MATTE KURS-for foreldre og voksene (2) by Alevi dusunce gurubu.

MATTE KURS For voksen og foreldre

Her finner du enkle innføringer i matematiske tema som elevene møter i skolen. Vi har i første rekke satset på "lynkurs" for foreldre/foresatte med elever i barne- eller ungdomsskolen.

Mehmet Ali EKIZ 01.01.2000

01.01.2000

MATTE KURS For voksen og foreldre

Matematiske tekster Er det noen temaer innen matematikken du har lyst til å lære mer om? Her finner du artikler om alt fra null til uendelig.

•

ARITMETIKK

Tall og tallregning

1. Aksiomer for reelle tall Vi må ha egne lover, aksiomer, som gjelder for de vanlige reelle tallene våre slik at alle som jobber med matematikk behandler et regnestykke på nøyaktig samme måten. Tallsystemer

2. Babylonsk tallsystem Babylonerne (ca. 2000 f.Kr.) brukte et slags ufullstendig posisjonssystem med grunntall 60, men de adderte, multipliserte og dividerte akkurat som vi gjør.

3. Det gylne snitt Man regner med at de første til å studere det gyldne snitt var pytagoreerne. Her lærer du blant annet hvordan du kan konstruere en regulær femkant med utgangspunkt i et linjestykke oppdelt etter det gylne snitt. Tall og tallregning

4. Fibonaccitallene Om kaniner, bier og andre ting hvor Fibonaccitallene kan anvendes til å modellere situasjonen. Fibonaccitallene i seg selv er også verdt et studium. Tall og tallregning

5. Hoderegning Det er kanskje like mange teknikker for hoderegning som det er hoderegnere. Men noen generelle metoder går igjen. Her ser vi på både addisjon og multiplikasjon og på hvordan egenskaper ved tallene kan hjelpe oss på vei. Tall og tallregning

•

Lær om matematiske bevis av Terence Tao

Les tre av bevisene Tao har beskrevet i boka "Solving Mathematical Problems".

6. Magiske kvadrater Historien til magiske kvadrater er omtrent 3000 år gammel. Kvadratet kalles magisk da summen i hver rad, hver søyle og de to diagonalene i kvadratet er helt like. I et 3x3 kvadrat er summen 15. Kombinatorikk

01.01.2000

7. Pascals trekant En trekant bygget opp av (et uendelig antall) rader med tall. I Europa har trekanten fått navnet Pascals trekant etter matematikeren Blaise Pascal (1623-1662), men både kinesiske og arabiske matematikere kjente til arrangementet av disse tallene lenge før Pascal. Tall og tallregning

8. Personnummer Fødselsnummeret ditt består av 11 siffer, av disse 11 utgjør de fem siste sifrene personnummeret. Initiativet til å innføre personnummer kom fra næringslivet på 1950-tallet, for det ville gjøre ting enklere i forbindelse med skattemyndigheter, trygdekontorer o.l. Tall og tallregning

9. Pytagoras og Diofant Pytagoras og pytagoreerne undersøkte figurtall ved å legge ut steinmønster på bakken. Ved hjelp av småsteinene fant de ut av partall og oddetall, og de jobbet med å finne alle løsninger på likningen som i dag er kjent som Pytagoras læresetning - til det måtte de ha hjelp av Diofant. Brøkregning

10. Stambrøker De gamle egypterne brukte summer av stambrøker til hjelp når de skulle fordele ting, og de var flinke i brøkregning. Her kan du blant annet lære om hvordan du kan sammenligne brøker uten hjelp av kalkulator.

11. Strekkoder Strekkoder finnes på de aller fleste produkter vi omgir oss med i dagens samfunn. Hemmeligheten bak strekkoding fins i matematikken...

Symmetrier At ANNA er symmetrisk er lett å forstå fordi det kan leses både forfra og bakfra. Symmetri er et begrep som brukes i nesten alle deler av matematikken.

1. Tall og tallmengder De naturlige tallene er 1, 2, 3 og så videre. Vi ser på utvidelsene fra de naturlige tallene opp til de komplekse. Tall og tallregning

2. Tallet 0 Null har to hovedbruksområder; det brukes som posisjonsnotasjon og som tall i seg selv. I dag bruker vi tallet helt naturlig, men innføringen av tallet møtte motstand og ble ikke innført i Europa før på 1600-tallet. Eksponentialfunksjoner Funksjonstyper Grenseverdi Logaritmer Tall og tallregning

3. Tallet e

01.01.2000 Tallet e har en forholdsvis kort historie i matematikkens verden, det ble ikke tatt i bruk før midten av 1700-tallet. Tallet e og logaritmeregning hører nøye sammen, blant annet er eksponentialfunksjoner inverse av logaritmefunksjoner.

4. Tallet i Visste du at det er mulig å trekke kvadratroten av et negativt tall? Tallet i er definert som kvadratroten av -1, og det hører til tallsystemet som kalles "De komplekse tall". Tall og tallregning

5. Tellbare tall Vi har uendelig mange tall, men kan vi telle alle? Tall og tallregning

6. Uendelighet Hva er uendelig? Kan vi laget et symbol for uendelig og late som om det er et tall vi kan regne med på lik linje med de vanlige tallene?

ALGEBRA Funksjonsdrøfting

1. Divisjonstrapp Divisjon kan også utføres i trapper!

2. Klassisk kryptografi Kokk-a-nonn dodd-u "røverspråket" (= Kan du "røverspråket")? Dette er en enkel form for kryptering av beskjeder. Her ser vi blant annet på hvordan vi kan kryptere ved å bytte ut f.eks A med B, B med C osv, å bruke Cæsarkoder.

3. Offentlig-nøkkel kryptografi Hvordan bruke grafer med perfekt kode til å sende krypterte meldinger.

4. Strekkoder Strekkoder finnes på de aller fleste produkter vi omgir oss med i dagens samfunn. Hemmeligheten bak strekkoding fins i matematikken...

ANALYSE Funksjonsdrøfting

1. Divisjonstrapp Divisjon kan også utføres i trapper!

2. Grafer, algoritmer og effektivitet Finnes det effektive algoritmer som kan hjelpe oss med å løse alle problemer vi støter på i matematikken? Her ser vi på problemer som ikke har kjente, effektive algoritmer som blant annet hvordan avgjøre om en graf har perfekt kode eller ikke. Modellering

01.01.2000

3. Matematikk og sjonglering Veldig mye av det vi opplever rundt oss kan beskrives med matematikk, også sjonglering. Eksponentialfunksjoner Funksjonstyper Grenseverdi Logaritmer Tall og tallregning

4. Tallet e Tallet e har en forholdsvis kort historie i matematikkens verden, det ble ikke tatt i bruk før midten av 1700-tallet. Tallet e og logaritmeregning hører nøye sammen, blant annet er eksponentialfunksjoner inverse av logaritmefunksjoner.

BEVIS Tall og tallregning

1. Lær om matematiske bevis av Terence Tao Les tre av bevisene Tao har beskrevet i boka "Solving Mathematical Problems".

2. Matematiske bevis I enhver matematisk teori er bevis noe av det som har størst betydning. Thales fra Milet (ca. 600 f.Kr.) var trolig den første som gjennomførte et bevis i en matematisk tekst.

GEOMETRI 1. Broene i Königsberg Innbyggerne i Königsberg gikk mange turer over broene i byen, og det berømte problemet var om det var mulig å gå Turen med stor t, nemlig en tur gjennom byen der man krysset hver av de syv broene nøyaktig én gang. Areal Volum

2. Cavalieris prinsipp Å beregne volum er ikke alltid like lett, men det kan gjøres enklere om du gjør det på samme måte som Bonaventura Cavalieri gjorde det på 1600-tallet.

4. Fraktaler - matematikk i det små Fraktaler forbindes ofte med kompliserte bilder som Mandelbrotmengden, men fraktaler kan også lages for hånd. Koordinatsystem

Koordinatsystemer For å vite hvor vi er trenger vi et referansesystem, men et referansesystem trenger ikke bare å være det vanlige koordinatsystemet vi er vant med fra kartbøker. Vi har også kulekoordinater, polarkoordinater og sylinderkoordinater.

01.01.2000 Tall og tallregning

1. Lær om matematiske bevis av Terence Tao Les tre av bevisene Tao har beskrevet i boka "Solving Mathematical Problems".

2. Møbiusbånd og kleinflaske Møbiusbånd og kleinflasker er legemer som behandles i topologi. Topologi er en retning innen den moderne geometrien hvor de ser på hvordan legemer henger sammen. Geometriske objekter

3. Platonske legemer Omhandler de fem platonske legemene; tetraeder, oktaeder, heksaeder, dodekaeder og ikosaeder - hvor mange hjørner, kanter og sideflater de har og også om sammenhengen mellom disse, kalt Eulers formel. Pytagoras læresetning

4. Pytagoras' læresetning Om den berømte setningen som brukes på rettvinklede trekanter. Den brukes også innenfor tallteori, og sammenhengen var egentlig kjent lenge før Pytagoras tid. Geometriske objekter Vinkel

5. Regulære mangekanter Om vinkelsum, kantvinkler, suplementvinkler i "perfekte", eller regulære mangekanter. Formel for vinkelsum i en regulær mangekant er 180(n-2), hvor n er antallet kanter i figuren.

6. Sfærisk geometri Vanligvis jobber vi med geometri i planet, i x-retning og y-retning. Hva skjer om vi forflytter oss til overflate på en kule, en sfære? Blir vinkelsummen mellom tre punkter fremdeles 180 grader?

7. Symmetrier At ANNA er symmetrisk er lett å forstå fordi det kan leses både forfra og bakfra. Symmetri er et begrep som brukes i nesten alle deler av matematikken.

SANNSYNLIGHET Kombinatorikk

1. Pascals trekant En trekant bygget opp av (et uendelig antall) rader med tall. I Europa har trekanten fått navnet Pascals trekant etter matematikeren Blaise Pascal (1623-1662), men både kinesiske og arabiske matematikere kjente til arrangementet av disse tallene lenge før Pascal.

2. Spillteori Spillteori går i korte trekk ut på å studere ulike former for spill, avdekke strategier og løsninger, avgjøre ut om det finnes måter å vinne spillene på, og ikke minst å forstå hvordan spillene faktisk er bygget opp.

01.01.2000

TALLTEORI 1. Broene i Königsberg Innbyggerne i Königsberg gikk mange turer over broene i byen, og det berømte problemet var om det var mulig å gå Turen med stor t, nemlig en tur gjennom byen der man krysset hver av de syv broene nøyaktig én gang.

2. Palindromer 20 02 2002, om du leser det forlengs eller baklengs spiller ingen rolle, det har samme betydning begge veier. Tall og tallregning

3. Pytagoras og Diofant Pytagoras og pytagoreerne undersøkte figurtall ved å legge ut steinmønster på bakken. Ved hjelp av småsteinene fant de ut av partall og oddetall, og de jobbet med å finne alle løsninger på likningen som i dag er kjent som Pytagoras læresetning - til det måtte de ha hjelp av Diofant. Pytagoras læresetning

4. Pytagoras' læresetning Om den berømte setningen som brukes på rettvinklede trekanter. Den brukes også innenfor tallteori, og sammenhengen var egentlig kjent lenge før Pytagoras tid.

5. Strekkoder Strekkoder finnes på de aller fleste produkter vi omgir oss med i dagens samfunn. Hemmeligheten bak strekkoding fins i matematikken...

MATEMATIKKENS HISTORIE Tallsystemer

1. Babylonsk tallsystem Babylonerne (ca. 2000 f.Kr.) brukte et slags ufullstendig posisjonssystem med grunntall 60, men de adderte, multipliserte og dividerte akkurat som vi gjør.

2. Broene i Königsberg Innbyggerne i Königsberg gikk mange turer over broene i byen, og det berømte problemet var om det var mulig å gå Turen med stor t, nemlig en tur gjennom byen der man krysset hver av de syv broene nøyaktig én gang.

3. Klassisk kryptografi Kokk-a-nonn dodd-u "røverspråket" (= Kan du "røverspråket")? Dette er en enkel form for kryptering av beskjeder. Her ser vi blant annet på hvordan vi kan kryptere ved å bytte ut f.eks A med B, B med C osv, å bruke Cæsarkoder.

4. Magiske kvadrater

01.01.2000 Historien til magiske kvadrater er omtrent 3000 år gammel. Kvadratet kalles magisk da summen i hver rad, hver søyle og de to diagonalene i kvadratet er helt like. I et 3x3 kvadrat er summen 15.

5. Matematiske bevis I enhver matematisk teori er bevis noe av det som har størst betydning. Thales fra Milet (ca. 600 f.Kr.) var trolig den første som gjennomførte et bevis i en matematisk tekst. Kombinatorikk

6. Pascals trekant En trekant bygget opp av (et uendelig antall) rader med tall. I Europa har trekanten fått navnet Pascals trekant etter matematikeren Blaise Pascal (1623-1662), men både kinesiske og arabiske matematikere kjente til arrangementet av disse tallene lenge før Pascal. Tall og tallregning

7. Personnummer Fødselsnummeret ditt består av 11 siffer, av disse 11 utgjør de fem siste sifrene personnummeret. Initiativet til å innføre personnummer kom fra næringslivet på 1950-tallet, for det ville gjøre ting enklere i forbindelse med skattemyndigheter, trygdekontorer o.l. Tall og tallregning

8. Pytagoras og Diofant Pytagoras og pytagoreerne undersøkte figurtall ved å legge ut steinmønster på bakken. Ved hjelp av småsteinene fant de ut av partall og oddetall, og de jobbet med å finne alle løsninger på likningen som i dag er kjent som Pytagoras læresetning - til det måtte de ha hjelp av Diofant. Brøkregning

9. Stambrøker De gamle egypterne brukte summer av stambrøker til hjelp når de skulle fordele ting, og de var flinke i brøkregning. Her kan du blant annet lære om hvordan du kan sammenligne brøker uten hjelp av kalkulator. Tall og tallregning

10. Tallet 0 Null har to hovedbruksområder; det brukes som posisjonsnotasjon og som tall i seg selv. I dag bruker vi tallet helt naturlig, men innføringen av tallet møtte motstand og ble ikke innført i Europa før på 1600-tallet.

11. Tallet i Visste du at det er mulig å trekke kvadratroten av et negativt tall? Tallet i er definert som kvadratroten av -1, og det hører til tallsystemet som kalles "De komplekse tall".

01.01.2000

Aksiomer for reelle tall Hvilke lover gjelder for våre vanlige reelle tall? Dette høres kanskje ut som et litt underlig spørsmål, som om Norges lover skulle gjelde for tallene? La oss kikke litt på tallene og se på hvordan de oppfører seg når vi regner med dem, så kanskje vi finner noen andre slags lover. På skolen lærer vi at vi har vi fire regnearter, addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjon. Jeg påstår at det ikke er fire, men bare to, addisjon og multiplikasjon. Og hvis vi bare hadde å gjøre med hele tall har vi egentlig kun én regneart, nemlig addisjon. I det tilfelle kan vi se på multiplikasjon som repetert addisjon, . Dette går ikke med reelle tall, for hvordan skulle vi framstille som repetert addisjon? Det er ikke mulig siden ikke er et helt tall. Vi kan ikke legge sammen noe ganger. Derfor trenger vi to regnearter for reelle tall, men bare én for hele tall. De andre to regneartene, subtraksjon og divisjon, kan vi se på som avarter av addisjon og multiplikasjon. Hvordan? La oss holde oss til addisjon. For det første observerer vi at det finnes ett tall som er mer spesielt enn de andre, nemlig tallet 0. Dette tallet har den egenskapen at det ikke forandrer noen ting når det legges til et annet tall, og det er det eneste som oppfører seg på denne måten. De negative tallene tvinger seg fram med en gang 0 er på plass. Tallet -3 er nettopp laget for å være det som vi kan legge til 3 og få 0. Tilsvarende for alle negative tall, osv. Når vi har oppdaget de negative tallene kan vi lett beskrive subtraksjon, rett og slett som addisjon av et positivt og et negativt tall, for eksempel 5 - 3 = 5 + (-3) = 2. Dermed trenger vi ikke å se på subtraksjon som en egen regneart. Tilsvarende kan vi gjøre for divisjon. Først må vi finne det tallet som i forhold til multiplikasjon spiller rollen som 0 gjør for addisjon. Dette tallet er 1. På samme måte som at den viktigste egenskapen til 0 er at ikke noe endres om vi legger til 0 så vil ikke noe forandres om vi ganger med 1. Vi har at . Divisjon avleder vi fra multiplikasjon på samme måte som subtraksjon avledes fra addisjon. For alle reelle tall, bortsett fra 0, så finnes et annet tall som multiplisert sammen med dette tallet gir akkurat 1. Dette tallet skrives inversen. Inversen til 2 er

og inversen til

og kalles den multiplikative

. Dette gir oss alle brøker. For et hvert

rasjonalt tall x er også et rasjonalt tall, og tilsvarende dersom x er et reellt tall. Til og med en brøk delt på en brøk blir ikke noe annet enn en vanlig brøk når vi multipliserer bort smånevnerne. En divisjon 3 : 5 kan vi nå oppfatte som divisjon som en egen regneart.

og vi trenger ikke beskrive

Det aller mest spesielle tallet er likevel 0. Det har ingen invers, finnes ikke, det skulle eventuelt ha vært uendelig, men det er ikke noe tall. Alle andre tall har en invers – med andre ord 0 er vår store helt! - eller antihelt? Vi nevner også at de to operasjonene addisjon og multiplikasjon til en viss grad henger sammen gjennom det som kalles distributiv lov, dvs. at . Dermed dukker for første gang begrepet lov opp. Distributiv lov er en lov som alle tallene må følge (og det gjør de!). Men det er ikke den eneste!

01.01.2000 Begge regneartene har noen egenskaper som vi ofte bruker, en er at de er kommutative. Det betyr at vi kan endre rekkefølgen i regnestykkene uten at svaret forandrer seg. Vi har 2 + 3 = 3 + 2 og vi har . "Faktorenes orden er likegyldig" sier man ofte om gange-eksempelet. I tillegg til "kommutativ lov" har vi det som kalles "assosiativ lov" dvs. 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4, men vi skal ikke gå nærmere inn på den. De egenskapene vi har sett på til nå kan vi med en fellesbetegnelse kalle algebraiske egenskaper. I tillegg til de algebraiske egenskapene har de reelle tall "ordningsegenskaper". Det er nemlig slik at de reelle tall ligger langs tallinja, og det har mening å snakke om at et tall er større enn et annet. Uansett hvilke to forskjellige tall vi velger så er det ene tallet helt sikkert større enn det andre. Dette er ikke opplagt, det er fullt mulig å lage tallsystemer hvor dette ikke gjelder, for eksempel komplekse tall. Men det beste med ordningsstrukturen er at den passer sammen med den algebraiske strukturen. Hvis vi starter med et tall og legger til et hvilket som helst positivt tall så får vi noe som er større enn det vi startet med! Den siste egenskapen til de reelle tall er det som kalles kompletthet. En tallinje har ingen hull! Alle punkter på tallinja tilsvarer et reelt tall, og alle reelle tall har sin plass på tallinja. Vi kunne ha kalt denne egenskapen for de reelle talls geometriske egenskap. Faktisk er dette den eneste egenskapen som skiller de reelle tall fra de rasjonale. Det er en overkommelig jobb å sjekke at de rasjonale tallene har alle de samme algebraiske egenskapene og ordningsegenskapene som de reelle tallene, men altså ikke den geometriske egenskapen. De rasjonale tall har masse hull, selv om de ligger helt tett. Det kan høres ut som et paradoks, men er ikke det. Vi har brukt tallet π tidligere. Dette tallet er et reelt tall og har derfor sin plass på tallinja, men det er ikke noe rasjonalt tall. Sånn sett kan vi betrakte π som et hull i den rasjonale linja. De andre tallsystemene vi har sett på, nemlig de naturlige tall og de hele tall skiller seg også fra reelle og rasjonale tall på sine egenskaper. De naturlige tall mangler blant annet inverser for addisjon og de hele tall mangler inverser for multiplikasjon. Nå kan vi drive litt matematisk gymnastikk. I stedet for å starte med tallene og undersøke alle deres egenskaper, så starter vi heller med egenskapene og ser hva slags tall vi får. La oss først slå fast en ting, uten å gå nærmere inn på begrunnelsen: Hvis vi tar med alle de egenskapene vi har listet opp får vi nødvendigvis de reelle tall. Men vi kunne tenke oss at vi tok bort noen egenskaper og så hva vi fikk da. Generelt vil det være slik at for hvert krav vi tar bort, så får vi flere muligheter. Sånn sett er egenskapene å betrakte som begrensninger. Tenk bare på det at dersom vi ikke krevde noen egenskaper for at noe skulle kalles tall, så ville absolutt alt vært tall! Vi kan se på et eksempel som ikke er helt vanlige tall. Vi gjør som de gjør i datamaskiner og holder oss til tallene 0 og 1. Vi har to regneoperasjoner

Tabell 1: Addisjon i datamaskiner.

01.01.2000

Tabell 2: Multiplikasjon i datamaskiner. Av tabellene ser vi at begge disse operasjonene har alle de algebraiske egenskapene vi trenger (oppgave: sjekk at dette stemmer). Det eneste merkelige er at 1 + 1 = 0, dvs at -1 = 1. Dette er nokså annerledes enn vi er vant til, men det fungerer helt fint. Det vi derimot ikke har er en ordning. Vi kunne ha sagt at 0 skulle være mindre enn 1, men da blir det galt at 1 + 1 = 0, fordi det blir helt galt at når noe blir enda større så blir det mindre. Og noen geometrisk egenskap har vi ikke i dette eksemplet.

De 11 lovene for reelle tall 1. Addisjonslov: Summen av to reelle tall er et reelt tall. 2. Multiplikasjonslov: Produktet av to reelle tall er et reelt tall. 3. Kommutativ lov: 2 + 3 = 3 + 2 og 4. Assosiativ lov: 2 + ( 3 + 4 ) = ( 2 + 3 ) + 4. 5. 6. 7. 8.

Distributiv lov: . Null-loven: Det finnes et reelt tall 0 som ikke endrer noe når vi legger det til. Subtraksjonslov: Alle reelle tall har additiv invers, -2, -7, -π osv. slik at 2 + (-2) = 0. Enhetsloven: Det finnes et reelt tall 1 som ikke endrer noe når vi ganger med det.

9. Divisjonslov: Alle tall bortsett fra 0 har en multiplikativ invers, . 10. Ordningsloven: De reelle tallene er ordnet, av to forskjellige tall er alltid ett størst og hvis vi legger til et positivt tall får vi et tall med større verdi. 11. Kompletthetsloven: De reelle tall er en komplett mengde, dvs. de dekker hele tallinja.

Babylonsk tallsystem

Mens egypternes matematikk var praktisk rettet, viste babylonerne en teoretisk interesse for matematiske problemer. Ulempene med med det babylonske tallsystemet var blant annet at de kun hadde to tallsymboler, og ingen av disse var tallet 0. På samme måten som Nilen i Egypt skapte Eufrat og Tigris grunnlaget for den babylonske sivilisasjonen i Mesopotamia. Mellom år -3000 og år -2000 var det sumererne som regjerte i den sørlige delen av Mesopotamia. Deres kultur hadde nådd et høyt nivå, og deres folk var blant de første som hadde et skriftspråk. Etter hvert ble de dominert av folk fra Akkad lenger nord, som overtok mye av deres kultur. Omkring år -1800 kom kong Hammurabi fra byen Babel til makten, og han grunnla det første babylonske dynasti. De eldste kjente tekstene fra Mesopotamia stammer fra år -3000, mens de eldste babylonske tekstene vi kjenner, er fra perioden -1900 til -1600.

Babylonsk tallnotasjon Babylonerne brukte et slags ufullstendig posisjonssystem med grunntall 60 (et seksagesimalt system). Med et fullstendig 60- talls posisjonssystem er det nødvendig med et symbol for null (den "tomme" plassen) og et symbol for hvert av de 59 tallene. Men babylonerne hadde bare to tegn:

01.01.2000

Fra 60 av begynte de på nytt, ved å innføre en ny posisjon som skulle angi antall 60'ere osv. Eksempel:

Som vi ser, skaper et slikt system stor tvetydighet. Er

Systemet mangler tegn for 0, komma og skikkelig posisjonsklarering. Vår inndeling i minutter og sekunder stammer fra babylonerne. Via grekerne og araberne kom systemet til Vest-Europa ca. år 1200. (Minutt = en sekstidel (av en time) = pars minuta prima (Latin). Sekund = en sekstidel (av et minutt) = pars minuta secunda).

Regning hos babylonerne Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon foregikk som hos oss. Babylonerne trengte multiplikasjonstabeller over for alle tall i, j mellom 1 og 59. Divisjon foregikk slik: 47:3 ble regnet ut ved først å beregne 1/3 og deretter multiplisere med 47. Babylonerne løste lineære og også noen ikke-lineære ligningssystemer slik vi gjør det, men de brukte ikke bokstavsymboler til å representere tall. Algebraen var retorisk, altså uttrykt med ord og setninger. Likevel var de i stand til å løse f.eks. annengradsligninger.

Et eksempel er ligningen

. Babylonerne "omskrev" til (i vår notasjon):

x (x + 6) = 16 x+6=y Altså får vi xy = 16 Dette løste babylonerne slik: Sett y = a + 3, x = a - 3. Da er xy = a 2 - 9 = 16, slik at a 2 = 25 og dermed er a = 5. Det gir x = 2 og y = 8. Hvis vi sammenligner babylonsk matematikk med egyptisk matematikk, kan vi si at egyptisk matematikk er mer direkte rettet mot praktiske anvendelser, mens babylonerne begynner å vise en teoretisk interesse for matematiske problemer. Babylonsk algebra representerer et stort framskritt, for ganske kompliserte ligningssystemer kan løses med den. En alvorlig ulempe er imidlertid dårlig og mangelfull matematisk notasjon.

Det gylne snitt

01.01.2000

Hvorfor ser noen rektangler (for eksempel A4-sider) 'penere' ut enn andre? Kanskje fordi forholdet mellom sidene er tilnærmet tallet kjent som "det gylne snitt"... Man regner med at det var pytagoreerne som var de første til å studere "Det gylne snitt", og at det er dette arbeidet som ligger bak nedtegnelsene om det gylne snitt i Euclids "Elementer" der det opptrer for første gang. De gamle grekerne baserte seg på geometri og regnet ikke med symboler slik vi gjør i dag, men med lengder. Enkelte forhold og proporsjoner mellom lengder ble sett på som penere enn andre, og det gylne snitt var ett av dem (π var et annet): Ta et linjestykke mellom to punkter A og B og la AB være lengden av linjestykket. Merk av et punkt C mellom A og B slik at forholdet mellom AB og AC er lik forholdet mellom AC og CB, dvs.: , se figur 1.

Figur 1: Linjestykket som er delt etter forholdet "Det gylne snitt".

Da sier vi at linjestykket er delt etter forholdet det gylne snitt. Dette forholdet dukket opp i mange av grekernes geometriske konstruksjoner. Etter hvert dukket det også opp i algebraiske sammenhenger og ble assosiert med et tall. Det gylne snitt er tilnærmet lik 1,618. I artikkelen om fibonaccitallene kan du se hvordan man finner den nøyaktige verdien ved å løse en annengradslikning, og også se hvordan denne ligningen brukes til å se sammenhengen mellom fibonaccitallene og det gylne snitt. Navnet "Det gylne snitt" kommer fra tanken om at man i dette forholdet ville se normen for en fullkommen harmoni i proporsjonene. Det er blant annet brukt innenfor arkitektur, kunst og moteverdenen. Det gylne rektangelet er for eksempel rektangelet der forholdet mellom sidene er det gylne snitt, og dette er pent å se på. Formen på kredittkort er tilnærmet det gylne rektangelet... La oss se hvordan vi kan konstruere en regulær 5-kant ved å starte med en linje som er delt opp etter det gylne snitt: La linjestykket AB være delt opp etter det gylne snitt ved punktet C som i tegningen over. Vi bruker en passer og slår en sirkelbue med sentrum i A og radius AB og merker av punktet D på buen slik at AC = BD = CD, se figur 2.

Figur 2: Starten på en regulær 5-kant.

01.01.2000 Hvis vi kaller vinkel A for v, blir vinkel BCD lik 2v siden summen av vinklene i en trekant er 180º og en halvsirkelbue er 180º. Trekant ABD er likebeint, og det gylne snitt gir at . Dermed får vi at trekantene BCD og ABD er formlike, det vil si at trekant BCD er likebeint, og dermed er vinkel B også 2v. Dermed blir vinkel BDC lik v siden trekant ABD er likebeint, slik som i figur 3.

Figur 3: Vinklene i trekantene.

Nå slår vi en sirkelbue med sentrum i A og radius AC, og lar E være skjæringspunktet mellom buen og AD. Da vil E dele AD etter det gylne snitt. Så trekker vi forlengelsene av linjene DC og BE som i figur 4.

Figur 4.

01.01.2000 Til slutt setter vi av punktene F og G på disse forlengede linjene slik at BD = DF = BG og trekker linjer.

Figur 5.

Ved å se på trekantene vi får i figur 5, ser vi at AGBDF blir en regulær 5-kant.

Fibonaccitallene

Tallfølgen 1,1,2,3,5,8,13,... er bygd opp ved at hvert tall i følgen er summen av de to foregående tallene i følgen. Tallene i denne følgen kalles fibonaccitallene, og de dukker opp på de merkeligste steder... Opphavet til disse tallene er et problem som Fibonacci jobbet med i år 1202. Problemet handlet om hvor fort kaniner kan formere seg under ideelle forhold: Anta at et nyfødt par kaniner, en hann og en hunn, puttes i en innhegning. Kaniner parer seg når de er en måned gamle, og etter to måneder kan en hunn føde et nytt par kaniner. Anta nå at våre kaniner ikke dør og at hunnene alltid føder et nytt par, en hann og en hunn, hver måned fra sin andre leve-måned. Fibonaccis spørsmål var: Hvor mange par kaniner er det i innhegningen etter ett år? Løsning: Vi starter med 1 par (par nr. 1). Etter 1 måned: Par nr. 1 parrer seg, men vi har fortsatt bare 1 par. Etter 2 måneder: Hunnen i par nr. 1 føder et nytt par, par nr. 2, så nå har vi 2 par kaniner.

01.01.2000 Etter 3 måneder: Par nr. 1 føder sitt andre par, par nr. 3, mens par nr. 2 parrer seg, så dermed har vi 3 par i innhegningen. Etter 4 måneder: Den første hunnen føder sitt tredje par, par nr. 4. Par nr. 2 får sitt første par, par nr. 5, og par nr. 3 parrer seg. Totalt har vi nå 5 par. Etter 5 måneder: Par nr. 1, 2 og 3 får ett nytt par hver og par nr. 4 og 5 parrer seg. Totalt 8 par. Generelt vil vi etter hver måned ha alle parene fra forrige måned pluss noen nye par. De nye parene er ett par fra hvert av parene vi hadde to måneder tilbake (de nye parene vi fikk forrige måned får ikke avkom før neste måned). For å finne ut hvor mange par vi har i slutten av en måned, må vi altså plusse sammen antall par vi hadde på slutten av de to foregående månedene. Dette gir tallfølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... der leddene vil gi oss totalt antall par i innhegningen på slutten av hver måned. Svaret på Fibonaccis spørsmål er dermed 233 par kaniner.

Fire generasjoner honningbier. (Illustrasjon: Birte Lohne Løvdal)

Kaninoppgaven er kanskje ikke så realistisk, men i naturen fins det mange eksempler der fibonaccitallene modellerer situasjonen vi ser på. Et eksempel er honningbier. Hann-honningbier produseres fra dronningbiens ubefruktede egg, så hannene har bare en mor og ingen far. Hunn-biene har både mor og far. Hvis vi dermed teller forfedrene til en hann-honningbie i hver generasjon får vi: Start: 1 hann-honningbie

01.01.2000 En generasjon tilbake: 1 mor To generasjoner tilbake: 2 besteforeldre (morens foreldre) Tre generasjoner tilbake: 3 oldeforeldre (bestemors foreldre og bestefarens mor) Fire generasjoner tilbake: 5 tippoldeforeldre (2 oldemødres foreldre og oldefars mor) osv. For hver generasjon har vi altså to typer forfedre; de kvinnelige som har to foreldre, og altså "deler seg i to", og de mannlige som kun har en mor, og således ikke forgrener seg. Den slags oppførsel modelleres nettopp av fibonaccitallene. Denne typen oppførsel kan vi også finne på ulike blomster, ved å se hvordan stilken forgrener seg: Begynn ved bakken og følg stilken oppover. Hvis vi trekker nogenlunde rette horisontale streker mellom delingspunktene (der stilken forgrener seg), som er ca. i samme høyde, vil svært ofte antall grener mellom disse strekene være fibonaccitall. Nyserylliken er et slikt eksempel:

Nyseryllik

Vi nevner noen flere eksempler på fibonaccitallenes opptreden i naturen: Hvis vi teller antall kronblader (blomsterblader) på en blomst, er det i mange tilfeller et fibonaccitall. For eksempel har smørblomster 5 kronblad, liljer 3, gullkrager 13, tusenfryd kan ha 34 eller 55 og blomster i kurvplantefamilien (slik som hestehov og løvetann) kan ha 89 blomsterblader. Fibonaccispiralen er spiralen som er satt sammen av sirkelbuer der radiene er et nytt fibonaccitall for hver 90. grad (kvart rotasjon). Det vil si at vi tegner en spiral der vi starter med en halvsirkel med radius 1, deretter en kvart sirkelbue med radius 2 etterfulgt av en kvart bue med radius 3 og så videre.

01.01.2000

Fibonaccispiralen.

Du kjenner den kanskje igjen fra sneglehus og diverse skjell? En annen type spiraler er såkalte "botaniske spiraler". Hvis du ser nærmere på for eksempel kongler, ananas eller frøhodene i en solsikkeblomst, vil du finne mange spiraler. Det er påvist en klar sammenheng mellom slike spiraler og fibonaccitallene. Hvis du for eksempel teller antall spiraler i solsikkeblomsten vil du finne 21 spiraler som går med klokka og 34 som går mot! Generelt vil antall botaniske spiraler med og mot klokka nesten alltid være nabo-fibonaccitall. Studier har vist at dette er det mest hensiktsmessige pakkemønsteret en plante kan benytte seg av. La oss nå se litt nærmere på noen av alle de matematiske egenskapene til fibonaccitallene. Dem er det nemlig mange av. Det er også mange som har studert fibonaccitallene, og noen har funnet følgende mønster blant disse tallene: Hvis vi ser på det siste sifferet i hvert fibonaccitall, får vi følgen 0,1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,..... (Det er mange som bruker 0 som det første fibonaccitallet.) Det viser seg at når vi kommer til det 60. tallet i denne følgen av siste sifre, starter den på nytt, og repeteres for hvert 60. tall. Vi sier at det siste sifferet i fibonaccitallene har en sykel av lengde 60. Ser vi på de to siste sifrene (00,01,01,02,03,05,08,13,....), har vi en sykel av lengde 300. For de tre siste sifrene har vi en sykel av lengde 1 500, for fire 15 000, for fem 150 000 osv. Det ser ut til å være et mønster blant mønstrene i fibonaccitallene... Vi innfører fra nå notasjonen F(n) for det n-te fibonaccitallet, for eksempel er F(3) = 2 og F(7) = 13. Hvis vi starter med F(3), så ser vi at hvert 3. fibonaccitall (F(3), F(6), F(9)...) er et multippel av F(3). Siden F(3) = 2 vil det si at disse tallene er partall. Hvis vi starter på F(4), så er hvert 4. fibonaccitall (F(4), F(8), F(12)...) et multippel av F(4) = 3. Starter vi med F(5) så er hvert 5.

01.01.2000 fibonaccitall et multippel av F(5) = 5. Vi har observert et mønster og gjetter nå at F(nk) er et multippel av F(k) for alle verdier av n og k=1,2,... Siden dette er et resultat som gjelder for de naturlige tallene, kan vi prøve å bevise dette ved induksjon. Det klarer vi (Selv om vi ikke gjør det her), og dermed er gjetningen vår blitt et resultat. Vi har også et annet resultat som omhandler faktoriseringen av fibonaccitallene. Det kalles Carmichaels teorem: Bortsett fra fire unntak har vi at hvis vi ser på primtallsfaktorene til et fibonaccitall vil det være minst en av dem som ikke har forekommet som en faktor i et mindre fibonaccitall. Unntakene er F(1) = 1, F(2) = 1, F(6) = 8, F(12) = 144 (de to første har ingen primtallsfaktorer,

og både 2 og 3 er faktorer i mindre fibonaccitall).

