3gl_mathimatika_thetikis_texnologikis_biblio by Andreas Georgiou

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Α ν δ ρ ε α δ ά κ η ς Στυλιανός

• Κ α θ η γ η τ ή ς Πανεπιστημίου Αθηνών

Κ α τ σ α ρ γ ύ ρ η ς Βασίλειος

• Κ α θ η γ η τ ή ς Β/θμιας Ε κ π α ί δ ε υ σ η ς

Μέτης Στέφανος

• Κ α θ η γ η τ ή ς Β/θμιας Ε κ π α ί δ ε υ σ η ς

Μπρουχούτας Κων/νος

• Κ α θ η γ η τ ή ς Β/θμιας Ε κ π α ί δ ε υ σ η ς

Π α π α σ τ α υ ρ ί δ η ς Σταύρος

• Κ α θ η γ η τ ή ς Πανεπιστημίου Αθηνών

Πολύζος Γ ε ώ ρ γ ι ο ς

• Κ α θ η γ η τ ή ς Β/θμιας Ε κ π α ί δ ε υ σ η ς

ΙΣΤΟΡΙΚΑ

ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ • Κ α θ η γ η τ ή ς Β/θμιας Ε κ π α ί δ ε υ σ η ς

Θωμαΐδης Ιωάννης

ΟΜΑΔΑ

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

Α ν δ ρ ε α δ ά κ η ς Στυλιανός Κ α τ σ α ρ γ ύ ρ η ς Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Πολύζος Γ ε ώ ρ γ ι ο ς

Ε Π Ο Π Τ Ε Ι Α ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Τ Ο Υ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Υ Ι Ν Σ Τ Ι Τ Ο Υ Τ Ο Υ Αδαμόπουλος Λεωνίδας

Δακτυλογράφηση: Σχήματα:

• Επίτιμος Σύμβουλος του Π.Ι.

Γαρδέρη Ρόζα Μ π ο ύ τ σ ι κ α ς Μιχάλης

Υ Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Ε Θ Ν Ι Κ Η Σ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής

Πανεπιστημίου

Αθηνών

Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής

Β/θμιας

εκπαίδευσης

Μέτης Στέφανος Καθηγητής

Β/θμιας

εκπαίδευσης

Μπρουχούτας Κων/νος Καθηγητής

Β/θμιας

εκπαίδευσης

Παπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής

Πανεπιστημίου

Αθηνών

Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Β/θμιας

εκπαίδευσης

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη των Μαθηματικών, όπως προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ' τάξης του Ενιαίου Λυκείου. Το βιβλίο αυτό προήλθε από αναμόρφωση του βιβλίου των Μ α θ η μ α τ ι κ ώ ν της 2ης και της 4ης δέσμης της Γ ' τάξης του Γενικού Λυκείου και αποτελείται από δύο μέρη. • Το π ρ ώ τ ο μέρος, που φέρει τον τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, αποτελείται από δυο κεφάλαια. — Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στη Θεωρία των Πινάκων, η οποία μεταξύ άλλων είναι ένα εργαλείο για τη μελέτη των Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ώ ν Μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ώ ν και των Γραμμικών Συστημάτων, τα οποία μελετώνται στο ίδιο κεφάλαιο. — Το δεύτερο κεφάλαιο εισάγει στους Μιγαδικούς· Αριθμούς, οι οποίοι είναι π ρ ο έ κ τ α σ η των Π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν Αριθμών. Οι Μιγαδικοί Αριθμοί α ν α κ α λ ύ φ θ η κ α ν την περίοδο της Α ν α γ έ ν ν η σ η ς στην προσπάθεια επίλυσης ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν τρίτου βαθμού. Ό μ ω ς , στους αιώνες που ακολούθησαν αποδείχτηκε η μεγάλη σ η μ α σ ί α τους γ ι α π ά ρ α πολλά π ρ ο β λ ή μ α τ α της μαθηματικής ε π ι σ τ ή μ η ς και των εφαρμογ ώ ν της. Το κεφάλαιο αυτό έχει ληφθεί από το βιβλίο των Μ α θ η μ α τ ι κ ώ ν Θετικής Κ α τ ε ύ θυνσης Β ' τ ά ξ η ς Ενιαίου Λυκείου των συγγραφέων: Αδαμόπουλου Α., Βισκαδουράκη Β., Γ α β α λ ά Δ., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α. • Το δεύτερο μέρος, που φέρει τον τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, αποτελείται από τρία κεφάλαια. — Το π ρ ώ τ ο κεφάλαιο σηματοδοτεί ένα νέο ξεκίνημα. Είναι το π έ ρ α σ μ α από τις π ε π ε ρ α σ μ έ ν ε ς πράξεις στις «άπειρες διαδικασίες». Τ α σπέρματα της έννοιας του ορίου υπάρχουν α σ φ α λ ώ ς με πολύ σαφή και συγκεκριμένο τρόπο στα γραπ τ ά του Αρχιμήδη. Η ανάπτυξη, όμως, αυτής της έννοιας έγινε στα χρόνια της Α ν α γ έ ν ν η σ η ς και έκτοτε κατέχει κεντρική θέση στον κόσμο των μαθηματικών εννοιών. Κ α τ ' αρχάς στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται βασικές - και ήδη γ ν ω σ τ έ ς στους μαθητές - έννοιες των συναρτήσεων, καθώς και μερικές ακόμη βασικές έννοιες της Ανάλυσης. Στη συνέχεια εισάγεται η έννοια του ορίου στο , η έννοια του ορίου στο και στο και δίνονται οι πιο χαρακτηριστικές ιδιότ η τ έ ς του. Τέλος, δίνεται η έννοια της συνέχειας μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς και παρουσιάζονται οι βασικότερες ιδιότητες της. — Στο δεύτερο και τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι έννοιες της π α ρ α γ ώ γ ο υ και του ολοκληρώματος αντιστοίχως και γίνεται χρήση των εννοιών αυτών σε

πολλές εφαρμογές. Η π α ρ ά γ ω γ ο ς και το ολοκλήρωμα είναι κατά κάποιο τρόπο οι δύο διαφορετικές όψεις του ίδιου νομίσματος. Σε μια έκφρασή τους είναι η κλίση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς και το εμβαδόν, σε άλλη η τ α χ ύ τ η τ α και το μήκος της τροχιάς ενός κινητού κτλ. Α υ τ ό το βιβλίο ως ανθρώπινο δημιούργημα δεν είναι τέλειο. Ο μόνος τρόπος για ν α έχουμε στα σχολεία μας ύ σ τ ε ρ α από μερικά χρόνια ένα καλύτερο μέσο διδασκαλίας είναι ο νηφάλιος και ελεύθερος διάλογος, τον οποίο η επιστημονική παράδοση έχει καθιερώσει για αιώνες τώρα. Γ ι ' αυτό το λόγο η συγγραφική ομάδα με ιδιαίτερη ικανοποίηση θα δέχεται σχόλια και π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς για το βιβλίο από οποιονδήποτε - συνάδελφο, μαθητή ή άλλο πολίτη - ενδιαφέρεται για τα ζητήματα της παιδείας. Τα σχόλια και οι π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς μπορούν ν α αποστέλλονται στο Π α ι δ α γ ω γ ι κ ό Ινστιτούτο, Μ ε σ ο γ ε ί ω ν 396, 153 10 Αγία Παρασκευή.

Οι Σ υ γ γ ρ α φ ε ί ς

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ A' ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Πίνακες

- Γραμμικά

Συστήματα

Η έννοια του πίνακα Πρόσθεση πινάκων - Πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα Πολλαπλασιασμός πινάκων Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Η έννοια του γραμμικού συστήματος Επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss Επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο των οριζουσών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

1ο:

(ΑΛΓΕΒΡΑ)

2ο: Μιγαδικοί

Β' ΜΕΡΟΣ Ιο:

Όριο

11 16 24 37 50 52 63

Αριθμοί 85 88 97 102 112

Η Εννοια του Μιγαδικού Αριθμού των Μιγαδικών Πράξεις στο Σύνολο Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού Πολυωνυμικές Εξισώσεις στο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Σελ.

- συνέχεια

(ΑΝΑΛΥΣΗ) συνάρτησης

Σελ.

1.1 1.2 1.3 1.4

Πραγματικοί Αριθμοί Συναρτήσεις Μονότονες συναρτήσεις Όριο συνάρτησης στο

1.5 1.6

Ιδιότητες των ορίων Μη πεπερασμένο όριο στο

165 176

1.7 1.8

Όριο συνάρτησης στο άπειρο Συνέχεια συνάρτησης

182 188

- Αντίστροφη

συνάρτηση

129 132 148 157

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

2ο:

Διαφορικός

Λογισμός

Η έννοια της παραγώγου Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση Κανόνες παραγώγισης Ρυθμός μεταβολής Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Τοπικά ακρότατα συνάρτησης Κυρτότητα - σημεία καμπής συνάρτησης Ασύμπτωτες - Κανόνες De L ' Hospital Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3ο:

Ολοκληρωτικός

209 222 229 241 245 250 258 272 279 287

Λογισμός

3.1 3.2 3.3 3.4

Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης Διαφορικές εξισώσεις Ορισμένο ολοκλήρωμα

303 309 318 326

3.5

333

3.6 3. 7

Θεώρημα Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Εμβαδόν επιπέδου χωρίου

συνάρτηση

Υ Π Ο Δ Ε Ι Ξ Ε Ι Σ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Λογισμού

ΑΣΚΗΣΕΩΝ

340 342 365

ΑΛΓΕΒΡΑ A' ΜΕΡΟΣ

1 1.1

ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ

Γενικά Τ έ σ σ ε ρ α εργοστάσια π α ρ α γ ω γ ή ς αυτοκινήτων Α, Β, Γ και Δ δίνουν για το τελευταίο μοντέλο τους ως προς πέντε τεχνικά χαρακτηριστικά τις εξής πληροφορίες: Εργοστάσιο Α: Ι σ χ ύ ς 97 DIN. χρόνος για τη μεταβολή της τ α χ ύ τ η τ α ς από 0-100 km/h 10,7 sec, τελική τ α χ ύ τ η τ α 180 km/h, κ α τ α ν ά λ ω σ η στην πόλη ανά 100 km 9,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 10. Εργοστάσιο Β: Ισχύς 100 DIN, χρόνος για τη μεταβολή της τ α χ ύ τ η τ α ς από 0100 km/h 12,9 sec, τελική τ α χ ύ τ η τ α 191 km/h, κ α τ α ν ά λ ω σ η στην πόλη ανά 100 km 11 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 11. Ε ρ γ ο σ τ ά σ ι ο Γ: Ι σ χ ύ ς 45 DIN, χρόνος για τη μεταβολή της τ α χ ύ τ η τ α ς από 0-100 km/h 17,9 sec, τελική τ α χ ύ τ η τ α 140 km/h, κ α τ α ν ά λ ω σ η στην πόλη ανά 100 km, 7,1 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 6. Ε ρ γ ο σ τ ά σ ι ο Δ: Ι σ χ ύ ς 174 DIN, χρόνος για τη μεταβολή της τ α χ ύ τ η τ α ς από 0100 k m / h 7,6 sec, τελική τ α χ ύ τ η τ α 225 km/h, κ α τ α ν ά λ ω σ η στην πόλη ανά 100 km 12,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 20. Τις πληροφορίες αυτές μπορούμε ν α τις παρουσιάσουμε πιο ο ρ γ α ν ω μ έ ν α ως εξής: Τεχνικά Χαρακτηρ.

Ισχύς DIN

Εργοστάσιο

Α Β Γ Δ

97 100 45 174

Χρόνος για τη μεταβολή της ταχύτητας από 0-100 km/h

Τελική Ταχύτητα km/h

Κατανάλωση στην πόλη lit ανά 100 km

10,7 12,9 17,9 7,6

180 191 140 225

9,5 11 7,1 12,5

Φορολογήσι μοι ίπποι

10 11 6 20

Τ α αριθμητικά δεδομένα της ορθογώνιας αυτής διάταξης, κλεισμένα μέσα σε αγκύλες.

λέμε ότι σχηματίζουν έναν πίνακα με 4 γραμμές και 5 στήλες ή, συντομότερα. έναν π ί ν α κ α τύπου 4 x 5 ή ακόμα έναν 4 x 5 πίνακα. Έ σ τ ω το σ ύ σ τ η μ α

Το σ ύ σ τ η μ α αυτό θα μπορούσε ν α παρασταθεί ως εξής:

Συντελεστής του

x του

y του

z του ω

σταθ. όρος

Εξίσωση 1η 2η 3η

1 5 0

-3 0 1

2 -2 -7

-1 1 3

1 2 3

Έ τ σ ι οι σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς των α γ ν ώ σ τ ω ν σχηματίζουν τον 3 x 4 πίνακα

και οι συντελεστές των α γ ν ώ σ τ ω ν μαζί με τους σταθερούς όρους τον 3 x 5 πίνακα

Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια διάταξη μ·ν

το πλήθος αριθμών σε μορφή ορθογωνίου σ χ ή μ α τ ο ς με μ

γ ρ α μ μ έ ς και ν στήλες, λέγεται πίνακας τύπου μxν κας.

ή απλούστερα μxν

πίνα-

Τους πίνακες τους συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γ ρ ά μ μ α τ α Α, Β, Γ

κτλ.

Οι αριθμοί με τους οποίους σχηματίζουμε έναν π ί ν α κ α λέγονται στοιχεία του πίνακα. Το στοιχείο ενός μxν π ί ν α κ α Α που ανήκει στην i - γ ρ α μ μ ή και j-στήλη συμβολίζεται με Έ τ σ ι ο μxν

αij. πίνακας A γράφεται:

ή συντομογραφικά έχει στοιχεία

Για παράδειγμα, ο 2 x 2 πίνακας και

. Ε π ο μ έ ν ω ς , ο πίνακας

αυτός

γράφεται Η ισότητα μεταξύ των πινάκων ορίζεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο πίνακες Α,Β λέμε ότι είναι ίσοι, όταν έχουν τον ίδιο αριθμό γ ρ α μ μ ώ ν , τον ίδιο αριθμό στηλών (δηλαδή αν είναι του ίδιου τύπου) και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα. Για ν α δηλώσουμε ότι δύο πίνακες είναι ίσοι γράφουμε Α = Β Από τον ορισμό αυτό προκύπτει ότι δύο πίνακες διαφορετικού τύπου δεν μπορεί ν α είναι ίσοι. Αν ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γ ρ α μ μ ώ ν και στηλών, δηλαδή είναι τ ύ π ο υ για κάποιο Τ α στοιχεία

, τότε ο πίνακας αυτός λέγεται τετραγωνικός πίνακας. ενός τετραγωνικού π ί ν α κ α Α, λέμε ότι σ χ η μ α τ ί -

ζουν την κύρια διαγώνιο του Α Αν τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα Α που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο είναι όλα 0, τότε ο Α λέγεται διαγώνιος πίνακας. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , οι πίνακες: ,

είναι διαγώνιοι πίνακες.

Έ ν α ς πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή, όπως ο

γ ρ α μ μ ή , ενω ενας πίνακας που έχει μία μόνο στήλη, όπως ο

κ α ς σ τ ή λ η . Έ ν α ς πίνακας που έχει ένα μόνο στοιχείο, όπως ο

λέγεται πίνακας λέγεται πίναλέγεται πί-

ν α κ α ς στοιχείο. Τέλος, ένας τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ ό ς πίνακας λέγεται τ ρ ι γ ω ν ι κ ό ς άνω, όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά και τ ρ ι γ ω ν ι κ ό ς κ ά τ ω , όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται π ά ν ω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , οι πίνακες

είναι τριγωνικοί άνω, ενώ οι πίνακες

είναι τριγωνικοί κάτω.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Το δ ι π λ α ν ό σ χ ή μ α π α ρ ι σ τ ά ν ε ι το ο δ ι κ ό δ ί κ τ υ ο που σ υ ν δ έ ε ι τ ι ς π ό λ ε ι ς Α,Β,Γ, Δ και Ε. Να π α ρ α σ τ α θ ε ί το δ ί κ τ υ ο α υ τ ό με έναν π ί ν α κ α τ ο υ οποίου κ ά θ ε στοιχείο να φ α ν ε ρ ώ νει το π λ ή θ ο ς τ ω ν δ υ ν α τ ώ ν τ ρ ό π ω ν μ ε τ ά β α σ η ς από π ό λ η σε π ό λ η , (όχι ο π ω σ δ ή π ο τ ε δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ή π ό λ η ) , α φ ο ύ π ρ ο η γ ο υ μ έ ν ω ς περ ά σ ο υ μ ε από μία μόνο π ό λ η , π.χ. ΑΒΑ κ τ λ . ΛΥΣΗ Από την πόλη Α στην Α υπάρχουν 3 τρόποι: ΑΒΑ , ΑΔΑ , ΑΕΑ , από την Α στην Β δεν υπάρχει τρόπος, αφού πρέπει ν α περάσουμε από μία μόνο πόλη, από την Α στην Γ υπάρχουν 2 τρόποι ΑΔΓ . ΑΒΓ, από την Α στη Δ υπάρχει ένας τρόπος ΑΕΔ, από την Α στην Ε υπάρχει 1 τρόπος ΑΔΕ κτλ.

Έ τ σ ι το οδικό δίκτυο μπορεί ν α παρασταθεί με τον π ί ν α κ α διπλής εισόδου.

ή απλά με τον 5 x 5 πίνακα

2 . Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές των

για τις οποίες ισχύουν:

ΛΥΣΗ i) Η ισότητα

ισχύει, αν και μόνο αν σ υ ν α λ η θ ε ύ -

ουν οι ισότητες

Η τρίτη ισότητα αληθεύει για

Η τιμή αυτή του x επαληθεύει και τις άλ-

λες δύο ισότητες. Επομένως, οι π α ρ α π ά ν ω ισότητες συναληθεύουν για

ii)Η ισότητα

ισχύει, αν και μόνο αν συναλη-

θεύουν οι ισότητες

Η δεύτερη και τρίτη ισότητα γράφονται

και π ρ ο φ α ν ώ ς δεν συναλη-

θεύουν για καμία τιμή των x και y. Επομένως, δεν υπάρχουν τιμές των x,y γ ι α τις οποίες οι πίνακες αυτοί ν α είναι ίσοι.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α 1.

Ο Μ Δ,ΔΑΣ

0 διπλανός πίνακας δείχνει για τρεις ο μ ά δ ε ς ποδοσφαίρου τους αγώνες Α, τις ν ί κ ε ς Ν, τις ή τ τ ε ς Η. τις ισοπαλίες /, τ α τ έ ρ μ α τ α Ε που πέτυχε η ομάδα, τα τ έ ρ μ α τ α Δ που δέχτηκε η ομάδα και τους βαθμούς Β που έχει. Αν είναι ο πίνακας αυτός, τότε ν α βρείτε: ί) Ποιος είναι ο τύπος του πίνακα ίί) Ποιες πληροφορίες μας δίνουν τα στοιχείο

Δίνεται συντομογραφικά ο 4 x 4

και

πίνακας

όπου

Ν α π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε τον π ί ν α κ α αυτόν, αφού βρείτε τα στοιχεία του. 3.

Ν α βρείτε τα χ, ν για τα οποία ισχύει

4. Για ποια τιμή του θετικού αριθμού χ ο πίνακας είναι διαγώνιος. 5.

1.2

Να βρεθούν οι τιμές των

για τις οποίες ισχύει:

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ

Πρόσθεση

ΜΕ

ΠΙΝΑΚΑ

πινάκων

Μ ί α εταιρεία πουλάει τηλεοράσεις, ψυγεία, κουζίνες και πλυντήρια σε Αθήνα, Θεσσαλονίκη και Πάτρα. Οι πωλήσεις τους μήνες Σεπτέμβριο και Οκτώβριο π α ρ ο υ σ ί α σ α ν την εξής κίνηση:

Αθήνα 18 12 9 14

Τηλεοράσεις Ψυγεία Κουζίνες Πλυντήρια

Σεπτέμβριος Θεσ/κη Πάτρα 16 13 9 10 8 11 12 10

Αθήνα 20 15 13 17

Οκτώβριος Θεσ/κη Πάτρα 18 15 13 12 10 10 16 8

Ε π ο μ έ ν ω ς , τους δυο αυτούς μήνες οι συνολικές πωλήσεις της εταιρείας ήταν οι εξής: Αθήνα

Θεσ/νίκη

Τηλεοράσεις

(18 + 20)

(16 + 18)

(13 + 15)

Ψυγεία

(12 + 15)

(10 + 13)

( 9 + 12)

Κουζίνες

( 9 + 13) (14 + 17)

(11 + 10)

( 8 + 10)

(12 + 16)

(10 + 8)

Πλυντήρια

Πάτρα

Αν τ ώ ρ α θεωρήσουμε τους πίνακες των π α ρ α π ά ν ω π ω λ ή σ ε ω ν έχουμε:

Για το Σεπτέμβριο:

Για τον Οκτώβριο:

και για τις συνολικές πωλήσεις:

Ο πίνακας Γ λέγεται ά θ ρ ο ι σ μ α των πινάκων Α και Β και συμβολίζεται Α + Β. δηλαδή Γ = Α + Β. Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

με

ΟΡΙΣΜΟΣ Άθροισμα δυο

μxν

πινάκων

και

λέγεται ο μ x ν

πίνακας

του οποίου κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων τ ω ν Α και Β. Ο πίνακας αυτός συμβολίζεται με Α + Β. Δηλαδή,

Δεν ορίζουμε άθροισμα πινάκων διαφορετικού τύπου.

και

Για παράδειγμα, οι πίνακες

που είναι

του ίδιου τύπου 3 x 3 , με βάση τον παραπάνω ορισμό, μπορούν ν α προστεθούν και το άθροισμα τους είναι

που δεν είναι του ίδιου τύ-

και

ενώ οι πίνακες

που δεν μπορούν να προστεθούν. Η πράξη με την οποία βρίσκουμε το άθροισμα δύο πινάκων λέγεται π ρ ό σ θ ε ση πινάκων.

Ιδιότητες της πρόσθεσης των πινάκων Η πρόσθεση των πινάκων έχει ιδιότητες ανάλογες με την πρόσθεση των πραγματικών αριθμών. Συγκεκριμένα: • Αν Α,Β,Γ

είναι μxν

πίνακες, τότε

Α+Β = Β + Α Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ

•

Αν

είναι ο μxν

κάθε μxν

Ο πίνακας

αντιμεταθετική προσεταιριστική

πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν, τότε για

πίνακα Α ισχύει

λέγεται μ η δ ε ν ι κ ό ς π ί ν α κ α ς .

Για παράδειγμα, οι πίνακες

είναι μηδενικοί.

• Αν με -Α συμβολίσουμε τον πίνακα του οποίου όλα τα στοιχεία είναι αντίθετα των αντίστοιχων στοιχείων ενός πίνακα Α, τότε ισχύει

Ο πίνακας -Α λέγεται α ν τ ί θ ε τ ο ς του π ί ν α κ α Α.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

ο αντίθετος του

πίνακα

είναι ο π ί ν α κ α ς

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει ν α γ ρ ά φ ο υ μ ε Α + Β + Γ για κ α θ έ ν α από τα ίσα αθροίσματα Α + (Β + Γ), (Α + Β) + Γ. Ομοίως, αν Α,Β,Γ,Δ είναι πίν α κ ε ς του ίδιου τύπου, τότε έχουμε: [(Α + Β) + Γ] + Δ = (Α + Β) + (Γ + Δ) = [Α + (Β + Γ)] + Δ = Α + [Β + (Γ + Δ)] = Α + [(Β + Γ) + Δ] = [(Β + Α) + Γ] + Δ κτλ. και επομένως, μπορούμε ν α γράφουμε Α + Β + Γ + Δ για καθένα από τα αθροίσ μ α τ α αυτά. Γενικά, επειδή ισχύει η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα, μπορεί ν α αποδειχθεί ότι το άθροισμα τριών ή π ε ρ ι σ σ ο τ έ ρ ω ν π ι ν ά κ ω ν είναι το ίδιο κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν εκτελεστεί η π ρ ό σ θ ε ση και συμβολίζεται με

Αφαίρεση

πινάκων

Όπως και στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, έτσι και στους πίνακες η αφαίρεση ορίζεται με τη βοήθεια της πρόσθεσης. Συγκεκριμένα, αν Α, Β είναι δύο μxν

πίνακες, τότε η διαφορά Α-Β Α-Β

ορίζεται ως εξής: Α+(-Β)

και

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν

, τότε

Δηλαδή, ο πίνακας Α - Β προκύπτει με αφαίρεση των στοιχείων του Β από τα αντίστοιχα στοιχεία του Α. Από τους π α ρ α π ά ν ω ορισμούς της πρόσθεσης και της αφαίρεσης προκύπτει ότι:

Πράγματι: — Αν Χ + Β = Α, τότε Χ+Β-Β=Α-Β, — Αν Χ = Α-Β,

τ ό τ ε Χ + Β = Α-Β

Πολλαπλασιασμός

οπότε Χ = Α-Β,

ενώ

+ Β, ο π ό τ ε Χ + Β = Α.

αριθμού με πίνακα

Ο παρακάτω πίνακας Α περιγράφει τις τιμές πώλησης σε ευρώ τριών ηλεκτρικών ειδών μιας βιομηχανίας σε δυο υποκαταστήματα.

Αν κατά την περίοδο των εκπτώσεων, ο βιομήχανος προτίθεται να κάνει έκπτωση 2 0 % στα προϊόντα του, τότε πρέπει να διαμορφώσει τις νέες τιμές στο 8 0 % των προηγουμένων. Οι νέες τιμές πώλησης θα προκύψουν αν πολλαπλασιάσουμε τις παλιές τιμές με 0,8, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Ο πίνακας Β λέγεται γινόμενο του αριθμού 0,8 με τον πίνακα Α και συμβολίζεται με 0,8 · Α, δηλαδή είναι Β = 0,8Α. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με έναν πίνακα

, λέγεται ο

π ί ν α κ α ς που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ.. Ο πίν α κ α ς αυτός συμβολίζεται με λ·Α ή λΑ. Δηλαδή,

Η πράξη με την οποία βρίσκουμε το γινόμενο αριθμού με π ί ν α κ α λέγεται

λαπλασιασμός Για

αριθμού

παράδειγμα,

το

με

γινόμενο

πολ-

πίνακα.

του

αριθμού

λ = -3

με

τον

πίνακα

είναι ο πίνακας:

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού Αν Α,Β

είναι μxν

αριθμού με πίνακα

πίνακες και κ, λ πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι πα-

ρ α κ ά τ ω ιδιότητες, που είναι άμεση συνέπεια του ορισμού:

Επιπλέον, ισχύει η ισοδυναμία:

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να βρεθεί ο πίνακας Χ για τον οποίο ισχύει:

(Μια τέτοια ισότητα είναι μια εξίσωση

με

πίνακες).

ΛΥΣΗ Έχουμε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1.

Σε καθεμιά από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπτώσεις, ν α βρείτε το άθροισμα Α + Β και την διαφορά Α - Β , εφόσον φυσικά ορίζονται: , i) ,

ii)

iii) ,

iv) ,

ν)

2. Αν είναι

και

ν α βρείτε το άθροισμα A 1 + A 2 + A 3 + A4. 3.

Να βρείτε τα x , y , ω για τα οποία ισχύει η ισότητα:

Ν α κάνετε τις πράξεις. i)

ii)

iii)

Αν

i) 2Α 6.

και

ii) 2(-3A)

, ν α βρείτε τους πίνακες:

iii) 5Β-2Α

Να λύσετε τις εξισώσεις: i)

ii)

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα

iv)

είναι ένας διαγώνιος πίνακας.

Αν

, ν α βρείτε τις τιμές των α,β,γ,δ

και

ώστε ν α ισχύει:

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ 1.

Να βρείτε τα x,y για τα οποία ισχύει:

ii)

Ν α βρείτε τους πίνακες Χ,Υ

για τους οποίους ισχύει: και

Αν

και

, ν α λύσετε την ε ξ ί σ ω σ η

4. Μια βιομηχανία που κατασκευάζει τηλεοράσεις, βίντεο και φωτογραφικές μηχανές έχει δύο εργοστάσια παραγωγής Π1 και Π 2 . Το κόστος παραγωγής ανά συσκευή δίνεται σε δεκάδες ευρώ στους παρακάτω πίνακες.

Να βρείτε τον πίνακα 5.

και να εξηγήσετε τι εκφράζει.

Μ ι α βιομηχανία έχει τ έ σ σ ε ρ α εργοστάσια π α ρ α γ ω γ ή ς

και

Π4, καθένα από τα οποία παράγει δύο προϊόντα E1 και E2. Το η μ ε ρήσιο επίπεδο π α ρ α γ ω γ ή ς σε μονάδες προϊόντων δίνεται στον επόμενο πίνακα:

i) Ν α βρείτε το η μ ε ρ ή σ ι ο επίπεδο παραγωγής, αν αυτή αυξηθεί κατά 10%. ii) Ν α βρείτε το σύνολο της π α ρ α γ ω γ ή ς ανά προϊόν σε 5 μήνες, αν υποτεθεί ότι τα εργοστάσια δούλεψαν 2 μήνες με το π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ο επίπεδο και 3 μήνες με το νέο επίπεδο π α ρ α γ ω γ ή ς (1 μήνας = 30 μέρες).

1.3

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

ΠΙΝΑΚΩΝ

Ορισμός του γινομένου δύο πινάκων Ας υ π ο θ έ σ ο υ μ ε ότι για την κατασκευή δύο ειδών γ λ υ κ ι σ μ ά τ ω ν Γ1 και Γ2 χρειαζόμαστε τα υλικά σε kg που φαίνονται στον π α ρ α κ ά τ ω 2 x 3 πίνακα:

Έ σ τ ω επίσης ότι το κόστος σε ευρώ των υλικών αυτών ανά κιλό, για τα έτη 2001 και 2002, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας:

Για να βρούμε το κόστος σε ευρώ των υλικών του γλυκίσματος Γ1 πολλαπλασιάζουμε τις ποσότητες των υλικών με τις αντίστοιχες τιμές και προσθέτουμε τα γινόμενα αυτά. Δηλαδή το κόστος του Γ1 το 2001 ήταν 1,2·1+0,6·0,8+0,3·3=2,58 Η παραπάνω διαδικασία περιγράφεται με τη βοήθεια των πινάκων ως εξής:

1x1 πίνακας [ 2 , 5 8 ] λέγεται γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α επί την

πρώτη στήλη του Β. Αναλόγως, το κόστος του Γι το 2002 ήταν: 1,2-1,2 + 0 , 6 - 1 + 0 , 3 - 4 = 3 , 2 4 Δηλαδή παριστάνεται με το γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α επί την δεύτερη στήλη του Β.

Ομοίως, το κόστος του Γ2 το 2001 ήταν: 1,4-1 + 0 , 8 - 0 , 8 + 0 , 4 - 3 = 3 , 2 4 ή

ενώ το 2002 ήταν: 1 , 4 - 1 , 2 + 0,8-1 + 0 , 4 - 4 = 4 , 0 8 ή

Ο πίνακας

δείχνει το κόστος των γλυκισμάτων κατά τα έττι

2001 και 2002. Ο πίνακας Γ που προκύπτει με τον πιο πάνω τρόπο λέγετα γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β και συμβολίζεται με Α Β ή δηλαδή

ΑΒ

ΟΡΙΣΜΟΣ Αν

είναι ένας μ x ν πίνακας και

είναι ένας ν x ρ

πίνακας,

τότε ορίζουμε ως γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β και το συμβολίζουμε με Α·Β ή με ΑΒ τον μxρ πίνακα, του οποίου κάθε στοιχείο γij είναι το άθροισμα των γινομένων των ν στοιχείων της i-γραμμής του Α με τα αντίστοιχα ν στοιχεία της j -στήλης του Β. Δηλαδή,

Σχηματικά

Για παράδειγμα, το γινόμενο

βρίσκεται ως εξής:

και Επομένως,

Τονίζεται ότι το γινόμενο ΑΒ ορίζεται όταν ο αριθμός των στηλών του π ί ν α κ α Α είναι ίσος με τον αριθμό των γ ρ α μ μ ώ ν του πίνακα Β. Σχηματικά:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν

και

τότε, σ ύ μ φ ω ν α με τον π α ρ α π ά ν ω ορισμό, ορίζονται τα γ ι ν ό μ ε ν α ΑΒ,ΒΑ,ΑΓ είναι

και

ενώ δεν ορίζονται τα γινόμενα ΒΓ,ΓΒ

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού •

και ΓΑ .

των πινάκων

Αν λ, μ είναι πραγματικοί αριθμοί και Α, Β είναι πίνακες, τότε ισχύουν οι

παρακάτω ιδιότητες με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι πράξεις που σημειώνονται. Α(ΒΓ) = (ΑΒ)Γ Α(Β+Γ)

= ΑΒ+ΑΓ

και

προσεταιριστική

(Β + Γ)Α = ΒΑ + ΓΑ

επιμεριστική

= (λμ)ΑΒ

•

Αν με Iν συμβολίσουμε τον ν x ν διαγώνιο πίνακα

του

οποίου κάθε στοιχείο της κυρίας διαγωνίου είναι ίσο με 1, τότε για κάθε τετραγωνικό ν x ν πίνακα A ισχύει: ΑΙ ν

ΙνΑ

O πίνακας αυτός λέγεται μοναδιαίος π ί ν α κ α ς . ,

είναι μοναδιαίοι.

Για παράδειγμα, οι πίνακες

Τον πίνακα Ι ν θα τον συμβολίζουμε απλούστερα με I, όταν είναι προφανής ο τύπος του. Αν τώρα Α είναι ένας μ x ν πίνακας, τότε ισχύουν ΑΙν - Α Για παράδειγμα

και

Ιμ Α = Α .

και

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να γράφουμε ΑΒΓ τα ίσα γινόμενα Α(ΒΓ),

(ΑΒ)Γ . Ομοίως, αν Α,Β,Γ,Δ

στε ν α ορίζονται τα γινόμενα ΑΒ,

ΒΓ,

για καθένα από

είναι πίνακες τέτοιοι, ώ-

ΓΔ τότε έχουμε

[(ΑΒ)Γ]Δ = (ΑΒ)(ΓΔ) = Α[Β(ΓΔ)] = Α[(ΒΓ)Δ] = [Α(ΒΓ)]Δ και μπορούμε να γράφουμε ΑΒΓΔ για καθένα από τα γινόμενα αυτά. Γενικά, επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, μπορεί να αποδειχτεί ότι όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό πινάκων το γινόμενο θα είναι το ίδιο κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν εκτελεστεί ο πολλαπλασιασμός, χωρίς όμως ν α αλλάξει η σειρά των παραγόντων και συμβολίζεται με Αν ο Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε ορίζονται τα γινόμενα ΑΑ, AAA, ΑΑΑΑ, κτλ. και τα συμβολίζουμε με μορφή δυνάμεων ως εξής: αντιστοίχως. Ορίζουμε επίσης Α1 = Α . Αν ρ, q είναι θετικοί ακέραιοι, και κ πραγματικός αριθμός, αποδεικνύεται ότι: και ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει, επιγια οποιουσπλέον, και η αντιμεταθετική ιδιότητα. Δηλαδή, ισχύει Η ιδιότητα, όμως, αυτή δεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό

δήποτε

των πινάκων, αφού υπάρχουν πίνακες Α, Β με και

τότε

. Για παράδειγμα, αν

. αφού:

ενώ Επειδή, λοιπόν, δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα οι ισότητες:

κτλ. δεν ισχύουν πάντοτε. Στην περίπτωση, όμως, που ΑΒ = ΒΑ οι παραπάνω ισότητες ισχύουν

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Δίνονται οι πίνακες

και

Να αποδειχτεί

ότι:

Β2 = -I

Α2=Ι,

ii)

ΑΒ + ΒΑ = I

και

iii) ΛΥΣΗ i) Είναι

Άρα ii) Είναι

Άρα ΑΒ + ΒΑ = I. iii) Είναι (Α + Β)2 =(A + B)(A + Β) = A2 +ΑΒ + ΒΑ + Β2 =Ι + ΑΒ + ΒΑ-Ι = ΑΒ + ΒΑ = Ι

(λόγω της ii)) (λόγω της ii)).

Άρα.

Αντιστρέψιμοι

πίνακες

• Γνωρίζουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α με φός του, που συμβολίζεται με

ή α -1, για τον οποίο ισχύει

υπάρχει ο αντίστρο-

Είναι λογικό τώρα ν α ρωτήσουμε: "Αν δοθεί ένας πίνακας Α μπορούμε ν α βρούμε έναν πίνακα Β τέτοιον ώστε να ισχύει ΑΒ = ΒΑ = Ι;" Σ ύ μ φ ω ν α με τον πολλαπλασιασμό που ορίσαμε μια τέτοια ερώτηση έχει νόημα μόνο αν ο Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας. Οδηγούμαστε έτσι στον εξής ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Έ σ τ ω Α ένας τετραγωνικός πίνακας τύπου ν x ν . Αν υπάρχει τετραγωνικός πίνακας Β τύπου ν x ν , τέτοιος ώστε να ισχύει ΑΒ = ΒΑ = Ι , τότε ο Α λέγεται αντιστρέψιμος πίνακας και ο Β αντίστροφος του A. Αν ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτός είναι μοναδικός και συμβολίζεται με Α-1. Έτσι έχουμε: ΑΑ-1 = Α-1Α =I Για παράδειγμα, αν και τότε έχουμε: και Άρα, ο Β είναι ο αντίστροφος του Α. • Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α, όταν ΑΒ = Ι και ΒΑ=Ι. Αποδεικνύεται, όμως, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν για δυο ν x ν πίνακες Α,Β ισχύει μια από τις ισότητες ΑΒ = Ι

και

ΒΑ = I ,

τότε θα ισχύει και η άλλη. Με βάση αυτό το θεώρημα, για να αποδείξουμε ότι ένας ν x ν πίνακας Β είναι αντίστροφος ενός ν x ν πίνακα A, αρκεί να αποδείξουμε μία μόνο από τις ισότητες ΑΒ = Ι και ΒΑ = Ι. • Τέλος, αν ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:

Πράγματι, για την (i) έχουμε: — Αν ΑΧ = Β , τότε A-1AX

= A-1B , οπότε Χ = Α-1Β .

— Αν Χ = Α-1 Β , τότε ΑΧ = ΑΑ-1Β, Ομοίως αποδεικνύεται και η (ii).

οπότε ΑΧ = Β .

ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει επιπλέον και η ιδιότητα: "αν α·β = 0 , τότε α = 0 ή β = 0". Η ιδιότητα, όμως, αυτή δεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, αφού π.χ. για τους πίνακες ισχύει

και

χωρίς, ωστόσο.

ν α είναι Α = Ο ή Β = Ο . Δηλαδή: "Μπορεί ένα γινόμενο πινάκων να ισούται με το μηδενικό πίνακα, χωρίς κανένας να είναι μηδενικός". και ο ένας από τους πίνακες είναι α-

Στην περίπτωση όμως που ισχύει

ντιστρέψιμος, τότε ο άλλος είναι μηδενικός. Πράγματι, αν ο Α είναι αντιστρέψιμος, τότε έχουμε διαδοχικά:

Αντίστροφος Έστω

ενός 2x2

πίνακα

ένας 2 x 2 πίνακας. Θα εξετάσουμε πότε αυτός αντιστρέφεται

και θα βρούμε τον αντίστροφο του. Για ν α αντιστρέφεται ο Α, πρέπει και αρκεί ν α υπάρχει πίνακας τέτοιος, ώστε να ισχύει ΑΧ = I ή, ισοδύναμα,

(Σ 1 )

και

(Σ 2 )

Αρκεί, επομένως, τα συστήματα (Σ1) και (Σ 2 ) να έχουν λύση. Τα συστήματα αυτά έχουν

και

Επομένως: •

Αν

, τότε τα σ υ σ τ ή μ α τ α (Σ1) και (Σ 2 ) έχουν μοναδική λύση, οπότε ο

π ί ν α κ α ς Α αντιστρέφεται. Η λύση του (Σ1) είναι το ζεύγος (x, z) με και ενώ η λύση του (Σ 2 ) είναι το ζεύγος (y,ω)

με

και

οπότε ο αντίστροφος του Α είναι ο πίνακας

Άρα

•

Αν D = 0 , τότε ένα τουλάχιστον από τα σ υ σ τ ή μ α τ α (Σ1) και (Σ 2 ) είναι αδύ-

νατο, οπότε ο πίνακας Α δεν αντιστρέφεται. Πράγματι α) Αν

, τότε ένα τουλάχιστον από τα

σ υ σ τ ή μ α τ α (Σ 1 ) και (Σ 2 ) θα είναι αδύνατο. ,

τότε α = β = γ = δ = 0, οπότε και πάλι τα δύο β) Αν σ υ σ τ ή μ α τ α θα είναι αδύνατα. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: • Ο πίνακας

είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν

• Ο αντίστροφος ενός π ί ν α κ α

, αν υπάρχει, δίνεται από τον τύπο

όπου Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α :

α) Ο π ί ν α κ α ς

αντιστρέφεται, γιατί

και ο αντίστροφος

του είναι ο

β) Ο π ί ν α κ α ς

δεν αντιστρέφεται, γιατί

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

και

Δίνονται οι πίνακες

i) Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α ii) Να λυθεί η εξίσωση ΑΧ

=Β

ΛΥΣΗ i) Για τον π ί ν α κ α Α έχουμε

. Άρα

ii) Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, έχουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Ν α βρείτε τα γ ι ν ό μ ε ν α ΑΒ και ΒΑ σε όποιες από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπ τ ώ σ ε ι ς ορίζονται:

ii)

iii)

iv)

και

Ν α βρείτε τους πίνακες: i) ΑΒ 3.

ii)ΑΒ-Γ

iii) ΑΒΓ .

Τα στοιχεία για τις αμοιβές και τον αριθμό των εργατών σε δύο οικοδομικές εταιρείες Α και Β έχουν με μορφή πινάκων ως εξής:

Να εκφράσετε με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού των πινάκων το σύνολο των αμοιβών των εργατών στις δύο εταιρείες. 4.

Σε καθεμιά από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπτώσεις ν α αποδείξετε ότι ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α.

ii)

Ν α βρείτε τον αντίστροφο, εφόσον υπάρχει, καθενός από τους παρακάτω πίνακες: και

i) Ν α βρείτε τον αντίστροφο του π ί ν α κ α

ii) Να λύσετε την εξίσωση:

Β' ΟΜΑΔΑΣ , τότε:

1. Αν

για τις οποίες ισχύει

i) Να βρείτε τις τιμές των 3

4 ii) Ναυπολολογίσετετους πίνακες Α και Α .

2. Αν

, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε να ισχύει

για τους οποίους ισχύει

Να βρείτε τους πίνακες Χ2=Ι.

, να αποδείξετε ότι:

4. Αν i) A2 =

B2=Ι

ii)

iii)

5. Αν

, να αποδείξετε ότι:

i) O πίνακας A αντιστρέφεται και ν α βρείτε τον

Α-1.

ii)

6. Αν i) Να αποδείξετε ότι Α2(x) = Α(2x),

τότε: Β2(X) =

-Α(2x)

ii) Να αποδείξετε ότι iii) Να λύσετε την εξίσωση 7. Μια βιομηχανία επίπλων κουζίνας έχει δύο εργοστάσια E1 και Ε2. Οι πίνακες Μ και Ν δίνουν τις ώρες εργασίας που απαιτούνται για την κατασκευή κάθε επίπλου και τις ωριαίες αμοιβές του προσωπικού σε ευρώ αντιστοίχως.

i ) Ν α βρείτε τον πίνακα ΜΝ καν να εξηγήσετε τι εκφράζει. ii) Ποιο είναι το κόστος εργασίας για την παραγωγή μιας καρέκλας στο εργοστάσιο E1, και ενός πάγκου στο εργοστάσιο Ε2; ,

8. Αν

ν α αποδείξετε ότι:

και

και γενικά

2 3 ii) Β =I , Β = Β και γενικά

9. Δίνεται ο πίνακας -1 i) Να αποδείξετε ότι Α (x)

=Α(-x)

ii) Ν α λύσετε την εξίσωση Α(x) = I .

10. Αν

i) Να αποδείξετε ότι A(x)A(y) = A(x + y) ii) Ν α βρείτε τη σχέση μεταξύ των x,y ώστε ο πίνακας A(y) ναι αντίστροφος του

ν α εί-

Α(x).

iii) Ν α βρείτε τον αντίστροφο του π ί ν α κ α

11. Αν i)

, τότε: Να

αποδείξετε

ότι

Α2 = I ,

Α3 = Α

και

γενικά

ότι

ii) Αν λ = 2 ,

να

βρείτε

τον

πίνακα Χ

για

τον

οποίο

ισχύει

iii) Ν α υπολογίσετε το άθροισμα Ι + Α + Α 1 + ... + Α 1 0 .

12. Δίνεται ο πίνακας i) Να βρείτε τον αντίστροφο του π ί ν α κ α Α ii) Ν α βρείτε τον πίνακα Χ σε κάθε μια από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπτώσεις:

τότε:

13. Αν

1.4

αποδείξετε

Να

ii)

Ν α βρείτε τις π ρ α γ μ α τ ι κ έ ς τιμές του x για τις οποίες ισχύει

και

γενικά

ότι

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ METΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

Η Έννοια του Γεωμετρικού •

ότι

Α3 = -I

Μετασχηματισμού

Γνωρίζουμε από την Α ' Λυκείου ότι συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα

σύνολο Β είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μοναδικό στοιχείο του Β. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με των σημείων σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς για τις οποίες τα Α και Β συμπίπτουν με το σύνολο . Οι συναρτήσεις ενός καρτεσιανού επιπέδου αυτές λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο επίπεδο ή, απλά, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί. Δηλαδή, γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς μετασχηματισμός είναι οποιαδήποτε συνάρτηση

Ω ς π ρ ο ς τη σ υ ν ά ρ τ η σ η αυτή η εικόνα, Τ(Μ), ζεται με

του σημείου M(x,y)

θα συμβολί-

M'(x',y').

Έ ν α παράδειγμα γεωμετρικού σμού είναι η σ υ ν ά ρ τ η σ η

μετασχηματι-

η οποία αντιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ό του Μ' ως προς τον άξονα x'x.

• Στη σ υ ν έ χ ε ι α θα ασχοληθούμε μόνο με τους γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ύ ς μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ο ύ ς που απεικονίζουν τα σημεία M(x,y)

στα M'(x',y')

των οποίων οι σ υ ν τ ε τ α γ μ έ -

ν ε ς δίνονται από ένα σ ύ σ τ η μ α της μορφής

ή, ισοδύναμα, από μια ε ξ ί σ ω σ η της μορφής

(1) όπου α,β,γ,δ,μ,ν πραγματικοί αριθμοί. Αν μ = 0 και ν = 0 , τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή (2) Στην περίπτωση αυτή ο γεωμετρικός μετασχηματισμός λέγεται γραμμικός μετασχηματισμός και ο πίνακας

λέγεται πίνακας του γ ρ α μ μ ι κ ο ύ μετα-

σχηματισμού Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς που ορίζεται από το σ ύ σ τ η μ α ή, ισοδύναμα, από την εξίσωση

μικός μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς με π ί ν α κ α τον το σημείο

Α( 1,2)

απεικονίζεται

στο

είναι ένας γ ρ α μ -

. Με αυτόν τον μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό Α'(13,6),

ενώ το σημείο

B'(1,-2), δηλαδή στον εαυτό του. •

Ας θ ε ω ρ ή σ ο υ μ ε τ ώ ρ α το γραμμικό μετασχηματισμό

B(1,-2)

στο

και

τα

μοναδιαία

και

διανύσματα

Τότε. η εικόνα Α' του πέρατος A(1,0) του δ ι α ν ύ σ μ α τ ο ς

έχει σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς

αφού

(α,γ).

ε ν ώ η εικόνα Β' του πέρατος B(0,1) του διανύσματος

έχει

συντεταγμέ-

ν ε ς ( β , δ ) , αφού

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε , δηλαδή, ότι: Οι συντεταγμένες

της

εικόνας του

πέρατος,

A(1,0),

του

διανύσματος

είναι η πρώτη στήλη, ενώ οι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, Β ( 0 , 1 ) , του διανύσματος

είναι η δεύτερη στήλη του πίνακα του

γραμμικού μετασχηματισμού. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , ο γ ρ α μ μ ι κ ό ς μετασχηματισμός, που απεικονίζει τα π έ ρ α τ α Α(1,0) και Β(0,1) των διανυσμάτων

και

στα σ η μ ε ί α Α'(3,1)

και Β'(1,2) αντιστοίχως, έχει πίνακα Τέλος, είναι προφανές ότι: Ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ απεικονίζει το σημείο Ο(0,0) στο Ο(0,0).

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός

i) Να βρεθούν οι εικόνες B(x2,y2)

αντιστοίχως.

ii) Να αποδειχτεί ότι (AΒ') = (ΑΒ).

των σημείων

A(x1,y1)

και

ΛΥΣΗ i) Έ χ ο υ μ ε

Ε π ο μ έ ν ω ς , οι εικόνες των A(x1,y1) και Β(x2,y2) Β'(-y2,x2)

είναι τα σημεία A'(-y 1 ,x 1 ) και

αντιστοίχως.

ii) Είναι

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι ο μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς αυτός διατηρεί τις αποστάσεις. Οι γ ε ω μ ε τρικοί μετασχηματισμοί που διατηρούν τις αποστάσεις λέγονται ισομετρίες. 2 . Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

Να βρεθεί: i) Το πρότυπο του σημείου Α'(2,0), ζεται στο

δηλαδή το σημείο

που απεικονί-

Α'(2,0).

ii) Η εικόνα της ευθείας ε:y = -2x + 1 . ΛΥΣΗ i) Ισχύει

Επειδή ο πίνακας

είναι αντιστρέψιμος, πολλαπλασιάζουμε και τα δ ύ ο

μέλη με τον αντίστροφο του, που είναι ο πίνακας κά:

και έχουμε διαδοχι-

Άρα το σημείο Α έχει σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς (2,-2). ii) Αρκεί ν α βρούμε την εξίσωση η οποία επαληθεύεται από τις σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς των εικόνων των σημείων της ευθείας ε και μόνο απ' αυτές. Πράγματι, έχουμε:

(1) Ε π ο μ έ ν ω ς , αν το σημείο M ( x , y ) ανήκει στην ε, τότε θα ισχύει:

Άρα, το σημείο Μ'(x',y') Αλλά

και

ανήκει στην ευθεία

αντιστρόφως, τότε το M(x,y)

αν

το

σημείο

M'(x',y')

ανήκει

στην

ευθεία

ανήκει στην ευθεία ε: y = -2x + 1

Συνεπώς, η εικόνα της ευθείας ε: y = -2x + 1 είναι η ευθεία

ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι κάθε γραμμικός μετασχηματισμός, του οποίου ο πίνακας αντιστρέφεται, απεικονίζει: — ευθείες σε ευθείες — ε υ θ ύ γ ρ α μ μ α τ μ ή μ α τ α σε ε υ θ ύ γ ρ α μ μ α τ μ ή μ α τ α με άκρα τις εικόνες των άκρων — π ο λ ύ γ ω ν α σε π ο λ ύ γ ω ν α με κορυφές τις εικόνες των κορυφών.

Για παράδειγμα, με το μετασχηματισμό

το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές A(1,0), B(-1,3) και Γ(0,3) απεικονίζεται στο τρίγωνο Α'Β'Γ'

που έχει ως κορυφές τις εικόνες Α'(2,-1),

B'(1,1)

και Γ'(3,0) των

κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ. Είναι βολικό, πολλές φορές, ένα πολύγωνο Α1Α2...Αν να το παριστάνουμε με τον πίνακα

που έχει ως στήλες τις συντεταγμένες των κορυφών του. Τον πίνακα αυτόν θα τον λέμε π ί ν α κ α του πολυγώνου. Έτσι, ο πίνακας του ΑΒΓ είναι ο ενώ του Α'Β'Γ'

. Είναι φανερό ότι

Άρα ο πίνακας του τριγώνου Α'Β'Γ' προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού με τον πίνακα του τριγώνου ΑΒΓ. Αυτό ισχύει και για οποιοδήποτε πολύγωνο.

Βασικοί γεωμετρικοί

μετασχηματισμοί

1. Σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς τ η ν α ρ χ ή τ ω ν αξόνων Καλούμε συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο M(x,y) του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του Μ'(x',y') ως προς την αρχή των αξόνων. Ό π ω ς γνωρίζουμε από την Α' Λυκείου ισχύει

Άρα, η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

2. Σ υ μ μ ε τ ρ ί α ω ς π ρ ο ς άξονα μ ι α ε υ θ ε ί α ε. Καλούμε σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς άξονα μια ευθεία ε, το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο M(x,y) του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό M'(x',y'), ως προς την ευθεία ε.

του,

Στην π α ρ ά γ ρ α φ ο αυτή θα ασχοληθούμε με τη σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς τον άξονα x'x, τη συμμετρία ως προς τον άξονα y'y και τη συμμετρία ως προς την ευθεία y= x. 2α. Σ υ μ μ ε τ ρ ί α ω ς π ρ ο ς τον άξονα

x'x.

Ό π ω ς γ ν ω ρ ί ζ ο υ μ ε από την Α ' Λυκείου ισχύει:

Άρα, η σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς τον αξονα x'x είναι γραμμικός μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς με πίνακα 2β. Σ υ μ μ ε τ ρ ί α ω ς π ρ ο ς τον άξονα y'y . Ό π ω ς γνωρίζουμε από την Α ' Λυκείου ισχύει:

Άρα η συμμετρία ως προς τον άξονα y'y ένας

γραμμικός

μετασχηματισμός

με

είναι πίνακα

2γ. Σ υ μ μ ε τ ρ ί α ω ς π ρ ο ς άξονα τ η ν ε υ θ ε ί α

y=x.

Ό π ω ς γ ν ω ρ ί ζ ο υ μ ε από την Α ' Λυκείου ισχύει:

Άρα, η σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς άξονα την ευθεία y=x είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα Οι π α ρ α π ά ν ω γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι όλοι ι σ ο μ ε τ ρ ί ε ς .

3. Στροφή με κέντρο 0 και γωνία θ. Έστω

Oxy

ένα σ ύ σ τ η μ α σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ω ν

στο

επίπεδο και θ μια θετική ή αρνητική γωνία. Καλούμε στροφή με κέντρο O και γωνία θ το γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό εκείνο μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό με τον οποίο κάθε σημείο M(x,y) του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο πέρας

M'(x',y'),

του

διανύ,

σματος που είναι η τελική θέση του αν αυτό στραφεί γ ύ ρ ω από το O κατά γωνία θ. Αν φ είναι η γ ω ν ί α που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x'x και ρ το μέτρο του διανύσματος (1)

, τότε θα ισχύει:

και

(2).

Έ τ σ ι , θα ισχύει

Άρα, η στροφή με κέντρο O και γωνία θ είναι γ ρ α μ μ ι κ ό ς μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς με πίνακα

. Ειδικότερα:

α) Η στροφή με κέντρο O και γωνία

έχει π ί ν α κ α

β) Η στροφή με κέντρο O και γ ω ν ί α θ = π έχει π ί ν α κ α και είναι η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων. γ) Η στροφή με κέντρο O και γ ω ν ί α

έχει π ί ν α κ α

δ) Τέλος, η στροφή με κέντρο O και γωνία θ = 2π έχει π ί ν α κ α και είναι η ταυτοτική απεικόνιση. Ε ύ κ ο λ α αποδεικνύεται ότι και η στροφή είναι μια ισομετρία.

4. Ομοιοθεσία. Καλούμε ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή το μετασχητων αξόνων O και λόγο ματισμό με τον οποίο κάθε σημείο M(x,y) του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο Μ'(x',y') που ορίζεται από την ισότητα

έχου-

και

Επειδή με:

Άρα, η ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο

είναι ένας

γ ρ α μ μ ι κ ό ς μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς με π ί ν α κ α ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Για ν α θυμόμαστε τον π ί ν α κ α των π α ρ α π ά ν ω γ ρ α μ μ ι κ ώ ν μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ώ ν , αρκεί ν α θυμόμαστε ότι η πρώτη στήλη του είναι οι σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς της εικόνας του σημείου A(1,0), ενώ η δεύτερη στήλη του είναι οι σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς της εικόν α ς του B(0,1). Για παράδειγμα, ο πίνακας της συμμετρίας ως προς τον άξονα που έχει για πρώτη και δεύτερη στήλη τις σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς

x'x είναι ο

των σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ώ ν ως προς τον άξονα x'x των σημείων A(1,0) και B(0,1) αντιστοίχως. 5. Παράλληλη μεταφορά. ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου Oxy. Καλούμε πα-

Έστω

ράλληλη μεταφορά κατά διάνυσμα τον οποίο κάθε M'(x',y')

σημείο

Μ(x,y)

το γεωμετρικό εκείνο μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό με του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο

που ορίζεται από την ισότητα

(Σχ. 14).

Επειδή

, έχουμε

Άρα, η π α ρ ά λ λ η λ η μεταφορά δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός. Είναι, όμως. ισομετρία.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Έ σ τ ω Τ ο μετασχηματισμός "στροφή με κέντρο O και γωνία βρεθεί η εικόνα C'της καμπύλης

. Να

ως προς το μετασχηματισμό Τ.

ΛΥΣΗ Έ σ τ ω M ( x , y ) ένα σημείο του επιπέδου και Μ ' ( x ' , y ' ) η εικόνα του ως προς το μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό Τ. Τότε θα ισχύει

(1)

Ε π ο μ έ ν ω ς , αν το M(x,y)

ανήκει στην καμπύλη C, τότε θα ισχύει: xy=1

οπότε το σημείο M'(x',y')

θα είναι σημείο

της ισοσκελούς υπερβολής

Α λ λ ά και αντιστρόφως, M(x,y)

αν το M'(x'y')

ανήκει στην καμπύλη C',

τότε το

θα ανήκει στην C.

