Matriz, Determinante e Sistemas Lineares by Eduardo Trindade

EXERCÍCIOS PROF: EDUARDO TRINDADE

Matriz; Determinante; Sistemas Lineares.

Questão 01 – UEPA A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atletas) e colunas (dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e aij  30i  10 j o elemento genérico desta tabela, com i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no terceiro dia foi de: 1º Dia

2º Dia

3º Dia

A  a11 B a21 C  a31

a12 a22 a32

a13  a23  a33 

 18,20    a)  36,30  454,20  51,90    d)  48,30  405,60 Solução 0,006 0,033  0,001 0,035  0,084 0,052 0,6 3,3 1  0,1 3,5 100  8,4 5,2

a) 2 horas e 30 minutos b) 2 horas e 10 minutos c) 2 horas d) 1 hora e 50 minutos e) 1 hora e 30 minutos Solução O tempo de treinamento do atleta B no terceiro dia (a23) é: a23  30  2  10  3  a23  60  30  a23  90 min. Ou seja, 1 hora e 30 min. Questão 02 – UEL-PR Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em grama) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em grama) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida por cada grama ingrida dos alimentos citados. 200 fruta D  300 leite 600 cereais fruta leite cereais

0,006 0,033 0,108 proteínas M   0,001 0,035 0,018 gorduras 0,084 0,052 0,631 carboidratos A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em grama) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:

 29,70    b)  16,20  460,20  75,90    e)  21,50  411,00

 48,30    c)  36,00  432,40

0,108 200  0,018  300  0,631 33 600 31 10,8  2 1,8  1003  6 31 63,1 33

2  0,6  3  3,3  6 10,8  1,2  9,9  64,8   2  0,1  3  3,5  6 1,8    0,2  10,5  10,8       2  8,4  3  5,2  6  63,1 16,8  15,6  378,6  75,90   21,50   . 411,00 Questão 03 – UFRGS A matriz C conforme, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante. arroz carne salada

1  arroz 2 1 1 prato P1 C  3 carne P  1 2 1 prato P2 2 2 0 prato P3 2 salada A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3, está indicada na alternativa:

7    a) 9  8  2   d) 6  8 

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4   b)  4   4  2   e)  2   4 

9   c) 11  4 

Solução O custo de produção é dado pelo produto entre as matrizes C e P. 2 1 1 1   P33  C31  X31  X 31  1 2 1  3  2 2 0 33 2 31  2 1  1  3  1  2  7 custo P1   X 31   1 1  2  3  1  2   9 custo P2 . 2 1  2  3  0  2 31 8 custo P3 Questão 04 – UESPI

 p 2 2   Se o determinante da matriz  p 4 4  p 4 1  p  18, então o determinante da matriz  p  p

é igual a –

 1 2  2 4 é  2 1

igual a: a) –9 d) 6

b) –6 e) 9

c) 3

Solução O valor de p da matriz é: p 2 2 p 2

p 4 4

p 4  18 

p 4 1

p 4

4 p  8 p  8 p  8 p  16 p  2 p  18  20 p  26 p  18   6 p  18  p  3 . 3  1 2   O determinante da matriz 3  2 4 é: 3  2 1  3 1 2 D  3 2 4

3 1 3 2

com o energético B superam os gastos com o energético A em R$ 30,00. O valor de x  y é: a) 40 d) 24

b) 35 e) 18

c) 30

Solução Sejam x: Enérgico A; y: Enérgico B. i) x unidades do enérgico A por R$ 2,00 + y unidades do enérgico B por R$ 3,00 é igual a R$ 90,00, ou seja: 2 x  3 y  90 . ii) os gastos com o energético B superam os gastos com o energético A em R$ 30,00, ou seja: 3 y  2 x  30 . Usando o sistema de equações, temos: 2 x  3 y  90  6y  120  y  20 .  3 y  2 x  30 O valor de x é: 2x  3  20  90  2x  30  x  15 . Logo, x  y  15  20  35 . Questão 06 – UFC Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Então os valores de c que tornam singular a 1 1 1   matriz 1 9 c  são: 1 c 3 a) 1 e 3 d) –3 e 5

b) 0 e 9 e) –9 e –3

c) –2 e 4

Solução Como determinante da matriz é zero, temos: 1 1 1 1 1

1 9 c 1 9  0  27  c  c  9  c 2  3  0  1 c 3 1 c

3 2 1 3 2 D  6  12  12  12  24  3  D  18  27  D 9. Questão 05 – UEPA Em uma academia de fitness, o personal trainer, preocupado com o rendimento de seus atletas, resolveu comprar em um supermercado da cidade, x unidades do energético tipo A por R$ 2,00 cada e y unidades do energético tipo B a R$ 3,00 cada, perfazendo um total de R$ 90,00, sendo que os gastos

 c 2  2c  15  0 . Resolvendo a equação do segundo grau, temos:   b2  4ac    22  4(1)15    4  60    64 . b   2  64 28 c c c  2a 2(1) 2 28  c1   c1  3   2  . c   2  8  c  5 2 2  2 

