Математика by Igor Sedachev

РОССИЙСКАЯ МОЛОДЁЖНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Посвящается 175 - летию со дня рождения великого русского учёного Д.И.Менделеева

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ Части 1, 2 МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТРУДЫ 10-й Международной конференции 16-18 ноября 2009 г.

Самара 2009

Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки Самарской области Российская молодёжная академия наук Самарский государственный областной университет (Наяновой) Поволжское отделение Российской инженерной академии Национальная система развития научной, творческой и инновационной деятельности молодёжи России Самарское региональное отделение РХО им. Д.И.Менделеева Департамент образования администрации г. Самары Администрация городского округа Самара – комитет по делам молодёжи Ассоциация вузов Самарской области Муниципальное общеобразовательное учреждение Лицей философии планетарного гуманизма городского округа Самара Самарский государственный медицинский университет Самарская государственная академия культуры и искусств ГОУ СПО Самарский медико-социальный колледж Ижевский государственный технический университет Курский государственный медицинский университет Национальная академия государственного управления при Президенте Украины, г. Киев Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Пермский государственный технический университет Петрозаводский государственный университет Среднерусский университет (гуманитарный институт) Сибирский государственный техническмй университет, г. Красноярск Тольяттинский государственный университет сервиса Челябинская государственная медицинская академия Южно-Уральский государственный университет БУ СПО «Мегионский профессиональный колледж»

АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ Части 1, 2 МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТРУДЫ 10-й Международной конференции 16-18 ноября 2009 г. Самара 2009

УДК 51, УДК 517, УДК 521 АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ: Труды 10-й Международной конференции молодых учёных и студентов. Естественные науки. Части 1, 2: Математика. Математическое моделирование. Самара: Изд-во СГОУ(Н), 2009. 39. 10-й Международная конференция молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки» проводится с целью консолидации сил молодого поколения для решения наиболее значимых проблем математических, естественных, социальных, гуманитарных, технических наук. В заголовках работ приводится е-mail, по которому заинтересованные организации и лица могут устанавливать оперативную связь с авторами. Представлены материалы исследований по математике и математическому моделированию.

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: д.-р. физ.-мат. наук проф. В.П. Радченко (отв. редактор), д-р. хим. наук проф. А.С. Трунин, д.-р. физ.-мат. наук проф. А.Ф. Заусаев, канд. физ.-мат. наук доцент Е.Н. Огородников канд. физ.-мат. наук доцент М.Н. Саушкин (отв. секретарь)

ISBN 978-5-7964-1027-1

© Авторы, 2007 © Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Cамарский государственный технический университет, © Самарский государственый областной университет (Наяновой), 2009

ПОСВЯЩАЕТСЯ 175- летию со дня рождения ВЕЛИКОГО УЧЕНОГО Д.И.МЕНДЕЛЕЕВА (1834 - 1907 гг.)

Несмотря на то, что «ЮНЕСКО» объявил 1984 год годом Д.И. Менделеева, а в журнале «Recherche» за этот год Д.И Менделеев был назван самым великим учёным всех времен (академик РАН В.Ф. Журавлёв), портрет его можно увидеть гораздо реже, чем «гения всех времен и одного народа» Альберта Эйнштейна

СОДЕРЖАНИЕ Секции МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Стр. Жангереева Г.Ж., Шамбилова Г.К. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОСТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ. (АГУ им.Х.Досмухамедова, г.Атырау, Казахстан ),e-mail: shambilova_gulba@mail.ru

Подрез Т. А., Кочкина А. Г. ПОИСК МОДЕЛИ ВСПЫШКИ ИНФЕКЦИОННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ. (НГТУ, Новосибирск), e-mail: tPodrez@rambler.ru, KochkinaAG@yandex.ru

Полосин А.Н., Чистякова Т.Б. МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССА ДВУХШНЕКОВОЙ ЭКСТРУЗИИ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРОЙ И КАЧЕСТВОМ ПЛАСТИКАТА В МНОГОАССОРТИМЕНТНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ ПОЛИМЕРНЫХ ПЛЕНОК. (СПбГТИ(ТУ), Санкт-Петербург),e-mail: polosin@rbcmail.ru

Прокудина М.В., Прокудина Л.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТОНКИХ СЛОЕВ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. (ЮУрГУ, Челябинск), e-mail: maradona87@ list.ru

Гумницкий М.Е., Прокудина Л.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В АВТОКАТАЛИТИЧЕСКИХ РЕАКЦИЯХ С ДИФФУЗИЕЙ. (Южно-Уральский государственный университет, Челябинск), email: gumm@mail.ru

Нечаева О.В., Нечаев О.В., Шурина Э.П. О ДВУХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СХЕМАХ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ. (НГТУ, г. Новосибирск), e-mail: nechov@ngs.ru, (ИНГГ СО РАН, г. Новосибирск), e-mail: howl@ngs.ru, (НГТУ, г. Новосибирск), e-mail: shurina @on-

line .sinor.ru Зверева Т. В. ГИПЕРПОЛОСА, АССОЦИИРОВАННАЯ С

m -МЕР-

НОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА.

(ЧГПУ, Чебоксары), e-mail: tz-84@mail.ru

Денисенко П.Л., Гладков С.О. ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ОБОБЩЕННОМУ УРАВНЕНИЮ ВОЛЬТЕРРА-ЛОТКА. (МГОУ, Москва), e-mail petr.dl@mail.ru ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Секция МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 665.330.115 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО - СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ Жангереева Г.Ж., Шамбилова Г.К. (АГУ им.Х.Досмухамедова, г.Атырау, Казахстан ), e-mail: shambilova_gulba@mail.ru Особенностью большинства технологических объектов и процессов нефтепереработки, в которых участвует человек, является их сложность, которая проявляется в значительном числе и многообразии параметров, определяющих течение процессов, в большом числе внутренних связей между параметрами, в их взаимном влиянии, а также в неформализуемом действии человека, участвующего в контуре управления. В этих условиях при исследовании объектов и построении их математических моделей возникает проблема неопределенности, т.к. исходная информация, которую реально удается собрать для моделирования и оптимизации исследуемого объекта, может оказаться в значительной степени неполной и нечеткой. Такая проблема связана с тем, что обычно сложные объекты, количественно трудноописываемы, а специальные средства сбора и обработки необходимых статистических данных в промышленных условиях недостаточны, не обладают необходимыми свойствами или отсутствуют.

Проблему, связанную с недостатком информации, можно решить следующими способами: либо стараются уменьшить дефицит информации, либо примиряются с недостатком информации и продолжают исследование в сложившихся условиях. Попытки распространения традиционных методов моделирования на количественно трудноописываемые объекты (технологические объекты нефтепереработки) особо хороших результатов на практике не дают, несмотря на существенное развитие математических методов и средств вычислительной техники. На практике такими объектами и процессами достаточно хорошо управляет человек (оператор-технолог, руководитель). Человек в таких случаях довольно успешно справляется неопределенностью и сложностью процесса управления. В отличие от машины, человек использует нечеткие качественные понятия и довольно успешно ориентируется в сложной обстановке. В связи с этим возникает задача как передать способности человека машине для моделирования и управления сложными промышленными объектами и производственными процессами. Для решения такой задачи требуются специальные методы формализации нечеткости и обработки размытой, качественной информации.

Одно из направлений в решении проблем неопределенности связано с созданием математического аппарата для описания и исследования нечетко определенных объектов. При этом нечеткость суждений, представлений и понятий человека вводится в формальные модели различными способами. Развиваются два направления способов формализации нечеткости: - обобщение понятия принадлежности элемента множеству, приводящему к размыванию границ множества (элемент принадлежит множеству с различной степенью принадлежности); - описание нечеткости с помощью семейства упорядоченных четких множеств. Как известно при моделировании и управлении в условиях неопределенности широко используется вероятностный подход, где с параметрами математических моделей связываются функции плотности распределения объективной вероятности. Однако очень часто нет существенных оснований для предположения о наличии статистической устойчивости (многократная воспроизводимость результатов эксперимента в одинаковых условиях), при выполнении которой вероятностный подход оправдан. Например, теория вероятностей не дает возможности описать предпочтения эксперта или его уверенности в том или ином суждении, т.е. описать лингвистическую неопределенность. Этот вид неопределенности легко формализуется с помощью теории нечетких множеств, являющейся математической формализацией нечеткой информации. Для качественного анализа реальных объектов и систем нужны подходы, для которых высокая точность и строгость математического формализма не является чем-то абсолютно необходимым и в которых используется методологическая схема, допускающая нечеткости и частичные истины. На основе экспериментально-статистических методов разрабатываются статистические модели реальных технологических агрегатов нефтепереработки. При этом возможно многократное измерение входных переменных x1 ,...., x n (факторов) и выходных переменных (параметров)

y1 ,...., y m по результатам которого устанавливают зависимость y i = f ( x1 ,...., x n ), i = 1, m (1) Наиболее часто в виде модели используются уравнения множественной регрессии (полиномы):

y = a0 +

∑

i= 1

a i xi +

∑∑

i= 1 j= 1

a ij xi x j ,

(2)

где a 0 , a i , a ij - коэффициенты регрессии. Обычно сначала ограничиваются наиболее простой линейной моделью ( aij = 0 ) и только в случае ее неаде-

кватности усложняют модель введением членов, учитывающих взаимодействие факторов xi x j (i = j ) , или квадратичных членов x ij . Существуют следующие подходы к моделированию объектов, удовлетворяющие этим требованиям, которые основаны на методах теории нечетких множеств. 1. Подход, основанный на построении статистических моделей объектов с нечеткими коэффициентами на основе методов регрессионного анализа. Модели, полученные на основе такого подхода, успешно используются при моделировании и управлении рядом технологических объектов нефтеперерабатывающей промышленности. В общем случае нечеткие модели, получаемые на основе этого подхода, имеют вид нечеткого уравнения множественной регрессии:

y j ~ = a0 j ~ +

∑

i= 1

a ij ~ xij +

∑∑

i= 1 j= 1

a ikj ~ xij x kj ,

j = 1, m

(3)

2. Подход, основанный на использовании логических правил условного вывода, например, в следующем виде: ifx 1~ ∈ A1~ ( x 2~ ∈ A2~ (,...., ( x n~ ∈ An~` ),...., ), then y ~j ∈ B ~j ; j = 1, m (4) ~ ~ где x i , i = 1, n, y j , j = 1, m - соответственно, входные и выходные

~ ~ лингвистические переменные объекта Ai B j - нечеткие подмножества,

~ ~ характеризующие x i , y j .

Преимуществом такого подхода является возможность его использования при моделировании объектов, для которых сбор статистической информации стоит очень дорого, затруднен или невозможен. 3. При построении моделей систем, представляющей собой комплекс взаимосвязанных агрегатов различного типа (технологические установки), с различной исходной информацией приходится использовать комбинированную информацию. В этом случае модели отдельных объектов в системе могут быть построены разными методами, причем должна быть учтена возможность объединения этих моделей в пакет для моделирования работы системы в целом. Для построения статистических моделей применяют два вида экспериментов: пассивный и активный. Традиционно широко используется пассивный эксперимент в форме длительного наблюдения за ходом исследуемого

процесса, что позволяет собрать обширный ряд данных для последующего статистического анализа.

Постановка задачи

Выбор факторов и параметров

Выбор вида модели

Планирование экспериментов

Построение статистической модели

Проверка аде-

Нет

кватности модели

Корректировка модели

Да Информационная модель

Исследование процесса с помощью модели

модель

Оптимизация Оптимизационная процесса с помощью модели

Определение параметра оптимизации и ограничений

Управление процессом с помощью модели

Модель управления

Этапы разработки статистической модели. При активном эксперименте, когда имеется возможность регулирования условий проведения опытов, чаще всего изучают сначала влияние одного фактора при прочих постоянных, затем переходят к исследованию другого фактора, что не дает возможность отчетливо выявить их взаимное влияние. При планировании активного эксперимента наиболее эффективно одновременное варьирование величины всех факторов по определенному плану, при этом удается выявить взаимодействие факторов и существенно сократить объем экспериментов. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ

1. 2.