En annen kuriositet om primtall og fibonaccitall er at hvis vi ser på de naturlige tallene som kommer før og etter et fibonaccitall er disse aldri primtall. Dette gjelder for alle fibonaccitall større enn 8 (for 8 er naboene 7 og 9, og 7 er et primtall). Å lete etter primtall er "big business" i dag. I letingen kan vi iallfall utelukke naboene til fibonaccitallene. Vi har nevnt mønstre som opptrer når vi ser på de siste sifrene i fibonaccitallene, så vi spør nå: Er det noen mønstre i de første sifrene i fibonaccitallene? Hva er sannsynligheten for at et fibonaccitall begynner med sifferet 1? Hva med 4? Det viser seg at første siffer i fibonaccitallene oppfører seg ganske likt som for eksempel første siffer i antall innbyggere i verdens land: Det mest "populære" sifferet i begge tilfeller er 1, deretter følger 2, helt ned til 9, som er det sifferet som dukker opp færrest ganger som første siffer. Det er faktisk ca. en tredjedel av verdens land som har et antall innbyggere der første siffer er 1. Dette er eksempler på samlinger av tall som følger Benfords lov. Vi sier at en samling tall følger Benfords lov hvis første sifferet i tallene følger følgende distribusjon:

Siffer

5 6 7 8 9

Prosentandel

30 18 13 10 8 7 6 5 5

Denne loven opptrer ofte i statistikken, nemlig når vi har en samling tall som føger en potenslov, dvs. at tallene forholder seg til en potens av et tall. Se for eksempel på tallene som er en potens av 2: 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288,... Det er 1 som opptrer oftest som første siffer, deretter følger 2 osv. Når vi kaster en terning eller trekker et Lotto-tall er henholdsvis tallene 1-6 og 1-34 like sannsynlige. Her gjelder ingen potenslov. Men i tilfeller som fibonaccitallene, antall innbyggere i verdens byer eller land, størrelsene på verdens innsjøer og prisene på aksjer på børsen har vi en potenslov. Fibonaccitallene forholder seg for eksempel til potenser av tallet "det gylne snitt" som ofte betegnes (uttales "fi", skrives "phi"). Tanken om "Det gylne snitt" går tilbake til Pytagoras' tid, da man så på enkelte proporsjoner og forhold som penere enn andre. Tenk deg at vi har en størrelse som deles i to slik at den største delen forholder seg til den minste slik hele størrelsen forholder seg til den største delen. Da sier vi at størrelsen er delt etter det gylne snitt. La oss se hva forholdet, det gylne snitt, blir.

01.01.2000

Vi kaller de to delene A og B. Hvis A er den største delen, skal vi altså finne forholdet som gir oss ligningen

. Vi har

. Siden B≠ 0 kan vi dele på B2 som gir

andregradsligningen

. Løsningene av denne gir

eller

Dette gir forholdet

siden vi vil ha et positivt tall. Det er tilnærmet lik 1,61803.

Så var det sammenhengen mellom fibonaccitallene og det gylne snitt: I utregningen av det gylne snitt hadde vi løsningene

for andregradsligningen vår. For fibonaccitallene

viser det seg at vi har formelen

La oss se hvordan vi kan få frem fibonaccitallene ved å manipulere andregradsligningen .

passer inn i denne ligningen, det vil si at

ligningen med høyere og høyere potenser av

og erstatter

. Hvis vi multipliserer med

får vi:

. Vi gjetter at , noe vi kan vise at stemmer ved induksjon.

Nå brukte vi

tilsvarende måte

Ser vi på differansen

, men

passer også inn i andregradsligningen, så dermed får vi på

, får vi formelen vi ga over for F(n).

01.01.2000

Hvis vi ser på forholdet

for stadig større n, får vi

dermed

etter en del mellomregning at

Siden

, blir det andre leddet både over og under brøkstreken mindre og mindre for

stadig større n, så

blir nærmere og nærmere

, det gylne snitt. For eksempel er

55/34 ~ 1,61765 89/55 ~ 1,61818 144/89 ~ 1,61798 233/144 ~ 1,61806. La oss nå manipulere nok et polynom. Denne gangen ser vi på polynomet P(x) som har fibonaccitallene som koeffisienter:

Når vi setter inn x-verdier for x < 1, vil vi få en sum, og siden koeffisientene er fibonaccitall kan vi regne ut hva summen blir: Se på polynomene

Hvis vi nå tar polynomet , vil vi kun få igjen polynomet 1, siden alle andre ledd kanselleres (det er slik fibonaccitallene er bygd opp - prøv selv!). Dermed får vi at . Hvis vi setter inn

, ser vi på

. Dette gir oss følgende tall skrevet i

titallssystemet: 1,12359550561.... (9-tallet kommer fra den nøyaktige brøken for dette desimaltallet, nemlig ved å sette inn

). Vi kan nå finne i P(x) dvs.

Fibonaccitallene dukker også opp i Pascals trekant. Pascals trekant er rader med tall som danner en trekant. Trekanten er bygd opp med 1-ere på kantene og der hvert tall innenfor disse er summen av de to tallene i raden over som er på hver side av tallet: 1 1

01.01.2000 1

1 1 1 1

3 4

3 6

5 6

10 15

1 4

10 20

1 5

1 6

... og så videre. Hvis vi nå tegner Pascals trekant slik at alle radene flyttes til høyre slik at vi får en diagonal med 1-ere, kan vi summere kolonnene. Gjett hva disse summene blir... Vi setter det i en tabell: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 1 5 1

10 10 5 6

...

15 20 ...

1 1 2 3 5 8 13 ...

Vi kan prøve å forklare dette ved å se på antall mulige måter å summere tallene 1 og 2 på slik at summen blir n, n et naturlig tall. For eksempel hvis n=4, får vi 1+1+1+1,2+1+1,1+2+1,1+1+2 og 2+2, som gir 5 måter. Hvis vi i tillegg deler måtene opp etter hvor mange 1-ere og 2-ere vi bruker, får vi delt opp n som i n-te kolonne av Pascals trekant (der vi har flyttet radene som over). Så for eksempel, 5 deles i 1 3 1. Til slutt tar vi en liten tur tilbake til fibonaccispiralen. På tilsvarende måte som vi lagde denne spiralen ved å pusle sammen sirkelbuer der radiene var fibonaccitall, kan vi pusle sammen kvadrater der sidene er fibonaccitall og få rektangler:

01.01.2000

Kvadrater der sidelengdene er Fibonaccitall.

Når vi bygger et nytt rektangel ved å legge til et kvadrat, blir den korte siden i rektangelet lik den lengste siden i det forrige rektangelet, og den lange siden blir summen av sidene i de to siste kvadratene vi la til. Vi har altså et puslespill av kvadrater som har lengder som er et fibonaccitall. Hva forteller dette puslespillet oss matematisk? Hvis vi ser på arealene vi får, får vi

Generelt ser det altså ut til at hvis vi summerer kvadratene av fibonaccitall vil summen bli lik produktet av det største fibonaccitallet vi brukte i kvadratene og det neste fibonaccitallet. Sagt matematisk, 12+12+22+32+52+82+...+F(n) 2=F(n)F(n+1), noe som igjen kan vises ved induksjon.

Hoderegning

Det er ikke alltid så lett å fortelle andre hvordan man regner i hodet. Vi har ofte helt forskjellige teknikker, og det som kan virke lett for noen er vanskelig for andre. Det er kanskje like mange teknikker for hoderegning som det er hoderegnere. Men noen generelle metoder går igjen. Vi skal ta for oss både addisjon og multiplikasjon og se hvordan egenskaper ved tallene kan hjelpe oss på vei. Legge sammen 22

01.01.2000 Å legge sammen i hodet er egentlig bare et spørsmål om å huske og å holde rede på flere ting samtidig. Posisjonssystemet er i seg selv et godt utgangspunkt for hoderegning. Spørsmålet blir om man skal begynne bakfra eller forfra, dvs. om man skal legge sammen enerne først og så tierne slik man gjør når man regner på papir, eller om man skal gå motsatt vei. Når man regner i hodet kan det ofte være lurt å gå den andre veien. Hvis man begynner med de største tallene må man hele tiden skjele til neste tall for å se om det skjer en tierovergang. Et eksempel: 3782+1965. Vi starter fra venstre, med tusenene, 3+1=4, men det aner oss, ved å kaste et blikk på det som kommer etterpå, at det er en tierovergang i neste siffer. Derfor blir første siffer 5. Siden 7+9=16 og 10-eren er brukt opp, blir neste siffer 6, men også her aner vi at det er tierovergang på gang og øker med en, til 7, altså 5 tusen 7 hundre ... Neste siffer blir 4, fordi 8+6=14 og 10-eren er brukt opp fra før, og denne gangen kommer det ingen tierovergang, altså beholder vi 4, og til slutt får vi 2+5=7. Til sammen 5747. Kunsten er å gjøre disse prosessene så raskt at man kan lese svaret fem tusen sju hundre og førtisju, mens regningene som beskrevet over pågår. Det som kreves er å huske samt å kunne lille addisjonstabell utenat. Subtraksjon kan gjøres omtrent på samme måte.

Gange sammen Når det gjelder multiplikasjon er det flere ulike teknikker som kan anvendes, og teknikkene har litt forskjellige bruksområder. Den mest generelle teknikken er flytting av faktorer. Ethvert tall kan på en entydig måte (bortsett fra omstokking av rekkefølge) faktoriseres i sine ulike primfaktorer. Ofte er det lettere å multiplisere sammen et stort tall med en enkel primfaktor og så gjenta dette til hele multiplikasjonen er utført enn å multiplisere sammen to flersifrede tall. Et eksempel illustrerer dette prinsippet. Utfør multiplikasjonen 168 78. Vi starter med å splitte av primfaktorer på det minste av tallene. I dette tilfellet er 78 det minste og vi ser lett at 2 er en faktor. Det gir oss 168 78 = 336 39, der fordoblingen av 168 følger addisjonsprinsippet med å begynne forfra og skjele bakover om det er noen tierovergang i sikte på neste siffer. Videre er 39 delelig med 3, og 336 lar seg lett multiplisere med 3 siden vi husker at 333 3 = 999. Siden 336 er 3 større vil 3 ganger tallet bli 9 større, altså 1008, dvs. er regnestykket vårt 1008 13. Nå gjenstår egentlig bare multiplikasjonen 8 13. Denne tar vi greit ved at 8 13 = 4 26 = 2 52 = 104. Eller så husker vi at hver farge i en kortstokk har 13 kort, det er fire farger og til sammen 52 kort. 8 farger tilsvarer 2 kortstokker med 52 2 = 104 kort. Vårt opprinnelige regnestykke blir dermed 168 78 = 13104. Dette virker kanskje nokså ad hoc og lite generelt, men faktum er at vi ved denne framgangsmåten tar i bruk helt vesentlige egenskaper ved de naturlige tallene, nemlig deres multiplikative oppbygning. Ankepunktet ved en slik metode er selvfølgelig at av og til må vi multiplisere med primtall, og da er metoden til liten hjelp. Eller så kan tallene være så store at vi ikke klarer å faktorisere. Det kan nemlig være svært vanskelig, særlig for store tall. Faktorisering fungerer veldig ofte bra, men som vi har sett, ikke alltid, og metoden er heller ikke nødvendigvis så rask. En metode som bare fungerer i enkelte tilfeller, men som da kan være god, er å bruke kvadratsetningene, særlig den tredje. Den sier at

. Det er ikke vanskelig å vise at dette alltid gjelder, vi ganger bare ut ledd for ledd og ser fort at det er to ledd som inneholder ab, og disse opptrer med motsatt fortegn. Anvendelsesområdet er på produkter av typen 26 34, der det ene tallet er like mye mindre enn et rundt tall som det andre er større. Vi regner slik: 26 34 = (30-4)(30+4)= 900-16 = 884. Det er også mulig å bruke første og andre kvadratsetning,

01.01.2000

men dette er sjelden veldig effektivt. Noen helt spesielle teknikker finnes også. En av dem er multiplikasjon mellom et tosifret tall og 11. Det er lett å se, ut fra vanlig oppstilling av multiplikasjon at svaret er laget ved å ta det tosifrede tallet, splitte sifrene og sette tverrsummen i midten. Dersom tverrsummen overstiger 9, altså er 10 eller større, så settes siste siffer i tverrsummen i midten, og ettallet legges til det første av de splittede sifrene. Vi tar to eksempler. 11 42, tverrsummen av 42 er 6 og svaret blir 462. I utregningen av 11 68 ser vi at tverrsummen av 68 blir 14, vi setter 4 i midten og legger 1-tallet til 6 og får 748. Det er generelt vanskelig å beskrive metoder for hoderegning. Men det er mulig å bruke aritmetiske egenskaper ved tallene, som faktorisering eller generelle algebraiske resultater som kvadratsetningene og lage helt allmenne teknikker. I tillegg er det en forutsetning for rask hoderegning at man er øvet i å håndtere flere teknikker samtidig, at man har evne til å huske mange tall og at man klarer å kombinere dette. Den praktiske betydningen av en slike evne er ikke bare kuriøs, men kan for mange være nyttige i ulike dagligdagse sammenhenger. Men kanskje vel så viktig som å kunne utføre eksakte regnestykker i hodet er å kunne gjøre kvalifiserte og gode overslag i hodet, slik at man kan angi cirka-svar på regneproblemer som dukker opp. Man gjør noen forenklinger, bruker noen av de foreskrevne teknikker og så kommer man fram til svar som for mange praktiske formål er like gode som det eksakte svaret. I alle tilfelle er det nyttig å kunne den lille multiplikasjonstabellen utenatt, den ligger ofte til grunn. Et eksempel på dette er rask divisjon i hodet. Dersom man får oppgitt f.eks. et firesifret tall som man av ulike grunner vet er et kvadrattall så holder det ofte å anslå størrelsen på tallet ved å se på de første to sifrene, for deretter å sikte seg inn på det eksakte tallet ved å se på de to siste. Et eksempel: 52 52 = 2704. Hvis vi kun kjenner svaret kan vi tenke slik: Normalt vil kvadratet av et 2-sifret tall være 3 eller 4-sifret, kvadratet av et 3-sifret tall 5 eller 6-sifret, osv. Det betyr at kvadratroten til 2704 raskt vil kunne fastslås å være 2-sifret, og siden 50 50 er 2500, mens 60 60 er 3600, så vet vi at tallet ligger mellom 50 og 60. Ser vi på siste siffer, så bruker vi følgende huskeregel, kvadratet av et tall som slutter med 1 har 1 som siste siffer, kvadratet av et tall som slutter på 2 har 4 som siste siffer, 3 som siste siffer gir 9, osv. Det er to kvadratstyper som har 4 som siste siffer, nemlig de som slutter på 4 og de som slutter på 8. 2704 er nærmere 2500 enn 3600 hvilket skulle indikere at svaret er 52. Forutsetningen for at dette skal gå bra er at tallet vi ser på faktisk er et kvadrattall. Igjen ser vi at forutsetningene for å regne raskt i hodet er en god kjennskap til tallene og deres multiplikative egenskaper, kombinert med evne og intuisjon til å finne gode teknikker og å håndtere flere tall samtidig. Det finnes selvfølgelig et mangfold av andre teknikker som vi ikke kan behandle her. Det viktigste er å finne sine egne metoder, som passer til ens egne ferdigheter. Det er i stor grad opp til den enkelte, og en fin og nyttig intellektuell øvelse.

Lær om matematiske bevis av Terence Tao

01.01.2000

Terence Tao

Terence Tao er født i Adelaide i Australia i 1975. I 1987, 1988 og 1989 var han med på det australske laget i den internasjonale matematikkolympiaden (IMO). Matematikkolympiaden er for elever under 20 år. I 2006 ble Terence tildelt Fields-medaljen som av mange ses på som den mest prestisjetunge matematikkprisen i verden. I tillegg til masse annet har Terence også skrevet en bok om bevis som passer for deg som liker matematikk. Den heter "Solving Mathematical Problems" og foreligger normalt bare på engelsk, men matematikk.org har fått lov til å oversette noen av bevisene til norsk som en prøve for deg som kanskje kunne ha lyst til å lese boka på engelsk.

Bevis innen euklidsk geometri

Oppgave: ABC er en trekant som er innskrevet i en sirkel. Halveringslinjene i vinkel A, B og C treffer sirkelen i henholdsvis D, E og F. Vis at AD står vinkelrett på EF. Fra boka "Solving Mathematical Problems", oversatt av Nils Voje Johansen

Figur 1: Sirkel med alle punktene i oppgaven markert.

Vi begynner selvsagt med å tegne en figur og markere alle punktene, se figur 1. Jeg har i tillegg tatt meg den frihet å merke innsenterpunktet med I (halveringslinjene skjærer hverandre i innsenteret (sentrum i trekantens innskrevne sirkel), og punktet kan derfor være viktig). Jeg har også avmerket skjæringspunktet M mellom linjene AD og EF (som jo er stedet hvor vi ønsker å vise at linjene står vinkelrett på hverandre). Dermed kan vi skrive ned vårt studieobjekt som en likning, vi vil vise at . (Vi kunne selvsagt formulert kravet ved hjelp av en av de andre vinklene der linjene skjærer hverandre, for eksempel .) Dette ser ut til å være en overkommelig oppgave: figuren er lett å tegne, og påstanden virker rimelig ut fra figuren. Stilt ovenfor et problem av denne typen vil ofte en direkte angrepsmåte fungere greit. Vi skal beregne en vinkel i M. Ved første øyekast synes det ikke å være noe spesielt ved punktet M. Etter å ha satt inn alle de data vi har ser vi at vi kjenner mange vinkler, hovedsakelig på

01.01.2000 grunn av vinkelhalveringene, trekantene og den omskrevne sirkelen. Kanskje det vil kunne la seg gjøre å bestemme ∠AMF bare ved å finne nok andre vinkler? Tross alt er det jo mange læresetninger (teoremer) som bare venter på å bli brukt: summen av vinklene i en trekant er 180°, periferivinkler som spenner over samme sirkelbue er like store, vinkelhalveringslinjene i en trekant er konkurrente (skjærer hverandre i ett punkt). Vi starter derfor med å navngi noen vinkler. Siden trekant ABC er utgangspunktet vårt og siden vi har halvert vinklene i trekanten, virker det fornuftig å starte med å navngi vinklene i trekanten: ,

(det er vanlig å betegne vinkler med greske bokstaver). Nå har vi selvsagt at

Vi kan lett finne en mengde andre vinkler fra dette, for eksempel er . (Det beste er om du lager en tegning og setter på tilsvarende vinkler selv.) Vi kan nå benytte at vinkelsummen i en trekant er 180° og finne noen av de indre vinklene. For eksempel, siden I er innsenteret (skjæringspunktet mellom AD, BE og CF) i ABC, så kan vi lett finne at ved å se på trekanten AIC. Sannheten er at vi kan finne så godt som alle relevante vinkler – bortsett fra de ved M, som jo var de vi egentlig ønsket å finne. Vi må derfor forsøke å representere vinkelen ved M ved hjelp av andre vinkler som ikke er relatert til M. Heldigvis er dette ikke så vanskelig, vi kan for eksempel sette vise at er 90°, lik

, som vi jo ønsker å .

Dette bringer oss et langt steg fremover siden de to vinklene bestemme. Vi finner

er mye letter å

, og fordi periferivinkler som spenner over samme sirkelbue er like store finner vi

Av dette får vi at

, akkurat det vi var på jakt etter. Dette er en vakker måte å løse geometriske problemer på – rett og slett å arbeide seg frem til den ettersøkte vinkelen. Vinkler er vanligvis enklere å finne enn sidekanter (hvor du ofte må pløye deg gjennom stygge uttrykk med sinus og cosinus), og reglene er også lettere å huske.

Intervju med Terence Tao Dette intervjuet er hentet fra intervjuet som ble offentliggjort i forbindelse med at Terence Tao ble tildelt Fields-medaljen. Hvis du vil lese hele intervjuet på engelsk finner du det i våre eksterne lenker til høyre på denne siden.

Hvordan ble du interessert i matematikk? Var det noe som kom innenfra eller kom det også av at du for eksempel hadde en spesielt god lærer?

01.01.2000 Foreldrene mine har fortalt meg at jeg var interessert i tall allerede som toåring, jeg forsøkte å lære de andre barna å telle ved hjelp av lekeklosser med tall på. Jeg husker dessuten at jeg som barn var fascinert av mønstre og lek med manupulering av matematiske symboler. Det var først senere, på videregående skole, at jeg også lærte meg å sette pris på de dypere aspektene ved matematikk – og hvordan den henger sammen med verden rundt oss og ens egen intuisjon. Nå verdsetter jeg faktisk de dypere aspektene ved matematikken mer enn selve problemløsingen. Jeg tror at det viktigste for å bli interessert i matematikk er å ha evnen til og friheten til å leke seg med matematikken – å lage små utfordringer for seg selv, finne opp små spill og så videre. Det var også viktig for meg å ha gode lærere fordi det gav meg muligheten til å diskutere denne typen matematisk lek. Den formelle klasseromsundervisningen er selvsagt best for å lære teori og anvendelser – og for å få innblikk i og sette pris på faget som sådan – , men klasserommet er ikke det beste stedet for å lære å eksperimentere. Et karaktertrekk som kommer godt med er dessuten å ha evnen til å konsentrere seg, og kanskje det også hjelper å være litt sta. Hvis vi i klasserommet lærte noe som jeg bare delvis forstod følte jeg meg ikke tilfreds før jeg var i stand til å gå gjennom det hele, og skjønne det. Det uroet meg når forklaringene ikke passet sammen som de skulle. Jeg brukte ofte mye tid på enkle ting helt til jeg forstod dem baklengs og forlengs, og dette hjelper deg virkelig når du går videre med mer avanserte deler av faget.

Hvordan ser du etter nye problemer å arbeide med? Og hvordan vet du at et problem vil bli et interessant problem å arbeide med? Jeg snapper opp mange problemer ved å snakke med andre matematikere. Jeg hadde kanskje flaks, i og med at mitt første arbeidsområde, harmonisk analyse, har så mange forgreininger til og anvendelser på andre områder av matematikken (partielle differensiallikninger (PDE), anvendt matematikk, tallteori, kombinatorikk, ergodeteori etc.). Så i grunnen har det aldri vært noen mangel på problemer å ta fatt i. Jeg kan også komme over interessante problemer ved å gå gjennom et område av matematikken og oppdage at det i litteraturen er et hull, for eksempel ved å se på en analogi mellom to ulike objekter (for eksempel to forskjellige PDE) og sammenlikne de kjente positive og negative løsningene for begge.

Finnes det “hot topics” innen matematikken, og i så fall hva vil du si er “hot topics” nå? Jeg kjenner egentlig bare godt nok til de områdene av matematikken hvor jeg selv arbeider aktivt, så jeg kan ikke si hva som er “hot” på andre områder. På mitt eget område synes det som om ikke-lineære geometriske PDE er i vinden for tiden (mest spektakulært i Perelmans [en annen Fieldsmedaljevinner fra 2006] bruk av Ricci flow for å løse Poincarés formodning) – det er også en spennende syntese mellom geometrisk, analytisk, topologisk, dynamisk og algebraisk metode her!

Hvordan ser du på forholdet mellom matematikk og offentligheten? Og hvordan mener du det ideelt burde være? Forholdet varierer antagelig en del fra land til land. I USA synes det som det er en slags diffus allmenn oppfatning av at matematikk er “viktig” for mye av den høyteknologiske industrien, men oppfatningen er også at det er “vanskelig” og bør overlates til eksperter. Så det er vilje til å støtte matematisk forskning, men det er ikke så stor interesse etter å finne ut hva matematikere egentlig gjør. (Det har i det siste vært en del innen film og andre medier som har involvert matematikere, men dessverre er det veldig sjelden de gir noe som likner på et sannferdig bilde av hva matematikk er og hvordan det er å arbeide med det.) Jeg skulle gjerne

01.01.2000 sett at matematikken ble demystifisert og gjort mer tilgjengelig for allmennheten, men jeg vet ikke egentlig hvordan man skal gripe det an for å nå disse målene.

Bevis innen tallteori

Oppgave: Vis at i en rekke av 18 tresifrete tall som følger etter hverandre i tallrekka vil i det minste ett av tallene være slik at tverrsummen deler tallet. Fra boka "Solving Mathematical Problems", oversatt av Nils Voje Johansen. Dette er et klart begrenset problem. Det finnes bare rundt 900 tresifrete tall, så i teorien kunne vi sette oss ned og regne etter for å se om det stemmer. Men la oss se om vi kan unngå den slags grisearbeid. For det første virker selve studieobjektet vårt litt fremmed: Vi ønsker å se på tall som skal være delelig med tverrsummen. La oss forsøke å få det hele på matematisk form, slik at vi lettere kan behandle (manipulere) det. Et tresifret tall kan skrives på formen abc10, hvor a, b og c er siffer. Vi benytter skrivemåten abc10 for ikke å blande det sammen med abc – legg da merke til at vi bestemmer at abc10 = a 100 + b 10 + c, mens abc = a b c. Det finnes en standard skrivemåte for å uttrykke at tallet a deler tallet b (altså at a går opp i b), den ser slik ut: a|b. Benytter vi denne skrivemåten kan problemet vårt omskrives til formen (a + b + c)|abc10

(1)

hvor abc10 er sifrene i et av de 18 tallene. Kan vi nå redusere, forenkle eller gjøre noe annet med dette uttrykket? Det er mulig å få til noe, men ikke noe som ser vettugt ut (som for eksempel en brukbar likning som forbinder a, b og c direkte). Faktum er at (1) er et grusomt uttrykk å arbeide med, selv om vi forsøker å erstatte abc10 med a 100 + b 10 + c. Jukser vi litt og ser på de tallene som løser (1) vil vi finne at det er 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, ..., 990, 999. De ser ved første øyekast tilfeldige og vilkårlige ut. Det kan imidlertid se ut til at de forekommer ofte nok til at ethvert utvalg av 18 påfølgende tall vil inneholde minst ett av dem. Men har 18 noen signifikant betydning? La oss anta at 18 ikke er valgt for å villede (at det samme for eksempel også ville være tilfelle for 13 påfølgende tall) – hvilken betydning har da 18? Noen av dere vil kanskje huske at 9 kan skape en forbindelse mellom et tall og tverrsummen av tallet (for eksempel vil et tall og tallets tverrsum få samme rest dersom vi dividerer med 9), og tallet 9 er jo i sin tur forbundet med 18. Det kan altså være en slags forbindelse her. Men til tross for dette har vi ikke klart å uttrykke noe som fanger opp delelighet samt at vi er interessert i påfølgende tall. Det kan derfor se ut som vi må reformulere oppgaven eller se på en beslektet oppgave for å komme videre. La oss begynne med å se etter alt som kan ha med tallet 9 å gjøre. Hvis vi ser på løsningene av (1) legger vi merke til at mange er multiplum av 9, og enda flere er multiplum av 3. Ser vi nøyere etter i lista er det faktisk bare tre unntak, 100, 110 og 112. Kanskje vi derfor skulle forlate formuleringen I ethvert utvalg av 18 påfølgende tall vil minst ett tilfredsstille (1) og i stedet forsøke oss på I ethvert utvalg av 18 påfølgende tall finnes det et multiplum av 9 som tilfredsstiller (1). Dette leder oss i en retning som ser lovende ut, og det bygger bro mellom studiemengden vår (18 påfølgende tall) og kravet (at minst ett tall tilfredsstiller (1)), siden 18 påfølgende tall alltid vil inneholde et multiplum av 9 (i realiteten inneholder det jo to slike multiplum).

01.01.2000 Tallteoretiske argumenter og erfaring fra prøving har jo dessuten vist oss at multiplum av 9 ofte tilfredsstiller (1). Metoden med å formulere en hjelpeoppgave er ofte den beste måten å forene to utsagn som fremstår som ”uvennlige”. Det viser seg nå at denne hjelpeoppgaven (hvor vi betrakter multiplum av 9) virkelig fungerer, men det trengs litt arbeid for å sikre at vi dekker alle muligheter. Det viser seg faktisk at det er bedre å se på multiplum av 18. Vi har altså følgende lille plan: se på 18 påfølgende tall ⇒ se på et multiplum av 18 ⇒ få en løsning av (1) Det er to grunner til denne endringen: 18 påfølgende tall vil alltid inneholde ett multiplum av 18, men det vil være være to multiplum av 9. Det ser derfor penere ut, og virker riktigere, å benytte multiplum av 18 enn multiplum av 9. Hvis vi bare benyttet multiplum av 9 for å løse oppgaven ville det jo si at oppgaven bare trengte å ta for seg 9 påfølgende tall i stedet for 18. Det burde være lettere å vise (1) ved hjelp av multiplum av 18 i stedet for multiplum av 9, siden multiplum av 18 jo ikke er annet enn spesialtilfeller av multiplum av 9. Det viser seg også at multiplum av 9 ikke alltid fungerer (se for eksempel på 909), men multiplum av 18 vil alltid fungere – som vi skal se. Hvorom allting er, eksperimentering viser at multiplum av 18 alltid fungere, men hvorfor det? La oss for eksempel se på 216, som jo er et multiplum av 18. Tverrsummen er 9, og 9 deler 216 fordi 18 deler 216. La oss se på nok et eksempel, 882 er et multiplum av 18, og tverrsummen er 18. Siden 882 er et multiplum av 18 vil tverrsummen helt åpenbart dele 882. Tar vi for oss flere tall som er multiplum av 18 ser vi tverrsummen alltid er 9 eller 18, som jo selvsagt vil dele det opprinnelige tallet. Med denne bakgrunnen forsøker vi oss nå på et bevis:

BEVIS Innenfor 18 påfølgende tresifrete tall må ett være et multiplum av 18, la oss kalle det abc10. Fordi abc10 da også blir et multiplum av 9, så må a + b + c være et multiplum av 9. (Husk: Et tall er bare delelig med 9 dersom tverrsummen er delelig med 9). Siden a + b + c bare kan anta verdier mellom 1 og 27 må a + b + c være enten 9, 18 eller 27 (husk at tverrsummen skal være delelig med 9). Her vil 27 bare forekomme når abc10 = 999, men det er ikke noe multiplum av 18. Altså må a + b + c være enten 9 eller 18. Siden 9 og 18 alltid vil dele et multiplum av 18 vet vi at (a + b + c)|abc10.

Bevis innen analytisk geometri

Oppgave: Et regulært polygon med n hjørner er innskrevet i en sirkel med radius lik 1. La L være mengden av linjestykker med forskjellig lengde som kan trekkes mellom hjørnene i polygonet. Hvis du kvadrerer lengdene til elementene i L, hva blir da summen av kvadratene? Fra boka "Solving Mathematical Problems", oversatt av Nils Voje Johansen Mange geometriske oppgaver blir enklere å løse hvis man benytter andre deler av matematikken, slik som algebra og induksjon, for å løse dem. Denne oppgaven er et eksempel på nettopp det. La oss starte med å gi uttrykket ”summen av kvadratene til elementene i L” et kortere navn, for eksempel X. Oppgaven vår er altså å regne ut X. Dette ser ut til å være en overkommelig oppgave; det er ikke en ”vis at”-oppgave eller en ”er det slik at”-oppgave, men en ren

01.01.2000 utregningsoppgave hvor vi for eksempel kan tenke på å benytte trigonometri og Pytagoras' setning. La oss se på et eksempel. Når n = 4 har vi et kvadrat innskrevet i en enhetssirkel. De mulige lengdene som kan oppnås ved å forbinde to hjørner er kvadratets sidelengde lik finner vi

og diagonalens lengde lik 2. Fra dette

. Tilsvarende får vi når n = 3 at den eneste lengden som

opptrer er trekantens sidelengde, som er . Dermed blir . Setter vi n = 5 blir situasjonen litt mer komplisert og vi trenger bøttevis av cosinus- og sinusregning for å finne svaret – så la oss vente litt med det. La oss i stedet se på n = 6. Sidelengdene i sekskanten blir lik sirkelens radius, altså 1. De korte diagonalene blir lik

, mens de lange diagonalene

(diameteren) blir lik 2. Fra dette finner vi . Til slutt ser vi på et underlig spesialtilfelle, nemlig n = 2. Da er ”polygonet” lik diameteren, og vi finner . Vi samler resultatene fra disse eksemplene:

Vi har satt spørsmålstegn ved n = 2 siden det er litt spesielt å snakke om et polygon med kun to sider. Denne lille tabellen gir oss imidlertid ikke mange tips om hvordan den generelle løsningen blir. Vi bør derfor se på et litt mer generelt tilfelle, og starter med å tegne en figur. Det er antagelig fornuftig å navnsette hjørnene, og da på en slik måte at det representerer en måte om kan brukes generelt. Vi starter med et hjørne og kaller det A 1 og fortsetter med solen med A 2, A 3, A 4, A 5 og opp til det siste hjørnet A n, se figur 2.

01.01.2000

Figur 2: Navnsetting av hjørnene.

Nå kan vi gjøre noen innledende observasjoner: a) Det kan være av betydning om n er like eller odde. Hvis n er like vil den lengste diagonalen være lik diameteren. Vi legger også merke til at når n er like vil vi ha av linjestykker, mens når n er odde vil det være

forskjellige varianter

forskjellige.

b) Muligens vil X alltid være et heltall. I alle fall har det vært tilfelle med de eksemplene vi så på. Vi må imidlertid huske at spesialtilfellene vi behandlet, kvadratet, den likesidede trekanten og heksagonet, er spesielle og har ”kvadratrotaktige” lengdemål. Men tross alt gir det oss et håp om at svaret ikke vil være altfor stygt. c) Oppgaven vår er å addere kvadrater av lengder, ikke lengdene selv. Det betyr at vi ikke lenger er innenfor ren geometri, men derimot har vi beveget oss over i analytisk geometri. Det impliserer at vi antagelig bør ta i bruk vektorer, koordinatgeometri eller kanskje komplekse tall? (I bunn og grunn vil imidlertid alle disse metodene være like.) Koordinatgeometri vil antagelig involvere mye grisete trigonometri, men vil forhåpentligvis sakte men sikkert føre oss mot målet. Vektorgeometri eller komplekse tall ser derfor noe mer lovende ut (med vektorregning kan vi benytte skalarprodukt, mens komplekse tall gir oss mulighet til å benytte komplekse eksponenter). d) Det virker umulig å starte direkte på oppgaven siden vi ikke skal summere alle diagonaler, men bare dem med ulik lengde. Vi vil derfor først forsøke å omformulere spørsmålet slik at det lettere kan uttrykkes som en likning. (Likninger er trygg matematikk, ikke nødvendigvis så kreative og fulle av inspirasjon, men de er lette å manipulere. Generelt kan oppgaver uttrykkes ved hjelp av en eller annen likning – muligens med noen unntak innen kombinatorikk og grafteori.) Hvis vi begrenser oss til å se på diagonalene som løper ut fra ett enkelt hjørne av polygonet (fig. 3) vil vi finne alle de diagonalene vi trenger.

01.01.2000

Figur 3: Diagonaler ut fra et enkelt hjørne.

Figur 3 viser et eksempel hvor n er like. Hvis vi begrenser oss til å se på øvre halvsirkel ser vi at alle ulike diagonaler vil forekomme én og bare én gang. Lengdene |A 1A 2|, |A 1A 3|, |A 1A 4| og |A 1A 5| vil utgjøre de lengdene vi er interessert i. Vi kan med andre ord uttrykke den ettersøkte størrelsen som: X = |A 1A 2| 2 + |A 1A 3| 2 + |A 1A 4| 2 + |A 1A 5| 2 Mer generelt kan vi si at vi er interessert i å beregne X = |A 1A 2| 2 + ... + |A 1A m| 2

hvor (hvis n er like) og en mer eksplisitt form:

(hvis n er odde). Vi kan nå skrive opp problemet på

La et regulært polygon med n hjørner være innskrevet i en enhetssirkel. La

hvis n er

like og hvis n er odde. Beregn størrelsen X = |A 1A 2 | 2 + ... + |A 1A m| 2. Det er litt uleilig at summen |A 1A 2| 2 + ... + |A 1A m| 2 stopper ved A m og ikke ved A n som hadde vært mer naturlig. Vi kan rette på dette ved å se på den doble summen og deretter dele på 2. Vi benytter dessuten at symmetri gir at |A 1A i|=|A 1A n+2–i| og derfor:

X =

(|A 1A 2|2 + |A 1A 3|2 + … + |A 1A m|2 + |A 1A n|2 + |A 1A n–1|2 + … + |A 1A n+2–m|2 ).