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Questão 07 – UFPR

2 x  5 y  z  0  Para que o sistema  x  10 y  2 z  0 admita 6 x  15 y  mz  0  solução única, deve-se ter: a) m ≠ 1 d) m ≠ 3

b) m ≠ 2 e) m ≠ –3

c) m ≠ –2

Solução Para o sistema apresentar uma única solução o determinante dos coeficientes deve ser diferente de zero. 2 5 1 2 5

D 0 1

2 1

10  0 

6  15 m 6  15 20m  60  15  60  60  5m  0  15m  45  0  15m  45  m  3 . Questão 08 – UPF-RS

 x  y  z  4  A solução do sistema linear 2 x  y  2 z  10 é a x  2 y  z  0  terna (a, b, c). O valor de a 2  2b  c é: a) 6 d) 0

b) 8 e) –4

c) 10

Solução Vamos escalonar o sistema acima usando a primeira equação ( x  y  z  4 ) como fixa, temos: i) ( x  y  z  4)(2)  2 x  2 y  2 z  8    2 x  y  2 z  10 2 x  y  2 z  10  3 y  4 z  18 . ii) ( x  y  z  4)(1)  x  y  z  4    x  2 y  z  0 x  2 y  z  0 y  2z  4 . Utilizando as equações i e ii, temos:  3 y  4 z  18  3 y  4 z  18   10z  30   ( 3 y y   2 6 z z   4 12 )( 3 )   z  3. • y  2z  4  y  2  3  4  y  2 . • x  y  z  4  x  2  3  4  x  1 . A terna do sistema é (1, –2, 3).

O valor de a 2  2b  c é: 12  2  (2)  3  1  4  3  8 . Questão 09 – UFPA Um cozinheiro decidiu preparar três tipos de guloseimas doces: bolos, panquecas e biscoitos. Para preparar 1 kg de massa de bolo, são necessárias três xícaras de trigo, duas de açúcar e três ovos; para preparar 1 kg de massa de panqueca são necessárias três xícaras de trigo, uma de açúcar e dois ovos; e para preparar 1 kg de biscoito, são utilizadas quatro xícaras de trigo, duas de açúcar e dois ovos. Mas, em sua dispensa, o cozinheiro dispõe apenas de 19 xícaras de trigo, 9 xícaras de açúcar e 14 ovos. Os demais ingredientes das receitas não lhe põem problemas, dado que ele os possui em quantidade necessária. Calcule as quantidades em quilogramas de massa de bolo, massa de panqueca e massa de biscoito que devem ser preparadas, de modo a utilizar todos os ovos, toda a farinha de trigo e todo o açúcar de que dispõe, sem desperdício e de acordo com as proporções das receitas. Solução Há 3 tipos de guloseimas doces: bolos, panquecas e biscoitos. Para preparar esses doces são necessários os ingredientes (trigo, açúcar, ovos). Para preparar os doces utilizam-se certas quantidades de xícaras de cada ingrediente: • Para preparar 1 kg de massa de bolo: 1 kg = 3 trigo + 2 açúcar + 3 ovos 1 kg = (3, 2, 3) • Para preparar 1 kg de massa de panqueca: 1 kg = 3 trigo + 1 açúcar + 2 ovos 1 kg = (3, 1, 2) • Para preparar 1 kg de biscoito: 1 kg = 4 trigo + 2 açúcar + 2 ovos 1 kg = (4, 2, 2) O cozinheiro dispõe apenas de 19 xícaras de trigo, 9 xícaras de açúcar e 14 ovos, ou seja, (19, 9, 14). Representando em um sistema linear matricial, temos: trigo 3 3 4  x  19 açúcar 2 1 2   y    9   ovos 3 2 2  z  14

3x  3 y  4 z  19  2 x  y  2 z  9 3x  2 y  2 y  14  i)

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(3x  3 y  4 z  19)(2)   (2 x  y  2 z  9) (3)

(7 x  5 y  4 z  65)(5)   (5 x  4 y  3z  49)(7)

 6 x  6 y  8 z  38   3 y  2 z  11  6 x  3 y  6 z  27  ii) (3x  3 y  4 z  19)(1)   3x  2 y  2 z  14

 35 x  25 y  20 z  325  3 y  z  18 .  35 x  28 y  21 z  343  Utilizando as equações i e ii. (9 y  10 z  96)(3)  27 y  30 z  288    (3 y  z  18)(9) 27 y  9 z  162  21z  126  z  6 . • 3 y  z  18  3y  6  18  3y  12  y  4 . • 5x  4 y  3 y  49  5x  4  4  3  6  49  5x  16  18  49  5x  34  49  5x 15  x  3. O preço dos peixes x, y e z são 3, 4 e 6 respectivamente.

