Finanzmathematik, Aufgaben und Lösungen by EducationalApps

Finanzmathematik, Aufgaben einfach gelöst mit FinCalcPro

Finanzmathematik Aufgaben einfach gelöst mit FinCalcPro 1. Auflage

von Francesco Grassi www.educationalapps.ch

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Finanzmathematik, Aufgaben einfach gelöst mit FinCalcPro

Inhaltsverzeichnis VORWORT..................................................................................................................... 3 SYMBOLLISTE..............................................................................................................4 FORMELSAMMLUNG................................................................................................ 5 Kap.1 Prozentrechnung............................................................................................................7 Kap.2 Zinsrechnungen 2.1 Lineare Zinsen................................................................................................................ 11 2.2 Zinseszinsrechnung.........................................................................................................14 2.3 Unterjährige Zinsen........................................................................................................21 2.4 Stetige Zinsen.................................................................................................................. 28 Kap.3 Rentenrechnung 3.1 Vor- und nachschüssige Renten, Barwerte................................................................... 31 3.2 Ewige Renten...................................................................................................................38 Kap.4 Abschreibungen 4.1 Lineare Abschreibung.................................................................................................... 41 4.2 Degressive Abschreibung............................................................................................... 43

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Finanzmathematik, Aufgaben einfach gelöst mit FinCalcPro

VORWORT

In diesem Buch wird gezeigt, wie man Aufgaben der Finanzmathematik mit Hilfe der App „FinCalcPro“ sehr schnell und effizient lösen kann. - Konzept:

um eine Textaufgabe zu lösen muss man einfach das Eingabefeld der gesuchten Variablen/Lösung leer lassen. - Zinssätze müssen in der Form p% eingegeben werden z.B. 2.5 für 2.5%. - Die App ist für iPhone/iPad/iPod touch verfügbar:

https://geo.itunes.apple.com/us/app/fincalcpro/id1002896661?mt=8

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SYMBOLLISTE

i= Zinssatz i ab = Abschreibungsprozentsatz i eff =Effektivzinssatz i nom=nomineller Zinssatz i s =stetiger Zinssatz K 0=Anfangskapital ( Barwert) K n=Endkapital m= Anzahl unterjährige Perioden n=Laufzeit R=Rate R0=Barwert einer nachschüssigen Rente Rn=Endwert einer nachschüssigen Rente R ' 0= Barwert einer vorschüssigen Rente R ' n= Endwert einer vorschüssigen Rente ∞ R0 =Barwert einer ewigen Rente R(0)=Neuwert ( Anschaffungskosten) R(n)=Restwert

Abkürzungen p.a. = pro anno (pro Jahr) p.m. = pro Monat p.Q. = pro Quartal p.H. = pro Halbjahr

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FORMELSAMMLUNG Prozentrechnung 1 %=

1 =0.01 100

100 %=

100 =1.0 100

25.75 %=

25 =0.2575 100

Anfangswert⋅(1± prozentuale Anderung )=Neuwert

Zinsrechnungen Lineare Zinsen

K n=K 0⋅(1+n⋅i) Zinseszinsen n n K n=K 0⋅(1+i) = K 0⋅q mit q=1+i Unterjährige Zinsen ( m⋅n) i K n=K 0⋅(1+ ) m Stetige Zinsen (i⋅n) K n=K 0⋅e

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Rentenrechnung Endwert einer nachschüssigen Rente n q −1 Rn=R⋅ mit q=1+i q−1 Endwert einer vorschüssigen Rente n q −1 R ' n =R⋅ ⋅q q−1 Barwert einer nachschüssigen Rente n q −1 1 R 0 =R⋅ ⋅ q−1 qn Barwert einer vorschüssigen Rente n q −1 1 R ' 0 =R⋅ ⋅ q−1 qn−1

Abschreibungen Restwert bei der linearen Abschreibung R(n)=R (0)⋅(1−i ab⋅n) Restwert bei der degressiven Abschreibung n R(n)=R (0)⋅q mit q=1−i ab

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Kap.1 Prozentrechnung

1) Der Listenpreis eines neuen Velos beträgt 8'423 €. Der Kunde bekommt das Velo mit einem Rabatt von 15,5%. Wie viel hat der Kunde bezahlt? Lösung: gegeben: Anfangswert=8423, Prozentuale Abnahme=15.5 % gesucht: Neuwert ( einfach leer lassen :−) Der Kunde hat 7'117.43 Euro bezahlt. Bemerkung: hier musst du „Abnahme“ auswählen.

