Desarrollo de los problemas de la
VI ONEM OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
Nivel 2 ICEM 2009
INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA VI ONEM 2009 PRIMERA FASE – NIVEL 2
SOLUCIONARIO Elaborado por un equipo de profesores de Matemática José Corimanya Escobedo Juan Mamani Cayani Roberto Choquehuayta Guillén (Responsable Nivel 2) José Choque Rivera Críticas y sugerencias: educamatperu@gmail.com Página Web: www.educamatperu.org
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EDUCAMAT PERÚ OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA (ONEM 2009) Primera Fase – Nivel 2
SOLUCIONARIO
26 de Junio de 2009
01. En un salón de clases de 50 alumnos, 24 no trajeron el libro de comunicación y 28 no trajeron el libro de matemática. Si 14 estudiantes no trajeron el libro de matemática ni el de comunicación, ¿Cuántos estudiantes trajeron solamente un libro? A) 14
B) 28
C) 24
D) 30
E) 20
RESOLUCIÓN:
Usaremos la teoría de conjuntos haciendo un diagrama de Venn. 24 no trajeron el libro de Comunicación x 14 24 x 10 28 no trajeron el libro de Matemática y 14 28 y 14
Los alumnos que trajeron solo un libro: x y 10 14 24 Clave: C_
02.
Raúl reparte su herencia entre sus tres hijas de tal forma que a la primera le toca los 4 3 del total, a la segunda los y a la tercera S/.1800. ¿Cuál fue el total de la herencia? 15 5 A) S/.13500
B) S/.750
C) S/.3000
D) S/.9000
E) S/.15000
RESOLUCIÓN:
Sea “T” el total de la herencia 4 o A la primera: T 15
3 A la segunda: T 5 4 3 T T 1800 T 15 5 13 T 1800 T 15 2 T 1800 15 T 13500
A la tercera: S/. 1800
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Clave: A_
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03. Si m y n son números enteros tales que m n 5 , entonces 2m n no puede ser igual a
A) -5
B) 1
C) -2
D) 2
E) 7
RESOLUCIÓN:
Del dato: m n 5 n 5 m Reemplazamos en la expresión pedida: P 2m n 2m (5 m) 3(m 1) 2 De donde: P 2 3(m 1) múltiplo de 3 Significa que si a la expresión pedida le sumamos 2 unidades se debe obtener un número múltiplo de 3. De las alternativas la única que no cumple con este requisito es D. Clave: D_
04. Omar tiene cierto número de rosas y quiere regalarlas a sus amigas. Si regala 8 rosas a cada una le sobran 15, pero si quisiera regalar 11 rosas a cada una le faltarían 3. ¿Cuántas rosas tiene Omar?
A) 63
B) 61
C) 69
D) 78
E) 55
RESOLUCIÓN:
Sea “x” el número de amigas de Omar Planteamos la ecuación: 8 x 15 11x 3 18 3x x 6
Total de rosas: 8(6) 15 63 rosas
Clave: A_ 05. Dos números son tales que el triple del mayor excede a un tercio del menor en 176; y cinco veces el menor excede a tres octavos del mayor en 216. Halla la diferencia positiva de los números.
A) 36
B) 64
C) 16
D) 24
E) 48
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EDUCAMAT PERÚ RESOLUCIÓN:
Sea “x” el número mayor e “y” el número menor Planteamos un sistema de ecuaciones: o “el triple del mayor excede a un tercio del menor en 176” 1 3x y 176 3 9x y 528 .............. o “cinco veces el menor excede a tres octavos del mayor en 216” 3 5 y x 216 8 40 y 3x 1728 120 y 9x 5184 .............. De “ ” y “ ” obtenemos: 120 y 9x 5184 9x y 528 119 y 5712 y 48
En “ ”
9x 48 528 9x 576 x 64
Finalmente: x y 64 48 16 Clave: C_
06. Sea P x un polinomio tal que:
x .P x 1 P x 2 1 Si P 3 2 , halla el valor de P 5 . A) 6
B) 5
C) – 1
D) 0
E) 4
RESOLUCIÓN:
Hacemos x 2 :
x .P x 1 P x 2 1 2 P 3 P 5 2 2 P 5 4 P 5 Clave: E_
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07. En la siguiente figura calcula el valor de x y
A) 140º
B) 144º
C) 148º
D) 152º
E) 156º
RESOLUCIÓN:
Usamos la propiedad de ángulos internos de un triángulo: 3 3 48 180 3 3 132 44 Luego por la propiedad del ángulo externo en un triángulo: x 48 y 48 x y 96 x y 140
Clave: A_
1 1 1 1 2, 3, 6 Halla 08. Sean a 1 b2 c 3 abc A)
1 10
B)
1 5
C)
2 5
D)
13 6
E)
2 9
RESOLUCIÓN:
Trabajando con los datos: o o o
Luego: a b c 5 1 1 Entonces: 5 abc
1 1 2 a a 1 2 1 5 3 b b2 3 1 17 6 c c 3 6
Clave: B_
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09. Halla el coeficiente del termino de mayor grado del polinomio
3
P x , y x2 y x2 y A) 2
B) 3
C) 4
3
D) 5
E) 6
RESOLUCIÓN:
En el polinomio dado efectuamos los binomios al cubo: P x , y x 6 3 x 4 y 3 x 2 y 2 y 3 x 6 3 x 4 y 3x 2 y 2 y 3 P x , y 6 x 4 y 2 y3
Entonces el coeficiente del término de mayor grado es 6
Clave: E_
10. Los segmentos L1 y L2 son paralelos entre sí, y los segmentos L3 y L4 también son paralelos entre sí. Halla el valor de x y .