 3x  3 y  4 z  19   y  2 z  5  3x  2 y  2 z  14 Utilizando as equações i e ii, temos:  3 y  2 z  11  3 y  2 z  11    ( y  2 z  5) (3) 3 y  6 z  15 4z  4  z  1 . •  y  2z  5   y  2 1  5  y  3 . • 2 x  y  2 z  9  2x  3  2 1  9  2x  4  x  2. Logo, a quantidade de quilogramas de massa de bolo, panqueca e biscoito será de 2, 3 e 1, respectivamente. Questão 10 – UFPA No mercado Ver-o-Peso, três vendedores combinaram vender três espécies de peixe, cada uma delas pelo mesmo preço e fazer uma competição para ver quem vendia mais peixe pelo preço combinado, durante uma hora. Sabendo-se que o vendedor A vendeu 7 kg do peixe x, 5 kg do peixe y, 4 kg do peixe z e arrecadou R$ 65,00; o vendedor B vendeu 8 kg do peixe x, 7 kg do peixe y, 6 kg do peixe z e arrecadou R$ 88,00; o vendedor C vendeu 5 kg do peixe x, 4 kg do peixe y, 3 kg do peixe z e arrecadou R$ 49,00. Quais os preços, por kg, dos peixes x, y e z, respectivamente? Solução Vendedor A: 7x + 5y + 4z = 65. Vendedor B: 8x + 7y + 6z = 88. Vendedor C: 5x + 4y + 3z = 49. 7 x  5 y  4 z  65  8 x  7 y  6 z  88  5 x  4 y  3 y  49  i) (7 x  5 y  4 z  65)(8)   (8 x  7 y  6 z  88)(7)  56 x  40 y  32 z  520  9 y  10 z  96 .  56 x  49 y  42 z  616 ii)

Questão 11 – UFPA Uma indústria cerâmica produz tijolo, telha e lajota com produção diária de 90 mil peças. Sabe-se que o número de telhas produzidas é igual à metade da soma do número de tijolos com o de lajotas, que os custos de produção do milheiro do tijolo, da telha e lajota são respectivamente 100, 200 e 300 reais e que o custo diário total da produção é de R$ 16.000,00. Com base nesses dados, é correto afirmar que a indústria produz por dia: a) mais de 30 milheiros de tijolos e menos de 29 milheiros de lajotas. b) menos de 29 milheiros de tijolos e menos de 29 milheiros de lajotas. c) mais de 50 milheiros de tijolos e menos de 30 milheiros de lajotas. d) 30 milheiros de tijolos e 30 milheiros de telhas. e) 29 milheiros de tijolos e 39 milheiros de lajotas. Solução Considere x: tijolos; y: telhas; z: lajotas. • Uma indústria cerâmica produz tijolo, telha e lajota com produção diária de 90 mil peças. x + y + z = 90 • O número de telhas produzidas é igual à metade da soma do número de tijolos com o de lajotas. xz y 2 • Os custos de produção do milheiro do tijolo, da telha e lajota são respectivamente 100, 200 e 300 reais e que o custo diário total da produção é de R$ 16.000,00. 100x + 200y + 300z = 16.000. Formando o sistema linear, temos:

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( x  y  z  90)  2  xz   y  2   (100 x  200 y  300 z  16.000)  100

1 1 1   x  9636 e) 0 11 6 . y   1436       0 1  1  z   144 

2 x  2 y  2 z  180 2 x  x  z  2 z  180    2 y  x  z  x  x  z  3z  160  x  2 y  3z  160  3x  3z  180  x  z  60    2 x  4 z  160  x  2 z  80

