3gl_mathimatika_thetikis_texnologikis_lyseis_askiseon by Andreas Georgiou

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ-ΑΘΗΝΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γ ενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γ ενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Μέτης Στέφανος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Μπρουχούτας Κων/νος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Παπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΓΙΑ Τ Ο Μ Α Θ Η Τ Η Το τεύχος που κρατάς έχει μια ιδιομορφία: σου δίνεται με τη σύσταση ν α μη το διαβάσεις τουλάχιστο με την έννοια που διαβάζεις ένα άλλο βιβλίο για να κατανοήσεις το περιεχόμενο του. Πράγματι, οι ασκήσεις που σου δίνει ο καθηγητής σου είναι για να εργαστείς μόνος. Γιατί το να λύσεις μια άσκηση σημαίνει πολλές φορές όχι μόνο ότι έχεις κατανοήσει την αντίστοιχη θεωρητική ύλη αλλά και ότι ξέρεις να τη χρησιμοποιήσεις για να δημιουργείς να ανακαλύπτεις ή να επιβεβαιώνεις κάτι καινούργιο. Και αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για σένα τον ίδιο. Δεν μπορεί παρά να έχεις και συ τη φιλοδοξία να λύνεις μόνος χωρίς βοήθεια τις ασκήσεις για να νιώθεις τη χαρά αυτής της δημιουργίας της ανακάλυψης. Πρέπει να ξέρεις ότι όταν δυσκολεύεσαι στη λύση μιας άσκησης τις πιο πολλές φορές υπάρχει κάποιο κενό στη γνώση της αντίστοιχης θεωρίας Πήγαινε πίσω λοιπόν στο διδακτικό βιβλίο κάθε φορά που χρειάζεται να εντοπίσεις και να συμπληρώσεις τέτοια κενά. Οπωσδήποτε πριν καταπιαστείς με τη λύση των ασκήσεων πρέπει να αισθάνεσαι κάτοχος της θεωρίας που διδάχτηκες. Εκτός από την κατανόηση της θεωρίας μπορεί να βοηθηθείς στη λύση μιας άσκησης από τα παραδείγματα και τις εφαρμογές που περιέχα το διδακτικό σου βιβλίο. Αν παρόλο αυτά δε μπορείς να προχωρήσεις, στο τέλος του βιβλίου σου θα βρεις μια σύντομη υπόδειξη που ασφαλώς θα σε διευκολύνει. Στις ελάχιστες περιπτώσεις που έχοντας εξαντλήσει κάθε περιθώριο προσπάθειας δε βρίσκεται η πορεία που οδηγεί στη λύση της άσκησης τότε και μ ό ν ο τότε μπορείς να καταφύγεις σ' αυτό το τεύχος και μάλιστα για να διαβάσεις εκείνο το τμήμα της λύσης που σου είναι απαραίτητο για να συνεχίσεις μόνος. Ουσιαστικά λοιπόν δεν το χεις ανά/κη αυτό το τεύχος. Σου παρέχεται όμως για τους εξής λόγους: α) Για να μπορείς να συγκρίνεις τις λύσεις που εσύ βρήκες β) Για να σε προφυλάξει από ανεύθυνα «λυσάρια». γ) Για να απαλλάξει τους γονείς σου από αντίστοιχη οικονομική επιβάρυνση, δ) Για να έχεις εσύ και οι συμμαθητές σου την ίδια συλλογή ασκήσεων που είναι έτσι επιλεγμένες ώστε να εξασφαλίζουν την εμπέδωση της ύλης. ε) Για να εργάζεσαι χωρίς το άγχος να εξασφαλίσεις οπωσδήποτε για κάθε μάθημα τις λύσεις των ασκήσεων. Το τεύχος που κρατάς είναι λοιπόν φίλος. Να του συμπεριφέρεσαι όπως σ' έναν φίλο που έχει δει πριν από σένα την ταινία που πρόκειται να δεις μη του επιτρέψεις να σου αποκαλύψει την «υπόθεση» πριν δεις και συ το έργο. Μετά μπορείτε, να συζητήσετε. Η σύγκριση των συμπερασμάτων θα είναι ενδιαφέρουσα και προπαντός επωφελής.

(Από το Τμήμα Μ.Ε. του Π.Ι.)

Α ΜΕΡΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 1.

Α ' ΟΜΑΔΑΣ ΐ) Ο πίνακας είναι τύπου 3 x 7 . ii) Το στοιχείο α12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα ΝΙΚΗ έχει 6 νίκες, ενώ το στοιχείο α15 μας πληροφορεί ότι η ίδια ομάδα πέτυχε 13 τέρματα. Το στοιχείο a u μας πληροφορεί ότι η ομάδα ΘΥΕΛΛΑ έχει 3 ισοπαλίες. Τέλος, το στοιχείο α 37 μας πληροφορεί ότι η ομάδα Δ Α Φ Ν ί ί έχει 11 βαθμούς.

2. Ο πίνακας A = [a tj ] τύπου 4 x 4 σε ορθογώνια διάταξη είναι:

α 22 01

«42

Επειδή αν =\i-j\, αΐ]=|1-1|=0,

«2> =12-11 = 1, | 3 - 1 | = 2, = 14 -11 = 3,

έχουμε α12 =| 1 - 2 1 = 1,

« 13 = | 1 - 3 | = 2 : = | 2 - 3 | = 1,

«22 — I 2 21 — 0, «32 =| 3 - 2 1 = 1, α 42 = 1 4 - 2 1 = 2,

« 43

Α=

1 2

1 0

3 1 2

1 0

«24 = 122--4 1 = 2

3 - 3 | = 0, «34 = 13 - 41 = 1 =| 4 - 3 1 = 1, «44 =14 — 41 = 0

Επομένως 0

«Μ = | 1 - 4 | = 3

1 0

i) Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν 2x-l = χ x+y = 0 x-y

[2x+y = l Λύνουμε το σύστημα των δύο πρώτων εξισώσεων και βρίσκουμε ότι * = 1 και >" = - 1 Οι τιμές αυτές των x,y

επαληθεύουν και τις άλλες δύο εξισώσεις.

Επομένως, οι πίνακες είναι ίσοι αν και μόνο αν, jc = 1 και

ϊί) Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν χ2 +y=

y= 0 -x

+χ= 2

/ =y Λύνουμε το σύστημα των δύο πρώτων εξισώσεων και βρίσκουμε ότι

Οι τιμές αυτές των x,y

\χ = 1

[χ = - \

y=0

_y = 0

δεν επαληθεύουν την τρίτη εξίσωση. Επο-

μένως, δεν υπάρχουν τιμές των x,y

για τις οποίες οι πίνακες αυτοί

ν α είναι ίσοι. 4. Ο πίνακας είναι διαγώνιος, αν και μόνο αν ln2x-l = 0 i(lnx = l ή lnx = - l ) , <=> I , , , <=> lnx = 1<=> JC = e . In χ - 1 η χ = 0 [ ( l n x = l η lnx = 0) 5. Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν 2ημ 2 χ = 1 ημ2* = 1 εφχ = 1 συν2χ = 0

Η τρίτη εξίσωση ε φ χ = 1 έχει στο [0,2π) λύσεις τις — , — . Οι τιμές 4 4 αυτές του χ επαληθεύουν και τις υπόλοιπες. Επομένως, οι πίνακες π , 5π είναι ισοι αν και μονο αν χ = — η χ = —. 4 4

Α'ΟΜΑΔΑΣ

1.2 1. Έχουμε "5 i) Α + Β — 1

-2

- 2

3" =

ιι

ιΊ

-1

—

-1

-5

-2

CN I

ΙΓ5

Α-Β

-2

—

-2

-6

-3

-5

8" = 11

-1

ύϊ) Α + Β = \\

6]+[--4

-5

- 6 ] = [0

6]—[ - 4

-5

- 6 ] = [8

η)Α + Β-

Α-Β

Α-Β = [4

0] 12]

iv) Δεν ορίζονται το άθροισμα και η διαφορά α ν) Α + Β = χ

α = χ

β y

7 ω

μ_

Α-Β

1-α 7 ω + —χ

~β

-κ

1 -y

-ω

-λ

1-μ

1-α — χ

-β

-y

1 -y

-ω

-κ

-λ

1-μ

2β

2γ

2χ

2y-l

2ω

2κ

2λ

2μ-ί

2α-1

-y =

2. Έχουμε Α, +Α^ ί~Α3

A4 =

°. +

> (

- 6

-6

- 1

Έχουμε 5

2 9

ω-5"

-3

I 3

-1-jc

y-l

S ι ΙΛ

2-χ

m I >sI

3 2

ω-5 = 3

ω=8

-l-x =6 »

· Λ: = - 7 .

y-l

^=8

;4. Έχουμε i)5

2 -1

ii) 4

-2

-4 =

iii) A

-λ 3λ

λ -λ

2λ

-λ2

3λ2

λ -λ

" 10

15"

-5

"13

-1

33"

-5

"-12

4" 16

-11

-1

2Α2" Λ2

-6

18"

-2

-3

-1

ill!

•

5. Έχουμε -Γ

ί) 2Α = 2 2

-2

0 "6

-2" 2

C\ I

ii) 2(-3Α) - -3(2Α) = - 3 4

iii) 5Β-2Α

-10 0 20

-2

-12

-6

2 -2

-2

-3"

3 +

-16

-4

-2

-18

10 + - 4

-1 iv) 3A--B 2

-3"

-1

-2

-4

-6"

-4

6. i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά 5

-1

-4

- 4"

-1

-2

3Χ +

3Χ =

-3

-9

χ Λ 3 Χ =

-3

-1

-3

Ι«2 ii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά 2

-3

-IX =5

-4

- 2

-3

-7Χ =5

1 - 6

- 2

-7Χ =

-7Jf =

- 2

-4

-15

- 6

-12

-10

-18

-21

-7'

-28

14 -7

-21

χ = - Ι 7 -28 Χ =

3 4

-2

7. Έχουμε συνα

συνα

-ημα

. ημ«

συνα

+ ημα

συν α

ημα

συνα

-συνα

ημα ημ 2 α

-ημασυνα 2

συναημα συν 2 α + ημ 2 α

ημασυνα ημ 2 α

-ημασυνα

συν α

-ημασυνα + η μα συνα συν2«+ημ2α

συναημα - ημασυνα

που είναι διαγώνιος πίνακας 8. Έχουμε 2Χ - 5Ψ =

"14

-8

<=>

β δ

-5

-α

2β

"14

-8"

—

-y

3(5

2α

2β

5α

-10β

"14

-8"

2γ

Ιό

5γ

-155

- 8 5 = -8

1.2 1.

2 1

a II Ε

-135

-8/?

rt-

'7 α

= ι

<=>

7y = 21

y =3

- 1 3 5 = 13

5 = -1

Β ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε

"1 0

x+y

- 1

x+y + l χ

y - i

^+^+1=

3_y + 2 = - 1 2

χ =1

1/ii)

χ2-3χ

x+y

-1

<=>

.°

x+j-1 2

x=l y = -1

<=>

"ο .°

>> +y

Χ2 -3JC + 2 == 0 <=> •

X = ±1 y = ±1

-1"

= -1

-Γ

χ -3x + 2

<=>

x + >» = 0

-1 = 0

-1"

3y + 2

<=> •

(χ = 2 ή x = l) <=> ·

x+y-l=1

<=>

ι I! >> -£Γ Ο II >>

y2 +y = 0

Λ: = 2

x+y = 2

^=0

Η πρώτη εξίσωση γράφεται 3X + Y =

"3 °

0" "3 » 7 = 3 °

Η δεύτερη εξίσωση λόγω της (1) γράφεται

0" 3 -3X

(1)

I.I .».1 .».1.1.1.1.1 .Μ .'.I.I.I

5 Χ + 2Y =

( &5Χ

< = > * =

ο - Χ =

ι— Ο

Γ3 <=> 5Χ + 2

Ν -3Χ

-6Χ =

-2

θ"

—

Επομένως, λόγω της (1) έχουμε

-3

"2 0

-6

-3

-6

3. Η εξίσωση γράφεται 1 3(Χ + 5 ) = 2| —Χ +Α

- 5 ί ο 3Χ + 3Β = Χ +2Α-5Β &3Χ-Χ

= 2Α-5Β-3Β

<=> 2Χ = 2A-SB <?>Χ = Α-4Β. Επομένως Χ =

-1

-5

-1

-5

4. Είναι 77, +Π2 =

4 -1

-8

-1

-9

-1

-4

-1

Φωτ.Μηχ. Βιντ.

Τηλεορ

υλικά

εργασία

οποτε 14

—

I U)

Υ =

ill Φωτ.Μηχ. Βιντ.

1 1 - ( π , + π2) = -

Τηλεορ

"34

υλικά

εργασία

Ο τελευταίος πίνακας δίνει για τη βιομηχανία το μέσο κόστος κάθε συσκευής.

ί) Αν η παραγωγή αυξηθεί κατά 10%, τότε το ημερήσιο επίπεδο παραγωγής θα δίνεται από τον πίνακα Β = 1,1·Λ . Είναι β = 1,1·Λ = 1,1·

200

180

140

220

198

154

120

132

ii) Για τους δύο πρώτους μήνες το επίπεδο παραγωγής δίνεται από τον πίνακα 2(30.4) = 60.4 . Για τους άλλους τρεις μήνες το επίπεδο παραγωγής δίνεται από τον πίνακα 3(30Β) = 9 0 Β . Επομένως, το σύνολο της παραγωγής ανά προϊόν για τους 5 μήνες δίνεται από τον πίνακα 6 0 ^ + 9 0 5 = 60

200

180

140

120

60" 120

"31800

28620

22260

12720

6360

19080

1.3

+ 90

Γ 220

198

154

132

9540" 19080

Α ΟΜΑΔΑΣ

1. Έ χ ο υ μ ε i) ΑΒ = \3

2 ΒΑ = 3 [3

[3-2 + 2 - 3 + 1 - 0 ] = [12]

2-3

2-2

2-1

1] = 3-3

3-2

3-1

0-3

0-2

0-1

0 ii) ΑΒ =

4-1-2

-2-1 + 1

4-2-2

2-2 + 1 4

ΒΑ =

- 2

-2

1 2(-2) + 1

-3

4-4 + 2(-2)

-2-4 + 2

- 6

-3

-5

ΒΑ = 4

iv) ΛΒ =

LJ 0

I L/1

R-H I

m iii) ΛΒ = 0

- 2

- Ο " ["3

-1"

-2

-3

1 1

0 -3

ΟΙ

2-4-1-2

3 2 1

-1 - 4

-14

- 3

-2

- 7 - 2 9

" 3

-20

-11

-4

-13

4 -is

—

Δεν ορίζεται το γινόμενο ΒΑ. 2. Έχουμε 1

-1

i) ΑΒ = 0

-1 ii) Α Β - Γ = 1 0

1 0 2

0 1 2

-1 iii) ΑΒΓ = (ΑΒ)Γ = 1 0

-1

ο"

1 ο 2

0 = 1 0

0 =Ο

Γ-1

ο"

2 = 1 -1

Lο

Ειδ. Ανειδ 3. Έστω Κ =

ο"

Αποδ. και

Α=

Ειδ.

Ανειδ.

-1

Επειδή οι αμοιβές στην α' εταιρεία είναι 60-50 + 75-40 και στη β' εταιρεία είναι 3 0 - 5 0 + 6 0 - 4 0 , το σύνολο των αμοιβών των εργατών στις δύο εταιρείες εκφράζεται με τον πίνακα "60

15 "50"

30 50 + 60 40

• ΚΑ.

ί) Έχουμε I

60 50 + 75 40"

3" ' 2

-3"

ΑΒ

- 1

= / .

Επομένως ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α. ii) Έχουμε 1

-2

-8

-1"

-3

-17

-3

-4

-19

ΑΒ =

14 - 5 1 + 38

- 8 + 30-22

-1 + 3- 2

28 - 8 5 + 5 7

-16 + 50-33

-2 + 5- 3

- 4 2 - 3 4 + 76

24 + 2 0 - 4 4

3+ 2- 4

0 1 0

1 0 0

0" 0 = 1

Επομένως ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α.

5. Ο πίνακας Α αντιστρέφεται, αφού D • αντίστροφο τον Α' χ =

= 4 - 3 = 1 * 0 , και έχει

-1

Ο πίνακας Β δεν αντιστρέφεται, αφού D

4 - 4 = 0.

Ο πίνακας Γ αντιστρέφεται, αφού £>

συν#

- ημ#

η μ#

συν#

και έχει αντίστροφο τον Γ

= συν # + ημ 2 # = 1 * 0 , συν#

ημ#

-ημ#

συν#

i) Είναι D =

ημα

-συνα

συνα

ημα

= ημ 2 α + συν 2 α = 1 * 0 , οπότε ο πίνακας

αντιστρέφεται και έχει αντίστροφο τον ημα

- συνα

συνα

ημα

1-1

ημα

συνα

-συνα

ημα

συνα

ημα

-συνα

ημα

-ημα

-συνα

ii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά ημα

συνα

ημα

-συνα

συνα

ημα

συνα

ημα

Χ =

ημ2α-συν2α

-1

- 2 η μα συνα

Χ =

-συν2α -ημ2α

1.3

Β ΟΜΑΔΑΣ ί) Έχουμε A = xA+yI 1

χ 1 2

2χ

4χ

2 4

x+y 2χ

2χ 4x + y

Από την τελευταία ισότητα των πινάκων παίρνουμε το σύστημα x+y = 5 2χ = 10

<=>

4x + y = 20

Χ = 5

y=0

ii)Η ισότητα A2 =xA + yJ με χ = 5 και y = 0 γίνεται: Α2 =5Α. 18

Έτσι έχουμε: Α3 =Α2 ·Α=5ΑΑ

= 5Α2 =5·5Α = 25Α = 25

"25

125

250

500

4 3 2 και Α = A A = 25ΑΑ = 25Α =25·5Α = 125Α =

2. Έχουμε:

Α2 = Α·Α =

Α3 =Α2Α =

-1"

1 -3

-9

-1"

-3"

-1"

-3

-30

Η δοθείσα ισότητα γράφεται: 23 -30

-10"

10" ι " - χ Τ -!0 0

+ "-20 30 3-χ

0 0

0" = 0

•Θ

3-χ

χ = 3.

3. Έχουμε: α

1 « > .°

1 α β. .0

β.

ο"

1 Ι

α+β β2

α2 = 1 <=>

α2

α = ±1

ία = 1 ία = - 1 α + β = 0 <=> α = -βΗ <=> i η \ 1/9 = -1 1^ =1 1 1 β2=\ β = ±1

Επομένως, οι ζητούμενοι πίνακες είναι οι 1 1" και 0 -1

-1

50" 100

i) Έχουμε -1" "ο

0 Α2 =Α·Α = 3

-2

-Γ 3

-2

= /

0 ii)A-B

" 4 - 3

-1

= 3 - 2

3 -

-3

-2

-1

-3

2 - 2

Ομοίως έχουμε Β1 =Β·Β = Ι I

-1

5 - 5

και "ο

Α+Β= 3

-2

3 +

-2

-1

-3

-2

-3

-1

Επομένως

CΛ-ΒΫ

-4

-1

-5

-4

16 + 4 - 2 0

(.A+Βγ

- 1 6 - 4 + 20

16 + 4 - 2 0

-4-1+5

4+1-5

-4-1+5

- 2 0 - 5 + 25

20 + 5 - 2 5

- 2 0 - 5 + 25

ο"

0 =ο

-2

-3

•

-2

-3

-1

16-10-2

-8 +6+2

8-10 + 2

20-15-5

-10 + 9 + 5

10-15 + 5

-4+5-1

2-3+1

-2+5+1

0 0

ο"

1 = 4 0 0

0 = 4/

(Α+Β)(Α-Β)

2 "-4

- 3

-1

-4"

--1

- 5

2 - 2 10

-10

I 00

-2

I 00

" 4

iii)Είναι Α2 - Β2 = © και

2 10

Άρα, Α2 - Β2 *(Α + Β)(Α- •Β)

i) Είναι D =

- 2

= - 3 + 4 = 1 * 0 , οπότε ο Α αντιστρέφεται και

- 1

έχει αντίστροφο τον Α

- 1

- 2

ii)Είναι Α + Α

= 2/.

Ά ρ α (Λ+Λ" 1 ) ν = ( 2 / ) ν = 2 ν 7 , με v e N * .

ί)Έχουμε Α2 (Χ) = Α(χ) • Α(χ) =

συνχ

-ημχ

ημ*

συνχ

-ημχ

ημχ

συν2χ-ημ2χ

συνχ - ημχσυνχ - ημχσυνχ -ημ2χ+συν2χ

ημχσυνχ + ημχσυνχ

β2(χ) = β(χ)·β(χ) =

συν2χ

ημ2χ

συν2χ

"ημχ

= Α(2Χ)

συνχ

ημχ

συνχ

ημχ

συνχ

ημχ

-συνχ

ημ2χ-συν2χ -2ημχσυνχ

2ημχσυνχ 2

- σ υ ν χ + ημ 2 χ

-συν2χ

ημ2χ

-ημ2χ

-συν2χ

συν2χ

-ημ2χ

ημ2χ

= -Α(2χ)

συν2χ

ii) Έ χ ο υ μ ε Α2 (χ) + Β1 (Χ) = Α(2χ) - Α(2χ) = © . iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: Α\χ)-Β\χ)

= 21

Α(2χ) + Α(2χ) = 21 2Α{2χ) = 21 Α(2χ)=I συν2χ

-ημ2χ

ημ2χ

συν2χ

Από την τελευταία ισότητα προκύπτει το σύστημα: ίσυν2χ = 1 i „ „ ο [ημ2χ == Ρ0

xeZ

0,6

0,2

Μ · Ν= 1

0,9

0,3

I,5

1,2

0,4

Ε,

Ε2

0,6 7. i) Είναι

χ = κπ,

2 ϊ = 2κπ,

"7,4

8,8

κόστος πάγκου

II,6

13,8

κόστος καρέκλας

16,3

19,4

κόστος τραπεζίου

κ e.

Ο πίνακας ΜΝ εκφράζει το συνολικό κόστος παραγωγής για κάθε ένα από τα τρία είδη παραγωγής και στα δύο εργοστάσια. ii) Το κόστος εργασίας για την παραγωγή μιας καρέκλας στο εργοστάσιο E t είναι 11,6 ευρώ και το κόστος παραγωγής ενός πάγκου στο εργοστάσιο Ε2 είναι 8,8 ευρώ.

8. Έχουμε 1

-2

-1

-2

-1

-3

ο"

-1

-3

Α =Α·Α =

Α =Α ·Α

" 0

ο" Γ 1

-1

-3 [-2

-1

-3

"ο

0 = 0.

Αν ν > 3 , τότε Αν =Α3·Α"~3

Β2 =Β·Β

"ο = 4

-3

=<D-AV

- Γ "ο

= 0.

-1

-3

0 0 =1

1 =

Β3 = Β2 ·Β =--Ι Β = Β. 2 2 • Αν ν = 2ρ (άρτιος), τότε Β" = Β " = (Β )

Ρ -

Ι"

• Αν ν = 2ρ+1 (περιττός), τότε Βν = B2fi+1 = Β2" • Β = / · Β = Β .

i) Είναι Α(-χ) =

1 1 συν(-χ) ημ(-χ)

Για ν α δείξουμε ότι Α

ημ(-χ) 1

1 -ημ*· συνχ

(x) = Α ( - χ ) , αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει Α(-χ)Α(χ)

=/ .

Έχουμε Α(-χ)Α(χ)=-

-ημχ

1 1 η μχ συντ

-ημχ" 1

1 1 ημχ συνχ

ημχ" 1

1-ημ χ

-ημ2χ + 1

συν χ

συν x

"1 ο" 0 1

συν 2 χ

συν χ

ii) Η ισότητα Λ(χ) = I γράφεται:

Α(χ)

= /<=>•

ημχ

1 συνχ ημ*

1 συνχ

συνχ

ημχ

συνχ

εφχ

συνχ 1

εφχ 1

συνχ = 1

συνχ

<=>•{

συνχ = 1

<=>Χ

εφχ = 0

__ = 2ΚΤΓ, rceZ.

εφχ = 0

10.

ί) Έχουμε "1

χ2

"ι

A(x)A(y) = 0

2χ

x+y

y+x

y2 +2xy + x2

2y + 2x

(*+/) 2 (x + y) = A(x+y) 1

i i ) 0 πίνακας A(y) είναι αντίστροφος του Α(χ), αν και μόνο αν A(x)A(y) = l o x + y = 0<=>y = -x.

11.

iii) Προφανώς Μ = Λ(1) = 0

-1

Επομένως Μ = Α ( - 1 ) = 0

-2

i) Είναι: Ά2

= ΑΑ =

1-Α

1+Α

-Α

1-Α

1+Α -λ

λ2 + (1 + Α)(1-Α)

Α(1 + Α)-Α(1 + Α)

Λ(1-Λ)-Α(1-Α)

(1-Α)(1 + Α)+Α2

A2 +1-Α 2 0

ο" = 1

=(Α2)1

=/.

1-Α +Α

• Α3 = Α2 Α =Α Επομένως — Αν ν = 2Α (άρτιος), τότε A" =A2i

— Αν ν = 2Λ+1 (περιττός), τότε Α" -Α2Μ

ϋ ) Γ ι α Α = 2 έχουμε Α =

" 2

1 + 2"

!-2

= Α21 ·Α= Α " 2

-1

-2

3" -2

Επειδή το 1993 είναι περιττός, έχουμε Aim = Α. Επομένως, η εξί1 11 σωση A1993 ·Χ γράφεται διαδοχικά: 0 -1

ΑΧ =

1 -1

Χ = Α-1

Χ =Α

-1 Γ 1

(αφού Α

=Α)

-1

-2

-1

χ =

iii) I + Α + Α2 Η

12.

i) Είναι D =

hA10 — l+A + I+ A+ I+ A+ I+ A+ I + A +1 — 6 / + 5^4

αντίστροφο τον Α

= 2 - 1 = 1 * 0 , οπότε ο Α αντιστρέφεται και έχει 1

-1

-1"

ii) α) Η εξίσωση ΑΧ =

Α- 1

γράφεται διαδοχικά: 2

-1

1 1

Χ =

0 -1

-I

Χ =

β) Η εξίσωση ΑΧΑ =

-1

γράφεται διαδοχικά:

ΧΑ = Α~1

Χ = Α~λ

Χ =

ΟΤΙ

Oj[-l

-1

Α~'

-1

Χ =

-1

γ) Η εξίσωση ΑΧ = Λ2 +2Λ γράφεται διαδοχικά ΑΧ = Α(Α +21) Χ = Α'\Α(Α +21) Χ = Α + 2Ι "2

+ 2

13. ί) Έχουμε Α2 =- 1 Ί 2 ^

-Λ/3 _

1Ί

-VT

ι . 2 VS"

1 -2 ~ 4 2>/3

-2>/3 -2

-S -ι

-1

S οποτε

I 4^

-S

-ι

= —Ί

ο" = 1

•*3" I

-ι

Α3 =Α2Α=-

- /

Γ ενικά: Λ * . ( Λ > > · . ( - / ) · = / '· [-1,

«V ν αν ν

άρηος περιττός

ίί) Επειδή 1992 = 3-664

και

1989 = 3-663

έχουμε ^992

(^3)664 = ( _ 7 ) 664 =

^ 1989

= (^3 )

663 = ( _ / ) ί β

Επομένως: χ2 Α1992

+(χ

+ 2) Α1989

= Θ « Χ

/ - ( Χ + 2)/ = Θ

<=>(Χ 2 - * - 2 ) / = Θ

<=>χ2 -χ-2 <=> λ: = - 1

1.4 1.

=0 ή χ =2

Α'ΟΜΑΔΑΣ Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί Τ{, Τ2 και Ί\ έχουν πίνακες τους 1

-1

1IJ

|_1!

και

[_/2

αντιστοίχως.

Έτσι — Οι εικόνες των Λ(Ι,Ο) και 5(0,1), ως προς τον Τ, είναι τα σημεία Α'(1,-1)

και Β'{1,1) αντιστοίχως, που έχουν συντεταγμένες την

πρώτη και δεύτερη στήλη του πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού Γ,. — Οι εικόνες των Λ(1,0) και Ζ?(0,1) ως προς τον Τ2 είναι τα σημεία Λ'(Ι,Ι) και Β'(1,2) αντιστοίχως. — Οι εικόνες των Λ(Ι,Ο) και 5(0,1) ως προς τον Γ3 είναι τα σημεία Α'( 1,2) και Β'(2,4)

ί)

Γ,:

»)

Τ2'.

αντιστοίχως.

3 ;

-1 1

3. Είναι: " 2

Γ ~ο" = "ο" 0 0 0

και

" 2 1

Γ "3" = " 10" 0 4 -3

οπότε η εικόνα του 0 ( 0 , 0 ) είναι το σημείο Ο'(Ο,Ο) και του ^4(3,4) το σημείο Α'(10,-3).

Επομένως

(OA) = -ν/32 + 42 = 5 και (ΟΆ') = VlO2 +32 = >/Ϊ09 , οπότε (OA) *(ΟΆ').

Άρα, ο Τ δεν είναι ισομετρία.

1.4 4. Ο πίνακας του τετραπλεύρου Α'Β'Γ'Δ' προκύπτει, αν πολλαπλασιά"2 Π σουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού με τον 1 1 πίνακα

1 0

του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Είναι, δηλαδή, ο πί-

νακας

Επομένως, η εικόνα του τετραγώνου ΑΒΓΔ με πίνακα τον 0 1 1 0 " είναι το τετρά0 0 1 1 πλευρό Α'Β'Γ'Δ' 2 3 1 1

με πίνακα τον

1 0=Α=Α ι

Οι ευθείες Α'Δ' και Β'Γ' έχουν συντελεστές διεύθυνσης Α, = 1 και λ2 = δηλαδή λ, = λ 2 , οπότε Α'Δ'//Β'Γ'. συντελεστές

λ 3 =—

και

1, αντιστοίχως. Είναι 3-2 Ομοίως, οι Α'Β' και Δ'Γ' έχουν

λ4 =—~ = ^

Α3 = Α4, οπότε Α'Β'IIΔ'Γ'.

αντιστοίχως. Είναι δηλαδή

Επιπλέον ισχύει λ 2 λ 3 = - φ - \ .

Επομέ-

νως το Α'Β'Γ'Δ' είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο.

ί) Ισχύει

"ο"

1" χ

2 _y_

Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και 1

1" "ο"

τα δύο μέλη με τον αντίστροφο του πίνακα νακας

1 -1

, εχουμε:

2λ

-1

<=>

-2 3

-ι

-5

_5_

_y_

που είναι ο πι-

ΙΙΙΙΙΙ1Μ1 Άρα, το πρότυπο του Λ'(0,5) είναι το σημείο >4(5,-5). ii) Αρκεί ν α βρούμε την εξίσωση η οποία επαληθεύεται μόνο από τις σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς των εικόνων των σημείων της ευθείας ε. Είναι: V

<=>

2 _y_ <=>

"ι

-1

1" V"

-1

-2x'+y' ' 3x'-y'

Ε π ο μ έ ν ω ς , αν το σημείο M(x,y)

"-2

Χ'"

=x =y

ανήκει στην ε, τότε θα ισχύει

y = x +1 3x'-y' 5x'-2y' Ά ρ α το σημείο M'(x',y') Αλλά και αντιστρόφως, e'.5x-2y

= \,

= -2x'+y'

= 1.

θα ανήκει στην ευθεία ε ' : 5 χ - 2 ^ = 1. αν το σημείο M\x',y')

τότε το σημείο

M(x,y)

ανήκει στην ευθεία

θα ανήκει

στην ευθεία

e.y = x +1. Συνεπώς,

ε' :5x-2y

= 1.

εικόνα

της

ευθείας

e : y = x +1

συν - " 7 ι 6) i) Ο π ί ν α κ α ς Α γράφεται Α = π\

ημ -

-ημ! ί

συν -

είναι

ευθεία

6, ks

Επομένως, ο γραμμικός μετασχηματισμός παριστάνει στροφή με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ = —. 6 ii) Παριστάνει ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ = 2 > 0 iii) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε π ρ ώ τ α τη συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y = χ και στη συνέ-

χ ε ι α τη συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων Ο. ίν) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν ε φ α ρ μ ό σ ο υ μ ε π ρ ώ τ α την ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ = 2 > 0 και στη συνέχεια τη συμμετρία ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων Ο. ν) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε π ρ ώ τ α τη συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y = χ και στη συνέχεια τη συμμετρία ως προς άξονα τον άξονα των χ νί) Παριστάνει το μετασχηματισμό που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε π ρ ώ τ α τη συμμετρία ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, στη συνέχεια τη συμμετρία ως προς άξονα τον άξονα των χ και τέλος τη σ υ μ μ ε τ ρ ί α ως προς άξονα την ευθεία y = x.

1.4 1.

Β ΟΜΑΔΑΣ \ χ' = χ+2 y i) Είναι { , , οποτε ν = 2χ . v =2*+4/ Ά ρ α , το σημείο M'(x',y') όλα τα σημεία M(x,y)

ανήκει στην ευθεία y = 2x. Επομένως,

του επιπέδου απεικονίζονται σε σ η μ ε ί α της

ευθείας y = 2x. ii) Αν M(x,y)

είναι ένα πρότυπο του 0(0,0), "0" 0

2" X

<=>

τότε θα ισχύει

ί x+2y = 0 < [2x + 4y = 0

» x + 2y = 0 ο

1 ν=—χ.

2 Άρα, τα πρότυπα του 0(0,0)

είναι όλα τα σημεία μ[χ,-^χ

y e IR , δηλαδή όλα τα σημεία της ευθείας y = -^x. iii) Το σημείο Α'(\, 1) δεν έχει πρότυπο ως προς το μετασχηματισμό Τ, αφού δεν ανήκει στην ευθεία y-2x όλα τα σημεία του επιπέδου. 31

στην οποία απεικονίζονται

i) Ο μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς Τ δ ε ν είναι ι σ ο μ ε τ ρ ί α αφού π . χ . γ ι α τ α σ η μ ε ί α Α(\, 0) και 5(0,1) και τις εικόνες τους Λ'(Ι,Ι) και 5 ' ( - 1 , 0 ) ισχύει •Jl = (ΑΒ) * (Α'Β') = ->/5 . ii) Έ χ ο υ μ ε Τ:

"ι !

-Γ

0Λ

<=>

V" =

x-y

χ' = x-y ο

(1)

{y=x

Το μέσο του Α Β είναι το σ η μ ε ί ο M(x0,y0) και " " "

yο "

με ^1+^2

Ε π ο μ έ ν ω ς , η ε ι κ ό ν α τ ο υ είναι το σημείο M'(x'0,y'0) =

*°=*» - * _ „ _ y ·.-*....

x,+x2 — 2

Ά ρ α , το M'(x'0,y'0)

yt+y2 γ "

(*,-^)+(¾-Λ) ι

με =

*|+*2 ~ τ ~

+ - y[ 2y'2 ·

είναι το μ έ σ ο του Α'Β'.

ίίϊ)Έχουμε ,(α4Λ) = 1-\ά*(ΟΑ,ΟΒ)\Λ\ Ε,,

)

1 *. - > ι 1 ^ I dct(0'A', Ο'Β') I = — x,

1=2'

->1*2

*2 - λ x2

1, , 1 , ι = -1*1*2 -^1*2 -*1*2 + * ΐ λ i = 2 1 ^ ^ " λ * ϊ Ε π ο μ έ ν ω ς , £(Q4B) = E{0,AB.). 3.

i) Έ σ τ ω Τ:

'xr

__ α

I l l ο ζητούμενος μετασχηματισμός. Τότε ίχ' = αχ + β\> \y'=yx+dy Επειδή το Α( 1,1) απεικονίζεται στο Λ'(0,1) και το

5(1,-1)

στο

5'(2,1), έχουμε α +β = 0 γ+δ = 1 α- β = 2 γ-δ-\ οπότε α = 1, β = -1,

γ = \ και (5 = 0 .

Επομένως, Τ:

"ι

-γ

Για ν α βρούμε, τώρα, την εξίσωση της εικόνας της ευθείας ε: ν = - 2 χ , αρκεί να βρούμε την εξίσωση, η οποία επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των εικόνων των σημείων της ευθείας ε. Είναι <=>

-1 0

*1 1J

<=>

Ε π ο μ έ ν ω ς το M(x.y)

1 1 1

χ' I

..V. 'Χ'"

..ν. Χ

_y_

ί [-χ

ν' = Χ +y

ανήκει στην ε, αν και μόνο αν

V = -2χ <=> -x'+y'

= -2y'

<r> _y'= j x'.

Συνεπώς, η εικόνα της ευθείας ,y = - 2 x είναι η ευθεία y = ^ x .

ii) Αν εργαστούμε αναλόγως, βρίσκουμε ότι ο μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς που απεικονίζει τα σημεία /1(1,1) και 5(1,-1) στα Α'(6,3) και

5'(2,1) αντιστοίχως, είναι ο Τ:

v" 2

χ ν

Μ οπότε θα έχουμε χ' = \χ + 2γ y' = 2x+y Αν M(x,y)

είναι ένα σημείο της ευθείας ν = -2χ,

τότε θα έχουμε

χ' = \χ + 2(-2χ) = 0 ν' = 2x + (-2x) = 0 ' Επομένως, η ευθεία γ = -2χ

απεικονίζεται στο σημείο 0 ( 0 , 0 ) .

ί) Από την ισότητα των τριγώνων ΟΒΜ και ΟΑ'Μ' προκύπτει ότι OB = OA' και ΜΒ = ΜΆ",

Μ(χ,ν)

Μ (χ ,ν )'

Β\ 0 v )

Λ ϊχ',0)

Α(χ, 0)

οποτε εχουμε OA' = OB και OB' = OA . Επομένως, είναι -ν

και

ν =-χ

οπότε το συμμετρικό του σημείου M(x,y), y = —χ, είναι το σημείο M\-y,-x). χ = —y y' = -χ

ως προς την ευθεία

Αρα

ί χ' = 0 - x - l · ^ χΓ < * <=> = -1-Χ + 0- ν / _

' ο -ι

οπότε ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι ο

Τ:

ν'

"ο -ί 34

-Γ χ

-Γ χ 0 ν

που είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

-1

y· ϋ ) Α π ό το διπλανό σ χ ή μ α έχουμε χ' = χ

ix' = lx + 0y

/ =0

[ / = 0x+0y

<=>

Ί °

ο" Χ 0 y.

Επομένως, η προβολή π ά ν ω στον άξονα χ'χ είναι γ ρ α μ μ ι κ ό ς 1

M(x,y) • i i | 1 1 1 4 M'(x',y)

μετασχηματισμός

με π ί ν α κ α

iii) Από το διπλανό σ χ ή μ α έχουμε

\χ' = 0χ + 0 ν [ / =0x+iy

jc' = 0

y'=y

x' ο

M\x\y'y

X κ y.

.° /

*M(x,y)

Άρα, η προβολή πάνω στον άξον α y'y είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

ίν) Έ σ τ ω Μ ' ( χ ' , / ) του

M(x,y)

η προβολή

στην

y -χ <=> i y'-y

^μμ1 'Κ

"ι

M(x,y) κ

ευθεία Μ (χ , ν )

e:y = χ. Τότε θα ισχύει y =χ

= -ι

y =χ ν - y =χ- χ

y -χ χ - y = x-x' χ

= -

x+y 2

/ = x+y 1

χ' ν'

Άρα, η προβολή πάνω στην ευθεία e.y-x

σχηματισμός με πίνακα τον

ί_

είναι γραμμικός μετα-

__ΐΓΐ

2 j 11

ι ι "L

Ό π ω ς γνωρίζουμε, ο πίνακας της εικόνας ενός πολυγώνου προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού με τον πίνακα του πολυγώνου. Έ τ σ ι ο πίνακας της εικόνας γο 1 1 0" του τετραγώνου με πίνακα είναι ο: κ

0 -1

0 0

1 0

0" με τον γραμμ. μετασχηματισμό του (ii) 0

0 0

0 1

ο" με τον γραμμ. μετασχηματισμό του (iii) 1

1 1

0 0

1 2 1 2

1 1

, με τον γραμμ. μετασχηματισμό του (ί)

Γ 2 , με τον γραμμ. μετασχηματισμό του (iv) 1 2.

i) Αρκεί ν α βρούμε την εξίσωση η οποία επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των εικόνων των σημείων του κύκλου C:x2+y2 = 1.

l l l i Έχουμε

ΟΐΓχ

χ -αχ <=> < ,

<=>

y'=fiy

y = yβ

ανήκει στον κύκλο χ2 +y2 = 1 , αν και μόνο

Επομένως, το M(x,y) αν

\ 2 -j-

(/} =1 [ β )

ή, ισοδύναμα, (Χ)2

ίν'Ϋ

α2

β2

Αυτό σημαίνει ότι το M(x,y)

ανήκει στον κύκλο χ2 +y2 = 1 , αν και 2

μόνο αν το M\x',y')

ανήκει στην έλλειψη

= 1. Συνεπώς, η Ο.

εικόνα του κύκλου χ2 +y2 = 1 είναι η έλλειψη *

ί !

χ2 ν2 v + y =

1 1 0 0 , με 0 0 1 1 τον μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό Τ έχει εικόνα το τετράπλευρο ΟΆ'Γ'Β' με πίνακα ii) Το τ ε τ ρ ά γ ω ν ο ΟΑΓΒ. που έχει πίνακα τον

β_ 0

1 1 0

1 1

Β ΧΟ,β)

Επομένως, (Ο'Α'Γ'Β') = αβ και επειδή (ΟΑΓΒ) = 1, έχουμε (ΟΆ'Γ'Β·) = αβ(ΟΑΓΒ)

Γ'(α,β)

Α ΟΜΑΔΑΣ

1.5 και 1.6

-3

-2

Ί ii)

-2

ο" χ

2 =

12 6 χ - y +3ω = - 2

χ+ 2y + 2ω - φ = -1 i)

2χ + y +3ω+\φ 3χ

= 2

ϋ)

+4&) -3φ = 3

2χ+3y

-ω=

3χ +y-

2ω~

4x + 2y + 3ω =

Οι επαυξημένοι π ί ν α κ ε ς αντίστοιχα είναι: 1 2 2

1 3

* 3.

2 - 1

ί) ·

4 4

-3

-1

-2

-1

-2

= 3 y

=-1.

Άρα

το

σύστημα

έχει

μοναδική

λύση

την

ω= 2 (χ, y,co) = ( 3 , - 1 , 2 ) .

11)

+3ω=3

ίχ = 3 - 3 ω <=>•] [ y - 2ω = 4 [y = 4+ 2ω

Άρα το σ ύ σ τ η μ α έχει (3 - 3ο), 4 + 2ω, ω), ω e IR . Χ iii)

άπειρο

-y

πλήθος

2 3

ω φ

Άρα το σ ύ σ τ η μ α έχει ( 2 + ^ , 3 , 4 ) , .yelR.

4 άπειρο

λύσεων

της

μορφής

της

μορφής

x = 2+y » · ω=3 φ=4 πλήθος

λύσεων

1.5 και 1,6 i) Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά Ί 1 2

Γ1->Γ1-Γι

- 1

Γ 3 -> Γ3-2Γ,

- ι

ι 0

0 - 3

0 0

Γ3-+Γ,

- 1

+Γ2

t—/

" 2 _

ι"

Γ\

->^*ι -Γ,

1 ]

- 2

- 1

- 3

" 1

- 1

ιΟ

- 1

•©0 0 ®

-± Λ

- 2

Γ,

- 1

- 3

" 1

I ο"

Γ33 ->—Γ3 3

- 1

Ι ι

ι" - 1 1

Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα χ .ν

-1.

Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την ( x , j , z ) = ( 1 , - 1 , 1 ) . ii) Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας του συστήματος είναι:

Ε π ο μ έ ν ω ς το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής 2 " 3

ζ +

1 1 1 ϊ ' ϊ " ΐ ·

.19

ζ |

JU5 κ α ν 1.6 iii) Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο πίνακας του συστήματος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα: 1

-1 3

5 0

Ε π ο μ έ ν ω ς το σύστημα είναι α δ ύ ν α τ ο ί) Έ χ ο υ μ ε : Γ

2 -1 1

Γι 0 0

Γι 0

Ί ι 1 2 ! 2" I Γ ,J - > Γ33 - Γ ,Ζ 0 Ί! 1 1 1 0 1 1 - 3 I' 1 J

ι 1

1 1

2 ! 2 Γ2 I 1 ! 1 Γι

1 1 0

1 1

G) ο 0

Γ,

1 !

1 λ — - λ

-4

ΓΎ — Γ3 2Γ3

1 1

1 1 2 ! 2" 2 1 2 Γ7 2ΓΧ Ί I λ Γ 0 - 3 - 3 - 3 I- 3 1! 1 Γ}->Γ 3 ~ \ I 0 1 1 -3 | 1 2 -ί! 3 1

-1

! 2

ΐ 01 1ί

ο ! 1 1 ο ί 1

®ί

Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα: χ

= 1 y+z

χ=1

= 1 <=> y = l - z . ω=0

ω=0

Ε π ο μ έ ν ω ς το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (1, 1 - ζ , ζ, 0), z e R . ii) Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας του συστήματος είναι: ^Γ) 0

-3

0 (τ)

-2

®i0

....

Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής

(3-3ζ + 3ω,2-ζ + 2ω, ζ, ω), ζ, ateR iii) Με τον αλγόριθμο Gauss βρίσκουμε ότι ο πίνακας του συστήματος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα: 1

- 2

7 0

3 0

2 4

- 2

Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο. 6.

ϊ) Έχουμε: 1 3 1

2 - 4 - 6

Γ2 —^ 1^2 ~ 3 γ |

Γ3-+Γ3-Γ,

- 1

3 1

- 8

2 - 5

- 8

- 4

Γ3 - > Γ 3 +8Γ 2 ΓΛ -¥ Γ.

2 ">

-8/",

-Λ

3 1

- 4

Α ^Γ,-3ΓΧ

2 - 1 0

0 2

1 0

Γ,->Γ,-2Γ2

2 0

1 ©

Ε π ο μ έ ν ω ς το σύστημα έχει μοναδική λύση την (jc,^) = |^2,— ϋ ) Μ ε τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο πίνακας του συστήματος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα: 1

- 3

- 2

Ε π ο μ έ ν ω ς το σύστημα είναι αδύνατο. 41

- 2

1.5 κ α ι

1.6

1.5 και 1.6

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Ε π ε ι δ ή το σ ύ σ τ η μ α έχει ως λύση την ( χ , γ , ω ) = (1,-1,1) έχουμε: α·1 + /?(-1) + )>·1 = 0

α-β+γ=0

α-1 + 2 ( - 1 ) - 7 - 1 = 1 « ·

α-γ

3-l-/?(-l) + y l = 3

β+γ= 0

Αν π ρ ο σ θ έ σ ο υ μ ε κατά μέλη τις δύο π ρ ώ τ ε ς εξισώσεις, βρίσκουμε: 2α- β = 3

(1)

Ε π ί σ η ς , αν π ρ ο σ θ έ σ ο υ μ ε κατά μέλη τη δεύτερη και Τρίτη εξίσωση, βρίσκουμε: α+β =3

(2)

Αν τ ώ ρ α π ρ ο σ θ έ σ ο υ μ ε κατά μέλη τις (1) και (2), βρίσκουμε ότι: 3α = 6<=>α = 2 ,

οπότε

β = 1 και

γ = -1.

Ε π ο μ έ ν ω ς , (α, β,γ) = ( 2 , 1 , - 1 ) . 2. Α φ ο ύ η π α ρ α β ο λ ή διέρχεται από τ α σ η μ ε ί α (1,0), (2,0) και ( - 1 , 6 ) , πρέπει οι συντεταγμένες των σημείων αυτών ν α ε π α λ η θ ε ύ ο υ ν την εξ ί σ ω σ ή της. Άρα, έχουμε το σύστημα: α+β+γ=0 Αα+2β + γ-0. α-β+γ=6 Μ ε τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο α ν η γ μ έ ν ο ς κ λ ι μ α κ ω τός π ί ν α κ α ς του συστήματος είναι: ©

(τ)

-3

(τ) !

Ε π ο μ έ ν ω ς , α = 1, β = - 3 , γ = 2 και η εξίσωση τ η ς π α ρ α β ο λ ή ς είναι y - χ1 -3χ

+2.

Σχόλιο Το σ ύ σ τ η μ α αυτό μπορεί ν α λυθεί και ως εξής: Α φ α ι ρ ο ύ μ ε την πρώτη εξίσωση από τις άλλες δύο οπότε προκύπτει το σ ύ σ τ η μ α

1.5 και 1.6 (3α + β = 0 I

-2β = 6

Επομένως β = - 3 και α-1. Με αντικατάσταση των τιμών των α, β στην πρώτη εξίσωση βρίσκουμε 7 = 2. 3. Οι τρεις ισότητες αποτελούν σύστημα που έχει ως αγνώστους τους η μα , συν β και εφγ . Σχηματίζουμε τον επαυξημένο π ί ν α κ α του συστήματος και έχουμε διαδοχικά: 2

- I

Γ2

1 -1

2 - 1 2

γ 2 - αγχ

3Λ/3 - 1

- > Γ

- 2 Γ ,

1 1

- 1

1 Γ

2 <-> ·γ3

3 ^ 3 - 5

_3_

Γ , —> —-Γ·,

3 2

- 2

- 1 0

I U)

- 2

3·</3-1

- > — Γι

Γ ,

3 - / 3 - 5

2 1

1 1

2 1

Γ3

->Γ3+\0Γ2

2 3λ/3

0 -10

3-y/J

- -

2 0 ο

j_ 2 v3

1 ο

\~*

\ + - Γ

v3 2 2

Α 2 ]_ 2 £

+ 1

-2Γ2

£ τ

ημα=

συν/? = -^

Επομένως,

0 <α,β,γ<—

και επειδή

έχουμε

εφγ

α=β=γ=~.

4. Η εξίσωση ΑΧ = 4Χ γράφεται: χ

2 3"

2 1

y =4 y ο ω

2 -2 1

4χ

2x+2y + 3co

χ + 2 y + co

2χ-2 y + ω

4ω

Από την ισότητα των πινάκων έχουμε το σύστημα: 2χ + 2ν +3ω = 4χ

-2x + 2y + 3a) = 0 χ-2 y +<w = 0

χ+ 2 y +ω =4>"» 2x-2y

+ ω = 4ω

2x-2y-3co

f::

2y - 3co = 0 2y + ω = 0

Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις εξισώσεις βρίσκουμε ότι χ = 4ω, οπότε y

~ Y · Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της

, , 5ω μορφής | 4ω, —,

ω , coeR.

5. Οι ζητούμενοι πίνακες Χ είναι της μορφής

Επομένως, η εξίσωση ΑΧ = ΧΑ γράφεται διαδοχικά: 1 2

χ-ω 2χ-2ω

-1

-2

y-z 2y—2z

-1 -2

χ + 2y

-χ-2

ω + 2ζ

-ω-2ζ

Από την τελευταία ισότητα των πινάκων προκύπτει το σύστημα: 44

χ-ω=χ+2y

- 2y - ω = Ο

y-z

x + 3y-z

= -x-2y

2χ-2ω 2y-2z

2χ-3ω-2ζ

= ω + 2ζ = -ω-2

=Ο =0

2y + a) = 0

-2y-a)

x+3y-z

2χ-3ω-2χ

=Ο

Με τον αλγόριθμο του Gauss βρίσκουμε ότι ο ανηγμένος κ λ ι μ α κ ω τός π ί ν α κ α ς του συστήματος είναι: ο

2 1

2 0

-1

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής 3 1 — ω + ζ,—ω,ω,ζι, 2 2

co,ze r .

Αρα, οι ζητούμενοι πίνακες είναι της μορφής 3

—ω+ζ

—ω

, ω, ζ e R .

ω 6.

ί) Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά "1

1 α

1 ~

„2

ί ~

1" α - 1 α

- 1

1" α - 1

(χ

—3α + 2

• Αν α - 3 α + 2 * 0 , δηλαδή αν α * 1 και α * 2 , τότε το σ ύ σ τ η μ α είναι α δ ύ ν α τ ο . • Αν α = 1, τότε ο τελευταίος επαυξημένος πίνακας γράφεται διαδοχικά: 45

mm 1

-2

Iο

0 0

Επομένως, για α = 1 το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (1 + 2ω, - 3 ω , ω), ω e R . • AV α = 2 , τότε ο τελευταίος επαυξημένος π ί ν α κ α ς γράφεται διαδοχικά:

-2

Επομένως, για α = 2 το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (2ω, 1 - 3ω, ω) ,

ωe R .

1 ! 6"

3 ί 10

λ ί μ

•—»

ii) Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά:

2 !

Α - 1 J μ-6 6 4

λ-3

(ό

μ-10

• Αν λ * 3 , από τη μορφή (1) του επαυξημένου π ί ν α κ α έχουμε διαδοχικά: ~

μ-10 λ-3

6/1 — μ — 8 λ-3 \λ — 2μ + 8 λ-3 μ-10 λ-3 ,

1,5 και 1.6 2λ + μ-16 1

Α-3 μ-10

Α-3 4 λ - 2 μ +8

Α-3 .

Επομένως, αν A * 3 το σύστημα έχει μοναδική λύση την 2λ +μ-16

4Α-2// + 8 μ - 1 ( Γ Α-3

Α-3 •

' Α-3

Αν Α = 3 και μ * 1 0 . τότε από τη μορφή (1) του επαυξημένου πί-

ν α κ α προκύπτει ότι το σύστημα είναι αδύνατο. •

Αν Α = 3 και // = 10, τότε το σ ύ σ τ η μ α είναι συμβιβαστό και από

τη μορφή (1) του επαυξημένου πίνακα έχουμε διαδοχικά:

-1

0 © 0 0

2 0

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (2 + ω,4-2ω,ίί>),

weR.

iii) Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις βρίσκουμε 2χ + (κ +1) ν = κ + 1 . x + y-1 Επομένως, το σύστημα είναι ισοδύναμο με το <2χ + (κ+ \)y - κ+ \. 2x + (K + l)y = 3 ο

Αν κ + 1 * 3 ο κ φ 2 , το σύστημα είναι αδύνατο.

•

Αν κ + \ = 3 <=> κ = 2 , τότε το σύστημα γράφεται: χ +y — 1 2x + 3y = 3 <=> 2x + 3_y = 3

χ +y = 1 2x+3y

=3'

Από την επίλυση του τελευταίου συστήματος βρίσκουμε * = 0 και y = 1. Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την (0,1). 47

1.7

Α' ΟΜΑΔΑΣ 30

-2

= -(e3 - e 3 ) = 0

ημ0

-συν6>

συν#

ημ#

iii)

log 5 =

-1

log 2

i) Η εξίσωση

η μ#

-συν#

συν#

ημ0

= 1

1 α 0=1 2 ζ 0

vi)

3 = 30(-2)(50) = - 3 0 0 0

e2 ii)

β β2

= αβ2 -βα2

log 5

-1

log 2

(

e 1= 1 2 e e

= e2 -e2

x-1

1 (x-l)

= η μ 2 0 + συν 2 0 = 1

= αβ(β-ά)

= -(log 2 + log 5) = - log 10 = - 1

-0 .

1 - I | = 0 γράφεται διαδοχικά: χ χ

-1

-2

(x-l)(x2 + l ) - 2 ( x - l ) = 0 (x-l)(x2 +1-2) = 0 (x-l)(x2-1) = 0 (x-l)2(x+l) = 0, οπότε

x=l

ή x =-l 48

iv)

ii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά χ

1 3

-1

χ -1

= 0

x(x-3x)-(x -3χ)-(3Χ-3) = 0 -2χ 2 - χ 2 + 3 χ - 3 χ + 3 = 0 3χ + 3 = 0 χ2 =1 οπότε χ = - 1 ή χ = 1. iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά χ

χ\ χ χχ

3 χχ\

χχ

= 0

χ(χ 2 - 3) - (χ 2 - 3χ) + 2(χ - χ 2 ) = 0 χ 3 - 3 χ - χ 2 +3χ + 2 χ - 2 χ 2 = 0 χ3 - 3 χ 2 +2χ = 0 χ(χ - 3 χ + 2) = 0 , οπότε χ = 0,1,2 .

iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά 1

1 1

-1 1

-1

ημ*

-1

ημ *

ημχ 2

ημ χ

= 0

2 - ( η μ χ + ημ 2 χ) + ( η μ χ - η μ 2 χ ) = 0 2-ημχ-ημ2χ + ημχ-ημ2χ = 0 2-2ημ2χ = 0 ημ2χ = 1 ημχ=1 π

χ = 2κπ + — 2

ημχ = - 1

η '

χ = 2κπ

, 2

κe Ζ .

= 15-2=13 .

i) Είναι: D =

Επειδή £>*Ο, το σύστημα έχει μοναδική λύση. Βρίσκουμε τις ορίζουσες Dx και Dv. Έ χ ο υ μ ε D.

-4

-2

= -26

και D„ =

„ 26 Επομένως, ^ = - ^ - = - - = - 2 , £> 13 3 ii) Έ χ ο υ μ ε £)

-4

-1

-7

= -39.

39 = - 3 . 13

ν=— D

4 - 4

4 = 252.

-6

Επειδή D * 0 , το σύστημα έχει μοναδική λύση. Υπολογίζουμε

τις

ορίζουσες

Dx,

και

ΰω

και

βρίσκουμε

Dx = 252, Dy = 126 και Όω = 378. r, . £>* = 252 = ,1, ν = D 1 ω =D — = 126 = — —^ = 378 —— = 3— Επομένως, * = —— D 252 D 252 2 ' D 252 2 ' 3 iii) Είναι D =

4 1 = 46 * 0.

-1 1

Το σύστημα είναι ομογενές και αφού D * 0 έχει μοναδική λύση τη μηδενική (0,0,0). iv) Είναι D =

£>, =1

=4-3=1*0

= 0 και

Ζ)2 =

= 1.

Επομένως, το σύστημα έχει μοναδική λύση την 0 α = —= „0 , ημ* = — D 1

D, = -1 = 1 συνχ =—^Ζ) 1

Επειδή x e [0,2^-) οι τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις ημχ = 0 και συν* = 1 είναι μόνο η x = 0.

i) To σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν 2-κ

1 = 0ο(2-κ)

-1

-κ

-1

1 -κ

= 0

1 -κ

ο ( 2 - κ ) ( - κ + κ2 - 3 ) - ( - 1 + κ - 1 ) = 0 <=>(2-κ)(κ2 -κ-3)-(κ-2) <=> (2-κ)(κ2

-κ-3+1) =0

<=>(2-κ)(κ2 - κ-2) <=> κ· = 2

κ· = - 1

ii) Το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν κ:

2 1 = 0οκ(κ

-1) - (κ -1) + (1 - *:) = 0

<=> κ:(κ: — 1)(*γ +1) — (κ: — 1) — (κγ — 1) = 0 <=> (k-1)(jc 2 +κ-2)

<=> = 1 ή k=-2.

Β ' ΟΜΑΔΑΣ

1.7 1 1.

ί) Έ χ ο υ μ ε D = κ

1 1= -(2 -

κ)(1 - κ). Επομένως:

Ό τ α ν κ * 1 και κ φ! το σύστημα έχει μοναδική λύση. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες Dx, Dy, Da. 1

1 και Dm = κ

1 1

II Q

1 κ

ο II

Έ χ ο υ μ ε Dx = κ +1

1 jc + 1 = κ - 2 . 2 51

κ +1

1 1 = κ(2 - κ) 2

Άρα, η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (χ,y,ω) χ = ·D. D

ω-·

με:

= 0,

- (2 - κ)(1 - κ)

D-,

κ(2-κ)

D...

κ-2

- (2 - *γ)(1 - κ)

1-κ

• Ό τ α ν κγ = 1 το σύστημα γράφεται: χ +y

+ω = 1

• χ +y

+ω = 2

χ + 2>< + 2ω = 2 το οποίο π ρ ο φ α ν ώ ς είναι αδύνατο. • Ό τ α ν κ = 2 το σύστημα γράφεται: χ +jy +ω = 1 2x + 2_y +ω = 3<=> 2χ + 2y + 2ω = 2

χ +_y+ca=l 2χ + 2>Ή-ω = 3

Σ χ η μ α τ ί ζ ο υ μ ε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά: ί

1 i 3

ι | γ i

ι ! γ

ο i

-[?;©

2 -1

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λ ύ σ ε ω ν της μορφής (2-.Fi y, - 1 ) ,

,y e R .

-1

ii) Έ χ ο υ μ ε D = λ

λ = -3(,1 + 1)(/1-1)

Επομένως • Ό τ α ν λ*\ και λ*-1 το σύστημα έχει μοναδική λύση. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες Dx, Dy, Da.

1 Έ χ ο υ μ ε : Dx = Α - 1 1

α = (1-λ)(Α + 4),

-1 2 α = (Α - 2 Α + 3)(Α-1)

Α-1

ζ>.

καν

Α-1

(1-Α)(Α + 4)

Α+4

-3(Α + 1)(Α-1)

3(Α + 1)'

(Α2 - 2Α + 3)(Α - 1 )

D ~ D ω=• m D

και

-3(Α-2)(Α-1)

- 3(Α + 1)(Α - 1 )

Α2 - 2Α + 3 ~

—3(Α — 2)(Α — 1) - 3(Α + 1)(Α - 1 )

3(Α +1) Α-2

Α +1

• Ό τ α ν λ = 1, το σύστημα γίνεται: χ +y-ω

χ +ν+ω

= 0.

3x + 3 ν + ω = 1 Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις, βρίσκουμε ω =-^,

οπότε

x +

που

y = -j>

το

σύστημα είναι

γράφεται x = ~ - y .

ισοδύναμο

>»eR .

r *~ϊ Ό τ α ν λ = - 1 . το σύστημα γίνεται: + y -co

- χ +y-co=-2 3χ + 3y - ω το οποίο π ρ ο φ α ν ώ ς είναι αδύνατο. 53

εξίσωση

Άρα, το σύστημα έχει άπειρο

πλήθος λύσεων της μορφής

-χ

με την

χ + λ(γ + ω) = 2. Το σ ύ σ τ η μ α

λχ +2y

-ω

Αχ

+ω = 0

γράφεται ισοδύναμα

χ + Ay+Α<w = 0 Αχ+ 2y

-ω = 0 .

Αχ +>> +ω=0 1 Έχουμε D = Α Α

Α 2 1

Α - 1 = 3(1-Α)(1+Α) 1

Επομένως: • Α ν Α * 1 και Α * - 1 το σ ύ σ τ η μ α έχει μοναδική λ ύ σ η τ η μ η δ ε ν ι κ ή (0,0,0). • Αν Α = 1, το σ ύ σ τ η μ α γ ί ν ε τ α ι : χ

+y+a> = 0

χ + 2y - ω = 0 <=> χ

+y+co

χ +y+eo

χ + 2y-ω

Σ χ η μ α τ ί ζ ο υ μ ε τον ε π α υ ξ η μ έ ν ο π ί ν α κ α του σ υ σ τ ή μ α τ ο ς και έ χ ο υ μ ε διαδοχικά: 1 1

1 2

1 -1

! ο" ί °.