СПИСОК

Дьячко А.Г. Математическое моделирование систем. М. Металлургия. 1993.

Алиев Р.А., Церковний А.Э. Управление производством при нечетной исходной информации. М. Энергоиздат. 1991. 3. Колесников И.В. Моделирование и оптимизация процессов нефтепереработки. М. МИНиГП. 1982. 4. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шоколин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М. Энергоатомиздат. 1996.

УДК 51-7 ПОИСК МОДЕЛИ ВСПЫШКИ ИНФЕКЦИОННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ

Подрез Т. А., Кочкина А. Г. (НГТУ, Новосибирск), e-mail: tPodrez@rambler.ru, KochkinaAG@yandex.ru В мире проводятся исследования вспышек инфекционных заболеваний. В настоящий момент представляет интерес математического моделирования инфекционного процесса. В магистерской работе делается попытка исследования ряда нелинейных динамических моделей, которые могли бы описать такие вспышки инфекционных заболеваний. К известным математическим моделям нелинейной динамики относятся модели, описывающие системы с помощью дифференциальных уравнений. Так же для описания динамических систем используют аппарат дискретных отображений, графы и т.д. Как один из способов описания динамического процесса авторы предлагают использовать аппарат дифференциальных уравнений. Построение модели «вспышки» было разбито на следующие этапы: 1. выбор нелинейных динамических моделей, которыми можно было бы описать процесс «вспышки»;

2. изучение специальных методов исследований (построение бифуркационных диаграмм и карт динамических режимов и т.д.); 3.качественный анализ отобранных моделей; Что такое вспышка? Вспышка – это внезапный и кратковременный импульс, похожий на горб волны. В науке есть такое понятие как солитон. Солитон – это «уединенная» волна, распространяющаяся в нелинейной среде. Проводя аналогию между вспышкой и солитоном, авторы предлагают использовать солитон как одну из возможных моделей описания вспышки. В ходе работы был отобран ряд дифференциальных уравнений, имеющих солитонное решение, в частности уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ) и Sin-Гордона. Одним из преимуществ этих уравнений является существование их аналитических решений. Уравнение Кортевега де Фриза имеет следующий вид: ut+ uux+uxxx=0 (1) где u – функция, зависящая от координаты x и времени t; ut – частная производная от функции u по времени; ux – частная производная от функции u по координате x; uxxx – третья производная от функции u по координате x. Решение уравнения КдФ является бегущей волной. Оно учитывает проявление более сложных эффектов вследствие дополнительных слагаемых uux и uxxx. Одно из решений этого уравнения имеет вид: u(x,t)=2k2ch-2[k(x-4k2t)+x0] (2) На рисунке 1 изображен солитон уравнения Кортевега де Фриза.

Рисунок 1. – солитон КдФ

Уравнение Sin-Гордона имеет следующий вид: uxx –utt= sin(u) (3) где u(x,t) – функция, зависящая от координаты x и времени t; uxx – вторая производная от u по x; utt – вторая производная от u по t; Решением уравнения (3) является так называемый топологический солитон: u(x,t) =4arctg[exp(ax+bt+x0)] (4) На рисунке 2 представлен солитон Синус-Гордона.

Рисунок 2. – солитон КдФ

Импульсообразные решения могут быть получены как производные от решении (4). Часто именно эти выражения называются солитонными решениями уравнения sin-Гордон. Необходимо проверить возможность использования солитонных моделей для моделирования вспышек инфекционных заболеваний. В исследовании нелинейных динамических моделей центральным моментом является качественный анализ отобранных моделей, т.е. построение фазовых портретов, отображающих поведение системы во времени в зависимости от начальных условий и значений параметров, а так же построение бифуркационных диаграмм и т.д. Путем изменения начальных условий и параметров системы, получена галерея фазовых портретов системы. С их помощью были выделены точки устойчивости системы. Используя полученные значения параметров при исследование фазовых портретов, построены бифуркационные диаграммы, с помощью которых выявлены области с качественно различным поведением системы. В дальнейшем предполагается проверить работу модели на реальных данных. УДК 004.94:678.057.32 МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССА ДВУХШНЕКОВОЙ ЭКСТРУЗИИ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРОЙ И КАЧЕСТВОМ ПЛАСТИКАТА В МНОГОАССОРТИМЕНТНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ ПОЛИМЕРНЫХ ПЛЕНОК

Полосин А.Н., Чистякова Т.Б. (СПбГТИ(ТУ), Санкт-Петербург), e-mail: polosin@rbcmail.ru Полимерные пленочные материалы, изготавливаемые из поливинилхлорида, полипропилена и полиэтилентерефталата методом каландрования, широко используются для упаковки лекарственных средств, медицинских препаратов и пищевых продуктов. Поэтому к качеству их поверхности предъявляются высокие требования, основным из которых является отсутствие термических дефектов (дырок, черных точек, деструкционных полос), вызванных перегревом и разложением полимерного материала, и твердых включений (дефектов типа «рыбий глаз»), образующихся вследствие неполного рас-

плавления материала. Качество пленки в значительной степени определяется температурно-временным воздействием на полимерный материал в двухшнековом экструдере с зацепляющимися шнеками, используемом в качестве смесителя-пластикатора для подготовки питания каландра. Учитывая, что в промышленных условиях автоматический контроль времени пребывания и температуры пластиката не осуществляется (операторы принимают решения по управлению на основе визуальной оценки качества экструдата), при построении компьютерной системы управления каландровой линией актуальна разработка математической модели для выбора управляющих воздействий на экструдер, обеспечивающих требуемые показатели качества пластиката. Наиболее часто в современных экструзионно-каландровых производствах полимерных пленок для плавления и смешения используются двухшнековые экструдеры с односторонним вращением шнеков, что обусловлено их высокими функциональными характеристиками, основными из которых являются: интенсивное дисперсное плавление, распределительное и диспергирующее смешение, высокоэффективная самоочистка шнеков. Наличие валковых и боковых зазоров зацепления, обеспечивающих геометрическую совместимость шнеков экструдера, приводит к развитию в продольном направлении канала каждого шнека перетока перерабатываемого материала из одной С-образной секции в другую. Этот переток обусловлен затягивающим влиянием движущихся поверхностей сопряженных шнеков и наличием в зоне зацепления градиента давления, причиной возникновения которого является выжимающее действие витков нарезки сопряженного шнека и сопротивление экструзионной головки. Поток утечек приводит к увеличению времени пребывания и температуры материала в экструдере, что определяет сложность управления качеством каландрованных пленок, характеризующихся широким ассортиментом по типу пленкообразующего полимера и рецептуре. Задача управления качеством пластиката заключается в определении по модели таких значений частоты вращения шнеков N min ≤ N ≤ N max и температуры корпуса Tb

min

≤ Tb ≤ Tb

max

, которые обеспечивают выполнение

(

)

ограничений на температуру Tmelt < T Gextruder , T polymer , N , Tb < Td ,

(

)

min степень смешения γ Gextruder , T polymer , N , Tb ≥ γ и индекс термиче-

(

)

ской деструкции пластиката I d Gextruder , T polymer , N , Tb ≤ I d двухшнекового

Gextruder

для

геометрическими характеристиками = D, B, H , ϕ , e, z f , δ a , δ s при переходе каландровой ли-

{

экструдера

max

}

нии на новый тип полимерного материала T polymer Здесь N min , N max , Tb

min

, Tb

управляющих воздействий; Tmelt , Td

max

– регламентные диапазоны

– температуры плавления и де-

струкции полимера, ºС; γ min , I d

max

– предельные значения показателей

качества, определяемые в результате лабораторных исследований; D – диаметр шнеков, м; B , e – шаг и толщина витков нарезки, м; H – глубина канала, м; ϕ – угол наклона нарезки; z f – число заходов нарезки; δ a ,

δ s – валковый и боковой зазоры, м. Невозможность корректного аналитического расчета нестационарных полей скоростей потоков и температуры в двухшнековом экструдере по уравнениям Навье–Стокса для неньютоновской жидкости с учетом реальной геометрии каналов шнеков предопределяет использование для описания структуры потоков типовых гидродинамических моделей и их сочетаний. Импульсные переходные характеристики двухшнековых экструдеров, полученные в ходе экспериментов с металлическими трассерами, характеризуются явно выраженной правосторонней асимметрией и показывают, что течение полимерного материала протекает в режиме, отличном от идеального смешения и идеального вытеснения [1]. Поэтому для описания структуры гидродинамики потоков в двухшнековом экструдере, который рассматривается как насос для транспортировки расплава (при дисперсном плавлении полимер переходит в вязкотекучее состояние практически мгновенно по сравнению с временем его пребывания в экструдере), использована модифицированная ячеечная модель с рециклами [2] (рис. 1). В соответствии с ней каждый из шнеков представляется в виде совокупности ячеек идеального смешения, связанных между собой прямыми потоками Qi , описывающими поступательное течение расплава, и обратными потоками (потоками утечек) Qr . Q0 С0 T0

Q1 2

Qi-1 Qr

i–1

m–1

Qm-1 Q0

i+1

С T

Рис. 1. Структурная схема математической модели Математическая модель структуры гидродинамики потоков в двухшнековом экструдере с термонейтральными шнеками представляет собой систему уравнений материального и теплового баланса ячеек, дополненную начальными условиями, сформированными исходя из того, что до момента подачи трассера в экструдер его в основном потоке расплава полимера не было: Q1 = Qm − 1 = Q0 + Qr , Qi = Q0 + 2 ⋅ Qr , i = 2, m − 2 , Qm = Q0 ,

Qr = r ⋅ Q0 ;

Ψ ⋅ Vc ⋅

dCi = Qi − 1 ⋅ Ci − 1 − Qi ⋅ Ci + Qr ⋅ Ci + 2 , dt 15

i = 1, 2

, 0< t ≤ Θ ,

Ψ ⋅ Vc ⋅

dTi V ⋅ η ⋅ γ 2 + α b ⋅ S c ⋅ ( Tb − Ti ) = Qi− 1 ⋅ Ti− 1 − Qi ⋅ Ti + Qr ⋅ Ti + 1 + Ψ ⋅ c i dt ρ m ⋅ cm

;

dCi = Qi − 1 ⋅ Ci − 1 − ( Qi + Qr ) ⋅ Ci + Qr ⋅ Ci + 2 , i = 3, m − 2 , dt dTi Vc ⋅ η i ⋅ γ 2 + α b ⋅ S c ⋅ ( Tb − Ti ) Ψ ⋅ Vc ⋅ = Qi− 1 ⋅ Ti− 1 − ( Qi + Qr ) ⋅ Ti + Qr ⋅ Ti + 1 + Ψ ⋅ dt ρ m ⋅ cm Ψ ⋅ Vc ⋅

;

dCi Ψ ⋅ Vc ⋅ = Qi − 1 ⋅ Ci − 1 − ( Qi + Qr ) ⋅ Ci , C = Cm , dt Ψ ⋅ Vc ⋅

i = m − 1, m

dTi V ⋅ η ⋅ γ 2 + α b ⋅ S c ⋅ ( Tb − Ti ) = Qi − 1 ⋅ Ti − 1 − ( Qi + Qr ) ⋅ Ti + Ψ ⋅ c i , dt ρ m ⋅ cm

