima la presión de vapor que alcanza la producción de barriles de gasolina regular es de: (25*30.909,09 + 15*49.090,91 ) / (30.909,09 + 49.090,91)=18,8636 (aprox) que es menor o igual al límite de 23 unidades.
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DIETAS
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El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. George Joseph Stigler planteó, a finales de la década de los años 30, el problema de régimen alimenticio óptimal para tratar de satisfacer la preocupación del ejército americano por hallar la manera más económica de alimentar a sus tropas asegurando al mismo tiempo unos determinados requerimientos nutricionales. Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, ... Ejemplo Se propone alimentar el ganado de una granja con la dieta más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes identificados como A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente: A
B
C
D
M
100
-
100
200
N
-
100
200
100
La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué cantidades de piensos M y N se deben adquirir para que el gasto en comida sea el menor posible?
Se pretende mezclar los tipos de pienso para obtener una dieta equilibrada que contenga las cantidades diarias recomendadas de cada nutriente para los animales. Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso: ● ●
X1: cantidad de pienso M en Kg X2: cantidad de pienso N en Kg
Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición requerida para la dieta diaria (en Kg): ● ● ● ●
Componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4 Componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6 Componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2 Componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7
Expresar todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En 31
este caso, la única restricción es que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas: ● ●
X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
Determinar la función objetivo: ●
Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2
La solución óptima es Z = 1.52 X1 = 4 X2 = 9
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CURIOSIDADES SABÍAS QUE... La Sociedad de Programación Matemática honró a Dantzig creando el Premio Dantzig, otorgado cada tres años desde 1982 a una o dos personas que hayan logrado un impacto significativo en el campo de la programación matemática.
Importancia de su contribución Erróneamente, pudiéramos tener la simple visión de un científico destacado y aparentemente similar a otras importantes personalidades. Sin embargo, su labor revolucionó la aplicabilidad de las matemáticas. Su impulso aún es vital.
Es reconocido por todos que el problema de la programación matemática ha tenido dos excepcionales creadores: George Dantzig y Leonid Kantorovich. Ellos son los indiscutibles padres fundadores de la Programación Lineal, la que ha generado toda la teoría de la Programación Matemática. Kantorovich desarrolló el modelo básico buscando optimizar los planes de la economía soviética. Dantzig introdujo el algoritmo Simplex, que permite resolver el modelo con rapidez y exactitud. Cuando Kantorovich recibió el Premio Nobel por su contribución expresó en su discurso su rabia por no haber sido compartido con Dantzig. Nunca se ha explicado por qué no fue un premio compartido como el de Nash. Se arguye, no sin base, que los matemáticos soviéticos habrían desarrollado el Simplex si las primeras aplicaciones de la Programación Lineal, debidas a Kantorovich y su modelo, no hubieran sido vetadas por la burocracia soviética. La labor de Kantorovich fue truncada y éste se dedicó a hacer trabajos de teoría en matemáticas bien alejadas de problemas concretos. Algunos expertos militares rusos y de otras nacionalidades han hecho cálculos sobre el papel que hubiera jugado, el método de Kantarovich, en el planeamiento de la logística de las grandes operaciones del ejército soviético en la reducción del costo de vidas y esfuerzos.
T. J. Koopmans propuso el término “Programación Lineal” durante una visita de Dantzig en 1948. Su padre Tobías sugirió el término dual, que es clave en la teoría, mientras visitaba a su hijo y oía las discusiones de éste con otros colegas. El término primal fue una consecuencia del significado de dual y por tanto es también mérito de Tobías.
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Una de las más famosas aplicaciones del algoritmo fue el realizado en la solución de determinar una dieta óptima al más bajo costo posible, para paliar el déficit debido a la II Guerra Mundial. El resultado fue el establecimiento de una política de estímulo para los productos deficitarios. Jack Laderman desarrolló, usándola, unas tablas para el National Bureau of Standards. George Stigler, quien elaborara una política para desarrollar alimentos nutritivos a bajo costo, obtuvo también el Premio Nobel. El método desarrollado por Dantzig es catalogado como uno de los más importantes en toda la historia de las matemáticas aplicadas, pues por el uso del Simplex es posible tomar decisiones óptimas en muchas clases de problemas prácticos de gran complejidad. Modestamente, Dantzig decía siempre que él se sorprendía de lo bien que se comportaba el Simplex. Si vemos que éste es usado corrientemente para establecer donde se deben situar mejor los recursos, planear la producción, hacer horarios e itinerarios, planear las inversiones en el mercado bursátil, formular estrategias tanto en actividades civiles como militares en forma óptima, esta modestia es más que ejemplarizante. Además de este aporte, Dantzig avanzó en diversos. campos desbrozando el terreno para el desarrollo de otros modelos. No es posiblehablar de teoría de descomposición, análisis de sensibilidad, comple-mentariedad, ni de los campos más especializados de la optimización como la programación en gran escala, no lineal, estocástica, etcétera, sin referirse a que fueron sus contribuciones las que marcaron el inicio.