Solução Sejam x: nº de sacos de arroz com 1 kg. y: nº de sacos de feijão com 1 kg. z: nº de sacos de açúcar com 1 kg. • arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de 1 kg, totalizando 1.436 kg: x  y  z  1436 . • a terça parte do número de sacos de feijão, somados 2 aos do número de sacos de açúcar, dá um total de 11 292 kg: 1 2 y  z  292 . 3 11 • Há 144 kg de açúcar a mais que de feijão: z  y  144 . Dado sistema de equações abaixo:  x  y  z  1436  x  y  z  1436  1 1 2 2   y  z  292  0 x  y  z  292   3 11 11  3 0 z x   y y   z 144  144    

 x  z  60  z  20 .   x  2 z  80 xz 60  y  30 .  y • y 2 2 • x  z  60  x  20  60  x  40 . Logo, a alternativa certa é a letra A. Questão 12 – UEPA Uma campanha foi deflagrada para angariar alimentos não perecíveis com o objetivo de amenizar problemas gerados em uma região assolada pelas secas. Os alimentos doados foram: arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de 1 kg, totalizando 1.436 kg desses alimentos. Sabe-se que a terça parte do número de 2 sacos de feijão, somados aos do número de sacos 11 de açúcar, dá um total de 292 kg e que há 144 kg de açúcar a mais que de feijão. Se x é a quantidade de sacos de arroz; y a quantidade de sacos de feijão e z a quantidade de sacos de açúcar, a representação matricial do sistema formado, tomando por base esses dados, é: 1 1 1  x  1436  a) 0 11 6. y   9636 0  1 1  z   144  1 1 1  x  1436 b) 0 11 6. y   1606 0  1 1  z   144  1 1 1  x  9636 c) 0 11 6. y   1436  0  1 1  z   144 

1  1 1  x  9636 d) 0 11 6. y   1436  0  1 1  z   144 

 x  y  z  1436  0 x  11y  6 z  9636 . 0 x  y  z  144  A forma matricial desse sistema é: 1 1 1  x  1436  0 11 6   y   9636 .       0  1 1  z   144 

Questão 13 – UEPA As tabelas 1 e 2 representam respectivamente o consumo anual de queijo por habitante e o preço médio de queijo por ano: Tabela 1 Consumo anual de queijo por habitante em kg Mozzarela Gruyére Raclette Emmental Habitante 2,2 2,0 1,6 1,0 Tabela 2 Preço Médio do queijo no ano de 2007 em reais Mozzarela Gruyére Raclette Emmental Habitante 16 32 36 32 Baseado nas tabelas 1 e 2, consideremos que um habitante A consome ao ano os queijos do tipo: mozzarela, gruyére e emmental e um habitante B

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consome ao ano os queijos do tipo: gruyére, raclette e emmental. Então afirma-se que: a) o habitante A teve um gasto de R$ 121,20. b) o habitante B teve um gasto menor que R$ 150,00. c) a soma dos gastos médios dos habitantes A e B foi de R$ 284,80. d) o habitante A teve um gasto maior que o habitante B. e) a diferença entre os gastos médios dos dois habitantes foi menor que R$ 20,00. Solução • O habitante A consome ao ano os queijos do tipo: mozzarela, gruyére e emmental. M 16  M G E 2,2 2 1 14 G 32  35,2  64  32  131,2 . E 32 41 • O habitante B consome ao ano os queijos do tipo: gruyére, raclette e emmental. G 16  G R E 2 1,6 114  R 32  64  57,6  32  153,6 . E 32 41 Portanto, a soma dos gastos médios é: 131,2 + 153,6 = 284,80. Questão 14 – UEPA A criptografia pode ser compreendida como a arte ou ciência de escrever mensagens em códigos. Para decodificar uma mensagem, utiliza-se a identidade matricial X  A1  B em que as matrizes inversas representam as chaves para essa decodificação. Considerando que Henrique enviou uma mensagem codificada para o seu amigo Norberto, com a seguinte sequência: 1 11 21 –7 15 –15, cuja representação matricial é dada por:  1 21 15   B   11  7  15  Para decodificar a mensagem, Norberto utilizou a seguinte matriz inversa: 1 0   A 1   1 1  Em seguida, traduziu para a língua materna com base na tabela abaixo, que relaciona os elementos da matriz X com o alfabeto do Português brasileiro.

Nessas condições, a mensagem decodificada por Norberto, que obedece à sequência: x11 , x21 , x12 , x22 , x13 , x23 , é: a) PROSEL b) ALAMAR c) ALUNO d) ALUADO e) PRISE Solução  1 21 15   Seja X  A1  B e as matrizes B   11  7  15  1 0   , temos: e A 1   1 1  1 0   1 21 15       X   1 1  22 11  7  15  23

 1 21 15   . X   12 14 0  23 Considerando a tabela do alfabeto, temos: A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W Z Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 A sequência: x11  A , x21  L , x12  U , x22  N , x13  O , x23  * , é: ALUNO.

A B … J K L … V W X Y Z 1 2 … 10 11 12 … 22 23 24 25 26 Fonte: Coleção Explorando o ensino, volume 3. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004.

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