T = Tm ; Ci

t=0

= 0 , Ti

t =0

= Tmelt , i = 1, m ,

где m – число ячеек идеального смешения; Q0 – производительность экструдера, м3/с; r – доля потока утечек через зазоры зацепления; Ψ – степень заполнения экструдера; Vc – объем ячейки, определяемый как отношение рабочего объема экструдера к числу ячеек, м3; Ci – концентрация трассера в i-й ячейке, кг/м3; C 0 – входная концентрация трассера (импульс), кг/м3; t – время, с; Θ – время исследования, с; Ti – температура в i-й ячейке, ºС;

T0 – входная температура, ºС; η i – вязкость расплава в i-й ячейке, Па·с;  – скорость сдвига, 1/с; αb – коэффициент теплоотдачи от корпуса к расγ

плаву, Вт/(м2·ºС); S c – площадь поверхности теплоотдачи в ячейке, м2; ρ m , c m – плотность (кг/м3) и удельная теплоемкость (Дж/(кг·ºС)) расплава. Производительность экструдера определяется разностью расходов прямотока и противотока через зазоры под действием давления в головке:

{

(

)[ (

) ]}

Q0 = 2 ⋅ z f ⋅ V − π ⋅ H ⋅ B − z f ⋅ e ⋅ D ⋅ 1 − 0,5 ⋅ cos2 ϕ ⋅ Fd ⋅ Fc − H ⋅ N , где V – объем С-образной секции шнека, рассчитываемый по формуле:

B− zf ⋅ e  D  H   ⋅  π ⋅ (D − H )⋅ H − ⋅  D ⋅ arccos 1 −  − ( D − H ) ⋅ sin arccos 1 − zf 2 D     

; Fd – коэффициент влияния боковых стенок каналов на прямоток; Fc – коэффициент влияния кривизны каналов на поток. Вязкость расплава как псевдопластичной жидкости зависит от температуры и скорости деформации сдвига по уравнению Оствальда–де’Вилье:

η i = µ 0 ⋅ exp[ − b ⋅ ( Ti − Tr ) ] ⋅ γ n− 1 ,

γ = 2 ⋅ π ⋅ N ⋅

H) + 2

[( D −

2 H) δ s] ,

где µ0 – коэффициент консистенции при температуре приведения Tr, Па·сn; b – температурный коэффициент вязкости, 1/ºС; n – индекс течения. Модель решается явным одношаговым методом Рунге–Кутты четвертого порядка точности. Для проверки сходимости реализована процедура деления шага по времени пополам. В результате рассчитывается С-кривая экструдера и температура пластиката. По С-кривой с использованием метода прямоугольников вычисляется среднее время пребывания полимерного материала в экструдере. Проверка модели, выполненная по критерию Фишера и коэффициенту детерминации для экструдера с диаметром шнеков 50 мм при переработке поливинилхлорида, подтвердила ее адекватность и работоспособность (рис. 2). С ростом частоты вращения шнеков время пребывания уменьшается, что соответствует экспертным оценкам. По времени пребывания и температуре экструРис. 2. Зависимость времени пребывания от частоты дата рассчитываются вращения шнеков при разных производительностях показатели качества экструдата γ, Id [3]. Таким образом, разработана математическая модель динамики процесса двухшнековой экструзии, позволяющая рассчитать среднее время пребывания, температуру и показатели качества экструдата и выбрать управляющие воздействия на экструдер, обеспечивающие заданное качество для различных типов полимерных пленок и геометрических характеристик экструдеров. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Shon K., Chang D., White J.L. A comparative study of residence time distributions in a

kneader, and twin screw extruders // Intern. polym. proc. 1999. Vol. 14, № 1. P. 44–50. 2. Puaux J.P., Bozga G., Ainser A. Residence time distribution in a corotating twin-screw extruder // Chem. eng. sci. 2000. Vol. 55, № 9. P. 1641–1651. 3. Полосин А.Н., Плонский В.Ю. Расчет термической деструкции полимерного материала в экструдере // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: В кн.: Материалы V Всерос. науч.-техн. конф. Н. Новгород. 2002. С. 13–14.

УДК 532.5 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТОНКИХ СЛОЕВ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА Прокудина М.В., Прокудина Л.А. (ЮУрГУ, Челябинск) e-mail: maradona87@ list.ru Актуальность и практическая значимость изучения течений тонких слоев вязкой жидкости (жидких пленок) связана с их широкой реализацией в многочисленных аппаратах теплоэнергетической, химической промышленности (пленочные ректификаторы, колонны с плоско-параллельной насадкой, абсорберы и др.). Математическая модель течения жидкой пленки (толщиной δ ) по наклонной поверхности под действием силы тяжести представлена системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [1]: 2 ц∂ ∂u u ∂ u u∂ P ∂ 1 ж 2u ∂ 2u u +u v + w + F x = −з 2 +2 + ; + ч 2 ∂t x ∂ y z∂ x ∂ Re и ∂ y ∂ x ∂ z ∂ ш ∂v v ∂ v +u v + ∂t x ∂ y

v∂ + z∂

∂w w ∂ w w∂ +u v + w ∂t x ∂ y z∂

∂ 1 ж 2v∂ F y = −з 2 ∂ Re и ∂ y ∂

P y +

P z

∂ 1 ж 2w ∂ F z = з− 2 ∂ Re и ∂ y ∂

∂u v ∂ w ∂ + + = 0. ∂x y ∂ z ∂ Граничные условия: при y = 0 : u = v при y = δ :

0; =

ц∂ ч ш

2 2 v v + 2 + ; x ∂ z2 ∂ 2 w +2 x ∂

w + ; z2

∂

∂ ∂

+ ∂ц ч ш

+ ∂

1 й ∂ u δ∂ v ∂ ж vδ ∂ u −2 − к2 з Re л ∂ x x∂ y x ∂ и x∂ y

∂ цж u +чз z∂ ши z

∂w + ∂x

цδ ∂ Mч ш ∂x

∂ + ∂

∂ ∂

щ ъ ы

2 ж ∂ 2u ц w∂ + Nз 2 + τ x 0; + = ч ∂ x z∂ и ∂x ш щ 1 й ∂w δ∂ v ∂ ж vδ ∂ w ∂ цж u ∂w ∂ ∂ цδ ∂ −2 − + чз + Mч + + ъ к2 з Re л ∂ z z ∂ y z ∂и z∂ y x∂ ши z ∂x ∂ ∂ ш ∂z ы 2 2 ж∂ w ц u ∂ + Nз 2 + τ z 0;ч + = ∂ z ∂ x z ∂ и ш щц δ 2 й∂v ж u ∂ v δ ∂ ц w ∂ v ж ∂ ж 2δ ∂ ц 2 ∂ ∂ δ P= − +ч − σ з 2 +ч 2 , − к ъч з з Re л ∂ y и y ∂ x x ∂ ш y ∂ z и z ∂ и ∂ x ∂ ш z ∂ ∂ ыш где u, v , w – составляющие скорости по осям x, y, z соответственно; t – время; P – давление, Re – число Рейнольдса, σ − коэффициент поверхностного натяжения, τ − постоянное касательное напряжение на поверхности жидкой пленки, M − параметр термокапиллярных сил, N − параметр поверхностной вязкости. Из исходной системы уравнений, получено уравнение свободной поверхности трехмерной жидкой пленки: 4 4 4 3 3 ∂ ∂ ∂ψ ∂ ψ ∂ ψ ∂ ж ц ∂ ψ a + a a + a a + a + a a + 7 9 13 1 2 3 4 5 з 4ч 2 2 4 3 3 z ∂ t ∂ x ш∂ x z∂ ∂ z x ∂ z ∂ и ∂x 3 2 ∂ 3ψ ∂ ψ 2 ∂ ψ 2 ∂ ψ ∂ ψ a62 + 2 a6 2 a8 + a10 2 +a11 a12 + 0, 2 ∂ x z∂ ∂ x z ∂ ∂ ∂ x z∂ x z ∂ ∂x z где ψ ( x, z , t ) − отклонение свободной поверхности пленки от невозмущенного состояния, 2 Re 2 Fx N Re2 Fz N Re σ Re σ , a2 = − Re σ , a3 = − , a4 = − , a5 = − , a1 = − 3 3 3 2 2 Re Fy Re M 3 5 a16 = a5 , a62 = a4 , a6 = − − Re3 F x (+τ x F x ) , a7 = Re 2 Fx ,+ 3 2 40 24 3 5 a8 = Re3 ( Fzτ x Fx z τ2F+ x Fz ) , a9 = + Re 2 Fz , 40 24 Re Fy Re M 3 a10 = − − Re3 F z (+τ z F z ) , a11 = −Re Fx Re + τ x−, 3 2 40 a12 = −Re Fz Re τ z−, a13 = −1 . Линейная устойчивость жидкой пленки. Дисперсионное уравнение ( ω r + i i ) (ωa7 k x a9 k z +ia13 ) a1k x4− a2k x2k z2 +a3k z4 a6k x+2 a8k x k z a10k+z2

+ a16

−

∂

+ i ( a−4 k x3 a5 k z3 − a61k x2k z

a−62k x k z2 a11k x −a12k z

)

позволяет рассчитать волновые характеристики ( ω r – частота, ω i – инкремент) с учетом различных физико-химических факторов для малых чисел Рейнольдса ( Re Ј 3 ). Вычислительный эксперимент проведен для двух жидкостей – воды и этилового спирта. Учитывая, что при достаточно малых значениях числа Рейнольдса (Re < 1), силы вязкости превосходят силы инерции, исследуемый диапазон 0 < Re Ј 3 разбит на два: 0 < Re 1 <и 1 Ј Re 3 .Ј Результаты вычислительного эксперимента для вертикальной жидкой пленки воды представлены на рис.1–3, а для этилового спирта – на рис.4. По результатам вычислительного эксперимента можно сделать выводы: 1. Течение жидкой пленки под действием силы тяжести неустойчиво для всего исследуемого диапазона чисел Рейнольдса (область неустойчивости для воды рис.1 и для этилового спирта рис. 4). 2. Для Re<1 течение жидких пленок отмечено более низкими значениями инкремента ω i (рис. 2) по сравнению со значениями инкремента для чиω сел Рейнольдса 1 Ј Re 3 Ј (рис. 3). Безразмерная фазовая скорость cr = r k изменяется в диапазоне 2, 99994 < cr Ј 3 для воды и 2, 99984 < cr Ј 3 для этилового спирта. 3. С ростом числа Рейнольдса наблюдается увеличение волнового числа, соответствующего максимальному значению инкремента ω i max (кривая 2 рис 2π 1 и рис 4), что ведет к уменьшению длины волны ( λ = ). k 4. Течение пленок жидкости с меньшим поверхностным натяжением более неустойчиво, что подтверждается высокой скоростью роста возмущений для всего исследуемого диапазона чисел Рейнольдса. Для этилового спирта область неустойчивости (рис.4) почти в два раза шире по диапазону волновых чисел, чем область неустойчивости для воды (рис.1). Максимальное значение инкремента ω i max для этилового спирта также соответствует более высоким значениям волновых чисел k (кривая 2 рис.4), чем для воды (кривая 2 рис.1). 5. Фазовая скорость жидких пленок воды больше фазовой скорости пленок этилового спирта. Особенно существенно это различие для диапазона 1 Ј Re 3 Ј.

k 0 ,0 6 0 ,0 5 0 ,0 4 1 0 ,0 3 2 0 ,0 2 0 ,0 1

0 ,1

Рис. 1. Область неустойчивости (вода): 1 – кривая ωi=0; 2 – кривая ωi max

10 -3

0,10

-3

0,06

0,02

0 0

0,01

0,02

Рис. 2. Инкремент: 1 – Re=0,4; 2 – Re=0,6; 3 – Re=0,8

0,02

0,04

0,06

Рис. 3. Инкремент: 1 – Re=1; 2 – Re=2; 3 – Re=3

k 0,10

0,08

0,06 1 0,04 2 0,02

0,1

Рис. 4. Область неустойчивости (этиловый спирт): 1 – кривая ωi=0; 2 – кривая ωi max БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1.

