Facultad de Logística Marítima y Portuaria Portafolio Digital de Pre-Cálculo
I Cuatrimestre 2017
Presentado Por:
Efraín Alexander Chérigo C.I.P
8-896-1944
Profesora:
Anazaria Guevara Grupo N°1
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PANAMA PLANIFICACIÓN DOCENTE DOCENTE: Anazaria I. Guevara P. TELÉFONO/E-MAIL: 6674-3248 / anazaria_guevara@uip.edu.pa MATERIA: Pre-Cálculo CÓDIGO: 301-00068 GRUPO: 1 HORARIO: Miércoles 8:00 A.M a 10:15 A.M.
DESCRIPCIÓN DEL CURSO: Esta asignatura está orientada a incentivar el razonamiento y la aplicación de la metodología matemática en todos los aspectos de su formación profesional. En este sentido, se tratarán temas fundamentales, tales como: funciones y geometría analítica; mostrando su importancia a través del estudio de problemas particulares y aplicaciones prácticas además de una introducción al cálculo diferencial.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Definir los conceptos fundamentales del algebra, la geometría y la trigonometría. Interpretar los conceptos de las diferentes áreas. Aplicar los conceptos de las diferentes áreas en la resolución de ejercicios de algebra, geometría, trigonometría en el salón de clase.
JUSTIFICACIÓN: La asignatura Pre-Cálculo tiene como propósito desarrollar los conceptos de matemáticas universitarias para que funcionen como un soporte esencial en los posteriores estudios de matemáticas que seguirán los estudiantes.
OBJETIVOS GENERALES: Desarrollar habilidades para mejorar la utilización de los conocimientos en algebra, geometría y trigonometría necesarias para el logro de la comprensión de las materias posteriores como: Cálculo, Ecuaciones diferenciales entre
otras. Dominar los conocimientos en algebra, geometría y trigonometría.
CONTENIDOS:
MÓDULO I: Ecuaciones y sus gráficas
Sistemas de coordenadas rectangulares La línea recta Distancia entre dos puntos Punto medio Ecuación de la recta Rectas Paralelas y Perpendiculares Círculos y gráficas
MÓDULO II: Funciones
Funciones y gráficas Dominio y codominio (rango) Intersecciones con los ejes Simetría y transformaciones Funciones pares e impares Desplazamientos verticales y horizontales Reflexiones Funciones lineales Ecuación de la recta Rectas Paralelas y Perpendiculares Gráfica de la ecuación lineal Funciones cuadráticas Funciones Definidas en intervalos Combinación de funciones Funciones inversas Traducción de palabras a funciones
MÓDULO III: Secciones Cónicas
La parábola La elipse La hipérbola Coordenadas Polares
MÓDULO IV: Límites y Continuidad
Definición de límite Métodos para calcular límites Límites Trigonométricos Límites infinitos Continuidad de una función en un punto Continuidad de una función en un intervalo
MÓDULO V: La Derivada
Definición Interpretación geométrica Reglas para calcular derivada Derivada de funciones algebraicas
TEST A continuación se presenta una serie de preguntas y usted debe marcar sólo una respuesta para cada pregunta. La respuesta que usted crea correcta señálela con un círculo. 1. Encuentre el resultado de a/c + b/c a. ab / c