1 0

1 1

1 -2

0 0

_0 0

-2

Ε π ο μ έ ν ω ς , το σ ύ σ τ η μ α έχει άπειρο π λ ή θ ο ς λ ύ σ ε ω ν τ η ς μ ο ρ φ ή ς ( - 3 ω , 2ω, ω),

ωe R

• Αν λ = - 1 , το σ ύ σ τ η μ α γ ί ν ε τ α ι : χ

—y-ω = 0

- x +2y - ω = 0 <=> -χ

+y+ω' 0

- y - ω = 0

-χ +2y -ω -0

Μ ε π ρ ό σ θ ε σ η κ α τ ά μέλη β ρ ί σ κ ο υ μ ε y = 2a>. Ε π ο μ έ ν ω ς , το σ ύ σ τ η μ α έχει άπειρο π λ ή θ ο ς λ ύ σ ε ω ν της μορφής (3ω,2ω,ω),

weR

Μ11Ι1ΒΙ1 3.

i) Παίρνουμε τις ευθείς ε,, ε 2 και σχηματίζουμε το σύστημα: ε,: x + 2y = - l ε 2 : 2χ + γ = 1 Το σύστημα αυτό έχει ορίζουσα 1

= - 3 * 0

1 και άρα έχει μοναδική λύση την (1,-1), που σημαίνει ότι οι ευθείες ε,, ε 2 τέμνονται στο σημείο Α (1,-1). Επειδή οι συντεταγμένες του σημείου Λ επαληθεύουν και την εξίσωση της ε 3 , η ευθεία ε 3 διέρχεται και αυτή από το Α. Επομένως, οι τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο Λ(1,-1). Αν εργαστούμε, τώρα, όπως και στο ε ρ ώ τ η μ α (ί) βρίσκουμε ότι: ίί) Οι ευθείες ε,, ε 2 τέμνονται στο σημείο Α ( 2 3 , - 9 ) , το οποίο δεν ανήκει στην ε 3 , αφού οι συντεταγμένες του δεν την επαληθεύουν. Επομένο^ς, οι ε), ε 2 , ε 3 δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. Επίσης, οι ευθείες ε,, ε 3 τέμνονται στο 5(1,2) και οι ε 3 , ε 2 στο Γ ( - 2 , 1 ) . Άρα, οι ε , , ε 2 και ε 3 σχηματίζουν τρίγωνο. Γε,:2χ +jy = 0 iii) Επειδή ^ |ε 2 : 4χ + 2ν = 3

[ 2 * + -V = ° < 3 , το σ ύ σ τ η μ α είναι αδύνατο 12χ + y = —

και άρα οι ευθείες ε,, ε 2 είναι παράλληλες. Οι ευθείες ε,, ε 3 τέμνονται στο Λ(-1,2), ενώ οι ευθείες ε 2 , ε 3 τέJ 1 1 μνονται στο "I—,—

ίν) Τα συστήματα 8^3^+9^=1

ε2 : χ + 3y = 0

ie] :3x+9y=l ί ε 2 : x+3y=0 , < ' και < [ε 3 : 2x + 6y = 5 [ε 3 : 2x + 6y = 5

είναι αδύνατα. Επομένως οι ευθείες ε,, ε 2 , ε 3 είναι παράλληλες ανά δύο. 4. Η ορίζουσα του συστήματος είναι: 55

1.7

ί) Αν

2α

έχει

δύο

εξίσωση

1 D= β

2 0 = β -4αγ

(1)

0 ρίζες

άνισες,

τότε

θα

ισχύει

D = β -4αγ > 0 και επομένως, λόγω της (1), το σύστημα θα έχει μοναδική λύση. Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε θα είναι D- β2 - 4 a y * 0 που σημαίνει ότι D > 0 ή D < 0 . Ό τ α ν όμως D < 0 , η εξίσωση at1 + βί + γ-Q

είναι αδύνατη. Αρα δεν

ισχύει το αντίστροφο. ίί) Αν η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, τότε Δ- β1 -4αγ = 0 και επομένως το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις. 5. Οι τρεις ισότητες σχηματίζουν το ομογενές σύστημα: x - yy - βω = 0 γχ -γ+αω βχ+ay

= 0.

- ω=0

Επειδή οι x , y , ω δεν είναι όλοι μηδέν, το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Επομένως, η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι ίση με μηδέν. Έ χ ο υ μ ε : ι

- 7

V β

- 1 α

~β\ α <=>

-1 α

-1

«' \β

-li

-1

j 7 β

= 0.

\β

- 1

pl-α1

+ γ(-γ - αβ) - β(αγ + β) = 0

«Ί-α2

-γ2 - αβγ-αβγ-β1

<=> α2 + R2 + γ2 4- 2ηβν = ι 6.

ί) Λύνουμε το σύστημα χ+μ+ιχν = ι

+ ν ~ 2Α +1

(1)

των δύο τελευταίων εξισώσεων και εξετάζουμε αν η λύση του (εφόσον βέβαια υπάρχει) επαληθεύει και την πρώτη εξίσωση του δοθέντος συστήματος. 56

Έχουμε: λ+\

D, β

1-α-1=-

1 1

λ +1

2λ + 1

,= 1 1

= 1-2Λ2 -3Λ-1 = -λ(2;+3)

— 2λ +1 -· 1 — 2λ .

2/. + 1

Επομένως • Αν λ*0, την:

τότε D * 0 και άρα το σύστημα (1) έχει μοναδική λύση

D χ= — = 2λ + 3, D

D y = — = -2. D

Η λύση αυτή είναι λύση του δοθέντος συστήματος, αν και μόνο αν επαληθεύει και την πρώτη εξίσωση αυτού, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει: (Α + 1)(2Λ + 3) + (-2) = λ +1 <=> 2Α2 +3Α + 2Α + 3 - 2 = λ + 1 <=> 2Α2 + 4 Α = 0 <=>2λ(λ + 2) = 0 <=> λ = -2,

αφού

λ * 0.

Επομένως, α) Αν λ = -2, τότε το Ο, >0 = ( - 1 , - 2 ) , ενώ

σύστημα

έχει

μοναδική

λύση

β) Αν λ * 0 , - 2 , τότε το σύστημα είναι αδύνατο. • Αν λ = 0, τότε το σ ύ σ τ η μ α γράφεται: x+y = 1 x+y = 1 <=> x+y = l<^>y = l-x x+y = 1 και άρα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (*, 1 - jc) ,

xer.

Σχόλιο: Το παραπάνω σύστημα μπορεί να λυθεί και ως εξής: 57

την

mm Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο π ρ ώ τ ε ς εξισώσεις βρίσκουμε (Α + 2) χ + (A + 2)y = Α + 2. Ε π ο μ έ ν ω ς το σύστημα γίνεται (λ + 2)χ + (λ + 2)γ = α + 2 χ + (Α + 2)y = 1 χ

+ y = 2Α +1

• Αν Α * - 2 , τότε το σύστημα γράφεται: χ

+y = 1

χ + (Α + 1)_ν = 1 χ

+ y = 2Α +1

οπότε — αν 2Α + 1 * 1 δηλαδή αν Α * 0 , το σ ύ σ τ η μ α είναι αδύνατο. — αν 2Α + 1 = 1 δηλαδή αν Α = 0 , το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λ ύ σ ε ω ν της μορφής (1 -y,y), jeR . (χ-y = 1 • Αν Α = - 2 , το σύστημα γραφεται < και έχει μοναδική λύση [x+_y = - 3 την ( - 1 , - 2 ) . ii) Λύνουμε το σύστημα 2χ — y = -Α x-y

=Α

(2)

της 1ης και 3ης εξίσωσης και εξετάζουμε αν η λύση του επαληθεύει και τη 2η εξίσωση. Έχουμε: D=

-1

= -2 + 1 = - 1 * 0 •1

D, =

;

-1 2

-a

A + A = 2Α και

= 2A+A = 3A.

Ε π ο μ έ ν ω ς το σύστημα (2) έχει μοναδική λύση του Ζ) , χ = — = -2Α,

ν = —— = —3λ.

11111 Η λύση αυτή είναι λύση και του δοθέντος συστήματος, αν και μόνο αν επαληθεύει και την 2η εξίσωση, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει: λ(-2α) + (-3λ) + 5 = 0 <=> -2λ2 -3/1 + 5 = 0 <=> 2λ2 + 3 λ - 5 = 0 . -3 ±7 <=> λ =

<=>Λ = — 2

/. = 1.

Επομένως, α) Αν ^ =

°τε

τ0

σύστημα έχει μοναδική λύση την 15

β) Αν λ = 1, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την (*,>>) = ( - 2 , - 3 ) . γ) Αν / * - ^ , 1 , τότε το σύστημα είναι α δ ύ ν α τ ο .

ί) Έ χ ο υ μ ε : i

-2

=λ

χ y_

λχ

'2χ -3ν Η i ιο v I

<=>

<ν

ΑΥ=λΧ<=>

.Αν.

2χ - 3 y = λχ χ-2 y = λγ (2-λ)χ

- 3y = 0 χ-(2+λ)^ = 0

(1)

Επομένως, υπάρχει μη μηδενικός πίνακας Χ που ν α ικανοποιεί την ΑΧ = λΧ , αν και μόνο αν το σύστημα (1) έχει και μη μηδενικές λύσεις, που συμβαίνει αν και μόνο αν 2-λ 1

-3 -(2 +Α)

= 0 ο-(2-λ)(2+λ)+3 =0

<=> a2 - 1 = ο <=> λ = 1

/. = - 1 .

ii) · Για >1 = 1 το σύστημα (1) γράφεται: ίχ-3ν = 0 < » [χ-3.ν = 0

χ - 3 ν = 0 » χ = 3.ν

και επομένως έχει άπειρες λύσεις της μορφής 3y

. y e R , οπότε Χ

, y eR.

. y.

• Για 1 = - 1 το σύστημα (1) γράφεται i3x-3y = 0 x-y

=Ο

x — = 0 <=> χ = y

και επομένως έχει άπειρες λύσεις της μορφής OS.V),

y e R , οπότε Χ =

y eR .

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ" ΟΜΑΔΑΣ) 1.

ί)Έ χουμε: A(x)A(y) =

συν*

-ημχ

ouvy

-ημν

ημχ

συνχ

ημν

συνν

συνχσυνν - η μχη μν

- συνχη μν - η μχσυνν

η μχσυνν + συνχη μν

- η μχη μν +συνχσυνν

συν(χ + y) ημ(χ + >>)

- η μ ( χ + >/) συν(χ + _ν)

••A(x + y).

ii) Από το πρώτο ε ρ ώ τ η μ α για y = -x, παίρνουμε: Α(χ)Α(-χ) = Α(0) Α(χ)Α(-χ) = 1,

άρα

(Λ(χ)) 1 = Α(-χ)

iii) Έ σ τ ω Ρν ο ισχυρισμός που θέλουμε να αποδείξουμε. • Ο ισχυρισμός αυτός ισχύει, προφανώς, για ν = 1. 60

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑΣ

• Θα αποδείξουμε τ ώ ρ α ότι, αν ο Ρν είναι αληθής, δηλαδή αν ισχύει [Α(χ)]ν = Α(νχ),

τότε θα είναι αληθής και ο Ρν+ι, δηλαδή ότι θα ι-

σχύει [Λ(χ)]ν+1 = Λ ( ( ν + 1 ) χ ) .

Πράγματι: [Λ(χ)]ν+1 = \Α(χ)ΥΑ(χ)

= Α(νχ)Α(χ)

= Λ ( ν χ + χ) = Α ( ( ν + l ) x ) .

Άρα, ο ισχυρισμός Ρν αληθεύει για κάθε ν e Ν*. 2.

ϊ) Έ χ ο υ μ ε : Μ2 =Μ·Μ

1 0 0

ο" "ο 1 0 0 0

1 0 0

ο" "ο 1 = 0 0 0

0 0 0

Γ 0 0

0 0 0

Γ "ο 0 0 0 0

1 0 0

ο" "ο 1 = 0 0 0

0 0 0

ο" 0 0

"ο 0 0

Για ν = 3 είναι Μ 3 = © . Για ν > 3 , είναι Μν =Μί+ν~3

= Λ/ 3 Μ ν ~ 3 = ©·Α/ ν ~ 3 = © .

Άρα Μ ν = © για κάθε ν e Ν, με ν > 3 . ii) ΑΒ = (αΜ2 + αΜ + Ι)[α(α-\)Μ2 = α 2 ( α - 1 ) Μ 4 -α2Μ2

-αΜ+1]

+αΜ2 + α2(α-1)Μ3

-α2Μ2

+ αΜ + α(α -1)Λ/2 -αΜ +1 = αΜ2 -α2Μ1 = α(1-α)Μ2

+ αΜ +α(α-\)Μ2-αΜ+Ι +αΜ + α ( α - 1 ) Λ / 2 -αΜ +1=1.

Άρα ΑΒ = Ι, συνεπώς Β~ι =Α. ί) Έ χ ο υ μ ε : J2 = J J =

" 0

-1

l" 0

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ι 'ΟΜΑΔΑΣ

--1

θ"

-1

= - /

ii) Αν Α=αΙ + βΐ και Β = γ! +&J , τότε Α + Β = αΙ + βΐ +γ! +&J =(α + γ)Ι + (β+ d)J , δηλαδή A + B = xI + yJ,

όπου

χ = α + γ,

γ = β+δ

και Α·Β = (α1 + βΙ)·(.γΙ + &7) = α1γ1+α1άΙ + βΙγΙ + βΙάΙ = αγΙ2 +adIJ + fiyJl + βάΐ2. = αγί + αδί + β-fJ - βδΐ,

J1 = - / )

(αφού

= (αγ - βδ)1 + (αδ + fiy)J. Αρα AB = xI + yJ, π ι ) Έ χ ο υ μ ε αϊ + β} =

όπου Γα

0 κας αϊ + βΐ

0~|

χ = αγ-βδ, +

αJ

y = ad + fiy.

ί ]

\_-β

αντιστρέφεται μόνο όταν Ζ) =

α -β

β~\

α βι α

, οποτε ο π ί ν α -

=α

+β

φ 0.

4. Αν είναι | ΟΜ \ = ρ, τότε λόγω συμμετρίας θα είναι και | ΟΜ' |= ρ . Έχουμε:

y M(x,y)

χ = ρσυνθ χ \

y = ρτ\μθ

^ \ Μ \χ' y)

χ' = ρσυ\(2φ-θ) \

= (/>συν6>)συν2(ρ + (/>ημ/9)ημ2ςο

γϊφ-θ χ

0 ω—θ—φ

= χσυν2^+ νημ2^ ,ν' = ρημ( 2φ-θ) = (ρσυν#)ημ2$!> - (ρημ<9)συν 2φ = χτ\μ2φ -y<5w2(p. Δηλαδή 62

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'

χ'

ΟΜΑΔΑΣ

ημ2(*>~ χ

συνίφ

ημ2ρ

-συν2φ

Άρα, η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία ε είναι γ ρ α μ μ ι κ ό ς μεσϋ\2φ ημ2#> τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς με πίνακα τον Α = ημ2<ρ -συν2^> Αν, τώρα, στον πίνακα Λ θέσουμε: •

1 °

φ = 0 , θα πάρουμε τον πίνακα

0 - 1 του γραμμικού μετασχηματι-

σμού της συμμετρίας ως προς τον άξονα των χ. •

" - 1

ψ = —, θα πάρουμε τον πίνακα

του γραμμικού μετασχημα-

τισμού της συμμετρίας ως προς τον άξονα των j/. •

ψ = —, θα πάρουμε τον πίνακα 4

της συμμετρίας ως προς την

i I

Ο 1

I ι

3π φ = — , θα πάρουμε τον πίνακα 4

I Ί

•

iΟ

ευθεία y = χ.

της συμμετρί-

ας ως προς την ευθεία y = -χ. 5. Εστω M(x{,yx)

και M2(x2,y2)

δύο σημεία του επιπέδου τα οποία

ιετασχηματισμό Τ έχουν την ίδια εικόνα, δηλαδή *γ

ισχύει

y\.

Χ'Ι y\_

Θα δείξουμε ότι τα σημεία αυτά ταυτίζονται.

Πράγματι, έχουμε: χ

y\.

<=>

—

ι S ..ν

..Vi.

αφού ο πίνακας

χ2

Χ, —

δ Λ.

_y 2 _

αντιστρέφεται. Άρα, x, = χ 2

και

yt = y2.

Επομένως ο μετασχηματισμός Τ είναι 1 - 1 .

ίι) Λύνουμε την εξίσωση

Χ' —

διαδοχικά:

β δ

χ y

ως προς

_y_

Έχουμε

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'

"«

β δ

-1

V "

ΟΜΑΔΑΣ

y _

β δ

-1

V "

y χ

-1 V "

Επομένως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός του Τ είναι ο μετασχη-1 'χ·' χ α β Τ'1 ·. με π ί ν α κ α τον αντίστροφο του δ

« γ

β δ.

_y_

, δηλαδή τον πίνακα —

-βλ

-γ

, όπου D = αδ - βγ.

iii) Γ ραμμικός μετασχηματισμός • Συμμετρία ως κέντρο συμμετρίας το Ο •

Συμμετρία ως προς τον άξονα χ'χ

Πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού -1 0 0

-1

-1 0 -1

-1

(-D

Συμμετρία ως προς τον άξονα y'y

-1

Συμμετρία ως προς την ευθεία y = χ

• Στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ

συν0

-ημ$

συν0

η μ#

ημ0

συν#

- η μ/9

συν#

• Ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο λ * 0

•

Πίνακας του αντίστροφου γραμμικού μετασχηματισμού

(-1)

1 (-1)

i λ

οι λ.

6. Η ορίζουσα του συστήματος είναι:

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'

ΟΜΑΔΑΣ

1 Ω-

β2

= αβ2 -α2 β

-αβ(α - β).

Επομένως • Αν

αφ β,

τότε θα είναι

ΏΦΟ

(αφού

α, β Φ 0 )

και άρα το

ομογενές σ ύ σ τ η μ α θα έχει μοναδική λύση την (0,0,0). • Αν α = β , τότε το σύστημα γράφεται: x+y+z=0 x+y+z=0 α* + α>· = 0 <=> x+y = 0 2

αφού α Φ 0

= 0

α χ+α ^ = 0

[^+^ + 7 = 0

ίζ = 0

(x+y = 0

|x = - y

Άρα το ομογενές σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (-.ν,,ν,Ο),

yeR.

Η ορίζουσα του συστήματος είναι: 1 D = ημα ημ 2 α

συνα

συν 2 α

συνα συν α

ημα

συνα

ημ α

συν α

= σ υ ν α - σ υ ν α - η μ α + η μ α + η μ α σ υ ν α - η μ α συνα = (συνα - ημα) - (συν 2 α - ημ 2 α) + ημα συνα(συνα - ημα) = (συνα - η μ α ) [ 1 - (συνα + ημα) + ημα συνα] = (συνα - ημα)[(1 - συνα) - ημα(1 - συνα)] = ^συνα - ημ«)(1 - ημα)(1 - συν«). Επομένως • Αν ημα * 1, συνα * 1 και ημα Φ συνα, δηλαδή αν Α Φ 0, —, —, τό4 2 τε Όφ 0 και άρα το ομογενές σύστημα έχει μοναδική λύση την (0,0,0).

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'

ΟΜΑΔΑΣ

Αν α = —, τότε το σύστημα γράφεται: χ +y +ω = 0

y=0

+ ο) = 0 <=>

χ = -ω

+ω = 0 και άρα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (-ω,Ο,ω),

ωeR.

• Αν α = 0 , τότε το σύστημα γράφεται: x+y+co

y +ω = 0 <=> y +ω = 0

χ=0 y = -ω

και άρα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (0,-ω,ω),

weR

• Τέλος αν α = —, τότε το σύστημα γράφεται: 4 χ

+ω = 0 χ

+ω=0

v2 χ + ν +ω = 0 <=> y/ΐχ +-Jly +2ω = 0 2 2 χ +y +2ω =0 1 1 — χ +—ν +ω = 0 . 2

x+y

+ω = 0

x+y+-j2oo x+y

= 0.

+ 2ω = 0

Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις, βρίσκουμε ω = 0, οπότε x+y = 0 και άρα x = -y. Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής (-j>,.y,0), y e R . 8. Παίρνουμε τις ευθείες ε , , ε 2 και ε 3 ανά δύο και σχηματίζουμε τα συστήματα: e, :x + y = 1 [e2:x+>' = κ ,

jel:x+y

}e 3 :«c + _y = l

\e2\x + y = K {e 3 :wc + _v = l '

Γ Ε Ν Ι Κ Ε Σ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'

ΟΜΑΔΑΣ

Τ α σ υ σ τ ή μ α τ α αυτά έχουν ορίζουσες: 1 1

= 0,

1-Κ

και

= 1- κ

αντιστοίχως. Διακρίνουμε τ ώ ρ α δύο περιπτώσεις: • Αν

κ = 1, τότε τα συστήματα γράφονται: ε, :x + y = 1

ε, :x + y = 1

ε 2 :χ + >- = γ

ε 3 :x+y = l

ε 2 :x + .y = 1

και

ε 3 :x + y = 1

Ε π ο μ έ ν ω ς , οι τρεις ευθείες συμπίπτουν και η εξίσωσή τους είναι jc+JV = 1. • Αν κ * 1 , τότε το πρώτο σύστημα είναι αδύνατο, ενώ τα άλλα δύο έχουν ακριβώς μια λύση. Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες ε,, ε 2 είναι π α ρ ά λ λ η λ ε ς και η ε 3 τις τέμνει. (Ay-ω = 0 9. Η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος < της 2ης και 3ης y +' λω = 0" [Χ ε ξ ί σ ω σ η ς είναι ίση με

-1

= Λ2 + 1 * 0 . Επομένως, το σ ύ σ τ η μ α

αυτό έχει μοναδική λύση την (y, ώ) = (0,0). Αν αντικαταστήσουμε τη λύση αυτή στην π ρ ώ τ η εξίσωση, έχουμε:

( Α - 1 ) λ: = 0 y=o

(ί)

ο) = 0 Διακρίνουμε τ ώ ρ α δύο περιπτώσεις: • Αν Αφ\, τότε η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση την χ = 0 και επ ο μ έ ν ω ς το σ ύ σ τ η μ α έχει τη μοναδική λύση (x,y,io) = (0,0,0). • Αν λ = 1, τότε η εξίσωση (1) αληθεύει για κάθε xeIR και επομέν ω ς το σ ύ σ τ η μ α έχει άπειρες λύσεις της μορφής (Λ:,0,0),

jceR

10. Έ χ ο υ μ ε 3 -α

ΑΧ = ΑΧο

Χ <=>

—λ α -1

y. 67

3χ -ay αχ -y.

~λχ~

Ay.

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'

ΟΜΑΔΑΣ

\3χ-αν

= λχ

((3-A)x-ay

ax-y

= Ay

1 αχ - (λ + l)y = 0.

=0 (1)

Επειδή (χ,>0 * (0,0), το ομογενές σύστημα (1) έχει και μη μηδενικές λύσεις. Ε π ο μ έ ν ω ς θα ισχύει: D=

-α

3-λ

0 <=> - ( 3 - 1 ) ( 1 + 1) +α

= 0 < = > 1 - 2 1 + α - 3 = 0.

- (Α +1) Άρα ο πρ α γ μ α τ ι κ ό ς αριθμός Α είναι ρίζα της ε ξ ί σ ω σ η ς t2 - 2 t + (a2 - 3 ) = 0. Επομένως, θα ισχύει Λ > 0 . Ό μ ω ς Δ = 4 - 4 ( α 2 - 3 ) , οπότε ζί > 0 <=> 4 - 4(α 2 - 3 ) > 0 <=> 1 - α 2 +3 > 0 <=>α2 < 4 <=>-2 < α <2. 11. ί) Έ χ ο υ μ ε D=

D, =

=4-3=1*0

51 + 4 3 31 + 2 2 2 5/1 + 4

= (101+8)-(91+6) = 1 + 2

και

= (61 + 4 ) - ( 5 1 + 4) = 1 .

1 31 + 2 Επομένως, το σ ύ σ τ η μ α έχει μοναδική λύση την * = — = 1 + 2, D

(2)

ίϊ) Οι ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς 2 ί 2 + 3 ί - ( 5 1 + 4) = 0

και

ί 2 + 2 ί - ( 3 1 + 2) = 0

έχουν κοινή ρίζα, αν και μόνο αν υπάρχει p e I R τέτοιος, ώστε ν α ισχύει: 2 ρ 1 + 3ρ - ( 5 1 + 4) = 0 2

ρ + 2 / 9 - ( 3 1 + 2) = 0

\2ρ2

+3ρ=51+4

ρ1 +2ρ=3λ+2

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'

ΟΜΑΔΑΣ

που συμβαίνει, αν και μόνο αν το ζεύγος (ρ 2 , ρ) είναι η μοναδική λύση του συστήματος (Σ), δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει ρ1 =λ + 2 ρ=λ

[λ2 -λ-2

~ ( ρ =Α

Λ =

\ρ =" -' I

ίΛ=2. [/> = 2

Επομένως, οι εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα όταν Α = - 1 (η κοινή ρίζα είναι η ρ = - 1 ) ή λ = 2 (η κοινή ρίζα είναι η ρ = 2). β' τ ρ ό π ο ς : Αν ρ κοινή ρίζα των εξισώσεων, τότε από την πρώτη ε,. , 3ρ2 + 3 ρ - 4 , „ , ρ 2 +2ρ-2 ξισωση εχουμε: -λ και απο τη όευτερη — _ , 2 ρ +3ρ - 4 ρ2+2ρ-2 ϋπομενως =

, = λ.

απ οπου προκυπτουν ως κοινές

ρίζες οι ρλ = - 1 , ρ 2 = 2 και οι αντίστοιχες τιμές του λ, οι Α, = - 1 και Α2 = 2 .

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2.1 και 2.2

Α ΟΜΑΔΑΣ

1. Έ χ ο υ μ ε z=(2A+3)+(6-A);, οπότε: α) Ο ζ είναι πραγματικός, αν και μόνο αν 6 - λ = 0 , δηλαδή λ=6 β) Ο ζ είναι φανταστικός, αν και μόνο αν 2 λ + 3 = 0 , δηλαδή λ=-

α) Είναι: (x+y)+(x-y)i=3-i<=>\X+y

\x-y=-l

(*,_>/)=(1,2)

β) Είναι: Ι- 2 , 7 , 2 , ν ~ . \\3χΛ +χ-6=2 V3x +χ-6+(χ -3)/=2+/<=>«{ χ -3=1

(1)

Όμως: χ2 -3=1<=>χ 2 =4<=>*=2

χ=-2 .

Αρα χ=-2, αφού από τις λύσεις αυτές μόνο η χ = -2 και την (1).

επαληθεύει

γ) Είναι: 9-54 9 - 2 7 / = ( 3 , + 2 , ) - ν ; ~ ί

2 > , = 9

[27=y

-45 3 y=2i

y=27

0(^,^)=(-15,27)

3. y ι 4__

3+4ί

3 2

Χ'

ί -5 -4 -3 -2 -1

V °! 1

ι + i |

Χ , ί , ι ι ι ί 1 2 3j 4 5 6 7

-2ί· "2 -3 •; i y'.

4. α ) Ε ί ν α ι z=0

I I 1 3

-4i

+ yi. Αρα, οι εικόνες του ζ είναι τ α σ η μ ε ί α M(0,y),

δη-

λ α δ ή τ α σ η μ ε ί α του ά ξ ο ν α y'yβ ) Ε ί ν α ι z = x+0i.

Άρα, οι εικόνες του ζ είναι τ α σ η μ ε ί α Μ(χ,0),

δ η λ α δ ή τ α σ η μ ε ί α του ά ξ ο ν α χ ' χ . γ ) Ε ί ν α ι ζ = χ+χί.

Άρα, οι εικόνες του ζ ε ί ν α ι τ α σ η μ ε ί α λί(χ,χ),

δ η λ α δ ή τ α σ η μ ε ί α τ η ς ε υ θ ε ί α ς y = χ, που είναι δ ι χ ο τ ό μ ο ς τ η ς 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

5. α) ( - 4 + 6i) + (7 - 2/) = ( - 4 + 7) + ( 6 - 2)ϊ = 3 + 4 / β) (3 - 2Ζ) - (6 + 4/) = (3 - 6) + ( - 2 - 4)/ = - 3 - 6/ γ) (3 + 4/) + ( - 8 - 7 / ) + (5 + 30 = ( 3 - 8 + 5) + ( 4 - 7 + 3 ) / = 0 + 0/ = 0 δ) (3 + 2/)(4 + 5/) = 3 - 4 + 3 - 5 / + 4 - 2 / + 2 - 5 / 2 = 12 - 1 0 +15/ + 8 / = 2 + 23/ ε) 3/(6 + / ) = 3-6ζ + 3/ 2 = - 3 + 18/ στ) (4 + 3/)(4 - 3/) = 4 2 - (3/) 2 = 16 - 9 - / 2 = 16 - 9(-1) = 16 + 9 = 25 ζ) /(3 + /)(2 - /) = /(6 - 3« + 2/ - / 2 ) = /(6 + 1 - / ) = 7« - / 2 = 1 + 7 / .

, , 6. α)

1(1 + /·) 1+ΐ ι+» ι ι =— — = - = = - + -/• 2 1-/ (1-0(1 + 0 Ι-/ 1+1 2 2

β) ,'6 = , 4 -/ 2 =1(-1) = - 1 = - 1 + 0/ γ) / 2 + 2 / + 1 = - 1 + 2 / + 1 = 0 + 2/ 72

2,1 κίϊΐ 2.2 δ) (1 + /λ/3) 2 = 1 + 2/>/3+/ 2 -3 = 1 - 3 + 2 ^ 3 / = - 2 + 273/ 6 + / 2 +5/ _ 5 + 5/ _ 5(1+/) _

3 + / _ ( 3 + / ) - ( 2 + /) 2-1 ~ (2-0(2+0 ~

22-/2

~ 4+1 ~

2 (Jt), 6 - / V 2 = (6-/V2)-(l-/'V2) = 6 + 2 / - 7 ^ 2 / = 6-2-ly[li l+z-s/2 (1+/V2)-(1-/V2) 1-2/2 1+2

' = 4 7 \/ -Ζ/. 3 3

7. α) Είναι: (3 - 2/')2 - (χ + iy) = χ - yi ο 9 - 1 2 / + 4/ 2 - χ - yi = χ - yi <=>9-4-χ-12/=χ<=>(5-2χ)-12/'=0 Αυτή όμως είναι αδύνατη, αφού το - 1 2 * 0 .

β) Είναι: -1 +

Ρ α ^ σ χ έ σ η γράφεται:

1 = 1 + / <=> 1 = Λ 2+1 χ + iy χ+ iy <=> χ + yi =

2+/

<=> χ + yi 2

<=> χ = — 5

2 - /

και

-1

ν =—. 5

γ) Είναι: ( 3 - 2 / ) ( 2 x - / y ) - 2 ( 2 x - / y ) + 2/'-l <=> (3 - 2i)(2x-iy)

- 2 ( 2 x - i y ) = - 1 + 2/

» ( 1 - 2 0 ( 2 * - / » = -(1-2«) <=> 2χ - iy = -1 ο χ=— 2 8.

α) β

και

ν = 0.

ί 6 +/ 1 6 +/ 2 6 +/ 3 δ +/ 4 6 +/ 5 6 =/ 2 +/° +/ 2 +/° +/ 2 +/° =0 . 1 /Ί

1 1 / 41 + / 7 5

1 1 1 1 1 1 1_2 / 1023 = : / 3 /1 + /· 3 j 3 ~ - Ι / " - / "

2.1 και 9.

α) Για 2 = - 5 + 7/ είναι ζ = - 5 - 7 / β) Για ζ = - 4 - 9/ είναι ζ = - 4 + 9/ γ) Για ζ = 4/

είναι ζ = -4/

δ) Για ζ = 11

είναι ζ = 11

ε) Για ζ = -/'

είναι ζ = ;

στ) Για ζ = Ο

10. Αν M(x,y) z = x + yi, του

είναι ζ = Ο .

είναι η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του μιγαδικού τότε η εικόνα του z = x-yi

-ζ = -χ-yi

είναι

το

M2(-x,-y)

και,

τέλος,

-z=-x+yi

είναι

το

Μ3(-x,y).

είναι το σημείο Μλ(χ-γ),

σημείο του σημείο

M3(-x,y)

M(x,y)

M2(-x,-y)

Μ (x,-y)

Έ τ σ ι , μπορούμε ν α πού-

με ότι: Ο ζ προκύπτει από τον ζ με συμμετρία ως προς τον άξονα χ ' χ . Ο - ζ προκύπτει από τον ζ με συμμετρία ως προς κέντρο το 0(0,0) και τέλος:

Ο - ζ προκύπτει από τον ζ με συμμετρία ως προς τον άξονα y'y .

-ρ _5~9' it 1i . t,χουμε, ζ, + ζ 2

5+9/

5-9/

(5-9/Λ + | _ ι

που

είναι

πραγματ1κός

αριθμός ως άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών. Ομοίως ο ζ, - ζ 2 θα είναι φανταστικός ως διαφορά δύο σ υ ζ υ γ ώ ν μιγαδικών αριθμών. 12. Αν ζ = χ + yi τότε: α) ζ -Ζ = 6/ <=> χ + yi — χ + yi = 6/ <=> 2yi = 6/ <=>yi = 3/ <=> y = 3 Αρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της οριζόντιας ευθείας με εξίσωση y = 3 . β)

ζ 2 = ζ 2 ο (* + >»/)2 = ( x - y / ) 2 <» (x + ν/) 2 - (χ - _y/')2 = 0 <=> ( Χ+_ν/ + Χ - W ) ( Χ+>»/ - Χ + ) = () 74

<=>2x-2yi=0 ox=0

y=0.

Άρα, οι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μιγαδικών είναι τα σ η μ ε ί α τ ω ν δύο αξόνων y'y και χ'χ. γ)

z2=-z2o(x-yi)2=-(x+yi)2 <=>χ2 +(yi)2 -2xyi=-(x2 <=>x2 -y2

-2xyi=-x2

+y2i2

+2xyf)

+y2 -2xyi

<=>2 (x2-y2)=0

07=±x. Άρα, οι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μιγαδικών είναι τα σ η μ ε ί α τ ω ν δ ι χ ο τ ό μ ω ν τ ω ν τεσσάρων τεταρτημορίων. δ)

z=2-z<=>x+yi=2-(x-yi) <=>x+yi=(2-x)+yi <=>

ίχ=2-χ

[y=y

ojt=l,

yelR

<=>z=l+.yi. Άρα, οι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μιγαδικών είναι τα σ η μ ε ί α τ η ς κ α τ α κ ό ρ υ φ η ς ε υ θείας χ = 1.

, , α)Λ χ 2 - 3, x + 2 = 0Λ< = > x = 3 ± V 9 - 8 = 3±1 <=>χ = „2 ή, x = 1. 13. 2 2 β)

χ 2 -2χ+3=0<=> χ =

2 ± >

^ =2

( 1 ±

2 γ)

χ+-=1οϊ χ

+1=ϊοχ

^ =1± )Λ /2

2 2

-χ+1=0οχ=^^·. 2

14. Α φ ο ύ οι σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς της ε ξ ί σ ω σ η ς 2χ2 + βχ +γ = 0 είναι π ρ α γ μ α τ ι κοί α ρ ι θ μ ο ί και μία ρίζα τ η ς είναι η 3 + 2 / , η άλλη θ α είναι η 3 - 2 ί , οπότε θα ι σ χ ύ ε ι :

και β Χ\ +χΊ = —

6 12 2 <=>·, * ~ ϋ " = - . 1)'=26 1 3 _1 Χ, χ-, =y— .' 2 . 2

2.1 και 2.2 1.

Έχουμε:

Β' ΟΜΑΔΑΣ Z =

? ± 2 L J « + β Μ - * ) J«7+βδ)Ηβϊ~α*ν γ+δί (γ+δί)(γ-δί) γ +δ

ζ e R <=> βγ-αδ

ζ2 =

Έχουμε

1-3-2^3/

= 0 <=>αδ-βγ = 0<=>

-1-/^3

4 ζ

1 2

ζ -ζ

Είναι

• 0.

, οποτε:

- 1 - ιλ/3 —ζ — · 2

Άρα:

l-iyfl

- 1 - / - / } - I + /V3

- 2 = -1

2 I-= -1. -1

(1+/) 2 = 1 - 1 + 2 / = 2 / ,

οπότε

(1+/) 2 0 =((1+0 2 ) 1 ° = ( 2 / ) 1 0 = 2 1 0 / 1 0 = 2 1 0 / 2 = - 2 10

και

( Ι - / ) 2 0 = (!+/)' 20 = ( 1 + 0 2 0 = - 2 1 0 .

Άρα:

(1+020-(1-02° =0.

Έχουμε

Λ=/' ν +/'

= /ν + — .

Αν

ν = 4κ,

τότε

/ν=1,

οπότε

Α =1+1 = 2

•

Αν

ν=4*:+1,

τότε

/'ν = / ,

οπότε

Λ = /' + - = / - / ' = 0

Επομένως:

/ ν

•

Αν

ν = 4κ+2,

τότε

/ =—1, οπότε

^4 =—1—1 = —2

•

Αν

ν=4*:+3 ,

τότε

/ ' ν = - / ' , οπότε

,4 = - / + - = - / + / = 0 . - / '

2.1 mi 22 5.

α) Αν z = x + yi τότε έχουμε: ζ-ζ2

<=>x-y/'=x 2 +(yi)2 +2 xyi

<^>x-yi=(x+yi)2 ox-yi=x~

-y

+2xyi

<=>(x -y

((2x+l)y=0 ^jx2-y2-x=0

-x)+(2x+lXy/=0

i 2 x + l = 0 ή y=0

(1)

\x'-v-x=0

(2)

I • Av 2x +1 = 0 , δηλαδή αν x = - — , τότε η (2) γράφεται: 1

4 Αρα:

2 Η—1 = 0<=>y „ 2 = —<=>ν 3 >/3 . = ± 2 4 2

1 .1

ζ=

1 2

VI /. 2

• Αν y = 0 , τότε η (2) γράφεται: χ 2 - x = 0<t=>x(x-l) = 0<=>x = 0 ή χ = 1. Άρα:

ζ=0

β) Αν z = x+yi,

ζ = 1.

έχουμε:

ζ=ζ3 <=>x-yi=(x+yi)^

o x - . y i = x 3 +3x 2 y/'+3x(y/')2 +(y/') 3

<=>x-y/=x 3 +3x 2 >>/-3xy 2 -_y3/' <=>x->v=(x 3 - 3 x y 2 ) + ( 3 x 2 - y 2 ) ^ / ' [x3-3x.y2=x

}(3x 2 -y2)y=—y Ιχ=0

ή 2

[y(3x -y

•

| x ( x 2 -3y2 - 1 ) = 0 |y(3x 2 -y2 +1)=0

χ —3_y —1=0 +1)=0

Αν x = 0 , τότε η (2) γράφεται: >>(l-y 2 )=0<=>^=0 ή y=± 1. Άρα:

•

z = 0 ή z=i

ή z=-i.

Αν x 2 = 3 y 2 + l , τότε η (2) γράφεται:

(1) (2)

%Λ

m i

%2 .^3(3^ 2 + 1 ) - ^ 2 +11^-^(8^ 2 +4)=0<=>_y=0.

Άρα χ2=1, οπότε χ = 1 ή * = - 1 και επομένως ζ-1 ή ζ=-1. Αν ζ-x+yi, τότε: ζ+ ζ ζ

x+yi

x-yi

(x+yi)2

x-yi

+(x~yi)2

χ -(yi)2

x+yi

χ2 +(yi)2 +2xyi+x2

+(yi)2 -2xyi _2(x2 -y2)

x2+y2

χ 2 +y2

2(x2-y2)

Έ τ σ ι , αρκεί ν α αποδείξουμε ότι - 2 < , — — < 2 . Πράγματι: χ +y

χ +y

χ +y <=>-(χ2 +y2 )<χ2 -y2 <χ2 +y2 \~χ1

χ2

~y2 2

~y*

x -y Zx +y 0<>2χ2 ~ | θ < 2 y2

που ισχύουν και οι δύο. Άρα ισχύει και η αρχική διπλή ανισότητα. 7.

α' τρόπος: Είναι

(α+βί)2 =α2 -β2

+2αβί=ζ

και

(β-ai)2

=β2 -α2-2αβί=-ζ.

Άρα (α+βίγ°

=((α+βi)2f

+(β-αίγ°

+((β-αί)2)5

=ζ 5 + ( - ζ ) 5 =ζ 5 • - ζ

=0.

β' τρόπος: Είναι (α+βίγ°

β-αί=-ί(α+βί). +(β-αίγ°

Επομένως:

=(α+βίγ°

+ί]0(α+βίγ°

α) Έχουμε:

=(α+βί)]0

-(α+βί)1"

=0 .

2,1 και 2.2 •

ζ = ζ <=> x+yi

= x-yi

<=> 2yi = Ο ο y = 0 <=> ζ e IR

•

z=-z<z>x+yi=-x+yid2x=0<£>x=0oz

φανταστικός

β) Αρκεί ν α δ ε ί ξ ο υ μ ε ότι ΰ=u 1

και

1 2

j + _ l 1_ Ζ, ζ .

α) Έ σ τ ω z=x+yi.

Ζ,1Ζ2

Ζ,ι —ΖΟ

1+ZjZ 2

_ Ζ Ι ~*"Ζ2 — U 1 + Ζ]Ζ2

Ζ,1*2 Ζ

—

+ Ζ

2 u— 1 2 — 1 1 + Ζ 11Ζ22 11 + _ _

ν—=

θα είναι: 1

—

και ν = - ν . Ε π ε ι δ ή

*1*2 Ζ\Ζ2 +1 ζ ,1ζ2

-(^1-¾) \+ζλζ2

1 χ Τ ό τ ε —=— L Ζ x +yz

Re( ζ+—|=5Re(z)<=>y+ * V ζ) x2+y2

ν λ

χ +yi

2 ,

=0<=>χ=0

x2+y2=iί

Αρα, ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς είναι ο ά ξ ο ν α ς / y 0(0,0) και ο κ ύ κ λ ο ς με κ έ ν τ ρ ο

. * „=4 . 2 χ 2 +γ

ή1

\x+y <=>χ=0

—i. Ε π ο μ έ ν ω ς :

=5χ

<=>χ

=-ν.

0((),())

με ε ξ α ί ρ ε σ η το σ η μ ε ί ο

και α κ τ ί ν α Ρ-~^ .

β) Έ χ ο υ μ ε : Im|^z+—j=-3Im(z)<=>>'—γ—.

<*\y—r^=0 χ +y o y

1 2

x +y2

2«1 κ β ι

2.2 <=>y=0 ή

•=4 χ2 +y2

<=>y=Ο ή χ2+y2

Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας χ'χ με εξαίρεση το σημείο 0(0,0) και ο κύκλος με κέντρο 0(0,0) και ακτίνα Ρ~~^ •

2.3

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έ χ ο υ μ ε : | l + / ' | = V l 2 +1 2 = ^ 2 = ) 1 - ' 1 , αφού

\ζ\=\ζ\

|3+4/|=λ/3 2 +4 2 =V25=5=|3-4/| 1-5/1=-^0 2 + ( - 5 ) 2 = λ / 2 5 = 5

_\l+i\

1+/

|-4|=4,

=1, αφού |1+/'|=|1-/'|

1-/ " Μ | ( 1 - Ο 2 -(1+/) 4 1=)1-/| 2 ·|1+/| 4 =λ/2 2 ·Λ/2 4 = 2 · 2 2 = 2 3 = 8 |(2-i)-(l+2/)=|2-/|-|l+2/|=V22 +(-1)2 - V l 2 + 2 2 = ^ 5 - ^ 5 = ^

|3+/| __ V3 2 +1 2

3+/ 4-3/

|4-3/|

λ/ΪΟ _ Vio

^4 +(-3)

Λ/25

2. Έ χ ο υ μ ε .

| ( 1 + 0

| = | 1 + Ί

.\ 2

= Λ / 2

= 2

1+/· 2 1-/ 1-/ 1+/

-Γ|1+ΊΊ =1 IimJ

/ .Λ+μ/λ 2

λ+μί

,Λ-μ/

λ- μί

2 Π1- ' ΐ Ί J1+'L 2

'|A+/i/|

=12 =1

Ι μ - -μί\

3. α) Έ χ ο υ μ ε \ζ2\=ζ2 <=>\ζ\2=ζ2 <=>ζζ=ζ2 <=>ζ(ζ-ζ)=0 οζ=0

ή ζ=ζ

o z e 1R

β) α ' τ ρ ό π ο ς : Αν |ζ-1|=ζ, τότε ο ζ θα είναι μη αρνητικός πραγματικός, αφού τέτοιος είναι και ο | ζ - 1 | . Επομένως Οα είναι ζ=χ,

χ>0,

οπότε θα έχου-

με: |z-l|=z<s>|x-l|=x

<=>χ-1=χ

x-l=-x

<=>χ=-1 2 Άρα,

ζ=;-..

β' τρόπος: Αν

z=x+yi,

τότε: | z - l | = z < = > | ( x - l ) + . y / | = x + ν / <=>^/(x-l) 2 +y2

JiMV-«{""""J |v=o

lv=°

=x+yi

ι χ—— 2 • v=0

Άρα,

ζ——: 2 γ) « ' τ ρ ό π ο ς : , Αν |ζ+ί|=2ζ, τότε ο 2ζ θα είναι μη αρνητικός πραγματικός. Επομέν ω ς θα είναι ζ = χ , χ > 0 , οπότε θα έχουμε: | z + / ' | = 2 z < t i > | x + / | = 2 x » V x 2 +1 =2x<=>.r 2 + l = 4 x 2 _ι « 3 χ .2 =1

Αρα,

^ „ 2 _ 1 <=>χ =— 3

ζ = — 3

β' τρόπος: Ό π ω ς ο β' τρόπος της περίπτωσης 3β).

..Λ/3 <^ = „>. x =—, 3

αφού

χ>0

4. α) Αν |ζ|=1, τότε ο ζ θα απέχει από το 0(0,0) α π ό σ τ α σ η ίση με 1. Άρα, ο ζ θα βρίσκεται σε κύκλο κέντρου Ο και α κ τ ί ν α ς ρ= 1, ο οποίος έχει ε ξ ί σ ω σ η χ 2 + ν 2 =1. β) Αν |ζ-/'|=1, ο ζ θα απέχει από τον μιγαδικό /' (δηλαδή από το σημείο ΛΓ(Ο,Ι)) α π ό σ τ α σ η σταθερή ίση με 1. Άρα, ο ζ θα βρίσκεται σε κύκλο κ έ ν τ ρ ο υ λ'(Ο,Ι) και ακτίνας ρ=1, ο οποίος έχει ε ξ ί σ ω σ η : χ2 +(ν-1)2

=1.

γ) Ομοίως, αν |ζ+1+2/'|=3, δηλαδή αν | ζ - ( - 1 - 2 ί ' ) | = 3 , τότε ο ζ Οα απέχει από τον μιγαδικό - 1 - 2 / απόσταση ίση με 3. Άρα. ο ζ Οα βρίσκεται σε κύκλο κ έ ν τ ρ ο υ Κ(-1,-2) και ακτίνας ρ = 3 . ο οποίος έχει εξίσωση

(x+1)2+( ν+2)2 =9.

δ) Αν 1<|ζ|<2, τότε ο ζ θα βρίσκεται μεταξύ τ ω ν κ ύ κ λ ω ν με κέντρο το 0(0,0) και ακτίνες ρ] =1 και ρ2 =2 . ε) Αν |ζ|>2 , τότε ο ζ θα βρίσκεται στο ε ξ ω τ ε ρ ι κ ό του κύκλου κέν τ ρ ο υ 0(0,0) και α κ τ ί ν α ς ρ = 2 ή π ά ν ω στον κύκλο αυτό.

5. α) Έ χ ο υ μ ε |z+l|=|r-2/|o|z-(-l)Hz-2/'|. Άρα, οι α π ο σ τ ά σ ε ι ς του μιγαδικού ζ από τους μιγαδικούς -1+0/ και 0 + 2 / , δ η λ α δ ή από τα σημεία Λ(-1,0) και 5(0,2) είναι ίσες. Επομέ ν ω ς ο ζ θα ανήκει στη μεσοκάθετο του τ μ ή μ α τ ο ς ΑΒ. β) Έ χ ο υ μ ε k-'1>k+iMz-'1>|z-(-i)l. Ε π ο μ έ ν ω ς , η α π ό σ τ α σ η του μιγαδικού ζ από τον /', είναι μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η από τ η ν α π ό σ τ α σ η του από τον μιγαδικό -1+0/ . Άρα ο ζ θα βρίσκεται στο η μ ι ε π ί π ε δ ο που ορίζεται από τη μεσοκάθετο του ΑΒ και από το σημείο Β, όπου Α και Β τα σημεία με σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς (0, 1) και ( - 1 , 0 ) αντιστοίχως.

6. Έ χ ο υ μ ε ζ=^-^-, χ+ί

άρα \ζ\=

1+χ/

|1+χ/| λ /1+χ Π„

l*1

χ+ι

- ι , , - 1 . Α φ ο υ |ζ|=1, η ει-

y[^7L

κόνα Μ του ζ θα βρίσκεται στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ = 1. 82

7. Από την ισότητα | ζ - 4 / | = 2

προκύπτει ότι η

απόσταση του Μ ( ζ ) από το σημείο £(0,4) είναι σταθερή και ίση με 2. Επομένως το Μ ανήκει σε κύκλο με κέντρο £(0,4) και ακτίνα * Ρ=2· Σ ύ μ φ ω ν α με την εφαρμογή 2 (σελ. 199), ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο ζ, =2/ και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο ζ2 =6/.

8. Είναι: |w-l|=|2z|»|w-l|=2|z|<=>|w-l|=2 . Αρα, οι εικόνες του w ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το σημείο ΑΤ(Ι,Ο) και ακτίνα ρ=2. 9. α ' τ ρ ό π ο ς : Έστω

ζ, =x,+y,/' και ζ 2 =x2+y2i. z\+z2=(x^+x2)+(yx+y2)i

Τότε: και

zi-z2=(xl-x2)+(y-y2)i

•

Άρα: |ζ, +ζ212 +|ζ, —ζ2 | 2 = ( x , + χ 2 ) 2 +0», +.y 2 ) 2 +(x, -χ2)2

+CV, - y 2 ) 2

=2(x 2 + y 2 )+2(¾ 2 +y22 )=2|ζ, | 2 +2|ζ 2 1 2 . β' τρόπος: Έχουμε: |zj +ζ 2 1 2 +|z t - ζ 2 1 2 =(ζ, +ζ 2 )(ζ, +ζ 2 )+(ζ, - ζ 2 )(ζ, - ζ 2 )

