EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS A SER RESUELTOS POR EL ESTUDIANTE LOGICA MATEMATICA 1 Establezca si las siguientes frases son proposiciones. Justifique su respuesta. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n.
Plutón es un planetoide Hoy es día lunes Cierre la puerta por favor. Portoviejo es la capital del Ecuador. El número cinco es impar y mayor que 6 ¡ Buenos días señores estudiantes! 2 + 4 > 3 o 7 < 11 -2 x+2=3 6–5≠4 x+y–z=2 Esta es la clase de matemática superior El vidrio es un metal El 13 de diciembre del 2001 fue viernes Jefferson Pérez ganó medalla de plata en las olimpiadas Beijing 2008
2.- Simbolice y encuentre el valor de verdad de: a. b. c. d.
4 + 5 = 9 o 3+ 2 = 5, pero no ambas 4 + 5 = 9 o 4 + 2 = 6, y 4 + 5 = 9 y 3 + 2 = 6 4 + 3 ≠ 7 o 4 + 2 = 7, y 4 + 2 ≠ 6 o 4 + 3 = 7 No es verdad que: “3+ 2 = 5 o 4 + 2 = 6”
3.- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a.
P : 9 3 y 9 23
b.
Q :Si 3 5 entonces - 5 - 3
c.
R :9 4 3 o 4 4 4
d.
S : 6 6 36 si y solo si 9 3 2
e.
T : 7 2 49 si y solamente si 8 1 10
4.- Si p: 3 > 2 ; q: 1 – 2 ≠ -1 ; r: 4 +2 ≥ 6. Escribir en palabras las siguientes proposiciones: a . p q b. q p c. p q r d. p q q r
5. Realizar las siguientes tablas de verdad
a . ( p p ) ( q q ) b. (p q) ( p r )
c. (q p) ( r s) d. (q p) ( r s)
6._ Determine se las siguientes proposiciones son tautalogía, falacia o ninguna de ellas.
a. p q p p q p p b. c. d. e.
r p r p (p q) p q p p p s p s s p
f . (r q) ( p q) 7.- Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes a. ~ [(p F V F V F F F F
F V V V
~ F V V V
p) V F V F
V V V V
(~ F F V V
p V V F F
V F F V
(~ F V F V
F V V V
~ F V F V
q)] V F V F
b. (~ F F V V
p V V F F
V F V V
q) V F V F
q V F V F
p) V V F F
V V F V
c. ~ V F V F V V F F d.
[(p V V V V F F F F
V V V V F F V V
~ F F V V F F V V
q) V V F F V V F F
F V F V F F V V
(~ p F V F V F V F V V F V F V F V F
V F V F F F F F
~ F V F V F V F V
r)] V F V F V F V F
[p
(q
r)]
[(p
q)
r]
V V V V V V V V V V V V F V F F V V V V F F V V F V V V V F F V V V V F V F V V F F V F F V V V F F F V V F F V F F F F V V F F F
F
F
F V F
F
F V V V F V V F
F
F
F V V
F
F V F
8. Si (p v t) es Falsa, (p v q) q es verdadera. Determinar el valor de verdad de: (~p ~t ) (q v t)
9. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones simples, si se conoce el valor de verdad de las proposiciones compuestas Proposición compuesta
Valor de verdad de la proposición compuesta
a. (p q) (q) b. (p r ) r c. ( p q) p q d. p ( q p)
F V
¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones simples? p, q p. r
F F
p, q p, q
10. Sean p, q, r y s proposiciones. En cada uno de los siguientes casos determine el valor de verdad de la proposición p. a. b. c. d. e. f.
q es falsa y p q es falsa r es verdadera y r p es verdadera q es falsa, r es verdadera y (p q) r es falsa s es verdadera, q es verdadera y (p q) s es falsa s es falsa, r es verdadera y (s p) (s r) es verdadera q es verdadera, r es falsa y [(p) r] [ r ( q)] es verdadera
11. a. Determine si ( p q) implica lógicament e a ( p r) ? b. Determinar si ( p q) equivale lógicament e a ( p q) ? 12. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones y luego desarrolle su negación. Justifique la solución a. ( x N) ( x 1 x 3) b. ( x C) ( x 5 x 2) c. ( x R ) ( x 0) d. ( x R ) ( x 3 0 ) e. ( x Q) (2x 1 es un número par) f . ( x C)( yR ) ( x y y)
i. ( x R ) ( x 2 x 2 0 ) ( x R ) ( x 2) 13. Utilizando el algebra de proposiciones simplificar las siguientes expresiones y establecer la equivalencia correspondiente.
a. p q p q b. p p q p c. p q q p
d. q p q e. r s r t f . p q q p g. p q p p q
TEORIA DE CONJUNTOS 12. Sea A = { a,b,c,d } en los espacios en blanco escriba uno de los símbolos o De tal manera que se obtenga proposiciones verdaderas. a. b. c. d. e.