b. a+b / c
c. a+b / 2c
2. Encuentre el resultado de 5/12 + 11/12 a. 17/12
b. 16/12
c. 16/24
3. Encuentre el resultado de 3/2x - 5/2x a. -1/x
b. 8/2x
c. 2/x
4. Encuentre el resultado de 5/6 - ¾ a. 1/12
b. 2/24
c. 3/6
5. Encuentre el resultado de x/6 + 3y/4 a. (x + 3y) / 6
b. (2x +9y) / 12
c. (x + 3y) / 24
6. Encuentre el resultado de (2x / 3) (4 / y) a.
2x / 3y
b. 4x / 3y
c. 8x / 3y
7. Encuentre el resultado de ( 3x/2 ) / ( 4/y ) a.
3x / 2y
b. 12x / 2y
c. 3xy /8
8. Encuentre el resultado de (a/b)-1 a.
a/b
b. b/a
c. ab
9. El equivalente de la fracción a/b es a.
a-1b
b. ab-1
c. b/a
10. El equivalente de ( 6x2y ) / (8xy2) es a.
2x / 4y
b. 3x / 4y
c. 3y / 4x
11. Encuentre el resultado de la siguiente operación: Sume la ecuación 5x2y3 – 7xy2 + 3x - 1 a la ecuación 6 – 2x + 4xy2 + 3y3x2 a. 8x2y3 + 3xy2 - x + 5 b. 8x3y2 + 3x2y + x - 5 c. 8x2y3 - 3xy2 + x + 5 12. Encuentre el resultado de la siguiente operación:
Reste la ecuación 3x2 – 5xy + 7y2 de la ecuación 7x2 -2xy + 4y2 + 6 a. 4x2 + 3xy - 3y2 + 6 b. 4x2 - 3xy - 3y2 - 6 c. -4x2 - 3xy + 3y2 -- 6 13. El resultado equivalente de x2 + 2xy2 al factorizar es: a.
x (x + xy2 )
b. x ( x + 2y2 )
c. x2 ( 1 + 2y2 )
14. El resultado equivalente al factorizar 2x2y + 6xy2 es: a. 2xy ( x + 3y )
b. 2x ( x + 3y )
c. 2y ( x + 3 )
15. El resultado equivalente al factorizar x2y4 – 9 es: a. (xy2 – 3) (xy2 + 3)
b. (xy2 + 3) (xy2 + 3) c. (xy2 – 3) (xy2 - 3)
16. El resultado de 50 es: a.
0
b. 1
c. 5
17. El resultado de 5-2 puede expresarse como: a. 1/5
c. 1/ 54
b. 1/25
18. El resultado de a-m puede expresarse como: a.
1/am
b. 1/ a-m
c. 1/a0
19. El resultado de a1/n se puede expresar como: a.
√n
b. n√a
a
c. 1 / a-n
20. El resultado bm/n puede expresarse como: m
√bn
b. n√bm
c. n√b-m
Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones. En adelante, escribiremos u y v. Entendamos que esto no es más que un abuso de notación con el fin de simplificar la misma. Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Ejemplos de derivadas 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
.
TAREA NO.1 1. Defina qué es un Número Real y presente su clasificación. Dé 5 ejemplos. 2. Defina qué es un Intervalo. Exprese los diferentes Intervalos en un cuadro, de tal manera que represente la notación de intervalo, la notación de conjunto y su respectiva representación gráfica. De 5 ejemplos dónde se denote la notación de estos. 3. Defina qué es la Recta Real. 4. Defina el término Desigualdades. Mencione las propiedades que se aplican para la multiplicación y división. Dé 5 ejemplos. 5. Mencione los diferentes tipos de desigualdades que existen. De 5 ejemplos (de cada uno) de Resolución de Problemas de Desigualdad; Lineal, Cuadrática y Valor Absoluto. 6. Mencione y clasifique los Productos Notables. Dé 5 ejemplos de cada uno. 7. Mencione y clasifique los principales Tipos de Factorización, Dé 5 ejemplos de cada uno.
Nota: Presentar esta tarea con su introducción, donde presente el porqué y el para qué de la tarea y la conclusión, en la cual exprese lo que aprendió en el desarrollo de la misma y esto cómo contribuye en su formación como futuro ingeniero.
TAREA INVESTIGATIVA Tema: SIMETRÍA E INTERSECCIÓN 1. Explique cómo se determina las intersecciones en el eje x de la gráfica de una ecuación. Dé ejemplos. 2. Explique cómo se determina las intersecciones en el eje y de la gráfica de una ecuación. Dé ejemplos. 3. Explique cuándo una gráfica tiene simetría. Dé ejemplos. 4. Explique cuándo una gráfica es simétrica con respecto al eje x. Dé ejemplos. 5. Explique cuándo una gráfica es simétrica con respecto al eje y. Dé ejemplos. 6. Explique cuándo una gráfica es simétrica con respecto al origen. Dé ejemplos. 7. Explique cómo se aplican las Pruebas de Simetría. Dé ejemplos.