Прокудина Л.А., Вяткин Г.П. Неустойчивость неизотермической жидкой пленки // Доклады РАН. -1998.- Т. 362, №6.- С.770-772.

УДК 577.3; 517.9 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В АВТОКАТАЛИТИЧЕСКИХ РЕАКЦИЯХ С ДИФФУЗИЕЙ Гумницкий М.Е., Прокудина Л.А. (Южно-Уральский государственный университет, Челябинск), e-mail: gumm@mail.ru В химических, физико-химических и биохимических системах c диффузией компонентов возникает неустойчивое состояние системы. Математическое моделирование таких систем позволяет исследовать неустойчивое состояние системы, изучить влияние диффузионной неустойчивости и нелинейное развитие возмущений. Рассмотрим модель автокаталитических реакций с диффузией (модель Филда-Нойеса-Кёроса) [1]: k1

A + Y → X ; X + Y → P; B + X → 2 X + Z ; 2 X + Y → Q; Z → fY , (1) где X – бромистая кислота HBrO 2 , Y – бромид Br − , Z – церит , A = B – бромат-ион BrO 3 , P = Q – концентрация продуктов, f – стехиометрический коэффициент. Кинетические уравнения системы (1) с учетом диффузии компонентов (при пренебрежении обратными реакциями) запишутся в виде: ∂X ∂ 2X = k1 AY − k 2 XY + k 3 BX − 2k 4 X 2 + D x , ∂t ∂ξ 2

−

∂Y ∂ 2Y ∂Z ∂ 2Z = − k1 AY − k 2 XY + fk 5 Z + D y , = k BX − k Z + D , 3 5 z ∂t ∂t ∂ξ 2 ∂ξ 2 (2) D , D , D где x y z – коэффициент диффузии компонентов. Стационарное решение системы (2) имеет вид: 2 k k AB (1 + f )  1  k B (1 − f ) k1 A   1  k3 B (1 − f ) k1 A    +    + 1 3 X 0 =  3 − − 2 2k 4 k2   4  2k 4 k2  2k 2 k 4    (3) где X 0 ≥ 0, Y0 ≥ 0, Z 0 ≥ 0 определяют равновесное состояние системы. Для исследования неустойчивости системы при отклонении от равновесия X = X 0 + x, Y = Y0 + y, Z = Z 0 + z , запишем систему в возмущениях x, y , z :

1/ 2

∂x ∂ 2x ∂y ∂2 = a1 x + a2 y + a3 xy + a4 x 2 + Dx , = b y + b x + b z + b xy + D 1 2 3 4 y ∂t ∂t ∂ξ 2 ∂ξ (4) где

a1 = − k 2Y0 + k 3 B − 4k 4 X 0 , a2 = k1 A + k 2 X 0 , a3 = − k 2 , a4 = − 2k 4 , b1 = − k1 A −

c1 = k3 B, c2 = − k 5 Z 0 .

Исследуя неустойчивость стационарного состояния (3) по отношению к возмущениям x j (ξ , t ) ≈ exp( kξ − ω t ), получим дисперсное уравнение: ω где ω = ω

− ip1ω

+ p 2ω − ip 3 = 0,

(5)

+ iω i , ω r – частота, ω i – скорость роста возмущений,

p1 = a1 + b1 + c2 − k 2 ( Dx + D y + Dz ), p2 = ( a1 + b1 − k 2 ( Dx + D y ))( c2 − k 2 Dz ) p3 = ( a1 − k 2 Dx )( b1 − k 2 D y )( c2 − k 2 Dz ) + a2b3c1 − a2b2 (c2 − k 2 Dz ).

(6) Численное исследование системы [2]. При 0 ≤ k ≤ 150 значения X 0 ≥ 0, Y0 ≥ 0, Z 0 ≥ 0 , что позволяет исследовать систему на устойчивость. Система неустойчива для значений стехиометрического коэффициента 0.25 ≤ f ≤ 1.5 ( f ≠ 1). При k ≥ 0 наблюдается два типа неустойчивости: смена устойчивости ( ω r = 0 ) и колебательная неустойчивость ( ω r ≠ 0 ). Для обоих типов неустойчивости скорость роста возмущений ω i в зависимости от k и f представлены на рисунках 1-4. При меньших значениях стехиометрического коэффициента f наблюдается рост ω i при f < 1 и уменьшение ω i при f > 1 , причем при переходе через f = 1 скорость возмущений ω i различна. На скорость скорости роста возмущений ω i также оказывают влияние диффузия Dx и D y (рис. 5, 6). Увеличение диффузии D y приводит к уменьшению ω i , а увеличение диффузии Dx приводит к увеличению ω i .

400

ωωi i

200

f = 1.3

100

f = 0. 3

300

f = 1.2

f = 0. 4 50

f = 1 .1

100

f = 0 .5 0

100

k Рисунок 1 – Зависимость скорости роста возмущений от k при f < 1 , ω r = 0

150

ω ωii

100

f = 0.3

150

Рисунок 2 – Зависимость скорости рос возмущений от k при f > 1 , ω r =

f = 1.3

f = 1.2

f = 0. 4 f = 1 .1

f = 0 .5

k Рисунок 3 – Зависимость скорости роста возмущений от k при f < 1 , ω r ≠ 0 0

100

150

100

Рисунок 4 – Зависимость скорости рос возмущений от k при f > 1 , ω r ≠

200 3

1× 10

D y = 0.008 D y = 0.016

ωωi i

100

D y = 0.064

D x = 0.064

500

D x = 0.016 kk Рисунок 5 – Зависимость скорости роста возмущений от k и D y при f = 0.5, 0

100

150

D x = 0.008 0

100

Рисунок 6 – Зависимость скорости рос возмущений от k и D x при f = 0.

ωr = 0

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Noyes R.M., Field R.J., Koros E. Oscillations in chemical systems // J. Amer. Chem. Soc. 94. Pp. 1394 - 1395. 1972. 2. Edelson D., Field R.J., Noyes R.M. Mechanistic detail of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Int. J. Chem. Kin. 7, pp. 417 - 432, 1975.

УДК 519.24

О ДВУХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СХЕМАХ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Нечаева О.В (НГТУ, г. Новосибирск), e-mail: nechov@ngs.ru Нечаев О.В. (ИНГГ СО РАН, г. Новосибирск), e-mail: howl@ngs.ru Шурина Э.П. (НГТУ, г. Новосибирск), e-mail: shurina@online.sinor.ru Введение. Представленные в данной работе вычислительные схемы базируются на векторном методе конечных элементов (ВМКЭ), для системы уравнений Максвелла во временной области на базе ВМКЭ [1-4] были построены смешанная векторная и модифицированная смешанная векторная вариационные формулировки. Аппроксимация системы уравнений Максвелла базируется на формулировке в терминах естественных переменных. Проведен ряд численных экспериментов по моделированию распространения электромагнитной волны в диэлектрической области. 1. Постановка задачи. Перепишем систему уравнений Максвелла в виде (1) - (2), предполагая µ = const и используя уравнения состояния:

  ∂B , (1) rot E = ∂t     ∂E −1 (2) µ rot B = ε + σE + J0, ∂ t   div ε E = ρ , div B = 0 ,   где E – напряженность электрического поля, B – магнитная индук ция, J 0 - плотность стороннего тока, σ - удельная проводимость, ρ плотность электрических зарядов, ε - диэлектрическая проницаемость, µ магнитная проницаемость, t – время, t = [t0,T]. Зададим начальные условия (3) и краевые условия (4):  E

t = t0

 = E0 ,

 B

t = t0

 = B0 ,

(3)

  E×n

= 0,

(4)

где Γ - граница области Ω , данной работе при необходимости задания неоднородных краевых условий на границе Γ использовалось представ    ление: E = Eor + E g , где Eor - новая неизвестная переменная, удовлетво ряющая однородным краевым условиям, E g - некоторая заданная функция, удовлетворяющая неоднородному краевому условию на Γ . Из системы (1) – (2) получим уравнение второго порядка относительно  вектора напряженности электрического поля E во временной области, для  этого исключим вектор магнитной индукции B :

rot µ

−1

    ∂J0 ∂ 2E ∂E rot E + ε +σ = − . ∂ t2 ∂t ∂t

(5)

Для решения системы (1), (5) зададим краевые условия (4) и начальные условия (6):  E

t = t0

  ∂E = E1 , ∂t

 = E2 .

(6)

t =t0

2.Вариационная постановка. Введем следующие функциональные пространства:   H (rot, Ω ) = v ∈ L2 (Ω ) 3 : rot v ∈ L2 (Ω ) 3 ,   H (div, Ω ) = v ∈ L2 (Ω ) 3 : div v ∈ L2 (Ω ) ,    H Γ0 (rot; Ω ) = v ∈ H (rot; Ω ) : v × n Γ = 0 ,

{ {

} } }

{

с нормами, определенными в виде:  v

 v

2 div, Ω

    = (rot v , rot v ) + (v ,v ) ,     = (div v , div v ) + (v ,v ) ,

ro t ,Ω

(⋅,⋅) означает стандартное скалярное произведение в пространстве L (Ω ) 3 . 2

Пусть в области Ω нет свободных зарядов. Смешанная вариационная постановка для системы уравнений (1), (2) имеет вид:  Вариационная постановка 1. Для J 0 ∈ C 2 ( 0, T ; H (div; Ω ) ) , найти   такие, что E ∈ C 2 ( 0, T ; H (rot; Ω ) ) , B ∈ C 2 ( 0, T ; H (div; Ω ) )

  ∀ V ∈ H Γ0 (rot; Ω ) , ∀ F ∈ H (div; Ω ) выполняется:     ∂ −1 −1 µ rot E ⋅ F d Ω = − µ B ⋅ FdΩ , ∫ ∂ t Ω∫ Ω

тµ

Ω

−1

r r rot V Чrot Bd Ω

∂ − ∂t

r r E Vd

( т EεЧ Ω J0=) Ω

r Vd .