Ζ| Zj "Ί- Ζ| Ζ ·•) ~t"Z2 Zj +Ζ2^2

~~~Ζ1ζ 2 —Ζ 2 Ζ1

Ζ Ζ

2 2

—

2ZjZJ 2Ζ2^2

—2|ζ, | 2 +2|Ζ2 | 2 .

2.3

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν z=x+yi,

τότε:

V^lzlW^+y2

=·\ΙΆχ2 +y2)

και |Re(z)|+|Im(z)|=|jf|+|y|,

Άρα: V2|z|>|Re(z)|+|Im(z) <=> y]2(x2 +y2)>\x\+\y\ <=> 2(x2 +y2)>x2 ox2

+y2 + 2 | x | \y\

+y2 Z2\x\\y\

»|x|

+\y\

-2\x\

i> |>Ί>0

»(|χ|-|>Ί)2 >0, που ισχύει. 2. Έ χ ο υ μ ε τις ισοδυναμίες: w φανταστικός

«h^-w ζ-1_

ζ-1

ζ +1

ζ+1

<=>(ζ-1)(ζ+1)=-(ζ-1)(ζ+1) <=>ζζ+ζ-ζ-1=-ζζ-ζ+ζ+1 <=>2ζζ=2 <=>ζζ=1 »|ζ|2=1 <=>|ζ|=1.

Έ χ ο υ μ ε τις ισοδυναμίες: w ε IR <=>^=1^ - 1 1 <=>ζ+—=ζ+— ζ ζ

<=>ζ2ζ+ζ=ζζ2

+Έ

<=>ζζ(ζ-ζ)-(ζ-ζ)=0 <=>(ζζ-1)(ζ-ζ)=0

»ζζ=1

ζ—ζ

<=>|ζ|=1

zelR.

Έ χ ο υ μ ε τις ισοδυναμίες: w φανταστικός

<=>w=-w ^

ζ-α;

-iz+a

_-(ζ+α<)

iz+a 84

<=>izz+az+az-a 2 i = / ' ζ ζ - α ζ - α ζ - α 2 / <=>2αζ=-2αζ <=>ζ=-ζ <=>ζ φανταστικός 5.

Αν z-x+yi,

επειδή η εικόνα του ζ ανήκει στον κύκλο κέντρου

0(0,0) και ακτίνας 1, θα είναι \ζ\=\ ή, ισοδύναμα, χ 2 + > > 2 = 1 . Επομένως, θα έχουμε: w = 2 z—i iz+2

\2z-i\

|2x+(2y-l)/[

|/'z+2|

|(-><+2)+x/|

•Jix 2 +(2^-1) 2 yl(2-y)

+x2

^4(x2 + ^ ) - 4 ^ + 1 2

yl(x +y )-4y+4

-J4x 2 + 4 y 2 - 4 y + l +y2 - 4 y + x 2 ^/4-1-4^+1

^/l-4y+4

6. Έ χ ο υ μ ε : |2z-l|=|z-2|<=>|2z-l| 2 = j z - 2 | 2 <=>(2z-l)(2z-l)=(z-2)(z-2) <=>4zz-2z-2z+l=zz-2z-2z+4 <=>3zz=3 <=>zz=l <=>|z| 2 =lo|z|=l. Αρα, η εικόνα του ζ ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο. 7. Έ χ ο υ μ ε : Λ=(1+ζ)(1+ζ)+(1-ζ)(1-ζ) =1+ζ+ζ+ζζ+1-ζ-ζ+ζζ ρ2(1+ζζ) /1(1) χ

=2(1+|ζ| 2 ) =2-2=4. Αν Μ, Κ και Λ είναι οι εικόνες των μιγαδικών ζ, - 1 και 1, αντιστοίχως, τότε θα είναι:

\\+Ζ\2=ΜΚ2,

\1-Ζ\2=ΜΛ2

και

Α=ΚΛ2.

Ε π ο μ έ ν ω ς , η ι σ ό τ η τ α | 1 + ζ | 2 + | 1 - ζ | 2 = 4 , που α π ο δ ε ί ξ α μ ε , γ ρ ά φ ε τ α ι ΜΚ2

+ΜΛ2

=ΚΛ2,

π ο υ σ η μ α ί ν ε ι ότι το τ ρ ί γ ω ν ο ΜΚΛ είναι ο ρ θ ο γ ώ ν ι ο στο Μ. Αυτό ή τ α ν α ν α μ ε ν ό μ ε ν ο , αφού το Μ είναι σημείο τ ο υ μ ο ν α δ ι α ί ο υ κ ύ κ λ ο υ και η ΚΛ δ ι ά μ ε τ ρ ο ς αυτού. 8. ·

Α ν z=x+yi,

τ ό τ ε θα έ χ ο υ μ ε : Α(-1,0)

|z+lHz+4/'|<=>|(x+l)+j>/|=|x+(y+4)/| <=>(x+l) 2 +y2 =χ2 + ( y + 4 ) 2

60 <=>2x+l=8y+16

3 4 ' " 34

1 x 15 . <=> y = — 4 8 Αρα,

ζητούμενος

Β( 0,-4) γεωμετρικός

τ ό π ο ς είναι η ε υ θ ε ί α ε: y=—χ-— 4 8 • Το ζ η τ ο ύ μ ε ν ο σ η μ ε ί ο είναι το ί χ ν ο ς τ η ς κ α θ έ τ ο υ από την α ρ χ ή Ο σ τ η ν ε. Η κ ά θ ε τ ο ς αυτή έχει ε ξ ί σ ω σ η y=—4χ και ε π ο μ έ ν ω ς οι σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς τ ο υ σ η μ ε ί ο υ τ ο μ ή ς τ η ς με την ε β ρ ί σ κ ε τ α ι από τ η λ ύ σ η τ ο υ y=—4χ r 15 60 συστήματος 1 15, που είναι το ζ ε ύ γ ο ς —, x y~~7 ~~T 134 34 4 8

9. Έ σ τ ω

ζλ=χλ+γχΐ 2

και 2

στον κ ύ κ λ ο χ + ν = 4

z2=x2+y2i.

Ε π ε ι δ ή το σ η μ ε ί ο

Μ,

κινείται

θα ισχύει x2+y2=l6.

(1)

4 Ε π ο μ έ ν ω ς , η ι σ ό τ η τ α z 2 =ζ, + — γ ρ ά φ ε τ α ι δ ι α δ ο χ ι κ ά :

Χι +y2i=X\ +y\i+

x2+y2i=xi+y\ii

x, +yxi

. 4(x, - ν.;') ' ' *ι +yf

• 4(*, - ν,ι) χ2 +y2/=x, + > , » + — Ιο

( λ ό γ ω τ η ς (1))

• *i 2+y7l=x\+y\>+-—7' 4

.Vi • 4

5*i 3vy *2+>2'=-7-+-7-4 4 cΕπομένως, '

5 x 2 = *1 4 4*, X. =-

και

3 -Vl y2-—-, 4

οποτε

και yx = 4 ½ (2) 1 3 5 Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των *ι και .y, στην (1) και έχουμε: 2 2 2 2 f 4 x 2 ] + ί 4 · Μ 2 = 1 6 « 1 6 * 2 - 16y2 =16<=>—+— Χ2 3^2 9 { 5 J 1 3 ) 25 9 25 Άρα, το σημείο Μ 2 κινείται στην έλλειψη με μεγάλο άξονα 2α=10 και εστίες £ ' ( - 4 , 0 ) , £"(4,0).

10.

α) Έ χ ο υ μ ε β) Από τις ισότητες ζ, =Ί

| ζ | = 1 » | ζ | =1<=>ζζ=1<=>ζ = |ζ, |=|ζ 2 |=|ζ 3 |=. , . = | z j = l ζ , =-

έχουμε 1

. ι2κ ~

1 1 1 —+—+...+— ζι ζ2 ζκ

Άρα

- | ζ , + ζ 2 +...+ζ κ =|ζ, + ζ 2 + . . . + ζ κ |

2.4

Α' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Έ χ ο υ μ ε

α)

p = A / l 2 + ( V 3 ) 2 =V4=2 και

συν#=— 2 ημ/9

Άρα ένα όρισμα είναι το θ=—.

Επομένως:

(αφού |ζ|=|ζ|).

π π 1 + ^ 3 / = 2 συν—+/ημ— 1 3 3 συ\θ= β)

p=-Jl2+(-j3)2

=-*/4=2 και ημ6»=

Λ/3 '

Ά ρ α έ ν α ό ρ ι σ μ α είναι το @ = ~ ~ · Ε π ο μ έ ν ω ς : /

1->/3ι=2 συν| ~Ι+ίημ( • ~

συν0=—

γ)

/>=>/(-1) +(->/3) =>/4=2 και

Άρα έ ν α ό ρ ι σ μ α είναι το

-I · Επομένως:

, /γ. ,ι 4π . 4π —1—λ/3/=2| συν κημ—

συν0=—

δ)

2 V3 ·

/ > = V ( - 1 ) + ( Λ / 3 ) = 2 και · ημ<2=

Ά ρ α έ ν α ό ρ ι σ μ α είναι το θ = π - — = ^ - • Ε π ο μ έ ν ω ς : 2π 2π -1+·\/3(=2^συν—+/'ημ- ^

ε)

Είναι:

4=4·1=(συνΟ-Η'ημΟ).

στ)

Είναι:

-4=4(συνπ+»'ημπ).

2. α)

υ , ;„..·3Λ0\ :0 , 4(συν15° +/ημ15°)·6(συν30"0 +/ημ30 )=24(συν45" +ίημ45°)

-24

β)

γ)

λ/2

i-Jl

ν 2

=12λ/2+12Λ/2;

5[ συν—+/'ημ—1-2 συν—+/'ημ—)=1θ| συν—+/ημ—1=10(0+1/)=10/ 8) ^ 8 8 ,

1 συν

2π

ίο

5π 5π . 2π ι 3 π • 3π- . h/ημ— •1 σ υ ν — + / η μ — 1=1-1 σ υ ν — + / η μ — ίο; 10 10 10 10 π , π η ., . =συν—+/ημ—=0+/-1=/ 2 2

3. Έχουμε: . α)

β)

25(συν160 0 +/ημ160°) . 5λ/3 1 /Λ/3 = -5+ — 0 0 — ι. — ———^-=5(συν60 +/ημ60 υ )=5 — + 5(συν100°+/ημ100°) 2 2 2 V2 .( 5π 5π 6 συν ι-/ημ ν 6 6 J J (5π — -~6\ συν π . π U νI συν—+/ημ— 3 3

πΛΛ

πΛ . (5π +/ημ 3yJ 1ν 6

π . π =6 συν—+/ημ— =6-0+6-/-1=6/ ν 2 2

γ)

7(συν130 +/ημ130 ) 1 ,,, Λ <κ . , 1 C f l 0w — —=—(συν(150 )+/ημ(150 )) 14(συν(-20 )+/ημ(-20 )) 2 Λ/3

+ / -0 2

^ Ι+—/. 4 4

4. Από το θεώρημα de Moivre έχουμε: α)

(2(συν20 υ +/ημ20° )) 3 =2 3 (συν(3·20υ )+^(3-20 1 1 )) =8(συν60 +/ημ60 )=8 2

β)

5π 5π Ι 3(συν-^-+/ημ— 1 =3 8 συνΙ 8·— |+/ημ| 8-

=4+4λ/3/

=3 8 (συν(5·27Γ)+/ημ(5·27Γ))=38 (1+/ -0)=38

<JW| - - |+ιημ| 7Γ

Υ)

1+/

5. Έ ν ο υ μ ε

—τ== +/ =συν—ι-/ημ—. V2 2 2 4 4

ί Λ1+/Λ - 6

4%.

. . 6. Αν

=συν(-4π·)+/'ημ(-4π·)=1.

ν 4„

( π π =1 συν—+/'ημ— V 4 4j

1+/V3 ζ=—-—,

, τοτε

Αρα:

3π\

=συν \

( 3π

=-/(-1)=/.

ύ Μ ~ Τ

π . π ζ=συν—+/ημ—. Αρα:

ζ 2 0 0 0 =συν| 2000 j |+/ημ 2 0 0 0 -

=συν 333-2/Γ4

2π

2π +/ημ 333·2ΤΓ+·

ί2π) . ί2π) - 1 ij3 -1+/λ/3 =συν — +/ημ| — = — + — = — r — 2 2 I 3 J

„ 7. Έ χ ο υ μ ε

/— 7Γ . π- 1 Zj = ν 3 + / = 2 συν—+/ημ— , V 6 6)

, οποτε

ν „[ νπ . νπ} ζχ =2 ν συν ι-/ημ— V

6 ;

Άρα: ζ,ν +ζ2ν =ζ,ν +ζ, ν = Ζι ν +ζ, ν = 2 · 2 ν σ υ ν — = 2 ν + 1 σ υ ν — . 6 6

8. Έ σ τ ω

ζ=ρ(συνφ+ίημφ).

7Γ 7Γ Επειδή /'=συνγ+/ημ-^-, η διαίρεση του μι-

γαδικού ζ με το /' ισοδυναμεί με στροφή της διανυσματικής ακτίνας τ του ζ κατα γωνία -— .

9. Έ χ ο υ μ ε : ζ _!+/Λ/3 _(1+/'Λ/3)(1-/')_Λ/3+1 .>/3-1 w~ 1+/ ~~ α + 0 α - 0 90

(1)

π π , „ w = -Jl συν—+/ημ— . Ε π ο μ έ ν ω ς : 4 4,

Ό μ ω ς , ζ - 2 συν—+/ημ—Ι και 3 1 3 V ζ w

., 7Γ 71 2 συν—+/ημ— I 3 3

ν=λ/2

γζ π . π\ λ/2 σ υ ν 4- ++/ημ— /ημ— V. 4

συν—+/'ημ— =·\/2συν—+/>/2ημ—(2) 1 , 1 2 12 J 12 ' 12

Άρα, λόγω των (1) και (2), έχουμε: π ->/3+1 λ/2 σ υ ν — = 12 2 π Λ^ημ^ 12 10.

Αν

π · =V3+1 συν— — — = λ/2(λ/3+1)12 2>/2 4

, οποτε

λ/3-1

π Ι

ημ

λ/3-1

λ/2(λ/3-1)

ΐ 2 ~ 2λ/2 ~

z=x+_y;, τότε: ζ 2 =z<=>x2 -_y 2 + 2xyi=x-yi <=>

Χ2 -_V 2 =Χ

ix2-y2 -χ=0

2xy=-y

ly(2x+l)=0

χ2-y2-χ=0 y=0 ή

ζ*0 ίχ—1 <=> <

[γ=0

χ =

1 ~~

r 2 χ - χ = 0n , <=>1 n 1ν=0

χ = —1 2

χ=— 2

y=-

y=- Λ^

2 3 -ν = 7 χ = —1 2

2 Άρα, έ χ ο υ μ ε τους μιγαδικούς ζ , = 1 ,

1 .λ/3 2=_^"+/_^_

Για τον ζ, έχουμε: |ζ, |=1

και

^rgz, =0

Για τον ζ 2 έχουμε: |ζ 2 1=1

και

Argz2 =

Τ έ λ ο ς , για τον ζ 3 έχουμε: 1^31=1 αφου

και

ζ2=ζ3.

4τγ Argz3 =—,

και

1 .λ/Ι 3=_~~'" 2

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ

2.4 1. α) Ο μιγαδικός νν=

1+συν0+/ημ$ \

(1+συν0+/ημ0) ν

1+συν0-/ημί>

(1+συν0-/ημ0) ν

ως πηλίκο δύο

συζυγών μιγαδικών θα έχει μέτρο 1. Για την εύρεση ενός ο ρ ί σ μ α τ ο ς . , 1+συν0+/ημ0 Α του w θεωρούμε το μιγαδικό w, = — και εχουμε 1+συν0-/ημ0 (1+συν0+/'ημ0) 2 (1+συν£>-;η μ/9)(1+συν# +/ημ0) _ (1+συν#) 2 -ημ 2 0+2/ημ#(1+συν0) (1+συν#) 2 + η μ 2 0 _ 1+συν 2 0+2συν0-ημ 2 0+2/ημ0(1+συν0) 1+συν 2 0+2συν#+ημ 2 0 _ 2συν 2 0+2συν0+2/ημ0(1+συν0) 2+2συν# _ 2συν0(1+συν0)+2/ημ#(1+συν0) 2(1+συν0) 2(1+συν0)(ί·υν0+/'ημ0)

=συν#+/ημ0 .

2(1+συν0) Επομένως, έχουμε w=w,v =(συν#+/ημ0) ν =συνν0+/ημν0. Άρα, το μέτρο του w είναι 1 και ένα όρισμά του είναι το νθ. β)

Έχουμε: /—

2+λ/2+;λ/2"

ι— \ 100

λ/2 λ/2 i 1+ +ι 2 2

2+λ/2-/λ/2,

(, * ^100 ΤΙ 7ΐ 1+συν—+/ημ— (α) 4 4 , π π

1+συν—'ημ—

=συν

ΙΟΟΤΓ

2 .

Η/ημ

ΙΟΟΤΓ

=συν25η:+/ημ25π=-1.

2. α)

Είναι l+i=-j2\

συν—+/ημ— I 4 "4

π π 1 - / W 2 συν—;ημ—

και

Επομένως (l+/') v =(l-/) v <=>V2 V σ υ ν — + / ' η μ — | = V 2 l συν , 4 4 <=>

νπ

-νπ

<=> ν = 4κ, β)

κeZ

+/ημ

-νπ

κe Ζ

Έχουμε /',

/(ν)=

. = 2 κπ,

-νπ

1—/ | *βΥ

1+/

IV2J t / ? J

=Κ

+ , η μ

4ΐ

.""{•τΜ'ϊΙ

νπ =2 σ υ ν — , 4

οποτε y, ^ „ (ν+4)ττ „ / νπλ „ νπ , / ( ν + 4 ) = 2 σ υ ν — - — = 2συνΙ π + — Ι = - 2 σ υ ν — = - / ( ν ) . Άρα

/(ν+4)+/(ν)=0.

3. Αν ΟΑ/, και ΟΜ2

είναι οι διανυσματικές ακτίνες των εικόνων των

μιγαδικών ζχ και ζ 2 αντιστοίχως, τότε έχουμε: Ιζι + ζ 2 N Z 1 l+l z 2 M O M , +ΟΜ2 |=|ΟΜ, |+|ΟΜ 2 1 <=>ΟΑ/, ΤΤθΛ/ 2

(άσκηση 15 σελ. 48)

<=>Argzx =Argz2 .

4. Έ σ τ ω z=x+yi. α) z-i-x+{y-\)i,

Τότε: οπότε

Arg(z-i)=y<=>6

*>0 *>0 x>0 y-1 ;r<=>· γ-1 _ V 3 ~ -—=εφχ 6 χ 3 • 3

Λ/3

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ημιευθεία y = — χ + 1 , χ>0. β)

z+\=x+\+yi,

οπότε

Arg(z+1)=-

y>0 ir y = x + iι <=> y π <=>i „ —-=εφ[,y>0 4 x+l 4

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ημιευθεία y=x+1. χ>-1. . Τ)

ζ x+yi χ +y(y-1) + χ — : = — - — Γ Γ = _ 12 7 ~ Ί2 2 ζ-ι x+Cv-1); x +(y-1) χ +(y-l)2

Arg\—: \z-ij

Τ 1 ' °ποτε

2 π | x 2 +7v 2 - y7 = 0 =—» \ <=> χ + ^ χ>0 χ>0

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του ημικυκλίου

-Ι-4ΗΓ

χ>0.

5. Είναι: |ζ+2-5/|<2 <=>|z-(-2+5/)|<2.

(1)

Άρα, η (1) παριστάνει τον κυκλικό δίσκο που ορίζει ο κύκλος C με κέντρο £ ( - 2 , 5 ) και ακτίνα ρ=2 . Έ σ τ ω ΟΜχ και ΟΜ 2 οι εφαπτόμενες του κύκλου C από την αρχή των αξόνων. Τότε από όλα τα διανύσματα ΟΜ , όπου Μ σημείο του κυκλικού δίσκου, τη μικρότερη 94

Π2

I 2

γ ω ν ί α με τον άξονα χ'χ σχηματίζει το ΟΜλ , και τη μεγαλύτερη το ΟΜ2 • Επομένως, από όλους τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν την (1) το μικρότερο βασικό όρισμα το έχει ο μιγαδικός ζ, που απεικονίζεται στο Μ , και το μεγαλύτερο ο μιγαδικός ζ 2 που απεικονίζεται στο Μ2 • Επειδή ο y'y

εφάπτεται του κύκλου C στο Μλ

θα είναι

ζ, = 5 / . Για τον προσδιορισμό του ζ2 εργαζόμαστε ως εξής: Η ΟΜ2 έχει εξίσωση της μορφής

y = λχ, λ e IR και, επειδή εφάπτε-

ται του C, θα πρέπει το σύστημα

{

ν=λχ

(*+2) 2 +Cv~5) 2 =4

ν α έχει διπλή λύση. Είναι όμως: [y=L· [(jc+2) 2 + ( λ χ - 5 ) 2 =4

\y=L·

(1)

[(Α2 +\)χ 2 - 2 ( 5 A - 2 ) x + 2 5 = 0

(2)

Ε π ο μ έ ν ω ς , πρέπει η διακρίνουσα της (2) ν α είναι ίση με μηδέν, δηλαδή πρέπει 4(5Α—2)2 -4·25(λ 2 +1)=0<=>-10Α-21=0<=>Α=-— 20 Στην

περίπτωση

, , ( (x,.y)= I

αυτή

το

σύστημα

έχει

διπλή

λύση

την

100 105") „ 100 105 , . Αρα, z 2 = + /. 2 29 29 J 29 29

6. Είναι ζ ν =συνν#+/ημν0 και ζ ν =συν(-ν0)+/ημ(-ν0). Άρα: ζ ν +ζ'ν =2συνν0 ζν-ζ~ν=2/ημν0. 7. α) Είναι ΜΗ(>/3 •-/)-ζ|=|>/3-/'|·|ζ|=ί-y/3 2 +(_1) 2 )-1=^4 =2

Άρα, ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τόπος των εικόνων του νν είναι ο κύκλος κέντρου 0(0,0) και ακτίνας ρ = 2 .

β)

Επειδή \w\=2 και Argw=—, έχουμε

w=2\ συν-^+ζημ-^ |=2

Μ 2

=•^2+1^2 2

8. Πρέπει 2κ \+κ2 = ε φ 1-κ2

και

(1)

2κ

Im(z)=

(2)

->0.

1+κ

1+κ2 Όμως, η (1) γράφεται: - ^ — = S < ^ 2 K = S S K 2 o ^ K 2 + 2 K - S = a < ^ K = S ή κ=^τ> 3 1 -κ2 κ

οπότε, λόγω της (2), εχουμε

-Λ

~ — ·ΑΡα:

\2 ,V3

4 — + / —Ύ— = — ι +- /Λ— /3 -=— / rr\ . 1 . 1 2 2 1+1+1+ 3 2

ζ = 2

-+ι-

4~3

Για να είναι / ( * ) £ 0 για κάθε xeIR πρέπει και αρκεί ν α ισχύει ζ1<0. Όμως: ^ < 0 « ( 2 | ζ , - ζ 2 1 ) 2 -4·1(1+|ζ, | 2 )(1+|ζ212 )^0 <=Ηζ, - ζ 2 1 2 ^(1+|ζ, I2 )α+|ζ 2 1 2 ) <=>(ζ, -ζ2)(ζ,

-ζ2)<(1+ζ]ζ1)(1+ζ2ζ2)

<=>(Ζ] ~ζ2)(ζ1 ~ζ2^~ 1+ ζ 2 Ζ 2 "*"Ζ1Ζ1 +Ζ]2 2 2]Ζ 2 wZjΖ,

Ζ]Ζ2 ζ 2 ζ χ 4-Ζ2Ζ2 <1 + Ζ2Ζ2 4~Ζ,Ζ, -f-ζ,ζ 2 ζ,ζ 2

<=>1+ζ,ζ2 + ζ , ζ 2 + ζ 1 ζ 2 ζ , ζ 2 ^ 0 < » ( 1 + ζ , ζ 2 ) + ζ , ζ 2 ( 1 + ζ 1 ζ 2 ) > 0 <=>(1+ζ]ζ2 )(1+Ζ]Ζ2 ^ « - ( l + z , ζ 2 )(1+ζ,ζ 2 )>0 <=>|1+Ζ!Ζ2|2>0,

που

ισχύει.

2.5

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. α) Οι λύσεις της ε ξ ί σ ω σ η ς είναι οι μιγαδικοί z r =συν

2κπ 3

δηλαδή οι Ζ, = 2

1 2

+/ημ

2κπ

λγ=0,1,2 ,

ζ 0 =1,

π ^ J

ζ, = " + '

Ζ2

β) Οι λύσεις της ε ξ ί σ ω σ η ς είναι οι μιγαδικοί 2κπ

+/ημ

2κπ

., . κ=0,1,2,3 ,

4 ζ

δηλαδή οι

ι ='>

2=_1>

Ζ* = - / ·

γ) Οι λύσεις της ε ξ ί σ ω σ η ς είναι οι μιγαδικοί 2κπ . 2κπ ζκ = σ υ ν - — + / η μ - — , ο 6

χ:=0,1,2,3,4,5,

δηλαδή οι ζ

Ζ, = I H £ , ι 2 2

ο=1>

ζ , = —1 + /.V5 —, 2 2 2 , - Ι _ 4

Ζι

1-Λ/3 . 2

ζ„.=συν

Α ' 2 '

3 =-1,

2 ' 2

° /

L w χ

2. α)

Έχουμε

ζ 3 =-/'<=>ζ3 = σ υ ν ^ + / η μ ^ - . Άρα, οι λύσεις της ε ξ ί σ ω -

σης είναι οι μιγαδικοί 3?Γ in 3ζΛ (»2 κπ+— Ί 2 κπλ 2 . 2 zr =συν +/ημ 3 3 ν ) ν )

. ηι δηλαδη οι

κ=0,1.2

π π ζ 0 =συν—+/ημ—=ι (ΊπΛ . (Ίπλ π π λ/3 1 ζ, =συν — +/ημ — =-συν—•—/ημ—=—-——/ 6 6 2 2 V 6) Λ 6 π π λ/3 ΙΙπΛ . (I Ιπ ζ2 =συν — +;ημ| — =συν—'ημ—= 6 6 2 6 ) 6

και

»·

β) Έ χ ο υ μ ε :

j = 1 6 ί σ υ ν — + / ' η μ — <=>

2κχ+ συν-

ζ=λ/Ϊ6

<=> ζ = 2 συν

4/Τ

2κτγ+ -+/ημ-

Γ 3 κπ + 2π ^ I

( 3 κπ + 2π η μ

γ) ζ 5 =243|συν—+/'ημ—1<=> ζ = ^ 2 4 3 συν ^ 6 6

(2κπ+5πλ V

5π

. (2κπ + 5π + /η 30 J

κ = 0,1,2,3.4.

, . 3. α)

Εχουμε, Α

λ/2(1+0 λ/2 . λ/2 π . π = +/ =συν—+/ημ—. 2 2 2 4 4

Επομένως, οι ρίζες της ε ξ ί σ ω σ η ς είναι οι μιγαδικοί 98

, κ = 0,1,2,3

. 5π 2κ7Γ +— —+/ημ — 5 5

2 κπΊ

<=> ζ = 3 συν

4π

=Vi

π 71 τ 2κπλ— 2αγτγ Η— 4 ΐ-;ημ 4 συν —

( 8κ7Γ + 7ΐΛ =συν

δηλαδή οι

ζ 0 =συν — +/ημ

8 κπ+π

1"ΐ^]+'ημ

κ=0,1,2.

V12 Γ.3τιΛ . (3τΛ Jl ζ, =συν — +;ημ — = \ 4 2

U J

ζ2 =συν

και

(ΜπΛ

1,12 )

1 —/'Λ/3

ρ) Εχουμε

λ/2 —2

. (Μπ\ 5π . 5π =-συν /ημ— +'ημ

Λ 12 )

. Λ/3

5π

— - — = σ υ ν — + / η μ — .

ε ξ ί σ ω σ η ς είναι οι μιγαδικοί /

2κπ + 2

5π

4 V γ) Έ χ ο υ μ ε

Επομένως, οι ρίζες της

- —

κ=συν

(. 5π λ 2κπ-\ 3 , +/ημ 4 V /

ζ6 =64(συνπ+/ημπ).

*:=0,1,2,3.

Επομένως, οι ρίζες της ε ξ ί σ ω σ η ς

είναι οι μιγαδικοί . =λ/^4 συν

'2κπ+πΛ

. 2 κπ+πλ +/ημ

. (2κ+1)π . (2κ+1)π Ν =2| συν —+/ημ—

κ=0,1,2,3,4,5.

4. α) Έ χ ο υ μ ε z 3 +3z 2 + 4 z = 8 o z 3 +3z 2 + 4 z - 8 = 0 . Με σ χ ή μ α Horner βρίσκουμε ότι μια ρίζα είναι η ζ=1 και η εξίσωση γράφεται: -> (ζ-1)(ζ +4ζ+8)=0<=>ζ=1

—4 4"/4 ζ————=-2±2/.

β) Για την ζ 4 + 5 ζ " + 4 = 0 , που είναι διτετράγωνη, θέτουμε ζ 2 = > και έχουμε: w 2 +5w+4=0<=>w=—^^-<=>w=-4

W-—1.

•

Αν

ν ν = - 4 , τ ό τ ε ζ 2 = - 4 , οπότε ζ=2/ ή ζ = - 2 ;

•

Αν

νν=-1, τ ό τ ε ζ 2 = - 1 , οπότε ζ=/ ή ζ = - / .

5. Η ε ξ ί σ ω σ η 3χ 3 - 1 0 χ 2 + 7 χ + 1 0 = 0 έχει π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς και, α φ ο ύ έχει ω ς ρίζα τον 2+/', θα έχει και τον σ υ ζ υ γ ή του 2 - ϊ . Έ τ σ ι το α' μέλος θα έχει ως παράγοντα το γινόμενο ( x - 2 - / ' ) ( x - 2 + / ' ) = χ 2 - 4 x + 5 . Ε κ τ ε λ ο ύ μ ε τη δ ι α ί ρ ε σ η και β ρ ί σ κ ο υ μ ε π η λ ί κ ο 3 χ + 2 και υ π ό λ ο ι π ο 0. Ά ρ α η ε ξ ί σ ω σ η γ ρ ά φ ε τ α ι : (3x+2)(x 2 - 4 x + 5 ) = 0 <=>3χ+2=0 ή 2 » χ = — 3

3 w =1,

6. Ε π ε ι δ ή l+w=-w2.

είναι

Ι+w+w

χ2-4χ+5=0

χ=2±/.

ο w* —1 = =0, w-1

j l+w =-w

οπότε

και

Έτσι, έχουμε:

( 1 - w + w 2 ) ( 1 + w - h ' 2 ) = ( - 2 h ' ) ( - 2 h ' 2 ) = 4 h ' 3 =4 , αφού w 3 = l

7. Ε ί ν α ι : 1+Χ+Χ2 + χ 3 + χ

5 γι * - 1 =0<=> [χ -1 = 0 <=>^ίχ =1 Λ + χ =0 <=> < χ-1 (χ*1 [χ*1

Ά ρ α οι ρίζες τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς είναι οι μιγαδικοί: χκ=συν αφού, γ ι α κ=0,

8. Έ χ ο υ μ ε :

2 κπ

. 2 κπ +»ημ , 6 6

*=1,2,3,4,5,

έ χ ο υ μ ε χ 0 = 1 , που εξαιρείται.

z3+3ζ2+3Ζ+9=0<=>Ζ2(Ζ+3)+3(Ζ+3)=0 <=>(ζ+3)(ζ2+3)=0·»ζ+3=0 <=>ζ=-3 ή

t S

και

ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ=2^

- i S

είναι

κορυφές

•

100

ζ2+3=0

z=±iy/3 .

Π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ότι οι εικόνες .4(-3,0), Β(0,Λ/3), -3,

Γ(0,-Λ/3)

ισοπλεύρου

των ριζών

τριγώνου,

αφού

2.5

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. α)Έχουμε

3 3 ζ =1-/'<=>ζ = - J l [ συν| " f ) + ' η μ ( ~

JJ r

f 2 κπ-—

« ζ -yf2 ν β)

2 κπ,

+/ημ

συν ν

κ=0,1,2.

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (ζ-1)3=(1-/)(ζ+1)3

(1)

και επειδή δεν έχει ρίζα τον αριθμό 2 = - 1 , παίρνει τη μορφή (2) .2 +1)

Θέτουμε ζ-1 ζ+1

-w,

(3)

οπότε η (2) γράφεται w

=1-/.

Έ τ σ ι , λόγω της (α), έχουμε ο π ~ π 2κτγ— 2rar— 4 4 W = y[2 συν —+'ημ 3 3

κ=0,1,2.

Ό μ ω ς , λόγω της (3), είναι ζ-1

= Η·<=>Ζ-1 = Ζ>ν + Μ'

ζ+1 <=>z(l-w)=l+w <=>ζ=

1+w

(4)

αφου

1-νν Ετσι, η εξίσωση έχει ως λύσεις τους αριθμούς:

101

w * 1.

(4)

1+Η^

2κπ— οπου

w, =^2

συν

4 —+/ημ

2κπ— κ=0,1,2.

1-H"

2. α ' τ ρ ό π ο ς : Η εξίσωση

ζ 6 + 2 ζ 5 + 2 ζ 4 + 2 ζ 3 + ζ 2 +(ζ+1) 2 =0

γράφεται διαδοχικά

ζ 6 + 2 ζ 5 + 2 ζ 4 + 2 ζ 3 + 2 ζ 2 +2ζ+1=0 ζ 6 +2(ζ 5 + ζ 4 + ζ 3 + ζ 2 + ζ + 1 ) - 1 = 0 ζ6+2^-^-1=0 ζ-1 (αφού ο ζ=1 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης) ζ7 +ζ6 -ζ-1=0, ζ * 1 ζ6(ζ+1)-(ζ+1)=0, ζ*1 (ζ+1)(ζ 6 -1)=0, ζ * 1 . Επομένως, ζ = - 1 ή ( ζ 6 = 1 , με ζ * 1 ) . Για ζ * 1 , έχουμε: ζ 6 -1=0<=>(ζ 3 —1)(ζ3 +1) <=>(ζ-1)(ζ 2 +ζ+1)(ζ+1)(ζ 2 - ζ + 1 ) = 0 <=>ζ 2 +ζ+1=0

ζ+1=0

ζ2 -ζ+1=0

<=>ζ= -1±/V3 2

η,

ζ = - 1,

η,

ζ=

1±;V3 2

Επομένως, οι ρίζες είναι οι: ws; \ ' \ - 1 (διπλή),

1±' V3

και

l±iy/3

β' τρόπος: Μια προφανής ρίζα είναι η z = - l . Έ τ σ ι η εξίσωση, σ ύ μ φ ω ν α με το σχήμα Horner, γράφεται: (ζ+1)(ζ5+ζ4+ζ3+ζ2+ζ+1)=0 » ζ + 1 = 0 <=>ζ+1=0

ή ή

ζ5+ζ4+ζ3+ζ2+ζ+1=0 ζ6 -1 ζ-1

102

»ζ=-1

ή (ζ =1 με

<=>ζ=-1

η ζ=συν

2κπ

ζ*1) +/ημ

2κπ

.η „ . . , κ=1,2,3,4,3

, c . 1 ±i£ <=>ζ=-1 /(διπλή) ή ζ—

. η

ζ=

-l±i£

3. Έ χ ο υ μ ε : ζ 7 +1=0<=>ζ7 =-1=συν7Γ+ζημπ<=>ζ=ζ κ , ζ„ =| συν

οπου

π+2κπ

+/ημ

*=0,1,2,3,4,5,6,

π+2 κπ

Επομένως π π ζ ο =συν—+ιημ—,

ζ, =συν

3π

Ζ4 —22 ,

3π Ηημ—

Ζ5 =Ζ\ .

5π 5π ζ2 = σ υ ν — + / η μ —

β=ζο·

ζ3 =συνπ+/ημπ=-1, Το πολυώνυμο ζ 7 + 1 γράφεται ζ 7 +1=(ζ+1)(ζ 6 - ζ 5 + ζ 4 - ζ 3 + ζ 2 - ζ + 1 )

(1)

Όμως ζ7+1=(ζ-ζ0)(ζ-ζ, )(ζ-ζ2)(ζ-ζ3)(ζ-ζ4)(ζ-ζ5)(ζ-ζ6) = (Ζ-Ζ0)(Ζ-Ζ1)(Ζ-Ζ2)(Ζ+1)(Ζ-Ζ2)(Ζ-Ζ1)(Ζ-Ζ0)

=(ζ+1)·[(ζ-ζ0)(ζ-ζ0)]·[(ζ-ζ,)(ζ-ζ,)]*[(ζ ζ 2 ) ( ζ - ζ 2 ) ]

(2)

Από τις ισότητες (1) και (2) έχουμε: ζ 6 - ζ 5 + ζ 4 - ζ 3 + ζ 2 -ζ+1=[(ζ-ζ0)(ζ-ζ0)][(ζ-ζ,)(ζ-ζ!)][(ζ-ζ2)(ζ-ζ2)]. Καθένας από τους τρεις παράγοντες του δευτέρου μέλους είναι τριώνυμο δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές. Πράγματι, ο παράγοντας ( ζ - ζ 0 ) ( ζ - ζ 0 ) γράφεται

103

(ζ-ζ0)(ζ-ζ0)= ζ -(ζ0+ζ0)ζ+ζ0ζ0 =ζ2-2ζσυν—+1. ( ζ - ζ , ) ( ζ - ζ , ) =ζ - ( ζ , + ζ , ) ζ + ζ , ζ 1

Ομοίως

„ 3π , =ζ 2 - 2 ζ σ υ ν — + 1 ( ζ - ζ 2 ) ( ζ - ζ 2 ) =ζ - ( ζ 2 + ζ 2 ) ζ + ζ 2 ζ 2

και

2 „ =ζ -2ζσυν

, hi.

4. Έ χ ο υ μ ε (ζ 2 +1) 2 + z J + ζ = 0 « ( ζ ' +\Υ + ζ ( ζ ζ +1)=0<=>(ζζ +1)(ζ ζ +ζ+1)=0 <=>ζ2 +1=0 ή «ζ2+1=0

ή (ζ3=1,

<=>ζ=±ζ

2π . 2π οπου ω = σ υ ν — + / η μ — , αφου Θέτουμε, ζ •

+2ζ

τώρα,

ζ2+ζ+1=0

καθεμιά

ζ=ω

με ή

ζ * 1) ζ=ω ,

ζ*1. από

τις

ρίζες

αυτές

στην

εξίσωση

=1=0 και ελέγχουμε αν την επαληθεύουν ή όχι. Έ τ σ ι :

Για ζ—ι είναι: ζ 1 6 +2ζ 1 4 +1=/ 16 +2/ 1 4 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 .

Άρα, ο μιγαδικός ζ είναι ρίζα και της ε ξ ί σ ω σ η ς ζ 1 6 + 2 ζ 1 4 + 1 = 0 . Επειδή η ε ξ ί σ ω σ η αύτή έχει πραγματικούς συντελεστές, ο συζυγής του /, δηλαδή ο -ζ θα είναι και αυτός ρίζα της. Αρα, οι αριθμοί z και -ζ είναι κοινές ρίζες των εξισώσεων. •

Για ζ - ω , επειδή <w 3 =l, είναι: ω 1 6 +2<w14 +1=® 15 ·ω+2ωη -ω+2ω2

·ω 2 +1

+1=(1+ω+ω 2 )+<ϋ 2 =0+<w2 -ω1 * 0

Αρα, η ω δεν είναι κοινή ρίζα των εξισώσεων, οπότε και η συζυγής της δεν μπορεί ν α είναι κοινή ρίζα αυτών.

104

Τ ε λ ι κ ά , οι δύο ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς έ χ ο υ ν δύο ρίζες κοινές, τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς i και - / . 5. α ' τ ρ ό π ο ς : Η εξίσωση:

Ζ 7 ·Ζ 3 =1 γ ρ ά φ ε τ α ι ι σ ο δ ύ ν α μ α ζ 4 ( ζ · ζ ) 3 = 1 » ζ 4 ( | ζ | 2 ) 3 =1<=>ζ 4 |ζ| 6 =1.

(1)

Επομένως: |Ζ 4 |Ζ| 6 |=|1Μ2| 4 |^Γ=1<=>|ζ| 1 0 =1<=>Ι^| 2 =1·»ΖΖ=1<»(ΖΖ) 3 =1. Ά ρ α η (1) γ ρ ά φ ε τ α ι : ζ4(ζζ)3=1<=>ζ4=1»ζ=±1 ή

z—±i.

β' τρόπος: Έστω

ζ = ρ ( σ υ ν 0 + / η μ 0 ) η τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ή μορφή του ζ . Τότε η εξί-

σωση γράφεται ,ο 7 (συν70 + ίημ70)·/> 3 (συν(-30)+/ημ(-30)) = 1 <=> ρ 1 ο (συν40+/'ημ40) = 1 <=>/>=1 και

40 = 2rar, κ ε Ζ

κπ <=>ρ=1 και θ=—,

are Ζ .

2 Ά ρ α , οι ρίζες ε ί ν α ι z0 =1,

ζ, = σ υ ν · | + ί η μ · | = / ,

, ζ2 = σ υ ν ^ + / η μ π = - 1

6. Έ σ τ ω ξ

3π . 3π ζ3 = σ υ ν — + * η μ — = - / .

και

μία π ρ α γ μ α τ ι κ ή ρίζα τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς . Τότε (1+ξί)ν-ρ(1-ξίγ

οπότε

(1+£)ν

J l ± e r

7. α)

ί1+ξί)

ι+ξί

U-£'J

\-ξί

Είναι: +χ = 1 22

-(-2) =2 j

και

105

4 χ, χ-, = — = 4 . 1 2 }

ί |ΐ+ί'·|Ί

=Γ=1.

~τι"

ττττ.

Άρα, x

(*i +x2y

=2l - 2 - 4 = - 4

-2xlx2

χ2 +px+q=0

β) Αφού η εξίσωση θα ισχύει:

έχει ρίζες τις ρ] =χ2

Ρ=ΛΡ\ +Ρ2)=~<Χ\ + * | ) = 4

8, α)

jc,2jc| =(λγ,χ 2 ) 2 =16

και

και ρ2 =χ2

q~P\Pi =χχχ\ =16 .

Η εξίσωση σ υ ν 2 0 · ζ 2 - 2 σ υ ν 0 · ζ + ( 5 - 4 σ υ ν 2 0 ) = Ο είναι β' βαθμού

ως προς z και έχει διακρίνουσα: ^ = ( - 2 σ υ ν 0 ) 2 -4συν 2 6 ι (5-4συν 2 0) =4συν 2 0(1-5+4συν 2 0)=4συν 2 #(-4+4συν 2 0) =-16συν 2 0(1-4συν 2 #)=-(4συν0ημ0) 2 < 0 . Έ τ σ ι έχουμε: 2συν0±;4ημ0συν0 Ζ

1,2

l+2/ημ#

συν#

συνθ

2συν #

±2ίεφθ.

β) Οι εικόνες των λύσεων, καθώς το θ μεταβάλλεται στο f - £ , £ | . είναι τα σημεία με συνισταμένες (x,y)=\——, ±2εφ0 I, συνθ χουμε:

συνθ , χ\\ιθ

y=±2

συνθ

οποτε

χ2=—ίσον 2 # , ^ = 4 j m συν 2 0

Έτσι, θα έ-

1 συν"0

και αρα

ημ20

συν 2 0

2 Χ2 V ν" Ι - η μ ^ συν2 θ — =1. Άρα. οι εικόνες των λύσε2 2τ21 1* συν2θ συν 2 # ων της εξίσωσης κινούνται στην υπερβολή

Επομένως

2 £

y _ , 22

9. Έχουμε 106

ΙΙίΡϊΡΙΙΙΙΙΙ χ9 - χ 5 + χ 4 - 1 = 0 « χ 5 (χ4 -1)+χ4 -1=0 <=> (χ 4 - 1 ) ( χ 5 +1) = 0 οχ

-1 =0

(1)

χ5+1=0

(2)

Όμως: χ 4 - 1 = 0 < = > ( χ 2 - 1 ) ( χ 2 + 1 ) = 0 » χ 2 =1 ή χ 2 = - 1 » χ = ± 1 ή

x=±i

και χ 5 +1=0<=>χ5 =-1<=>χ 5 =συν;τ+/ημπ <=>χ=συν

2 κπ+π

+τημ

2κπ+π

„,„. . , *=0,1,2,3,4.

Γ Ε Ν Ι Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ (Γ Ο Μ Α Α Α Σ ) 1. α)

Έχουμε Ν

ι-Ϊ

ΐ-ιΊ if - - ] +1 Ζ ιι Ζ) > ί

(

ρ 1

V ζ;

1 ζJ

- α + ζ ) (ζ—ί) ζ ζ 1 1 ζ ζ

(ζ-1)·(ζ+1) ζζ -(ζ+ζ)

_(z~l)(z+l)_y.^ ζ+ζ

ζζ β)

Έχουμε: /(*)

_ ζ ζ + ζ - ζ - 1 _α2χ2 ζ+ζ

+β2y2

+2βγί-1 _αιχζ

2α*

+βζyz

βγ .

2 αχ

αχ

Έτσι: Rc(/(z))=0<=>a 2 x 2 +β2ν2

, ο22 2, , 2 - l = 0 o a 22x„ 2 +P y =1

\ 2

ί']

/ χ2

ίιϊ 2 V V«J 107

J )

ΓΕΝΙΚΕΣ

2. Αν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

z=x+yi,

Γ' ΟΜΑΔΑΣ

τότε η ισότητα w=w, γ ρ ά φ ε τ α ι δ ι α δ ο χ ι κ ά 1 z-zi=—αι α x+yi-(x+yi)i=-—α; α (x+y)-(x-y)i=--ai α χ+ν——α x-y=a

Επομένως χ2 -y2

και με π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ό κ α τ ά μέλη έ χ ο υ μ ε

π ο υ είναι εξίσοιση ι σ ο σ κ ε λ ο ύ ς υ π ε ρ β ο λ ή ς .

3. α) Α ν z=x+yi,

τότε θα έ χ ο υ μ ε χ=λ+2 ίλ=χ-2 τι , Η τι y=3Λ-1 [y=3/.-\

<=>y=3(*-2)-l <=>>>=3x-7.

Άρα, ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τόπος των ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ y=3χ-Ί.

ζ είναι η ε υ θ ε ί α

β) Έ χ ο υ μ ε : w=z+l+/<=>vf=(A+3)+3A/'. Άρα, αν w=x+yi, χ=λ+3 y=3A

τότε θα ισχύει: Γλ=χ—3 <=Χ <=>y v=3(x-3)<=>γ ν = 3 * - 9 . [γ=3λ

Ε π ο μ έ ν ω ς , ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τόπος τ ω ν εικόνων του w είναι η ε υ θ ε ί α y=3χ-9. (γ) Το π λ η σ ι έ σ τ ε ρ ο σημείο τ η ς ε υ θ ε ί α ς ε : y=3x-7

από το σ η μ ε ί ο

0(0,0) είναι το ίχνος της κ ά θ ε τ η ς η προς την ε από το 0 ( 0 , 0 ) . Ε π ε ι δ ή Κ 'λη = ~ 1 , έχουμε λη = - ~ . Άρα, η ε υ θ ε ί α η έχει ε ξ ί σ ω σ η

ν=—^-χ.

Έ τ σ ι , το ζ η τ ο ύ μ ε ν ο σ η μ ε ί ο θα είναι το σημείο τ ο μ ή ς τ ω ν ε και η. Ε Ι* ν = 3 χ - 7 π ι λ ύ ο ν τ α ς το σ ύ σ τ η μ α ]

βρίσκουμε ότι οι σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ε ς τ ο υ

108

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ' ΟΜΑΔΑΣ

. Λ Γ 21 σημείου αυτου είναι (χ, ν ) = — , 110 f

της ε προς το Ο 0α είναι το Α 4. α) Αν z=x+yi,

Άρα, το πλησιέστερο σημείο

7Ν

τότε

|2ζ + 1|<|ζ+/|<=>| (2χ +1) + 2yi |<| χ+(>> + 1)ι'| <=>(2χ+1)2 +(2y)2 <χ 2 + ( y + l ) 2 <=>4χ2 + 4 x + l + 4 y 2 - χ 2 -y2-2y-l<0 <=>3χ~ +4χ+3_ν -2y<0 >\2

~2 2 χ12 +2—χ+ — U) 3 f

"ΊΗΐϊ

2\2

χ+-

+ y~~

Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών ζ που ικανοποιούν την ανίσωση είναι τα εσωτερικά σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο J 2 Π , y[5 Α — , — και ακτίνα ρ = - — . ( 3 3J 3

β)

Αν

z=x+yi,

τότε έχουμε

|z-l|=l+Re(z)<=>|(x-l)+> , ;|=l + x <=>·^(χ-1)2 +y2 =1+χ ί(χ-1) 2 +>> 2 =(1+*) 2

|ΐ+χ>0 ί y 2 =4χ

<=>y -4χ.

[ΐ+χ>0 Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών που ικανοποιούν την εξίσωση είναι τα σημεία της παραβολής y2 = 4 χ .

109

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙ 5. Αν

zv=xv+iyv,

Γ' ΟΜΑΔΑΣ ν=1,2,.,.,κ,

τότε

ζ ι + ζ 2 +...+ζκ =(χ, + χ 2 + . . . + x J + / ( y , +y2 +...+yK) Επομένως, αν υποθέσουμε ότι ζ, +ζ2 +...+ζκ = 0 , τότε Οα έχουμε x , + x 2 + . . . + χ κ =0

και

y]+y2+...+yK=0

Εφόσον, όμως, οι εικόνες των μιγαδικών ζι,ζ2,...,ζκ βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας

(1) yi i

•

.Vv •

y=λx,

i e R και δεν ανήκουν σ'αυτήν, θα ισχύει

• •

( y v >λχ ν για κάθε ν) ή

|/br„ χν

"χ

( y v <λχν για κάθε ν),

οπότε θα έχουμε

y\ +.v2 +-+yK >λ(*\ +χ2 +-+**)

ν, +y2 +...+yK <λ(χλ +χ2 +...+χκ). Έτσι, λόγω της (1), θα ισχύει 0>Λ·0 6. Από την ισότητα,

(1-ζ)ν=ζν,

αν

0<Λ·0, που είναι άτοπο.

z=x+yi,

y- k

έχουμε: |(1-ζ)νΗζνΜ1-ζ|ν=|ζΓ ο|1-ζ|=|ζ|

χ'

1/2 ί

x=V2

<^>\(l-x)-yi\=\x+yi\ •»-y/(l-x) 2 +y2 =ι]χ2 +y2 <=>l-2x=0 1 <=>χ=—. 2 Άρα, κάθε λύση της εξίσωσης ανήκει στην ευθεία χ=—

7. α)

Αφού το τριώνυμο f(x)=ax2

+βχ+γ

με α, β,ye R και α * 0 δεν

έχει πραγματικές ρίζες, ως γνωστόν, οι τιμές του για κάθε x e R θα είναι ομόσημες του α. Έτσι οι / ( * ) , /(Α) θα είναι ομόσημοι του α, άρα και μεταξύ τους, οπότε / ( κ ) · / ( Λ ) > 0 , δηλαδή (ακ2 +βκ+γ)(αλ2 +βλ+γ)>0. 110

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ' ΟΜΑΔΑΣ

β) Επειδή ζ 2 = ζ , , έχουμε: (αζ,2 +βζλ +7)(αζ 2 +β?2 +y)=(az, 2 +βζλ +y)(az 2 +βζλ +γ) =(azf +βζι +γ)(αζ2 +βζ] +γ) =|αζ,2 +/?ζ, + y | 2 > 0 , αφού ο ζ, δεν είναι ρίζα του αζ2 +βζ+γ. 8. Οι ρίζες της εξίσωσης z v = 1 είναι οι: ζ κ =συν

2κπ

+/ημ

2κπ

κ=0,1,2,...,ν-1.

Επομένως η σχέση 1 + ζ , + ζ 2 + . . . + ζ ν _ , =0 γράφεται 2π 4π 2(v-l)zr λ 1+συν—+συν—+...+συν ν

2π \π 2(ν—1)7Γ . +// ημ—+ημ—+...+ημ =0.

Αρα 2π 4π 2(ν-1)π „ ημ—+ημ—+...+ημ =ο ν

και

2π Απ 2(γ-\)π συν—+συν—+...+συν =-1. ν ν ν

111

Β'ΜΕΡΟΣ

ΑΝΑΑ ΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.1 και 1.2 1.

Α ' ΟΜΑΔΑΣ

ί) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ο ρ ί ζ ε τ α ι , όταν χ 2 - 3 χ + 2 * 0 Το τριώνυμο χ 2 - 3 χ + 2 έχει ρίζες: χ = 1 ή χ = 2. Επομένο^ς το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύνολο A = R - { 1 , 2 } . ii) Η συνάρτηση / ορίζεται, όταν x - l £ 0 και 2 - χ δ 0 , δηλαδή όταν χ > 1 και χ<2. Ε π ο μ έ ν ω ς το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύνολο Α =[1,2]. iii) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ο ρ ί ζ ε τ α ι , όταν 1 - χ 2 > 0 και χ * 0 . Η ανίσωση 1 - χ 2 > 0 αληθεύει, όταν χ 2 < 1 , δηλαδή όταν - Ι ^ χ ^ Ι . Επομένως το πεδίο ορισμού της / είναι το σύνολο A = [-1,0) u (0,1]. ίν) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ορίζεται, όταν l-ex > 0 » e * < 1 < = > χ < 0 . Άρα το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύνολο Α = (-οο,Ο).

ί ) Η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης / βρίσκεται π ά ν ω από τον άξονα των χ για εκείνα τα χ e IR για τα οποία ισχύει /(x)>0<=>x2 - 4 χ + 3 > 0 ο χ e (-σο, 1) ή

χ e (3,+αο)

ϋ ) Ο μ ο ί ω ς έχουμε: 1+χ —- > 0 ο · ( 1 + χ)(1 - χ) > 0 <=> - 1 < χ < 1. 1-χ i i i ) Ο μ ο ί ω ς είναι e* -1>0 3.

<=>e* > 1 » e * >e° ·» χ > 0 .

i) Η γραφική παράσταση της / βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g για εκείινα τα x e IR για τα οποία ισχύει

1,1 και L2 f(x) > g ( x ) <=> χ 3 + 2χ + 1 > * + 1 <=> χ 3 + χ > 0<=> χ(χ 7 +1) > Ο <ξ> Χ > Ο. ii) Ομοίως: / ( χ ) > g(x) < = > χ 3 + χ - 2 > χ 2 + χ - 2 < = > χ 3 - χ 2 > 0 < = > χ 2 ( χ - 1 ) > 0 < = > χ > 1 .

4. α) ,4(45) = 2,89-45+ 70,64 = 200,69 cm β) Γ(45) = 2,75-45+71,48 = 195,23cm.

5. Το τετράγωνο έχει περίμετρο χ, οπότε η π λ ε υ ρ ά του είναι — και το 4 χ1 ε μ β α δ ό του — . 16 Τ ο ισόπλευρο τρίγωνο έχει περίμετρο 2 0 - χ , οπότε η π λ ε υ ρ ά του 20

είναι

~ χ και το εμβαδο α *• του Λ/3 ( 2 0 - : Ρ 41,

χΐ /j Ε π ο μ έ ν ω ς Ε = Ετετρ + Ετριγ = — + ( 2 0 - * ) 2 με χ e (0,20). 16 36 6.

ί) Είναι „ , | * | , (0, / ( * ) = — + 1 = ·^ χ [2,

y ι χ<0

y=2, χ>0

*>0

Η γραφική παράσταση της / φαίν ε τ α ι στο διπλανό σχήμα.

y=0, χ<0 χ

Το σύνολο των τιμών της / είναι το f(A) = {0,2}

ii) Είναι

/γ=χί,

,-x , *<0 /(*) = * Ι * Η 2 _η· χ , χ>0

116

Ο\. Ν

I II

Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα Το σύνολο των τιμών της f είναι το / 0 4 ) = R

*>Ο χ

1 , 1 κο,ί 1.2

i i i ) H γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η της / δ ί ν ε τ α ι στο διπλανό σ χ ή μ α Το σύνολο των τιμών τ η ς / ε ί -

y y=-x+3,

*<l\

ν α ι τ ο / ( Α ) = [2,+οο)

JC>1

Ι Ι I I

In*, 0<jt<l

ΐν)Είναι /(*) =

lnx,

0<χ<1

In χ.

1<x

y= lnx, \<χ

Η γραφική παράσταση της / δ ί ν ε τ α ι στο διπλανό σ χ ή μ α Τ ο σ ύ ν ο λ ο των τ ι μ ώ ν τ η ς / ε ί ν α ι το / ( / 4 ) = [Ο,+ ο ο ) .

/y=JC+1,

~~q

ί ) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ο ρ ι σ μ ο ύ το σύνολο A =IR , ε ν ώ η g το Β = [Ο, + οο). Είναι Αφ Β και ε π ο μ έ ν ω ς οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς / και g δ ε ν ε ί ν α ι ίσες. Για κάθε χ > 0 έχουμε /(χ) =

y[7 = χ = (Vx) 2 = g(x).

Ά ρ α οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς / , g είναι ί σ ε ς στο δ ι ά σ τ η μ α [0,+ 00). ii) Οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς / , g

έχουν π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ το

R*. Για κάθε

x e R * έχουμε: r t

, * .

|χ| + | χ |

, ( l x j - i ) ( l x | + D

| χ | ( | χ | + 1)

1 * 1 - 1

|χ|

Επομένως / = g . iii) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ο ρ ι σ μ ο ύ το Α = [0,1)^(1, + οο). Γ ι α κ ά θε xeA,

έχουμε

/ν_Λ_ χ - ] JW-—j=— •Jx-l

(x-l)(Vx+l) ( χ - 1 ) ( λ / χ +1) Γ , = —7= τ= = ; = VX + 1. χ _ 1 ( λ / χ - 1)(Vx+1) 117

i i l i i i l i Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το 5 = [0,+οο). Ε π ο μ έ ν ω ς οι συν α ρ τ ή σ ε ι ς / και g έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού, οπότε δεν είναι ίσες. Είναι ό μ ω ς f ( x ) = g(x) για κάθε x e [ 0 , l ) u ( l , + o o ) . Α ρ α οι

/ , g είναι ίσες στο [0,1)u (1,+0°). 8. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ο ρ ί ζ ε τ α ι στο Λ = Κ " , ενώ η g στο 5 = R - { 1 } . Ε π ο μ έ νως, για κάθε x e R - { 0 , l } έχουμε:

ι-*2 +χ2

/1 . \t \ = /(*)+g(x) f , \ . / \ =*+ι + * if+g)W

(f-g)(x)=f(x)-g(x)

1-x

Χ+1

1-χ

x(l — x)

x(l-x)

_ 1 - χ 2 - χ 2 _ ί-2χ1

χ(1 - χ)

χ+1

1+χ

1-χ

(f-g)(x) = f(x)g(x) =

x(l-x)

χ+1 / ( χ

'Λ*)=>- * U J g(*) _j*l 1-χ

~χ1 **

αφού για κάθε x e R - { 0 , l } είναι g ( x ) * 0 . 9. Οι δύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Λ = (0, + οο), οπότε γ ι α κάθε χ & Α έ χ ο υ μ ε :

if + g) (χ) = /(χ) +g{x) = 2-Jx if - g)(*) = fix) ~ gix) = -j= Vx

if · g)ix) = fix)gix) = χ - — = x X

ενώ, για κάθε x e Α μβ gix) φ 0 , δηλαδή με x ^ l ι σ χ ύ ε ι : ,

Λ/Χ+-)=

^ gj

gix)

_Χ + 1 L

χ-1

Vx 10.

i) Η /

έχει

πεδίο

ορισμού το σύνολο

118

Df~

ενώ

η g

το

Dg =[0,+oo). Για ν α ορίζεται η παράσταση g(f(x)) (χ e Df

πρέπει

και / ( χ ) e Dg) <=> (χ e IR και χ2 > 0) ο χ e IR .

Επομένως, η g o f ορίζεται για κάθε x e IR και έχει τύπο: (g » / ) ( * ) = g ( / ( * ) ) = gix1) = V x 7 =\x\•

ii) Η /

έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

Df = IR, ενώ η g

το

Dt =[-1,1]. Για ν α ορίζεται η παράσταση g(/(x))

πρέπει:

( x e D f και / ( x ) e Dg) ο ( x e IR και / ( x ) e [ - l , l ] ) <=>ημχε[-1.1]»χεΚ . Επομένως, η g°f (g °/)00

ορίζεται για κάθε x e R και έχει τύπο

= £ ( / 0 0 ) = £(ημχ) = χ / ϊ ^ η μ ^ χ = V o w 2 * = I συνχ |

iii) Ομοίως η / έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = R και η g το π

= R - { x | x = /or + —, κ ε Ζ } . Τ Για ν α ορίζεται η παράσταση g ( / ( x ) ) πρέπει: (xeDf

και / ( x ) e Z ) g ) < = > ( χ e R και - j * m r + y ,

Επομένως, η g°f

(ceZ)oxel

ορίζεται για κάθε x e R και έχει τύπο

πλ π (g ° / ) 0 0 = # ( / 0 0 ) = gf - =εφ— = 1. 4 J 4

11. Η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το Df = R και η g το Dg = [2,+οο). Για ν α ορίζεται η παράσταση g ( / ( x ) ) πρέπει: ( x e D y και (x 2 +1) e Dg) <=> ( x e R και x 2 + l > 2 ) <=>x2 - 1 > 0 <=>χ>1 ή

χ<-1

<=> x e (-00, — l ] u [ Ι , + οο) = At. Επομένως, η go f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α,, και τύπο:

119

1 Μ

κ α * 1.2

ig ° /)(*) = gifix)) = g(x2 +1) = V*1-1

Για ν α ορίζεται η παράσταση / ( g ( x ) ) πρέπει (xeDg

και g ( x ) e D f ) · » ( χ £ 2 και V x - 2 eIR) ο xe[2,+oo) = β , .

Επομένως, η / ° g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 5, και τύπο if ° g m = /<*<*)) = / * £ - 2 ) = ( V ^ ) 12.

+l= x-2 +l = x-l.

i) Η συνάρτηση / ( χ ) = η μ ( χ 2 + 1 ) είναι σύνθεση της A(jc) = χ 2 + 1 με τη £ ( * ) = ημχ ίϊ) Η συνάρτηση / ( χ ) = 2 η μ 2 3 χ + 1 είναι σύνθεση των συναρτήσεων Λ(χ) = 3χ, gix) = ημχ και φ{χ) = 2 χ 2 + 1 , iii) Η συνάρτηση / ( χ ) = ln(e2* - Ί ) είναι σύνθεση των συναρτήσεων x

Λ(χ) = 2 χ , gix) = e -l

και ^>(χ) = 1ιιχ.

iv) Η συνάρτηση / ( χ ) = ημ 2 3χ είναι σύνθεση των συναρτήσεων

hix) = 3x, gix) = ημχ και <®(χ)=χ2 1.1 και 1.2 1.

Β' ΟΜΑΑΑΣ

i) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία /4(1,0) και 5(0,1) έχει συντελεστή κατεύθυνσης λ = - ^ = - 1 , οπότε η εξίσωσή της είναι: y - 0 = (—l)(x—1) <=> y~ - χ + 1 . Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Γ(2,0) λεστή κατεύθυνσης λ =

και /J(l, 1) έχει συντε-

= -i- = - 1 , οπότε η εξίσωσή της είναι:

,ν-0 = (-1)(χ-2)«·>' = - χ + 2 . Επομένως το σχήμα μας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Γ - χ + 1, 0 < x < 1

fix) = •

[ - χ + 2, 1 < x < 2

ii)H ευθεία που διέρχεται από τα σημεία 0(0,0) και Ai 1,2) έχει λ = 2 και εξίσωση y = 2x.

120

r 1.,1 Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ^4(1,2)

και

Β(2,0)

έχει

- 2

λ = — = - 2 και εξίσωση y - 0 = - 2 ( χ - 2 ) <=>>> = - 2 x + 4 .

Ε π ο μ έ ν ω ς το σ χ ή μ α μας είναι η γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της συνάρτησης 2χ, 0 < jc < 1

/(*) =

-2Χ + 4,

LEX < 2

iii) Ομοίως έχουμε

/(*) = 2.

χ e [0,1)^(2,3)

χ e [L,2)u[3,4)

Το εμβαδόν των δύο βάσεων είναι 2ηχ', ενώ το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 2nxh , όπου h το ύψος του κυλίνδρου. Έχου628

200

πχ

,χ

200

400*

με ν = wx'h = 628, οπότε Α = —7 = Τ

ρης επιφάνειας γίνεται: 2πχ — =

και το

εμβαδόν της παράπλευ,

. Επομένως, το κόστος Κ(χ) εί-

ναι: Κ (χ) = 2πχ - 4 ·

400π

•1,25 = 8jdc +

500π

με

χ> 0.

Το εμβαδόν των βάσεων του κουτιού είναι π · 5 2 · 2 = 50π, ενώ το κόστος τους είναι 50·ττ·4 = 200π (δραχμ.) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 2 ^ · 5 · 8 = 8 0 π , ενώ το κόστος της είναι 80π·1.25 = 1007Γ. Ε π ο μ έ ν ω ς το συνολικό κόστος είναι 300τγ ξ 942 λεπτά =9,42 ευρώ. 3. · Αν 0 < χ < 1 , τότε: Τ α τ ρ ί γ ω ν α ΑΜΝ και ABE είναι όμοια, οπότε χ

(ΜΝ)

(ΑΒ)

(BE)

• <=> —

(ΜΝ)

<=> (ΜΝ) = 2.r Α "-γ^ΜΒ Επομένως, το εμβαδόν του γ ρ α μ μ ο σ κ ι α σ μ έ ν ο υ χωρίου, δίνεται από τον τύπο

121

1,1 κ α ι 1,2 Ε(χ) = — χ·(ΜΝ) = — χ·2χ = χ2, 2 2

με 0 < χ < 1 .

• Αν Ι 2 χ < 3 , τότε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου είναι ίσο με

Ά/

Ε(χ) = - 1 - 2 + (χ —1)2 = l+ 2x-2 = 2x-l, με 1 < χ < 3 . Αρα

χ , 2χ-ί,

Ε(χ)--

0 < χ S1 l e t <3

4. Από τα όμοια τρίγωνα ΛΒΓ και ΑΝΜ, έχουμε: ΒΓ ΤΤ7 ΜΝ

ΑΔ 10 77^777=< ΑΕ ΜΝ

5 5-χ

^2(5-χ)=ΜΝ.

Επομένως, Ε = Ε(χ) = ΜΝ ·ΚΝ = 2 ( 5 - χ)χ=-2χ2 Ρ = Ρ(χ)=2ΜΝ 5.

+ 2ΚΝ = 2·2(5-χ)

+ 10*,

+ 2·χ = 20-2χ,

i) ® Αν λγ<-1, τότε f t , = - x - 1 - x + l = —χ /(*)

Αν - 1 < χ < 1 , τότε / ω =

£ ± 1 ^ 1 ί

= Ι

• Αν 1 5 χ , τότε / ,(,* ). = x + 1 + x - l = * .

Αρα

/(*) =

-χ, χ<-1 1» -15 χ χ, χ>\

122

0<χ<5

<1.

και

0<χ<5.

Ι Λ κ α ι 1.2 y

Η γραφική παράσταση της / δίνεται στο διπλανό σχήμα. Από τη γραφική παράσταση ΐς / φαίνεται ότι το σύνολο τιμών της / είναι το σύνολο τ1

y=χ, χ>\

-1<jc<1

[1,+ 00)

ii) Έχουμε

/(*) =

ημ*·, xe[0,jr] Ο, χ ε (π,2π]

Η γραφική παράσταση της / δίνεται στο παρακάτω σχήμα.

>»=ημχ, 0<χ<π ι y=Ο, π<χ<2π

Το σύνολο τιμών της / είναι το [0,1],

ί) Έχουμε: f(g(x))

2π χ

= x2 +2χ+2

, δηλαδή f(x+l)

Αν θέσουμε ω = * + 1 ή, ισοδύναμα, χ = ω-1,

= x2+2x+2.

τότε

/ ( ω ) = (ω-1) 2 +2(ω-1) + 2 = ω2 -2ω + 1 + 2ω-2 + 2 = ω2 +1. Επομένως f ( x ) = x1 +1. ii) / ( £ ( * ) ) = Vl + * 2 , δηλαδή f(-x2) οπότε / ( ω ) = -Jl-co , ω<0.

= -\ll + x2 . Θέτουμε ω = ~χ2,

Επομένως f ( x ) = -Jl-x,

*<0

iii) g ( / ( x ) ) = | o u v x | o φ - f 2 ( x ) =| σ « ν χ | < = > \ - f 2 { x ) = m>v2x ^ /

(*) = 1 - σ υ ν 2 χ

<=> 2

/ (^)=ημ2* <=> I /(*) I=I ημ*-1 -

Μια τέτοια συνάρτηση είναι π.χ. η συνάρτηση / ( j c ) = | ηιιν-1, ή η συνάρτηση f ( x ) = ημχ ή η συνάρτηση / ( χ ) = -ημχ κ.τ.λ.

123

1.1 κ α ι 1.2

7. Οι συναρτήσεις/ και g ορίζονται στο Κ. — Για να ορίζεται η παράσταση f(g(x))

πρέπει:

(χ e IR και g(x) e IR) <=> χ e IR . — Επομένως ορίζεται η ( f ° g ) ( x ) και είναι ( / ° g ) ( * ) = / ( £ ( * ) ) = / ( α * + 2) = ax + 2 + l = ax + 3 . —

Για να ορίζεται η παράσταση

g(/(x))

πρέπει:

f(x) e IR) <=> χ e R . Επομένως ορίζεται η (g ° f)(x) (g ο /)(*) = g(f(x))

(xeR

και

και είναι

= g(x + l) = a(x + l) + 2 = ax + (a + 2).

Θέλουμε να είναι / ° g = g ° / , που ισχύει μόνο όταν (αχ+3 = αχ + α + 2, για κάθε

xeR)Ofl +2=3t>a=l.

8. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ο ρ ί ζ ε τ α ι στο Df = R \ { a } , ενώ η g στο Dg = [0, + <χ>). α) Για ν α ορίζεται η / ( / ( χ ) ) θα πρέπει: (xeDf

και f(x)eD,)o(x*a

και

αχ +

χ-α

^ * α)

<=>(χ*α) και ^ - c i J ) o x e D / . Επομένως, η f of

f(f(

w--

η η ) )

έχει πεδίο ορισμού το R\{a} και τύπο

αχ + β χ ~α + αχ + β a χ-α

+ αχ + rβ-αχ

+α

_χ(°·2+β)-χ α2 + β

β) Για ν α ορίζεται η g(g(x)) θα πρέπει: ( x e f l j και x-2-Jx + le Dg) ο (χ>0

και x-2-Jx +12.0)

» ( χ > 0 και (y[x-l)2>0) <=> x > 0 o x e D g . Επομένως η g°g

έχει πεδίο ορισμού το [0,+οο) και τύπο

g(g(x)) = (yig(x)-l)2 = (1-4χ-ΐ)2

=(VCV^-1)2 -Ι) 2 = (|>/ΐ-1|-1) 2 = =(~Jx)2-χ,

124

αφού O S x S l .

1*1 κ(κι 1·2 9.

i) Έ χ ο υ μ ε :

N(t) = 1 0 ^ 2 ( ( 7 / + 4 ^ + ^ / + 4 ] = 1 0 ^ 2 ( / + 8 - ^ + yft+20)

= 10^2(/ + 9 - ^ + 20)

ίί)Έχουμε: 10^2(/ + 9Λ/7 + 20) = 120 » ^2(/ + 9>// + 20) = 12 2(/+ 9-χ//+20) = 144 <=> / + 9>// + 20 = 72 <=> / + 9λ/7 - 5 2 = 0 <=> Λ// = 4 ή (V/ = - 1 3 , απορ.) <=> / = 16. Επομένιος μετά από 16 χρόνια τα αυτοκίνητα θα είναι 120.000.

JL3 1.

Α ' ΟΜΑΑΑΣ ί) Η συνάρτηση / ( x ) = V l - x έχει πεδίο ορισμού το ζί = (—οο, 1]. Έ σ τ ω x,.x 2

*ι

<χ

2 • Τότε έχουμε διαδοχικά:

1-χ, > 1-χ2 -y/l-X, > tJ\~X2 /(Χ, ) > / ( χ 2 ) . Αρα η / ii) Η

είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα στο ( - « . 1 ] .

συνάρτηση

/(χ) = 21η(χ-2)-1

έχει

πεδίο

J = (2. + οο). Έ σ τ ω x,.x 2 ε J με χ, < ν , . Τότε έχουμε διαδοχικά: χ, -

< χ,

ln(x, - 2 ) < ln(x, - 2 ) ln(x, - 2) - 1 < ln(x2 - 2 ) - 1 / ( x , ) < f(x2). Αρα η /

είναι γνησίως αύξουσα στο (2,+ οο).

125

ορισμού

το

iii) Η συνάρτηση / ( x ) = 3el

+1 έχει πεδίο ορισμού το Κ .

Έ σ τ ω x,, jc2 eIR με χ, < χ 2 . Τότε έχουμε διαδοχικά: -χ, > -χ2 1-χ, >1-χ2 e' "· >e'-*2 3χ'-χ> > 3e'~"2 3e'-*> +1 > 3e1'"2 +1 /(^1 ) > /(^2 ) · Άρα η /

είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα στο IR .

i v ) H συνάρτηση / ( χ ) = ( χ - 1 ) 2 - 1 έχει πεδίο ορισμού το J = (-oo,l], Έ σ τ ω x,,x 2 e z l με χ, < χ 2 . Τότε έχουμε διαδοχικά: x, - 1 < x 2 - 1 < 0. (χ,-1)2 >(χ2-1)2 (χ, - I ) 2 - 1 > ( χ 2 - I ) 2 - 1 /(χ,) > /(χ2). Άρα η / 2.

είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα στο στο (—οο, 1].

i) Η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το IR Έ σ τ ω x , , x 2 e R με / ( χ , ) = / ( χ - )

Τότε έχουμε διαδοχικά:

3χ, - 2 = 3χ 2 - 2 3χ, = 3 χ 2 χ, = χ 2 . Άρα η /

είναι 1 - 1 στο IR .

Για ν α βρούμε την αντίστροφη τ η ς / θέτουμε y = / ( χ ) και λύνουμε ως προς χ. Έ χ ο υ μ ε , λοιπόν: / ( χ ) =y<=> 3 x - 2 - y ο 3χ = y + 2 <=>χ = --V + 2 3 Επομένως / τηση /

-ί

(y) = —-—. οπότε η αντίστροφη της / είναι η συνάρ-

. χ+2 (χ) = —

126

IBlllll ii) Η συνάρτηση / ( x ) = x 2 +1, δεν έχει αντίστροφη, γιατί δεν είναι 1 - 1 , αφού / ( 1 ) = / ( - 1 ) , με 1 * - 1 . iii) Έ χ ο υ μ ε /(1) = / ( 2 ) = 1 με 1 * 2 . Άρα η / δεν είναι 1 - 1 στο R . Σ υ ν ε π ώ ς δεν έχει αντίστροφη. iv) Η συνάρτηση / ( x ) = \ll-x Έ σ τ ω x , , x 2 εΔ,

έχει πεδίο ορισμού το Δ = (-οο, 1].

με / ( x , ) = / ( * 2 ) · Τότε,έχουμε διαδοχικά: V1"*! = 0 - ^ 2 1 — jr, = 1 - χ 2

Άρα η /

είναι 1 - 1 στο R .

Για ν α βρούμε την αντίστροφη θέτουμε

ν = / ( χ ) και λύνουμε ως

προς χ. Έ τ σ ι έχουμε: /(x) = y o Vl-x = ν <=> 1 - x = y 3 ,

yS0

<=>x = l - y 3 ,

y>0.

Ε π ο μ έ ν ω ς / ~ ' ( y ) = l - y 3 , y S 0 , οπότε η αντίστροφη της / είναι η /"'(Χ) = 1-Χ3 , χ> 0. ν) Η συνάρτηση / ( x ) = l n ( l - x ) έχει πεδίο ορισμού το (-oo,l) = zl. Έ σ τ ω x,,x 2 ezl με / ( χ , ) = / ( χ 2 ) . Τότε έχουμε διαδοχικά ΙΠ(Ι-Χ,) = 1π(1-χ 2 ) 1 - χ , = 1 - χ2 -χ, = -χ2 χ, = χ 2 . Άρα η /

είναι 1 - 1 στο/1.

Για ν α βρούμε την αντίστροφη της / θέτουμε y = / ( χ ) και λύνουμε ως προς χ. Έτσι έχουμε:

127

/(χ) - y <=> ln(l- x) = y <=> 1—χ = ey <^x = l-ey Ε π ο μ έ ν ω ς f~l(y) / " ' ( x ) = l-e",

= l-ey,

y e R , οπότε η αντίστροφη τ η ς / ε ί ν α ι η

xeR.

vi) Η συνάρτηση f ( x ) = e " +1 έχει πεδίο ορισμού το R . Έ σ τ ω χι,χϊ

e R με / ( x , ) = / ( x 2 ) . Τότε έχουμε διαδοχικά:

«Γ*1 + \ = e~x2 +1

Αρα η / ε ί ν α ι 1 - 1 στο R . Για ν α βρούμε την αντίστροφη τ η ς / θ έ τ ο υ μ ε y = f ( x ) και λύνουμε ως προς χ. Έ χ ο υ μ ε λοιπόν:

f(x)=y<=>ex +l = y ο y-\ = e'x <=>ln(y-l) = - x ,

y>l

0 ^ = -111(^-1),

y>l

Ε π ο μ έ ν ω ς / ^ ( ^ ) = -111(^-1), y> 1, οπότε η αντίστροφη τ η ς / ε ί ν α ι η / ' ( * ) = -ln(x-l), χ>1.

νιι) Η συνάρτηση / ( χ ) =

e" -1

έχει πεδίο ορισμού το R . e χ +1 Έ σ τ ω x,,x 2 e R με / ( x , ) = / ( x 2 ) · Τότε έχουμε διαδοχικά: e'i - ι _ x>

e +1 _e*2

Xl e

-1

e" +1

+e*l

_e'l

+e*2

2ex' =2e"2 X, — x 2 . Αρα η / είναι 1 - 1 στο R . Για ν α βρούμε την αντίστροφη τ η ς / θ έ τ ο υ μ ε y = / ( x ) , οπότε έχουμε:

128

ι"ι ι » ι • ι i • i

• '* • " ]

,V Λ '~ f(x)=y<*-—=y e" +1

<=>e* -1 = ye* +y <=> ex -yex

= _y + l

¢3.^(1-^) = ^ + 1 o e

l+y =1- y

l + y , <=>x = l. n — — l-y

Επομένως /

με

i+y

>0.

l-y - lι < y < lι .

l+y Cv) = I n — — , ye (-1,1), οπότε η αντίστροφη τ η ς / l-y

είναι η / " ' (χ) = 1 η ί ^ - , χ ε (-1,1). 1-χ viii)Η / δ ε ν είναι 1 - 1 , γιατί / ( 0 ) = / ( 2 ) = 0 με 2 * 0 . Άρα η / δεν αντιστρέφεται. 3. Οι συναρτήσεις /,φ

και ψ αντιστρέ-

y\ y=f(x)i

φονται, αφού οι παράλληλες προς τον άξονα των χ τέμνουν τις γραφικές τους παραστάσεις το πολύ σ ' ένα σημείο. Αντίθετα η g δεν αντιστρέφεται. Οι γραφικές π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς των αντίστροφων των π α ρ α π ά ν ω συναρτήσεων φαίνονται στα σχήματα.

y=f\x)

ν=φ(χ) }'=φ·(χ)

ν=ψ(χ) y=ψ~ (χ)

ί) Η /

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο Δ, οπότε για κάθε xt,x2eA

χ, < χ 2 έχουμε διαδοχικά:

129

με

/(*,)< /(*2 ) -/(*ι)>-/(*2)

("/)(*, )>(-/)(*,)· Ε π ο μ έ ν ω ς η - / είναι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α στο ii) Έ σ τ ω χ , , χ 2 ε Λ με χ, < χ 2 . Επειδή οι f , g είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσες στο Δ θα ισχύει /(*ι)</(*2)

g(*i)<g(*2)>

οπότε θα έχουμε / ( * , ) + g ( * , ) < / ( * 2 ) + g(*2 ) . ή, ισοδύναμα,

(/+£)(*, )<(/+g)(* 2 ) · Άρα, η / + g είναι γνησίως α ύ ξ ο υ σ α στο Δ. ί ϋ ) Έ σ τ ω χι,χ2βΔ

με x, < χ 2

Επειδή οι / , g

είναι γ ν η σ ί ω ς αύ-

ξουσες στο Δ, θα ισχύει /(x,)</(x2)

και

g(x,)<g(*2)

και επειδή, επιπλέον, είναι / ( χ , ) > 0 και g ( x , ) > 0 , θα έχουμε

/(*ι )£(*,)</(* 2 )g(x 2 ), οπότε (./?)(*, ) < 0 & ) ( x 2 ) . Ά ρ α η fg είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

ΙΑ 1.

Α' ΟΜΑΔΑΣ Από τα σχήματα βρίσκουμε ότι: i) lim / ( x ) = 0 και / ( 3 ) = 2 χ—>3

ii) l i m / ( x ) = 2 και / ( 2 ) = 4 χ->2

iii)·

l i m / ( x ) = 2 και lim+ / ( x ) = l , οπότε η / δεν έχει όριο στο 1, *->1 *-»1 ε ν ώ είναι /(1) = 1.

130

• i • lim / ( x ) = Ο και lim / ( * ) = 1, οπότε η / δεν έχει όριο στο 2. *->2 ι->2* Επιπλέον, η / δεν ορίζεται στο 2 i v ) · lim / (0x)) = 0 και lim / ( x ) = l , οπότε η / δεν έχει όριο στο 1, χ—>1 *->1 *-»1+ ε ν ώ είναι / ( 1 ) = 1. • lim / ( x ) = 1 και lim+ / ( x ) = 2 , οπότε η / δεν έχει όριο στο 2, *->2~ *_>2 ε ν ώ είναι / ( 2 ) = 2. • lim / ( x ) = lim / ( x ) = 2 , ενώ η / δ ε ν ορίζεται στο 3. χ->3

i) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το IR—{2} και γράφεται < * - 2 ^ - 3 , ^ 3 . χ-2 Από τη γραφική παράσταση της / (διπ λ α ν ό σ χ ή μ α ) βρίσκουμε: l i m / ( x ) = - l . χ->2

y ϊ ϊ ) Ο μ ο ί ω ς από τη γραφική παράσταση τ η ς / (διπλανό σχήμα) βρίσκουμε: lim / ( x ) = 1. χ->1

1—

y =ι 1 | 1

χ χ

/y=x

iii) Ο μ ο ί ω ς από τη γραφική παράσταση τ η ς / ( δ ι π λ α ν ό σχήμα) βρίσκουμε lim / ( x ) = l *->ι

και

lim / ( χ ) = 0 , *->ι+

οπότε,

δεν

έχει

η /

όριο

x0 = 1 .

131

στο

lS.

y=-x< l \ .

. χ

i v ) H συνάρτηση / στο πεδίο ορισμού της IR—{0} γράφεται /(χ) = χ+-

χ +1,

χ>0

χ -1,

χ <0

οπότε από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της f Cf (διπλανό σ χ ή μ α ) βρίσκουμε: lim f (x) = - 1 .τ—>0" '

και

lim +f(x) = 1. jr->0

Επομένως, η / δ ε ν έχει όριο στο χ 0 = 0 . 3.

i ) H / σ τ ο πεδίο ορισμού της IR —{—1.1} γράφεται: /(χ)

χ(χ2-1)+ . ν * —1

)

(^-1)(χ + 3 ) χ' ι

= χ + 3

Από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της / που φαίνεται στο διπλανό σ χ ή μ α βρίσκουμε: l i m / ( x ) = 2 και χ-»-1

y=x+ 3

l i m / ( x ) = 4. jt—>1 "

y·

ii) Η / στο πεδίο ορισμού της

4 3 1

γραφεται: /(*) =

(x + l)^/(3x-l)

(χ + 1 ) | 3 χ - 1 |

3χ-1

οπότε - ( χ + 1),

αν

χ<

χ +1,

αν

χ>

- ι \

/(*) = Από τη γραφική π α ρ ά σ τ α σ η της / που φαίνεται στο διπλανό σ χ ή μ α βρίσκουμε:

132

-Γ 4 3

1 3

Ι Α 4 lim / ( χ ) = — και r 3 3

4 lim / ( x ) = — ι* 3 3

Επομένως, η / δ ε ν έχει όριο στο χ 0 =-^-.

i) Είναι αληθής, αφού lim f(x)= *-*-2

lim / ( x ) = 2 *->-2+

ii) Δεν είναι αληθής, αφού lim+ / ( x ) = 2 *-»ι iii) Δεν είναι αληθής, αφού lim / 0 ) = 1 και lim +/ 0 ) = 2 , που σηχ—νΓ ' Λ->1 μαίνει ότι η / δεν έχει όριο στο χ 0 = 1. iv) Αληθής, αφού lim / 0 ) = lim+ / 0 ) = 3x->2~ ι->2 ν) Δεν είναι αληθής, αφού lim / ( x ) = 3 x->3 vi) Αληθής, αφού lim / 0 ) = lim+ / 0 ) = 3 . x->4 *-*4 5. To lim / 0 ) υπάρχει, αν και μόνο αν lim / ( x ) = lim / ( x ) <=> Λ2 - 6 = Λ » λ = 3 ή ^ = - 2 .

1.5 1.

Α ΟΜΑΔΑΣ i) Έχουμε l i m ( x 5 - 4 x 3 - 2 x + 5) = 0 5 - 4 - 0 3 - 2 - 0 + 5 = 5 *->0

ii) limO 10 -2x3 x ->1

+ x - l ) = 110 - 2 - 1 3 + 1 - 1 = - 1

iii) limO 8 + 2x + 3)20 = [lim(x 8 +2x + 3)| = 2 20 . *->-1 —>—1 J iv) lim[(x-5) 3 1 x2 -2x-31] x-*3

= lim(x-5) 3 lim| x2 -2x-31= x->3 x—>3

X4+2*-5_!™(* +2X-5)__2_

v) lim * - x +3

lim(x + 3)

,. | x 2 — 3x| + | x — 21 vi) lim·1 —1—! i= *-»° x +x + l

lim(|x2-3x| + | x - 2 | ) 2 =- =2 l i m ( x 2 + x + l) 1 x—>0

133

(-2) 3 -0 = 0.

Vii) \imll(x + 2)2 = 3/lim(x+2) 2 = \ΙΪ* =\j9 . *->1 V x-+\ .... <Jx2 +X + 2-2 v m ) lim *->' χ + 4x + 3

lim(Vx 2 + X + 2 - 2 0 =— = — = o. 2 l i m ( x + 4 x + 3) 8 *->1

2. Έ χ ο υ μ ε : i) limg(x) = lim(3(/(x)) 2 - 5] = 3-4 2 - 5 = 43 x->2 *->2 lim|2/(x)-ll| , , ii) 1 ώ ^ ( ι ) = " - 1 2 lim(/(x)) +l 16 + 1

x->2

iii) lim g(x) = lim(/(x) + 2) lim(/(x) - 3) = (4 + 2)(4 - 3 ) = 6 x->2 x->2 x->2 3.

i) Για x = 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Για χ * 2 έχουμε: / ( x )

_x4-16 χ3-8

(χ2-4)(χ2+4)

(Χ + 2)(Χ2 +4)

( χ - 2 ) ( χ 2 + 2 χ + 4)

χ2+2χ +4

Επομένως, .. , . . ,. ( χ + 2)(χ 2 + 4 ) 4-8 8 lim / ( x ) = lim-= =-. *->2 4 12 3 + 2 χ + ii) Ομοίως για χ * 1 έχουμε: . 2χ2-3χ +1

(2χ-1)(χ-1)

2χ-1

χ2-1

( χ - 1 ) ( χ + 1)

χ+1

οπότε lim f{x) = lim———- = —. *-»> »-•> χ + 1 2 iii) Ομοίως για χ * 1 έχουμε:

ι--

/(*) =

ι-Ι

ΗΗ '

Επομένως,

lim / (x) = l i m ^ — = — *-»' *-»> χ + 1 2

134

Ι Χ

M i l iv) Ο μ ο ί ω ς γ ι α x * 0 έ χ ο υ μ ε : fix)

(x + 3) 3 - 2 7

(x + 3 - 3 ) [ ( x + 3) 2 + (x + 3 ) - 3 + 9 ]

χ = (x + 3)\ 2 + 3(x + 3) + 9 .

Επομένως, lim fix) = lim[(x + 3) + 3(x+3) + 9] = 27 . x->0 x->0

4. Έ χ ο υ μ ε : ,. 3 - λ / χ ,. 3-y[x ,. 3—fx 1 1 I) lim = lim = — = lim -= — = Inn — =— J 2 x_>9 6 9-x ^93 _(Vx) (3 + λ / χ ) ( 3 - λ / χ ) 3 + V* .., .. l-yll-x2 II) lim *2

.. ( 1 - V l - * 2 ) ( 1 + V * - * 2 ) ,. l-(l-x2) = lim- η = = lim I->0 x\l + yll-x2) x*H + Jl-x2) 1 = lim, I->0 l + \/l-x2

1 2

..., ,. Jx + 2-2 ,. iyix + 2 - 2 ) ( λ / χ + 2 +2)(Vx 2 + 5 + 3 ) 111) lim = — = lim——== — = - = ~2 ylx2 + 5 - 3 ^ 2 (V* 2 + 5 + 3 )(λ/χ 2 + 5 - 3 ) ( λ / χ + 2 + 2) ,.

= 11m

(x-2)(Vx2+5+3)

* - 2 (JC2 - 4 ) ( V x + 2 + 2 ) λ/χ 2 + 5 + 3 = lim ->2(x+2)(Vx+2+2)

. , ,. λ/χ - 2 ,. (λ/χ-2) ,. vi-2 iv) l i m — = lim = lim *^"x2-5x + 4 (x-l)(x-4) ^4(x-l)[(Vx)2-22] λ/χ-2 1

™(x-l)(Vi + 2)(Vi-2)

= 1lim

= =— (χ-1)(λ/χ + 2) 12

135

ΐ ) Γ ι α χ < 1 είναι / ( χ ) = χ , οπότε lim / ( χ ) = 1. χ->Γ Για χ > 1 είναι / ( χ ) = 5χ, οπότε lim / ( χ ) = 5. χ->1+

Ε π ο μ έ ν ω ς δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 1. ii) Για χ < - 1 είναι / ( x ) = - 2 χ , οπότε Για χ > - 1 είναι / ( χ ) = χ 2 +1, οπότε

lim / ( χ ) = 2 . *->-Γ

lim / ( χ ) = 2 . *->-ι+

Επομένως l i m / ( x ) = 2. *-•-1 6. Έ χ ο υ μ ε : 3 3 •Λ lι i*m η * = 3, -1, = ,3 11 ι) —μ—* = 3ο,· lim—ΠΜ —— *->° χ 3χ

ii)

= χ

συνχ,

= l i m ^ ^ · l i m — — = 1 ·1 = 1 *->° χ *-»<> συνχ ' ημ4χ

ημ4χ

1 ε = 2 lim 4x iii) wlim ^ Χ = lim 0 x-*0 ημ2χ συν4χ ημ2χ ν ημ2χ συν4χ

= 2

1 1

"^Γ iv)

ν,

l i m f — = limf 1 χ J x^oy

*-»° χ + χ

ημ*

: 1

l i m *->0

=l i m B H i = χ *-»°χ +1

= 1

1 = 0

11 = 1

ημ5χ(·\/5χ + 4 + 2) ημ5χ = lim vi) lim χ ~*° V5χ + 4 - 2 χ_>0 5Χ + 4 - 4 = lim *1^* -lim(V5x + 4 +2) = 1-4 = 4 . χ-»ο 5jc 7.

i) Έ χ ο υ μ ε , ημ 2 χ lim^ - « Ι + συνχ

1 - συν χ ,. (1 - συνχ)(1 + συνχ) ,. ,, „ = lim= lim(l - συνχ) = 2 . lim *->* l + συνχ (1 + συνχ)

ii) Έ χ ο υ μ ε , ,. 1 - σ υ ν 2 χ ημ2χ ,. ημτ lim = lim—— = lim ' =0 >0 ημ2χ *->° 2ημχσυνχ * 2συνχ

136

iii) Έ χ ο υ μ ε , l.m-St^lim g = l i m — - — = —. *-*° ημ2χ »->0 2ημχσυνχ 2συνχ 2 8.

i) Είναι, l i m ( l - x 2 ) = l και lim(l + x 2 ) = l , οπότε από το θ ε ώ ρ η μ α χ->0 χ >0 τ η ς π α ρ ε μ β ο λ ή ς είναι lim / ( χ ) = 1. *->0 * i i ) Ο μ ο ί ω ς , l i m ( l - x 4 ) = l και lim — = 1, οπότε l i m / ( x ) = l . χ->0* ' *->0 (jyV 2 χ χ->0 '

9. Ε ί ν α ι : l i m / ( x ) = 10 <=> lim f(x)= *->3 v->3~

lim / ( χ ) =10 x->}*

<=> lim (2αχ + /?) = lim +(αχ + 3β) = 10 *->3 *->3 <=> 6a + β = 3a + 3/2 = 10 ' 6α + β = 10 ^

[ 3 α + 3 ^ =10

4 και <=>« = — 3

1.5 1.

β„ = 2„ .

Β' ΟΜΑΔΑΣ i) Γ ι α χ = 2 μ η δ ε ν ί ζ ο ν τ α ι και οι δύο όροι του κ λ ά σ μ α τ ο ς . Μ ε το σ χ ή μ α του H o r n e r β ρ ί σ κ ο υ μ ε x 3 - x 2 - x - 2 = ( x - 2 ) ( x 2 + χ + 1 ) , ο π ό τ ε ,. χ 3 - χ 2 - χ - 2 ,. ( x - 2 ) ( x 2 + χ + 1) ,. χ2+χ +1 7 lim = lim = lim— =— 2 3 2 2 2 *χ -8 ~ ( χ - 2 ) ( χ + 2 χ + 4) *-> χ + 2 χ + 4 12 . χ ν + 1 — (ν + 1)χ + ν χν+1 - w r - x + v χ ( χ ν — 1) — ν(χ — 1) ιι) lim = lim = hm— - = *->ι JC — 1 x-1 *-*Ι x-1 (x - l)[x(x v ~' + xv~2 + · · • + χ +1) - v] *->' = limlx(x v

x-1 l

+x v ~ 2 η

hx + l ) - v ] = v - v = 0

x-»l

iii) Θ έ τ ο υ μ ε -Jx = t, οπότε

137

lim—

+1 * * — = l i m - ^ — — = lim—^ ^ — (Σχήμα Horner) + 2 ,_>l / + / - 2 ( / - 1 ) ( / 2 + / + 2)

/ +1 2 1 = lim—2 = — = —. '-»· / + / + 2 4 2 2.

i) Έ χ ο υ μ ε : ., ^ ylx2 +10x + 25 /00 =x+5

V(*+5)2 x+5

ί-1'

αν

[ 1, αν

x < - 5

x>-5'

οπότε lim / ( x ) = - l x->-5

και

lim / 0 0 = 1. x-»-5+

Ε π ο μ έ ν ω ς δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 5. ί ΐ ) Γ ι α χ < 5 είναι: / ( Χ )x =

lx-51 + x 2 - 4 χ - 5 -(χ-5) +χ2-4χ-5 χ2-5χ = Χ ^ = 7 = Γ" · χ-5 χ-5 χ-5

Ε π ο μ έ ν ω ς lim f(x) = lim χ = 5 . χ-»5~ .χ->5~ iii)Για χ > 5 είναι: |χ-5| +χ2-4χ-5 χ—5 + χ 2 —4χ —5 χ 2 - 3 χ - 1 0 . /(χ) = ί ! = = =χ+2 χ-5 χ-5 χ-5 Ε π ο μ έ ν ω ς lim+ / ( χ ) = lim ( χ + 2 ) = 7 . χ->5

χ->5*

iv) Θέτουμε Vx = / , οπότε έχουμε

x->l

Jx - \

'->1

/ - 1

»"•'

/ - 1

= lim/(/ 2 + / + 1) = 3 . /-»1 3.

i) Είναι α = —-— και β = ζφθ = -ΠΗ^- οπότε συν# σννθ lim (α - β) = lim ί — e->ir/2 °->*<\σ\)νθ

συχθ

- jjm 1 β->χΐ 2 συνΟ

,. 1-ημ20 συν0 = lim — = lim =0. β^πΐι συν6>(1+ημ0) 0->*/21 + ημ0 138

ii) lim (α 2 - β 1 ) - lim (1) = 1 θ->χΙ2

θ->πΙ 2

ο iii) lim — = lim (ημ#) = 1. β-»*/2 a

i) Θ έ τ ο υ μ ε g(x) = 4 / ( x ) + 2 - 4 x , οπότε f i x ) =—g(x) + x~— 4 2 Επειδή limg(x) = - 1 0 , έχουμε *->1 lim f(x) X->1

=5s(7«M«-|) = i ( - 1 0 > + 1 -l = - 2 · fix)

ii) Θ έ τ ο υ μ ε g(x) = , οπότε / ( x ) = ( x - l ) g ( x ) , x * l . x-1 Επειδή limg(x) = 1, έχουμε *-•1 l i m / ( x ) = l i m ( x - l ) - l i m g ( x ) = 0-1 = 0 . χ—•! x—>1 x—>1

Α ΟΜΑΔΑΣ

1.6 1.

i) Επειδή

lim(x 4 + 3x 2 ) = 0 και

x4+3x2>0

για

x*0,

είναι

lim = +oo. Επειδή, επιπλέον, lim(x+5) = 5 , έχουμε *-»° x + 3x *->°

ii) Επειδή

x+5 lim—4 >-*° x +3x

= lim] (x + 5). x-+0| x 4 +3x 2

lim4(x-l)

και

4(x-l)

= +00

κοντά στο

1, είναι

*-•1

• = +οο. Επειδή, επιπλέον, lim(2x - 3) = - 1 < 0 , έχουμε lim*-»1 (ίγx --1 ) .. 2χ-3 lim *-»> 4 ( χ - 1 )

,. = lim ( 2 χ - 3 ) ·

1 4(χ — 1)

iii) Η / στο πεδίο ορισμού της 1R — {0} γράφεται '2

αν

χ<0

αν

χ >0

/(*) =

οπότε έχουμε

139

lim / ( χ ) = lim — = -oo, ε ν ώ lim f(x) = 0 . *->0 x->0~ X x-+0* Ε π ο μ έ ν ω ς δεν υ π ά ρ χ ε ι όριο τ η ς / σ τ ο χ 0 = 0 . 2.

i) Η / σ τ ο πεδίο ορισμού της R — {— 1,1} γ ρ ά φ ε τ α ι :

f(x) =

3 l-χ

3(x + 1 ) - 4

1-χ

3χ-1 1-χ2

1-χ

Ε π ε ι δ ή χ 0 = 1 περιοριζόμαστε στο υ π ο σ ύ ν ο λ ο (0,1)«^>(1,+οο) του π ε δίου ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς / •

Αν

xe(0,l)

έχουμε

1-χ2>0

lim(l-x2) = 0, ι->Γ

και

οπότε

lim : • = +οο. Επιπλέον είναι lim ( 3 χ - 1 ) = 2 > Ο, οπότε έ χ ο υ μ ε *->r 1 - χ ' lim ^ Χ } = lim ( 3 χ - 1 ) *-»r 1 - χ *-»Γ 1-χ •

Αν

χ e (1, + οο)

έχουμε

1 - χ 2 <0

= +00

lim(l-x2) = 0,

και

*-»1

1 lim *-»ι+ 1 - χ 2

οπότε

: -οο. Επιπλέον είναι lim ( 3 χ - 1 ) = 2 > Ο, οπότε ,. 3 χ - 1 1 lim = lim (3χ — 1) χ *-»ι* 1-χ2

-00

Ε π ο μ έ ν ω ς , δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο x 0 = 1. ii) Η / στο πεδίο ορισμού της [R — {()} γ ρ ά φ ε τ α ι : χ +3χ-2 2

/(*) =

•

Αν

χ<0

> Χ<0

χ +3χ- 2

χ >Ο

-χ2 <0,

έχουμε

lim(-x2) = 0 *->0"

lim (χ 2 + 3 χ - 2 ) = - 2 < 0 , οπότε lim *-*0 - χ lim / ( χ ) = lim (χ 2 + 3 χ - 2 ) — ί — χ->0" *->0 -χ

140

και α ρ α

= +οο .

και

Αν χ > 0 έχουμε x 2 > 0 , l i m x 2 = 0 και l i m+ ( x 2 + 3 x - 2 ) = - 2 < 0 , *-><)• *->0 οπότε lim —— = +00 και άρα *->ο* χ 1 2 lim / ( χ ) = lim (χ + 3 Χ - 2 ) · - ^ - = —00 . x-*0+ ι->0*

Επομένως, δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο χ 0 = 0 . iii) Η / σ τ ο πεδίο ορισμού της R - { 0 } γράφεται: .3 . Λ 1 / ( x ) = x2| 1 + - γ | = x2' * + 1

•

Αν χ < 0 έχουμε χ < 0 ,

χ+1

lim χ - 0 και lim (χ +1) = 1 > 0 , οπότε *->0~ *->0~

lim — = -οο και άρα *-><Γ Χ lim / ( x ) = lim ( χ 3 + 1 ) · — = -ΟΟ . •

Αν χ > 0 έχουμε x > 0 ,

3 lim χ = 0 και lim(x +1) = 1 > 0 , οπότε jr-»0+ jc-»0+

lim — = +οο και άρα *->ο+ χ 3 lim f (χ) = lim+ (χ +1).1 = +00. _>0 χ

Επομένως, δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο χ 0 = 0 .

1.6 1.

Β' ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: -9

/(*) =

-9

xVx — 2χ - 4-Jx + 8 -9 (χ-4)(λ/Χ-2)

χ(λ/χ-2)-(4λ/χ-2) 1

-9

(Λ/Χ-2)

-Jx+ 2

Το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύνολο Α = [0,4)<^(4, + οο). Για

xeA

είναι

(·>/χ-2) 2 > 0

ι. ι

και

lim(Vx-2) 2 = 0 ,

οπότε

"Γ

...

-9 9 , 1 lim—•= = +00. Επιπλέον είναι l i m - 7 = — = — , οποτε χ_>4 χ (V* - 2 ) ^*λ/χ+2 4 ι lim / ( χ ) = lim χ->4 χ-»4 ( V x - 2 ) 2

ί) Έ χ ο υ μ ε

1ΐηισυνχ = 0 χ~

και

-9 Vi + 2

συνχ > Ο

για

χ—>

Λΐ

οποτε

lim —ί— = -κ» . Επιπλέον είναι lim (ημχ) = 1, οπότε συν*: , »" lim (εφχ) = lim ημχ·

Ομοίως,

lim (συνχ) = Ο

και

= +00 .

συντ

συνχ: < Ο

για

χ e —, π 1 , 2

οποτε

lim = -00. Επιπλέον είναι lim (ημχ) = 1, οπότε ι* συνχ ** lim (εφχ) = lim ημχ·· συνχ Επομένως, η / ( χ ) = εφχ δεν έχει όριο στο

ii) Έ χ ο υ μ ε

lim (ημχ) = Ο χ->ο*

και

ημχ>0

για

x e 0,— I 2

οπότε

lim = +00. Επιπλέον είναι lim +(συνχ) = 1, οπότε *-»ο+ ημχ χ-*ο = +00 . lim σφχ = lim συνχ· χ->0+ χ-*0* ημχ Ομοίως,

lim (ημχ) = Ο *-><γ

και

ημχ<0

για

xel-—,0 , \ 2 )

lim —ί— = -οο. Επιπλέον είναι lim (συνχ) = 1, οπότε *-><>- ημχ *->ο~ = -οο. lim (σφχ) = lim συνχχ-*0~ χ-*0~ ημχ. Επομένως, η / ( χ ) = σφχ δεν έχει όριο στο 0.

142

οποτε

illllll 3. Έ χ ο υ μ ε lim(x 2 -1) = 0 και lim[(A-l)x 2 +x-2] x->\ x->l

= λ-2

—

Αν

λ-2>0

δηλαδή

αν

λ>2,

τότε

lim / ( x ) = +oo *->1* lim / 0 : ) = -οο, οπότε δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 1. χ—>1-

και

—

Αν

λ- 2<Ο

δηλαδή

αν

λ <2,

τότε

και

lim f (x) = -οο *->ι+' lim / ( x ) = +οο , οπότε δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 1.

o r — >1 —

α , -, γ, \ χ 2 + χ - 2 ( χ - 1 ) ( χ + 2) χ + 2 — Αν λ = 2, τοτε / ( χ ) = — - =— - = χ -1 (χ-1)(χ + 1) χ + 1

με χ * 1 ,

3 οπότε l i m / ( χ ) = — e IR. *->ι 2 Επομένως το l i m / ( x ) υπάρχει στο IR μόνο αν λ = 2. χ—>1

Ομοίως, έχουμε: limx = 0 και lim(x 2 +2χ + μ) = μ . Λ->0 χ->0 — Αν μ > Ο, τότε

lim g(x) = +οο και lim g(x) = - w , οπότε δεν υ*->0+ χ—yO_ πάρχει όριο της g στο 0. — Αν

μ < Ο τότε lim+ g(x) = -οο και lim g(x) = +αο, οπότε δεν υχ->0

λ->0~

πάρχει όριο της g στο 0. —

Αν

μ = 0,

τότε

g(x) =

χ^ + 2 * = x+2 χ

με

χ*0,

οπότε

limg(x) = 2 e IR . χ->0 Επομένως, το limg(x) υπάρχει στο IR μόνο αν μ = 0 .

χ—4 i) Θέτουμε g(x) = — — . Επειδή limg(x) =+οο, είναι g ( x ) ^ 0 /(χ) *-ι ντά στο 1. Επομένως / ( χ ) = ———, κ ο ν τ ά σ τ ο ΐ .

g(x)

Επειδή l i m ( x - 4 ) = - 3 < 0 και limg(x) = +oo έχουμε Λ->1 χ—>1

143

κο-

l i m / ( χ ) = lim——- = linJ ( χ - 4 ) — ϊ — = 0 . or-l g ( X ) Ά g(x) ii) Θ έ τ ο υ μ ε g ( x ) =

/ ( x )

- , οπότε / ( χ ) = ( x + 2 ) g ( x ) κ ο ν τ ά σ τ ο 1. χ+2

Ε π ε ι δ ή l i m ( x + 2 ) = 3 > 0 και l i m g ( x ) = -οο, έχουμε: χ-+1

χ-*\

l i m / ( Χ ) = lim|(x + 2)g(x)] = -οο χ->\

χ-+1

i i i ) Θ έ τ ο υ μ ε g ( x ) = / ( x ) ( 3 x 2 - 2 ) , οπότε / ( χ ) = τ ^ γ ~ Τ κ ο ν τ ά σ τ ο 1. 3χ - 2 1 Ε π ε ι δ ή l i m g ( x ) = +<χ> και lim *-»' 3χ - 2

1 > 0 , έχουμε: 1

lim/(Χ)

3x - 2

1.7 1.

= +οο.

χ->1

Α'ΟΜΑΔΑΣ i) l i m ( - 1 0 x 3 + 2 χ - 5 ) = l i m ( - 1 0 χ 3 ) = - 1 0 lim χ 3 = - ο ο Χ->-<*> χ—>+co x-y+ao ii) lim (5x 3 - 2x+1) = lim (5x 3 ) = 5 lim x 3 = -oo

iii) lim — ρ — = lim 4 ir = 0 . *-+-<» x + 8 *-»-«> x

. X4-5X3+2X-1 .. x4 ,. iv) lim ;—: — = lim — = lim χ = +oo 3 JT->+oO X->+oO Χ-»·Η» χ - 3 X + 2 v) lim *->+oo

2x 3 + x - l ^2x3^ = lim 4^3 — + 2 *->+°°

.. ,. χ+2 vi) lim —-

χ ,. 1 = lim — - = lim — = 0

X_>+0O

X-++0O

χ—>+0O j £

vii) lim *-»+00

x +1

X+2J

-4,' *-*+- (x 2 + l ) ( x + 2 ) - 4χ2

= lim— jr++«

144

2*-5

"«x3+2x2+x +2

= lim — = 0 .

•Ii f

viii) lim

x2 + 5

χ 2 +3

x+2

i) Επειδή

. 2x 2 + 2x + 10 ,. 2x 2 = lim —— =2. lim *-»+«> x2+2x x2

Λ= 4-4·4·3<0 2

/ ( x ) = V4x - 2 χ + 3

το

είναι το

πεδίο

ορισμού

της

Περιοριζόμαστε στο διάστημα

(0, + οο) όπου η / γ ρ ά φ ε τ α ι : / ( x ) = V4χ 2 - 2 χ + 3

' 4Α—2 + 3 ^ v x x /

, [γ~2

=|x|J4—+~T=XJ4 —+—· V

Επομένως lim / ( χ ) = lim

ΓΊ

ί ν4 — χ+ ~ χτ

= +00.

ii) Οι ρίζες του τριωνύμου χ 2 + 1 0 χ + 9 είναι - 9 και - 1 , οπότε το πεδίο ορισμού της / ( χ ) = Vx 2 + 1 0 χ + 9 είναι Α = (-οο,-9]ν^[-1,+οο). Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,-9] όπου η / γ ρ ά φ ε τ α ι : , 10 9 / ( x ) = Vx 2 +10x + 9^jx 2 1 + — + — χ χ ,

10 χ

9 χ

1+—+—

Επομένως lim / ( χ ) = lim

iii) Το

πεδίο

ορισμού

ίο

= +00 .

"'V Τ"

της

/ ( χ ) = ·\/χ2 +1 +Vx 2 - 3 χ + 2

είναι

Λ = (-οο,1]u[2,+οο). Περιοριζόμαστε στο διάστημα [2,+οο) όπου η / γράφεται:

Επομένως 3

lim / ( χ ) = lim

x+7"

145

: +00

iv) To πεδίο ορισμού είναι το σύνολο

A = (-°ο,ρ,]U[p 2 ,+°°), όπου

ρ,, ρ2 οι ρίζες της εξίσωσης (χ + α)(χ + β) = 0 , που είναι οι αριθμοί -α,- β. Άρα, η / ορίζεται σε διάστημα της μορφής (-<χ>,γ) με γ < 0 . Περιοριζόμαστε στο διάστημα αυτό, οπότε έχουμε: /(χ)=^χ1+(α

+ β)χ + αβ-χ=\χ\Ιΐ+Ξ±£+3ξ.-χ V χ

Γ α + β ~αβ = -χ ,1+ -+-^-+1 V χ χ 2 . Επομένως lim / ( * ) = lim -χ Ί ι Μ

£ ± £ χ

Μ +1 χ / _

ν) Το πεδίο ορισμού της / ( x ) = 2χ-1-^4χ2

= +00

-4χ+3

είναι το R .

Περιοριζόμαστε στο διάστημα (0,+οο), οπότε η / ( χ ) γράφεται: „22 - 4 Χ + 3 ) / ( χ ) = ( 2 Χ - 1\2 ) 2 ~ (/-λ 4Χ 2

2Χ-1+λ/4Χ -4Χ + 3

- 2

2 Χ - 1 + Λ/4Χ 2 -4Χ+3

-2

" - i - ' f r ?

4 + _3 χ" χ γ

f - r f -

Επομένως lim |Γ— Ι lim lim / ( χ )) == lim jr->+oo

Jt—>+<ol

J χ->+<30

- 2

.i-jn χ

-2

= 0-

= 0.

2-0-^4-0+0

i) · Το πεδίο ορισμού της / ( χ ) =

vx2 +ι είναι το R*. Περιοριζόχ

μαστέ στο διάστημα (0,+αο), οπότε

1+ f(x) =

Επομένως lim / ( χ ) = 1.

146

ii) · To πεδίο ορισμού της f(x) = y/x2 +1 - χ είναι το R . Περιοριζόμαστε στο διάστημα (0,+οο), οπότε , (V* 2 + 1 - x X V x 2 + 1 + χ) _

χ2 + 1 - χ 2

ί .χ +1 + χ

+χ

ί" XJ1 + — + χ

'iF?

χ|

f*•?

χ J

Επομένως lim / ( χ ) = 0. +1

iii) · Το πεδίο ορισμού της / ( χ ) =

είναι το R*. Περιοριζό-

μαστέ στο διάστημα (-<»,0), οπότε

ιΗ'*?) ~ί

ι+λ

/(*) =

Επομένως lim / ( χ ) = - 1 . iv) · Το πεδίο ορισμού της / ( x ) = Vx2 + 1 + χ είναι το R . Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-<»,0), οπότε / ( Χ ) = (Vx2 + l + x)(Vx2 +1 - χ)

Λχ +1 - χ

-χΛ1

-τ-χ

-Χ

*2|

1+-4- 1 - Χ

( Β

της

/(x)=£llf=±i

Επομένως lim / ( χ ) = 0 .

r~i—

ν) Το

πεδίο

ορισμού

είναι

x-Vx2 -1 =

( - ^ , - 1 ) ^ ( 1 , + 0 ° ) . Περιοριζόμαστε στο διάστημα (1, + οο), οπότε

147

/(*) = ( x - V x

+ l)(x + Vx 2 + l ) ( x + V x 2 - 1 )

( x - V x - l ) ( x + V x 2 - l ) ( x + V x +1)

f £

(-l)(x + Vx J - 1 ) l-(x + Vx 2 +1)

1+ f? +

l'+v

{1+/+J) ' f~r

Επομένως, 1+ 1lim / ( x ) = lim

1 + 1= - 1 .

. i+iF?,

1+1

v i ) T o πεδίο ορισμού της / ( χ ) = xVx 2 + 2 χ + 2 - χ 2 είναι το IR . Περιοριζόμαστε στο διάστημα (Ο, + οο), οπότε ρ τ τ γ τ τ

...

. . ( ^ + 2 , + 2 - ^ +2^2+,) Vx 2 + 2 χ + 2 + χ)

= χ-

2χ+2

2+1 λ*

= χ-

Λ/Χ2 + 2 χ + 2 +

2+1

( f i ^ n

2 ι, + 2- + — H + ,ι χ χ

Επομένως, lim / ( χ ) = +οο.

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1.7 1.

ί) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,Ο), οπότε

Επειδή lim ( - χ ) - +00 και

lim

148

= 1-/«,

έχουμε τις εξής περιπτώσεις: — Αν 1 - μ > 0 δηλαδή μ <1, τότε l i m / ( x ) = +oo Χ—>—<Λ

— Αν 1 - μ < 0 δηλαδή μ > 1, τότε lim / ( * ) = -οο Χ->-οθ

— Αν μ = \, τότε / ( Χ ) = Λ]Χ + 1 + * , οπότε ι· , , ν .. , / 2 · , ν ,. (ν* 2 +1 +χ)(\χ2 +1 - χ ) lim / ( x ) = lim ( \ χ +1 + χ) = lim ι χ +1 — χ lim

=====—= lim 2 / ί + χ —χ

= lim

• I (-*)

ϋ)Έστω /(*)

ν=

lim

= 0 -

>ν '

(μ-1)χ3

+ 1

+2χ2 +3

μχ - 5 χ + 6 — Αν μ = 1, τότε f(x) =

2χ2 +3 χ2 - 5 * + 6

οποτε

2x +3 2χ2 lim /(.r) = lim 2 = lim *->+« X—i *-»+»> *-»+«> χ __ 5χ + 6 *->+» χ2 Αν // = 0 , τότε / ( x ) =

-χ3 +2χ2 + 3 -5r +6

lim x->+oo

- x 3 + 2x 2 + 3 _5χ4·6

οποτε

,. -χ". 3 ,. χ 2 lim — = lim — = +οο. *-»+*> — 5χ *->+οο 5

— Αν μ Φ 0, 1, τότε lim f{x) = lim ( / ' " ~ ' ) r ? Χ—>+00 x—>+CO //Χ _

(/<-!)

| + °°,

αν

// ε (—οο,Ο)

|-οο,

αν

με

(1, + οο)

(0,1)

2. Περιοριζόμαστε στο (0, + οο), οπότε: / ( x ) = v * 2 + 5χ + 1 0 - λ χ = ^ χ 2 ^ 1 + ^ + ^ - λ χ = χ ^ 1 + 1 + 1 2 - - ^ )

149

= 0

1,7 Επειδή lim χ = + 0 0

/ ι \ f I 5 10 .1 lim j l + _ + . λ = 1-a. *->+οο \ x x .

και

*->+oo

Έ χ ο υ μ ε τις εξής περιπτώσεις: — Αν 1 — Α > Ο δηλαδή Α < 1, τότε lim f(x) = +« — Αν 1—Α<Ο δηλαδή Α > 1 , τ ό τ ε lim / ( * ) = -οο. *->+αο

— Αν τέλος Α = 1, τότε: 5χ + 10

/ ( x ) = Vx 2 + 5 x + 1 0 - x =

V* 2 + 5x+10 + λ" 5+

. 10 5+—

5 χ

1+ - + - Τ + 1

+ ι

οποτε lim / ( x ) = Λ=—- = — e R . *->«> vt + 1 2 Ώ σ τ ε το lim / ( χ ) υπάρχει στο R μόνο αν λ = 1.

3. Είναι /(χ)

χ 2 +1

χ 2 + 1 - α χ 2 +βχ-αχ+β -αχ Λ- β = χ+1 χ+1 (1-α)χ2

+(β-α)χ