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2) Der Listenpreis eines neuen Velos beträgt 2'220 €. Der Kunde bekommt das Velo für 1'980 €. Wie gross ist der prozentuale Rabatt? Lösung: gegeben: Anfangswert=2' 220, Neuwert =1' 980 gesucht: Prozentsatz ( einfach leer lassen:−) Der Rabatt beträgt 10.81% Bemerkung: hier brauchst du nicht „Abnahme“ auszuwählen, die App versteht dass es sich hier um eine Abnahme handelt.

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3) Der kleine Luigino Cazzino hat für sein neues Velo 300 Fr. bezahlt. Der Händler hat ihm ein Rabatt von 16.20% gemacht. Wie viel hätte Cazzino das Velo ohne Rabatt bezahlt? Lösung: gegeben: Neuwert=300, prozentuale Abnahme=16.2 % gesucht: Anfangswert ( einfach leer lassen :−) Cazzino hätte 358 Fr. bezahlt Bemerkung: hier musst du „Abnahme“ auswählen.

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4) Der Preis eines Flugzeuges erhöht sich durch leasing von 1'450'000 $ auf 1'549'243 $. Wie viel Prozent beträgt der Aufschlag? Lösung: gegeben: Anfangswert=1' 450 ' 000, Neuwert =1' 549 ' 243 gesucht: Prozentsatz (leer lassen) Der Aufschlag beträgt 6.84%

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Kap.2 Zinsrechnungen 2.1 Lineare Zinsen 1) Ein Kapital von 15'000 £ wird 12 Jahre lang zu 2.5% p.a. linear verzinst. Wie viele Zinsen bringt das Kapital und wie hoch ist das Endkapital? Lösung: gegeben: Anfangskapital= K 0 =15 ' 000, Laufzeit =n=12, Zinssatz=i=2.5% gesucht: Endkapital=K n (leer lassen) Das Endkapital beträgt 19'500 £ , Zinsen = 19'500 – 15'000 = 4'500 £

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2) Ein Kapital hat sich durch einfache (lineare) Verzinsung in 20 Jahren verdoppelt. Wie gross ist der Zinssatz? Lösung: gegeben: Anfangskapital= K 0 =1' 000( z.B.) , Endkapital =K n =2 ' 000, Laufzeit=n=20 gesucht: Zinssatz=i(leer lassen) Zinssatz = 5.0% p.a. Bemerkung: der Zinssatz ist vom Anfangskapital unabhängig. Wir hätten auch Anfangskapital=100, Endkapital=200 wählen können. Das Endkapital muss einfach doppelt so gross wie das Anfangskapital sein.

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3) Ein Kapital von 2'000'000 Fr. wird bei einem Quartalszinssatz von 3% für 15 Monaten angelegt. Wie gross ist das Endkapital? (1 Quartal = 3 Monate) Lösung: gegeben: K 0 =2 ' 000' 000, i=3 , n=15 /3=5 gesucht: K n (leer lassen) Endkapital = 2'900'000 Fr.

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2.2 Zinseszinsrechnung 1) Auf welchem Betrag wächst ein Kapital von 123'000 Fr. bei 1,5% p.a. Zinseszinsen in 14 Jahren an? Lösung: gegeben: Anfangskapital= K 0 =123' 000, Zinssatz=i=1.5 %p.a. , Laufzeit =n=14 gesucht: Endkapital =K n (einfach leer lassen) Das Endkapital nach 14 Jahren beträgt : 151'505.95 Fr. d.h. K n =151'505.95 Fr.

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2) Herr Felice Della Sega hat 750'000 € zu 7.5% p.a. Zinseszinsen angelegt. Nach wie viel Jahren wird Della Sega Millionär? Lösung: gegeben: K 0 =750' 000, i=7.5 % p.a. , K n =1 ' 000' 000 gesucht: Laufzeit=n Nach ca. 4 Jahren (genauer 3.98 J.)

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3) Innerhalb welcher Zeitspanne verdreifacht sich ein Kapital bei: a) 7.5% p.a. Zinseszinsen? b) 0.15% p.a. Zinseszinsen? Lösung a) Nach ca. 15 Jahren (genauer 15.19 J.) Lösung b) Nach ca. 733 Jahren (732.96 J.)

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4) Ein Kapital von 5'000 Fr. wird 2 Jahre lang mit 5%, danach 4 Jahre mit 6% und anschliessend noch 5 Jahre mit 8% p.a. verzinst. Zu welchem durchschnittlichen jährlichen Zinssatz war das Kapital angelegt? Lösung

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ÂŠ 2015 Francesco Grassi

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Das Kapital war zu einem mittleren Zinssatz von 6.72% p.a. angelegt.