Άρα, η εικόνα της

ως προς τη στροφή με κέντρο O και γ ω ν ί α

είναι η υπερβολή

Συνεπώς, η καμπύλη

είναι μια

υπερβολή που προκύπτει αν στρέψουμε την C' κατά γ ω ν ί α

2 . Έ σ τ ω Τ1 και Τ2 οι γραμμικοί μετασχηματισμοί με πίνακες και αντιστοίχως. Να βρεθεί ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα τον T1 και έπειτα τον Τ2, δηλαδή του μετασχηματισμού ΛΥΣΗ Έ σ τ ω M(x,y)

ένα σημείο του επιπέδου. Αν M'(x',y')

σω του μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ο ύ T1, και M"(x",y") σ χ η μ α τ ι σ μ ο ύ Τ2, τότε θα ισχύει και οπότε θα έχουμε

είναι η εικόνα του Μ μέ-

η εικόνα του Μ'

μέσω του μετα-

Αρα, ο πίνακας του

είναι ο

που είναι το γινόμενο

των

π ι ν ά κ ω ν των μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ώ ν T2 και Τ1. Γενικά: "Αν A1,A2

είναι πίνακες δύο γραμμικών μετασχηματισμών, T1, και T2 αντι-

στοίχως, τότε ο πίνακας του γραμμικού Α2· Α1,, ενώ του

είναι ο

μετασχηματισμού

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1.

Να γ ρ ά ψ ε τ ε τους πίνακες των γ ρ α μ μ ι κ ώ ν μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ώ ν :

και ν α βρείτε τις εικόνες των σημείων A(1,0) και Β(0,1). 2.

Να βρείτε το γραμμικό μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό που απεικονίζει τα π έ ρ α τ α A(1,0) και B(0,1) των μοναδιαίων διανυσμάτων

και

στα σ η μ ε ί α

(i) (1,2) και (-1,3) αντιστοίχως, (ii) (-1,1) και (2,1) αντιστοίχως. 3.

Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

Να βρείτε τις εικόνες των σημείων O(0,0) και A(3,4) και στη συνέχεια ν α αποδείξετε ότι ο Τ δεν είναι ισομετρία. 4.

Δίνεται ο γ ρ α μ μ ι κ ό ς μετασχηματισμός:

i) Να βρείτε την εικόνα Α'Β'Γ'Δ' του τ ε τ ρ α γ ώ ν ο υ ΑΒΓΑ που έχει πίνακα ii) Ν α αποδείξετε ότι το Α'Β'Γ'Δ' είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο.

Δίνεται ο μετασχηματισμός:

Να βρείτε i) το πρότυπο του σημείου A'(0,5) ii) την εικόνα της ευθείας ε:y = x +1. 6.

Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι γραμμικοί μετασχηματισμοί που έχουν πίνακα: ii)

iii)

iv)

ν)

vi)

Β' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

Να αποδείξετε ότι ο Τ απεικονίζει όλα τα σημεία του επιπέδου στην ευθεία ε:y = 2x.

ii) Να βρείτε τα πρότυπα του σημείου 0(0,0) iii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α'(1,1) δεν έχει πρότυπο. 2.

Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

και δύο οποιαδήποτε σημεία A(x1,y1),

B(x2,y2)

του επιπέδου. Να απο-

δείξετε ότι i)

Ο Τ δεν είναι ισομετρία, δηλαδή ότι

ii) Ο Τ απεικονίζει το μέσο του ευθ. τμήματος ΑΒ στο μέσο της εικόνας του Α'Β'. iii)

Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι ίσο με το εμβαδό της εικόνας του ΟΆ'Β'.

Να βρείτε το γραμμικό μετασχηματισμό που απεικονίζει τα σημεία Α(1,1) και Β(1,-1) στα σημεία: i) Α'(0,1) και Β'(2,1) αντιστοίχως ii)

Α'(6,3)

και Β'(2,1) αντιστοίχως.

Σε καθεμιά περίπτωση ν α βρείτε την εικόνα της ευθείας ε:y = -2x. 4.

Να αποδείξετε ότι καθένας από τους π α ρ α κ ά τ ω γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ύ ς μετασ χ η μ α τ ι σ μ ο ύ ς είναι γραμμικός μετασχηματισμός. i) Η σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς την ευθεία

y=-x.

ii) Η προβολή π ά ν ω στον άξονα x'x. iii) Η προβολή π ά ν ω στον άξονα iv) Η προβολή π ά ν ω στην ευθεία

y'y. y=x.

Στη συνέχεια ν α βρείτε σε καθεμία περίπτωση την εικόνα του τετραγώνου

ΟΑΓΒ

και ν α επιβεβαιώσετε γ ε ω μ ε -

με π ί ν α κ α

τρικά την απάντησή σας. 5.

Δίνεται ο μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς Τ με πίνακα

. όπου α> β > 0.

i) Ν α αποδείξετε ότι η εικόνα του κύκλου C:x2 +y2 = 1 είναι η έλλειψη ii) Αφού βρείτε την εικόνα πίνακα

1.5

Η ΕΝΝΟΙΑ

ΟΆ'Γ'Β'

του τ ε τ ρ α γ ώ ν ο υ

ΟΑΓΒ,

που έχει

να δείξετε ότι

ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

• Κάθε ε ξ ί σ ω σ η της μορφής , όπου είναι x1,x2,...,xν πραγματικοί αριθμοί και άγνωστοι, λέγεται γραμμική ε ξ ί σ ω σ η με ν αγνώστους. Οι αριθμοί β σταθερός όρος. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η εξίσωση γ ν ώ σ τ ο υ ς . Επίσης, η

λέγονται συντελεστές των αγνώστων και ο

x-3y=-3

είναι μια γραμμική εξίσωση με δύο αείναι γραμμική ε ξ ί σ ω σ η με τ έ σ σ ε -

ρις αγνώστους, ενώ οι εξισώσεις 2x2 -y = 1 και κές. Κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών

δεν είναι γ ρ α μ μ ι που επαληθεύει μια γ ρ α μ μ ι κ ή

ε ξ ί σ ω σ η με ν α γ ν ώ σ τ ο υ ς λέγεται λ ύ σ η τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς . Για παράδειγμα, η διατεταγμένη τριάδα (-1, 0, 2) είναι λύση της ε ξ ί σ ω σ η ς 3x-2y+ω=

- 1 , αφού 3 ( - 1 ) - 2 · 0 + 2 = - 3 + 2 = - 1 .

• Έ ν α πλήθος μ γ ρ α μ μ ι κ ώ ν ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν με ν αγνώστους των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις, λέγεται γ ρ α μ μ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α μ ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν με ν α γ ν ώ σ τ ο υ ς ή απ λ ο ύ σ τ ε ρ α μxν γ ρ α μ μ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α . Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , το (Σ 1 ) είναι ένα 2 x 3 γ ρ α μ μ ι κ ό σύστημα. Γενικά, ένα μ x ν γραμμικό σ ύ σ τ η μ α έχει τη μορφή

(Σ2)

Ο 1ος δείκτης i του συντελεστή αij δείχνει την εξίσωση στην οποία ανήκει ο αij, ενώ ο 2ος δείκτης j αij.

δείχνει τον άγνωστο με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ο

Για παράδειγμα, ο α 32 είναι ο συντελεστής του αγνώστου x 2 στην τρίτη

ε ξ ί σ ω σ η ενός συστήματος. Κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών η οποία επαληθεύει όλες τις ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ενός μ x ν γ ρ α μ μ ι κ ο ύ συστήματος, λέγεται λ ύ σ η του συστήματος. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η διατεταγμένη

τριάδα

(-1,0,1)

είναι

λύση

του

συστήματος

(Σ1),

αφού

2(-1) - 0 + 3·1 = 1 και - 1 + 3 · 0 - 1 = - 2 . Η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τις λύσεις ενός σ υ σ τ ή μ α τ ο ς λέγεται ε π ί λ υ σ η του συστήματος. Έ ν α σ ύ σ τ η μ α που έχει μια τουλάχιστον λύση λέγεται σ υ μ β ι β α σ τ ό , ενώ ένα σύστημα που δεν έχει καμία λύση λέγεται α δ ύ ν α τ ο . Τέλος, δύο γ ρ α μ μ ι κ ά σ υ σ τ ή μ α τ α που έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις λέγονται ισοδύναμα. • Με τη βοήθεια των πινάκων το σ ύ σ τ η μ α (Σ 1 ) γράφεται

Το 1ο μέλος όμως της ισότητας αυτής είναι το γινόμενο του

2x3

πίνακα

των συντελεστών των αγνώστων με τον 3x1 π ί ν α κ α στήλη

των αγνώστων. Ε π ο μ έ ν ω ς το σ ύ σ τ η μ α (Σ 1 ) γράφεται

Γενικότερα, το μxν

γραμμικό σ ύ σ τ η μ α ( Σ 2 ) γράφεται

Αν τ ώ ρ α συμβολίσουμε με Α τον πίνακα των συντελεστών των α γ ν ώ σ τ ω ν , με Χ τον π ί ν α κ α - σ τ ή λ η των α γ ν ώ σ τ ω ν και με Β τον π ί ν α κ α - σ τ ή λ η των σ τ α θ ε ρ ώ ν όρων, τότε το ( Σ 2 ) γράφεται ΑΧ=Β. Αν οι σταθεροί όροι ενός γραμμικού συστήματος είναι όλοι ίσοι με το μηδέν, τότε το σ ύ σ τ η μ α λέγεται ομογενές και σύντομα γράφεται Τέλος ο πίνακας

που αποτελείται από τον πίνακα Α των συντελεστών των α γ ν ώ σ τ ω ν , συμπληρωμένο με τη στήλη των σταθερών όρων λέγεται ε π α υ ξ η μ έ ν ο ς π ί ν α κ α ς του συστήματος. Ό π ω ς θα δούμε στη συνέχεια, ο πίνακας αυτός παίζει σημαντικό ρόλο στην επίλυση του συστήματος. Η κατακόρυφη διακεκομμένη γ ρ α μ μ ή στον ε π α υ ξ η μ έ ν ο π ί ν α κ α προστίθεται απλώς για ν α ξεχωρίζει τη στήλη των σταθερών όρων.

1.6

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ TOY GAUSS

ΜΕ

ΤΗ

Αποδεικνύεται ότι, αν σε ένα γραμμικό σ ύ σ τ η μ α εφαρμόσουμε μια από τις επόμενες διαδικασίες, τότε προκύπτει ισοδύναμο σύστημα:

— Ε ν α λ λ α γ ή της θέσης δύο ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν — Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ό ς των μελών μιας ε ξ ί σ ω σ η ς με ένα μη μηδενικό αριθμό. — Π ρ ό σ θ ε σ η των μελών μιας ε ξ ί σ ω σ η ς (πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό) στα μέλη μιας άλλης. Έ τ σ ι , όταν έχουμε ν α λύσουμε ένα γραμμικό σ ύ σ τ η μ α προσπαθούμε, εφαρμόζοντας τις π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς διαδικασίες, ν α το μ ε τ α σ χ η μ α τ ί σ ο υ μ ε σε ένα άλλο ισοδύναμο σ ύ σ τ η μ α του οποίου η λύση να είναι προφανής. Ας δούμε τ ώ ρ α με ένα π α ρ ά δ ε ι γ μ α πως εφαρμόζονται και π ω ς συμβολίζονται οι τρεις αυτές διαδικασίες.

Έ σ τ ω το γ ρ α μ μ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α

— Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της 1ης ε ξ ί σ ω σ η ς Ε1 του (Σ1 με - 2 και τα προσθέτουμε στα αντίστοιχα μέλη της 2ης ε ξ ί σ ω σ η ς E2 του ( Σ 1 ) . Έ τ σ ι , απαλείφεται από την Ε2 ο άγνωστος x. — Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της Ε1 του ( Σ 2 ) με - 3 και τα προσθέτουμε στα μέλη της απαλείφεται από την

Ε3. Ε3

Έτσι, ο άγνω-

στος x. — Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της Ε2 του (Σ 3 ) με

. Έ τ σ ι , ο συντε-

στής του y γίνεται 1. Συνεχίζουμε εφαρμόζοντας τις π α ρ α π ά ν ω διαδικασίες που π α ρ ι σ τ ά ν ο υ μ ε πλέον μόνο συμβολικά:

Επειδή το σύστημα (Σ 9 ) είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα (Σ 1 ), συμπεραίνουμε ότι η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (1, 0, - 1 ) . Μπορούμε ν α περιγράψουμε απλούστερα τη διαδικασία επίλυσης ενός

μxν

γραμμικού συστήματος, αν σκεφτούμε ως εξής: Αφού κάθε εξίσωση παριστάνεται με μια γραμμή του επαυξημένου πίνακα, αρκεί οι παραπάνω μετατροπές των εξισώσεων να γίνονται στις γραμμές Γ1,Γ2,...,Γμ του επαυξημένου πίνακα. Οι μετατροπές αυτές λέγονται γ ρ α μ μ ο π ρ ά ξ ε ι ς και είναι οι εξής: Γραμμοπράξη 1. Εναλλαγή

Συμβολισμός

της θέσης δύο

γραμμών

μιας γραμμής με ένα 2. Πολλαπλασιασμός μη μηδενικό αριθμό 3. Πρόσθεση των στοιχείων μιας γραμμής, πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό, στα αντίστοιχα

στοιχεία

μιας άλλης

γραμμής.

Ό τ α ν έχουμε δύο πίνακες Α, Β που ο ένας προκύπτει από τον άλλο με γραμμοπράξεις, τότε οι πίνακες αυτοί λέγονται γ ρ α μ μ ο ΐ σ ο δ ύ ν α μ ο ι ή απλώς ι σ ο δ ύ ν α μοι και γράφουμε . Είναι προφανές ότι, αν οι επαυξημένοι πίνακες δύο συστημάτων είναι ισοδύναμοι, τότε και τα συστήματα είναι ισοδύναμα, αφού καθεμιά γραμμοπράξη ξεχωριστά οδηγεί σε σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό. Έτσι, η επίλυση του προηγούμενου συστήματος μπορεί να γίνει ως εξής:

Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σ ύ σ τ η μ α

Ε π ο μ έ ν ω ς , η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (1, 0, — 1). Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι ο τελευταίος πίνακας των συντελεστών των α γ ν ώ σ τ ω ν είναι ο μοναδιαίος 3 x 3 πίνακας. Έ τ σ ι μπορούμε ν α " δ ι α β ά σ ο υ μ ε " α μ έ σ ω ς τη λύση του συστήματος. Για ν α απλοποιήσουμε και ν α συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη διαδικασία ε π ί λ υ σ η ς ενός συστήματος, πολλές φορές στο ίδιο βήμα εφαρμόζουμε περισσότ ε ρ ε ς από μία γραμμοπράξεις. Ας λύσουμε τ ώ ρ α και το σ ύ σ τ η μ α

Π α ί ρ ν ο υ μ ε τον επαυξημένο πίνακα και έχουμε διαδοχικά:

Έ τ σ ι το αρχικό σ ύ σ τ η μ α είναι ισοδύναμο με το σ ύ σ τ η μ α

Λ ύ ν ο υ μ ε την πρώτη εξίσωση ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς x1, (αυτό μας διευκολύνει, αφού ο συντελεστής του αγνώστου αυτού είναι 1) και έχουμε

Επειδή ο άγνωστος χ, εκφράζεται ως συνάρτηση των x2, x3, αυτό σημαίνει ότι μπορούμε ν α επιλέξουμε αυθαιρέτως τις τιμές των x2, x3. Δηλαδή, το γ ρ α μ μ ι κ ό σύστημα έχει άπειρο πλήθος ( 3 - 2 x 2 + x 3 , x 2 , x 3 , - 1 , 2 ) , όπου οι

λύσεων, τις διατεταγμένες πεντάδες x 2 ,x 3 μπορούν ν α πάρουν οποιεσδήποτε

π ρ α γ μ α τ ι κ έ ς τιμές. Π.χ. για x 2 = 1 , x3 = 0 έχουμε τη λύση (1, 1, 0, - 1 , 2) του συστήματος. Ο τελευταίος από τους π α ρ α π ά ν ω ισοδύναμους ε π α υ ξ η μ έ ν ο υ ς πίνακες είναι, όπως λέμε, ένας ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας. Γενικά, δίνουμε τον επόμενο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Έ ν α ς μxν

π ί ν α κ α ς λέγεται ανηγμένος κλιμακωτός (1) , αν ισχύουν σ υ γ χ ρ ό ν ω ς

τα π α ρ α κ ά τ ω : α) Οι μη μηδενικές γ ρ α μ μ έ ς βρίσκονται πριν από τις μηδενικές. β) Το π ρ ώ τ ο από αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γ ρ α μ μ ή ς είναι το 1 και βρίσκεται δεξιότερα του αντίστοιχου 1 της π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν η ς γραμμής. γ) Το πρώτο από αριστερά 1 κάθε μη μηδενικής γ ρ α μ μ ή ς είναι και το μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει. Έ τ σ ι π.χ. οι πίνακες

(1)

Ένας μ x ν πίνακας λέγεται, απλώς, κλιμακωτός, αν α) Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές και β) Το πρώτο από τα αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής βρίσκεται δεξιότερα από το αντίστοιχο στοιχείο της προηγούμενης γραμμής, χωρίς να είναι κατανάγκη ίσο με 1.

είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί, ενώ οι πίνακες

δεν είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί. Σ χ ε τ ι κ ά με τους α ν η γ μ έ ν ο υ ς κλιμακωτούς πίνακες ισχύει το π α ρ α κ ά τ ω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ Κ ά θ ε π ί ν α κ α ς μετατρέπεται σε ανηγμένο κλιμακωτό π ί ν α κ α με την ε κ τ έ λ ε σ η ενός π ε π ε ρ α σ μ έ ν ο υ πλήθους γραμμοπράξεων. Σ ύ μ φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α αυτό κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν α ν η γ μ έ ν ο κλιμακωτό πίνακα. Μπορεί ν α αποδειχθεί ότι αυτός ο ανηγμένος κλιμακωτός π ί ν α κ α ς είναι και μοναδικός. Ο π α ρ α κ ά τ ω αλγόριθμος μας δίνει μια μέθοδο με την οποία μπορούμε ν α βρίσκουμε κάθε φορά το μοναδικό αυτόν ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΗΜΑ 1ο: Βρίσκουμε την πρώτη στήλη του πίνακα που περιέχει μη μηδενικό στοιχείο. ΒΗΜΑ 2ο: Μ ε τ α φ έ ρ ο υ μ ε στον π ί ν α κ α πρώτη τη γ ρ α μ μ ή που περιέχει μη μηδενικό στοιχείο της στήλης (γραμμοπράξη 1). ΒΗΜΑ 3ο: Κάνουμε το μη μηδενικό στοιχείο της στήλης μονάδα (γραμμοπράξη 2). ΒΗΜΑ 4ο: Κ ά ν ο υ μ ε όλα τα στοιχεία της στήλης που είναι κάτω από τη μονάδα μηδενικά (γραμμοπράξη 3). ΒΗΜΑ 5ο: Αγνοούμε την πρώτη γ ρ α μ μ ή του πίνακα και ε π α ν α λ α μ β ά ν ο υ μ ε τα βήματα 1 έως 4 για τις επόμενες γ ρ α μ μ έ ς του πίνακα. Αν όμως οι γ ρ α μ μ έ ς που απέμειναν είναι μηδενικές, πηγαίνουμε στο 6ο βήμα. ΒΗΜΑ 6ο: Από γ ρ α μ μ ή σε γ ρ α μ μ ή χρησιμοποιώντας το πρώτο από αριστερά 1 κάθε γ ρ α μ μ ή ς και τη γραμμοπράξη 3 κάνουμε μηδέν όλα τα στοιχεία της στήλης στην οποία βρίσκεται η μονάδα αυτή.

Ο π α ρ α π ά ν ω αλγόριθμος, που ονομάζεται και αλγόριθμος τ ο υ Gauss, ολοκληρώνεται όταν σε κάθε μη μηδενική γ ρ α μ μ ή του π ί ν α κ α το π ρ ώ τ ο από α ρ ι σ τ ε ρ ά 1 είναι και το μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει. Έ τ σ ι για ν α λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα με τον αλγόριθμο του Gauss, μετατρέπουμε τον επαυξημένο π ί ν α κ ά του σε έναν ισοδύναμο ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , ας λύσουμε το σ ύ σ τ η μ α

Σ χ η μ α τ ί ζ ο υ μ ε τον επαυξημένο π ί ν α κ α του συστήματος

και έχουμε διαδοχικά:

(βήμα 2ο)

(βήμα 4ο)

Αγνοούμε την 1η γραμμή (βήμα 5ο) (βήμα 2ο)

βήμα 3ο)

(βήμα 4ο)

Αγνοούμε τη 2η γραμμή (βήμα 5ο) (βήμα 3ο)

(βήμα 6ο)

Ο τελευταίος πίνακας είναι ανηγμένος κλιμακωτός και αντιστοιχεί στο σ ύ σ τ η μ α

που είναι ισοδύναμο με το σ ύ σ τ η μ α

Ε π ο μ έ ν ω ς , το σ ύ σ τ η μ α έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής

•

Ας λ ύ σ ο υ μ ε τ ώ ρ α και το σύστημα:

Σ χ η μ α τ ί ζ ο υ μ ε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά:

Από την 3η γ ρ α μ μ ή του τελευταίου πίνακα έχουμε ότι 0 x + 0 y + 0 z + 0 ω = - 1 ή 0 = - 1 , που σημαίνει ότι το σ ύ σ τ η μ α είναι αδύνατο. Γενικά, Αν κατά την επίλυση ενός συστήματος με τη βοήθεια του επαυξημένου πί, νακα παρουσιαστεί μια γραμμή της μορφής με , τότε το σύστημα είναι αδύνατο. ΣΧΟΛΙΟ Από τα σ υ σ τ ή μ α τ α που λύσαμε μέχρι τώρα, π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι, όσα από αυτά είναι συμβιβαστά, ή έχουν μία μοναδική λύση ή έχουν άπειρο πλήθος λύσεων. Δηλαδή, δεν εμφανίστηκε σ ύ σ τ η μ α που ν α έχει π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ε ς από μία αλλά πεπ ε ρ α σ μ έ ν ο υ πλήθους λύσεις. Αποδεικνύεται ότι αυτό ισχύει γενικά για τα γ ρ α μ μ ι κ ά συστήματα.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να λ υ θ ε ί το σύστημα

ΛΥΣΗ Σ χ η μ α τ ί ζ ο υ μ ε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά:

• Αν

•

Αν

, τότε το σ ύ σ τ η μ α είναι αδύνατο.

κ=1 ,

τότε ο τελευταίος πίνακας γράφεται

Ε π ο μ έ ν ω ς , το σ ύ σ τ η μ α ισοδυναμεί με την εξίσωση

και έτσι έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ( x , 1 - x ) ,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τα σ υ σ τ ή μ α τ α

και

ii)

στη μορφή ΑΧ = Β, όπου Α ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, Χ ο πίνακας των α γ ν ώ σ τ ω ν και Β ο πίνακας των σ τ α θ ε ρ ώ ν όρων. 2.

Να γ ρ ά ψ ε τ ε τα γ ρ α μ μ ι κ ά σ υ σ τ ή μ α τ α που περιγράφουν οι ισότητες:

ii)

Στη συνέχεια ν α γράψετε τους ε π α υ ξ η μ έ ν ο υ ς πίνακες των σ υ σ τ η μ ά των αυτών. 3.

Να λύσετε τα σ υ σ τ ή μ α τ α που αντιστοιχούν στους α ν η γ μ έ ν ο υ ς κλιμακωτούς πίνακες:

ii)

iii)

Με τον αλγόριθμο του Gauss ν α λύσετε τα συστήματα:

ii)

iii)

Ομοίως τα συστήματα:

ii)

iii)

Ομοίως τα συστήματα:

ii)

Β' ΟΜΑΔΑΣ

ν α έχει ως

Ν α βρείτε τα α, β, γ ώστε το σ ύ σ τ η μ α

λύση την (x,y,ω) = (1, - 1 , 1 ) 2.

Ν α βρείτε την ε ξ ί σ ω σ η της παραβολής y= αx2 + βx + γ, που διέρχεται από τα σημεία (1, 0 ) , (2, 0) και (-1, 6).

Αν

ν α αποδείξετε ότι

και

ν α λύσετε το γ ρ α μ μ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α

ΑΧ = ΑΧ 5.

Αν

ν α βρείτε ολους τους πίνακες Χ για τους οποίους ι-

σχύει: ΑΧ = ΧA

Ν α λύσετε τα συστήματα:

1.7

ii)

ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕΘΟΔΟ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

iii)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΜΕ

ΤΗ

Εισαγωγή Στην π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν η παράγραφο περιγράψαμε μια μέθοδο με την οποία μπορούμε ν α βρίσκουμε τη λύση ενός γραμμικού συστήματος. Ό μ ω ς , όπως έχουμε δει στα γ ρ α μ μ ι κ ά σ υ σ τ ή μ α τ α με δύο αγνώστους, είναι χρήσιμο ν α έχουμε και έναν τύπο, ο οποίος ν α εκφράζει τις λ ύ σ ε ι ς ενός γ ρ α μ μ ι κ ο ύ σ υ σ τ ή μ α τ ο ς ως συνάρτηση των συντελεστών του. Οι τύποι που θα βρούμε γενικεύουν τους τύπους που ήδη ξέρουμε για την περίπ τ ω σ η ενός γ ρ α μ μ ι κ ο ύ σ υ σ τ ή μ α τ ο ς 2 x 2 . Θα π ρ ο χ ω ρ ή σ ο υ μ ε στην αναζήτηση ενός τέτοιου τύπου που τα ε ρ γ α λ ε ί α για την α ν ε ύ ρ ε σ ή του είναι οι ορίζουσες.

Ορίζουσα ενός 2x2

πίνακα

Έ σ τ ω ο 2 x 2 πίνακας Ο αριθμός α 11 α 22 - α 2 1 α 1 2 λέγεται ορίζουσα του π ί ν α κ α Α και συμβολίζεται με ή με

Δηλαδή,

Ε π ε ι δ ή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν 2 x 2 πίνακα, λέγεται ο ρ ί ζ ο υ σ α 2ης τάξης. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η ορίζουσα — του π ί ν α κ α

—

του π ί ν α κ α

— του π ί ν α κ α

είναι

είναι είναι

Ορίζουσα ενός 3x3

πίνακα

Η ορίζουσα ενός 3 x 3 π ί ν α κ α ορίζεται με την βοήθεια της ορίζουσας 2ης τ ά ξ η ς ως εξής:

Έ σ τ ω ο 3 x 3 πίνακας

λέγεται ορίζουσα του πίνα-

Ο αριθμός

κα Α και συμβολίζεται με

ή με

Δηλαδή

(1)

Επειδή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν 3 x 3 πίνακα, λέγεται ορίζουσα 3ης τάξης. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν

, τότε

Η π α ρ ά σ τ α σ η (1) με την οποία ορίζεται η

λέγεται ανάπτυγμα της

ως

προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Με εκτέλεση των π ρ ά ξ ε ω ν στο ανάπτυγμα αυτό έχουμε:

(2) Η π α ρ ά σ τ α σ η (2) λέγεται ανάπτυγμα της

ως προς τα στοιχεία της δεύτε-

ρης γραμμής. Ομοίως, μπορούμε ν α διαπιστώσουμε ότι ισχύει και

(3) που λέγεται ανάπτυγμα

ως προς τα στοιχεία της τρίτης γραμμής. ,

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι σε καθένα από τα α ν α π τ ύ γ μ α τ α της

κάθε στοιχείο αij

της αντίστοιχης γ ρ α μ μ ή ς πολλαπλασιάζεται με την ορίζουσα 2ης τ ά ξ η ς του πίν α κ α που προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γ ρ α μ μ ή και τη στήλη του στοιχείου αij. Η ορίζουσα αυτή λέγεται ελλάσων ορίζουσα του στοιχείου και συμβολίζεται με

Mij. έχει πρόσημο

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε επίσης ότι κάθε όρος ενός αναπτύγματος της + ή - , ίδιο με το πρόσημο του ( - 1 )

i+j

. Το γινόμενο ( - 1 )

βρικό συμπλήρωμα του στοιχείου αij και συμβολίζεται με

i+J

M i j λέγεται α λ γ ε Aij.

Δηλαδή Aij=(-1)i+jMij. Με τους συμβολισμούς αυτούς τα α ν α π τ ύ γ μ α τ α (1), (2) και (3) γράφονται:

Με εκτέλεση των πράξεων προκύπτουν

που είναι α ν ά π τ υ γ μ α της

ως προς τα στοιχεία της 1ης, της 2ης και της 3ης

στήλης αντιστοίχως ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην πράξη το α ν ά π τ υ γ μ α που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό μιας ορίζουσας είναι ως προς τη γ ρ α μ μ ή ή στήλη που έχει τα π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ α μηδενικά.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν

τότε

αij

Ορίζουσα ενός ν χ ν πίνακα Ορίσαμε μέχρι τ ώ ρ α την ορίζουσα ενός 2 x 2 πίνακα και με τη βοήθειά της την ορίζουσα ενός 3 x 3 πίνακα. ν α είναι το Ορίζουμε επίσης ως ορίζουσα ενός π ί ν α κ α με ένα στοιχείο ίδιο το στοιχείο. με τη βοήθεια του Γενικά, μπορούμε ν α ορίσουμε την ορίζουσα ν τάξης ορισμού της ορίζουσας ν - 1 τάξης. Έ ν α ς τέτοιος ορισμός λέγεται

επαγωγι

κός. Σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν α , έστω ο ν x ν πίνακας

Ονομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α και τη συμβολίζουμε με

τον αριθμό

όπου Αij = (-l)i+j Μij και Μij, η ( ν - 1 ) τάξης ορίζουσα του π ί ν α κ α που προκύπτει από τον A, αν παραλείψουμε τη γ ρ α μ μ ή και τη στήλη του στοιχείου

αij.

Ό π ω ς και στις ορίζουσες 3ης τάξης, η ορίζουσα Mij λέγεται ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου αij και το γινόμενο (-1 )i+j Μij λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου αij. Η π α ρ ά σ τ α σ η α11Α11 +α12Α12 +···+α1vΑ1ν με την οποία ορίσαμε την

λέγεται,

όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, ανάπτυγμα της ο ρ ί ζ ο υ σ α ς κατά τα στοιχεία της 1ης γραμμής. Αποδεικνύεται το επόμενο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιαδήποτε γ ρ α μ μ ή i ή στήλη i ενός ν x ν π ί ν α κ α A ισχύει: και (α) (β)

Η παράσταση (α) λέγεται α ν ά π τ υ γ μ α τ η ς ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της γραμμής, ενώ η (β) α ν ά π τ υ γ μ α τ η ς ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της j στήλης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Είναι φανερό ότι αν τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης ενός πίνακα Α είναι όλα μηδέν, τότε 2) Αν ένας πίνακας είναι τριγωνικός άνω ή κάτω, τότε αποδεικνύεται ότι η ορίζουσά του είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Για παράδειγμα

3) Αποδεικνύεται επίσης ότι, αν δύο γραμμές (δύο στήλες) ενός πίνακα είναι ίσες ή ανάλογες, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με μηδέν. Για παράδειγμα,

αφού

Γ2 = 3Γ 1 .

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να Βρεθούν τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων της 2ης στήλης της ορίζουσας των πινάκων

ii)

και στη συνέχεια να υπολογισθούν οι ΛΥΣΗ i) Έχουμε

Επομένως, ii) Έ χ ο υ μ ε

Επομένως

Επίλυση νxν γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο του Cramer Ό π ω ς είδαμε στα προηγούμενα, ένα γραμμικό μxν

σ ύ σ τ η μ α μπορεί ν α έχει

μοναδική λ ύ σ η ή άπειρο πλήθος λύσεων ή ν α είναι αδύνατο. Στην ειδική περίπ τ ω σ η που το σ ύ σ τ η μ α είναι ν x ν , το επόμενο θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μας πληροφορεί πότε το σ ύ σ τ η μ α αυτό έχει μοναδική λ ύ σ η και πότε έχει άπειρο πλήθος λύσεων ή είναι αδύνατο. ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω το ν x ν γ ρ α μ μ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α ΑΧ = Β . •

Αν

, τότε το σ ύ σ τ η μ α έχει μοναδική λύση την (x 1 ,x 2 ,...,x v ) με

όπου D είναι η ορίζουσα

των συντελεστών των α γ ν ώ σ τ ω ν και

Dxi,

i= 1,2,3,..., ν είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν α ν τ ι κ α τ α σ τ ή σ ο υ με την i στήλη των συντελεστών του α γ ν ώ σ τ ο υ xi, με τη στήλη των σταθερών όρων. • Αν

, τότε το σ ύ σ τ η μ α ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

Από το θ ε ώ ρ η μ α αυτό προκύπτει ότι: ΠΟΡΙΣΜΑ ,

Το ομογενές σ ύ σ τ η μ α • έχει μόνο τη μηδενική λύση, αν και μόνο αν • έχει και μη μηδενικές λύσεις (άπειρο πλήθος), αν και μόνο αν

ΣΧΟΛΙΑ 1) Έ ν α

νxν

γραμμικό σ ύ σ τ η μ α

ΑΧ = Β

με

λέγεται και

σύστημα

Cramer, η δε επίλυση του συστήματος αυτού αναφέρεται και ως κανόνας του Cramer. 0 κανόνας του Cramer δεν είναι αποδοτική μέθοδος για ν α χρησιμοποιηθεί στη λύση σ υ σ τ η μ ά τ ω ν με ένα μεγάλο αριθμό ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν , γιατί πρέπει ν α υπολογιστούν πολλές ορίζουσες μεγάλης τάξης. Γι' αυτό στη συνέχεια με τον κανόνα αυτόν θα επιλύουμε μόνο 2 x 2 και 3 x 3 γ ρ α μ μ ι κ ά συστήματα. Ως προς τους αριθμητικούς υπολογισμούς η μέθοδος επίλυσης σ υ σ τ ή μ α τ ο ς με τον αλγόριθμο του Gauss υπερτερεί του κανόνα του Cramer. Ό μ ω ς , ο κανόν α ς του C r a m e r είναι ιδιαίτερα χρήσιμος σε θεωρητικά ζητήματα. 2) Για την επίλυση ενός ν x ν γραμμικού συστήματος ΑΧ = Β με

εργα-

ζόμαστε σ υ ν ή θ ω ς με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss. 3)

Αν ένα

νxν

γ ρ α μ μ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α είναι ομογενές,

τότε Dx1 = D x 2 =...=

= Dxv = 0, αφού όλες οι ορίζουσες έχουν μια μηδενική στήλη.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1 . Να λ υ θ ε ί το σύστημα

ΛΥΣΗ

Έχουμε

και

Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με τον κανόνα του Cramer, είναι

δηλαδή το σ ύ σ τ η μ α έχει τη μοναδική λύση

2 . Να λ υ θ ε ί το σ ύ σ τ η μ α

ΛΥΣΗ Έχουμε

Οι τιμές της παραμέτρου λ που μηδενίζουν την ορίζουσα D = λ(λ - 1)(λ +1) είναι οι 0 , - 1 , 1 . —

Για

και

είναι

και ε π ο μ έ ν ω ς και

δηλαδή το σ ύ σ τ η μ α έχει τη μοναδική λύση

—

Για

λ = 0 , το σ ύ σ τ η μ α γίνεται

Αν π ρ ο σ θ έ σ ο υ μ ε κατά μέλη

τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε το σύστημα προφανώς είναι αδύνατο. — Για λ = 1, το σύστημα γίνεται

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (ω, 1, ω), — Για λ = -1, το σύστημα γίνεται

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( y , y , - l ) ,

3 . Να λυθεί το ομογενές σύστημα ΛΥΣΗ Έχουμε

το οποίο

Οι τιμές της π α ρ α μ έ τ ρ ο υ λ που μηδενίζουν την ορίζουσα D είναι οι 1 και - 2 . —

—

Για και είναι λύση τη μηδενική (0, 0, 0 ) .

και ε π ο μ έ ν ω ς το σ ύ σ τ η μ α έχει μοναδική

Για Α = 1 το σ ύ σ τ η μ α γίνεται

και έχει άπειρες λύσεις της μορφής Για λ = - 2 το σ ύ σ τ η μ α γίνεται

Ά ρ α , το σ ύ σ τ η μ α έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x,x,x,),

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να υπολογίσετε τις ορίζουσες

ii)

iii)

iv)

ν)

vi)

Ν α λύσετε τις εξισώσεις:

ii)

iv)

iii)

Να λύσετε τα σ υ σ τ ή μ α τ α i)

ii)

iii)

iv)

για τις οποίες τα π α ρ α κ ά τ ω σ υ σ τ ή μ α τ α Ν α βρείτε τις τιμές του έχουν και μη μηδενικές λύσεις.

ii)

Β' ΟΜΑΔΑΣ 1.

τα συστήματα:

Να λύσετε για τις διάφορες τιμές των

ii)

Ν α λύσετε το σύστημα:

Ν α βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών

ii)

iii)

iv)

Θ ε ω ρ ο ύ μ ε την εξίσωση at2 + βt + γ = 0 , α # 0 και το σ ύ σ τ η μ α

i) Ν α αποδείξετε ότι αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, τότε το σ ύ σ τ η μ α έχει μοναδική λύση. Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο. ii) Αν η ε ξ ί σ ω σ η έχει μια διπλή ρίζα, ν α εξετάσετε πόσες λύσεις έχει το σύστημα. 5.

Αν για τους

υπάρχουν

που δεν είναι όλοι μηδέν.

τέτοιοι ώστε ν α ισχύει x = yy + βω,

y=αω

+ γx και

ω=βx

+ αy

ν α αποδείξετε ότι α2 + β2 + γ2 + 2αβγ = 1 6.

Να λύσετε τα συστήματα:

ii)

Δίνεται ο πίνακας

Να βρείτε τις τιμές του πίνακας

για τις οποίες υπάρχει μη μηδενικός

τέτοιος, ώστε

ΑΧ = λΧ

(1).

ii)Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την ε ξ ί σ ω σ η (1).

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Δίνεται ο π ί ν α κ α ς

Ν α αποδείξετε ότι i) ii)

για κάθε

Hi)

2. Δίνεται ο πίνακας

i) Να αποδείξετε ότι Αν Α=αΜ

+αM

και γ ενικά

για κάθε 2

+ I και Β = α(α-1)Μ

-αM

+I, -1

βρείτε το γινόμενο ΑΒ και ν α αποδείξετε ότι Β 3. Αν 2 i) J

και

, τότε ν α

= Α.

τότε ν α αποδείξετε ότι:

=-Ι

ii) Το άθροισμα και το γινόμενο πινάκων της μορφής αI + βJ , όπου α,β πραγματικοί αριθμοί είναι επίσης πίνακες της ίδιας μορφής. iii) O πίνακας αI + βJ έχει αντίστροφο, αν και μόνο αν 4. Να αποδείξετε ότι η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία ε του διπλανού σχήματος είναι γραμμικός μετασχηματισμός με π ί ν α κ α

Μπορείτε από τον πίνακα Α να βρείτε τους πίνακες των σ υ μ μ ε τ ρ ι ώ ν ως προς τον άξονα x'x, τον άξονα y'y, την ευθεία y = x και την ευθεία y=-x; 5. Έ σ τ ω ο γραμμικός μετασχηματισμός με i) Ν α αποδείξετε ότι ο Τ είναι συνάρτηση "1-1". ii) Να βρείτε τον αντίστροφο του μετασχηματισμού Τ.

iii) Ν α βρείτε τους αντίστροφους μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ο ύ ς των σ υ μ μ ε τ ρ ι ώ ν της στροφής και της ομοιοθεσίας. 6. Ν α λύσετε το σύστημα:

7. Ν α λύσετε για τις διάφορες τιμές του

το σύστημα:

8. Ν α βρείτε για τις διάφορες τιμές του ευθειών

τις σχετικές θέσεις των

9. Ν α λύσετε το σύστημα:

10. Έ σ τ ω ο πίνακας

και

πραγματικός

Αν υπάρχουν μη μηδενικός π ί ν α κ α ς

αριθμός

τέτοιοι,

ώστε

να

ισχύει

ΑΧ = λX , ν α αποδείξετε ότι 11. i) Ν α λύσετε το σύστημα:

ii) Ν α βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι εξισώσεις:

έχουν κοινή ρίζα. Ποια είναι η κοινή ρίζα σε κάθε μια περίπτωση;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I.

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γ ρ ά μ μ α Α , αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γ ρ ά μ μ α Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψ ε υ δ ή ς , αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.

Αν

τότε

Αν

τότε κ α τ ' ανάγκη είναι

Αν

Αν ΑΒ = 2I, όπου Α, Β τετραγωνικοί πίνακες, τότε οι

τότε Α = Β.

Α, Β είναι αντιστρέψιμοι πίνακες. 5.

Αν ΑΒ = 2I,

όπου Α, Β τετραγωνικοί πίνακες, τότε

ΒΑ = 2I. 6.

Αν

Αν Α2 =I τότε κ α τ ' ανάγκη θα είναι

τότε κ α τ ' ανάγκη θα είναι Α = Ι

Α=Ι 8.

Αν

Ισχύει πάντοτε

ή Α = -I.

τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος. (ΑΒ)2

=Α2Β2.

10. Αν ΑΧ = ΒΧ, τότε κ α τ ' ανάγκη θα είναι Α=Β 11. O

αντίστροφος του πίνακα

είναι ο πίνακας

12. Τ α σ υ σ τ ή μ α τ α και

είναι ισοδύναμα.

13.

Αν ένα γραμμικό σ ύ σ τ η μ α έχει δυο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρες λύσεις.

14. Έ ν α ομογενές σ ύ σ τ η μ α μπορεί ν α είναι αδύνατο. 15. Το σ ύ σ τ η μ α

έχει και μη μηδενικές

λύσεις 16. Αν η εξίσωση α t 2 + β t + γ = 0 , με στο

,είναι αδύνατη

τότε το σ ύ σ τ η μ α

έχει μοναδική

λύση.

17. Το σ ύ σ τ η μ α

είναι αδύνατο.

18. Έ σ τ ω (Σ) ένα 3 x 3 γραμμικό σύστημα. i) Αν

τότε το σ ύ σ τ η μ α είναι

ομογενές. ii) Αν

τότε το σ ύ σ τ η μ α είναι

ομογενές.

II. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις

1. O πίνακας Α) λ = 2,

είναι ο μοναδιαίος, αν Β) λ = 0 ,

Γ) λ = 1,

Δ) λ =3 .

2. Έ σ τ ω Α ένας 2 x ν πίνακας. Αν υπάρχει πίνακας Χ τέτοιος, ώστε ΑΧ = ΧΑ, τότε ο Χ είναι τύπου Α) 2 x 2 ,

Β) 2 x 3 ,

Γ) 3 x 2 ,

Δ) 3 x 3 .

3. Έ σ τ ω Α ένας αντιστρέψιμος πίνακας και π ί ν α κ α κΑ είναι ο πίνακας Α)

Β)

Γ)

O αντίστροφος του

Δ)

A) λ = 0, 5.

είναι αδύνατο, αν

Το σ ύ σ τ η μ α Β) λ = 1,

Γ) λ = - 1 ,

Δ)

Oι ευθείες

A) Περνούν από το ίδιο σημείο. Β) Σχηματίζουν τρίγωνο. Γ) Είναι π α ρ ά λ λ η λ ε ς ανά δύο. Δ) Οι δύο είναι παράλληλες και η τρίτη τις τέμνει Ε) Οι δύο συμπίπτουν και η τρίτη τις τέμνει.

III. Να αντιστοιχίσετε κάθε μετασχηματισμό της πρώτης στήλης στον πίνακά του της δεύτερης στήλης ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Στροφή κατά γ ω ν ί α 90° και στη συν έ χ ε ι α σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς την ευθεία

ΠΙΝΑΚΑΣ

α.

β. γ. 2.

Σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς τον άξονα x'x και στη συνέχεια σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς την ευθεία y = x. δ.

Σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς την αρχή των αξόνων και στη συνέχεια συμμετρία ως προς την ευθεία y = x.

ε.

ΙΣΤΟΡΙΚΟ

ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Οι "γραμμοπράξεις" σ' ένα κινέζικο πρόβλημα του 3ου αιώνα π.Χ. Το επόμενο πρόβλημα προέρχεται από μια αρχαία κινεζική συλλογή προβλημάτων με τίτλο "Εννέα κεφάλαια στη μαθηματική τέχνη". Η λύση που δίνεται εκεί συμπίπτει ουσιαστικά με τη σύγχρονη μέθοδο του "επαυξημένου πίνακα" και των "γραμμοπράξεων". και 3 δεμάτια μιας καλής συγκομιδής, 2 δεμάτια μιας μέτριας συγκομιδής 1 δεμάτι μιας κακής συγκομιδής δίνουν 39 dou σιτάρι. 2 δεμάτια της καλής, 3 δεμάτια της μέτριας και 1 δεμάτι της κακής συγκομιδής δίνουν 34 dou σιτάρι. 1 δεμάτι της καλής, 2 δεμάτια της μέτριας και 3 δεμάτια της κακής συγκομιδής δίνουν 26 dou σιτάρι. Να βρεθεί πόσο σιτάρι δίνει ένα δεμάτι από κάθε είδος συγκομιδής. Το πρόβλημα αυτό ανάγεται σήμερα στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους x, y, z: 3x

+2y

+3y

34.

+2y

+3z

Στο αρχαίο κείμενο, στο οποίο δεν υπάρχουν καθόλου σύμβολα, δίνονται οδηγίες για την τοποθέτηση των αριθμών στις κατακόρυφες στήλες ενός άβακα σύμφωνα με τον εξής τρόπο: 1

Η παραπάνω διάταξη μετασχηματίζεται στη συνέχεια ως εξής: Η 2η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 3 και κατόπιν αφαιρείται απ' αυτήν 2 φορές η 3η στήλη, με αποτέλεσμα: 1

Κατόπιν η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 3 και απ' αυτήν αφαιρείται η 3η στήλη, με αποτέλεσμα: 3 4

Τέλος, η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 5 και απ' αυτήν αφαιρείται 4 φορές η 2η στήλη, με αποτέλεσμα 3 5

Το αρχικό σύστημα έχει λοιπόν μετασχηματιστεί στο 3x+2y +z = 39 5 y +z = 24 36z = 99 από το οποίο υπολογίζεται αμέσως ο ζ και με διαδοχικές αντικαταστάσεις, οι x, y. Στο αρχαίο κείμενο, με μια ανάλογη διαδικασία που εκτελείται π ά ν ω στον άβακα, προσδιορίζεται η λύση του προβλήματος: 1 δεμάτι της κακής συγκομιδής δίνει

1 δεμάτι της μέτριας συγκομιδής δίνει

1 δεμάτι της καλής συγκομιδής δίνει

σιτάρι

σιτάρι.

Στο έργο "Αριθμητικά", του Έ λ λ η ν α μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου, υπάρχουν πολλά προβλήματα που ανάγονται στην επίλυση γραμμικών συστημάτων. Στο επόμενο, που είναι το πρόβλημα 19 του πρώτου βιβλίου, ο τρόπος επίλυσης βρίσκεται πολύ κοντά προς το σύγχρονο αλγεβρικό τρόπο σκέψης: Ευρείν τέσσαρας αριθμούς όπως οι τρεις λαμβανόμενοι του λοιπού υπερέχωσιν επιταχθέντι αριθμώ. (Να βρεθούν 4 αριθμοί έτσι ώστε λαμβανόμενοι ανά τρεις να ξεπερνούν τον άλλο κατά δοθέντα αριθμό) O Διόφαντος παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος μέσα από μια ειδική περίπτωση (που γενικεύεται άμεσα). Έ σ τ ω , γράφει, ότι οι α, β, γ ξεπερνούν τον δ κατά 20, οι β, γ, δ ξεπερνούν τον α κατά 30, οι γ, δ, α ξεπερνούν τον β κατά 40 και οι δ, α, β ξεπερνούν τον γ κατά 50. Το πρόβλημα, όπως είναι φανερό, ανάγεται στην επίλυση του γραμμικού συστήματος:

α+β+γ=δ+

β+γ+δ=α+

γ + δ + α = β + 40 δ + α + β =γ+50 O Διόφαντος, ο οποίος δε χρησιμοποιεί ειδικά σύμβολα για την πρόσθεση και την ισότητα, λύνει το πρόβλημα με την εισαγωγή ενός βοηθητικού αγνώστου, που εκφράζει το άθροισμα των 4 ζητούμενων αριθμών. Η μέθοδός του, με σύγχρονο συμβολισμό, συνοψίζεται ως εξής: Αν α + β+γ+δ = 2x, τότε από την α+β+γ=δ+ 20 έχουμε α + β+γ

+ δ = 2(δ + 20 ή 2x = 2δ + 20 ή δ=x-10.

ξισώσεις παίρνουμε α= x - 1 5 , β=x-20 ταίες

ισότητες,

με

πρόσθεση

Όμοια, από τις άλλες ε-

και γ=x-25.

παίρνουμε

α+β+γ+δ

Από τις 4 τελευ= 4x-70

2x= 4 x - 7 0 ή x= 35 και άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι α= 3 5 - 1 5 = 20,

β=

3 5 - 2 0 = 15, γ = 3 5 - 2 5 = 10, δ = 3 5 - 1 0 = 25

Η πρώτη εμφάνιση μιας "ορίζουσας " σε πρόβλημα απαλοιφής Ο G.W. Leibniz, σε μια επιστολή του προς τον l' Hospital στις 28-41693, πρότεινε μια μέθοδο χρησιμοποίησης των αριθμών για την έκφραση γενικών σχέσεων, όπως ακριβώς γίνεται με τη χρήση των γραμμάτων. Ως π α ρ ά δ ε ι γ μ α έδωσε ένα γραμμικό σύστημα 3 εξισώσεων με 2 αγνώστους, γ ρ α μ μ έ ν ο στη μορφή: 10 + 11x+12y = 0 20 + 21x + 22y = 0

(1)

30+31x + 32y = 0 Οι συντελεστές του συστήματος δεν εκφράζουν εδώ αριθμούς αλλά λειτουργούν όπως και οι διπλοί δείκτες που χρησιμοποιούνται σ ή μ ε ρ α για την παράσταση των στοιχείων ενός πίνακα. Αυτοί οι "ψευδοαριθμοί" (όπως τους αποκαλεί ο Leibniz) δείχνουν με το πρώτο ψηφίο τους την εξίσωση στην οποία βρίσκονται και με το δεύτερο, το γ ρ ά μ μ α στο οποίο ανήκουν. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, ο Leibniz απαλείφει τον ά γ ν ω σ τ ο ς , αρχικά από την 1η και 2η εξίσωση και κατόπιν από την 1η και 3η. Έ τ σ ι προκύπτουν οι εξισώσεις: 10.22 +11.22x -12.20 -12.21x = 0 10.32+ 11.32x-12.30 -12.31x = 0 Στη συνέχεια απαλείφει το x από τις δυο τελευταίες εξισώσεις (λύνοντας καθεμιά ως προς x και εξισώνοντας τα αποτελέσματα) και φτάνει στην ισότητα: 10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30 ή 10.21.32 + 11.22.30+12.20.31-10.22.31-11.20.32-12.21.30 = 0 .

Δ η λ α δ ή σ ' αυτό που σήμερα αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για ν α έχει λύση το σ ύ σ τ η μ α (1)' (ο μηδενισμός της ορίζουσας του ε π α υ ξ η μ έ ν ο υ πίν α κ α του συστήματος). Το προηγούμενο αποτέλεσμα του Leibniz έχει κυρίως τη σ η μ α σ ί α της απ α λ ε ί φ ο υ σ α ς ενός γραμμικού συστήματος, δηλαδή της σ χ έ σ η ς μεταξύ τ ω ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν η οποία προκύπτει όταν γίνεται απαλοιφή όλων τ ω ν αγ ν ώ σ τ ω ν . Στην ίδια επιστολή ο Leibniz δίνει και ένα γενικό κ α ν ό ν α γ ι α τον υπολογισμό της απαλείφουσας ενός οποιουδήποτε γ ρ α μ μ ι κ ο ύ συστήματος, που έχει επαρκή αριθμό εξισώσεων για την απαλοιφή όλων των αγνώστων.

Οι ορίζουσες και οι πίνακες ως ανεξάρτητες

έννοιες

Η χρησιμοποίηση των οριζουσών για την επίλυση γ ρ α μ μ ι κ ώ ν σ υ σ τ η μ ά των έγινε πρώτη φορά από τον C. MacLaurin το 1729, αλλά η μέθοδος αυτή έμεινε γ ν ω σ τ ή με το όνομα του G. Cramer, ο οποίος την π α ρ ο υ σ ί α σε στο βιβλίο του " Ε ι σ α γ ω γ ή στην ανάλυση των αλγεβρικών κ α μ π ύ λ ω ν γ ρ α μ μ ώ ν " (1750). Θέλοντας ν α προσδιορίσει μια καμπύλη που διέρχεται από 5 γ ν ω σ τ ά σ η μ ε ί α και έχει εξίσωση της μορφής

A + By+Cx + Dy2 +Exy + x2 =0 ο C r a m e r καταλήγει σ' ένα γραμμικό σ ύ σ τ η μ α 5 ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν με αγνώστους τ α A,B,C,D,E. Για ν α λύσει αυτό το σύστημα, περιγράφει μια μέθοδο υπολογισμού των α γ ν ώ σ τ ω ν με κατασκευή κλασμάτων, των οποίων ο κοινός π α ρ ο ν ο μ α σ τ ή ς και οι αριθμητές προσδιορίζονται από τους συν τ ε λ ε σ τ έ ς του συστήματος σ ύ μ φ ω ν α με γενικούς κανόνες. Αυτή είναι ουσιαστικά η σημερινή μέθοδος των οριζουσών αλλά ο C r a m e r δε χρησιμοποιεί κάποιο ειδικό όνομα ή σύμβολο για την έννοια της ορίζουσας. Ο λατινικός όρος d e t e r m i n a n t e m (ορίζουσα) χρησιμοποιήθηκε για π ρ ώ τ η φορά από τον C.F. Gauss το 1801 αλλά όχι με τη σημερινή σημασία. Η πρώτη σ υ σ τ η μ α τ ι κ ή διαπραγμάτευση της θεωρίας των οριζουσών έγινε από τον A.L. Cauchy σε μια εργασία του που δημοσιεύτηκε το 1815. Η λέξη "ορίζουσα" χρησιμοποιείται εκεί με τη σημερινή σ η μ α σ ί α ε ν ώ εισάγεται και η τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ ή διάταξη των στοιχείων της με τη βοήθεια τ ω ν διπλών δεικτών:

(οι 2 κάθετες γ ρ α μ μ έ ς για το συμβολισμό μιας ορίζουσας, χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον Α. Cayley το 1841). Σε αντίθεση από τη σημερινή λογική σειρά παρουσίασης, η έννοια του π ί ν α κ α υπήρξε, ιστορικά, μεταγενέστερη από την έννοια της ορίζουσας.

Το γεγονός ότι η ορίζουσα δεν είναι μόνο ένας αριθμός αλλά συσχετίζει αυτόν τον αριθμό με μια τετραγωνική διάταξη στοιχείων, οδήγησε βαθμιαία στη μελέτη αυτής της ίδιας της διάταξης, ανεξάρτητα από την τιμή της ορίζουσας. Ο όρος matrix (μήτρα, καλούπι), που σήμερα χρησιμοποιείται διεθνώς για την έννοια του πίνακα, πρωτοεμφανίστηκε σε μια εργασία του J.J. Sylvester το 1850, για να διαχωριστεί η έννοια της ορίζουσας από την τετραγωνική διάταξη των στοιχείων που την παράγει. Το 1855 ο Α. Cayley εισήγαγε για πρώτη φορά τους πίνακες στη μελέτη των γραμμικών μετασχηματισμών, ενώ το 1858 στην εργασία του "Μια πραγματεία στη θεωρία των μητρών", ανέπτυξε συστηματικά όλη τη βασική θεωρία. Ό π ω ς γράφει ο Cayley, στην ιδεά του πίνακα έφτασε τόσο από την έννοια της ορίζουσας όσο και από την ανάγκη ενός βολικού τρόπου ενός μετασχηματιέκφρασης των εξισώσεων x' = α x + b y , y' = cx+dy σμού, ο οποίος απεικονίζει το σημείο ( x , y ) στο σημείο ( x ' , y ' ) · Ως ένα τέτοιο τρόπο έκφρασης, ο Cayley εισάγει τον πίνακα

και με βάση τις ιδιότητες των μετασχηματισμών ορίζει τις πράξεις των πινάκων και προσδιορίζει τις ιδιότητες τους. Π.χ., αν τον προηγούμενο μετασχηματισμό από το ( x , y ) στο ( x ' , y ' ) ακολουθήσει ένας νέος μετασχηματισμός

από

το

(x',y')

στο

(x",y")

και

με

εξισώσεις

x" = ex' +f y ' ,y" = gx' + hy' τότε, όπως εύκολα μπορεί ν α αποδειχθεί, ισχύει: x" = (eα + fc)x + (eb + fd)y y'' = (gα+hc)x

+ (gb + hd)y.

Έ τ σ ι ο Cayley ορίζει τον πολλαπλασιασμό πινάκων, με βάση το πρότυπο της διαδοχικής εκτέλεσης των δυο μετασχηματισμών, ως εξής:

Στην ίδια εργασία επισημαίνει επίσης ότι αυτός ο πολλαπλασιασμός είναι μια πράξη μη αντιμεταθετική καθώς και το γεγονός ότι υπάρχουν μη μηδενικοί πίνακες που έχουν ως γινόμενο το μηδενικό πίνακα. 0 λογισμός των πινάκων αναπτύχθηκε τα επόμενα χρόνια σε μια αυτοτελή μαθηματική θεωρία, που αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου κλάδου των Μαθηματικών, της Γραμμικής Άλγεβρας. Το 1925, ο W. Heisenberg (βραβείο Νόμπελ Φυσικής 1932) χρησιμοποίησε τη θεωρία των πινάκων για να εκφράσει τα μη αντιμεταθετικά Μαθηματικά που περιγράφουν τα φαινόμενα της κβαντικής μηχανικής, ενώ αργότερα η χρήση των πινάκων επεκτάθηκε και σε άλλες επιστήμες.