Facultad de Logística Marítima y Portuaria Investigación N° 2 de Pre-Cálculo Tema: Simetría
Presentado Por: Efraín Alexander Chérigo M.
C.I.P 8-896-1944
Profesora: Anazaria Guevara
Grupo N°1
Fecha de entrega: 25 de enero de 2017
Introducción
La intersección de una recta son los puntos donde la recta intersecta, o cruza, los ejes horizontal y vertical. Y simetría es sencillo toda representación gráfica que en el eje x es igual que en el eje Y. Con el desarrollo de este taller se irán desarrollando cada una de las preguntas para ir despejando dudas acerca del tema.
Desarrollo: 1. Explique cómo se determina las intersecciones en el eje x de la gráfica de una ecuación. Dé ejemplos. Las intersecciones en el eje x de la gráfica de una ecuación son los puntos en los que la gráfica cruza el eje x. ya que todo punto del eje x tiene la ordenada (coordenadas x) de esos puntos. Si las hay se pueden determinar a partir de la ecuación dada. Haciendo que Y sea = 0 y despejando X. Ejemplos: X2 – Y2 = 9 X2 – 9 = 0 (X+3) (X-3) = 0 X = -3 X=3
Sea y = 0 en la ecuación, y resolvamos para x. Cuando y = 0, la ecuación se convierte en donde se obtiene x = 3. Cuando y = 0, x = 3. Las coordenadas de la intersección en x son (3, 0).
Ejemplo Problema
3y + 2x
=
6
3(0) + 2x
=
6
2x
=
6
= Solución
x
=
3
, de
2. Explique cómo se determina las intersecciones en el eje y de la gráfica de una ecuación. Dé ejemplos. Las intersecciones del eje Y de la gráfica de una ecuación son los puntos en los que su grafica cruza al eje Y. Las ordenadas de esos puntos se pueden determinar igualando X=0 en la ecuación y despejando a Y.
Ejemplos: 2x2 + 5x – 12 = 0 Y= 2x2 + 5x – 12 Y = -12
Podemos usar las características de las intersecciones para calcularlas rápidamente a partir de la notar que es fácil, cuando encontramos las x- y yecuación de una recta. Puedes intersecciones para la recta.
Para encontrar la intersección en y, sustituimos 0 por x en la ecuación, porque sabemos que cada punto en el eje y tiene un valor de 0 en la coordenada x. Una vez hecha la sustitución, podemos resolver la ecuación para encontrar el valor de y. Cuando hacemos x = 0, la ecuación se convierte en , de donde se obtiene y = 2. Por lo que, cuando x = 0, y = 2. Las coordenadas de la intersección en y son (0, 2).
Ejemplo Problema
3y + 2x
=
6
3y + 2(0)
=
6
3y
=
6
=
Solución
y
=
2
3. Explique cuándo una gráfica tiene simetría. Dé ejemplos. Una gráfica también puede tener simetría. El lector ya sabrá que la gráfica de la ecuación Y=X2 se llama parábola. Por ejemplo la gráfica de Y=X2 es simétrica con respecto al eje Y porque la parte de la gráfica que está en el segundo cuadrante es la imagen especular (de espejo) de la reflexión respecto al eje Y de esa parte de la gráfica en el primer cuadrante.
4. Explique cuándo una gráfica es simétrica con respecto al eje x. Dé ejemplos. Una gráfica es simétrica con respecto al eje X siempre que (X, Y) es un punto de la gráfica, (X,-Y) también es un punto de la gráfica.
5. Explique cuándo una gráfica es simétrica con respecto al eje y. Dé ejemplos. Una gráfica es simétrica con respecto al eje Y si siempre que (X, Y) es un punto de la gráfica y (-X, Y) también es un punto de la gráfica. Ejemplo: (1,1) y (2,4) como la gráfica tiene simetría respecto al eje Y los puntos (-1, 1) y (-2,4) deben también estar en la gráfica.