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2.3 unterjährige Zinsen 1) Ein Kapital von 50'000 € wird mit 8% p.a. nominell verzinst. Die Zinseszinsen werden jedoch vierteljährlich berechnet und kapitalisiert. a) Auf welchen Endwert ist das Kapital nach 20 Jahren angewachsen? b) Mit welcher Zinsfuss wird das Kapital effektiv verzinst? c) Welche relative Monatszinsfuss müsste gewählt werden, um der Effektivverzinsung unter b) zu entsprechen? Lösung a) gegeben: K 0 =750' 000,i nom=8 % p.a. , m=4, n=20 gesucht: Endkapital = K n Das Endkapital beträgt 243'771.96 €

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Lösung b) gegeben: i nom=8 % p.a. , m=4 gesucht: i eff Der Effektivzinssatz beträgt 8.2432% p.a.

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Lösung c) gegeben: i eff =8.2432 % p.a. , m=12 gesucht: i nom Der nomineller Zinssatz beträgt 7.9472% p.a. d.h 7.9472% / 12 = 0.6623% p.m.

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2) Welche Effektivverzinsung p.a. Ergibt sich, wenn halbjährlich mit 0,75% verzinst wird? Lösung: gegeben: i nom=0.75 %⋅2=1.5 % p.a. , m=2 gesucht: i eff Der Effektivzinssatz beträgt 1.5056% p.a.

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3) Wie viele Jahre muss ein Anfangskapital von 6'000 Fr. mit 5,6% p.a. bei vierteljährlichem Zinszuschlag verzinst werden, bis es auf ein Endkapital von 7'706,10 Fr. gewachsen ist ? Lösung: gegeben: K 0 =6' 000, i nom=5.6 % p.a. , m=4 gesucht: n 4.5 Jahren

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4) Wie hoch muss der konforme Monatszinssatz bei monatlicher Verzinsung sein, wenn ein wertgleicher effektiver Jahreszinssatz von 12% p.a. erreicht werden soll ? Lösung: gegeben: i eff =12 % p.a. , m=12 gesucht: i nom 11.3866% / 12 = 0.9489% p.m.

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5) Welchen Betrag muss man zu einem Jahreszinssatz von 1.5 % anlegen, um bei vierteljährlicher Kapitalisierung nach 10 Jahren über ein Guthaben von € 12'000 verfügen zu können? Lösung: gegeben: i nom=1.5 % p.a. , m=4, n=10, K n =12 ' 000 gesucht: K0 10'331.39 €

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2.4 stetige Zinsen 1) Ein Kapital von 100'000 Fr. wird 15 Jahre lang mit einem Zinssatz von 5% p.a. stetig verzinst. a) Wie hoch ist das Endkapital? b) Effektivzinssatz? Lösung a) gegeben: K 0 =100' 000, i nom=5 % p.a. , n=15 gesucht: Kn 211'700 € Lösung b) 5.1271% p.a.

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2) Welche stetige Verzinsung ist einer Effektivverzinsung von 7% zugeordnet? Lösung: gegeben: i eff =7 % p.a gesucht: is

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3) Welchen effektiven Zinssatz i muss man wählen, um einer stetigen Verzinsung von 4.5% zu entsprechen? Lösung:

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Kap.3 Rentenrechnung 3.1 Vor- und nachschüssige Renten, Barwerte 1) Jemand legt 45'000 Fr. zu 1.5% Zinseszinsen an und spart jährlich nachschüssig 13'000 Fr. dazu. Über welchen Endbetrag kann er nach Ablauf von 7 Jahren verfügen? Lösung:

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2) Welches Kapital muss man zu Beginn eines Jahres auf Zinseszinsen zu 2% anlegen, damit man 10 Jahre lang, jeweils zum Jahresende, eine Rente von 25'000 Fr. beziehen kann? Lösung:

Gesucht ist der Barwert der nachschüssigen Rente d.h. 224'564.63 Fr.

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3) Eine Selbständige will an ihrem 50. Geburtstag einen Geldbetrag anlegen, so dass sie mit Vollendung des 65. Lebensjahres für 10 Jahre eine nachschüssig gezahlte Rente in Höhe von jährlich 8000 € erhält. Welchen Betrag muss die Selbständige anlegen, wenn von einer jährlichen Verzinsung von 4% ausgegangen wird ? Lösung:

Die selbständige muss an ihrem 50. Geburtstag 36'029.54 € anlegen.