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1)

2.1

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Εισαγωγή Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στην προσπάθεια ε π ί λ υ σ η ς των 3

ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν 3ου βαθμού. Αν στην αx

+βx2+γx+ δ = 0

θέσουμε

και

ε κ τ ε λ έ σ ο υ μ ε τις πράξεις, τότε προκύπτει μια εξίσωση της μορφής x 3 =px + q. Στις αρχές του 16ου αιώνα οι Ιταλοί αλγεβριστές S. del Ferro και Ν. T a r t a g l i a α ν α κ ά λ υ ψ α ν μια μέθοδο επίλυσης τέτοιων εξισώσεων, που με σημερινό συμβολισμό ισοδυναμεί με τον τύπο όπου Στην π ε ρ ί π τ ω σ η που η "διακρίνουσα" D είναι θετική, ο τύπος αυτός δίνει αμέσ ω ς μια ρίζα της εξίσωσης. Για παράδειγμα, στην Χ 3 = 9 Χ + 28 είναι D = 169 και ο τύπος δίνει x = 4 , που είναι η μοναδική πραγματική ρίζα. Δ ι α π ι σ τ ώ θ η κ ε , όμως, τότε ένα φαινόμενο τελείως διαφορετικό από την π ε ρ ί π τ ω σ η των εξισώσεων 2ου βαθμού: Υ π ά ρ χ ο υ ν ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς με πραγματικές ρίζες, όπως, για π α ρ ά δειγμα, η x3 = 1 5 x + 4 , που έχει μια προφανή ρίζα το 4 (οι άλλες δύο είναι οι αλλά η διακρίνουσα D είναι αρνητική! Ο τύπος στη σ υ γ κ ε κριμένη περίπτωση δίνει (1) Ό π ω ς είναι φανερό, οι μαθηματικοί βρέθηκαν, εδώ, μπροστά σε ένα δίλημμα: ή θα έπρεπε ν α εγκαταλείψουν τη μέθοδο των Ferro-Tartaglia ως γενική μέθοδο επίλυσης ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν 3ου βαθμού ή ν α δεχτούν ότι ένας σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν ο ς αριθμός, όπως το 4, μπορεί ν α εκφραστεί με π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς που περιέχουν τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ έ ς ρίζες αρνητικών αριθμών. Η δεύτερη άποψη φαινόταν αδιανόητη αλλά αυτό δεν (1)

Το κεφάλαιο αυτό έχει ληφθεί από το βιβλίο: «Μαθηματικά Β' Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» των: Αδαμόπουλου Λ.., Βισκαδουράκη Β., Γαβαλά Δ., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α.

εμπόδισε την εφαρμογή των αλγεβρικών πράξεων σε τέτοιες παραστάσεις. Στα μέσα του 16ου αιώνα ο R. Bombelli. κάνοντας τολμηρές υποθέσεις, βρήκε ότι και

ισχύει

. Αντικαθιστώντας αυτές

τις ισότητες στην (1) προκύπτει αμέσως ότι x = 4 , δηλαδή το αδιανόητο γίνεται πραγματικότητα! Οι αριθμοί της μορφής α + βi με

που ο ν ο μ ά σ τ η κ α ν

αρχικά φανταστικοί και αργότερα μιγαδικοί, έγιναν από τότε αναπόσπαστο εργαλείο των Μ α θ η μ α τ ι κ ώ ν και των εφαρμογών τους στις άλλες επιστήμες. Ο J. H a d a m a r d , ο οποίος το 1896 απέδειξε με χρήση της μιγαδικής α ν ά λ υ σ η ς το " θ ε ώ ρ η μ α των π ρ ώ τ ω ν αριθμών", έγραψε ότι: "Ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο αλήθειες στο πεδίο πραγματικών περνά μέσα από το πεδίο των μιγαδικών".

Το Σύνολο

των Μιγαδικών

των

Αριθμών

Γνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα δεν έχει των πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα η ε ξ ί σ ω σ η x2 = - 1 λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αφού το τ ε τ ρ ά γ ω ν ο δεν έχει λύση στο σύνολο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Για ν α ξ ε π ε ρ ά σ ο υ μ ε την " α δ υ ν α μ ί α " αυτή, διευρύνουμε το σύνολο σε ένα σύνολο , το οποίο ν α τις ίδιες ιδιότητες των π ρ ά ξ ε ω ν αυτών και στο έχει τις ίδιες πράξεις με το οποίο ν α υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της ε ξ ί σ ω σ η ς x2 = - 1 , δηλαδή ένα στοιχείο i , τέτοιο, ώστε i2 = - 1 . Σ ύ μ φ ω ν α με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο θα έχει ως στοιχεία: • Ό λ ο υ ς τους π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ ς αριθμούς • Ό λ α τα στοιχεία της μορφής βi, που είναι γ ι ν ό μ ε ν α των στοιχείων του

με

το i και • Ό λ α τα αθροίσματα της μορφής α + βi, με α και β π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ ς αριθμούς. Τ α στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το κών αριθμών. Επομένως:

σύνολο των μιγαδι-

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν αριθμών, στο οποίο: • Επεκτείνονται οι πράξεις της π ρ ό σ θ ε σ η ς και του π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ύ

έτσι,

ώστε ν α έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο , με το μηδέν (0) ν α είναι το ουδέτερο στοιχείο της π ρ ό σ θ ε σ η ς και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. • Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i2 = - 1 , • Κ ά θ ε στοιχείο z του z = α + βi, όπου

γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή

Η έκφραση

είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι η

σύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού α και του βi, τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό. Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re(z), ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του ζ και σημειώνεται Im(z). Επιπλέον, στο κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α+0i, φανταστικός αριθμός βi εκφράζεται ως 0 + βi.

ενώ κάθε

Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z = α + βi, εννοούμε ότι οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.

Ισότητα

Μιγαδικών

Αριθμών

Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή α + βi, δύο μιγαδικοί αριθμοί α + βi και γ + δi είναι ίσοι, αν και μόνο αν α = γ και β = δ. Δηλαδή ισχύει:

Επομένως, επειδή 0 = 0 + 0 i , έχουμε

Μ ε τ ά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το ερώτημα αν διατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι, κατά την επέκταση από στο οι πράξεις, η διάταξη και οι ιδιότητες αυτών οι οποίες ισχύουν στο το μεταφέρονται και στο . Τα ίδια συμβαίνουν και για τις επεκτάσεις από το ενώ οι στο Στην επέκταση, όμως, από το στο στο και από το εξακολουθούν ν α ισχυουν πράξεις και οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο και στο , εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητες της δε μεταφέρονται.

Γεωμετρική

Παράσταση

Μιγαδικών

Κάθε μιγαδικό αριθμό α + βi μπορούμε ν α τον αντιστοιχίσουμε

στο

σημείο

Μ (α, β)

ενός

καρτεσιανού επιπέδου. Αλλά και αντιστρόφως, κάθε σημείο Μ (α, β) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α + βi. Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού α + βi. Αν θέσουμε z = α + βi, τότε το σημείο Μ (α, β)

μπορούμε να το συμ-

βολίζουμε και με Μ ( z ) . Έ ν α καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο. Ο άξονας x'x λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία Μ(α,0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α = α + 0i, ενώ ο άξονας y'y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού

ανήκουν σε αυτόν τα σημεία

Μ(0,β)

που είναι εικόνες των

φανταστικών

βi = 0 + βi Έ ν α ς μιγαδικός z = α + βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα, , του σημείου Μ (α, β).

2.2

ΠΡΑΞΕΙΣ

ΣΤΟ

ΣΥΝΟΛΟ

ΤΩΝ

ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Σ ύ μ φ ω ν α με τον ορισμό του , η πρόσθεση και ο π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ό ς δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες π ρ ά ξ ε ι ς με δ ι ώ ν υ μ α α +βx στο , όπου βέβαια αντί για x έχουμε το i . Έ τ σ ι : • Για την π ρ ό σ θ ε σ η δύο μιγαδικών αριθμών α + βi και γ + δi έχουμε: (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) +(β+ Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

δ)i.

(3 + 4i) + (5 - 6i) = (3 + 5) + (4 - 6)i = 8 - 2 i .

• Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δi από τον α + βi, επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού γ + δί είναι ο μιγαδικός -γ - δi, έχουμε: (α +

βi) - (γ + δi) = (α + βi) + (-γ - δi) = (α-γ) + (β- δ)i .

Δηλαδή

(α + βi)-(γ + δi) = (α-γ) + (β-δ)i. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α

(3 + 4i) - (5 - 6i) = (3 - 5) + (4 + 6)i =-2+10i. Αν

Μ1(α,β)

α + βi και

και

Μ2(γ,δ)

είναι οι εικόνες των

γ + δi αντιστοίχως

στο

μιγαδικό

επίπεδο, τότε το άθροισμα

(α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i παριστάνεται με το σημείο Μ (α+ γ,β + δ). Επομένως,

, δηλαδή:

"Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών

α +βiκαι γ+δi

είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους". Επίσης, η διαφορά

(α + βi)-(γ+δi) = (α-γ) + (β-δ)i π α ρ ι σ τ ά ν ε τ α ι με το σημείο Ν(α - γ,β - δ).

,δηλαδή:

Επομένως,

"Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών τους". • Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α + βi και γ + δi έχουμε:

(α + βi)(γ + δi) = α(γ + δi) + βi(γ + δi) =aγ+αδi+βγi+ (βi)(δi) =

=αγ+ αδί + βγί + βδί1 =αγ + αδί + βγί - βδ = (αγ - βδ) + (αδ + Δηλαδή,

(α+ βi)(γ + δi) = (αγ - βδ) + (αδ + βγ)i. Για παράδειγμα, (3 + 4i) · (5 - 6i) = 15 - 1 8 i + 20i - 24i 2 = (15 + 24) + (20 - 1 8 ) i = 39 + 2 i . Ειδικότερα, έχουμε: (α + βi)(α - βi) = α2 + β2. Ο αριθμός α - β i λέγεται σ υ ζ υ γ ή ς του α + βi και συμβολίζεται με

. Δηλαδή

, Ε π ε ι δ ή είναι και

οι α + βi, α - βi λέγονται σ υ ζ υ γ ε ί ς μ ι γ α δ ι κ ο ί .

• Τέλος, για ν α εκφράσουμε το πηλίκο

, όπου

, στη μορφή

κ + λi, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρον ο μ α σ τ ή και έχουμε:

Δηλαδή,

Για παράδειγμα:

Δύναμη

Μιγαδικού

Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού ζ με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε: και γενικά για κάθε θετικό ακέραιο ν , με ν > 1. Επίσης, αν

, ορίζουμε

για κάθε θετικό ακέραιο ν. Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών. Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του i έχουμε:

Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι:

δηλαδή, μετά το i4 οι τιμές του iν επαναλαμβάνονται. Άρα, για ν α υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i , γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή ν = 4 ρ + υ , όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, οπότε έχουμε:

Για παράδειγμα:

Ιδιότητες

Συζυγών

Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενες παραγράφους, μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς.

•

Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες Μ (α, β)

Μ'(α,-β)

δύο συζυγών μιγαδικών

z=α + βi

και και

είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα.

•

Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z = α + βi και

μπορούμε

εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, ν α διαπιστώσουμε ότι:

• Αν z1= α + βi και z2 =γ + δi είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε:

Οι ιδιότητες αυτές μπορούν ν α αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων. Για παρ ά δ ε ι γ μ α έχουμε:

Οι π α ρ α π ά ν ω ιδιότητες 1 και 3 ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς. Είναι δηλαδή:

Ιδιαίτερα, αν είναι z1 = z2 = ... = zν = z, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται:

Για παράδειγμα,

Επίλυση

της

Ε π ε ι δ ή i2 = - 1

Εξίσωσης

αz2+βz+γ=0

και

με

και ( - i ) 2 = i 2 = - 1 , η ε ξ ί σ ω σ η x2 = - 1 έχει στο σ ύ ν ο λ ο

μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν δύο λ ύ σ ε ι ς , τις

x1=i

και

x2=-i.

Ομοίως, η

των

εξίσωση

x = - 4 έχει στο σ ύ ν ο λ ο τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν δύο λ ύ σ ε ι ς , τις x1 =2i και x2= - 2 i , αφού

Ε ύ κ ο λ α , ό μ ω ς , μ π ο ρ ο ύ μ ε ν α δ ι α π ι σ τ ώ σ ο υ μ ε ότι και κ ά θ ε ε ξ ί σ ω σ η δ ε ύ τ ε ρ ο υ β α θ μ ο ύ με π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς έχει π ά ν τ α λ ύ σ η στο σ ύ ν ο λ ο C. Π ρ ά γ μ α τι, έ σ τ ω η ε ξ ί σ ω σ η αz 2 + βz + γ=0,

με

και

Ε ρ γ α ζ ό μ α σ τ ε ό π ω ς στην α ν τ ί σ τ ο ι χ η π ε ρ ί π τ ω σ η στο και τη τ ί ζ ο υ μ ε , με τ η μέθοδο σ υ μ π λ ή ρ ω σ η ς τ ε τ ρ α γ ώ ν ω ν , στη μορφή:

ό π ο υ Δ = β2

-4αγ

μετασχημα-

η δ ι α κ ρ ί ν ο υ σ α τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς . Έ τ σ ι , έ χ ο υ μ ε τις ε ξ ή ς π ε ρ ι π τ ώ -

σεις: •

Δ > 0.

Τ ό τ ε η ε ξ ί σ ω σ η έχει δύο π ρ α γ μ α τ ι κ έ ς λ ύ σ ε ι ς :

•

Δ = 0 . Τ ό τ ε έχει μια διπλή π ρ α γ μ α τ ι κ ή λ ύ σ η :

•

Δ < 0 . Τότε, επειδή

, η εξίσωση γρά-

φεται: Ά ρ α οι λ ύ σ ε ι ς τ η ς είναι: (1) οι ο π ο ί ε ς είναι σ υ ζ υ γ ε ί ς μιγαδικοί αριθμοί. Γ ι α π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η ε ξ ί σ ω σ η Z 2 - 5 z + 6 = 0 έχει Δ = 2 5 - 2 4 = 1 > 0 της είναι:

και οι λ ύ σ ε ι ς

. Όμως, η εξίσωση z 2 - 2 z + 2 = 0

έχει

Δ = 4-8 = -4<0

και οι λύσεις της

είναι

οι

συζυγείς

μιγαδικοί

αριθμοί:

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: και

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το άθροισμα

ΛΥΣΗ Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος ν και είναι διαδοχικοί όροι γ ε ω μετρικής προόδου με πρώτο όρο i και λόγο επίσης i . Ε π ο μ έ ν ω ς , οπότε, λόγω της ισότητας ν = 4ρ + υ της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: •

υ=0.

Τότε

ν =4 ρ ,

οπότε

•

υ=1.

Τότε

ν =4ρ +1, οπότε

•

υ=2 .

Τότε

ν =4ρ +2, οπότε

•

υ=3 .

Τότε

ν =4ρ + 3 ,

οπότε

2 . Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών ζ στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός ΛΥΣΗ Αν z-x

+ yi, τότε:

είναι α) φανταστικός β) πραγματικός.

Επομένως: α) O αριθμός

είναι φανταστικός, αν και μόνο αν

λαδή, αν και μόνο αν x2 - x + y2 -2y

, δηή, ισοδύναμα,

= 0 και και

Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο και ακτίνα β) O αριθμός

, με εξαίρεση το σημείο

Α(0,2).

είναι πραγματικός, αν και μόνο αν

, δηλαδή,

αν και μόνο αν

2x + y-2=0

και

Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 2x + y - 2 = 0 , με εξαίρεση το σημείο Α(0,2).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1.

Ν α βρείτε τις τιμές του α) πραγματικός αριθμός

, ώστε ο z = (λ + 3 i ) ( 2 - i ) ν α είναι: β) φανταστικός αριθμός.

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x,y α) (x+y) + (x-y)i

= 3-i

β) γ) 9 - 2 7 i = (3x +

2y)-yi.

για τους οποίους ισχύει:

Στο μιγαδικό επίπεδο ν α σημειώσετε τις εικόνες και τις διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών αριθμών: 1 + i , 1, i, - 2 i , 3 + 4i, 3 - 4 i , 5, 0.

Ν α π ε ρ ι γ ρ ά ψ ε τ ε γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά το σύνολο αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: α) Το πραγματικό μέρος του ζ είναι ίσο β) Το φανταστικό μέρος του ζ είναι ίσο γ) Το πραγματικό μέρος του ζ είναι ίσο

των εικόνων των μιγαδικών με μηδέν. με μηδέν. με το φανταστικό του μέρος.

Σε καθεμιά από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπτώσεις ν α εκτελέσετε τις π ρ ά ξ ε ι ς που σημειώνονται και ν α γ ρ ά ψ ε τ ε το αποτέλεσμα στη μορφή α + βi α)

( - 4 + 6i)+ ( 7 - 2 i )

β)

( 3 - 2 i ) - ( 6 + 4i)

γ)

(3+ 4i)+ ( - 8 - 7 i ) + (5+3i)

δ)

(3 + 2i)(4 + 5i)

στ)

(4 + 3i)(4-3i)

ε) 3i(6+i) ζ) i(3 + i ) ( 2 - i ) .

6. Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τους π α ρ α κ ά τ ω μιγαδικούς στη μορφή α + βi: α) γ)

i2 +2i + 1

δ) στ)

ε)

7. Να βρείτε τους α)

β)

, για τους οποίους ισχύει:

( 3 - 2 i ) 2 - ( x + iy) = x - y i

β) γ)

(3 - 2i)(2x - iy) = 2(2x - iy) + 2i - 1 .

8. Ν α υπολογίσετε τις παραστάσεις: α)

i6 +i 1 6 +i 2 6 +i 3 6 +i 4 6 +i 5 6

β) 9. Ποιος είναι ο , όταν: α) z = - 5 + 7i δ) z = 11

β) z = - 4 - 9i ε) z =

-i

γ) z = 4i στ) z = 0 .

10. Με ποιες σ υ μ μ ε τ ρ ί ε ς μπορούν ν α προκύψουν από την εικόνα του μιγαδικού z = x + yi οι εικόνες των μιγαδικών 11. Αν

και

, ν α δείξετε ότι ο

τικός αριθμός, ενώ ο

z1-z2

z1+z2

είναι π ρ α γ μ α -

φανταστικός αριθμός.

12. Να π ε ρ ι γ ρ ά ψ ε τ ε γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις π α ρ α κ ά τ ω σχέσεις: α)

δ)

γ)

β)

13. Ν α λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τις εξισώσεις: α)

β)

γ)

14. Αν μια ρίζα της ε ξ ί σ ω σ η ς 2x 2 + βx + γ = 0 , όπου

, είναι 3 + 2 i ,

ν α βρείτε τις τιμές των β και γ.

Β' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Αν α, β,γ και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, ν α εξετάσετε πότε το πηλίκο

είναι πραγματικός αριθμός.

Αν

Να βρείτε την τιμή της π α ρ ά σ τ α σ η ς (1 +i) 2 0 - ( 1 - i ) 2 0 .

Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί ν α πάρει η π α ρ ά σ τ α σ η

Ν α λύσετε τις ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς

, ν α βρείτε την τιμή της π α ρ ά σ τ α σ η ς

α) 6.

Έ σ τ ω ο μιγαδικός z με

iν+i-ν;

β) . Να δείξετε ότι ο

κός και ότι

Να αποδείξετε ότι (α + βi)10 +(β-

αi)10 = 0 , όπου

α) Για ένα μιγαδικό αριθμό z ν α αποδείξετε ότι:

είναι π ρ α γ μ α τ ι -

• O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν • Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν και

β) Αν μός

ν α αποδείξετε ότι ο αριθείναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός

εί-

ναι φανταστικός. 9.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών τους οποίους ισχύει:

ΜΕΤΡΟ

Έστω

για

β)

α)

2.3

M(x,y)

ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

ΑΡΙΘΜΟΥ

η εικόνα του μιγαδικού

z = x+yi

στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση του Μ από την αρχή Ο, δηλαδή

Για παράδειγμα, Όταν

μιγαδικός

είναι

της

, τότε

μορφής , που είναι η γ ν ω σ τ ή μας απόλυτη τι-

μή του πραγματικού αριθμού x. Αν

z = x+yi,

τότε

και -z =-x-yi

. Επομένως.

Οι επόμενες ιδιότητες αναφέρονται στις σχέσεις που συνδέουν το γινόμενο και το πηλίκο μιγαδικών με τα μέτρα τους και είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ιδιότητες των απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών. Αν z1,z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε

Πράγματι, έχουμε:

και, επειδή η τ ε λ ε υ τ α ί α ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ι σ ο δ ύ ν α μ η αρχική. Α ν ά λ ο γ α αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα. Γενικά, αποδεικνύεται ότι

και ειδικότερα Τέλος, από τη γ ν ω σ τ ή μας τριγωνική ανισότητα και από τη γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ερμηνεία του αθροίσματος z1 + z2 και της διαφοράς z1 - z 2 δύο μιγαδικών προκύπτει ότι:

Επίσης, είναι φανερό ότι το μέτρο του διανύσματος

είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος

. Επομένως:

" Τ ο μ έ τ ρ ο τ η ς δ ι α φ ο ρ ά ς δύο μ ι γ α δ ι κ ώ ν ε ί ν α ι ίσο με τ η ν α π ό σ τ α σ η τ ω ν εικόνων τους". Δηλαδή:

Έτσι,

για

παράδειγμα, επαληθεύεται

η μόνο

εξίσωση από τους

μιγαδικούς ζ που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους ν α απέχουν από την εικόνα του μιγαδικού 2 + i , δηλαδή από το σημείο Κ(2,1), απόσταση 3 μονάδες. Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι ε ξ ί σ ω σ η κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(2,1) και ακτίνα ρ = 3 .

Γενικά, η εξίσωση

παριστάνει τον

κύκλο με

κέντρο το σημείο Κ ( z 0 )

και ακτίνα ρ. επα-

Επίσης, η εξίσωση

ληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς ζ που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να ισαπέχουν από τις εικόνες των μιγαδικών 1 + 2i και - 1 + 3i, δηλαδή από τα σημεία A(1,2) και β ( - 1 , 3 ) . Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ .

Γενικά, η εξίσωση

παριστάνει τη

μεσοκάθετο του

τμήματος με άκρα τα σημεία A(z1) και

Β(z2).

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Αν για τους μιγαδικούς z 1 ,z 2 ,...,z„ ισχύει

να αποδειχτεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός αριθμός. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν ένας από τους z 1 , z 2 , . . . . z ν , για παράδειγμα ο zκ, ήταν πραγματικός, τότε οι μιγαδικοί

zκ-i

και

zκ+i

θα ήταν συζυγείς και επομένως

αφού τα μέτρα δύο συζυγών μιγαδικών είναι ίσα. Τότε όμως θα είχαμε

που είναι άτοπο.

2. Αν για το μιγαδικό z ισχύει

, να βρεθεί:

α) O γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο. β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του

•

ΛΥΣΗ α) Η ι σ ό τ η τ α

επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς ζ

έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους ν α απέχουν από το σημείο Κ(2,2) απόσταση ίση με

που

σταθερή

και μόνο από αυτούς. Επομένως, ο ζητούμενος γ ε ω μ ε τ ρ ι -

κός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(2,2)

και ακτίνα

, δηλαδή ο κύ-

κλος (x-2)2+(y-2)2

=2.

είναι η απόσταση της εικόνας Μ(z) β) Το από την αρχή O(0,0), δηλαδή το μήκος ( Ο Μ ) . Από τη Γ ε ω μ ε τ ρ ί α , όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία ΟΚ τέμνει τον κύκλο στα Α και Β , τότε που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του το μήκος

είναι το μήκος (ΟΒ) και η ελάχιστη (OA).

Η εξίσωση, όμως, της ευθείας ΟΚ είναι η y = x. Επομένως, οι σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς των σημείων Α και Β θα είναι οι λύσεις του συστήματος

που είναι τα ζεύγη (1,1) και (3,3). Άρα, η μέγιστη τιμή του και η ελάχιστη ίση με

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών:

και

Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών:

είναι ίση με

όπου 3.

Ν α βρείτε τους μιγαδικούς z = x + yi για τους οποίους ισχύει: α)

με

β)

γ)

Να βρείτε πού ανήκουν οι μιγαδικοί ζ για τους οποίους ισχύει: α)

β)

γ)

δ)

ε) 5.

Να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών ζ για τους οποίους ισχύει: α)

Αν

β) ανήκει

, ν α αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού

στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ = 1 7.

, ποιος έ-

Από τους μιγαδικούς z, για τους οποίους ισχύει χει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο;

Αν για τους μιγαδικούς ζ

ισχύει

, ν α βρείτε που ανήκουν οι

εικόνες των μιγαδικών w με w = 2z +1. 9.

Για δύο μιγαδικούς αριθμούς z1 και z2 ν α αποδείξετε ότι

Β' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Ν α δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό ζ ισχύει:

Έ σ τ ω ο μιγαδικός ζ , για τον οποίο ισχύει Αν

, τότε ο

. Να αποδείξετε ότι:

είναι φανταστικός αριθμός και αντιστρό-

φως. 3.

Έ σ τ ω ο μιγαδικός ζ με

. Να αποδείξετε ότι:

πραγματικός, αν και μόνο αν ο ζ είναι πραγματικός ή

είναι

Έ σ τ ω ο μιγαδικός ζ με

, όπου

. Να αποδείξετε ότι: ο

είναι φανταστικός, αν και μόνο αν ο ζ είναι φανταστικός.

Αν η εικόνα του μιγαδικού ζ ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ = 1, ν α δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού

ν α δείξετε ότι η εικόνα

Αν για το μιγαδικό ζ ισχύει

του ζ ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =1. 7.

Αν για το μιγαδικό ζ ισχύει σης

ν α βρείτε την τιμή της π α ρ ά σ τ α -

. Να ερμηνεύσετε γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά το σ υ μ π έ ρ α -

σμα. 8.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών z , για . Ποιο από τα σημεία Μ απέχει τους οποίους ισχύει: την ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο(0,0).

Αν Μ1 και Μ 2 είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 και z2 αντιστοίχως και

, ν α αποδείξετε ότι: Ό τ α ν το Μ1 κινείται σε κύκλο

κέντρου O(0,0) και ακτίνας 4, τότε το Μ 2 κινείται σε μια έλλειψη.

10. α) Αν

, ν α δείξετε ότι

β) Αν για τους μιγαδικούς

z1,z2,...,zκ

ισχύει

ν α αποδείξετε ότι:

2.4

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

ΜΟΡΦΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

Εισαγωγή Η αποδοχή των μιγαδικών αριθμών, εκτός από τις δυνατότητες που άνοιξε στην επίλυση των ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν , έδωσε μεγάλη ευελιξία στον αλγεβρικό λογισμό. Για

παράδειγμα, η παράσταση

μπορεί τ ώ ρ α ν α παραγοντοποιηθεί στη μορ-

φή (x + yi)(x - yi) . Οι μαθηματικοί ε κ μ ε τ α λ λ ε ύ τ η κ α ν αυτό το γεγονός σε πολλά ζητήματα, όπως είναι, για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση των τόξων ενός κύκλου. Το 1739 ο Α. de Moivre, συνδυάζοντας τον υπολογισμό τ ω ν κυβικών ριζών π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν της μορφής επίλυσης

της

= px + q)

με

(που εμφανίζονται στον τύπο την

τριγωνομετρική

ταυτότητα

, έδωσε τις π ρ ώ τ ε ς ιδέες για την τριγωνομετρική π α ρ ά σ τ α ση των μιγαδικών αριθμών. Το 1748 ο L. Euler, ξεκινώντας από την α ν ά λ υ σ η στη μορφή

της ισότητας τη

σημασία

των

παραστάσεων

της

, τόνισε

μορφής συνθ + iημθ και Γενικεύοντας

(που

σχέση

σήμερα

φέρει

το

έδειξε έφτασε

όνομα

ότι στη

του

Moivre), από την οποία, με χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος, βρήκε τ ύ π ο υ ς

για τα ημnz και συνnz . Σε όλες τις π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς περιπτώσεις οι μιγαδικοί αντιμετωπίζονταν ω ς καθαρά συμβολικές παραστάσεις, που δεν απεικόνιζαν κάποια σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν η π ρ α γ ματικότητα. Η τριγωνομετρική π α ρ ά σ τ α σ η έδωσε όμως τη δυνατότητα ν α χρησιμοποιηθούν (από τον C. Wessel το 1799 και τον R. Argand το 1806) για την αναλυτική έκφραση της διεύθυνσης στο επίπεδο, ακριβώς όπως οι θετικοί και αρνητικοί χρησιμοποιούνται για τη διάκριση της φοράς στην ευθεία. Α υ τ έ ς οι εξελίξεις διεύρυναν τις ε φ α ρ μ ο γ έ ς των μιγαδικών και άνοιξαν το δρόμο για τη γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ε ρ μ η ν ε ί α τους. την οποία καθιέρωσε ο C.F. Gauss το 1831.

Όρισμα Έστω

Μιγαδικού

ένας

μη

z = x + yi και

μηδενικός

μιγαδικός

αριθμός

η αντίστοιχη διανυσματική α-

κτίνα του Ο ν ο μ ά ζ ο υ μ ε όρισμα του μιγαδικού ζ καθεμιά από τις γ ω ν ί ε ς που έχουν αρχική π λ ε υ ρ ά την ημιευθεία Οχ και τελική π λ ε υ ρ ά την ημιευθεία ΟΜ . Από όλα τα ορίσματα του z ένα ακριβώς βρίσκεται στο διάστημα [0,2π). Αυτό λέγεται πρωτεύον όρισμα του μιγαδικού συμβολίζεται με

και

Arg(z).

Είναι φανερό ότι: • To Arg(z)

είναι η γ ω ν ί α που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδι-

κού z με τον άξονα •

x'x.

Δυο ορίσματα του z διαφέρουν κατά γ ω ν ί α 2κπ,

Για το μιγαδικό z = 0 δεν ορίζεται όρισμα. Γ ι ' α υ τ ό , στη συνέχεια, όταν αναφερόμαστε σε όρισμα μιγαδικού, θα εννοούμε ότι

Τριγωνομετρική

Μορφή

Μιγαδικού , που έχει μέτρο

Έ σ τ ω ο μιγαδικός

. Αν θ είναι

ένα όρισμα του z, τότε, από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθοκανονικό σύστημα, έχουμε και οπότε

x=ρσυνθ

και

y =ρημθ

Ε π ο μ έ ν ω ς , ο μιγαδικός ζ γράφεται

δηλαδή παίρνει τη μορφή

Ο τρόπος αυτός γραφής του μιγαδικού z λέγεται τριγωνομετρική ή πολική μορφή του z. , τότε το μέτρο του ζ είναι

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν

και για κάθε όρισμά του θ ισχύουν: και Επομένως,

μια

τιμή

του

ορίσματος

είναι

Άρα,

έχουμε

ή γενικότερα:

Αποδεικνύεται ότι, αν για έναν μιγαδικό αριθμό ζ ισχύει που r > 0 και

, τότε η π α ρ ά σ τ α σ η

, όείναι τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ή

μορφή του μιγαδικού αριθμού z . Επειδή ίσοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν την ίδια εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο και αντιστρόφως, έχουμε το ακόλουθο κριτήριο ισότητας μιγαδικών: "Δυο μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι, αν και μόνο αν έχουν ίσα μέτρα και η διαφορά των ορισμάτων τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π".

Δηλαδή:

και

Αν

είναι τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ έ ς

μορφές των μιγαδικών z1 και z2, τότε και

Τριγωνομετρική

Μορφή Γινομένου

Μιγαδικών είναι οι τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ έ ς

και

Αν

μορφές δύο μιγαδικών αριθμών z1 και z2, τότε για το γινόμενο τους έχουμε:

Ομοίως, για το πηλίκο τους

, έχουμε:

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Αν

και

είναι δυο μιγαδικοί σε

τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ή μορφή, τότε

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , τότε έχουμε:

αν

και

Από τις τριγωνομετρικές μορφές του γινομένου και του πηλίκου προκύπτουν οι ιδιότητες

μιγαδικών

και τις οποίες έχουμε συναντήσει και στην Η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου και του πηλίκου δύο μιγαδικών φαίνεται στα παρακάτω σχήματα:

Τα τρίγωνα

ΟΑΜ2 και ΟΜ1Μ είναι

όμοια

Τα τρίγωνα

ΟΑΜ2 καιΟΜΜ1είναι

όμοια

Σύμφωνα με τα παραπάνω: • O πολλαπλασιασμός του

μιγαδικού

με το

μιγαδικό

σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του ζ, κατά γωνία θ 2 και μετά πολλαπλασιασμό της με ρ 2 (Σχ. 12). Επομένως, ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού ζ με το μιγαδικό σ υ ν θ + i η μ θ στρέφει μόνο τη διανυσματική ακτίνα του z κατά γωνία θ , αφού

. Ειδικότερα, ο

πολλαπλασιασμός του z με i στρέφει τη διανυσματική ακτίνα του ζ κατά γωνία

, αφού

• Η

διαίρεση

z2=ρ 2 (συνθ 2 γωνία

-θ2

του

+ίημθ2)

με

μιγαδικού

το

μιγαδικό

σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του ζ, κατά

και μετά πολλαπλασιασμό της με

Θεώρημα του De Moivre Αν z = ρ(συνθ+iημθ) είναι ένας μιγαδικός αριθμός σε τριγωνομετρική μορφή, σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε:

Ομοίως, βρίσκουμε ότι

Γενικά, ισχύει το επόμενο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ είναι ένας μιγαδικός αριθμός σε τριγωνομετρική μορ-

Αν

φή και ν είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έ σ τ ω Ρ{ν) η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε.

•

Για

ν = 1 η ισότητα

γίνεται

z1 =ρ 1 [συν(1·θ) + iημ(1·θ)]

ή,

ισοδύναμα,

, που ισχύει. Άρα η Ρ(1) είναι αληθής.

•

Θα αποδείξουμε ότι, αν Ρ(ν)

αληθής, τότε

Ρ(ν + 1) αληθής δηλαδή, αν

, τότε Πράγματι, έχουμε

Αρα, η Ρ(ν) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους ν .

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν

, επειδή

έχουμε:

Το π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ο θ ε ώ ρ η μ α αποδίδεται στο μαθηματικό De Moivre και γ ι ' αυτό φέρει το ονομά του Το Θ ε ώ ρ η μ α του De Moivre ισχύει και όταν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος. Π ρ ά γ μ α τ ι , έχουμε

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών ζ, για τους οποίους ισχύει ΛΥΣΗ Αν

z = x + yi , τότε

Άρα, ,

όπου

και

είναι

Ε π ο μ έ ν ω ς , η συνθήκη ισοδύναμη με τις σχέσεις:

Άρα, το σύνολο των εικόνων του ζ είναι το τόξο του κύκλου κέντρου και ακτίνας ρ = 2 που είναι π ά ν ω από τον άξονα 2 . Αν

x'x.

και

να αποδειχτεί ότι

α) β) ΛΥΣΗ Έ σ τ ω οι μιγαδικοί

. Έχουμε

και επομένως, Με α ν τ ι κ α τ ά σ τ α σ η των a,b και c έχουμε διαδοχικά:

Ε ξ ι σ ώ ν ο ν τ α ς τα π ρ α γ μ α τ ι κ ά και τα φανταστικά μέρη των δύο μελών έχουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε σε τριγωνομετρική μορφή τους μιγαδικούς: α)

β)

γ)

δ)

ε) 2.

στ)

-4.

Ν α κάνετε τις πράξεις: α) β)

γ)

Ν α κάνετε τις πράξεις

α)

β)

γ)

Ν α βρείτε τις δυνάμεις α)

β)

γ)

Να υπολογίσετε την π α ρ ά σ τ α σ η

Αν

ν α υπολογίσετε τον z 2000 .

Αν

, να

και

υπολογίσετε

την

παράσταση

, όπου ν θετικός ακέραιος. 8.

Ν α ε ρ μ η ν ε ύ σ ε τ ε γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά τη διαίρεση ενός μιγαδικού z με i.

Αν το

και

και ν α βρείτε

, ν α δείξετε ότι

και το

10. Να βρείτε το μέτρο και το βασικό όρισμα του μιγαδικού

αν

Β ' ΟΜΑΔΑΣ 1.

α) Να βρείτε το μέτρο και ένα όρισμα του μιγαδικού w, όπου

β) Να βρείτε την τιμή της π α ρ ά σ τ α σ η ς 2.

α) Ν α δείξετε ότι αν ν α δείξετε ότι

β)

ισχύει:

3. Ν α αποδείξετε ότι για

, αν και μόνο αν

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών z , για τους οποίους ισχύει: α)

Μεταξύ

β)

γ)

όλων των μιγαδικών ζ που ικανοποιούν , ν α βρείτε εκείνον που έχει:

α) Το μικρότερο πρωτεύον όρισμα β) Το μεγαλύτερο πρωτεύον όρισμα.

τη

συνθήκη

Αν z = συνθ + i η μ θ . να αποδείξετε ότι:

Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν τότε: α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w. β) Να βρείτε την εικόνα εκείνου του μιγαδικού από τους

w, για τον

οποίο ισχύει

να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ και το μιγαδικό z.

Δίνεται το τριώνυμο

όπου

z1 και z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι για κάθε

2.5

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΤΟ

Εισαγωγή Η επίλυση των εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού, η "αναγκαστική" επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για την έκφραση των πραγματικών ριζών και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού δημιούργησαν στις αρχές του Π ο υ αιώνα τις προϋποθέσεις για την ανάπτυξη μιας γενικής θεωρίας των πολυωνυμικών εξισώσεων στην Άλγεβρα. Βασικά στοιχεία αυτής της θεωρίας δεν ήταν μόνο οι μέθοδοι επίλυσης, αλλά και δομικά ζητήματα, όπως οι σχέσεις ριζών και συντελεστών μιας εξίσωσης, καθώς και η σχέση ανάμεσα στο βαθμό και στο πλήθος των ριζών. Το τελευταίο, που καθιερώθηκε αργότερα ως Θεμελιώδες Θεώρημα της Αλγεβρας "κάθε πολυωνυμική

εξίσωση

ν βαθμού έχει στο σύνολο των

μιγαδικών

ν ακριβώς ρίζες ", διατυπώνεται στην αρχή διστακτικά, καθώς οι μιγαδικοί δε θεωρούνται ακόμη ισότιμοι προς τους υπόλοιπους αριθμούς. O R. Descartes, στο βιβλίο ΙΙΙ της "La Geometrie" (1637) γράφει ότι: "κάθε εξίσωση μπορεί ν α έχει τόσες διαφορετικές ρίζες όσες και οι διαστάσεις [δηλ. ο βαθμός] της άγνωστης ποσότητας στην

εξίσωση", αλλά ονομάζει τις θετικές ρίζες "αληθινές", τις αρνητικές "ψεύτικες" και εισάγει για πρώτη φορά τον όρο "φανταστικές" για τις υπόλοιπες: "...ενώ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η εξίσωση χει τρεις ρίζες, εν τούτοις υπάρχει μία μόνο πραγματική οι άλλες δύο παραμένουν φανταστικές".

ρίζα,

έτο 2, ενώ

Το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας άρχισε ν α αποκτά εξαιρετική σημασία με την ανάπτυξη της Ανάλυσης, καθώς η παραγοντοποίηση των πολυωνύμων έπαιζε πρωταρχικό ρόλο στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων (διάσπαση ρητών κλασμάτων σε απλά κλάσματα). Ο G.W. Leibniz έθεσε το 1702 αυτό το ζήτημα ισχυριζόμενος (λαθεμένα) ότι το πολυώνυμο x4 + α 4 δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων 1ου ή 2ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές. Το γεγονός αυτό οδήγησε στις πρώτες συστηματικές προσπάθειες ν α αποδειχτεί ότι κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων 1ου ή 2ου βαθμού, που αποτελεί μια άλλη ισοδύναμη μορφή του θεμελιώδους θεωρήματος. Ύ σ τ ε ρ α από ορισμένες ημιτελείς προσπάθειες των d'Alembert (1746), L. Euler (1749) και J.L. Lagrange (1772), ο C.F. Gauss έδωσε την πρώτη αυστηρή απόδειξη το 1799 (σε ηλικία 22 χρονών), στη διδακτορική του διατριβή που είχε τίτλο: "Νέα απόδειξη του θεωρήματος ότι κάθε ακέραια ρητή συνάρτηση μιας μεταβλητής μπορεί να αναλυθεί σε πραγματικούς παράγοντες πρώτου και δεύτερου βαθμού". Η

Εξίσωση

zν

Γνωρίζουμε ότι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση zν =1 έχει μια λύση, την 2 = 1, αν ο ν είναι περιττός και δύο λύσεις, τις 2 = 1 και 2 = - 1 , αν ο ν είναι άρτιος. Ας λύσουμε τώρα στο σύνολο

των μιγαδικών αριθμών μερικές εξισώσεις της

μορφής z = 1, όπου ν θετικός ακέραιος. Έχουμε:

•

δηλαδή η εξίσωση έχει στο

•

τρεις ρίζες.

δηλαδή η εξίσωση έχει στο σύνολο

τέσσερις λύσεις.

Γενικά ισχύει το επόμενο θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση zν = 1 , όπου ν θετικός ακέραιος, έχει ν ακριβώς διαφορετικές λύσεις, οι οποίες δίνονται από τον τύπο:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έ σ τ ω r·(συνθ + iημθ) μια λύση, σε τριγωνομετρική μορφή, της εξίσωσης zν = 1 . Τότε,

οπότε Άρα, rv - 1 και νθ-0

= 2κπ, για κάποιο

, οπότε r = 1 και

. Επο-

μένως, οι λύσεις της εξίσωσης zν = 1, θα είναι της μορφής (1)

Αλλά και αντιστρόφως,

κάθε μιγαδικός της

μορφής

είναι λύση της εξίσωσης zν = 1, αφού

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης zν =1 είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής (1) Για κ - 0 έχουμε την προφανή λύση z0 = 1. Αν θέσουμε

, τότε για τις ρίζες της z v = 1, θα ισχύει:

Είναι λοιπόν:

κ.τ.λ.

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε , λοιπόν, ότι οι λύσεις της zν =1 που δίνονται από την (1) δεν είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους. Θα εξετάσουμε για ποιες τιμές του κ έχουυπάρχουν ακέραιοι ρ και υ με διαφορετικές λύσεις. Επειδή για κάθε έχουμε:

τέτοιοι, ώστε ν α ισχύει κ = ρν + υ με

Δηλαδή, για κάθε

η λύση zκ ταυτίζεται με μια από τις

είναι διαφορετικές

Θα δείξουμε τ ώ ρ α ότι οι λύσεις

μεταξύ τους. Έ σ τ ω ότι δε συμβαίνει αυτό. Τότε θα υπάρχουν φυσικοί λ 1 ,λ 2 με , οπότε θα έχουμε διαδοχικά:

τέτοιοι, ώστε

Από την τ ε λ ε υ τ α ί α ισότητα προκύπτει ότι ο ακέραιος ν διαιρεί τη διαφορά λ1 - λ2. Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού 0 < λ1 - λ2 < ν . Ε π ο μ έ ν ω ς , οι λύσεις της ε ξ ί σ ω σ η ς zν =1 είναι οι ν διαφορετικοί αριθμοί όπου Οι λύσεις αυτές λέγονται και ν ι ο σ τ έ ς ρίζες τ η ς μ ο ν ά δ α ς .

ΣΧΟΛΙΟ Οι

εικόνες 2

1,ω,ω ,ω ,...,ω

των ν-1

λύσεων

της ε ξ ί σ ω σ η ς z = 1 είναι

κορυφές κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές, ε γ γ ε γ ρ α μ μ έ ν ο υ σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα r = 1. Πιο συγκεκριμένα:

— Η κορυφή Α0 παριστάνει τη λύση 1 — Η επόμενη κορυφή Α1 παριστάνει τη λύση — Η κορυφή Α2 παριστάνει την ω2 και προκύπτει από την ω με στροφή του διανύσματος

κατά γ ω ν ί α

δηλαδή κατά γ ω ν ί α ίση με την κεντρική

γ ω ν ί α του κανονικού ν-γωνου. — Η κορυφή Α3 παριστάνει την ω3 και προκύπτει από την ω με στροφή του διανύσματος

κατά γ ω ν ί α

κτλ.

Εξίσωση

Έ σ τ ω a = ρ(συνθ + iημθ) μια τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού a. Τότε από τον τύπο του de Moivre έχουμε: •

τότε η ε ξ ί σ ω σ η zν = a γ ρ ά φ ε τ α ι

Αν θέσουμε ή, ισοδύναμα,

Ε π ο μ έ ν ω ς , το

απορεί ν α πάρει τις ν διαφορετικές τιμές

όπου οπότε οι λύσεις της ε ξ ί σ ω σ η ς zν = a είναι οι αριθμοί

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση zν = a , όπου ν θετικός ακέ, έχει ν διαφορετικές λύσεις οι οποίες ραιος και δίνονται από τον τύπο:

Οι εικόνες των λύσεων της ε ξ ί σ ω σ η ς zν = a στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές, ε γ γ ε γ ρ α μ μ έ ν ο υ σε κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα

, όπου

Έ σ τ ω για π α ρ ά δ ε ι γ μ α η ε ξ ί σ ω σ η (1) , οι λύσεις zκ της ε ξ ί σ ω σ η ς (1) δίδονται

Επειδή από τον τύπο

Πιο σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν α οι λύσεις είναι:

Οι λύσεις αυτές είναι κορυφές κανονικού πενταγώνου ε γ γ ε γ ρ α μ μ έ ν ο υ σε κύκλο ακτίνας ρ = 2 .

Πολυωνυμικές

Εξίσωσης

με

Πραγματικούς

Συντελεστές

Ό π ω ς αναφέρθηκε στην εισαγωγή, κάθε πολυωνυμική ε ξ ί σ ω σ η Ρ(z) = 0 , νιοστού βαθμού, δηλαδή κάθε ε ξ ί σ ω σ η της μορφής

έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ν ακριβώς ρίζες. Αν z 1 ,z 2 ,...,z v είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Ρ(z) (οι οποίες δεν είναι κ α τ α ν ά γκη διαφορετικές), τότε αποδεικνύεται ότι το πολυώνυμο αναλύεται σε γ ι ν ό μ ε ν ο π α ρ α γ ό ν τ ω ν ως εξής:

Ε π ο μ έ ν ω ς , η επίλυση π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ώ ν ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν στο γίνεται με τις ίδιες μεθόδους που χρησιμοποιούνται και στο σύνολο των π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν αριθμών. Στη σ υ ν έ χ ε ι α θα περιοριστούμε σε π ο λ υ ω ν υ μ ι κ έ ς ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς με πραγ ματικούς μόνο συντελεστές. Έ χ ο υ μ ε ήδη λύσει τη δευτεροβάθμια εξίσωση, η οποία, όπως είδαμε, έχει δύο ρίζες, οι οποίες, αν δεν είναι πραγματικές, είναι μιγαδικές συζυγείς. Ας λύσουμε τ ώ ρ α μία ανωτέρου βαθμού, για π α ρ ά δ ε ι γ μ α την ναι π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή τρίτου βαθμού. Με σ χ ή μ α Horner έχουμε:

, που εί-

Όμως,

Άρα, οι ρίζες της ε ξ ί σ ω σ η ς είναι και 1. Και στην π ε ρ ί π τ ω σ η αυτή π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι οι μιγαδικές ρίζες της ε ξ ί σ ω σ η ς είναι συζυγείς. Το συμ π έ ρ α σ μ α αυτό γενικεύεται για οποιαδήποτε π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή ε ξ ί σ ω σ η με π ρ α γ μ α τικούς συντελεστές. ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν ο μιγαδικός αριθμός

είναι ρίζα μιας π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή ς ε ξ ί σ ω σ η ς

με π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς , τότε και ο συζυγής του ζα της ε ξ ί σ ω σ η ς αυτής. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Μ ι α π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή εξίσωση, όπως γνωρίζουμε, έχει τη μορφή:

Αφού ο αριθμός z0 είναι ρίζα της εξίσωσης, έχουμε κατά σειρά:

είναι ρί-

αφού Άρα, ο z0 είναι και αυτός ρίζα της εξίσωσης.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Αν

να αποδειχτεί ότι:

α)

β)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ α) Έ χ ο υ μ ε β)

2 . Να λυθεί η εξίσωση

. Αν

x1,x2

είναι οι ρίζες της εξί-

σωσης αυτής, να κατασκευαστεί εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τις

ΛΥΣΗ Έχουμε

Η ζητούμενη εξίσωση θα είναι η

Επομένως,

Έχουμε

και

Επομένως:

και

Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

3 . Να αναλυθεί σε γινόμενο πολυωνύμων το πολυώνυμο

αν γνωρίζουμε ότι έχει ρίζα το μιγαδικό αριθμό ΛΥΣΗ Αφού το Ρ (x) έχει ρίζα τον αριθμό Επομένως,

το

πολυώνυμο

, θα έχει ρίζα και το συζυγή του, Ρ(x)

διαιρείται

με

το

γινόμενο

, για το οποίο έχουμε

Αν κάνουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου Ρ(x) σκουμε πηλίκο 3x + 2 . Επομένως είναι

με το πολυώνυμο

, βρί-

ΣΧΟΛΙΟ Γενικά, όπως αναφέρθηκε καν στην εισαγωγή, κάθε π ο λ υ ώ ν υ μ ο με π ρ α γ μ α τ ι κούς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς μπορεί ν α γραφεί ως γινόμενο π ρ ω τ ο β ά θ μ ι ω ν και δευτεροβάθμιων παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές, όπου οι δευτεροβάθμιοι π α ρ ά γ ο ν τ ε ς (αν υπάρχουν) έχουν αρνητική διακρίνουσα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Ν α λύσετε τις εξισώσεις και ν α π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε τις λύσεις στο μιγαδικό επίπεδο: α)

β)

γ)

Να λύσετε τις εξισώσεις: α)

β)

γ)

Ν α λύσετε τις εξισώσεις: α)

γ)

Ν α λύσετε τις εξισώσεις: α)

β)

Αν ο μιγαδικός 2 + i είναι ρίζα της ε ξ ί σ ω σ η ς

ν α βρείτε και τις άλλες ρίζες της. 6.

Αν w είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος, με της παράστασης

Ν α λύσετε την εξίσωση

ν α βρείτε την τιμή

και να δείξετε ότι οι ειΝα λύσετε την εξίσωση κόνες των ριζών είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Β

ΟΜΑΔΑΣ

Να λύσετε τις εξισώσεις: α)

β)

Να λύσετε την εξίσωση

και στη συνέχεια να βρείτε τα τριώνυμα με πραγματικούς συντελεστές που είναι παράγοντες του πολυωνύμου

Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων

Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς

Αν η εξίσωση

για τους οποίους ισχύει

έχει πραγματική ρίζα. ν α α-

ποδείξετε ότι 7.

Δίνεται η εξίσωση

με ρίζες τις x1 και x2.

α) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων

x1+x2

x1x2

και

α) Να λύσετε την εξίσωση

οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης κινούνται σε μια υπερβολή. 9.

Να λύσετε την εξίσωση

ΓΕΝΙΚΕΣ

Δίνεται

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

με

συνάρτηση

και

α) Ν α αποδείξετε ότι β) Έ σ τ ω α,β δυο (σταθεροί) πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το 0. Ν α βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σηγια τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί μεία M(x,y), με ικανοποιούν τη σχέση 2.

Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τους μιγαδικούς z, w και w 1 , για τους οποίους ισχύουν: Να δείξετε ότι αν το α μετα-

όπου βάλλεται στο

και ισχύει

τότε η εικόνα Ρ του z στο μιγα-

δικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή. 3.

Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τους μιγαδικούς α) Να βρείτε το γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τόπο των εικόνων του μιγαδικού ζ β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w για τον οποίο ισχύει γ) Ν α βρείτε το μιγαδικό ζ που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή O(0,0).

Ν α γ ρ α μ μ ο σ κ ι ά σ ε τ ε το τ μ ή μ α του μιγαδικού επιπέδου που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών z , για τ ο υ ς οποίους ισχύει:

Ν α αποδείξετε ότι αν οι μιγαδικοί z 1 , z 2 , . . . , z κ έχουν τις εικόνες τους στο ίδιο ημιεπίπεδο μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή O(0,0), τότε ισχύει

Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της ε ξ ί σ ω σ η ς είναι σημεία της ευθείας

Αν το τ ρ ι ώ ν υ μ ο αx

+βx+γ με πραγματικούς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς και

δεν έχει π ρ α γ μ α τ ι κ έ ς ρίζες, ν α αποδείξετε ότι: α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ ισχύει

β) Για οποιουσδήποτε συζυγείς μιγαδικούς z1 και z2 διαφορετικούς από τις ρίζες του τριωνύμου ισχύει επίσης

Γνωρίζοντας ότι για τις νιοστές ρίζες της μονάδας

ισχύει

να αποδείξετε τις ταυτότητες: α)

β)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1. Ν α βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: (i) Αν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει

, τότε :

Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα. (ii) O αριθμός

είναι:

Α. Φ α ν τ α σ τ ι κ ό ς

Β. Μηδέν

Γ. Πραγματικός

Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα.

2. Ποιες από τις επόμενες ισότητες αληθεύουν για κάθε μιγαδικό z :

Σ ύ μ φ ω ν α με τη συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί z και αναφέρεται στην πρώτη στήλη, ν α τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία τ η ς δεύτερη στήλης που ανήκει η εικόνα τους:

Ευθεία

Συνθήκη Α.

α.

Β.

β. γ.

Γ. δ. Δ.

ε.

Ν α αντιστοιχίσετε κάθε μιγαδικό ζ του της δεύτερης στήλης:

της π ρ ώ τ η ς στήλης στο ό ρ ι σ μ ά

Όρισμα

Μ ι γ α δ ι κ ό ς ( k >0 ) Α.

k + ki

-45°

Β.

k - ki

β. γ.

225°

Γ.

-k-ki

Δ.

-k+ki

45° δ.

180°

ε.

60°

ζ.

135°

5. Ν α βάλετε σε κύκλο τις σ ω σ τ έ ς απαντήσεις. Ο αριθμός των π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν ριζών μιας π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή ς ε ξ ί σ ω σ η ς βαθμού με π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ ς συντελεστές μπορεί ν α είναι: Α. 1

Β. 2

Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τους μιγαδικούς που έχουν ως εικόνες τα σ η μ ε ί α Α, Β, Γ και Δ του διπλανού σχήματος: Α: Β: Γ: Δ:

Γ. 3

Δ. 4

Ε. 5

Αν z είναι ο μιγαδικός που έχει ω ς εικόνα το Α, ν α αντιστοιχίσετε κάθε μιγαδικό τ η ς π ρ ώ τ η ς στήλης στην εικόνα του που αναφέρεται στη δεύτερη στήλη και σημειώνεται στο π α ρ α κ ά τ ω σχήμα: Μιγαδικός

Εικόνα

Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ

Β' ΜΕΡΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ

ΟΡΙΟΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.1

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ

ΑΡΙΘΜΟΙ

Το σύνολο των πραγματικών

αριθμών

των πραγματικών αριθμών αποτελείται από Υ π ε ν θ υ μ ί ζ ο υ μ ε ότι το σύνολο τους ρητούς καν τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών. (Σχ. 1)

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν ν α πάρουν τη μορφή Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται

όπου α, β ακέραιοι με με

Είναι, δηλαδή,

Υ π ε ν θ υ μ ί ζ ο υ μ ε ότι το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το

ενώ το σύνολο των φ υ σ ι κ ώ ν αριθμών είναι το

Για τα σύνολα

και

ισχύει:

Τ α σύνολα τα συμβολίζουμε συντομότερα με και

αντιστοίχως.

και

Πράξεις

και

διάταξη

στο

των π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν αριθμών ορίστηκαν οι π ρ ά ξ ε ι ς της π ρ ό σ θ ε σ η ς Στο σύνολο και του π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ύ και με τη βοήθεια τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Οι ιδιότητες των π ρ ά ξ ε ω ν αυτών είναι γ ν ω σ τ έ ς από π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς τάξεις. Στη σ υ ν έ χ ε ι α ορίστηκε η έννοια της διάταξης, οι σπουδαιότερες ιδιότητες της οποίας είναι οι: 1) 2)

Αν

, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

Αν αβ > 0 , τότε ισχύει η ισοδυναμία

Διαστήματα

πραγματικών

• Αν

με α<β,

αριθμών

τότε ονομάζουμε διαστήματα

με άκρα τα α,β καθένα από τα π α ρ α κ ά τ ω σύνολα: ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα :κλειστό-ανοικτό διάστημα ανοικτό-κλειστό διάστημα.

• Αν , τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α κ α θ έ ν α από τα π α ρ α κ ά τ ω σύνολα:

Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο

το συμβολίζουμε με

Τ α σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ.

Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με

, ορίζε-

ται ως εξής:

Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά , η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν.

ενώ η απόλυτη τιμή του α- β παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β.