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
RESOLUCIÓN:
Aprovechando la presencia de rectas paralelas emplearemos el Teorema de Thales: x 3 x 6 2 1 x y 6 y y 12 2 4 2 4 Por lo tanto: x y 6 12 18 Clave: D_
11. Si p y q son números primos tales que p q2 102 , halla p q
A) 82
B) 60
C) 62
D) 96
E) 94
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RESOLUCIÓN:
De la expresión: p q2 102 , “q” sólo puede ser un número primo menor que 10, estos son 2, 3, 5, 7; y para alguno de estos valores “p” también será primo: o Si q 2 entonces: p 102 22 98 No es primo o Si q 3 entonces. p 102 32 93 No es primo o Si q 5 entonces. p 102 52 77 No es primo o Si q 7 entonces. p 102 72 53 Si es primo De modo que: p 53 y q 7 Como nos pide: p q 53 7 60 Clave: B_
12. Simplifica: 7
A) 2
B)
3 2
C)
46 69 94 99 66 44
4 3
D)
2 3
E) 1
RESOLUCIÓN:
Usamos la Teoría de exponentes: 7
46 69 94 7 42.63 7 24.23.33 7 27 2 7 99 66 44 95 310 3 3
13. La suma de 42 enteros consecutivos siempre es
Clave: D_
A) Múltiplo de 42 B) Múltiplo de 6 C) Múltiplo de 7, pero no de 3 D) Múltiplo de 43 E) Múltiplo de 21, pero no de 2 RESOLUCIÓN:
Calculamos la suma S de los 42 enteros consecutivos: S x 1 x 2 x 3 . . . . . . . x 42 42 43 2 S 42x 21 43 S 42x
S 21 2x 43
Esto significa que la suma S siempre es múltiplo de 21 pero no de 2. Clave: E_
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14. Juan es un comerciante que viaja exactamente dos veces por semana; él puede escoger los días en los que va a viajar. Si Juan viaja un lunes ya no viaja el martes, y además, por cuestiones personales, nunca viaja un sábado. ¿De cuantas formas puede escoger sus días de viaje en una semana determinada?
A) 4
B) 8
C) 10
D) 14
E) 18
RESOLUCIÓN:
Si el primer día que viaja es lunes, tiene 4 opciones para el segundo día de viaje.
Si el primer día que viaja no es lunes, entonces quedan 5 días entre los cuales debe escoger 2, de modo que habría que calcular: 5! 5 4 3! 5 C 2 2! 3! 2 1 3! 10 Finalmente, Juan puede escoger 4 10 14 formas de realizar su viaje.
Clave: D_ 15. Halla la suma de todos los valores reales que puede tomar x en la siguiente ecuación: x 3 x 2 33 32 x 1 31
A) 1
B) 3
C) –1
D) 0
E) 6
RESOLUCIÓN:
Se observa que: x 1 0 x 1 Realizamos las operaciones respectivas: x 3 x 2 36 9 x 1 4 x 2 x 1 9 x 1 x 2 x 1 9 x 1 0
x 1 x 2 9 0 x 1 x 3 x 3 0
Luego: x 3 x 3 La suma de sus soluciones es cero. Clave: D_
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16. Se dan dos números naturales a y b de modo que ninguno de ellos es múltiplo de 10. Si el producto de a y b es una potencia de 10 y a b , entonces el ultimo digito de a b no puede ser
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
RESOLUCIÓN:
Por dato: a b 10n 5n 2n y como a b entonces: a 5n b 2n , ya que ninguno de ellos es múltiplo de 10. Al evaluar: a b 5n 2n , sabemos que toda potencia de 5 termina en 5 y toda potencia de 2 nunca termina en cero. De modo que dicha diferencia: a b jamás puede terminar en 5 Clave: C_
17. La moneda de un país lejano es el peso y hay monedas de 4 pesos, 1 peso y medio peso. María lleva al banco 54 monedas que hacen un total de 200 pesos. ¿Cuánto dinero llevó María al banco en monedas de 4 pesos?