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4) Eine Schuld soll in jährlich nachschüssig zu zahlenden Raten von 3'000 € in 10 Jahren getilgt sein. Wie hoch müsste bei 6% der einmalige Betrag sein, durch den die Schuld a) heute bzw. b) nach 3 Jahren (ohne vorherige Ratenzahlungen) abgelöst werden kann? Lösung a) 22'080.26 € Lösung b) 26'297.94 €

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5) Eine Schuld von 150'000 Fr. soll in 10 Jahren (i=9% p.a.) durch gleich hohe Annuitäten verzinst und getilgt werden. Berechnen Sie die Annuität. Lösung: 23'373.01 Fr.

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6) Zur Tilgung einer Schuld soll ein Schuldner zu Beginn der Jahre 00, 04 und 09 je 10'000 € zahlen. Stattdessen möchte er die Schuld lieber in 12 gleichen Jahresraten (beginnend am 1.1.01) zahlen. Auf welchen Betrag lauten die einzelnen Raten? (i=7% p.a.) Lösung: (Stichtag 1.1.01) Barwert der Schuld: 10 ' 000⋅1.07+10 ' 000⋅1.07−3+10 ' 000⋅1.07−8 =24683.07

2'904.34 € pro Rate

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7) Eine Schuld soll mit insgesamt 20 Raten in Höhe von jeweils 10'000 Fr./Jahr getilgt werden (die erste Rate soll – von Heute an gerechnet – nach einem Jahr fliessen). Wie hoch muss bei 12% p.a.der Einmal-Betrag sein, durch den die gesamte Schuld auf äquivalente Weise heute abgelöst werden kann? Lösung:

74'694.44 Fr. (Barwert der nachschüssigen Rente)

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3.2 Ewige Renten 1) Eine Stiftung schüttet jährlich (auf ewige Zeiten) 120'000 Fr. aus, erste Ausschüttung am 01.01.2015. Welches Kapital muss dafür (bei i = 6% p.a.) am 01.01.2014 vorhanden sein? Lösung:

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2) Ein Kapital von 4 Mio. Fr. wird am 01.01.2014 angelegt (i = 5% p.a.), um daraus ab 01.01.2019 eine ewige Rente ausschütten zu können. Wie lautet die Jahresrate der ewigen Rente? Lösung:(Stichtag 01.01.2018)

Die Jahresrate lautet 243'101.25 Fr.

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3) Wie gross ist am 01.01.2013 der äquivalente Wert einer am 01.01.2020 einsetzende ewigen Rente von 700'000 $/Jahr (8% p.a.)? Lösung: 8'750'000 $ = Wert der Rente am 01.01.2019

der äquivalente Wert ist 5'513'984.24 $

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Kap.4 Abschreibungen 4.1 Lineare Abschreibung 1) Eine Maschine (Anschaffungswert 180'000 $) mit einer betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer von 10 Jahren und einem Schrottwert von 10% des Anschaffungswertes werde linear abgeschrieben. Man berechne jeweils die erste Abschreibungsrate und ermittle den Buchwert nach Ablauf von 6 Jahren. Lösung: Schrottwert = 180'000 * 0,1 = 18'000 $

erste Abschreibungsrate = 180'000 * 0.09 = 16'200 $ Buchwert nach 6 J. = 82'800 $

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2) Ein Neuwert R(0) = 100'000 £ soll im Laufe von 20 Jahren linear auf den Restwert 5'000 £ abgeschrieben werden. Abschreibungsprozentsatz? Lösung:

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4.2 Degressive Abschreibung 1) a) Man berechne den Restwert einer Maschine (Anschaffungswert 300'000 €), die 7 Jahre (= betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer)degressiv mit 18% abgeschrieben wurde. b) Nach welcher Zeit beträgt der Restwert 135'636.53 €? Lösung a) 74'785.64 € Lösung b) 4 J.

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2) Eine Maschine hat nach 5 Jahren noch einen Wert von 10'000 Fr. Wie gross war der Kaufpreis, wenn 10% p.a. degressiv abgeschrieben wurde? Lösung:

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3) Eine Anlage (Neuwert = 250'000 Fr.) soll geometrisch-degressiv so abgeschrieben werden, dass nach 5 Jahren 70% der Anlage abgeschrieben sind. Man ermittle den jährlichen Abschreibungs-Prozentsatz. Lösung: 250'000 * 0.7 = 175'000; 250'000 – 175'000 = 75'000 = Restwert

Abschreibungs-Prozentsatz = 21.40%

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4) Nach welcher Zeit hat bei Abschreibung vom Buchwert (Abschreibungssatz 15%) eine Maschine im Werte von 400'000 $, nur noch den Schrottwert von 40'000 $? Lösung:

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