Μ ε ρ ι κ έ ς από τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: 1)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να γραφούν υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τα σύνολα:

ΛΥΣΗ i) Είναι

Άρα ii) Είναι

Αρα

1.2

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Η έννοια της πραγματικής

συνάρτησης

Η έννοια της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς είναι γ ν ω σ τ ή από π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς τάξεις. Στην π α ρ ά γραφο αυτή υπενθυμίζουμε τον ορισμό της π ρ α γ μ α τ ι κ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του , ε π α ν α λ α μ β ά ν ο υ μ ε γ ν ω σ τ έ ς έννοιες και τέλος ορίζουμε πράξεις μεταξύ των πραγματικών συναρτήσεων.

ΟΡΙΣΜΟΣ . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεΈ σ τ ω Α ένα υποσύνολο του δίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό α ρ ι θ μ ό ς . Το ν ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x). Για ν α ε κ φ ρ ά σ ο υ μ ε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε:

—

Το γ ρ ά μ μ α x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γ ρ ά μ μ α ν, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται ε ξ α ρ τ η μ έ ν η μ ε τ α β λ η τ ή .

—

Το πεδίο ορισμού Α της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ υ ν ή θ ω ς συμβολίζεται με Df .

—

Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα ται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(A). Είναι δηλαδή:

, λέγε-

για κάποιο ΠΡΟΣΟΧΗ Σ τ α ε π ό μ ε ν α και σε όλη την έκταση του βιβλίου : — Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού ή ένωση διαστημάτων. —

διάστημα

Ό τ α ν θα λέμε ότι " Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι ο ρ ι σ μ έ ν η σ ' ένα σύνολο Β " , θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Στην π ε ρ ί π τ ω σ η αυτή με f(B) θα συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f σε κάθε Είναι δηλαδή:

Συντομογραφία

συνάρτησης

Είδαμε π α ρ α π ά ν ω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, f αρκεί ν α δοθούν δύο στοιχεία: • το πεδίο ορισμού της και • η τιμή της, f(x),

για κάθε x του πεδίου ορισμού της.

Συνήθως, όμως, α ν α φ ε ρ ό μ α σ τ ε σε μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f δίνοντας μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το f(x). Σ ε μια τέτοια περίπτωση θα θεωρούμε συμ-

βατικά ότι

το πεδίο ορισμού της f είναι το σ ύ ν ο λ ο όλων τ ω ν πραγματικών αριθμών x, για τους οποίους το f ( x ) έχει νόημα. Έ τ σ ι , για παράδειγμα, αντί ν α

λέμε "δίνεται η συνάρτηση

, με

θα λέμε "δίνεται

η συνάρτηση f με τύπο

ή, πιο απλά, "δίνεται η συνάρτηση

ή "δίνεται η συνάρτηση

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο: ii)

i) ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο όταν και Το τριώνυμο όμως ση

έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 2. Έτσι, η ανίσω-

αληθεύει, όταν και μόνο όταν ή

Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο όταν

Είναι όμως

Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

Γραφική παράσταση

συνάρτησης

Έ σ τ ω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(x,y)

για τα οποία ισχύει y = f ( x ) ,

δηλαδή το σύνολο των σημείων

, λέγεται γραφική παράστα-

M(x,f(x)),

ση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf . Η εξίσωση, λοιπόν, y = f(x) επα-

ληθεύεται μόνο από τα σημεία της C f . Επομένως, η y = f(x) είναι η ε ξ ί σ ω σ η της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f. Ε π ε ι δ ή κάθε

αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο

, δεν υ π ά ρ χ ο υ ν σ η μ ε ί α

τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f με την ίδια τ ε τ μ η μ έ ν η . Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ. 7α). Έ τ σ ι , ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική π α ρ ά σ τ α σ η σ υ ν ά ρ τ η σ η ς (Σχ. 7β).

Ό τ α ν δίνεται η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η Cf μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τ ε τ μ η μ έ ν ω ν των σημείων της Cf.. β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f(A) της

των τ ε τ α γ μ έ ν ω ν των σημείων

Cf.

γ) Η τιμή της f στο x = x0

και της

είναι η τεταγμένη του σημείου τ ο μ ή ς της ε υ θ ε ί α ς (Σχ. 8).

Ό τ α ν δίνεται η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η C f , μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f μπορούμε, επίσης, ν α σ χ ε δ ι ά σ ο υ μ ε και τις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν

-f

και

α) Η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η ς της συνάρτησης -f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x'x, της γ ρ α φ ι κ ή ς παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία M'(x,-f(x)) που είναι συμμετρικά των M(x,f(x)),

ως προς τον ά-

ξονα x'x. (Σχ. 9).

β) Η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η της λείται από τα τ μ ή μ α τ α της

αποτεCf

που

βρίσκονται π ά ν ω από τον άξονα x'x και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x'x, των τ μ η μ ά τ ω ν της Cf που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 10).

Μερικές βασικές

συναρτήσεις

Στην π α ρ ά γ ρ α φ ο αυτή δίνουμε τις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς μερικών βασικών συν α ρ τ ή σ ε ω ν , τις οποίες γ ν ω ρ ί σ α μ ε σε προηγούμενες τάξεις. Η πολυωνυμική συνάρτηση

Η πολυωνυμική συνάρτηση

Η ρητή συνάρτηση

Οι συναρτήσεις

Επειδή

η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της

δύο κλάδους. O ένας είναι η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συμμετρική της ως προς τον άξονα y'y

αποτελείται από

και ο άλλος η

Οι τριγωνικές συναρτήσεις :

Υ π ε ν θ υ μ ί ζ ο υ μ ε ότι, οι συναρτήσεις f(x) = ημx και f(x) = συνx είναι περιοδικές με περίοδο Τ = 2π., ενώ η συνάρτηση f(x) = εφx είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Η εκθετική συνάρτηση

Υ π ε ν θ υ μ ί ζ ο υ μ ε ότι: αν

τότε:

ενώ αν

τότε:

Η λογαριθμική συνάρτηση

Υ π ε ν θ υ μ ί ζ ο υ μ ε ότι: 1)

3) 7) ενώ

8) Οι π α ρ α π ά ν ω τύποι ισχύουν με την προϋπόθεση ότι τα χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ο ύ μ ε ν α σύμβολα έχουν νόημα. Με τη βοήθεια των π α ρ α π ά ν ω γραφικών π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν μπορούμε ν α σχεδιάσουμε τις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς ενός μεγάλου αριθμού σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν , όπως στην π α ρ α κ ά τ ω εφαρμογή.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να παραστήσετε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις:

ΛΥΣΗ i) Α ρ χ ι κ ά

παριστάνουμε

γραφικά

ii) Αρχικά π α ρ ι σ τ ά ν ο υ μ ε γ ρ α φ ι κ ά τη

τη

συνάρτηση

iii) Επειδή h(x) = g ( x - l ) ,η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της h προκύπτει, αν μετατοπίσουμε τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της g κατά μία μονάδα προς τα δεξιά.

Ισότητα συναρτήσεων Έ σ τ ω οι συναρτήσεις:

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι: - οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο - για κάθε

ισχύει f(x) = g(x),

και

αφού

Στην π ε ρ ί π τ ω σ η αυτή λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f και g λέγονται ίσες όταν: • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και • για κάθε

ισχύει f(x) = g ( x ) .

Για ν α δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γ ρ ά φ ο υ μ ε f = g . Έ σ τ ω τ ώ ρ α f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε ι σ χ ύ ε ι f(x) = g(x), τότε λέμε ότι οι συν α ρ τ ή σ ε ι ς f κ α ι g ε ί ν α ι ίσες στο σύνολο Γ . (Σχ. 22) Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις

που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα είναι ίσες στο σύνολο

αφού για κάθε

και

αντιστοίχως, ισχύει

Πράξεις με συναρτήσεις Έ σ τ ω οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς

και οι

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι: α) Το πεδίο ορισμού των φ1,φ2 και φ3 είναι το σύνολο [0,1], που είναι η τομή των πεδίων ορισμού

και

των f, g, ενώ το πεδίο ορι-

σμού της φ4 είναι το σύνολο (0,1], που είναι η τομή των A, Β αν εξαιρέσουμε τα x για τα οποία ισχύει g(x) = 0 , και

Τις συναρτήσεις φ1,φ2,φ3

και φ4 τις λέμε άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πη-

λίκο αντιστοίχως των f , g . Γενικά: δύο

Ορίζουμε ως άθροισμα συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους

Το πεδίο ορισμού των f + g , f-g

των πεδίων ορι-

και fg είναι η τομή

σμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της εξαιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονο-

είναι το

μαστή g(x), δηλαδή το σύνολο και

Σύνθεση

με

συναρτήσεων

Έστω η συνάρτηση

Η τιμή της φ στο x μπορεί να οριστεί σε δύο

φάσεις ως εξής α) Στο

αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y = x-1 και στη συνέχεια

β) στο y = x-1 αντιστοιχίζουμε τον αριθμό

εφόσον

Στη διαδικασία αυτή εμφανίζονται δύο συναρτήσεις α) η f(x) = x - 1 , που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

(α' φάση) και

β) η

(β' φάση).

, που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

Έ τ σ ι , η τιμή της φ στο x γράφεται τελικά

φ(x) = g(f(x)). Η συνάρτηση

λέγεται

σύνθεση της f με την g

και συμβολίζεται με

gof .

Το πεδίο ορισμού της φ δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της f, αλλά περιορίζεται στα για τα οποία η τιμή f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού Β τ η ς . Γενικά:

g, δηλαδή είναι το σύνολο ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof, τη σ υ ν ά ρ τ η σ η με τύπο

Το πεδίο ορισμού της gof

αποτελείται από όλα τα στοιχεία f του πεδίου ορι-

σμού της f για τα οποία το f(x)

ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δ η λ α δ ή είναι

το σύνολο

Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν

δηλαδή αν

ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου, θα ασχοληθούμε μόνο με συν α ρ τ ή σ ε ι ς που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έ σ τ ω οι συναρτήσεις

και

i)gof

Να βρείτε τις συναρτήσεις:

ii) fog.

ΛΥΣΗ Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f έχει πεδίο ορισμού το i) Για ν α ορίζεται η π α ρ ά σ τ α σ η

, ενώ η g το πρέπει:

και

(1)

ή, ισοδύναμα,

Επομένως, ορίζεται η gof

δηλαδή πρέπει

και είναι για κάθε

ii) Για ν α ορίζεται η π α ρ ά σ τ α σ η

πρέπει: και

ή,ισοδύναμα,

δηλαδή πρέπει

x > 0 ., Επομένως,ορίζεται η fog και είναι για κάθε

ΣΧΟΛΙΑ •

Στην π α ρ α π ά ν ω εφαρμογή παρατηρούμε ότι

δύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς και ορίζονται οι gof και fog,

Γενικά, αν f, g τότε αυτές δεν

είναι

είναι υ π ο

χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες. • Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof), η (hog)of

τότε ορίζεται και

και ισχύει

Τη σ υ ν ά ρ τ η σ η αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με hogof. Η σύνθεση σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν γενικεύεται και για π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ε ς από τρεις συναρτήσεις.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α

ΟΜΑΔΑΣ

1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των π α ρ α κ ά τ ω σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν ;

2. Για ποιές τιμές του η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς βρίσκεται π ά ν ω από τον άξονα x'x, όταν:

3. Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς βρίσκεται π ά ν ω από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς g, όταν:

και και 4. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: Α(x) = 2,89x+70,64

(για τους άνδρες) και

Γ(x) = 2,75x + 71,48 (για τις γυναίκες) όπου χ σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 0,45 m. α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; β) Αν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; 5. Σ ύ ρ μ α μήκους l = 20 cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη x cm και ( 2 0 - x ) c m . Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των ε μ β α δ ώ ν των δύο σ χ η μ ά τ ω ν ως συνάρτηση του χ. 6.

Να π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε γραφικά τη συνάρτηση:

Και από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η ν α προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της f σε καθεμιά περίπτωση. 7. Να εξετάσετε σε ποιες από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπτώσεις είναι f = g. Στις π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς που είναι νατό υποσύνολο του

ν α προσδιορίσετε το ε υ ρ ύ τ ε ρ ο δυ-

στο οποίο ισχύει

f(x) = g(x).

και και

και 8. Δίνονται οι συναρτήσεις και

Ν α βρείτε τις συναρτήσεις 9. Ομοίως για τις συναρτήσεις και 10. Ν α προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof,

αν

και

και 11. Δίνονται οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς

και

. Ν α προσδιο-

ρίσετε τις συναρτήσεις gof και fog . 12. Ν α ε κ φ ρ ά σ ε τ ε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή π ε ρ ι σ σ ο τ έ ρ ω ν συν α ρ τ ή σ ε ω ν , αν

Β 1.

ΟΜΑΔΑΣ

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι:

Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης x cm και όγκο 628 cm 3 . Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 λεπτά του ευρώ ανά cm 2 , ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας 1,25 λεπτά του ευρώ ανά cm 2 . Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του x. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm;

3. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 1, ΑΓ = 3 και ΓΑ = 2 . Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του x = AM , όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.

4. Έ ν α ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ = 10cm και ύψους ΑΔ = 5 cm. Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x.. 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

Από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f ν α προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε κ α θ ε μ ι ά περίπτωση.

6. Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει:

7. Δίνονται οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f(x) = x+1 του

και g(x) = αx+ 2 . Για ποια τιμή

ισχύει fog = gof .

8. Δίνονταν οι συναρτήσεις: με

και

Να αποδείξετε ότι για κάθε

και

για κάθε 9. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι X εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη χιλιάδες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι λιάδες άτομα.

εκατοντάδες χι-

i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t. ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 120 χιλιάδες αυτοκίνητα.;

1.3

ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ

Μονοτονία •

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

συνάρτησης

Οι έννοιες " γ ν η σ ί ω ς αύξουσα συνάρτηση", " γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α σ υ ν ά ρ τ η σ η "

είναι γ ν ω σ τ έ ς από προηγούμενη τάξη. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι:

ΟΡΙΣΜΟΣ Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f λέγεται ( 1 ) : • γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα με x1 <x2

οποιαδήποτε

Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για

ισχύει: (Σχ. α)

• γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα για οποιαδήποτε

με x1 <x2

Δ του πεδίου ορισμού της, όταν

ισχύει: (Σχ. β)

Για ν α δηλώσουμε ότι η f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα (αντιστοίχως γ ν η σ ί ω ς (αντιστοίχως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η συνάρτηση — είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο έχουμε

αφού για

δηλαδή

— είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα στο έχουμε

αφού για οπότε

δηλαδή Αν μια συνάρτηση f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα ή γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α σ' ένα διάσ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γ ν η σ ί ω ς μονότονη σ' αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γ ν η σ ί ω ς μονότονη.

(1)

' Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f λ έ γ ε τ α ι , απλώς,: • α ύ ξ ο υ σ α σ ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ, όταν για ο π ο ι α δ ή π ο τ ε

• φ θ ί ν ο υ σ α σ ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ, όταν για ο π ο ι α δ ή π ο τ ε

ισχύει

Ακρότατα

συνάρτησης

Οι έννοιες "μέγιστο", "ελάχιστο", σ υ ν ά ρ τ η σ η ς είναι και αυτές γ ν ω σ τ έ ς από π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς τάξεις. Σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν α μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: • Παρουσιάζει στο

(ολικό) μέγιστο, το για κάθε

• Παρουσιάζει στο

(ολικό) ελάχιστο, το για κάθε

f(x0),όταν (Σχ. 27α) f(x0),όταν (Σχ. 27β).

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α : — Η συνάρτηση f(0) = 1, αφού — Η συνάρτηση f(1) = 0 , αφού

(Σχ. 28α) παρουσιάζει μέγιστο στο x0 = 0 , το για κάθε (Σχ. 28β) παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 = 1 , το για κάθε

— Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = ημx (Σχ. 29α) παρουσιάζει μέγιστο, το y = l , σε κ α θ έ ν α και ελάχιστο, το y = -1,

από τα σημεία αφού

μεία

σε καθένα από τα ση-

για κάθε

— Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = x 3 (Σχ. 29β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα.

Ό π ω ς είδαμε και στα π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α , άλλες σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ε λ ά χ ι σ τ ο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f λέγονται ο λ ι κ ά α κ ρ ό τ α τ α της f.

Συνάρτηση

1-1

Έ σ τ ω η συνάρτηση

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι για

οποιαδήποτε

ισχύει η συνεπαγωγή:

'Άν

τότε

που σημαίνει ότι: " Τ α διαφορετικά στοιχεία

έχουν πά-

ντοτε διαφορετικές εικόνες". Λόγω

της

τελευταίας

ιδιότητας

συνάρτηση

λέγεται σ υ ν ά ρ τ η σ η 1 - 1 (ένα προς ένα). Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ λέγεται συνάρτηση 1 - 1 , όταν για οποιαδήποτε

Μια σ υ ν ά ρ τ η σ η

ισχύει η συνεπαγωγή: αν

τότε

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: είναι συνάρτηση 1 - 1 , αν και μόνο αν για οποια-

Μια συνάρτηση δήποτε

ι σ χ ύ ε ι η συνεπαγωγή: τότε

αν Έτσι για παράδειγμα: — Η συνάρτηση f(x) = αx + β , με

είναι συνάρτηση 1 - 1 . (Σχ. 31α, β)

αφού, αν υποθέσουμε ότι f(x1) = f(x2),

τότε έχουμε διαδοχικά:

—

Η συνάρτηση

f(x)=

1-1 (Σχ. 31γ), αφού

δεν είναι συνάρτηση

f(x1)

= f(x2) = β

για ο-

ποιαδήποτε -

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = x2 (Σχ. 32) δεν είναι συν ά ρ τ η σ η 1 - 1 , αφού f(-1) = f(1) = 1 αν και είναι

ΣΧΟΛΙΑ •

Από τον π α ρ α π ά ν ω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 1 - 1 , αν και μόνο αν:

Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η ε ξ ί σ ω σ η f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της π α ρ ά σ τ α σ η ς με την ίδια τ ε τ α γ μ έ ν η . Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ. 33α).

• Αν μια συνάρτηση είναι γ ν η σ ί ω ς μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση τσι, οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς

. Έκαι

είναι συναρτήσεις 1 - 1 . Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι 1 - 1 αλλά δεν είναι γ ν η σ ί ω ς μονότονες, όπως για π α ρ ά δ ε ι γ μ α η συνάρτηση

Αντίστροφη

συνάρτηση

• Έ σ τ ω μια συνάρτηση

. Αν υποθέ-

σουμε ότι αυτή είναι 1 - 1 , τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f ( Α ) , της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f(x) = y. Ε π ο μ έ ν ω ς ορίζεται μια συνάρτηση

με την οποία κάθε μοναδικό

αντιστοιχίζεται στο

για το οποίο ισχύει f ( x ) = y.

Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: — έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(A)

της f,

- έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και - ι σ χ ύ ε ι η ισοδυναμία:

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο γ, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με

. Ε π ο μ έ ν ω ς έχουμε

οπότε και Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , έστω η εκθετική συνάρτηση . Ό π ω ς είναι γ ν ω σ τ ό η

συνάρτηση

και αυτή είναι 1 - 1 με πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών το . Ε π ο μ έ ν ω ς ορίζεται η αντίστροφη σ υ ν ά ρ τ η σ η

f-1

της f. Η συνάρ-

τ η σ η αυτή, σ ύ μ φ ω ν α με όσα είπαμε προηγουμένως, — έχει πεδίο ορισμού το — έχει σύνολο τιμών το — αντιστοιχίζει

και

κάθε

στο

μονάδικό

για το οποίο

ισχύει

α =y . Επειδή όμως

θα είναι

. Επομένως, η αντίστροφη της εκθετικής σ υ ν ά ρ τ η σ η ς είναι η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = log a x. Σ υ ν ε π ώ ς και

• Ας πάρουμε τ ώ ρ α μια 1 - 1 συνάρτηση f και ας θ ε ω ρ ή σ ο υ μ ε τις γ ρ α φ ι κ έ ς παραστάσεις C και C' των f και της

f-1

στο ίδιο

σ ύ σ τ η μ α αξόνων (Σχ. 37). Επειδή

αν ένα σημείο Μ (α, β) ανήκει στη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η C της f , τότε το σημείο Μ'(β,α) θα ανήκει στη γραφική παράστα-

ση C' της

f-1

και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ά ω ς

προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x'Oy'.

Επομένως:

Οι γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς C και C' των συναρτήσεων f και

f-1

είναι συμ-

μετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γ ω ν ί ε ς xOy και

x'Oy'.

Έ τ σ ι , οι γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των συναρτήσεων f(x) = ax και g(x) = l o g a x , 0 < α # 1, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση

είναι 1 - 1 και να βρεθεί η

αντιστροφή της. ΛΥΣΗ — Έστω

με

. Θα δείξουμε ότι

. Πράγματι έχουμε

διαδοχικά:

— Για ν α βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y = f(x) χ. Έ χ ο υ μ ε λοιπόν:

και λύνουμε ως προς

Επομένως,

, οπότε η αντίστροφη της f είναι η συ-

ναρτηση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1.

Ν α βρείτε ποιες από τις π α ρ α κ ά τ ω συναρτήσεις είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσες και ποιες γ ν η σ ί ω ς φθίνουσες

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1-1" και για καθεμία απ' αυτές ν α βρείτε την αντιστροφή της

Δίνονται οι γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f , g , φ και

ψ.

Ν α βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις

f,g,φ,ψ

έχουν αντίστροφη και

για καθεμία απ' αυτές ν α χαράξετε τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς αντιστροφής της. 4.

Να δείξετε ότι: i) Αν μια συνάρτηση f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα σε ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ, τότε η συνάρτηση -f είναι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α στο Δ. ii) Αν δύο συναρτήσεις f,g

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσες σε ένα διά-

σ τ η μ α Δ, τότε η συνάρτηση f + g είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο Δ. iii) Αν δύο συναρτήσεις f,g στημα Δ και ισχύει

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσες σε ένα διάκαι

για κάθε

, τότε η

σ υ ν ά ρ τ η σ η fg είναι γ ν η σ ί ω ς αυξουσα στο Δ. Α ν ά λ ο γ α σ υ μ π ε ρ ά σ μ α τ α διατυπώνονται, αν οι f,g

είναι γ ν η σ ί ω ς

φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ.

1.4

ΟΡΙΟ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ ΣΤΟ

Εισαγωγή Η έννοια του ορίου γ ε ν ν ή θ η κ ε στην προσπάθεια των μαθηματικών ν α απαντήσουν σε ε ρ ω τ ή μ α τ α όπως: — Τι ονομάζουμε στιγμιαία τ α χ ύ τ η τ α ενός κινητού; — Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της; — Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου; Στις π α ρ α γ ρ ά φ ο υ ς που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου "διαισθητικά", στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και μερικές βάσικές ιδιότητες του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνεχείας μιας συνάρτησης.

Η έννοια

του

ορίου

• Έ σ τ ω η συνάρτηση

Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο και γράφεται

Ε π ο μ έ ν ω ς , η γραφική της π α ρ ά σ τ α σ η είναι η ευθεία y = x +1 με εξαίρεση το σημείο Α(1,2)

(Σχ. 38). Στο σ χ ή μ α αυτό, παρατηρούμε ότι:

" Κ α θ ώ ς το x, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο π ά ν ω στον άξονα x'x, π ρ ο σ ε γ γίζει τον πραγματικό αριθμό 1, το f ( x ) , κινούμενο π ά ν ω στον άξονα y'y , προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 2. Και μάλιστα, οι τιμές f ( x ) είναι τόσο κοντά στο 2 όσο θέλουμε, για όλα τα x#1 που είναι αρκούντως κοντά στο 1". Στην περίπτωση αυτή γράφουμε

και διαβάζουμε "το όριο της f ( x ) , όταν το x τείνει στο 1, είναι 2". Γενικά: Ό τ α ν οι τιμές μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x0, τότε γράφουμε

και διαβάζουμε "το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x0, είναι "το όριο της f(x) στο x0 είναι

l".

ΣΧΟΛΙΟ Από τα π α ρ α π ά ν ω σ χ ή μ α τ α παρατηρούμε ότι: — Για ν α α ν α ζ η τ ή σ ο υ μ ε το όριο της f στο x0, πρέπει η f ν α ορίζεται όσο θέλουμε "κοντά στο x 0 " , δηλαδή η f ν α είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο τ η ς μορφής

— To x0 μπορεί ν α ανήκει στο πεδίο ορισμού της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς (Σχ. 39α, 39β) ή ν α μην ανήκει σ' αυτό (Σχ. 39γ). — Η τιμή της f στο x0, όταν υπάρχει, μπορεί ν α είναι ίση με το όριό της στο x0 (Σχ. 39α) ή διαφορετική από αυτό. (Σχ. 39β). • Έ σ τ ω , τώρα, η συνάρτηση

της οποίας η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η αποτελείται από τις η μ ι ε υ θ ε ί ε ς του διπλανού σχήματος. Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι: — Ό τ α ν το x προσεγγίζει το 1 από αριστερά (x < 1), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 2. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε:

— Ό τ α ν το x προσεγγίζει το 1 από δεξιά ( x > 1 ) , τότε οι τιμές της f π ρ ο σ ε γ γ ί ζουν όσο θελουμε τον πραγματικό αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε:

Γενικά: — Ό τ α ν οι τιμές μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον π ρ α γ μ α τ ι κό αριθμό l1, κ α θ ώ ς το x προσεγγίζει το x0 από μικρότερες τιμές ( x < x 0 ) , τότε γράφουμε:

και διαβάζουμε: "το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x0 από τα αριστερά, είναι

l1''.

— Ό τ α ν οι τιμές μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον π ρ α γ μ α τ ι κ ό αριθμό l2 ,καθώς το x προσεγγίζει το x0 από μεγαλύτερες τιμές (x > x 0 ) , τότε γράφουμε:

και διαβάζουμε: "το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x0 από τα δεξιά, είναι

τους λέμε π λ ε υ ρ ι κ ά όρια της

Τ ο υ ς αριθμούς

l2''

στο x0 και σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν α το l1 αριστερό όριο της f στο x0, ενώ το l2 δεξιό όριο της f στο

x0.

Από τα π α ρ α π ά ν ω σ χ ή μ α τ α φαίνεται ότι:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η συνάρτηση

(Σχ. 42)

δεν έχει όριο στο x0 = 0 , αφού:

ενώ

και έτσι

Ορισμός •

του

ορίου

στο

Στα π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν α γ ν ω ρ ί σ α μ ε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Ε ί δ α μ ε ότι,

όταν γ ρ ά φ ο υ μ ε

εννοούμε ότι οι τιμές

λουμε κοντά στο l , για όλα τα

f(x)

βρίσκονται όσο θέ-

τα οποία βρίσκονται " α ρ κ ο ύ ν τ ω ς κοντά

στο x 0 " . Για ν α διατυπώσουμε, τώρα, τα π α ρ α π ά ν ω σε μαθηματική γ λ ώ σ σ α ε ρ γ α ζ ό μ α σ τ ε ως εξής:

— Στη θέση της φ ρ ά σ η ς "οι τιμές f(x)

βρί-

σκονται οσοδήποτε θέλουμε κοντά στο

χρησιμοποιούμε την ανισότητα (1) όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός. — Στη θέση της φ ρ ά σ η ς "για όλα τα x # x0 που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο

x0"

χρησιμοποιούμε την ανισότητα (2) όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. (Η ανισότητα δηλώνει ότι

— Για ν α συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σ ύ μ φ ω ν α με τον διαισθητικό ορισμό λέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε ν α βρούμε έναν θετικό αριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το x ικανοποιεί τη (2), τότε το f(x) θα ικανοποιεί την (1). Έ χ ο υ μ ε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ * Έ σ τ ω μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής Θα λέμε ότι η f έχει στο x0 όριο τέτοιος, ώστε για κάθε

όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ν α ισχύει:

Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο x0, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με

Στη συνέχεια, όταν γράφουμε f

θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της

στο x0 και είναι ίσο με l .

Σ υ ν έ π ε ι α του π α ρ α π ά ν ω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:

•

Αν μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής ( x 0 , β ) και

την ανισότητα έχουμε τον ορισμό του

την αντικαταστήσουμε με την x0 < x < x0 + δ, τότε ενώ αν η f είναι ορισμένη σε ένα δ ι ά σ τ η μ α

την α ν τ ι κ α τ α σ τ ή σ ο υ μ ε με

τ η ς μορφής (α,x 0 ) και την ανισότητα την x0 -δ < x < x0, τότε έχουμε τον ορισμό του Αποδεικνύεται ότι:

•

Αν μια συνάρτηση

είναι ορισμένη σε ένα διά-

σ τ η μ α της μορφής (x0,β),

αλλά δεν ορίζεται σε διά-

σ τ η μ α της μορφής ( α , x 0 ) , τότε ορίζουμε:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

•

Αν μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι ορισμένη σε ένα διά-

σ τ η μ α της μορφής ( α , x 0 ) , αλλά δεν ορίζεται σε διάσ τ η μ α της μορφής (x0,β),

τότε ορίζουμε:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α .

ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι το

είναι ανεξάρτητο των άκρων α, β των διαστη-

μάτων (α,x 0 ) και ( x 0 , β ) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f. Έτσι

για

παράδειγμα, στο

υποσύνολο

αν

x0=0,

θέλουμε

να

βρούμε

περιοριζόμαστε

στο

του πεδίου ορισμού της,

στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή

Ε π ο μ έ ν ω ς , όπως φαίνεται και από το σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι

διπλανό

το

όριο

της

συνάρτησης

ΣΥΜΒΑΣΗ Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κ ο ν τ ά στο

μια ιδιότητα

Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις π α ρ α κ ά τ ω τρεις συνθήκες: α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής

και στο σύνο-

λο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ. β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α , x 0 ) , έχει σ' αυτό την ιδιότ η τ α Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( x 0 , β ) . γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( x 0 , β ) , έχει σ' αυτό την ιδιότ η τ α Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( α , x 0 ) . Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο

Όριο ταυτοτικής - σταθερής

είναι θετική κοντά στο x0 = 0 , αφού και είναι θετική σε αυτό.

συνάρτησης

Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι:

Η π ρ ώ τ η ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ( x ) = x (Σχ. 47α) στο x0 είναι ίσο με την τιμή της στο x0, ενώ η δεύτερη ι σ ό τ η τ α δηλώνει ότι το όριο της σταθερής σ υ ν ά ρ τ η σ η ς g(x) = c (Σχ. 47β) στο x0 είναι ίσο με c.

Α 1.

Να βρείτε το

ΟΜΑΔΑΣ εφόσον υπάρχουν, όταν η γρα-

φική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης f είναι:

Ν α χαράξετε τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f και με τη βοήθεια αυτής ν α βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όταν:

Ο μ ο ί ω ς όταν:

Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο και έχει γ ρ α φική π α ρ ά σ τ α σ η που φαίνεται στο π α ρ α κ ά τ ω σχήμα. Ν α ε ξ ε τ ά σ ε τ ε ποιοι από τους επόμενους ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ύ ς είναι αληθείς.

Δίνεται

μια

συνάρτηση

ορισμένη

στο

Να βρείτε τις τιμές του

με , για

τις οποίες υπάρχει το

1.5

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΤΩΝ

ΟΡΙΩΝ

Όριο και διάταξη Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα π α ρ α κ ά τ ω θ ε ω ρ ή μ α τ α . Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 1ο ·

Αν

τότε

f(x)>0

κοντά στο

(Σχ. 48α)

•

Αν

τότε f ( x ) < 0

κοντά στο

(Σχ. 48β)

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 2ο Αν οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g έχουν όριο στο x0 και ι σ χ ύ ε ι

κοντά στο

x0, τότε

Όρια και πράξεις Τ α δύο βασικά όρια

και το θ ε ώ ρ η μ α που ακολουθεί διευ-

κολύνουν τον υπολογισμό των ορίων. ΘΕΩΡΗΜΑ

Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ε ς από δυο συναρτήσεις. Αμεση συνέπεια αυτού είναι:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

— Έ σ τ ω τ ώ ρ α το π ο λ υ ώ ν υ μ ο

Σ ύ μ φ ω ν α με τις π α ρ α π ά ν ω ιδιότητες έχουμε:

Επομένως,

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

— Έ σ τ ω η ρητή συνάρτηση και

όπου Ρ(x),

Q(x) π ο λ υ ώ ν υ μ α του

Τότε,

Επομένως,

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

ΣΧΟΛΙΟ Ό τ α ν Q(x 0 ) = 0 , τότε δεν εφαρμόζεται η ιδιότητα 4 του π α ρ α π ά ν ω θεωρήματος. Στην π ε ρ ί π τ ω σ η αυτή εργαζόμαστε όπως στην εφαρμογή 1 ii), που ακολουθεί.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να β ρ ε θ ο ύ ν τ α π α ρ α κ ά τ ω ό ρ ι α :

ΛΥΣΗ i) Έ χ ο υ μ ε

ii) Επειδή

δεν μπορούμε ν α εφαρμόσουμε τον κ α ν ό ν α του πηλί-

κου (ιδιότητα 4). Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε όμως ότι για του κλάσματος. Οπότε η συνάρτηση

x-2

μηδενίζονται και οι δύο όροι για x # 2 , γράφεται:

Επομένως,

iii) Για x = 1 μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην π ε ρ ί π τ ω σ η αυτή ε ρ γ α ζόμαστε ως εξής: Π ο λ λ α π λ α σ ι ά ζ ο υ μ ε και τους δύο όρους του κλάσματος με έχουμε:

και έτσι

Επομένως,

2 . Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο x0 =1 της συνάρτησης

ΛΥΣΗ οπότε

Αν x<1, τότε

οπότε

Αν

Επομένως

Κριτήριο

παρεμβολής

Υποθέτουμε ότι "κοντά στο x0" μια συνάρτηση f "εγκλωβίζεται" (Σχ. 50) ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το x τείνει στο x0, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η f θα έχει το ίδιο όριο l. Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής. ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω οι συναρτήσεις f,g,h.

τότε

Αν

.Πράγματι, για x # 0 έχουμε

Για παράδειγμα,

οπότε

, σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:

Επειδή

Τριγωνομετρικά

όρια

Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικών ορίων. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ* — Για x = 0 προφανώς ισχύει η ισότητα. από το διπλανό σχήμα έχουμε

— Για

ημx = {MM1) < (ΜΑ) < (τοξΜA) = x . Άρα για κάθε

— Για

οπότε λόγω της (1) έχουμε,

ή, ισοδύναμα, — Για Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει μόνο για x = 0.

με την ισότητα ν α ισχύει

•

Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεμβολής θα αποδείξουμε ότι:

1. ΑΠΟΔΕΙΞΗ • Αρχικά θα αποδείξουμε ότι (1) Πράγματι: οπότε

— Σ ύ μ φ ω ν α με την προηγούμενη ανισότητα έχουμε

Επειδή

—

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναι

Γνωρίζουμε ότι συν 2 x = 1 - η μ 2 x , οπότε για κάθε

Επομένως

• Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι

• Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι

Πράγματι έχουμε

•

ΑΠΟΔΕΙΞΗ — Αν

* τότε από το διπλανό

σχήμα

προκύπτει ότι εμβ(τριγΟAΜ) < εμβ(τομ OAM) < εμβ(τριγ ΟΑΝ), οπότε έχουμε διαδοχικά:

και άρα

Επομένως, για κάθε Επειδή

β) Έχουμε

από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι

Όριο σύνθετης

συνάρτησης

Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τ ώ ρ α μπορούμε ν α προσδιορίσουμε τα όρια απλών συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε ν α υπολογίσουμε το της σύνθετης σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

fog

στο σημείο x0, τότε εργαζόμαστε ως εξής:

1. Θέτουμε u = g ( x ) . 2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το 3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το Αποδεικνύεται ότι, αν g(x) # u0 κοντά στο x0, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με l , δηλαδή ισχύει:

ΠΡΟΣΟΧΗ Στη

συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε ν α ικανοποιεί-

ται η συνθήκη:

και γιαυτό δεν θα ελέγχεται.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α : α) Έ σ τ ω ότι θέλουμε ν α υπολογίσουμε το όριο

Αν θέσουμε

β) Έ σ τ ω ότι θέλουμε ν α υπολογίσουμε το όριο

Είναι

Έ τ σ ι , αν θέσουμε

οποτε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Ν α βρείτε τα όρια:

Έ σ τ ω μια συνάρτηση

Να βρείτε τα όρια

Να βρείτε το

Ν α βρείτε τ α όρια

Ν α βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο x0 αν:

Ν α βρείτε τα όρια:

Ν α βρείτε το

Δίνεται η συνάρτηση των

αν:

Να βρείτε τις τιμές

για τις οποίες ισχύει

Β ' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να βρείτε τα όρια:

Να βρείτε όσα από τα π α ρ α κ ά τ ω όρια υπάρχουν

Στο διπλανό σ χ ή μ α το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ = 1. Να υπολογίσετε τα όρια:

1.6

Ν α βρείτε το

αν:

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

— Στο σ χ ή μ α 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f κοντά στο x0. Παρατηρούμε ότι, καθώς το χ κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο π ά ν ω στον άξονα x'x πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0, οι τιμές f(x) αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στην π ε ρ ί π τ ω σ η αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο και γ ρ ά φ ο υ μ ε

— Στο σ χ ή μ α 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f κοντά στο x0. Παρατ η ρ ο ύ μ ε ότι, κ α θ ώ ς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο π ά ν ω στον άξονα x'x πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0, οι τιμές f(x) ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότ ε ρ ε ς από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό -Μ (Μ > 0). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συν ά ρ τ η σ η f έχει στο x0 όριο

και γράφου-

με

ΟΡΙΣΜΟΣ* Έ σ τ ω μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f Ορίζουμε

που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της

μορφής

όταν για κάθε Μ > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο, ώ σ τ ε γ ι α κάθε ν α ισχύει

f(x) > Μ όταν για κάθε Μ > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο, ώστε για κάθε ν α ισχύει

f(x)<-M Ανάλογοι ορισμοί μπορούν ν α διατυπωθούν όταν

Ό π ω ς στην π ε ρ ί π τ ω σ η των π ε π ε ρ α σ μ έ ν ω ν ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν , που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής ισχύουν οι π α ρ α κ ά τ ω ισοδυναμίες:

Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι π α ρ α κ ά τ ω ιδιότητες:

Σ ύ μ φ ω ν α με τις ιδιότητες αυτές έχουμε:

και γενικά ενώ και γενικά

Ε π ο μ έ ν ω ς , δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της

Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν αποδεικνύονται τα π α ρ α κ ά τ ω θεωρήματα: Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 1ο (όριο α θ ρ ο ί σ μ α τ ο ς )

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 2ο (όριο γ ι ν ο μ έ ν ο υ )

Στους π ί ν α κ ε ς των π α ρ α π ά ν ω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς που παίρνουμε. Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε α π ρ ο σ δ ι ό ρ ι σ τ η μ ο ρ φ ή . Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γ ι ν ο μ έ ν ο υ συναρτ ή σ ε ω ν είναι οι:

Επειδή

απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της

διαφοράς και του πηλίκου σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν είναι οι:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α : — αν π ά ρ ο υ μ ε τις συναρτήσεις

τότε έχουμε:

και

ενώ, — αν π ά ρ ο υ μ ε τις συναρτήσεις

τότε έχουμε:

και

Α ν ά λ ο γ α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α μπορούμε ν α δώσουμε και για τις άλλες μορφές.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να β ρ ε θ ο ύ ν τ α ό ρ ι α :

ΛΥΣΗ i) Επειδή επιπλέον είναι

ii)Επειδή Επειδή επιπλέον είναι

κοντά στο 1, είναι έχουμε:

και (x-2)2

> 0 κοντά στο 2, είναι έχουμε

Επειδή

Να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης

x0 = 2 και στη συνέχεια να εξετασθεί, αν υπάρχει το όριο της

στο f(x)

στο 2.

ΛΥΣΗ — Επειδή επιπλέον

— Επειδή επιπλέον

και x-2 > 0 για x > 2 , είναι

Επειδή

έχουμε

και x-2 < 0 για x < 2, είναι

Επειδή

έχουμε

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι ίσα. Ε π ο μ έ ν ω ς δεν υπάρχει όριο της f στο 2.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 όταν:

2. Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0, όταν:

ΟΜΑΔΑΣ

Ν α βρείτε (εφόσον υπάρχει)

2. Ν α αποδείξετε ότι: i) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = εφx δεν έχει όριο στο ii) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = σφx δεν έχει όριο στο 0. 3.

Δίνονται οι συναρτήσεις και για τις οποίες υπάρχουν στο

Να βρείτε τις τιμές των

τα

όρια και Στη συνέχεια ν α υπολογίσετε τα π α ρ α π ά ν ω όρια. 4.

1. 7

Ν α βρείτε το

όταν:

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Στα π α ρ α κ ά τ ω σ χ ή μ α τ α έχουμε τις γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς τριών σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f , g , h σε ένα διάστημα της μορφής

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο.

— το f(x)

προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l. Στην π ε ρ ί π τ ω και γ ρ ά φ ο υ μ ε

ση αυτή λέμε ότι η f έχει στο

— το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο και γ ρ ά φ ο υ μ ε

— το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο και γ ρ ά φ ο υ μ ε

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Από τα π α ρ α π ά ν ω προκύπτει ότι για ν α αναζητήσουμε το όριο μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς πρέπει η f ν α είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής f στο Ανάλογοι ορισμοί μπορούν ν α διατυπωθούν, όταν που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής f,g,h

για μια σ υ ν ά ρ τ η σ η Έ τ σ ι , για τις σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς

των π α ρ α κ ά τ ω σ χ η μ ά τ ω ν έχουμε:

Για τον υπολογισμό του ορίου στο ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα π α ρ α κ ά τ ω βασικά όρια: και

και Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

Για τα όρια στο

ισχύουν οι γ ν ω σ τ έ ς ιδιότητες των ορίων στο x0 με

την προϋπόθεση ότι: — οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και — δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.

Όριο πολυωνυμικής •

και ρητής

Έστω η συνάρτηση

των ορίων για τον υπολογισμό του

συνάρτησης Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες καταλήγουμε σε απροσδιόριστη

μορφή. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Για έχουμε

Επειδή

έχουμε

Γενικά

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

• Έ σ τ ω τ ώ ρ α η συνάρτηση Για χ # 0 έχουμε:

Επειδή

και

έχουμε

Γενικά,

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

Όρια εκθετικής - λογαριθμικής Αποδεικνύεται •

(1)

ότι:

Αν α > 1 (Σχ. 60), τότε

• Αν 0 < α < 1 (Σχ. 61), τότε

(1)

Η απόδειξη παραλείπεται.

συνάρτησης

Πεπερασμένο

όριο

ακολουθίας

Η έννοια της ακολουθίας είναι γ ν ω σ τ ή από π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς τάξεις. Σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ να: ΟΡΙΣΜΟΣ

Η εικόνα α(ν) της ακολουθίας α συμβολίζεται σ υ ν ή θ ω ς με α ν , ενώ η ακολουθία α συμβολίζεται με ( α ν ) . Για παράδειγμα, η συνάρτηση

είναι μια

ακολουθία. Ε π ε ι δ ή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το

έχει ν ό η μ α

ν α μ ε λ ε τ ή σ ο υ μ ε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του ν, δηλαδή όταν O ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ανάλογος του ορισμού του ορίου συνάρτ η σ η ς στο και διατυπώνεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ

Οι γ ν ω σ τ έ ς ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν που μελετήσαμε στα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών μπορούμε ν α υπολογίζουμε όρια ακολουθιών. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α 1.

Να βρείτε τα όρια:

ΟΜΑΔΑΣ

2. Ν α βρείτε τα όρια:

Ν α βρείτε τα όρια:

Β ' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, ν α υπολογίσετε τα π α ρ α κάτω όρια:

Ν α προσδιορίσετε το

ώστε το

να υπάρ-

χει στο 3.

Αν ποίες ισχύει

Ν α βρείτε τα όρια:

ν α βρείτε τις τιμές των

για τις ο-

1.8

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ!

Ορισμός της συνέχεια Έ σ τ ω οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f,g,h

των οποίων οι γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς δίνονται στα

π α ρ α κ ά τ ω σχήματα.

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι: — Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι ορισμένη στο

και ισχύει:

— Η σ υ ν ά ρ τ η σ η g είναι ορισμένη στο x0 αλλά

— Η σ υ ν ά ρ τ η σ η h είναι ορισμένη στο x0 αλλά δεν υπάρχει το όριό της. Από τις τρεις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς του σχήματος μόνο η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f δε διακόπτεται στο x0. Είναι, επομένως, φυσικό ν α ονομάσουμε σ υ ν ε χ ή στο x0 μόνο τη σ υ ν ά ρ τ η σ η f. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έ σ τ ω μια συνάρτηση

και x0 ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της. Θα

λέμε ότι η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η συνάρτηση

όταν

είναι σ υ ν ε χ ή ς στο 0, αφού

Σ ύ μ φ ω ν α με τον π α ρ α π ά ν ω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν:

α) Δεν υπάρχει το όριό της στο x0 ή β) Υ π ά ρ χ ε ι το όριό της στο f ( x 0 ) , στο σημείο

x0,

αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της,

x0.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α : δεν είναι σ υ ν ε χ ή ς στο 0, αφού

— Η συνάρτηση

οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο 0.

δεν είναι σ υ ν ε χ ή ς στο 1, αφού

— Η συνάρτηση

Μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η . Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α : — Κ ά θ ε π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε

— Κάθε ρητή συνάρτηση

ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς , αφού για κάθε

του πεδίου

ορισμού της ισχύει

— Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f(x) = ημx κ α ι g(x) = συνx ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς , αφού για κάθε

Τέλος, αποδεικνύεται ότι: — Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f(x) = αx κ α ι

g(x)

= logαx , 0 < α # 1 ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς .

Πράξεις με συνεχείς

συναρτήσεις

Από τον ορισμό της συνέχειας στο x0 και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το π α ρ α κ ά τ ω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f και g είναι συνεχείς στο x0, τότε είναι συνεχείς στο x0 και οι συναρτήσεις:

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το

x0.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α : — Οι συναρτήσεις f(x) = εφx και f(x) = σφx είναι σ υ ν ε χ ε ί ς ως π η λ ί κ α συνεχών σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν . — Η συνάρτηση

είναι σ υ ν ε χ ή ς στο πεδίο ορισμού της

αφού η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x) = 3x-2

είναι συνεχής.

—

συνάρτηση

είναι

συνεχής,

αφού

είναι

της

μορφής

όπου g(x) = xημx η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ως γ ι ν ό μ ε ν ο των σ υ ν ε χ ώ ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f1(x') = x και f2 (x) = ημx.. Τέλος, αποδεικνύεται ότι για τη σύνθεση συνεχών σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν ι σ χ ύ ε ι το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η σ υ ν ά ρ τ η σ η

είναι σ υ ν ε χ ή ς στο x0 και η συνάρτηση g είναι σ υ ν ε χ ή ς

στο f ( x 0 ) , τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x0. Για παράδειγμα, η συνάρτηση φ(x) = ημ(x 2 - 1 ) είναι σ υ ν ε χ ή ς σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 2

f(x) = x - 1 και g(x) = ημx .

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Γ ι α π ο ι α τ ι μ ή του α η σ υ ν ά ρ τ η σ η

είναι συνεχής;

ΛΥΣΗ — Στο δ ι ά σ τ η μ α

η f έχει τύπο

και ε π ο μ έ ν ω ς είναι συνε-

χής ως πολυωνυμική. Στο δ ι ά σ τ η μ α

η f έχει τύπο

και ε π ο μ έ ν ω ς είναι σ υ ν ε χ ή ς ως

πηλίκο σ υ ν ε χ ώ ν συναρτήσεων. Για ν α είναι η f συνεχής, αρκεί ν α είναι σ υ ν ε χ ή ς και στο x0 = 0 , δηλαδή αρκεί Έ χ ο υ μ ε όμως:

f(0)= 2α . Ε π ο μ έ ν ω ς , αρκεί 2α = 1 ή, ισοδύναμα,

Συνέχεια

συνάρτησης

σε διάστημα και βασικά

Θεωρήματα

Π ο λ λ ά από τα θ ε ω ρ ή μ α τ α της Ανάλυσης αναφέρονται σε σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς οι οποίες είναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους. Είναι, επομένως, απαραίτητο ν α γ ν ω ρ ί ζ ο υ μ ε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα. ΟΡΙΣΜΟΣ •

Μια συνάρτηση

(α,β), •

Μια συνάρτηση

[α,β],

θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα

όταν είναι σ υ ν ε χ ή ς σε κάθε σημείο του f

(α,β).

(Σχ. 63α)

θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα

όταν είναι σ υ ν ε χ ή ς σε κάθε σημείο του

(α,β)

και επιπλέον

Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α, β], [α, β).

Δυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε δ ι α σ τ ή μ α τ α εκφράζονται από τ α π α ρ α κ ά τ ω θεωρήματα: Θ ε ώ ρ η μ α του Bolzano Στο διπλανό σ χ ή μ α έχουμε τη γραφική παρ ά σ τ α σ η μιας συνεχούς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f στο [ α , β ] . Επειδή τα σ η μ ε ί α A(α,f(α)) και Β(β,f(β)) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x'x, η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν α ισχύει το π α ρ α κ ά τ ω θ ε ώ ρ η μ α του οποίου η απόδειξη παραλείπεται. ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].

Αν:

• η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει • f(α) · f(β) < 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

τέτοιο, ώστε f ( x 0 ) = 0.

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της ε ξ ί σ ω σ η ς f(x) = 0 στο ανοικτό διάστημα

(α,β).

ΣΧΟΛΙΟ Από το θ ε ώ ρ η μ α του Bolzano προκύπτει ότι: — Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. (Σχ. 65)

— Μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το δ ι α σ τ ή μ α τ α στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f. β) Σε καθένα από τα υ π ο δ ι α σ τ ή μ α τ α που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , έ σ τ ω ότι θέλουμε ν α βρούμε το πρόσημο της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της f(x) = 0 στο [0,2π].

Έχουμε

Έ τ σ ι οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα

Ο π α ρ α κ ά τ ω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του π ρ ο σ ή μ ο υ της f σε κάθε διάστημα.

Διάστημα Επιλεγμένος αριθμός x0

f(xο)

-1

Πρόσημο

Ε π ο μ έ ν ω ς , στα διαστήματα

2π 1

-1

είναι f(x) < 0 , ενώ στο δ ι ά σ τ η μ α

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω μια συνάρτηση [α, β]. Αν:

η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και • f(α) # f(β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον

f(x0

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι f(α) < f ( β ) . Τότε θα ισχύει f(α) < η < f(β) (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x) = f ( x ) - η ,

παρατηρούμε ότι:

• η g είναι συνεχής στο [α, β] και

• g(α)g(β)< 0, αφού

g(α) = f(α) - η < 0

και

g(β) = f(β)-η>0. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει τέτοιο, ώστε g(x 0 ) = f(x0) - η = 0 , oπότε f ( x 0 ) = η. ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [ α , β ] , τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

• Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [ α , β ] , ισχύει το παρακάτω θεώρημα. Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( Μ έ γ ι σ τ η ς και ε λ ά χ ι σ τ η ς τ ι μ ή ς ) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. (Σχ. 69δ) τέτοια, ώστε. αν m = f(x 1 ) και Μ = f ( x 2 ) , ν α

Δηλαδή, υπάρχουν ισχύει

ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τ ι μ ώ ν μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [ m , M ] , όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

Για

παράδειγμα,

συνάρτηση

f(x)

= ημx,

έχει σύνολο τιμών το [-1,1], αφού είναι συνεχής στο [0,2π] με m = -1 και Μ = 1.

• Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα και σ υ ν ε χ ή ς σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β) (Σχ. 71α), όπου

Αν, όμως, η f είναι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α και σ υ ν ε χ ή ς στο (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Β, Α) (Σχ. 71 β).

Για παράδειγμα, — Το σύνολο τιμών της

η οποία είναι γνησίως αύξου-

σα και συνεχής συνάρτηση (Σχ. 72), είναι το διάστημα

— Το σύνολο τιμών της

αφού

η οποία είναι γνησίως φθίνουσα

και συνεχής συνάρτηση, (Σχ. 73) είναι το διάστημα

αφού

Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [α, β], [α, β) και (α, β].

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να δειχτεί ότι η εξίσωση x + συνx = 4 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (π,2π). ΑΠΟΔΕΙΞΗ

•

Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [π,2π] ως άθροισμα συνεχών σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν .

Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α του Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α

ΟΜΑΔΑΣ

1. Στα π α ρ α κ ά τ ω σ χ ή μ α τ α δίνονται οι γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς δυο συν α ρ τ ή σ ε ω ν . Ν α βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς.

2. Ν α μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x 0 τις π α ρ α κ ά τ ω συναρτήσεις:

3. Ν α μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις π α ρ α κ ά τ ω συναρτήσεις και μετά ν α χ α ρ ά ξ ε τ ε τη γραφική τους παράσταση, αν

4. Ν α μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις

5. Να αποδείξετε ότι οι π α ρ α κ ά τ ω συναρτήσεις είναι συνεχείς:

6. Ν α αποδείξετε ότι η εξίσωση η μ x - x + 1 = 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0,π). 7. Για κάθε μία από τις π α ρ α κ ά τ ω π ο λ υ ω ν υ μ ι κ έ ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, ν α βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα (α,α + 1) η ε ξ ί σ ω ση f(x) = 0 ν α έχει μία τουλάχιστον ρίζα

8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

όπου α,β,γ>

0 και λ < μ < ν, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα

(λ, μ) και μια στο

(μ,ν).

9. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x, όταν:

10. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων

Β' ΟΜΑΔΑΣ

3. i) Έ σ τ ω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο x0 = 0 . Να βρείτε το f ( 0 ) , αν για κάθε

ισχύει

ii)Ομοίως, να βρείτε το g(0) για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο x0 = 0 και για κάθε

ισχύει

4. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [0,1] και πληρούν τις σχέσεις f(0) < g(0)

και f(l) > g ( l ) , να αποδείξετε ότι

υπάρχει ένα τουλάχιστον

τέτοιο ώστε f(ξ) = g(ξ).

5. Ν α αποδείξετε ότι οι εξισώσεις:

έχουν μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). 6. Σε κ α θ ε μ ι ά από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπτώσεις ν α αποδείξετε ότι οι γ ρ α φικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των συναρτήσεων f και g έχουν ένα α κ ρ ι β ώ ς κοινό σημείο

7. i) Έ σ τ ω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση στο διάστημα [-1,1], για την οποία ισχύει α) Ν α βρείτε τις ρίζες της ε ξ ί σ ω σ η ς f(x) = 0. β) Ν α αποδείξετε ότι η

διατηρεί το πρόσημό της στο δ ι ά σ τ η μ α

(-1,1). γ) Ποιος μπορεί ν α είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση; ii) Με ανάλογο τρόπο ν α βρείτε τον τύπο της συνεχούς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f

8. Δίνεται το τ ε τ ρ ά γ ω ν ο ΟΑΒΓ του διπλανού σ χ ή μ α τ ο ς και μία σ υ ν ε χ ή ς στο [0,1] συνάρτηση της οποίας η γραφική π α ρ ά σ τ α ση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό. i) Ν α βρείτε τις ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς των διαγωνίων του τ ε τ ρ α γ ώ ν ο υ και ii) Ν α αποδείξετε με το θ ε ώ ρ η μ α του Bolzano ότι η Cf τις δύο διαγώνιες. 9. Στο διπλανό σ χ ή μ α η καμπύλη C είναι η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η μιας συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α, β] και το M0(x0,y0)

είναι ένα ση-

μείο του επιπέδου,

τέμνει και

i ) Ν α βρείτε M0(x0,y0)

τον τύπο της

απόστασης

από το σημείο M(x,f(x))

d(x) = (M0M)

του

σημείου

της Cf για κάθε

ii) Ν α αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [α,β]

και στη

σ υ ν έ χ ε ι α ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της Cf που απέχει από το Μ 0 λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σ η μ ε ί α τ η ς και ένα, τουλάχιστον, σημείο της Cf που απέχει από το Μ0 π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I.

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.

II. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις

τότε κ α τ ' ανάγκη θα είναι: A) l < m Α) 1 = m

A) 8

Ε) m < l.

Β) 1

Γ) 0

Ε) - 8 .

είναι ίσο με: Γ) 1

Δ) - 1

Ε) 0.

A) x0 = 0

B) x0 = 2

Γ) x 0 = - 1

Δ) x 0 = l .

III. 1. Δίνονται οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς

Από τους Π α ρ α κ ά τ ω ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ύ ς λάθος είναι ο: Α) η g είναι σ υ ν ε χ ή ς στο 2 Β) η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο 1 Γ) η g έχει δυο σ η μ ε ί α στα οποία δεν είναι σ υ ν ε χ ή ς

2. Ποια από τα π α ρ α κ ά τ ω όρια είναι καλώς ορισμένα;

3. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ = [0,3], με f(0) = 2 , f(1) = 1 και f(3) = - 1 . Ποιος από τους π α ρ α κ ά τ ω ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ύ ς δεν προκύπτει κ α τ ' α ν ά γ κ η από τις υποθέσεις;

Ε) Η μέγιστη τιμή της f στο [0,3] είναι το 2 και η ελάχιστη τιμή τ η ς το - 1 .