6. Explique cuándo una gráfica es simétrica con respecto al origen. Dé ejemplos. Una gráfica es simétrica respecto al origen si cuando (X, Y) está en la gráfica y (-X, -Y) también es un punto de la gráfica.
7. Explique cómo se aplican las Pruebas de Simetría. Dé ejemplos. La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a: a) El eje Y si al sustituir X por –X se obtiene una ecuación equivalente. b) El eje X si al sustituir Y por –Y se obtiene una ecuación equivalente. c) El origen si al sustituir X y Y por –X y –Y se obtiene una ecuación equivalente. Ejemplo: Reemplazando X por –X en la ecuación Y=X2 se ve que Y= (-X)2 equivalente a Y=X2
Conclusión La simetría aplicada a la vida real se utiliza mucho casi en todas partes y la forma de graficar y aplicarla no es complicado. La razón de aplicar correctamente es la buena práctica y la constancia junto a las ganas de aprender.
Tarea – Investigativa No.3 Funciones Pares e Impares, Logarítmica y Exponencial 1. ¿Qué son funciones Pares e Impares? Dé ejemplos de cada una y represente su gráfica. 2. ¿Cuáles operaciones aritméticas se pueden realizar con las funciones? Menciónelas y dé ejemplos de cada una. Exprese su dominio. 3. ¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos? Dé ejemplos aplicando estas propiedades. Defina la función logarítmica. 4. Grafique: y = log x Log3 x = y Y = ln x
Determine su dominio y codominio.
5. Defina la función exponencial. Mencione las reglas de los exponentes. Grafique: f(x) = 3x y = 2-x g(x) = 10x
Determine su dominio y codominio.
6. Dé ejemplos de aplicación en la vida real de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Facultad de Logística Marítima y Portuaria Investigación N° 3 de Pre-Cálculo Tema: Funciones Pares e Impares, Logarítmica y Exponencial
Presentado Por: Efraín Alexander Chérigo M.
C.I.P 8-896-1944
Profesora: Anazaria Guevara
Grupo N°1
Fecha de entrega: 25 de Marzo de 2017
Introducción
Una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Mencionemos un ejemplo: el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d/v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. Esta investigación esta justamente realizada para despejar dudas acerca del tema.
TAREA INVESTIGATIVA Tema: 1. ¿Qué son funciones Pares e Impares? Dé ejemplos de cada una y represente su gráfica. Funciones Par/Impar Una función es par si, para cada x en el dominio de f, f (– x) = f ( x ). Las funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y. Ejemplo de una función par: f(x)=x2 f (– x ) = (– x ) 2 = x 2 = f ( x )
Un función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ). Las funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del origen. Ejemplo de una función impar: f(x)=x3 f (– x ) = (– x ) 3 = – x 3 = – f ( x )
2.¿Cuáles operaciones aritméticas se pueden realizar con las funciones? Menciónelas y dé ejemplos de cada una. Exprese su dominio. Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por
Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por
Dadas las funciones polinómicas f(x) = x2 - 1 y g(x) = 2x3 , calcula las siguientes operaciones y sus dominios: 1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 - 1 + 2x3 Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R