SABÍAS QUE... CASOS REALES DE USO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
La siguiente tabla muestra algunos casos reales de organizaciones que han hecho uso de la Investigación Operativa y las ganancias y/o ahorros conseguidos a raíz de ello.
Organización
Aplicación
Año
The Netherlands Desarrollo de la política 1985 Rijkswaterstaat nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operaciones y costeo
Ahorros anuales $15 millones
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Monsanto Corp.
Optimización de las 1985 operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo
$2 millones
Weyerhauser Co.
Optimización del corte de 1986 árboles en productos de madera para maximizar su producción
$15 millones
Electrobas/CEPAL Brasil
Asignación óptima de recursos 1986 hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía
$43 millones
United Airlines
Programación de turnos de 1986 trabajo en oficinas de reservaciones y aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo
$6 millones
Citgo Corp.
Petroleum Optimización de las 1987 operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos
SANTOS, Australia
Ltd., Optimización de inversiones de 1987 capital para producir gas natural durante 25 años
$70 millones
$3 millones
Electric Power Administración de inventarios 1989 Research Institute de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes
$59 millones
San Francisco Optimización de la 1989 Police Department programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema informatizado
$11 millones
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Texaco Inc.
Optimización de la mezcla de 1989 ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad
$30 millones
IBM
Integración de una red 1990 nacional de inventario de refacciones para mejorar el apoyo al servicio
$20 millones + $250 millones en menor inventario
U.S. Military Airlift Rapidez en la coordinación de 1992 Command aviones, tripulación, carga y pasajeros para manejar la evacuación por aire en el proyecto "Tormenta del Desierto" en el Medio Oriente
Victoria
American Airlines
$500 millones más de ingresos
Diseño de un sistema de 1992 estructura de precios, sobreventas y coordinación de vuelos para mejorar las utilidades
Yellow Freight Optimización del diseño de una 1992 System, Inc. red nacional de transporte y la programación de rutas de envío
$17.3 millones
New Haven Health Diseño de un programa 1993 Dept. efectivo de cambio de agujas para combatir el contagio del SIDA
33% menos contagios
AT&T
Desarrollo de un sistema 1993 basado en PC para guiar a los clientes del negocio en el diseño del centro de llamadas
$750 millones
Delta Airlines
Maximización de ganancias a 1994 partir de la asignación de los tipos de aviones en 2.500 vuelos nacionales
$100 millones
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Digital Corp.
Equipment Reestructuración de toda la 1995 cadena de proveedores entre proveedores, plantas, centros de distribución, sitios potenciales y áreas de mercado
$800 millones
China
Selección y programación 1995 óptima de proyectos masivos para cumplir con las necesidades futuras de energía del país
$425 millones
Cuerpo de defensa Rediseño óptimo del tamaño y 1997 de Sudáfrica forma del cuerpo de defensa y su sistema de armas
$1.100 millones
Procter Gamble
$200 millones
and Rediseño del sistema de 1997 producción y distribución norteamericano para reducir costos y mejorar la rapidez de llegada al mercado
Taco Bell
Programación óptima de 1998 empleados para proporcionar el servicio a clientes deseado con un costo mínimo
$13 millones
Hewlett-Packard
Rediseño de tamaño y 1998 localización de inventarios de seguridad en la línea de producción de impresoras para cumplir metas de producción
$280 millones de ingreso adicional
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FUENTES Introducci贸n https://create.piktochart.com/output/17931364-programacion-lineal https://www.gestiopolis.com/programacion-lineal-en-la-investigacion-de-operaciones/ http://diccionarioempresarial.wolterskluwer.es/Content/Documento.aspx?params=H4sIAAAAA AAEAMtMSbF1jTAAASMTczMTtbLUouLM_DxbIwMDS0NDQ3OQQGZapUt-ckhlQaptWmJOcSoAK Si6YTUAAAA=WKE Planeaci贸n de Producci贸n http://www.scielo.org.bo/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1683-07892001000200005 Transporte https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investig aci%C3%B3n-de-operaciones/problema-del-transporte-o-distribuci%C3%B3n/ Asignaci贸n https://proyectoinvestigacionoperaciones.wordpress.com/2016/11/09/primera-entrada-del-blo g/ Mochila https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-entera/problema-de-la-mochila-en-prog ramacion-entera-resuelto-con-opensolver/ Mezclas https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/ejemplo-de-un-problema-de-mez cla-de-productos-en-programacion-lineal/ Dieta http://www.phpsimplex.com/simplex/page2.php?l=es&o=min&x1=0.2&x2=0.08&rt=4&v=2&r1 _1=0.1&r1_2=&d1=1&y1=0.4&r2_1=&r2_2=0.1&d2=1&y2=0.6&r3_1=0.1&r3_2=0.2&d3=1&y3=2 &r4_1=0.2&r4_2=0.1&d4=1&y4=1.7&Submit=Continuar
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