~~~

χ +1

+\+β

— Αν α ^ 1, τότε lim / ( χ ) = lim ^ %->+«

α Χ

^ χ

+ οο, αν α < 1 = lim(l-a)x = χ->+π [-οο, αν α > 1

— Αν α = 1 και α * β , τότε lim / ( χ ) = lim — — — = / ? - α * 0 . *—>+οο

*->+00

150

fill — Αν α = β = \, τότε lim f(x)^

lim - 1 ^ 1 = 0 .

•* •+<*>

jr—>+oo j^· _j_ |

Ώστε lim f(x) = 0 <=> a = β = 1.

2 i) To πεδίο ορισμού της f(x) = I x - 5 x | + x είναι το IR —{1,2>. Πεx2 -3x+2 ριοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,Ο), οπότε

/(*) = χ

Χ1-ΑΧ

-5χ+χ

χ2 -3χ + 2

χ -3χ+2 Επομένως lim f(x) = lim

Ι 2 ii) To πεδίο ορισμού της / ( * ) =

είναι το

χ+λ[Α + 3Χ2 ζόμαστε στο (-οο,Ο), οπότε

"Ί

1 1+—+5-X χ

/(*) = •

-χ. 1+- 7 + 5 - χ jc

"xi [\

1 , 1+ — Χ

JP 1 ) . Επομένως lim / ( * ) = lim V

, +1

+3-1

4 - ί + , χ χ

ϊχ 1+1

+3-1 2

Λ/3-1 ~ Λ/3-1

151

2(Λ/3+1)

= λ/3+1.

Περιορι-

iii) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (!, + <»), οπότε / ω =

£ ΐ ζ £ = £ ί ϊ ^ ) χ-1 χ-1

, .

Επομένως lim / ( χ ) = lim χ = +<».

Χ—••Η®

1.8 1.

Χ->+00

Α' ΟΜΑΔΑΣ i) Η / δεν είναι συνεχής στο χ 0 = 1, αφού 2 = lim / (χ) Φ lim+ / ( χ ) = - 1 χ-»Γ

χ->1

Στα υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται από το σχήμα, η / ε ί ν α ι συνεχής. ii) Η / δεν είναι συνεχής στο 1, αφού l i m / ( x ) = 2 * /(1) = 3 . Στα υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται από το σχήμα, η / ε ί ν α ι συνεχής. 2.

i) Είναι: lim / ( x ) = lim(x 2 +4) = 8, lim +/ ( x ) = l i m+x 3 = 8 και / ( 2 ) = 8 , x—>2~ x->2~ x->2 x->2 οπότε lim/0) =/(2). x->2

Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής στο χ0 = 2. ii) Είναι: l i m / ( x ) = lim(x 2 +1) = 2 , lim / ( x ) = lim+-Jl + χ = 2 και / ( 1 ) = 2,

jr->r

χ-»Γ

Χ- >]'

x->l

οπότε lim f{x) = / ( 1 ) . x->l Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής σ τ ο ι . ....Γ , . . χ2 + x - 2 ( x - l ) ( x + 2) ιιι)Για χ φ-2 ισχύει / ( x ) = = — = (χ-1), χ+2 χ+2 οποτε lim fix) = l i m ( x - l ) = - 3 = / ( - 2 ) .

χ->-2

χ-»-2

Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής στο x0 = - 2 . 152

Ill: 2

X< - ι

χ 3.

i) Η / ( χ ) γράφεται

/(χ) = 2x\ 2 X

- l < x ;

x> 1

Στο διάστημα (-1,1) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πολυωνυμική συνάρτηση ενώ στα διαστήματα (—οο, — 1) και (1, + οο) η / ε ί ν α ι συνεχής ως ρητή συνάρτηση. Στο χ 0 = - 1 έχουμε: lim f ( χ ) = lim — = - 2 , lim+ / ( x ) = lim+ 2x = 2 και / ( - 1 ) = 2 . χ—»—1~ χ—>—1 Χ χ—•-1 χ —1 Επομένως η / δ ε ν είναι συνεχής στο - 1 . Στο χ = 1 έχουμε: y 2

lim—/ ( x ) = lim 2x = 2 ,

—>1

χ—>1"

/(1) = 2. Επομένως η / είναι συνεχής στο 1. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

= χ2τ

//11 / / ι / i ι

και

<ν ii

lim / (χ) = lim+ — = 2 ϊ-»1+ ί->1 χ

ίί)Για χ φ 2 έχουμε

χ-2

• οπότε η / είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (-οο,2) και (2,+οο), ως

πολυωνυμική συνάρτηση. Για χ = 2 ισχύει

lim / ( x ) = lim(x-3) = - 1 * / ( 2 ) = 5 , χ->2 χ—>2 οπότε η / δεν είναι συνεχής στο x = 2 . Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

153

v=j^-3/

/ 3/ Ο — 2ij—^ y -1 -3,

• x

1111 iii) Στο διάστημα (-οο,Ι) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο διάστημα (Ι, + οο) η / ε ί ν α ι συνεχής ως λογαριθμική. Στο χ 0 = 1 έχουμε: lim f(x) = lim χ = 1, .r-»l~

χ —>1—

lim f(x) = lim (In χ) = 0 *->ι+ *->γ

y και

y=\x\x^-

1 "7?

/(1) = 0 . Επομένως η / δεν είναι συνεχής στο χ 0 = 1.

/ \/ 1

— χ

y=y

Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ϊ ν ) Σ τ ο διάστημα (-<»,0) η / έ χ ε ι τύπο f(x)=ex

και είναι συνεχής. 2

Στο διάστημα (0,+αο) η / έ χ ε ι τύπο / ( x ) = - x +1 και είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο χ 0 = 0 έχουμε: y

lim / ( x ) = lim e" = 1, x—>0" χ->0~

ii i ο

Α\

ι.

lim / ( * ) = lim(-x 2 +1) = 1 χ->0* χ +0* και / ( 0 ) = 1.

χ^

Επομένως η / είναι συνεχής στο *ο=0. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 4.

i) Στο διάστημα (-«>,1) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο διάστημα (1, + °°) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο χ 0 = 1 έχουμε: lim f ( x ) = lim(2x 2 - 3 ) = - 1 , *-»1_ χ-»γ lim / ( χ ) = lim * - = lim ——Μ—Ξ.+ ^ = lim(Vx +1) = 2 και x->r χ->\ χ—I " v*-l /(1) = - 1 . Επομένως η / δ ε ν είναι συνεχής στο χ 0 = 1.

154

ii) Στο διάστημα (-<»,0) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο διάστημα (0, + αο) η / ε ί ν α ι συνεχής. Στο χ 0 = 0 έχουμε: lim f(x) = lim = 1, lim+ / ( * ) = lim συνχ = 1 και / ( 0 ) = 1. ι-»0~ *-»0~ χ *->0 μο* Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής και στο χ 0 = 0 . 5.

i ) H / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = ημ« και u = συν*. ii)H / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = \nu και u=x2+x +1. iii)H /

είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 1 y = ημ« και u = — . χ +1 i v ) H / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = e" και w = ημχ . ν) Η / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = \nu και u = l n x .

6. Η συνάρτηση f(x) = ημχ:-χ + 1 είναι συνεχής στο [Ο,π] και ισχύει /(1)/(7Γ) = 1(1 — ΤΓ) < 0 , δηλαδή πληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Bolzano. Επομένως, η εξίσωση / ( * ) = 0 , δηλαδή η εξίσωση η μ χ - χ + 1 = 0 , έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (Ο,π). 7.

ί) Παρατηρούμε ότι: /(0) = -]

και

/(1) = 1,

οπότε η / ( x ) = x 3 + x - l στο [0,1] πληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Bolzano. Επομένως, η εξίσωση / ( * ) = 0 , δηλαδή η εξίσωση χ 1 + * - 1 = 0 , έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (0,1). Άρα, ένας από τους ζητούμενους ακεραίους είναι ο

α=0.

ii) Ομοίως, ένας από τους ζητούμενους ακέραιους είναι ο α = - 1 iii) Ομοίως, ο α = - 1 iv) Ομοίως, ο α = 1. 155

Ml· 8.

Θεωρούμε τη συνάρτηση / ( χ ) = α(χ - μ)(χ -ν) + β(χ~ Λ)(χ - ν) + γ(χ - λ)(χ - μ). Η / ε ί ν α ι συνεχής στο [λ,μ\ και ισχύει / ( Λ ) / ( μ ) < 0 , αφού /(Λ) = α ( Λ - / / ) ( Λ - ν ) > 0 και f ( μ ) = β ( μ - λ ) ( μ - v ) < 0 . Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ϊ , e(A,/i) τέτοιο, ώστε /(jc, ) = 0 . Ανάλογα βρίσκουμε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, χ2 ε ( μ , ν ) τέτοιο ώστε f(x2)

= 0.

Επειδή η / ε ί ν α ι δευτεροβάθμιο τριώνυμο, δεν έχει άλλες ρίζες. 9.

ί) Έχουμε: / ( χ ) = χ 3 +2χ2 -χ-2

= χ1 (χ + 2)-(χ + 2) = ( x + 2)(x 2 - 1 )

= (* + 2ΧΧ + 1Χ*-1), οπότε f(x) = 0 <=> χ = -2

ή χ = -1

ή χ = 1.

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το πρόσημο τ η ς / σ ε κάθε διάστημα. Διάστημα Επιλεγμένος αριθμός χ 0

/(*)

(-<*>-2)

(-2,-1)

-3

-8

2 5

(-1,1)

(!, + <»)

-2

8 Πρόσημο τ η ς /

i i ) Έ χ ο υ μ ε / ( x ) = x 2 ( x 2 - 9 ) = χ 2 ( χ - 3 ) ( χ + 3), οπότε / ( χ ) = 0<=>χ = 0 (διπλή) ή χ = 3 ή χ = - 3 . Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το πρόσημο τ η ς / σ ε κάθε διάστημα. Διάστημα

(~°°-3)

Επιλεγμένος Αριθμός χ 0

-4

-1

/ ( *ο)

112

-8

112

Πρόσημο τ η ς /

(-3,0)

156

(0.3)

(3, + οο)

1.8 iii) Έχουμε: εφ* = ^ θ ϊ

ή χ ~~^> αφού χ e (-π, π).

=- γ

Ο παρακάτω πίνακας δίνει το πρόσημο της σε κάθε διάστημα

Kf)

Διάστημα Επιλεγμένος αριθμός χ0

ί 2π πΛ (~Τ~2)

3π 4

/(*„)

Ίπ 12 2

-1-S

Πρόσημο τ η ς /

(-!·!)

ίν) Υπολογίζουμε τις ρίζες ημ* + συνχ = 0 ο ημχ = -συν*

5π Ϊ2 2

0 - £

(Η) (f·*) +

της

/(*) = 0

στο

[0,2π]

3τγ 4 -ι-fi -

έχουμε

<ϊ> εφ* = - 1 <=> χ = 3π — 4

, χ —Ίπ η —. 4

Ο παρακάτω πίνακας δίνει το πρόσημο της f(x) = ημχ+συνχ σε κάθε διάστημα: ί3π

10.

ι ο'

Διάστημα

Ίπλ ' 4 J

(Η

Επιλεγμένος αριθμός

2π

/(*ο)

-1

Πρόσημο τ η ς /

i) Η συνάρτηση / ( x ) = l n x - l είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο

[1,e]. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα

[/(1)./(01 = [ - ι ο ] . ii) Η συνάρτηση f(x) = -x+2

είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής

στο (0,2). Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0,2), αφού lim f(x) = 0 και lim f(x) = 2. χ->2

χ—>0

157

iii) Η συνάρτηση f(x) = 2ημχ+1 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχης στο

. (Αφού η συνάρτηση του #(*) = ημχ είναι γνησίως

αύξουσα στο πρώτο τεταρτημόριο). Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [1,2), αφού / ( 0 ) = 1 και l i m / ( * ) = 2 . i v ) H συνάρτηση f(x) = e' +1 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (-οο,0], Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (1,2], αφού lim f(x) = \ και / ( 0 ) = 2 .

1.8 1.

Β 'ΟΜΑΔΑΣ Η / ε ί ν α ι συνεχής στο χ 0 = 2, αν και μόνο αν lim f(x) = lim / ( * ) = / ( 2 ) ο l i m ( x 2 - κ 2 ) = lim(jct + 5) = 4 - x : 2 x-+2 x->2 + x-+2~ x->2+ » 4 - j t 2 = 2*: + 5 = 4 - κ 2 ο κ 2 + 2jc + 1 = 0 <=> AC = —1 .

2. Η / ε ί ν α ι συνεχής στο x0 =1, αν και μόνο αν lim / (x) = l i m+ / ( χ ) = / ( 1 ) ο lim (α 2 * 2 +βχ-12)~ *-»γ *->1 λγ-»1~ ο α2 + β-12

\ϊτη(σχ + β) = 5 *-»1*

= α + β = 5.

Από την επίλυση του τελευταίου συστήματος βρίσκουμε (« = 4, β = 1) ή (α = -3, β = 8). 3.

i) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ε ί ν α ι συνεχής στο χ0 = 0 . Συνεπώς, f/rw ι* f , \ ,· σ υ ν χ - 1 σ υ ν 2 * - 1 ,. -ημ2χ / ( 0 ) = Λ-> lim f(x) = lim = lim = lim — ο χ-*ο χ αγ-»ο *(συν+1) χ(1 + συνχ) = lim (-ημ*) jr—»0

'ημ*ν

1 = 0 1 - = 0. 1 + συνν 2

ϋ ) Ε π ε ι δ ή η g είναι συνεχής στο 0 θα ισχύει g(0) = lim+ g(x) = lim g ( x ) . *->0 *->0" 158

Επομένως, αρκεί ν α υπολογίσουμε το lim+ g(x). *->ο Για χ > 0 έχουμε διαδοχικά: |χ#(χ)-ημχ|<χ2 - x 2 ^ χ # ( χ ) - η μ χ < χ2 - χ 2 + η μ χ < χ £ ( χ ) < χ 2 + ημχ. ημχ „ . . ημχ — Χ + -!ϊ—- <, g(x) < Χ +-IS— χ χ Αλλά lim '

x-»0 +

^ | =1

και

l i J x

οπότε, από το θεώρημα παρεμβολής, είναι

^ |

lim g(x) = 1. Επομένως χ-, 0*

g(0) = 1.

4. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ) = f (χ)-g(x). Η ψ είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει φ(ϋ)φ(\) < 0 , αφού 9>(0)==/(0)-g(0)<0 και fKl) = / ( l ) - g ( l ) > 0 Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, £ e ( 0 , l ) τέτοιο, ώστε ψ(ξ) = 0 , οπότε / ( £ ) = # ( £ ) . 5.

α) Στο ανοικτό διάστημα (1,2) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (Χ4 +1)(Χ-2) + (ΑΓ6 + l)(x - 1 ) = 0 . Επομένως, έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = (χ4 + l ) ( x - 2 ) + ( x 6 +1)(χ-1) έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). Πράγματι • Η / είναι συνεχής στο [1,2] και • Ισχύει / ( 1 ) / ( 2 ) = (-2)(65) < 0 . Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η / έ χ ε ι μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2).

159

β) Στο ανοιχτό διάστημα (1,2) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (x-2)e*

+ (x-l)lnx = 0

Επομένως, έχουμε ν α δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = (x-2)ex

+ (x-l)lnx

έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). Πράγματι • Η / είναι συνεχής στο [1,2] και • Ισχύει / ( 1 ) / ( 2 ) = ( - e ) In 2 < 0 Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η / έ χ ε ι μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). 6.

ΐ) Αναζητούμε

λύση

της

εξίσωσης

(—οο,0)kj(Ο,+οο). Επειδή όμως #(*) = — > 0 χ f(x) = g(x),

με

χ>0,

ενώ

f(x) = g(x)

f(x) = e*>0 #(*) = — < 0 χ

με

στο

σύνολο

για κάθε

χεΚ'και

χ<0,

η εξίσωση,

αν έχει κάποια λύση, αυτή θα ανήκει στο (0,+οο).

Συνεπώς, αναζητούμε λύση της f(x) = g(x) στο (0,+οο) ή, ισοδύναμα, της εξίσωσης / ( x ) - g(x) = 0 στο (0,-κ»). Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ) - f(x)-g(x)

= e*—-, χ

xe(0,+oo). Η

συνάρτηση αυτή είναι: • συνεχής στο (0,+οο). • γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Πράγματι, έστω x 1 ; x 2 e(0,+oo) με χ, < x 2 . Τότε: e'1 <eXl 1 Χ

1 x2

e'· <e•' οποτε

> —

j χ,

j , και αρα e ' χ2

χ,

„2

χ2

δηλαδή φ(χ,)<φ(χ2). Επομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (-oo, + oo) = R , αφού lim+ φ(χ) = -οο και lim ^>(χ) = -κ» . Αρα η φ έχει μια, τουλάχιχ->0 *->+<» στον, ρίζα στο (0,+οο). Επειδή, όμως, η ψ γνησίως αύξουσα στο (0,+αο), η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

160

Ι Λ Άρα, η εξίσωση / ( * ) = £(*) στο (0,+αο) έχει ακριβώς μια ρίζα. ii)Αναζητούμε λύση της εξίσωσης f(x) = g(x) στο (Ο.+οο) ή, ισοδύναμα, της εξίσωσης lnx = —

στο

(0,+αο).

Θεωρούμε τη συνάρτηση 9>(x) = l n x - — , x e ( 0 , + o o ) . Η συνάρτηση χ αυτή: • Είναι συνεχής στο (0,+οο). • Ε ί ν α ι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Πράγματι Έ σ τ ω x,,x 2 e(0,+oo) με x, < χ 2 . Τότε:

In χ, < In χ 1

, οποτε

lnx, < l n x , 1 , και άρα lnx, 1 — <

< lnx 2

δηλαδή φ(χι)<φ(χ1). Επομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (-oo,+oo) = IR , αφού lim+ <ρ(χ) = -οο και lim φ(χ) = +οο. Άρα η φ έχει μια, τουλάχι,-»0 *-»«> στον, ρίζα στο (0,+οο). Επειδή, επιπλέον, η ψ είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Άρα η εξίσωση f(x) = g(x) στο (0,+οο) έχει ακριβώς μια ρίζα. 7.

i) Για κάθε x e [ - l , l ] έχουμε /2(*) = 1-χ2

(1)

α) Η εξίσωση / ( x ) = 0 στο [-1,1] γράφεται ισοδύναιια: (1)

/(x) = 0 o /

(χ) = 0 ο 1 - ϊ

=0οχ=-1

ή χ = 1.

Επομένως, λύσεις της / ( χ ) = 0 στο [ - U ] είναι μόνο οι - 1 και 1. β) Η / σ τ ο (-1,1) είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται σ' αυτό. Επομένως, στο (-1,1) η / δ ι α τ η ρ ε ί πρόσημο. • Αν / ( χ ) > 0 στο (-1,1), τότε από τη σχέση (1) προκύπτει ότι / ( x ) = V l - x 2 και επειδή / ( - 1 ) = / ( 1 ) = 0 , έχουμε

161

nil /(χ) = ν Γ ν •

, xe[-l,l]

Αν / ( x ) < Ο στο (-1,1), τότε από τη σχέση (1) προκύπτει ότι

/ ( x ) = —\/l-x 2 και επειδή / ( - 1 ) = /(1) = 0 , έχουμε /(χ) = ->/ΐ-χ2 ,

χ e [-1,1]

Η γραφική παράσταση της / σε κάθε περίπτωση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

r -1\

νχ

)" ι J

-'y=f{x>-4

i-χ1

ii) α) Έχουμε / ( χ ) = 0 » / 2 ( χ ) = 0 <=>χ2 = 0 <=> χ = 0 . Επομένως, η εξίσωση / ( χ ) = 0 έχει στο R μοναδική ρίζα την x = 0 . β) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / σ τ ο (-οο,Ο) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σ ' αυτό. Επομένως η / δ ι α τ η ρ ε ί σταθερό πρόσημο στο (-<»,0). Έτσι: — /

/(χ)<0 2

(x) = χ

— 2

αν

/ (χ) = χ

(-<»,0), τότε

στο

διάστημα αυτό είναι

στο

διάστημα αυτό είναι

ο / ( x ) = χ , αφού x < 0 , ενώ /(χ)> 0

στο

(-οο,Ο), τότε

<=>/(χ) = - χ , αφού χ < 0 .

Επειδή, επιπλέον / ( 0 ) = 0 , έχουμε /(χ) = χ,

για κάθε x e (-οο, 0] ή

/ ( χ ) = - χ , για κάθε χ e (-οο, 0]. Ομοίως, έχουμε /(χ) = χ,

για κάθε x e [ 0,+οο) ή

/ ( χ ) = - χ , για κάθε

χ e [ 0,+οο).

Συνδυάζοντας τα παραπάνω, η / έχει έναν από τους παρακάτω τύπους: α) / ( x ) = x ,

xeIR,

β) / ( χ ) = - χ ,

162

xeR

1.8 -Χ,

χ <0

χ,

χ>0

χ,

χ<0

-χ,

χ> 0

γ) / ( * ) =

ή, πιο απλά, / ( χ ) = | χ |

δ) / ( * ) =

ή, πιο απλά, / ( χ ) = - | χ | .

Η γραφική παράσταση της / φαίνεται σε κάθε περίπτωση στα παρακάτω σχήματα (α), (β), (γ), (δ) αντιστοίχως. fy=x

(α)

(β)

(γ)

(δ)

ί)Η εξίσωση της διαγωνίου ΟΒ είναι η ^ - 0 = -—— ( x - 0 ) <=> ν = χ . 1-0

Ομοίως η εξίσωση της διαγωνίου ΑΓ είναι η y-0 = -—— (χ-1) <=> y =-χ+]. 0-1

ϋ ) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ε ί ν α ι συνεχής στο [0,1] και η γραφική της παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο. Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του [0,1]. Είναι δηλαδή 0 < / ( χ ) <, 1 για κάθε χ e [0,1]. 163

• Θ α αποδείξουμε, πρώτα, ότι η Cf τ έ μ ν ε ι την διαγώνιο y = x. Αρκεί ν α δείξουμε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στον [0,1]. Θ ε ω ρ ο ύ μ ε την συνάρτηση φ(χ) = f(x) - x η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [-1,1] και ισχύει φ(0) = / ( 0 ) > 0 και φ(1) = / ( 1 ) - 1 < 0 . —

Αν 9(0) = 0 , τότε / ( 0 ) = 0 , οπότε η ε ξ ί σ ω σ η / ( x ) = x έχει ω ς

ρίζα τον χ = 0 και η Cf τέμνει την ΟΒ στο 0(0,0). —

Αν ^(1) = 0 , τότε / ( 1 ) = 1, οπότε η ε ξ ί σ ω σ η / ( χ ) = x έχει ω ς

ρίζα τον χ = 1 και η C{ τέμνει την Ο Β στο >1(1,1). —

Αν 9(0)·9(1) < 0 , τότε, σ ύ μ φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α του Bolzano,

υ π ά ρ χ ε ι ένα, τουλάχιστον, x 0 e (0,1) τέτοιο, ώστε φ(χ0) = 0 , οπότε / ( χ 0 ) = χ 0 και η Cf τέμνει τ η ν ΟΒ στο σημείο Ρ ( χ 0 , χ 0 ) . Ε π ο μ έ ν ω ς σε κάθε περίπτωση η C f τέμνει την ΟΒ. • 9.

Γ ι α την άλλη διαγώνιο ε ρ γ α ζ ό μ α σ τ ε ομοίως. ί ) Έ σ τ ω Μ (χ, / ( χ ) ) τυχαίο σημείο τ η ς Cf . Τότε d = d(x) = J(x-x0)2

+(/00-¼)2

με

χ&[α,β\.

ii) Η συνάρτηση d είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [α, β] ως ρίζα αθροίσματος σ υ ν ε χ ώ ν συναρτήσεων. Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α μέγισ τ η ς και ε λ ά χ ι σ τ η ς τιμής, θα υ π ά ρ χ ε ι κάποιο x, e [α, β] για το οποίο η d θα πάρει τη μέγιστη τιμή της και κάποιο χ 2 e [α, β ] για το οποίο η d θα πάρει την ελάχιστη τιμή της.

164

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ

2.1 1.

ί) Για χ * 0 έχουμε: *2+ι-ι χ

n * ) - m χ-0

*2 χ

οπότε l i m / ^ M Χ-0

x->0

= umx

*->»

= 0·

Επομένως / ' ( 0 ) = 0 . ϋ)Για x e IR* -{1} έχουμε: -1-1 2

/(*)-/(!)