Her må vi huske på at når n er like har vi talt diagonalen |A 1A n/2 + 1|2 = 4 to ganger. Vi kan imidlertid rydde opp i dette ved å skille mellom like og odde tilfeller. For å få et penere og mer symmetrisk uttrykk kan vi dessuten fritt innføre leddet |A 1A 1|2 siden det jo er lik 0. Gjør vi det finner vi:

(|A 1A 1|2 + |A 1A 2|2 + … + |A 1A n|2)

(1)

når n er odde, og

X =

(|A 1A 1|2 + |A 1A 2|2 + … + |A 1A n|2) + 2

(2)

01.01.2000 når n er like (det ekstra 2-tallet kommer fra at i denne parentesen telles leddet med diagonalen, |A 1A n/2 + 1|2 = 4, bare en gang, og vi må derfor legge til for å ta vare på at den opprinnelig skulle vært talt med 2 ganger). Vi kan nå innføre størrelsen Y = |A 1A 1|2 + |A 1A 2|2 + … + |A 1A n|2

(3)

og regne ut Y i stedet for X. Fordelen med dette er så snart vi vet Y vil likning (1) og (2) gi oss X. Y er et penere uttrykk enn X, og derfor muligens lettere å beregne. for å regne ut Y trenger vi ikke å skille på like og odde verdier for n.

Hvis vi nå går tilbake til den lille tabellen vi laget for tilfellene n = 3, 4 og 6 kan vi nå i tillegg beregne Y (for eksempel ved likning (1) og (2)):

Fra verdiene på n og Y kan vi nå formulere en formodning om at Y = 2n. Fra likning (1) og (2) vil vi da se at X = n når n er odde og at X = n + 2 når n er like. Dette ser jo lovende ut, men vi må nå bevise at vår formodning er rett! Vi tar i bruk vektorgeometri, siden det gir oss et kraftfullt verktøy til å manipulere uttrykk av den typen vi har i uttrykk (3). Siden kvadratet av lengden av en vektor v rett og slett er skalarproduktet av vektoren prikket med seg selv, v v, kan vi skrive Y som Y = (A 1 – A 1) (A 1 – A 1) + (A 1 – A 2) (A 1 – A 2) + … + (A 1 – A n) (A 1 – A n). Her betyr nå A 1, … , A n vektorer og ikke punkter. Vi kan fritt velge origo i koordinatsystemet, men det naturligste er å la det være i sirkelsenteret. (Det nest mest naturlige er muligens å velge A 1 som origo.) En umiddelbar fordel ved å la origo ligge i sirkelsenteret er at alle vektorene A 1, … , A n da vil ha lengde lik 1. Det betyr videre at A 1 A 1 = A 2 A 2 =… = A n A n = 1. Hvis vi nå benytter dette til å regne ut skalarproduktene ovenfor ser vi generelt at (A 1 – A i) (A 1 – A i) = A 1 A 1 – 2A 1 A i + A i A i = 2 – 2A 1 A i Dette gir oss mulighet til forenkle uttrykket Y Y = (2 – 2A 1 A 1) + (2 – 2A 1 A 2) + … + (2 – 2A 1 A n) Hvis vi samler like ledd og faktoriserer får vi Y = 2n – 2 A 1 (A 1 + A 2 + … + A n).

01.01.2000 Vår formodning gikk ut på at Y = 2n. For å oppnå dette må vi vise at vektorsummen A 1 + A 2 + … + A n er lik null. Dette gir seg selv ut fra symmetri (vektorene ligger symmetrisk og ”drar” like mye i alle retning, så nettokraften må bli null. Det lønner seg alltid å se etter muligheter for å utnytte symmetriegenskaper). Dermed har vi vist at Y = 2n, og dermed blir X = n når n er odde og X = n + 2 når n er like.

Magiske kvadrater

Tror du på tallmystikk? Historien til magiske kvadrater er rundt 3000 år gammel. De stammer fra det eldste kjente tallmysterium, legenden om Lo Chu.

Skilpadden som kom opp av elva.

Legenden om Lo Chu ble funnet i Kina i en bok med tittel Yih King, og i en litt forkortet versjon går legenden omtrent sånn: I Kina var det for lenge siden en stor flom. Folk prøvde å ofre til "elveguden" i elva Lo for å stagge hans sinne. Hver gang kom det en skilpadde opp av elva og vandret rundt offeret før den gikk tilbake til elva. Elveguden aksepterte ikke offeret, og flommen fortsatte. Dette gjentok seg inntil et lite barn skjønte den kuriøse figuren på skilpaddeskallet. Det forestilte et magisk kvadrat som skrevet på en litt ryddigere måte ser slik ut: 4

Summen i hver rad, hver søyle og de to diagonalene er alle 15. Da skjønte kineserene at det rette antallet ofre var 15, og de klarte å stagge elveguden. Definisjon av magisk kvadrat En oppstilling av de naturlige tallene fra 1 til n 2 i n rekker og n kolonner med følgende egenskap: Summen av tallene i hver rekke, hver kolonne og langs hver diagonal er den samme. Tallet n kalles kvadratets orden. Skilpaddeskallet er altså et magisk kvadrat av tredje orden. Et uløst matematisk problem er å finne antallet av mulige kvadrater av en gitt orden. Når man ser bort fra dreininger og rotasjoner, finnes det kun én type kvadrat av tredje orden og 880 av fjerde orden. Antallet femte ordens kvadrater er ikke kjent, men er trolig over 13 millioner.

Den magiske summen for et magisk kvadrat av orden m er gitt ved

, det vil si

at for m=3 har vi

, mens vi for m=4 har

De magiske kvadratene av tredje orden har i utgangspunktet 9 ukjente:

01.01.2000

Summen i hver rad, kolonne og diagonal skal være 15, noe som gir oss 8 likninger å løse. Noen av disse er overflødig,e og etter noe regning ender vi opp med følgende kvadrat som gir oss alle løsninger

15-a-b

20-2a-b

-10+2a+b

-5+a+b

10-b

10-a

Nå kan vi sette inn verdier for a og b. Det er i alt 8 mulige: A

Setter vi inn verdiene i kvadratet får vi følgende 8 magiske kvadrater:

De 8 ulike magiske kvadratene.

og det er enkelt å se at disse essensielt er samme kvadrat, bare rotert eller speilet. For et magisk kvadrat av orden 4 har vi tilsvarende 16 ukjente, og vi har 9 uavhengige betingelser, noe som gir oss 7 parametre. Ikke alle valg av verdier for disse parametrene gir oss

01.01.2000 ekte kvadrater, for å være nøyaktig er tallet 7 040. Men så er det også her mange overflødige, det vil si noen magiske kvadrater som vi kan lage fra andre ved rotasjoner eller andre symmetrier. For hvert magisk kvadrat har vi 4 rotasjoner og 2 speilinger, noe som gir oss 8 "stive" symmetrier. I tillegg har vi noe vi kan kalle "aritmetrier", der vi beholder alle de 8 regnestykkene (4 rader, 4 søyler og 2 diagonaler) i kvadratet, men forandrer geometrien. Vi har flere typer aritmetrier:

og denne

Et par eksempler på magiske kvadrater av orden 4:

og dets aritmetiske komplement, som i dette tilfellet er en speiling om horisontalen. Det aritmetiske komplement til et kvadrat lager vi ved å ta én mer enn det største tallet og trekke fra tallet i hver rute. Én mer enn 16 er 17 og 17 - 9 = 8, 17 - 4 = 13, osv.

Dette kvadratet er en aritmetri av kvadratet over:

01.01.2000

Et annet eksempel på et magisk kvadrat av orden 4:

og dets aritmetiske komplement som i dette tilfellet ikke er en symmetri:

Vi har altså aritmetiske komplementer som er symmetrier, og noen som ikke er symmetrier.

Pascals trekant

I Europa har denne trekanten bestående av (uendelig mange) rader av tall fått navn etter den franske matematikeren Blaise Pascal, men både kineserne og araberne kjente til talltrekanten lenge før Pascal.

Figur 1: De seks første radene i Pascals trekant.

01.01.2000 Pascals trekant er uendelig mange rader av tall som, danner en (uendelig) trekant. Trekanten bygges opp ved å sette 1-ere på kantene, og la hvert tall innenfor 1-erne være summen av de to tallene i raden over som er på hver side av tallet. For eksempel får vi tallet 10 i rad 5 (det øverste 1-tallet er rad 0) ved å legge sammen 4 og 6, som vist i figur 1. Neste rad i figur 1 blir derfor 1, 1+5, 5+10, 10+10, 10+5, 5+1, 1, altså 1, 6, 15, 20, 15, 6 og 1. Blaise Pascal genererte trekanten på en litt annen måte når han først publiserte sine ideer om dette i 1665. Han så på en (uendelig) firkant med tall, figur 2:

Figur 2: Pascal satte opp sammenhengen i en firkant.

Øverste rad består igjen av 1-ere. Hvert av de andre tallene i firkanten fikk han ved å ta summen av alle tallene som ligger i samme posisjon og i posisjonene til venstre for tallet i raden over. For eksempel får vi tallet 20 i rad 4 ved å legge sammen 1, 3, 6 og 10 i raden over, som vist på tegningen. De fire første tallene i neste rad blir 1, 1+4, 1+4+10 og 1+4+10+20, altså 1, 5, 15 og 35. Diagonalene nedover mot venstre i firkanten gir radene i Pascals trekant. I Europa har altså trekanten vi startet med fått navnet Pascals trekant, men vi nevner at både kinesiske og arabiske matematikere kjente til arrangementet av disse tallene lenge før Blaise Pascal. I Kina kalles trekanten Yanghui-trekanten. Uansett, trekantens tall dukker opp i mange sammenhenger, og trekantformen er en nyttig måte å holde orden på disse tallene. For eksempel fins fibonaccitallene blant trekantens tall. Hovedbruksområdene for Pascals trekant er algebra og kombinatorikk. Begge områdene gjør bruk av at tallene i Pascals trekant er binomialkoeffisienter

der n er radnummeret, n ≠ 0, og k er posisjonen i raden. For eksempel er tallene i 5. rad 1, 5, 10, 10, 5, og 1, som er henholdsvis binomialkoeffisientene

. Formelen for en binomialkoeffisient er

der

og 0!=1

01.01.2000

I kombinatorikk dukker disse tallene opp veldig ofte. Binomialkoeffisienten gir oss nemlig antall forskjellige måter å trekke k ting fra en mengde av n ting på. I algebra dukker de opp som koeffisienter når vi regner ut potenser av polynomer med to ledd. For eksempel er

. På http://mathforum.org kan du utforske Pascals trekant. Du kan gjøre mye rart med den. For eksempel viser det seg at det første tallet etter 1-eren i hver rad er en faktor i de andre tallene ≠ 1 i raden hvis, og bare hvis, tallet er et primtall. Du kan også se hvordan trekanten dukker opp i konstruksjonen av regulære polygoner, og i forbindelse med Sierpinski-trekanten. Vi skal se litt nærmere på det sistnevnte. Sierpinski-trekanten hører inn under en klasse matematiske objekter kalt fraktaler. Vi kan konstruere Sierpinski-trekanten, som ble konstruert av Waclaw Sierpinski i 1915, ved å starte med en likesidet trekant (nivå 0). Trekk deretter streker mellom midtpunktene på de tre sidene slik at du får fire like store trekanter i den store trekanten (alle er formlike). Så lager du et hull i den store trekanten ved å fjerne det indre av den midterste trekanten. Nå har du nivå 1 i konstruksjonen av Sierpinski-trekanten. For å få nivå 2, gjentar vi nivå 1 på hver av de tre trekantene vi har igjen. Når denne prosessen gjentas uendelig mange ganger, blir resultatet Sierpinski-trekanten. I figur 3 ser vi konstruksjonen opp til nivå 4:

Figur 3: Sierpinski-trekanten til nivå 4.

Vi ser at vi lager neste nivå ved å erstatte en trekant med tre like store mindre trekanter, slik at alle er formlike (alle er likesidede, og lengden på sidene halveres for hvert nivå). Antall trekanter blir dermed tredoblet fra et nivå til det neste. Sierpinski-trekanten inneholder altså uendelig mange likesidede trekanter: Uansett hvor mye vi forstørrer Sierpinski-trekanten, kommer det nye slike trekanter til syne. Hvordan kan vi lage Sierpinski-trekanten fra Pascals trekant? En måte er å bruke regulære sekskanter som utgangspunkt: Vi tegner like store sekskanter rundt alle tallene i Pascals trekant, og setter dem inntil hverandre slik at vi får en trekant (med litt "ruglete" kanter). Deretter fargelegger vi alle sekskantene der det står et partall med en farge, og oddetallssekskantene med en annen farge (vi sier at vi fargelegger Pascals trekant modulo 2). I figur 4 har vi gjort fargeleggingen for de 19 første radene med svart for oddetall og hvitt for partall:

01.01.2000

Figur 4: Pascals trekant rammet inn av sekskanter hvor alle oddetallene er farget mørkt og alle partallene er hvite.

Legg merke til at vi har fjernet tallene, da vi egentlig ikke trenger dem: Vi vet at vi har 1-ere på kantene og i de to første radene, så disse sekskantene blir svarte. Dessuten vet vi hvordan trekanten er bygd opp; hvert av tallene er summen av de to tallene i raden over som er på hver side av tallet. Dermed kan vi fargelegge trekanten ved å bruke følgende tre mønstre:

Den øverste sekskanten representerer den likesidede trekanten vi startet med i konstruksjonen av Sierpinski-trekanten. De 4 øverste radene med sekskanter / tall i Pascals trekant gir oss første nivå i Sierpinski-trekanten, de 8 øverste radene gir oss andre nivå, og hvis du fortsetter fargeleggingen ved å bruke de tre mønstrene, ser du at de 16 øverste radene gir tredje nivå, osv. Sekskanten med et kryss i figur 4 er forøvrig binomialkoeffisienten

, som er et oddetall. For å få vekk de "ruglete" kantene i tegningen over, kan vi bruke regulære trekanter (likesidede) istedenfor regulære sekskanter, men for at puslespillet skal passe sammen nå, får vi hvite trekanter snudd opp-ned mellom alle tallene. Vi farger trekantene med oddetall svarte og får resultatet som vist i figur 5:

01.01.2000

Figur 5: Pascals trekant innrammet med trekanter.

Personnummer Og det skjedde i de dager at det utgikk et bud fra keiser Augustus at all verden skulle innskrives i manntall. Dette var den første innskrivning, i den tid Kvirinius var landshøvding i Syria. Og alle gikk for å la seg innskrive, hver til sin by. (Luk.2,13) Fra gammelt av forbindes gjerne folkeregistrering med kirkebøker. Ganske mange år etter at keiser Augustus regjerte holdt man på med forarbeidet til den første loven om folkeregistrering i Norge. Hovedbegrunnelsene for å opprette et slikt register var for det første å skaffe et grunnlag for å utarbeide skatte- og valgmanntall og å føre befolkningsstatistikk, og videre kunne et slikt register brukes i administrative formål innenfor forvaltningen. I 1905 kom loven som ga kommunene adgang til å føre folkeregister, men de ble ikke pålagt dette før en ny lov kom i 1946. I dag reguleres folkeregistreringen av Lov om folkeregistrering (16. januar 1970). Loven sier blant annet at alle kommuner skal føre folkeregister over alle bosatte i kommunen og at det skal være et Sentralkontor for folkeregistrering. Dette kontoret er lagt til Skattedirektoratet. I Norge fødes det ca. 60 000 barn årlig. Når et nytt barn kommer til verden / Norge, sendes det blant annet melding til folkeregisteret i morens bostedskommune (eventuelt fødekommune). Den norske kirke hadde funksjonen som fødselsregisterfører frem til 1. januar 1983, da folkeregistrene overtok denne funksjonen. Dermed blir også barn født i Norge av mødre som ikke er registrert bosatt i Norge, registrert i folkeregisteret. Fødselsmeldingen går så videre til Sentralkontoret. Under registreringen her får barnet tildelt et fødselsnummer på grunnlag av fødselsdato og kjønn. I undersidene finner du mer stoff om personnummereringen i Norge: Du finner mer historikk og litt om hva som kan skje i fremtiden med personnummeret, vi ser også nærmere på selve personnummer-systemet, og tar for oss matematikken bak dette: hvordan sjekke at et personnummer er gyldig, og hvordan finne ut hvor mange personnummer som kan deles ut hver dag.

Kort historikk

Initiativet til personnummereringen kom fra næringslivets organisasjoner på 1950tallet, for det ville gjøre ting enklere i forbindelse med skattemyndigheter, trygdekontorer o.l. dersom hver arbeidstaker hadde ett fast nummer. Det resulterte i et fødselsnummer på 11 siffer som består av fødselsdatoen (6 sifre) og personnummeret (5 sifre).

01.01.2000 Matematisk sett er det personnummeret som er mest interessant. På 1950-tallet lå folkeregistreringen under Statistisk Sentralbyrå (som var opprettet allerede i 1867), og det var de som spurte Ernst Selmer (professor i matematikk, Universitetet i Bergen) om å se nærmere på personnummeret etter påtrykk fra næringslivet. Resultatet ble etableringen av Det Sentrale Personregister 1. oktober 1964, og samtidig en total nummerering av hele den norske befolkning. For nummereringen tok man utgangspunkt i folketellingen fra 1960: Alle personer som var bosatt i Norge på folketellingstidspunktet, personer som ble født etter folketellingen og alle norske statsborgere som var innvandret etter folketellingen ble tildelt et personnummer. Dermed var man i gang. I starten lå folkeregisteret på magnetbånd, men i 1985 ble registeret lagt om til en database. All registrering online ble i utgangspunktet bare utført av Sentralkontoret, mens folkeregistrene sendte inn optisk lesbare blanketter med meldinger om flytting og lignende. På slutten av 1980tallet og begynnelsen på 1990-tallet var flere kommuner involvert i et prøveprosjekt der de lokale registrene fikk datautstyr for egenregistrering. I løpet av 1994 ble alle folkeregistrene tilknyttet online, og fra 1. januar 1995 opphørte all manuell føring av folkeregisteropplysninger. Akkurat som butikkene har databaser over sine varer (se artikkelen om strekkoder), har dermed Sentralkontoret en database over alle norske statsborgere og utlendinger som søker oppholdstillatelse i Norge. Fødselsnummeret brukes blant annet til oppslag i denne databasen. Nummeret er ditt for alltid og identifiserer deg entydig. Et fødselsnummer som blir ledig, kan altså ikke benyttes av en annen person, og det skal veldig mye til for å få et nytt personnummer (det kan skje ved for eksempel adopsjon). I Sentralkontorets database ligger opplysninger som ditt / din fødested, navn, sivil status, kommunenummer, flyttedato, arbeidstillatelse osv. Disse opplysningene oppdateres fortløpende og distribueres til for eksempel trygdemyndigheter, Forsvaret, valgmanntall, sosialkontorer og politiet. Det fins mange andre databaser som har opplysninger om deg, og noen har lov til å bruke fødselsnummeret som oppslagsnummer. Dessuten har du sikkert noen av disse numrene: ansattnummer, elevnummer, studentnummer, passnummer, kontonummer, lånenummer, kundenummer. Disse brukes altså til oppslag i diverse databaser. Mennesker er tall!

Dagens system med individ- og kontrollnummer

Oppbyggingen av fødselsnummeret med fødselsdato (6 sifre), personnummer (5 sifre). Personnummeret er igjen bygd opp av individnummer (3 sifre) og kontrollsifre (2 sifre).

01.01.2000 Vi skal nå se litt nærmere på dagens fødselsnummersystem. Nummeret er bygd opp slik illustrasjonen viser. Det 3-sifrede individnummeret skiller mellom personer som er født på samme dag. Da man delte ut nummer til hele den norske befolkningen, baserte man seg altså på folketellingen fra 1960. Alle som var født på 1800-tallet, ble tildelt et individnummer fra 500 til 749. Personer som er født på 1900-tallet, har blitt tildelt individnummer fra 000 til 499, og fra år 2000 tok man i bruk individnummerserien 500-999. Siden eldste person med tildelt fødselsnummer var født i 1855 vil dette systemet holde til år 2054. På grunn av den begrensede levetiden til systemet, etablerte Skattedirektoratet i 1993 et utvalg som skulle vurdere om fødselsnummersystemet burde endres etter år 2000. De bestemte å fortsette systemet, men å åpne for bruk av 900-serien for personer født 1940-1999 som en reserve (som Elin Øy også har påpekt). Grunnen til denne endringen var at man var redd for å gå tom for nummer. (Man tenker nå på folk som søker norsk statsborgerskap.) Det har imidlertid ikke vært behov for å ta i bruk denne serien ennå, men ifølge SSBs opptelling i februar 2007, er nå datoen 1. juli 1970 oppbrukt for menn. Uansett, denne endringen, gitt at man vil trenge 900-serien til 1900-tallet, vil føre til at systemet vi har i dag kun varer til 2039, og ikke 2054. Ved å kombinere året i fødselsdatoen med individnummeret, finner vi altså hvilket århundre personen er født i, etter følgende tabell:

Individnummer

År i fødselsdato

Født

500-749

> 54

1855-1899

000-499

1900-1999

900-999*

> 39*

1940-1999*

500-999

< 40

2000-2039

* ikke tatt i bruk enda. De som har samme fødselsdato, må altså tildeles forskjellige individnummer. Hvilket individnummer du får, kan være litt tilfeldig. Det er ikke sikkert at to som er født med ett sekunds mellomrom, får to etterfølgende tall som individnummer. Sentralkontoret tildeler i dag individnummer etter hvert som fødselsmeldingene kommer inn fra hele landet. Tildelingen starter på 999 og teller nedover. Har du et "lite" individnummer kan det bety at det er veldig mange som er født på samme dag som deg. Individnummeret viser også om personen er mann eller kvinne. Dette er kodet i det tredje individsifferet I 3 . Kvinner får tildelt individnummer der I 3 er et partall (0,2,4,6 eller 8), mens menn får tildelt et oddetall (1,3,5,7 eller 9). Individnummersystemet gir oss i utgangspunktet 500 nummer å bruke per dag; 250 på jenter og 250 på gutter. I Norge ligger rekorden i antall fødsler på en dag på ca. 250. Vi ser derfor at et tresifret individnummer holder. Vi skal imidlertid snart se at ikke alle 500 individnumrene gir opphav til et gyldig fødselsnummer. Dette er på grunn av hvordan kontrollsifrene regnes ut: Fødselsdatoen og individnummeret gir oss et nisifret tall som brukes til å beregne kontrollsifrene K 1 og K 2 slik at vi får hele fødselsnummeret. Kontrollsifrene brukes til å kontrollere om et gitt nummer er et fødselsnummer eller om det er feilregistrert. En av de mest vanlige feilene er at to siffer blir skrevet i feil rekkefølge. Videre kan man skrive ett av sifrene feil, en person kan oppgi feil fødselsdag osv. Kontrollsifrene deles også ut av

01.01.2000 Sentralkontoret. I databasene som bruker fødselsnummeret, ligger det utstyr som kontrollerer et nummer når det skrives inn, og som varsler hvis kontrollsifrene ikke stemmer. Ved å bruke to kontrollsiffer kommer man ned i omtrent 1 uoppdaget feil per 100 000 registreringer. For å finne K 1 regner vi først ut kontrollverdien V 1: V 1 =3D 1+7D 2+6M 1+M 2+8å 1+9å 2+4I 1+5I 2+2I 3. Deretter deler vi V 1 på 11. Da får vi et resttall (et tall mellom 0 og 10). Hvis resttallet er 0, er K 1=0, ellers er K 1 lik 11 minus dette resttallet. Tilsvarende beregnes det andre kontrollsifferet K 2 fra de ti andre sifrene. Kontrollverdien K 2 regnes ut ved V 2=5D 1+4D 2+3M 1+2M 2+7å 1+6å 2+5I 1+4I 2+3I 3+2K 1. Så deler vi V 2 på 11 og får igjen et resttall. Hvis resttallet er 0, er K 2=0, ellers er K 2 lik 11 minus dette resttallet. Kontrollsiffersystemet vi bruker kalles "modulus 11": Vi tar en vektet tverrsum (koeffisientene i kontrollverdiene kalles vekter) av tallet som skal kontrolleres, og reduserer tverrsummen til et siffer ved å regne modulo 11. Når vi regner ut et tall modulo 11, deler vi tallet på 11. Resttallet vi får når divisjonen stopper, er et tall mellom 0 og 10. Dette resttallet er "tallet vi startet med modulo 11". For eksempel er 12 lik 1 modulo 11. Vi skriver 12 ≡ 1(mod11) og leser "12 er kongruent med 1 modulo 11". Vi snakker nå om kongruenser ≡ istedenfor likheter =. Kongruenser kan fortsatt adderes, subtraheres og multipliseres som andre likninger, for eksempel er 12+23 ≡1+23(mod11). Mengden av resttall er en endelig mengde, og vi sier at kongruensregning er "endelig matematikk". Vi reduserer regningen med de naturlige tallene til regning med endelig mange tall. Vi ser at siden både K 1 og K 2 skal være et siffer, må vi ta vekk alle individnumrene som vil gi K 1 og K 2 lik 10. Hvor mange individnummer får vi da igjen til bruk hver dag? Sentralkontoret for folkeregistrering i Skattedirektoratet opererer med tallet 450. Blant annet sier kontorsjef Kristin Os følgende i artikkelen "Ikke flere personnummer igjen" (Tønsbergs Blad 4. februar 2002): "Det finnes bare 225 personnumre for hvert kjønn på hver av datoene i året."

Hvor mange individnummer finnes det for hver dag? Thomas Tjøstheim og Kjell Fredrik Pettersen er noen av dem som har sett litt nærmere på dette spørsmålet, og Tjøstheim lagde et program som genererer fødselsnummer for 1900-1999 ut fra formlene vi har gitt her i teksten. Programmet ser bort fra skuddår, men gjennomløper ellers systematisk alle fødselsnummer på 1900-tallet og teller opp antall forkastede fødselsnummer. Det gir: Antall forkastede: 3167363 Andel forkastede: 0,17355414 Det vil si at det er en andel på 17,4% av 500 som forkastes og at antall gyldige nummer blir 413. Tar vi i tillegg med skuddår, får vi regningen Pettersen gjorde. Den ga 18262000 kombinasjoner av datoer på 1900-tallet og individnumre fra 000 til 499. Av disse er 3169446 "dårlige", dvs. at kontrollsifrene K 1 eller K 2 blir 10. Dette utgjør et forhold på så 413 er det korrekte antall individnummer til bruk hver dag.

Pettersen og Tjøstheim så også teoretisk på det: De to siste kontrollsifrene beregnes altså modulo 11 og om minst ett av dem skulle vise seg å bli 10 må individnummeret forkastes for den gitte datoen. Vi antar at fordelingene av 1. og 2. kontrollsiffer er uniforme og uavhengig av hverandre (selv om det vil være begrensninger og sammenhenger på de valg man kan ta for datoer, er avvik fra dette ventet å være minimalt). Det vil si at sannsynligheten for at et

01.01.2000

individnummer kan brukes (får kontrollsifre forskjellig fra 10) er individnumre pr. dag blir da

. Antall forventede

I teorien får vi altså andel forkastede numre lik

. Alternativt, , siden K 1 og K 2 er

uavhengige av hverandre: Siden V 1=3D 1+7D 2+6M 1+M 2+8å 1+9å 2+4I 1+5I 2+2I 3 og K 1 = 11- V 1 (likhet herfra og framover er modulo 11), har vi (1) K 1 = 8D 1+4D 2+5M 1+10M 2+3å 1+2å 2+7I 1+6I 2+9I 3 Videre gir V 2 = 5D 1+4D 2+3M 1+2M 2+7å 1+6å 2+5I 1+4I 2+3I 3+2K 1 og K 2 = 11-V 2 at K 2 = 6D 1+7D 2+8M 1+9M 2+4å 1+5å 2+6I 1+7I 2+8I 3-2K 1 Setter vi inn for K 1 og regner ut koeffisientene modulo 11, får vi (2) K 2 = D 1+10D 2+9M 1+9å 1+å 2+3I 1+6I 2+I 3 (1) og (2) sier nå at K 1 og K 2 ikke avhenger av hverandre. Siden korrekt antall gyldige individnumre per dag er 413, som er et oddetall, kan man jo lure på om det er jentene eller guttene som eventuelt har et nummer mer å gå på...

Er fødselsnummeret gyldig?

La oss bruke nummeret 020161 26007 som eksempel på hvordan vi kan sjekke om et fødselsnummer er gyldig. 020161 26007 kan være fødselsnummeret til en kvinne (I 3 =0) født 2. januar 1961 (individnummer mellom 0 og 499). Vi sjekker kontrollsifrene: V 1 = (3 0) + (7 2) + (6 0) + (1 1) + (8 6) + (9 1) + (4 2) + (5 6) + (2 0) = 110, som er delelig med 11, så resttallet er 0, og K 1 = 0, noe som stemmer. Videre er V 2 = (5 0) + (4 2) + (3 0) + (2 1) + (7 6) + (6 1) + (5 2) + (4 6) + (3 0) + (2 0) = 92. Når vi deler V 2 på 11 får vi resttall 4, og dermed får vi K 2= 11 - 4 = 7, som også stemmer. Nummeret vi starter med, er dermed et gyldig fødselsnummer. La oss se enda litt videre på kontrollsifrene: Vi har altså sett at vi regner med kongruenser modulo 11. Vi bemerker nå at det er en viktig forskjell mellom kongruenser og likheter: Siden alle multipler av modulen er 0, må vi være forsiktige når vi forkorter i en kongruens; akkurat som i en vanlig likning der vi ikke kan dele på 0, kan vi ikke dele på tall som er kongruente med 0 i en kongruens. Men når modulen er et primtall, kan vi imidlertid forkorte som vi vil i kongruensen. (Primtall er ikke multipler av andre tall enn 1 og seg selv, så ingen multipler av resttall forskjellig fra 0 er kongruent med 0 i denne situasjonen.) I fødselsnummeravlesningen vil vi unngå spesielle typer feil, og for dette trenger vi å regne en del med kongruenser. Siden 11 er det første primtallet etter 10, regner vi modulo 11 (og ikke modulo 10, som vi gjør i andre kontrollsiffer, for eksempel i strekkoder, se artikkel om temaet i spalten til høyre). Det er også denne regningen som gir oss vektene 3,7,6,1,8,9,4,5,2 for V 1 og 5,4,3,2,7,6,5,4,3,2 for V 2.

01.01.2000 Vi skal ikke gå gjennom alle detaljene i regningen her, men gjennom et par eksempler vil vi i alle fall gi leseren en følelse av bruken av kongruensregning i personnummeret . Vi ser først på feilen der man skriver ett enkelt siffer feil. Alle kongruenser er modulo 11, så vi skriver ikke (mod 11) i fortsettelsen. La x' være feilskrivingen av x og la v være den tilhørende vekten. Da vil feilskrivingen ikke oppdages hvis og bare hvis vx ≡ vx'. Siden vi regner modulo et primtall, får vi at v ≡ 0 eller x ≡ x'. Vekttallene velges gjerne forskjellig fra 0 og siden modulen er større enn 10 blir kongruensen mellom sifrene x og x' til likhet. Feil i ett siffer vil dermed alltid oppdages når alle vekttall er forskjellige fra 0 og modulen er større eller lik 10. Dermed vil vi også oppdage en slik feil i strekkodene, se artikkelen om disse. Vektene i utregningen av kontrollsifferet i en strekkode er 1,3,1,3,1,3,.... Dermed vil dette kontrollsifferet veldig ofte ikke oppdage feilen der to og to nabotall i strekkoden byttes om. Dette er imidlertid ingen vanlig feil i strekkodeavlesningen, mens det er en vanlig feil i forbindelse med fødselsnummeret; dag og måned kan lett byttes om. Til å oppdage ombytting av dag og måned i fødselsnummeret kan vi skreddersy vektene ved å se på likningene 1. v 1D 1 + v 2D 2 + v 3M 1 + v 4M 2 ≡ v 1M 1 + v 2M 2 + v 3D 1 + v 4D 2 2. w 1D 1 + w 2D 2 + w 3M 1 + w 4M 2 ≡ w 1M 1 + w 2M 2 + w 3D 1 + w 4D 2 der v 1-v 4 er vektene for D 1-M 2 i V 1 og w 1-w 4 er vektene til D 1-M 2 i V 2. Dette gir likningen (v 1-v 3)(w 2-w 4) - (w 1-w 3)(v 2-v 4) ≠ 0. Hvis vektene våre oppfyller denne likningen vil altså ombytting av dag og måned oppdages. Videre kan en person oppgi feil fødselsdag slik at D 1 og D 2 begge er feil. Da Ernst Selmer på oppdrag fra Statistisk Sentralbyrå skreddersydde vektene som skulle brukes i utregningen av kontrollsifrene, hadde han en del materiale å arbeide med. Dette ble innhentet fra Oslos lokale personnummerering i forbindelse med folketellingen i 1960. Basert på dette materialet fant man at den vanligste ombyttingen av D 1 og D 2 var byttet av 09 med 10, 19 med 20 og 29 med 30 (og vice versa). Dette gir en differanse på pluss minus 1 for D 1 og pluss minus 9 for D 2, og dermed bør vi velge v 1 og v 2 (vektene for D 1 og D 2 i V 1 slik at v 1 ikke er kongruent med 9v 2 modulo 11. Valget for v 1 og v 2 ble slik at v1 er kongruent med 2v 2 modulo 11, som tilsvarer byttinger som 01 med 13 (differanse 1 i D 1 og differanse 2 i D 2) siden dette viste seg å være den minst vanlige feilen av dette slaget. Ved å forutse alle (?) fallgruvene, får vi et kontrollsiffer K 1 som motvirker skrivefeil og "psykologisk betingede oppgavefeil" og et kontrollsiffer K 2 til bruk som standardkontroll; til å kontrollere K 1. Vi nevnte at det er 450 individnummer, rettet til 413, til bruk per dag. Dette har skapt noen problemer. Da personnummersystemet ble tatt i bruk på 1960-tallet, tok man ikke høyde for innvandringen. Når en person innvandrer til Norge, er det fremmedpolitiet som registrerer fødselsdatoen, og dette danner utgangspunktet for registreringen av denne personen i folkeregisteret ved innvilget oppholdstillatelse. Ved innvandring hender det ofte at bare fødselsår er oppgitt i legitimasjonspapirene, og opp gjennom årene har man i disse tilfellene brukt 1. januar som fingert fødselsdato. Det registreres årlig mellom 25 000 og 30 000 innvandrede personer her til lands, og dette har medført at det kun er noen få personnummer igjen å dele ut for enkelte fødselsår på datoen 1. januar. I dag gjelder det derfor strenge krav for å få 1. januar som fødselsdato, og dermed kan vi lese om innvandrere som faktisk er født på 1. januar men som må tildeles en annen fødselsdato. For eksempel kunne vi på adressa.no den 16. 02. 2007 lese om kinesiske Yifeng Chen som ble nesten et år yngre av å flytte til Norge! (Se ekstern link til Adresseavisa.) Sentralkontoret melder også om problemet med at alle irakere som innvandrer oppgir 1. juli som fødselsdato. Som vi ser dukker det opp noen problemer med vårt personnummersystem, som i alle tilfelle ikke kan brukes etter år 2054. I 2006 ble det nedsatt en arbeidsgruppe av Finansdepartementet og Fornyingsdepartementet. Denne gruppen skulle se på "Utveksling av grunndata på

01.01.2000 personinformasjonområdet", og de leverte sin rapport i juni 2007. De har foretatt en analyse av dagens Folkeregister og regelverket rundt dette, og blant mange saker har de sett på spesielle forhold rundt fødselsnummeret, herunder forholdet at (sitat fra rapporten på 139 sider:) "fødselsnummeret er i ferd med å bli oppbrukt. Dagens fødselsnummerserie har antatt levetid fram til og med 2039. Dagens fødselsnummer må derfor endres innen utløpet av perioden." Utvalget nedsatt av Skattedirektoratet i 1993 utredet to muligheter for å øke kapasiteten til fødselsnummersystemet. Den ene var at Folkeregisteret tildeler fødselsnummer som ikke er i samsvar med fødselsdatoen. Den andre muligheten var å gå over til å benytte ett kontrollsiffer i stedet for to. I følge arbeidsgruppen av 2006 (som har vurdert disse forslagene) vil det sistnevnte gi ’en femdobling av fødselsnummersystemets kapasitet og forlenge seriens levetid til år 2199’. Dessuten nevner de at ’kapasiteten kan økes ytterligere ved å erstatte et kontrollsiffer med en bokstav istedenfor et tall’. I 1993 valgte de altså å beholde systemet fra 1960 litt til, men mye har skjedd (og vil skje) siden den gang innenfor informasjonsutveksling. Rapporten påpeker at "begge tiltak vil ha konsekvenser for eksisterende systemer fordi eksisterende kontrollrutiner må tilpasses". Og videre at "den tiden som er tilgjengelig for å forberede systemer for en slik endring burde være mer enn tilstrekkelig til å få gjort endringen som en del av andre endringsprosesser". Arbeidsgruppen har sett nærmere på fordeler og ulemper ved mulighetene for å øke kapasiteten til fødselsnummersystemet, og blant forslagene til videre arbeid er blant annet innføring av en ny personidentifikator. Rapporten skal nå videre på høring, og alternativene skal utredes videre. Noe må skje med systemet en gang mellom 2010-2020, og en matematiker vil nok nok en gang bli spurt til råds i denne prosessen.