+т σ

ЧΩ

Ω

Выпишем модифицированную смешанную вариационную постановку для стстемы уравнений (1), (5):  Вариационная постановка 2. Для J 0 ∈ C 2 ( 0, T ; H (div; Ω ) ) , найти   такие, что E ∈ C 2 ( 0, T ; H (rot; Ω ) ) , B ∈ C 2 ( 0, T ; H (div; Ω ) )

  ∀ V ∈ H Γ0 (rot; Ω ) , ∀ F ∈ H (div; Ω ) выполняется:     ∂ −1 −1 µ rot E ⋅ F d Ω = − µ B ⋅ FdΩ , ∫ ∂ t Ω∫ Ω     ∂2 ∂ −1 µ rot E ⋅ rot V d Ω + ε E ⋅ VdΩ + 2 ∫ ∫Ω ∂t Ω ∂t   ∂ = − J 0 ⋅ V dΩ ∫ ∂tΩ



∫ σ E ⋅ V dΩ

Ω

. Обозначим ВС1 и ВС2 – вычислительные схемы, построенные на базе вариационной постановки 1 и вариационной постановки 2 соответственно. 3.Результаты вычислительных экспериментов. Вычислительный эксперимент выполнялся для следующей тестовой задачи: в трехмерной диэлектрической области Ω = [− 1,2] × [0,1] × [0,1] м. заданы значения ε = ε 0

µ = µ 0 , σ = 0( Ом ⋅ м ) − 1 . На плоскости x = − 1 задается первичная элек  тромагнитная волна ( E inc , H inc ), численно моделируется распространение

волны в диэлектрической области вдоль оси OX. В расчетной области Ω строится параллелепипеидальная сетка, на каждом конечном элементе определяются векторные базисные функции первого порядка, ассоциированные с ребрами (face-элементы) и гранями (edge-элементы) параллелепипеда. Расчеты проводились во временной области [0, 6e-09] с. Первичная волна имеет аналитический вид:

((

  µ 0 ε ( x + 1) ⋅ 10 9 , E xinc ( x, t ) = E zinc ( x, t ) = 0

((

  µ 0 ε ( x + 1) ⋅ 10 9 , H xinc ( x, t ) = H zinc ( x, t ) = 0,

 E yinc ( x, t ) = AEinc g t − ,

 H yinc ( x, t ) = AHinc g t −

)

1 − cos( 2π s ), 0 ≤ s ≤ 1 µ0 inc inc g (s) =  , AEinc = 0.5 , AH = AE 0 , иначе  ε Задавались следующие краевые и начальные условия:

ε0 . µ0

  E× n

плоскости  E

t = t0

= 0 на

x = −1,

 = E inc



плоскостях x = 2 , y = 0 , y = 1 , E × n   rot E × n

 ∂E (t 0 ) , ∂t

t = t0

 ∂ E inc = ∂t

на плоскостях

 = E inc на

z = 0,

z = 1,

. t = t0

В качестве решателя использовался метод сопряженных градиентов, точность решателя зафиксирована 10-6. rE, rB обозначенa относительная по    грешность решения, E a , B a - аналитическое решение, E , B - приближенное решение.     Ea − E Ba − B rE = , rB =   , Ea Ba

⋅

- норма в пространстве

L2 (Ω ) 3 .

В Таб. 1 представлены результаты моделирования электромагнитной   волны ( E inc , H inc ) в диэлектрической области Ω , относительные погрешности rE, rB зафиксированы 25e-03. Размеры шагов по пространству обозначены hx , hy , hz , размер шага по времени обозначен dt, TCG обозначено общее время решения задачи . Таблица 1. Моделирование распространения электромагнитной волны hx, м.

ВС1 0.0062

ВС2 0.025

0.2 0.2 1e-11 95

0.1 0.1 6e-11 22

5 hy, м. hz, м. dt, с. TCG,с . Для достижения зафиксированной относительной погрешности решения разработанная на базе модифицированной смешанной векторной вариационной формулировки вычислительная схема ВС2 требует меньшего размера параллелепипеидальной сетки чем ВС1, общее время счета вычислительной схемы ВС2 меньше общего времени счета ВС1 в 4 раза. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. White D. A. Orthogonal Vector Basis Functions for Time Domain Finite Element Solution of the Vector Wave Equation // IEEE Trans. Mag. 1999. V. 35. No. 3. P. 1458-1461. 2. Monk P. Analysis of a finite element method for Maxwell's equations // SIAM J. Numer. Anal. 1992. V. 29 P. 714-729. 3. Nedelec J. C., Mixed Finite Elements in R3 // Numerische Mathematik. 1980. V. 35. No 3. P. 315-341. 4. Gedney S., Navsariwala U. An unconditionally stable finite element timedomain solution of the vector wave equation // IEEE Microwave and Guided Wave Lett. 1995. V. 5. No 10. P. 332-334. УДК 514.756.2 ГИПЕРПОЛОСА, АССОЦИИРОВАННАЯ С

m -МЕРНОЙ ПОВЕРХ-

НОСТЬЮ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА Зверева Т. В. (ЧГПУ, Чебоксары), e-mail: tz-84@mail.ru В данной работе для т-мерной поверхности конформного пространства

C n найдена ассоциированная с ней гиперполоса, в частности получены ее дифференциальные уравнения. К изучению поверхности Vm ⊂ C n применяются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод внешних форм Э. Картана [8] и теоретико-групповой метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [6]. На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения: I , J , K = 1, n; λ, µ = 0, n + 1; α, β = m + 1, n; u , v = m + 1, n − 1; i,

Рассмотрим конформное пространство C n , отнесенное к полуизотропному реперу R =

{A , A , A } 0

n+ 1

[3]. Геометрически такая специализация

2 репера R означает, что инвариантная гиперквадрика Дарбу Qn [1], [9]

проективного пространства Pn +1 оказалась отнесенной к реперу 1-го по2 рядка, то есть вершины А0, Аn+1 репера принадлежат гиперквадрике Qn , а 2

вершины АI лежат на пересечении касательных гиперплоскостей к Qn в точках А0, Аn+1; при этом уравнение гиперквадрики Дарбу имеет вид [1], [9] g IK x I x K + 2 x 0 x n+ 1 = 0 . (1.1)

В полуизотропном репере, согласно [1], [9], справедливы соотношения

ω 0n + 1 = ω 0n + 1 = ω 00 + ω ω

n+ 1 n+ 1

+ g IK ω

K 0

= 0, ω + g IK ω

dg IJ − g IK ω

K J

− g KJ ω

n+ 1 I

0 I

K I

K n+ 1

= 0,

(1.2)

= 0.

Отметим, что в силу овальности гиперквадрики (1.1) тензор g IJ невырожден: g IK g KJ = δ IJ , dg IJ + g IK ω KJ + g KJ ω IK = 0 . (1.3) На гиперквадрике Дарбу Qn проективного пространства Pn+1 возь~ 2 мем поверхность Vm , описываемую точкой A 0 ∈ Qn ; в репере 1-го поряд2

ка вершины Аi репера принадлежат касательной плоскости Tm ( A 0 ) к по~ ~ верхности Vm в точке A 0 . Прообразом поверхности Vm ⊂ Qn2 при отображении Дарбу является поверхность Vm конформного пространства C n . Дифференциальные уравнения m-мерной поверхности Vm ⊂ C n в репере 1-го порядка имеют вид ω α0 = 0, (1.4) результат продолжения которых есть

ω iα = Λ αij ω 0j , Λ α[ ij ] = 0. (1.5) Потребуем, чтобы гиперсферы Ai и Aα были ортогональны, то есть

( Ai Aα ) = g iα = 0 . Из дифференциальных уравнений (1.2 6) для равенств (1.6) имеем: g ij ω αj + g α β ω βi = 0 .

(1.6) (1.7)

Каждая из систем функций g ij , g αβ в силу (1.26), (1.3) образует невырожденный симметричный тензор: dg ij − g ik ω kj − g kj ω ik = 0, dg α β − g α γ ω βγ − g γ β ω αγ = 0; (1.8) g1 = g ij ≠ 0, g 2 = g α β ≠ 0, d ln d ln

g1 = ω jj ,

g 2 = ω αα , g ik g kj = δ ij , g α γ g γ β = δ βα ;

(1.9)

dg ij + g ik ω kj + g kj ω ik = 0, dg α β + g α γ ω βγ + g γ β ω αγ = 0. (1.10) Из (1.7) с использованием (1.5), (1.7) найдем ω αj = Λ jα k ω 0k , (1.11) где Λ jα k = − g α β g ij Λ βik . (1.12)

По аналогии с работой [4] гиперполосой H m в n-мерном конформном пространстве C n назовем поверхность Vm , оснащенную m-параметрическим

семейством

касательных

линейных

( A0 , Ln−1 ) :

элементов

A0 ∈ T m ⊂ L n − 1 ; при этом поверхность Vm называется базисной. Зададим элемент Ln −1 точкой A0 , гиперсферами Ai и n-m-1 гиперсферами Pv , то есть Ln − 1 ≡

[A , 0

Ai , Pv ] , где Pv = x v0 A0 + Av . В силу

(1.2), (1.4), (1.5), (1.11) условие инвариантности элемента

δ A0 ∈ Ln − 1 , δ Ai ∈ Ln − 1 , δ Pv ∈ Ln − 1 ) выполняется при π

n v

Ln −1

(

= 0 ; следова-

n тельно, формы ω v должны быть главными:

ω vn = Λ nvi ω i0 .

(2.1)

Из уравнений (1.82), учитывая (2.1), имеем

dg vn − g vu ω un − g vn ω nn − g un ω uv = g nn ω vn = g nn Λ nvi ω i0 .

(2.2) Из последних уравнений в силу леммы Н. М. Остиану [7] в случае g vu ≠ 0 возможна частичная канонизация репера первого порядка, при которой g vn = 0 . (2.3) Выполнение соотношений (2.3) означает, что в каждом центре A0 текущие

[

]

[

элементы Ln − m− 1 ≡ A0 Pv и L1 ≡ A0 An Из уравнений (2.2) в силу (2.3) следует

]

ортогональны.

ω un = Λ uni ω i0 .

(2.4)

Из (2.1)-(2.3) получим

g vu Λ uni + g nn Λ nvi = 0 . (2.5) Отметим, что совокупность функций g uv есть невырожденный симметричный тензор, а функция g nn есть невырожденный относительный инвариант:

dg uv − g uw ω vw − g wv ω uw = 0, dg nn − 2 g nn ω nn = 0, g uw g wv = δ vu , g nn g nn = 1, dg

+ g ω + g ω uw

v w

u w

= 0, dg

(2.6)

+ 2 g ω = 0. nn

n n

В проективном пространстве Pn+1 , следуя работе [5], наряду с точеч-

ным репером R = { A λ } рассмотрим взаимный репер {ξ λ } , состоящий из n+2 линейно независимых гиперплоскостей ξ λ :

ξ µ ) = δ µλ , dξ λ = Ω λρ ξ ρ ,

(2.7) где ξ n+1 – касательная гиперплоскость Tn ( A 0 ) ≡ [A 0 , A i , A v , A n ] к гиперквадрике Дарбу в точке А0. Продифференцировав равенства (2.71), имеем Ω ρλ = − ω λρ , то есть

dξ λ = − ω λρ ξ ρ . Так

как

силу

(1.4),

(1.6),

(2.7),

(2.8)

( A dξ ) = ( A dξ ) =0, то в проективном пространстве n+ 1

(2.8) справедливо

n+ 1

Pn+1 в точке

A 0 ∈ Qn2 характеристикой касательной к Qn2 гиперплоскости ξ n+1 является (n-m)-мерная плоскость Π

n− m

(A 0 ) ≡ [ A 0 A α ] .

2 Аналогично, в Pn+1 в точке A 0 ∈ Qn характеристикой гиперплоско-

ξ ≡ [A 0 A i ... A n−1 A n+ 1 ] сти является (n-m)-мерная плоскость ~ Π n− m ( A 0 ) . При этом (n-m-1)-мерная плоскость Π n− m− 1 ≡ A 0 A v при~ надлежит пересечению Π n− m ( A 0 ) ∩ Π n− m ( A 0 ) тогда и только тогда, n

[

]

n когда тензор Λ vi (см. (2.1)) обращается в нуль.

Принимая текущий элемент Ln− m− 1 ≡

Ln−1 прообразом плоскости Π n− m−1

[A P ]

линейного элемента ~ ≡ Π n− m ( A 0 ) ∩ Π n− m ( A 0 ) при 0

n отображении Дарбу, мы добиваемся обращения в нуль тензора Λ vi (см.