1-χ2

χ-1

χ (χ-1)

__-(* + !) χ2

οπότε , 7/ ( * ) - /7( ! ) ,· - ( * + 1) lim = lim , = -2 ι-»1 χ —1 *-+ι χ 2 Επομένως / ' ( 1 ) = - 2 . ίίί)Για χ * 0 έχουμε: / ( * ) ~ / ( 0 ) , ημ2* _ ημχ χ-1

ημ*,

οπότε lim / ( * > - / ( ° >

= lim|

χ-0

Επομένως / ' ( 0 ) = 0 .

ί ημχ ν *

ημχ = lim^HI · lim ημχ = 1 · 0 = 0. *->0 χ χ-»0

2.1 2.

ί ) Γ ι α χ * 0 έχουμε: / ( * ) - / ( q ) . y | x | - ° _| r | * - 0

οπότε l i m / ( y ) / ( Q ) = l i m l x | = 0. *-»ο χ-0 Επομένως έχουμε / ' ( 0 ) = 0 i i ) · Για x > 1 έχουμε: /(x)-/(l)_x-l-0 χ-1 χ-1

= 1,

οποτε lim f { X ) / ( 1 ) = lim(l) = 1 *->ι+ χ-1 • Για χ < 1 έχουμε:

/(x) - /(1) _ -(χ -1) - 0

= -1.

χ-1

Χ-1

οποτε lim f { x ) / ( 1 ) = l i m+( - l ) = - 1 . *->r χ-1 *->ι Επειδή lim *->γ μείο x0 = 1 ·

~^ χ-1

* lim *->ι*

χ-1

, η / δεν παραγωγίζεται στο ση-

ίίί)Γιακάθε x e (0,1)^(1,3) έχουμε: /(χ)-/(1) _ -χ2 +3χ-2 _ -(χ-1)(χ-2) χ-1 χ-1 χ-1 οποτε u m

/w_^/w χ-1

= lim(_x+2)

*-»>

Επομένως /'(1) = 1.

166

= ι.

- χ + 2.

i v ) · Για χ < Ο έχουμε: / ( * ) - / ( 0 ) , χ 2 + χ + 1 - 1 = x(x +1) _ χ

| ι

χ-0 οπότε li

*-><r

/ ( 0 )

l i m ( ^ l ) = l.

χ-0

χ->ο~

• Για χ > 0 έχουμε: /(x)-/(0)

χ + 1 - 1 = 1,

χ-0 οπότε

l i m / W - / ( 0 ) = l i m ( l ) = l. *->ο+ χ-0 *->° Επειδή lim ι->0" χ-0 Χ = 0 , με / ' ( 0 ) = 1.

= 1 = lim+ *->0

χ-0

, η / ε ί ν α ι παραγωγίσιμη στο

3. Για κάθε χ από το πεδίο ορισμού τ η ς / μ ε χ * 0 έχουμε: g(x)-g(0) _ x / ( x ) - 0 / ( 0 ) _ χ/(χ)

χ-0

• = /(χ) ,

οπότε limg(*)

*-»">

g(0) χ-0

= lim/(x) = / ( 0 ) ;

*->"

αφού η / ε ί ν α ι συνεχής στο σημείο χ 0 = 0 . Επομένως η g παραγωγίζεται στο 0 με g'(0) = / ( 0 ) . 4.

i) Έχουμε: lim / ( x ) = lim (x 2 +1) = 1, l i m / ( χ ) = lim χ 3 = 0 και /"(0) = 0 . *->0" *->0~ *->0+ χ-»0~ Επειδή lim / ( χ ) * lim+ / ( χ ) , το όριο τ η ς / στο 0 δεν υπάρχει. Εποικο" *->0 μένως η / δ ε ν είναι συνεχής στο 0. Αφού όμως η / δ ε ν είναι συνεχής στο 0, δεν είναι ούτε παραγωγίσιμη σ' αυτό. ii) Έχουμε: lim / ( x ) = lim( | x — 11 +1) = 1 και /(1) = 1. χ-*1 *->1

167

Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής στο x0 = 1. — Για χ < 1 έχουμε: /(*)-/(!) _ - ( * - ρ + 1-1 χ-1

χ-1

οπότε

lim / ( * ) - / 0 ) = . ι *->Γ

Χ-1

— Γί"· x > 1 έχουμε: /(*)-/(!) _ s - l +l - l χ-1

χ-1

οπότε *->ι+

x -1

„ .... /(x)-/(1) ,. / ( x ) - / (1) Επειδή lim * lim + , η / δεν παραγωγιζεται στο *->ΐ" χ — \ *->ι χ—1 Χ 0 =1. 5. · Από την άσκηση 1 έχουμε. 0

/ ( * ) = * 2 + 1 , / ( 0 ) = 1 και / ' ( 0 ) = 0 . Επομένως η εξίσωση της

εφαπτομένης της Cf στο σημείο (0,1) είναι: jv — 1 = 0 · (χ — 0) <=> jv = ι . ii) / 0 0 = - ^ - , /(1) = 1 και /'(1) = - 2 .

Επομένως η εξίσωση της

εφαπτομένης της C} στο σημείο (1,1) είναι: >•-1 = - 2 ( χ - 1 ) ο >> = - 2 χ + 3 . iii) / ( * ) = η μ 2 * , / ( 0 ) = 0 και / ' ( 0 ) = 0 . Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο (0,0) είναι: >"—0 = 0- (χ — 0) <=> • Από την άσκηση 2 έχουμε:

168

= 0.

οποτε l i m ^ l + h ) ^ ( 1 ) = lim(/?2 + 3// + 3) = 3. h—>0 /2 a-*0 Επομένως /'(1) = 3 .

<* Για x < 0 έχουμε:

/W-/(0)

! - l i-x

i-i+x

x-0

x(l-x)

1-x

οπότε l i m * y ) - * 0 ) = l i m — L =!. *-»<>l-x x • Για x > 0 έχουμε: / ( x ) - / ( 0 ) _ ημχ + 1 - 1 _ ημχ x-0

οπότε lim/w-/(°) *->° Χ-0

= 1

i m ! e = i, x—tO χ

Επομένως / ' ( 0 ) = 1. Άρα, ορίζεται εφαπτομένη της Cf

στο σημείο 0(0,1) και έχει συ-

ντελεστή διεύθυνσης λ = / ' ( 0 ) = 1, οπότε π

εφω = .1 <=> ω = —.

4. Για κάθε χ * 0 έχουμε: /(*)-/(0)

1-συνχ χ

χ-0

1-συν2χ

1-συνχ-

χ (1 + συνχ)

ημ2χ

. Γημχ'Γ

χ 2 (1 + συνχ)

ν x J

ι 1 + συνχ'

οπότε l i m ^ - ^ l i m l

*->0

χ —0

ημχΛ

χ J

1 + συνχ

— —

170

, 1 1—

= 1 — =

/ 0 0 = *1*1, / ( 0 ) = 0 και / ' ( 0 ) = 0 . Επομένως η εξίσωση της

εφαπτομένης στο σημείο (0,0) είναι: ^-0 =0-(^-0)^7 =0 ii) / ( χ ) = | jc — 11, /(1) = 0 και χ lim δεν υπάρχει. Επομέ-*1 χ-1 νως δεν ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο σημείο (1,0). iii) / ( * ) = | x 2 - 3 x | ,

/(1) = 2 και /'(1) = 1. Επομένως εξίσωση της

εφαπτομένης της C f στο σημείο (1,2) είναι: 7 - 2 = 1(χ-1)<=>>· = Χ + 1 • .. ^ f* 2 + x + l, iv)/(x) = , ^ [ χ + 1,

χ <0

/(0) = 1

χ>0

και

/ ' ( 0 ) = 1.

Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf

στο σημείο (0,1)

είναι: 7 - 1 = 1(Χ-0)<=>7 = Χ+1.

2.1

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Για κάθε χ * 0 έχουμε: /00-/(0)

2 - χ + χημ| χ | - 2

χ - 0

χ(-1 + η μ | χ | )

= —ί+ημi χ i»

οπότε lim^ ^ = *->ο χ —0

lim(—1 + η μ | χ | ) = —1, αφού 1ίιη(ημ| χ | ) = 0 . *->ο

Επομένως, / ' ( 0 ) = - 1 . 2.

ϊ) Για h = 0 έχουμε /(1) = 2. i i ) Γ ι α κάθε Λ ε Κ * έχουμε: /(1 + //)-/(1) 1

Λ3 + 3/?2 +3Λ + 2 - 2 Λ(Λ2 +3Λ + 3) , , Ζ =— Ζ = Α +3Λ + 3 ,

169

IBIMiai Επομένως, / ' ( 0 ) = -^-.

5. Για κάθε χ e IR γνωρίζουμε ότι: (χ + 1 ) < / ( χ ) < χ 2 + χ + 1

(1)

ΐ) Για χ = 0 , από την (1) έχουμε: 1 < / ( 0 ) < 1 , οπότε / ( 0 ) = 1. Η (1) γράφεται ισοδύναμα: x < / ( χ ) - 1 < χ 2 + χ ο χ < / ( * ) - / ( 0 ) < χ(χ+1)

(2)

ii) · Για χ < 0 , από τη (2) έχουμε: 1 > / ( * ) ~ / ( ° ) > χ +1, χ-0

(3)

• Για χ > 0 από τη (2) έχουμε !< / ( Υ > - / ( ° ) < χ + 1 χ iii) Από τη σχέση (3) επειδή

(4)

lim 1 = 1= lim(x + l), σύμφωνα με το χ-*0

*->0~

κριτήριο παρεμβολής έχουμε

inn f M - f & K i . *->ο"

χ-0

Από τη σχέση (4) επειδή lim+ 1= lim(x + l) = l , σύμφωνα με το κριχ-»0 *->0+ τήριο παρεμβολής έχουμε lim / W - / W . 1 . Ι->Ο +

Χ - 0

Επομένως / ' ( 0 ) = 1. 6. Για κάθε xeIR γνωρίζουμε ότι ισχύει: η μ 2 χ - χ 4 ^ xf(x) < ημ 2 χ + χ 4 ί)Επειδή η / ε ί ν α ι συνεχής στο 0 θα ισχύει / ( 0 ) = lim / ( x ) = lim / ( x ) χ-»0 +

ι-»0

171

(1)

Επομένως, αρκεί ν α υπολογίσουμε το lim / ( χ ) . *->ο+ Για χ > 0 , από την (1), έχουμε ημ2* χ

χ* ,, Χ . ημ2χ χ 4 £/(χ)£-——+— χ χ χ

ή, ισοδύναμα, ·ημχ-χ3 £ / ( χ ) £ ^ · η μ χ + χ 3 . χ

— χ

ημχ-χ3

Επειδή lim *-°λ χ

= 1-0-0

και

lim - 3 ^ · η μ χ + χ 3 1 = 1 - 0 + 0 = 0 ,

*-»0+^ χ

έχουμε lim / ( x ) = 0 . Άρα / ( 0 ) = 0 . *-»ο* i i ) · Για χ * 0 , από την (1), έχουμε ημ 2 Χ χ2

χ 4 „ / ( χ ) „ ημ 2 χ χ2 ~ χ - χ2

ή, ισοδύναμα, χ

)

χ4

_ χ 2 ^ / ( * ) - / ( o ) j f ημχ υ , „2 +χ . χ )

Επειδή ί lim *->0

\ χ

= 1 - 0 = 1 και lim *->0

*)• + χ

= 1 + 0 = 1.

έχουμε li χ->°

(2)

Άρα / ' ( 0 ) = 1. 7.

i) Αφού η / ε ί ν α ι συνεχής στο 0 ισχύει lim/(x) = /(0). Αλλά lim / ( x ) = lim Αχ) *->ο *->ο'

/(Χ)

= l u n ^ - M i m x = 4-0 = 0 . *->0 x—>0

172

Επομένως, /(0) = 0. ii) Είναι /'(0) = lim

^ ) = l i m = 4 , λόγω της υπόθεσης.

*-*«

χ-0

->°

i) Επειδή η / είναι παραγωγίσιμη στο χ0 ισχύει /(x

»)

„_/(*ο+*)"/(*ο)

Για h φ 0 είναι /(*0 - h) - / ( x 0 ) _

/ ( χ 0 + (-ft)) - / ( χ 0 )

-λ

Επομένως l i m * * 0 - * > - / < » » ) = - iim ^ ( * 0 λ-> 0 // λ->0

— //

^ / ( * 0 + (-ft)) - / ( * 0 ) -α-»0 - /| ( β έ ο α μ ε ί =

_4)

Α: = - / ' ( *ο)·

ΐί)Για h * 0 είναι / ( χ 0 + / 1 ) - / ( χ 0 - ft) _ / ( χ 0 + / » ) - / ( χ 0 ) - / ( χ 0 - ft) +/(jcp )

h , / ( * ο +ft)- / ( * o )

/ ( * 0 - ft) - / ( * o )

οπότε lim /(*° /»->0

^) ~ /(*o ~ft)= ii m /(*o + ft)-fixo) //

a-»0

_ a—•()

= /'(*„ )~(-/'(*o))

= 2/'(x 0 ). (Σύμφωνα με το ερώτημα i) lim^-^———/^ x °) = - / ' ( x 0 ) ) . *-»« h 173

i) Από την αρχή του άξονα κίνησης ξεκίνησε το κινητό β. ii) Μόνο προς τα δεξιά κινήθηκε το κινητό Γ, αφού η συνάρτηση θέσης του είναι γνησίως αύξουσα. iii) Τη χρονική στιγμή / = 2 sec το κινητό β άλλαξε φορά κίνησης, γιατί τότε η συνάρτηση θέσης από γνησίως φθίνουσα γίνεται γνησίως αύξουσα. Τη στιγμή / =4sec άλλαξε φορά κίνησης το κινητό α, αφού η συνάρτηση θέσης του από γνησίως φθίνουσα γίνεται γνησίως αύξουσα. Τέλος τη χρονική στιγμή t = 5 sec άλλαξε φορά κίνησης το κινητό β, αφού τη συνάρτηση θέσης του από γνησίως αύξουσα γίνεται γνησίως φθίνουσα. iv) Στο χρονικό διάστημα [0,4] το κινητό Α κινήθηκε μόνο αριστερά, αφού η συνάρτηση θέσης του είναι γνησίως φθίνουσα. ν) Πιο κοντά στην αρχή των αξόνων τερμάτισε το κινητό β. Όλα τα παραπάνω φαίνονται καλύτερα, αν προβάλλουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσης στον άξονα κίνησης:

x=S(t)'

fjc=5(i)

Μ9·

Μ,

Θμ ,

,.4κινητό Γ

κινητό Α

® Μ6

μ%

Μ,

ΐΚ,7 Θ

(sec) κινητό Β

ν μ5 "μι

vi)To κινητό Λ διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα, αφού: — Το Α κινητό διαγράφει διάστημα ίσο με Μ,Μ 2 +Λ/ 2 Μ 3 —Το β κινητό διαγράφει διάστημα ίσο με Μ 4 Μ 5 +Λ/5Μ6 +μ6μ7 —Το γ κινητό διαγράφει διάστημα ίσο με Μ 8 Μ 9 .

174

%χ τ ΐ

α' ο μ α δ α σ

ί) Για κάθε χ e (R ισχύει /'(x) = 4x3, οπότε /'(-1) = - 4 . ii) Για κάθε xe(0, + oo) ισχύει /'(x) = —U, οπότε /'(9) = -^-= = \ . 2 4χ 2V9 6 'πΛ π 1 iii) Για κάθε xeIR ισχύει /'(x) = -ημχ, οπότε / ' — =-ημ— = — . 6j

iv) Για κάθε χ e (0, + οο) ισχύει /'(χ) = —, οπότε /'(«) = — . χ e ν) Για κάθε xeIR ισχύει /'(x) = ex, οπότε /'(ln2) = eta2 = 2

i)· Για κάθε χ<1 ισχύει /'(x) = 2x. • Για κάθε χ > 1 ισχύει f'(x) = — 2-Jx Εξετάζουμε αν η/παραγωγίζεται στο σημείο x0 = 1. — Για χ<1 έχουμε: /(,)-/(1) χ-1

g j

^ l χ-1

οπότε l i m / W z M = l i i n ( x + l ) = 2. χ—>1 Χ 1 χ—>1 — Για χ> 1 έχουμε: /(x)-/(l) χ-1

YFC-L

Χ-1

χ-1

(x-l)(Vx+l)

1 λ/χ+1

οπότε ,. / ( χ ) - / 0 ) ,. 1 1 lim = lim — — = —. χ-1

Vx +1

Επομένως η / δεν παραγωγίζεται στο χ0 = 1.

175

mmmm

χ <1

2χ,

Άρα / ' ( χ ) =

χ > 1.

2λγ

ii)· Για κάθε χ < 0 ισχύει / ' ( χ ) = συντ. • Για κάθε χ > 0 ισχύει fix) = 1. • Εξετάζουμε αν η/παραγωγίζεται στο σημείο χ0 =0. — Για χ < 0 έχουμε: f(x)~ Α 0) χ-0

ημχ-0

ημχ

οπότε

|i|n/W-/(0)=,imigaL ι->0 " *-»0- χ — Για x > 0 έχουμε: /(χ)-/(0) χ-0

χ - 0 = 1, χ

οπότε

Επομένως /'(0) = 1. /'(*) =

Άρα

συνχ, χ < 0 1, χ>0

iii) · Για κάθε χ < 2 ισχύει /'(x) = 3x2. • Για κάθε χ > 2 ισχύει /'(x) = 4χ 3 . • Εξετάζουμε αν η/παραγωγίζεται στο σημείο χ„ = 2. Επειδή lim / ( χ ) = lim χ 3 = 8 και lim+ / ( χ ) = lim+ χ 4 = 16,

*->2~

χ->2~

χ-»2

η / δεν είναι συνεχής στο x0 = 2. Επομένως η / δεν παραγωγίζεται στο χ0 = 2. Άρα

π α -

* ·

Ι4χ , χ >2. 176

χ->2

2.2 2

iv) · Για κάθε χ < — ισχύει / ' ( χ ) = 2χ . • Για κάθε

χ >

~ ισχύει /'(x) = 3x 2 .

• Εξετάζουμε αν η/παραγωγίζεται στο σημείο χ0 = —. Παρατηρούμε ότι: (2λ ,. . 8 /2 4 lim / ( * ) = - = / και lim / ( * ) = — * / - . 2~ 9 3 J 2*' 27 13 ν " ' 3

Δηλαδή η / δ ε ν είναι συνεχής στο χ0 = ~ · Άρα η / δ ε ν παραγωγίζεται στο σημείο χ0 = ~ · 2χ,

Επομένως,

x <—

/'(*) =

3x2, χ>—. 3. Έστω ότι υπάρχουν δύο σημεία, τα Α/, (χ,, χ,2) και Μ 2 (χ 2 ,χ 2 ) με χ, * χ 2 , στα οποία οι εφαπτομένες της cf είναι παράλληλες. Τότε, επειδή η / παραγωγίζεται στο πεδίο ορισμού της, θα πρέπει / ' ( x ι ) = /'(x 2 )> οπότε 2χ, =2χ 2 και άρα χ, = χ 2 , που είναι άτοπο, αφού χ, * χ 2 . Άρα, δεν υπάρχουν διαφορετικές εφαπτομένες της C f που να είναι παράλληλες. Για τη γραφική παράσταση της /(x) = x 3 δεν συμβαίνει το ίδιο. Πράγματι, για να υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία αυτής, τα Μ,(χ,,χ, 3 ), Λ / 2 ( Χ 2 , Χ 2 ) στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες, αρκεί να ισχύει: /'(x,) = / ' ( x 2 ) ^ J 3χ, 2 =3χ

β κ ·

1*1 **2

<=> χ, = —χ2 * 0 .

177

lillill Επομένως, στα σημεία Λ/,(χ,,χ, 3 ), Μ 2 (-χ,,-xf) με χ, *0 ον εφαπτομένες είναι παράλληλες. 4. · Στο διάστημα (-2,0) η κλίση της/είναι σταθερή και ίση με 2-0

0-(-2)

- 2 - 2

• Στο (0,2) η / έχει κλίση ίση με ——— = - 2 . 2-0

Στο (2,4) η κλίση της είναι 0. • Στο (4,6) η κλίση της είναι ίση με 4 - = -- = 3 • 6-4 2 0 - 4 4 Στο (6,9) η κλίση της/είναι ίση με 9-6 τ 1, χ e(-2,0)

Επομένως,

/'(*) =

-2,

χ e (0,2)

*6(2,4)

3, 4 3'

χ e(4,6) *6(6,9)

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης / ' φαίνεται στο παρακάτω σχήμα y 3 11

-2 -4/3 -2'

6 . 9 4

5. Στο διάστημα [0,2) είναι /'(χ) = 2. Άρα, στο διάστημα αυτό η / παριστάνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση 2, δηλαδή παράλληλο στην ευθεία _y = 2x. Στο διάστημα (2,4) είναι /'(χ) = -1. Άρα, στο διάστημα αυτό η/παριστάνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση -1, δηλαδή παράλληλο στην ευθεία y = -x. Τέλος, στο διάστημα (4,8] είναι /'(χ) = 1. Άρα, στο διάστημα αυτό η / παριστάνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση 1, δηλαδή παράλληλο στην ευθεία y = x. 178

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, την υπόθεση ότι η C f ξεκινάει από το 0(0,0) και ότι η / είναι συνεχής στα σημεία 2 και 4, παίρνουμε τη γραφική παράσταση του διπλανού σχήματος. 1 2 3 4

2.2

5 6 7

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Αρχικά θα πρέπει η / ν α είναι συνεχής στο χ0 = π . Έχουμε: lim f(x) - lim ημχ = 0,

χ->χ

χ-+χ

lim f(x) = lim (αχ + β) = απ + β και /(π) = απ + β.

Χ->*+

Χ-+Χ*

Αρα θα πρέπει απ + β = 0 <=> /? = -απ Έτσι η /γίνεται: /(*) = ί η μ Χ ' [αχ-απ,

*<* χ>π.

Για να είναι η/παραγωγίσιμη στο χ0 = π, αρκεί: i i m :L/^— ( *L— ) - J-^— / ( *L) = . ,lim - m im m lim r—>7Γ *->* χ—π *-»*+ χ-π

— Για χ<π έχουμε: /(*)-/(ff) , ημχ-0

χ-π

οποτε lim

χ-π

*->* χ-π

= [im

1K'-»=_1 —(π —χ)

Ι->Γ

— Για χ>π έχουμε: /(*)-/(τ) χ-π

αχ-απ • = α, χ-π

οποτε

179

(1)

2.2 u . / m - / w , . χ-π:

Άρα a = -1, οπότε από την (1) έχουμε β = π. 2. Γνακάθε fe(0,+oo) έχουμε /'(£) = — 2^ξ

Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α (ξ, /(ξ)) είναι:

Η ευθεία αυτή διέρχεται από το σημείο Β(-ξ,0), αφού ' 2v?

ο. 2

3. Για κάθε xeIR* ισχύει /'(x) = 3x 2 , οπότε /'(α) = 3α 2 . Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ(α,α3) είναι: y-a3 = 3α2 (x-α) <=>_>> = 3α 2 x - 2 α 3 . , = χ3

Λύνουμε το σύστημα

„ y = 3α22 χ-2 α33

Έχουμε: ,=x

3 0

γ = 3α χ-2α

_ 3

, 2

j y = * ' 3

[χ -3α χ+2α =0

|χ(χ2-α2)-2α2(χ-α) = 0

~{γ|χ = α ή χ = -2α

« ί ^ = χ3 2 [(χ-α)(χ + αχ-2α 2 ) = 0

= χ3

ί,=«·

[χ = α

!>-*,> [χ = -2α.

Επομένως η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ {α,α3) έχει και άλλο κοινό σημείο με την Cf το Ν(-2α,-&α3). Είναι /'(-2α) = 3(-2α)2 = 12α2 =4·3α 2 =4·/'(α).

180

2.2 ϊ) Είναι

y ym

ν*

-I = —1 = lim χ ξ— = .lim— '->( χ-ξ *-*( ξχ ξ Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι 1

Για y = 0 είναι 1

(χ-ζ)<=> ξ = χ-ξ=<*χ = 2ξ.

Άρα η ε τέμνει τον χ'χ στο σημείο Α(2ζ,0). Για χ = 0 είναι

Άρα η ε τέμνει τον y'y στο Β 0 , ξ. \ Επομένως, οι συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ είναι 2ξ + 0 2

=ξ

και

1=1 2

Άρα, το μέσο του ΑΒ είναι το σημείο Μ

ii) Το εμβαδόν του τριγώνου OA Β είναι 2ξ·- = 2 τ.μ. ξ

ε = ±(οα){οβ)=\|2ί|·

2.3 1.

Α' ΟΜΑΔΑΣ i) /'(*) = Ίχ6-4x^+6 ii) /'(*) = 6χ2 + — χ 181

ι ^

\ x

χ-ξ

// ^ // γ / Τ"| —

*-»f

iii) /'(x) = x3 - χ 2 + x - l iv) /'(χ) = -ημχ-·\/3συνχ 2.

i) /'(x) = 2x(x-3) + x 2 - l = 2 x 2 - 6 x + x 2 - l = 3 x 2 - 6 x - l ii) f \ x ) = ex\\\sx + e'(TWx = ex{x\\ix + (smx)

iii) /'(x) = -

-2x(l + x 2 ) - 2 x ( l - x 2 ) (1 + x 2 ) 2

iv) /'(x) - ^CTVy ~

-2X(1 + X2+1-X2) 2 2

(1 + x )

-Ax (1 + x 2 ) 2

σ»νχ) + ημχ(ημχ + συνχ) (1 + συνχ)2

_ συντ-ημχ + συν 2 χ-ημχ·συνχ + ημ2χ + ημχ·συνχ (1 + συνχ)2 _ 1-ημχ+συνχ (1 + συνχ)2 ν) /'(χ) = 2χημχσυνχ + χ2συνχσυνχ-χ2ημχημχ = χημ2χ + χ 2 (συν2 χ - ημ2 χ) = χημ2χ + χ 2 συν2χ = χ(ημ2χ + χσυν2χ).

e'lnx-e*-

e^lnx-^·

(In χ)

(In χ)2

i) / ' ( χ ) =

ii) /'(x) =

iii) f -

1 συν2χ

1 ημ 2 χ

ημ 2 χ-συν 2 χ ημ 2 χ·συν 2 χ

-συν2χ ημ2χσυν2χ

OTVxe

* -nvxe' _ ^Χ(συνχ-ημχ) _ συνχ-ημχ e2x e2' ex

iv) Έχουμε: y ( j c ) _ (*~1) 2 -(^+1) 2 , ~4x x2 -1 x2 - Γ οπότε 182

4συν2χ ημ 2 2χ

ill /'m=

- 4 ( x 2 - l ) + 8x2

4(x2 +1)

(*2-i)2

(x2-!)2

i) · Για κάθε x<0 ισχύει f\x) = 4x + 3 • Για κάθε x > 0 ισχύει /'(χ) = 12--^= + 6 = - ^ + 6 . 2y/x yjx • Εξετάζουμε αν η/παραγωγίζεται στο χ0 = 0. — Για χ < 0 έχουμε: Αχ)-η χ-0

2x 2 + 3χ

= 2x + 3.

οποτε lim m - m

*-»0"

= lim(2x+3) = 3

x->0

•Για Χ> 0 έχουμε: /(*)-/(<>) . 12λ/7+6χ 12 + 6. χ-0 Ί~χ οποτε *->0+

12 + 6 = +00. :r->0+ rx

Επομένως η / δεν παραγωγίζεται στο χ0 = 0. 4jc + 3,

Άρα

χ <0

f'(x) = • χ> 0 U?

i i ) · Για κάθε χ < 0 ισχύει /'(x) = 2χ + συνχ • Για κάθε χ > 0 ισχύει /'(χ) = 1. • Εξετάζουμε αν η/παραγωγίζεται στο χ0 = 0. — Για Χ<0 έχουμε: / 0 0 - / ( 0 ) _ χ 2 + ημχ _ χ-0 χ

ημχ χ

οπότε χ

->°

χ-0

*-»<\

183

= 1. y

— Για χ > Ο έχουμε: /(,)-/(0) = »=,

χ-0

l i m / ( ^ ) - / ( ° )

*-»0+

μ 6 ι ε

χ =

*->0+

χ —0

Επομένως /'(0) = 1. „ Έτσι

ί2χ + συνχ, χ^Ο f (χ) = \ 1,

χ >0

5. Θα πρέπει να βρούμε εκείνα τα σημεία (χ,/(χ)) της c{

για τα ο-

ποία ισχύει /'(x) = 0. ί)Για χ * 0 έχουμε: 4

/'(*) = ! - _ = χ2

χ2 - 4 χ2

οπότε /'(Χ) = 0<=>Χ 2 -4 = 0<=>Χ = - 2 ή x = 2. Επομένως τα ζητούμενα σημεία είναι (-2,-4) και . (2,4). ii) Έχουμε: _ e* ~xe" _e*(l-x)

—

2* e

_1-χ

27 e

x~' e

οπότε f'(x) = 0<=>l-x = 0<=>x = l. Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το (1,— v e

iii) Έχουμε: 2

/'(*) =

2χ2 - χ - 1 χ2

χ2 - 1 χ2

οπότε /'(x) = 0 <=>χ 2 -1 = 0 <=> x = - 1 ή χ = 1. Επομένως τα ζητούμενα σημεία είναι τα (-1,-2) και (1,2).

184

6. · Για κάθε χ *1 ισχύει: 2(χ-1)-2(Χ + 1)

-4

(*-1)2

(χ-ΙΫ

/'(*) = -

• Για κάθε xe[0, 1)U(1,+QO) είναι , . (V^ + l ) 2 + ( V i - l ) 2 2(*+1) , . -4 £(*) = —7 = — , οποτε g(x) = -—-γ. χ-1 χ-1 (χ — 1) Δεν ισχύει η ισότητα των / ' , g', αφού αυτές έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού. 7. · Για κάθε χ e R ισχύει f\x) = 2χ, οπότε /'(1) = 2. • Για κάθε χ * 0 ισχύει g'(x) = Επειδή /'(l)-g'(l) = 2-|

, οπότε g'(l) = - —. 2χ2 ' " " 2

= -1, οι εφαπτόμενες των γραφικών πα-

ραστάσεων των συναρτήσεων / και g στο κοινό τους σημείο (1,1) είναι κάθετες. 8. Παρατηρούμε ότι το σημείο ^4(0,1), για κάθε aeIR*, βρίσκεται πάνω στην c f . Για κάθε x e R - { « } έχουμε: a(x + a)-(ax + a) _ α1-α

j v·*/ — ~

(χ + α) 2

οπότε /'(0) =

α2 - α

α-1

Επομένως /'(0) = — <=> -—- = — <=>2α-2 = α<=>α = 2. 2

ί)Τα σημεία της Cy στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία y = 9x+l είναι αυτά για τα οποία ισχύει /'(*) = 9. Αλλά f'(x) = 3x2 - 3 , οπότε 3x2 - 3 = 9 <=> 3x2 = 12 <=> χ2 = 4 ο χ = -2 ή χ = 2. Επομένως, τα σημεία είναι (-2,3) και (2,7). 185

ii) Τα σημεία της Cf στα οποία η εφαπτομένη είναι κάθετη προς την ευθεία y = -x είναι αυτά για τα οποία ισχύει: /'(χ)·(-1) = - 1 ή ισοδύναμα: (-1)(3χ2 -3) = - 1 <=>3χ2 - 3 = 1 <=> χ 2 = -<=>χ =-2λ/3 η, x = -2Λ/3 Επομένως τα σημεία είναι '2^3

3 '

-10v3+45^

' - 2 ^ 3 10λ/3+45

και

10. Η εφαπτομένη της Cf στο τυχαίο σημείο M0(x0,f(x0)) εξίσωση: y~xl

.ν-/(*0 ) = /^0)(^-^0)^

αυτής έχει

=2χο(χ-χο)

α·γ = 2χ0χ-χ„.

(1)

Για να περνάει η ε από το σημείο Λ(0,-1), αρκεί να ισχύει - 1 = 2χ0 ·0-χ„ <=> x02 = 1 <=>x0 = 1 ή x0 = - 1 . Επομένως οι ζητούμενες εφαπτόμενες προκύπτουν από την (1), αν θέσουμε χ 0 = 1 και χ0=-1. Άρα, είναι οι ευθείες y = 2x-l και y = -2χ -1. 11. Η γραφική παράσταση τ η ς / διέρχεται από τα σημεία Α( 1,2) και 0(0,0), οπότε /(1) = 2

(α + β + γ = 2

/(0) = 0 ^ 1

7=0

. (1)

Γ ια κάθε x e R ισχύει f'(x) = 2αχ + β . Επειδή η Cf εφάπτεται της ευθείας y = x στο σημείο 0(0,0) θα είναι: / ' ( 0 ) = 1 <=>/? = 1.

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι α = 1, β = 1 και γ = 0 . 12. ί) Έχουμε f\x) = ((3x4 + 4χ3 Γ 2 )' = -2(3x4 + 4χ3 )"2-' · (3x4 + 4χ 3 )' 186

(2)

(3χ 4 +4χ 3 ) 3

•(12χ 3 + 1 2 χ 2 )

-24(χ + 1) χ 7 (3χ+4) 3 ϋ)Για xe(l, + oo) έχουμε /'(x) = ((x-l)2/3)'=^(x-l)r'(x-l)' =

3-vxm"

iii) Είναι /'(χ) = συν 1+χ

1+χ

-2χ

= συνί Vl + x

(1+χ2)2 '

iv) Έχουμε -i-.I-x

fix)

i - x ^

1 - χ 2 I χ2 -(1 + χ 2 ) χ(1-χ 2 ) ν) Είναι f'(x) = e 13.

χ1

(1-χ )χ

χ 2 +1 χ(χ2 — 1)

- (-χ 2 )' = e χ2 -(-2χ).

ί)Γιακάθε χ > - 1 ισχύει / ' ( Χ ) = (Χ2

)'V 1 +

Χ2 +

χ 2 (Vl + x 3 ) '

= 2x-Jl + x3 + χ2

• = 2xVl + x 3 +2%/l + χ

ο λί

= 12 + —

2V1+8

ii)Για κάθε χ > 0 ισχύει 187

2>/ϊ + χ

οποτε / ' ( 2 ) = 2 ·2λ/Τ+8 + — ρ =

= 20.

1 -2 -2 --4 -/ ' ( x ) = - ( 2 x ) 3 -2 + y(2x) 3 ·2 = — (2x) 3 +—(2x) \ οπότε /'(4) =—8 * +-8~ 5 = 1 + - = - . 3 3 6 3 6 iii)Για κάθε x e R ισχύει /'(x) = 3χ2ημ3(πχ)+χ33ημ2(Βχ)·συν(πχ)·π = 3χ2 [ημ3 (πχ) + πχημ2 (πχ)συν(πχ)], οπότε 2_

1 fe + ^ r l ~ 12 00

l A ) _ 1 1 + ^ 4 2 ~ 12 v 8 + 48

iv) Για κάθε χ * 2 ισχύει: /'(*)=-

2χ(2-Χ) + Χ 2 +2 (2-χ) 2

4Χ-2Χ 2 +Χ 2 +2 (2-Χ)2

-Χ 2 +4Χ + 2 (2-χ) 2

οποτε / ' ( 3 ) = - 9 + 12 + 2 = 5 . 14.

ί)Για χ > 0 έχουμε /(x) =e hj:lnx = ^ ^ , οπότε A * ) = e h ' (In2 χ)' =e

21nx — χ

= x b "-2-!-lnx = = 2xbljr l In χ ii) Είναι / ( χ ) = e(5* 3 ) h 2 , οπότε /'(x) = e(5*"3>ln2 -((5x-3)ln2)' = e(5x_3)ln2 -51n2 = 25x"3 -51n2.

188

ίϋ)Για χ>1ισχύει /(x) = exW>nχ), οπότε f\x) = eI,n0nx) -(xln(lnx))' = e ,h(lnx) -iln(lnx) + x — \ lnx x = (lnx)1 ·ί ln(lnx)+—ίV lnx iv) Έχουμε /'(x) = (ημχ-e0""1)' = mjvx-e0™ +ημι:(β0,,ν*)' = συνχ-e^ +ημτ·β°"νι -(συνχ)' = ε συγ *(συνχ-ημ 2 χ). 15. Είναι /'(χ) = (ημ2χ)' = 2ημχ· συνχ = ημ2χ και /"(χ) = συν 2χ·2. Άρα /"(χ) + 4/(χ) = 2συν2χ+4ημ2 χ = 2(1 - 2ημ2 χ) + 4ημ2χ = 2-4ημ 2 χ+4ημ 2 χ = 2.

2.3

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Οι γραφικές παραστάσεις των f,g μόνο αν υπάρχει χ0 τέτοιο ώστε

έχουν ένα κοινό σημείο, αν και

f(xo) = g(xo)<=> — = *ο -x0+1<=>;ro

~χο +*ο -1 = 0

**0 0

λ <=>(χ 0 -!)(χ0+1)=0 <=>χ0 =1.

Επομένως, το σημείο (1,1) είναι το μόνο κοινό σημείο των cf c,·

Για κάθε xeIR* ισχύει: 189

και

£5 /'(*) = — τ χ

και

«'(*) = 2 * - 1 ,

οπότε /'(1) - ~1 και g'(l) = 1 και επομένως ισχύει /'(l)g'(l) = - l . Επομένως οι εφαπτομένες των cf κάθετες.

και cg

στο σημείο (1,1) είναι

2. Λύνουμε το σύστημα y = 3x-2 jy = 3x-2 fy = 3x-2 3 3 y=x ^ { x - 3x + 2 = 0 ^ {(x-1) 2 (x+2) = 0 fy = 3 x - 2 fx = 1 , fx = - 2 ~ { x = l ή * = - 2 [ . y = l η U = -8 ' Επομένως, η ευθεία y = 3x-2

τέμνει την Cf στα σημεία (1,1) και

(-2,-8).

Για κάθε x e R ισχύει: /'(x) = 3x 2 , οπότε /'(1) = 3 και / ' ( - 2 ) = 12. Άρα η ευθεία y = 3x-2 εφάπτεται της cf στο σημείο (1,1). 3. Οι γραφικές παραστάσεις των / και g έχουν κοινή εφαπτομένη στο χ0 =1 αν και μόνο αν, /(1) = g(l) και /'(l) = g'(l). Για κάθε xeR* ισχύει: / ' ( χ ) = 2αχ + β και g'(x) = — γ χ

οπότε Γ(ϊ) = 2α + β και g'(l) = - l . Επομένως / ( D = g(l) \α + β + 2 = \ [ α + β = -\ /'(l) = g ' ( l ) ~ |2α + /? = - 1 ^1:2α + β = -1 [α = 0 <=><

\β = -1

190

4. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C { στο σημείο >4(0,1) είναι: >>-1 = /'(0)(χ-0)<=>>< = χ + 1, αφού /'(0) = 1. Η ευθεία y = x +1 θα εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g, αν και μόνο αν υπάρχει x 0 , τέτοιο, ώστε jg(*o) = *o + 1 0 < | ~ * ο - ¾ = *ο + 1 ^ ί*ο +2x 0 [g'(x 0 ) = l \-2χ0 -1 = 1 1½ = - 1

Επομένως, η ,y = x+l εφάπτεται στη cg στο σημείο (-1,0). 5. Το ζητούμενο πολυώνυμο είναι της μορφής /(χ) = αχ3 + fix2 + γχ+δ, α, β, γ, 15 e IR και α Φ 0 . Για κάθε x e R ισχύει: /'(x) = 3αχ2 +2βχ + γ,

/"(χ) = 6αχ + 2/? και / ( 3 ) (χ) = 6α.

Έχουμε: /(0) = 4

<5 = 4

/'(-!) = 2

3α-2β + γ = 2 y = - 9 <=> β = -4 12α + 2β = 4

/"(2) = 4 ' / ( 3 ) (1)=6

6α = 6

<5 = 4

α=1

Επομένως / ( x ) = Χ3 - 4x 2 - 9χ + 4 .

6. Έστω ότι υπάρχει πολυώνυμο β' βαθμού /(x) = ax2 + βχ + γ που ικανοποιεί τις υποθέσεις της άσκησης. Τότε θα είναι /(0) = 1 και /'(0) = 1 και /(1) = 2 και /'(1) = 3 . Όμως, /'(χ) = 2αχ + β . Επομένως, θα ισχύει 7

= 1 και β = 1 και α + β + γ = 2 και 2α + β = 3 .

Αυτό, όμως, είναι άτοπο αφού από τις τρεις πρώτες εξισώσεις προκύπτει ότι α = 0, /? = 1 και γ = \, που δεν επαληθεύουν την τελευταία. 7.

ί)Για χ * α είναι xf (x) ~ of (α) _ χ / (χ) - χ /(α) + χ / (α) - of (α) χ-α χ-α 191

*(/(*)-/(«)) χ-α

f(a)(x-a) χ-α

_xf(x)-f(a) χ-α

Επειδή η /παραγωγίζεται στο χ0 = α , υπάρχει το hm/<*>-/"•> =/•(,,).

*-»« Αρα lim *-»«

xf(x)-af(a) — = x-α

1hm

x-α ./(*)-/(«) + / ( α ) = α·/'(α) + / ( α ) . x-α

π ) Γ ι α χ * α είναι e V ( x ) - g ° / ( a ) , e"f(x)~exf(a)+e*f(a)-eaf(a) χ-α χ-α χ-α

χ-α

Επειδή η συνάρτηση h(x) = e" είναι παραγωγίσιμη στο x0 = α ισχύει lim = h'(a) = ea. *-»« x - a Επομένως, g lim

V ( x ) ^ V ( a ) = 1 . m e , /(x)-/(a) χ-α χ-α = eaf\a)

8. Τα σημεία της cf

+ f(a)e'

. *-•« χ - α

+/(a)lim

=e"(f'(a) + f(a)).

στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς

τον άξονα των χ είναι αυτά για τα οποία ισχύει / ' ( χ ) = 0 με χ e [0,2π]. Αλλά / ' ( χ ) = 2συν2χ-4ημχ·συνχ= 2συν2χ-2ημ2χ, οπότε / ' ( χ ) = 0 « · 2συν2χ- 2ημ2χ = 0 <=> εφ2χ = 1 7γ ο2χ» = κπ+— 4

7ΐ ο χ = κ7ΐ —+— . 2 8

Επειδή xe[0,2π] έχουμε: .

κπ

„

os — + — <2πο 2 8

— < —<— 8 2 8

<=> — 4

= 4

0,1,2,3,

192

αφού κ β Ζ .

Για τις τιμές αυτές του κ βρίσκουμε ότι: π η, χ = 5π χ=— — ,η χ = 9π — ,η χ = 13π 8

ϊ) · Για χ * 0 έχουμε /

(

^ v | 2 ' 3 = j < - X; ) 2 / 3 >

* ) = i * r = i

Χ < 0

αν x > 0

Επομένως — Αν χ < 0, τότε / ' ( χ ) = ((-Χ) 2 / 3 )' = - | ( - Χ ) - " 3 = -

3y[-~X '

— Αν χ > 0, τότε

• Για x0 = 0 είναι a x ) - m _ \ f s

χ-0

Επομένως — Όταν χ > 0, έχουμε /(*)-/(<>)

X-Vx

.. 1

x-Vx

οπότε •*->0+

χ-0

Ηθ' ^/χ

— Όταν χ < 0 έχουμε /(χ) - /(0)

-1

x-V-x

V-X

οπότε l i m

*->ο-

/ w z m

= l i m

»->ο-

_ ^

_ .

Επομένως η f(x) = \[x* δεν παραγωγίζεται στο 0. Επειδή η / ε ί ν α ι

193

συνεχής στο 0, η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο 0(0.0) είναι η χ = 0. ii) Είναι 1<β

/ w - i . r - K " · [ χ ,

α. χ>0

Επομένως — Αν χ > 0, τότε /./ ' ww == ±4 * 1/3 " 3 ~= 4i j"^ .

— Αν jc < 0 τότε /'(*) = ( ( - * ) 4 " ) ' = y (-*)'" __ _~4 3 - ψ τ , .

• Στο x0 = 0 έχουμε

χ-0 Επομένως: — Αν χ > 0 είναι _λ!χ3 ·χ _ χ\ίχ

/(χ)-/(())

οποτε lim / ^ - / ( ° ) = lim 3 ^ = 0.

jr->04

*->0+

— Αν x < 0 είναι /(r)-/(0) ,

)•(-*) _ -χ·\Ρχ

=- ν ^ οπότε u m λτ »0

/(0) .Υ

= l i m = τ->0

Επομένως 194

_ ^

= 0

• /'(0) = 0.

Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της 0(0,0) είναι η γ = 0.

10. Επειδή η συνάρτηση/παραγωγίζεται στο R είναι g'(x) = f'(x2+x

+1)·(2χ+1),

οπότε g'(0) = Γ(1) = 1. Επίσης έχουμε g(0) = / ( 0 + 0 + 1)-1 = / ( 1 ) - 1 . Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της AQ,/(1)) είναι η

y-m=/'ακ*-d

<*y=x-\+m,

ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης της Cg στο σημείο της Β(0, g(0)) είναι η y - g ( 0 ) = g'(0)(x-0) <=>y-/(l) + l = l - x

<*y = x+f( 1)-1. Από (1) και (2) προκύπτει ότι η y = x+/(1)-1 μένη των C f , Ct στα Α, Β αντιστοίχως. 11.

είναι κοινή εφαπτο-

ί)Έχουμε διαδοχικά (/(ημ*))' = (<?*συν*)' /'(ημχ) · συνχ = e"<mvx+e" (-ημτ) /'(ημχ) · συν* = ex(<svw - ημχ). Επομένως /'(ημθ)συνθ = e° (συνΟ - ημΟ), οποτε /'(0) = 1. ii) Είναι /(ημΟ) = β°συνΟ οπότε /(0) = 1.

195

(2)

msmm&zzzis. -·

Αρα, η εξίσωση της εφαπτομένης ε της Cf

y· /ε

στο σημείο της Λ(0,1) είναι A

ε:^-1 = 1(χ-0)«·_ν = ΛΓ+1 Η εφαπτομένη ε τέμνει τους άξονες στα σημεία -4(0,1) και 5(-1,0) και ισχύει (OA) = (OB) = 1. Επομένως το τρίγωνο OA Β είναι ισοσκελές.

2.4

Β/ Ο

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Επειδή E(t) = 4πτ 2 (ί) και r(t) = 4 - ί 2 έχουμε: •

E'(t) = %Kr(t)-r'(t) = 8π • (4-1 2 ) • (-2/) = -16πί(4 - 1 2 ) .

Αρα Ε'(1) = -16τγ(4-1) = -48π cm2/s. • Επειδή y(t) = j x r 3 ( 0 ,

έχουμε V'(t) = 4 πτ2 (t) • r'(t) = 4π(4-t2)2

(-21)

= -8τγ/(4-/ 2 ) 2 . Άρα ^"(1) = -8π-1(4-1 2 ) 2 = -Ί2π cm3/s. 2. Επειδή 4

V(t) = -Jtr3(t)

έχουμε

V'(t) = 4πτ2 (t)r'(t) και για t = t0 V'(t0) = 4πτ2(ί0 )r'(t0). Είναι όμως V'(t0) = 100cm3/s και r(/ 0 ) = 9cm οπότε έχουμε 100 = 4π92 r'(t0). 196

Επομένως ,, \ r(/„) = 100 = 25 cm/s. 0 4ΤΓ-81 81-ττ

3. Έχουμε Ρ'(χ) = Π'(χ)-Κ\χ) = 420-χ2 + 40χ - 600 = -x 2 J -40x-180 Είναι Ρ'(χ)>0

για όλα τα x μεταξύ των ριζών του τριωνύμου

- χ 2 +40*-180, δηλαδή χ e (20->/220,20 + >/220). 4.

ί)Έστω x(t), ν(/) οι συναρτήσεις θέσεων των πλοίων 77,, 772 αντιστοίχως. Τότε υ, =χ'(/)=15

και

u2=y\t)

= 20

x(/) = 15/

και

y(t) = 20/,

οπότε αφού τα πλοία 77,, Π7 αναχωρούν συγχρόνως από το λιμάνι. ϋ)Απότο ορθογώνιο τρίγωνο Λ77,772 έχουμε d\t) = χ 2 ( / ) + / (/) = (15/)2 +(20/)2 = 225/2 + 400/2 =625/ 2 . Άρα d(t) = 25/, οπότε ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης d είναι σταθερός και ισούται με </'(/) = 25 km/h. 5. Έστω Μ^χ(/),1χ 2 (/) | σημείο της παραβολής, τη χρονική στιγμή / με / > 0 . Τότε: Χ'(0 = | J * 2 ( / ) J «

x'(/) = j2x(/)x'(/)

o l = — x(/) (αφού χ'(/)>0 για κάθε / > 0 ) . Άρα χ(/) = 2 , οπότε y(t) =—·22 = 1. Έτσι το σημείο είναι το Μ(2,1). 4 197

2.4 Β' ΟΜΑΔΑΣ

2.4

1. Έστω r = r(t) η ακτίνα της σφαίρας, ως συνάρτηση του χρόνου t. Τότε είναι: F(/) = y 7 t r 3 ( i ) ,

οποτε V'(t) = -K-3r2(t)-r'(t)

= 4n-r2(t)-r'(t).

(1)

Είναι όμως £(/) = Απ r2 ( f ) . οποτε £"(/) = 8π-r(t)r\t) <z>r'(t) =

•£'(0.

Ο τύπος (1) γίνεται 1

V'(t) = 4πτ2 (()·—• £'(/) = -τ(0• 8 πτ(1) 2

£'(/) •

Επομένως V'(t0 ) = 1-85-10 = 425 cm3/s. 2. Έχουμε: Τ =Τ(χ) = (ΟΑΒ) = — xlnx, αφού χ > 1 Επειδή το x είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε

y iS(0.1iw)

T(t) = -1 x(i) In λ·(/) , οπότε Τ Π Ο = 1 x'(*) In ;*•(/) + 1 x(f) -1— x\t) 2 2 x(t)

-4(*,0)

= 1χ'(ί)(1ηχ(/)+1).

Επομένως τη χρονική στιγμή t0 που είναι x(t0) = 5, έχουμε Γ(ί 0 ) = Ι*'(ί 0 )(lnx(r0 ) + 1) = = 14(ln 5 +1) = 2(ln 5 + 1) cm2/s.

198

•

3. Τα τρίγωνα ΓΑΕ όμοια. Επομένως

και ΓΒΑ είναι

ν = s o v = 5 ί <=> υ =1— s. — 5

Επειδή τα>> και s είναι συναρτήσεις του χρόνου t, είναι m0 = 7j(0·

Επομένως

/(/) = 1 *'(/) = 7 m / s · 4

4. Η γωνία θ είναι συνάρτηση του χρόνου t. Από το ορθογώνιο τρίγωνο L(f\

ΟΑΠ έχουμε εφθ(ί) =

. Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε δια-

100

δοχικά (εφ<9(/))' =

ά(0λ u00

1 e\t) = —-h\t) συν 0(/) 100 1

6>'(ί) =

Α'(0·συν 2 6»(ί),

100

οπότε θ

'('ο

(ΐ)

1uu

Όμως, τη χρονική στιγμή /„ που το μπαλόνι βρίσκεται σε ύψος /7 100m ισχύει: Λ'(/0) = 50 και συν0(/ο) = συν45° = — . Επομένως θ'(ί00) = ^ - - 5 0 - - = irad/min. 100 4 4 5. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΦΟΣ και ΚΠΣ έχουμε 1,6

(1)

χ+s Τα χ, s είναι συναρτήσεις του χρόνου t και ισχύει, x'(t) = 0,8m/s ενώ .ν'(ί) είναι ο ρυθμός μεταβολής του ίσκιου της γυναίκας. 8

199

—

Από την (1) έχουμε: 0,2 =

x+s

<z> 5 — 0,2(x + s) <=> 0,8λ =0,2* <=> s(t) = — x(t). 4

Επομένως s'(t)=jx'(0 4

= 0,25x'(t)

Άρα s'(t) =0,25-0,8 =0,2 m/s. 6. Ο προβολέας του περιπολικού φωτίζει κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της c f , καθώς αυτό κινείται κατά μήκος της καμπύλης. Βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της i

J = - χ 2 οπότε /'(α) = - α 2 . Επο-

α α , - Ι α J . Είναι /'(x) =

μένως, η εφαπτομένη AM έχει εξίσωση: 1 3 y+—a = -α 2(χ-α).

Για >» = 0, έχουμε 3 —α~ <=> 2 χ = —α . -1α 3 = -α 2χ +3 α <=>2 α ^χ = 3 3 3 2

Αρα, το σημείο Μ έχει τετμημένη χ(ί) = —α(/). Επομένως, *'(0 = j a ' ( 0 = - j a ( 0

και τη χρονική στιγμή ί 0 , που είναι, α(ί0 ) = - 3 , έχουμε -ν,

ν'ο/-

, ^ _ -, μονάδες μήκους — — · μονάδα χρονου

"ι 3)-1

7. Τα μεγέθη χ,γ,θ είναι συναρτήσεις του χρόνου t και ισχύει: νΑ =y'(t) και υΒ = x(t) = 0,1 m/s. Τη χρονική στιγμή ί0 που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο 2,5m είναι y(tο) = 2,5

και

x(/0) = ^3 2 -y\t0)

= yflJ5 m.

ΟΈχουμε x(i) = 3συν(9(ί), οπότε x'(t) = -3ημ/9(ί)·0'(Ο και άρα 200

2«4 θ'(ί) =

x'(t). 3ημ0(Ο

Επομένως θ\ίV0) ; = x'(t0) = 1— · 0,1 = —— rad/s. 25 ° 3ημ0(/ο) V 0 ' 3— 3 ϋ)Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε x 2 (/) + .v2(0 = 9, οπότε χ(ΐ) 2 x(t)x'(t)+2y(t)y'(t) = 0 » . / ( / ) = ,ν(0

Άρα, μ'ο)

οποτε ν (ί0) = • 0

^2/75

2,5

v v 5

m/sec.

8. Έστω x = x(f) και y = y(t) οι συντεταγμένες του κινητού, τη χρονική στιγμή t. Τη χρονική στιγμή t0 που το κινητό βρίσκεται στη θέση

,εχουμε χ ,( ' 0, ) = -1

y (, t οΧ) = v- 3γ ·

και

Επίσης έχουμε: y'(t 0 ) = -3 μονάδες/sec. Επειδή το κινητό κινείται στον κύκλο χ2 +y2 =1, είναι

χ2 ( 0 + / ( 0 = 1, οπότε έχουμε διαδοχικά (Χ2 (0)' + ( / (/))'' = C ο » 2x(i)x'(0 + 2y(t)y'(t) = 0 «=> *(>ο ) * ' C 0 ) + y ( t ο ) / ( ' ο) = 0 ·

Επομένως χ

y'Vο) = ~ ^ 3 . ^ / 2 = 3>/3 μονάδες/sec.

'('ο) = *('ο)

1/2

201

2.5 2.5 1.

Α' ΟΜΑΔΑΣ i)H /(χ) = χ2 -2x + \ είναι • συνεχής στο [0,2] ως πολυωνυμική, • παραγωγίσιμη στο (0,2) με f'(x) = 2x-2 και • ισχύει /(0) = /(2) = 1. Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (0,2) τέτοιο, ώστε / ' ( f ) = 0 » 2 £ - 2 = 0 o f = l. ii)H /(*) = ημ3χ είναι: 2π

συνεχής στο

, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων,

( 2πλ • παραγωγίσιμη στο 0,— , με / (x) = 3συν3χ και v

3 )

• ισχύει /(0) = /1— = 0 . Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e

j τέτοιο, ώστε

/'(ξ) = 0 <=> 3συν3£ = 0 <=> συν3£ = 0 <ζ>3ξ='— ή

ί =

ττ , 6 η ί

=~ ,

αφού 0 < 3ξ < 2π

π 2 ·

iii) Η /(χ) = 1+συν2χ είναι • συνεχής στο [0, π], • παραγωγίσιμη στο (0, π) με f\x) = -2ημ2* και • ισχύει /(0) = /(π) = 2 . Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e (0, π) τέτοιο, ώστε 202

m'm·

·ι

/'(ί) = ()ο-2ημ2ί = 0 <=> χ\μ2ξ = Ο

«· 2ξ = π,

αφού Ο < 2ξ < 2π

<=> ίcf = — .

iv) Η συνάρτηση / ( χ ) = | χ | είναι συνεχής στο [-1,1], ως απόλυτη τιμή συνεχούς συνάρτησης. Η/, όμως, δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ0 = 0. αφού

,· /00-/(0) = lim — χ = 1 και

lim

ι->0+

lim *->ο_

χ-0

*->6* χ

/(-ν)-/(0) x-0

lim — = -1.

*-><r χ

Επομένως η / δ ε ν παραγωγίζεται στο (-1,1). Άρα δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle. 2.

i)H f(x) = x2 +2χ είναι • συνεχής στο [0,4], ως πολυωνυμική • παραγωγίσιμη στο (0,4) με /'(x) = -2x + 2. Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ., οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e (0,4) τέτοιο, ώστε /'(ξ) = /(4> ~ /(0) ο 2£ + 2 = — 4-0 4

<=>2<f + 2 = 6 θ £ =2

ii) Η /(x) = 3ημ2χ είναι συνεχής στο

0,-

, (ΰς σύνθεση συνεχών συναρτήσεων,

® παραγωγίσιμη στο j 0,—Ι με /'(x) = 6συν2χ. Επομένως, ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ., οπότε υπάρχει ένα. τουλάχιστον, £ e | 0, — | τέτοιο, ώστε

203

'π'

/ ' ( f ) =

- /

π -0 2

- <=> 6 συν 2 ί = Ο

<=> συν2£ = 0 /> Ν r <^>2ξ =- ,

αφού 2ξ e (Ο, π)

<=>£ = -

iii) · Εξετάζουμε τη συνέχεια της/στο [-3,2] — Για χ e [-3,-1) η / ε ί ν α ι συνεχής, ως πολυωνυμική. — Για xe(-l,2] η / ε ί ν α ι συνεχής, ως πολυωνυμική. — Στο χ0 = -1 έχουμε lim /(x) = lim (2x + 2) = 0 _

χ—>—1~

χ—>-1

lim /(x) = lim ( χ 3 - χ ) = 0

και

/(-1) = 0,

οπότε η / ε ί ν α ι συνεχής στο -1. Επομένως, η/είναι συνεχής στο [-3,2]. • Εξετάζουμε τώρα την παραγωγισιμότητα τ η ς / σ τ ο (-3,2). — Η /είναι παραγωγίσιμη στο (-3, -1), με /'(x) = 2. — Η/είναι παραγωγίσιμη στο (-1,2), με /'(χ) = 3χ2 - 1 . — Έχουμε ,.

lim lim

*->-ι+

/ ( * ) - /: ( - ! )

χ +1

,·

= lim

2χ + 2

*->-Γ χ +1

= 2 και

/(*)-/(-!) .· = lim+ = lim x(x-l) = 2 . χ+1 -ι χ + 1 *-»-ι+

Άρα, / ( - 1 ) = 2 Επομένως, η/είναι παραγωγίσιμη στο (-3,2) με /'(*) =

2, χ e (-3,-1] 3χ 2 -1, x e ( - l , 2).

204

MWWW! Άρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ., οπότε υπάρχει ξ e (-3,2) τέτοιο, ώστε /'(ξ) = /(2)"/(~3) 2-(-3)

6 (_4) 0

~ 2-(-3)

/'(£)

Η τελευταία ισχύει για κάθε ξ e (-3,-1], ενώ για ξ e (-1,2) έχουμε: 3<f 2 -l = 2«3<f J = 3 o f 3.

=1<=>^ = 1.

· Η συνάρτηση f(x) = e" είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) με f'(x) = e*. Επομένως σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει χ0 e(a,/?) τέτοιο, ώστε Γ Μ , δ & ζ δ ώ « . ,

β-α Επειδή α<χ0<β

£ ΐ = £ ΐ .

<,)

β-α

και η συνάρτηση y = ex είναι γνησίως αύξουσα

ισχύει e" <e*° <e". Άρα, λόγω της (1), είναι e" <

- ρ

β-α

<ββ .

• Η συνάρτηση g(x) = lnx είναι συνεχής στο [α,β] με 0 < α < β και παραγωγίσιμη στο (α, β) με /'(*) = — . Επομένως, σύμφωνα με χ

το Θ.Μ.Τ. υπάρχει x0 e(a,/?) τέτοιο, ώστε Γ

( χ

)

/ ( Α ) ~ / ( « )

l n y g - l n a

l n f f - l n a

β-α

χ^

β-α

Επειδή 0 < α < χα < β, είναι

χ0

, οπότε, λόγω της (1), έχου-

με 1 —

2.5

l n / ? - l n « <

1 <

β-α

— .

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. ί) · Η συνάρτηση/είναι συνεχής στο διάστημα [-1,0] ως πολυωνυμική. Είναι

205

/ ( - 1 ) = 1 + 20-25 + 1 + 1 = -2

και

/(0) = 1

Δηλαδή /(-1)/(0) = -2 <0.

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x, e (-1,0) τέτοιο, ώστε / ( χ , ) = 0. • Η συνάρτηση / είναι συνεχής στο [0,1] και /(0) = 1, /(1) = 1 - 2 0 - 2 5 - 1 + 1= -44. Δηλαδή, /(0)/(1) =-44 <0. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον x2 e(l,0) τέτοιο, ώστε / ( χ 2 ) = 0 . ii)H συνάρτηση / ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [x,,x 2 ]c[-l,l], με x, e(-l,0) και x2 e(0,l), αφού • είναι συνεχής στο [x,,x 2 ] ως πολυωνυμική • είναι παραγωγίσιμη στο (x,,x 2 ) Ι16 /'(x) = 4x3 -60x 2 — 50jt — 1 και • ισχύει /(x, ) = 0 = / ( χ 2 ) . Αρα υπάρχει ξ e (x,,x 2 )c(-1,1), τέτοιο, ώστε /'(£) = 0 ή, ισοδύναμα 4ςε3 - 60£ 2 - 50£ - 1 = 0 .

Επομένως, η εξίσωση 4 χ 3 - 6 0 χ 2 - 5 0 χ - 1 = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-1,1). 2.

ί)Η συνάρτηση / ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0,1], αφού • είναι συνεχής στο [0,1] ως γινόμενο συνεχών • είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) με /'(x) = ημχ + ( χ - 1)συνχ και • /(0) = (0-1)ημ0 = 0,

/(1) = 0·ημ1 = 0 .

Άρα, υπάρχει £e(0,1), τέτοιο, ώστε /'(£) = 0, δηλαδή η εξίσωση /'(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). ίΐ)Η εξίσωση εφχ = 1 - χ στο (0,1) γράφεται ισοδύναμα

206

συνχ

= 1-χ<=> ημχ = (Ι-χ)συνχ <=> ημχ + (χ-1)συνχ = () <=> / ' ( χ ) = 0

και σύμφωνα με το ερώτημα ί) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1). Επομένως, η εξίσωση εφχ = 1 - χ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).

Σημ. : To ii) μπορεί να αποδειχθεί και με το Θ. Bolzano ανεξάρτητα από το ί) ερώτημα. 3. Η εξίσωση /(x) = x γράφεται ισοδύναμα / ( x ) - x = 0. Θέτουμε g(x) = / ( χ ) - χ , χ e Κ και υποθέτουμε ότι η εξίσωση g(x) = 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες x,,x 2 στο 1R . Η συνάρτηση g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [χ,,χ 2 ] αφού • είναι συνεχής στο [x,, χ2 ] ως άθροισμα συνεχών. (Η / είναι συνεχής στο R ως παραγωγίσιμη στο R ). • είναι παραγωγίσιμη στο (χ,, χ 2 ) με g'(x) = / ' ( χ ) - 1 και • g(x,) = 0 = g(x2). Επομένως, υπάρχει ξ e (x,, x 2 ), τέτοιο, ώστε g'(£) = 0 « /'(<f)-l = 0 « / ' ( f ) = l, που είναι άτοπο, αφού / ' ( χ ) * 1 για κάθε x e R . Άρα η εξίσωση g(x) = 01 ή ισοδύναμα η εξίσωση /(χ) = χ έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. χ

ίί)Κατ' αρχάς η εξίσωση ημ — = x έχει ρίζα το 0, αφού ημ— = 0 . χ

Έστω /(x) = ημ—. Τότε 1

/'(χ) = — συν— *1 για κάθε XER (αφού συν— *2). Άρα σύμφωνα με το ί) ερώτημα η εξίσωση /(χ) = χ , δηλαδή η εξίσωση ημ^ = χ, έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. Αφού, όμως, έχει ρίζα το 0, η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. 4.