Pytagoras og Diofant

En kjent matematisk setning er oppkalt etter Pytagoras. Vi skal se litt på hvem han var og hva han drev med. Du har kanskje hørt om Pytagoras? Pytagoras levde 572-497 f. Kr. og var læremester og leder for en gruppe av elever som ble kalt pytagoreerne. De var opptatt av tall og tallmystikk. En av deres hovedteser var at "alt er laget av tall". Pytagoreerne talte småstein som de la utover bakken. På den måten lærte de seg forskjellen på partall og oddetall. Et partall småstein i en lang rekke kunne deles opp i to like lange rekker ved siden av hverandre, noe ikke oddetallene kunne. For oss er dette trivialiteter. De var også opptatt av kvadrattall, og de gjorde noen enkle iakttakelser ved å legge småstein i et kvadratmønster. De begynte med 1 og fikk neste kvadrattall ved å legge til 2n +1 for n = 1, 2, 3, osv.

Figur 1: De fire første kvadrattallene, n=1, 2, 3 og 4.

Dermed fikk de ut resultatet som sier at alle kvadrattall kan finnes i følgen av tall gitt ved 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, ....

01.01.2000 Pytagoreerne lekte også med andre tall enn kvadrattallene, f.eks. trekanttallene:

Figur 2: De fire første trekanttallene.

altså 1, 1+2, 1+2+3, ...osv, og de såkalte avlange tallene n(n+1) dvs 2, 6, 12,....

Figur 3: De fire første avlange tallene.

som kan skrives som 2, 2+4, 2+4+6, ... Dermed kan vi formulere en setning: Ethvert avlangt tall er det dobbelte av et trekanttall. Beviset for setningen er tegnet inn i figur 4!

Figur 4: Ethvert avlangt tall er det dobbelte av et trekanttall.

Pytagoreerne var også opptatt av summer av kvadrater, spesielt om summen av to kvadrater igjen var et kvadrat. Når kunne de ta sine småstein som var lagt ut i to kvadrater, blande dem sammen og legge de ut i et større kvadrat? I moderne språk kan vi skrive dette som

01.01.2000

, og dermed er vi tett ved vår vanlige assosiasjon til Pytagoras. Det som kalles Pytagoras' læresetning er en slags geometrisk versjon av dette, nemlig at i en rettvinklet trekant er kvadratsummen av katetene lik kvadratet av hypotenusen. Selv om dette kalles Pytagoras' læresetning er man ikke sikker på om det egentlig var Pytagoras som formulerte den først. Alle som har drevet trekantberegninger med Pytagoras' setning, vet at det finnes rettvinklede trekanter med sider 3, 4 og 5, dvs.

. Ganger vi hver av sidene med den samme faktoren, får vi nye relasjoner - multipliserer vi hvert tall med 2, får vi

. Men det finnes også slike relasjoner som ikke framkommer gjennom forstørrelse av den opprinnelige figuren; f.eks.

. Et trippel (x,y,z) av naturlige tall kalles et pytagoreisk trippel dersom

. Vi skal bruke geometrisk terminologi og kalle x og y katetene og z hypotenusen i triplet. Vårt mål er å finne alle pytagoreiske tripler. Dette problemet har dype historiske røtter. I 1937 tydet matematikkhistorikeren Otto Neugebauer en babylonsk leirtavle ("Plimpton 322") fra ca. 1700-1800 f.Kr. som viste seg å inneholde en tabell over Pytagoreiske tripler. Også pytagoreerne (ca. 500 f.Kr.) var interessert i slike tripler, og de hadde mer spesielle formler som ga mange (men ikke alle) eksempler. Blant annet brukte de formelen

. Den endelige løsningen fikk problemet hos Diofant (som sannsynligvis levde rundt 300 e.Kr.). I sin bok "Arithmetika" viser han at alle primitive pytagoreiske tripler framkommer ved å velge passende verdier for p og q i formelen

. Vi kan sette opp en liste over pythagoreiske tripler ved å bruke denne formelen. Triplene skriver vi på formen

01.01.2000

for forskjellige verdier av p og q. Et pytagoreisk trippel er primitivt dersom 1 er den største felles faktoren til x, y og z. I tabellen under er primitive tripler er uthevet.

q/p

(3,4,5)

(8,6,10)

(15,8,17)

(24,10,26)

(35,12,37)

(21,20,29)

(32,24,40)

(16,30,34)

(27,35,45)

(9,40,41)

(20,48,52)

(5,12,13) (12,16,20) (7,24,25)

(11,60,61)

Stambrøker

Hva er størst av og ? Er du ikke sikker? Ved hjelp av stambrøker og egyptiske brøker kan du lett finne svaret, og du får fin trening i brøkregning.

Stambrøker ("unit fractions" på engelsk) er brøker med teller lik 1, for eksempel og . Videre kaller vi en sum av distinkte (forskjellige) stambrøker en egyptisk brøk. For eksempel er en egyptisk brøk, mens

ikke er det.

Sidevegg på en Egyptisk sarkofag. (Foto: Frode Storaas)

I det gamle Egypt regnet man bare med stambrøker (unntak var og

, som de brukte veldig ofte,

, som de også brukte, om enn ikke så ofte). Dette vet vi fra den berømte Rhindpapyrusen,

01.01.2000 datert til rundt 1650 f.Kr. Den inneholder blant annet en tabell av representasjoner av brøkene for odde n mellom 5 og 101 som en sum av stambrøker (derav navnet egyptisk brøk). Det er uklart hvorfor egypterne valgte denne metoden for å representere brøker, men idag vet vi at enhver brøk har representasjoner som en egyptisk brøk med så mange termer man ønsker, og med så store nevnere man ønsker. Eksempel: Uttrykket

er en representasjon av brøken

som en egyptisk brøk med to termer, mens

er en representasjon av samme brøk med fire termer. Når vi bruker uttrykket 'representasjon av en brøk', mener vi en representasjon av brøken som en sum av stambrøker (dvs. en egyptisk brøk). I denne artikkelen vil vi blant annet forklare nærmere hvordan vi finner slike representasjoner. Vi merker oss også at for et gitt antall termer fins det bare endelig mange representasjoner. For eksempel viser det seg at hvis vi ønsker en representasjon av muligheter: og

med to termer, fins det kun to

Det er to meget gode grunner for å bruke (mye tid på) egyptiske brøker (Vi vet at brøker er et tema mange sliter med.): Lettere å dele i praksis: La oss si at vi har syv sekker med korn som skal deles på 12 personer. Hvor mye skal de ha hver? Jo,

, men hvordan gjør vi det rent praktisk? Vi gir først en halv sekk til hver. Da har vi en

sekk igjen som må deles på 12. Vi har altså gjort personer?

. Hva med fem sekker på åtte

Lettere å sammenligne brøker:

Hva er størst av og ? Hva er størst av og ? Ved å skrive brøkene som egyptiske brøker, er det lettere å sammenligne ved at vi kan sammenligne stambrøker isteden : , mens , og videre er

01.01.2000

, mens . Vi har nå sett flere eksempler på egyptiske brøker, og vi er vel kanskje også overbevist om at de er nyttige, så neste spørsmål blir "hvordan finner vi dem?" Før jeg gir én mulig metode, vil jeg kort vise hvordan vi, ved hjelp av et triks, kan skrive en brøk som en egyptisk brøk på uendelig mange måter, bare vi har funnet én representasjon: Påstanden er altså: Enhver brøk har et uendelig antall representasjoner som en egyptisk brøk. Trikset er å ta utgangspunkt i identiteten

Hvis vi deler denne identiteten på et tall n, får vi

og dermed har vi en representasjon av en hvilken som helst stambrøk som en egyptisk brøk. Denne representasjonen kan vi da bruke om og om igjen på stambrøkene som dukker opp i representasjonen av en hvilken som helst brøk, og hvis vi hele tiden bruker denne på den minste stambrøken, unngår vi å få repeterende stambrøker. For eksempel:

Endelig skal vi nå gi en metode for å skrive enhver ekte brøk (dvs. brøk mindre enn 1) som en egyptisk brøk (sum av distinkte stambrøker). Metoden kalles Fibonaccis metode, og metoden med bevis er gitt i hans bok "Liber Abaci" fra 1202, forøvrig der kaninproblemet som ga opphav til fibonaccitallene også står. Fibonaccis metode (også kalt 'den grådige algoritmen'): La , der a og b er positive heltall. Hvis a = 1, er brøken en stambrøk, og vi trenger ikke å gjøre noe, så anta at a > 1. Hvis vi skriver en brøk

som en sum av flere mindre brøker, kalles brøkene i summen

summandene i brøken

. For eksempel er både

summander i

siden

01.01.2000

Fibonaccis metode går ut på å finne den største stambrøken som er en summand i brøken

trekke denne fra (derav navnet grådig). Med resten som gjenstår, repeteres prosessen. Vi må vise at denne følgen av stambrøker alltid synker, aldri repeterer brøker, og at den stopper .

Før vi gjør dette formelt, la oss ta et eksempel: Vi vil skrive som en egyptisk brøk ved hjelp av Fibonaccis metode. Først finner vi den største stambrøken som er en summand. Siden 21:5 er litt over 4, må den største stambrøken være

. (Når vi runder opp til 5, får vi automatisk den

største stambrøken som er en summand: er for stor - vi kan ikke skrive Fibonaccis metode runder vi dermed alltid opp.) Dermed får vi:

Vi skal nå gjenta dette med brøken

. Da må vi først finne

. Vi regner ut (uten kalkulator!) at

Vi må så finne den største stambrøken i (runder opp), altså har vi

Vi fortsetter prosessen med

. Siden 105:4 er litt over 26, blir stambrøken 1/27

, og må dermed finne

. Vi regner ut (igjen uten kalkulator) at

, og dermed har Fibonaccis metode gitt oss en egyptisk brøk:

Vi viser til slutt hvorfor metoden virker: Vi ønsker altså å skrive

der

og der vi altså velger den største stambrøken hver gang. Med symboler

har vi dermed at

, men at

). Videre, siden a > 1, er hverken

(se på eksempelet over, der eller

lik

og dermed

01.01.2000

La oss se på restbrøken

. Vi påstår at

restbrøkene blir mindre og mindre: Fra før har vi ulikheten, får vi

. Hvis nå telleren

, dvs. at tellerne i , og ved å manipulere denne er 1, har vi en stambrøk, og vi er

ferdige. Hvis ikke, fortsetter vi prosessen med , som har en (ekte) mindre teller enn brøken vi startet med. Når vi trekker fra den største stambrøken, blir den nye restbrøken enda mindre (ved samme argument som over). Siden a er et positivt heltall, må telleren i restbrøkene før eller siden bli 1. Dermed fungerer metoden, og vi har vist påstanden vår (Fibonaccis metode gir oss én egyptisk brøk som vi kan bruke til å finne uendelig mange andre egyptiske brøker ved trikset over).

Prøv ut metoden på brøkene og . Svarene finner du nedenfor. Avslutningsvis merker vi oss at Fibonaccis metode alltid vil gi en egyptisk brøk, men ikke nødvendigvis den korteste (med færrest mulig termer). I dag lever vi i dataalderen, og det finnes (naturlig nok) mer effektive metoder som er implementert i diverse regneprogrammer. Referanser: Se for eksempel hjemmesiden til Ron Knott. Svar: , .

Strekkoder

Strekkoder finnes på de aller fleste produkter vi omgir oss med i dagens samfunn. Hvorfor er det for eksempel 30 svarte streker på melkekartongen, og hvorfor ser de ut som de gjør? Hemmeligheten bak strekkoding fins i matematikken...

01.01.2000

Melkekartong med strekkode.

"Jeg skal bare ha denne, jeg", sier du og gir en liter TineMelk Hel til ekspeditøren i butikken. Ekspeditøren drar strekkoden på melkekartongen forbi en strekkodeleser, og du hører en liten pipelyd samtidig som prisen kommer opp på skjermen i kassa. En sjelden gang kan det oppstå problemer i denne prosessen, og ekspeditøren må dermed taste inn nummeret som står under strekkoden for hånd. Strekkoden er altså tallet som står skrevet under, skrevet med streker. Tallene er forståelige for oss, strekkoden er forståelig for en strekkodeleser. De aller fleste butikker i dagens samfunn krever at leverandørene leverer produktene med strekkoder. Da har man et nummer som entydig identifiserer hvert produkt. Den enkelte butikk har i dag en database som inneholder alle varer som selges der. Strekkoden inneholder det unike nummeret som brukes til oppslag i denne databasen. Det er i databasen at man finner informasjon om den aktuelle varen, for eksempel pris, varebeskrivelse, enhet, mengde osv. Når melkekartongen leses, slår vi altså opp i butikkens database, der butikkeieren har lagt inn prisen på melken. På en 1-liters kartong med TineMelk Hel står tallet 7 038010 000065. Dette tallet identifiserer produktet 1 liter helmelk fra Tine Meierier og har altså bare indirekte noe med prisen å gjøre. Når du låner en bok på biblioteket er det flere strekkoder inne i bildet. En strekkode finner du bak på boka du låner. Denne følger med fra forlaget, og til dette nummeret hører ting som tittel, forfatter, opplag osv. På bokas første side finner du en annen strekkode (iallfall på de fleste bibliotek i dag). Den er plassert der av biblioteket og passer inn i bibliotekets egen database, der det ligger opplysninger om hvilken hylle boka står i, om boka er utlånt osv. En tredje strekkode involvert i et lån på biblioteket, finner du på lånekortet ditt. Dette er igjen noe biblioteket står for, og dette nummeret identifiserer deg entydig som en av bibliotekets lånere. I databasen over lånere ligger ditt navn, adresse, purringer osv. Tanken om å gi et entydig nummer til alt mulig slo an for fullt på 1970-tallet (men vi har for eksempel hatt personnummer her i landet siden 1964, se artikkelen Personnummer). I 1973 innførte handelsnæringen i USA koden UPC (Universal Product Code) som standard strekkode for merking av sine produkter under organisasjonen UCC (Uniform Code Council). Europa fulgte snart etter, og i 1977 ble organisasjonen EAN (European Article Numbering) stiftet av handelsog industribedrifter i 12 europeiske land. EAN utvidet, og ble etterhvert hetende EAN International, representert i nær 100 land. I Norge fikk vi organisasjonen EAN Norge, stiftet i

01.01.2000 1978, som arbeider med utvikling og vedlikehold av systemer og registerhold og forvaltning i Norge. Den 7. juni 2005 fusjonerte UCC og EAN, og ble til GS1 (Global Standards One), og EAN Norge ble til GS1 Norway i 2006. EAN-navnet henger imidlertid fortsatt igjen på navnene på kodesystemene som brukes. EAN videreutviklet UPC-koden, og EAN-systemet har idag to standarder, EAN 13 og EAN 8. 13 og 8 står for antall siffer som kodes. Den aller vanligste standarden er EAN 13 (EAN 8 brukes på varer med begrenset plass til stekkodesymbolet). Det brukes forøvrig flere andre typer strekkoder i Norge, for eksempel i transport og logistikk brukes Kode 128 som er en videreutvikling av EAN 13. EAN 13-koden er imidlertid den mest brukte strekkoden på forbruksvarer i Norge, og det er den vi skal se nærmere på. Vi skal skrive de 13 sifrene i EAN 13-koden på formen L1L2P1P2P3P4V1V2V3V4V5V6K. L1L2 angir landkoden, P1P2P3P4 angir leverandør/produsent-nummeret, V1V2V3V4V5V6 står for varenummeret og K er kontrollsifferet.

EAN 13-kode.

Når vi ser en EAN 13-kode, står sifferet L1 til venstre, foran selve strekkoden. Dette sifferet er ikke strekkodet, men er likevel en del av koden. Vi skal se at L1 bestemmer og er bestemt av hvordan de andre sifrene kodes. De resterende 12 sifrene er delt i to blokker med 6 sifre i hver. Blokkene er omgitt av tre skille-strekmønstre (visuelt har disse litt lengre streker). L1L2: EAN har en tabell for landkodene. For Norge er koden 70, hvilket betyr at hvis en strekkode starter med 70, er den utstedt i Norge (selve produktet trenger ikke være produsert i Norge). Du kan også finne 20-29 som landkode på produkt dersom det er produsert i Norge (for eksempel finner du det på Kokt Skinke fra Gilde). I EANs landkodetabell er 20-29 såkalte "Butikkfunksjoner". Landkoden kan også ha tre sifre, men da er enten produsent- eller varenummeret kortere. L-ene, P-ene og V-ene utgjør alltid 12 sifre i en EAN 13-kode. P1P2P3P4: Leverandør/produsent-nummeret utdeles av den nasjonale EAN-medlemsorganisasjonen (EAN NORGE hos oss). Hvis en produsent ikke har så mange produkter, kan EAN utstede et lengre produsentnummer, slik at man har mindre plass til varenummerne. Dette kan gjøres for å gi EAN flere tallkombinasjoner å bruke på produsentene, og er dermed en mer effektiv bruk av koden. V1V2V3V4V5V6: Varenummeret bestemmes av produsenten, som kan velge fritt så lenge alle varene med samme produsent har et unikt varenummer (man må for eksempel skille mellom en liter helmelk og en halv liter helmelk). K: Kontrollsifferet er også strekkodet og regnes ut fra de andre sifrene i koden. K brukes til å kontrollere at strekkodeleseren har lest riktig. Det kan ha oppstått riper i strekkoden o.l., og da er det greit å ha en kontroll. Det er også derfor sifrene må stå under strekkoden slik at de

01.01.2000 eventuelt kan tastes inn manuelt. For å finne kontrollsifferet regner vi først ut kontrollverdien, som regnes ut fra formelen L1+3L2+P1+3P2+P3+3P4+V1+3V2+V3+3V4+V5+3V6. Kontrollsifferet er det sifferet vi må legge til kontrollverdien for å få et tall som er delelig med 10 (når vi skal ha ut et siffer regner vi alltid modulo 10). Hvis utregningen av kontrollsifferet stemmer med avlesningen av K, er det meget stor sannsynlighet for at avlesningen er korrekt. La oss ta TineMelk Hel som eksempel. Strekkoden er 7 038010 000065. Siden koden starter med 70, betyr det at EAN NORGE har fastsatt produsentnummeret, som for Tine er 3801. Dermed kan Tine bestille strekkoder til produktene sine der alle kodene starter med 7 03801. Varenummeret til helmelken er 000006. Kontrollverdien er 7 + 3 0 + 3 + 3 8 + 0 + 3 1 + 0 + 3 0 + 0 + 3 0 + 0 + 3 6 = 55 Hvis vi legger til sifferet 5, får vi 60, som er delelig med 10, så K=5, noe som stemmer. Nå kan du for eksempel sjekke brunosten og yoghurten også. Vi har allerede sett litt av matematikken som fins på melkekartongen, og nå skal vi se mer. Hvordan kan vi skrive tall ved å bruke streker og mellomrom? For å forklare dette skal vi bruke tallet "1" til å representere en enkel strek og tallet "0" for et enkelt mellomrom. For eksempel betyr "11101" en trippel strek etterfulgt av et enkelt mellomrom og en enkel strek.

11101 – trippel strek, enkelt mellomrom og enkel strek.

Bredden "enkel" varierer litt, avhengig av maskinen som trykker strekkoden, men det er de relative avstandene som teller, så hvis det hele forskyves gjør ikke det noe. Men det er to kriterier: Det må være nok avstand til at leserne kan skille strekene, og strekkoden skal ikke ta for stor plass. Vanligvis er bredden på hele strekkoden mellom 10,4 og 24 mm. En EAN 13 strekkode har som nevnt tre skille-mønstre (streker som er litt lengre enn de andre). Det første skillet er strekkoden 101, det midterste er 01010, og det bakerste er 101. Alle EAN 13-koder har disse skillene. Vi sa også tidligere at L1 ikke er strekkodet, men bestemmer og er bestemt av hvordan de andre sifrene er kodet. La oss kalle blokken L2P1P2P3P4V1 for den venstre blokken og V2V3V4V5V6K for den høyre blokken. Alle sifrene i den venstre blokken kan kodes på to forskjellige måter. L1 bestemmer hvilken av disse måtene hvert av sifrene i den venstre blokken skal kodes på. Her kommer tabellene for å kode de 13 sifrene med 1-ere (streker) og 0-ere (mellomrom):

Siffer

Venstre blokk

Ulike

0001101

0100111

Høyre blokk

1110010

01.01.2000

0011001

0110011

1100110

0010011

0011011

1101100

0111101

0100001

1000010

0100011

0100001

1011100

0110001

0111001

1001110

0110001

0000101

1010000

0111011

0010001

1000100

0110111

0001001

1001000

0001011

0010111

1110100

Tabell 1. For å vite om vi skal kode sifrene i venstre blokk med "Ulike" eller"Like" kode, bruker vi L1, og leser av i tabell 2.

Ulike

P5 Ulike

Tabell 2. Hvis vi ser på melkekartongen igjen er P2 = 8. Siden L1 = 7, skal P2 kodes med "Ulike" kode, og P2 blir derfor 0110111 i strekkode. Kan du skrive ned hele strekkoden til Tine Melk Hel med 0-ere og 1-ere? Se om det stemmer med strekene på kartongen. Her har vi tegnet helmelk-koden på et millimeterark ved å bruke tabellene over:

01.01.2000

Koden for helmelkkartongen.

Strekene er altså tall som en strekkodeleser forstår. En slik leser er ofte en laser som kan lese slike tall på flere meters avstand. Alle typer strekkoder har tilsvarende tabeller som vi har sett for EAN 13. Disse tabellene blir lagt inn i datautstyret som produserer og leser kodene. Vi kan gjøre følgende observasjoner fra tabellene: Hvert siffer bruker 7 plasser i strekmønsteret og består av to streker og to mellomrom. Strekene og mellomrommene kan altså ha bredde tilsvarende 1, 2, 3 eller 4 plasser. Alle sifrene i den venstre blokken starter med 0 og alle sifrene i den høyre starter med 1. For hvert siffer er mønstrene under "Høyre blokk" og "Venstre blokk Ulike" like, men med 1-ere byttet ut med 0-ere og vice versa. For hvert siffer får vi mønsteret "Venstre blokk Like" ved å lese "Høyre blokk"-mønsteret fra høyre mot venstre. L2 er alltid kodet med "Ulike" kode. Når L1 er forskjellig fra 0, er alltid tre tall i venstre-blokken kodet med "Like" kode og de tre andre med "Ulike" kode. Dette er altså innmaten i EAN 13-strekkoden. Det er matematikken som får den til å virke: La oss se på observasjon 1). Sagt på en annen måte sier denne at vi ser på kombinasjoner av fire tall (som representerer to streker og to mellomrom) som kan være 1, 2, 3 eller 4 (som representerer antall plasser, eller tykkelsen på streken eller mellomrommet) der summen av dem skal være 7 (totalt antall plasser). Da kan vi for eksempel ha kombinasjonen 1 1 1 4. Observasjon 2), 3) og 4) sier videre at om vi leser kombinasjonen fra høyre, dvs. 4 1 1 1, skal dette telle som samme kombinasjon. Hvor mange forskjellige kombinasjoner kan vi ha? Jo, vi kan ha nøyaktig 10 (og vi skal jo kode 10 sifre!):

Kombinasjon

Siffer

1114

1411

1123

1132

01.01.2000

1213

1231

1312

2113

1222

2122

Videre skal altså L1 bestemme hvilken paritet sifrene i venstre blokk skal kodes med. Også dette kan sies matematisk: La L1 være forskjellig fra 0. Hvis vi ser på sifrene P1, P2, P3, P4 og V1, skal vi ha to forekomster av "Like" (ved observasjon 5) og 6)). Vi skal altså ha kombinasjoner av minst to og høyst fem tall som kan være 1, 2 eller 3 og der summen av dem er 5. Dessuten må vi ha at når vi summerer annenhvert tall må denne summen være mindre eller lik 3. Dette gir følgende kombinasjoner:

Kombinasjon

forekommer ikke

122

221

131

1112

2111

1121

1211

11111

En strekkode er ikke noe mer mystisk enn en metode å skrive tall (og bokstaver) på. Metoden bruker streker, mellomrom, avstand og tykkelse på disse i forhold til hverandre og matematikk: Vi ser at de ulike tallene brukt i metoden (7 plasser, 2 streker, 2 mellomrom osv.) gir oss akkurat nok kombinasjoner til å bruke i kodingen.

Symmetrier

01.01.2000

Kjenner du to jenter som heter ANNE og ANNA? Hva er forskjellen på dem? Annet enn at det er to forskjellige jenter?

Figur 1: Symmetrisk mønster.

Matematisk sett er det en vesentlig forskjell på de to jentenavnene. Navnet ANNA er likt bakfra og forfra, mens ANNE ikke har denne egenskapen. Det matematiske begrepet som vi snakker om her er det vi kaller symmetri. I dagligtale bruker vi ordet symmetrisk om ord som for eksempel ANNA. Det ser symmetrisk ut fordi det er det samme enten vi leser forfra eller bakfra. På samme måte sier vi at et mønster er symmetrisk dersom noe er likt den ene og den andre veien, eller opp og ned slik som mønsteret i figur 1. Når vi driver med matematikk har begrepet symmetri en bredere mening. Vi snakker ikke bare om at noe er symmetrisk, vi vurderer også hvor symmetrisk det er. Vi stiller oss spørsmålet: Hvilke symmetrier har denne figuren? La oss gå tilbake til navnene ANNA og ANNE. Navnet ANNE har ingen symmetrier, baklengs blir navnet ENNA, opp ned blir det noe helt annet. Derimot har ANNA én symmetri, nemlig at det kan leses baklengs og fortsatt være det samme navnet. Vi kan ta en kikk på noen av bokstavene våre og se på hvilke symmetrier de har som geometriske figurer. A, M, T, U, V, W, Y og Å kan leses forfra og bakfra. B, C, D, E og K kan snus opp ned. F, G, J, L, P, Q, R og Æ har ingen symmetrier. H, I og X kan snus opp ned og leses bak fram. N, S, Ø og Z kan dreies 180 grader. O kan dreies rundt og rundt, leses opp ned og bak fram. Som vi ser er det nokså ulike grader av symmetrier, fra de som ikke har noen, som for eksempel F, til O, som har flest symmetrier. (I noen skrifttyper blir O-en litt avlang og mister derfor mange av sine symmetrier.) Vi ser også at når vi ser på bokstavene som geometriske objekter så er faktisk ikke ANNA likt forfra og bakfra, rett og slett fordi en N ikke er lik når vi leser den baklengs. Som bokstavkombinasjon, derimot er ANNA symmetrisk. Forskjellene er at i det ene tilfellet ser vi bare på bokstavenes form, i det andre bryr vi oss ikke så mye om bokstavenes form, men mer om hvilke bokstaver som inngår i ordet og i hvilken rekkefølge. Et annet ord av samme type er REKKER.

01.01.2000 Men det er ikke bare ord som kan ha en slik bak-fram-egenskap. Også tall kan ha en slik egenskap. Her er det lettere å finne eksempler, det er bare å skrive dem opp, f.eks. 26462. Slike tall har egne navn, de kalles palindrome tall. En liten oppgave: Hvor mange palindrome 1sifrede tall finnes og hvor mange 2-sifrede tall er palindrome? Og 3-sifrede? Som vi gjorde med bokstaver kan vi gjøre med tallene: Se bort fra meningen med tallet og se på den utelukkende som en geometrisk figur. Oppgave: Klassifiser tallene fra 0-9 på samme måte som vi gjorde med bokstavene over. Nå finnes det sikkert mange andre interessante geometriske figurer, ikke bare bokstaver og tall.

Figur 2: Et lite utvalg symmetriske figurer.

I fiugr 2 ser vi et lite utvalg med litt forskjellige symmetrier. Et kvadrat har fire symmetrier, nemlig vridninger med 90 grader. Åttekanten har på tilsvarende måte åtte symmetrier, mens trekanten har tre. Terningen, eller kuben, er litt verre å vurdere, men vi kan telle dem opp. Vi tenker oss at det står tall på alle sideflatene på terningen. I så fall er det 6 forskjellige tall som kan ligge ned mot bordet. For hvert tall som ligger ned, kan vi ha fire forskjellige tall som peker fram. Det betyr at vi har 6 x 4 = 24 symmetrier. Nå kan det virke som om vi alltid har et endelig antall symmetrier, sånn som 4 eller 6 eller 24, men det er ikke alltid tilfelle slik vi så på bokstaven O tidligere.

Figur 3: Sirkel.

I figur 3 har vi en sirkel. Alle mulige dreininger av denne sirkelen rundt dens sentrum vil gi oss symmetrier. Vi kan kalle en rotasjon med en vinkel v for R(v). Dette er et typisk eksempel på matematikk som språk. R(v) kan vi betrakte som en forkortelse for "rotasjon med en vinkel v". Vinkelen v kan være et hvilket som helst tall mellom 0º og 360º. Det fine, sett fra en matematikers synspunkt, er at hvis vi setter sammen to rotasjoner så får vi en ny rotasjon hvor vinkelen er summen av de to vinklene. Vi kan skrive dette som R(v) x R(w) = R(v+w). Hittil har vi betraktet mangekantene og sirkelen som tegninger på et ark. La oss nå tenke på dem som egne legemer, ikke bare tegninger:

01.01.2000

Figur 4: Tenk på tegningene som egne legemer.

Vi har fortsatt de samme symmetriene som vi hadde over, men i tillegg til rotasjonene, fire for kvadratet og uendelig mange for sirkelen, så kan vi snu figurene opp ned. En måte å framstille dette er å sette nummer på hjørnene på kvadratet og på hjørnene på arket rundt. Så tenker vi oss at vi klipper ut kvadratet, dreier eller snur på kvadratet og legger det ned igjen. Utgangspunktet er altså følgende posisjon

som vi skriver 1234 1234 altså 1 blir 1, 2 blir 2, osv. Nå løfter vi ut firkanten, vrir den rundt en gang og legger den ned igjen. Da ser det hele ut som :

som vi skriver 1234 4123 altså 1 blir 4, 2 blir 1, osv. Skriveformen under tegningen er litt mer praktisk enn tegningene, og systemet er nokså enkelt. Rett under 1-tallet skriver vi det tallet som er havnet i 1-hjørnet, rett under 2-tallet setter vi det tallet som er i 2-hjørnet, osv. Det som er smart med denne skriveformen er at vi har et system for å sette sammen rotasjoner. Hvis vi roterer videre med 90º vil vi få 4 i øvre høyre hjørne, 3 i øvre venstre hjørne, 1 i nedre høyre hjørne og 2 i nedre venstre hjørne. Dette skriver vi som 1234 3412 På denne måten kan vi lage et algebraisk system som beskriver symmetriene til en firkant, noe som i utgangspunktet var veldig geometrisk. Dette er en av matematikkens berømte koblinger mellom det abstrakte og det intuitive.

01.01.2000 Symmetri er et begrep som brukes i nesten alle deler av matematikk. I denne artikkelen har vi bare så vidt berørt emnet, det er veldig mye vi ikke har kikket innom. Men for den interesserte leser finnes hyllemeter på hyllemeter med litteratur om emnet.

Tall og tallmengder

"Gud skapte de naturlige tallene, resten er menneskets verk." De første tallene vi møter på, og kanskje de mest naturlige, er de såkalte naturlige tallene, 1,2,3,4,5,6,7,8, og så videre. Disse tallene klarer vi oss ikke uten. Vi bruker dem på to måter, den ene kalles med et fint ord for kardinalitet og det betyr at vi ser på et tall som en beskrivelse av et antall. For eksempel sier vi at det er 7 epler i kurven. Det er da helt entydig gitt hvor mange som er i kurven. Vi kunne selvfølgelig sagt at det er mange epler eller noen epler eller noe sånt, men det å angi med et naturlig tall er det mest presise. Det betyr ikke at vi vet alt om eplene som ligger i kurven, vi vet jo ikke hvordan eplene ser ut, om de er store, råtne eller overhode ikke modne, men vi vet en ting: Hvor mange det er. Den andre måten å bruke naturlige tall på er det som kalles ordinalitet og som betyr nummerrekkefølge. Vi snakker om det tredje tallet, eller den femte isen. Sammenhengen mellom disse to begrepene er nokså opplagt, hvis vi plukker epler fra treet og ned i en kurv, så kan vi angi ett av eplene som det femte. Når det femte eplet er lagt i kurven har vi fem epler i kurven (dersom ingen er blitt tatt ut igjen). De naturlige tallene 1,2,3,4,5,6,.... betegnes med symbolet N. Nå viser det seg at det er mange ting vi ikke får til dersom vi kun har naturlige tall. Vi kan f.eks. ikke løse likningen x+1=0. Så kan man spørre om hvorfor vi skal kunne løse en slik likning, og det finnes det mange grunner for. Dersom temperaturen øker med 1 grad og vi da har 0 grader, hva var temperaturen til å begynne med? Vi har altså introdusert de negative tallene ..., -3, -2, -1, og sammen med de naturlige tallene og 0 får vi det som kalles de hele tallene. De har fått betegnelsen Z. Vi kan si at Z er den minste utvidelsen av N vi trenger for å kunne trekke tall fra hverandre. På den annen side så kan vi trekke alle tall i Z fra hverandre og fortsatt være i Z. Dette med å utvide tallbegrepet vårt til å omfatte de negative tallene er veldig typisk for måten matematikere tenker på. Vi har en mengde og en regneoperasjon. Siden mengden vår ikke er stor nok til at svaret på et minusstykke er med i mengden må vi finne oss en større mengde. Vi kunne ha tenkt oss at vi bare tok med oss 0 og -1 i tillegg til de naturlige tallene, men da ville vi fått et problem med (-1)+(-1). Vi vil at dette skal være -2, og siden vi vil at summen av to tall i mengden vår fortsatt skal være i mengden må vi ha med -2 også. På samme måte får vi med -3 og -4 osv. Men vi trenger ikke ta med . Vi kunne ha gjort det, men hvis det eneste vi ønsker er å kunne legge sammen og trekke fra hverandre tall og vi vil at de naturlige tallene skal være med, så er unødvendig. Det er den imidlertid ikke hvis vi også forlanger at vi skal kunne dele tall med hverandre. I så fall trenger vi flere tall i mengden. Den aller enkleste delingen er og denne må være med. Likså , osv., men også og . Så oppi kurven vår ligger nå alle brøker, både negative og positive. Men så er det dette at vi skal kunne legge sammen, trekke fra, gange sammen og dele. Kan vi ta to brøker og få en ny brøk på en av disse måtene? Ja, det går an! Legger vi sammen to brøker får vi en ny brøk og det samme skjer med de andre regneartene. Det betyr at for å utvide kurven vår til også å ha med deling så må vi ta med alle brøker, men det er også nok. Vi trenger ikke ta med andre tall. Dermed har vi fylt kurven med ganske mange tall, nemlig alle de rasjonale tallene, eller Q som de kalles. Er det da flere tall?