A) 156
B) 200
C) 188
D) 192
E) 196
RESOLUCIÓN:
Sean: o o o De los datos: o
x: Nro de monedas de 4 pesos y: Nro de monedas de 1 peso z: Nro de monedas de medio peso
x y z 54 8 x 8 y 8z 432 ( ) 1 o 4 x y z 200 8 x 2 y z 400 ( ) 2 Calculamos ( ) () , obteniendo: o 6 y 7z 32 Estamos frente a una ecuación diofántica, en la que se observa que la suma de un múltiplo de 6 con un múltiplo de 7 nos debe dar 32, los únicos valores que cumplen son 18 y 14, de modo que: o 6 y 7 z 6(3) 7(2) 18 14 32 3
2
o Por lo tanto: y 3 z 2 Ahora calculamos el valor de x: x 3 2 54 x 49 El dinero que llevó María al banco en monedas de 4 pesos es 4(49)=196 pesos Clave: E_
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18. En el tablero mostrado se continúan colocando enteros positivos según la siguiente regla: Si en una fila están escritos los números a , b, c entonces en la siguiente fila se
escribe los números b 1, c 1, a 1 . En la primera fila están escritos los números
1,2,3 y para las otras filas se aplica la regla
¿Cuál es el número que se ubica en el centro de la fila 2009? A) 2009
B) 2010
C) 2011
D) 2012
E) 2013
RESOLUCIÓN:
Luego de aumentar algunas filas, se observa que cada tres filas los tres números aparecen en orden creciente, siendo el primero de ellos un múltiplo de 3 más 1, que además coincide con el número de la fila.
El número que se ubica en el centro de la fila 2009 es el 2011
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Clave: C_
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19. En cada una de las casillas del siguiente tablero de 3 3 se escribe un numero real. Se sabe que el producto de los tres números de cualquier fila o de cualquier columna es igual a 4. Además, el producto de los cuatro números de cualquier subtablero de 2 2 es igual a 8. Calcula la suma de los 9 números escritos en el tablero.
A) 16
B) 18
C) 10
D)
25 2
E)
25 4
RESOLUCIÓN:
Sean los valores distribuidos en el tablero:
Multiplicar los cuatro subtableros 2 2 de las esquinas equivale a multiplicar: las tres filas, la fila central, la columna central y todo ello por e, de modo que: 84 43 4 4 e Entonces: e 4 Además multiplicar los dos subtableros superiores equivale a multiplicar las dos filas superiores por b y e, así: 82 4 4 b e Entonces: b 1 Análogamente ocurre para d, f y h. En el subtablero superior izquierdo el producto de los cuatro números es 8 a bd e 8 Entonces: a 1 De forma análoga para c, g e i. Finalmente el tablero queda así:
Entonces la suma de los 9 números escritos en el tablero es 16.
Clave: A_
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20. Los números reales a , b, c son tales que a b c 6 y
Halla
a b c 1 ab bc c a
bc ca ab ab bc c a
A) 0
B) 1
C) 6
D) 36
RESOLUCIÓN:
E)
1 6
La expresión: a b c b c a 1 se puede escribir: 1 1 1 1 ab bc c a ab bc c a b c a De donde: 2 ab bc c a En esta última expresión multiplicamos ambos miembros por: a b c c a b a b b c c a a b c 2 a b c b a b c c a b c a a b c 2 6 ab bc c a Que también se puede descomponer así: bc ca ab b c a 12 ab bc c a bc ca ab Finalmente: 6 ab bc c a Clave: C_
CLAVE DE RESPUESTAS Nro Clave
Nro Clave
1.
C
11.
B
2.
A
12.
D
3.
D
13.
E
4.
A
14.
D
5.
C
15.
D
6.
E
16.
C
7.
A
17.
E
8.
B
18.
C
9.
E
19.
A
10.
D
20.
C
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