ί)Έχουμε

207

^ i » 2 | x | < | l + x 2 | » 2 | x | < l + x2 l + jc

<=>X2-2|X|+1>0<=>(|X|-1)2 > 0 , που ισχύει. ii) · Για a = β ισχύει η ισότητα • Για α φ β, η / στο διάστημα με άκρα τα α, β ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Άρα υπάρχει ξ e (α, β) τέτοιο, ώστε Γ(ξ) = m

β-α

«, /(β) - /(α) = Γ(ξ)(β - α) «· /(β)-/(«)

• 1+γ

Επομένως, 1/(/0-/(«)ι =

ι+£3

|/?-α|< — | / ? - α | ,

λόγω του ϊ).

5. Η / ικανοποιεί τις συνθήκες του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [0,4], οπότε υπάρχει ξ e (0,4) τέτοιο, ώστε γ(γ>

/(4)-/(°)

/(4)-1

}

4-0 4 Αλλά, από υπόθεση έχουμε 2 < /'(χ) < 5 για κάθε χ e (0,4), οπότε 2<-

/ ( 4 ) - 1- < 5 <=> 8 < /(4) - 1 < 20 <=> 9 < /(4) <21.

· Η συνάρτηση / ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [-1,0], αφού είναι συνεχής στο [-1,0] και παραγωγίσιμη στο (-1,0) με /'(*)< 1. Επομένως, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξί e (-1,0), τέτοιο ώστε r a ) . j s s g & . j b = k * .

m + 1

<„

• Η συνάρτηση / ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [0,1], αφού είναι συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο (0,1).

Επομένως, υπάρχει ένα τουλάχιστον ζ2 e (0,1) τέτοιο, ώστε 208

)

, μ )

^ ζ ! 2 )

= 1

_/(0).

(2)

Επειδή /'(χ) < 1 για κάθε xe(-l,l) θα ισχύει /'(ί,)<1 ί/(0) + 1 <1 /'(ί2)< 1^11-/(0)^1

f/(0)<0 1/(0) > ο

Αρα /(0) = 0. 7. Κατ'αρχάς /(0) = g(0) = 1 και /(1) = g(l) = 2. Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινά τα σημεία Α και Β. Ας υποθέσουμε ότι αυτές έχουν και τρίτο κοινό σημείο Γ και ας ονομάσουμε ρχ < ρ2 < />3 τις τετμημένες των τριών σημείων. Τότε, θα ισχύει: f(Pi) = g(P\\f(Pi)

= g(Pi)

<" AP3) = g(Pi)·

Θεωρούμε, τώρα, τη συνάρτηση ψ(χ) = /(*) - g(x) = 2' + χ 2 - 2χ -1. Για τη συνάρτηση φ ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle στα διαστήματα [p u p 2 \ και [/>2,/>3], αφού είναι παραγωγίσιμη στο IR με / ( x ) = 2Mn2 + 2x-2 και ισχύει φ{ρχ) = φ{ρ2) = φ{ρ 3 )=^ • Αρα, υπάρχουν ζι e(pup2) και ζ2 e(p2,p3) τέτοια, ώστε / ( £ , ) = 0 και φ'(ξ2) = 0. Επειδή, επιπλέον, η φ' είναι παραγωγίσιμη στο [ί,,ί 2 ]> Υια τΐ1 συνάρτηση φ' ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle. Άρα υπάρχει ξ e(£,,£ 2 ) τέτοιο, ώστε φ"(ξ) = 0. Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού φ"(χ) = 2Χ In2 2 + 2 > 0 για κάθε χ. Άρα, η εξίσωση <ο(χ) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες, τους αριθμούς 0 και 1. 2.6

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Για κάθε x e R έχουμε / ( x ) = 2/(x)/'(x) + 2g (x)g '(χ) = 2/(x)g(x) - 2g(x)/(x) = 0 . Επομένως, <p(x) = c. 2.

ί) Για κάθε x e R είναι 209

/'(x) = 3x 2 +3 = 3(x2 +1) > 0. Άρα η/είναι γνησίως αύξουσα στο IR . ii) Για κάθε x e R είναι: /'(χ) = 6χ2 -6χ-12 = 6(χ2 -χ-2). Οι ρίζες του τριωνύμου χ2 -χ-2 είναι 2 και - 1 , οπότε το πρόσημο της / ' και η μονοτονία της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: -οο

χ /'(*)

-1 2 +°ο + 0 - 0 +

ΧΧχ

/00 Άρα η/είναι:

— γνησίως αύξουσα στο ~ ^ , αφού είναι συνεχής στο >0 J/'(χ) ν ν (-οο, -1) και ισχύει ' , στο ' '.

. . 1 — γνησίως φθίνουσα στο 1ί-1' 21λ , αφου. είναι συνεχής στο 1Γ-1' 21 και

ισχύει / Μ < 0 ,

(_1 στ0

> 2 ) , και

., Γ2, +οο) , , , Γ2, + οο) — γνησίως αυξουσα στο1 ' ' , αφου είναι συνεχής στο 1 ' ' και ισχύει /'(χ) > 0, στο (2, +αο). iii) Για κάθε x e R ισχύει /'(*)

χ 2 +1-2χ 2 (χ 2 +1) 2

1-χ2 (1 + χ 2 ) 2 '

Οι ρίζες της /'(χ) = 0 είναι -1 και 1, το πρόσημο της / ' και η μονοτονία της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: χ /'(χ)

fix)

-00

—1 -

0 + 0

+00 -

χ χ χ

Άρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-<»,-1], [1, + οο) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-1,1].

210

i) — Για κάθε χ<1 η /είναι συνεχής, ως πολυωνυμική — Ομοίως για κάθε χ > 1 — Για χ = 1 έχουμε: lim /" (λγ) = lim(4 — xr2) = 3 , *->Γ

*->>

lim/(x) = lim(x + 2) = 3 και /(1) = 3, *->1*

*->1

οπότε η/είναι συνεχής στο 1. Άρα η/συνεχής στο R . Η συνάρτηση/παραγωγίζεται στο R-{1} με /'(*) =

ί - 2χ, L

χ<1 x > 1.

Η /'(*) = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα την x = 0. Το πρόσημο της / ' και η μονοτονία της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: χ -00 0 /'(*) + 0 /(*)

+00 +

ΧΧΧ

Δηλαδή η/είναι: • γνησίως αύξουσα στα διαστήματα

(-οο,Ο]

και [l. + οο) και

• γνησίως φθίνουσα στο [0,1J. ii)H συνάρτηση/γράφεται: χ 2 -1, /(*) = 1-λγ \ „2 1,

χ e (-αο,-1] -ve(-ll) xe[l, +οο)

• Η / είναι συνεχής στο R , ως απόλυτη τιμή συνεχούς συνάρτησης. ® Για .r * +1 έχουμε 2χ, χ e /'(*) =

-2χ, 2χ,

(-οο, - 1 )

x e (-1,1)

xe(l, + οο).

Η /'(x) = Ο έχει ακριβώς μια ρίζα την x = 0. Το πρόσημο της / ' και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 211

-ΟΟ -

/(*)

+ 00

ο +

+ ο I

/'«

ΧΧ

Δηλαδή η/είναι: • γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-<»,-1], [0,1] και • γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [-1,0], [Ι,+οο).

e -xe l-x γ2* e e~ Η /'(χ) = 0 έχει μια μόνο ρίζα την χ = 1. Το πρόσημο της / ' και η μονοτονία της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: ί) Γι κάθε x e R είναι /'(*) =

-00

/'(*)

1 +

+00 -

Χ Χ

fix)

Δηλαδή η/είναι • γνησίως αύξουσα στο (-οο, 1] και • γνησίως φθίνουσα στο [1,+οο). ίί)Για κάθε χ>0 είναι /'(*) = — - 1 = -——. χ

Εχουμε /'(*) = 0 <=> χ = 1. Το πρόσημο της / ' και η μονοτονία τ η ς / φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: χ fix) fix)

1 +

Χ Χ

Δηλαδή η/είναι • γνησίως αύξουσα στο (0,1] και • γνησίως φθίνουσα στο

+00

0 -

[Ι,+οο).

212

iii) Η συνάρτηση /γράφεται fix) =

ί 2ημχ, [ Ο,

Ο < χ <, π π <χ<2π.

Επομένως έχουμε να μελετήσουμε τη μονοτονία τ η ς / σ τ ο [Ο,π·]. • Η / ε ί ν α ι συνεχής στο [Ο,τγ] • Για κάθε xe(0,7r) είναι / ' ( χ ) = 2συνχ Η /'

μηδενίζεται στο (0,π) για

~~^· Το πρόσημο της / '

στο

[0, 7γ] φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 0

·§

fix)

π -

Χ Χ

fix) Δηλαδή η / ε ί ν α ι • γνησίως αύξουσα στο • γνησίως φθίνουσα στο

°·ί π 2'π

και

• σταθερή με τιμή μηδέν στο [π,2π]. 5.

ί) · Για κάθε χeIR είναι /'(x) = 5x4 +5 = 5(χ4 +1) > 0. Επομένως η / ε ί ν α ι γνησίως αύξουσα στο !R . • Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [0, + οο) και παραγωγίσιμη στο (0,+οο), με

g'(x) = 2—^=-+1 = - ρ + 1 > ( ) για κάθε xe(0, + oo). 2ylx

Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0, + οο). ii) Έχουμε: • lim f(x) = lim (x5) = -οο και lim/(Χ) = lim x 5 =-κ» . χ

>—αο

χ->+οο

χ->,+00

Επομένως η / ως συνεχής και γνησίως αύξουσα στο IR , θα έχει σύνολο τιμών το διάστημα (-οο, + οο), δηλαδή το IR . 213

• Έχουμε: g(0) = - 3

και

lim g(χ) = lim(24~x + x-3) = +00.

JC—>+OO

JR->+«O

Αρα το σύνολο τιμών της g, για τον ίδιο λόγο όπως πριν, είναι το διάστημα [-3, + οο). iii) Οι εξισώσεις γράφονται / ( χ ) = Ο και g(x) = 0 αντιστοίχως και έχουν προφανή ρίζα την χ = 1. Επειδή οι συναρτήσεις/και g είναι γνησίως μονότονες, η χ = 1 είναι μοναδική κοινή ρίζα τους. 6.

ί) Για κάθε χ > -I ισχύει f'(x) = ex + — > Ο . Επομένως η / είναι γνη1+χ

σίως αύξουσα στο (-Ι,+οο). ii) Η εξίσωση e" = 1 -ln(x + l) γράφεται ισοδύναμα: e* — 1 + ln(jc+1) = Ο <=> / 0 0 = 0. Προφανώς /(0) = Ο . Επειδή η / είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και ισχύει /(0) - 0, η τιμή χ = 0 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης / 0 0 = 0. 2.6

Β' ΟΜΑΑΑΣ

1. Έστω x 0 e R . Τότε, λόγω της υπόθεσης, για κάθε χ*χ0 / ( * ) - / ( * ο ) ν * - * ο i <=>

έχουμε

/ 0 0 - / ( * ο ) <\χ-χ ϋ χ-χ. ο

/ ( * ) " / ( *ο)

— <|x-x0 ι.

Χ-Χ0

Αλλά lim(— I χ - χ 0 |) = lim | χ - χ α | = 0 .

χ-*χ0

Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι: lin,/(»)-/(»•>,0 χ - χ0

Άρα f'(x0) = 0, για κάθε χ0 eR που σημαίνει ότι η / σ τ α θ ε ρ ή στο R. 214

i) Η/είναι συνεχής στο [-1,1] ως πολυωνυμική και ισχύει f\x) = 3χ2-3 = 3(χ2-1)<0

για κάθε x e ( - l , l ) .

Άρα η / ε ί ν α ι γνησίως φθίνουσα στο [-1,1]. ii) Επειδή η / είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [-1,1], το σύνολο τιμών της είναι το [/(1), /(-1)] = [α - 2, α + 2]. iii) Η συνάρτηση /(JC) = * 3 - 3 χ + α είναι συνεχής στο [-1,1] και το σύνολο τιμών της [α-2,α+2] περιέχει το 0, αφού - 2 < α < 2 . Επομένως, υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 e ( - l , l ) τέτοιο, ώστε / ( χ 0 ) = 0. Αυτό όμως είναι μοναδικό, αφού η / είναι γνησίως φθίνουσα στο

(-1,1). 3. Η ταχύτητα του κινητού είναι »(/) = x'(/) = 4/ 3 -24/ 2 +36/-16, ενώ η επιτάχυνσή του είναι «(/) = *"(/) = 12/2 - 48/ + 36 = 12(/2 - 4/ + 3). ϊ) Η ταχύτητα του κινητού με τη βοήθεια του σχήματος Horner γράφεται t>(/) = 4(/ — I)2(/ — 4) και μηδενίζεται τις χρονικές στιγμές / = 1 και 1 = 4. Για να απαντήσουμε στα ερωτήματα της άσκησης αρκεί να μελετήσουμε το πρόσημο της ταχύτητας «(/) = *'(/) στο διάστημα [0,5]. Οι ρίζες της *'(/) = 0 είναι 1 και 4, ενώ το πρόσημο της x'(t) φαίνεται στον πίνακα /

5 +

-Ο-

χ'0)

ϋ)Άρα στο διάστημα (0,4) το κινητό κινείται προς τα αριστερά, ενώ στο διάστημα (4,5) κινείται προς τα δεξιά. iii)To πρόσημο της συνάρτησης «(/) = *"(/) φαίνεται στον πίνακα I a(t)

1 +

0 I

5 0 '

Επομένως στα διαστήματα [0, 1] και [3, 5] η ταχύτητα του αυξάνεται, ενώ στο διάστημα [1,3] μειώνεται.

215

:¾ j; /• :

4. Η συνάρτηση V παραγωγίζεται για t > Ο με 25 /2 >

V'(t) = 50-

100/

(/ + 2) 3

(t + 2)

Αρα η συνάρτηση V είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο), που σημαίνει ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται. Επειδή 2 ·\ 25/ V(0) = 50 και lim V(I) = lim 5 0 2 /->+<»

(/ + 2) J

25/2 = 50-25 = 25, = 50 - lim 2 <->.+« ί +4/ + 2 το σύνολο τιμών της V είναι το διάστημα (25,50]. Άρα, η τιμή του προϊόντος δεν μπορεί να γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής του τιμής. 5.

i)H συνάρτηση/έχει πεδίο ορισμού το A = (-co,-l)u(-l,l)u(l*+oo), είναι συνεχής, ως ρητή, και παραγωγίσιμη στο Α με ,

(χ3 -9Χ)\Χ2 -1)-(Χ 2 -1)'(Χ3 -9Χ)

(χι-\Ϋ

(3χ2 -9)(χ2 -1)-2χ(χ3 (χ2 -I)2 χ4+6Χ2+9 (χ2-1)2

-9χ)

(Χ2 +3)2 >0. (χ2 -I)2

Η μονοτονία της/φαίνεται στον πίνακα χ fix)

-οο -1

+ +

+00

I ^ κ Χ + οο Β

fix)

-οο

+οο

οο

+ αο

—00

Δηλαδή, η / είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (-οο,-1), (-1,1) και (Ι, + οο).

Είναι lim /(x) = lim

Χ —>+CO " " '

χ3-9Χ

Χ—>+00 -Χ-2

= lim —

= +οο

Χ—>+CO YA

216

•

lim /(χ) = lim

X—>-<X>

•

χ->-cO

= -οο

lim /(x) = lim —-——— = +00 i-»-r x-»-r (x-l)(x + l)

•

lim / ( x ) = -oo,

x~>~l+

lim / ( * ) = +<» και x~+l~

lim fix)--00.

x->l+

Επομένως το σύνολο τιμών τ η ς / σ ε καθένα από τα διαστήματα του π ορισμού της είναι το IR . ii) Οι αριθμοί -1 και 1 προφανώς δεν είναι ρίζες της εξίσωσης χ 3 -αχ2 -9χ+α = 0. Επομένως, θα αναζητήσουμε ρίζες αυτής στα διαστήματα (-<»,-1), (-1,1) και (1.+°ο). Στα διαστήματα αυτά έχουμε χ 3 -αχ2 -9x + α = 0 ο ι 5 - 9 χ = αχ2 -α χ3 - 9 χ χ2 -1

<=>—

=α

ο fix) = α . Επειδή η συνάρτηση/σε καθένα των διαστημάτων (-αο,-1), (—1,1) και (Ι, + οο) είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το R , η εξίσωση fix) = α , έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες, από μια σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού τ η ς / 6. Για κάθε x e R είναι f i x ) = 3αχ2 +6χ + 1. Η / ' είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο με δ = 36-12α = 12(3-α). • Για α = 3 , η / ' έχει διπλή ρίζα την - j . Επειδή η / ε ί ν α ι συνεχής για * = χ

και

ισχύει / ' ( χ ) > 0 για κάθε

Π / £ ί ν α ι γνησίως αύξουσα για κάθε x e R .

• Για α <3 η / ' έχει δύο ρίζες πρα/ματικές και άνισες και άρα αλλάζει πρόσημο στο R . Επομένως, για α <3 η / δ ε ν είναι γνησίως αύξουσα στο R . • Για α >3 η / ' δεν έχει ρίζες στο R και επειδή α > 0 θα ισχύει f i x ) > 0 για κάθε x e R Επομένως, για α > 3 η / είναι γνησίως αύξουσα στο R . Άρα η / ε ί ν α ι γνησίως αύξουσα στο R μόνο όταν α ^ 3 . 217

ί)Έχουμε /'(x) = (ημχ - χσυνχ)' = συνχ - συνχ·+ χημχ = χημχ:. Για χ e ^0,---J είναι / ' ( χ ) > 0 και αφού η / ε ί ν α ι συνεχής στο

°·τ

θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό.

°·ί

ίί) Επειδή η / είναι γνησίως αύξουσα στο

, για κάθε χ, με

0 < χ < — θα είναι /(0) < / ( χ ) , δηλαδή ημχ - χσυνχ > 0 . ΐϋ)Για κάθε x e 0,— ισχύει 2

f t , Χ συνχ·χ-ημχ / (*") = 5 <0

. (λόγω της ιι),

οπότε η / ε ί ν α ι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

ί) Η / ε ί ν α ι συνεχής στο 0,— |, ως άθροισμα συνεχών και για κάθε x e Ο,-J ισχύει: ,,, . « / ' ( χ ) = 2συνχ+

1 , 2συν 3 χ-3συν 2 χ+1 —3 = συν χ συν χ

_ 2συν 3 χ-2συν 2 χ-συν 2 χ + 1 _ 2συν 2 χ(συνχ-1)-(συν 2 χ-1) συν χ συν χ (συλχ - 1)(2συν χ - συνχ -1) συν χ

(συνχ -1) 2 (2συνχ+1) >0. συν2 χ

Επομένως η / ε ί ν α ι γνησίως αύξουσα στο

ο;*

ii) Επειδή η / ε ί ν α ι γνησίως αύξουσα στο 0,

, για κάθε 0<,χ<:

ισχύει /(0) < / ( x ) . Αλλά /(0) = 0, οπότε για κάθε x e 0 , - | ισχύει: 0<2ημχ + εφχ-3χ<=> 2ημχ + εφχ>3χ.

218

Α ' ΟΜΑΔΑΣ

2.7

1. Επειδή η / είναι παραγωγίσιμη στο R , τα τοπικά ακρότατα θα αναζητηθούν μεταξύ των ριζών της εξίσωσης /'(χ) = 0, δηλαδή των 1, 2 και 3. Το πρόσημο της / ' , η μονοτονία και τα ακρότατα της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα χ

-οο

0 -

- 0

fix)

/(*)

»Τ.Μ. ^

+ °° + *

Τ.Ε7

Δηλαδή η / • στο χ = 1 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και • στο χ = 3 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. «) ί)Γιακάθε x e R είναι /'(x) = 3x 2 -6x + 3 = 3(x-l) 2 . Η /(χ) = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα την x = l . Το πρόσημο της / ' , η μονοτονία της/και τα όριά της στο -οο και -κ» φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. χ

-00

1 +

/'(*)

+00 + — +00

/00 —00

Άρα η/είναι γνησίως αύξουσα στο R . ii) Για κάθε x e R είναι g'(x) = 3 x 2 - 3 . Οι ρίζες της g'(x) = 0 είναι -1 και 1. Το πρόσημο της g', η μονοτονία της g, τα ακρότατα και τα όριά της στο -οο, +οο φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. χ

—00

«'(*)

—1 +

0 -

1 0

y ™\0/ Λ

«(λ)

+00 +

τ,ε.

Δηλαδή η g παρουσιάζει: 219

+00

• στο χ = -1 τοπικό μέγιστο το g(-l) = 4 και • στο χ = 1 τοπικό ελάχιστο το g(l) = 0. ϋί)Για κάθε x e R είναι h'(x) = 6x1 -6x = 6x(x-l). Οι ρίζες της είναι 0 και 1. Το πρόσημο της Λ', η μονοτονία και τα ακρότατα της h καθώς και τα όριά της στο -οο και +οο φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. χ —00 h\x) + h(x)

0 0 "

+ 00

1 2

S τ.ε

Δηλαδή η h παρουσιάζει: • στο χ = 0 τοπικό μέγιστο, το Α(0) = -1 και • στο * = 1 τοπικό ελάχιστο, στο h( 1) = -2 . β) ί)Επειδή η /(x) = x 3 - 3 χ 2 + 3χ+1 είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο IR και lim /(x) = lim (x3) = -οο, lim /(x) = lim (χ 3 ) = -κ», jr—»—<ο

Jt-M-oo

χ—»+®

το σύνολο τιμών της/είναι το διάστημα ( - ο ο , + ο ο ) , δηλαδή το IR . Επομένως θα υπάρχει x e R τέτοιο, ώστε /(χ) = 0, δηλαδή η εξίσωση χ 3 -3χ 2 +3χ+1 = 0 θα έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Αυτή είναι μοναδική αφού η/είναι γνησίως αύξουσα στο R . ii) Η συνάρτηση g(x) = x3 - 3 χ + 2 . •Στο (-00,-1] είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα και επειδή lim g(x) = lim(x3) = -οο και g(-l) = 4, το σύνολο τιμών της στο χ —•-co

Χ->-<«

διάστημα αυτό είναι το (-οο,4]. Αρα στο (—οο,—1] η εξίσωση χ 3 - 3 χ + 2 = Ο έχει ακριβώς μια ρίζα. •Στο [-1,1] είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα. Αρα το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το [g(l),g(-l)] = [0,4]. οπότε στο διάστημα [-1,1] η εξίσωση Χ3-3Χ+2 = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα την x = 1. •Στο [Ι,+οο) είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα και επειδή lim g(x)= lim (x3) =+οο και g(l) = 0, το σύνολο τιμών της στο διά220

στημα αυτό είναι το

[0, + οο). Αρα στο

[1,+οο)

η εξίσωση

χ - 3 χ + 2 = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα την χ = 1 που βρήκαμε και πριν. Επομένως, η εξίσωση έχει στο IR δύο άνισες ρίζες. iii) Αν εργαστούμε για τη συνάρτηση Λ(Χ) = 2Χ 3 -3χ 2 - 1 , όπως και για τις συναρτήσεις / και g , βρίσκουμε ότι η εξίσωση 2 χ 3 - 3 χ 2 - 1 = 0 έχει μια ακριβώς λύση στο R που βρίσκεται στο διάστημα [ Ι , + ο ο ) . 3.

ϊ)Για χ < 1 η / είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Για χ > 1 η / ε ί ν α ι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Για χ = 1 έχουμε lim /(x) = limx2 =1, lim /(x) = lime 1 ' 1 =1 και /(1) = 1.

*->r

jr-»r

*-»ι

Επομένως η /είναι συνεχής στο R . Έχουμε: 2χ, χ<1 ,-, \-e' ' , χ > 1

/'(*) = ϊ

Η / ' μηδενίζεται στο 0. Το πρόσημο της / ' , η μονοτονία και τα ακρότατα της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. χ r w / ( χ )

- 0 0

+ 0 0

γμ

Χ ^ 'Χ ο

Τ.Ε.

Δηλαδή η/παρουσιάζει • στο χ = 0 τοπικό ελάχιστο το /(0) = 0 και • στο χ = 1 τοπικό μέγιστο το /(1) = 1. ii) — Για χ < 1 η g είναι συνεχής ως πολυωνυμική — Για χ > 1 η g είναι επίσης συνεχής. — Για χ = 1 έχουμε: lim g(x)~ lim(x2 - 2 x + 3) = 0 χ—>1

χ-*1

limg(x)= lim (χ2 +4χ+ 1) = 0 και #(1) = 0.

221

Επομένως η g είναι συνεχής σ' όλο το R . Έχουμε: 2x-2, χ<1 2χ-4, *>1.

g'M =

Η g' μηδενίζεται στο 2. Το πρόσημο της g ' , η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. χ

-οο

g\x)

1 -

2 -

+οο +

«Μ min

Δηλαδή η g παρουσιάζει στον χ = 2 ελάχιστο το g(2) = -1. 4.

ϊ)Γιακάθε x e R είναι /'(*) = e* - 1 . Έχουμε / ' ( χ ) = 0<=>β λ =1<=>χ = 0 .

Το πρόσημο της / ' η μονοτονία και τα ακρότατα τ η ς / φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Χ f(x)

-oo

0 + <*> - 0 +

fix) min Δηλαδή η/παρουσιάζει στο χ = 0 ελάχιστο το /(0) = 1. ii)Για Λ: > Επομένως

έχουμε f(x)=x"

=E,HJR.

/'(χ) = e* hJ, (xlnx)' = x*(lnx +1). Έχουμε: / ' ( χ ) = 0 <=>x*(lnx + l) = 0 ο l n x = - 1 » x = —. e

Το πρόσημο της / ' , η μονοτονία και τα ακρότατα της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

222

Χ fix)

^ -

+00

0 +

Αχ)

min Δηλαδή η f παρουσιάζει στο χ = — ελάχιστο το η — e yey 5. Η συνάρτηση /παραγωγίζεται στο IR με /'(x) = 3«x 2 +2/?x-3 . Για να παρουσιάζει η/ακρότατα στα χ( = - 1 και χ2 =1, πρέπει: /'(_1) = 0 Γ3«-2/?-3 = 0 ί6α-6 = 0 /'(1)=0 ^ [3α + 2 — 3 = 0 <=> (4/? = 0

ία =1 [Α = 0

(Προσθέσαμε και αφαιρέσαμε κατά μέλη τις εξισώσεις). Για τις τιμές αυτές των α,β η /γράφεται /(x) = x3 - 3 χ + 1 και έχει παράγωγο /'(χ) = 3 χ 2 - 3 . Το πρόσημο της / ' , η μονοτονία και τα ακρότατα της/φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. χ

—00

/'(χ)

-1 +

1 -

+00

Αχ) τ.ε

Δηλαδή για « = 1 και β = 0 η / παρουσιάζει στο χ, = - 1 τοπικό μέγιστο το /(-1) = 3 και στο χ2 = 1 τοπικό ελάχιστο το /(1) = -1. 6. Έστω χ , m οι διαστάσεις σε m. του ορθογωνίου οικοπέδου με εμβαδόν Ε = 400 m". Τ·

1ΠΛ Τοτε xy = 400, οποτε y =

4 0 0

400 m2

Επομένως, η περίμετρος P = 2x + 2y, ως συνάρτηση του χ, δίνεται από τον τύπο η, , = .2χ +»400 Ρ(χ) 2 =J2|ΧΗ 400"ί Ι, χ > 0 . Για κάθε χ > 0 έχουμε: (

/>'(x) = 2 | l - ^ | = 2

223

χ 1 -400

οποτε Ρ'(χ) = 0<=>χ2 -400 = 0<=>χ = 20. Το πρόσημο της Ρ', η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Χ 0 ρ (χ) -

20 +°° 0 +

\ .min/

Ρ(χ)

Δηλαδή η Ρ παρουσιάζει στο χ = 20 ελάχιστο το Ρ(2) = 80. Επομένως το οικόπεδο χρειάζεται τη μικρότερη περίφραξη όταν χ = 20. Από την ισότητα y =

για χ = 20 έχουμε και y = 20, που

σημαίνει ότι το οικόπεδο είναι τετράγωνο. 7. Έστω χ , y οι διαστάσεις σε m. του οικοπέδου με περίμετρο 80m. Τότε είναι 2χ+2y = 80, οπότε y = 40 - χ. Το εμβαδόν E = xy, ως συνάρτηση του χ, δίνεται από τον τύπο Ε(χ) = χ ( 4 0 - χ ) με 0 < χ < 40. χ Για κάθε x ε (0,40) είναι Ε'(χ) = 40-2χ οπότε Ε'(χ) = 0

r = 20.

Το πρόσημο της Ε', η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. *

Ε\χ)

20 +

0 -4°°,

Ε(χ)

max

Δηλαδή, το εμβαδόν γίνεται μέγιστο όταν χ = 20. Από τη σχέση y = 40-x για χ = 20 έχουμε ^ = 20, οπότε το οικόπεδο είναι τετράγωνο. 8. Ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς τη δό3

ση του φαρμάκου είναι Λ(χ) = 7"(χ) = 2 χ — χ 2 .

Για κάθε xe(0,3) είναι h'(x) = 2 224

6χ , οπότε 4

till h\x) = 0<=>2

6x 4

4 3

οο χ =—.

To πρόσημο της h', η μονοτονία και τα ακρότατα της h φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Χ

0 4 / " ϊ \ -r max

h\x) h(x)

Δηλαδή, ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς τη δόση χ του φαρμάκου γίνεται μέγιστος όταν 9.

χ =

~ mgr·

ί) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΕΖ, ΓΖΗ, ΔΗΘ και ΑΘΕ είναι ίσα. Επομένως ΓΖ = χ, οπότε ΒΖ = 2-χ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒΖ έχουμε: (.ΕΖΫ = χ2 + (2-x) 2 =2χ2 -4jc + 4 ii) Το εμβαδόν Ε(χ) του τεγραγώνου ΕΖΗΘ δίνεται από την ισότητα Ε(χ) = (ΕΖ)2 =2χ2 - 4 x + 4, xe(0,2). Μελετάμε τη συνάρτηση Ε ως προς τα ακρότατα. Για κάθε χε(0,2) είναι Ε'(χ) = 4 x - 4 = 4(χ-1), οπότε Ε'(χ) = 0 <=> χ = 1. Το πρόσημο της Ε', η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Χ

I 0

ΕΊχ)

2 +

Ε(χ) min

Δηλαδή η Ε παρουσιάζει στο χ=\ ελάχιστο το £(1) = 2. Επομένως το εμβαδόν του ΕΖΗΘ γίνεται ελάχιστο όταν χ = 1 , δηλαδή όταν τα Ε, Ζ, Η, θ είναι μέσα των πλευρών του ΑΒΓΔ. 10. Το κέρδος του εργοστασίου είναι:

225

till! P(x) = E(x)-K(x) = 420x-2x 2 - - X 3 +20X2 -600x-1000 = - - x 3 +18x2 -180x-1000, με xe[0,105], Για κάθε xe[0,105] ισχύει P'(x) = - x 2 + 36x~180, οπότε Ρ'(χ) = 0 « x = 6 ή x = 30. To πρόσημο της Ρ', η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. χ Ρ (χ)

6 -

-1000

105

800

Ρ{χ) Τ.Ε.

Τ.Ε.

Επομένως το εργοστάσιο παρουσιάζει μέγιστο κέρδος, όταν έχει ημερήσια παραγωγή 30 μονάδες. Β ΟΜΑΔΑΣ

2.7

ί) Είναι /'(χ) = 2συνχ-1. Η εξίσωση της /'(χ) = 0 στο διάστημα [0, π] έχει ρίζα το y . Η μονοτονία και τα ακρότατα της/φαίνονται στον πίνακα χ fix)

π/3 +

π -

3 α/3+9-π Ζ* 3 \ ^ max

Αχ) 3

χ 3-π

Δηλαδή, η / είναι γνησίως αύξουσα στο στο

π 7'*

οα

, γνησίως φθίνουσα

και παρουσιάζει:

τγ 1 π \ 3^3 + 9 - π • τοπικο μέγιστο για χ = — .το /1 — 1 = • τοπικό ελάχιστο για x = 0, το /(0) = 3 • ελάχιστο για x = π, το /(π) = 3 - π .

226

Ill 1 3 ii)H εξίσωση ημχ = —χ- — γράφεται ισοδύναμα , 2ημχ = χ - 3 <=> 2ημχ - χ + 3 = 0 <=> /(χ) = 0. Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι — Για x e 3,

3·\β + 9-π

°·ί

, στο οποίο δεν περιέχεται το 0.

Για x e 3-π,

το σύνολο τιμών της / είναι το διάστημα

5-J3 + 9-π

, στο οποίο περιέχεται το 0. Άρα η εξίσωση

f(x) = 0 έχει μια ρίζα στο διάστημα [ γ , π |α(0,π) η οποία είναι και η μοναδική, αφού η/είναι γνησίως φθίνουσα στο

ί) Είναι /'(χ) = — + 1 > 0 , για κάθε χ

xe(0,+oo).

Επομένως, η / ε ί ν α ι

γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Μια προφανής ρίζα της / είναι το χ = 1, η οποία είναι και μοναδική, στο διάστημα (0, + οο), αφού η /είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή /(1) = 0, λόγω της μονοτονίας της/, έχουμε f ( x ) < 0,

για

χ e (0,1)

και

/(x)>(),

για

x e (Ι,+οο).

ii) Είναι φ'(χ) = 21nx + 2 + 2x-4 =2(lnx + x - l ) =2/(χ), xe(0, + oo). Το πρόσημο της φ' (όπως προκύπτει από ί)), η μονοτονία και τα ακρότατα της φ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Χ

] 0

φ '(.ν) φ (χ)

Χ „

+ /

min

227

+ αο

i v t i j

Άρα, η φ παρουσιάζει ελάχιστο για x = 1, το ¢)(1) = 0 . iii) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των C f και Cg λύνουμε την εξίσωση g(x) = h(x). Έχουμε 1 , 3 g(x) = h(x) <=> xlnx = - — χ + 2x~ — <=> 2xlnx + x2 - 4 χ + 3 = 0 <=> ^ι(χ) = 0 .

Η τελευταία όπως προκύπτει από το ίί) έχει μοναδική ρίζα το x = 1 Άρα οι c f , cg έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Λ(1,0). Επειδή g'(x) = lnx + l και h'(x) = -x + 2, είναι g'(l) = l και Λ'(1) = 1. Άρα οι Cy, Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο Α ί)α) Αρκεί να δείξουμε ότι ex - x - l > 0 , για κάθε χ. Θεωρούμε τη συνάρτηση / ( χ ) = e' - χ -1, x e R . Είναι /'(χ) = e 1 - 1, οπότε /'(ν) = 0 <=> e" = 1 <=> χ = 0. Η μονοτονία και τα ακρότατα της/φαίνονται στον πίνακα χ

— Ο Ο

/'(*) /(χ)

+00 +

0 / min

Στο διάστημα [Ο. + οο) η / είναι γνησίως αύξουσα. Αρα, για χ>0 ισχύει /(x)> /(0), οπότε ex - χ-1> 0. β) Αρκεί να δείξουμε ότι ex - — χ 2 - χ - 1 > 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = e" -γχ2-χ-1, συνεχής

στο

[0,+οο)

Kat

παραγωγίσιμη

xe R , η οποία είναι στο

(0,+οο)

με

g'(x) = e -x-l>0. για x e ( 0 , + o o ) ((a) ερώτημα). Αρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο) και επομένως για χ > 0 ισχύει

228

® ι

. 1 , g ( x ) > g ( 0 ) οποτε e ~~χ -*-1>0. 1 , i i ) α ) Α ρ κ ε ί ν α δείξουμε ότι συνχ·+—χ - 1 > 0 . 1 , Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη σ υ ν ά ρ τ η σ η / ( χ ) = σ υ ν χ + γ χ - 1 , x e R

η οποία ε ί ν α ι

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο R με / ' ( χ ) = - η μ χ + χ . Ε π ε ι δ ή γ ι α χ * 0 είναι | η μ χ - 1 < | χ | , έ χ ο υ μ ε - | χ | < η μ χ < | χ | , ο π ό τ ε γ ι α χ > 0 ι σ χ ύ ε ι ημχ < χ και ά ρ α - η μ χ + χ > 0 . Επομένως, / ' ( χ ) > 0 γ ι α κάθε ο π ό τ ε η / ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α στο

χ >0,

[0,+αο).

Επομένως, για χ > 0 ισχύει / ( χ ) > / ( 0 ) = 0 . Αρα συνχ+—χ2-1>0 2

γ ι α κάθε

χ>0.

β) Α ρ κ ε ί ν α δ ε ί ξ ο υ μ ε ότι η μ χ + — x 3 - χ > 0 . Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τ η σ υ ν ά ρ 6 τη ση £(χ) = η μ χ Η — χ 3 - χ , x e R . 6 Έ χ ο υ μ ε g ' ( x ) = συνχ + ^ - χ 2 - 1 = / ( χ ) ( ε ρ ώ ρ η μ α α). Ό μ ω ς / ( χ ) > 0 γ ι α κάθε χ > 0 , οπότε g'(x) > 0 γ ι α κάθε χ > 0 . Ε π ο μ έ ν ω ς η g είναι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α , στο [0, + °ο), οπότε γ ι α χ > 0 σ χ ύ ε ι g(x)>g(0)

ι-

ή, ι σ ο δ ύ ν α μ α , ημχ+—Χ 3 - χ > 0 .

iii) α) Αρκεί ν α δείξουμε ( 1 + χ ) ν - 1 - ν χ > 0 . Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη σ υ ν ά ρ τ η ση, / ( x ) = (l + x ) v - l - w r , χ > 0 . Έχουμε / ' ( x ) = ν(1 + χ) ν

- ν = ν[(1 + χ) ν _ ι — 1 J > 0 , αφού 1 + χ > 1 , γ ι α χ > 0 .

229

Ε π ο μ έ ν ω ς , η / είναι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α στο [0, + αο), αφού η / είναι και σ υ ν ε χ ή ς στο 0. Άρα, γ ι α χ > 0 ισχύει / ( * ) > / ( 0 ) ή, ι σ ο δ ύ ν α μ α , (l + x ) v - 1 - ν χ > 0 , αφού / ( 0 ) = ( 1 + 0 ) " - 1 - ν · 0 = 0 . β) Α ρ κ ε ί ν α δείξουμε ότι: (l + x) v —1 — ί α — ν ( ν - 1 ) χ 2 > 0 . Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη σ υ ν ά ρ τ η σ η ν(ν - 1 ) , — χ , χ>0.

g ( x ) = (l + x ) v - 1 - ν χ Έχουμε g ' ( x ) = v(l + x ) = v(l + x) v

v l

-v-^-^-2x

-v-v(v-l)x

= v[(l+x) v _ I - l - ( v - l ) x ] > 0 , λ ό γ ω τ η ς α). Ε π ο μ έ ν ω ς είναι g'(x) > 0 , για xe (0,+οο) και επειδή η g είναι συνεχ ή ς στο 0, η g θα είναι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α στο χ > 0 ι σ χ ύ ε ι g(x)>g(0)

[0,+οο).

Άρα για

ή, ι σ ο δ ύ ν α μ α ,

(1 + χ) ν - 1 - ν χ - ν ^ ν 1 ^ χ 2 > 0 . 2 4.

Ε π ε ι δ ή η / π α ρ α γ ω γ ί ζ ε τ α ι σ ' όλο το R , τ α α κ ρ ό τ α τ α α υ τ ή ς θ α αναζ η τ η θ ο ύ ν μόνο μ ε τ α ξ ύ των ριζών της / ' ( χ ) = 0 . Γ ι α κ ά θ ε x e R έ χουμε: 6 ( / ( x ) ) 2 / ' ( χ ) + 6 / ' ( χ ) = 6χ 2 + 6 ο / ' ( x ) [ ( / ( x ) ) 2 +1] = χ 2 +1 > 0 . Ε π ο μ έ ν ω ς η ε ξ ί σ ω σ η / ' ( χ ) = 0 είναι α δ ύ ν α τ η στο R . Ά ρ α η / δεν έχει α κ ρ ό τ α τ α .

5. Έ σ τ ω α, β οι τ ε τ μη μένες τ ω ν κο ιν ών σ η μ ε ί ω ν τ ω ν Cf και C g . Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη σ υ ν ά ρ τ η σ η h(x) = f(x)-g(x) π α ρ ι σ τ ά ν ε ι την κ α τ α κ ό ρ υ φ η α π ό σ τ α σ η τ ω ν Cf

με

x e [ a , / ? ] , η οποία

και Cg.

Το σ η μ ε ί ο ξ είναι ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο τ ο υ [ α , β ] . Σ ' αυτό η h π α ρ α γ ω γ ί ζ ε τ α ι και έχει μέγιστο. Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με το θ ε ώ ρ η μ α τ ο υ F e r m a t θα είναι:

230

A'(<f) = Ο <=> / ' ( ξ ) - 8 \ ξ ) = Ο «• f (ξ) = %\ξ). Ά ρ α στα σημεία Α(ξ,/(ξ)),

Β(ζ^(ξ))

οι ε φ α π τ ο μ έ ν ε ς των C{

και

C g α ν τ ι σ τ ο ί χ ω ς είναι παράλληλες. 6. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο IR με f \ x ) = 2(x-a)(x-βΫ(χ-γ)2

+(χ-«)2

·2(χ-β)(χ-γ)'2

+ (χ-αγ(χ-βγ

2(χ-γ).

Προφανώς / ' ( « ) = / ' ( / ? ) = / ' 0 0 = 0.

(1)

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ικανοποιεί τις υ π ο θ έ σ ε ι ς του θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς Rolle σ τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α [α, β] και [β,γ], αφού • είναι σ υ ν ε χ ή ς σ ' αυτά ως π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή , • π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στα (α, β) και (β,γ)

και

• /(α) = /(^) = / 0 - ) = 0 . Επομένως, /'(<f, ) = 0

υπάρχουν

ξ^Ε(α,β)

και

ξ1ε(β,γ)

τέτοια,

και / ' ( ^ 2 ) = 0 . Από (1) και (2) προκύπτει ότι η / '

ώστε έχει

πέντε τουλάχιστον ρίζες τις α < ξχ < β < ξ2 < y . Επειδή η σ υ ν ά ρ τ η σ η / είναι π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή έκτου βαθμού, η π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς είναι π έ μ π τ ο υ βαθμού. Ά ρ α η εξίσωση / ' ( * ) = 0 δεν έχει άλλες, εκτός από τις α, ξι,β,ξ2,γ

ρίζες στο R

Τ. Μ.

Χ Χ

Τ. Ε.

+00

γ +

ξι I

ίι

/'«

ι ο

-ο-

Το π ρ ό σ η μ ο της / ' , η μονοτονία και τα α κ ρ ό τ α τ α τ η ς / φαίνονται στον π ί ν α κ α

Τ. Ε.

Ά ρ α η / έ χ ε ι τρία τοπικά ελάχιστα τα / ( α ) , / ( β ) και f ( y ) και δύο τοπικά μ έ γ ι σ τ α τα / ( £ , ) και / ( £ 2 ) . ί ) Έ χ ο υ μ ε 3x+4y

= 4 , οπότε y = 4-3χ 4 231

Χ7 Έτσι έχουμε: ι /τ 1 =^L± +y

£(χ) = £, +Ε 2

'4-3χν2

x2v3 jc2λ/3

1 6 - 24x + 9x 2

16 = ^ [ ( 9 + 4λ/3)χ 2 - 2 4 χ + 16],

ί ί ) Γ ι α κ ά θ ε x e ^ 0 , - j j ισχύει E'(x) = ^ [ 2 ( 9 + 4->/3)x-24] , οπότε

. 0 o ,

° =l2<9-4f» , 9 + 4-^3 81-48

- . . 11

Το πρόσημο της Ε', η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στο παρακάτω πίνακα. χ

χ,

Ε\χ) Ε(χ)

^ £(χ.)

Δηλαδή, το εμβαδόν του σχήματος γίνεται ελάχιστο όταν η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι 8.

χ =

— ( 9 - 4 - / 3 ) = 0,75 m.

i) Έ σ τ ω Μ (χ, f { x j ) το ζητούμενο σημείο της C f . Έχουμε (ΜΑ)2 =

9s2 ~-J +(/w)2=[x--|

f x

Η απόσταση ΜΑ γίνεται ελάχιστη, όταν γίνει ελάχιστο το τετράγωνο της, δηλαδή όταν πάρει την ελάχιστη τιμή της η συνάρτηση g(*) = U — Η

+*.

U(.xJ(x))

+ χ, x e [0, + οο) . /1(9/2,01 232

2.7 Για κάθε x e [ 0 , + o o ) ισχύει g ' ( x ) = 2 ^ x - — J + l = 2 x - 8 , οπότε = 0 <=> χ = 4 .

g'(x)

Το π ρ ό σ η μ ο τ η ς g',

η μονοτονία και τ α α κ ρ ό τ α τ α τ η ς g φ α ί ν ο ν τ α ι

στον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα. Χ

g'M

+°ο

ν .

1 7

17 Δ η λ α δ ή η g π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι στο χ = 4 ελάχιστο το g(4) = — . Ε π ο μ έ ν ω ς 4 η π ο σ ό τ η τ α (AM) 2 και άρα η (AM) γίνεται ε λ ά χ ι σ τ η όταν χ = 4 . Ά ρ α το ζ η τ ο ύ μ ε ν ο σημείο είναι το Λ/(4, 2).

ϋ ) Γ ι α κ ά θ ε χ > 0 ισχύει f'(x)

οπότε ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς διεύ-

2j~x

θ υ ν σ η ς τ η ς ε φ α π τ ο μ έ ν η ο ε στο σημείο Μ(4.2)

είναι λ = f'(4) = — . 4

Ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς δ ι ε ύ θ υ ν σ η ς τ η ς A M είναι: 2-0

= -4.

- I 2

2 Ε π ο μ έ ν ω ς , λ ·λΜ,

= - ( - 4 ) = - 1 , που σημαίνει ότι η ε φ α π τ ο μ έ ν η ε 4 είναι κάθετη στην AM. 9. Έ σ τ ω (ΑΒ) = 2χ

και (ΒΓ) = y

οι δια-

στάσεις τ ο υ ο ρ θ ο γ ω ν ί ο υ ΑΒΓΑ. Τότε η π ε ρ ί μ ε τ ρ ο ς τ ο υ στίβου Οα είναι ίση με Ιπχ + ly και ε π ο μ έ ν ω ς θα ισχύει

^ Hi ν)

2πχ + 2 y = 400 <=> ν = 200 - πχ.

Το ε μ β α δ ό ν του ο ρ θ ο γ ω ν ί ο υ ΑΒΓΑ είναι Ε(χ) = 2 x - y = 2x(200 - πχ) = - 2 π χ 2 + 4 0 0 χ .

233

II Για κάθε χ e

ο,

200

είναι £'(*) = - 4 π χ + 4 0 0 , οπότε

£'(χ) = 0 <=>* = —

Το πρόσημο της Ε', η μονοτονία και τ α ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Χ Ε\χ) Ε(χ)

+0 ΊΓ ° + 0 max , ^ Ν .

Δηλαδή η Ε παρουσιάζει στο χ =

^looj

μέγιστο το

20.000

Επομένως, το ορθογώνιο τμήμα του στίβου γίνεται μέγιστο, όταν οι διαστάσεις του είναι: (ΑΒ) = 2 · — = — m π

και (ΒΓ) = 200-π·

—

= 100m.

10. Έ σ τ ω λγ(λγ > 100) ο αριθμός των ατόμων που θα δηλώσουν συμμετοχή. Τότε, το ποσό που θα πληρώσει κάθε άτομο προκύπτει αν από τα 1000 ευρώ αφαιρέσουμε το ποσό της έκπτωσης, το οποίο ανέρχεται σε ( χ - 1 0 0 ) 5 ευρώ, δηλαδή κάθε άτομο θα πληρώσει: 1000 - (χ - 1 0 0 ) 5 = 1000 - 5x + 500 = 1500 - 5χ ευρώ. Επομένως, τα έσοδα της εταιρείας από τη συμμετοχή των χ ατόμων θα είναι: Ε ( χ ) = *(1500 - 5x) = -5x 2 +1500* . Για

κάθε

χ>100

έχουμε

Ε'(χ) = - ! 0 χ +1500,

Ε'(χ) = 0 ο χ = 150. Το πρόσημο της Ε'

οπότε

φαίνεται στον παρακάτω

πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της Ε και τα ακρότατα αυτής. Χ

100

150

Ε\χ)

Ε(χ)

-112.500 max

234

+00

Δηλαδή,

παρουσιάζει

στο

χ0 =150

μέγιστη

τιμή

την

£(150) = 112.500 . Ε π ο μ έ ν ω ς , πρέπει να δ η λ ώ σ ο υ ν 150 άτομα συμμετοχή σ τ η ν κ ρ ο υ α ζ ι έ ρ α για ν α έ χ ο υ μ ε τα π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ α έσοδα. 11. Έ χ ο υ μ ε η'(/) = 0,05, οπότε r,'(f) = (0,05/)' και άρα r, (/) = 0,05/ + c,. Ό μ ω ς r, (0) = 3 , οπότε r, (/) = 0,05/ + 3. Ομοίως r2 (/) = 0,04/ + 5 . i) Το εμβαδόν δακτυλίου θα μηδενιστεί όταν /*!(/) = /-2(/) <=> 3 + 0,05/ = 5 + 0 , 0 4 / » 0,01/ = 2 <=> / = 200. Αρα, ύστερα από 200sτο εμβαδόν του δακτυλίου θα μηδενιστεί. ii) Το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου, ως συνάρτηση του χρόνου /, είναι £ ( / ) = πτ\ (/) — πτ-,2 (/) = ττ(5 + 0,04/) 2 - π ( 3 + 0,05/) 2 . Έχουμε £'(/) = 2π(5 + 0,04/) · 0,04 - 2π(3 + 0,05/) • 0,05 = 2π(0,20 + 0,0016/ - 0,15 - 0,0025/) = 2π(0,05 - 0 , 0 0 0 9 / ) . Είναι £ ' ( / ) = 0<=>/« 55,6 s. Το πρόσημο της Ε', η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον πίνακα /

0 +

£'(/) E(t)

55,6 0 max

Άρα, τη χρονική στιγμή / » 55,6 s το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου 0α μεγιστοποιηθεί. Η

12.

ί) Η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ είναι σχήματος τραπεζίου. Από το τρίγωνο ΗΒΓ έχουμε ΗΒ = 2ημ$ και ΗΓ = Ισυνθ.

Επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές, ισχύει

235

ΔΘ = ΓΗ = 2συν#

και

ΔΓ = 2 + 2 συν# + 2συνέ> = 2 + 4 συν#

Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι Ε=Μ+£Δ.ΗΒ= 2

2 + 2 +

* ™ θ . 2ημ# 2

= (4 + 4συν#)ημ# = 4ημ#(1 + συν#). ί ΐ ) Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη συνάρτηση £·(#) = 4ημ#(1 + συν#),

#e[0,-

Είναι Ε'(θ) = 4συν#(1 + συν#) + 4ημ#(-ημ0) = 4συν 2 θ - 4ημ 2 θ + 4 συν# - 4 σ υ ν 2 # - 4 ( 1 - σ υ ν 2 # ) + 4συν# = 8συν 2 # + 4συν# - 4 = 4(2συν 2 0 + συν# - 1 ) . Έχουμε £'(fl) = 0 o 2συν 2 # + σ υ ν # - 1 = 0 <=> συν# = — ή 2

συν# = - 1

<=> # = -j , επειδή # e ί 0, — ,Το πρόσημο της Ε' καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα τ η ς Ε φαίνονται στον πίνακα. θ Ε\θ)

0 +

π/3 0

Ε(θ)

Επομένως, όταν θ = — το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, που σημαίνει ότι τότε το κανάλι θα μεταφέρει τη μέγιστη ποσότητα νερού.

236

13.

i) Έ σ τ ω tx ο χρόνος που χρειάζεται ο κολυμβητής για να κολυμπήσει από το Κ στο Μ και t2 ο χρόνος που χρειάζεται για να περπατήσει από το Μ στο Σ. Έχουμε 'ι=

(KM)

ylx2 +100 2

(ΜΣ)

300-χ

και

Επομένως, ο συνολικός χρόνος για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ είναι Τ(χ) =

Λ/Χ2 +100 2

300-χ

ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση Λ/Χ2 +100 2 Τ(χ) = -

300-χ

X e(0,300).

Είναι Τ'(χ)

Α 3

Λ/Χ2 + 1 0 0 2

Οι ρίζες της Τ'(χ) = 0 είναι το 75. Το πρόσημο της Τ' η μονοτονία και τα ακρότατα της Τ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα χ Τ'(χ) Τ( χ )

0 -

75 0

300 +

" Χ 7'(75) min

Δηλαδή, η συνάρτηση 7'παρουσιάζει ελάχιστο για x = 75ft. Αρα, όταν x = 75ft, τότε ο κολυμβητής χρειάζεται το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του. 14. Έ σ τ ω ρ, η πυκνότητα του καπνού που εκπέμπει το εργοστάσιο και ρ 2 η πυκνότητα του καπνού που εκπέμπει το εργοστάσιο Ε 2 . Έχουμε P i ( x ) = k —τ~ και

P2(x) = k

237

8Ρ (12-χ)2

arer.

Η πυκνότητα του καπνού στη θέση Σ είναι ρ(χ) = ρι(χ)

+ ρϊ(χ)

=k -

+ k-

8Ρ ( 1 2 - χ)2 8

= kP

(12-χ)

Η συνάρτηση 1

ρ(χ) = kP

8 -+-

, ( 1 2 - χ )

χ e (0,12)

είναι παραγωγίσιμη με ρ'(χ)

= kP

Έχουμε

16(12-Χ)Ν

'_2χ χ

( 1 2 - χ )

^ 1 /Γ ρ'(χ) = 0 <=i> — + —=0 χ (12-χ) ο 1 6 χ 3 -2(12-χ)3 =0 <=> ( 2 χ )

- ( 1 2 - χ )

= 0

<=> 2 χ - ( 1 2 - χ ) = 0

<=> 3 χ = 1 2 « ·

χ = 4 .

Το πρόσημο της ρ', η μονοτονία και τα ακρότατα της ρ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Χ 0 ρ'(χ) ρ (χ)

4 0 min

12 +

Δηλαδή, η πυκνότητα ρ γίνεται ελάχιστη, όταν χ = 4 . Αρα, ο εργολάβος για να έχει τη λιγότερη ρύπανση πρέπει να χτίσει το σπίτι του σε απόσταση 4 km από το εργοστάσιο Ε χ . 238

2.8 2.8 1.

Ο Μ Α Δ Α Σ

i) Για κ ά θ ε x e ! R ι σ χ ύ ε ι / ' ( x ) = 15x 4 - 2 0 x 3

και

/ " ( x ) = 60x 3 - 6 0 x 2 = 6 0 x 2 ( x - l ) ,

οπότε / " ( x ) = 0 <=> x = 0 (διπλή) ήι x = 1. To π ρ ό σ η μ ο τ η ς / " φ α ί ν ε τ α ι στον π α ρ α κ ά τ ω π ί ν α κ α . Χ

-οο

/"(*)

/(χ)

1 -

+οο

^ Σ.Κ.

Δ η λ α δ ή η / είναι κοίλη στο (—οο,0] και στο [0,1] και κ υ ρ τ ή στο [1, + cc) • Το σ η μ ε ί ο 1 είναι θέση σημείου καμπής. Ε π ο μ έ ν ω ς το σ η μ ε ί ο .<4(1,0) είναι σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς της C f . ii) Γ ι α κάθε x e I R * ι σ χ ύ ε ι : *'(*) =

6χ - 3 χ (3χ 2 - 2 )

6-3χ2

και ,, - 6 χ 5 - 4 χ 3 ( 6 ~ 3 χ 2 L) 6(Χ2-4) g (*) = 5 = ' οποτε g"(x)

= 0<=>χ = - 2

χ = 2.

Το π ρ ό σ η μ ο τ η ς g " φ α ί ν ε τ α ι στον π α ρ α κ ά τ ω π ί ν α κ α . χ g"(x)

-co

-2 -

ο +

2 0

+00 +

g(x) Σ.Κ.

Σ.Κ.

Δ η λ α δ ή , η g σ τ ρ έ φ ε ι τ α κοίλα π ρ ο ς τ α ά ν ω σ τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α [ - 2 , 0 ) και [2, + οο), ε ν ώ π ρ ο ς τ α κ ά τ ω σ τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α ( - ° ο , - 2 ] και (0,2], Ε π ε ι δ ή η g"

μ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι στα σ η μ ε ί α - 2 , 2 και ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν αλλάζει 239

π ρ ό σ η μ ο τ α σημεία , 4 ^ - 2 , - ^ j και 5 ^ 2 , j

είναι σ η μ ε ί α κ α μ π ή ς

της C .

ί) Γ ι α κάθε x e R ισχύει f \ x ) = e1-'-xe1-'

= el~*(x-2),

κ α ι f"{x)

οπότε /"(x) = 0 » χ = 2. Το π ρ ό σ η μ ο τ η ς / " φαίνεται στον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα. χ

-οο

/'·(*)

2 -

+οο +

V 7 e Σ. Κ.

Αχ)

Δ η λ α δ ή , η / σ τ ρ έ φ ε ι τα κοίλα προς τα κ ά τ ω στο (-°°,2] και π ρ ο ς τα άνω στο [2,+οο). Επειδή η / "

μηδενίζεται στο σ η μ ε ί ο 2 και ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν αλλάζει

π ρ ό σ η μ ο , το σημείο λ[2,— j είναι σημείο κ α μ π ή ς τ η ς C { .

ί ί ) Γ ι α κ ά θ ε x e ( 0 , + oo) ισχύει: g '(χ) = 2χ(2 In χ - 5) + 2χ = 4x(ln χ - 2) και g "(χ) = 4(1η χ - 2) + 4 = 4(ln χ - 1 ) ,

οπότε g " ( x ) = 0 <=> l n x = 1 <=> χ = e . Τ ο π ρ ό σ η μ ο της g"

φαίνεται στον π α ρ α κ ά τ ω πίνακα. χ g"(x) g(x)

e -

+οο +

-3e2 W Σ. Κ.

240

Δηλαδή, η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (0,e] και προς τα άνω στο [e, + oo). Επειδή η g"

μηδενίζεται στο σημείο e

και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο, το σημείο A(e,~3e2)

είναι ση-

μείο καμπής της Cg. iii) — Γ ι α κάθε χ < 0 ισχύει h'(x) = -6χ. — Για κάθε Χ > 0 ισχύει h'(x) =-3χ2

+6χ

— Στο χ- 0 έχουμε: ,.

h(x)-h(

lim —— — = lim ι-»0+ χ λ-»0~ h(x)-h(

lim ——

x->0+

— = lim

-3χ2

+1-1

= 0 και

-x3+3x2 +1-1

x->0+ x-»0+

= lim(x(3-x)) = 0 .

Επομένως, η h παραγωγίζεται στο x = 0 με h\0) = 0 . Άρα ί - 6r, h'(x) = \ , l - 3 x +6x, Για χ ^ Ο έχουμε h"(x) =

x<0 χ>0.

-6,

χ <0

-6x + 6,

x>0,

οποτε h"(x)

= 0 <=> χ = 1.

Το π ρ ό σ η μ ο της h" φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Χ h "(At) h(x)

-οο

λλ

+ ο -

+οο

1u 3 Σ.Κ.

Γ \ Σ.Κ.

Δηλαδή, η h στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήματα (-οο, 0] και [1, + οο) και προς τα άνω στο [0,1]. Ε π ε ι δ ή το 0 είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της h και Λ'(0) = 0 , η Ch έχει εφαπτομένη στο σημείο (0,1) και επειδή η h" ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν του 0 αλλάζει πρόσημο, το σημείο ^4(0,1) είναι σημείο κ α μ π ή ς της Ch. Ε π ε ι δ ή η h " μηδενίζεται στο 1 και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει πρόσημο, το σημείο 5(1,3) είναι σημείο καμπής της Ch. 241

i) Για κάθε x e R ισχύει f'(x) f"(x)

= -2e~x

= -2xe '

-2x(e~x

και

)' = 2e~* ( 2 x 2 - 1 ) , οπότε

f"(x)=0 » x =^

ή x=^ - .

To πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. χ

-00

/"(χ)

2 ο

£ +00 2 0 +

/(χ)

Σ.Κ.

ΣΚ.

Δηλαδή, η / στρέφει τα κοίλα προς τα άνω σε καθένα από τα διαv2

στήματα

και

κάτω στο διάστημα

Α 1 1

-, + αο

, ενώ στρέφει τα κοίλα προς τα

2 ' 2

Επειδή η / "

Λ/Ϊ

μηδενίζεται στα σημεία

αυτών αλλάζει πρόσημο, τα σημεία Α ί

,— 2 2

^ 2

και ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν

2 2 41 , Β rv? ,e 41 J ν2 /

ναι σημεία καμπής της C f .

ί ί ) Γ ι α κ ά θ ε x e f - —,—1 ισχύει g'(x) = — και i 2 2j συν'* 2συνχ(-ημχ) 2ημχ , = ~ ~ , συν χ συν χ

g (*) =

οπότε

g"(x) = 0 <=> ημχ = 0 <=> x = 0 .

g"(x)

g(x) Σ.Κ.

242

a ίο

ίο

Το πρόσημο της g" φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. I

ει-

Δ η λ α δ ή , η g σ τ ρ έ φ ε ι τ α κοίλα π ρ ο ς τα κ ά τ ω στο

ενω

. Επειδή η g " μηδενίζεται

0,-

σ τ ρ έ φ ε ι τ α κοίλα π ρ ο ς τ α ά ν ω στο

στο σ η μ ε ί ο 0 και ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν αυτού αλλάζει π ρ ό σ η μ ο , το σ η μ ε ί ο 0 ( 0 , 0 ) είναι σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς τ η ς C g .

iii) Είναι h(x) ·

χ ,

χ >0

χ<0.

-χ ,

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η h είναι σ υ ν ε χ ή ς στο R ως γ ι ν ό μ ε ν ο σ υ ν ε χ ώ ν . Έχουμε: , 2χ, χ >0 , ί 2, χ > 0 -2x,

χ <0

Γ ι α x„ = 0 είναι Inn

h(x)-h(0)

jr->0

= lim

χ->0

-0

= 0,

iim10rt-m0) *->0" χ

= | i m

χ—>0

- ^ χ

= 0

Ά ρ α h'(0) = 0 . Από το π ρ ό σ η μ ο τ η ς h" π ρ ο κ ύ π τ ε ι ότι η h είναι κ υ ρ τ ή στο [0, + οο) κ ο ί λ η στο (-<»,0] και το σ η μ ε ί ο 0 ( 0 , 0 ) είναι σημείο κ α μ π ή ς . ί ν ) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η φ είναι σ υ ν ε χ ή ς στο 1R ως σ ύ ν θ ε σ η σ υ ν ε χ ώ ν . Έχουμε _ 1 Χ> 0

φ(χ) ••

Χ> 0

•Jx,

•χ,

φ'(χ) =

2 λ/χ

χ <0

χ<0

2Λ/-Χ

και -1 φ"(χ)

χ >0

4 ΧΛ/Χ'

χ < 0.

4 x-J-x,

Η π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς φ στο σημείο 0, θα α ν α ζ η τ η θ ε ί με τη β ο ή θ ε ι α τ ο υ ορισμού.

243

^ ,· ®(jc) — 0»(ο) vx 1 — Για χ > Ο, είναι lim+ = lim+— = lim —f= = +00 . *->0 χ-ο *->0 Χ λγ->0* η

•

— Για χ < Ο, είναι lim

φ(χ)-φ(Ρ)

*-><Γ

,·

v-*

= lim

χ-Ο

*-><Γ

,·

-ι

= lim

*-»<Γ

= -00.