01.01.2000 Svaret er nok ja, det finnes flere tall. Hvis vi tenker oss at vi lister opp alle lengder mellom 0 og 1 meter, så vil det være en hel masse brøker blant disse. F.eks. 0,5 meter, 0,25 meter, 0,33333..... meter osv. Men det holder ikke med brøkene. Det finnes mange (faktisk uendelig mange) lengder mellom 0 og 1 meter som ikke kan skrives som brøker. Ja det er faktisk mange flere lengder som ikke kan skrives som brøker enn det er som kan skrives som brøker. Alle lengdene sammen kalles de reelle tallene og skrives med en R. Det er veldig mange reelle tall og de dekker tallinjen fullt ut. Men finnes det enda flere tall? Nok en gang er svaret ja. Reelle tall har nemlig en stor mangel. Det finnes ikke noe tall som ganget med seg selv blir -1. Du ser kanskje ikke sånn umiddelbart at det er et problem, men i en matematisk sammenheng er dette litt dumt. Derfor har denne tallmengden, de reelle tall utvidet med et tenkt tall som ganget med seg selv gir -1 (og alle summer, produkter, kvotienter av slike) fått et eget navn, nemlig de komplekse tall, C.

Tallet 0

Det fins kun ett tall i hele verden som er slik at når vi legger dette tallet til et hvilket som helst tall, så forandres ikke tallet vi startet med. Tallet med denne unike egenskapen er "null", skrevet 0. Det matematiske objektet null har to hovedbruksområder; det brukes som posisjonsnotasjon og det er et tall i seg selv. Når det gjelder posisjonsnotasjon, indikerer null en tom plass i tallsystemet vårt, slik at vi kan skille mellom tall som for eksempel hundre-og-en og elleve. Før i tiden brukte man et annet symbol enn dagens 0 som posisjonsnotasjon, eller man brukte ikke noe i det hele tatt. Et talls betydning kan ofte gå frem av sammenhengen det brukes i, også i våre dager. For eksempel sier vi "Leiligheten koster en-komma-fem." Matematiske objekter dukker ofte opp som løsninger på et problem, men det er ikke tilfellet med tallet null. Matematiske problemer startet som reelle problemer, ikke abstrakte. Og tallsymboler er abstrakte begreper, for eksempel baserte de gamle greske matematikerne seg på geometri, og regnet ikke med symboler, men lengder. Når det gjelder null, var det ikke noen reelle problemer som tilsa at vi trengte dette begrepet. Det er dermed vanskelig å si hvem som oppdaget null ("år null" var i alle fall ikke spesifisert da man satte opp kalenderen vår). Ser man på matematikkens historie, gjør begrepet null flere "skyggeopptredener"; akkurat som om matematikerne lette etter det uten å forstå meningen med det når de så det. Det var imidlertid de greske astronomene som først brukte symbolet O (bokstaven O), som er bokstaven omikron i det greske alfabetet. Det er flere teorier om hvorfor matematikerne som skrev ned astronomiske data brukte O som notasjon for null. For eksempel er ordet ouden det greske ordet for "ingenting", og obol var en gresk mynt av minimal verdi, og man brukte kanskje O (stor o) siden det er første bokstav i disse ordene. Talltegnene vi bruker i dag kalles de hindu-arabiske talltegn, og det var indiske matematikere som rundt år 650 begynte å se på den matematiske bruken av tallet null. Mange historikere mener at indernes bruk av null stammer fra de greske astronomene, og dermed også notasjonen, som etter hvert ble til dagens 0. Arabiske matematikere tenkte abstrakt på tall: tall var ord som refererte til en samling av objekter. Null ("ingenting") er således ingen opplagt kandidat for et tall. Både null og negative tall var imidlertid objekter man trengte, men hvordan passet de inn i matematikken? Det var tre indiske matematikere som i tur og orden utvidet aritmetikken slik at null og negative tall passet inn med de positive tallene. De foreslo regler som for eksempel at alle tall multiplisert med null er null. Reglene for addisjon og subtraksjon ble også slik vi kjenner dem i dag: Null minus et negativt tall er positivt, null minus null er null osv. Når det gjaldt divisjon med null, støtte inderne imidlertid på problemer. Det var først på 1100-tallet at de kom frem

01.01.2000 til at et tall delt på null er en uendelig stor størrelse som ikke forandres selv om man legger til eller trekker fra noe. Å gjøre dette mer presist, hører til en annen historie, se "Uendelighet". Den indiske matematikken spredte seg vestover, og det var Fibonacci (1200-tallet) som brakte symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 til Europa. Du kan lese mer om Fibonacci, som var koblingen mellom hindu-arabisk og europeisk matematikk, i artikkelen det er henvist til i høyremargen. Tallet 0 møtte imidlertid mye motstand i Europa, og det ble ikke snakk om omfattende bruk før inn på 1600-tallet.

Tallet e

Man skal ikke regne lenge på radioaktivitet, kontinuerlige bankrenter, eller rett og slett fenomener som har eksponentiell vekst, før tallet e dukker opp! Tallet som i dag kalles e opptrer for første gang i et brev skrevet i 1690 av Leibniz, men da med notasjonen b. Det var i et annet brev, skrevet av Euler i 1731, at notasjonen e ble brukt for første gang for tallet som er tilnærmet lik 2,71828. Noen mener at e står for "eksponentiell", siden tallet e er det naturlige valget til grunntall i en eksponentialfunksjon, mens andre mener at Euler brukte e siden det er den andre vokalen i alfabetet og siden han allerede brukte a i noen av sine andre matematiske arbeider. Akkurat som tallet π, som er tilnærmet 3,14159, er også tallet e et irrasjonalt tall, men å regne ut desimaler for e har aldri blitt like populært som å regne ut desimaler for π. Vi ser også av årstallene vi har nevnt at e var en nykommer i forhold til π. Men selv om tallet e ikke hadde noen notasjon før mot slutten av 1600-tallet, opptrådte det allikevel i matematiske arbeider på hele 1600-tallet uten å bli identifisert. Da tallet ble identifisert, ble disse arbeidene viktige i forståelsen av tallet. Til disse arbeidene hører Napiers arbeider om logaritmer (1618), Huygens’ arbeider med rektangulære hyperbler, eksponentialkurven og logaritmer (1661) og ikke minst Bernoullis arbeid med grensen av uttrykket

når n går mot uendelig (1683).

I prosessen med å forstå tallet e skjønte man raskt at dette var nært knyttet til logaritmer. I de første arbeidene innen logaritmeteori var logaritmer tall som gjorde regningen lettere. I dag tenker vi på logaritmen med grunntall a av det positive tallet b som det tallet vi må opphøye a i for å få b, skrevet . Dessuten tenker vi på logaritmer som funksjoner med tilhørende eksponentialfunskjoner der disse er inverse funksjoner. Og vi vet at e er grunntallet i den naturlige logaritmen, dvs. alfabetet, får vi funksjonen

. Erstatter vi b med en bokstav lengre ut i , x > 0.

Det som gjør at e er grunntallet i den naturlige logaritmen er følgende egenskap:

Hvis vi tegner funksjonen , får vi en rektangulær hyperbel. Ordet rektangulær kommer av at når x og y er positive, er de lengdene på sidene i et rektangel med areal 1. Tallet e er nå tallet slik at arealet under den rektangulære hyperbelen fra 1 til e er 1:

01.01.2000

Skrevet med dagens integrasjonsnotasjon:

Vi nevner til slutt noen flere egenskaper ved e:

Egenskap 1)

Egenskap 2) Begge disse ble funnet av Euler. Egenskap 2) sier at e kan uttrykkes ved en uendelig rekke. Denne kan blant annet brukes til å regne ut desimaler for e og til å vise at tallet e er irrasjonalt. En tredje egenskap gjelder eksponentialfunksjoner a x : Hva må grunntallet a være for at hastigheten funksjonen vokser med i hvert punkt er lik funksjonsverdien i punktet? Jo, grunntallet må være e:

Det fins mange formler som involverer e, og i artikkelen om tallet i finner du en formel som knytter sammen tallene π og e! Men for eksempel differansen π - e, som er ca. 0,42331, har ikke vært utforsket i særlig grad… Er dette et tall som dukker opp i noen interessante sammenhenger?

Tallet i

Tallene i og -i er kvadratrøttene til -1. Ved å innføre det imaginære tallet i, blir vi i stand til å trekke røtter av negative tall. Det gir oss videre et tallsystem av såkalte komplekse tall.

Hvilke tall x passer inn i ligningen

01.01.2000 Hvis vi bruker formelen for løsning av en andregradsligning, får vi et negativt tall under et rottegn. Når dette skjer blir vi på skolen ofte bedt om å skrive "Ingen løsning". Hva betyr det at ligningen har "Ingen løsning"? Det betyr at vi ikke har noen tall som passer inn i ligningen blant de tallene vi kjenner til (de reelle tallene). Men "Ingen løsning" er ingen tilfredsstillende løsning, så vi må utvide tallbegrepet vårt slik at tallene som er roten av negative tall også får sin naturlige plass. Når vi har gjort det, viser det seg at vi har alle tall vi trenger for å løse polynomligninger! Tallet i spiller hovedrollen i denne utvidelsen, og vi skal nå se litt nærmere på dette: De gamle greske matematikerne måtte også utvide sitt tallbegrep: Som vi har vært inne på i andre artikler regnet de gamle grekerne med lengder og forhold mellom dem. Grekerne trodde derfor lenge at alle tall kunne skrives som et forhold mellom positive hele tall, altså at de var rasjonale. Men så oppdaget de tallet vi kaller . Ved Pytagoras' setning er det lengden av hypotenusen i en rettvinklet likebeint trekant der katetene er av lengde 1. Etter hvert innså man at dette ikke er et rasjonalt tall, og at det derfor fantes andre tall enn de rasjonale. De nye tallene ble kalt irrasjonale. Skrevet som en ligning skulle altså grekerne løse løsningen fantes ikke blant tallene de kjente til.

, og

Hva om vi skal løse ligningen x + 3 = 1 ? Da trenger vi et negativt tall. I artikkelen om tallet null så vi at araberne satte opp regneregler for null og negative tall slik at de passet inn med de positive tallene. Da matematikken "gjenoppsto" i Europa på 1200-tallet, tok det likevel lang tid før de negative tallene ble akseptert, akkurat som det tok tid å akseptere de irrasjonale tallene. Og historien gjentar seg: I "Ars Magna" fra 1545 prøver Girolamo Cardano å løse ligningssystemet

Hvis vi prøver å finne en løsning på dette ligningssystemet geometrisk, kan vi tegne kurvene i det reelle planet:

01.01.2000

Vi ser at vi ikke har noen reelle tall som løsning (ingen skjæringspunkter mellom kurvene). Cardano løste imidlertid ikke ligningssystemet geometrisk, men algebraisk, og fikk løsningene og

. Dette var første gangen at roten av et negativt

tall dukket opp. Det største tallsystemet man hadde på Cardanos tid var det vi i dag kaller de reelle tallene. De reelle tallene er et større tallsystem enn for eksempel de hele tallene siden de reelle inneholder de hele, og i tillegg (uendelig) mange ekstra tall. Cardano antok at røttene av negative tall fulgte de samme regnereglene som tallene han kjente til, og på den måten sjekket han at løsningen han hadde fått faktisk var en løsning ved innsetting i ligningssystemet. Han manipulerte også løsningene av en kubisk ligning som involverte måte, men han innså ikke at dette var starten på noe stort.

på tilsvarende

I sin bok "Algebra" (1572), manipulerte Raphael Bombelli Cardanos uttrykk slik at Cardanos

løsning av , nemlig , ble x = 4. Dette var det første hintet om at disse nye tallene kunne bli nyttige for å løse reelle matematiske problemer. Etter Bombelli fulgte en del år der man fortsatt regnet og manipulerte med roten av negative tall som om de var "vanlige" tall. I dag bruker vi tallet i om roten av −1. Ved å multiplisere i med positive og negative tall (de tallene vi hadde før vi innførte i), får vi nye tall som er slik at kvadratet av hvert av tallene er et negativt tall. Disse nye tallene ble kalt imaginære tall, og de man allerede hadde ble kalt reelle tall. Det var Rene Descartes som først skilte mellom reelle og imaginære tall (1637).

01.01.2000 Mye av dagens matematiske notasjon stammer fra Euler, og igjen er det Euler som først bruker i om den imaginære enheten . Han oppdaget også flere formler, bl.a. (i 1748). Euler var en matematiker med stor innflytelse. Han talte varmt for bruken av imaginære tall, og mot slutten av 1700-tallet var det mange matematikere som brukte tall på formen . Her er x et reellt tall (den reelle delen) og yi et produkt (den imaginære delen) der y er et reellt tall og

Det ble også vanlig å representere tallene som punkter i (x,y)-planet, der den reelle delen var plassert på x-aksen, og den imaginære delen på y-aksen. For eksempel er tallet i punktet som ligger en enhet rett opp fra origo, på y-aksen. Det var flere som oppdaget denne geometriske tolkningen. Blant dem var Wessel, Argand og Gauss, som alle jobbet med dette rundt århundreskiftet 17-1800. John Wallis representerte tallene allerede i 1673, men av en eller annen grunn ble dette ignorert.

geometrisk

Vi kan altså tolke de reelle tallene som 1-dimensjonale tall som ligger på en linje (x-aksen / tallinjen), og tallene , som etter hvert ble hetende komplekse tall, som 2-dimensjonale tall liggende i (x,y)-planet. Vi ser dermed hvorfor vi ikke kan se løsningen av Cardanos ligningssystem i det reelle bildet vi tegnet: Løsningen er paret (x,y), der både x og y er 2dimensjonale tall. Dermed er det to ekstra dimensjoner som ikke kommer frem i det reelle bildet. Utviklingen av matematikken frem mot slutten av 1700-tallet hadde altså sett en stadig utvidelse av tallbegrepet, fra de positive hele tallene til de reelle og imaginære tallene. Man kunne nå løse ligninger der man hadde roten av negative tall, for eksempel var tallet multiplisert med i, som igjen var punktet enheter opp fra origo på y-aksen i (x,y)-planet. Det store spørsmålet var nå om det fantes flere ligninger der koeffisientene kunne være tall man kjente, men der man fikk løsninger som involverte tall man ennå ikke kjente? Svaret ble gitt av Gauss i 1799: En polynomligning av grad n har n røtter, alle på formen

der x og y er reelle tall. Dette kalles algebraens fundamentalteorem, og det

sier altså at vi ikke trenger flere tall enn tallene

for å løse algebraiske ligninger

(polynomligninger)! Fra nå ble tallene på formen kalt komplekse tall (siden de er alle løsninger vi kan ha av algebraiske ligninger), og (x,y)-planet ble kalt det komplekse plan. I 1837 publiserte William Rowan Hamilton dagens algebraiske definisjon av komplekse tall uten bruk av tallet i: De komplekse tall er mengden av ordnede par av reelle tall som følger visse regneregler. La (a,b) og (c,d) være komplekse tall. Da er a, b, c og d reelle tall og vi har

01.01.2000

, der Vi har nå utvidet vårt tallbegrep: De komplekse tallene er et større tallsystem enn de reelle tallene; de komplekse inneholder de reelle og (uendelig) mange ekstra tall.

Tellbare tall

Det finnes opplagt uendelig mange tall, men hvor stort er egentlig uendelig, og er det opplagt at vi vet hva vi mener med dette begrepet? Mengden av reelle tall er ikke tellbar Mengden av hele tall og mengden av reelle tall er begge uendelige, men likevel har de forskjellig størrelse! Mengden av hele tall er minst. Vi sier at denne mengden er tellbar, som betyr at vi kan finne en regel som nummererer alle tallene i mengden, eller setter dem opp i rekkefølge. Vi kan f.eks. skrive alle hele tall på følgende måte: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... og vi kan på en systematisk måte angi hvilket nummer ethvert helt tall har i denne rekkefølgen. Uendelige mengder som har denne nummereringsegenskapen kalles tellbare mengder. Mengden av rasjonale tall er tellbar, f.eks. ved følgende rekkefølge (dette er de positive, de negative kan vi inkludere på samme måte som over): 0/1, 0/2, 1/1, 0/3, 1/2, 2/1, 0/4, 1/3, 2/2, 3/1, ... Med denne nummereringen (hvordan er systemet?) blir noen tall gjentatt, men det spiller ingen rolle for begrepet tellbarhet. Ser vi derimot på mengden av reelle tall så får vi ikke dette til. Matematikeren Georg Cantor lagde for mange år siden et bevis for dette. Her er hans bevis: Teorem Mengden av reelle tall er ikke tellbar. Bevis Anta at mengden av reelle tall (alle desimaltall) er tellbar. Da kan vi nummerere dem a1 = 0 ,a11 a12 a13 a14 … a2 = 0 ,a21 a22 a23 a24 … a3 = 0 ,a31 a12 a33 a34 … .. Alle desimalene a11 a12 a13 a32 a67 osv. i denne oppstillingen er ett av tallene 0,1,2,3,..,9. Det første tallet a1 = 0 ,a11 a12 a13 a14 … kan for eksempel være 0,380219976…. Det spiller ikke så stor rolle, det viktigste er at vi tar det for gitt at vi kan lage en slik liste. Vårt håp er nå at alle reelle tall er med i denne uendelige oppramsingen av desimaltall. Men obs-obs, se på følgende tall: b = 0 ,b1 b2 b3 b4 … som er laget på følgende måte, b1 velges forskjellig fra a11 (dette går greit siden vi har 10 siffer å velge mellom og kun ett av dem er uaktuelt). Tilsvarende gjør vi for b2 (velges forskjellig fra a22) b3, og så videre. Dermed har vi kokt opp et desimaltall (reelt tall) b som ikke er lik noen av tallene a1, a2, og så videre. Tallet er jo forskjellig fra hver av disse på minst én plass. Men vi antok jo at dette skulle være alle desimaltall. Så her er det noe krøll. Vi har fått en motsigelse.

01.01.2000 Altså må antakelsen være gal, vi kan ikke skrive opp alle reelle tall i en slik rekkefølge, og mengden er derfor ikke tellbar. Q.E.D. (som er forkortelse for Quod Erat Demonstrandum, som er latin og betyr "det er bevist")

Uendelighet

Hva er uendelig? Kan vi lage et symbol for uendelig og late som om det er et tall vi kan regne med på lik linje med de vanlige tallene? En litt underlig og fantasifull matematikkhistorie går omtrent slik: Vi tenker oss to hoteller, de er så store at de har uendelig mange rom. Vi kan selvfølgelig ikke bygge slike uendelig store hoteller, men vi antar likevel at vi har gjort det (matematikere er gode til å tenke seg ting som ikke går an). Rommene i begge hotellene er nummerert 1,2,3,4, … og siden vi har uendelig mange tall sier vi at vi har nok til å nummerere alle rommene. En dag skjer det noe leit; det ene hotellet brenner ned til grunnen. Heldigvis kommer alle gjestene seg ut og ingen blir skadet. Men det er kaldt ute, og hotellet var helt fullt, ikke et eneste ledig rom. Dessverre er det andre hotellet også fullt. Men hotelldirektøren der vet likevel råd. "Selv om mitt hotell er helt fullt skal jeg klare å innlosjere alle gjestene fra det nedbrente hotellet, bare send dem over." Hvordan klarte hotelldirektøren dette kunststykket, å fylle opp et allerede fullt hotell med uendelig mange nye gjester? Jo, han ba alle sine gjester om å ta med seg sakene sine og gå til rommet med dobbelt så høyt nummer. Så de på rom 1 gikk til rom 2, de på rom 2 til rom 4, de på rom 3 til rom 6, osv. Siden alle flyttet på seg og hotellet hadde uendelig mange rom fant alle gjestene seg et nytt rom. Dermed ble rommene 1,3,5, ... ledige og de brann-rammede gjestene fikk beskjed om å innta rommet med nummer gitt ved å doble det gamle romnummeret og trekke fra 1. Branngjest nr. 1 fikk rom nr. 1, branngjest nr. 2 fikk rom nr. 3, branngjest nr. 3 fikk rom nr. 5, osv. Ingen gjester havnet dermed på samme rom, alle fikk plass og krisen var løst. Hvordan kan dette gå an? To stappfulle hoteller får plass på ett like stort hotell? Svaret ligger i uendelighetsbegrepet. Når vi regner med uendelig som om det var et vanlig tall kan vi omtrent få til alt mulig. Det første spørsmålet vi stiller, er om begrepet uendelig egentlig har noen mening? Selv om det utvilsomt finnes mengder med uendelig mange elementer, tenk bare på et linjestykke, så kan vi ikke telle elementene (det ville jo ta uendelig lang tid) og da er det spørsmål om det i det hele tatt har mening å snakke om antallet elementer i slike uendelig store mengder. For matematikere har det mening, og det er faktisk nødvendig i mange sammenhenger å kunne snakke om det. Vi har nevnt antall punkter på et linjestykke og vi har sett på alle naturlige tall. Vi kan ikke fornekte disse mengdenes eksistens. Tilsvarende kan man vise at det finnes uendelig mange primtall. Slike ting tvinger oss til å forholde oss til begrepet uendelighet. Hva er så uendelig, finnes det forskjellige former for uendelighet og hvordan kan vi regne med uendelig? For det første, siden vi har sagt at uendelig er et nødvendig begrep kan det være greit å gi det et navn, og siden 0 er opptatt har matematikere for mange hundre år siden valgt å la tegnet ∞ bety uendelig. For 0 har vi en del gode regneregler, blant annet , , og ikke minst .

01.01.2000

For

har vi færre regler. Det vi kan si er at

. Dessuten at

og . Prøver vi å trekke fra får vi problemer. Subtraksjonen har rett og slett ikke mening. Svaret kan være 0, et annet tall eller . Hvis uttrykket skulle ha mening måtte det ha blitt det samme hver gang. Det som kanskje er vel så interessant med begrepet er at det ikke er ett begrep, men mange. Det finnes flere grader av uendelig. Den minste er den som kalles tellbarhet, dvs like mange elementer som det er naturlige tall. En tellbar uendelig mengde har bare "litt" flere elementer enn en endelig mengde. Det neste uendelighetsbegrepet er det som kalles et kontinuum, eller antallet desimaltall mellom 0 og 1, eller antall punkter på et linjestykke av endelig eller uendelig lengde. Det er nemlig lett å se at det er like mange tall mellom 0 og 1 som det er tall som er større enn 1. For hvert tall x mellom 0 og 1 kan vi se på

. Dette tallet vil være større enn 1. Tilsvarende kan vi

gjøre for tall y som er større enn 1, tallet ligger mellom 0 og 1. Dermed har vi laget en regel som til et hvert tall mellom 0 og 1 tilordner et tall større enn 1 og omvendt. Følgelig må det finnes like mange av dem. Man skal være litt forsiktig med dette begrepet "like mange av dem" når vi snakker om uendelig store mengder. "Like mange" er egentlig et begrep som er forbeholdt endelige mengder og det blir fort galt når vi bruker det om uendelige mengder. Ta f.eks. mengden av tall mellom 0 og 1. Det er nokså opplagt at vi kan lage en regel som tilordner et tall mellom 1 og 2 til et tall mellom 0 og 1, bare ved å legge til 1. På den annen side kan vi lage en regel som tilordner et tall mellom 0 og 2 til et tall mellom 0 og 1 og omvendt, bare ved å gange eller dele med 2. Med andre ord kan vi til en mengde av tall finne en regel som til ethvert tall tilordner et annet tall i en ekte delmengde av den opprinnelige mengden. Denne regelen går begge veier (som å gange og dele med 2 som i eksempelet over) og med all rimelighet kan vi si at det er "like mange" elementer i mengden som i en delmengde. Det høres litt sprøtt ut, ikke sant? Alle problemene baserer seg på at vi forholder oss til uendelig som om det var et begrep på lik linje med alle andre tall, noe som vi altså ikke kan gjøre.

Figur 1

Figur 1 viser et geometrisk argument for det samme. Den nederste linja er tallinja fra 0 til 2, mens linja i midten er like lang som tallinja fra 0 til 1, den er som vi ser parallellforskjøvet ned på den nederste tallinja. Samtidig kan vi trekke linjer fra toppunktet og ned på den nederste linja. Disse linjene tilordner et punkt på den nederste linja til et hvert punkt på den midterste linja, og omvendt. Vi kan med andre ord finne en regel som identifiserer et linjestykke med en

01.01.2000 delmengde av seg selv. Hvis dere ser nøye på dette geometriske eksemplet så ser dere at det er en illustrasjon av det vi har skrevet over. De to uendelighetsbegrepene vi har sett på er altså ikke like. For det første, hva betyr et slikt utsagn? Det betyr at vi ikke kan finne en regel som til ethvert element i en tellbar mengde tilordner et element i en kontinuumsmengde og omvendt (se artikkelen om tellbarhet). Et veldig berømt spørsmål som matematikere har syslet med i mange år kalles kontinuumshypotesen. Det var matematikeren Georg Cantor som først stilte spørsmålet: Kan vi finne en uendelig delmengde av de reelle tallene som ligger mellom tellbar og kontinuerlig? Dvs. den skal være så stor at vi kan bevise at den ikke er tellbar, men så liten at det ikke finnes noen regel som setter den i fram-og-tilbake forbindelse med alle desimaltall mellom 0 og 1. I dag er det ingen som tror at det er mulig å lage en slik mengde, men ingen har vært i stand til å bevise det!

Det er noen år siden du selv gikk på skolen, lærte matematikk og spurte om hjelp med leksene - nå er det du som blir spurt. Husker du alt?

Stoff med tema: Foreldrekurs Algebra - bokstavregning Brøker Enheter Geometri Likninger Potenser Prosent Roten av et tall - kvadratrøtter og andre røtter Sannsynlighetsregning Statistikk Tall, mengder og tallsystemer Tallregning - de fire regneartene

01.01.2000

Algebra - bokstavregning Introduksjon

Mange forbinder algebra med bokstavregning. Det antyder at det er en utvidelse av tallregning. Overgangen fra å jobbe med spesifiserte tall til abstraksjonen bokstavregning er et av de sterkeste og mest effektive redskapene i matematikken. Men hva betyr egentlig bokstavene? Og hvilke regler gjelder for bokstavregning? Bokstaver brukes i matematikken som symboler i forskjellige sammenhenger og med ulik rolle. De kan brukes til å generalisere til å begrunne og bevise til å vise regneregler i identiteter til å vise generelle utregningsmåter i formler til å vise sammenhenger mellom korresponderende tallstørrelser i funksjonsuttrykk som ukjente tall i likninger og ulikheter

Dersom regnereglene for bokstaver blir vanskelige å skjønne, kan det være en idé å studere eller repetere kurset TALLREGNING først. Vær særlig oppmerksom på de generelle regnereglene for de fire regneartene, slik som ombyttingsregelen, grupperingsregelen og fordelingsregelen, og spesielt bruk av parenteser og regning med negative tall.

Noen viktige ideer

Bokstavregning er en generalisering av utregninger med tall. Vi løser problemer for flere tilfeller, slik at dersom vi møter et spesifikt problem, har vi allerede løst problemet i alle sine varianter. Vi trenger derfor ikke løse problemet om igjen fra bunnen hver gang det dukker opp. Eksempel 1

01.01.2000

Arealet av en sirkel med radius r er som kjent

Hvis r = 10 cm, er arealet av sirkelen

Har vi en sirkel med radius 5 m, vil arealet av den være

Vi kan beregne arealet av enhver sirkel med kjent radius ut fra formelen . Det er bare å sette inn riktig størrelse for radien r i formelen og regne ut. Poenget i vår sammenheng er at vi har brukt symbolet A for å representere et areal og r for å representere en radius. Vi har en formel vi kan sette inn i for å finne arealet av en sirkel med en hvilken som helst radius. Eksempel 2

Den formelen uttrykker sammenhengen mellom tilbakelagt strekning s ved konstant fart v, etter tid t:

Dette uttrykker kort: Dersom farta er konstant, er strekningen lik farta ganget med tida. Vi har igjen en generell formel, som gjelder for alle tilfeller. Med fart 60 km/t i en og en halv time, hvor langt kommer vi? Vi setter inn og regner ut:

Hadde tida og farta hatt andre verdier, kunne vi bare satt inn i den samme formelen og fått et riktig svar ut. Algebra handler om å løse problemer generelt, framfor å løse dem for hvert enkelt tilfelle. Vi kan finne sammenhenger som er gyldige ut over det spesielle tilfellet.

Regnereglene Regnereglene: de samme som for vanlig tallregning Bokstavregning er generalisert tallregning. Når vi regner med bokstaver, må dette følge de vanlige reglene for tallregning. Vi adderer, subtraherer, dividerer og multipliserer. Dette avsnittet kommer stort sett til å handle om å få uttrykk som er på én form over på en annen. Noen motivasjoner for å lære seg reglene ser vi eksempler på i de kommende avsnittene. For å forstå eksemplene er det nødvendig å ha god kontroll på innholdet som

01.01.2000 følger her. Algebraen har også sine egne konvensjoner og regler for skrivemåter og for manipulering av uttrykk som vi må være oppmerksomme på. Spesielt nevner vi at vi noen ganger utelater enkelte regnetegn: betyr

, og

For uekte brøk skal

betyr bety

. Vi har et usynlig multiplikasjonstegn. . Vi har et usynlig addisjonstegn.

Vi kan velge om vi vil ta med eller utelate sifferet 1 foran et uttrykk, dette fordi 1 er nøytralt ved multiplikasjon:

. Videre er t1 per definisjon t.

På grunn av prioriteringsreglene kan vi noen ganger la være å skrive parenteser. I sammensatte uttrykk utføres først potensering, så multiplikasjon og divisjon, og til slutt addisjon og subtraksjon.

En brøkstrek fungerer også som parentes:

Vi tar litt nøyere for oss noen grunnleggende sammenhenger som gjelder for alle tall, og som vi kan uttrykke kort med bokstaver.

Eksempler

Dersom vi legger a til a, så vet vi at vi har a to ganger, eller sagt på en annen måte: Når vi legger sammen to like tall, får vi alltid to ganger tallet:

Hvis vi vil addere eller multiplisere to tall a og b, så er rekkefølgen likegyldig. Vi kan fritt bytte om:

Trekker vi et tall fra et likt tall får vi alltid null:

Alt dette er helt tilsvarende til vanlig tallregning.

01.01.2000

Det er viktig å merke seg at a og b representerer fritt valgte (uspesifiserte) tall. Dersom vi adderer dem, kan vi ikke si noe om resultatet. Når a forekommer flere ganger i et regnestykke, er a fortsatt et fritt valgt tall. Men a må representere ett og samme tall på alle stedene i regnestykket a forekommer. Dersom vi multipliserer et ukjent tall gitt ved en bokstav med seg selv, for eksempel a ganger a, tar vi med gangetegnet. Hvis det er to forskjellige bokstaver, kan vi utelate det. Men vi kan skrive produktet kortere ved å ta i bruk potenser. Vi kan skrive:

Regel Vi sløyfer gangetegn mellom to forskjellige bokstaver.

Istedenfor det vanlige divisjonstegnet : bruker vi vanligvis brøkstrek når vi regner med bokstavuttrykk. For eksempel foretrekker vi å skrive istedenfor . Som nevnt tidligere følger bokstavene de samme regnereglene som vanlige tall.

Et eksempel til

Dette kan vi formulere generelt slik: For ethvert tall a gjelder at

Sammensatte uttrykk - parenteser

Hvordan fungerer parenteser i forbindelse med bokstavregning? Dersom vi ganger ut en parentes, vil vi som i vanlig tallregning gange tallet med hvert av leddene inni parentesen. La oss multiplisere a med (c + a):

Vi ganger altså ut en parentes på helt vanlig måte. Men i motsetning til hvis vi kjenner størrelsen på a og c, kan vi ikke her velge å regne ut innholdet i parentesen først. Vi kan, som nevnt tidligere, sløyfe gangetegn og skrive svaret kortere slik:

01.01.2000

Eksempler

Det siste eksempelet: kan gjøres litt enklere. To av leddene inneholder bare bokstaven b, så vi kan regne sammen de to leddene før vi ganger inn i parentesen.

Vi kan også få bruk for å gå den andre veien, omforme et oppgitt uttrykk som

til

. Fordi likhetstegnet sier at uttrykkene på begge sider er like, er det selvsagt ingen ting i veien for å skrive likheten opp i motsatt retning:

Dette kalles å faktorisere, å trekke felles faktor ut av en parentes. Vi har skrevet uttrykket om til et produkt med faktorene a og (c + a).

Eksempler - faktorisering:

Vi kommer til å møte dette igjen i avsnittene ”Forkorting av brøker” og ”Generelle formler regnet ut ved hjelp av algebra”. Hva skjer om vi multipliserer to parenteser med hverandre? Vi husker fra tallregningen at vi enten kan legge sammen innholdet i parentesene og deretter multiplisere ut, eller vi kan gange hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre og deretter legge sammen. Når vi regner med bokstaver, faller vanligvis det første

01.01.2000 alternativet ut: Vi må gange hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre.

Eksempler - å gange parenteser med hverandre:

Dersom vi ønsker å trekke felles faktorer ut av uttrykkene, har vi flere måter å skrive resultatene på, for eksempel i det første eksempelet over:

Bokstavuttrykk og regning med fortegn

Hvordan blir det å regne med bokstavuttrykk med fortegn? Vi tenker oss at både a > 0 og b > 0, slik at - a < 0 og - b < 0. Hva skjer når vi ganger - a med b? Eller om vi subtraherer - a fra b? Dersom vi ganger eller deler et negativt tall med et positivt, husker vi fra tallregningen at vi regner som om begge tallene var positive, og setter resultatet lik det tilsvarende negative tallet. Dersom vi skal trekke fra et negativt tall, er det det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet:

Generelt:

Hva skjer så om vi deler (- b) på (- a)? Fra tallregningen vet vi: Å dele eller gange et negativt tall med et annet negativt tall er det samme som å gange eller dele tallene som om de var positive. Resultatet blir positivt:

01.01.2000 Generelt:

Fortegn foran sammensatte uttrykk i parenteser

Vi husker også fra tallregningen at dersom vi har et negativt fortegn foran en parentes og ønsker å løse opp parentesen, må vi endre tegn på alle leddene som sto inni parentesen. Eksempel

Regn ut . Vi ser vel direkte at dette må bli 0, for det står jo samme uttrykk i begge parentesene. Det samme resultatet får vi naturligvis også når vi regner ut trinn for trinn:

Når vi løste opp den andre parentesen, måtte vi endre plusstegnet som sto foran a (det er usynlig) og foran b til minus. Flere eksempler på å løse opp parenteser

Det to siste eksemplene er regnet ut på en av mange måter. Vi kan regne ut et produkt i den rekkefølgen vi måtte ønske. En annen måte å skrive om det siste uttrykket på er:

Da bruker vi at det minustegnet som står helt til venstre, gjør samme nytte som å gange hele uttrykket med -1. Vi kan så gange -1 inn i en av parentesene, og deretter gange sammen parentesene, eller vi kan gange sammen parentesene først, og deretter gange inn -1. Over har vi ganget sammen parentesene først. Den andre framgangsmåten gir samme resultat:

01.01.2000

Prøv selv å regne ut ved å gange -1 inn i den andre parentesen først! Første kvadratsetning

I dette avsnittet skal vi se på ett av tre spesielle produkter av bokstavuttrykk. Disse tre produktene er det nyttig å kunne bruke til forkorting av brøker, forenkling av uttrykk og i likningsløsning. Dette produktet har eget navn: første kvadratsetning. Første kvadratsetning beskriver hva som skjer når vi tar en sum a + b av to tall og ganger denne med seg selv. Som i forrige avsnitt kan vi gange hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre:

Nå er ba = ab, og ab + ab = 2ab, og da får vi som resultat denne identiteten:

Vi kan trene på å bruke formelen ved å se på noen talleksempler. Talleksempler

Vi lar a være lik 2 og b være lik 3 og setter først inn i

Setter vi inn i formelen

, får vi:

La oss også prøve oss med a = 5 og b = (-3).

Setter vi her inn i formelen

, får vi:

Samme resultat for begge utregningene!

01.01.2000 Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

En grunn til å kalle dette første kvadratsetning er at for positive tall tolkes som arealet av et kvadrat. Vi tenker oss et kvadrat med sidelengder a + b. Arealet av dette kvadratet må være lik

. La oss tegne opp kvadratet.