(2.9)); в этом случае линейный элемент Ln − m −1 назовем характеристикой элемента Ln−1 . В таком полуизотропном полуортогональном репере уравнение гиперполосы H m ⊂ C n (следуя работе [2], ее назовем гиперполосой кривизны), ассоциированной с поверхностью Vm ⊂ C n , в силу (1.4), (1.5), (1.10), (2.1), (2.4), (2.5) примет вид: ω α0 = ω un = ω un = 0, ω iα = Λ αij ω 0j , ω iα = Λ iα j ω 0j , (2.10) где

Λ α[ ij ] = 0, Λ ku [ j Λ ni ] k = 0, Λ kn[ j Λ ui ] k = 0, g is Λ sα j + g α β Λ βij = 0. Доказана

(2.11)

Теорема 1. С т-мерной поверхностью Vm (т<n-1) п-мерного конформного пространства C n инвариантным образом ассоциируется тмерная гиперполоса кривизны H m , для которой исходная поверхность является базисной; при этом в полуизотропном полуортогональном репере 1го порядка гиперполоса H m ⊂ C n определяется системой уравнений Пфаффа (2.10). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей // Матем. сб. – М., 1961. – Т. 53. – № 1. – С. 53-72. 2. Акивис М. А. О гиперполосах кривизны в евклидовом пространстве // Ткани и квазигруппы – Калинин: Калининский госун-т, 1980. – С. 104-109. 3. Бушманова Г. В., Норден А. П. Элементы конформной геометрии. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1972. – 178 с. 4. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. Семин. по векторн. и тензорн. анализу. – МГУ, 1950. – Вып. 8. – С. 197-272. 5. Василян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы // Докл. АН АрмССР. – 1970. – Т. 50. – № 2. – С. 65-70. 6. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1953. – Т. 2. – С. 275-382. 7. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl (RPR). – 1962. – T. 7. – № 2. – С. 231-240. 8. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии // ГИТТЛ. – 1948. – 432 с. 9. Akivis M. A. Conformal differential geometry and its generalizations. – USA, 1996. – 384 p.

УДК 517.9 ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ОБОБЩЕННОМУ УРАВНЕНИЮ ВОЛЬТЕРРА-ЛОТКА Денисенко П.Л., Гладков С.О. (МГОУ, Москва), e-mail petr.dl@mail.ru Одним из классических объектов приложения математической экологии является биофизическая модель «хищник-жертва». В такой модели рассматриваются два биологических вида, один из которых является хищником, а другой жертвой. Например, это могут быть зайцы и волки, рыбы и планктон, микробы и антитела и т.д. Модель призвана описывать колебания численно-

сти популяций этих видов, которые совместно обитают в изолированной нестационарной среде [1]. Данная модель эволюционирует с течением времени, поэтому является динамической. Подобного рода задачи позволяет решить следующий формальный прием. Для некоторого параметра Q записывается уравнение эволюции в виде феноменологического равенства  = D δS , Q (1) δQ где D – некоторый коэффициент, обеспечивающий правильную размерность уравнения, S – классическое действие, пропорциональное инвариантному по отношению к операциям инверсии координат и времени лагранжиану L(Q) изучаемой системы

∫ L(Q)dt

(2)

а δS/δQ означает вариационную производную по искомой функции Q [2]. Такой прием успешно применялся для описания и анализа поведения температуры в сильно неоднородных средах, нелинейной динамики поведения флуктуаций плотности и температуры в веществе, распределении концентрации по координатам и времени и т.д. [2], [3], [4]. Итак, пусть в изолированной среде объема V обитают жертвы и хищники, популяции которых равны n1 и n 2 соответственно и будем считать их, как количество особей в единице объема. Таким образом, эволюция такой модели будет описываться системой из двух уравнений: δS n1 = D1 (3) δ n1

δS . (4) δ n2 Учитывая неоднородность популяций их локальное взаимодействие, запишем обобщенный Лагранжиан (функция Лагранжа [5])нашей задачи ∞  λ ∞ (k ) (k )  λ nk+1 L = T (n1 , n 2 ) − U (n1 , n 2 ) = ∑  1k (n1 ) 2 + 2 k (n 2 ) 2  − [ ∑ (α 1k 1 + α 2 k+1 k = 1 2  k=1 n 2 = D2

∞

∑

k ,k ′ = 1

k k′ kk ′ n1 n 2

∞  (∇ n1 ) 2 k + ∑  β 1k + β  2k k = 1

(∇ n 2 ) 2 k 2k

∞  2k  ε ( ∇ n ) ∑  1k 1 ∑ a k n 2k + ε k = 1 k=1 ∞

  + β (∇ n1 )( ∇ n 2 ) +  

∞  2k ( ∇ n ) ∑ bk n1k  ] 2k 2 k=1 

(5)

n k

(k )

где запись n и n означает k-я частная производная n1 и n 2 по t соот1 2 ветственно, а λ 1k , λ 2 k , α 1k , α

, β , β 1k , β

, γ

kk ′

, ε 1k , ε

a k , bk - постоянные коэффициенты, значения которых зависят от условий данной модели и особенностей взаимодействия особей между собой. Далее запишем выражение для действия: t1

∫ L(n1 , n 2 )dt

S ( n1 , n 2 ) =

(6)

и вычисляем его вариацию

t∞

 (k ) (k ) (k ) (k )  ∞ k k δ S = ∫ ∫ {∑  λ 1k n1 δ n1 + λ 2k n2 δ n2  − (∑ (α 1k n1 δ n1 + α 2k n2 δ n2 ) +  k= 1 V t0 k = 1  +

∞

∑

k ,k ′ = 1

+ β

(γ

∞

∑

∞

k −1 k′ n 2 δ n1 + k ′n1k n 2k ′ − 1δ n 2 )) + ∑ ( β 1k (∇ n1 ) 2 k − 1 δ (∇ n1 ) kk ′ ( kn 1 k =1

(∇ n 2 )

2k − 1

δ (∇ n 2 )) + β ∇ n 2 δ (∇ n1 ) + β ∇ n1δ (∇ n 2 ) + ∞

k=1

[ε 1k (2k (∇ n1 ) 2 k − 1 δ (∇ n1 ) ∑ a1 n 2k + (∇ n1 ) 2 k k=1

+ ε 2k (2k (∇ n 2 )

2k − 1

∞

δ (∇ n 2 ) ∑

k= 1

b1 n1k

+ (∇ n 2 )

∞

∑

k= 1

∞

∑

k=1

a1 kn 2k − 1δ n 2 ) +

b1 kn1k − 1δ n1 )]}d td x3

. (7) Используя интегрирование по частям, преобразуем следующие выражения:

β 1k (∇ n1 ) 2 k − 1 δ (∇ n1 ) = β 1k (∇ n1 ) 2 k − 1 ∇ δ n1 = = ∇ ( β 1k (∇ n1 ) 2 k − 1 δ n1 ) − δ n1∇ ( β 1k (∇ n1 ) 2 k − 1 ) ,

(∇ n 2 ) 2 k − 1 δ (∇ n 2 ) = β

= ∇ (β

(∇ n 2 ) 2 k − 1 ∇ δ n 2 =

(∇ n 2 ) 2 k − 1 δ n 2 ) − δ n 2 ∇ ( β

(∇ n 2 ) 2 k − 1 ) ,

β ∇ n 2 δ (∇ n1 ) = β ∇ n 2 ∇ δ n1 = ∇ ( β ∇ n 2 δ n1 ) − δ n1∇ ( β ∇ n 2 ) , β ∇ n1δ (∇ n 2 ) = β ∇ n1∇ δ n 2 = ∇ ( β ∇ n1δ n 2 ) − δ n 2 ∇ ( β ∇ n1 ) , ∞

2k (∇ n1 ) 2 k − 1 δ (∇ n1 ) ∑ a1 n 2k = k =1

∞

= ∇ (2k (∇ n1 ) 2 k − 1 δ n1 ∑ a1 n 2k ) − δ n1∇ ( 2k (∇ n1 ) 2 k − 1 ∑ a1 n 2k ) , k =1

k =1

∞

2k (∇ n 2 ) 2k − 1 δ (∇ n 2 ) ∑ b1 n1k = k =1

∞

k=1

= ∇ ( 2k (∇ n 2 ) 2 k − 1 δ n 2 ∑ b1 n1k ) − δ n 2 ∇ ( 2k (∇ n 2 ) 2 k − 1 ∑ b1 n1k ) . Интеграл от первого слагаемого правой части каждого из этих выражений можно преобразовать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса в интеграл по некоторой поверхности s. На границе такой поверхности вариация плотности каждой из популяций равна нулю, так как граница не движется и отсутствует инородный приток через эту границу, то есть δ n1 = 0 и

δ n2 = 0 . Учитывая это, в соответствии с (3) и (4) находим вариационные производные и получаем искомую систему уравнений

n1 = D1 −

∞

∑

k =1

∞ ∞ (2k ) δS = D1 ∑ ( − 1) k (λ 1k n1 ) − D1 [ ∑ (α 1k n1k ) + δ n1 k=1 k=1

∇ ( β 1k (∇ n1 ) 2 k − 1 ) − ∇ ( β ∇ n 2 ) − +

∞

∑

k =1

n 2 = D 2 −

(∇ n 2 ) 2 k

∑

k=1

∑

k =1

∇ (β

k =1

−

∑

k=1

(ε

2k ∇

k ,k ′ = 1

k − 1 k′ kk ′ kn 1 n 2

k =1

∞

∑

k =1

(8) k 2k n 2 ) +

∞

∑

(γ

k ,k ′ = 1

k k′ − 1 )− kk ′ k ′n1 n 2

(ε 1k ∇ ( 2k (∇ n1 ) 2 k

∞

∑

k =1

∞

(2k ( n 2 ) 2 k − 1 ∑ b1 n1k )) ] .

(9)

k =1

Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений описывает эволюцию концентраций хищников и жертв. Как показывает анализ этой

)−

∞

b1 n1k − 1 )) ] ,

2k − 1 ) − ∇ ( β ∇ n1 ) + 2 k (∇ n 2 ) ∞

(γ

(ε 1k ∇ (2k (∇ n1 ) 2 k − 1 ∑ a1 n 2k )) +

∞ ∞ ( 2k ) δS = D 2 ∑ ( − 1) k (λ 2 k n 2 ) − D 2 [ ∑ (α δ n2 k=1 k=1

∞

∑

(ε

∞

∑

a1 kn 2k

системы, в одном предельном случае из нее получаются уравнения Вольтерра-Лотка [6], а в другом – система нелинейных уравнений Холлинга-Тэннера [7]. С целью вычисления неподвижных точек этой системы, будем считать распределение концентраций однородным и стационарным и ограничимся квадратичным приближением по концентрациям. В итоге получатся такая система двух алгебраических уравнений (10) α 11 n1 + α 12 n12 + γ 11 n 2 + 2γ 21 n1 n 2 + γ 12 n 22 = 0 (11) + α 22 n 22 + γ 11 n1 + 2γ 12 n1 n 2 + γ 21 n12 = 0 Численный анализ уравнений (10) – (11) дает возможность выяснить характер поведения обеих систем вблизи неподвижных точек. Заканчивая настоящее сообщение следует отметить, что 1. Построен инвариантный по отношению к операции инверсии времени и координат лагранжиан популяций в задаче «хищник – жертва»; 2. Получена система нелинейных и неоднородных уравнений; 3. Проанализированы некоторые частные случаи этих уравнений и показано, что при определенном предельном переходе получаются уравнения Вольтерра – Лотка и Холлинга – Тэннера; 4. Найдены неподвижные точки однородной системы уравнений в стационарном случае, и проанализирован характер этих точек.

21 n 2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М., Наука, 1985, 181 с.

2. Гладков С.О. Сборник задач по теоретической и математической фи3. 4. 5. 6. 7.

зике. М., Физматлит, 2006, 460 с. Гладков С.О. К вопросу синергетического описания поведения температуры в сильно неоднородных средах // ЖТФ. т.30, вып.17, 2004, с.55-60 Гладков С.О., Гладышев И.В. О флуктуациях в жидкостях и газах // ЖТФ, т.71, вып.3, 2001, с. 1-8 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Т.1, М., Наука, 1973, 207 с. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука.1976. 288 с. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями: Пер. с англ., М., Мир, 1986, 243 с.