Αρα, η φ δεν παραγωγίζεται στο 0. Ό μ ω ς η € φ δέχεται εφαπτομένη στο 0 ( 0 , ¢)(0)), την κατακόρυφη x = Ο. Το π ρ ό σ η μ ο της ψ" , καθώς τα κοίλα και τα κ υ ρ τ ά της φ φαίνονται στον πίνακα. X

— 00

φ'\χ)

+ go

φ(χ)

r \

γ λ

Αρα. το σημείο 0(0,0) δεν είναι σημείο κ α μ π ή ς της Cp, αφού εκατ έ ρ ω θ ε ν του Ο η φ" δεν αλλάζει πρόσημο. ν ) Η συνάρτηση ψ για χ < 0 και για χ > 0 είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών. Ισχύει lim ψ(χ)= lim(—\/-x) = Ο, lim ψ(χ) = lim+ Λ/Χ = Ο και *-»0+ *->0

ψ(0) = Ο.

Άρα η ψ είναι συνεχής και στο 0. Έχουμε 1 χ <0 Ψ (χ) =

2Λ/-Χ

και

1 ψ"(χ)

χ>0 ~2>fx'

χ <0

4ΧΛ/-Χ

χ > 0.

4ΧΛ/Χ

Στο x0 = Ο έχουμε lim *->0+ lim *-><r

y/(x)-<^(0) ,. Λ/Χ ,. 1 = lim — = lim - = = χ χ-*0* Χ χ-*0* J χ ψ(χ) - ψ(0)

= lim *-»(Γ

-ν=ϊ

244

+00

και

= lim ι = x-,0- J - χ

+00.

Ε π ο μ έ ν ω ς η ψ δεν παραγωγίζεται στο 0. Επειδή η ψ είναι συνεχής στο 0, η Οψ δέχεται εφαπτομένη στο σημείο της 0(0,0) την κατακόρυφη ευθεία * = 0. Το π ρ ό σ η μ ο της ψ" φαίνεται στον πίνακα. Χ ψ "(χ) ψ (χ)

-οο

0 +

+00 -

0 λλ σ.κ.

Δηλαδή, η ψ είναι κυρτή στο (~°ο,0] και κοίλη στο [0, + οο). Επειδή εκατέρωθεν του 0 η ψ" αλλάζει πρόσημο και η Cv δέχεται εφαπτομένη στο σημείο 0 ( 0 , 0 ) , το σημείο αυτό είναι σημείο καμπής της C „ . 4.

· Η / σ τ ο [-1,1] είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σ ' αυτό και ισχύει / ' ( * ) > 0 για κάθε χ e (1,1). Επομένως, η / ε ί ν α ι γνησίως αύξουσα στο [-1,1]. Ομοίως η / ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα στο [1,4], γ ν η σ ί ω ς αύξουσα στο [4,8] και γνησίως φθίνουσα στο [8,10]. • Η / σ τ ο [-1,0] είναι συνεχής και η / '

είναι γ ν η σ ί ω ς αύξουσα

στο ( - 1 , 0 ) . Επομένως η / σ τ ρ έ φ ε ι τα κοίλα προς τα άνω στο [ - 1 , 0 ] . Ομοίως η / σ τ ρ έ φ ε ι — τ α κοίλα προς τα κάτω στο [0,2] — τ α κοίλα προς τα άνω στο [2,5] — τ α κοίλα προς τα κάτω στο [5,6] — τ α κοίλα προς τα άνω στο [6,7] και — τ α κοίλα προς τα κάτω στο [7,10]. Π ι θ α ν έ ς θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι τα σημεία 1, 4, 6, 8 που είναι εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού τ η ς / κ α ι στα οποία μηδενίζεται η / ' , καθώς και τα σημεία -1, 10 που είναι άκρα του πεδίου ορισμού τ η ς / Οι αριθμοί 1, 8 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων, ενώ οι αριθμοί -1, 4, 10 είναι θέσεις τοπικών ελαχίστων. Ο αριθμός 6 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου αφού η / ' αυτού.

245

δεν αλλάζει πρόσημο ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν

• Τέλος, τα σημεία 0, 2, 5, 6, 7 είναι θέσεις σημείων καμπής. 5.

ΐ) Επειδή η συνάρτηση S είναι γνησίως φθίνουσα στο [ 0 , / 2 ] , το κινητό για t e [ 0 , / 2 ] κινείται κατά την αρνητική φορά. Επειδή η S είναι γνησίως αύξουσα στο [ί 2 , + °°), το κινητό για t>t2

κινείται κατά

τη θετική φορά. ii) Είναι γ ν ω σ τ ό ότι η ταχύτητα του κινητού είναι v(t) = S'(t)

και

ότι τις χρονικές στιγμές h ' η C παρουσιάζει καμπή. Από το σχήμα προκύπτει ότι: — Στο διάστημα [0,/,] η S στρέφει τα κοίλα κάτω και άρα η 5'(ί) = υ(/) είναι γ ν η σ ί ω ς φθίνουσα σ ' αυτό. Δηλαδή η τ α χ ύ τ η τ α στο [ 0 , t j μειώνεται. — Στο διάστημα [ ί , , / 3 ] 1 S στρέφει τα κοίλα πάνω και άρα η S'(t) = v(t) είναι γνησίως αύξουσα σ ' αυτό. Δηλαδή η ταχύτητα στο [ ί , , ί 3 ] αυξάνεται. — Ομοίως προκύπτει ότι η ταχύτητα στο [/ 3 ,-κ») μειώνεται. 0

d(0

+00

Δηλαδή, η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται στο διάστημα [ ί , , ί 3 ] στα διαστήματα [0,/,] και [ί,,+t») μειώνεται.

2.8

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Για κάθε x e R ισχύει: Ν

χ1 + 1 - 2 χ 2

1-χ2 και

/ (χ) =

-2x(l + x2)2 -2(χ2 +1)·2χ(1-χ2)

/ " ( χ ) = 0 <=> χ = 0

;—-ι (*2+ΐ)4

2χ(χ2-3)

=—;

( χ 2 +1)

ή χ = — J3

r - , οποτε

ή χ = >/3.

Το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. 246

και

/(χ)

Επειδή η f" τών

4 Σ.Κ.

I ο

/"(χ)

+ 00

Λ/3

_Τ3

-οο

0 Σ.Κ.

4 ν Σ.Κ.

μηδενίζεται στα - > / 3 , 0 και Λ/3 και εκατέρωθεν αυ-

αλλάζει

πρόσημο,

τα

σημεία

- S - -

5(0,0)

και

είναι σημεία καμπής της C,.

Επειδή τα σημεία yl και Γ έχουν αντίθετες συντεταγμένες θα είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων που είναι το σημείο Β. 2. Για κάθε x e R ισχύει: /'(*) = 2exa-2x

και

= 2ex~" - 2 = 2(ex

f"(x)

-1),

οπότε /"(χ)

-0 <=> ex~a = 1 <=> χ = α .

Το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

/"(χ)

α 0

/(χ)

Λ Λ 2-α2 V_7

-οο

+<»

Σ.Κ.

Επειδή η / "

μηδενίζεται στο σημείο α και εκατέρωθεν αυτού αλ-

λάζει πρόσημο, το σημείο A(af2-a2),

« e R είναι σημείο καμπής

της C f . Το σημείο αυτό βρίσκεται στην παραβολή ν = -χ2 + 2 . αφού 2 - α 2 = - α 2 + 2 . 3. Για κάθε x e R ισχύει: / ' ( x ) = 4χ 3 - 6 α χ 2 + 12χ+2 και / " ( χ ) = 12χ 2 -12αχ + 12 = 1 2 ( χ 2 - α χ + 1). Παρατηρούμε

ότι

είναι

Δ = α - 4 < 0 , αφού α e ( - 2 , 2 ) . Επομένως, / " ( χ ) > 0 για κάθε x e R . 247

δευτεροβάθμιο

τριώνυμο

με

Ill Ά ρ α η / σ τ ρ έ φ ε ι τα κοίλα προς τα ά ν ω σ ' όλο το IR . 4.

ί) Γ ι α κάθε x e R ισχύει / ' ( x ) = 3x 2 - 6x = 3x(x - 2 ) , οπότε /'(Χ)-0ΟΧ =0

χ = 2

και / " ( x ) = 6χ - 6 = 6(x - 1 ) , οποτε / " ( x ) = 0 <=> χ = 1. Το π ρ ό σ η μ ο τ ω ν / '

και / " , τ α τ ο π ι κ ά α κ ρ ό τ α τ α και τα σ η μ ε ί α

κ α μ π ή ς φαίνονται στον π α ρ α κ ά τ ω π ί ν α κ α . Χ

-οο

/•(Χ)

/"(Χ)

/(Χ)

Ο |

+<*> 0

fΓ 2 μ " Ν Ο Ν *

+ +

Σ.Κ.

_2 Τ.Ε.

Δηλαδή, η / π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι : • στο σημείο 0 τοπικό μέγιστο το / ( 0 ) = 2 και • στο σημείο 2 τοπικό ελάχιστο το / ( 2 ) = - 2 . Επειδή η

μηδενίζεται στο 1 και ε κ α τ έ ρ ω θ ε ν αυτού αλλάζει

π ρ ό σ η μ ο το σημείο Γ(1,0) είναι σημείο κ α μ π ή ς τ η ς C f . ii) Γ ι α ν α δείξουμε ότι τα σ η μ ε ί α Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί ν α δ ε ί ξ ο υ μ ε ότι λΜ =λΑΓ. Έχουμε: -2-2

, - = -2

και

2-0

Άρα 5.

λ^ =

0-2 1-0

λΜ — λ^.

Είναι: 2 / ( * ) / ' ( Χ ) - 2 / ' ( Χ ) + 2Χ = 0

248

= -2 .

m r n m οπότε έχουμε διαδοχικά

/(*)/'(*)-/'(*)+* = ο / ' ( * ) / ' ( * ) + / ( * ) / " ( * ) - / " ( * ) +1 = ο (/'w)'+/'ww-1)+1=0. Έ σ τ ω ότι το σημείο * 0 είναι θέση σημείου καμπής. Τότε ισχύει / " ( * „ ) = 0 , οπότε ( / ' ( * ο ) ) 2 + / " ( * ο ) ( / ( * ο ) - 1 ) + 1 = 0 ή ισοδύναμα

( / ' ( * „ )) 2 +1 = 0

που είναι άτοπο. Ά ρ α η / δ ε ν έχει σημεία καμπής.

2.9 1.

Α' ΟΜΑΔΑΣ ί) Είναι και

lim / ( * ) = lim — — = - c o *->2 *-»2 X — 2

lim f i x ) - lim —-— = +oo, *->2+ x->2 X —2 +

οπότε η ευθεία x = 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf. ϋ)Είναι:

lim / ( * ) = lim εφχ

= lim

ημ*-

1 συν* π χ=- — 2

αφου lim

= +οο

και

lim ημ* = - 1 .

** σ υ ν * 2

Άρα η

χ =

£ ναι

/ /

κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f .

Ομοίως lim / ( * ) = lim εφ* = lim η μ*

- +οο ,

συν* αφού

lim • = +οο και * συν*

lim ημ* = 1.

249

•

Χ χ = —π 2

2.9 τ , Αρα η χ = — είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf.

iii) Είναι: lim / (χ) = lim χ->1 *->1

-3x + 2 χ -1

(χ-1)(χ-2) x-1

= lim(x-2) - - 1 . *->'

Επομένως, η ευθεία x = l δεν είναι κατακόρυφη α σ ύ μ π τ ω τ η της c

iv) Είναι lim / ( χ ) = lim χ = 0 χ-+0 x->0~

και

,. 1 lim f ( x ) = lim+ — = +αο . x->0+ *->0 X

Επομένως, η ευθεία χ = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf. 2.

i) Έ χ ο υ μ ε : • lim f ( x ) = lim *->+oo

JC-»+oo

χϊ

= lim — = 1, οπότε η ευθεία y = 1 είναι jr-M-00 χϊ

οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο +oo . lim f i x ) = lim

x +x + l

= 1, οπότε η ευθεία y = 1 είναι οριζόντια x +1 ασύμπτωτη της C , και στο -οο . ϋ)Έχουμε: lim f i x ) X—k+oo

= lim (Vx 2 +1 - x ) = lim r-v+cn

I 12

= lim

ylx +1 + x

~ ν , ~r, f

= lim *->+«>

"[f?

1 ] +1

v λ

= 0.

+1 JJ

οπότε η ευθεία y = Ο είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C{ στο + » . -/ ί ι—; γ λ ( r ,21« n - χ = lim - χ lim f ( x ) — lim χΊ 1 + + 1 = +οο, χ2 ) \ v JJ οπότε η C f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -οο .

fν

250

2,9 3.

i)Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το (-οο,1)^(1, + οο). Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες • Η ασύμπτωτη της Cf στο -οο είναι της μορφής γ = λχ + β, όπου , , /(*) λ = lim

*—>-00

β=

,·

χ2-χ~2

χ2

= lim — *—>-0o

= lim — = 1 και *-»"« χ x2 - x - 2

lim ( / ( x ) -/be) = lim

x-1

= 0. x = lim *->-» x - 1

Δηλαδή, είναι η ευθεία y = x. Ομοίως βρίσκουμε ότι η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της Cf

και

στο - κ » . Κατακόρυφες ασύμπτωτες Είναι: lim f ( x ) = lim

lim / (χ) = lim+ ι-»1+ *->1

—2 +οο

λ->γ

,-»r

—χ

και

x-1

— χ—2

χ —1

οπότε η ευθεία χ = 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C /

i i ) H / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το (-oo,2)u>(2, + oo). • Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες Η ασύμπτωτη της C{ στο -οο είναι της μορφής γ = λχ + β, όπου 2

. ,. f(x) ,. χ -3 λ = lim = lim — > λ

»- - χ - 2 χ

β= lim ( / ( χ ) - Α χ ) = lim

, = 1 και

'χ2 -3 χ-2

,· 2 χ - 3 „ = lim =2. χ-2

Δηλαδή, είναι η ευθεία >* = χ + 2. Ομοίως, η ευθεία y = x+2

είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf

+οο .

• Κατακόρυφες ασύμπτωτες Είναι 251

και στο

2.9 χ

- 3

= -αο και

lim f ( χ ) = lim χ->2~ *->2~ Χ-2 lim f(x)~ *->2+

lim

χζ - 3

= +0Ο,

χ-2

οπότε η ευθεία χ = 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf. ί ί ί ) Η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού Α = (-οο, - 1 ) u [ 0 , + οο). • Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες — Η ασύμπτωτη της Cf στο -οο είναι της μορφής γ = λχ + β, όπου

λ = lim ^

(Χ)

»x2+x

-= lim ^

= lim

1 = - 1 και

x 2 +X-X β= lim ( / ( * ) - λχ) - lim (ylx2 +x + x) = lim x->-°o ι 2 i yjx

= lim -

+ X-X

= lim

Χ—>—CO

- χ

1+- + 1

1+ - + 1

Δηλαδή είναι η ευθεία y = -x~—. 1 Ομοίως βρίσκουμε ότι η ευθεία y = x + — είναι ασύμπτωτη της Cf στο +οο. • Κατακόρυφες ασύμπτωτες Η C f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη, αφού στο - 1 και στο 0 είναι συνεχής. 4.

i) Επειδή 1ίηι(ημχ) = 0 , limln(x + l) = 0 και χ-*0

χ—*0

,· (ημ*)' ,. συνχ , , lim = lim = hm(x + 1)συνχ = 1, \ ' ν Λ 1 vrt .*->0 (ln(x + l))' χ->0 1 χ->0 χ+1 εχουμε l i m - ^ - = l. ln(x +1)

252

2.9 ϋ ) Ε π ε ι δ ή 1ίιη(1-συνχ 2 ) = Ο , l i m x 4 = 0 *->0 *->0

και

,. (1-συνχ 2 )' ,. ημχ 2 ·2χ ,. 1 ημχ 2 1 Inn——- = lim — — - — = l i m — = —. .,->ο .«->o 4 x *-»<>2 χ 2 έχουμε: ,. 1 - σ υ ν χ 2 1 lim = —. *-»° χ 2 iii) Επειδή Ιϊπι(χ-ημχ) = 0 , lim(l - συνχ) = 0 και χ->0 χ-»0 ,. ( χ - η μ χ ) ' 1-συνχ ,. (1-συνχ)' ,. ημχ lim —— = χlim = lim = Inn =I *->° (1-συνχ)' ->° ημχ (ημχ)' συνχ έχουμε: 1ηη=

*-»ό

2.9 1.

χ-ημχ=()^ ι-

συν

Β ΟΜΑΔΑΣ ί) Αρκεί ν α δείξουμε ότι lim ( / ( χ ) + χ + 1) = 0 .

Χ —CO

Πράγματι έχουμε l i m ( / ( x ) + x + l) = lim(Vx 2 + 2 x + 2 + χ + 1) ,. χ 2 + 2 χ + 2 - ( χ + 1)2 ,. 1 = lim - = lim i_> yjx~ + 2 χ + 2 - ( χ + 1) _r/i,2 2 xjl +- +— - x - 1 χ χ = liin x->-» -

lim r

χ-»-®

l + _ + 2 +ι + _ χ x χ

= 0 — = 0. 2

Αρκεί να δείξουμε ότι lim ( / ( χ ) - ( χ + 1)) = 0 .

.χ-»+οο

Πράγματι έχουμε lim ( / ( χ ) - ( χ + 1))= lim(Vx 2 +2x + 2 - ( χ + 1)

253

,. χ 2 + 2 x + 2 - ( x + l) 2 ,. = lim = lim , = lim X-++00 ^ + 2x + 2 +(x + 1)

lim — · lim . χ *->+« ι

= 2

-+ —

, 2 2 1+- +

1 +1 + -

x x

= 0 - = 0. ^

+1 + -

ϋ)Έχουμε x 2 + 2 x + 2 > x 2 +2x + l = (x + 1) 2 . Επομένως: — Κοντά στο -οο είναι / ( x ) = V* 2 + 2χ + 2 > Λ /(χ + 1)2 = | χ + 11 = —χ — 1 (αφού χ < - 1 ) που σημαίνει ότι η

βρίσκεται πάνω από την

ασύμπτωτη

y = -χ -1

— Κοντά στο +οο είναι / ( x ) = V* 2 + 2 χ + 2 > V(* + l) 2 =| x + 11= x + 1 (αφού χ < - 1 ) που σημαίνει ότι η

βρίσκεται πάνω από την

ασύμπτωτη

y = χ + 1.

i) Η συνάρτηση / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το IR . • Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες — Επειδή λ - lim

lim — — = lim — = l i m i — -χ x l =-οο

*->-«> χ· 2*

" 2"

)

αφού l i m —χ = l i m ί —) 2 c — j > 2)

=+οο

και

lim χ = -οο, *-»-<»

η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο -οο . — Η ασύμπτωτη της Cf στο +οο είναι της μορφής γ = λχ + β, όπου /(χ) χ2 .. χ (χ)' 1 λ = lim — — = lim = lim — = lim = = 0 και *->+« x *-»+<0^.2* *->+«2* *->+·» (2*)' 2" ln2

254

2,9 β= lim ( / ( χ ) - Α χ ) = lim ' ϊ ΐ - ο ' V

(2x)'

= lira

χ->+οο1 j

(2" In 2)

lim ^ - 1 = lim x +x

(2")

2'In2

=0.

2 In 2

Δηλαδή, είναι η ευθεία y-0. ii) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού ί ο (0, + οο). • Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες Η ασύμπτωτη της Gf στο +οο είναι της μορφής γ = λχ + β, όπου I

/(χ) ι 'n* . (lux)' ,. χ ,. Ι Α = lim = lim —— = lim — - — = lim — = lim — - = 0 και .*->+00 χ *-»+00 χ2 *-»+<» (χ V 2χ *->+<» 2χ lnx^

β= lim ( / ( χ ) - Αχ) = lim χ-»+°ο

x->+col

(In χ)' 1 lim = Inn — = 0 . ΛΓ-Μ-οο *->+«> χ

Δηλαδή, είναι η ευθεία ν = 0 . • Κατακόρυφες ασύμπτωτες Επειδή lim

*-»ο+ χ

= limί— ·lnx I = -00. + *-*ο 1 χ

Η ευθεία χ = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f . 3. Αρχικά θα πρέπει η / ν α είναι συνεχής στο χ 0 = 0 , δηλαδή θα πρέπει ν α ισχύει: lim f { x ) = lim f ( x ) = / ( 0 ) . x—>0

.v->0

Έχουμε lim / ( x ) = lim (ημχ + α) = α , jr->0

*->0

lim / ( χ ) = lim+ β β ' = 1 και

*-»0+

/(0)=α.

χ-»0

Επομένως πρέπει να είναι α = 1, δηλαδή η συνάρτηση / θα είναι της μορφής ίημχ + 1, χ < 0 / ( * ) = Ι Ρχ Π [ e' , χ >0

255

(1)

111!!·· Για a * 1 η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, άρα δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 = 0 . Εξετάζουμε τώρα, για ποιές τιμές του β η συνάρτηση (1) είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 ·

τ~

γ\ ·

/(*)-/(°) ημχ + 1-1= ημχ, οποτε =

— Για χ < 0 εχουμε

χ-0

/ (

hm χ-»0~

"-/(0> - l i m g . ! . Χ—0 *-»(Γ χ

/(*)-/(0) e"x - 1 Λ . — Για χ > 0 εχουμε = , οποτε χ-0 χ ,·

lim

/(*)-/(

*->0+

= lim

e^-l

*->0+

χ - 0

= lim Jr->0+

(e^-l)'

βε"'

— = lim — — = β.

(x)

*->o+

Επομένως, η / παραγωγίζεται στο x 0 = 0 , αν και μόνο αν β = 1 και α = 1. 4.

ί) — Για 0 < χ * 1 η / ε ί ν α ι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. — Για χ = 1 έχουμε ,. x l n x (x In x)' lnx+1 lim = lim = hm = - 1 και ,->1 \ - χ

x->i ( 1 - x ) '

»1

/(1) = - 1 .

-ι

Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. ίϊ)Για 0 < χ * 1 έχουμε:

/(*)-/(!)

χ-1

xlnx 1-x + χ-1

_ xlnx + 1 - x -(χ-1)2

οπότε ,. / ( χ ) - /J( 1 ) ,. 1 - x + x l n x ,. ( 1 - x + x l n x ) ' hm = lim — = limr—x-1 *-i - ( x - 1 ) (-(χ-1)2)' ,. - 1 + lnx + l ,. lnx = lim = hm -2(x-l) -2(x-l)

, = lim

1 ,. 1 v = lim— = — (-2(x-l)) *->' - 2 2 (lnx)'

256

2,9 Αρα /'(1) = ~ . 5.

i) · Για χ φ 1 η /είναι συνεχής ως σύνθεση και πηλίκο συνεχών. Για χ0 =1 έχουμε .. ln(x2 -2χ + 2) ί ,0 lim/(x) = lim μορφή *->ι *->ι Χ-1 ^ 0 2χ-2

= lim——2x+2_ ]i m *->ι

= ο.

*->'χ2-2χ

Επειδή /(1) = 0 = lim / ( x ) , η /είναι συνεχής στο 1. • Είναι ln(x2 /(

/(1)

lim *>»-»' χ-1

=lim *-»'

-2χ+2)_0

*-1 χ-1

ln(x2 - 2x + 2) χ->1 (χ-1)

= lim

= lim— *-»

(

^ 0Λ μορφή 0

2χ-2 2χ+2 __ lim 2(χ - 1 )

2(χ 1)

—ι 2 ( χ - 1)(χ

__ ^

- 2 χ + 2)

Άρα /'(0) = 1. Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 1. ίί)Είναι limg(x)= lim χ 2 =1,

*->1~

*->!

limg(x) = l i m ( l + ^ ^ ) = 1+0 = 1 +

λ->1+

x j

και g(l) = l 2 =1. Άρα η g είναι συνεχής στο 1. — Για χ < 1 έχουμε Jim * ( , > - * " > . to, χ-+Γ x - 1 jt->r χ - 1 — Για x> 1 έχουμε

257

lim(j+l) - 2 *_>γ

i + ή - ι

1 lijm i m ί»(*)—£( ) ;„ — = |hm x-l ΖΡ

χ χ-1

,.hm

In χ χ(χ-1)

f ηοοωη, — Ο

= lim+ — - — = lim+ = 1. *->t x - 1 + x *->ι χ(2χ-1) Επειδή limgW-g(l)^limg(AT)-g(l)) *-*·' χ - 1 χ-+1* χ - 1

η συνάρτηση g δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ0 = 1. 6.

i)— Επειδή l*-•0 i m ( l ~ O = 0 και limx = 0, έχουμε *-><) ·r l-e~" e" lim——— = lim-— = 1. *-•0

jr-*0 1

— Επειδή limx = 0 και limlnx = -oo, έχουμε *-»0

x-*0

lim (xlnx) = lim

+ x-*0* x->0

fμορφή

i->0*

+ooy

x 1

= lim+ *->0

1 x

= lim+(-x) = 0. i->0

ii) Έχουμε X lim/(x)= lim(l-e )lnx = lim +1 +

x->0

x-»0

= lim

* *->o

l-e~x

i->0*

(xlnx)

lim (xln x) = 10 = 0

i-a*

σύμφωνα με το ερώτημα i). Επειδή /(0) = 0 = lim /(x), η / ε ί ν α ι συνεχής στο 0. χ-»!)'' iii) Είναι κ- /W-/(°) x

~>°

Επειδή

~ hlt!

(l-e~*)lnx-0

συνάρτηση

,. l - e - , . hm hm lnx = -oo .

ι->0+

είναι 258

συνεχής

μθ*

στο

και

l i m / W — Ζ ί ^ = _οο η c f δέχεται εφαπτομένη στο 0(0,0) την ευ-

*->ο+

θεία με εξίσωση χ = 0 .

2.10

Α' ΟΜΑΔΑΣ

i) · Η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το A = R . • Η/είναι συνεχής ως πολυωνυμική • Για κάθε x e R ισχύει /'(x) = 3 x 2 - 6 x - 9 = 3 ( x 2 - 2 χ - 3 ) , οπότε /'(x) = 0 <=> x = 3 ή χ = - 1 . Το πρόσημο της / ' δίνεται από τον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας τ η ς / κ α ι τα τοπικά ακρότατα αυτής. χ

- o o

/•(χ)

- 1 +

+ ° ο +

/(χ) Τ.Ε.

Εξάλλου για κάθε x e R ισχύει /"(χ) = 6χ-6, οπότε / " ( χ ) = 0 ο χ = 1.

Το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η cf στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω και τα σημεία καμπής. χ

-00

/"to

/to

ο Σ. Κ.

+00 +

Είναι lim f(x) = lim(x3 -3x 2 - 9 x + l l ) = lim χ 3 = +οο, lim /(χ) = χ 3 - 3 χ 2 - 9χ+11) = lim χ 3 = - » . Η cf δεν έχει ασύμπτωτες στο -κ» και -<», αφού η / είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού. Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της / και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση.

259

-00-1 1 + ο fix) fix) - | - 0 + 16 f Τ. Μ. \ ο * fix)

3 +00 0 + + +«> /

· Κ Χ .

] 6

Τ.Ε. y

-1

\0\ 1

-16

XI/ *

ii) · Η / ορίζεται στο a = (-οο, 1) ν (1,+οο) • Η/είναι συνεχής στο α,, ως ρητή. • Για κάθε χ e Α ισχύει /'(x) =

-2

(*-ir

•, οποτε

fix) * 0 για κάθε χ e Α . Το πρόσημο της / ' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας τ η ς / Χ -οο fix) Αχ)

+οο -

Χ Χ

Για κάθε xeA ισχύει /"(*) = -2

-2(*-1)

(χ-1) 4 (χ-1) 3 ' Το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η/στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω και τα σημεία καμπής. χ Γ\χ)

-οο

1 -

fix)

260

+οο +

•ill x +l

Είναι lim /(χ) = lim

• 1, οπότε η ευθεία y = 1 είναι ορι-

x-1

ζόντια ασύμπτωτη της Cf στο -οο. Ομοίως lim /(χ) = 1, οπότε η y = \ είναι οριζόντια ασύμπτωτη και στο

+οο.

Επίσης

lim / (χ) = lim

*->ι

χ +1

-οο,

*-~>ι χ — 1

lim /(χ) = +οο, οπότε η ευθεία

*->ι+

χ = 1 είναι καρακόρυφη ασύμπτωτη της C { . • Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών τ η ς / κ α ι χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση. y-

Χ Γ(χ)

/"(*)

-οο

+οο

y= 1

ο -ι

+00

fix)

1 Χ

'Λ ν ,

χ=\

— 00

iii) · Η/ορίζεται στο A = R • Η / ε ί ν α ι συνεχής στο R ως πολυωνυμική. • Για κάθε x e R ισχύει /'(x) = 4x3 - 4 χ = 4χ(χ2 -1), οπότε f\x)

= Ο <=> χ = Ο ή χ = - 1 ή χ = 1.

Το πρόσημο της / ' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της/ χ fix)

-οο

-1 -

0 +

1 -

+°°

0 +

fix)

τ.ε.

— Για κάθε x e R ισχύει /"(x) = 12χ2 - 4 = 4(3χ2 -1), οπότε /"(χ) = Ο <=> χ = — ή χ = ~ — 7 3 3 261

Γο πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η / στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω και τα σημεία καμπής. -χ>

/"(*)

+οο

/(*) Σ.Κ. 4

Σ.Κ.

• Είναι lim /(χ) = lim (χ - 2 χ ) = lim χ 4 = +00. Λ—>-αο '

*—•-«>

*—>—<*)

lim / ( χ ) = lim χ = + 0 0 .

χ—>+°Ο

Χ—>+ΟΟ

Η C f δεν έχει ασύμπτωτες στο -οο, +οο, αφού είναι πολυωνυμική τετάρτου βαθμού. • Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών τ η ς / κ α ι χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση. Χ

-οο

-1

Ι + ο ο

+οο

+ ο

/"(χ)

fix)

+ +

+οο

Αχ) V . V _ j

y S Σ.Κ.

- k Σ,Κ,ν^

Τ.Ε.

Τ.Ε. ι

-1

J Χ

^3 !/ /

0 5 9

V3 ? ">ν I Χ ι \ ι \ι

/ / I /

" *

Σχόλιο Επειδή για κάθε x e IR ισχύει /'(-*) = (~*)4 - 2(-x)2 = χ 4 - 2χ2 = / ( χ ) , η / είναι άρτια, οπότε η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των y. 262

i) · Η/ορίζεται στο A =!R*. • Η / ε ί ν α ι συνεχής στο IR*, ως ρητή. 1 χ

xL —1 χ

• Για κάθε x e R ' ισχύει /'(x) = l — - = —ί — , οπότε f'(x) = 0<=>x = l ή χ = -1. Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα τ η ς /

χ ιΙ-οο — 1 0 /'«I + 0 /(:•}

| / f M \

id·

f«, \

Ν , / Τ.Ε.

— Για καθε χ e IR ισχύει / (χ) = f"(x)*

1 +°° - 0 +

2x 3 - 2 χ ( χ 2 - 1 ) 2 =— , οποτε χ* χ3

0 για κάθε xe!R".

Το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία Cf στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω. χ

-οο

/"(*)

+α> +

Αχ)

• Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες Η ασύμπτωτη της Cf στο -οο είναι της μορφής y = /[χ + β, όπου λ = lim

*-•-«0 χ

= lim ί 1+-^-1 = 1 και λ χ

β = lim (f(x)-Ax) *->-«

= Jim Ι x+—-x)= χ j

lim — = 0 . jt-*—, x

Δηλαδή, είναι η ευθεία y = χ. Ομοίως, αποδεικνύεται ότι η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της Cf στο +οο.

263

• Κατακόρυφες ασύμπτωτες. Είναι lim / ( * ) = limfx+—) = -00 και *-><rv

x-*tr

χ J

lim /(*) = lim(*+—1 = +00 .

*->0+

Αρα η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f . Επίσης έχουμε: χ2 +1

lim f ( x ) = lim

χ +1

OR->+OO

= lim χ = -00 και

= lim χ = +00.

X-*+«O

• Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της / και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση. χ

- 0 0 - 1 +

/00 /"(*)

0 0

1 -

+°° + +

+00

f w -00

-οο

Τ.Ε. ν

2 -1

/L·-. y 0 1 -2

Σχόλιο Επειδή για κάθε xeR* ισχύει = - / ( * ) ,

264

η / είναι περιττή, οπότε η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή ο. ii)· Η/ορίζεται στο a

(-oo,l)u(l,+oo)

• Η/είναι συνεχής στο α, ως ρητή. • Για κάθε χ e Α ισχύει /'(*) =

Χ1 -2Χ + 3 (χ-1) 3

(2x-l)(x-l)-(x -Χ-2) (Χ-1) 2

οπότε /'(χ) > 0 για κάθε χ e Α . Το πρόσημο της / ' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της/. χ

-ΟΟ

+00

/'(χ)

Αχ)

Για κάθε xeA ισχύει: /"(*) =

(2x-2)(x-l) -2(χ-1)(χ - 2 χ + 3)

-4

(χ-1)'

(x-ir

οπότε το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η C { στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω. χ

-<30

/"(χ)

+00

/(χ)

• Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες Η ασύμπτωτη της Cf στο -οο είναι της μορφής γ = λχ+β, όπου λ= lim

/(*)

= lim

χ -χ-2 = 1 και χ -χ

β = lim (/(χ)-Αχ) = lim

'χ1-χ-2

χ-1

265

χ I = lim

-1

χ-1

= 0.

Ληλαδή, είναι η ευθεία y - χ. Ομοίως, η y = χ είναι ασύμπτωτη της Cf στο +<» . • Κατακόρυφες ασύμπτωτες Είναι lim /(χ) = lim χ->\~

χ 2 —χ— 2

*->Γ

= +00 και

χ-1

lim f(x) = lim ————— = -αο. χ-1

Άρα, η ευθεία χ = 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f . Επίσης έχουμε: lim / ( * ) = lim

χ -χ-2

και lim f{x)

= -οο

χ-1

= +00.

® Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της / και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση. Χ

+00

-00

/'(Χ)

Γ\χ)

+ -

Αχ)

+οο

J 7 /

3. ·Είναι

+ 0

/ Α

-00

I I Ί

/ο

ι h

Α=[-π,π]

* Η/είναι συνεχής στο Α ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. • Για κάθε χ e Α ισχύει f i x ) = 1+συνχ, οπότε 266

i.tt>; / ' ( χ ) = Ο <=> χ = -ϊγ ή χ = π.

Το πρόσημο της / ' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της / και τα ακρότατα αυτής. +π 0

-π

/'(Χ)

Αχ)

Για κάθε xeA ισχύει /"(χ) = -ημχ, οπότε /"(*) = 0 « x = -7r ή χ = 0 ή

χ = π.

Το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η / στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω και τα σημεία καμπής. Κ

Κ I

ο + ο - ο

Γ\χ)

Αχ)

Σ. Κ.

• Είναι / ( - π ) = -π και f(n) = π • Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της / και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση. λπ

-π fix) 0

-π

Αχ)

/"(*)

max -π ^ min

/ ! /

π 0

* Σ0 Κ

··

L /

-π

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ' ΟΜΑΔΑΣ 1.

ί) Για κάθε xe(0, + oo) ισχύει: /'(*) = -

και

267

g'(x) = 2x-3,

ΓΕΝΙΚΕΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

οποτε /'(1) = -1

και g'(l) = -1.

Το σημείο Α( 1,1) είναι κοινό σημείο των C{ και Cg, αφού /(1) = 1 και g(l) = l . Επειδή ισχύει /'(1) = g'(l), οι εφαπτόμενες των C f , Cg στο (1,1) ταυτίζονται. ϊί) Για να βρούμε τη σχετική θέση των Cf και Cg βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς <P(x) = g(x)-f(x)

= x2 - 3x + 3 - — = χ χ

Έχουμε: φ(χ) < 0, για κάθε χ ε (0,1) και φ(χ) > 0 για κάθε χ e (1, + οο).

y·

1y=x2-3x+3

Επομένως: — η Cf είναι πάνω από την Cg, όταν xe(0,1) και — η Cg είναι πάνω από την C f , όταν xe(l, + oo) (σχήμα).

1 ο

ELψ X

2. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ) = f(x)~g(x)· Για κάθε x e R ισχύει ψ'(x) = f'(x)~g'(x) > 0 , οπότε η φ είναι γνησίως αύξουσα στο IR . Επομένως: — Για χ> 0 θα είναι: φ(χ) > φΦ) <=> f i x ) -g(x)>

/ ( 0 ) - g(0) <=> / ( χ ) > g(x),

αφού f(0) = g(0) και — Για χ < 0 θα είναι φ(χ) < φ(0) <=> f ( x ) -g(x) < /(0) -g(0) ο f ( x ) < g(x),

αφού /(0) =g(0).

268

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

3. Από το ορθογώνιο τρίγώνο ΟΒΜ έχουμε: (ΒΜ) = 1·ημ0 και (0Μ) = 1·συν0. Είναι όμως (ΒΓ) = 2(ΒΜ) = 2ημ0 και (AM)

= (OA) + (ΟΜ) = 1+συνθ

οπότε Ε = Ε(θ) =—2ημ#(1+συν#) = ημ0(1 + συν#). Για κάθε θ e (Ο,π) ισχύει: Ε'(θ) = συν0(1 + συν0)-ημ 2 0 = συν 2 0-ημ 2 0 + συν0 = συν20 + συνθ, οπότε Ε'(θ) = 0 « συν20 = -συν# <=> συν20 = συν(π - θ) ο 2Θ = π-θ ,

αφού θ e (0, π)

<( Το πρόσημο της Ε' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (£'| —J > 0 και r

Ε'

<0), από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονί-

ας της Ε και τα ακρότατα αυτής. θ

π/3

Ε·(θ)

0 3Λ/3

Ε(θ)

max

Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι ταν

θ = —.

3 269

3>/3

και παρουσιάζεται ό-

ΓΕΝΙΚΕΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

4. Γνωρίζουμε ότι, το μήκος τόξου θ rad είναι L-r-θ

ενώ το εμβαδόν

κυκλικού τομέα θ rad είναι Ε = ^r 0 . Επομένως, η περίμετρος του κυκλικού τομέα είναι: 2r +r# = 20 <=> # = ———, 0 <r <10 και το εμβαδόν του είναι: E(r) = -r2 2

°~2r r

=10r-r2,

re(0,10).

Για κάθε re(0;i0) ισχύει E'(r) = 1 0 - 2 r , οπότε E'(r)=Q<$r = 5. To πρόσημο της E'(r), η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. 0

r E\r) E(r)

5 0

+ Χ

10 -

,25 max

Δηλαδή η Ε παρουσιάζει στο r = 5 μέγιστο το E(r) = 25 . Επομένως ο ανθόκηπος έχει τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια, όταν η ακτίνα του κύκλου είναι r = 5 m. 5.

i) Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΔΒ έχουμε: (ΟΓ) συνθ = (OA)

1 (OA)

και ημ# =

(ΟΔI) (ob)

1 (ob)

οπότε

1 1 (OA) = —-— και (OB) = , 0<θ <συνθ ημ# 2

ii) (ΑΒ) = (OA) + (OB) = - L + - i ημ#

συνθ

iii) Θεωρούμε τη συνάρτηση / ( # ) = — + - ^ η οποία είναι οριη μ# συν# σμένη στο | 0,—

και συνεχής στο διάστημα. Επιπλέον, για κάθε

ισχύει:

270

ΓΕΝΙΚΕΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

, ημ2#

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

_ημ 3 #-συν 3 # συν2# ημ2#·συν2#

οποτε /'(#) = 0 <=> ημ3# - συν3# = 0 <=> ημ# = συν# <=>#= — , αφού # e

;°,f

Το πρόσημο της / ' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της / και τα ακρότατα αυτής. θ

π 2

ί\θ)

4 0

min

Δηλαδή, η / σ τ ο # = — παρουσιάζει ελάχιστο /

= 2-jl.

Επομένως, το μεγαλύτερο δυνατό μήκος της σκάλας, που μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια να στρίψει στη γωνία, είναι 2y[2m = 2,Sm. 6.

i ) · Η συνάρτηση/έχει πεδίο ορισμού το A = (0, + οο) • Η / ε ί ν α ι συνεχής στο Α. • Για κάθε χ > 0 ισχύει f'(x) = - — , οπότε χ

f\x) = 0 o l n x = l o x = e. Το πρόσημο της / ' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της/ Χ /'(*) Αχ)

0 +

e 0

· Χ max

271

+αο

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2°° ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

.„ λ - *», χ -χ-2χ(1-1ηχ) 21ηχ-3 Γιακαθε χ > 0 ισχύει / (x)= -= — , οπότε / " ( χ ) = 0 ο 1 η ι = - ο χ = β3'2. 2

Το πρόσημο της / " φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της. Χ fix)

0 -

fx)

e"2 0

+00 +

2cv ^

Σ.Κ.

• Πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες

Η ασύμπτωτη της Cf στο +οο είναι τ|ίς μορφής γ = λχ+β, όπου

λ = lim

I Μ = lim — = lim 1 = 0 και 2x 2x

•π,®..

β= lim(/(x)-Ax) = lim X-*+<*>

lim—= 0.

X-t-HO ^

X-F-Η» J

Άρα, η ευθεία y = 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο -κ». Επειδή, επιπλέον, lim / ( χ ) = lim

= lim —•lnx] = -οο , η ευθεία ζ-,0*u ) χ = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f . *-•0

χ->0+ χ

• Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της / και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση. Χ

e + 0

fix) fix) fix)

eM -

T.M. Σ.Κ.

272

+oo +

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΓΌΜΑ

Α ΑΣ

ϋ)Είναι αα+1 >(α + 1)α «Ιηα"" 1 >1η(α + 1)° <=> (α +1) 1η α > α 1η(α +1)

1η α

1η(α+1)

>—α+1

< = > / ( α ) > / ( α +1).

Η τελευταία ανισότητα (άρα και η πρώτη) είναι αληθής, αφού e <α <α + 1 και η /είναι γνησίως φθίνουσα στο [e, + <x>). iii)Για κάθε χ > 0 έχουμε: 2" =χ1 <=> ln2 x =lnx 2 o x l n 2 = 21nx ln2

<=> — = 2

lnx

ο / ( 2 ) =/(x).

Δηλαδή η εξίσωση 2" =χ2 έχει τόσες λύσεις στο (0,+οο), όσες είναι οι τιμές του x > 0 για τις οποίες η συνάρτηση /παίρνει την τιμή /(2) = ψ

Επειδή 22 =2 2 και 24 =4 2 , η εξίσωση 2*=χ 2 έχει στο (0,+οο) λύσεις τις x = 2 και χ = 4. Θα αποδείξουμε τώρα ότι αυτές είναι μοναδικές. Πράγματι σύμφωνα με το ερώτημα ί): — η / σ τ ο (0,e] είναι γνησίως αύξουσα. Άρα την τιμή /(2) θα την πάρει μια φορά, για χ = 2. — η / σ τ ο [e, + co) είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα την τιμή /(4) θα την πάρει μόνο μια φορά. 273

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2°° ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΟΜΑΔΑΣ

Επομένως, οι λύσεις της 2" = χ 2 είναι ακριβώς δύο, οι χ, = 2 και χ2 = 4.

ί) Θεωρούμε τη συνάρτηση / ( χ ) = «" + β", η οποία ορίζεται στο IR και είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό. Επειδή /(0) = 2 έχουμε: / ( x ) £ / ( 0 ) για κάθε xeIR, που σημαίνει ότι η / στο χ0 =0 παρουσιάζει ελάχιστο, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει /'(0) = 0 . Είναι όμως

/'(x) = a* lna + β" 1ηβ, οπότε

/ ' ( 0 ) = 0 <=> \ηα + \ηβ = 0 <=> Ιη(αβ) = 0 <=> αβ = 1.

ii) Για κάθε x e R ισχύει. Θεωρούμε, τώρα, τη συνάρτηση / ( χ ) =α* - x - 1 , η οποία ορίζεται στο IR και είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό. Επειδή /(0) = α ° - 0 - 1 = 0, έχουμε / ( χ ) > /(0) για κάθε x e IR . Άρα η / στο χ0 = 0 παρουσιάζει ελάχιστο, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, ισχύει /'(0) = 0. Είναι όμως: /'(x) = a" lna - 1 οπότε /'(0) = 0 o a ° 1η α - 1 = 0 <=> 1ηα = 1 <=>a = e . 8.

i)—Για κάθε xeIR ισχύει: f'(x) = e* και /"(x) =e* > 0 για κάθε x e IR . Άρα η / είναι κυρτή στο R . — Για κάθε xe(0, + oo) ισχύει: g'(x) = -

και g"(x) = — V < 0 · χ

Άρα η / ε ί ν α ι κοίλη στο (0,+οο). ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Λ(0,1) είναι: >*-1 = /'(0)(χ -0)<=>^-1 = χ<=>^ = χ + 1,

274

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΟΜΑΔΑΣ

ενώ της Cg στο σημείο (1,0) είναι: >>-0 = g'(l)(*-l)<=>.y = x - l .

iii) α) Επειδή η / είναι κυρτή στο R η εφαπτομένη της Cf στο ση-

/ y=x+1

y J /

y=*-

μείο (0,1) βρίσκεται κάτω από την

V ii LO

c f

Άρα ισχύει:

e'>l + x για κάθε x e R .

/Τ

/ y = \nx

Η ισότητα ισχύει μόνο όταν χ = 0. β) Επειδή η g είναι κοίλη στο ( 0 , + ο ο ) η εφαπτομένη της Cg στο

σημείο 5(1,0) βρίσκεται πάνω από την Cg Αρα, ισχύει: x - l > l n x για κάθε xe(0,+ <*>). Η ισότητα ισχύει όταν χ = 1. ΐν) Για κάθε χ e R ισχύει x-l<x+l, οπότε, λόγω του ερωτήματος iii), έχουμε lnx<jc-l<x + l^e*,

x>0.

Άρα για κάθε χ > 0 .

\nx<e',

i)H συνάρτηση f(x) = e'-L·

είναι παραγωγίσιμη στο R

με

Γ(χ)=β'-λ.

Είναι f \ x ) = 0 <=> e* - A = 0<=>x = ln/l.

Το πρόσημο της / ' , η μονοτονία και τα ακρότατα της/φαίνονται στον πίνακα χ

-οο

fix) fix)

+αο

Ιηλ

^min I

Επομένως, η/παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για x = lnA την 275

ΓΕΝΙΚΕΣ

200 ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑΣ

/(In A) = ebl -Α1ηΑ = Α-Α1ηΑ = Λ(1 - In Α). ii) Ισχύουν οι ισοδυναμίες (<e* > λχ, χ e r) <=> (e" -Ax>0,xeR) <=> (f(x) > 0,xe R) <=> min /(x) S 0 <=>A(l-lnA)^0 <=>l-lna>0

olnA<l oAie. Άρα, η μεγαλύτερη τιμή του Α, για την οποία ισχύει ex > λχ για κάθε χ e R, είναι η A = e . iii) Για να εφάπτεται η ευθεία y = ex της γραφικής παράστασης της g(x) = ex, αρκεί να υπάρχει σημείο χ0 τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cg στο ,4(x0,g(x0)) να ταυτίζεται με την y = ex. Για να ισχύει αυτό, αρκεί [*(*>—ι.

|g(*o) = e

- « .

\ex° =e

Επομένως η y = eχ εφάπτεται της Cg στο σημείο Α(l,e). ε

ι •y-e"'

10.

=ex°(x-x0).

(1)

ί)Για x * 0 είναι i

/(*)-/((»_* ημ* χ-0 χ

χημ

1 χ

Επειδή χ η μ - < | χ | έχουμε -|χ|<χημ—<|χ| χ

Όμως lim|x|=lim(-|x|) = 0.

χ—•ο

*-*0

276

ΓΕΝΙΚΕΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑΣ

Άρα limf χημ— | = 0. r~>0l

Επομένως f ^ .

=0 J ί(0) ν

Αφου ' και Cf στο 0(0,0).

. J ί'(0) χ

. , ν=0 , η ευθεία είναι εφαπτόμενη της

ii) Τα κοινά σημεία της Cf και της ευθείας y = 0, προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης /(χ) = 0. • Για χ ψ 0 είναι /(χ) =0 <=> χ 2 ημ — = 0 » ημ—= 0 1 -*· <=> — = κπ, κε£ χ

κ e.

<=> χ = — ,

(1)

κν;

• Για χ = 0 είναι /(0) = 0. Άρα, τα κοινά σημεία είναι άπειρα το 0(0,0) και τα υπόλοιπα έχουν τετμημένες που δίνονται, για τις διάφορες τιμές του Are Ζ* από τη σχέση (1). (Είναι προφανές ότι για μεγάλες κατ' απόλυτη τιμή του κ, οι τιμές του x είναι πολύ μικρές και πλησιάζουν το 0). iii) Αρκεί να δείξουμε ότι lim ( / ( χ ) - χ) = 0 και

lim (/(χ) - χ) = 0

Έχουμε: lim ( / ( x ) - χ) = lim χ ημ — χ χ

= limf — η μ ί - ά /

θέσαμε t = — χ

= lim ημ/-/

μορφή

= lim συνί-1

μορφή -

it /-.0

277

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΟΜΑΔΑΣ

• Ομοίως, έχουμε lim ( f ( x ) - x ) = 0 .

11. Α. i)H συνάρτηση ψ είναι παραγωγίσιμη στο IR με ψ'(χ) = 2φ'(χ)φ"(χ) + 2φ(χ) · φ'(χ) = 2φ'(χ)(φ"(χ) + φ(χ))

= 2φ\χ)·0

(από υπόθεση)

= 0.

Επομένως, η ψ είναι σταθερή στο IR . Επειδή ^(0) = ( / ( 0 ) ) 2 +(?(0)) 2 = 0 + 0 = 0 ,

είναι ψ(χ) = 0 ,

χeR

ϋ)Επειδή ψ(χ) = 0 , είναι (φ'(χ)Ϋ +(^(x))2 = 0 για κάθε x e R . ' A p a φ\χ) = 0 και φ(χ) = 0 για κάθε χ e R, οπότε φ(χ) = 0, για κάθε x e R . Β. Είναι ψ\χ) = /'(*) - συνχ και ?"(*) =/"(*)+ημ*. Άρα φ"(χ) + φ(χ) = /"(*) + ημ* + /"(*) - ημ*:

= /"(*) + /(*) =0

(από υπόθεση)

Επίσης ^(0) = /(0) - ημΟ = 0 και /(0) = /'(0)-συν0 = 1 - 1 = 0. Επομένως η ψ ικανοποιεί τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος (Α). Ομοίως, έχουμε:

ν'(*) = .£'(*) + ημ* και 278

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2°" ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΟΜΑΔΑΣ

V"(*) = g"(*) + ouvr. Άρα. ψ"(χ) + ψ(χ) = g "(χ) + συνχ·+g(x) - συνχ = g"(x)+g(.x)

=Ο

(από υπόθεση).

Επίσης V(O) = g(O) - συνθ =1-1 = 0 V'(0) = g'(0) + ημΟ = 0. Επομένως, η συνάρτηση y ικανοποιεί τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος Α. ίί)Αφού οι συναρτήσεις φ, ψ ικανοποιούν τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος Α, σύμφωνα με το ερώτημα (Α), ισχύει φ(χ) = 0 και ψ(χ) = 0 για κάθε x e 1R , οπότε /(x) = ημχ και g(x) = συνχ για κάθε x e IR . 12.

i) Οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι (συν#,ημ#). Τα διανύσματα / , Μ = (συν6'-χ,ημ#) και ΡΝ = (1-χ,#) Επομένως, σον# - χ 1-χ

det(PM, ΡΝ) = 0 <=>

είναι συγγραμμικά.

ημ# #

<=> #(συν# - χ) - ημ#(1 - χ) = 0 <=> #συν# - ημ# = χ# - χημ# <=>χ = -#συν#-ημ#-

* ( # ) ·

#-ημ# ii) Έχουμε .. ... lim χ(θ) β -»°

= θlim ->°

#συν#-ημ£ —

μορφή -

θ-χ\\χθ

= lim συν# - # η μ # - συν# 0->ο 1-συν# -#ημ# = lim®-»° 1 - συν# = lim

θ~*0

ημ#-#συν# ημ#

279

, 0

μορφή -

^μορφη- ί

ΓΕΝΙΚΕΣ

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

= lim

ΓΌΜΑΛΑΣ

-συν# - συνθ+θτ\μθ

«-•ο

συνθ

= — = -2. 1

13. A.i)—Το μήκος s του τόξου ΑΠ είναι β s = 2πρ— = θρ = 2Θ , οπότε 2π 2

—Αν ΟΔ1ΑΠ, έχουμε

από το τρίγωνο

θ _ΑΔ η μ

1/2

2 ~ 2 ~ 2 ~ 4

οποτε 0 '/ = 4λ η μ γ .

ii) Επειδή ο πεζοπόρος βαδίζει με ταχύτητα υ = 4 km/h, τη χρονική στιγμή t θα έχει διανύσει διάστημα s = 4t. Αφού ^ = 4/ θ - — = It

και

£ ναι

/ = 4ημ—= 4ημ/.

Β. Είναι /'(f) = 4συν/, οπότε: α) Όταν θ = — , είναι 3

2π ί =— 2

και

/' — | = 4συν—= 4·—= 2 km/h. 3J 3 2

και

/'( — ] = 4συν — = 0 km/h

β) Όταν 0 = π, είναι t =^2

47γ

γ) Όταν θ = — , είναι 3

t - — 3

και

/ ' ί — 1 = 4 σ υ ν — = - 2 km/h. I 3 J 3

280

2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ ΟΜΑΔΑΣ

14. Έστω ότι ο αγρότης θα προσλάβει χ εργάτες, και τον επιστάτη και έστω ότι χρειάζονται t ώρες για να μαζευτούν οι ντομάτες. Αφού κάθε εργάτης μαζεύει 125 κιλά ντομάτες την ώρα, σε t ώρες οι χ εργάτες θα μαζέψουν όλες τις ντομάτες. Άρα

125*/= 12500 Ο Λ:/= 100 Ο / = — .

(1)

Αν Κ είναι συνολικό κόστος για την εργασία, τότε έχουμε Κ = 6ί • χ + I0t +10(jr +1). Έτσι, λόγω της (1), είναι 100

κ(χ) = 6

χ +10

100

δηλαδή

κ ( χ ) = 600 +

+ 10(χ + 1)

1000

1-10* + 1 0 .

Η συνάρτηση Κ είναι παραγωγίσιμη για χ > 0 με Κ\χ)

1000

+ 10 =

10*

-1000

10(JC - 1 0 0 )

= —

/Γ'(χ) = 0 ο χ.2 -100 = 0 <=> χ = 10,

Είναι αφούχ>0. Το πρόσημο της Κ', καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της Κ φαίνονται στον πίνακα. Χ

10 0

Κ'(Χ)

+οο +

Κ(χ)

10) min Άρα, για χ = 10 η συνάρτηση έχει ελάχιστο, το /:(10) = 600 +

1000

+ 10· 11 = 810.

Επομένως, ο αγρότης πρέπει να προσλάβει 10 εργάτες. Το μικρότερο δυνατό κόστος είναι 810 ευρώ, ενώ χρειάζονται / = - ^ ^ = 10 ώρες χ

για να μαζευτούν οι ντομάτες.

281

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3.1

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε: i) | ( * 3 + η μ τ + σ υ ν χ ) < & = | χ 3 ί ώ ^ \$xdx+ j συνχάχ χ4

= — -συνχ + ημχ+c ii) j* *

+x+

^dx = jxrfx+jidx + j"-?-£&· 2 x

= — + x + ln| x\+c 2 hi

iii) ^3x-jxdx = 'i^x dx='i^—

+ c = — x2 +c

2+1 iv) j^-^~-dx=

jx2dx + 2jxdx+j4dx x3

=—+x

v) [ f e

+4x+c

+ <τυν2χ jdx = fe'dx

- 3 j — + ^mn2xdx

- ί :xdx~ 3 j

j(ημ2χ)'ί&

= e* - 3 1 η | χ | + -ίημ2χ·+Γ.

3,1

vi)

συν2*

-j-w-

J ημ nix2 χ

J συν χ

= εφ*+σφχ+c

. f χ+3 Γ νιι) ι dx =

dx = life +

j xx++22

x +2

Γ dx

Γιj

x +2+l

Jx + 2

= x + l n | x + 2| + c. 2. Επειδή J f\x)dx

έχουμε διαδοχικά

= f(x)+c,

\—j=dx

= f(x)+c

y/x

_l 1

dx = f ( x ) + c

• = f ( x ) + c,

f ( x ) = 2-Jx - c.

Επειδή /(*)

/(9) = 1,

έχουμε

2-j9-c

= l,

οπότε

Επομένως

=lJx-5.

3. Επειδή J f"(x)dx

= f ' ( x ) + c,

έχουμε διαδοχικά:

J* 3c/xr = / ' ( x ) + c , f \ x ) = 3x-c.

Επειδή /'(1) = 6 έχουμε 3 - c = 6, οπότε c = -3. Επομένως /'(*) = 3*+3.

Επειδή J f\x)dx

= /(x)+c,

έχουμε διαδοχικά:

j" (3JC + 3)c6c = f ( x ) + c 3 / ( x ) ~~^ χ 1 + 3 x - c .

3 Επειδή /(0) = 4 έχουμε —-0 + 3-0-c, = 4, οπότε c, = /'(*) =

+3x + 4 .

284

Επομένως

3 j

4. Έχουμε διαδοχικά: j f " ( x ) d x = f'(x)+c J ( I2x2 + 2)dx = f\x)+c

4x 3 +2 X = /'(X) + C, / ' ( x ) = 4 x 3 +2x-c

Επειδή /'(1) = 3, έχουμε 4 + 2 - c = 3, οπότε c = 3. Επομένως / ' ( χ ) = 4x3 + 2 x - 3 . Επίσης έχουμε διαδοχικά J/'(x)<fr = /(x) + c, J(4x 3 +2x-3)<& = /(x) + c, Χ4

+x 2

-3Χ

= /(x) + c,,

/ ( χ ) = χ 4 +χ 2 - 3 x - c , . Επειδή το Λ(1,1) είναι σημείο της γραφικής παράστασης τ η ς / , έχουμε: /(1) = 1 <=> 1 + 1 - 3 - c , =1<=>C, = - 2 . Επομένως / ( χ ) = χ 4 +x 2 - 3 χ + 2 .

5. Επειδή N'(t)

1e 20—

» έχουμε διαδοχικά jN'(t)dt

f—e"20dt J 20 e"20

= N(t)+c

= N(t) + c

= N(t)+c

N(t) = e"20

-c

Επομένως, η αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά, είναι ίση με: ν(60)~ ν(0) = ( e 6 0 ' 2 0 - c ) - ( e ° - c ) = e 3 —1 = 19 εκατομ. 285

— 6.

Αν Κ(χ)

το κόστος, σε ευρώ, της εβδομαδιαίας παραγωγής χ, τότε 2

Κ'(χ) = χ +5χ, οπότε έχουμε jK'(x)dx

= K(x)+c

J ( x 2 + 5 x)dx = K(x)+c,

οπότε 3

* Η—χ 2 —c. Κ(χ) χ = — 3 Από τα

δεδομένα του

προβλήματος έχουμε

ΑΓ(0) = 100,

οπότε

- c = 100 και άρα c = -100. Επομένως, η συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας παραγωγής είναι: χ3

5χ2

Κ(χ) = —+—+100. w 3 2 7. Έχουμε διαδοχικά: jR'(t)dt

= R(t)+c

| ^ 2 0 + 1 0 / - | i j j ^ = i?(0 + c , Λ(/) = 2 0 / + 5 ί 2 — ^ / 3 - c . 1 λ -—t . 4 Επομένως τα βαρέλια που θα αντληθούν στους πρώτους 8 μήνες είναι: Προφανώς Λ(0) = 0 , οπότε c- 0 και άρα R(t) = 20t+5t

Λ(8) = 20-8 + 5-8 2 - - 8 3 =160+5-8 2 - 2 - 8 2 = 352χιλιάδες. 4 3.1 1. Επειδή T'(t) = -kae'h,

β' ο μ α δ α σ έχουμε διαδοχικά: J T\t)dt j-kae~h aj(et'Ydt

= T(t)+c

dt =T(t)+c = T(t)+c,

286

T(t) = ae

Επειδή Γ(0)+α και Τ(0) = αε~^-c T0+a

-c.

= a-c,

έχουμε

= a - c o c = -TQ.

Επομένως T(t) = ae~k> +Τ0.

Έχουμε διαδοχικά jp'(x)dx

= P(x) + c

χ J 5 8 e ~ ™ ° d x = P(x) + c

χ 5,8 · (-2000) j(e

)'dx = P(x) + c P(x) = -11.600e

2000

-c .

To συνολικό κέρδος που οφείλεται στην αύξηση της επένδυσης από 4.000.000 σε 6.000.000 είναι: 4000

6000

Ρ(6000)-/"(4000) = -11600^ 2 °°° - c + 11600e _2 ™ +c = 11600(e

e-lN ) = 11600 —

—e

\ e

= 11600 · 0,086 = 997,6 χιλιάδες ευρώ = 997.600 ευρώ 3.

Έ σ τ ω P(t) το κέρδος της εταιρείας στις πρώτες ί ημέρες. Τότε Ρ(ί) = Ε(ί)-Κ(ί),

οπότε P'(t) = £'(/) - Κ'(/) = 1000 + 0,31 - 800 + 0 , 6 t = 200 + 0,91.

Έτσι έχουμε διαδοχικά: \p'(t)dt

=P(t)

J(200 + 0 , 9 t ) d t = P { t ) + c P(t) = 200/ + 0,9 — + c..

To συνολικό κέρδος της εταιρείας από την 3 η έως την 6 η ημέρα είναι: 287

P(6) - P(2) = 200 · 6 + 0 , 9 ~+

c, - 200 · 2 - 0,9 y

- c,

= 1216,2-401,8 = 814,4 ευρώ. 4.

i) Από την ισότητα / " ( x ) = g"(x)

έχουμε διαδοχικά

/'(*) = g ' w + c , /(x) = g(x)+c,x+c2.

(1)

Για x = 0 είναι / ( 0 ) = g ( 0 ) + 0 + c 2 , οπότε c 2 = 0 , αφού / ( 0 ) = g(0). Επομένως /(*) = g(*)+c,*·

(2)

Για x = l , από την (2), έχουμε /(1) = ^ ( 1 ) + ^ , οπότε c, = 1 , αφού / ( 1 ) = ^(1) + 1. Έτσι από τη (2) προκύπτει

/(*) = £(*)+* i i ) H / ( χ ) είναι συνεχής στο

[α,

και ισχύει

/ ( α ) = #(α)+α = 0+α = α < 0 ί(β)=Ε(β)

+ β = 0 + β = β>0.

Άρα, / ( α ) / ( / ? ) < 0 , οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β).

3.2

Α' ΟΜΑΑΑΣ

1. Έχουμε i) J x 2 e ~ * c / x = - J x 2 ( e *)'</χ = -x2e~"

+ j 2xe~" dx =-χ2 e-2Jx(e~*)'<&:

= - x 2 e ~ * - 2 x e ~ x + 2f e~"dx = -x2e'x =—e x (x 2 + 2x + 2) + c .

ii) J(3x 2 - 2 x + l)e2'ii«: = -i-J(3x 2 - 2 x + l)(e 2x )'(fe

288

-2xe~x -2e~x +c

= I

(3x

+ l)e

' - -

J ( 6 x - 2)e2jt<£c

= | (3x2 - 2x + \)e2x - i J (6* - 2)(e2jI )'Λ

= - (3x 2

= - e

- 2 x + l)e2* - - ( 6 x - 2 ) < ? 4

* ( 6 x

*(6x

- 1 0 x + 7) + c

i iii)

J x

l n x i £ c =

fixate

χ4

= — l n x - J

=ix 4

χ4 —

(lnx)'i£c

l n x — - f x*dx = — x 4 l n x - — + c 4 J

iv) [2χ 2 ημ2χ£& = Jx 2 (ow2x)'dx: = - χ 2 συν2χ+J 2xai)v2xiir = -χ 2 συν2χ + J χ(ημ2χ)'ύί»τ = - χ 2 συν2χ + χημ2χ - J ημ2χί£τ = - χ 2 σ υ ν 2 χ + χ η μ 2 χ + j συν2χ+c = ^ - χ 2 + ^ σ υ ν 2 χ + χημ2χ + ί .