2) (f + g)(2) = 22 - 1 + 2·23 = 19
3) (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x2 - 1 - 2x3
Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(f - g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R
4) (f - g)(0) = - 1
Dadas las funciones polinómicas f(x) = x2 - 1 y g(x) = 2x3 , calcula las siguientes operaciones y sus dominios: 1) (-5g)(x) = -5·g(x) = -5(2x3) = - 10x3 Como
Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(-5g) = Dom(g) = R
2) (-5g)(-2) = -5·g(-2) = -10(-2)3 = 80
3) (f · g)(x) = f(x)·g(x) = (x2 - 1)( 2x3) = 2x5 - 2x3 Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que: Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R
4) (f · g)(1) = f(1)·g(1) = 2·15 - 2·13 = 2 - 2 = 0
5) (g · f)(x) = g(x)·f(x) = ( 2x3)(x2 - 1) = 2x5 - 2x3 Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que: Dom(g · f) = Dom(g) ∩ Dom(f) = R
6) (g · f)(-1) = g(-1)·f(-1) = 2(-1)5 - 2(-1)3 = - 2 + 2 = 0
Como Dom(f) = R , Dom(g) = R , {x∈Dom(g) / g(x) = 0} = {0} , tenemos que:
Dom(f / g) = [Dom(f) ∩ Dom(g)] - {x∈Dom(g) / g(x) = 0} = R - {0}
Dadas las funciones:
Calcula las siguientes operaciones y sus dominios: En primer lugar calculamos sus correspondientes dominios:
• Dom(f) viene dado por todos los valores reales tales que:
x+3≥0
⇔
x ≥ -3
⇔
x ∈ [-3 , ∞)
⇒
Dom(f) = [3 , ∞)
• Dom(g) viene dado por todos los valores reales excepto por aquellos que anulan el denominador:
x2 - 1 = 0
⇔
x2 = 1
⇔
x = ±1
⇒
Dom(g) = R - {-1 , 1}
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [-3 , ∞) ∩ [R - {-1 ,1}] = [-3 , ∞) - {-1 , 1}
Dom(g + f) = Dom(g) ∩ Dom(f) = [R - {-1 ,1}] ∩ [-3 , ∞)= [-3 , ∞) - {-1 , 1}
Dom(f - g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [-3 , ∞) ∩ [R - {-1 ,1}] = [-3 , ∞) - {-1 , 1}
Dadas las funciones:
Calcula las siguientes operaciones y sus dominios: En primer lugar calculamos sus correspondientes dominios:
• Dom(f) viene dado por todos los valores reales tales que:
x2 - 9 = 0
⇔
x2 = 9
⇔
x = ±3
⇒
x2 - 9 ≥ 0
(-∞ , -3] , [-3 , 3] , [3 , ∞)
(-∞ , -3]: x = -4 , x2 - 9 ≥ 0
(-4)2 - 9 = 7 > 0
⇒
[-3, 3]: x = 0 , x2 - 9 ≥ 0
⇒
-9<0
[3, ∞): x = 4 , x2 - 9 ≥ 0
⇒
42 - 9 = 7 > 0
Dom(f) = (-∞ , -3] ∪ [3, ∞)
• Dom(g) viene dado por todos los valores reales tales que:
16 - x2 = 0
16 = x2
⇔
(-∞ , -4]: x = -5
⇒
⇔
±4 = x
⇒
16 - x2 ≥ 0
(-∞ , -4] , [-4 , 4] , [4 , ∞)
16 - (-5)2 = -9 < 0
[-4, 4]: x = 0
⇒
16 - 02 = 16 > 0
[4, ∞): x = 5
⇒
16 - 52 = -9 < 0
Dom(f) = [-4, 4]
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = { (-∞ , -3] ∪ [3, ∞) } ∩ [-4 , 4] = [-4 , -3] ∪ [3 , 4]
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = { (-∞ , -3] ∪ [3, ∞) } ∩ [-4 , 4] = [-4 , -3] ∪ [3 , 4]
Observamos que:
{ x / g(x) = 0 } = { x / 16 - x2 = 0 } = {-4 , 4}
Dom(f / g) = [ Dom(f) ∩ Dom(g) ] - { x / g(x) = 0 } = { [-4 , -3] ∪ [3 , 4] } - {-4 , 4} = (-4 , -3] ∪ [3 , 4)
Observamos que:
{ x / f(x) = 0 } = { x / x2 - 9= 0 } = {-3 , 3}
Dom(g / f) = [ Dom(g) ∩ Dom(f) ] - { x / f(x) = 0 } = { [-4 , -3] ∪ [3 , 4] } - {-3 , 3} = [-4 , -3) ∪ (3 , 4]
3.¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos? Dé ejemplos aplicando estas propiedades. Defina la función logarítmica.