ББК 22.14 РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Панченко Д.А. (МОУ АСОШ №3 с УИОП, п.г.т. Анна, Воронежская область), е-mail: annaschool3@yandex.ru Научный руководитель Панченко Е.Н.

1. Линейные уравнения. Это уравнения вида kx=b. При решении возможны три варианта: b если k ≠ 0, то единственн ое решение x = ; k если k = 0 и b ≠ 0, то решений нет; если k = 0 и b = 0, то решений бесконечно много, то есть x ∈ R. 2. Квадратные уравнения. Это уравнения вида ax2+bx+c=0, a≠0. Решаются квадратные уравнения с применением следующих формул. Если D = b 2 − 4ac > 0, то x1, 2 = 2

 b D1 =   − ac > 0, x1, 2 =  2

−

− b± D ; 2a

b ± D1 2 ; a

b ; 2a если D < 0, то решений нет. если D = 0, то х1 = х2 = −

При D ≥ 0 выполняетс я теорема Виета : c b , x1 + x2 = − . a a 3. Уравнения более высоких степеней. Решаются такие уравнения либо разложением на множители, либо с помощью замены. 3.1 Разложение на множители. х1 х2 =

Этот

способ

равносильн

решения

основан

о совокупнос

на том,

ти уравнений

что уравнение

3.1.1 С помощью группировки и вынесения общего ля за скобки.

вида

 f1 = 0;  f = 0.  2

множите-

f1 ( x

П р и м е р

:Р е ш и т е

х 3 + 4 х 2 +3 х +

у р а в н е н и е

х + 4 = 0, ( х + 4) ⋅ ( х 2 +3) = 0,  2 В т о р о е х +3 = 0.

3.1.2

у р а в н е

следовательно, х=-4. С помощью формул сокращённого умножения.

П р и м е р

: Р е ш и т е

− 3х 2

х4

П о с к о л ь к у = (х2

+ 1) (

П е р в о е

х2

х4

у р а в н е н и е − 4 = х4

+ 1− 5) = (х2

у р а в н е н и е

к о р н е й

− 3

+ 2х2

+ 1) ⋅( х 2 н е

и м е е т ,

3.1.3 Путём подбора целого корня. Метод основан на следующих фактах: 1) У приведённого многочлена с целочисленными коэффициентами, если есть рациональные корни, то они целые и являются делителями свободного члена. 2) Если х=a – корень многочлена, то этот многочлен делится без остатка на двучлен x-a. П р и м е р

: Р е ш и т е

П о д б и р а е м д е л и т е л е й д а н н ы й в ы п о л н е н н о х

г о

д е л е н и я

+ х − 2 = (х − 1) (

с о в о к у п н о с к о р н е й

3.2

у р а в н е н и е

ц е л ы й к о р е н ь - 2 : ± 1 ; ± 2 . Т а к и м м н о г о ч л е н м о ж н о

т и н е

и м е е т ,

м н о г о ч л е н а ч и с р а з д е л и т

п о л у ч а е м , х

+ х + 2) =

х − 1 = 0,  В  2 х + х + 2 = 0.  с л е д о в а т е л ь н о

Замена 3.2.1 Замена производится сразу без предварительных преобразований. Среди таких уравнений можно выделить биквадратное уравнение, которое имеет вид ax2 +bx+c=0. С помощью замены х2 = у оно приводится к квадратному уравнению. 3.2.2 Прежде чем производить замену, необходимо сделать некоторые тождественные преобразования. Пример : Решите уравнение х( х + 1)( х + 2)( х + 3) = 24 . Перегруппи ровав множители первый с последним, второй стретьим и произведя

частное

умножение,

получим

( х 2 + 3 х)( х 2 + 3х + 2) = 24.

Теперь можно сделать замену х 2 + 3 х = у и переписать уравнение у(у + 2) = 24, которое является квадратным .Решая эти уравнение,

в виде получим

у1 = − 6, у2 = 4. Подставив

совокуп

найденные

значения

в замену, получим

 х 2 + 3 х + 6 = 0, Первое уравнение  2  х + 3 х − 4 = 0.

совокупнос

ти корней не имеет,

следовател ьно, х1 = − 4, х2 = 1. 3.3. Решение однородных уравнений.

У р а в н е н и е и м е е т о д н у о т н о с и т е л ь a f

н а з ы в а е т с я о д н о р о д н ы м , е с л и ит у ж е с т е п е н ь . Т а к в т о р о г о п н о в ы р а ж е н и й f ( x) и g ( x) б у д е т

( x ) +b f

ч а с т е й я в л я ю т с я

( x ) g ( x ) +c g

н а g ( x) с п р е д в а р и т е л у р а в н е н и я g ( x ) =0 р е ш f (x и п о с л е д у ю щ е й з а м е н о й g(x

П р и м е р Т а к к а к

з а м е н у к о т о р о е

в з а м е н у

( x ) =0. Р е ш а е т с я

у р а в н е н и я л и к о р н и

у р а в н е н и я ,

ч а с т и

(х

:Р е ш и т е у р а в н е н и е х =0 н е я в л я е т с я

н а

и п о л у ч и м

р е ш е н и е м

+х +4 ) д а н н о г о

 х 2 +х +4   х 

   

+х +4 =у и п о л у ч и м к в а д р а т н о е х и м е е т к о р н и у 1 =− 3, у 2 =− 5. П о д с т

х 2 +х +4 =− 3,  х  2 х +х +4 =− 5;  х 

х 2 +4 х +4 =0   х 2 +6 х +4 =0 

3.4. Решение симметрических и возвратных уравнений Уравнение четвёртой степени ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 называется симметриче ским, если а = у , b = d . Аналогично е уравнение называ 2

e  b =   . a d Решение в том и другом случае сводится к делению обеих част (учитывая, что х = 0 не является решением исходного уравнения) , группи возвратным

, если

и введению соответств ующей замены. Пример : Решите уравнение 16 х 4 + 8 х 3 − 7 х 2 + 2 х + 1 = 0 Данное уравнение почленного

является симметриче

ским. После

деления на х 2 подучам х 2 − 2 х − 1 −

2 1 + 2 = 0, х х

1 1 1  − 2 х +  − 1 = 0, х + = у , у ≥ 2, у 2 − 2 у − 3 = 0, 2 х х х  у1 = − 1 − не удовлетвор яет условию у ≥ 2, у 2 = 3.

х2 +

Подставляя

в замену найденное

значение у, получаем

1 3± 9− 4 3± 5 = 3, х 2 − 3 х + 1 = 0, х1, 2 = = . х 2 2 3.3 Решение дробно-рациональных уравнений. х+

Л ю дб ро ое -бр на оц и оо неу арл аьвннм е он жби еы тст вь е дк е н о  f ( x= 0) , f(x ) у р а в н в еин ди а ю= 0, к о т ор ра ов ен о ос и лс ьт не м е g (x )  g ( x≠ 0) . Т а к оибмр а вз сосёмв е, лк оу сжрь еа с с м но ытс рмл еу нч а я м . БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Алгебра: Учебник для учащихся 8 кл. с углубл. Изуч. Математики / Н.Я. Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др.; Под ред. Н.Я.Виленкина.6-еизд.-М.:Просвещение, 2003. 2. Крамор В.С. Повторяем и систематизируемшкольный курс алгебры и начал анализа.-М.:просвещение, 1990. 3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся.-2-е изд. –М.:Просвещение, 1990. 4. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. Изд. 5-е, доп. И перер.-Ростов н/Д: «Феникс», 2003.

УДК 007 (07) ПЛАНИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ РОБОТА КАК ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Плотникова Н.В. (ЮурГУ, Челябинск), e-mail: pnv@susu.ac.ru Кинематическое управление представляет собой тактический уровень системы управления робота. Кинематическое управление манипуляционным роботом можно реализовать за два этапа. Первый этап состоит в планировании траектории, т. е. в предварительном определении программного движения степеней подвижности q*(t) на некотором временном отрезке t∈[t0, t1]. Второй этап непосредственно заключается в отработке полученной программной траектории приводами подвижных сочленений. Такая многоэтапность присуща в основном системам позиционного управления, т. е. таким системам, где движение состоит в перечислении точек позиционирования, через которые должны пройти либо сочленения манипулятора (если точки заданы в пространстве обобщенных координат), либо его схват (если точки заданы в декартовом пространстве). Рассмотрим первый этап кинематического управления как задачу математического программирования. Под планированием траектории понимают процедуру получения программного движения звеньев манипулятора q*(t), t ∈ [t0, t1], либо схвата s*(t), t ∈ [t0, t1]. При переводе манипулятора из точки q 0 в точку q 1 в пространстве обобщенных координат Q=q1× q2×… qn, где N – число звеньев манипулятора, задача состоит в определении q = q (t), t∈ [t0, t1], с краевыми условиями: q (t0)= q 0 , qN q (t1)= q 1 . Если дополнительно не будут наложены никакие ограничения, то при такой формулировке задача может иметь сколь угодноq1много решений (рис. 1). q0 O q1

43 q2

Рис. 1. Перевод манипулятора из точки в точку в пространстве обобщенных координат Если манипулятор начинает движение из состояния покоя, либо должен остановиться в конечной точке, то при реализации закона движения по прямой в начальный и конечный моменты времени возможны разрывы первого и второго рода для скоростей и ускорений звеньев. Это, в свою очередь, приводит к необходимости приложения к звеньям манипулятора со стороны приводов бесконечно больших сил или моментов. Используя специальную параметризацию [1], можно добиться движения по прямой с переменной желаемой скоростью перемещения, обеспечивающей плавное движение манипулятора вдоль всей траектории. Еще один подход к построению траектории, переводящей манипулятор из q0 в q1 и удовлетворяющей условиям гладкости, состоит в использовании интерполяционных многочленов с более высокими степенями. Обозначим обобщенную координату i-го звена манипулятора qi через q. Пусть заданы значения i-й координаты в двух точках: q(t0)=q0, q(t 1 )=q 1 . (1) Потребуем, чтобы на левом и правом концах отрезка [t0, t1] выполнялись следующие условия: q (t 0 ) = q (t1 ) = 0 , (t0 ) = q (t1 ) = 0 . q

(2) Многочлен пятой степени q(t) = a0+a1t+a2t2 +a3t3 +a4t4 +a5t5 (3) представляет собой многочлен с минимальной степенью, удовлетворяющий условиям (1), (2). Положив t0=0, t1=Т , система уравнений для поиска коэффициентов полинома (3) может быть представлена следующим образом: a0= q0,

a1=0, a2=0, a1+2a2T+3a3T2+4a4T3+5a5T4=0, 2a2+6a3T +12a4T2 +20a5T3=0. Следующий способ полиномиальной аппроксимации состоит в том, что используется не один многочлен, а несколько, которые склеиваются так, что полученная в результате траектория обладает требуемой степенью гладкости. Однако в ряде случаев, если в начальной и конечной точках траектории известны значения обобщенных координат, скоростей и ускорений, то матрица линейной системы уравнений может оказаться вырожденной, и тогда решение соответствующей линейной системы может не существовать. При обходе последовательности точек в пространстве обобщенных координат (рис. 2) манипулятор должен их обойти, попадая в каждую точку qi в момент времени ti q (t i ) = q i . (4) q

qn-1 q0

…

tn-1 tn

Рис. 2. Обход последовательности точек в пространстве обобщенных координат При этом не имеет значения, с какой скоростью манипулятор проходит внутренние точки q1, q2,… qn-1, но важно, чтобы на концах траектории (т. е. в в точках q0 и qn) скорости и ускорения удовлетворяли некоторым условиям: q0 = a, q 0 = b ,

q n = c, qn = d , где а , b , с , d − заданные векторы. Если манипулятор начинает и завершает движение в состоянии покоя, то задача построения траектории в пространстве Q обобщенных координат может быть решена с помощью интерполяционных многочленов степени п (если не наложены дополнительные условия на концах траектории) или степени п + 4 (если эти условия есть).