Vi kan også finne arealet av hele kvadratet ved å legge sammen arealet av den røde, den gule og de to oransje firkantene:

Areal av rød firkant:

Areal av gul firkant:

Areal av hver oransje firkant:

Legger vi sammen de fire arealene får vi

. Det betyr at

. Andre kvadratsetning

I dette avsnittet skal vi se på det andre av tre spesielle produkter av bokstavuttrykk. Disse tre produktene er det nyttig å kunne bruke til forkorting av brøker, forenkling av uttrykk og i likningsløsning. Dette produktet heter den andre kvadratsetningen.

01.01.2000 I andre kvadratsetning tar vi en differens a – b mellom to tall, og ganger dette med seg selv:

Her er

Dermed kan vi skrive uttrykket enklere:

Vi har dermed dette resultatet:

Talleksempler

La a = 4, b = 1. Dersom vi setter inn i

Setter vi videre inn i

, får vi følgende:

, får vi:

La oss også prøve a = -5, b= -3 . Vi setter inn i

Så setter vi de samme tallene inn i formelen samme:

, og får:

, og ser at resultatet blir det

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

01.01.2000

Hvis a > b > 0, kan vi også tolke som arealet av et kvadrat. Ideen er nesten den samme som for første kvadratsetning. Vi skal finne arealet av et kvadrat med sidelengder . For å finne dette arealet uttrykt ved a-er og b-er starter vi med et kvadrat med sidekanter lik a. Studer tegningen:

Her er det altså hele det store kvadratet som har sider lik a. Målet blir å finne arealet av det blå kvadratet på to måter. Den ene er opplagt: Arealet av det blå kvadratet er . Nå ser vi også at arealet av det blå kvadratet er lik arealet av hele det store kvadratet minus arealene av de to fiolette rektanglene og minus arealet av det røde kvadratet øverst til høyre på figuren. Arealet av hele kvadratet er

. Hvert av de fiolette rektanglene har areal

det røde kvadratet har areal

. Da får vi at det blå kvadratet har areal lik

, og

. Vi oppsummerer: Areal av hele firkanten, minus to ganger arealet av lilla pluss rød firkant, pluss areal av rød firkant, gir areal av blå firkant: Vi har dermed sett at arealet av den blå firkanten blir:

Konjugatsetningen

Her skal vi se på det siste av tre spesielle produkter av bokstavuttrykk. Disse tre produktene er det nyttig å kunne bruke til forkorting av brøker, forenkling av uttrykk og i likningsløsning. Denne siste setningen har navnet konjugatsetningen, men noen kaller den også tredje kvadratsetning.

01.01.2000 Konjugatsetningen kan likne på en kombinasjon av første og andre kvadratsetning. Den tar for seg produktet

. Vi regner igjen ut direkte:

Og vi har dette resultatet:

Også denne formelen stemmer dermed uansett hvilke tall vi velger for a og b. Talleksempler

Vi velger først a = 5, b = 2. Så regner vi ut

. Vi får:

Så ser vi på :

Som ventet får vi samme resultat. Vi tar ett eksempel til: a = 2, b = -4. Nå blir

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

Igjen skal vi se på og sammenlikne arealer. Vi tenker oss a > b > 0, og ser på et rektangel med lengde a og bredde a + b.

01.01.2000

Vi ser at de to blå firkantene sammen utgjør arealet . Vi ser også at arealet av hele figuren er

. Fra dette må vi trekke arealet av det

grønne rektanglet og det gule kvadratet, altså henholdsvis ab og

. Vi regner ut og får

. Da står vi igjen med at

. Forkorting av brøker

I matematikken, og spesielt i arbeid med algebra og funksjoner, må vi av og til håndtere brøker som inneholder en eller flere ubestemte størrelser. Det kan hende at disse brøkene er store og uoversiktlige. I dette avsnittet skal vi se på hvordan vi noen ganger kan forenkle slike brøker. Kvadratsetningene og konjugatsetningen er typiske verktøy for denne jobben. En annet teknikk vi skal ta i bruk, er å faktorisere uttrykk med parenteser. Her er det viktig å være trygg på behandling av brøker, så repeter eventuelt kurset i brøkregning! Vi vil starte med en litt enkel brøk. Eksempel 1 Vi vil forenkle brøken I telleren

så mye som mulig.

kan vi faktorisere ved å sette a utenfor en parentes:

Brøken kan dermed omformuleres til

01.01.2000

a er altså faktor både i teller og nevner. Det betyr at vi, når vi regner ut brøken, skal multiplisere med a og siden dividere med a igjen. Da kan a forkortes bort (strykes). Det som skjer, er følgende:

Regel Dersom teller og nevner har felles faktor, kan den faktoren strykes.

Men hva om nevneren var a + b i stedet for ab, altså

Kan denne brøken forkortes? Svaret er nei. Denne brøken står på enklest mulig form allerede. Men hvorfor kan vi ikke forkorte? Eneste felles faktor for summen i telleren er a. I nevneren har vi ikke lenger noen felles faktor for de to leddene. Teller og nevner har ingen felles faktor felles. Brøken kan ikke forkortes.

Eksempel 2

Forkort brøken så mye som mulig. Vi kan faktorisere telleren:

Vi kan dermed sette opp brøken på nytt:

Vanligvis skriver vi det bare slik:

Vi fikk felles faktor x både i teller og nevner, og derfor kunne vi forkorte.

01.01.2000

Forkorting ved hjelp av kvadratsetningene

Eksempel 1

Forkort brøken

Telleren kan vi faktorisere ved hjelp av første kvadratsetning:

I nevneren bruker vi konjugatsetningen:

Vi setter opp brøken på nytt:

Her er c+d felles faktor både i teller og nevner. Vi kan derfor forkorte bort (c + d).

Vi ser at vi har forenklet den opprinnelige brøken betydelig:

Som øvelse kan det være lurt å sette inn noen tall for c og d i begge uttrykkene og se at dette stemmer. Vi må velge

. Hvorfor?

Et litt mer sammensatt eksempel

Vi skal forkorte brøken

så mye som mulig.

I dette eksemplet faktoriserer vi både ved hjelp av kvadratsetningene og ved å trekke

01.01.2000 felles faktor ut av et uttrykk i en parentes. a, b og 4 er felles faktor i telleren, og a og 2 er felles faktor i nevneren.

Videre ser vi at i telleren kan vi faktorisere uttrykket i parentesen ved hjelp av konjugatsetningen, i nevneren med andre kvadratsetning.

I telleren kan vi også faktorisere teller og nevner. Vi forkorter:

. Da ser vi at 2, a og (x - y) er felles faktorer i

Nok en gang ender vi med et mye enklere uttrykk, hovedsakelig fordi vi har kjennskap til kvadrat- og konjugatsetningene:

Overflatearealet til en terning

Vi har nevnt at bokstaver brukes i matematikken som symboler i forskjellige sammenhenger og med ulik rolle. En av disse er å vise generelle utregningsmåter i formler. Her skal vi se på det første av fem slike eksempler. Denne første formelen er enklest. Disse er pensum første året på videregående skole, allmennfag. Vi skal regne ut overflatearealet til en terning. En terning er satt sammen av seks kvadrater, og alle vinkler mellom naboflater er 90 grader. La oss kalle størrelsen på sidekantene for a:

01.01.2000 Det gjelder å regne ut arealet til alle sideflatene. Én sideflate har areal a2. Legger vi sammen arealet til alle seks sideflatene, får vi overflatearealet til hele terningen.

Formel En terning med sidekanter med lengde a har overflateareal A = 6a2.

Eksempel

Et akvarium av glass skal ha form som en terning. Det skal passe akkurat på en kvadratisk bordflate, hvor alle sidene er 70 cm lange. Hvor mye glass trenger vi for å lage hele akvariet? Vi setter inn i formelen for overflate av en terning, der sidekantene er 70 cm:

Vi vet at 1 m2 = 10 000 cm2, og derfor kan vi også skrive

Vi kunne godt ha regnet med 0,7 m direkte og også på den måten fått samme svar:

Vi trenger altså 2,94 kvadratmeter med glass for å lage akvariet. Areal av et trapes

Her viser vi hvordan bokstaver brukes i generelle utregningsmåter i formler, mer bestemt i utregningen av arealet av et trapes. Dette er en av de enklere formlene. Et trapes er en firkant som har (minst) to parallelle sider, men de kan være av forskjellig lengde. La oss kalle lengden av de to parallelle sidene for a og b, og sette avstanden mellom dem lik h.

01.01.2000

For å finne arealet av trapeset kan vi trekke en diagonal slik at vi får to trekanter.

Arealet til hele trapeset er lik summen av arealene til to trekanter. Den nede til høyre har grunnlinje a og høyde h, og arealet av denne blir derfor . Trekanten oppe til venstre har grunnlinje med lengde b (den sidelengden som er øverst i trapeset), og denne trekanten har også høyde h, og dermed areal Så summerer vi og får arealet til trapeset lik

Denne formelen kan vi skrive slik ved å sette på felles brøkstrek og faktorisere telleren:

Vi har dermed en formel som kan brukes til å beregne arealet av ethvert trapes hvor vi kjenner sidelengdene a og b til de to parallelle sidene og avstanden h mellom disse.

Eksempel på bruk av formelen for areal av trapes

Regn ut arealet av et trapes med disse målene:

01.01.2000

Vi beregner arealet direkte fra formelen:

Vi kan altså sette verdiene rett inn i formelen og finne at arealet er 3 kvadratmeter. Overflatearealet til en sylinder

Her får du et eksempel på hvordan bokstaver brukes til å vise utregningsmåten i formelen for utregningen av overflatearealet til en sylinder. Grunnflaten i en sylinder er en sirkel. Vi har to interessante størrelser: radien r i grunnflaten, og sylinderens høyde h.

Arealet av bunnen og toppen finner vi ved å bruke formelen for areal av sirkelen. Vi får at areal av bunn pluss topp til sammen blir

For å finne arealet av den buede sideflaten, kan vi tenke at vi bretter denne ut. Da blir denne flaten et rektangel.

01.01.2000

Bredden (høyden) i rektangelet kjenner vi: høyden i sylinderen. Hva med rektangelets lengde? Vi vet at omkretsen i bunnen av sylinderen er , og dette må da også være lengden i rektangelet. Dermed kan vi regne ut arealet av rektangelet.

Nå kjenner vi arealet av bunnen, toppen samt den buede sideflaten til sylinderen. Det gjenstår bare å legge sammen: Areal av overflaten = Areal av bunn + topp + vegg

Da har vi en formel for overflaten til en sylinder hvor vi kjenner grunnflatens radius r og sylinderens høyde h. Denne formelen kan vi, hvis vi ønsker det, omforme ved å utnytte at er felles faktor i begge leddene:

Dermed sitter vi igjen med enda en formel for arealet av overflaten til en sylinder. Eksempel på bruk av formelen

Et sveiseverksted skal lage sylinderformede 50 liters ståltanker med grunnflateradius 20 cm og høyde 40 cm. En kunde bestiller hundre slike tanker. Disse skal ha en spesiell overflatebehandling, og verkstedet vil derfor vite den totale overflaten. Vi setter direkte inn i formelen og finner overflaten til en tank:

Hundre slike sylindere har dermed en overflate på 754 000 cm2 = 75,4 m2.

01.01.2000 Rente på sparepenger, etter vilkårlig antall år Vi tenker oss at vi setter 5000 kroner inn på en konto, og planen er å la beløpet stå der urørt i 20 år. Vi får vite av banken at vi kan få fast rente i hele perioden på 5 % p.a. (pro anno, dvs. per år). Hvor mye penger vil det stå på kontoen etter at de 20 årene har gått? Det hadde vært en tidkrevende beregning å regne rente og renters rente for hvert av de 20 årene, og etter hvert lagt sammen. Oppgaven blir derfor å finne en bedre måte å regne ut svaret på. Kan vi løse problemet enkelt? Ja, vi kan løse problemet helt generelt og lage en formel for å finne direkte hva beløpet vokser til med rente og renters rente etter et visst antall år. Dette er bedre enn å summere år for år. Vi vil istedenfor 5000 kroner kalle beløpet vi setter inn på kontoen for K. Dette skal bli stående urørt på kontoen i n år, og det skal legges til p prosent rente per år. Hvor mye står på kontoen etter n år? Etter ett år har vi:

Etter ett år til skal vi legge til ytterligere p prosent av dette, altså p prosent av

. Vi legger så sammen for å finne hva beløpet har vokst til etter to år:

Her er K og felles faktorer i begge leddene i summen. Vi kan dermed skrive denne summen enklere:

Etter to år har vi altså

kroner på kontoen. La oss se hva som skjer når det

går enda et år. Vi har allerede kroner på kontoen, og skal legge til ytterligere p prosent av dette. Vi får at beløpet etter tre år har vokst til

Denne gangen er

felles faktor, så vi ordner nok en gang på uttrykket:

01.01.2000

Vi får et mønster: Vi tar det opprinnelige beløpet K, og multipliserer med opphøyet i antall år vi skal la pengene stå. Hvis vi kaller det endelige beløpet for B, kan vi skrive opp formelen for beløpet etter n år:

Formelen forteller oss hvor mye penger B som står på kontoen, når vi har latt K kroner stå på konto til p prosents rente i n år.

Eksempel

Vi vil nå regne ut hvor mye som står på konto etter 20 år, dersom vi har latt 5000 kroner stå med 5 % rente.

Med en kalkulator finner vi ut at På kontoen står det derfor

Det står etter 20 år altså 13 265 kroner på kontoen, dersom vi satte inn 5000 kroner, og renta hele tida har vært 5 %.

Det som kanskje er viktigst å merke seg her er at vi løste et generelt problem ved å bruke bokstaver for å symbolisere de forskjellige størrelsene i det opprinnelige problemet vårt. Deretter regnet vi vanlig prosent for å se om det fantes et system i utregningen. Det gjorde det, og resultatet var en helt generell formel. Denne kan vi sette inn hvilke tall som helst i, for å regne ut sparepenger etter et vilkårlig antall år. Denne prosessen er et godt eksempel på styrken i å regne med symbolske størrelser. Løsning av førstegradslikninger

Her viser vi hvordan bokstaver kan brukes til å finne løsningen av alle førstegradslikninger. Som eksempel velger vi likningen:

Likningen sier: Når vi trekker 4 fra 2x, skal svaret være 8. Vi kan derfor se direkte at 2x

01.01.2000 må være 4 mer enn 8, det vil si at 2x = 12, og løsningen må være x = 6. Mer teknisk kan vi gå fram slik: Vi legger først til 4 og deler deretter på 2 på begge sider av likhetstegnet:

Dette illustrerer en metode for å løse alle førstegradslikninger. Alle likninger som inneholder én ukjent, en x, men ingen produkter av x med seg selv, dvs. som kan skrives på formen

med , kalles førstegradslikninger. Her er a og b uspesifiserte, konstante tall, og behandles som om de skulle være kjente tall. De kalles parametere. Løsningsmetoden kan skrives ut slik:

Likningen i eksemplet over kunne skrives om til den likeverdige formen

Det betyr at vi må velge a = 2 og b = -12 i den generelle formen for førstegradslikninger. Og løsningen er altså

Løsning av andregradslikninger

I dette avsnittet skal vi se hvor stor rolle bokstavregning spiller i løsningen av andregradslikninger, altså likninger som inneholder leddet x2. Generelt kan vi, i likhet med for førstegradslikninger, alltid få slike likninger over på en spesiell form:

Alle andregradslikninger kan skrives på denne formen ved å velge passende verdier for a, b og c. Her forutsetter vi også , for at det skal være en andregradslikning. Vi skal nå bruke en metode for å løse andregradslikninger. Det fører fram til en bestemt formel hvor vi til slutt bare kan sette inn aktuelle tall istedenfor parametrene a, b og c og få løsningen av enhver andregradslikning. Ideen i utledningen er å utnytte kvadratsetningene. Vi starter med å dele på a, på begge sider av likhetstegnet:

01.01.2000

Nå vil vi ordne om på den siste likningen slik at vi kan bruke første kvadratsetning. Først subtraherer vi

på begge sider av likhetstegnet. Da får vi likningen på formen

Ta en titt på første kvadratsetning på formen

Hvis vi nå tenker på som 2t, dvs. ser vi at ved å addere leddet begge sider i likningen vår, blir venstre side et fullstendig kvadrat:

på

Uttrykket til venstre for likhetstegnet kan da skrives om slik:

Uttrykket til høyre for likhetstegnet setter vi gjerne på en felles brøkstrek:

Likningen har nå blitt omformet til

Da kan vi ta kvadratroten på begge sider av likhetstegnet:

Merk at vi må ta med begge muligheter, både pluss og minus, foran uttrykket på høyre side av likhetstegnet. Det siste som gjenstår er å trekke fra likhetstegnet, og vi er i mål:

på begge sider av

01.01.2000 Vi har altså funnet at x kan ha maksimalt to løsninger, og de er gitt ved formelen:

Dersom uttrykket under rottegnet blir negativt, har ikke likningen noe reelt tall som løsning.

Eksempel

La oss så se på et eksempel hvor vi først bruker metoden i utledningen. Denne metoden kalles ”fullstendig kvadrats metode”. Deretter ser vi hvordan vi også kan bruke løsningsformelen direkte.

Vi skal løse likningen Likningen kan skrives om til

Vi adderer halvparten av får et fullstendig kvadrat:

opphøyd i 2. potens på begge sider, slik at vi på venstre side

og får

dvs. Dette gir de to løsningene

Likningen har altså to alternative løsninger: x er lik en halv, eller så er x lik -3.

Så ser vi hvordan vi kan finne løsningen ved den formelen vi utledet. Vi har løst

01.01.2000

problemet generelt for

, og vi har nå i dette tilfellet a = 2, b = 5 og c = -3.

Vi setter derfor a = 2, b = 5 og c = -3 inn i formelen

Så regner vi ut de to forskjellige løsningene, for positiv og negativ rot:

Vi har altså to metoder, og vi står fritt til å velge hvilken vi vil bruke når vi skal løse en andregradslikning.

Brøker Introduksjon

Begrepet "en halv" eller "halvparten" blir vi kjent med lenge før vi begynner på skolen. Vi forbinder vel kanskje uttrykket "en halv" med noe sånt som dette:

Når vi snakker om halvparten, er altså helheten i utgangspunktet tenkt delt i to like store deler. Vi kan oppfatte "en halv" som "en av to like store deler som til sammen danner det hele". Det er denne informasjonen som ligger i skrivemåten

Skal vi blande saft passe sterk, passer det å ta to tredeler vann. Hvis vi vil skaffe oss seks desiliter ferdigblandet saft, må vi altså ta to desiliter saftkonsentrat og fire desiliter vann. Bildet av "to tredeler" blir noe sånt som:

Skrivemåten

betyr da "to av de tre like store delene som til sammen danner det hele". 100

01.01.2000 Man må være obs på at når det er snakk om saft og du får oppgitt at saften skal blandes i forholdet 2 : 3, betyr det noe ganske annet. Da tenker vi oss helheten delt i fem like store deler og at to av disse skal være saftkonsentrat. Denne vanlige måten å oppgi blandingsforhold er som skapt for å spre forvirring. Vi kan gi fornuftige anvendelser og bilder av alle brøker dannet av to naturlige tall. Slike brøker kaller vi gjerne positive brøker. Det er forståelse av slike brøker som danner utgangspunktet for alt videre arbeid med brøker. I en brøk kalles det som står over brøkstreken for teller og det som står under for nevner.

Likeverdig brøk

Disse tre brøkene har ulike nevnere og ulike tellere, men de representerer like stor del av rektangelet. Av figuren over ser vi at: . På tallinja ligger disse brøkene på samme sted.

De naturlige tallene er ordnet ved at tallene blir større jo lenger til høyre på tallinja vi går. På samme måten ordner vi brøkene. Hver brøk svarer til et punkt på tallinja. Når vi sammenligner to brøker, finner vi ut hvilken som er størst ved å sammenligne punktene de svarer til på tallinja. Når brøker er slik at de begge representerer samme punktet på tallinja, sier vi at de er likeverdige.

101

01.01.2000 og er dermed likeverdige. Ofte sier vi at og er like. Da er det likeverdige vi mener.

Å forkorte og utvide brøk

En brøk kan gjøres om til en likeverdig brøk ved å dividere med det samme tallet både i telleren og i nevneren. Både teller og nevner må da være delelige på tallet. Dette kalles å forkorte brøken. Det kan være vanskelig å finne ut hvilke(t) tall som kan dele både teller og nevner. Kanskje finnes det ikke et slikt tall, og da er det ikke mulig å forkorte. For å finne ut av dette, er det lurt å faktorisere både teller og nevner for å finne faktorer som er felles. La oss se nærmere på brøken

. Vi vil forkorte brøken så mye som mulig. Vi legger

merke til at både 16 og 36 har faktoren 4. Vi har altså at

Vi tegner det vi har gjort:

skulle jo bety 16 ut av de 36 som danner det hele. Å forkorte med 4 svarer til å droppe de horisontale linjene. Gjør vi det, ser figuren slik ut:

Nå ser vi at vi like godt kan beskrive arealet som helheten", altså

danner ved "4 av de 9 som danner

. På denne måten kan vi forklare helt i detalj forkortning av brøker.

102

01.01.2000 Å utvide brøker Det motsatte av å forkorte kalles å utvide. Da multipliserer vi med samme tall i teller og nevner, i dette tilfellet 2:

Pluss og minus med brøk Tenk deg at du skal legge sammen brøkene.

. La oss ta helheten og dele den i fire for å se

I figuren til venstre er to av fire biter skravert. I den til høyre er en av fire biter skravert. Vi er på jakt etter det totale skraverte arealet. Hver arealbit er en firedel. Til sammen blir det Samme type argument virker også når vi skal trekke en brøk fra en annen brøk. Slik tenker vi altså når vi skal addere og subtrahere brøker. La oss se hvordan vi tradisjonelt fører regnestykket:

For å kunne legge sammen eller trekke fra brøker må vi ha felles nevner. Disse brøkene hadde felles nevner. Litt mer komplisert blir det når vi har forskjellige nevnere, for da må vi først finne fellesnevner som i eksempelet som følger under. Tenk deg at du skal plusse brøkene.

. La oss ta helheten, dele den i to og i tre for å se

103

01.01.2000

Både to og tre går opp i seks. La oss dele enheten i seks biter, så ser vi hvor mange av de seks som er skravert da.

I den til venstre er tre av seks biter skravert. I den til høyre er to av seks biter skravert. Vi er på jakt etter det totale skraverte arealet. Hver arealbit er en seksdel. Til sammen blir det

Slik tenker vi altså når vi skal addere og subtrahere brøker. La oss se hvordan vi tradisjonelt fører regnestykket:

Det som skjer her er altså at vi bytter ut med den likeverdige brøken

med den likeverdige brøken

. Vi sier at 6 er fellesnevneren for brøkene

, og og

byttes ut .

Det samme gjelder for subtraksjon.

Multiplikasjon med brøk

På skolen lærte vi følgende regel for ganging av brøk:

Regel 1

104

01.01.2000

Teller ganges med teller og nevner ganges med nevner.

Eksempel

Er dette en logisk regel? Regelen kan heller ikke overføres til regnestykker i de andre regningsartene. Under følger et eksempel som kanskje kan få oss til å forstå regelen bedre.

Eksempel

Vi skal regne ut

Ganging kan illustreres ved utregning av areal. La oss tegne et rutenett med tre ruter i bredden og fem ruter i lengden (Siden vi har tredeler og femdeler). På figuren ser vi at vi har markert

av figurens bredde og

av figurens lengde.

Det mørkeste arealet illustrerer svaret på gangestykket. Svaret består av 6 ruter av i alt 15 ruter. Svaret er derfor

6-tallet får vi ved å gange teller med teller, mens 15 får vi ved å gange nevner med nevner:

Brøken

kan forkortes ved å dele teller og nevner med 3. Svaret kan derfor også gis

som Brøkganging kan tolkes på flere måter. Vi tar med to tolkninger her:

105

01.01.2000 Tolkning 1 kan tolkes som at vi ønsker å finne ut hvor stor del (av helheten) mengden

Svaret er

utgjør av

Tolkning 2 Vi kan se på

som lengder i meter. Regnestykket

arealutregning etter formelen det arealet som vi ønsker å regne ut. Vi ser at

. Det mørkeste arealet vil da representere

gir antall ruter i "vårt areal" mens

Da er det fornuftig at brøken rutene i figuren.

representerer da en

gir totalt areal i figuren.

er andelen av ruter i "vårt" areal i forholdet til alle

Multiplikasjon av brøk med hele tall Tilsynelatende virker ikke regel 1 på regnestykker som regnestykkene kan gjøres slik

eller

. Disse

og Og regelen vi bruker kan uttrykkes slik: Regel 2 Når et helt tall skal ganges med en brøk skal tallet ganges med telleren, mens nevneren blir stående urørt.

Hvorfor virker denne regelen? La oss prøve å besvare spørsmålet ved å drøfte stykkene mer inngående.

Eksempel Vi kjøper to små kartonger med melk, hver av kartongene inneholder mye melk kjøpte vi?

liter melk. Hvor

106

01.01.2000

Svaret på dette spørsmålet kan vi finne ved å regne ut tar

to ganger, det vil si

. Vi lurer på hva vi får når vi

Eksempel Du åpner testamentet etter onkel Alf og der står det at du arver av formuen. I følge testamentet har Alf 2 millioner kroner på bankkontoen. Hvor mye arver da du? Svaret på dette spørsmålet finner vi ved å regne ut altså om hvor mye

. I dette regnestykket spør vi

er av 2.

Utregning gir med benevning

I dette eksemplet er det naturlig å ikke gi svaret som brøk, men heller som desimaltall. Vi vil da dele 4 på 5 og få svaret at arven ble på 0,8 millioner kroner (800 000 kroner). Vi kan også finne en annen måte å forklare hvorfor det er naturlig å bruke denne regelen. Vi forklarer ved hjelp av det vi vet om å dele på tallet 1.

Eksempel Vi vet at deling med 1 gir et uendret resultat: 8:1 = 8 eller 100:1 = 100. Denne kjensgjerningen gjør at vi kan uttrykke et hvert helt tall som en brøk, slik som eller

Vi kan derfor løse gangestykkene over ved å bruke regel 1 slik:

Divisjon med brøk

Vi skal her ta for oss delestykker hvor brøk er involvert både som divident og divisor. La oss begynne med en regel som mange kjenner fra før:

107

01.01.2000

Regel 3 Når to brøker deles på hverandre skal den bakerste brøken snus samtidig som vi bytter ut deletegnet med et gangetegn.

Dette er en regel som for mange av oss er litt mystisk. Det er vanskelig å se hvorfor denne regelen er riktig. La oss se hvordan den virker.

Eksempel

a) b) Det kan være vanskelig å se for seg en situasjon eller eksempel som gir slike delestykker mening. Må man for eksempel alltid bruke denne regelen for å klare å løse slike oppgaver? Svaret er nei, man kan tenke litt annerledes. Kanskje ser du dette litt klarere etter å ha lest kommentaren under. Kommentar La oss tenke oss at vi har

liter melk som skal helles på

liters kartonger. Hvor mange

kartonger trenger vi da? Mange tenker nok at er riktig.

og at svaret er 2 kartonger, som

Dette problemet kan også tolkes som et delestykke:

. Vi lurer altså på hvor mange

ganger

går opp i

. Svaret som vi ble enige om er altså 2.

I oppgave (a) lurer vi på hvor mange ganger går opp i . Vi kan løse dette problemet på forskjellige måter. Her har vi presentert tre mulige ideer, kanskje har du en fjerde vei?

Metode 1 Ved å bruke regelen:

Metode 2

108

01.01.2000 Ved å tegne svaret:

Av illustrasjonen ser vi at det er plass til fire sjettedeler i det området som er

stort.

Metode 3 Ved å resonnere ved hjelp av tidligere kunnskap. Vi lurer på hvor mange plass til i

. I dette tilfelle velger vi å gjøre om

- deler det er

til sjettedeler slik:

Spørsmålet er nå hvor mange sjettedeler det er plass til i fire sjettedeler? Svaret må altså være 4.

Bevis for regel 3 Regel 3 kan ved hjelp av bokstaver skrives slik: . Bokstavene a, b, c, d er fire ukjente tall. Brøk er også divisjon. Vi kan skrive 12:4 eller . Begge disse uttrykkene har samme verdi, nemlig 3. Vi benytter oss av dette faktum når vi beviser regelen vår:

Regelen kan lett anvendes selv om det ene tallet ikke er brøk. Følgende eksempel viser slike tilfeller:

Eksempel a)

109

01.01.2000

b) Kommentar I (b) ser vi at vi kan stille følgende spørsmål til delingsstykket: Hvor mange ganger går opp i 4? Eller vi kan være enda mer konkret: Anta at du har fire liter melk som skal fylles opp i

liter-kartonger med melk. Hvor mange kartonger trenger du?

Vi kan resonnere på ulikt vis:

For hver liter bruker vi tre kartonger. Siden vi har fire liter må vi bruke 12 kartonger. Vi kan også tegne opp en tallinje som vist under og telle oss til svaret

Enheter

Det første som gjøres i Norge med en nyfødt er å måle og veie den. Vekten blir oppgitt i gram og lengden i centimeter. Dette er to av de syv grunnleggende måleenheter i det internasjonale målesystemet (SI), også kalt det metriske målesystem. Det metriske målesystemet er det mest utbredte målesystemet i hele verden. Det baserer seg på følgende syv grunnleggende måleenheter: Meter for lengde. Kilogram for masse. Sekund for tid. Ampere for elektrisk strøm. Kelvin for temperatur. Mol for stoffmengde. Candela for lysstyrke. Stadig framgang som resultat av ny teknologi, gjør at det metriske systemet fortløpende modifiseres. Gamle enheter oppdateres som et resultat av måleinstrumentenes forbedrede presisjon samtidig som nye enheter opprettes. Det utledes også nye enheter fra de syv grunnleggende. Arealenheter og volumenheter er eksempler på avledete enheter av

110

01.01.2000 lengdeenheten. I dette kurset skal vi konsentrere oss om lengdeenheter, arealenheter, volumenheter og masseenheter. Til slutt skal vi se på det imperiske målesystemet. Lengdeenheter

Hvor langt er det fra Bergen til Oslo? Hvor smalt skal garderobeskapet være for at det ikke skal blokkere døråpningen? Dette er eksempler på spørsmål som de fleste av oss både har stilt og besvart. Alle slike spørsmål dreier seg om lengde, et måltall som uttrykker endimensjonal utstrekning. I det vi oppgir svaret, angir vi antall lengdeenheter. I første omgang skal vi ta en titt på det metriske målesystemets lengdeenheter. Grunnenheten i det metriske målesystemet for lengde eller avstand er en meter (m). Denne er bestemt ved en presis fysisk definisjon. Avledete lengdeenheter er blant annet desimeter, centimeter og milimeter. Hvordan de forholder seg til grunnenheten, ser du her: . Forstavelsen kilo (forkortes k) betyr tusen, og derfor er

På grunn av prefiksene får måleenhetene ganske lange navn og derfor har hver av dem også en standardisert forkortelse: m står for meter. dm står for desimeter. cm står for centimeter. mm for millimeter. Lengde 1

1 km = 1000 m

For de fleste praktiske formål vil enhetene nevnt ovenfor være tilstrekkelig. Men det finnes avstander som er så små at millimeter ikke er noe godt mål, for eksempel avstanden mellom de elektroniske komponentene i en prosessor i en moderne datamaskin, der avstanden mellom transistorer i prosessorkjernen måles i milliondels millimeter, kalt nanometer. Tilsvarende finnes avstander som er så store at kilometer blir et forsvinnende lite mål. Eksempelvis avstanden mellom jorda og Alfa Centauri, som er stjerna nærmest jorda (bortsett fra vår egen sol). Avstanden til Alfa Centauri er ca. 4 lysår. Ett lysår er den avstanden lyset tilbakelegger på ett år, og avstanden til Alfa

111

01.01.2000

Centauri er dermed mer praktisk.

km. Enheten lysår er i denne sammenhengen uten tvil

Arealenheter

Når vi måler størrelsen på en flate, måler vi arealet. Hvilke enheter bruker vi når vi skal finne ut om en seng passer inn på barnerommet eller om dusjkabinettet blir altfor stort for badet? En kvadratmeter er definert som størrelsen på et kvadrat som har lengde og bredde lik en meter. Et bedre ord ville kanskje være å kalle det et meterkvadrat.

Vi skriver en kvadratmeter som 1 m2. Det hevede 2-tallet hjelper oss til å huske at det er 1 m i to retninger. Vi vet at 1 m = 10 dm. Dermed finner vi ut at det er plass til 100 desimeterkvadrater i et meterkvadrat: ti rader med ti desimaterkvadrater i hver rad. Altså har vi denne viktige sammenhengen: 1 m2 = 100 dm2 . Tilsvarende finner vi at 1 dm2 = 100 cm2, og vi kan oppsummere: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm. 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 . Det er altså en million kvadratmillimeter i en kvadratmeter. Likeledes er det 1000 ganger 1000 = 1 million kvadratmeter i en kvadratkilometer: 1 km2 = 1 000 000 m2.

112

01.01.2000 Kort oppsummering gir:

Areal 1

100

dm2

100

cm2

100

mm2

Volumenheter

Melk selges i enliterskartonger, halvliterskartonger og til og med 0,25 liters-kartonger. En papircontainer er derimot 3 kubikkmeter. Men hva er egentlig en liter eller en kubikkmeter? Dette er to av volumenhetene i det metriske målesystemet. Romlegemer har utstrekning i tre dimensjoner (også kalt tredimensjonale legemer), og målet for dette kalles volum. Den grunnleggende enheten for volum er en kubikkmeter. En kubikkmeter er definert som det en terning med alle sider lik 1 meter rommer.

Vi skjønner at i en terning med sider på 1 m = 10 dm er det plass til ti lag med 100 desimeterterninger i hvert lag, altså i alt 1000. Og tilsvarende er det 1000 cm3 i 1 dm3: 1 m3 = 1000 dm3. 1 dm3 = 1000 cm3. Tilsvarende finner vi at det er 1000 kubikkmillimeter i en kubikkcentimeter. Kort oppsummering gir oss følgende tabell: Volum 1

1000

dm3

113

01.01.2000 1

dm3

1000

cm3

1000

mm3

Mange av oss er nok mer vant med liter, desiliter, centiliter osv. (som forkortes l, dl og cl) når vi snakker om volumer i dagliglivet. Hva er så sammenhengen? Jo, 1 liter er definert lik 1 dm3. Dette er meget viktig. Og det medfører at 1 m3 = 1000 liter. Det er 1000 kubikkcentimeter i en kubikkdesimeter. Det er 1000 milliliter i en liter. Det betyr at: 1 dm3 = 1 liter. 1 cm3 = 1 milliliter. Kort oppsummering gir oss følgende tabell: Volum 1

1000

liter

dm3

liter

cm3

milliliter

Før vi setter opp en tabell for hvordan liter forholder seg til desiliter, centiliter og milliliter, ser vi først på forkortelser for måleenhetene: l står for liter. dl står for desiliter. cl står for centiliter. ml står for milliliter. Volum 1

Dette betyr at .