Propiedades de los logaritmos Propiedades 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
Ejemplo
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
Ejemplo
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
Ejemplo
5. Cambio de base:
Ejemplo
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA (Descripción)
Se llaman funciones logarĂtmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a" es constante (un nĂşmero) y se denomina la base del logaritmo.4.
Grafique: y = log x
Log3 x = y
Y = ln x
Determine su dominio y codominio.
5.
Defina la función exponencial
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.
6. Dé ejemplos de aplicación en la vida real de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Aplicación en economía Se calcula que el monto del capital, en millones de pesos, que tiene depositado un señor en el banco, en cualquier momento (t) meses puede ser calculado mediante la función f (t) = 7,5. 1,02t.
Función: C = C0 (½) kt, donde C0 es la cantidad inicial de carbono, t es. El número de años que pasan. Si la vida media del carbono 14 es 5730. años
Aplicaciones en la vida Investigaciones policiales: Una persona es encontrada Muerta en su Departamento, la Brigada de Homicidios llego a las 10 de la noche, los datos recogidos por los Detectives fueron temperatura de la habitación 21ºC (A) , la temperatura del cadáver al ser encontrado fue de 29ºC y una hora después era 28ºC .Considerando
la función: T(t) = A + (B – A ) e –kt
Calcular el valor de K si t = 1 Con el dato anterior Determine la hora en que fue encontrado el cuerpo inerte si este tenía una temperatura de 37ºC cuando estaba vivo. Aplicaciones en la vida diaria Caso heroico: Un joven muy valiente arriesga su vida por salvar a un niño. La radio informa después de una hora el 25% de la población escucha la noticia, Si el porcentaje de personas que escucha sigue el modelo exponencial: F(t) = N ( 1 – 10-kt ), k se expresa en porcentaje, t en segundos Determinar cuánto tiempo trascurre para que el 90% de la población sepa la noticia Aplicaciones en Medicina El contenido en gramos de un medicamento en el organismo humano, después de t horas de ingerido, se modela de acuerdo a la ecuación: y = 100x5-0,5t , t ≥ 0 ¿Después de cuántas horas de ingerido el medicamento quedan 20 miligramos en él organismo? ¿Cuántos miligramos de medicamento quedan en el organismo después de 4 horas de ingerido?
Conclusión
Como conclusión las funciones cada día se utilizan en un sinnúmero de casos de la vida cotidiana por ende debemos practicar y saber cómo aplicarlas para mejor comprensión.
Tarea – Investigativa No.4
Secciones Cónicas 1. Investigue sobre las secciones cónicas: Defina a cada una, desarrolle la deducción de la ecuación. Dé ejemplos Prácticos de aplicación de cada una en la vida real. a. Parábolas, b. Hipérbola c. Elipse. 2. Investigue sobre las Coordenadas Polares a. De ejemplos de aplicación 3. Exprese cómo impacta estos temas en su aprendizaje como futuro ingeniero.
Facultad de Logística Marítima y Portuaria Investigación N° 4 de Pre-Cálculo Tema: Secciones Cónicas
Presentado Por: Efraín Alexander Chérigo M.
C.I.P 8-896-1944
Profesora: Anazaria Guevara
Grupo N°1
Fecha de entrega: 29 de Marzo de 2017
Introducción
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Las Secciones Cónicas están en todas partes, hasta donde menos te lo imaginas; En el logro del famoso sitio de comida rápida mejor conocido como McDonald encontramos una Parábola interesante ¿no? Está investigación esta justamente realizada para despejar dudas acerca del tema.
Tarea Investigativa N°4 Secciones Cónicas
1. Investigue sobre las secciones cónicas: Defina cada una, desarrolle la deducción de la ecuación. Dé ejemplos prácticos de aplicación de cada una en la vida real. a. Elipse b. Parábola c. Hipérbola
LAS SECCIONES CÓNICAS
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Las Secciones Cónicas las encontramos en cualquier lugar de nuestro día a día en puentes, calles, edificios en todos lados pues está ahí solo que no lo vemos. Las cónicas las podemos ver en la comida como es el caso de los huevos; en los autos en sus llantas y luces; en muchos edificios hay hipérbolas, elipses; circunferencia solo que muchas veces no lo apreciamos o simplemente no nos damos cuenta.