Однако, если число п велико ( а оно может достигать нескольких сотен для сложных контуров), то степень многочлена тоже высока и возникают трудности, связанные с большим объемом вычислений значений многочлена в каждой точке. Тогда для решения этой задачи возможно использование сплайн-функций. На каждом из отрезков траектории [а, b] (не обязательно равноотстоящих) функции q ( x ) , q ' ( x ) , … , q ( m – 1 ) ( х ) д о л ж н ы быть непрерывными и q ( x ) – представлять собой многочлен степени не выше т . При использовании к уб и че ской сплайни н т е р п о л я ц и и функция q ( x ) задана многочленом (5) q(x) = a0k +a1kx+a2kx2 +a3kx3, x[xk, xk+l], k = 0, 1, …, n−1 (5) и таким образом имеется 4n неизвестных a i j , i=0, 1, …, n−1; j=0, 1, 2, 3. Условия непрерывности функции и её производных дают n + 1 и 3(n−1) уравнений соответственно, и, следовательно, в запасе имеется два дополнительных условия, которые можно наложить на функцию. При использовании сплайн-аппроксимации выбором выражения для второй производной можно добиться того, что будет получена система уравнений, связывающая вторые производные функции q ( x ) и е ё з н а ч е н и я в т о ч к а х qi [ 1 ] . Если планируется циклическое повторение движений манипулятора, т.е. манипулятор должен несколько раз обойти последовательность точек {qi}, i = 0, 1, 2, …, п , аппроксимирующую некоторый замкнутый контур так, что q 0 = q n , т о г д а необходимо замкнуть траекторию, наложив следующие условия: q0 = q n , q0 = qn . При реализации метода сплайн-функций можно прийти к тому, что на полученной траектории q ( t ) некоторые компоненты векторов q скоростей  imax , Q  max и ускорений будут превышать допустимые значения Q , т. е. j максимальные скорости и ускорения, которые могут развить соответствующие приводы подвижных сочленений манипулятора. Учесть ограничения на скорости и ускорения можно в виде следующих неравенств:

 imax , i = 1, 2, .., N , max qi ( t ) ≤ Q t0 ≤ t ≤ tn , (6)

imax . max q ( tk ) ≤ Q Таким образом, в качестве системы ограничений могут быть приняты: а) выражения, связывающие коэффициенты интерполяционного полинома со значениями обобщенных координат;

б) граничные условия на скорости и ускорения в начальный и конечный моменты времени; в) ограничения на скорости и ускорения в виде неравенств в промежуточные моменты времени. В качестве целевой функции можно принять время обхода T=tn–t0 манипулятором заданной совокупности точек. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Основы управления манипуляционными роботами: Учебник для вузов. –2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э Баумана, 2004.

Построим кубический сплайн на отрезке [ х к , производная функции q ( x ) имеет вид

хк+1].

Вторая

x − xk x − xk + 1 − q k′′ hk hk

q ′′ ( x) = q ′k′ + 1

(2.14) где h k =х к+1 -х к , а qi′′ = q ′′ ( xi ) - неизвестные вторые производные сплайна в узловых точках, при этом, поскольку q " ( x ) в соответствии с условием 2 непрерывна, нет необходимости указывать, с какой стороны эти производные взяты. Дважды интегрируя выражение (2.14), получаем

q ′ ( x ) = q ′k +

∫ q ′′ (t )dt =

q ′k +

(x −

( x − x k + 1 ) ′′ hk ′′ xk ) q k′′ + 1 − qk + − qk 2 hk 2 hk 2

(2.15) x

q ( x ) = qk +

qk + ( x − xk ) q′k′ +

∫ q′ (t )dt =

(x−

2  ( x − xk + 1 ) 2 hk xk ) q′k′ + 1 −  + − 6hk 6hk 6 

(2.16)

qi′ , q i′′ - являются неизвестными величинами, которые следует найти далее. Положив в выражении (2.16) х = xk+1, получим

qk + 1

= q k + hk q ′k +

hk h q ′k′ + 1 k − q ′k′ 6 3

(2.17)

Отсюда находим

q ′k =

q k + 1 − q k hk h − q ′k′ + 1 + k q ′k′ hk 6 3

(2.18) Подставляя (2.18) в (2.16), замечаем, что сплайн q ( x ) будет зависеть только от значений вторых производных в узлах q ′′ , q ′′ Следовательно, k k+1 если найти эти неизвестные, то будет решена задача поиска сплайна. Подставляя (2.18) в (2.15), получаем

q ′ ( x) =

( x − x k ) ′′ ( x − xk + 1 ) ′′ h 2 k ′′ q k + 1 − q k hk − q k′′ + 1 + qk + 1 − qk + qk hk 6 2hk 2hk 3 2

(2.19)

Выражения (2.14)-(2.19) справедливы для x[х к , х к + 1 ] . Применяя теперь соотношение (2.19) к отрезку [х к - 1 , х к ] , имеем

q ′ ( x) =

( x − xk − 1 ) ′′ ( x − xk ) ′′ h 2 k − 1 ′′ q k − q k − 1 hk − 1 ′ ′ − qk + qk − qk − 1 + qk − 1 hk − 1 6 2hk − 1 2hk − 1 6 2

Подставляя в последнее выражение х = х к , получаем

q ′k =

q k − q k − 1 hk − 1 h + q ′k′ + k − 1 q ′k′ − 1 hk − 1 3 6

(2.20)

Сравнивая выражения (2.18) и (2.20), видно, что

q k + 1 − q k q k − q k − 1 hk h + hk − 1 h − = q ′k′ + 1 + k q ′k′ + k − 1 q k′′ − 1 hk hk − 1 6 3 6

Откуда следует, что

α k q ′k′ + 1 + 2q ′k′ + (1 − α k )q k′′ − 1 = M k

(2.21)

где

hk hk + hk − 1 qk + 1 − qk qk − qk − 1 − hk + 1 hk Mk = 6 hk + 1 + hk

(2.22)

(2.23)

Уравнение (2.21) можно записать для к = 1, 2, n-1 следующим образом:

α 1 q ′2′ + 2q1′′ + (1 − α 1 ) q 0′′ = 6 f ( x0 , x1 , x 2 ) α 2 q 3′′ + 2q ′2′ + (1 − α 2 )q1′′ = 6 f ( x1 , x 2 , x3 )  α n − 1q n′′ + 2q ′n′ − 11 + (1 − α n − 1 ) q ′n′− 2 = 6 f ( x n − 2 , x n − 1 , x n )

(2.24) Таким образом, получена система линейных уравнений (n-l)-гo порядка относительно n + 1 неизвестных q"0 , q"1 ,…, q"n .Нетрудно видеть, что система уравнений (2.24) всегда имеет решение. Действительно, выберем произвольно q"0 =а, q"1=b. Тогда из первого уравнения (2.24) легко можно найти q"2 (поскольку α>0), которую далее подставить в остальные уравнения. После чего этот процесс необходимо повторять до тех пор, пока из последнего уравнения не будет найдено q"n. . Следовательно, решение системы всегда существует и зависит от двух произвольно выбранных параметров α и .

Решим систему уравнений (2.24). Для этого зададим

••

q 0 q n , т. е. и

будем считать, что известны значения вторых производных на концах отрезка [ а , b] . Тогда система уравнений (2.24) будет являться системой из (n-l)-гo уравнения относительно (n-1)-й неизвестной вида Ax =b (2.25) где A – матрица (n-1)×(n-1)

 2   1− α 2 A=  0      0

α1 2 1− α 3  0

0 0  0 0  α1 0  0 0 2 0  0 0        0 0  1 − α n− 1 2 

х - вектор, компоненты которого и есть искомые неизвестные:

x = ( q1′′, q1′′, ..., q ′n′ − 1 ) T

(2.26)

Матрицы такого вида называют ленточными матрицами, или матрицами Якоби, и для их обращения используют специальный рекуррентный метод прогонки. Cплайны весьма часто используют для аппроксимации функций, не обладающих достаточной степенью гладкости.

Планирование траектории с помощью сплайн-функций. Метод построения интерполяционных многочленов в виде кубической сплайнфункции можно применять для планирования траектории в пространстве обобщенных координат. Действительно, как было сказано выше, задача заключается в том, чтобы построить гладкую траекторию q ( t ) в пространстве обобщенных координат, такую, чтобы q(ti)=qi, i=0, 1, 2,…,n, и на

правом

•

левом

••

концах

•

дополнительно

выполнялись

соотношения

••

q(t0 ) = a, q(t0 ) = b, q(t1) = c, q(t1) = d

, где a, b, с, d - заданные векторы.

1. Процедура построения сплайна основана на использовании метода прогонки, для реализации которого необходимо применить обратную рекурсию. 2. Второе замечание касается планирования циклически повторяемых движений манипулятора. Манипулятор должен несколько раз обойти последовательность {qi}, i = 0, 1, 2, п, аппроксимирующую некоторый замкнутый контур так, что q 0 = q n . При этом необходимо замкнуть траекторию, наложив следующие условия:

• • • •

q0 = qn , q0 = qn Система линейных уравнений решается также методом прогонки. 3. При реализации метода сплайн-функций можно прийти к тому, что на полученной траектории q ( t ) некоторые компоненты векторов q •

скоростей

значения

q (t k ) и ускорений • m ax •• m ax

Qi , Q j

••

q(t1 )

будут превышать допустимые

те максимальные скорости и ускорения, которые

могут развить соответствующие приводы подвижных сочленений манипулятора. Поскольку ускорения изменяются линейно, экстремум достигается на границах отрезков, т. е. в узловых точках. Зависимость скоростей от времени квадратичная и, следовательно, для поиска экстремальных значений необходимо дополнительно проверить значение скорости во внутренней точке отрезка. Обеспечение ограничений на скорости и ускорение •

• max

max q i (t ) ≤ Q i

, i = 1, 2, .., N

t0 ≤ t ≤ tn

(2.33)

••

•• m a x

m q(tak ) ≤ xQi

(2.33)

достигается путем изменения разбиения отрезка [t0, tn], например увеличения того временного интервала, где ограничение (2.33) или (2.34) нарушено. При этом время обхода T = tn—t0 манипулятором заданной совокупности точек увеличивается. Однако возможен и другой подход, состоящий в минимизации времени обхода и выборе разбиения {ti}, при которых выполняются ограничения (2.33), (2.34).

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ФИО Гладков С.О. Гумницкий М.Е. Денисенко П.Л., Жангереева Г.Ж. Зверева Т. В. Кочкина А. Г. Нечаева О.В. Нечаев О.В. Подрез Т. А. Полосин А.Н. Прокудина Л.А. Прокудина М.В., Чистякова Т.Б. Шамбилова Г.К. Шурина Э.П.

СТР. 33 21 33 6 28 10 24 24 10 12 16, 21 16 12 6 24

ЭЛЕКТРОННАЯ ВЕРСИЯ СБОРНИКА РЕГИСТРИРУЕТСЯ В ИНФОРМРЕГИСТРЕ РФ

Актуальные проблемы современной науки Труды 10-й Международного конференции форума молодых ученых Естественные науки. Ч. 1, 2: Математика. Математическое моделирование.

Печатается в авторской редакции

Научный редактор РАДЧЕНКО Владимир Павлович

Компьютерная верстка АФАНАСЬЕВА Ольга Сергеевна

Подп. в печать ________ г. Формат 60 х 84 1/16. Усл.п.л. 12,79. Усл. кр.-отт 12,79. Уч.-изд.л. 12,65. Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 75 экз. Рег. №371. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, корпус №8