{a}………..A b……..A {d}………..A {a, d}.…..A {a,b}….A
13. . Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas?
a) b) c) d) e)
a h, c, d, a, b { p } 1, m, n, o, p, q, r 2 1, 6,3,4,8 { 3} 7,6,5,3,2,1 c a, b, c, d, e, f
14. Convierta al lenguaje de conjuntos las siguientes proposiciones a) x pertenece al conjunto A b) C es un conjunto que contiene al conjunto B c) A no es subconjunto de C 15. Describa por comprensión los siguientes conjuntos: 1 1 1 1 1 a. , , , .........., 10 2 3 4 5 b. 3, 6, 9......., 21
6, 5, 4,. 3,2,1,,1, 0 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 d. 1, 2,4, 8,16, 32,64,128. . . c.
16. Describa por el método de extensión los siguientes conjuntos:
a x R / x 3 0 3x 9 b.
x R / x
2
3x 10 0
xR / x son números impares entre 2 y 15 d . x R / x 2 2 x 4 0
c.
17. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son iguales y establezca la relación de contenencia cuando sea posible.
A 6, 2, 10 B x / 2x 12 0
C 5, 2, 10 D 6
E 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 F 10, 2 18. Sean A, B conjuntos no vacíos tales que A ∩ B = A ∩ C, entonces B = C ? 19. Identifique cada conjunto como finito, infinito, unitario o vacío. a)
x / x es un número entero
mayor que 1 y menor o igual que 11
c)
x / x es un número real entre x N, x 3 0 x 3
d)
x C / x es un número primo menor que15
b)
2 y4
20. Dados los siguientes conjuntos
a,b, c, d, e, f , g, h,i, j, k,l, m, n, A = a, e, d, f , j B = d, e, f C = c, d, e, f D = l, m, n, o E = d , e, f , j , a, b F= e, f , d U=
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: a)
BA
b) D E
c)E U
d)
B F
e)
( B ∩ F) A
f) (A F) E
g) (C ∩ F) B h)
A
i)
(A - D) U
j) U U
k)(D U) E
21. Dado el conjunto A =
a, e, d, f , j
¿Cuántos subconjuntos del conjunto A existen? 22. Dados los siguientes conjuntos: U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 A = 1,3,5,7,9,11,13,14 B = 1, 4, 5,8,10,13 C = 1, 2, 4,6,7,9,
Realice las siguientes operaciones, con su respectivo diagrama de Euler Venn: a) c) e)
(A BC) C - C (BC - A) ( C – AC ) ( C A )C - (BC - C)C
b) d) f)
( AC B ) CC BC ( AC – BC ) (CC – AC) ( BC – A )
23 Utilizando diagrama de Euler Venn realizar las siguientes operaciones entre conjuntos:
a)
( A - BC ) C
b)
( B - AC ) C C
24) En cada diagrama sombree la operación indicada a) b) U A
U C
A
B B C ( CC – B) ∩ A
( B – A) C ∩ (A-C)
25) En una universidad 95 estudiantes se presentan a dar exámenes de las materias de Algebra, C Física y Química. Si se conoce que 40 estudiantes dieron el examen de Algebra, 45 estudiantes dieron el examen de Física y 30 de Química, 5 estudiantes no dieron ningún examen, 10 estudiantes dieron los exámenes de Física y C Química, 25 estudiantes dieron solo el examen de Algebra. Determine: a)Cuántos estudiantes rindieron el examen de Algebra y Física b) Cuántos estudiantes dieron un solo examen c)Cuántos estudiantes dieron el examen de Física pero no el de Química 16 tienen clases a las 07h00 y a las 08h00 18 a las 07h00 y a las 09h00 6 tiene a las 07h00, 08h00 y 09h00