L A E LI P S E e s l a s ec c i ón produci da e n una s uperfi c ie c óni c a de r e vol uc i ón por un pl a no obl i c uo a l e je , que no s e a pa r al e l o a la ge ne ra tri z y que forme c on e l mi s mo un á ngul o m a yor que e l que forma e je y ge ne ra tri z. La e li pse e s una c ur va c e rra da .
α < β <90º
L A P AR ÁBO L A e s l a se cc i ón produc i da e n una s upe rfi c i e c óni c a de re vol uc i ón por un pl a no obl i c uo a l e je , s iendo pa ra l el o a la ge nera tri z. La pa rá bola e s una c urva a bi e r ta que s e prol onga ha s ta e l i nfi ni to.
α = β
L A HI P Ă&#x2030; RBO L A e s l a s e cc i Ăłn produc i da e n una supe rfi c i e c Ăłni c a de re vol u c i Ăłn por un pl a no obl i c uo a l e je , forma ndo c on ĂŠ l un ĂĄ ngul o me nor al que forma n e je y ge ne ra tri z, por l o que i nc i de e n la s dos hoja s de l a s upe rfic i e cĂłni c a . La hi pĂŠ r bol a es una c urva a bi e rta que se prol ong a i nde fi ni da m e nte y c ons ta de dos rama s se pa ra da s .
Îą > β Mostramos en la siguiente tabla las ecuaciones canĂłnicas (donde los ejes de coordenadas son los ejes de simetrĂa de la elipse y la hipĂŠrbola) de las distintas cĂłnicas, tanto en su forma implĂcita como en su forma paramĂŠtrica. NOMBRE
Elipse
ECUACION IMPLICITA đ??ąđ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? = 1 đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;?
ECUACIONES PARAMETRICAS x = a cos t , 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ą < 2đ?&#x153;&#x2039; y = b sen t
x = a ch t HipĂŠrbola
đ??ąđ?&#x;? _ đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? = 1 đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;?
, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; < đ?&#x2018;Ą < â&#x2C6;&#x17E; y = b sh t
x = 2pt2
ParĂĄbola
y2= 2px
, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; < đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x17E; y = 2pt
Ejemplo de parĂĄbola Lanzamiento de objetos: Galileo realizĂł el experimento del grĂĄfico con dos objetos: impulsĂł uno horizontalmente desde una mesa y dejĂł caer otro cuerpo desde el borde verticalmente. DescubriĂł que los dos llegan al suelo al mismo tiempo. Partiendo de dicha observaciĂłn pudo afirmar que: " la componente vertical del movimiento de un objeto que cae es independiente de cualquier movimiento horizontal que lo acompaĂąe.
Con esto se establece la que hoy llamamos " Principio de Superposición", es decir, un movimiento se puede considerar formado por otros dos que actúan simultáneamente pero que, a efectos de estudio, puede suponerse que primero ocurre uno y luego, y durante el mismo tiempo, el otro. El cambio de posición de un objeto es independiente de que los movimientos actúen sucesiva o simultáneamente. La parábola que describe un objeto lanzado al aire se puede estudiar como la combinación de un movimiento uniforme rectilíneo horizontal a la altura de la salida y otro vertical uniformemente acelerado. Este principio también se denomina Principio de independencia de movimientos o Principio de superposición. En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, que forma un ángulo q con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en cuenta que es el movimiento resultante de la composición de dos movimientos: Uniforme a lo largo del eje X. Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y. Con esto, se obtiene la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y = ax2 + bx + c, lo que representa una parábola.
Un ejemplo de elipse es la iglesia del Monasterio de San Bernardo, más conocido por "Las Bernardas" en Alcalá de Henares. Un templo con una única nave y planta elíptica, con cúpula del mismo trazado. En sus muros se abren seis capillas, cuatro de ellas también de planta elíptica, con diferentes tamaños de sus portadas.