ΙΣΤΟΡΙΚΟ

ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοια της συνάρτησης, ως έκφραση μιας ε ξ ά ρ τ η σ η ς α ν ά μ ε σ α σε δύο σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν ε ς ποσότητες, εμφανίζεται μ' έναν υπονοούμενο τρόπο ήδη από την αρχαιότητα. Έ ν α χαρακτηριστικό π α ρ ά δ ε ι γ μ α αποτελούν οι πίνακες χορδών της " Α λ μ α γ έ σ τ η ς " , του Έ λ λ η ν α μαθηματικού και αστρονόμου της αλεξανδρινής περιόδου Κλαύδιου Πτολεμαίου. Στη μια στήλη αυτών των πινάκων υπάρχουν τα μήκη των τόξων ενός κύκλου και στην άλλη τα μήκη των αντίστοιχων χορδών. Χρησιμοποιώντας την έννοια του ημίτονου στον μοναδιαίο κύκλο μπορούμε ν α εκφράσουμε αναλυτικά τη "συνάρτηση" των πινάκων του Πτολεμαίου ως εξής:

Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κ α τ α σ κ ε υ ά σ τ η κ α ν στις αρχές του 17ου αιώνα. Τ α γεγονότα που έ δ ω σ α ν αποφασιστική ώθηση στην ανάπτυξη της έννοιας της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς ήταν η δημιουργία της Α λ γ ε β ρ α ς (χρήση γ ρ α μ μ ά των και ειδικών συμβόλων για την α ν α π α ρ ά σ τ α σ η μαθηματικών π ρ ά ξ ε ω ν , σχέσεων, α γ ν ώ σ τ ω ν κ.λπ.) και της αναλυτικής γ ε ω μ ε τ ρ ί α ς (χρήση του αλγεβρικού συμβολισμού σε γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά προβλήματα). Ο Descartes, στο έργο του "La Geometrie" (1637), παρουσιάζοντας τη μέθοδο προσδιορισμού μιας κ α μ π ύ λ η ς από μια εξίσωση ως προς χ και ν (τα οποία εκφράζουν τα ε υ θ ύ γ ρ α μ μ α τ μ ή μ α τ α - σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς των σημείων της κ α μ π ύ λης), π ε ρ ι έ γ ρ α ψ ε για πρώτη φορά τη δυνατότητα αναλυτικής αναπαράστασης μιας σχέσης ε ξ ά ρ τ η σ η ς α ν ά μ ε σ α σε μεταβλητές ποσότητες: "Αν λοιπόν πάρουμε διαδοχικά ένα άπειρο πλήθος διαφορετικών τιμών για το τμήμα y τότε θα προκύψει ένα άπειρο πλήθος τιμών για το τμήμα x και επομένως μια απειρία διαφορετικών σημείων, με τη βοήθεια των οποίων μπορεί να σχεδιαστεί η ζητούμενη καμπύλη". Ο όρος " σ υ ν ά ρ τ η σ η " (από το λατινικό ρ ή μ α fungor, που σημαίνει εκτελώ, λειτουργώ) εμφανίστηκε για πρώτη φορά το 1673 σ' ένα χειρόγραφο του Leibniz με τίτλο "Η αντίστροφη μέθοδος των ε φ α π τ ο μ έ ν ω ν ή περί συναρτ ή σ ε ω ν " (Methodus t a n g e n t i u m inversa, seu de functionibus), στο οποίο εξετάζεται ο υπολογισμός των τ ε τ α γ μ έ ν ω ν y των σημείων μιας κ α μ π ύ λ η ς

όταν είναι γ ν ω σ τ ή κάποια ιδιότητα των αντίστοιχων εφαπτομένων. Ο όρος αυτός άρχισε ν α αποκτά από εκείνη την εποχή μια ιδιαίτερη σ η μ α σ ί α για την α ν α π α ρ ά σ τ α σ η ποσοτήτων που εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές ποσότητες, ιδιαίτερα όταν η εξάρτηση αυτή μπορεί ν α πάρει τη μορφή μιας αναλυτικής έκφρασης. Ο J. Bernoulli έδωσε το 1718 τον επόμενο γενικό ορισμό: "Ονομάζω συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους μια ποσότητα που σχηματίζεται με οποιοδήποτε τρόπο από αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές ". Η αντίληψη της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς ως "αναλυτικής έ κ φ ρ α σ η ς " κ υ ρ ι ά ρ χ η σ ε για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, στη διάρκεια του οποίου η μαθηματική αν ά λ υ σ η ορίζονταν ως η γενική επιστήμη των μεταβλητών και των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ώ ν τους. Ο επόμενος ορισμός, που ταυτίζει την έννοια της συνάρτησης με αυτήν της "αναλυτικής έκφρασης", δόθηκε από τον L. Euler το 1748, στο έργο του " Ε ι σ α γ ω γ ή στην απειροστική ανάλυση". "Συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας ονομάζεται μια αναλυτική ση που σχηματίζεται με οποιοδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή τητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες".

έκφραποσό-

Η π α ρ α π έ ρ α εξέλιξη της έννοιας της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς προήλθε κ υ ρ ί ω ς από την προσπάθεια μαθηματικής ερμηνείας φυσικών προβλημάτων, όπως π.χ. το πρόβλημα μιας παλλόμενης χορδής, σ τ ε ρ ε ω μ έ ν η ς στα δυο άκρα της. Σ ' αυτό το πρόβλημα, που απασχόλησε ιδιαίτερα τους ε π ι σ τ ή μ ο ν ε ς στη διάρκεια του 18ου αιώνα, ζητείται ν α προσδιοριστεί μια σ υ ν ά ρ τ η σ η της μορφής y = f(x,t) που περιγράφει το σ χ ή μ α της χορδής σε μια δεδομένη χρονική στιγμή t. Το είδος όμως των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν που υ π ε ι σ έ ρ χ ο νται σ' αυτό το ζήτημα είναι τόσο γενικό, που ανάγκασε τους μαθηματικούς ν α α ν α θ ε ω ρ ή σ ο υ ν την καθιερωμένη αντίληψη ότι κάθε σ υ ν ά ρ τ η σ η ταυτίζεται με μια αναλυτική έκφραση και ν α αναζητήσουν γ ε ν ι κ ό τ ε ρ ο υ ς ορισμούς. Ο L. Euler, ήδη από το 1755 διατύπωσε ένα τέτοιο ορισμό, απ α λ λ α γ μ έ ν ο από την άμεση αναφορά στην έννοια της " α ν α λ υ τ ι κ ή ς έκφρασης". "Αν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες ποσότητες με τέτοιο τρόπο ώστε, όταν οι τελευταίες αλλάζουν συμβαίνει το ίδιο και με τις πρώτες, τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις των τελευταίων. Αυτός ο ορισμός είναι πολύ ευρύς και περιλαμβάνει κάθε μέθοδο με την οποία μια ποσότητα θα μπορούσε να προσδιοριστεί από άλλες. Αν λοιπόν το x υποδηλώνει μια μεταβλητή ποσότητα, τότε όλες οι ποσότητες που εξαρτώνται από το x με οποιοδήποτε τρόπο ή προσδιορίζονται από αυτό, ονομάζονται συναρτήσεις του x". Οι ν έ ε ς αυτές αντιλήψεις οδήγησαν βαθμιαία στην έννοια της σ υ ν ά ρ τ η σης ω ς αυθαίρετης αντιστοιχίας α ν ά μ ε σ α στα στοιχεία δυο συνόλων, που δεν ακολουθεί υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά κάποιο "νόμο". Ο J. Fourier, το 1822, επισήμανε ρητά αυτό το σημείο με την εξής παρατήρηση: "Γενικά, η συνάρτη-

ση f(x) παριστάνει μια διαδοχή τιμών ή τεταγμένων, καθεμιά από τις οποίες είναι αυθαίρετη. Αν δοθεί μια απειρία τιμών στην τετμημένη x, θα αριθμηυπάρχουν ίσου πλήθους τεταγμένες f(x). Όλες έχουν πραγματικές τικές τιμές, θετικές ή αρνητικές ή μηδέν. Δεν προϋποθέτουμε ότι αυτές οι τεταγμένες υπόκεινται σ' ένα κοινό νόμο' διαδέχονται η μια την άλλη με οποιοδήποτε τρόπο και καθεμιά από αυτές δίνεται σαν να ήταν μια μοναδική ποσότητα".

Η έννοια της συνέχειας Την περίοδο που η έννοια της συνάρτ η σ η ς ταυτίζονταν με αυτήν της " α ν α λ υ τ ι κ ή ς έ κ φ ρ α σ η ς " , υπήρχαν δυο διαφορετικές αντιλήψεις για την έννοια της συνέχειας. Η μία από αυτές, με κ α θ α ρ ά γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή προέλευση, εξέφραζε την ιδιότητα μιας καμπύλης ν α μη παρουσιάζει "διακοπές" η άλλη, με π ρ ο έ λ ε υ σ η κυρίως από τη φυσική, Ασυνέχεια στο x0 λόγω διαεξέφραζε την ιδιότητα ενός φαινομέκοπής της καμπύλης σ'αυνου ν α ακολουθεί τον ίδιο "νόμο", την τό το σημείο ιδιότητα μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς ν α διατηρεί την ίδια αναλυτική έκφραση σ' ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Σ ' αυτήν την τ ε λ ε υ τ α ί α αντίληψη περί συνέχειας άσκησε έντονη κριτική ο Α. L. Cauchy το 1844, σημειώνοντας τα εξής: "Στα έργα των Euler και Lagrange, μια συνάρτηση ονομάζεται Ασυνέχεια στο x0 λόγω μεσυνεχής ή ασυνεχής ανάλογα με το αν ταβολής της αναλυτικής έκοι διαφορετικές τιμές αυτής της συνάρφρασης σ'αυτό το σημείο. τησης υπόκεινται ή όχι στον ίδιο νόμο, προκύπτουν ή όχι από μια μοναδική εξίσωση. Όμως αυτός ο ορισμός πολύ απέχει από το να θεωρηθεί μαθηματικά ακριβής' γιατί αν οι διαφορετικές τιμές μιας συνάρτησης εξαρτώνται από δυο ή περισσότερες διαφορετικές εξισώσεις, τίποτα δεν μας εμποδίζει να μειώσουμε τον αριθμό αυτών των εξισώσεων ή ακόμη και να τις αντικαταστήσουμε από μια απλή εξίσωση, της οποίας η ανάλυση θα μας έδινε όλες τις υπόλοιπες. Επομένως, αν κανείς θεωρήσει τον ορισμό των Euler και Langrange εφαρμόσιμο σε όλα τα είδη των συναρτήσεων, τότε μια απλή αλλαγή του συμβολισμού είναι συχνά αρκετή για να μετασχηματίσει μια συνεχή συνάρτηση σε ασυνεχή και αντίστροφα. Έτσι π.χ., αν το x συμβολίζει μια πραγματική μεταβλητή, τότε η συνάρτηση που ισούται με +x ή -x, ανάλογα με το αν η μεταβλητή x είναι θετική ή αρνητική, πρέπει για το λόγο αυτό να τοποθέτηθεί στην κλάση

των ασυνεχών

συναρτήσεων

όμως η ίδια συνάρτηση θα μπορούσε

να θεω-

ρηθεί ως συνεχής όταν γραφεί στη μορφή Έτσι, ο χαρακτήρας της συνέχειας των συναρτήσεων, θεωρούμενος από το σημείο όπου οι γεωμέτρες σταμάτησαν για πρώτη φορά, είναι ασαφής και αβέβαιος. Η αβεβαιότητα όμως θα εξαφανιστεί, αν στη θέση του ορισμού του Euler αντικαταστήσουμε αυτόν που έχω δώσει στο κεφάλαιο II του έργου μου "Αλγεβρική ανάλυση " ... ". Ο ορισμός, στον οποίο αναφέρεται εδώ ο Cauchy, αποτελεί ο υ σ ι α σ τ ι κ ά την πρώτη απόπειρα μελέτης της έννοιας της συνέχειας με λογική αυστηρότητα. Α π ο σ υ ν δ έ ο ν τ α ς αυτήν την έννοια από κάθε γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή εποπτεία και ε ξ ά ρ τ η σ η από την έννοια της "αναλυτικής έκφρασης", τη μ ε τ α σ χ η μ ά τισε σε μια κ α θ α ρ ά αριθμητική ιδιότητα των συναρτήσεων, που μπορεί ν α γίνει αντικείμενο λογισμού. Ο ορισμός αυτός του Cauchy, που δόθηκε το 1821, έχει ως εξής: (έναν παρόμοιο ορισμό είχε δώσει και ο Β. Bolzano το 1817). "Έστω f(x) μια συνάρτηση της μεταβλητής x και ας υποθέσουμε ότι για κάθε τιμή του x σ' ένα δοσμένο διάστημα η συνάρτηση αυτή έχει πάντοτε μια μοναδική και πεπερασμένη τιμή. Αν δώσουμε στην μεταβλητή x μια απειροελάχιστη αύξηση α, η συνάρτηση θα αυξηθεί κατά τη διαφορά f(x+α)f(x), η οποία εξαρτάται από τη νέα μεταβλητή α και την τιμή που είχε το x. Σ' αυτήν την περίπτωση,

συνεχής στο διάστημα,

η συνάρτηση

f(x)

θα

ονομάζεται

διάστημα της μεταβλητής x, αν για κάθε τιμή του x σ' αυτό το

η απόλυτη

τιμή της διαφοράς

f(x+α)-f(x)

πειρον μαζί μ' αυτήν του α. Με άλλα λόγια, ως προς x, αν μια απειροελάχιστη μια απειροελάχιστη

η f(x)

μικραίνει θα παραμένει

αύξηση της μεταβλητής

αύξηση της ίδιας της

παράγει

επ' άσυνεχής πάντοτε

συνάρτησης".

Η έννοια του ορίου Η έννοια της συνέχειας καθώς και ορισμένες άλλες βασικές έννοιες της α ν ά λ υ σ η ς που θα γ ν ω ρ ί σ ο υ μ ε στα επόμενα κεφάλαια (όπως π.χ. η π α ρ ά γ ω γ ο ς και το ολοκλήρωμα) περιείχαν, στα π ρ ώ τ α στάδια της ε ξ έ λ ι ξ ή ς τους, ο ρ ι σ μ έ ν ε ς ασάφειες, που οφείλονταν κυρίως στην α δ υ ν α μ ί α των μαθηματικών ν α διαπραγματευθούν με λογική α υ σ τ η ρ ό τ η τ α την έννοια του απείρως μικρού και του απείρως μεγάλου. Αυτή η α δ υ ν α μ ί α οδηγούσε πολλούς ν α αμφισβητούν τα θεμέλια π ά ν ω στα οποία στηρίζονταν το ο ι κ ο δ ό μ η μ α της μαθηματικής ανάλυσης και ν α συνδέουν τ α ε ν τ υ π ω σ ι α κ ά α π ο τ ε λ έ σ μ α τ ά της με ορισμένες μεταφυσικές-ερμηνείες. Οι μαθηματικοί π ρ ο σ π ά θ η σ α ν ν α ξεπεράσουν αυτές τις δυσκολίες εισάγοντας την ιδέα του ορίου, με την οποία, αρχικά, εκφράζονταν η δυνατότ η τ α μιας μεταβαλλόμενης ποσότητας ν α προσεγγίζει ε π ' άπειρον μια σταθερή π ο σ ό τ η τ α χωρίς στην π ρ α γ μ α τ ι κ ό τ η τ α ν α τη φτάνει ποτέ. Ο d ' (1)

Είναι φανερό ότι ο Cauchy χρησιμοποιεί εδώ, χωρίς να την ονομάζει, τη συνάρτηση απόλυτη τιμή.

Alembert όρισε το 1765 αυτήν την έννοια στην " Ε γ κ υ κ λ ο π α ί δ ε ι α " του Diderot ω ς εξής: "Ένα μέγεθος ονομάζεται ενός άλλου όταν το δεύτερο μπορεί να προσεγγίζει το πρώτο σε μια απόσταση οσοδήποτε μικρή, αν και ένα μέγεθος δεν μπορεί να ξεπερνά ποτέ το μέγεθος που προσεγγίζει' έτσι ώστε η διαφορά μιας τέτοιας ποσότητας από το όριό της να είναι εντελώς αμελητέα ". Σ ύ μ φ ω ν α λοιπόν μ' αυτόν τον ορισμό, που περικλείει την έννοια της κίν η σ η ς ω ς μια διαδικασία προσέγγισης, ο αριθμός 2 είναι το όριο τ η ς ακολουθίας 1,9 1,99 1,999 1,9999 ..., αλλά όχι όριο ακολουθίας 1,9 1,99 2 2 ... (γιατί αυτή "φτάνει" το 2), ούτε όριο τ η ς ακολουθίας 1,9 2,01 1,9999 2 , 0 0 0 1 . . . (γιατί αυτή ξ ε π ε ρ ν ά το 2). O τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν την έννοια αυτή του ορίου φαίνεται χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ά στο επόμενο π α ρ ά δ ε ι γ μ α , στο οποίο ο

όριο

S.F. Lacroix αποδεικνύει το 1810 ότι στην οποία υποθέτουμε

"Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση ξάνεται χ,

θετικά χωρίς τέλος. Διαιρώντας

βρίσκουμε

θα παραμένει

ένα αποτέλεσμα

πάντοτε μικρότερη

αυτήν την τιμή, αφού το μέρος

ότι το x αυ-

αριθμητή και παρονομαστή

που δείχνει

με το

καθαρά ότι η

συνάρτηση

από το α αλλά θα προσεγγίζει

συνέχεια

του παρονομαστή

ρισσότερο και μπορεί να μειωθεί όσο θέλουμε. δοσμένο κλάσμα και την τιμή α εκφράζεται ως

μειώνεται

Η διαφορά

όλο και πεανάμεσα

στο

και επομένως γίνεται ολοένα και πιο μικρή, όσο το x γίνεται μεγαλύτερο, και μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιαδήποτε ποσότητα, οσοδήποτε μικρή. Συνεπώς, το δοσμένο κλάσμα μπορεί να προσεγγίζει το α όσο κοντά θέλουμε: άρα το α είναι το όριο της στη αύξηση του x".

συνάρτησης

ως προς την

αόρι-

Για ν α τυποποιήσουμε αυτήν την μακροσκελή διαδικασία, οι μαθηματικοί π ρ ο σ π ά θ η σ α ν ν α αποσυνδέσουν την έννοια του ορίου από την έννοια τ η ς κ ί ν η σ η ς και ν α την ορίσουν με καθαρά αριθμητικούς όρους, έτσι ώ σ τ ε ν α γίνει ένα αντικείμενο μαθηματικού λογισμού. Το α π ο τ έ λ ε σ μ α αυτής της π ρ ο σ π ά θ ε ι α ς υπήρξε ο σημερινός "στατικός" ορισμός με τη βοήθεια τ ω ν ανισοτήτων και της απόλυσης τιμής, που διατυπώθηκε από τον Weierstrass στα μέσα του 19ου αιώνα. Με αυτόν τον ορισμό, η έννοια του ορίου α π ο γ υ μ ν ώ θ η κ ε από κάθε στοιχείο εποπτείας αλλά έγινε έτσι δυνατό ν α αποδειχθούν με λογική αυστηρότητα οι ιδιότητες των ορίων και ν α τυποποιηθεί η διαδικασία υπολογισμού τους.

2ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣΛΟΓΙΣΜΟΣ

2.1

Η ΕΝΝΟΙΑ

Στιγμιαία

ΤΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ταχύτητα

Ας θ ε ω ρ ή σ ο υ μ ε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S = S(t) είναι η τ ε τ μ η μ έ ν η του σώματος αυτού τη χρονική στιμή t.

Η συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού. Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι κάποια χρονική στιγμή t0 το κινητό βρίσκεται στη θέση Μ0

και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή

t = t0 +h , βρίσκεται στη θέση Μ. (Σχ. 1). Στο χρονικό διάστημα από t0 έως t η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t)-S(t0).

Άρα, η μέση ταχύτητα του

κινητού σ' αυτό το χρονικό διάστημα είναι

Ό σ ο το t είναι π λ η σ ι έ σ τ ε ρ α στο t0, τόσο η μέση τ α χ ύ τ η τ α του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρυθμό

αλλαγής

της θέσης του κινητού κοντά

στο t0. Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο

t0,

το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t0 και τη συμβολίζουμε με υ(t 0 ). Δηλαδή:

τότε η στιγμιαία τ α χ ύ τ η τ α του κινητού κατά τις χρονικές στιγμές t1 = 1, t2 = 2 και t3 = 3 είναι αντιστοίχως:

ΣΧΟΛΙΟ Όταν

ένα

Πρόβλημα

κινητό

κινείται

προς

τα

δεξιά,

εφαπτομένης

Είναι γ ν ω σ τ ό από την Ευκλείδεια Γ ε ω μ ε τ ρ ί α ότι ε φ α π τ ο μ έ ν η ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ονομάζουμε την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο, το A. Ο ορισμός αυτός δεν μπορεί ν α γενικευτεί για οποιαδήποτε καμπύλη, γιατί, με έναν τέτοιο ορισμό η παραβολή y = x 2 θα είχε στο σημείο A(1,1) δύο εφαπτόμενες ε και ζ (Σχ. 4α), ενώ η y = x3 δεν θα είχε στο σημείο

τότε

κοντά

στο

ισχύει

A(1,1) καμία εφαπτομένη (Σχ. 4β).

Επομένως, πρέπει ν α αναζητήσουμε έναν άλλον ορισμό της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς του κύκλου, ο οποίος ν α μπορεί ν α γενικευτεί για όλες τις καμπύλες. Θ ε ω ρ ο ύ μ ε , λοιπόν, ένα άλλο σημείο Μ του κύκλου (Σχ. 5). Τ α σημεία Α , Μ ορίζουν μια τ έ μ ν ο υ σ α του κύκλου, την ευθεία AM . Καθώς το σημείο Μ, κινούμενο πάνω στον κύκλο πλησιάζει στο Α, η τ έ μ ν ο υ σ α AM φαίνεται ν α έχει ως "οριακή θέση" την εφαπτομένη του κύκλου στο A. Τη διαπίστωση αυτή θα δούμε, τώρα, πως μπορούμε ν α την αξιοποιήσουμε για ν α ορίσουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σε ένα σημείο της. • Έ σ τ ω f μία συνάρτηση και A ( x 0 , f ( x 0 ) ) ένα σημείο της γ ρ α φ ι κ ή ς της παράστασης.

Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο M ( x , f ( x ) ) , x # x0, της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της f και την ευθεία A M που ορίζουν τα σημεία A και Μ, παρατηρούμε ότι:

Κ α θ ώ ς το x τείνει στο x0 με x > x0 η τ έ μ ν ο υ σ α AM φαίνεται ν α παίρνει μια οριακή θέση ε (Σχ. 6α). Την ίδια οριακή θέση φαίνεται ν α παίρνει και όταν το x τείνει στο x0 με x < x0 (Σχ. 6β). Την οριακή θέση της AM θα μπορούσαμε ν α την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της f στο Α. Επειδή η είναι λογικό ν α α ν α μ έ ν ο υ -

κλίση της τ έ μ ν ο υ σ α ς AM είναι ίση με

με ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) θα έχει κλίση το

Έ τ σ ι δίνουμε τον π α ρ α κ ά τ ω ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω

μια συνάρτηση και Α(x0,f(x0))

ένα σημείο της C f . Αν υπάρχει το

και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της Cf

στο σημείο της A, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και

έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Ε π ο μ έ ν ω ς , η ε ξ ί σ ω σ η της εφαπτομένης στο σημείο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) είναι y - f ( x 0 )=

λ(x

-x0).

όπου

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x) = x2 και το σημείο της Α(1,1). Επειδή

ορίζεται

εφαπτομένη

της

στο

σημείο

της

A(1,1). Η εφαπτομένη αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης λ-2

και εξίσωση y - 1 = 2 ( x - l ) .

Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Στα προηγούμενα, οι ορισμοί της στιγμιαίας τ α χ ύ τ η τ α ς ενός κινητού και της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς σε σημείο μιας καμπύλης μας οδήγησαν σε ένα όριο της μορφής

Για την ιδιαίτερη περίπτωση που το π α ρ α π ά ν ω όριο υπάρχει και είναι π ρ α γ μ α τικός αριθμός, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο

και συμβολίζεται

με

f ' ( x 0 ) . Δηλαδή:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν f(x) = x2 +1, τότε στο x0 = 1 έχουμε

Επομένως, f'(1) = 2 . θέσουμε x = x0+h,

Αν, τώρα, στην ισότητα

τότε έ-

χουμε

Πολλές φορές το h = x-x0

συμβολίζεται με

Δx,

ενώ το f(x0 + h)- f(x 0 ) =

f(x0+ Δ x ) - f(x 0 ) συμβολίζεται με Δf(x0) , οπότε ο π α ρ α π ά ν ω τύπος γράφεται:

Η τ ε λ ε υ τ α ί α ισότητα οδήγησε το Leibniz ν α συμβολίσει την π α ρ ά γ ω γ ο στο x0 O συμβολισμός f'(x 0 ) είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange. Είναι φανερό ότι, αν το x0 είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε: Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο x0 , αν και μόνο αν υπάρχουν στο

και είναι ίσα.

τα όρια

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , — η συνάρτηση

είναι παρα-

γ ω γ ί σ ι μ η στο 0 με f'(0) = 0 , αφού

και

ενώ — η συνάρτηση

δεν είναι πα-

ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο 0, αφού

και

ΣΧΟΛΙΑ Σ ύ μ φ ω ν α με τον π α ρ α π ά ν ω ορισμό: • Η στιγμιαία τ α χ ύ τ η τ α ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t0, είναι η π α ρ ά γ ω γ ο ς της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς θέσης x = S(t) τη χρονική στιγμή t0. Δηλαδή, είναι υ(t0) = •

S'(t0).

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της Cf

μιας π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η ς

σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f. στο σημείο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) είναι η π α ρ ά γ ω γ ο ς της f στο x0. Δηλαδή, είναι λ = f'(x0) οπότε η ε ξ ί σ ω σ η της εφαπτομένης

Την κλίση

f'(x0)

ε είναι:

της εφαπτομένης ε στο

τ η ς C f στο Α ή κ λ ί σ η τ η ς f στο

x0.

A(X0,F(X0))

θα τη λέμε και κ λ ί σ η

Κατακόρυφη

εφαπτομένη

• Ας δούμε, τώρα, αν μπορούμε ν α ορίσουμε ε φ α π τ ο μ έ ν η της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς μιας συνεχούς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ' ένα σημείο της A(x 0 ,f(x 0 )). όταν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0. — Έ σ τ ω για π α ρ ά δ ε ι γ μ α η συνάρτηση

Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο 0, αλλά δεν είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ' αυτό, αφού

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε όμως ότι, αν M(x,f(x)), x # 0 , είναι ένα σημείο της Cf , τότε, κ α θ ώ ς το x τείνει στο 0, η τ έ μ ν ο υ σ α ΟΜ φαίνεται ν α παίρνει ως οριακή θέση την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το Ο, δηλαδή τείνει ν α συμπέσει με τον άξονα y'y. Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f στο O(0,0) ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία x = 0 .

— Έ σ τ ω τ ώ ρ α και η συνάρτηση

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η αυτή είναι συνεχής στο 0, αλλά δεν είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ' αυτό, αφού

και

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε όμως και εδώ ότι, αν M(x,f(x)),

είναι ένα σημείο της Cf ,

τότε, κ α θ ώ ς το x τείνει στο 0, η τ έ μ ν ο υ σ α ΟΜ τείνει ν α συμπέσει με τον άξονα y'y.

Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της Cf

κατακόρυφη ευθεία x = 0. Γενικά:

στο O(0,0) ορίζουμε την

ΟΡΙΣΜΟΣ Αν μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο x0 και ισχύει μια από τις π α ρ α κ ά τ ω συνθήκες: α)

β)

γ) τότε ορίζουμε ως ε φ α π τ ο μ έ ν η της Cf

στο σημείο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) την κατακόρυ-

φη ευθεία x = x0 Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης

δέχεται στο σημείο της O(0,0) κατακόρυφη εφαπτομένη, την x = 0 , αφού είναι συνεχής στο 0 και ισχύει

• Αν μια συνάρτηση

δεν είναι π α ρ α γ ω -

γίσιμη στο x0 και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του π α ρ α π ά ν ω ορισμού, τότε δεν ορίζουμε εφαπτομένη της Cf

στο σημείο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) .

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης

δεν έχει εφαπτομένη στο O(0,0), αφού

ενώ

Παράγωγος και συνέχεια Έ σ τ ω η συνάρτηση

Η f είναι συνεχής

στο x0 = 0 , αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό, αφού

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε , δηλαδή, ότι μια συνάρτηση

μπορεί ν α είναι σ υ ν ε χ ή ς σ' ένα

σημείο x0 χωρίς ν α είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό. Αν, όμως, η f είναι π α ρ α γ ω γίσιμη στο x0, τότε θα είναι και συνεχής στο x0, δηλαδή ισχύει το π α ρ α κ ά τ ω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0, τότε είναι και συν ε χ ή ς στο σημείο αυτό. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για x # x 0 έχουμε

οπότε

αφού η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο x0. Επομένως, είναι σ υ ν ε χ ή ς στο x0.

δηλαδή η

ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα σημείο x0, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x0.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Για ποιες τιμές του

η συνάρτηση

i) συνεχής στο x0 = 0 ;

είναι: ii) παραγωγίσιμη στο x0 = 0 ;

ΛΥΣΗ i) Η f είναι συνεχής στο x0 = 0 , αν και μόνο αν

ή, ισοδύναμα,

ii) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: • Αν α # 1,-1, η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη. • Αν α = 1, η συνάρτηση γράφεται

— Για x < 0 , έχουμε

οπότε

— Για x > 0 έχουμε

οπότε

Άρα

και επομένως, για α = 1 η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 . • Αν α = -1, η συνάρτηση γράφεται

— Για x < 0 , έχουμε

οπότε

— Για x > 0 έχουμε

οπότε

Άρα

και επομένως, για α = - 1 η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Ν α βρείτε την π α ρ ά γ ω γ ο της συνάρτησης f στο σημείο x0, όταν i) iii)

ii)

Ν α βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f στο σημείο x0, όταν i)

ii)

iii)

iν)

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, ν α αποδείξετε ότι η συνάρτ η σ η g(x) = xf(x) είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις π α ρ α κ ά τ ω συναρτήσεις, ν α εξετάσετε αν είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ε ς στο σημείο αυτό.

Να βρείτε την ε ξ ί σ ω σ η της εφαπτομένης της

(αν ορίζεται) στο

A ( x 0 , f ( x 0 ) ) για κάθε μία από τις συναρτήσεις των α σ κ ή σ ε ω ν 1 και 2. Β 1.

ΟΜΑΔΑΣ

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

στο

σημείο x0 = 0 . 2.

Αν για μία συνάρτηση

ισχύει

για κάθε

ν α αποδείξετε ότι: i) f(1) = 2

ii) f'(1) = 3

ν α αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της

γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς στο σημείο A(0,1) και σχηματίζει με τον άξον α των χ γ ω ν ί α

Να βρείτε την π α ρ ά γ ω γ ο της συνάρτησης x0 = 0

στο

Αν i)

ν α αποδείξετε ότι: f(0) = 1

ii)

iii) 6.

f'(0)= 1.

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και για κάθε ισχύει: ν α αποδείξετε ότι i)f(0) = 0

ii)f'(0) = l.

Αν η συνάρτηση f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο 0 και

ν α αποδείξε-

τε ότι i) f(0) = 0 8.

ii)

f'(0)

= 4.

Ν α αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

x0,

τότε i) ii) 9.

Στο π α ρ α κ ά τ ω σ χ ή μ α δίνονται οι γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των συναρτ ή σ ε ω ν θέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν π ά ν ω στον άξονα x'x στο χρονικό διάστημα από 0sec έως 8sec. Ν α βρείτε:

i) Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης; ii) Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά; iii) Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή t = 2 sec, ποιο τη χρονική στιγμή t = 4 sec και ποιο τη χρονική στιγμή t = 5 sec; iv) Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από 0sec έως 4sec; ν) Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης; νi) Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα;

2.2

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

• Έ σ τ ω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A. Θα λέμε ότι: — Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η , όταν είναι π α ρ α γ ω γίσιμη σε κάθε σημείο — Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σε ένα α ν ο ι κ τ ό δ ι ά σ τ η μ α (α,β)

του πεδίου ορι-

σμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο — Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σε ένα κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η μ α [ α , β ] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισχύει

• Έ σ τ ω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή

είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε

στο

f ' ( x ) , ορίζουμε τη συνάρτηση

η οποία ονομάζεται π ρ ώ τ η π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς

ή απλά π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς

που διαβάζεται "ντε εφ προς ντε χι". Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y = f'(x) θα τη συμβολίζουμε και με y =

(f(x))'.

Αν υ π ο θ έ σ ο υ μ ε ότι το Α1 είναι διάστημα ή έ ν ω σ η διαστημάτων, τότε η π α ρ ά γ ω γ ο ς της ται με

f',

αν υπάρχει, λέγεται δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς f και συμβολίζε-

f".

Ε π α γ ω γ ι κ ά ορίζεται η ν ι ο σ τ ή π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς f

(ν)

και συμβολίζεται με

. Δηλαδή

Η ε ύ ρ ε σ η της π α ρ α γ ώ γ ο υ συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δεν είναι π ά ν τ α εύκολη. Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς συναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση π α ρ α γ ώ γ ο υ σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν (αντί ν α χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά).

Παράγωγος μερικών βασικών

συναρτήσεων

• Έ σ τ ω η σταθερή συνάρτηση γίσιμη στο

Η συνάρτηση f είναι π α ρ α γ ω -

και ισχύει f'(x) = 0 , δηλαδή

Πράγματι, αν x0 είναι ένα σημείο του

τότε για x # x0 ισχύει:

Επομένως,

δηλαδή (c)' = 0 . • Έ σ τ ω η συνάρτηση f(x) = x . Η συνάρτηση f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ισχύει f'(x) = 1, δηλαδή

Πράγματι, αν x0 είναι ένα σημείο του

Επομένως,

δηλαδή (x)' = 1.

τότε για x # x0 ισχύει:

και

• Έ σ τ ω η συνάρτηση σιμη στο

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι π α ρ α γ ω γ ί -

και ισχύει

Πράγματι, αν

δηλαδή

είναι ένα σημείο του

τότε για

ισχύει:

οπότε

• •

Έ σ τ ω η συνάρτηση και ισχύει

Η συνάρτηση

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

δηλαδή

Πράγματι, αν x0 είναι ένα σημείο του

τότε για

ισχύει:

οπότε

Ό π ω ς είδαμε στην παράγραφο 3.1 η στο 0.

δεν είναι

παραγωγίσιμη

•

• Έ σ τ ω συνάρτηση f(x) = ημx. Η συνάρτηση f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ισχύει f'(x) = συνx, δηλαδή

και

Πράγματι, για κάθε

Επειδή

έχουμε

Δηλαδή,

(ημx)' = συνx .

•

• Έ σ τ ω η συνάρτηση f(x) = συνx. Η συνάρτηση f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο και ισχύει f'(x)

= - η μ x , δηλαδή

Πράγματι, για κάθε

οπότε

Δηλαδή, (συνx)' = - η μ x .

•

ΣΧΟΛΙΟ Τ α όρια

τα οποία χρησιμοποιήσαμε για ν α υπολογίσουμε την π α ρ ά γ ω γ ο των συναρτήσεων f(x) = ημx, g(x) = συνx είναι η παράγωγος στο x0 =0 των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f, g αντιστοίχως, αφού

•

Έ σ τ ω η συνάρτηση

στο

και ισχύει

. Αποδεικνύεται ότι η

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η

, δηλαδή

• Έ σ τ ω η συνάρτηση f ( x ) = l n x . Αποδεικνύεται ότι η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

και ισχύει

δηλαδή

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x ) = lnx, στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΛΥΣΗ Επειδή π τ ο μ έ ν η ς ε της Cf

η εξίσωση της εφασε ένα σημείο

Μ(x0,f(x0))

είναι

Η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0,0), αν και μόνο αν

Άρα, το ζητούμενο σημείο είναι το M(e, 1).

2 . Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε 2 είναι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης

της

συνάρτησης

σημεία O(0,0) και Α(π,0)

f(x)

= ημx στα

αντιστοίχως. Να

βρεθούν: i) Οι εξισώσεις των ε1 και ε 2 ii) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ε 1 , ε 2 και ο άξονας των x. ΛΥΣΗ i) Επειδή f'(x) = (ημx)' = συνx, είναι f'(0) = 1 και f'(π) = - 1 οπότε οι ε 1 , ε 2 έχουν εξισώσεις ν = x και

γ = -(x - π)

αντιστοίχως.

ii) Αν λύσουμε το σ ύ σ τ η μ α των π α ρ α π ά ν ω δύο ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν βρίσκουμε ότι οι ευθείες ε 1 , ε 2 τέμνονται στο σημείο

Άρα, το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμ-

βαδόν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x0 όταν: i)

ii)

iii)

iv)

ν) 2. Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:

ii)

iii)

iv)

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής y = x2

στα

οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς ν α είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης f(x) = x 3 ; 4.

Ν α π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε γραφικά την π α ρ ά γ ω γ ο της συνάρτησης f του διπλανού σχήματος.

Να π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε γραφικά τη συνάρτηση η οποία είναι συνεχής, με f(0) = 0 , και της οποίας η π α ρ ά γ ω γ ο ς παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήμα.

Β ' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να

βρείτε

τις

τιμές

των

α,

για

τις

οποίες

συνάρτηση

, είναι παραγωγίσιμη στο x0 = π .

Έ σ τ ω η συνάρτηση

και το σημείο Α(ξ,f(ξ)), ξ # 0 της

γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(ξ,f(ξ)) και Β(-ξ,0) εφάπτεται της Cf στο A. 3.

Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς

της

f(x) = x3 σε οποιοδήποτε σημείο της Μ ( α , α 3 ) , α # 0 έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση της

είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ. 4.

Έ σ τ ω ε η εφαπτομένη της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σε ένα σημείο της

Αν Α,Β

είναι τα σημεία στα

οποία η ε τέμνει τους άξονες x'x και y'y αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι

i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ. ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο

2.3

ΚΑΝΟΝΕΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Παράγωγος αθροίσματος ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0, έχουμε:

δηλαδή

• Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες σ' ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει:

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν f1,f2,....,fk, είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε

Για παράδειγμα,

Παράγωγος

γινομένου

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή οι f,g

είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο x0, έχουμε:

δηλαδή

• Αν οι συναρτήσεις f,g

είναι παραγωγίσιμες σ' ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε

Για παράδειγμα.

Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

Αν f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η συνάρτηση σ' ένα διάστημα Δ και (c)' = 0 , σ ύ μ φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α (2) έχουμε:

επειδή

Για παράδειγμα,

Παράγωγος

πηλίκου

ΘΕΩΡΗΜΑ

Η απόδειξη παραλείπεται. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ε ς σ' ένα διάστημα Δ και για κάθε ισχύει g(x) # 0 , τότε για κάθε

έχουμε:

Για παράδειγμα,

Χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ώ ν τ α ς τις προηγούμενες προτάσεις μπορούμε τ ώ ρ α ν α βρούμε τις π α ρ α γ ώ γ ο υ ς μερικών ακόμη βασικών συναρτήσεων. Η συνάρτηση f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η

• Έ σ τ ω η συνάρτηση δηλαδή

έχουμε:

Πράγματι, για κάθε

• Για παράδειγμα.

για κάθε φυσικό ν > 1. Ε π ο μ έ ν ω ς , αν

Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι τότε

•

Έ σ τ ω η συνάρτηση f(x) = εφx. Η συνάρτηση και ισχύει

Πράγματι, για κάθε

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

δηλαδή

έχουμε:

•

Έ σ τ ω η συνάρτηση f(x) = σφx. Η συνάρτηση και ισχύει

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να β ρ ε θ ε ί η π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

δηλαδή

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

ΛΥΣΗ Έχουμε:

2 . Να

αποδειχθεί

ότι

οι

γραφικές

παραστάσεις

των

συναρτήσεων

έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους

και

σημείο A(0,1) και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής. ΛΥΣΗ Αρκεί ν α δείξουμε ότι f'(0) = g'(0).

Έχουμε:

και οπότε Αρα

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A(0,1) είναι:

Παράγωγος σύνθετης

συνάρτησης

Έ σ τ ω ότι ζητάμε την παράγωγο της συνάρτησης y = ημx, η οποία είναι σύνθεση της g(x) = 2x και της f(x) = ημx. Επειδή ημ2x = 2ημx·συνx, έχουμε

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι η π α ρ ά γ ω γ ο ς της y = ημ2x δεν είναι η συνάρτηση y = σ υ ν 2 x , όπως ίσως θα περίμενε κανείς από τον τύπο (ημx)' = συνx . Αυτό εξηγείται με το π α ρ α κ ά τ ω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Γενικά, αν μια σ υ ν ά ρ τ η σ η g είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σε ένα διάστημα Δ και η είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο g(Δ), τότε η συνάρτηση fog

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

Δ και ισχύει

Δηλαδή, αν u = g(x),

τότε

Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y = f(u)

και u = g ( x ) , έχουμε τον τύπο

που είναι γ ν ω σ τ ό ς ως κ α ν ό ν α ς τ η ς α λ υ σ ί δ α ς . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά σ υ μ π ε ρ ι φ έ -

Το σύμβολο

ρεταν ως πηλίκο, π ρ ά γ μ α που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα. Άμεση συνέπεια του π α ρ α π ά ν ω θεωρήματος είναι τα εξής: • Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει

. δηλαδή

Πράγματι, αν

και θέσουμε u = α l n x , τότε

έχουμε

Επομέ-

νως.

• Η συνάρτηση

είναι

παραγωγίσιμη

στο

και

ισχύει

. δηλαδή

(1)

Α π ο δ ε ι κ ν ύ ε τ α ι ότι, για α > 1 η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η και στο σ η μ ε ί ο x0 = 0 και η π α ρ α γ ω γ ό ς της ε ί ν α ι ίση με 0, ε π ο μ έ ν ω ς δ ί ν ε τ α ι από τον ίδιο τύπο.

Πράγματι, αν

και θέσουμε u = xlnα,

τότε έχουμε

Επομέ-

νως,

είναι παραγωγίσιμη στο

• Η συνάρτηση

και ισχύει

Πράγματι

Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u = f(x)

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η , τότε έχου-

με:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i)

ii)

Hi)

ΛΥΣΗ i) Αν θέσουμε

τότε η συνάρτηση y = f(x) γράφεται

οπότε έχουμε

Ομοίως, έχουμε ii)

iii)

2 . Να β ρ ε θ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε του κ ύ κ λ ο υ

στο σ η μ ε ί ο του

M1(x1,y1) ΛΥΣΗ Αν λύσουμε την εξίσωση του κύκλου ως προς y, βρίσκουμε ότι και Ε π ο μ έ ν ω ς , ο κύκλος C αποτελείται από τα σημεία των γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν και

οι οποίες είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα [-ρ,ρ]

και παραγωγίσιμες στο

ανοικτό διάστημα ( - ρ , ρ). Αν, τώρα, με y-

f(x)

συμβολίσουμε εκείνη από τις παραπάνω συναρτήσεις

στην οποία ανήκει το Μ 1 ( x 1 , y 1 ) , τότε θα ισχύει και

(2)

Έτσι, με παραγώγιση και των δύο μελών της (2), έχουμε

οπότε, για x = x1, θα ισχύει

Έτσι, λόγω της (1) θα έχουμε

οπότε, για y1 # 0 , θα είναι

Άρα, η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση:

η οποία γράφεται διαδοχικά:

(3)

Αν y 1 = 0 , που συμβαίνει όταν το σημείο Μ 1 ( x 1 , y 1 )

είναι το Α(ρ,0)

A ' ( - ρ , 0 ) , τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι οι εφαπτόμενες της Cf

ή το

στα σημεία

αυτά είναι οι κατακόρυφες ευθείες x=ρ

και x = -ρ

αντιστοίχως. Και οι δυο αυτές εξισώσεις δίνονται από τον παραπάνω τύπο (3) για (x 1 ,y 1 ) = (ρ,0) και (x 1 , y1) = (-ρ,0) αντιστοίχως. Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης οποιασδήποτε άλλης κωνικής τομής.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i)

ii) iv)

iii)

2. Ομοίως των συναρτήσεων: i)

ii)

iii)

iv)

ν) 3. Ομοίως των συναρτήσεων: i)

ii)

iii)

iv)

4. Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων: i)

ii)

5. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των x, όταν i)

6. Αν σεις f',g'.

ii)

και Ισχύει f' = g' ;

iii)

να βρείτε τις συναρτή-

7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν των συναρτήσεων

στο κοινό σημείο

και

τους

A(1,1), είναι κάθετες. Να βρείτε τις τιμές του

8. Δίνεται η συνάρτηση α, για τις οποίες η κλίση της Cf

στο σημείο της A(0,1) είναι ίση με

9. Ν α βρείτε τα σημεία της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της

συνάρτησης

f(x) = x -3x + 5 , στα οποία η εφαπτομένη είναι: i) παράλληλη προς την ευθεία y = 9x + 1 ii) κάθετη προς την ευθεία y = -x. 10. Ν α βρείτε την ε ξ ί σ ω σ η της εφαπτομένης της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f(x) = x2 η οποία άγεται από το σημείο A ( 0 , - 1 ) . Να βρείτε τις τι-

11. Δίνεται η συνάρτηση μές των

για τις οποίες η C f , διέρχεται από το σημείο

A(1,2) και εφάπτεται της ευθείας y = x στην αρχή των αξόνων. 12. Να βρείτε την π α ρ ά γ ω γ ο των συναρτήσεων: i)

ii)

iii)

iv)

ν) 13. Να βρείτε την π α ρ ά γ ω γ ο της συνάρτησης f στο σημείο x0 όταν: i)

ii)

iii)

iv)

14. Να βρείτε την π α ρ ά γ ω γ ο των συναρτήσεων: i)

ii)

iii)

iv)

15. Αν

ν α αποδείξετε ότι Β

1. Ν α

αποδείξετε

ότι

οι

ΟΜΑΔΑΣ

γραφικές

παραστάσεις

των

συναρτήσεων

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο

και

οι εφαπτομένες τους είναι κάθετες. 2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = 3 x - 2 έχει με τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η

της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f(x) = x 3 δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά. 3. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=αx2

+ βx+2

Να βρείτε

και

για τα οποία οι γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς τους έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τ ε τ μ η μ έ ν η x0 = 1 . 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex και g(x) = -x2 -x.

Να αποδείξετε

ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο A(0,1) εφάπτεται και στην Cg . 5. Να

βρείτε

πολυώνυμο

τρίτου

βαθμού

τέτοιο,

ώστε

f(0)

= 4,

(3)

f'(-1)= 2, f"(2) = 4 και f (1) = 6 . 6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο

δεύτερου βαθμού του

οποίου η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η να εφάπτεται των ευθειών y = x + l και y = 3x - 1 στα σημεία A(0,1) και B(1,2) αντιστοίχως. 7. Αν μία συνάρτηση

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο σημείο x0 = α .

ν α αποδείξετε ότι i) ii) 8. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των x. 9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i)

ii)

και στη συνέχεια την εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς της Cf

στο O(0,0)

σε καθεμία περίπτωση χωριστά. 10. Έ σ τ ω f μια π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο συνάρτηση για την οποία ι σ χ ύ ε ι f'(1)= 1 και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ι σ ό τ η τ α Να αποδείξετε ότι η ε φ α π τ ο μ έ ν η της Cf

στο A(1,f(1))

εφάπτεται της Cg στο B(0,g(0)).

11. Έστω μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f, παραγωγίσιμη στο διάστημα ( - 1 , 1), για την οποία ισχύει

i) Ν α βρείτε τ η ν

f'(0)

ii) Ν α αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf

στο σημείο A ( 0 , f ( 0 ) )

σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

2.4

ΡΥΘΜΟΣ

ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού, ορίσαμε τη στιγμιαία τ α χ ύ τ η τ α ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0 ως το όριο

Το όριο αυτό το λέμε και ρ υ θ μ ό μ ε τ α β ο λ ή ς της τ ε τ μ η μ έ ν η ς S του κινητού ω ς προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0. Γενικά, ΟΡΙΣΜΟΣ Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x,y

συνδέονται με τη σχέση y = f(x), όταν f εί-

ναι μια σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο x0, τότε ονομάζουμε ρ υ θ μ ό μ ε τ α β ο λ ή ς τ ο υ y ω ς π ρ ο ς το x στο σ η μ ε ί ο x0 την π α ρ ά γ ω γ ο

f'(x0).

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , ο ρυθμός μεταβολής της τ α χ ύ τ η τ α ς υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 είναι η π α ρ ά γ ω γ ο ς υ'(t0),

της τ α χ ύ τ η τ α ς υ ως προς το χρόνο t

τη χρονική στιγμή t0. Η π α ρ ά γ ω γ ο ς υ'(t 0 ) λέγεται ε π ι τ ά χ υ ν σ η του κινητού τη χρονική στιγμή t0 και συμβολίζεται με α ( t 0 ) . Είναι δηλαδή

Στην οικονομία, το κόστος π α ρ α γ ω γ ή ς K, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Έ τ σ ι , η π α ρ ά -

γωγος

K(x 0 )

παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ω ς προς την πο-

σότητα x, όταν x = x0 και λέγεται ο ρ ι α κ ό κ ό σ τ ο ς στο x0. Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες ο ρ ι α κ ή ε ί σ π ρ α ξ η στο x0 και ο ρ ι α κ ό κ έ ρ δ ο ς στο

x0.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Έ ν α β ό τ σ α λ ο που ρ ί χ ν ε τ α ι σε μία λ ί μ ν η π ρ ο κ α λ ε ί κ υ κ λ ι κ ό κ υ μ α τ ι σ μ ό . Μ ί α σ υ σ κ ε υ ή μ έ τ ρ η σ η ς δ ε ί χ ν ε ι ότι τ η χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ μ ή t0 π ο υ η α κ τ ί ν α r του κ υ μ α τ ι σ μ ο ύ ε ί ν α ι 50 c m , ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τ α β ο λ ή ς τ η ς r ε ί ν α ι 20 cm/sec. Να βρεθεί ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τ α β ο λ ή ς του ε μ β α δ ο ύ Ε που π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι από το κ υ κ λ ι κ ό κ ύ μ α , τ η χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ μ ή t0. ΛΥΣΗ Επειδή E = π . r2 και η ακτίνα r είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε

οπότε Επομένως,

2 . Αν το σ υ ν ο λ ι κ ό κ ό σ τ ο ς π α ρ α γ ω γ ή ς x μ ο ν ά δ ω ν ενός β ι ο μ η χ α ν ι κ ο ύ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ε ί ν α ι K(x) κ α ι η σ υ ν ο λ ι κ ή ε ί σ π ρ α ξ η από τ η ν π ώ λ η σ ή τ ο υ ς ε ί ν α ι Ε(x), τ ό τ ε Ρ(x) = Ε (x)- Κ (x)

ε ί ν α ι το συνολικό κ έ ρ δ ο ς κ α ι

ε ί ν α ι το

μέσο κ ό σ τ ο ς . i) Να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ότι ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τ α β ο λ ή ς του κ έ ρ δ ο υ ς μ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι ό τ α ν ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τ α β ο λ ή ς του κ ό σ τ ο υ ς και ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τ α β ο λ ή ς τ η ς ε ί σ π ρ α ξ η ς ε ί ν α ι ίσοι. ii) Να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ότι ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τ α β ο λ ή ς του μέσου κ ό σ τ ο υ ς μ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι όταν το μέσο κ ό σ τ ο ς ε ί ν α ι ίσο με το ο ρ ι α κ ό κ ό σ τ ο ς . ΛΥΣΗ i) O ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι

Επομένως,

ii) 0 ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι

Επομένως

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 - t2, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν t = 1 sec.

O όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό 100cm 3 /sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή t0, που αυτή είναι ίση με 9cm;

Το κόστος π α ρ α γ ω γ ή ς , Κ (x), και η τιμή πώλησης, Π(x), x μονάδων ενός

βιομηχανικού

προϊόντος

δίνονται

από

και Π(x) = 420x

τις

συναρτήσεις

αντιστοίχως.

βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, Ρ(x) = Π(x)-Κ(x), ναι θετικός. 4.

Δύο πλοία Π1 και Π2

αναχωρούν

σ υ γ χ ρ ό ν ω ς από ένα λιμάνι Λ. Το πλοίο

Π1

κινείται ανατολικά

τ α χ ύ τ η τ α 15km/h και το

Π2

με βό-

ρεια με τ α χ ύ τ η τ α 20km/h. i) Ν α βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των Π1 και Π2

Να εί-

ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = ( Π 1 Π 2 ) των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και ν α προσδιορίσετε. 5.

Έ ν α κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης

Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο

ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι x'(t) > 0 για κάθε Β' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 10cm 2 /sec, ν α βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r = 85 cm.

Έ σ τ ω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία O(0,0), Α(x,0) και B(0,lnx), με x > 1. Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 4cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν x = 5 cm.

Έ ν α ς άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα 3m/s. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y.

Έ ν α αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση 100m από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 50m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλλόνι βρίσκεται σε ύψος 100m.

Μία γυναίκα ύψους 1,60m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8m με ταχύτητα 0,8m/s. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της;

Έ ν α περιπολικό Α κινείται κατά μήκος πλη-

της καμπύλης

σιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετ μ η μ έ ν η ς του περιπολικού δίνεται από τον τύπο α'(t) = -α(t) ν α βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετ μ η μ έ ν η ς του σημείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τ ε τ μ η μ έ νη - 3 . 7.

Μ ί α σκάλα μήκους 3m είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό 0 , l m / s e c . Τη χρονική στιγμή t0, που η κορυφή της σκάλας απέχέι από το δάπεδο 2,5m, ν α βρείτε: i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ (Σχήμα). ii) Την τ α χ ύ τ η τ α με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας.

Έ ν α κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση x2 +y2 = 1 . Καθώς περνάει από το σημείο

η τ ε τ α γ μ έ ν η y ελαττώνεται με

ρυθμό 3 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τ ε τ μ η μ έ ν η ς x τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α.

2.5

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΜΕΣΗΣ

ΤΙΜΗΣ

Στην π α ρ ά γ ρ α φ ο αυτή θα γνωρίσουμε ένα από τα πλέον βασικά θ ε ω ρ ή μ α τ α του Διαφορικού Λογισμού που είναι γνωστό ως Θ ε ώ ρ η μ α Μ έ σ η ς Τ ι μ ή ς . Αρχικά διατυπώνουμε το Θ ε ώ ρ η μ α του Rolle, το οποίο είναι ειδική περίπτωση του Θεω ρ ή μ α τ ο ς Μ έ σ η ς Τιμής και στη συνέχεια διατυπώνουμε το Θ ε ώ ρ η μ α Μ έ σ η ς Τιμής, το οποίο αποδεικνύεται με τη βοήθεια του Θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς του Rolle.

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α (Rolle) Αν μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι: • σ υ ν ε χ ή ς στο κλειστό διάστημα [α,β] • π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ανοικτό διάστημα (α,β) και •

f(α)

f(β) τέτοιο, ώστε:

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

f'(ξ)= 0

Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά , αυτό ένα, τουλάχιστον,

σημαίνει ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε η

εφαπτομένη της Cf

στο Μ (ξ,f(ξ))

ν α εί-

ναι π α ρ ά λ λ η λ η στον άξονα των x.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , έ σ τ ω η συνάρτηση

Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,3], παραγ ω γ ί σ ι μ η στο

(1,3), με

f'(x) = 2x - 4

f(1)= 2 = f(3), σ ύ μ φ ω ν α με το Rolle, θα υπάρχει ένας

και

θεώρημα

αριθμός

τέτοιος, ώστε f ' ( ξ ) = 0 . Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε:

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.) Αν μια συνάρτηση f είναι: • σ υ ν ε χ ή ς στο κλειστό διάστημα [α,β] και • π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ανοικτό διάστημα ( α , β ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

τέτοιο, ώστε:

Γεωμετρικά, αυτό ένα, τουλάχιστον.

σημαίνει ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε η

εφαπτομένη της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ))

ν α είναι παράλλη-

λη της ευθείας ΑΒ.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

Επειδή η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [0,4] και παραγωγίσιμη στο ( 0 , 4 ) , με

σύμ-

φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος, ώστε

Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να αποδειχτεί ότι: i) Η συνάρτηση

, ικανοποιεί τις υποθέσεις

του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [0,1], ii) Η εξίσωση έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0,1). ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Η συνάρτηση

ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0,1]

αφού • είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [0,1] ως πολυωνυμική • είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (0,1) με f'(x) = 3λx2 + 2 x - (λ + 1) και • ισχύει f(0) = f(1) = 0 .

ισχύουν οι

ii) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ισοδύναμα.

τέτοιο, ώστε f'(ξ) = 0 ή,

Επομένως, το

θα είναι ρίζα της εξί-

σωσης 2 . Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση f ( x ) = αx2 +βx + γ, οποιοδήποτε διάστημα [ x 1 , x 2 ] , ο αριθμός

α # 0 και για

που ικανοποιεί το

συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, είναι το κέντρο του διαστήματος [ x 1 , x 2 ] , δηλαδή είναι ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συνάρτηση f(x) = αx2 +βx+γ

είναι συνεχής στο [x 1 ,x 2 ] ως π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή και

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ( x 1 , x 2 ) , με f'(x) = 2αx + β . Επομένως, σ ύ μ φ ω ν α με το θεώρ η μ α μέσης τιμής υπάρχει

τέτοιο, ώστε (1)

Είναι όμως:

x2 - x1 Ε π ο μ έ ν ω ς , η σχέση (1) γράφεται:

3 . Έ ν α αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή 200 χιλιομέτρων σε 2,5 ώρες. Να αποδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 80 χιλιόμετρα την ώρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι υπάρχει

η συνάρτηση θέσης του κινητού. Αρκεί ν α δείξουμε τέτοια ώστε υ(t 0 ) = S'(t0) = 80.