114

01.01.2000 Masseenheter - fysikkens grunnenhet

Hvor mye veier en gjennomsnittlig norsk ti-åring? Når vi stiller denne typen spørsmål, er vi interessert i å få vite vekten til en norsk ti-åring. Vekt er ordet vi til daglig bruker for masse. Masse betyr materie- eller stoffmengde og er en av de grunnleggende egenskapene ved et legeme eller en gjenstand. I denne omgang skal vi se på de metriske måleenhetene for masse. Den grunnleggende måleenheten for masse er kilogram (kg). Det er viktig at kilogram er den eneste grunnenheten i det internasjonale målesystemet SI med et SI-prefiks. Dette betyr da at gram er en avledet enhet. Andre avledete massemåleenheter er blant annet hektogram og dekagram, og de forholder seg til kilogram på følgende måte:

Det er viktig å merke seg at tonn ikke er en SI-enhet. Det er imidlertid akseptert å bruke tonn i SI-sammenheng. På grunn av prefiksen som måleenhetene får, er vanligvis navnene ganske lange, derfor finnes det standardforkortelser for målenhetene: kg står for kilogram. hg står for hektogram. dg står dekagram. g står for gram. t står for tonn. En rask oppsummering av masseenheter: Masse 1

tonn

1000

Det imperiske målesystem

Til nå har vi sett på måleenhetene fra det metriske målesystemet. Selv om det er utbredt over store deler av verden, har det allikevel ikke tatt over helt for det imperiske målesystemet, som vi fortsatt finner i land som Storbritannia, USA, India, Australia, New Zealand, Irland, Sierra Leone og flere. De nevnte landene har det metriske målesystemet

115

01.01.2000 som det offisielle for eksempel på veiskilt samt drivstoff, men på folkemunne gjelder det imperiske målesystemet. Forskjellen mellom det metriske og det imperiske målesystemet er så stor at man ikke en gang kan lage et brød uten en del ekstraarbeid. Vi har hentet ut og oversatt ingrediensene fra en britisk oppskrift for brød, men vi har latt de originale måleenhetene stå. Listen over ingrediensene ser slik ut: fersk gjær lunken melk 1 pund hvetemel 1 teskje salt 1 oz smør Husk på at vanlige norske målebeger viser de metriske måleenhetene, slik at uten å kjenne til hvordan man gjør om de britiske måleenhetene til de metriske, kommer vi nok ikke langt med denne oppskriften. La oss derfor først ta en titt på det imperiske målesystemet, og deretter gjør vi om måleenhetene i oppskriften til de metriske. Det er også viktig å legge merke at selv om navnet på målesystemet i Storbritannia og USA er det samme, finnes det forskjeller i betydningen av noen målenheter. Lengdeenhetene i de to imperiske systemene er like, mens volumenhetene heter det samme, men betydningen er forskjellig. Følgende tabell viser de imperiske lengdeenhetene i forhold til de metriske: Britisk/Amerikansk

Metrisk

Lengde 1

inch

25,4

c m

foot

30,479

c m

yard

91,44

c m

mile

1609,3 44

Britisk til metrisk

Amerikansk til metrisk

Volum

116

01.01.2000

fluid ounc e (oz)

21,41

m l

pint (pt)

568,2

m l

quar t (qt)

1,136

gallo n (gal)

4,546

ounc e (oz)

28,35

poun d (lb)

453,6

ston e (st)

6,35

k g

ton (t)

1016

29,57 3

m l

473,17 6

m l

946.35 2

m l

3,785

m l

28,349

453,6

907,18

k g

Masse

Siden vi finner forskjeller mellom de to imperiske målesystemer, er det nok ikke overraskende at vi finner tilfeller der enhetene kan hete det samme i det metriske og ikke-metriske målesystemet og ha forskjellig betydning. Allikevel er det viktig å huske på dette. Et eksempel er en mil. I Norge er 1 mil det samme som 10 kilometer. Dersom man skulle derimot brukt det i en samtale med en brite eller amerikaner, vil det bli forstått som 1,6 kilometer. Nå ser vi på oppskriften. Ved hjelp av tabellen gjør vi om de imperiske måleenhetene til de metriske: fersk gjær lunken melk hvetemel 1 teskje salt

117

01.01.2000

smør

Geometri Introduksjon

Ordet geometri kommer fra gresk og betyr jordmåling. I alle kulturer finner vi aktiviteter som gjelder lokalisering, plassering og utforsking av fysiske figurer og former. Dette har vært en kilde til innsikt i geometri. Ikke minst har menneskene hatt behov for å kunne måle og angi størrelser – lengder og avstander, og å måle og beregne flater og utstrekning i rom. Historisk har geometrien også en helt annen og viktig side: Den har blitt utviklet som et systematisk, logisk oppbygd fagområde, med setninger som bygger på hverandre, med bevis og begrunnelser. Vi vil starte med en kort oversikt over de viktigste enhetene for mål av lengde, areal og volum. Deretter tar vi for oss egenskaper ved geometriske former og figurer, og beregninger knyttet til dette. En annen sentral idé i geometrien, nemlig avbildninger og symmetri, går ut over rammene for dette kurset. Vi kan kanskje si at vi har tar for oss en statisk side ved faget geometri, mens avbildninger og symmetri mer gjelder en dynamisk side av emnet.

Noen grunnleggende geometriske begreper

De fleste har nok en intuitiv oppfatning av hva et punkt er, og vet at et punkt ikke har noen utstrekning. Og hva er en linje? Kanskje vi tenker: Ei linje er en lengde uten bredde, ei linje er uendelig lang. Den har ingen begynnelse og ingen slutt. Et linjestykke har derimot begrenset lengde, og linjestykket er avgrenset av to punkter. Her vil vi se litt nærmere på blant annet hva et linjestykke er og hva en vinkel er. Vi prøver å presisere litt, for å ha en klar oppfatning av språkbruken rundt disse grunnleggende begrepene. Et punkt knyttes til en fast posisjon, og et punkt har ingen utstrekning. Vi tegner et punkt som en prikk eller et kryss, og vi bruker vanligvis en stor bokstav som navn på et punkt, for eksempel A, B. Ei rett linje, som vanligvis bare kalles ei linje, har posisjon og retning. Den har utstrekning i én dimensjon. Ei linje fortsetter uendelig framover og bakover. Vanligvis bruker vi liten bokstav som navn på ei linje: l, m, ... Ei linje inneholder uendelig mange punkter. Et plan har en uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate. Plangeometri dreier seg om punkter, linjer og andre figurer som ligger i ett og samme plan.

118

01.01.2000

Det fins mange flere mer eller mindre kompliserte geometriske begreper. Vi tar med noen viktige: Et linjestykke er en sammenhengende bit av ei linje, avgrenset av to endepunkter. Vi navngir et linjestykke vanligvis ved de to endepunktene: AB, CD, ... Et punkt på ei linje deler denne i to stråler, som bare har dette punktet felles. To stråler i forskjellige retninger ut fra ett felles endepunkt danner en vinkel. Det felles punktet kalles vinkelens toppunkt, og strålene vinkelbein. Området mellom vinkelbeina kalles vinkelområde. Vinkler som har felles toppunkt, og som har vinkelbein i stikk motsatt retning, kalles toppvinkler. To linjer som ligger i samme plan og som ikke skjærer hverandre, er parallelle. En kurve i planet kan illustreres ved en strek på papiret, tegnet uten å løfte blyanten. Hvis kurven ikke har endepunkter, kalles den en lukket kurve. En kurve kalles enkel hvis den ikke krysser seg selv. Enhver enkel, lukket kurve deler planet i to områder, som kalles kurvens ytre og indre område. En mangekant er en enkel, lukket kurve satt sammen av linjestykker, som vi kaller mangekantens kanter eller sider. En trekant er en mangekant med tre sider, og tilsvarende har vi firkant, femkant, sekskant osv. I en regulær mangekant er alle sidene like lange og alle vinklene er like store. En sirkel består av alle punkter i planet som har en gitt, fast avstand fra ett bestemt punkt, sirkelens sentrum.

På figuren over er det et utsnitt av ei linje l. På l er det merket av tre punkter A, B og C. Disse avgrenser tre linjestykker: ett linjestykke mellom A og B, ett mellom B og C, og ett mellom A og C. Linjestykkets start- og endepunkt bestemmer dets navn. Med andre ord kan vi kalle linjestykkene på figuren for AB, BC og AC. Hvilket punkt som kalles startpunkt og hvilket som kalles sluttpunkt er uten betydning, AC og CA angir det samme linjestykket. Begrepet linje brukes i dagligtalen litt om hverandre om linjer, stråler og linjestykker. Når det gjelder begrepet vinkel, har vi også et mer dynamisk begrep enn det som er referert over. Da er det knyttet til å rotere. Dette gir en innfallsport til et vinkelmål med fortegn, for å markere dreieretning: Vi ser på to stråler, s og t, med samme startpunkt A. La oss forestille oss at strålene i utgangspunktet dekker hverandre. Det er da ingen vinkel mellom dem, eller vi kan si at vinkelen er 0o (null grader). Deretter lar vi s ligge fast, og lar t rotere om A mot visernes

119

01.01.2000 dreieretning på klokka til den ligger slik som på figuren. Det er nå en vinkel v mellom de to strålene.

På neste tegning, har vi latt t rotere et helt omløp om A. Det er så langt vi kan rotere før vi begynner på nytt igjen.

En slik rotasjon helt rundt danner en vinkel på 360o. Som vi ser av tegningen spenner vinkelen over en hel sirkel. Sirkelen er dermed delt opp i 360º. Forskjellige typer av vinkler

Det finnes mange forskjellige typer vinkler: rette vinkler, spisse vinkler, supplementvinkler og mange flere. I dette avsnittet vil ta en titt på de forskjellige vinkeltypene samt parallelle linjer. Rette vinkler

En rett vinkel er akkurat 90º, fjerdeparten av et helt omløp. Vi tegner vanligvis en bue for å markere en vinkel. Men når vinkelen er rett, altså 90º, markeres vinkelen med et lite kvadrat, som angitt i figuren.

Spiss vinkel

120

01.01.2000

En vinkel som er mellom 0º og 90o kalles en spiss vinkel.

Stump vinkel

En vinkel som er mellom 90º og 180º kalles en stump vinkel.

Supplementvinkler, nabovinkler og komplementvinkler

To vinkler som til sammen er på 180º har et spesielt navn: De kalles supplementvinkler. To stråler i motsatte retninger ut fra ett punkt på ei rett linje danner en 180-graders vinkel. En tredje stråle ut fra samme punkt deler en 180-graders vinkel i to, og de to vinklene kalles nabovinkler. Nabovinkler er dermed supplementvinkler som har en spesiell plassering i forhold til hverandre: De har ett vinkelbein felles.

To vinkler som til sammen er på 90º kalles komplementvinkler.

Parallelle linjer

121

01.01.2000

Når to linjer kalles parallelle er avstanden mellom linjene konstant. Merk at avstanden måles vinkelrett på linjene, ikke på skrå.

Uansett hvor vi måler avstanden mellom l og m, så vil fortsatt avstanden være den samme. At linjene l og m er parallelle, skrives l || m. Samsvarende vinkler

Når ei linje l skjærer to andre linjer, m og n, kommer det fram mange vinkler. Vinkler som har forskjellig toppunkt, men der begge har høyre eller venstre vinkelbein langs overskjæringslinja l, kalles samsvarende vinkler. Da er følgende en grunnleggende sammenheng: Samsvarende vinkler er like store hvis og bare hvis de to overskårne linjene er parallelle.

Vi kan se at det må være slik ved å rotere hele figuren 180° om midtpunktet mellom de to skjæringspunktene.

Vi kjenner mange geometriske former og figurer. Figurene kan ha spesielle navn og interessante egenskaper. I de kommende avsnittene vil vi først gi litt presise beskrivelser av og se på noen egenskaper hos todimensjonale figurer: trekanter, firkanter, andre mangekanter, og sirkler. Deretter vil vi ta for oss figurenes omkrets og areal. Seinere vil vi gå over til romfigurer, og da er det aktuelt å finne overflateareal og volum.

Trekant og firkant

Trekanten er den enkleste mangekanten. Noen spesielle trekanter har egne navn: a) I en likebeint trekant er minst to sider like lange. b) I en likesidet trekant er alle sidene like lange.

122

01.01.2000 c) Spiss trekant: Her er alle tre vinklene mindre enn 90°. d) Rettvinklet trekant: En av vinklene er 90°. e) Stump trekant: En vinkel er større enn 90°.

I en likebeint trekant (som trekant a)) er to sider like lange. Den tredje siden kalles ofte grunnlinja. En likesidet trekant (se trekant b)) er også likebeint. I en likesidet trekant er alle vinklene like store. En og samme trekant kan være både likebeint og rettvinklet. Da er to av vinklene 45°. Alle likebeinte rettvinklede trekanter har lik form. Firkant

En ’allminnelig’ firkant i geometrisk sammenheng har ingen spesielle egenskaper utenom det å være en firkant. Den kan da for eksempel se slik ut:

Dette kalles også en uregelmessig firkant. I dagliglivet mener vi vel oftest noe annet med uttrykket ’allminnelig firkant’, det betyr gjerne et rektangel. Av firkanter merker vi oss disse spesielle typene: a Trapes: Minst to sider er parallelle. b Parallellogram: Motstående sider er parvis parallelle. c Rektangel: Alle fire vinklene er rette.

123

01.01.2000 d e

Rombe: Alle sidene er like lange. Kvadrat: Regulær firkant, det vil si alle vinklene er rette og alle sidene like lange.

Legg merke til at ethvert parallellogram er også et trapes. Alle egenskaper som trapeser har arves av de mer spesielle firkantene, som parallellogram, rektangel og så videre. På samme måte er ethvert kvadrat et rektangel – kvadratene har jo fire rette vinkler.

Kvadratet er firkanten med de mest spesielle egenskapene. I et kvadrat er alle sidene like lange, og vinklene i hvert av hjørnene er rette (altså 90º). Vi ser at et kvadrat er • en rombe fordi alle sidene er like lange • et rektangel fordi alle de fire vinklene er rette • et parallellogram fordi motstående sider er parvis parallelle • et trapes fordi minst to sider er parallelle

Areal av mangekanter

124

01.01.2000 Standardenheten for areal er størrelsen på et kvadrat med sidekanter lik 1 m, og denne størrelsen kalles en kvadratmeter. Her skal vi se på hvordan vi finner arealet for et kvadrat, et rektangel, generelle trekanter samt parallellogram og trapes. Kvadrat

Ønsker vi å finne arealet til et kvadrat med vilkårlig lange sidekanter, må vi finne ut hvor mange kvadratmeter vi kan plassere i kvadratet. Eksempel 1

Et kvadrat har sidekanter på 3 m. Hva er arealet?

Spørsmålet blir: Hvor mange kvadratmeter kan plasseres inni kvadratet? Vi kan dele opp i kvadratiske ruter med størrelsen 1 m2 ved å dele alle sidene i tre like store deler.

Vi kan altså plassere 9 kvadratmeter inni et kvadrat med sider på 3 m. Arealet til dette kvadratet er altså 9 m2.

Vi oppdager at vi kan regne ut antall ruter vi kan plassere inni kvadratet ved å gange sidekantens lengde med seg selv. Vi kan dermed regne ut arealet A av et kvadrat ved hjelp av formelen:

125

01.01.2000

Bokstaven l betyr her størrelsen på sidekantene. Rektangel

Et rektangel er 8 cm langt og 5 cm høyt. Hva er arealet?

Vi kan plassere inn fem rader med centimeterkvadrater, og i hver rad er det plass til åtte slike småkvadrater. Det betyr i alt 40 centimeterkvadrater. Altså er arealet til rektangelet 40 cm2. Når vi tenker på rutemønster, slik som vi gjorde med kvadratet, forstår vi at vi kan regne ut arealet til ethvert rektangel ved å gange sammen målene for lengde og bredde: Arealet A er lik lengden l ganget med bredden b, eller

Før vi tar for oss areal av parallellogram og trapes, vil vi studere trekanters areal. Vi vil først undersøke en rettvinklet trekant. Rettvinklet trekant

Vi legger merke til at en rettvinklet trekant alltid kan settes sammen med en kopi av seg selv slik at de danner et rektangel.

Det oransje arealet er like stort som det røde arealet. I en trekant kaller vi gjerne ei sidelengde for grunnlinje g, og avstanden fra motstående hjørne til grunnlinja kaller vi høyde h. Da blir arealet til hele det rød-gule rektangelet lik

, og trekantens areal må

126

01.01.2000 være .

Generelle trekanter

Vi ser på en tilfeldig trekant.

Her er høyden h lengden til linjestykket som trekkes vinkelrett ned på grunnlinja fra motstående hjørne. Nå kan vi dele opp trekanten ABC i to rettvinklede trekanter.

De to rettvinklede trekantene har grunnlinjer g1 og g2, og g1 + g2 = g. Vi legger sammen arealet til de to rettvinklede trekantene og får

. Siden g1 + g2 = g , finner vi:

Eksempel 1

En trekant har grunnlinje 8 cm og høyde 3 cm.

127

01.01.2000

Vi får:

Parallellogram

Parallellogrammet er definert som en firkant der motstående sider er parallelle. Da er disse sidene også parvis like lange, og vinklene er parvis like store.

Her er sidelengdene a = c og b = d. For vinklene gjelder at

Arealet til et parallellogram finner vi ved å dele det opp: Diagonalen deler parallellogrammet i to nøyaktig like trekanter.

Arealet til parallellogrammet er summen av arealene til de to trekantene.

. Arealet til et parallellogram er altså lik lengden (grunnlinjen) multiplisert med høyden. Men merk: Denne gangen finner vi ikke arealet ved å gange sammen to av sidene i

128

01.01.2000 parallellogrammet.

Trapes

Et trapes er en firkant hvor (minst) to av sidekantene er parallelle. Arealet finner vi på samme måte som for parallellogram: Vi deler opp i to trekanter.

De to trekantene kan ha forskjellig grunnlinje, men de har samme høyde h siden a || b. Vi legger sammen arealene av trekantene, og får:

. Vi ganger altså høyden med gjennomsnittet av lengdene til de to parallelle sidekantene. Eksempel 2

Vi finner at trapeset på figuren har areal

Alt om sirkel Her skal vi se på hva en sirkel er, hva og arealet av en sirkel.

står for og hvordan man kan regne ut omkretsen

Sirkel

En sirkel deler planet i to områder, akkurat som alle mangekanter gjør det: en indre sirkelflate og et ytre område. Noen ganger mener vi sirkelflaten når vi sier sirkel. For

129

01.01.2000 eksempel er det helt vanlig å snakke om arealet til en sirkel. Selve kurven som danner sirkelen, kalles da periferien. Det er noen viktige begreper som brukes i forbindelse med sirkler: a Et linjestykke fra sentrum til et punkt på en sirkel kalles en radius. b To radier sammen med sirkelbuen mellom dem, begrenser en sektor. c Ei linje som skjærer sirkelen i to punkter, kalles en sekant. d En korde er et linjestykke mellom to punkter på sirkelen. En korde som går gjennom sentrum, er en diameter. e Ei linje som bare berører sirkelen i ett punkt, kalles en tangent til sirkelen.

Vi legger merke til to egenskaper ved sirkelen: − Enhver linje gjennom sentrum deler sirkelen i to like deler, halvsirkler. − Hvis punktene A og B ligger på en sirkel, og O er sentrum i denne sirkelen, så bestemmer punktene en trekant AOB som er likebeint. Tallet

Alle sirkler har samme form. Det betyr at forholdet mellom omkrets og diameter er det samme for alle sirkler. Dette forholdet har fått et spesielt symbol, den greske bokstaven (pi). Altså: er det tallet vi får til svar hvis vi måler omkretsen på en sirkel og deler denne på diameteren i den samme sirkelen. Hvis vi prøver å gjøre målinger på sirkler og for å finne ut hvor stort tallet er, vil vi få et svar litt i overkant av 3. I virkeligheten kan vi ikke skrive helt eksakt som et desimaltall, men gode tilnærminger til

er 3,14 og

130

01.01.2000

Omkrets og areal av en sirkel

Forholdet mellom omkrets og diameter i sirkler er konstant, og lik tallet . Siden diameteren er dobbelt så stor som radien, blir da forholdet mellom omkretsen og radien lik

. Vi har altså at .

For å beregne arealet til ei sirkelflate, tenker vi oss at vi deler sirkelflaten inn i mange like store sektorer, klipper disse ut og plasserer dem ved siden av hverandre slik:

Hvis vi gjør vi disse sektorene svært smale, ser vi at sirkelens areal vil bli det samme som arealet til et parallellogram, eller egentlig som grensetilfelle ved uendelig mange uendelig smale sektorer, et rektangel med lengde a lik halvparten av sirkelens omkrets, og bredde b lik sirkelradien.

Det betyr at vi får sirkelens areal

Resultat er at formelen for arealet til en sirkel med radius r blir:

Eksempel på bruk av formlene for areal og omkrets av sirkel

131

01.01.2000

En sirkel har radius 4 dm. Vi vil finne omkrets og areal. Vi setter inn i formlene og får:

Sirkelsektor

Noen ganger kan det være bruk for å beregne arealet av en sirkelsektor.

Hele sirkelbuen kan deles inn i 360o. Hvis en sektor spenner over en bue med gradtall v (det betyr at vinkelen som dannes av de to radiene er lik v), så er arealet av sektoren like stor del av hele sirkelens areal som buen er av hele sirkelens omkrets.

. Brøken

angir hvor stor del av sirkelen sirkelsektoren utgjør. En sektor med

buelengde på én grad har dermed et areal som er lik . Vinkelen v angir hvor mange slike deler sirkelsektoren består av. På figuren har vi kalt buelengden for b. Dersom vi kjenner b, kan vi også finne arealet av sirkelsektoren uttrykt ved denne. Hele omkretsen har jo en lengde på

, og arealet til sektoren blir .

Legg merke til at formelen likner formelen for arealet av en trekant med grunnlinje b og høyde r.

132

01.01.2000

Konstruksjon av figurer

Ved hjelp av passer og linjal kan vi lage mange figurer. Alle disse konstruksjonene baserer seg på de fundamentale egenskapene ved en linjal og en passer: Med linjalen kan vi trekke rette linjer, og med passeren kan vi lage sirkler og sirkelbuer. I dette avsnittet skal vi se på hvordan vi konstruerer forskjellige vinkler og nedfeller normaler. Før vi setter i gang med konstruksjoner, er det viktig å være oppmerksom på en ting. I dette avsnittet vil vi vise hver konstruksjon skritt for skritt. Og for å unngå misforståelser, vil vi sette navn på (hjelpe)punkter. Navnene er store bokstaver som A, B, C og så videre. Når man først er litt dreven i å konstruere, trenger man ikke å markere disse hjelpepunktene slik vi gjør det her. Konstruksjon av vinkel på 60 grader

Nå skal vi se på hvordan vi kan konstruere en 60º-vinkel. Tegn en linje ved å bruke en linjal. Merk av et punkt midt på denne linjen og kall det for A. Sett passerspissen i punktet A og slå en bue som krysser linjen din til høyre for punktet A. Punktet der buen krysser linjen til høyre for A, kaller du B.

Behold avstanden i passeren og sett den i punktet B. Slå en ny bue som skjærer den gamle. Punktet der disse to buene krysser hverandre, kaller du for C. Tegn en linje som går fra punktet A og gjennom punktet C.

Gratulerer! Nå har du konstruert en 60º-vinkel BAC.

133

01.01.2000

Oppsummering: Vi utfører dette i prinsippet ved å sette av tre punkter som kan være hjørner i en likesidet trekant. Med passeren kan vi plassere tre punkter i like avstander fra hverandre. Disse tre punktene vil da danne hjørnene i en likesidet trekant, og da vet vi at vinklene er på 60 grader. Halvering av vinkler

Alle vinkler kan halveres ved hjelp av passer og linjal. Nå skal vi se på hvordan vi gjør dette. Tegn eller konstruer en vilkårlig vinkel. Sett passerspissen i toppunktet og slå en bue. Buen vil krysse hvert av vinkelbeina i et punkt. Det ene punktet kaller vi G og det andre E.

Sett passerspissen i punktet G og slå en ny bue. Behold avstanden i passeren, sett passerspissen i E og slå en ny bue. Buene krysser hverandre i et punkt. Kall dette punktet for F.

Tegn en linje som går fra toppunktet og gjennom F.

134

01.01.2000

Gratulerer! Nå har du halvert vinkelen du begynte med.

Oppsummering: Vi lager en sirkelbue med sentrum i vinkelens toppunkt, og så bruker vi passeren til å lage et kryss som markerer et punkt som er like langt fra begge de to punktene hvor sirkelbuen skjærer vinkelbeina. Gjennom dette punktet går da halveringslinja for vinkelen.

Konstruksjon av 90 graders vinkel

Vi kan konstruere en vinkel på 90o. Den enkleste måten vi kan gjøre det på, er ved å halvere 180o (vinkelen til den rette linja). Legg også merke til at vi tegner et lite kvadrat i stedet for en bue når vi ønsker å vise på en tegning at en vinkel er 90o. Tegn en rett linje. Merk av et punkt A på linjen. Sett passerspissen i punktet A og slå en bue. Buen krysser linjen både til venstre og til høyre for A. Kall disse punktene for B og C.

Sett passerspissen i punktet B og slå en bue. Behold avstanden i passeren, sett passerspissen i punktet C og slå en bue til. Buene krysser hverandre i et punkt. Kall dette punktet for F. Tegn en linje som går fra A og gjennom F.

135

01.01.2000

Gratulerer! Nå har du konstruert en 90º-vinkel. Legg merke til at denne konstruksjonen tar utgangspunkt i halveringen av 180o slik at vi faktisk har konstruert to 90o-vinkler, CAF og BAF.

Nedfelle normal fra et punkt ned på ei linje

Situasjonen er at vi har ei rett linje l og et punkt C utenfor linja. Så vil vi konstruere den linja som går gjennom C og står vinkelrett på l. Denne linjen kalles for normalen til linjen l. Sett passerspissen i punkt C og slå en bue som krysser linjen l i to punkter. Kall disse punktene for D og E.

136

01.01.2000 Sett passerspissen i D og slå en bue på den siden av linjen l der punktet C ikke ligger. Behold avstanden i passeren, sett passerspissen i punktet E og slå en bue til (tilsvarende som du gjorde i punktet D). Buene krysser hverandre i et punkt. Kall dette punktet for F. (Dersom buene ikke krysser hverandre, må du ta større avstand i passeren når du slår den første buen.) Tegn en linje som går gjennom P og F.

Gratulerer! Nå har du felt ned normalen fra punktet C ned på linjen l.

Midtnormal

Hvis vi skal dele et linjestykke i to nøyaktig like deler, kan vi konstruere en midtnormal til linjestykket.

137

01.01.2000

Vi plasserer først passerspissen i ett av endepunktene for linjestykket, for eksempel A. Passeråpningen må være større enn halvparten av linjestykkets lengde (ellers vil ikke buene krysse hverandre). Marker to passende buer omtrent over midten på AB. Slå en ny bue fra B med den samme passeråpningen. Buene krysser hverandre slik at vi får to punkter. Da tegner vi en linje som går gjennom disse to punktene. Denne linjen er midtnormalen til linjestykket AB.

Vinkelsum i en mangekant

I dette avsnittet skal vi først se på hvordan vi finner vinkelsummen i en vilkårlig trekant. Deretter ser vi på vinkelsummer i firkanter, femkanter og så vilkårlige mangekanter. Til slutt ser vi på hva en regulær mangekant er. Hvis vi tegner en tilfeldig trekant og måler vinklene med ei gradskive, vil vi se at summen av vinkelmålene blir 180º. At det nødvendigvis må være slik, kan vi innse på følgende måte: La trekant ABC være gitt. Trekk ei linje gjennom et hjørne, for eksempel C, parallell med motstående side AB. Da kommer det fram samsvarende vinkler som er like store. Er u og v størrelsen på vinklene i hjørnene A og B, vil disse komme igjen i C, og de tre vinklene i trekanten vil til sammen danne ei rett linje: u + v + w = 180°. Dette er nettopp summen av vinklene i trekanten.

En konsekvens av dette blir at i en likesidet trekant er hver vinkel 60°.

138

01.01.2000

Enhver firkant kan deles inn i to trekanter.

Vinkelsummen i den første trekanten,

, er 180o, altså a + b + c = 180o . Tilsvarende

for den andre trekanten. Vinkelsummen i firkanten ABCD blir dermed Dette gjelder for alle firkanter, uavhengig av deres form. I en femkant er likeledes vinkelsummen

. Dette kan vi generalisere til

mangekanter med så mange sider vi vil. I en sekskant blir det

Regulære mangekanter

I en regulær trekant er alle vinklene like store. Dermed er en regulær trekant det samme som en likesidet trekant, og da er hver vinkel 60°. En regulær firkant er et kvadrat, og hver vinkel er på

. I en regulær femkant får vi

Pytagoras' setning

Pytagoras' setning brukes hyppig i løsningen av geometriske problemer knyttet til rettvinklete trekanter. I dette avsnittet skal vi se på hva Pytagoras' setning er, beviset for Pytagoras' setning og vi skal selvfølgelig se på et eksempel på hvordan den brukes. Den greske matematikeren Pytagoras levde i det sjette århundret før Kristus. Han grunnla en slags filosofisk og religiøs skole. Pytagoreerne mente tall var nøkkelen til å forstå verden, og at alt kunne måles med hele tall, så lenge man fant de rette enhetene. Det fortelles at oppdagelsen av de irrasjonale tallene ble et sjokk for pytagoreerne, som forsøkte å holde oppdagelsen hemmelig.

139

01.01.2000 Pytagoreerne var ikke de første som kjente innholdet i læresetningen som har navn etter Pytagoras. Egypterne og babylonerne kjente til setningen og brukte den lenge før Pytagoras levde.

I en rettvinklet trekant kalles hver av de to korteste sidekantene for katet. Den lengste siden kalles hypotenus.

En vanlig motivasjon for setningen er følgende tegning av den kjente 3-4-5-trekanten:

Vi ser at kvadratet over de to katetene til sammen har samme areal som kvadratet av hypotenusen.

Pytagoras’ setning lyder:

Eller uttrykt mer utførlig: I en rettvinklet trekant er summen av arealene til kvadratene på katetene lik arealet til kvadratet på hypotenusen.

140

01.01.2000

Den omvendte setningen til Pytagoras' setning gjelder også: Dersom vi har en trekant med sidelengder a, b og c som oppfyller kravet , så er dette en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen er motstående til den lengste siden.

Det er viktig å huske at Pytagoras’ setning kun gjelder for rettvinklede trekanter. Setningen gjelder ikke for trekanter som ikke er rettvinklede.

Bevis for Pytagoras’ læresetning

Det fins hundrevis av mer eller mindre forskjellige bevis for Pytagoras’ setning. Ideen i det beviset vi tar med her, er å regne ut arealet innefor ett og samme kvadrat på to forskjellige måter.

Vi skal sammenlikne to uttrykk for arealet av de fire (gule) trekantene. Vi finner først arealet A av de fire trekantene ved å beregne arealet av hele det store kvadratet, som er (a + b)2, og så trekke fra arealet c2 av det lille (blå) kvadratet:

141

01.01.2000

Deretter beregner vi arealet av de fire (gule) trekantene direkte:

Men det betyr at

som gir

Og det er jo nettopp innholdet i Pytagoras’ setning.

Eksempel 1

Vi så over på en rettvinklet trekant med kateter på 3 cm og 4 cm. Kontroller at hypotenusen da ifølge Pytagoras setning må være 5 cm lang.

Vi velger nå en rettvinklet trekant hvor begge katetene er 2 cm. Hvor lang er hypotenusen?

142

01.01.2000

For å finne lengden c cm til hypotenusen bruker vi Pytagoras’ setning:

Det betyr at lengden til hypotenusen er

Formlikhet og kongruens

Hva betyr det når vi sier at to figurer er formlike? Her skal vi se på to eksempler på hvordan vi anvender formlikhet i en praktisk sammenheng. I tillegg tar vi en titt på begrepet kongruens. To figurer er formlike dersom de har nøyaktig samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse.

I to formlike figurer er forholdet mellom to samsvarende lengder konstant. Vi ser på en praktisk anvendelse av formlikhet.

143

01.01.2000 Eksempel 1

Vi skal bruke en pinne, et målebånd og sola til å måle høyden på et stort tårn.

Vi har en pinne med høyde h1, som vi plasser loddrett. Så måler vi lengdene l1 og l2 av skyggene som pinnen og tårnet kaster på bakken. La oss si vi fikk l2 = 30 cm, h1 = 120 cm og l2 = 15 m. Vi ser at vi har to formlike trekanter, og da er forholdet mellom de samsvarende sidene likt:

Vi ganger med h1 på begge sider av likhetstegnet og får

Så ved å måle lengden av en pinne og to skygger kan vi regne ut høyden til et 60 meter høyt tårn!

For å bruke at forhold er like, må vi selvsagt forsikre oss om at figurene vi regner på, virkelig er formlike. For to trekanter er det tilstrekkelig å vise at to av vinklene er parvis like store. Siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180o, må da også den tredje vinkelen være den samme i begge trekantene, og trekantene må ha samme form. Vi skal se på et eksempel, som også har interessante konsekvenser. Eksempel 2

144

01.01.2000

På figuren ser vi tre trekanter: vi forutsetter at

og at CD er en normal ned på AB.

er formlik med ha

. Disse trekantene er formlike når

fordi

er felles og

. Da må vi også

, og trekantene formlike.

På samme måte finner vi at

er formlik med

fordi

er felles og

. Siden både formlike med hverandre.

er formlike med

, må også

være

Av dette kan vi trekke ut at forholdene mellom AD og DC er likt med forholdet mellom CD og DB, altså

Da får vi videre at

En geometrisk tolkning av det siste er følgende: Hvis vi har et rektangel med sidelengder AD og DB, så har dette rektanglet like stort areal som et kvadrat med sidelengder DC, når C er kommet fram som på figuren foran. Lengden DC kalles mellomproporsjonalen mellom de to andre lengdene.

Generelt for tall: Hvis tre tall a, b og c er slik at mellom a og b.

, kalles c mellomproporsjonalen

Kongruens

Hvis vi har to formlike figurer som også er like store, sier vi at figurene er kongruente. Kongruente figurer dekker hverandre helt.

145

01.01.2000

For trekanter kan vi sette opp kriterier som garanterer kongruens. Det betyr at to trekanter er kongruente dersom ett av disse kravene er oppfylt: Sidene i de to trekantene er parvis like lange. To sider og den mellomliggende vinkelen er like store. To vinkler og den mellomliggende siden er parvis like store.

Dette betyr også at dersom vi har opplysninger om en trekant tilsvarende ett av kriteriene, kan trekanten kun konstrueres på kun én måte. Den er med andre ord entydig bestemt.

Romfigurer

For todimensjonale geometriske figurer som sirkler, trekanter og firkanter var vi interessert i å kunne beregne arealer og omkretser. For romfigurer er det overflatearealer og volumer det er aktuelt å finne ut av. Å beregne overflatearealer gjøres ved direkte anvendelser av de resultatene vi har om arealer for plane figurer. Vi deler ofte opp overflaten av romfiguren i to eller flere plane figurer.

Når det gjelder volum, må vi igjen gå ut fra definisjonen av begrepet volum, og så prøve å bryte problemet ned til delfigurer som vi kjenner.

Terning

En terning består av seks kvadratiske sideflater. Sett sidelengden lik s.

146

01.01.2000

Overflatearealet blir summen av arealene til de seks kvadratiske sideflatene som hver har areal s2. Og terningens overflateareal er O = 6s2.

At sidelengden er s betyr at det er plass til s volumenheter langs hver kant. Da innser vi at i hele terningen blir det plass til terningen er altså V = s3.

enhetsterninger i alt. Volumet av

Resultat:

Rett prisme

Et rett prisme med rektangulær grunnflate (en kuboide) består av seks sideflater, som alle er rektangler og parvis like store. Prismet kan dermed beskrives ved tre størrelser: lengden l, bredden b og høyden h.

Overflatearealet er summen av arealene til de seks rektanglene:

147

01.01.2000

Volumet av prismet får vi, ved å resonnere nøyaktig som for terningen, ved å multiplisere lengde, bredde og høyde:

Siden vi kjenner til at grunnflaten har et areal G = lb, kan vi også ta med denne formelen for volumet av et rett prisme:

Vi bare noterer som en kjensgjerning, uten å gå inn på et resonnement for dette, at også for prismer med andre grunnflater enn rektangler og for skjeve prismer kan vi regne ut volumet på samme måte: grunnflate ganger høyde.

Sylinder

En sylinder har en sirkelformet grunnflate, en krum sideflate og en sirkelformet toppflate, som er kongruent med grunnflaten.

Overflatearealet til en sylinder

148

01.01.2000

Bunn og topp er sirkler. Sett radien lik r. Sylinderens høyde setter vi lik h.

Da har vi med en gang areal av bunn pluss topp: For å finne arealet av den krumme sideflaten tenker vi at vi bretter denne ut. Da blir den et rektangel.