2. Investigue sobre las coordenadas polares. De ejemplos de aplicación.
Coordenadas polares En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.
Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. localizamos varios puntos en el plano polar.
Hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.
Como vemos los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar,
3. Exprese cómo impacta estos temas en su aprendizaje como futuro ingeniero.
Estos temas son de gran impacto en mi vida como futuro ingeniero porque nos damos cuenta cómo se aplica todos estos procedimientos matemáticos en nuestro entorno. Conclusión Las cónicas están en los cables colgantes de los puentes, pues estos tienen forma parabólica; también las encontramos en las trayectorias de los proyectiles en los chorros de una fuente o de un surtidor. En las luces de los automóviles se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola; la órbita de los planetas alrededor del Sol es elíptica también en Óptica y propagación de Ondas se utilizan lentes elípticas. Es muy común ver en el diseño artístico que enmarquen cuadros y fotografías con forma elíptica. Sólo pensar que nuestro mundo está lleno de secciones cónicas y las matemáticas nos rodean y son tan sencillas de aprender y aplicar.
Práctica - Precálculo.
1. Obtener las distancias pedidas entre los puntos A = -3, B = 0, C = 5, D = 8 a. dAD Resp: 11 c. dBD Resp: 8 b. dBC Resp: 5 d. dDC Resp: 3 3,2 ; 5,0 2. Grafique los siguientes puntos: 2,5 ; 1,4 ; 0,2 ; 3. Determine los cuadrantes en que están situados los puntos del ejercicio 2. 4. Encuentre la distancia entre cada pareja de puntos a. 4,1 y 2,0 Resp: 5 b. 3,1 y 2,3 Resp: 41 5. La ordenada de un punto es 6 y su distancia al punto 3,2 es 5. Determine la abscisa del punto. Resp: Hay dos abscisas 0 y -6 6. Dibuje la gráfica de cada ecuación a. 2 x 3 y 6 b. 3x 4 y 12 7. Determine las pendientes de las líneas que unen cada pareja de puntos a. 2,1 y 5,7 Resp:2 b. 5,2 y 1,6 Resp:1 c. 3,2 y 3,4 Resp: 8. Encuentre la ecuación de las líneas rectas que satisfacen las condiciones de cada uno de los ejercicios. Dibuje la gráfica en cada caso. a. Pasa a través del punto 2,5 y tiene pendiente 5. Resp: y 5 x 15 ó 5x y 15 0 b. Pasa a través del punto 3,4 y tiene pendiente cero. Resp: y 4 ó y40 c. Pasa por 2,1 y 3,4 . Resp: y 3x 5 ó 3x y 5 0 d. Pasa por los puntos 3,2 y 3,7 . Resp: x 3 ó x 3 0 e. Tiene pendiente –2 y ordenada al origen 5 Resp: y 2 x 5 ó 2x y 5 0
f. Tiene pendiente x 3 y 12 0
1 y ordenada al origen –4 3
g. Pasa por 2,1 y es paralela a la recta 3x y 2 0 .
1 3
Resp: y x 4 ó Resp: y 3x 5 ó
3x y 5 0
h. Pasa por 1,2 y es perpendicular a la recta 2 x 3 y 4 0 Resp: y x 3 2
ó
1 2
3x 2 y 1 0
i. Pasa por 0,1 y es paralela a la recta determinada por 2,2 y 3,1 Resp: ó y x 1 x y 1 0 j. Pasa por 2,3 y es perpendicular a la recta determinada por 1,2 y 2,1 . y x 5
Resp:
ó x y 5 0
9. Determine la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las relaciones lineales siguientes 3x 2 y 6
a.
x y 1 3 4
Resp: m
3 y ordenada al origen es -3 2
Resp:
m
4 3
y ordenada al origen es 4
10. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o de ninguno estos tipos. a. 2 x 3 y 6 y 3x 2 y 6 Resp: Perpendiculares b. y 2 x 3 y Resp: Ninguno de los dos x 2y 3 c. y 3 0 y Resp: Perpendiculares x5 0