Η συνάρτηση S είναι συνεχής στο [0, 2,5] και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (0, 2,5). Επομένως, σ ύ μ φ ω ν α με το Θ ε ώ ρ η μ α Μ έ σ η ς Τιμής υπάρχει στε

τέτοιο, ώ -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα που αναφέρεται, και για στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, ν α βρείτε όλα τα τα οποία ισχύει f'(ξ) = 0 .

ii)

iii)

iv)

Ν α εξετάσετε, ποιές από τις π α ρ α κ ά τ ω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υ π ο θ έ σ ε ι ς του Θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς Μ έ σ η ς Τιμής στο διάστημα που α ν α φ έ ρ ε ται και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, ν α βρείτε όλα τα

για τα οποία ισχύει

ii)

iii)

Αν α < β , ν α αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις

και

ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [α,β]

και στη

σ υ ν έ χ ε ι α ότι: και Για τη συνάρτηση g(x) = l n x υποθέτουμε επιπλέον ότι 0 < α < β . Β 1.

ΟΜΑΔΑΣ

Δίνεται η συνάρτηση i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (-1,0) και μια, τουλάχιστον, στο διάστημα (0,1). ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λάχιστον, ρίζα στο διάστημα (-1,1).

έχει μια, του-

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ( x - 1 ) η μ χ . Να αποδείξετε ότι: i) Η εξίσωση f'(x) = 0 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διάσ τ η μ α (0,1). ii) Η ε ξ ί σ ω σ η εφx = 1 - x έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διάστημα (0,1)

Να αποδείi) Δίνεται μια συνάρτηση f με f'(x) # 1 για κάθε ξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. ii) Ν α αποδείξετε ότι η εξίσωση

i) Να αποδείξετε ότι

αληθεύει μόνο για x = 0 .

, για κάθε

ii) Αν f είναι μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο ν α αποδείξετε ότι για όλα τα

Έ σ τ ω μια συνάρτηση για

με

ισχύει:

η οποία είναι συνεχής στο [0,4] και ισχύει

κάθε

Aν f(0) = 1, ν α αποδείξετε

ότι

Έ σ τ ω μια συνάρτηση f η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [-1,1] και ι σ χ ύ ε ι Αν f(-1) = - 1 και f(1) = 1, ν α αποδείξετε ότι f(0) = 0 , εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα δ ι α σ τ ή μ α τ α [-1,0] και [0,1],

Να αποδείξετε με το θ ε ώ ρ η μ α του Rolle ότι οι γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία τα A(0,1), B(1,2).

2.6

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ

ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΙΜΗΣ

Το Θ ε ώ ρ η μ α Μ έ σ η ς Τιμής του διαφορικού λογισμού θεωρείται μία από τις σπουδαιότερες προτάσεις της ανάλυσης, αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Θα χρησιμοποιήσουμε τ ώ ρ α το Θ.Μ.Τ. για ν α αποδείξουμε τα επόμενα δύο βασικά θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν • η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο Δ και • f'(x) = 0 γ ι α κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ισχύει f(x 1 ) = f ( x 2 ) .

Αρκεί ν α αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε Πράγματι • Αν x1 = x2, τότε π ρ ο φ α ν ώ ς f(x1) = f(x 2 ) •

Αν x1 < x2, τότε στο διάστημα [x 1 ,x 2 ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωτέτοιο, ώστε

ρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει

(1) Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f'(ξ) = 0 , ο π ό τ ε , λόγω της (1), είναι f(x1)

= f(x 2 ) . Αν x2 < x1, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f ( x 1 ) = f ( x 2 ) .

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f(x1) = f ( x 2 ) .

•

ΠΟΡΙΣΜΑ Έ σ τ ω δυο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν • οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και • f'(x) = g'(x) για κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ,

τότε υπάρχει σ τ α θ ε ρ ά c τέτοια, ώστε για κάθε f(x)=g(x)+c ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συνάρτηση f - g

είναι σ υ ν ε χ ή ς στο Δ και

για κάθε εσωτερικό σημείο

ισχύει

Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με το π α ρ α π ά ν ω θεώρημα, η συνάρτηση f - g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε ν α ισχύει f ( x ) - g ( x ) = c , οπότε f(x) = g(x)+c .

ν α ισχύει:

ΣΧΟΛΙΟ Το π α ρ α π ά ν ω θ ε ώ ρ η μ α καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε έ ν ω σ η διαστημάτων. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , έ σ τ ω η συνάρτηση

εντούτοις η

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι. αν και f'(x) = 0 για κάθε δεν είναι σταθερή στο

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει f'(x) = f(x) για κάθε i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση

(1) είναι σταθερή και

ii) Να βρεθεί ο τύπος της f, αν δίνεται επιπλέον ότι f(0) = 1. ΛΥΣΗ i) Για κάθε

έχουμε:

Επομένως, η φ είναι σταθερή στο ii) Επειδή η φ είναι σταθερή, υπάρχει ή, ισοδύναμα.

για κάθε

Επειδή f(0) = 1, έχουμε 1 = c , οπότε

τέτοιο, ώστε Επομένως

φ(x) = c για κάθε

Μονοτονία

συνάρτησης

Έ σ τ ω η συνάρτηση

f(x) = x2.

στο διάστημα

στο οποίο η f είναι γνησίως

Παρατηρούμε

ότι

φθίνουσα, ισχύει f'(x) = 2x < 0 , ενώ στο διάστημα στο οποίο η

είναι γνησίως αύξουσα, ι-

σχύει f'(x) = 2x > 0 . Βλέπουμε, δηλαδή, ότι υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στο πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης. Συγκεκριμέν α ισχύει:

ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής • Αν f'(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό

σε ένα διάστημα Δ.

σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνη-

σίως αύξουσα σε όλο το Δ. • Αν f'(x) < 0 σε κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνη-

σίως φθίνουσα σε όλο το Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ •

Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f'(x) > 0 .

Έστω

με x1 < x2. Θα δείξουμε ότι f(xl)

< f(x 2 ) . Πράγματι, στο διά-

στημα [x 1 ,x 2 ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει τέτοιο, ώστε

Επειδή

f'(ξ)>0

οπότε έχουμε

και x2 -x1 > 0 , έχουμε f ( x 2 ) - f ( x 1 ) > 0 , οπότε f(x1) < f ( x 2 ) .

• Στην περίπτωση που είναι f'(x) < 0 εργαζόμαστε αναλόγως.

Π α παράδειγμα: — η συνάρτηση ξουσα στο και ισχύει

είναι γνησίως αύαφού είναι συνεχής στο για κάθε

— η συνάρτηση

f ( x ) = x2

α ύ ξ ο υ σ α στο και

-2x

είναι

αφού είναι συνεχής στο f'(x)

= 2(x - 1) > 0

ενώ είναι γ ν η σ ί ω ς αφού

γνησίως

είναι

συνεχής

για

κάθε

φθίνουσα

στο και

στο

f'(x)= 2 ( x - 1 ) < 0 για κάθε

είναι γ ν η σ ί ω ς φθί-

— η συνάρτηση

ν ο υ σ α σε καθένα από τα διαστήματα για

αφού

και

κάθε

και για κάθε

ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του π α ρ α π ά ν ω θεωρήματος δεν ισ χ ύ ε ι . Δηλαδή, αν η f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα (αν τ ι σ τ ο ί χ ω ς γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα) στο Δ. η π α ρ ά γ ω γ ο ς της δεν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η

συνάρτηση

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο

, αν και

εντούτοις έχει παρά-

γ ω γ ο f(x) = 3x2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το αφού f'(0) = 0 . Ισχύει όμως

για κάθε

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να β ρ ε θ ο ύ ν τα δ ι α σ τ ή μ α τ α στα οποία η σ υ ν ά ρ τ η σ η είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με της f' δίνεται στον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα

Το πρόσημο

Ε π ο μ έ ν ω ς , η συνάρτηση f: — είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο

αφού είναι σ υ ν ε χ ή ς στο

και ι-

σχύει f ' ( x ) > 0 στο — είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα στο

αφού είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [0,1] και ισχύει

f ' ( x ) < 0 στο (0,1). — είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο

αφού είναι σ υ ν ε χ ή ς στο

και ι-

σχύει f'(x) > 0 στο Το πρόσημο της [0,1] και

και το είδος μονοτονίας της

στα δ ι α σ τ ή μ α τ α

συγκεντρώνονται συνοπτικά στον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα:

Να α π ο δ ε ι χ τ ε ί ότι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x )

είναι γνη-

x-συνx-2,

σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α κ α ι να β ρ ε ί τ ε το σύνολο τ ι μ ώ ν τ η ς .

ii) Να α π ο δ ε ι χ τ ε ί ότι η ε ξ ί σ ω σ η συνx = x-2 έχει α κ ρ ι β ώ ς μ ι α λ ύ σ η στο [0,π]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Είναι

Ε π ο μ έ ν ω ς , η f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο [0,π] . Επειδή η

είναι σ υ ν ε χ ή ς

και γ ν η σ ί ω ς αύξουσα, σ ύ μ φ ω ν α με την παράγραφο 1.8, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [ f ( 0 ) , f(π)] = [-3, π -1]. ii) Έ χ ο υ μ ε :

Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το δ ι ά σ τ η μ α [ - 3 , π - 1 ] , που περιέχει το 0, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

τέτοιο

ώστε f(x 0 ) = 0 . Επειδή επιπλέον η f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο [0,π], η x0 είναι μο-

ναδική ρίζα της f(x) = 0 στο διάστημα αυτό. Η ρίζα αυτή, όπως φαίνεται και στο σ χ ή μ α 28, είναι η τ ε τ μ η μ έ ν η του σημείου τομής της y = x-2

και τ η ς

y = συνx.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α 1.

Αν για τις συναρτήσεις f.g

ΟΜΑΔΑΣ ισχύουν:

ν α αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2.

είναι σταθερή.

Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: ii)

i) iii)

Ομοίως των συναρτήσεων: i)

ii)

Ομοίως των συναρτήσεων: i)

iii)

ii)

Δίνονται οι συναρτήσεις i) Να αποδείξετε ότι οι f,g

είναι γνησίως αύξουσες.

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών τους. iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: έχουν ακριβώς μία ρίζα την x = 1. 6.

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση ii) Η ε ξ ί σ ω σ η

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα. έχει ακριβώς μία λύση την x = 0 .

Β 1.

ΟΜΑΔΑΣ

Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σ' όλο το

ισχύει

ν α αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. 2.

i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γ ν η σ ί ω ς

φθίνουσα στο διάστημα [-1,1]. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [-1, 1]. iii) Αν - 2 < α < 2 , ν α αποδείξετε ότι η εξίσωση χει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (-1,1). 3.

έ-

Η θέση ενός κινητού π ά ν ω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση:

Ν α βρείτε την τ α χ ύ τ η τ α και την επιτάχυνση του κινητού και στη συν έ χ ε ι α ν α απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα: i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα μηδέν; ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά; iii) Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε μειώνεται;

Η τιμή V (σε ευρώ) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την παραγωγή του, δίνεται από τον τύπο

Ν α αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται χωρίς, όμως, η τιμή του ν α μπορεί ν α γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής τιμής του. 5.

Ν α αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα σε καθένα α-

πό τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και ν α βρείτε το σύνολο των τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά. ii) Η εξίσωση

είναι ισοδύναμη με την f ( x ) = α

και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε 6.

Να

βρείτε

τις

τιμές

του

για

τις

οποίες

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο

συνάρτηση

Να αποδείξετε ότι: i)Η συνάρτηση f(x) = ημx - xσυνx είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο κλειστό διάστημα

ii) ημx - xσυνx > 0 , για κάθε iii) Η συνάρτηση

είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα στο ανοικτό

διάστημα 8.

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση αύξουσα.

= 2ημx + εφx -3x ,

είναι γ ν η σ ί ω ς

για κάθε

ii)

2.7

f(x)

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Η έννοια του τοπικού

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ακροτάτου

Στο διπλανό σ χ ή μ α έχουμε τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ' ένα διάστημα (α,β]. Παρατηρούμε ότι στο σημείο x = x 0 η τιμή της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε "γειτονικό" σημείο του x0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία x1 και

x2.

Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μ ι α συνάρτηση

με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο

τ ο π ι κ ό μ έ γ ι σ τ ο , όταν υπάρχει δ > 0 , τέτοιο ώστε για κάθε Το x0 λέγεται θ έ σ η ή σ η μ ε ί ο τ ο π ι κ ο ύ μ ε γ ί σ τ ο υ , ενώ το f(x 0 ) τ ο π ι κ ό μ έ γ ι στο τ η ς

τότε, όπως είδαμε στην

Αν η ανισότητα f ( x ) < f(x 0 ) ισχύει για κάθε παράγραφο 1.3, η f παρουσιάζει στο

ολικό μ έ γ ι σ τ ο ή απλά μ έ γ ι σ τ ο , το

f(x0). Στο διπλανό σ χ ή μ α παρατηρούμε ότι στο σημείο x = x 0 η τιμή της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς είναι μικρότερη από την τιμή της σε κάθε "γειτονικό" σημείο του x0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 τοπικό ελάχιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία x1 και β. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μ ί α συνάρτηση f

με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο

τ ο π ι κ ό ε λ ά χ ι σ τ ο , όταν υπάρχει δ > 0 , τέτοιο ώστε για κάθε Το x0 λέγεται θ έ σ η ή σ η μ ε ί ο τ ο π ι κ ο ύ ε λ α χ ί σ τ ο υ , ενώ το f(x 0 ) τ ο π ι κ ό ελάχιστο της

Αν η α ν ι σ ό τ η τ α

ισχύει για κάθε

π α ρ ά γ ρ α φ ο 1.3, η f παρουσιάζει στο το

τότε, ό π ω ς είδαμε στην

ο λ ι κ ό ε λ ά χ ι σ τ ο ή απλά ε λ ά χ ι σ τ ο .

f(x0)

Τ α τ ο π ι κ ά μ έ γ ι σ τ α και τοπικά ε λ ά χ ι σ τ α της f λέγονται τ ο π ι κ ά α κ ρ ό τ α τ α ή, απλά, α κ ρ ό τ α τ α αυτής, ενώ τα σ η μ ε ί α στα οποία η f παρουσιάζει τ ο π ι κ ά ακ ρ ό τ α τ α λέγονται θ έ σ ε ι ς τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν . Το μέγιστο και το ε λ ά χ ι σ τ ο της f λέγονται ο λ ι κ ά α κ ρ ό τ α τ α αυτής. Για παράδειγμα, η συνάρτηση

παρουσιάζει: i) στο x = 0 τοπικό ελάχιστο, το f(0) = 0 , το οποίο είναι και ολικό ελάχιστο και ii) στο x = 1 τοπικό μέγιστο, το f(1) = 1. Η συνάρτηση f αν και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, εντούτοις δεν παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο.

ΣΧΟΛΙΑ i) Έ ν α τοπικό μέγιστο μπορεί ν α είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο (Σχ.32α).

ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. (Σχ. 32β). Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Ε π ί σ η ς το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς (Σχ. 32α).

Προσδιορισμός

των τοπικών

ακρότατων

Με μια προσεκτική π α ρ α τ ή ρ η σ η του σχήματος 32β βλέπουμε ότι αν σ' έ ν α εσωτερικό σημείο x0 ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στο σημείο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) η εφαπτομένη της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της

είναι ορι-

ζόντια, δηλαδή ισχύει f'(x 0 ) = 0. Αυτό επιβεβαιώνεται από το π α ρ α κ ά τ ω θεώρημα, που είναι γ ν ω σ τ ό ως Θ ε ώ ρ η μ α του F e r m a t . Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α (Fermat) Έ σ τ ω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και x0 ένα

εσωτερικό

σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ α τ ο στο x0 και είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο σημείο αυτό, τότε: f(x0)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υ π ο θ έ σ ο υ μ ε ότι η

παρουσιάζει στο x0

τοπικό μέγιστο. Επειδή το x0 είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ' αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > 0 τέτοιο, ώστε και για κάθε

(1)

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, ισχύει

Επομένως, — αν

τότε, λόγω της (1), θα είναι

οπότε θα

έχουμε (2)

— αν

τότε, λόγω της (1), θα είναι

οπότε θα

έχουμε (3) Ε τ σ ι , από τις (2) και (3) έχουμε f'(x0)

= 0.

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. ΣΧΟΛΙΟ Σ ύ μ φ ω ν α με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f' είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Ε πομένως, όπως φαίνεται και στα σχήματα 29 και 30, οι πιθανές θέ σε ιςτ ων τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι: 1. Τ α ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σ η μ ε ί α του Δ στα οποία η π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς f μ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι . 2. Τ α ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σ η μ ε ί α του Δ στα οποία η f δεν π α ρ α γ ω γ ί ζ ε τ α ι . 3. Τ α ά κ ρ α τ ο υ Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της). Τ α εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο και παραγωγίσιμη σε όλο το εκτός από το 1, με:

Οι ρίζες της f'(x) = 0 είναι οι 0 και 2.

Επειδή η f' μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι αριθμοί 0, 1 και 2. Ό μ ω ς , όπως φαίνεται στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων, ενώ το σημείο 0 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου. Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της f. Επομένως, χρειαζόμαστε ένα κριτήριο το οποίο ν α μας πληροφορεί ποια από τα κρίσιμα σημεία της f είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων αυτής. Σχετικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω μια σ υ ν ά ρ τ η σ η

παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα ( α , β ) , με ε ξ α ί ρ ε σ η

ί σ ω ς ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι σ υ ν ε χ ή ς . i) Αν f'(x)> 0 στο (α,x 0 ) και f ' ( x ) < 0 στο ( x 0 , β ) , τότε το f(x 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της

(Σχ. 35α)

ii) Αν f'(x) < 0 στο (α,x 0 ) και f'(x) > 0 στο (x 0 , β ) , τότε το f(x 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο της iii) Αν η

f'(x)

(Σχ. 35β)

διατηρεί πρόσημο στο

τότε το f(x 0 ) δεν είναι

τοπικό ακρότατο και η f είναι γ ν η σ ί ω ς μονότονη στο ( α , β ) . (Σχ. 35γ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Επειδή f'(x) > 0 για κάθε

και η

είναι σ υ ν ε χ ή ς στο x0, η

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο ( α , x 0 ] . Έ τ σ ι έχουμε (1) Επειδή f'(x) < 0 για κάθε

και η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο x0, η f είναι

γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α στο [ x 0 , β ) . Έ τ σ ι έχουμε: (2)

Ε π ο μ έ ν ω ς , λόγω των (1) και (2), ισχύει:

που σημαίνει ότι το f(x 0 ) είναι μέγιστο της f στο (α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.

ii) Ε ρ γ α ζ ό μ α σ τ ε αναλόγως.

iii) Έ σ τ ω ότι

Ε π ε ι δ ή η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο x0 θα είναι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σε κάθε ένα από τ α διαστήματα

(α,x0]

και

[X0,β) . Επομένως,

για

< x0 <

ισχύει

f ( x 1 ) < f ( x 0 ) < f ( x 2 ) . Άρα το f(x 0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο τ η ς f. Θ α δείξουμε, τ ώ ρ α , ότι η

είναι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α στο ( α , β ) . Π ρ ά γ μ α τ ι ,

έστω

με x1 < x2. — Αν

επειδή η f είναι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α στο ( α , x 0 ] , θα ι σ χ ύ ε ι

f(x1 ) < f(x 2 ). — Αν

επειδή η f είναι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α στο [ x 0 , β ) , θα ι σ χ ύ ε ι

f(x1) < f(x 2 ) — Τέλος, αν x1 < x0 < x2, τότε όπως είδαμε f(x1) < f(x 0 ) < f ( x 2 ) . Ε π ο μ έ ν ω ς , σε όλες τις π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς ισχύει f(x1) < f(x 2 ) > οπότε η f είναι γ ν η σίως α ύ ξ ο υ σ α στο (α, β).

•

Ομοίως, αν f'(x) < 0 για κάθε Γ ι α π α ρ ά δ ε ι γ μ α , έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = X - 4x 4

είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

που είναι ο ρ ι σ μ έ ν η στο

με f'(x) = 4x - 1 2 x 2 . Οι ρίζες τ η ς f'(x) = 0

είναι x = 0 (διπλή) ή x = 3, το δε πρόσημο τ η ς f' φαίνεται στον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα:

Σ ύ μ φ ω ν α με το π α ρ α π ά ν ω κριτήριο, η συνάρτηση / είναι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α στο διάστημα γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο διάστημα και παρουσιάζει ένα

μόνο

τοπικό

ακρότατο,

συγκεκριμένα

ολικό

ελάχιστο

για x = 3 ,

το

f(3) = - 2 7 . ΣΧΟΛΙΑ • Ό π ω ς είδαμε στην απόδειξη του π α ρ α π ά ν ω θεωρήματος στην πρώτη περίπ τ ω σ η το

f(x0)

είναι η μέγιστη τιμή της f στο ( α , β ) , ενώ στη δεύτερη περί-

π τ ω σ η το f(x 0 ) είναι η ελάχιστη τιμή της f στο (α, β). • Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα κλειστό διάστημα [ α , β ] , όπως γ ν ω ρ ί ζ ο υ μ ε ( Θ ε ώ ρ η μ α § 1.8),η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής: 1. Β ρ ί σ κ ο υ μ ε τα κ ρ ί σ ι μ α σ η μ ε ί α τ η ς 2. Υ π ο λ ο γ ί ζ ο υ μ ε τ ι ς τ ι μ έ ς τ η ς στημάτων.

στα σ η μ ε ί α α υ τ ά κ α ι στα ά κ ρ α τ ω ν δ ι α -

3. Α π ό α υ τ έ ς τ ι ς τ ι μ έ ς η μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η ε ί ν α ι το μ έ γ ι σ τ ο κ α ι η μ ι κ ρ ό τ ε ρ η το ε λ ά χ ι σ τ ο τ η ς f. Έ-

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , έ σ τ ω η συνάρτηση

Οι ρίζες της f'(x) = 0 είναι οι x = 1,

χουμε

x = 4 . Επομένως, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα x = 1, x = 4 . Οι τιμές της στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [0,5] είναι

f(1) = 30, f(4) = 3 , f(0) = 19 και f(5) = 14. Άρα, η μέγιστη τιμή της f στο [0,5] είναι ίση με 30 και παρουσιάζεται για x = 1, ενώ η ελάχιστη τιμή της x είναι ίση με 3 και παρουσιάζεται για x = 4 . • Για ν α εφαρμόσουμε το προηγούμενο θ ε ώ ρ η μ α απαιτείται ν α προσδιορίσουμε το πρόσημο της f' εκατέρωθεν του x0. Ό τ α ν ο προσδιορισμός αυτός δεν είναι εύκολος ή είναι αδύνατος, τότε το π α ρ α κ ά τ ω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μπορεί ν α μας πληροφορήσει αν το x0 είναι θέση τοπικού ακρότατου. ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω μια συνάρτηση

παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β)

και x0 έ ν α

σημείο του (α, β ) στο οποίο η f είναι δυο φορές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η . • Αν f'(x 0 ) = 0 και f"(x 0 ) < 0 , τότε το f(x 0 ) είναι τοπικό μέγιστο. • Αν f'(x 0 ) = 0 και f"(x 0 ) > 0 , τότε το f(x 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , έστω ότι θέλουμε ν α βρούμε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x + 2συνx, Έχουμε f'(x) = 1 - 2 η μ x και

f"(x)

= -2συνx,

οπότε οι ρίζες της f' είναι οι

Έ τ σ ι έχουμε είναι τοπικό μέγιστο της f.

α)

είναι τοπικό ελάχιστο της f.

β)

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να β ρ ε θ ε ί το

έ τ σ ι , ώ σ τ ε το ορθο-

γ ώ ν ι ο ΑΒΓΑ του δ ι π λ α ν ο ύ σ χ ή μ α τ ο ς να έχει μέγιστο εμβαδό. ΛΥΣΗ Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι E(X)=(ΑΒ)(ΑΔ)= 2 x ( 3 - x 2 ) = -2x3

Έχουμε

+6x.

Ε'(x) = -6x2 + 6 = - 6 ( x + l ) ( x - 1 ) . Οι ρίζες

της Ε'(x)-0

είναι οι x = -1, x = 1. Η μονοτονία

και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα

Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν x = 1. 2 . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = x - 1 -

lnx.

i) Να μ ε λ ε τ η θ ε ί ω ς π ρ ο ς τ η μονοτονία κ α ι τα ακρότατα. για κάθε

ii) Να α π ο δ ε ι χ τ ε ί ότι x > 0.

ΛΥΣΗ i) Έ χ ο υ μ ε Η ε ξ ί σ ω σ η f'(x)

= 0 έχει μία μόνο ρίζα, την

x = 1. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα:

ii) Επειδή η f για x = 1 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, για κάθε

ισχύ-

ει:

Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 1.

3. Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π (x), σε ευρώ, κάθε μονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους X των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο Π(x) = 40000 - 6x. Το κόστος παραγωγής μιας μονάδας είναι 4000 ευρώ. Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο 1200 ευρώ για κάθε μονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. ΛΥΣΗ Η είσπραξη από την πώληση x μονάδων π α ρ α γ ω γ ή ς είναι Ε(x) =x Π ( x )= x ( 4 0 0 0 0 - 6 x ) = - 6 x 2 +40000x. Το κόστος από την π α ρ α γ ω γ ή χ μονάδων είναι Κ(x) = 4000x. Το ολικό κόστος μετά την π λ η ρ ω μ ή του φόρου είναι: Κολ(x) = 4000x + 1200x = 5200x .

Ε π ο μ έ ν ω ς , το κέρδος της βιομηχανίας είναι Ρ(x) =

Ε(x)-Κολ(x)

= -6x2 + 40000x - 5200x = - 6 x 2 +34800x. Έ χ ο υ μ ε Ρ'(x) = -12x+34800,

οπότε η Ρ'(x) = 0 έχει ρίζα την x = 2900.

Η μονοτονία και τα ακρότατα της

φαίνονται στον π α ρ α κ ά τ ω πί-

νακα:

Ε π ο μ έ ν ω ς , το μέγιστο κέρδος παρουσιάζεται όταν η βιομηχανία παράγει 2900 μονάδες από το προϊόν αυτό και είναι ίσο με 50460 χιλιάδες ευρώ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Η π α ρ ά γ ω γ ο ς μιας συνάρτησης f είναι

Για ποιές τιμές του x η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιες παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο; 2. α) Ν α μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:

β) Ν α βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων:

3. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: ii)

4. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: ii)

i) 5. Ν α

βρείτε

τις τιμές

των

για τις

παρουσιάζει

τοπικά

οποίες ακρότατα

συνάρτηση στα

σημεία

x1 = - 1 και x2 = 1 . Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. 6. Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σ χ ή μ α τ ο ς ορθογωνίου με εμβαδά 400m 2 , το τετράγωνο χρειάζεται τη μικρότερη περίφραξη. 7. Με σ υ ρ μ α τ ό π λ ε γ μ α μήκους 80m θέλουμε ν α περιφράξουμε οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου. Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. 8. Μία ώ ρ α μετά τη λήψη x mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση 0 < x < 3 . Να βρείτε ποια πρέπει ν α είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς x, ν α γίνει μέγιστος. 9. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με π λ ε υ ρ ά 2cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις π λ ε υ ρ έ ς του ΑΒΓΔ, i)ν α ε κ φ ρ ά σ ε τ ε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του x. ii) ν α βρείτε το x έτσι, ώστε το εμβαδόν Ε(x) του ΕΖΗΘ ν α γίνει ελάχιστο 10. Το κόστος της η μ ε ρ ή σ ι α ς π α ρ α γ ω γ ή ς x μονάδων ενός βιομηχανικού

προϊόντος

είναι

ευρώ,

για

ενώ η είσπραξη από την πώληση των x μονάδων είναι

Ε(x) = 420x - 2x2 ευρώ. Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο. Β

ΟΜΑΔΑΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση i)Ν α μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα. ii) Ν α αποδείξετε ότι η εξίσωση

έχει ακριβώς μία ρίζα

στο (0,π). 2.

i) Ν α μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση

και ν α βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της. ii) Ν α μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση

iii) Ν α αποδείξετε ότι οι γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη. 3. Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει i) α)

ii) α)

β)

iii) α) β) 4. Ν α αποδείξετε ότι. αν για μια συνάρτηση f, που είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο , ισχύει 2 f 3 ( x ) + 6 f ( x ) = 2 x 3 + 6 x + 1, τότε η f δεν έχει ακρότατα.

5. Στο διπλανό σ χ ή μ α έχουμε τις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f,g σ' ένα διάστημα [α,β]. Το σημείο

είναι το ση-

μείο στο οποίο η καρακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των Cf και Cg

παίρνει τη μεγαλύτερη

τιμή. Ν α αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των Α(ξ,f(ξ))

και Β(ξ,g(ξ))

και

στα

σημεία

είναι παράλληλες.

6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( x ) = ( x - α ) 2 ( x - β ) 2 ( x - γ ) 2 , με

α<β <γ

έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα. 7. Με ένα σύρμα μήκους 4m κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς x m και ένα τετράγωνο πλευράς y m. i) Ν α βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σ χ η μ ά τ ω ν συναρτήσει της π λ ε υ ρ ά ς x του ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Για ποια τιμή του x το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο. 8. Δίνεται η συνάρτηση

και το σημείο

i)Να βρείτε το σημείο Μ της Cf που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση. ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf

στο Μ είναι κάθετη στην

AM. 9. Ό π ω ς γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασικού αθλητισμού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ημικύκλια. Αν η περίμετρος του στίβου είναι 400m, ν α βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου μέρους ν α γίνει μέγιστο. 10. Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί τη συμμετοχή τουλάχιστον 100 ατόμων. Αν δηλώσουν ακριβώς 100 άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε 1000 ευρώ το άτομο. Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 5 ευρώ. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε να έχουμε τα περισσότερα έσοδα;

11. Έ σ τ ω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήματος. Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή t = 0 είναι r1 = 3 cm και r2 = 5 cm και ότι για t > 0 η ακτίνα r1 αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,05cm/s, ενώ η ακτίνα r2 αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,04 cm/s. Να βρείτε: i) πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii) πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου. 12. Θέλουμε ν α κατασκευάσουμε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατομή ΑΒΓΑ φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ϊ) Ν α αποδείξετε ότι το εμβαδόν της διατομής ΑΒΓΑ είναι ίσο με Ε = 4ημθ(1 + συνθ) ii) Για ποια τιμή του θ το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται; 13. Έ ν α ς κολυμβητής Κ βρίσκεται στη θ ά λ α σ σ α 100ft ( 1 ) μακριά από το πλησιέστερο σημείο Α μιας ε υ θ ύ γ ρ α μ μ η ς ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται 300ft μακρυά από το σημείο Α. Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί ν α κολυμβήσει με τ α χ ύ τ η τ α 3ft/s και ν α τρέξει στην ακτή με τ α χ ύ τ η τ α 5ft/s. i) Να αποδείξετε οτι για ν α διανύσει τη διαδρομή ΚMΣ του διπλανού σ χ ή μ α τ ο ς χρειάζεται χρόνο

ii) Για ποια τιμή του x ο κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για ν α φθάσει στο σπίτι του; 14. Έ ν α ς εργολάβος επιθυμεί ν α χτίσει ένα σπίτι στο δρόμο που συνδέει δύο εργοστάσια E1 και Ε2 τα (1)

l f t = 3 0 . 4 8 cm

οποία βρίσκονται σε απόσταση 12km και εκπέμπουν καπνό με παροχές Ρ και 8Ρ αντιστοίχως. Αν η πυκνότητα του καπνού σε μια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της π α ρ ο χ ή ς καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τ ε τ ρ α γ ώ ν ο υ της απόστασης d, ν α βρείτε σε ποια απόσταση x από το εργοστάσιο Ε1 πρέπει ο εργολάβος ν α χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση. (Παροχή καπνού μιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέμπεται από την καπνοδόχο στη μονάδα του χρόνου).

2.8

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ-

Κοίλα - κυρτά

ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

συνάρτησης

• Έ σ τ ω οι συναρτήσεις

(β) Οι πληροφορίες τις οποίες μας δίνει η πρώτη π α ρ ά γ ω γ ο ς για τη σ υ μ π ε ρ ι φ ο ρ ά κάθε μιας από τις δύο συναρτήσεις, όπως φαίνεται και στο σ χ ή μ α 38 είναι ίδιες. Δηλαδή οι συναρτήσεις. — είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσες στο — είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσες στο — παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο για x = 0 , το οποίο είναι ίσο με 0. Ό μ ω ς , οι συναρτήσεις αυτές έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις. Δηλαδή, "ανέρχονται" και "κατέρχονται" με διαφορετικό τρόπο σε κάθε ένα από τα διαστήματα Επομένως, οι πληροφορίες που μας δίνει το πρόσημο της πρώτης π α ρ α γ ώ γ ο υ δεν είναι ικανές για τη χάραξη της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς μιας συνάρτησης. Ας θεωρήσουμε τ ώ ρ α τις γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των π α ρ α κ ά τ ω σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν στο διάστημα

Παρατηρούμε ότι καθώς το χ αυξάνεται: — η κλίση f'(x)

της Cf

αυξάνεται, δηλαδή η

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο

ενώ — η κλίση της g'(x) της Cg ελαττώνεται, δηλαδή η g' είναι γνησίως φ θ ί ν ο υ σ α στο Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο

Γενικότερα, δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Έ σ τ ω μια συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και μη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι:

παραγωγίσι

• Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f στρέφει τα κοίλα προς τα ά ν ω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f' είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. • Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f' είναι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α στο εσωτερικό του Δ. Εποπτικά, μία συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, όταν ένα κινητό, που κινείται πάνω στη C f , για ν α διαγράψει το τόξο που αντιστοιχεί στο διάστημα Δ πρέπει ν α στραφεί κατά τη θετική (αντιστοίχως αρνητική) φορά. (Σχ. 40)

Για ν α δ η λ ώ σ ο υ μ ε στον π ί ν α κ α μεταβολών ότι μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (αντιστοίχως ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ, τότε η εφαπτομένη της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται " κ ά τ ω " (αντιστοίχως " π ά ν ω " ) από τη γραφική τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η (Σχ. 39), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. • Η μελέτη μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς ως προς τα κοίλα και κ υ ρ τ ά διευκολύνεται με τη βοήθεια του επόμενου θεωρήματος, που είναι άμεση συνέπεια του π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ο υ ορισμού και του θεωρήματος μονοτονίας. ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω μια συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και δυο φορές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο εσωτερικό του Δ. •

Αν

f"(x)>

0 για κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ, τότε η x είναι

κυρτή στο Δ. •

Αν f"(x) < 0 για κάθε

εσωτερικό

σημείο x του Δ, τότε η

είναι

κοίλη στο Δ. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η συνάρτηση f(x) = x 3 (Σχ. 41), — είναι κοίλη στο

αφού f"(x) = 6x < 0 , για

και η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο — είναι κυρτή στο

ενώ,

αφού f"(x) = 6x > 0 . για

και η f είναι συνεχής στο

ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, έ σ τ ω η συνάρτηση f(x) = x 4 (Σχ. 42). Επειδή η f'(x) = 4x 3 είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο f(x) = x4 είναι κυρτή στο είναι θετική στο Σημεία

Εντούτοις, η

f"(x)

η δεν

αφού f"(0) = 0.

καμπής

Στη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης f(x) = x3 (Σχ. 41) π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι, (α) στο σημείο O(0,0) η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f έχει ε φ α π τ ο μ έ ν η και (β) ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν του x0 =0 , η κυρτότητα της καμπύλης αλλάζει.

Στην π ε ρ ί π τ ω σ η αυτή λέμε ότι η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f " κ ά μ π τ ε τ α ι " στο σημείο O(0,0). Το σημείο Ο λέγεται σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς τ η ς C f . Γενικά δίνουμε τον π α ρ α κ ά τ ω ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έ σ τ ω μια συνάρτηση

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ' ένα διάστημα (α,β),

με ε ξ α ί ρ ε σ η

ί σ ω ς ένα σημείο του x0. Αν • η f είναι κυρτή στο ( α , x 0 ) και κοίλη στο ( x 0 , β ) , ή αντιστρόφως, και • η Cf έχει εφαπτομένη στο σημείο

A(X0,F(X0)),

τότε το σημείο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) ονομάζεται σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f. Ό τ α ν το A(x0,f(x0))

είναι σημείο καμπής της C f , τότε λέμε ότι η f π α ρ ο υ σ ι ά -

ζει στο X0 κ α μ π ή και το x0 λέγεται θ έ σ η σ η μ ε ί ο υ κ α μ π ή ς . Σ τ α σ η μ ε ί α καμπής η εφαπτομένη της C f "διαπερνά" την καμπύλη. Αποδεικνύεται, επιπλέον, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το A ( x 0 , f ( x 0 ) ) είναι σημείο καμπής της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f"(x 0 ) = 0 . Σ ύ μ φ ω ν α με το π α ρ α π ά ν ω θεώρημα, τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η f" είναι διαφορετική από το μηδέν δεν είναι θέσεις σημείων καμπής. Ε π ο μ έ ν ω ς , οι πιθανές θέσεις σημ ε ί ω ν καμπής μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι: i) τ α ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σ η μ ε ί α του Α στα οποία η f" μ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι , κ α ι ii) τ α ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σ η μ ε ί α τ ο υ Δ στα οποία δεν υ π ά ρ χει η f" (Σχ. 43). Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση (Σχ. 44) Η f είναι δύο φορές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο

με

Έ τ σ ι έχουμε τον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα:

Επειδή η f" μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, οι πιθανές θέσεις των σημείων καμπής είναι τα σημεία 0, 1 και 2. Ό μ ω ς , όπως φαίνεται στον π α ρ α π ά ν ω πίνακα και στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 δεν είναι θέσεις σημείων καμπής, αφού σ' αυτά η f δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σημείο 0 είναι θέση σημείου καμπής, αφού στο O ( 0 , / ( 0 ) ) υπάρχει ε φ α π τ ο μ έ ν η της Cf και η f στο 0 αλλάζει κυρτότητα. Παρατηρούμε λοιπόν ότι από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής, θέση σημείου καμπής είναι μόνο το 0, εκατέρωθεν του οποίου η f" αλλάζει πρόσημο. Γενικά:

Έ σ τ ω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα (α, β) και

Αν

• η f" αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 και • ορίζεται εφαπτομένη της Cf

στο A ( x 0 , f ( x 0 ) ) ,

τότε το A ( x 0 , f ( x 0 ) ) είναι σημείο καμπής.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ θ ο ύ ν τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α στα οποία η σ υ ν ά ρ τ η σ η

ε ί ν α ι κ υ ρ τ ή ή κ ο ί λ η κ α ι να βρεθούν τα σ η μ ε ί α κ α μ π ή ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς τ η ς παράστασης. ΛΥΣΗ i) Η

fείναι

δύο φορές παραγωγίσιμη στο

με f"(x) = 12(x-1)(x + 1). Το

πρόσημο της f" φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα:

Επομένως, η f είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα και κοίλη στο διάστημα [-1,1].

Επειδή η

μηδενίζεται στα σημεία -1, 1 και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο,

τα σημεία A(-1,0) και B(1,0) είναι σημεία καμπής της Cf.

Τα συμπεράσματα

αυτά καταχωρούνται στην τελευταία γ ρ α μ μ ή του π α ρ α π ά ν ω πίνακα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και ν α προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σ η μ ε ί α καμπής των γ ρ α φ ι κ ώ ν τους π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν ii)

i) 2. Ο μ ο ί ω ς για τις συναρτήσεις: i)

ii)

iii)

3. Ομοίως για τις συναρτήσεις: i)

iii)

ii)

iv)

ν)

4. Στο π α ρ α κ ά τ ω σ χ ή μ α δίνεται η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της π α ρ α γ ώ γ ο υ μίας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f στο διάστημα [-1,10],

Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα, γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής. 5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης θέσεως f = S(t) ενός κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα. Αν η C παρουσιάζει καμπή τις χρονικές στιγμές t1 και t3, να βρείτε: i) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά. ii) Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε μειώνεται. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της συνάρτησης:

και ν α αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ά ως προς το τρίτο. 2. Να αποδείξετε ότι η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης:

έχει για κάθε τιμή του

ακριβώς ένα σημείο καμπής που βρί2

σκεται στην παραβολή y = -x 3. Να

αποδείξετε

ότι

για

+ 2. κάθε

συνάρτηση

είναι κυρτή σε όλο το 4. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 - 3 x 2 + 2 . i) Ν α αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. ii) Αν x1,x2 είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και x3 η θέση του σημείου καμπής, ν α αποδείξετε ότι τα σημεία B ( x 2 , f ( x 2 ) ) και Γ ( x 3 , f ( x 3 ) ) είναι συνευθειακά.

A(x1f(x1)),

5. Έ σ τ ω f μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο ( - 2 , 2 ) , για την οποία ισχύει

Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.

2.9

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

- ΚΑΝΟΝΕΣ

DE L'

HOSPITAL

Ασύμπτωτες • Έ σ τ ω η συνάρτηση Ό π ω ς είδαμε:

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο 0 από θετικές τιμές, η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f τείνει ν α συμπέσει με την ευθεία x = 0 . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία x = 0 είναι κ α τ α κ ό ρ υ φ η α σ ύ μ π τ ω τ η της Cf. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ , τότε η

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια

ευθεία x = x0 λέγεται κ α τ α κ ό ρ υ φ η α σ ύ μ π τ ω τ η της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς

• Για την ίδια συνάρτηση παρατηρούμε ότι:

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το χ τείνει στο η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της τείνει ν α συμπέσει με την ευθεία y = 0 . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y = 0 είναι ο ρ ι ζ ό ν τ ι α α σ ύ μ π τ ω τ η της Cf

στο

Ε π ί σ η ς π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f τείνει ν α συμπέσει με την ευθεία y = 0 . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y = 0 είναι ο ρ ι ζ ό ν τ ι α α σ ύ μ π τ ω τ η της Cf στο

Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

• Έ σ τ ω η συνάρτηση

και η ευθεία g(x) = x-l

(Σχ. 46). καθώς

Επειδή

το χ τείνει στο οι τιμές της f προσεγγίζουν τις τιμές της g. Δηλαδή, η γραφική παράσταση της f προσεγγίζει την ευθεία y = x-1. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y = x-1 ( π λ ά γ ι α ) της Cf

στο

είναι α σ ύ μ π τ ω τ η

Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ασύμπτωτη y = λx + β

είναι οριζόντια αν λ = 0 , ενώ αν λ # 0 λέγεται

π λ ά γ ι α ασύμπτωτη. Για τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς ισχύει το π α ρ α κ ά τ ω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται. ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΧΟΛΙΑ 1. Αποδεικνύεται ότι: — Οι π ο λ υ ω ν υ μ ι κ έ ς συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες. — Οι ρητές συναρτήσεις

με βαθμό του αριθμητή Ρ(x)

μεγαλύτερο

τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες. 2. Σ ύ μ φ ω ν α με τους π α ρ α π ά ν ω ορισμούς, α σ ύ μ π τ ω τ ε ς της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σης μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f αναζητούμε: — Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η ορίζεται.

δεν

— Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής. — Στο φής

, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μοραντιστοίχως

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να β ρ ε θ ο ύ ν οι α σ ύ μ π τ ω τ ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

ΛΥΣΗ Επειδή η f έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής σ' αυτό, θα αναζητήσου με κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 0 και πλάγιες στο Είναι

Αρα, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της f. Εξετάζουμε, τώρα, αν υπάρχει στο χουμε:

ασύμπτωτη της μορφής y = λx + β.

Ε-

Επομένως, η ευθεία y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο Ανάλογα βρίσκουμε ότι η ευθεία y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f και στο Κανόνες

de L'

Hospital

Έ σ τ ω η συνάρτηση

Για να εξετάσουμε αν η ευθεία x = 0 είναι

κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f , χρειάζεται να υπολογίσουμε το

(1) Παρατηρούμε ότι, αν εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής

Οι μέθοδοι που εφαρμόσαμε στο κεφάλαιο

του ορίου για την άρση της απροσδιοριστίας (απλοποίηση κτλ.) δεν εφαρμόζονται στο πιο πάνω όριο. Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές

ισχύουν

τα επόμενα θεωρήματα (η απόδειξή τους παραλείπεται), που είναι γ ν ω σ τ ά ως κανόνες de l' H o s p i t a l . Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 1ο

Έτσι το παραπάνω όριο (1) υπολογίζεται ως εξής: Έχουμε:

και

Επομένως:

που σημαίνει ότι η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 2ο

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , ο υπολογισμός του

γίνεται ως εξής:

Έχουμε:

και

Επομένως:

ΣΧΟΛΙΑ 1. Το θ ε ώ ρ η μ α 2 ισχύει και για τις μορφές 2. Τ α π α ρ α π ά ν ω θ ε ω ρ ή μ α τ α ισχύουν και για π λ ε υ ρ ι κ ά όρια και μπορούμε, αν χρειάζεται, ν α τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί ν α πληρούνται οι προϋποθέσεις τους.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Δίνεται η συνάρτηση

Να αποδειχτεί ότι:

i) Η ευθεία y = x + 2 είναι ασύμπτωτη της Cf στο ii) Η ευθεία y = x-2

είναι ασύμπτωτη της Cf στο

ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Αρκεί να δείξουμε ότι

Π ρ ά γ μ α τ ι , έχουμε

ii) Αρκεί ν α δείξουμε ότι

Πράγματι, έχουμε

2 . Να β ρ ε θ ο ύ ν οι α σ ύ μ π τ ω τ ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

ΛΥΣΗ η γραφική της π α ρ ά σ τ α σ η δεν έχει Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κατακόρυφες ασύμπτωτες. Θα αναζητήσουμε, επομένως, α σ ύ μ π τ ω τ ε ς στο και στο •

Για ν α είναι η y = λx + β και

ασύμπτωτη της

στο

ν α είναι πραγματικοί

αρκεί τα όρια αριθμοί.

Επειδή

η Cf δεν έχει ασύμπτωτη στο •

Για ν α είναι η y = λx + β και

ασύμπτωτη της

στο

αρκεί τα όρια

να είναι πραγματικοί αριθμοί. Έ χ ο υ μ ε :

και

(Κανόνας De L ' Hospital)

Άρα. η ευθεία .y = 0 , δηλαδή ο άξονας x'x, είναι ασύμπτωτη της Cf

στο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε (αν υπάρχουν) τις κατακόρυφες α σ ύ μ π τ ω τ ε ς των γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν των συναρτήσεων: i)

ii)

iii)

iv)

2. Ν α βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γ ρ α φ ι κ ώ ν των συναρτήσεων:

παραστάσεων

ii)

3. Να βρείτε τις α σ ύ μ π τ ω τ ε ς των γραφικών π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν των συναρτήσεων: ii)

iii)

4. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i)

ii) Β

iii) ΟΜΑΔΑΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση

και οι ευθείες ε1: y = -x-1

και ε2 : y = x+1. Να αποδείξετε ότι i) Η ε1 είναι ασύμπτωτη της Cf τη της Cf ii) Για κάθε

στο

ενώ η ε 2 είναι α σ ύ μ π τ ω -

στο ισχύει

αποδείξετε ότι η Cf

και στη σ υ ν έ χ ε ι α ν α βρίσκεται πάνω από την ε, κοντά στο

και π ά ν ω από την ε 2 κοντά στο

2. Ν α βρείτε τις α σ ύ μ π τ ω τ ε ς της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της f όταν: i)

ii)

3. Να βρείτε τις τιμές των

ώστε η συνάρτηση

ν α είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο x0 = 0 .

4. Δίνεται η συνάρτηση

Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι σ υ ν ε χ ή ς 5. Δίνονται οι συναρτήσεις

και

Να αποδείξετε ότι: i) Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς και παραγωγίσιμη στο x0 = 1 , ενώ ii) Η g είναι σ υ ν ε χ ή ς αλλά μη παραγωγίσιμη στο x 0 = 1. 6. Δίνεται η συνάρτηση

i) Να υπολογίσετε τα όρια και ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0. iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf O(0,0).

στο σημείο

2.10

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Στην παράγραφο αυτή θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που αποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε ν α χαράξουμε τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η μιας συν ά ρ τ η σ η ς με ικανοποιητική ακρίβεια. Η πορεία την οποία ακολουθούμε λέγεται μ ε λ έ τ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς και περιλαμβάνει τα π α ρ α κ ά τ ω βήματα: 1ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f. 2ο Ε ξ ε τ ά ζ ο υ μ ε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της. 3ο Βρίσκουμε τις π α ρ α γ ώ γ ο υ ς

και

και κατασκευάζουμε τους π ί ν α κ ε ς

των π ρ ο σ ή μ ω ν τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της

προσδιορίζουμε τ α

δ ι α σ τ ή μ α τ α μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f ενώ με τη βοήθεια του π ρ ο σ ή μ ο υ της

καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κ υ ρ τ ή ή

κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής. 4ο Μ ε λ ε τ ο ύ μ ε τη " σ υ μ π ε ρ ι φ ο ρ ά " της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς στα άκρα των δ ι α σ τ η μ ά τ ω ν του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.) 5ο Σ υ γ κ ε ν τ ρ ώ ν ο υ μ ε τα π α ρ α π ά ν ω σ υ μ π ε ρ ά σ μ α τ α σ' ένα συνοπτικό π ί ν α κ α που λέγεται και π ί ν α κ α ς μ ε τ α β ο λ ώ ν τ η ς f και με τη βοήθειά του χ α ρ ά σ σ ο υ μ ε τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η της f. Για καλύτερη σχεδίαση της C f κ α τ α σ κ ε υ ά ζ ο υ μ ε έναν π ί ν α κ α τιμών της f. ΣΧΟΛΙΟ 1) Ό π ω ς είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι άρτια, τότε η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y, ενώ αν είναι π ε ρ ιτ τ ή, η Cf

έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων O. Ε π ο μ έ ν ω ς , για τη

μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε ν α περιοριστούμε στα

, με

2) Αν μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι περιοδική με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της Cf σ' ένα διάστημα πλάτους Τ.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να μ ε λ ε τ η θ ε ί κ α ι να π α ρ α σ τ α θ ε ί γ ρ α φ ι κ ά η σ υ ν ά ρ τ η σ η

ΛΥΣΗ 1. Η f έχει πεδίο ορισμού το 2. Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο

ως πολυωνυμική.

3. Έ χ ο υ μ ε

Οι ρίζες της f' είναι οι x - 3 , x = 0 (διπλή) και το π ρ ό σ η μ ο της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διασ τ ή μ α τ α μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα. Έ χ ο υ μ ε επίσης

Οι ρίζες της x" είναι οι x = 0, x = 2 και το π ρ ό σ η μ ο της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σ η μ ε ί α καμπής. 4) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f δεν έχει α σ ύ μ π τ ω τ ε ς στο μική τέταρτου βαθμού. Είναι όμως:

και

αφού είναι π ο λ υ ω ν υ -

και

5) Σ χ η μ α τ ί ζ ο υ μ ε τον π ί ν α κ α μεταβολών της f και χ α ρ ά σ σ ο υ μ ε τη γ ρ α φ ι κ ή παρ ά σ τ α σ η της f.

2. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση

ΛΥΣΗ 1. Η f έχει πεδίο ορισμού το 2. Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς ως ρητή. 3. Έ χ ο υ μ ε

Οι ρίζες της f' είναι - 1 , 3 και το πρόσημο της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διασ τ ή μ α τ α μονοτονίας και τα ακρότατα. Έ χ ο υ μ ε επίσης

Η f" δεν έχει ρίζες και το πρόσημο της δίνεται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα δ ι α σ τ ή μ α τ α στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.

4) Επειδή

η ευθεία x = 1 είναι κατακόρυφη ασύ-

μπτωτη της C f . Ε ξ ε τ ά ζ ο υ μ ε τ ώ ρ α αν υπάρχει στο

ασύμπτωτη της μορφής y = λx + β . Έ χ ο υ -

με: οπότε

λ =1

και οπότε Επομένως, η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της Cf

β = 0.

στο

Α ν ά λ ο γ α βρίσκουμε ότι η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της Cf και στο Ε π ί σ η ς έχουμε:

και

5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f καν χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑΣ

1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i)

ii)

iii)

2. Ομοίως τις συναρτήσεις: i)

ii)

3. Να μελετήσετε και να παραστήσετε f ( x ) = x + ημx στο διάστημα [-π,π].

γραφικά

τη

συνάρτηση

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο

και

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των Cf και Cg στο διάστημα 2. Αν f , g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο f(0)= g(0)

και

f'(x) > g'(x)

με

για κάθε

να αποδείξετε ότι f(x) < g(x)

στο

και f(x) > g(x)

στο

3. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1. Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν για του είναι Ε - (1 + συνθ) ημθ . Να βρείτε την τιμή της γωνίας την οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται. 4. Έ ν α σ ύ ρ μ α μήκους 20m διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σ χ ή μ α τ ο ς κυκλικού τομέα. Ν α βρείτε την ακτίνα r του κύκλου, αν επιθυμούμε ν α έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου. 5. Δύο διάδρομοι πλάτους 1 m τέμνονται κάθετα ( Σ χ ή μ α ). Ν α βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό μήκος μιας σκάλας που μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια, ν α στρίψει στη γωνία. Υπόδειξη: i) Ν α εκφράσετε τα OA, OB συναρτήσει της γ ω ν ί α ς θ,

ii) Να αποδείξετε ότι iii) Ν α βρείτε την τιμή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο. 6.

i) Να

μελετήσετε

και ν α π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε

γραφικά

τη

συνάρτηση

για κάθε α > e .

ii) Να αποδείξετε ότι

και

iii) Να αποδείξετε ότι για x > 0 ισχύει x

στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 βώς λύσεις, τις x1 = 2, x2 =4. 7.

Αν α,β>0

ισχύει

και για κάθε

= x έχει δύο ακρι-

ν α αποδείξετε

ότι αβ = 1. ii)

Αν α > 0 και για κάθε α = e.

ισχύει

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

ν α αποδείξετε ότι

f(x) = ex είναι κυρτή, ενώ η

g(x) = l n x είναι κοίλη. ii)

Ν α βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο A(0,1) και της Cg στο B(1,0).

iii) Να αποδείξετε ότι: α)

β)

Πότε ισχύουν οι ισότητες; iv) Η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg . 9.

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ > 0 για την οποία ι σ χ ύ ε ι

iii) Για την τιμή του λ που θα βρείτε π α ρ α π ά ν ω ν α αποδείξετε ότι η ευθεία y = λx εφάπτεται της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς της συνάρτησης g(x) = ex.

10. Δίνεται η συνάρτηση

Να αποδείξετε ότι i) Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο x0 = 0 και στη συνέχεια ότι η ευθεία y = 0

(ο άξονας

x'x)

είναι η εφαπτομένη της

στο

O(0,0). ii) O άξονας x'x έχει με την Cf

άπειρα κοινά σημεία, παρόλο που

εφάπτεται της C f . iii) Η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της Cf

στο

11. Α. Έ σ τ ω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε φ(0) = 0 ,

φ'(0) = 0 και

φ''(x) + φ(x) = 0 για κάθε

(1)

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση ψ(x) = [φ'(x)] 2 + [ φ ( x ) ] 2 είναι σταθερή στο

και ν α

βρείτε τον τύπο της. ii) φ(x) = 0 για κάθε Β. Έ σ τ ω δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε: f(0)= 0 , f'(0) = 1 και

f"(x) + f(x) = 0 για κάθε

g(0) = l , g'(0) = 0 και

g " ( x ) + g ( x ) = 0 για κάθε

Ν α αποδείξετε ότι: i) Οι συναρτήσεις

φ(x) = f ( x ) - η μ x και

ψ(x) = g(x)-συνx

ποιούν τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος Α. ii) f(x) = ημx και g(x) = συνx για κάθε

ικανο-

12. Στο διπλανό σ χ ή μ α ο κύκλος έχει ακτίνα 1cm και η ε εφάπτεται σε αυτόν στο σημείο Α. Το τόξο AM είναι θ rad και το ευθ. τ μ ή μ α ΑΝ είναι θ cm. Η ευθεία ΜΝ τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Ρ(x,0). Να δείξετε ότι:

i) ii) 13. Έ ν α ς πεζοπόρος Π ξεκινάει από έν α σημείο Α και βαδίζει γ ύ ρ ω από μια κυκλική λίμνη ακτίνας ρ = 2 km με τ α χ ύ τ η τ α υ = 4 km/h. Αν S είναι το μήκος του τόξου ΑΠ και l το μήκος της απόστασης ΑΠ του πεζοπόρου από το σημείο εκκίν η σ η ς τη χρονική στιγμή t: Α) Να αποδείξετε ότι ii) S = 4 t ,

θ = 2t και l = 4ημt.

Β) Ν α βρείτε το ρυθμό μεταβολής της α π ό σ τ α σ η ς l ως π ρ ο ς τον χρόνο t. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της α π ό σ τ α σ η ς l ω ς π ρ ο ς τον χρόνο t, όταν α)

β) θ = π

και

γ)

14. Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να μαζέψουν 12500 κιλά ντομάτες. Κάθε εργάτης μαζεύει 125 κιλά την ώρα και πληρώνεται 6 ευρώ την ώρα. Για το συντονισμό και επιστασία των εργατών ο αγρότης θα προσλάβει και έναν επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει 10 ευρώ την ώρα. Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει στο σωματείο των εργατών εισφορά 10 ευρώ για τον επιστάτη και κάθε εργάτη. Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσει το ελάχιστο δυνατόν και ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος.

I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γ ρ ά μ μ α Α , αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γ ρ ά μ μ α Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντηση σας. 1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιτότε

μη στο (0,1) και f'(x) # 0 για όλα τα

2. Αν

συνάρτηση

f(β) < f (α) , τότε

3. Αν οι f,g

παραγωγίζεται

στο

[α,β]

τέτοιο,

υπάρχει

με ώστε

είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο [ α , β ] ,

με f(α) = g(a)

και f ( β ) = g(β),

τότε υπάρχει

τέτοιο, ώστε στα σημεία εφαπτόμενες να είναι παράλληλες. , τότε:

4. α) το f(1) είναι τοπικό μέγιστο της

β) το f(2) είναι τοπικό ελάχιστο της

5. α) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.

β) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.

και α # 0 έχει πάντα ένα σημείο καμπής.

7. Αν οι συναρτήσεις f,g

έχουν στο x0 σημείο καμπής, τό-

τε και η h = f · g έχει στο x0 σημείο καμπής. 8. Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x'x. Αν υπάρχει κάποιο σημείο του οποί-

ου η απόσταση από τον άξονα x'x είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της Cf είναι

α)

β)

οριζόντια. 9. Η ευθεία x = 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:

10. Αν γραφική παράσταση της συνάρτησης το παρακάτω σχήμα, τότε:

δίνεται από

i) το πεδίο ορισμού της

είναι το (1,4)

ii) το πεδίο ορισμού της

είναι το [1, 4]

iii) f'(x)> 0 για κάθε

iv) υπάρχει

α) μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (0,1)

β) μια, ακριβώς, ρίζα στο ( - 1 , 0 )

γ) τρεις πραγματικές ρίζες

11.

12. Αν για τις παραγωγίσιμες στο

συναρτήσεις f , g ισχύ-

ουν f(0) = 4 , f'(0) = 3, f'(5) = 6 , g'(4) = 2 , τότε ( f o g ) ' ( 0 ) =

(gof)'(0)

g(0) = 5 ,

g'(0) = l ,

II. Σ ε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση

ισούται με:

1. To

2. To

Γ)

Δ) 0

Ε)

Δ)

Ε) 0

ισούται με: B)

Γ)

τότε η f'(x)

3. Αν

ισούται με:

Β)

Δ)

Ε).

Γ)

τότε η f'(π) ισούται με:

4. Αν Α)

Β)

Γ)

Δ) τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο 0 ισούται με:

5. A) 1

Β) - 1

Δ) 27

Ε) δεν υπάρχει.

Γ) 0

6. Αν οι εφαπτόμενες των συναρτήσεων f(x) = lnx και στα σημεία με τετμημένη x0 είναι παράλληλες, τότε το x0 είναι: Α) 0

Β)

7. Αν

Γ)

και

Δ) 1

Ε ) 2.

τότε το β ως συνάρ-

τη ση του α ισούται με: Α)

Β)

Δ)

Ε)

8. Αν f'(x) > 0 για κάθε Α)

f(1) = -1

Γ)

και f(0) = 0 , τότε: Β) f(-1) > 0

Δ) f(-1) = 0 .

Γ) f(1)> 0 III.

1. Ν α αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις συναρτήσεις α, β, γ, δ σε εκείνη από τις σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ που νομίζετε ότι είναι η π α ρ ά γ ω γός της.

2. Κ α θ ε μ ι ά από τις π α ρ α κ ά τ ω συναρτήσεις ν α αντιστοιχίσετε στην ευθεία που είναι ασύμπτωτη της γραφικής της π α ρ ά σ τ α σ η ς στο ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Α.

Β.

y =x-1

Γ.

y = -x +

Δ.

y=x

Ε.

y = -x

y =2

ΙΣΤΟΡΙΚΟ Η έννοια

της

ΣΗΜΕΙΩΜΑ

παραγώγου

Οι αρχαίοι Έ λ λ η ν ε ς ονόμαζαν εφαπτομένη μιας κ α μ π ύ λ η ς την ευθεία που έχει ένα μόνο κοινό σημείο μ' αυτήν, χωρίς ν α την τέμνει και την κατασκεύαζαν με βάση γ ε ω μ ε τ ρ ι κ έ ς ιδιότητες που απορρέουν απ' αυτόν τον ορισμό. Έ τ σ ι ήταν γ ν ω σ τ ό ς ο τρόπος κ α τ α σ κ ε υ ή ς ε φ α π τ ο μ έ ν ω ν στον κύκλο και τις κωνικές τομές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή). Επίσης, με π ρ ο σ φ υ γ ή σε κινηματικές μεθόδους, ο Α ρ χ ι μ ή δ η ς είχε επινοήσει μέθοδο κ α τ α σ κ ε υ ή ς της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς μιας κ α μ π ύ λ η ς που είναι σ ή μ ε ρ α γ ν ω σ τ ή ως " έ λ ι κ α του Α ρ χ ι μ ή δ η " . Η επόμενη εξέλιξη στο ζ ή τ η μ α αυτό έγινε στις αρχές του Π ο υ αιώνα, όταν άρχισε η σ υ σ τ η μ α τ ι κ ή εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων στη γ ε ω μ ε τ ρ ί α. Το επόμενο π α ρ ά δ ε ι γ μ α δείχνει τον τρόπο με τον οποίο η Ά λ γ ε β ρ α εφαρμόζεται στον προσδιορισμό της εφαπτομένης μιας παραβολής. Έστω

εξίσωση

μιας παραβολής με κορυφή την αρχή των αξόνων και M(x0,y0) ένα σημείο της, στο οποίο ζητείται ν α κ α τ α σ κ ε υ α σ τ ε ί μια εφαπ τ ο μ έ ν η ε. Η κατασκευή αυτή μπορεί ν α γίνει αν προσδιορίσουμε ένα άλλο χαρακτηριστικό σημείο της ε, όπως π.χ. το σημείο Τ στο οποίο τέμνει τον άξονα των τετμημένων. Θ ε ω ρ ο ύ μ ε ένα άλλο σημείο της παραβολής, το N(x1,y1), του Μ, τέτοιο ώστε x1 =x0+h

πολύ γειτονικό

(το h θεωρείται εδώ μια απειροελάχιστη

μεταβολή του x 0 ). Στην περίπτωση αυτή τα ορθογώνια τ ρ ί γ ω ν α ΜΡΤ και ΝΣΤ μπορούν ν α θεωρηθούν κατά προσέγγιση όμοια και άρα θα ι σ χ ύ ε ι κατά προσέγγιση η αναλογία

Αν θέσουμε TP = s, τότε διαδο-

χικά θα ισχύει:

(1) Το π ρ ώ τ ο μέλος αυτής της κατά προσέγγιση ισότητας γράφεται:

και έτσι η (1) γίνεται

Αν τ ώ ρ α θέσουμε, όπως οι μαθηματι-

κοί του 17ου αιώνα, h = 0 βρίσκουμε από την τ ε λ ε υ τ α ί α ότι Γνωρίζοντας λοιπόν το σημείο επαφής M(x0,y0),.

ή προσδιορί-

ζούμε από την τελευταία το μήκος TP = s που μας δίνει α μ έ σ ω ς το σημείο Τ. Η ευθεία ΜΤ είναι η ζητούμενη εφαπτομένη της παραβολής. Η π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν η διαδικασία ήταν ένας από τους δρόμους που οδήγησαν ιστορικά, στην έννοια της παραγώγου.

Κανόνες

παραγώγισης

Στο δεύτερο μισό του Π ο υ αιώνα, οι μαθηματικοί είχαν κατορθώσει ν α μ ε τ α σ χ η μ α τ ί σ ο υ ν όλη τη μακροσκελή διαδικασία π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς σε ε φ α ρ μογή ορισμένων κανόνων και τύπων, με τη βοήθεια κατάλληλα επιλεγμέν ω ν συμβόλων. Πρωτοπόροι προς αυτήν την κατεύθυνση υ π ή ρ ξ α ν οι I. Newton και ο G. Leibniz. O Leibniz συμβόλιζε την απειροελάχιστη μεταβολή μιας ποσότητας x με dx (διαφορικό του x) έτσι, π.χ. για τη συνάρτ η σ η y = x2 του προηγούμενου παραδείγματος, η αντίστοιχη μεταβολή του y (διαφορικό του y) ήταν:

Παραλείποντας την πολύ μικρή (συγκρινόμενη με τις άλλες) π ο σ ό τ η τ α (dx)2

προέκυπτε

dy = 2xdx

(εδώ

"διαφορικός σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς " ) και τελικά η

παράγωγος

ονομάζονταν

ένας συμβολισμός που

διατηρείται μέχρι σήμερα, χωρίς όμως ν α έχει ν ό η μ α πηλίκου. Με τον τρόπο αυτό ο Leibniz απέδειξε το 1677 τον κανόνα για τον υπολογισμό της μεταβολής του γινομένου δύο μεταβλητών χ και y, που αποτελεί μια " π ρ ω τ ό γ ο ν η " μορφή του σημερινού κανόνα της π α ρ α γ ώ γ ο υ ενός γ ι ν ο μ έ νου σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν

Π α ρ α λ ε ί π ο ν τ α ς και εδώ την πολύ μικρή ποσότητα dxdy,

παίρνουμε τη

σχέση Με την εισαγωγή και καθιέρωση αυτών των κανόνων και συμβολισμών, η έννοια της π α ρ α γ ώ γ ο υ εξελίχθηκε σ' ένα εξαιρετικά αποτελεσματικό εργαλείο και διεύρυνε σε μεγάλο βαθμό τις εφαρμογές της μαθηματικής ανάλυσης. Π α ρ ά λ λ η λ α όμως, οι ασάφειες που επισημάναμε αποτελούσαν μια διαρκή πρόκληση για τους μαθηματικούς που αντιμετώπιζαν με κρι-

τικό π ν ε ύ μ α τα θεμέλια της επιστήμης τους. 0 πρώτος αυστηρός ορισμός αυτής της έννοιας, που στηρίζεται στην έννοια του ορίου, δόθηκε για πρώτη φορά το 1823 από τον A.L. Cauchy: "Όταν η συνάρτηση y = f (x) παραμένει συνεχής σ' ένα διάστημα της μεταβλητής x και δοθεί σ' αυτή τη μεταβλητή μια τιμή που ανήκει σ' αυτό το διάστημα, τότε κάθε απειροελάχιστη αύξηση της μεταβλητής παράγει μια απειροελάχιστη αύξηση της συνάρτησης. Συνεπώς, αν τεθεί Δx = i, τότε οι δυο όροι του πηλίκου διαφορών

θα είναι απειροελάχιστες ποσότητες. Αλλά ενώ αυτοί οι δυο όροι θα προσεγγίζουν επ' άπειρον και ταυτόχρονα το όριο μηδέν, το πηλίκο μπορεί να συγκλίνει προς κάποιο άλλο όριο, θετικό ή αρνητικό, Αυτό το όριο, όταν υπάρχει έχει μια ορισμένη τιμή για κάθε συγκεκριμένο x, αλλά μεταβάλλεται μαζί με το x. Η μορφή της νέας συνάρτησης

που θα εκφράζει

το όριο του λόγου

θα εξαρτάται από τη μορφή της δοσμένης συνάρτησης y = f(x). Για να ξεχωρίσουμε αυτήν την εξάρτηση, δίνουμε στη νέα συνάρτηση το όνομα και τη συμβολίζουμε, με τη βοήθεια ενός τόνου, y' ή f'(x)''.

παράγωγος συνάρτηση

Με αφετηρία αυτόν τον ορισμό, ο Cauchy υπολόγισε τις π α ρ α γ ώ γ ο υ ς των βασικών σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν και απέδειξε τους κανόνες της π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς . Π.χ. για τον ιδιαίτερα σημαντικό κανόνα της π α ρ α γ ώ γ ο υ μιας σ ύ ν θ ε τ η ς συν ά ρ τ η σ η ς , έδωσε την ακόλουθη απόδειξη: "Έστω z μια δεύτερη συνάρτηση του x, συνδεόμενη μέσω του τύπου

z = F ( y ) . Η z ή F [ f ( x ) ] είναι

νάρτηση μιας συνάρτησης ταυτόχρονες

αυξήσεις

με την πρώτη

f(x)

αυτή που ονομάζεται

συ-

της μεταβλητής x και αν οι απειροελάχιστες

και

των x, y και z συμβολιστούν

με Δx,

Δy,

Δz

αντί-

στοιχα, τότε θα είναι (1)

Από αυτήν, περνώντας

στα όρια,

έχουμε

Ένα αδύνατο σημείο αυτής της απόδειξης, που αφορά την ισότητα (1), είναι ότι για μικρές μη μηδενικές τιμές του Δx , μπορεί να ισχύει Δy = f(x + Δx) - f(x)= 0 .

3.1

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Αρχική

συνάρτηση

Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται προβλήματα, που η λύση τους απαιτεί πορεία αντίστροφη της παραγώγισης. Τέτοια π ρ ο β λ ή μ α τ α είναι για παράδειγμα τα παρακάτω: — Η εύρεση της θέσης S(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή i, αν είναι γ ν ω σ τ ή η τ α χ ύ τ η τ ά του υ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η π α ρ ά γ ω γ ο ς της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς θέσης x = S(t). — Η εύρεση της τ α χ ύ τ η τ α ς υ(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή i, αν είναι γ ν ω σ τ ή η επιτάχυνσή του γ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η π α ρ ά γ ω γ ο ς της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς υ = υ(t). — Η εύρεση του π λ η θ υ σ μ ο ύ

N(t)

μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική

στιγμή t, αν είναι γ ν ω σ τ ό ς ο ρυθμός αύξησης N'(t) του πληθυσμού. Το κοινό χαρακτηριστικό των προβλημάτων αυτών είναι ότι, δίνεται μια συνάρτ η σ η f και ζητείται ν α βρεθεί μια άλλη συνάρτηση F για την οποία ν α ισχύει F'(x)=f(x) σε ένα διάστημα Δ. Οδηγούμαστε έτσι στον π α ρ α κ ά τ ω ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έ σ τ ω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Α ρ χ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η ή π α ρ ά γ ο υ σ α τ η ς f στο Δ(1) ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγ ω γ ί σ ι μ η στο Δ και ισχύει F'(x) = f ( x ) , για κάθε

(1)

Α π ο δ ε ι κ ν ύ ε τ α ι ότι κάθε σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η σε δ ι ά σ τ η μ α Δ έχει π α ρ ά γ ο υ σ α στο δ ι ά σ τ η μ α αυτό.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση F(x) = x3 είναι μια παράγουσα της f(x) = 3x2 στο

αφού (Χ 3 )' = 3x 2 . Παρατηρούμε ότι και όλες οι συναρτήσεις της μορφής

G ( x ) - x 3 + c = F(x) + c, 3

όπου

είναι παράγουσες της

στο

αφού

(x +c)' = 3x . Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έ σ τ ω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε • όλες οι συναρτήσεις της μορφής

είναι παράγουσες της f στο Δ και • κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή

ΑΠΟΔΕΙΞΗ •

είναι μια παρά-

Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x) = F ( x ) + c , όπου

γουσα της f στο Δ, αφού G'(x) = (F(x)+c)'

= F'(x) = f ( x ) , για κάθε

• Έ σ τ ω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε ουν F'(x) =f(x)

ισχύ-

και G'(x) = f ( x ) , οπότε G'(x) = F'(x),

για κάθε

Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της § 2.6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G(x) = F(x) + c,

Αόριστο

για κάθε

•

ολοκλήρωμα

Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ ονομάζεται αόριστο ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α τ η ς f στο Δ, συμβολίζεται ζεται "ολοκλήρωμα εφ του x ντε x". Δηλαδή,

όπου F μια παράγουσα της f στο Δ. Για παράδειγμα.

και διαβά-

Από τον τρόπο που ορίστηκε το αόριστο ολοκλήρωμα προκύπτει ότι:

Η διαδικασία ε ύ ρ ε σ η ς του αόριστου ολοκληρώματος είναι αντίστροφη πορεία της π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς και λέγεται ο λ ο κ λ ή ρ ω σ η . Η σταθερά c λέγεται σ τ α θ ε ρ ά ολοκλήρωσης. Από τον π ί ν α κ α των π α ρ α γ ώ γ ω ν βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε τον π α ρ α κ ά τ ω π ί ν α κ α αόριστων ολοκληρωμάτων. Οι τύποι του π ί ν α κ α αυτού ισχύουν σε κάθε δ ι ά σ τ η μ α στο οποίο οι π α ρ α σ τ ά σεις του χ που εμφανίζονται έχουν νόημα.

Σ υ ν έ π ε ι α του ορισμού του αόριστου ολοκληρώματος και των κανόνων π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς είναι οι εξής δύο ιδιότητες:

Σ ύ μ φ ω ν α με τους π α ρ α π ά ν ω τύπους έχουμε για παράδειγμα:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να βρεθεί συνάρτηση διέρχεται από το σημείο

f τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση να A(2,3) και να ισχύει f'(x) = 2x-1, για κάθε

ΛΥΣΗ Επειδή f'(x) = 2x-1,

έχουμε διαδοχικά:

f(x)+c1

=x2

-x+c2,

f(x) = x2 -x+c2 f(x) =

-c1,

-x+c,

Για ν α διέρχεται η f από το σημείο Α(2,3)

πρέπει και αρκεί f (2) = 3 ή, ισοδύ-

ναμα, 2 - 2 + c = 3 , δηλαδή c = 1. Ε π ο μ έ ν ω ς , f(x) = x 2 - x + 1 . 2 . Η είσπραξη Ε (x),

από την πώληση x μονάδων ενός προϊόντος

μιας βιομηχανίας, μεταβάλλεται με ρυθμό E'(x) = 1 0 0 - X (σε χιλιάδες ευρώ ανά μονάδα προϊόντος), ενώ ο ρυθμός μεταβολής του κόστους παραγωγής είναι σταθερός και ισούται με 2 (σε χιλιάδες ευρώ ανά μονάδα προϊόντος). Να βρεθεί το κέρδος της βιομηχανίας από την παραγωγή 100 μονάδων προϊόντος, υποθέτοντας ότι το κέρδος είναι μηδέν όταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα. ΛΥΣΗ Αν Ρ(x)

είναι το κ έ ρ δ ο ς και Κ(x)

είναι το κόστος π α ρ α γ ω γ ή ς για x μονάδες

προϊόντος, τότε Ρ(x) =

Ε(x)-Κ(x),

οπότε Ρ'(x) = Ε'(x)-Κ'(x)

= 100-x-2 = 98-x.

Δηλαδή Ρ'(x) = 9 8 - x , οπότε

και άρα

"Οταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα, το κέρδος είναι μηδέν, δηλαδή ισχύει .Ρ(0) = 0 ,οπότε c = 0 . Επομένως,

Άρα, το κέρδος από 100 μονάδες προϊόντος είναι

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Ν α υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i)

ii)

iii)

iv)

ν)

vi)

vii)

2. Ν α βρείτε τη συνάρτηση

με πεδίο ορισμού το διάστημα

για την οποία ισχύει και

f(9)

= 1.

3. Ν α βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f''(x) = 3 , f'(1) = 6 και f(0) = 4 . 4. Να βρείτε τη συνάρτηση

για την οποία ισχύει f"(x) = 1 2 x 2 + 2

και η γραφική της π α ρ ά σ τ α σ η στο σημείο της A(1,1) έχει κλίση 3. 5. Ο π λ η θ υ σ μ ό ς

N(t),

σε εκατομμύρια, μιας κοινωνίας βακτηριδίων,

αυξάνεται με ρυθμό

ανά λεπτό. Ν α βρείτε την αύξηση

του π λ η θ υ σ μ ο ύ στα π ρ ώ τ α 60 λεπτά.

6. Μια βιομηχανία έχει διαπιστώσει ότι για εβδομαδιαία παραγωγή x εξαρτημάτων έχει οριακό κόστος x 2 + 5 x (ευρώ ανά μονάδα προϊόντος). Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας παραγωγής, αν είναι γνωστό ότι τα σταθερά εβδομαδιαία έξοδα της βιομηχανίας, όταν δεν παράγει κανένα εξάρτημα, είναι 100 (ευρώ) 7. Μ ι α ν έ α γ ε ώ τ ρ η σ η ε ξ ώ ρ υ ξ η ς πετρελαίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνεται από τον τύπο

όπου R(t) είναι ο αριθμός,

σε χιλιάδες, των βαρελιών που αντλήθηκαν στους t π ρ ώ τ ο υ ς μήνες λειτουργίας της. Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 8 π ρ ώ τ ο υ ς μήνες λειτουργίας της. Β' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Η θερμοκρασία Τ ενός σώματος, που περιβάλλεται από ένα ψυκτικό υγρό, ελαττώνεται με ρυθμό όπου α, κ είναι θετικές σταθερές και t ο χρόνος. Η αρχική θερμοκρασία Τ(0) του σώματος είναι Τ0 + α , όπου Τ0 η θερμοκρασία του υγρού η οποία με κατάλληλο μηχ ά ν η μ α διατηρείται σταθερή. Να βρείτε τη θερμοκρασία του σ ώ μ α τ ο ς τη χρονική στιγμή t. 2.

Έ ν α ς βιομήχανος, ο οποίος επενδύει x χιλιάδες ευρώ στη βελτίωση της παραγωγής του εργοστασίου του, αναμένει να έχει κέρδος Ρ(x)

χιλιά-

δες ευρώ από αυτή την επένδυση. Μια ανάλυση της παραγωγής έδειξε

ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους Ρ(x), που οφείλεται στην επένδυση αυτή, δίνεται από τον τύπο

Να βρείτε το συνολικό κέρδος που

οφείλεται σε αύξηση της επένδυσης από 4.000.000 ευρώ σε 6.000.000 ευρώ. 3.

Από την πώληση ενός νέου προϊόντος μιας εταιρείας διαπιστώθηκε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους ΑΤ(t) δίνεται από τον τύπο Κ'(t) = 800 — 0,6t (σε ευρώ την ημέρα), ενώ ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης

Ε(t)

στο

τέλος

των

ημερών

δίνεται

από

τον

τύπο

Ε'(t) = 1000 + 0,3t (σε ευρώ την ημέρα). Να βρείτε το συνολικό κέρδος της εταιρείας από την τρίτη έως και την έκτη ημέρα παραγωγής. 4. Έ σ τ ω

f,g

δύο

συναρτήσεις

f " ( x ) = g " ( x ) γ ι α κάθε

με

f ( 0 ) = g(0),

f ( 1 ) = g(1) + l

και

Ν α αποδείξετε ότι:

i) f ( x ) = g(x) + x, για κάθε ii) Αν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζες α, β με α<0<β,

τότε η συ-

ν ά ρ τ η σ η f έχει μια τουλάχιστον, ρίζα στο (α, β).

3.2

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Ο π ί ν α κ α ς των αόριστων ολοκληρωμάτων, που δώσαμε π α ρ α π ά ν ω , δεν είναι αρκετός γ ι α ν α υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μίας οποιασδήποτε σ υ ν ά ρ τ η σ η ς , Σε τέτοιες π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς

όπως π.χ. τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α

ο υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς γίνεται απλούστερος με τη βοήθεια των π α ρ α κ ά τ ω μεθόδων ολοκλήρωσης.

Μέθοδος ολοκλήρωσης

κατά

παράγοντες

Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο:

που είναι σ υ ν έ π ε ι α του κανόνα π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς του γινομένου δύο π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f , g σε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ. Π ρ ά γ μ α τ ι , για κάθε

οπότε

έχουμε

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x),

f(x)g'(x) =

(f(x)g(x))'-f'(x)g(x).

Επομένως

ή, ι σ ο δ ύ ν α μ α , (1) Ε π ε ι δ ή το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α του δ ε ύ τ ε ρ ο υ μέλους τ η ς (1) περιέχει μια σ τ α θ ε ρ ά ολοκ λ ή ρ ω σ η ς , το c μπορεί ν α π α ρ α λ ε ι φ θ ε ί , οπότε έ χ ο υ μ ε τον π α ρ α π ά ν ω τύπο. • O π α ρ α π ά ν ω τ ύ π ο ς χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ε ί τ α ι γ ι α τον υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ο λ ο κ λ η ρ ω μ ά τ ω ν με τ η ν π ρ ο ϋ π ό θ ε σ η ότι το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α τ ο υ β ' μέλους υπολογίζεται ε υ κ ο λ ό τ ε ρ α . Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , ας υ π ο λ ο γ ί σ ο υ μ ε το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α

Έχουμε:

Αν, τ ώ ρ α , δ ο κ ι μ ά σ ο υ μ ε ν α υ π ο λ ο γ ί σ ο υ μ ε το π α ρ α π ά ν ω ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α , α λ λ ά ζ ο ν τ α ς τ ο υ ς ρ ό λ ο υ ς τ ω ν x και ex,

βρίσκουμε

Το τ ε λ ε υ τ α ί ο , ό μ ω ς , ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α είναι πιο σύνθετο από το αρχικό.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα i)

ii)

iii)

iv)

ΛΥΣΗ i) Έ χ ο υ μ ε

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α της μορφής

όπου Ρ(x) π ο λ υ ώ ν υ μ ο του x και ii) Έ χ ο υ μ ε

Μ ε τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α τ η ς μορφής

όπου Ρ(x) π ο λ υ ώ ν υ μ ο του x και iii) Έ χ ο υ μ ε

Μ ε τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α της μορφής

όπου Ρ(x) π ο λ υ ώ ν υ μ ο του x και iv) Θ έ τ ο υ μ ε

Επομένως,

οπότε

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α τ η ς μορφής

2 . Ο πληθυσμός

, μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευ-

ση 10 κοινοτήτων, αυξάνεται με ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τον τύπο

όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά τη

συγχώνευση. Να βρεθεί ο πληθυσμός P(t)

της πόλης t χρόνια μετά τη συγ-

χώνευση, αν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν 10000 κάτοικοι κατά τη στιγμή της συγχώνευσης. ΛΥΣΗ Έχουμε

οπότε

Ό τ α ν t = 0 , ο π λ η θ υ σ μ ό ς είναι 10000. Συνεπώς:

Ά ρ α , ο π λ η θ υ σ μ ό ς τ η ς πόλης, t χρόνια μετά τη σ υ γ χ ώ ν ε υ σ η , είναι

Ολοκλήρωση με

αντικατάσταση

Μ ε τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α που έχουν ή μπορούν ν α π ά ρουν τη μορφή

Η μέθοδος ο λ ο κ λ ή ρ ω σ η ς με α ν τ ι κ α τ ά σ τ α σ η

ε κ φ ρ ά ζ ε τ α ι με τον ακόλουθο τύπο:

Ο π α ρ α π ά ν ω τ ύ π ο ς χρησιμοποιείται με την π ρ ο ϋ π ό θ ε σ η ότι το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α τ ο υ δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα.

Η απόδειξη του τύπου αυτού στηρίζεται στο γ ν ω σ τ ό κανόνα π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς σύνθετης συνάρτησης. Πράγματι, αν F είναι μια π α ρ ά γ ο υ σ α της f, τότε (1) οπότε

και άρα

(λόγω της (1)) Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

ας υπολογίσουμε

το

•

ολοκλήρωμα

οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να υ π ο λ ο γ ι σ θ ο ύ ν τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α i)

ii)

Θέτουμε

ΛΥΣΗ i) Θ έ τ ο υ μ ε u = 1 + e x , οπότε du = (1+ex)'dx-exdx.

ii)

Επομένως,

Έχουμε

Επομένως,

αν

θ έ σ ο υ μ ε u = συνx,

du = (συνx)'dx= - η μ x d x , έχουμε:

2 . Να υ π ο λ ο γ ι σ θ ο ύ ν τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α iii)

ii)

i) ΛΥΣΗ i) Επομένως,

ii) Θ έ τ ο υ μ ε u = 1 - 2 x , οπότε du =( 1 - 2 x ) ' d x= Επομένως,

2 iii) Θ έ τ ο υ μ ε u = x - 1 , οπότε du = 2 x d x . Άρα

3 . Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα i)

ii)

-2dx.

οπότε

ΛΥΣΗ έχει πεδίο ορισμού το

i) Η συνάρτηση

και γ ρ ά φ ε τ α ι

Αναζητούμε π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ ς αριθμούς A, Β έτσι, ώστε ν α ισχύει

Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε τελικά: (A + B - 2 ) x = 3A + 2B + 1, για κάθε Η τ ε λ ε υ τ α ί α ισότητα ισχύει για κάθε

αν και μόνο αν

ή, ισοδύναμα,

Επομένως,

Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής

ii)Αν εκτελέσουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου Χ 2 - 3 Χ + 7 με το π ο λ υ ώ ν υ μ ο x2 -5x + 6 , βρίσκουμε ότι

Επομένως,

(λόγω του (i)). Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής

όπου Ρ (x) π ο λ υ ώ ν υ μ ο του x βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 και β2

-4αγ>0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α iii)

i) iv)

ν)

vi)

vii)

viii)

ix)

2. Ν α υπολογίσετε τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α i)

ii)

iii)

iv)

ν) 3. Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α i)

iii)

ii)

iv)

ν)

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Ν α υπολογίσετε τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α i)

ii)

iii)

2. Ν α υπολογίσετε τα ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α iii)

ii)

3. Ν α υπολογίσετε τ α ολοκληρώματα i)

ii)

iii)

4. Ν α υπολογίσετε τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α i)

και

ii)

και

iii)

και

5. Μ ε τη βοήθεια των τύπων και ν α υπολογίσετε τ α ολοκληρώματα: i)

ii)

iii)

6. Με τη βοήθεια τ ω ν τύπων 2ημασυνβ = ημ(α - β)+ημ(α

+ β),

2συνασυνβ = συν(α - β) + συν(α + β) 2ημαημβ = συν(α -β)-

συν(α + β)

ν α υπολογίσετε τ α ολοκληρώματα: i)

ii)

iii)

7. Ν α υπολογίσετε τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α i)

ii)

iii)

iv)

3.3

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Γενικά Στο π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ο κεφάλαιο είδαμε ότι, όταν γνωρίζουμε τη σ υ ν ά ρ τ η σ η θ έ σ η ς y = S(t) ενός κινητού, μπορούμε ν α βρούμε την τ α χ ύ τ η τ α και την ε π ι τ ά χ υ ν σ η του κινητού. Π ο λ λ έ ς φορές, όμως, είναι γ ν ω σ τ ή η τ α χ ύ τ η τ α υ = υ(t) ή η επιτάχ υ ν σ η α = α(t) του κινητού και ζητείται η θέση του. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α : — Αν έ ν α κινητό κινείται ε υ θ υ γ ρ ά μ μ ω ς με σταθερή τ α χ ύ τ η τ α c, για ν α προσδιορίσουμε τη θέση του y = S(t), αρκεί ν α λ ύ σ ο υ μ ε ως προς y την ε ξ ί σ ω σ η y' = c.

(1)

— Αν σε ένα σ ώ μ α μάζας m ασκείται δύναμη F = F(t),

τότε το σ ώ μ α κινείται

με ε π ι τ ά χ υ ν σ η α = α ( t ) η οποία, σ ύ μ φ ω ν α με το 2ο νόμο της μηχανικής, δίνεται από τον τύπο F - m α ή, ισοδύναμα, F -my",

όπου y = S(t) η σ υ ν ά ρ τ η σ η θέ-

σης του σώματος. Ε π ο μ έ ν ω ς , για ν α προσδιορίσουμε τη θέση y = S(t) του σώματος, αρκεί ν α λύσουμε την εξίσωση (2)

m·y" = F. Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς όπως οι (1) και (2) λέγονται δ ι α φ ο ρ ι κ έ ς ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς . Γενικά, ΟΡΙΣΜΟΣ

Δ ι α φ ο ρ ι κ ή ε ξ ί σ ω σ η λέγεται κάθε εξίσωση π ο υ περιέχει τη μεταβλητή x, μια ά γ ν ω σ τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η y = f(x) και κάποιες από τις π α ρ α γ ώ γ ο υ ς της y',y",.... Για παράδειγμα, οι εξισώσεις y' = 2x,

y' = 2y,

y"+y

είναι διαφορικές εξισώσεις. Η μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η από τις τάξεις των π α ρ α γ ώ γ ω ν που εμφανίζονται στην ε ξ ί σ ω σ η ονομάζεται τ ά ξ η της διαφορικής εξίσωσης. Έ τ σ ι οι ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς y' = 2y είναι διαφορικές εξισώσεις π ρ ώ τ η ς τάξεως, ενώ η y"+y

y' = 2x και

= 0 είναι δευ-

τ έ ρ α ς τάξεως. Κάθε σ υ ν ά ρ τ η σ η y = f(x) που επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση λέγεται λ ύ σ η της εξίσωσης. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η συνάρτηση y = x2 είναι μια λύση της διαφορικής ε ξ ί σ ω σ η ς y' = 2x, αφού y' = ( x 2 ) ' = 2x. Το σύνολο όλων των λύσεων μιας διαφορικής ε ξ ί σ ω σ η ς λέγεται γ ε ν ι κ ή λ ύ σ η της εξίσωσης.

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , η γενική λύση της εξίσωσης y' = 2x είναι η y = x2 + c, Σ υ χ ν ά ζητάμε εκείνη τη λύση y = f ( x ) της διαφορικής ε ξ ί σ ω σ η ς που ικανοποιεί μια α ρ χ ι κ ή σ υ ν θ ή κ η y0 = f ( x 0 ) . Για ν α βρούμε τη λύση αυτή, βρίσκουμε π ρ ώ τα τη γενική λύση της ε ξ ί σ ω σ η ς και με τη βοήθεια της αρχικής συνθήκης προσδιορίζουμε τη ζητούμενη λύση. Για παράδειγμα, η λύση y = f(x) της διαφορικής ε ξ ί σ ω σ η ς y' = 2x, που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη f(1) = 2 , είναι η συνάρτηση y = x2 +1, αφού από τη γενική λύση y = x2+c,

για x = 1 και y = 2 είναι c = 1.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με δυο ειδικές μορφές διαφορικών εξισώσεων π ρ ώ τ η ς τάξεως: • Τις εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και • Τις γ ρ α μ μ ι κ έ ς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως. Διαφορικές

εξισώσεις

με χωριζόμενες

μεταβλητές

Έ χ ε ι αποδειχτεί πειραματικά, ότι ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το χρόνο, του π λ η θ υ σ μ ο ύ y = P(t)

μιας κοινωνίας, η οποία δεν επηρεάζεται από ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο ύ ς

παράγοντες, είναι ανάλογος του πληθυσμού. Δηλαδή, ισχύει P'(t) = α P ( t ) , όπου α θετική σταθερά. Αν ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας είναι Ρ0,

δηλαδή

Ρ(0)-Ρ0,

για ν α

βρούμε τον πληθυσμό Ρ(t) ύ σ τ ε ρ α από χρόνο t, θα λύσουμε την π α ρ α π ά ν ω διαφορική εξίσωση. Επειδή y = P(t) > 0 , η εξίσωση γράφεται

οπότε ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της, έχουμε διαδοχικά:

Επειδή

Ρ(0) = Ρ0,

είναι

c = Ρ0, οπότε

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση λέγεται διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές. Γενικά, ΟΡΙΣΜΟΣ Διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής α ( y ) · y ' = β(x)

(1),

όπου y = f ( x ) η άγνωστη συνάρτηση, α(y) συνάρτηση του y και β(x)

συνάρ-

τηση του x. Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της ως προς x. Έχουμε

Επειδή y = f(x), είναι dy = f'(x)dx = y'dx, οπότε έχουμε (2) Αν A(y)

είναι μια παράγουσα α(y) και Β(x)

μια παράγουσα της β(x),

τότε η

(2) γράφεται (3) Από την τελευταία εξίσωση προσδιορίζουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητα (2) μας επιτρέπει να γράφουμε τη διαφορική εξίσωση (1) στην "άτυπη" μορφή της α(y)dy

= β(x)dx

και να ολοκληρώνουμε τα μέλη της, το μεν πρώτο μέλος της ως προς y, το δε δεύτερο μέλος της ως προς x.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις i) ii) iii)

ΛΥΣΗ i) Σε κ α θ έ ν α από τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α

Άρα, σε καθένα από τα διαστήματα ii) Η εξίσωση γράφεται:

iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά

η εξίσωση γράφεται:

είναι y = cx2, όπου c > 0

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης

τάξεως

Από τη Φυσική γ ν ω ρ ί ζ ο υ μ ε ότι στο διπλανό κ ύ κ λ ω μ α ισχύει ο κανόνας του Kicrhhoff. Δηλαδή. (1) Για ν α προσδιορίσουμε την ένταση, I(t), του ρ ε ύ μ α τ ο ς π ο υ διαρρέει το κύκλωμα, είναι ανάγκη ν α λύσουμε τη διαφορική εξίσωση (1). Η εξίσωση αυτή λέγεται γ ρ α μ μ ι κ ή διαφορική εξίσωση π ρ ώ τ η ς τάξεως. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως λέγεται κάθε ε ξ ί σ ω σ η τ η ς μορφής y' + α ( x ) y = β(x), όπου ν = f(x) είναι η ά γ ν ω σ τ η συνάρτηση και α ( x ) , β(x) σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς του x. Για την επίλυση της ε ξ ί σ ω σ η ς αυτής: — Α ν α ζ η τ ο ύ μ ε μια π α ρ ά γ ο υ σ α Α(x) της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς α(x) και έπειτα — Πολλαπλασιάζουμε τ α μέλη της ε ξ ί σ ω σ η ς με Έ τ σ ι , έχουμε διαδοχικά

όπου Β(x) μια π α ρ ά γ ο υ σ α της

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 . Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y' + 2y = 2.

ΛΥΣΗ Επειδή μια π α ρ ά γ ο υ σ α της α(x) = 2 είναι η Α(x) - 2x, π ο λ λ α π λ α σ ι ά ζ ο υ μ ε και τ α δυο μέλη της ε ξ ί σ ω σ η ς με e2x. Έ τ σ ι , έχουμε διαδοχικά

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Ν α λ ύ σ ε τ ε τις διαφορικές εξισώσεις: i)

ii)

iii)

iv)

2. Ν α λ ύ σ ε τ ε τις διαφορικές εξισώσεις: i)

ii)

iii)

iv)

3. Ν α βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης y' = 2x2y2,

y< 0 , της

οποίας η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η διέρχεται από το σημείο Α ( 0 , - 3 ) . 4. Ν α βρείτε τη λύση της διαφορικής ε ξ ί σ ω σ η ς y'=2-3y ποιεί τη συνθήκη y(0) = 2 / 3 . 5. Ν α λ ύ σ ε τ ε τις διαφορικές εξισώσεις: i) ii)

που ικανο-

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Η έ ν τ α σ η του ηλεκτρικού ρ ε ύ μ α τ ο ς I σε έ ν α ηλεκτρικό κ ύ κ λ ω μ α ικανοποιεί την ε ξ ί σ ω σ η

Αν I(0) = 0 , ν α βρείτε την έ ν τ α σ η

I(t). 2. Ν α βρείτε τη λύση της διαφορικής ε ξ ί σ ω σ η ς διέρχεται από το σημείο

η οποία

Α(2,2).

3. Ν α λ ύ σ ε τ ε τη διαφορική ε ξ ί σ ω σ η

4. Η κλίση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς μιας γ ρ α μ μ ή ς (C) y>0 στο σημείο M(x,y)

με ε ξ ί σ ω σ η y = y(x),

είναι ίση με xy. Ν α βρείτε την ε ξ ί σ ω σ η

της ( C ) , αν είναι γ ν ω σ τ ό ότι διέρχεται από το σημείο Α(0,1). 5. Έ σ τ ω

σταθερές, με α > λ > 0 .

i) Ν α λύσετε την εξίσωση ii) Αν y = y(t)

είναι μια λύση της εξίσωσης, ν α αποδείξετε ότι ι σ χ ύ -

ει 6. Έ χ ε ι αποδειχτεί π ε ι ρ α μ α τ ι κ ά ότι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας θ ενός σώματος, όταν αυτό βρεθεί σε περιβάλλον σ τ α θ ε ρ ή ς θερμοκρασίας Τ με θ > Τ , είναι

Ν α βρείτε τη θερμοκρασία θ(t), αν θ(0) = θ0. 7.

Ο π λ η θ υ σ μ ό ς Ρ = P(t)

μιας χώρας μεταναστεύει με σταθερό ρυθμό

m> 0 . Δίνεται ότι ο ρ υ θ μ ό ς αύξησης του π λ η θ υ σ μ ο ύ Ρ, αν δεν υ π ή ρ χε η μ ε τ α ν ά σ τ ε υ σ η , θα ή τ α ν ανάλογος του Ρ. i) Ν α δικαιολογήσετε ότι ο π λ η θ υ σ μ ό ς Ρ ικανοποιεί την ε ξ ί σ ω σ η P' = kP-m, k> 0 σταθερά. ii) Ν α βρείτε τη συνάρτηση Ρ = P(t),

αν Ρ(0) = Ρ0

iii) Ν α αποδείξετε ότι: — Αν m <kP0, τότε ο π λ η θ υ σ μ ό ς αυξάνεται.

— Αν m>kP0,

τότε ο π λ η θ υ σ μ ό ς μειώνεται.

— Αν m = kP0, τότε ο π λ η θ υ σ μ ό ς παραμένει σταθερός. 8. Έ σ τ ω y = y(t) το ύψος και V = V(t) ο όγκος του νερού μιας δεξαμεν ή ς τη χρονική στιγμή t. Η δεξαμενή αδειάζει από μια κυκλική οπή εμβαδού a που βρίσκεται στον π υ θ μ έ ν α της. Σ ύ μ φ ω ν α με το νόμο του Torricelli ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού είναι

i) Αν η δεξαμενή είναι κυλινδρική με ύψος 3,6m, ακτίνα 1m και η ακτίνα της οπής είναι 0,1m, ν α αποδείξετε ότι το y ικανοποιεί την εξίσωση

ii) Ν α βρείτε το ύψος y(t),

αν είναι γ ν ω -

στό ότι τη χρονική στιγμή t = 0 η δεξαμενή ήταν γεμάτη. iii) Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για ν α αδειάσει τ ε λ ε ί ω ς η δεξαμενή; (Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι V =

πr2υ).

9. Έ ν α ς βηματοδότης αποτελείται από μια μπαταρία και έναν πυκνωτή, εν ώ η καρδιά παίζει το ρόλο της αντίστασης, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ό τ α ν ο διακόπτης S βρίσκεται στη θέση Ρ, ο πυκ ν ω τ ή ς φορτίζεται ενώ, όταν βρίσκεται στη θέση Q, ο π υ κ ν ω τ ή ς εκφορτίζεται και προκαλεί ηλεκτρικό ερέθισμα στην καρδιά. Κατά τη διάρκεια αυτή στην καρδιά εφαρμόζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε που ικανοποιεί την ε ξ ί σ ω σ η

όπου R, C σταθερές. Να βρείτε την E(t), αν E(t1 ) = E0.

10. Σύμφωνα με τον κανόνα του Kirchhoff για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος ισχύει

i) Αν R = 12Ω, Ε = 60V, α)

L = 4H,

να βρείτε την ένταση I(t) του ρεύματος, t sec μετά το κλείσιμο του κυκλώματος. Τί συμπεραίνετε;

β) να βρείτε το

ii) Αν στο κύκλωμα αντί για μπαταρία που δίνει σταθερή ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε χρησιμοποιήσουμε μια γεννήτρια που δίνει E(t) = 60ημ3t, να βρείτε την ένταση I(t).

3.4

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Εμβαδόν παραβολικού

χωρίου

Έ σ τ ω ότι θέλουμε ν α βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ( x ) = x2, τον άξονα τ ω ν x και τις ε υ θ ε ί ε ς x = 0 και x = 1 (Παραβολικό χωρίο Σχ. 5).

Μ ι α μέθοδος ν α π ρ ο σ ε γ γ ί σ ο υ μ ε το ζ η τ ο ύ μ ε ν ο εμβαδόν είναι η εξής: Χ ω ρ ί ζ ο υ μ ε το δ ι ά σ τ η μ α [0,1] σε ν ισομήκη υ π ο δ ι α σ τ ή μ α τ α , μήκους άκρα τα σημεία:

με

• Σ χ η μ α τ ί ζ ο υ μ ε τ α ορθογώνια με βάσεις τα υ π ο δ ι α σ τ ή μ α τ α αυτά και ύψη την ε λ ά χ ι σ τ η τιμή της f σε κ α θ έ ν α από αυτά. (Σχ. 6). Μ ι α π ρ ο σ έ γ γ ι σ η του ε μ β α δού που ζ η τ ά μ ε είναι το άθροισμα, ε ν , τ ω ν ε μ β α δ ώ ν των π α ρ α π ά ν ω ο ρ θ ο γ ω ν ί ων. Δηλαδή, το:

• Αν, τώρα, σ χ η μ α τ ί σ ο υ μ ε τα ορθογώνια με βάσεις τ α π α ρ α π ά ν ω υ π ο δ ι α σ τ ή μ α τ α και ύ ψ η την μέγιστη τιμή της f σε κ α θ έ ν α α π ' α υ τ ά (Σχ. 7), τότε το άθροισμα

των ε μ β α δ ώ ν των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη π ρ ο σ έ γ γ ι σ η του ζητούμενου εμβαδού. Είναι όμως,

Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ τ ω ν εν και Εν. οπότε

σχύει

• με

Αν, τώρα, σ χ η μ α τ ί σ ο υ μ ε τα ορθογώνια βάσεις

τα

παραπάνω υποδιαστήματα και ύ ψ η την τιμή τ η ς

σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο ξκ,

κ=1,2,...,3,...,ν,

καθενός διαστή-

ματος, (Σχ. 8). τότε το άθροισμα

των ε μ β α δ ώ ν των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού. Επειδή για κ = 1,2,...,ν, θα είναι

οπότε θα ισχύει

Ορισμός

εμβαδού

Έ σ τ ω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα δ ι ά σ τ η μ α [α, β], με για κάθε και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f, τον άξονα τ ω ν x και τις ευθείες x = α,

x = β. Για ν α ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω (Σχ. 9) ε ρ γ α ζ ό μ α σ τ ε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή

Δ η λ α δ ή ι-

•

Χωρίζουμε

το

διάστημα

[α,β]

σε ν ισομήκη

υποδιαστήματα,

μήκους

με τα σημεία •

επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο

Σε κάθε υ π ο δ ι ά σ τ η μ α

και

. Το άθροι-

σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση Δx και ύψη τα σμα των ε μ β α δ ώ ν των ορθογωνίων αυτών είναι

• Υπολογίζουμε το υπάρχει στο

Αποδεικνύεται ότι το

. Το όριο αυτό ονομάζεται ε μ β α δ ό ν του επιπέδου χ ω ρ ί ο υ Ω

γή των σημείων

και συμβολίζεται με Ε(Ω).

Η έννοια Έστω

του

και είναι ανεξάρτητο από την επιλο-

Είναι φανερό ότι

ορισμένου

μια συνάρτηση

ολοκληρώματος f

σ υ ν ε χ ή ς

στο

χωρίζουμε το διάστημα [α,β]

[α,β].

Με

και σχηματίζουμε το άθροισμα

το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής:

(1)

Το άθροισμα αυτό ονομάζεται ένα άθροισμα RIEMANN.

σημεία

σε ν ισομήκη υποδια-

σ τ ή μ α τ α μήκους

Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα

τα

για κάθε

Αποδεικνύεται ότι, "Το όριο του αθροίσματος Sv, δηλαδή το

(1) υπάρχει στο

και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων

ξκ".

Το π α ρ α π ά ν ω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης

από το α

στο β,

συμβολίζεται

με

και

διαβάζεται

" ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α της f από το α στο β". Δηλαδή.

Το σύμβολο

οφείλεται στον Leibniz και ονομάζεται σύμβολο ολοκλήρωσης.

Αυτό είναι επιμήκυνση του αρχικού γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα). Οι αριθμοί α και β ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης. Η έννοια "όρια" εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του 2ου κεφαλαίου. Στην έκφραση το γ ρ ά μ μ α x είναι μια μεταβλητή και μπορεί ν α αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. Έ τ σ ι , για παράδειγμα, οι εκφράσεις

συμβολί-

ζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός, σε αντίθεση με το

που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων.

Είναι, όμως, χρήσιμο ν α επεκτείνουμε τον π α ρ α π ά ν ω ορισμό και για τις περιπ τ ώ σ ε ι ς που είναι α > β ή α = β, ως εξής:

Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι: Αν κλήρωμα

για κάθε

τότε το ολο-

δίνει το εμβαδόν

Ε(Ω)

του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f τον άξονα x'x και τις ευθείες x = α και x = β (Σχ. 11). Δηλαδή,

Επομένως,

για οποιοδήποτε

Να α π ο δ ε ι χ θ ε ί ότι ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Αν α = β, τότε

ii) Αν α < β, τότε, επειδή η f(x) = c είναι συνεχής στο [α, β], έχουμε

iii) Αν α > β, τότε

ΣΧΟΛΙΟ Αν c > 0 , τότε το ενός ορθογωνίου

εκφράζει το εμβαδόν με βάση

β-α

και ύψος c

(Σχ. 12).

Ιδιότητες του ορισμένου

ολοκληρώματος

Με τη βοήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται τα π α ρ α κ ά τ ω θεωρήματα.

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 1ο Έστω

f,g

συνεχείς

συναρτήσεις στο [α,β] και

Τότε ισχύουν

και γενικά

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 2ο Αν η f είναι συνεχής

σε διάστημα Δ και

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , αν

τότε ισχύει

τότε

ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αν

και α < γ < β

(Σχ. 13), η παραπά-

ν ω ιδιότητα δηλώνει ότι: αφού

και

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α 3ο Έ σ τ ω f μια σ υ ν ε χ ή ς κάθε τό, τότε

συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν για και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο δ ι ά σ τ η μ α αυ-

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν

και

ν α βρείτε τα ολο-

κληρώματα: i)

ii)

iii)

iv)

2. Ν α αποδείξετε ότι

3. Ν α υπολογίσετε το κ έτσι, ώστε

4. Αν i)

3.5

ν α υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

ii)

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Ο υπολογισμός ενός ολοκληρώματος

κατευθείαν από τον ορισμό είναι

σ υ ν ή θ ω ς μία δύσκολη και πολύ κοπιαστική διαδικασία. Στην π α ρ ά γ ρ α φ ο αυτή θα α ν α ζ η τ ή σ ο υ μ ε τρόπο υπολογισμού ολοκληρωμάτων χωρίς τη χρήση του ορισμού. Σ ' αυτό θα μας βοηθήσει το γνωστό, ως θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Η απόδειξη του θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς αυτού στηρίζεται στο επόμενο θεώρημα, το οποίο μας εξασφαλίζει την ύ π α ρ ξ η π α ρ ά γ ο υ σ α ς μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ.

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ και α είναι έ ν α σημείο του Δ, τότε η σ υ ν ά ρ τ η σ η

είναι μια π α ρ ά γ ο υ σ α της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει:

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α

ΣΧΟΛΙΑ • Ε π ο π τ ι κ ά το σ υ μ π έ ρ α σ μ α του π α ρ α π ά ν ω θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς προκύπτει (Σχ. 14) ως εξής:

Άρα, για μικρά h > 0 είναι

• Από το π α ρ α π ά ν ω θ ε ώ ρ η μ α και το θ ε ώ ρ η μ α π α ρ α γ ώ γ ι σ η ς σύνθετης σ υ ν ά ρ τ η σ η ς προκύπτει ότι:

με την προϋπόθεση ότι τ α χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ο ύ μ ε ν α σύμβολα έχουν νόημα. Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α ,

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( Θ ε μ ε λ ι ώ δ ε ς θ ε ώ ρ η μ α του ο λ ο κ λ η ρ ω τ ι κ ο ύ λ ο γ ι σ μ ο ύ ) Έστω

μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σ ' έ ν α δ ι ά σ τ η μ α [α,β].

ρ ά γ ο υ σ α της f στο [α, β], τότε

Αν G είναι μια πα-

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση

είναι μια

παράγουσα της f στο [ α , β ] , Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της [α,β],

θα υπάρχει

στο

τέτοιο, ώστε G(x) =

F(x)+c.

Από την (1), για x = α, έχουμε

(1) οπότε c = G(α).

Επομένως, G(x) = F(x) + G(α), οπότε, για x = β, έχουμε

και άρα

Πολλές φορές, για ν α απλοποιήσουμε τις εκφράσεις μας, συμβολίζουμε τη διαφορά φεται

Για παράδειγμα,

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 . Δίνεται η συνάρτηση

οπότε η ισότητα του παραπάνω θεωρήματος γρά-

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F. ii) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η F. ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση

έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

Για να ορίζεται η F, πρέπει τα άκρα 1, x του ολοκληρώματος να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f Αρα, πρέπει οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το σύνολο ii) Για

έχουμε:

Επειδή η F είναι συνεχής στο

και ισχύει F'(x) > 0 για κάθε

συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο

η οπότε παρουσιάζει ελάχιστο το

F(1) = 0 .

Μέθοδοι

ολοκλήρωσης

• O τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α παίρνει τη μορφή

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

Έχουμε:

• O τύπος ο λ ο κ λ ή ρ ω σ η ς με αλλαγή μεταβλητής για το ορισμένο ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α παίρνει τη μορφή

όπου

f,g'

u1 = g(α),

είναι συνεχείς συναρτήσεις, U2

u=g(x),

du = g'(x)dx

και

=g(β).

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Έχουμε:

Αν θέσουμε u = l n x , τ ό τ ε du = ( l n x ) ' d x , u1= ln1 = 0 και u2 = lne = 1. Ε π ο μ έ ν ω ς ,

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα i)

ii)

ΛΥΣΗ i) Έ χ ο υ μ ε

ii) Έ χ ο υ μ ε

iii)

iii) Ε π ε ι δ ή

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i)

ii)

iii)

iv)

2. Ν α αποδείξετε ότι

3. Ν α αποδείξετε ότι

4. Αν η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f διέρχεται από τ α σημεία A(0,0) και B(1,1), ν α βρείτε την τιμή του ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ ο ς εφόσον η f' είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [0,1]. 5. Ν α βρείτε τις π α ρ α γ ώ γ ο υ ς των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν i)

ii)

i) Ν α βρείτε την π α ρ ά γ ω γ ο της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

ii) Ν α αποδείξετε ότι

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Αν

ν α βρείτε το g(1).

για κάθε

είναι σταθερή.

3. Αν

ν α προσδιορίσετε τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α μονοτονίας και

τα τοπικά ακρότατα της f. 4. Αν

ν α βρείτε την

F'(x).

5. Ν α αποδείξετε ότι η συνάρτηση ναι σταθερή στο

εί-

και ν α βρείτε τον τύπο της.

6. Ν α βρείτε το

7. Ν α υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i)

ii)

8. Ν α υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i)

ii)

iii) 9. Ν α υπολογίσετε τ α ολοκληρώματα i)

ii)

iii)

iv)

10. Αν

ν α υπολογίσετε τ α ο λ ο κ λ η ρ ώ -

ματα I+J,

I-J,

11. Έ σ τ ω μια σ υ ν ά ρ τ η σ η f με f" συνεχή και για την οποία ισχύει

Αν f ( π ) = 1, με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, ν α υπολογίσετε το

f(0).

12. Έ σ τ ω οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f(α)=g(α)

3.6

f , g , με

f'',

συνεχείς στο [α,β].

Αν

= 0 και f ' ( β ) = g ' ( β ) , ν α αποδείξετε ότι

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Με τη βοήθεια του θεμελιώδους θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς του ολοκληρωτικού λ ο γ ι σ μ ο ύ μπορούμε, τ ώ ρ α , ν α αποδείξουμε το παρακάτω θ ε ώ ρ η μ α που είναι γ ν ω σ τ ό ως Θεώρημα Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [α,β],

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

τέτοιο, ώστε

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη συνάρτηση σιμη στο [α, β] και ισχύει F'(x) = f(x).

Η συνάρτηση αυτή είναι π α ρ α γ ω γ ί Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α

μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει

τέτοιο, ώστε (1)

Ε ί ν α ι όμως,

ή, ι σ ο δ ύ ν α μ α ,

Ε π ο μ έ ν ω ς , η ισότητα (1) γράφεται

• ΣΧΟΛΙΟ O αριθμός

λέγεται μ έ σ η τ ι μ ή της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

στο [α, β]

και συμβολίζεται με Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά , η μέση τιμή

μιας μη αρνητι-

κ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f στο διάστημα [α, β] παριστάνει το ύ ψ ο ς του ορθογωνίου που έχει βάση το [α, β] και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του χ ω ρ ί ο υ Ω που περικλείεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=α και x = β (Σχ. 15).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έ σ τ ω η συνάρτηση

Να β ρ ε θ ε ί

έτσι ώ σ τ ε

ΛΥΣΗ

Έχουμε Ε π ο μ έ ν ω ς , αρκεί ν α βρεθεί

έτσι, ώστε f ( ξ ) = 2. Έ χ ο υ μ ε

Άρα, το ζητούμενο ξ είναι το 4.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. Ν α βρείτε τη μέση τιμή μα [0,1], αν δίνεται ότι

τ η ς συνεχούς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f στο διάστη-

2. Αν η

είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [α, β], κ σ τ α θ ε ρ ά και

ν α αποδείξετε ότι η μέση τιμή της f στο [α, β] είναι κ. 3.

Ν α βρεθεί η μέση τιμή τ η ς μ ε τ α β λ η τ ή ς x στο δ ι ά σ τ η μ α

[α,β].

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ ορισμένες σ' ένα

1. Δίνονται οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς δ ι ά σ τ η μ α [α, β],

α> 0 . Ν α υπολογίσετε τις

και ν α αποδείξετε

2. Η τ α χ ύ τ η τ α υ του αίματος σ ' έν α αγγείο α κ τ ί ν α ς R και μήκους l , σε α π ό σ τ α σ η r από τον κεντρικό ά ξ ο ν α του αγγείου είναι όπου Ρ η διαφορά π ι έ σ ε ω ς μεταξύ τ ω ν άκρων Α, Β του αγγείου και n το ι ξ ώ δ ε ς του α ί μ α τ ο ς (σταθερά). α) Ν α βρείτε τη μέση τ α χ ύ τ η τ α του αίματος, όταν β) Ν α βρείτε τη μέγιστη τ α χ ύ τ η τ α και ν α τη σ υ γ κ ρ ί ν ε τ ε με τη μέση ταχύτητα 3. Έ σ τ ω f μια π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο [0,1] σ υ ν ά ρ τ η σ η , με Ν α αποδείξετε ότι η Cf έχει μια, τουλάχιστον, οριζόντια εφαπτομένη.