ν) |4χσυν2χ<& = |2χ·(ημ2χ)'6ίτ = 2χημ2χ - J 2ημ2χί& = 2 χ η μ 2 χ + σ υ ν 2 χ + ε

289

+ 4

- 4 x + 2 - 6 x + 2 ) + - < ? 2 j t +c

= i-e

f6e2*<£t J

. .

/ , -- - ----*****

vi) J In xdx = J" (x)' In xdx = χ In x - J \dx = χ In χ - x + c

,") ί ^ Λ = " ί ( ί ) ω -

viii) I = Je*ouv2x<fc = e x o u v 2 x + 2 j β"ι\μ2xdx = εχσυν2χ+2β*ι\μ2χ-4^

e'amlxdx.

Άρα I = ez (συν2χ+2ημ2χ) - 41 51 = e* (συν2χ+2ημ2χ) I =^e* (ouv2x+2ημ2χ)+c.

ϊ)Θέτουμε u = 3x, οπότε du = 3dx και άρα dx=~du.

Επομένως,

J x\y&xdx =—J x\\mdu = — i o u v u + c = - — < j w 3 x + c

Η)θέτουμε « = 4 χ 2 - 1 6 χ + 7 , οπότε du = (8x-16)<& = 8 ( χ - 2 ) ώ : . Επομένως * J(4x2-16x+7)3(x-2)<fc = | j V < f o = i ^ - + c = —(4x2-16x+7)4+c. 32 ϊϊϊ)Θέτουμε u = x + 6x, οπότε du = (2x+6)(fr = 2(x+3)a!r. Επομένως, f *+3 dx = ±{^-=±{u*d«=*-^+c 2 J m4 2 J J (x 2 + 6 x ) 4 =

1 1

2-3

-1

—-+C = r r+C. 6 u 6(x +6x)

iv) θέτουμε κ = 2 + χ , οπότε du = 3x dx. Επομένως,

290

2 Γ If Ι du f 4I uj 2du2= — χ u2 +c2 = — (23+r x ) 2 I χ -dr, = — —— =1 — +c . lyfcS 3 J ^ 3J 3 3

ν) Θέτουμε a = x + l , οπότε du = dx και x = u-1. Επομένως, J x-Jx+ldx = J (u-\)-Judu = Ji/2du-ju2du

=—a 5

a 2 +c

: 2 j # 2 [ j i / - i | +c

= — ( x + l ) 2 ( 3 x - 2 ) + c.

i) Θέτουμε a = ex, οπότε du = e'dx. Επομένως, | β*ημ£*£& = J x\\utdu = -συν« +c = -σονex+c ii) θέτουμε a = ex +1, οπότε du = e'dx. Επομένως, J — - d ! r = J — = ln| a |+c = ln(e* + l ) + c .

iii) θέτουμε u = In χ, οπότε du=—dx. Επομένως, χ ι f * j wlnx

f * ' va

•»

j 2

= 2-Ja+c = 2->/lnx + c. ίν) θέτουμε a = ln(e* +1), οπότε du =

e' +1

dx. Επομένως,

f dx = f — = l n | a | + c J (<?*+1)1η(έ!*+1) J u = ln|ln(e* +1) | + c = 1η(1η(?χ + l ) ) + c 291

ln(e x +1)>1η1 = 0 .

αφού

ν) Θέτουμε u- — , οπότε du = —\-dx. χ χ

Επομένως,

j i ' . - ~ d x - - j T\\mdu = συν« + c = συν—ι-c

3.2 1.

Β' Ο Μ Α Δ Α Σ i) Θέτουμε κ = 1 + συν 2 χ, οπότε du = -2ημχσυνχ£&· ή du = -ημ2χί&. Επομένως,

J 1 + συν χ

J u

ii) Θέτουμε u = Ιη(συνχ), οπότε du = -

συνχ

dx = -εφχάχ.

Επομένως,

| εφχ 1η(συνχ)ώ· = - J udu = - — + c = -—[1η(συνχ)]2 + c

iii) Θέτουμε u = η μ χ , οπότε du - crovxdx. Επομένως, t J awxe^dx

x3 +1

ι) Θετού με u=——, X

= |e"du

=e" +c = βημι +c .

3x2 -x3 - 3 X 2 ( X 3 +1) ,

οπότε du =

—

-3

-dx = ——dx.

Επομένως,

x3+] x

1 x4

dx: := - ^ j y f u d u =~—ju2du 3J 3 i+i

1 u2 3

1+i

1 u2 + c

x 3 +1

__2 + c

+c .

x 2 + 1 , οπότε du = — Jr= dr 2 Vx 2 +1 Vx2+1 μενως,

292

Επο-

ί J

ί du = u+c = -Jx2 + 1 +c .

dx-

^!s7ϊ

iii) Θέτουμε u = x2 +1, οπότε du = 2xdx, οπότε έχουμε j" * ln(x2 + l)ifc = -j | In udu = -ί j" (u) 'In udu

= — u l n u - — f du

= -^u I n « - · ί « + c = i ( x 2 + l)ln(x 2 + l ) - i ( x 2 +l) + c . 3.

i) Έχουμε: 2

I n x 2 d x = I | — I lnx 2 ife ,3

« —Inje 1 - f — — V u ' ) ' < f r 3 1 3 x> 1 3 2 = — x31lnx2 —2 f\ χj dx = x lnx 3J 3 3

= * V .lnx ,

2 +c

2 χ-+c , 9

ii) Έχουμε J(In/) 2 dt = j(/)'(ln/)2

dt = /(In/) 2 - J/2 \nt(\nt)'dt

= /(In/) 2 - 2 j I n t d t = /(In/) 2 - 2 j ( / ) " 1 η / Λ = /(ln/) 2 - 2 i l n / + 2 j / - r f / = /(ln/) 2 - 2 / l n / + 2/ + c iii) Θέτουμε u = ex, οπότε du = e'dx. Επομένως | e2x<m\exdx

= J exavvexexdx

= J umvudu

= J u{y\ym)'du = ιn\\iu - J T\\wdu

293

= «ημ« + συν« + c = e'mae* +mve* +c . 4.

i) Έχουμε ημχ r (συν*)' f εφχί/χ = f —— dx = -J f rfr J συνχ mivr J συνχ

= — In i συνχ I + c και x J — - γ - d x = |χ(εφχ)'ί£τ = χ ε φ χ - j εφχόχ συν'χ = χεφχ + ln | συνχ j +c,. ii) Θέτουμε u = ημχ , οπότε du = συνχώτ. Επομένως, Γ—τ-άχ συνχ i ημ χ

Γ—du =—+c1 J w u

1 + c. ημχ

Επίσης έχουμε Γ1 + συνχ r 1 , Γ συνχ , — — — ί / χ = J — — dx +J —— dx ημ χ ημ χ ημ χ

= -σφχ

1 1- c ημχ

ίίί)Έχουμε | ημ3χκ/χ = J ημ 2 χημ«/χ = J (1- συν2χ)ημχ</χ. Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -\]^ixdx. Επομένως, | ημ , χί/χ = -|(1-Μ 2 )βί« = ju2du-jldu =

u3 3

u+c =

συν 2 χ 3

συνχ + c .

Επίσης έχουμε J συν 3 xdx = J συν2 xcruvxc/x = J (1 - η μ 2 x)ouvx<fr. Θέτουμε u =ημχ , οπότε du = συνχώτ. Επομένως, j συν'χί/χ = J(l-!/ 2 )f/« = u- — + c = η μ χ - ^ * +c

294

Έχουμε

^χ\μ2χάχ= J-— 1 χ —1 ημ2χ -, + 6· =— 2 4 , f l + <n>v2x 1 1 συν xdx = dx = — x + — ημζΛτ + c J 2 2 4

iii) ^τ\μ2χσυν2χάχ

= ~ [ημ 2 2χ<& 4 ί f l -συν4χ -dx 2 = I x - I ί«συν4χί& 8 8 J 1

—χ 8

>. + ο . ημ4χ

6. Έχουμε i) j ημχσυ\'2χώ· = ^ | [ η μ ( - χ ) + ημ3χ]ίΛτ

= ——j" ημχί/χ + γ j" \\\iixdx 1 1 = — συνχ — συν3χ + c 2 6 ϋ ) ί σΐ)ν3χσυν5χώτ = γ J (συν2χ + συν8χ)ί/χ

= — ί συν2χί/χ + — ί συν8χί/χ 2J 2J 1 -, + — 1 ημδχ ο +c = — ημ2χ 4 16

iii) j" ημ2χημ4χί£τ = -ί |" (συν2χ-συν6x)dx 1 , 1 , = —ηιι2χ ημόχ + c . 4 12 295

i) Έχουμε: f

2x-3 , —; ~dx J χ -3x+2

Γ(χ2-3χ+2)', —j J χ -3x + 2

, , <fc = l n x -3x+2\+c.1

ii) Έχουμε: 3x + 2

3x + 2

—52 = , x -3x+2 (x-l)(x-2)

x s R - f xl , 2}. '

Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι ώστε: 3χ + 2

(x-l)(x-2)

x-l

χ-2

- , για κάθε x e R - { l , 2 } .

Με απαλοιφή παρανομαστών έχουμε τελικά: (Α + Β)χ-(2Α

+ Β) = 3χ + 2,

για κάθε

xeR-{l,2}

(1)

Η (1) ισχύει για κάθε χ e IR -{1,2}, αν και μόνο αν

Α +Β =3 „ , 2 A - B =2

Α = —5

και Β = 8 .

Επομένως J χ

-3χ

J χ-2

J x-l

= —5 In I x - l | + 8 1 n | x - 2 | + c . iii) Από τη διαίρεση ( x 3 - 2 x ) : ( x 2 +3χ+2) βρίσκουμε: χ 3 -2χ = (χ2 + 3x + 2)(x-3) + 5x+6 οποτε χ3-2χ

„ =

χ +3χ+2

* ~

5χ+6 +

2 , . , .

Χ2 +3Χ + 2

Εξάλλου έχουμε:

5x + 6

5χ + 6

-3χ+2

( x + l ) ( x + 2)

Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι, ώστε 5χ + 6 Α Β -———— = -+ (x + l)(x + 2) χ + 1 χ+2

για κάθε x e l R - { - l , - 2 } .

Με απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε τελικά 296

(ό

(Α + Β)Χ+2Α

+ Β = 5Χ+6.

(2)

Η (2) ισχύει για κάθε x e R - { - l , - 2 } , αν και μόνο αν Α + Β = 5

ο Α = 1 και

Β = 4.

2Α + Β = 6

Επομένως λόγω και της (1) έχουμε: \j?-z2^dx=\{x-3)dx+\—+\-^—dx J J *+1 J x+2 J χ1 + 3 x + 2 χ1 = — - 3 x + l n | x + l | + 41n|x+2|+c. iv) Έχουμε —-— = χ —1 x-l

για κάθε x e R - { l , - l } . x+1

Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε (α + β)χ+α-β

= 2.

Η (1) ισχύει για κάθε x e R - {L, - 1 } , αν και μόνο αν [Α+Β

Α-Β

= 2

<=>/1 = 1 και Β = - 1 .

Επομένως, έχουμε f J

3.3 1.

2 J

x -l

dx= \-^—dxx-l

f — - d x = l n | x - l | - l n | x + l| + < x +1

Α' ΟΜΑΔΑΣ i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

dx — = -Axdx.

ί ^ - -

ί "

297

(1)

= -2χ2

+c,

y ι y =~ i , 2 χ +c

ceR.

ii) Η εξίσωση γράφεται dy = χ y— dx ydy = xdx. J ydy = J xdx y1 = — x2 + c . — 1 2 2 y 2 = x 2 + 2c. y j - χ2 = c , y = Vc+x 2 ,

αφού y > 0

iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: —

—

= 2

xy dx — = 2xctc.

i 7 M

2xdx

l n | y | = x 2 +c, |Ι y |I = e \y\=e«e* y = ±ec' ex* y = ce*2, όπου c = ±e*•

298

(ceR).

iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy — = e ^συνχ dx e"dy = συνχάχ j ey dy = j avvxdx

e" = ημχτ+c ^ = 1η(ημχ + ο), c e R 2.

i) Μία παράγουσα της a(x) = 2 είναι η Α(χ) = 2χ. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με e2x και έχουμε διαδοχικά: y'e2x

+ 2e2x y = 3e2x (ye2x)'

= 3e2x

j(ye2x)'dx=j3e2xdx 2x

=-e2x+c

2 3

y = — + ce'2x,

ceR.

2 ίί)Μία παράγουσα της «(x) = 2 είναι η A(x) = 2x. Πολλαπλασιάζουμε με e2* οπότε έχουμε διαδοχικά y'e2x

+ 2 ye2x

=ex

(ye2x)'

= ex

j ( y e 2 x ) ' d x = j exdx ye2x

=ex+c

y = e~x +ce~2x ,

ceR.

iii)Mia παράγουσα της a(x) = l είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e*, οπότε έχουμε διαδοχικά y'ex

+yex

=ex

(yex)'

= 2e'x

299

·2χ

'Κ·ί·:·χ·:·χ

j(ye')'dx

= 2je' -xdx

ye* +c, =2xe* -2Je'dx ye' = 2xe" -2ex +c y = 2x-2+ce~',

ceR.

iv) Μία παράγουσα της a(x) = 2x είναι η A(x) = χ 2 . Πολλαπλασιάζουμε e ' ' , οπότε έχουμε διαδοχικά y'e'2 +2 xe'2y = xexI (ye'2)' = xe'2 ye'

+c, = I xe' dx

1 1 *2 +c ye x = —e 2

y =—+ce 2

celR.

3. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: ^ =2*v dx x2dx

%=2

jy~2dy = ijxIdx 1

2 = — x3 +c.

1 _ 2x3 + 3c,

3 -3

-3 Επειδή y(0) = - 3 , έχουμε — = - 3 , οπότε c = 1. Άρα c

300

-3 2x3 +1

4. Η εξίσωση γράφεται y' + 3y~2.

Μια παράγουσα της α(χ) = 3 είναι η

Α(χ) = 3χ, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e3' +3ye3' = 2e3' y'e3' +y(e3')'

= 2e3'

(ye3')' = 2e3x J (ye3x)'dx = 2je3"dx 3x ye = —e3' +c 7 3

2 c y=-+t,τ+ 3 1 v 2 2 2 c 2 Επειδή y(0) = — έχουμε — =—+—-, οπότε c = 0 . Άρα y = —. 3 3 3 e 3 5.

i) Μια παράγουσα της a(x) =—i-r— είναι η Α(χ) = εφχ. Πολλασυνχ πλασιάζουμε με c * , οπότε έχουμε διαδοχικά: 1

y'e^+e^—l-y= συν2 χ

συν2χ

(ye^y^e^

— 2 συν χ

ye"* +c, = f e " " — ί — dx i συν x ye"* + c, =je"fx (εφχ)'<& =e"x+c

ye-

y = X+ce'"^ . Επειδή y(0) = - 3 , έχουμε - 3 = 1 + c , οπότε c = - 4 . Άρα ,=1- 4 r .

301

ii) Επειδή x > 0 , είναι x + l > 0 , οπότε η εξίσωση γράφεται , y+

1 1 . ν= lnx. χ+1 χ+1

Μία παράγουσα της α(χ) = —ί— είναι η Α(χ) = ln(x +1). Πολλαχλαχ+1 σιάζουμε με β**χ*η = χ + 1 , οπότε έχουμε διαδοχικά y - ( x + l ) + y = lnx CKx+1))' = lnx y(x+l)+cl

= Jin xdx

y(x+l) = x l n x - x + c

y= x l n x - x + c x+1 - 1 + c

Επειδή _K1) = 10, έχουμε —-— = 10, οπότε c = 21. Επομένως xlnx-x+21 x+1 3.3

Β' ΟΜΑΔΑΣ

Ι. Μία παράγουσα της a(t) = 1 είναι η A(t) = t. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e' και έχουμε διαδοχικά: l\i)e'

+I(t)e' = ε'ημί (/(/)*')' = *'ημί

7(/)e' +c, = J ε'ημίίΛ Εξάλλου έχουμε J β'ημ/ώ = «'ημ/ - J e'amvtdt = «'ημ/ — [ϊ'συνί+J «'ημ/<//], οποτε 2Jβ'τ\μίάί = e' (ημ/ - συν/) +c,. 302

(1)

Άρα J ε'ι\μίάί = -ί e' (ημ/ - συν/)+c, οπότε από την (1) προκύπτει ότι I(t)e' =-^ν(ημ/-συν/)+£:. Για / = 0 έχουμε /(0)e° =

e° (ημΟ - συνθ) + c

0 = —-+c 2 1 c = —. 2 Έτσι, τελικά είναι I(t)et = ~ e ' (ημ* - συν/)+ 7(/) = ^(ημ/-<η>ν/)+^<Γ' 2. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: 2 4y = eΐχ yeyν — dx

ye"* dy = e1*dx. Άρα jye"

dy = ^e2xdx

1 y, 2 =—e 1 2, +c. —e 1 2 2 = e 7 ' +2c, = e2* + c , Επειδή 2

e^ = e

y(2) = 2 ,

έχουμε

e4=e4+c,

ceR. οπότε

c = 0.

Επομένως

, οπότε y = 2 x και άρα y = -J2x , αφού περνάει από το ση-

μείο Α(2,2).

303

3. Μία παράγουσα «(*) = — είναι η Λ(*) = - 1 η χ . Πολλαπλασιάζουμε χ με e

- Μ ,

ι"- 1 , , . . = « * = — . οποτε εχουμε όιαόοχικα χ

, 1 1 1 γ.ν = χx x χ

4 - ' y—

1 = x+c χ y - χ2 +cx,

ceR .

4. Ισχύει y' = xy, y > 0 , οπότε έχουμε διαδοχικά:

,lnv = — + c,.

v>0

y = e ti ' l

v = c-e

c = ec' > 0 .

Εξάλλου ισχύει y(0) = 1, οπότε c = 1. Αρα 2

y =e

ι) Μία παράγουσα της a(t) = a είναι η A(t) = at, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e"

+ae"y (ye"

= fle'"-e' Υ = fie(a

304

i)l

•••••• ···.··:

yea,+cl

= J fie^'dt

ye"

=JLe<'-»'+c

α-λ β -b c y = —— e +—. α-λ e"

Άρα β

y(t) =

1 c —η

a-ke

ceR.

e c

ii) Επειδή a > Ο, λ > Ο ισχύει lim — = Ο και lim — = Ο, οπότε /->+<» g "

/->+«

£» ^

lim y(t) = 0 . 6.

Επειδή θ-Τ>0

η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: άθ

• = -xdt

Θ-Τ r <1Θ

3 Θ-Τ Ιη(θ-Τ) Θ-Τ

= -tct+c, , = -Kt+cl = e'"*Cl

θ(ί) = Τ+ce~",

c = eCI.

Εξάλλου θ(0) = θ0 οθ0

= Τ +c-e°

<*c = 0o-T.

Άρα θ(() = Τ + (θ0-Τ)βκ'.

i) Έστω Ρ,(ί) ο πληθυσμός της χώρας, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση και P2(t) ο πληθυσμός που έχει μεταναστεύσει μέχρι τη χρονική στιγμή ί. Τότε ο πληθυσμός της χώρας είναι P(t) = Pi(t)-P2(t)

οπότε p\f)=p;(t)-p[(t).

305

(ί)

Είναι όμως P\(l) -k-P(t)

k>Ο

αφού έχουμε ρυθμό αύξησης του Ρ, (Ι) ανάλογο του P(t). Επίσης είναι P[(t) = m, οπότε η (1) γράφεται P'(t) = kP(t)~m, ή ισοδύναμα P'-kP

= -m

Μία παράγουσα της α(/) = -k είναι η A(t) = -kt. b

με e~

Πολλαπλασιάζουμε

τα μέλη της εξίσωσης, οπότε έχουμε διαδοχικά: P'e

-ke~bΡ = -me'b (Peby

= -meb

Pe~b +c, = -mj eb dt %

Peb

=—eb+c

P(t) =—+ceb k

Επειδή P(0) = Pa, έχουμε P0 = —+c, οπότε c = P0-—. k k

•R}"·

P(t) = j + \P0~\e",

Άρα

k>0

iii) Είναι P'(t) = (kPj -m)eb — αν m <kP0 τότε P'(t) > 0 , οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται. — αν m > kP0 τότε P'(t) < 0 , οπότε ο πληθυσμός μειώνεται. — αν m = kP0 τότε P'(t) > 0 , οπότε ο πληθυσμός είναι σταθερός. 8.

ϊ) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή t είναι V(t)=xr2y(t)

= xy(t),

όπου r = 1 m η ακτίνα του κυλίνδρου, οπότε 306

V\t) = ny\t). Εξάλλου έχουμε = —7Γ - 0.12 ^/20 ν = -0,02π·^5γ

-a^2gy

Έτσι ο νόμος του Torricelli γράφεται πν' = -0,02nyf5y

ή ισοδύναμα (1)

50 ν "

ii) Προφανώς το y = 0 αποτελεί λύση της (1). Για _y>0 η εξίσωση γράφεται

οπότε έχουμε διαδοχικά: ί ν J

dy = ——^-/+c 50

2 v

"*=z^, 50

= z

a t 100

+ c

l 2

— λ/5 c /+ — 100 2

Όμως ισχύει v(0) = 36 din, οπότε 36 = | — | , συνεπώς c = 12 . Άρα

A /+6 100

v(0

iii)H δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν y(l) = 0 Έτσι έχουμε:

3,(,) = 0

= 0

« /

= ^

100

Λ/5

= ^

= 1 2 0 ^

sec.

9. Η Ε = 0 αποτελεί μία προφανή λύση της διαφορικής εξίσωσης.

307

Για Ε > Ο η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dE

1 -dt RC

ln£

- „e E(t) =

t+c,1

+c1

E(t) = k-eRC,

k =e .

Εξάλλου E(t1) = E0 o£0

»i iL = *e « <*k = E0eKC .

Αρα h-t E(t) = E0e*c . 10.

ϊ)α)Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές των R, L και Ε, κανόνας του Kirchhoff γράφεται 4/'+12/ = 60, ή ισοδύναμα /'+37 = 15.

(1)

Μία παράγουσα της α(/) = 3 είναι η A(t) = 31. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη (1) με e3', οπότε έχουμε διαδοχικά: I'e3' + 3e 3 '/ = 15e3' (7c3')' = 15e3' 7e 3 '+c, = 5J 3e*'dt Ie3' =5e 3 ' + c .

/(0 = 5 + - . e β)Είναι lim 7(/) = lim

/->+<«

/->+OO (

308

= 5.

Από την ισότητα lim 7(ί) = 5 συμπεραίνουμε ότι για «μεγάλες» τιμές /->+ΟΟ

του t η ένταση γίνεται σταθερή και η γραφική παράσταση της y = I(t) έχει ασύμπτωτη την ευθεία ^ = 5. ii) Αν Ε = 60ημ3ί ο κανόνας του Kirchhoff γράφεται διαδοχικά: / ' + 37 =15Εημ3ί I'e3' + 3e 3 '/ = 15£3'ημ3/ (Ie3')' = 15β3/ημ3ί Ie3' +c, = 5 j 3β 3 'ημ3/Λ. Θέτουμε

J = J3β 3 'ημ3/Α, οπότε J = | (β3')'ημ3/Λ = β3'ημ3ί - 3 J « 3, συν3tdt = ε3'ημ3ί - J(e 3 ' )'συν3 /Λ = ε3'ημ3ί -[ε 3 'συν3/+3| β3'ημ3/ί//] = e 3 ' (ημ3ί - συν3ί) - 3 J .

Άρα J = — β 3 '(ημ3ί-συν3ί)+ίι, 4 Λόγω της (2) έχουμε Ie3' - — « 3 '(ημ3/-σον30+ε 4 Άρα / ( 0 = 4 (ημ3/ - συν30 + 4 e 3.4

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε ί) J4 f(x)dx = -£f(x)dx

= -11

309

c,elR.

(2)

mmgm^^mxrn «) £ f(x)dx

= £/(x)dx

iii) | /(*)<& = £ f(x)dx+£

i v ) £ f(x)dx

= - £ /(X)i£c+jj8f(x)dx

f(x)dx

= - 9 + 13 = 4

/(x)«ic = 9 - £/(*)<& = 9 - 1 1 = - 2

= £ f{x)dx+^f(x)dx

= 11 - C'f(x)dx

+ £f(x)dx

+13 = 2 4 - 9 = 15 .

2. Έχουμε r' 1 . r1 I In - f d t = \ (In 1 - In t)dt = - j ' In /df = | ^ In tdt.

η 5 * x* — 4 dx- j^——~dx-3 2 ^

γ 4 ζ !

λ +

] * _ 5 _

J' x + 1

Ji χ

γ * Ji

γράφεται διαδοχικά:

α β 3

4 + 5

^ =

j\dx

(*-l) = 3 £ = 4. 4. Έχουμε

i ) | [ 2 / ( x ) - 6g(x)]dx

= 2 | 3 f(x)dx

- G^g{x)dx

") j j 2 / ( x ) - £(*)]<& = 2£/(x)<£c - j^g(x)dx

= - 2 1 /(*)<&+ |g(*)<fr = - 2 - 5 - 2 = -12.

310

= 2 · 5 - 6 · ( - 2 ) = 22

3.5

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε r2 i) f (3x 2 - 2 x + l)<i*: = [x 3 - χ 2 + x]q =[2 3 - 2 2 +2]—[Ο3 - Ο 2 + 0 ] = 6 Jo

-j7

xji

= [lnx][ +

= Ine-lnl-

-1

2 l^xj,

2 = 1 -

2__2 = 3 •Je

iii)

(συνχ - 2ημχ)ί& =

(ημχ+2συνχ)Ά· = [ημχ+2συνχ],

= ημ—+2συν—-ημθ-2συν0 = 1 - 2 = - 1 ' 2 2

iV)

ί(*

χ)

< & e

f(*

, +

"χ3"

3 1

+ 2

νλ· -1

}

f c

= f*,<fr+f*",<fc+f2«fc

2 + 2(2-1) = [ τ Ι - Η «

1 29 6

2. Έχουμε ι;!£_±^ •" χ +5

λ + 2

|'_^_ ^χ + 5

•2χ χ · ί _ +±7 ζχ ϊ ,α . 2„ι·2 ί -<&· 22 2 Λ χ ++5 Λ χ +5 5

α = ί

Γ χ ^2 + 5τ Ή

3. Έχουμε: 311

xdx =

1-1-2 2

ftlffpfillf 2

= £ [ ( / ( x ) ) 2 ]'dx

f / W W * = £ 2f(x)f(x)dx

= [ ( / ( * ) ) 2 ]f = ( / ( / ? ) ) 2 - ( / ( « ) ) 2 · 4. Επειδή η γραφική παράσταση της / διέρχεται από τα σημεία (0,0) και (1,1) έχουμε / ( 0 ) = 0 και /(1) = 1. Επομένως σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα είναι:

j/'(x)dx 5.

= [/(*)]{, = /(1) - / ( 0 ) = 1 - 0 = 1.

i) Θέτουμε u = συνχ, οπότε, έχουμε:

η*.(Γ = V1 - σ υ ν 2 χ (συνχ)' = V l - σ υ ν 2 χ - ( - η μ χ ) = -ημχ·|ημχ|.

συνι9 θ

Έχουμε r v . - a z t h - t f Y τγχ mw-Jx λ/χ 6.

1 _ -cnWx 2-Jx

i) Έχουμε: 1+-

/ , ( x ) = ( x + v x 2 +!)' _ 2

χ + λ/χ +1

2x 2λ/χ 2 +1 _ 2

χ + λ/χ +1

Vx 2 + 1 + χ λ/χ^+ϊ x + Jx1 +1

v x 2 +1

ii) Αν χρησιμοποιήσουμε το ερώτημα i) έχουμε: ί ' - 7 = = fV'(*)rfr = [/(x)]^ = /(1) - / ( 0 ) 0 °v1 + x = ln(l + λ/2 ) - ln(0 + λ/Γ) = lna+λ/2 ).

312

3.5

ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε διαδοχικά: d_ dx

ί>«Λ)="έ(χ4+χ6) xg(x) = 4x 3 + 6 x 5 .

Επομένως, για χ = 1 έχουμε l-g(l) = 4·1 3 +6·1 5 , οπότε #(1) = 10. 2. Η / ( χ ) γράφεται: / ( χ ) = £ e m 2 ' a + J*+' em2"dt

= - J * ¢ - ^ +J"' e^'dt,

οπότε έχουμε: __ _^συν2*χ

^cn)v2jr(.r+l)

_^συν2«χ

^ συν(2πχ+2*)

__^Σΐ)Ν2ΧΪ _J_^<N»V2*X __ Q

Αυτό σημαίνει ότι η / ε ί ν α ι σταθερή. 3. Έχουμε: /'(*) =

χ-2 _ χ - 2

και τον πίνακα χ

-οο -

/'(*)

/(*)

2 0 .

min

+ /

Η / είναι γνησίως φθίνουσα στο (-<»,2], γνησίως αύξουσα στο [2, + οο) και παρουσιάζει ελάχιστο στο χ 0 = 2 , το / ( 2 ) = 0. 4. Είναι F'(x)

=Ix j 7 ( W j

= j/(,)<ft+x/(x) 5. Έχουμε: 313

F\x)

,-+-

l + x1

γ·2

1+ -

1+χ2

χ 2 +1

-= 0.

Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή. F(x) = e,

x e (0, + αο).

Είναι όμως, F(l) = Γ — d t + Γ—ί— dt = 0. Επομένως Jil+r -Λ 1 + r F(x)

= 0,

xe(0, + oo).

6. Έχουμε: +t2dt

lim—· f *-»o h «

^5+t2

= lim *->o

(μορφή 2 )

h [£ ^dt = lima-0

(/,)'

(κανόνας De L' Hospital)

= limJ5 + (2+A)2 λ-+0 *

= V9 =3. 7.

i) Θέτουμε m = x 2 - 4 , οπότε du = 2xdx. Τα νέα όρια ολοκληρώσεως είναι Η] = 42 - 4 = 12 και u2 =6 2 - 4 = 32 . Επομένως,

γ * a - i r * " ^/x 2 - 4 2 ji2

= Λ/32->/Ϊ2 =4λ/2-2λ/3

ι 2

ϊϊ)Έχουμε: f * 2 1 1ημ(συνχ + χ)ημχ:-ημ(συνχ+χ)]£&= 12 ημ(συνχ + χ)[ημχ - l]i£c. Jo Jo 314

Θέτουμε u = συνχ+χ, οπότε du = -(ημχ - \)dx. Τα νέα όρια είναι u,1 =συν() + 0 = 1 και w, = συν—+— = —. Επομένως, 2 2

Ρ ημ(συνχ + χ)[ημχ-

\\cix = —J2 t[\iudu

= [ouvw],2 = συν — συν1 = -συν1. 8.

ϊ) Έχουμε: £ (χ2 -1 χ -11 )ί& = £(x2 + χ - *)<& •+ £ (χ2 - χ + l)dx Γ χ3

+ •

ί 3

ο Lτ

~ί

+1=

3 2

οπότε έχουμε

[-π,π]

j"° xrfr+ημτώτ =

f(x)dx=

·+χ

5 3

1 , 7 3 ,

3 2

χ2

-1

~Χ

=- +

ii) Η /είναι συνεχής στο

χ3

[συν]*

712

7γ2

= —— - (συν7Γ- συνΟ) = ——+2. iii) Το τριώνυμο χ 2 - 3 χ + 2 έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 2 και το πρόσημο του φαίνεται στον πίνακα: χ χ -3χ+2

— <χ>

+αο +

Επομένως έχουμε: £ | x 2 - 3 x + 2|e6r= | o (x 2 ~'ix

(-χ2

+ 2)dx+j^

+3x-2)dx

f (x 2 -3x + 2 ) d x

~)1

—χ +2χ

3 -|1

13~2

8 1 + 2τ!+ Γ— + 6* - 4, + 3

+! - - + - χ ' - 2 χ

J'L7

315

3 3

27 3

3 2,

„

χ +2χ

+6—+6-4 3

11 6

i) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε; Γ* ί Η Λ = 2 Γ" Jl

-Jx

& = 2 Γ' (·>/*)'; Inxnx 2-Jx

= l U f x lnx]f2

= 2elne2

-2f

-Jx—dx

-21n/

2-Jx

= 4e-4[Vx]' = 4e-4(e-l) = 4. ii) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε: 'dx = -jx(e~x

^xe

ίϊί)Θέτουμε νως: /•1

u=9

+ x2,

οπότε

)'dx = ~\xe

'\o

du = 2xdx,

1 /*10

|xln(9+x )<& = — £

e %(ix 0

«, =9 και m 2 =10. Επομέ-

1 p10

In udu = —j(u)'\nudu

I01nlO_91n9_I

u\nu

2j"

9 1 = 51nl0—In 9 — . 2 2

iv) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε. *

1 -

= |[e^2x]0J

-||02ημ2x-e'dx

I = p εΧσυν2χα!χ: = — 0 e" (ημ2χ)'βίχ

1 -

= 0+jj2ex(aw2x)'dx

—β*συν2χ 4

j —

316

Ρ e"<m\2xdx

4 Jo

= —β 2συνπ—e

ι ο

, η συνΟ —1 7,

οποτε 1 2- -1- < = > / = - - 1( e 2- +1). -57 = --<? 4 4 4 5 10. Έχουμε: κ I+J

=ρ

χημ2χ£&+J* xcmv2xdx = 2

= f2 xdx =

χ(ημ 2 χ + συν2χ)ώτ

π1

Επίσης κ

1 -J

= p χ(ημ 2 χ- συν2χ)άχ

= ™ ft x(i\\i2x)'dx

xmsvlxdx

[χημ2χ]02

x\\i2xdx

2 - η μ π - Οα = -[συν2χ] 4

= -—(συν7Γ-συνΟ) = —-(-1-1) = - . 4 4 2 r I+J

π =—

Αν λύσουμε το σύστημα

βρίσκουμε

7-7 =1 2 π2

I-—+—

και J

π2

11. Επειδή / " συνεχής έχουμε: /(χ)η μχΛχ+J'/ "(χ)η μχώ = 2. Όμως είναι: /J /"(χ)ημχ<& = [/'(χ)ημχ]ο "]Γ/'(*)(ημ*)'<& 317

(1)

= -|£/'(χ)συνκώ· = -[/(χ)συνχ]* +|/(χ)(συνχ·)'ώτ = / 0 0 + /(0) - £ / (x)wxdx = 1+/(0)-£/(χ)ημχώ: Έτσι, ί| σχέση (1) γράφεται £ /(χ)ημχ<& +1 + /(0) - £ / (χ)ημχΛ = 2, οπότε / ( 0 ) = 1. 12. Επειδή οι / " και g " είναι συνεχείς έχουμε 7

" Γ (/wg"w-/"w^w)^

- Γ /(*)£"(*)<&-£' f"(x)g(x)dx =[f(x)g'(x)Ya -[f(x)g\x)dx-\J'(x)g(x)Ya = Afig'ifl)

- f(a)g\a)-[f{fi)g(fi)

+j'f(x)g'(x)dx

- f'(a)g(a)]

= / ( / 0 g ' l f l ) - f ' ( f l ) g i f i ) , (αφού / ( a ) = g(a) = 0) = Afi)g'(fi) ~ g'ifi)g(fi),

(αφού /'(/?) = g'(fi)i*

= g ' o w w - g m

3.6

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε: 0 =

Jo(/(x)~l)dx=if(x)dx~ildx=£/(*)*-:1'

οπότε

J o '/(x)rfr = 1 »

=1» / =1

2. Έχουμε:

318

ο = £ ( / ( * ) - *)<& = f /(*)<& - £ =

- «),

οποτε j'/(*)<** = ηβ-α)

/(*)<** = * < = > / = * ·

3. Έστω η συνάρτηση f ( x ) - x , χefa,/?].

Τότε η μέση τιμή χ του χ

στο [α,/?] είναι: 2 1 "χ " /?-α χ „

β2 -α2

1 β-α

γ βλ 1

β~α

α„2 1 2

α+β

3.6

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε: f = ^ \ " x ^-α·>« ^

d x = - l _ z l z £ l β-α 3

_ ^ γ ' _ ! _ /?-«•»«

λ =

_ 1 _ γ ζ ΐ ί β - α Υ χ \

β-α

αβ

αβ'

£ l ± « ^ i 3 _ ^ ί ΐ _ ΐ 1

β-α{α

β)

οποτε 7—

/ g = -

α2+αβ

+ β2

1 αβ

α2+αβ

+ β2

3 αβ

Έτσι, έχουμε ν α δείξουμε ότι: α2 +αβ + β2

·>1<=>α 2 +αβ + β2 >3αβ

3αβ <=>α2 -2αβ

+ β2 >0<=>(α-/ϊ)

που ισχύει. Επομένως είναι f

g > 1.

2. α) Έχουμε:

319

>0,

1 Γ*

ο =— f v(r)dr R Jo

1 f* ρ , , = — I — (R2-r2)dr Λ J o 4ni

4 Rnl

γ" ·> •, (R -r )dr 4Rni Jo

r f

Ri -

4 Rnt < Ρ

R2(R-0)4Rn£

3 J

2 R3

6 nt

β) Εξάλλου έχουμε: v\r)

(-2r) =

4w£

-Pr

< Ο, για κάθε r e (0,R).

2n^

Όμως η v-v(r) είναι συνεχής στο [Ο,Λ], οπότε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ο,Λ]. Επομένως η μέγιστη ταχύτητα είναι: =υ(0) =

PR2

4 nt Προφανώς ισχύει

>υ.

3. Έχουμε J/(x)dx

= f ( 1).

(1)

Επιπλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e (0,1) τέτοιο, ώστε //(*)<& = / ( £ ) .

(2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι / ( £ ) = /(1), οπότε στο διάστημα [£,1] ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 e (£, 1) τέτοιο, ώστε / ' ( x 0 ) = 0. Επομένως η c f έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη. 3.7

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Το τριώνυμο f ( x ) = χ2 -2χ+3 έχει διακρίνουσα Δ = -8<0, οπότε ισχύει f(x)>0 για κάθε x e R . Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 320

3.7 Ε = f ( χ 2 - 2χ + 3 ) d x •• Jo

——χ2 +3χ 3

= - - 4. + α6 = -

τετρ. μον.

i) Πα κάθε χε[0, + αο) ισχύει /(χ) = \[χ > 0. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 27

- r ^ d x = Jo

ii) Για κάθε xe 0,— ισχύει /(*) = .

συν

— > 0. Επομένως το εμβαχ

δόν που ζητάμε είναι χ

Ε = f 3 — ί — ί/χ = [εφχ·]0' = εφ —-efO = S Jo συν χ 3

τ.μ.

3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ2 - 3 χ = 0, δηλαδή οι αριθμοί 0 και 3. Επειδή / ( χ ) < 0 για κάθε χ e [0,3], έχουμε: Ε = [ 3 | / ( Χ ) I dx = - f f ( x ) d x JO

= - f (x2 - 3 x ) d x = -

—x

3 ,,

= — •9

27 3

9 =— τ.μ. 2

4. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων C f και C, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται:

Ax) = g(x) ·-

χ3 = 2r-x 2 ' " rx-2)

«ΐ>χ = 0 ή χ=1 ή χ--2.

321

Το /(*)

πρόσημο x

- g( )

χ3

της χ1

διαφοράς

~ 2χ = χ(χ - 1)(χ+2)

φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

+χ> +

—2 ο

-οο

Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: E

= f j / ( x ) ~ g ( x ) \ d x = f _ 2 ( / ( x ) - g(x))dx

= |°2(*3

χ4

+x2

χ3

+ £(#(*)

- f(x))dx

-2x)dx+j(2x-x2

-x3)dx

χ2

. 8 1 1 = - 4 Η (-4 + 1 3 3 4

χ4

10 3

4~ 1 4

37 — 12

τ . μ.

5. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = 4-χ2 και g(x) = x-2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται f ( x ) = g(x)*>

Το

4-χ

- χ-2

<=> χ1 +χ-6

<=> JC = —3

πρόσημο

f ( x ) ~ g ( x ) = -χ1

της - χ +6

χ = 2.

διαφοράς φαίνεται στον

παρακάτω πίνακα

/"(*)-«(*)

-οο

-3

+»

I ο + ο I

Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 322

e=l3\m-g{x)\dx

= j"

( - χ

6)dx =

8 4 -12 3 2

—

3.7 1.

"27 3

Β '

+ 6x

9 1 18 = 20 + — = 2 6 6 ™

τ.μ.

Ο Μ Α Δ Α Σ

i) Επειδή /'(χ) = 6χ έχουμε /'(1) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο Λ(1,3) είναι: e.y- 3 = 6(x-l) ο y = 6x-3 ii) Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο

ZiQ-,oj Επομένως, το εμβαδόν που ζητάμε είναι: Ε = ε, +ε2 =| 2 3χ 2 ί/χ+Γ (3χ2 -6χ+3)dx °

= [χ 3 ]q +[χ 3 -3χ 2 + 3χ]\

ν=3* 2 \

1 , „ , (1 =— + 1-3 + 38 Ιδ

ϊ 1 ι— =— τ.μ. 4 2J 4

\ Ο

G] Μ*~-~ -Βι

2. Επειδή

lim f(x)=

jr—»1

lim /(χ) = /(1),

χ—»1+

η συνάρτηση/είναι συνεχής και στο σημείο 1, οπότε αυτή είναι συνεχής σε όλο το R . Είναι φανερό, επιπλέον, ότι / ( χ ) > 0 για κάθε xe[-l,2], Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 323

- -ι ! i 111111

Ε = \ \ f(x)dx

- + 3x

(-χ2

+ 3)dx + £ l4xdx

= 4 + - ^ 2 τ.μ. 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της Cf και του άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης /(χ) = 0, δηλαδή οι αριθμοί 1 και 5

Στο

η / είναι και συνε-

1,-

χής και ισχύει / ( χ ) > 0 . Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

Ε = p / (x)dx 5

= | (-χ2

+4x-3)dx

+ j* (~2x + 5)dx Ί2

- ^ - + 2 x 2 - 3 x | +[-χ 2 +5.ν]ΐ

= - 8 + χ 3

( 4

+ 2 - 311

4. Οι τετμημένες των σημείων τομής των Cy και Cg είναι οι ρίζες της εξίσωσης f ( x ) = g(x),

που γράφεται 324

HI)

τ.μ.

x+1

f ( x ) = g(x) <=> λ/^-ϊ

2 ο x - l · (x + l)

» x 2 - 7 x + 10 = 0 » χ = 2 ή χ=5. Εξάλλου, για χ > 1 έχουμε: x+l

/(x)>g(x)»x-l> »x2

-7x+10<0

<=> 2 < x < 5 .

Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: =

Ε = £ ^λ/χ-1 -

j2' ^ x ~ u l x ~ i j / * + •w* •

Στο 1° ολοκλήρωμα θέτουμε u -x-1, και έτσι έχουμε:

οπότε du = dx, Μ, =1, «2 =4 ι*

ε=

γu2du—

25 . . . —+5-2-2

-+x

ϊ) Έχουμε f(e) = l = g(e). Άρα το σημείο A(e,l) είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων Cf και Cg των συναρτήσεων / και g. Επειδή η / είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η g γνησίως αύξουσα, οι Cf και Cg έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Α. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν Ε(λ) ισούται με

325

Ε(λ)=[

Inxdx

+ f —dx.

Je χ

Είναι όμως I 1ηχί/χ = |(χ)Ίηχί/χ = [xln x]'

-j'dx

= e l n e - ( e - l ) =1. Άρα Ε(λ)= f Inxc/x+f — </x = l + e[lnx]^ Jl

Je χ

= l + elnA-elne = l + e(lnA-l). ii) Επομένως, lim Ε(λ)= lim[l + f(lnA-l)]

A-»+<o

A—>+«o

(1 -

e) + e

6. Η τετμημένη του Α είναι η λύση της εξίσωσης 3* =3 , που είναι ο αριθμός 1. Η τετμημένη του β είναι η λύση ν=χ του συστήματος < , που ειΙ.ν = 3 ναι ο αριθμός 3. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με:

^(3* -

x)dx

+1 (3 - x)dx =

* dx -

+00.

1 χ2 V" + 3x 2 0 2

In 3

ν-3

lim (In λ)

λ ->+«3

Γ 9 , 3+ 9 2

[3-1J, 1 + ^6 — = + — τ.μ. 2 In 3 2

Γ,

326

7. Η τετμημέλ'η του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης χ2 -2χ

+ 2 = χ2 -1,

που είναι ο αριθμός χ = —. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με:

£ = - j V 2 -!)<&•+p (χ2 -l)i/r + J32(x2 -2x + 2)dx

-χ

1 f 3^

2 ^ χ + 2χ

-1-1+1

£7

- - 1

7τ

= 4

' y·

ί) Οι εξισώσεις των εφαπτομένων ε, και ε2 της C { στα σημεία Ο και Λ αντιστοίχως είναι:

\$/

«ι - y ~ / ( 0 ) = /'(0)(x-0) και

/ 0

ε 2 : y - f ( n ) = f'(K)(x-n)

! π/2

π >

" \1

Επειδή / ' ( x ) = συνχ έχουμε: /'(0) = 1 και /'(jt) =—1, οπότε e, :_V = x

και e2:y = -x+n.

ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Β των ε, και

είναι η ρίζα της

εξίσωσης χ = -χ + π, δηλαδή ο αριθμός χ ~~~· Επομένως το ζητού-

327

μενο εμβαδόν είναι: *·

e = [>(x-r\vx)dx+\a-x

+ *-rwx)dx

2 χ2 — + συνχ + 2 0 _2

— χ2

+ πχ + συνχ

7^ 1 - 7 1 2

7Γ

= — + συν—συνΟ 2

+ ττ + συνπ

712

_2 71

συν—

= -^— — 2 .

4 9. α) Έχουμε

/'(*) =

xe(0, + oo),

2-*/x

y - v*

οπότε /'(1) = — και η εξίσω=r

ση της εφαπτομένης ε είναι:

, „

ιι

ι ι I

ν —1 = — (χ-1)<=> ν = — χ + — 2

Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο με τετμημένη -1. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: £ =

Γ , ( γ

χ1

Ϊ )

λ +

0 '

Ϊ -

, /

* )

4 =

1— χ

χ2

—+—2 —

1 1 1 1 2

χ2

1—+ 2 4 2

1 =— τ.μ. 3 3

β) Εξετάζουμε αρχικά αν υπάρχει ευθεία χ = α με αε[-1,0] η οποία χωρίζει το χωρίο (Α) του (α) ερωτήματος σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Δηλαδή αν υπάρχει τιμή του a e [ - l , 0 j τέτοια, ώστε να ισχύει: χ , =— ε <=> χ 1 2 4 2

Γ ( - * + - ) αχ

328

3.7 <=>

α α 1 1 1 „ , , 1 ί— — — 3α + 6α + 1 — Ο . 4 2 4 2 6

Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α, =• -3-λ/6

-3+V6

και

. Από αυτούς μόνο ο α, ανήκει στο διάστημα [-1,0].

Επομένως η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: -3+^6

Λ* =

Αν εργαστούμε ανάλογα για α ε [0,1], βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ευθεία χ = α που να χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Αυτό. άλλωστε, ήταν αναμενόμενο. 10. Έχουμε g(x) =

In 1 - In x = - In x.

v = lnjr

που σημαίνει ότι η Cg είναι

συμμετρική της cf ως προς τον άξονα x'x. Η τετμημένη του Α είναι ρίζα

y = ln2

1/2

της εξίσωσης In — = Ιχι 2 . που χ

είναι ο αριθμός

~ ~ · Η τε ~

ν = Ιιιτμημένη του Β είναι ρίζα της εξίσωσης lnx = ln2, που είναι ο αριθμός χ = 2. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ι(

/'- = I. I In2-In — ( = 1 ii 2|

Γf' 2" · 2 ·

|c/x-t

In x)dx γ2

j + j! In χώτ +In 2(2-1)-J Inxdx

ln2+[xlnx] 1 1 — J, k/x + ln2-[xlnx]f +1Xdx :

— In 2 + 1 In 1

In — · 2

+ In 2 - 2 In 2 + 1 In 1 + 2 - 1 2)

329

=1ΐη2+1ΐη2-1-1η2 +1 2 2 2 ι ~

11. i) Έχουμε /(0) = 2 και /'(x) = 2x-3. Από τον τύπο J f'(x)dx

= f(x)+c

έχουμε διαδοχικά

J ( 2 x - 3 )dx = f(x) + c x2

-3x = f ( x ) + c / ( x ) = x2 -3x-c.

Είναι όμως, /(0) = 2 <=> - c = 2 <=> c y,

Επομένως,

= -2.

/(x) = χ 2 -3X+2 . ii)Oi τετμημένες των σημείων τομής της Cf με τον άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ2-3Χ + 2 = 0 δηλαδή χ , = 1 και

χ2 = 2. Επειδή χ2 - 3χ + 2 < 0, όταν Λ: e (1,2), το ζητούμενο εμβαδόν είναι: χ3

£ = - | (χ2 -3x + 2)dx = -

— χ2

3— 3

+ 2χ

12. ί) Η Cf τέμνει τον άξονα των x στα σημεία Λ(1,0) και £(3,0) Επειδή /'(χ) = (χ2 - 4 χ + 3)'= 2 χ - 4 , έχουμε /'(1) = -2 και /'(3) = 2. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο ,4(1,0) είναι: Λ ' - Ζ α ) = / ' ( 1 ) ( * - 1 ) <=> ^ = - 2 J C + 2

ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης στο 5(3,0) είναι: 330

3.7 ν - /(3) = /'(3)(Λ--3)ον = 2 χ - 6 ii) Η τετμημένη του σημείου τομής /' των εφαπτο μένων είναι λύση της εξίσωσης -2χ + 2 = 2χ-6 δηλαδή ο αριθμός .ν=2. Επομένως το σημείο τομής τους είναι το /'(2,-2).

Λόγω της συμμετρίας του σχήματος έχουμε: •

(χ2 -4x

e, x

= -2

+ 3)dx

η 2, - 2 ) -2χ2+

3χ

= -2 ( 8 —

και (χ2 -4x

ε2 =2^

= 2

χ +x

Άρα

—

= —

(χ2 -2x+l)dx

+ 3 + 2x-2)dx=2^

= 2 -8- 4,+ 2, - -ι + ,1-1,1 _ 2 3 3 ~3 1

= 2 .

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ 1.

ί) Θέτουμε

u = n-x,

/ =

ρττ

οπότε

du--dx,

«, =π,

ιι2 = 0.

/·0

χ/"(η[ΐν)ί/τ = - (π- — w)/(ημ(7Γ -u))du j/r

= - J nf(x\\ui)du

+1uf(x\\w)du

= π \ f (i\\w)du -1. JO

Επομένως

21 =

f (\\\w)du

οπότε

331

I = — J/(ημχ)ί/.ν

Έτσι έχουμε:

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ ΟΜΑΔΑΣ

ii)Σύμφωνα με το ερώτημα (ί) έχουμε: j

r j w l .

2 Jo -?4-nn 3+ημ χv

£ r

i r

d x =

2 27 Jo J° ^Ϊ4-Ιΐιι 3 + ημ'χν

Jo 72 Jo 4-συν χ

Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -ημχ<&. Επομένως: π

τ 1

f '

2 Ji

4-u2 ~

f ' -4

2 J.

Αναζητούμε α,/?εΚ τέτοια, ώστε να ισχύει:

—-—= u

-4

η——

u-2

u+2

ή, ισοδύναμα, (α +/?)w + 2 ( a - β ) = 1, για κάθε » e R - { - 2 , 2 } . Η τελευταία ισχύει για κάθε weR -{-2,2}, αν και μόνο αν 1

α+β=0

2(α-/?) = !

<=> α = — και 4

ι β =—

Επομένως 1 _ι γ , - σ γ ' - ϊ - α + ΐ γ ϋ * 2 Ji « - 2

2 Ji

u+2

= --[1η|«-2|]Γ' - - [ l n | « + 2|]r l L ,J 8

— (In3-lnl)-—(lnl-ln 3) 8

=—ln3+—ln3 =—ln3. 8 8 4 2.

i) Αναζητούμε α,β τέτοια ώστε —^— = —— + —— ή, ισοδύναμα, χ~ -1 χ —1 χ +i 1 =(α+β)χ+(α-β), για κάθε i e R - { - 1 , 1 } . Η τελευταία ισχύει για κάθε i e S - {—1,1}, αν και μόνο αν \α. + β = 0 \α-β

1 α>α = —

και

β =—

Έτσι τελικά έχουμε: ί 2 -2 ^ - = - ί2 —

J, jc - 1

2 1 χ-1

- - Π — = —[In|λγ-1 |]= - - [ l n | j c + l|]02 2 J> χ +1

332

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ' ΟΜΑΔΑΣ

— [in —— 1η ί] - — ί 1η — - In 1 2i

i f1 In , 1— •In— = 1—. In-42 =ι -, I' n -

2 =i n = Λ/3

-inv3 .

ii) Έχουμε: 1

Ι- ημχ Θέτουμε

./,

J ημ χ

u = συνχ,

οπότε

Χ 1-συν x

ί/w = -ημχί&,

κ^συν—= —

ζ^, = συν-^ = 0 . Επομένως /

{•· du

ι·'

Γ; (& = - Γ ~= ' ημν ; 1 - u~

ί/w

u' -

= lnv3 1

(από ι)).

3. Για u Φ -1,-2 αναζητούμε α,βΒ R τέτοιους, ώστε: 1

(ιι +1)(« + 2)

u +1

β - +

u+2

ή, ισοδύναμα, 1 = α(«+2) + /?(«+ 1). για κάθε « * - 1 , - 2 (α + /?)« +2α + β-1 = 0, για κάθε « * - 1 , - 2 Η τελευταία ισχύει για κάθε κ e R -{-1,-2}, αν και μόνο αν α + /ί=θ] 2« + /? = lj

ί α=1 [y? = - l '

Επομένως ί J (u

! +1)(«

Λ =

Ι * - - Ι - ± .

+ 2 )

2/ + 1

J u+ 2

= ln|w+l|-ln|w + 2| + c 333

και

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

i) Θέτουμε « = ημχ, οπότε γ J

Επομένως

du = <jvvxdx.

συνχ , ( (ημχ η μ χ ++11)(ημχ+2) )(ηιιχ+2)

ff -

du J J(w ( + l)(w + 2) = ln|M + r | - l n | w + 2|+c· = In I

ημχ + l

J — In

| ημχ + 2

|+ c

ii) Θέτουμε u = e , οπότε du = e'dx. Έτσι έχουμε ί dx= f — = ln|ejr+l|-ln|ej:+2|+c J (H + 1)(« + 2) J (e + 1)(e + 2 ) = i n ^ ' +1) — ln(£* + 2 ) + c .

i) Έχουμε: I j2v+]

| ^2v+3

κ + k+\ = JJo - — j d t 4- Jfo - — γ ώ

l +/

l +r

1I +, / /

2v+2

2v + 2

2^ + 2

f1 1 , 1 f1 ( ' + 1 ) , " ) i0 = ( ~ r d t = ~ f — ; dt

1+ /

(/-+1)

= I[ln(/2+l)]i=I(ln2-ln1) = I l n 2 . Εξάλλου από το ερώτημα i) έχουμε Ι 0 +/, = I1 =

=-—— In 2 = 2

—

= -ί , οπότε

(1 — In 2).

Επίσης είναι / ,2 +/, = — ? — , οπότε '

2-1+2

•

ι ι ι , ^ ι . „ ι

Ι 2 = — /, = * 4 ' 4 5.

1—ln2 = — In 2 — . 2 2 4

Θέτουμε g(x) το 1° μέλος και h(x) το 2° μέλος και έχουμε.

334

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

g\x)

= ^χ|ο

Γ' ΟΜΑΔΑΣ

f(u)du-juf(u)du

= ί f(u)du+xf(x)~xf{x)= JO

Γ/(u)du Jo

και h\X)

=[ f W .

Δηλαδή ισχύει g'(x) = h'(x) για κάθε x e R . Επομένως, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g(x) = h(x) + c ή, ισοδύναμα. jQ /(")(*-u)du

\Jj(t)dt\du

, για κάθε

IR .

Για x = 0 έχουμε: Jo /(»)(0-u)du=

^f(t)dt^jdu

+ c<=>0 = 0 + c o c = 0

οπότε έχουμε: [ f ( u ) ( x - u ) d u = \'(\j(t)dt\du

i) · Η συνάρτηση g(u) =

- 1 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

Α = (-οο,—1] u [1,+°ο).

Άρα, για να ορίζεται η / πρέπει τα άκρα 1, ί να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του Α. Άρα πρέπει t e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού τ η ς / είναι το [1,+οο). Για να ορίζεται, τώρα, η F πρέπει τα άκρα 1, * να ανήκουν στο διάστημα [1,+μ) που είναι το πεδίο ορισμού τ η ς / Άρα πρέπει χ e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το [1,-κ»). ii) · Έχουμε F'(x)

= f ( x ) = I* V«2

-Idu

οπότε F"(x)=f'(x)=y[T^l.

Επειδή F (x)>0 στο (1,+<») και ξουσα στο [1, + οο), οπότε: 335

F"( 1)

= 0, η

είναι γνησίως αύ-

ΓΕΝΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

® η /'"είναι κυρτή στο (1, + οο) και • F'(x) > F'(l) = 0 για κάθε xe(l, + oo). Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+αο). 7.

i ) F(x) + G ( x ) = ί β'(συν*ί+χ\μ2ί)Λ

= β*-1,

(1)

και F ( x ) - G ( x ) = f β'(συν 2 ί-ημ 2 ί)<Λ Jo

= f β'συν2tdt = K(x). Jo

Όμως, είναι ΑΓ(λ-) = [ίί'συν2ί](Λ, -f- f 2^'ημ2tdt Jo

= β'συν2χ-1 + 2[β'ημ2/]ο - 4 | e'<mv2tdt = ex Gxn\2x-\

+ 2exi\\i2x-4K(x)

οποτε 5Α^(χ) = β ί (συν2χ + 2ημ2χ)-1. Άρα =-^-(συν2Λ· + 2 η μ 2 χ ) - j .

Κ (χ) = F(x)-G(x)

(2)

Με πρόσθεση των (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει ότι: 6

2F(x) = — (συν2χ + 2ημ2χ) + e" - — F(x) = — (συν2χ + 2ημ2χ) + 10

—.

Από τις (1) και (3) έχουμε G{x) = ex - 1

(συν2χ + 2ημ2χ)

ex =-

4 (συν2χ + 2ημ2χ) - —

ii) Επειδή F'(t) = e'<n>v2r, έχουμε 336

+— 10

(3)

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ 2π

1 = [F( χ)]2* =

+ 2ημ4;τ) +

(συνΑπ

e' , „ , -, χ (συν27τ + 2ημ2;Τ) 10 ln

e* 2

Η 10

5'*,'""ι,·

Επειδή G'(/) = ^'ημ 2 /, έχουμε J = [G(x)]/ = 2*

e2"

e2*

(συν4ττ + 2ημ4/τ)

(συν2ττ + 2ημ2π)

* * 2 — +— =- e ' ( e ' - l ) . 2 10 5

8. Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ 2 +1 = 5, δηλαδή οι αριθμοί χ, = -2 και χ2 = 2. Οι τετμημένες των Γ και Δ είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ 2 +1 = α 2 +1, δηλαδή οι αριθμοί χ, = -α και χ2 = α . Το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από την ευθεία ν = 5 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι:

£· = |^(5-χ 2

β*

-\)dx-

+ 4χ

3 =

+ 8

-«+8 =^ .

Το εμβαδόν ε του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ν = α 2 +1 και τη γραφική παράσταση της ν = χ 2 +1 είναι:

ε = ίj-a (α2 +1-χ2 -1)ί/χ= j fa (α2 - χ2 )dx = α2 (α + η) . ί ιβ (χ = 2α - — + —

2 33 =—α _ 4 _3 = 2α3 - —« 3 3

337

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ ΟΜΑΔΑΣ

Το Ω χωρίζεται από την y = a2 +1 σε δύο ισοεμβαδικά χωρία, αν και μόνο αν Ε 4 α3 =32 1 <=> 4α 3 =16<=i>« 3/τ ε =— <=>— = v4. 3 2 2 3 9.

ί) Αν 0 < Α < 1, τότε

ι y 1

γ'2

i1 jv = —j" ^

, ίΐ = Ι - ι . λ

-1

I f c * — 0

a 1

Αν Α>1, τότε χ

Ε(λ) -

£ Jxx

dx =

-1

Αν Α>1, τότε Ε(λ)=

ί -^—dx= ί χ 2dx = ji χ ji

= 1—

ii)Av 0<Α<1, τότε £(A) = -1 o i1 - l 1 = i « A = -2 . 2 Α 2 3 Αν Α >1, τότε: Ε(λ)

= — <=>1- — = — » Α = 2 2

ίίί)Έχουμε: lim £"(Λ) = lim — 1 = l i m — 1 1 = +00 και

lim Ε (λ) λ—>+οο 10. i) Ισχύει κά:

= lim 1 — = 1. λ—>+°ol

f(x)-g(x)>

0, για κάθε

χΕ[α,β],

ί (f(x)~g(x))dx> ja ί

οπότε έχουμε διαδοχι-

y ( j c ) c 6 c - f ^(λγ)οεχ- 2:0

f(x)dx>j

338

g(x)dx.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ π)Για κάθε κα:

Γ'ΟΜΑΔΑΣ ισχύει

χ&[α,β]

m < f ( x )<Μ

'β

[β ηκίχ<, Ι J(x)dx

, οπότε έχουμε διαδυ

(β < I Mdx Ja

ρβ f (x)dx < Μ {β - a) ja

/»(/?-«)<

iii) Είναι: f \

χσυν

) =

-'ΐμ* X2

~£(px < ο X2

συν2χ x 2

αφου χ - ε φ χ < 0η και

!t >0rx για x e „0,— συνχ V 2

Επομένως η/είναι γνησίως φθίνουσα στο ί 0,— |. α) Για x e

(πΛ

ισχύει —<x<—, οποτε

6 ' τ

f\ — > / < * > * / i f U

αφού η / ε ί ν α ι γνησίως φθίνουσα. Έτσι. 3 ημχ 3Λ/3 —> > π

, . 3Λ/3 ημχ 3 ή ισοδύναμα, < -ϋ-— < —

2π

β) Σύμφωνα με το ερώτημα ϊ) θα ισχύει ρ

76 ^ 2π

γί 2π {3

J-6 π

η μ ν d x

J-

^ ( π π^3

ίν) Είναι /'(x) = -2xe ' <0, για xe(0,+oo) επειδή η / ε ί ν α ι και συνεχής σιο [«>,+*>). η / θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο). α) Από την ανισότητα ex >l + x, αν θέσουμε όπου χ το - χ 2 , προκύπτει e'"1 > 1 - χ 2 .

339

(1)

ΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ'ΟΜΑΔΑΣ

Εξάλλου, επειδή η/είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο), για xe[0,l] Οα ισχύει / ( * ) < / ( 0 ) <=> ε~ χ1 < 1.

(2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι l-x2

<e~'2 <1, για xe[0,l].

β) Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει £ ( 1 -x2)dx<,

je~*2 dx<^\dx

I·1

- < \J e

dx< 1.

Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ).

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

ΕΚΔΟΣΗ

ΑΡ. ΣΥΜΒΑΣΗΣ

ΙΑ' 2 0 0 9 · Α Ν Τ Ι Τ Υ Π Α

Ε Κ Τ Υ Π Ο Σ Η : Τ Ζ Ι Α Φ Α Λ Ι Α Ε Υ Θ Υ Μ Ι Α - Β Ι Β Λ Ι Ο Δ Ε Σ Ι Α : Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Α. 8 Σ Ι Α Ι Τ Ε Τ

340