3.7

ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΧΩΡΙΟΥ

• Στην π α ρ ά γ ρ α φ ο 4.4 είδαμε ότι, αν μια συνάρτηση f [α, β] και

είναι σ υ ν ε χ ή ς σε έ ν α για κάθε

διάστημα τότε το

ε μ β α δ ό ν του χ ω ρ ί ο υ Ω που ορίζεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f, τις ευθείες x = α , x = β και τον άξονα x'x (Σχ. 16) είναι

Γ ι α π α ρ ά δ ε ι γ μ α , το ε μ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι από τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς τον ά ξ ο ν α x'x και τις ε υ θ ε ί ε ς x = 0 , x = 1 (Σχ. 17) είναι ίσο με

• Έ σ τ ω , τ ώ ρ α , δυο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς για κάθε

και g, σ υ ν ε χ ε ί ς στο δ ι ά σ τ η μ α [α,β]

με

και Ω το χωρίο που π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι από τις γ ρ α -

φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς τ ω ν f , g και τις ε υ θ ε ί ε ς x = α και

x=β

(Σχ. 18α).

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι

Επομένως,

(1)

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , το ε μ β α δ ό ν του χ ω ρ ί ο υ Ω π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι από τις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f ( x ) = -x + 2 και g(x) = x 2 (Σχ. 19) είναι ίσο με:

• O τ ύ π ο ς (1) β ρ έ θ η κ ε με την π ρ ο ϋ π ό θ ε σ η ότι:

(i)

(ii)

γ ι α κάθε

και

οι f , g είναι μη α ρ ν η τ ι κ έ ς στο

[α,β].

Θ α α π ο δ ε ί ξ ο υ μ ε , τ ώ ρ α , ότι ο τ ύ π ο ς (1) ι σ χ ύ ε ι και χ ω ρ ί ς την υ π ό θ ε σ η (ii). Π ρ ά γ μ α τ ι , επειδή οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g είναι σ υ ν ε χ ε ί ς στο [α, β], θα υ π ά ρ χ ε ι αριθμός

γ ι α κάθε

τέτοιος ώ σ τ ε

Είναι φα-

ν ε ρ ό ότι το χωρίο Ω (Σχ. 20α) έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ω' (Σχ. 20β).

Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με τον τύπο (1), έ χ ο υ μ ε :

Άρα,

• Με τη βοήθεια τ ο υ π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ο υ τ ύ π ο υ μπορούμε ν α υ π ο λ ο γ ί σ ο υ μ ε το ε μ βαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η μιας σ υ ν ά ρ τ η σ η ς g, με και τις ε υ θ ε ί ε ς x = α

γ ι α κάθε και x = β

(Σχ.

21).

Π ρ ά γ μ α τ ι , επειδή ο άξονας x'x είναι η γ ρ α φική π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

f(x)

= 0,

έχουμε

Ε π ο μ έ ν ω ς , αν γ ι α μια σ υ ν ά ρ τ η σ η g ισχύει

για κάθε

τότε

Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g(x) - x2 -1

και τον άξονα x'x

(Σχ. 2 2 ) είναι ίσο με

• Ό τ α ν η διαφορά

f(x)-g(x)

δεν

διατηρεί

πρόσημο

στο

σταθερό

[ α , β ] , όπως στο Σ χ ή μ α 23, τότε το ε μ β α δ ό ν τ ο υ χωρίου Ω που περικλείεται από τις γ ρ α φ ι κ έ ς των

f,g

παραστάσεις

και τις ε υ θ ε ί ε ς x = α

και

x = β είναι ίσο με το ά θ ρ ο ι σ μ α των ε μ β α δ ώ ν τ ω ν χ ω ρ ί ω ν Ω 1 ,Ω 2 και

Ω3.

Δηλαδή,

Επομένως,

Για π α ρ ά δ ε ι γ μ α , ας υπολογίσουμε το εμβαδόν του χ ω ρ ί ο υ Ω που περικλείεται από τις γ ρ α φ ι κ έ ς παραστάσεις

των

συναρτήσεων

f(x) = x3,

g ( x ) = x και τις ε υ θ ε ί ε ς x = - 2 , x = 1. (Σχ. 24). Α ρ χ ι κ ά βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο τ η ς δ ι α φ ο ρ ά ς f ( x ) - g ( x ) στο δ ι ά σ τ η μ α [-2,1], Επειδή

έ χ ο υ μ ε τον ακόλουθο πίνακα:

Λ α μ β ά ν ο ν τ α ς , τ ώ ρ α , υπόψη τον π α ρ α π ά ν ω πίνακα, έ χ ο υ μ ε

ΣΧΟΛΙΟ Σ ύ μ φ ω ν α με τ α π α ρ α π ά ν ω το ναι ίσο με το ά θ ρ ο ι σ μ α τ ω ν χ ω ρ ί ω ν π ο υ βρίσκονται π ά ν ω ν α x'x μείον το ά θ ρ ο ι σ μ α τ ω ν χ ω ρ ί ω ν π ο υ βρίσκονται κ ά τ ω ν α X'x (Σχ. 25)

είεμβαδών από τον εμβαδών από τον

των άξοτων άξο-

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 . Να β ρ ε θ ε ί τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ Ω π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι από τ ι ς γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f(x) = η μ x ,

και x=2π. ΛΥΣΗ Α ρ χ ι κ ά βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο

της

διαφοράς

f(x)-g(x)

στο δ ι ά σ τ η μ α [0,2π], Στο δ ι ά σ τ η μ α αυτό έ χ ο υ μ ε

g(x)=συνxκ α ι

τις ευθείες

x=0

Ε π ο μ έ ν ω ς , γ ι α το π ρ ό σ η μ ο της διαφοράς f(x)-g(x)

= η μ x - σ υ ν x έ χ ο υ μ ε τον α-

κόλουθο πίνακα:

Λ α μ β ά ν ο ν τ α ς , τώρα, υ π ό ψ η τον π ί ν α κ α αυτόν, έχουμε

2 . Να βρεθεί t o εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f ( x ) = lnx, τον άξονα των x και την εφαπτομένη της σημείο

στο

A(e,1).

ΛΥΣΗ Η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π τ ο μ έ ν η ς της Cf

στο ση-

μείο Α(e,1) είναι

Ε π ο μ έ ν ω ς , η (1) γράφεται:

Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι ίσο με το εμβαδόν του τ ρ ι γ ώ ν ο υ μείον το εμβαδόν του χωρίου π ο υ ορίζεται από τη Cf τον άξον α x'x και τ ι ς ευθείες x = 1 και x = e, δηλαδή

3 . Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε του κυκλικού δίσκου x2 +y2 = ρ2. ΛΥΣΗ Τ ο η μ ι κ ύ κ λ ι ο C1 είναι γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς συνάρτησης

αφού γ ι α y > 0 είναι

Αν

είναι το ε μ β α δ ό ν του ημικυκλίου, τότε

Ε = 2Ε1. Ε π ε ι δ ή

γ ι α κάθε

έχουμε

(1)

Επειδή

έχουμε

Επομένως, υπάρχει

τέτοιο,

ώστε (1)

Έτσι, έχουμε είναι

οπότε

Επιπλέον, γ ι α x = -ρ

. Επομένως,

( Ε π ε ι δ ή συνθ > 0 )

Άρα

Ε = 2Ε1 = πρ2.

Μ ε τον ίδιο τρόπο α π ο δ ε ι κ ν ύ ο υ μ ε ότι το ε μ β α δ ό ν τ η ς έ λ λ ε ι ψ η ς ίσο με παβ .

είναι

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γ ρ α φική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης

τις ευθείες

x=0,

x = 2 και του άξονα των x. 2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης f, τον άξονα των x και τις ευθείες που δίνονται κάθε φορά: i)

3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γ ρ α φική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης

και τον άξονα των x.

4. Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των συναρτήσεων 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γ ρ α φική

παράσταση

της

συνάρτησης

και

την

ευθεία

x-y-2=0. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έ σ τ ω η συνάρτηση i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της A(1,3). ii) Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f, την εφαπτομένη της στο Α και τον άξονα των x. 2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική π α ρ α σ τ α σ η της και τον άξονα των x.

τις ευθείες x = - 1 ,

x=2

3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική π α ρ α σ τ α σ η της συνάρτησης

και τον άξονα

των x. 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των συναρτήσεων

i) Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν, Ε(λ), πό

τις

γραφικές

παραστάσεις

του χωρίου που περικλείεται ατων

συναρτήσεων

g(x) = lnx, τον άξονα των x και την ευθεία x = λ, λ > e . Να βρείτε το όριο

6. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γ ρ α μ μ ο σ κ ι α σ μ έ ν ο υ χωρίου του διπλανού σχήματος.

Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του γ ρ α μ μ ο σ κ ι α σ μ έ ν ο υ χωρίου του διπλανού σχήματος.

Δίνεται η f(x) = ημx

συνάρτηση

i) Ν α βρείτε τις εξισώσεις τ ω ν εφαπτομένων της Cf στα σημεία 0(0,0)

και Α(π, 0 ) .

ii) Ν α βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της και τις εφαπτόμενες στα σημεία 0 και Α. 9. i)

Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική π ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης

την ε φ α π τ ό μ ε ν ή

της στο σημείο (1,1) και τον άξονα των χ. ii) Ν α βρείτε την ευθεία x = α , η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ι σ ε μ β α δ ι κ ά χωρία. 10. Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν

και

την ε υ θ ε ί α y = ln2 . 11. i)

Ν α βρείτε συνάρτηση f της οποίας η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η διέρχεται από το σημείο A(0,2) και η κλίση της στο σημείο Μ (x,f(x))

είναι

2x-3.

ii) Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζουν η Cf και ο άξον α ς τ ω ν x. 12. Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = (x -1)(x - 3). i) Ν α βρείτε τις εξισώσεις των ε φ α π τ ο μ έ ν ω ν της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά στασης της f στα σημεία Α, Β που η Cf τέμνει τον άξονα των x. ii) Αν Γ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων, ν α αποδείξετε ότι η Cf χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρία που ο λόγος των εμβαδών τους είναι

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ ' ΟΜΑΔΑΣ 1.

i) Ν α χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ή σ ε τ ε την αντικατάσταση u = π - x γ ι α ν α αποδείξετε ότι

ii) Ν α υπολογίσετε το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α

i) Ν α υπολογίσετε το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α

ii) Ν α υπολογίσετε το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α

3. Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε το ολοκλήρωμα

και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα: i)

4. Αν i) Ν α υπολογίσετε το άθροισμα ii) Ν α υπολογίσετε τα ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α 5. Αν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο

6. Δίνεται η συνάρτηση

ν α αποδείξετε ότι

i) Ν α βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και F. ii) Να αποδείξετε ότι η F είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα και κυρτή. 7. Δίνονται τα ολοκληρώματα

i) Ν α υπολογίσετε τα ολοκληρώματα F ( x ) + G(x)

και

F(x)-G(x)

και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα F(x) και G(x). ii) Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

8. Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης f(x) = x 2 +1 και την ευθεία y = 5 χωρίζεται από την 2

y=α 9.

+1,

ευθεία

α > 0 , σ ε δύο ισεμβαδικά χωρία. Ν α βρείτε την τιμή του α.

i) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης και τις ευθείες x = 1, x = λ,

τον άξονα των x

λ>0.

ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε iii) Ν α βρεθούν τα 10. Έ σ τ ω f , g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β]. i) Αν

για κάθε

Να αποδείξετε ότι:

τότε

ii) Αν m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο [α, β], τότε

iii)

Με τη βοήθεια της ανισότητας

εφx>x

για κάθε

αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ θ ί ν ο υ σ α και στη συνέχεια ν α αποδείξετε ότι:

να

είναι γ ν η σ ί ω ς

α)

β)

iv) Ν α αποδείξετε ότι η σ υ ν ά ρ τ η σ η ν ο υ σ α στο

είναι γ ν η σ ί ω ς φθί-

και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότη-

τ ας

ν α αποδείξετε ότι:

α) β)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I.

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας. 1.

Ισχύει

Αν α = β , τότε

Αν κάθε

Αν

, τότε κατ' ανάγκη θα είναι f(x) = 0 για

Αν

τότε κατ' ανάγκη θα είναι Α

10.

11. Αν

για κάθε α > 0 .

12. Αν

τότε f (ξ) = 0 για κάποιο

13. Αν [α,β],

και η f δεν είναι παντού μηδέν στο τότε η f παίρνει δυο, τουλάχιστον, ετερόσημες

τιμές. 14. Το ολοκλήρωμα

παριστάνει το εμβαδόν του

χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

και τον άξονα των χ. II.

Σ ε καθεμιά από τις π α ρ α κ ά τ ω περιπτώσεις να κυκλώσετε τ η σ ω σ τ ή απάντηση 1.

Αν f'(x) = ημπx και f(0) = 0 , τότε το f(1) ισούται με

Α)

Β)

Γ)

Δ)

είναι ίσο με

Το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α A)

Β)

Γ)

Δ)

3. To ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α

είναι ίσο με

Β)

Γ)

Δ)

Ε)

4. Το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α

είναι ίσο με

Β) 0,

5. Το ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α

είναι ίσο με

6. Έ σ τ ω f , g δυο π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ε ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς με συνεχείς π α ρ α γ ώ γ ο υ ς στο [α, β]. ισχύει:

Αν

τότε κ α τ ' α ν ά γ κ η θα

Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σ χ ή μ α τ ο ς είναι ίσο με

8. Αν f'(x) = g'(x) για κάθε

και f(0) = g(0) + 2 , τότε για κάθε

ισχύει:

Δ) Οι Cf,Cg

έχουν κοινό σημείο στο [-1,1].

9. Έ σ τ ω η συνάρτηση όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος. Τότε η F'(1) είναι ίση με Α) 0,

Β) 1,

Γ) 2,

10. Έ σ τ ω η συνάρτηση νού σχήματος. Αν

τότε το

του διπλα-

είναι ίσο με

Α) 6,

Β)

Δ) 0,

Ε) 2.

-4,

Γ) 4,

11. Έ σ τ ω η συνάρτηση όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος. Τότε Α) Β)

Γ)

Δ)

III. 1.

Ποιο από τ α π α ρ α κ ά τ ω σ χ ή μ α τ α αντιπροσωπεύει τη γραφική π α ρ ά σταση μιας λ ύ σ η ς της διαφορικής ε ξ ί σ ω σ η ς xy' = y, με x,y > 0 .

(Α)

(Β)

(Γ)

(Δ) 2.

(Ε)

Ποια από τ α π α ρ α κ ά τ ω ο λ ο κ λ η ρ ώ μ α τ α είναι καλώς ορισμένα; Α)

Β)

Γ)

Δ)

Ε)

Δ)

Ν α εντοπίσετε το λάθος στις π α ρ α κ ά τ ω πράξεις:

Άρα

Ν α εντοπίσετε το λάθος στις π α ρ α κ ά τ ω πράξεις

Ά ρ α I = -I οπότε I = 0 . Αυτό, όμως, είναι άτοπο, αφού

επειδή

για κάθε

Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη συνάρτηση

όπου f η συνάρτηση του διπλαν ο ύ σχήματος. Ν α σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τε τ α π α ρ α κ ά τ ω κενά.

ΙΣΤΟΡΙΚΟ Αρχική συνάρτηση - Αόριστο

ΣΗΜΕΙΩΜΑ ολοκλήρωμα

Η αυτονόητη σημασία των προβλημάτων που συνδέονται με τον υπολογισμό εμβαδών και οι ιδιαίτερες δυσκολίες που παρουσιάζουν, ο δ ή γ η σ α ν τους μαθηματικούς από την αρχαιότητα στην επινόηση γενικών μεθόδων μέτρησης εμβαδών, ιδιαίτερα επιφανειών που περικλείονται από κ α μ π ύ λες. Καθοριστική στο ζήτημα αυτό υπήρξε η συμβολή των αρχαίων Ελλήνων και ιδιαίτερα του Αρχιμήδη. Οι ιδέες του Αρχιμήδη π ά ν ω στο π ρ ό β λ η μ α του εμβαδού υ π ή ρ ξ α ν η αφετηρία της δημιουργίας του σύγχρονου ολοκληρωτικού λογισμού. Χαρακτηριστικό π α ρ ά δ ε ι γ μ α αποτελεί ο τρόπος υπολογισμού του εμβαδού μιας επιφάνειας που περικλείεται από ένα τ μ ή μ α παραβολής και ένα ευθύγραμμο τ μ ή μ α (παραβολικό χωρίο). Ε σ τ ω ένα παραβολικό χωρίο με βάση ΑΒ και κορυφή 0 (το σημείο της παραβολής που έχει τη μέγιστη απόσταση από τη βάση). Αρχιμήδης, φέρνοντας τις χορδές OA και ΟΒ, δημιουργεί δυο νέα παραβολικά χωρία με βάσεις OA, ΟΒ και κορυφές Ox, O2 αντίστοιχα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας γ ε ω μ ε τ ρ ι κ έ ς ιδιότητες της παραβολής, αποδεικνύει ότι για τ α εμβαδά των τριών τ ρ ι γ ώ ν ω ν ΟΑΒ, O1AO και O2ΒO ισχύει η σχέση (1) Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία στα νέα παραβολικά χωρία, βρίσκει ότι (2) και (3) Μ ε τον τρόπο αυτό, το εμβαδόν Ε του παραβολικού χωρίου μπορεί ν α προσεγγιστεί ("εξαντληθεί") από ένα άθροισμα εμβαδών ε γ γ ε γ ρ α μ μ έ ν ω ν τ ρ ι γ ώ ν ω ν ως εξής:

Ό π ω ς είναι φανερό, πρόκειται γ ι α το ά θ ρ ο ι σ μ α των (απείρων) όρων μιας φ θ ί ν ο υ σ α ς γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ς προόδου με πρώτο όρο το α = (OAB) και λόγο Τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α αυτό δίνεται σ ή μ ε ρ α από το γ ν ω σ τ ό τύπο

Τ ο ε μ β α δ ό ν λοιπόν του παραβολικού χωρίου είναι ίσο με τ α

του ε μ β α -

δού του τ ρ ι γ ώ ν ο υ που ορίζουν τα άκρα της βάσης και η κορυφή τ η ς π α ραβολής(*) Όπως στα προβλήματα ακροτάτων και εφαπτόμενων έτσι και στο πρόβλημα του εμβαδού, οι ιδέες των αρχαίων Ελλήνων γνώρισαν παραπέρα εξέλιξη μετά την ανάπτυξη της Άλγεβρας και την εφαρμογή της σε γεωμετρικά προβλήματα. Στη διάρκεια του Που αιώνα διαπιστώθηκε ότι ο υπολογισμός των εμβαδών μπορεί να γίνει με μια διαδικασία αντίστροφη προς αυτήν της παραγώγισης.

Ορισμένο ολοκλήρωμα - Η έννοια του εμβαδού Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ό π α ρ ά δ ε ι γ μ α τ η ς ν έ α ς μεθόδου α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η ς π ρ ο β λ η μ ά τ ω ν υ π ο λ ο γ ι σ μ ο ύ ε μ β α δ ώ ν κ α τ ά τον 17ο αιώνα αποτελεί ο τρόπος με τον οποίο ο J. Wallis α ν α κ ά λ υ ψ ε το 1655 μια ν έ α αναλυτική έ κ φ ρ α σ η γ ι α το ε μ β α δ ό ν του κύκλου και τον αριθμό π.

(*)

Η διατύπωση στο έργο του Αρχιμήδη "Τετραγωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής" είναι: "παν τμάμα περιεχόμενον υπό ευθείας και ορθογωνίου κώνου τομάς επίτριτον εστί του τριγώνου του βάσιν έχοντος ταν αυτάν και ύψος ίσον τω τμάματι". Ο Αρχιμήδης στην πραγματικότητα εργάστηκε λίγο διαφορετικά αποφεύγοντας την έννοια του απείρου, χρησιμοποίησε πεπερασμένο πλήθος όρων του παραπάνω αθροίσματος και έδειξε ότι το ζητούμενο εμβαδό ισούται με λύτερο ή μικρότερο από αυτό.

αποκλείοντας (με απαγωγή σε άτοπο) τις περιπτώσεις να είναι μεγα-

O Wallis θεώρησε ένα ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ = 2 R , χ ώ ρ ι σ ε τ η ν ακ τ ί ν α τ ο υ ΟΒ σε ίσα τ μ ή μ α τ α μήκους α και από κάθε σημείο διαίρεσης ύ ψ ω σ ε μια κ ά θ ε τ η (βλ. σ χ ή μ α ) . Ό π ω ς είναι γ ν ω σ τ ό από τ η ν Ε υ κ λ ε ί δεια γ ε ω μ ε τ ρ ί α , κάθε μια από α υ τ έ ς τις κάθετ ε ς είναι μέση α ν ά λ ο γ η τ ω ν δύο τ μ η μ ά τ ω ν σ τ α οποία χωρίζει τη δ ι ά μ ε τ ρ ο ΑΒ. Π.χ., γ ι α την κάθετη ΓΔ, που είναι ύ ψ ο ς π ρ ο ς τ η ν υ π ο τ ε ί ν ο υ σ α τ ο υ ο ρ θ ο γ ω ν ί ο υ τ ρ ι γ ώ ν ο υ ΔΑΒ, ισχύει

κ.ο.κ. Αφού υ π ο λ ό γ ι σ ε με τον τρόπο αυτό όλες τις ( π ε π ε ρ α σ μ έ ν ο υ π λ ή θους) κ ά θ ε τ ε ς που " ε ξ α ν τ λ ο ύ ν " το τ ε τ α ρ τ η μ ό ρ ι ο ΟΜΒ, ο Wallis π ρ α γ μ α τ ο π ο ί η σ ε μια " μ ε τ ά β α σ η στο άπειρο" με τον εξής συλλογισμό: "O λόγος του αθροίσματος όλων αυτών των καθέτων προς το άθροισμα των μεγίστων τιμών τους (δηλ. των ακτινών) είναι ίδιος με το λόγο του τεταρτημορίου (το οποίο "εξαντλούν" αυτές οι κάθετες) προς το τετράγωνο με πλευρά την ακτίνα (δηλ. το τετράγωνο ΟΜΛΒ, το οποίο "εξαντλούν" οι ακτίνες-προεκτάσεις των καθέτων) ". Δ ι α τ υ π ω μ έ ν ο σε συμβολική γ λ ώ σ σ α , το σ υ μ π έ ρ α σ μ α αυτό του W a l l i s γίνεται

Αυτό το μ ί γ μ α Γ ε ω μ ε τ ρ ί α ς , Α λ γ ε β ρ α ς και " π ρ ω τ ό γ ο ν ο υ " λογισμού, ι σ ο δ υ ν α μ ε ί ο υ σ ι α σ τ ι κ ά με τη σ ύ γ χ ρ ο ν η σ χ έ σ η

απειροστικού

Π ρ ά γ μ α τ ι , αν θ ε ω ρ ή σ ο υ μ ε R = 1 (δηλ. το μοναδιαίο κύκλο και δ ι α ι ρ έ σ ο υ μ ε τ η ν α κ τ ί ν α (δηλ. το δ ι ά σ τ η μ α [0,1] σε ν ίσα τ μ ή μ α τ α μήκους το κ α θ έ ν α (1) γίνεται

τότε το πρώτο μέλος τ η ς π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν η ς ι σ ό τ η τ α ς

Αυτό όμως όπως θα δούμε παρακάτω είναι το κατώτερο άθροισμα της (που προκύπτει από την ε ξ ί σ ω σ η του κύκλου),

συνάρτησης

ως προς την προηγούμενη διαμέριση του διαστήματος [0,1], και το όριό του όταν

είναι το

Η έννοια του ολοκληρώματος, όπως και οι άλλες θεμελιώδεις έννοιες τ η ς ανάλυσης, έγιναν αντικείμενο συστηματικής κριτικής και ορίστηκαν με λογική αυστηρότητα στη διάρκεια του 19ου αιώνα. Η έννοια του ολοκληρ ώ μ α τ ο ς που χρησιμοποιούμε σήμερα στο σχολείο, στηρίζεται στον επόπου έδωσε ο Β. R i e m a n n το 1854:

μενο ορισμό του συμβόλου "Θεωρούμε

μια ακολουθία

στα α και β κατά σειρά μεγέθους κλάσματα με ε,. Τότε η τιμή του

θα εξαρτάται

που βρίσκονται

τιμών

και συμβολίζουμε

ανεξαρτήτως

της εκλογής

δi

και των ποσοτήτων

των δi και εi,

προς ένα σταθερό όριο Α καθώς όλα τα δί γίνονται η τιμή αυτή

ονομάζεται

δεν έχει κανένα νόημα ".

χάριν συντομίας το και τα γνήσια θετικά

αθροίσματος

από την εκλογή των διαστημάτων

Αν έχει την ιδιότητα,

ανάμεσα

εi.

να

τείνει

απειροελάχιστα,

τότε

Αν δεν έχει αυτή την ιδιότητα,

τότε το

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α' ΜΕΡΟΣ

ΑΣΚΗΣΕΩΝ

(ΑΛΓΕΒΡΑ)

ΠΙΝΑΚΕΣΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

§ 1.1

1. i)

Α ' Ομάδας

3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες.

x = -7 , y = 8, ω = 8.

3. .i) x = 1, y = -1 ii) δεν υπάρχουν 4. x = e. 5.

§ 1.2

Α' Ομάδας

1. 6.

7. 8. α = 2, β = 1, γ = 3, δ = -1. iii) [0 0 0], [8 10 12] iv) δεν ορίζονται.

§1.2

Β ' Ομάδας

1 i) x = 1, y = -1 ii) x = 2 , y = 0 . 2.

ο Β δεν αντιστρέφεται

5. 6.

ii) Πολλαπλασιάστε και τα 2-μέλη της εξίσωσης, από αριστερά, με τον αντίστροφο του πίνακα: § 1.3

Α' Ομάδας

,οπότε έχουμε

§ 1.3

Β ' Ομάδας

1. i) x = 5 , y = 0

2. x = 3. 3.

και

4. Να γίνουν οι πράξεις. 5. i) O πίνακας Α αντιστρέφεται διότι έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός και είναι

ii) Αποδείξετε 6.

3. Παρατηρήστε ότι οι αμοιβές στις δύο εταιρείες είναι: 60.50 + 75.40 αντιστοίχως

και

i) πράξεις ii) και iii), να χρησιμοποιήσετε την (i).

30.50 + 60.40

4. Να αποδείξετε ότι ΑΒ = I .

ii) 3345 ευρώ και 2230 ευρώ

i) A(-x)A(x) = I ii) x = 0 .

10.

i) Πράξεις

3. To O(0,0) αντιστοιχίζεται στο O'(0,0). To A(3,4) στο A'(10,-3). Στη συνέχεια αποδείξετε ότι

ii) y = -x

iii) Παρατηρήστε ότι Μ = A(1), οπότε

ii) Αποδείξετε ότι

Α ' Δ / / Β ΄ Γ ΄ και Α'Β'//Δ'Γ'. Στη συ-

11.

νέχεια δείξτε ότι η Α'Δ' δεν είναι κάθετη στην Α'Β'. 5. i)A(5,-5) ii) 5x-2y =1. 6.

i) Στροφή περί την αρχή των αξόνων

κατά γωνία iii)

6Ι+5Α.

ii) Ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ = 2 > 0 .

12.

iii) Συμμετρία με άξονα την y = x και στη συνέχεια συμμετρία ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων Ο. iv) Ομοιοθεσία με κέντρο ομοιθεσίας την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ = 2 > 0 και στη συνέχεια συμμετρία ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων Ο.

13. i) Πράξεις

ν) Συμμετρία ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία y = x και στη συνέχεια συμμετρία ως προς άξονα συμμετρίας τον άξονα των x.

ii) Να γράψετε: 1992 = 3.664 1989 = 3.663 . § 1.4

vi) Συμμετρία ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, συμμετρία ως προς άξονα συμμετρίας τον άξονα x και τέλος συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y-x.

Α' Ομάδας

1. Οι πίνακες των γραμμικών μετα-

σχηματισμών είναι οι

αντιστοίχως. Το σημείο A(1,0) αντιστοιχίζεται στα (1,-1), (1,1) και (1,2) αντιστοίχως.

§ 1 . 4 Β ' Ομάδας 1.

i) Αρκεί να αποδείξετε ότι οι συντε-

ταγμένες της εικόνας του τυχαίου σημείου Μ του επιπέδου με το γραμμικό μετασχηματισμό Τ επαληθεύουν την y = 2x .

Όμοια: το B(0,1) στα (1,1), (1,2) και (2,4). ii)

iii) Το Α'( 1,1) δεν έχει πρότυπο διότι, αν είχε θα έπρεπε να επαληθεύει την y = 2x. 2.

iii) (2+ y,y,3,4), 4.

i) x' = x - y y' = x , και υπολογίστε τις αποστάσεις (ΑΒ) και (Α'Β'). ii) Να βρείτε την εικόνα του

i) (1,-1,1)

iii) Αδύνατο. 5.

i) (1,1 - z,z,0),

μέσου του ΑΒ ii)( 3 - 3 z + 3 ω , 2 - z+ 2ω,z,ω), με το γραμμικό μετασχηματισμό Τ. iii) Χρησιμοποιείστε το γνωστό τύπο iii) Αδύνατο. 6.

i) (2,1/2)

ii) Αδύνατο.

3. §1.5-1.6

Β'Ομάδας

ii) Ομοίως. 4.

i) Υπολογίστε τις συντεταγμένες του M'(x'0,y'0), συμμετρικού του M(x0,y0) ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία y = -x συναρτήσει των x0,y0

{α,β,γ) = (2,1,-1).

2. 3. Να λύσετε το σύστημα με αγνώστους ημα , συνβ , εφγ . 4.

i) Αν α # 1,2, αδύνατο. Αν α = 1 ή α = 2, άπειρες λύσεις. ii) Αν λ # 3 μια λύση την:

5. Αν λ = 3 και μ # 10 , άπειρες λύσεις της μορφής (2 +ω,4 - 2ω,ω) , §1.5-1.6 3.

Α'Ομάδας

i) (3,-1,2) ii)

(3-3ω,4+2ω,ω),

iii) Αν k # 2, αδύνατο, ενώ αν k = 2 μοναδική λύση την (0,1).

4. i) Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με τη διακρίνουσα της εξίσωσης, οπότε ...

§1.7 Α' Ομάδας

i) -3000

iv)

αβ(β-α)

ii) 0

iii) 1

ν) -1

vi) 0.

ii) Άπειρες λύσεις. 5. Οι τρεις ισότητες σχηματίζουν ομογενές σύστημα γραμμικό του τύπου 3x3 με ορίζουσα μηδέν, οπότε ...

i) x = 1 ή x = -1

iii) x = 0,1,2 6.

i) x = -2,y

= -3

Λύστε το σύστημα των δυο τελευταίων εξισώσεων.

ii) Λύστε το σύστημα ii) x = 1, y = 1/2, ω = 3/2 iii) x = 0 , y = 0, z = 0

iv) x = 0 .

4. i) κ = 2 ή -1 ii) κ = 1 ή -2. §1.7

ii) Αν λ = 1, έχει λύσεις της μορφής , ενώ αν λ = - 1 , έ(3y,y). χει λύσεις της μορφής (y,y),

Β'Ομάδας

1. i)

i) λ = 1 ή λ = - 1

Αν κ # 1 και κ # 2, τότε έχει λύση την Αν κ = 1, είναι αδύνατο, ενώ αν κ = 2, έχει λύσεις τις (2 -y,y,-l),

ii)

τότε έχει λύση την

Αν

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ' Ομάδας 1.

Αν

λ = 1,

έχει

λύσεις

λ = - 1 , είναι αδύνατο. 2.

i) Πράξεις

ii) ΑΒ = I

ii) Να γίνουν οι πράξεις:

τότε έχει λύση την (0,0,0). Αν λ = 1, έχει λύσεις τις (-3ω,2ω,ω), ενώ αν λ = -1 έχει λύσεις τις (3ω,2ω,ω)

ii) Α(x)Α(-x) = Α(0)

iii) Επαγωγή

τις

ενώ αν

i) Πράξεις

4. Να αποδείξετε ότι

i) Διέρχονται από το .4(1,-1) ii) Σχηματίζουν τρίγωνο iii) ε1// ε2 και η ε3 τέμνει αυτές στα σημεία Α(-1,2) Β( 1/2,1/2)

Θέτουμε διαδοχικά όπου θ το

i) Αρκεί να αποδείξετε ότι οι εικόνες των σημείωνΜ1(x1,y1) και M2(x1,y1) ταυτίζονται μόνο όταν το Μ1 συμπίπτει με το Μ 2 .

Η ορίζουσα του συστήματος είναι D = αβ(β-γ) κ.τ.λ.

7. α) αδύνατο

Αν λ # 1, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την (0,0,0), ενώ αν λ = 1, έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x,0,0) , με

β) 2i

9. α) -5-7/

7. Η ορίζουσα του συστήματος είναι D = (συνα - ημα)(1 - ημα)(1 - σ υ ν α ) . 8. Αν κ = 1, οι ευθείες συμπίπτουν, ενώ αν κ # 1, τότε ε1 // ε2 και η ε3 τις τέμνει.

α) 0

δ) 11 10.

β) -4+9/ ε)

γ) -4/ στ) 0

α) ως προς άξονα x'x β) ως προς κέντρο O(0,0) γ) ως προς άξονα y'y .

11. 12.

α) y-3 μοι

β) x'x και

y'y

γ) διχοτό-

δ) x=1. 10. Το ομογενές σύστημα: 13. α) 1,2

έχει και μη μηδενικές λύσεις, οπότε 11. i)x= λ+2, y = λ

14. β=-\2

§ 2.1-2.2

γ=26 .

Β Ομάδας

ii) λ =-1 ή λ = 2. 1.

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ § 2.1-2.2

-1

3. 0

Α'Ομάδας

4. -2, 0,2 1. α) 6

5. 2.

α) x=1, y-2

β)-2

γ) x=-15, 6.

z=x+yi

κτλ.

y = 27. 4.

α) y'y

β)

x'x

γ) y=x .

7. β - α i = -i(α+ βi) κτλ. 8.

α) z = x+yi κτλ. β) αρκεί να δείξετε ότι

5. α) 3+4i

ε) 6.

β) -3-6i γ) 0 δ) 2+23i —3+18i στ) 25 ζ)1+7i. β)-1

γ) 2i

ή y'y εκτός του O(0,0)

ή x'x εκτός του O(0,0) § 2.3 Α'Ομάδας

9. 10.

1. 2. 2,1,1,1.

§ 2.4 Α' Ομάδας 1.

3. 4.

δ) Κυκλικό δακτύλιο ε) Εκτός κύκλου x2 +y2 = 2 . 5. α) Στη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα A(-1,0),Β(0,2). ε) 4(συν0+iημ0)

β) Στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη μεσοκάθετο του ΑΒ και το Β όπου Α(0,1) και Β(-1,0). 6. Ο μοναδιαίος κύκλος

στ) 4(συνπ+iημπ). 2.

7. 2i, 6i

β) 10i

γ)

§ 2.3 Β'Ομάδας 4. 1. Αν z=x+yi, τότε Re(z)=x, lm(z)=y

κτλ. 2.

3. 4. 5.

7. 8.

6. 7. 4

8. 10.

§ 2.4

Β'Ομάδας

1. α) 1 και νθ

β) -1

2. Να γράψετε τους 1+i, 1-i σε τριγωνομετρική μορφή. 3. Να εργαστείτε με διανυσματικές ακτίνες.

4. 5. β) y = x +1, y >0

6. 7. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την:

5. 6. Να εφαρμόσετε το θεώρημα του De Moivre. 7.

8. § 2.5

Β'Ομάδας

8. 9.

§ 2.5 Α' Ομάδας

1. α) Κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου β) Κορυφές τετραγώνου γ) Κορυφές κανονικού εξαγώνου.

i, -1, -i

6. Να πάρετε τα μέτρα και των δύο μελών της εξίσωσης. 7. α) 2,4, -4, β)p=4, q=16. 8. 9. Η

εξίσωση

γράφεται

ισοδύναμα

8. Να εξισώσετε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του αθροίσματος

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.

2. 3. α) y = 3 x - 7 β) y=3x-9

4. α) Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με

β) Τα σημεία της παραβολής 6. Να πάρετε τα μέτρα και των δύο μελών της εξίσωσης. 7. α) Οι τιμές του τριωνύμου είναι ομόσημες του α β) Είναι γινόμενο δύο συζυγών παραστάσεων.

Β' ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) 4. α) 200,69cm 1

ΟΡΙΟ-

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

§ 1 . 1 - 1 . 2 Α ' Ομάδας

ii) A = [1,2] 7.

i) είναι ίσες

2. ii) είναι ίσες iii) x > 0 . 3.

i)x> 0

ii) x > 1.

iii) είναι ίσες

β) 195,23 cm.

8. Είναι

3. 4.

5. 10.

11.

f(A)

= [0,1].

6. iii) f(x) = ημx ή f(x) =-ημx. 12.

i) Είναι σύνθεση των h(x) = x2 +1 και g(x) =ημx.

ii)

Είναι σύνθεση των h(x) = 3x, g(x) =ημxκαι φ(x) = 2x2 +1.

7. α = 1. 8. α) πράξεις 9.

iii) Είναι σύνθεση των συναρτήσεων h(x) = 2x , g(x) = ex -1 και φ(x) =lnx.

ii) 16 χρόνια. § 1.3

iv) Είναι σύνθεση των συναρτήσεων h(x) = 3x2 , g(x) = ημx και φ(x) = x .

β) πράξεις.

Α'Ομάδας

i) f γνησίως φθίνουσα στο ii) f γνησίως αύξουσα στο

§ 1.1-1.2

iii) / γνησίως φθίνουσα στο

Β'Ομάδας

iv) f γνησίως φθίνουσα στο 1.

i) Είναι 1-1 και

ii) Δεν είναι 1 -1. iii) Δεν είναι 1 -1.

vi) 2

viii) 0. iii) 6.

2. i) 43

iv) 27.

3. i) 8/3 4. i) 1/6 ii) 1/2 5. i) δεν υπάρχει ii) 2. 6.

i) 3 ii) 1 iii) 2

iv)0

ν) 1

vi) 4.

viii) Δεν είναι 1 -1. 3. Οι συναρτήσεις f,φ και ψ αντιστρέφονται, ενώ η g δεν αντιστρέφεται. 4. i), ii), iii) να εφαρμόσετε ιδιότητες των ανισοτήτων.

7. i) 2 ii) 0 8. i)l

iii) 1/2.

ii) 1.

9. α = 4/3 και β = 2. § 1.5 Β" Ομάδας

§ 1.4 Α ' Ομάδας

1. i) 7/12

iii) Δεν υπάρχει όριο στα x0 = 1, x0 = 2, f(1) = 1, δεν ορίζεται η f στο 2. iv) Δεν υπάρχει όριο στα x0 = 1,

4. i) -2 § 1.6

i)-1

ii) 1

Α'Ομάδας

iii) δεν υπάρχει. i) δεν υπάρχει

iii) δεν υπάρχει § 1.6

iv) δεν υπάρχει. 3. i) 4 και 2

ii) 0.

iii) δεν υπάρχει.

f(2) = 2 και δεν ορίζεται στο 3.

ii) δεν υπάρχει.

4. i) ψευδής ii) ψευδής iii) ψευδής

Β'Ομάδας

1. 2. i) Αποδείξτε ότι

iv) Αληθής ν) ψευδής νi) Αληθής. 5. λ = 3 ή λ = -2. ii) Ομοίως. § 1.5 Α ' Ομάδας

i) 5 ii) -1

3. iv) 0

iv)3.

ii) 1 iii) 1.

1. 2.

iii) 1/2.

2. i) δεν υπάρχει ii) 5 iii) 7 3. i) 0

ii) 0

ii) δεν υπάρχει

ii) Μη συνεχής στο 2.

4. i) 0

iii) Μη συνεχής στο 1. § 1.7 Α ' Ομάδας

1. vi) 0

ν) 1/2

iv) Συνεχής. iii) 0

4. i) Μη συνεχής στο 1 ii) συνεχής.

vii) 0 viii) 2.

5. Είναι όλες συνεχείς ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.

2. ν) 0. 3. i) 1

ii) 0

iii) -1

iv) 0

ν) -1

6. Για τη συνάρτηση f(x) =ημx- x +1 να εφαρμόσετε το Θεώρημα του Bolzano στο [0,π] . 7.

i) α = 0 ii) α = -1 iii) α = 1 iv) α = 1.

§ 1.7 Β ' Ομάδας 1.

8. Να εφαρμόσετε διαδοχικά το Θεώρημα του Bolzano στα [λ,μ] και [μ,ν]. 9. Εργαστείτε όπως στο σχόλιο του Θεωρήματος Bolzano. 10.

i) [-1,01 ii) (0,2) iii) [1,2) iv) (1,2].

§ 1.8 Β ' Ομάδας

1. 2.

Κ = -1

(α=4, β = 1) ή (α = -3,β = 8).

4. Εφαρμόσετε Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση Φ(x) = f(x)- g(x) στο [0,1] .

αν λ = 1 3. α = β = 1.

5. α) Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση

4. i) l § 1.8

Α'Ομάδας

1. i)l

ii) 1.

2. i) συνεχής ii) συνεχής iii) συνεχής. 3.

i) Μη συνεχής στο -1.

β) Όμοια για τη συνάρτηση 6. i)

Να

αποδείξετε

ακριβώς λύση.

ότι η εξίσωση

ii) Να

αποδείξετε

ότι η

εξίσωση

ii) Δεν ορίζεται

i) y = 0

iv) y = x +1.

iii) y =x+1

ακριβώς λύση. 7. i) α) x = 1 ή -1. β) Η συνάρτηση f στο (-1,1) δεν μηδενίζεται και είναι συνεχής.

και δεν μηδενίζεται. Ομοίως και στο

§ 2.1

Β'Ομάδας

f'(0) = -1.

f'(1) = 3 .

f'(0) = 1 .

f'(0) = 1/2 .

5. Με κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε ότι f'(0) = 1. 6.

i)OB:y = x , ΑΓ:y = -x + 1.

κριτήριο παρεμβολής f'(0) = 1 .

ii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f(x)-x = 0

και f(x) + x-1 = 0

στο [0,1] έχουν κάποια λύση.

7. 8.

βρίσκουμε

ii) Να εφαρμόσετε το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής για την d στο [α,β].

i) Είναι

κ.τ.λ. ii) Είναι

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΛΟΓΙΣΜΟΣ κ.τ.λ. § 2.1 Α ' Ομάδας

i) 0

i) 0 iii) 1

ii) -2

9. iii) 0

i) το Β.

ii) το Γ.

iii) t = 2 αλλάζει το β, t = 4 το Α και

ii) Δεν παραγωγίζεται

t = 5 το Β

iv) 1

iv) το Α

ν) το Β

vi) το Α.

g'(0)=f(0) .

4. i) Δεν είναι συνεχής στο 0 και άρα δεν παραγωγίζεται ii) Δεν παραγωγίζεται στο 1.

§ 2.2 Α ' Ομάδας

5. Από την άσκηση 1 i) y = 1

i) -4

ii) 1/6 iv)

1/e

ν)

ii) y = -2x + 3 iii) y = 0 .

Από την άσκηση 2

i) Δεν παραγωγίζεται στο 1.

iii) Δεν παραγωγίζεται στο 2. iv) Δεν παραγωγίζεται στο 2/3.

5. Ευθ. τμήμα με κλίση 2 για ευθύγραμμο τμήμα με κλίση -1, για και ευθ. τμήμα με κλίση 1 για

§ 2.2 Β'Ομάδας 1.

α = -1,

β = π.

2. Η εξίσ. εφαπτ. της Cf στο (ξ,f(ξ)) είναι

η οποία διέρχε-

ται από το Β(-ξ,0). ενώ δεν παραγωγίζεται στο 0. 3. 4. i) Είναι

Α(2ξ,0), 5.

i) (-2,-4) και (2,4).

ii) 2. iii) (-1,-2), (1,2). § 2.3 Α'Ομάδας 1.

Οι συναρτήσεις f',g δεν είναι ίσες αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. 7. 15. 8.

α = 2.

f'(x) = ημ2x και f"(x) = 2συν2x , οπότε ισχύει η ισότητα.

i) (-2,3) και (2,7).

§ 2.3

Β'Ομάδας

1. Το κοινό σημείο είναι το (1,1) και ισχύει f'(1)g'(0) = -1 .

10.

= 2x - 1 και

= -2x - 1 .

2. Τα κοινά σημεία είναι (-2,-8).

(1.1)

και

Η y =3x- 2 εφάπτεται στο (1,1). 3. α = 0 , β = -1 11.

α = 1, β = 1, γ = 0 .

4. Η y =x+1 εφάπτεται της 12.

στο ση-

μείο (-1,0). 5. 6. Έστω

ότι

υπάρχει το και καταλήγουμε

σε αδύνατο σύστημα 7.

i) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθμητή την ποσότητα xf(α). ii) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθμητή την ποσότητα Να

13.

λάβετε υπόψιν ότι το

i) f'(2) = 20.

είναι η παράγωγος της α.

στο

iv) f'(3) = 5. 14.

και δεν παραγωγίζεται στο 0. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (0,0) είναι η x = 0.

f'(0) = 0 . Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (0,0) είναι η y = 0 .

§ 2.5

Α'Ομάδας

10. Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο

A(1,f(1)) είναι η y = x-1 + f(1) που εφάπτεται της Cg στο (0,g(0)). 11.

i) f'(0) = 1

iv) δεν ισχύει. .

i)2

ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η ν =x+1 που σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 3. Έχουμε § 2.4 Α ' Ομάδας

§ 2.5

Β'Ομάδας

1. i) Θ. Bolzano στα διαστήματα [-1,0] και

[0,1] .

3. 4.

ii) Θ. Rolle στο [x1,x2] όπου x1,x2 οι ρίζες της f στα διαστήματα (-1.0) και (0,1).

i) x(t) = 15t, y(t) = 20t.

ii) d'(t) = 25 km/h. 5. (2,1).

που έχει

§ 2.4 Β ' Ομάδας 1.

i)Θ.Rolle στο [0,1], ρίζα στο (0,1).

3. 0,75 m/s.

4. 0,25 rad/min.

i) Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f(x) - x = 0 έχει 2 ρίζες x1,x2 και εφαρμόζουμε Θ. Rolle για τη συνάρτηση ii) Εφαρμογή του ερωτήματος i) με

5. 0,2 m/s. 6.

4. 7. ii) Θ.Μ.Τ. στο [α, β]. 5. Θ.Μ.Τ. στο [0,4].

§ 2.6

7. Υποθέτουμε ότι έχουν τρία κοινά σημεία με τετμημένες ρ1 < ρ2< ρ3 και εφαρμόζουμε Θ. Rolle για την φ(x) = f(x)- g(x) στα διαστήματα

Β'Ομάδας

1. Με εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολής

βρίσκουμε ότι f'(x0) = 0, για

κάθε

ii) [α - 2 , α +2] § 2.6 Α ' Ομάδας φ'(x)

i) Γνησίως αύξουσα στο

=0,

iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f και είναι γνησίως φθίνουσα στο (-1,1) .

, οπότε φ(x) = c .

ii) Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-1,2]

ii) Αριστερά όταν

i) Γνησίως αύξουσα στο διάστημα και γνησίως φθίνουσα στο

ii) Γνησίως αύξουσα στο (0,1] και γνησίως φθίνουσα στο γνη-

iii) Γνησίως αύξουσα στο σίως φθίνουσα στο

V είναι το (25,50], 5.

για

κάθε

και σταii) Όταν x ανήκει σε καθένα των διαστημάτων η f παίρνει τιμές στο και επειδή η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα , έχει 3 ρίζες

θερή με τιμή μηδέν στο [π,2π]. 5.

6. ii) Η f έχει σύνολο τιμών το το διάστημα

και δεξιά

iii) Η ταχύτητα αυξάνεται στα διαστήματα [0,1] και [3,5] και μειώνεται στο διάστημα (1,3) .

iii) Γνησίως αύξουσα στο [-1,1] και γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα 4

i) t = 1 ή t = 4 .

ενώ η g

iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών των συναρτήσεων και είναι γνησίως αύξουσες.

7. ii) Ισχύει f(x) > f(0), αφούfγνησίως αύξουσα

ii)f(0)= 0 και η f γνησίως αύξουσα.

λόγω του ερωτήματος ii).

μέγιστο το E(20) = 400 . 8.

ii) Επειδή f(0) = 0 και η f είναι γνη-

ισχύει

10.

σίως αύξουσα στο

30 μονάδες.

§ 2.7 1.

§ 2.7 Α' Ομάδας 1.

Στο x = 1 τοπικό μέγιστο και στο x = 3 τοπικό ελάχιστο .

α) i) Γνησίως αύξουσα στο

i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο ii) Γνησίως φθίνουσα στο (0,1] και γνησίως αύξουσα στο Ελάχιστο το φ(1) = 0 .

β) i) Μια ρίζα στο ως συνεχής και γνησίως αύξουσα. μια στο

iii) Κοινό σημείο (1,0), κοινή εφαπτομένη την y = x - 1.

iii) Μια ρίζα στο

3. αύξουσα στο f(x) > f(0).

i) Το f(0) = 0 τοπικό ελάχιστο, το f(1) = 1 τοπικό μέγιστο. ii) Ελάχιστο το g(2) = -1.

και

ii) Μια ακριβώς ρίζα στο

iii) Τοπικό μέγιστο το h(0) = -1 και τοπικό ελάχιστο το h(1) = -2 .

i) Γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο

ii) Τοπικό μέγιστο το g(-l) = 4 και τοπικό ελάχιστο το g(l) = 0 .

ii) Μια ρίζα στο

Β'Ομάδας

οπότε

είναι

i) Ελάχιστο το f(0) = 1.

γνησίως αύξουσα στο τότε f"(x) = -συνx +1 οπότε η f' γνησίως αύξουσα στο

5. α = 1, β = 0, τοπικό μέγιστο το f(-1) = 3 και τοπικό ελάχιστο f(1) =

-1

x > 0 και ελάχιστο το ρ(20) = 80 .

Άρα f'(x) > f'(0), οπότε καν f γνησίως αύξουσα στο β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) βρίσκουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο Σε 4 km από το εργοστάσιο Ε1.

iii) α) Αν τότε

§ 2.8 Α ' Ομάδας

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) βρίσκουμε ότι η συνάρτηση

κυρτή στο i) Κοίλη στο και το (1,0) σημείο καμπής. ii) Κοίλη στα στα [-2,0) και

(0,2], κυρτή

, ενώ τα σηκαι

μεία καμπής είναι 4. Η f'(x) = 0 είναι αδύνατη στο 5. Θεωρούμε

την

h(x) = f(x) - g(x), 2.

i) Κοίλη στο

6. Είναι f'(α) = f'(β) = f'(γ) = 0 και Θ. Rolle στα διαστήματα [α,β] και [β,y].

ενώ το

κυρτή στο είναι σημείο

ii) Κοίλη στο (0,e], κυρτή στο ενώ το μπής.

είναι σημείο κα-

κυρτή iii) Κοίλη στο στο [0,1], και τα (0,1), (1,3) σημεία καμπής.

9. 3.

10. Οι εισπράξεις είναι

i) Κυρτή στα

E(x) = x(1500-5x) . κοίλη στο Ε'(x) = 0, οπότε x = 150. 11. i) t = 200 s όπου ΗΒ ύψος

12.

τραπεζίου. Είναι ΗΒ = 2ημθ και ΗΓ = 2συνθ .

και τα σημεία

καμπής. ii) Κοίλη στο

και κυρτή στο

ενώ το (0,0) είναι σημείο 13. ii) 75. 14. Η πυκνότητα του καπνού είναι

καμπής. iii) Κοίλη στο κυρτή στο και το (0,0) σημείο καμπής.

κυρτή στο iν) Κοίλη στο και το (0,0) είναι σημείο καμπής ν) Κυρτή στο κοίλη στο και το (0,0) σημείο καμπής.

5. Η f" δεν μηδενίζεται στο ( - 2 , 2 ) .

§ 2.9 Α' Ομάδας 1.

4. • - γνησίως αύξουσα στα [-1,1], [4,8]. - γνησίως φθίνουσα στα [1,4], [8,10]. • - κοίλη στα [0,2], [5,6] και [7,10].

i)x= 2.

iii) δεν υπάρχουν iv) x = 0 . 2.

i) y = 1.

i) y = x, x = 1. ii) y =x+ 2 , x = 2.

- κυρτή στα [-1,0], [2,5] και [6,7]. • - Τα 1,8 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων. - Τα - 1 , 4 , 10 είναι θέσεις τοπικών ελαχίστων.

iii) 0.

i) l.

• - Τα 0, 2,5, 6, 7 είναι θέσεις σημείων καμπής. κινείται αριστερά και

5. i) Όταν όταν

§ 2.9 Β' Ομάδας

ii) Η ταχύτητα αυξάνεται στο διάστημα [t1,t3] και μειώνεται σε καθένα από τα διαστήματα [0,t1] και

και άρα ii) Η f είναι κυρτή στο βρίσκεται πάνω από την ε1 κοντά στο και πάνω από την ε2 κοντά στο

§ 2.8 Β' Ομάδας

2. 5(0,0)

και

Τα Α, Γ έχουν αντίθετες συντεταγμένες. 2.

f"(x) > 0 για κάθε

i) Τοπικό μέγιστο το f(0) = 2, τοπικό ελάχιστο το f(2) = -2 και σημείο καμπής το (1,0).

=0.

3. α = 1,

ii)

y =

=1.

4. Χρησιμοποιείστε τους κανόνες de L' Hospital. 5. Χρησιμοποιείστε τους κανόνες de L' Hospital. 6.

i) 1, 0.

iii) x = 0 .

§ 2.10 Α' Ομάδας 1. i) Είναι

και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών τηςf.

6. ασύμπτωτες

και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f

y = 1, x = 1 και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f

ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , οπότε

ασύ-

iii) Να λογαριθμήσετε την ισότητα 2x= x2. Η f είναι γνησίως αύξουοπότε παίρνει την σα στο τιμή x = 2 μια φορά. Ομοίως στο παίρνει την τιμή x = 4 μια φορά.

μπτωτες x = 0 και y = x και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f. ii) Ομοίως. 3.

f'(x) = 1 +συνx, f ' ' ( x ) =-ημx και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f στο 7.

ii) Να πάρετε τη συνάρτηση x f(x) = α - x-1 και να εφαρμόσετε το Θ. Fermat.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 8.

Γ' Ομάδας

i) Να πάρετε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx και να εφαρμόσετε το θεώρημα του Fermat.

i) f'(1) = g'(1).

ii) y= x +1 και y = x -1.

ii) Να πάρετε τη διαφορά φ(x) = g(x)- f(x) και να εξετάσετε το πρόσημο της.

iii) η f είναι κυρτή, ενώ η g είναι κοίλη.

2. Να φ(x) =

πάρετε

τη

συνάρτηση

f(x)-g(x).

3. Ε'(θ) = συν 20 + συν θ .

Μέγιστο

iv) Να

πάρετε

τη

διαφορά

f(x)-g(x)·

λ(l-lnλ).

ii) λ = e

iii)Θεωρείστε τη διαφορά g(x) - λx που είναι η f(x).

το 10.

i)f'(0)=0

4. Το εμβαδόν του τομέα είναι ή E(r) = 1 0 r - r 2 . Μέγιστο Ε(5) = 25. 5.

το

και το μήκος της σκάλας

11. Α. i) ψ'(x) = 0 ,

, οπότε ψ (x) = c

ii) φ'(x) = 0 και φ(x) = 0 , Β. ii) Να λάβετε υπόψιν το ερώτημα Α.

7. 352 χιλ.

12. ii) Να εφαρμόσετε τους κανόνες de L' Hospital. 13. Α. i)AvΟΔτο ύψος του τριγώνου ΟΠΑ,

§ 3.1

Β ' Ομάδας

1. 2. 9.976 ευρώ.

ii) S = υt, οπότε 5 = 4 t Β. l'(t) = 4συνt. α) 2 km/h β) 0 km/h γ) -2 km/h. 14. Συνολικό κόστος

3. 814,4 ευρώ. 4. § 3.2

Πρέπει να προσλάβει 10 εργάτες.

3 OΛOKΛΗΡΩΤIΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ § 3.1

Α ' Ομάδας

2. vi) εφx +σφx+ c

2. 3. 4. 5. 19 εκατ. 6.

f'(x) = g'(x) + c1 κ.τ.λ. Α' Ομάδας

6. § 3.2

Β' Ομάδας

§ 3.3 1.

4. 2.

Α' Ομάδας

§ 3.3

2. Εφαρμόζουμε ιδιότητες.

Β' Ομάδας

4. 1.

5. 2. 6.

ii) χρησιμοποιείστε το (i).

4. 5.

§ 3.5

Β' Ομάδας

1. 10.

f'(x) = 0.

3. Τοπ. ελάχιστο το f(2) = 0. 8. 4. 5. 6. De Γ Hospital. 9.

10.

8. 9.

§ 3.4

Α' Ομάδας

i) -11 ii) 4

iii) -2 iv) 15.

10. 11. f(0)=1. 12. κατά παράγοντες.

3. κ = 4 . 4. i) 22

ii) -12 § 3.6

§ 3.5

1. i) 6

Α' Ομάδας

1. iii) -1

Α' Ομάδας

§ 3.6

Β ' Ομάδας

10. 2.

§ 3.7

11. Α' Ομάδας

12.

1. 2.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Γ ' Ομάδας

2. § 3.7

Β ' Ομάδας

4. 3.

4. 5.

5. Τα μέλη της ισότητας έχουν ίσες παραγώγους. 6.

8. 9.

10.

Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ1946,108, Α').

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

ΕΚΔΟΣΗ 2 0 1 0 - Α Ν Τ Ι Τ Υ Π Α : 101.000 - ΑΡ. ΣΥΜΒΑΣΗΣ 58 / 26-2-2010 ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: 3Ε ΕΚΤΥΠΩΤΙΚΗ Α.Ε.