Høyden i rektangelet er den samme som høyden i sylinderen. Og lengden må være lik omkretsen til sirkelen,

. Dermed er arealet

Nå kjenner vi arealet av bunnen, toppen og sideflaten (Arealet av sirkler kan vi regne ut fra før). Da gjenstår bare å legge sammen:

Hvis vi vil kan vi faktorisere dette uttrykket. kan sette dette utenfor en parentes:

er felles faktor i begge leddene, og vi

149

01.01.2000 Volumet av en sylinder

Volumet V regnes ut ved å multiplisere arealet av grunnflaten med høyden i sylinderen:

At dette er riktig, kan vi innse ved at vi tenker oss sylinderen omgitt av og fylt opp med mangekantede prismer som ligger tett inntil sylinderen henholdsvis utenpå og innenfor. Siden volumet for alle prismer regnes ut som grunnflate ganget med høyde, må da også dette gjelde for en sylinder.

Eksempel 1

Sebastian skal dykke og har en sylindrisk surstofftank. Tanken har radius 13 cm og høyde 75 cm. Hva er volumet av tanken, hvor mange liter luft rommer den?

Vi setter inn i formelen for volum av en sylinder:

. 1 liter = 1 dm3, og det er 1000 kubikkcentimeter i en kubikkdesimeter.

150

01.01.2000

Altså rommer tanken til Sebastian

liter luft.

Sebastians dykkertank er sveiset sammen av 3 mm tykke stålplater. Hvor mange kvadratdesimeter med stålplater ble brukt for å lage tanken?

Vi setter inn i formelen for overflateareal av en sylinder:

Vi husker at det er 100 kvadratcentimeter i 1 kvadratdesimeter.

Det ble brukt 71,8 kvadratdesimeter med stålplater for å lage Sebastians trykktank.

Pyramide og kjegle

Det er ikke helt enkelt å resonnere seg fram til hvordan vi regner ut volum av pyramide og kjegle, men det kan være greit å kjenne det som faktakunnskap likevel. Og formelen kan sannsynliggjøres ved å fylle hule pyramider og kjegler med vann, sand eller annet og måle volum i forhold til grunnflate og høyde. Resultatet er dette:

151

01.01.2000

Spesielt vil en kjegle med radius r ha volum

Sammenhengen mellom volum av pyramide og volum av kjegle kan ogs책 begrunnes p책 samme m책te som sylinderens volum i forhold til et prisme.

Kule

Ei kuleflate kan beskrives som alle punktene med en fast avstand til et fast punkt, kalt sentrum i kula. Denne avstanden er kulas radius. Kula er den tredimensjonale analoge figuren til den todimensjonale formen sirkel: de defineres begge som en punktmengde med en fast avstand fra ett punkt.

152

01.01.2000 Et resonnement som fører fram til formlene for å beregne overflateareal og volum av ei kule krever mer avansert matematikk enn vi har mulighet til å gå inn på her. La oss i første omgang ta for oss ei halvkule. Vi tenker oss at halvkula ligger oppå en sirkel med samme radius og nøyaktig dekker denne. Vi skjønner umiddelbart at halvkula har et overflateareal som er en god del større enn arealet til sirkelen. Nå er det et resultat her som er enkelt å huske: Halvkula har akkurat dobbelt så stor overflate som arealet til sirkelen med samme radius. Det betyr at arealet på ei halvkule med radius r er lik Og overflaten til hele kula er selvsagt to ganger dette. Vi slår derfor fast:

Ei kule med radius r har et overflateareal

Hva så med kulas volum? La oss tenke oss at kula er satt sammen av mange syltynne pyramider, alle med spissen i kulas sentrum og høyde lik radius i kula.

Den samlede grunnflaten i alle pyramidene blir da lik kulas overflate . Og disse pyramidene har alle samme høyde som kulas radius r. Det betyr at kulas volum må være

Altså, for ei kule med radius r gjelder:

Overflateareal:

Volum:

153

01.01.2000 Eksempel 2

På en fabrikk skal de opprette et lager for flytende ammoniakk. Dette skal lagres på store, kuleformede ståltanker, og hver av tankene bør romme minst 10 000 m3. Spørsmål man kan stille kan da være hvor stor radius og diameter disse tankene må ha, hvor mange kvadratmeter stålplater som går med, hvor mye tankene vil veie tomme, hva når de er fylt opp, hvordan de må dimensjoneres for å tåle trykket av ammoniakken, osv. Vi ser litt på de ytre dimensjonene:

Av formelen for volumet av ei kule kan vi bestemme radius r = x meter for en tank:

gir Vi finner på en kalkulator at

og dermed kan vi sette x3 = 2400 m3. På

kalkulatoren finner vi at

Bedriftsledelsen bestemmer seg for å bygge ståltanker med radius 14 meter. Diameteren er da 28 m. En slik ståltank får et volum på

Hvor mange kvadratmeter stålplater trengs? Det må legges til 8% i svinn ved tilkapping.

Vi ser at tankenes overflateareal blir

Når vi tar hensyn til svinnet, ser vi at det trengs

plater.

Likninger Introduksjon

154

01.01.2000 Likninger forteller oss at to uttrykk er like. Vi kjenner dem igjen ved at alle likninger inneholder - likhetstegn - en eller flere ukjente Vær oppmerksom på at likhetstegnet alltid har en venstreside og en høyreside. Likhetstegnet sier at venstresiden og høyresiden er like. Det vil si at uttrykkene på hver side av likhetstegnet skal ha samme verdi uansett tall og bokstaver. Eksempel: 5+3

9-1

Venstre side

Høyre side

Før vi går nærmere inn på hva likninger er, hva vi bruker de til og hvilke typer likninger vi har, er det viktig å klarlegge noen begreper som går igjen. Å løse likninger Å løse likninger går i sin helhet ut på å bestemme de ukjente. I likninger vil et eller flere av leddene være ukjente, oftest betegnet med x eller y eller andre bokstaver. Det er helt uten betydning hva de kalles. Vi er bare interessert i å finne det tallet som skjuler seg bak bokstaven. Fra eksemplet over kan vi for eksempel erstatte 3 med x:

Å løse en likning er det samme som å finne ut hva x må være for at det som står på venstre side av likhetstegnet skal være lik det som står på høyresiden. Nå vet vi at x-en skal ha verdien 3 for at sidene skal være like. likningen.

er dermed løsningen til denne

Graden til likninger Likninger kan ha ulik grad. De mest vanlige er likninger av 1. grad og 2. grad. La oss se på noen eksempler: Likninger av 1. grad:

Likninger av 2. grad:

155

01.01.2000

Det er ofte mer arbeid forbundet med å løse en likning av 2. grad enn å løse en likning av 1. grad.

Setning Det er eksponenten med størst verdi som forteller oss hvilken grad en likning har.

1.gradslikninger

La oss starte med å se på noen eksempler:

Alle disse tre eksemplene ser veldig forskjellige ut, men de er alle eksempler på det samme, nemlig 1.gradslikninger. Generelt kan vi si at 1.gradslikninger er på formen

, der a og b er tall. Dette

stemmer godt med eksemplene over. I den første likningen er er og eksempler.

, mens i likning III er

, i likning II

. Vi kunne laget utallige slike

Det kan kanskje virke noe forvirrende å se på a og b som tall siden x også står for et tall. Det som skiller dem er at x er den ukjente mens a og b er tall som vi får oppgitt - de er kjente.

Setning Generelt sier vi at 1.gradslikninger med én ukjent er på formen

156

01.01.2000 La oss se på enda et eksempel :

x er den ukjente, mens a og b er kjente, der

For at skal være lik 0 må , og ingen andre verdier får dette til å gå. Dette klarte du sikkert i hodet. Men vi skal likevel se på hvordan en gjør det matematisk:

Setning Når vi løser en ligning er det vår oppgave å få x alene på venstre side av likhetstegnet.

Hvordan dette gjøres, og hvilke regler en må forholde seg til tar vi opp i neste avsnitt.

Å løse 1.gradslikninger

La oss se på en 1.gradslikning igjen:

Denne ser ikke umiddelbart ut til å være på formen . Men ved å samle leddene på venstre siden av likhetstegnet og trekke sammen får en at

Denne er på formen

, der

Vi vet at for å løse denne og tilsvarende likninger må vi på en eller annen måte klare å finne verdien til x. x er bare en representant for et tall vi enda ikke vet verdien til. Hva har vi så lov til å gjøre når vi skal løse denne likningen (noen av reglene er allerede

157

01.01.2000 tatt i bruk i omformingen vi gjorde over)? Vi kan bruke de 4 regneartene: pluss + minus gange * dele / Det er imidlertid viktig å huske på følgende:

Regel Gjør alltid de samme operasjonene på hver side av likhetstegnet.

Vi kan altså gange og dele med det samme på begge sider, og vi kan legge til og trekke fra det samme på begge sidene av likhetstegnet. I praksis gjør vi det ved at vi flytter ledd fra den ene siden av likningen til den andre siden, samtidig som vi lar leddet skifte fortegn. La oss løse likningen vår steg for steg: Målet er å få xene alene på venstresiden og leddene uten x (konstantleddene) på høyresiden.

Vi legger til 11 på begge sider, for på denne måten å kvitte oss med konstantleddet på venstresiden.

Vi trekker fra 6x på begge sider, for å kvitte oss med x-ledd på høyresiden.

158

01.01.2000

Nå vet vi hva -1x er lik, men vi vil vite hva x er lik og derfor deler vi på -1 for å ha x alene på venstresiden.

er svaret!

Slik løses alle likninger med én ukjent. En må selvsagt tilpasse operasjonene en velger underveis i utregningen etter likningens utseende.

2.gradslikninger

Vi har allerede sagt at det er eksponenten med størst verdi som forteller oss hvilken grad en likning har. Når det gjelder 2.gradslikninger har vi derfor med likninger å gjøre som har 2 som største eksponent.

2.gradslikninger er likninger på formen , der være lik 0. Dette gir oss flere utgaver av 2.gradslikningen:

. Både b og c kan

De forskjellige utgavene løses på forskjellige måter (det vil si at alle kan løses på samme måte som utgave 4, som er den mest generelle utgaven, men det kan være lettere måter å gripe fatt utgave 1, 2 og 3 på). En 2.gradslikning kan på det meste ha to løsninger. I noen tilfeller har den bare én løsning og noen ganger har den ikke løsning i det hele tatt. Det siste blir noe upresist, men vi sier gjerne at enkelte 2.gradslikninger ikke har løsning. Det vi mener med det er at den ikke har noen reell løsning (tall fra tallinja), men at den har kompleks løsning fra de komplekse tallene. Vi skal ikke komme nærmere inn på dette her. La oss heller se nærmere på løsningsmåtene for de ulike utgavene.

159

01.01.2000

Å løse 2.gradslikninger

Vi ser nærmere på de forskjellige løsningsmåtene for de 4 generelle utgavene av 2.gradslikninger.

Utgave 1:

Når både b og c er null får vi en likning på formen likningen, ser vi fort at å sette likhetstegnet.

. Prøver vi å løse denne

er den eneste måten å få null også på venstresiden av

er derfor eneste løsning på denne utgaven av 2.gradslikningen.

Utgave 2:

Når er , som gir at . Dermed kan denne utgaven av 2.gradslikningen gi oss to relle løsninger på formen . Dersom

får vi ingen reelle løsninger på grunn av at tallet under rottegnet er

negativt. I stedet får vi det vi kaller komplekse løsninger. Hvis og a fremdeles er positiv får vi derimot et positivt tall under rottegnet. Da får vi to reelle løsninger. Det motsatte blir tilfellet om

, da må c være positiv for at vi skal ha løsninger.

Utgave 3: Når

har alle ledd i likningen x i seg. x-en kan vi faktorisere ut:

Likningen har to løsninger, nemlig

eller

160

01.01.2000

Utgave 4: Det er mange måter å løse denne 2.gradslikningen på. I dag bruker de fleste kalkulator. Kalkulatoren finner løsningene sine ved hjelp av følgende formel:

Vi skal ikke utlede denne formelen her. Vi nøyer oss med å se på et eksempel for hvordan den brukes.

Eksempel

Si at vi har likningen disse verdiene inn i formelen:

. Her er

. Vi setter

Dette gir at

som igjen gir at

Dermed er

eller

Dette gir verdiene

eller

. .

Dette betyr at denne 2.gradslikningen har to reelle løsninger. Setter vi inn 2 for x i får vi 0. Tilsvarende skjer hvis vi setter inn -12 for x. Dermed har vi løsningene.

Regel Får vi null under rottegnet, har likningen kun én reell løsning, nemlig

Får vi negativt tall under rottegnet, har

161

01.01.2000

likningen ingen reell løsning.

Likningssystemer

Så langt har vi sett på likninger med bare én ukjent, nemlig x. Mange problemer vi vil løse er for sammensatte til at de kan formuleres i kun én likning med én ukjent. La oss se på likningen

. For at venstre side skal være lik 0, må

er vi interessert i å finne ut hvilke andre verdier enn null

kan gi oss. Vi formulerer

problemet ved å introdusere en variabel til, ofte kalt y. Vi setter da ser vi at likningen

er et spesialtilfelle av

. Ofte

. Dermed

, nemlig det tilfellet der

. På samme måte som vi har funnet ut at oppfyller likningen

danner et tallpar som

, kan vi dermed finne uendelig mange tallpar som oppfyller

likningen . Dermed er ikke venstresiden et spesielt tall, men varierer etterhvert som x varierer. x kan nå være hva som helst og variere ettersom vi bestemmer det. Disse uendelig mange tallparene danner en linje som vi kan framstille i et koordinatsystem. La oss tegne likningen.

Når vi ser på likningen i koordinatsystemet, ser vi at den gir oss en rett linje, den er lineær. Dette er grunnen til at man også kaller 1.gradslikninger for lineære likninger.

162

01.01.2000

Regel 1 1.gradslikning = lineær likning 1.gradslikninger er på formen

Vi har tidligere sagt at a og b er tall. Vi må legge til et tilleggskrav: a må være forskjellig fra 0, hvis ikke er likningen konstant. Med det menes at den ikke varierer ettersom xverdien varierer. Det skriver vi eksempel slik ut:

. Hvis a hadde vært lik 0 ville likningen vår sett for

Ved å sette mister vi x-leddet. Det betyr at koordinatsystemet ser dette slik ut:

uavhengig av hvilken verdi x har. I

Av den første figuren over kan vi lære mye om 1.gradslikningen. I tillegg til Regel 1 har vi at:

Regel 2 Tallet a representerer er stigningstallet til linja. Når stigningstallet er negativt synker linjen når vi beveger oss mot høyre langs x-aksen. Når stigningstallet er positivt vokser linjen når vi beveger oss mot høyre langs x-aksen.

I vårt eksempel er stigningstallet . Det betyr at når vi går et steg til høyre langs xaksen, så stiger grafen 2 hakk oppover på y-aksen. Dette kan du sjekke at stemmer ved å bruke figur 1 over.

163

01.01.2000

Regel 3 Tallet b representerer forteller hvor linjen krysser y-aksen.

I vårt eksempel er . Det betyr at linjen (grafen) krysser y-aksen når stemmer godt med både figur 1 og figur 2.

. Dette

Dersom vi har to ukjente, må vi ha to likninger (et likningssett eller likningssystem) for å finne løsningen. Det eneste vi oppnår ved å ha en likning med to ukjente, er å finne uendelig mange tallpar som oppfyller likningen. Disse tallparene har vi sett at danner en rett linje i koordinatsystemet. Har vi derimot to likninger med de samme to ukjente, kan vi finne en verdi for x og en verdi for y som passer i begge likningene i likningssettet. Finner vi en slik løsning sier vi at den er entydig.

Setning For å ha mulighet til å få en ENTYDIG LØSNING på likningssettet, må vi ha like mange likninger som ukjente.

For eksempel vil ikke verdi.

ha entydig løsning. For hver x vi velger får vi en ny y-

Eksempel Vi starter med et eksempel som vi bruker som utgangspunkt når vi skal se på hvordan likningssett løses:

(Tallene i parentes er en nummerering av likningene som er til hjelp når likningssettet skal løses.) Begge disse likningene er lineære siden de ukjente, x og y, bare finnes i 1. potens. Vi sier at vi har et lineært system med to ukjente. Vi skal se på fire måter å løse et slikt system på. Metoder:

164

01.01.2000 I) Substitusjonsmetoden (innsettingsmetoden). II) Grafisk løsning. III) Eliminasjonsmetoden. IIII) Prøve- og feile-metoden.

Substitusjonsmetoden

Begge likningene inneholder de samme to ukjente. Dette kan vi utnytte: A) Løs den ene likningen med hensyn på en av variablene (for eksempel y), dvs at en skal få y alene på venstresiden av likhetstegnet. B) Gå til den andre likningen. Erstatt y-en i denne likningen med det som du fant i A). Vi ser på likningssettet vårt igjen:

Her har vi allerede y alene på venstre side av likhetstegnet både i likning (1) og i likning (2). For at likningssettet nå skal ha en entydig løsning må nødvendigvis de to uttrykkene for y være like. Derfor setter vi

For å finne y kan vi sette sette

, og får at:

enten inn i likning (1) eller i likning (2). Vi har valgt å

inn i likning (1). Dette gir at

Løsningen på likningssystemet er punktet

165

01.01.2000

Grafisk løsning

Vi fortsetter med det samme likningssettet:

Vi kan se på både (1) og (2) som rette linjer i koordinatsystemet. Vi skisserer en framgangsmåte: A)

Omforming av likningene

Få likningene på formen til (1) og (2). Vær oppmerksom på at likningssettet i utgangspunktet kan se for eksempel slik ut:

Da må en bruke de reglene en har å forholde seg til for å få y alene på venstresiden av likhetstegnet.

Utregning av verdier

Regn ut verdier for begge likningene. Dette gjøres ved at en velger x-verdier og finner tilhørende y-verdier. På denne måten finner en tallpar på formen (x,y). Disse tallparene utgjør punkter i koordinatsystemet. Siden to punkter i et koordinatsystem entydig bestemmer en linje, trenger en bare å regne ut to slike tallpar for hver av likningene, men det er vanlig å regne ut tre slik at vi får en kontroll på at vi har regnet riktig.

Vi regner ut:

Dette gir oss følgende oppsett:

126

180

240

166

01.01.2000

Vi regner ut:

Dette gir oss følgende oppsett:

153

180

210

Plott linjene i koordinatsystemet

Se på figuren under. Her har vi brukt verdiene fra tabellene i punkt B). Hver tabell gir tre punkter. Ved å trekke en linje gjennom de tre punktene som kommer fra samme tabell, så får vi to linjer:

Finn skjæringspunktet

Skjæringspunktet er løsningen til likningssystemet. Av figuren over ser vi at linjene skjærer hverandre når aksen.

. Dette leses av på enholdsvis x-aksen og y-

Husk at en løsning til et lineært system med to ukjente må ha et svar der både en x-verdi og en y-verdi er oppgitt.

Eliminasjonsmetoden

167

01.01.2000 Denne metoden går ut på å bruke de fire regneartene til å redusere de to likningene med to ukjente til én likning med én ukjent. Dette gjøres ved å eliminere den ene variabelen. Eksempel Vi fortsetter med likningene som vi tidligere har gitt navn (1) og (2). Venstresidene i begge disse likningene består av kun én y. Dette gjør det enkelt å eliminere y. Vi gjør det ved å trekke likning (2) fra likning(1). Dette setter vi opp på følgende måte:

Minustegnet foran linje to gjelder for alle leddene. Det betyr at y trekkes fra y-en i linjen over,

trekkes fra

igjen med

i linjen over og 150 trekkes fra 120 i linjen over. Dermed sitter vi , som den siste linjen i regnestykket viser.

gir oss at

, og dermed at

settes enten inn i likning (1) eller likning (2). Vi gjør som vi gjorde da vi benyttet substitusjonsmetoden, og setter

inn i likning (1) og får at

Løsningen på likningssystemet er punktet

Prøve- og feile- metoden

Metoden går ut på å velge verdier for x og y helt til en finner én x-verdi og én y-verdi som tilfredsstiller begge likningene samtidig. Det kan være lurt å være systematisk når en skal finne de verdiene som passer. Dersom en prøver i "vilden sky" kan dette bli en lang og arbeidskrevende prosess. Skriv opp forsøkene underveis og resonner deg fram til hva som er lurt å prøve neste gang. Må x være større eller mindre enn det jeg til nå har prøvd? Hva med y? Denne metoden er like matematisk riktig som de andre metodene, men kan kreve noe mer tid før en har laget seg en metode for hvordan det er lurt å angripe problemet.

168

01.01.2000 Én, mange eller ingen løsninger?

Et lineært likningssystem har ikke alltid nøyaktig én løsning. Vi skal se på tre tilfeller: A) Uendelig mange løsninger Vi ser på et likningssett.

Eksempel:

Hvis du multipliserer alle ledd i (1) med 2, så får du nøyaktig likning (2). Dette betyr at dette er et likningssett med to like likninger. Hvis vi tegner likningene inn i koordinatsystemet, så finner vi ut at de ligger oppå hverandre. Dette ser du på figuren under. Alle punktene som linjen består av tilfredsstiller kravene til likningen. Dermed har vi uendelig mange løsninger som alle må tilfredsstille

B) Ingen løsninger La oss se på et nytt eksempel.

Eksempel:

Hvis du multipliserer venstresiden i likning (1) med 2, får du nøyaktig det samme som venstresiden i likning (2). Derimot blir ikke høyresidene like ved den samme multiplikasjonen. Her får vi en motsigelse. kan vi si at likningssettet ikke har løsning.

kan ikke både være 4 og 6. Av dette

169

01.01.2000

Vi kan også se dette ved å forsøke å eliminere den ene variabelen fra likningssystemet. La oss eliminere x:

Vi ser at det gitte lineære systemet ikke har noen løsning. I koordinatsystemet ser dette slik ut:

Likningene i likningssystemet er parallelle og vil aldri møtes. Vi har ingen løsning.

C) Nøyaktig en løsning

Eksempel:

Likningene i likningssystemet er ikke mistenkelig like hverken på høyresiden eller på venstresiden av likhetstegnet. Når vi tegner likningene i koordinatsystemet, får vi to rette linjer som krysser hverandre i ett punkt . Dette er den entydige løsningen til dette likningssystemet. Her har vi valgt å løse likningen grafisk.

170

01.01.2000

Potenser Introduksjon Det er forskjellige grunner til at skrivemåten med potenser av tall er innført. Noen ganger må vi regne med tall som er så store at vi ellers har vanskeligheter med å holde orden på alle sifrene i dem. Det kan til og med være umulig å taste dem direkte inn på kalkulatoren. Omvendt må vi andre ganger regne med bittesmå tall. For å håndtere slike uregjerlige tall bruker vi ofte en skrivemåte ved hjelp av tierpotenser. Når vi adderer mange like tall, kan vi benytte oss av multiplikasjon:

Vi kan også ha behov for å multiplisere mange like faktorer. For å slippe å skrive ut alle de like faktorene i et slikt produkt, har vi en liknende skrivemåte:

171

01.01.2000

kalles en potens. Denne potensen har grunntall 4 og eksponent 5. Eksponenten forteller altså hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv.

Vi regner foreløpig bare med heltallige eksponenter. Vi skal seinere ta for oss andre eksponenter. Da må vi innføre restriksjoner på grunntallene. Eksempel

Minnet i en datamaskin måles i byte. Det er 1024 byte i en kilobyte (kb), det er 1024 kb i en megabyte (Mb), og det er 1024 Mb i en gigabyte (Gb). Men hvorfor akkurat 1024, hvor kommer det tallet fra? En kb er cirka 1000 byte, men hvorfor er det ikke akkurat lik 1000 byte? Svaret er at dette har sammenheng med at

Altså: 1024 er lik 2 opphøyd i tiende potens. Og det er reint tekniske grunner til at nettopp tallet 2 er grunntall i den potensen.

Potenser med samme grunntall Å multiplisere potenser med samme grunntall

En generell potens med grunntall a og eksponent n kan altså uttrykkes

172

01.01.2000 På høyre side av likhetstegnet er det n faktorer. Da ser vi for eksempel at

Det ser ut til at vi kan legge sammen eksponentene:

Dette er alltid riktig. For dersom vi har to tilfeldige tall med grunntall a, for eksempel am og an , så kan vi multiplisere dem sammen og få det generelle resultatet:

Regel Når vi multipliserer to potenser med samme grunntall, beholder vi grunntallet og legger sammen eksponentene:

Siden vi valgte et tilfeldig grunntall a, og tilfeldige eksponenter n og m, kan vi vite at regelen gjelder uansett hvilke tall vi setter inn for a, n eller m.

Å dividere potenser med samme grunntall

Dersom vi ønsker å dele en potens på en annen, og potensene har samme grunntall, kan vi også finne en generell regel. Vi ser igjen først på et eksempel med tall.

Vi kan stryke felles faktorer over og under brøkstreken:

Dersom vi igjen velger oss et tilfeldig valgt grunntall a, og to tilfeldig valgte eksponenter m og n, kan vi lage en ny generell formel:

173

01.01.2000

Vi kan forkorte brøken ved å stryke n faktorer over og under brøkstreken:

Regel Når vi dividerer en potens med en annen potens med samme grunntall, beholder vi grunntallet, og eksponenten blir differensen mellom eksponentene i teller og nevner: am-n

Denne regelen er utledet for tilfellet m > n. Men den gjelder også når m er mindre enn eller lik n, som vi skal se i fortsettelsen.

Potenser med null og negative tall som eksponenter Utvidelse av potensbegrepet: 0 som eksponent

Vi har undersøkt brøker på formen der m > n og funnet at Men hva hvis m = n? Vi ser for eksempel enkelt at

Men hvis regneregelen skal gjelde, blir jo også

Altså: En fornuftig betydning er at

. Slik vil det selvsagt også bli for andre

grunntall enn 2. Det gjør ingen forskjell om vi regner med bokstaver:

174

01.01.2000

Vi bruker dette til en generell bestemmelse om hva et grunntall opphøyd i null skal bety.

Definisjon

For ethvert tall a er

, forutsatt

Altså, et tall opphøyd i null er alltid lik 1, med mindre grunntallet er 0. 00 er ikke definert, det har ingen mening.

Utvidelse av potensbegrepet: negativ eksponent

Hva blir

hvis m er mindre enn n? Tenk som eksempel på a = 9, m = 3 og n = 5.

Samtidig burde vi da ha

Altså:

Dette går også på nøyaktig samme måte for generelle grunntall og eksponenter, og vi velger det som en definisjon.

Definisjon

For ethvert tall a og naturlig tall n, er

Et grunntall opphøyd i en negativ eksponent er lik 1 dividert på grunntallet opphøyd i den tilsvarende positive verdien til eksponenten. Vi har nå fått med oss de viktigste reglene for regning med potenser. Men vi skal også se

175

01.01.2000 på tre forskjellige tilfeller der grunntallet ikke bare er et tall, men en kvotient, et produkt eller en potens. Reglene som følger blir avledet av de reglene vi allerede har funnet.

Potenser og brøker Potenser hvor grunntallet er en brøk

Vi starter med en brøk

, og eksponent 5:

Som kjent multipliserer vi brøker ved å gange teller med teller og nevner med nevner:

Vi kan igjen velge en tilfeldig brøk som grunntall og en tilfeldig eksponent. La brøken være lik

, og eksponenten være n. Vi får

Vi ser at å opphøye en brøk i n er det samme som å opphøye både telleren og nevneren i n.

Regel For enhver brøk

og naturlig tall n, er

176

01.01.2000 En brøk opphøyd i en potens med negativ eksponent

Vi kan vise at

Vi har nemlig

Vi utvider denne brudne brøken med bn, dvs. ganger med bn over og under hovedbrøkstreken, og får:

Vi vil formulere også dette som en regel: Regel En brøk opphøyd i en negativ eksponent -n er lik den inverse brøken opphøyd i n.

Potenser med et produkt og en potens som grunntall Potenser hvor grunntallet er et produkt

Vi starter med produktet

, og ser på potensen

Vi kan bytte rekkefølge på faktorene, og får

Det blir akkurat på samme måte for et tilfeldig produkt n. Vi får da:

opphøyd i en vilkårlig potens

Vi kan fortsatt bytte rekkefølge: (n a-er etterfulgt av n b-er)

177

01.01.2000

Det siste uttrykket er jo nettopp

Resultatet blir følgende Regel Produkt av to tall opphøyd i en potens er lik produktet av faktorene opphøyd i samme potens.

Formulert på en annen måte: For vilkårlige tall a og b og naturlig tall n er

Regelen kan naturligvis utvides direkte til produkt av tre eller flere tall opphøyd i en potens. Potenser hvor grunntallet er en potens

Som eksempel velger vi potensen

og vil opphøye denne i 2. potens:

Vi har funnet ut at når vi multipliserer to potenser med samme grunntall, så beholder vi grunntallet og adderer eksponentene:

Siden

, betyr dette at

Igjen ser vi at det blir på samme måte om vi opphøyer en potens am i en ny potens n. Da får vi følgende:

178

01.01.2000

Regel Når vi har en potens som grunntall og opphøyer denne i en ny potens må eksponentene multipliseres.

Vi formulerer det også slik:

Av dette kan vi også trekke ut at

Oppsummering av regneregelene for potenser og eksempler Oppsummering av regneregler for potenser

For vilkårlige tall a og b og naturlige tall m og n er

Noen vil kanskje spørre etter en regel for en potens med en sum som grunntall. I

179

01.01.2000 algebrakurset forekommer kvadratsetningene som tar for seg andre potens av en sum av to tall. For høyere potenser av summer blir det mer komplisert. Da trenger vi noe som kalles binomialkoeffisientene, som fins i Pascals talltrekant.

Eksempel 1

Vi vil regne ut

Løsningen kan finnes på flere måter, for eksempel slik:

Prøv å finne to andre måter å regne det ut på, ved å bruke reglene foran her.

Eksempel 2

For å drille litt på reglene for potensregning skal vi også se på et ganske kronglete talluttrykk. Vi skal regne ut

Vi kan først gjøre om tallene 8 og 9 til potenser:

Deretter kan vi løse ut de to parentesene:

Så bruker vi reglene for produkt og divisjon av potenser:

180

01.01.2000

Vi kan dermed konkludere: . For å regne ut dette kunne vi gjerne valgt en annen framgangsmåte, for eksempel slik:

Vi tar til slutt med et praktisk eksempel med store tall, som også kan vise at det kan være fornuftig å bruke potenser når vi regner.

Eksempel – store tall

Solas radius er

, og solas volum er

kilometer og jordas volum er • •

. Jordas radius er 6371

kubikkmeter. Vi stiller to spørsmål:

Hvor mange jordkloder kan plasseres langs solas diameter? Hvor mange jordkloder tilsvarer plassen inne i sola?

For å finne antall jordkloder som får plass langs solas diameter, må vi dele solas diameter på jordas diameter (husk at diameteren er lik to ganger radien). Vi vet at 1 km = 103 m, og får

Vi ser at det går ca. 109 jordkloder på en soldiameter. Deretter finner vi hvor mange jordkloder som tilsvarer plassen inne i sola ved å dele solas volum på jordas volum:

Vi ser solas volum er like stort som cirka 1,3 millioner jordkloder!

Sammenhengen mellom røtter og potenser

181

01.01.2000 Vi har hittil bare tatt for oss potenser der eksponentene var hele tall. Vi kan, hvis vi forutsetter at grunntallet , også definere potenser der eksponentene ikke er hele tall, men hvilke som helst positive tall, for eksempel en brøk.

La oss først prøve oss med en potens av a med eksponent skrive

. Denne potensen kan vi

. Men hva skal dette bety?

Vi forutsetter at regnereglene for potenser fortsatt skal gjelde. Vi husker for eksempel at: .

Vi setter nå inn

, og får

Men i avsnittet om kvadratrøtter ser vi at og

. Det betyr at vi må definere

Helt tilsvarende vil vi finne at opphøyd i

. Dermed er både

, siden

kan settes som n-te rota til et tall a,

. Vi skjønner at a .

Men kan vi i en potens ha en eksponent som er en brøk med teller forskjellig fra 1? Svaret er ja. Vi husker fra regning med brøk at . Dette kan vi utnytte sammen med potensregelen og finne en fornuftig mening i et grunntall a opphøyd i en generell brøk

. Dermed kan vi konkludere med følgende:

Definisjon

182

01.01.2000

For et tall

og en brøk

sier vi at

Legg merke til at vi like gjerne kunne ha skrevet:

. Dette forteller oss at

Eller sagt med ord: Vi kan opphøye i en potens og trekke ut rot av et tall i vilkårlig rekkefølge. Resultatet blir likt. Eksempel 1

Vi vil regne ut

. Det kan vi nå gjøre på forskjellige måter.

Alternativt:

183

01.01.2000

Prosent Introduksjon Med prosent menes "del av hundre". Dermed blir en prosent definert som en hundredel.

Når vi snakker om prosent, snakker vi altså om hundredeler. Dette forteller oss at prosent har noe med andel å gjøre. Andel av helheten, rett og slett. På figuren under til venstre er én av fire deler skravert, eller vi kan si at

av figuren er skravert.

Deler vi inn kvadratet i 100 like store deler, vil vi finne at 25 av de 100 rutene ligger i det skraverte området.

I stedet for

sier vi ofte 25%.

% = 25 % av kvadratet er skravert. Det er en sammenheng mellom prosenttall, brøk og desimaltall. La oss bruke 25% og se på dette.

184

01.01.2000 - skrevet som prosenttal l

2 5 % 2 5 % 2 5 %

2 5 %

- skrevet som brøk

- skrevet som brøk og forkortet

25:100

0,2 5

- skrevet som desimaltal l

25% kan skrives på fire måter:

Fire skrivemåter for 25%

25 %

Prosent er et godt innarbeidet begrep i dagligtalen. Vi møter det når vi snakker om rabatt og avslag, økning, endring, andeler, i forbindelse med feriepenger, skatt, sannsynlighet og mye, mye mer. Til tross for dette, eller kanskje nettopp fordi en møter prosent i så mange sammenhenger, blir det ofte litt kluss. I dette kurset vil vi gå gjennom det mest grunnleggende, og håper at vi med kurset klarer å oppklare noen av "prosentfellene".

Regneregler

Vi har nå sett at prosent er "deler av 100". Men, det er ikke alltid det er 100 som utgjør "helheten".

Eksempel

185

01.01.2000 30% av bondens 500 sauer var svarte. Hvor mange svarte sauer hadde han? Nå er "helheten" 500, og 1% av disse blir da en hundredel av 500, som er 5. Siden vi skal finne 30% må vi ta

og vi får 150.

Bonden har 150 svarte sauer. Dette regnestykket kan gjøres enklere: 30 % av

Bonden har 150 svarte sauer. Den sist viste måten å regne ut hvor mye en gitt prosent av helheten utgjør, kan settes opp i følgende regel:

Regel

I eksempelet over er "prosenttallet" = 30 og "helheten" = 500. Regelen brukes når vi skal finne hvor mye/mange en gitt prosent utgjør av en helhet. Denne utregningsregelen bruker vi også når vi skal finne ut ny verdi for noe som har endret seg med en gitt prosent.

Endring av opprinnelig verdi opprinnelig verdi + endring = ny verdi (ved økning) opprinnelig verdi - endring = ny verdi (ved nedgang)

En endring som gjør at opprinnelig verdi øker, kaller vi ofte en økning. Andre ord som brukes om dette kan f.eks være vekst, tilskudd, prisøkning og verdiøkning. En endring som gjør at opprinnelig verdi synker, kaller vi ofte en nedgang. Andre ord som brukes om dette kan f.eks være reduksjon, rabatt og avslag.

186

01.01.2000

Eksempel

Prisen på en kjole var opprinnelig 900 kr. Den ble satt ned med 30%. Hvor mye kostet kjolen på salg? Her har vi en endring / et avslag på 30 % av

Da kan vi bruke at

opprinnelig verdi

endring

ny verdi

opprinnelig pris

avslag

salgspris

900

270

630

Kjolen koster 630 kr på salg.

For å finne kjolens salgspris direkte kan vi snu litt på måten vi tenker på. Med et avslag i pris på 30% vil vi måtte betale 70% av den opprinnelige prisen, og 70% av 900 kr er .

Endring i prosent Noen ganger får vi oppgitt opprinnelig verdi og ny verdi, og blir spurt om hvor stor endring det har vært i prosent i forhold til den opprinnelige prisen.

Eksempel 1

Prisen på en togbillett steg fra 160 kr til 168 kr. Hvor mange prosent har prisen på togbilletten endret seg med? La oss systematisere de opplysningene vi har fått:

187

01.01.2000 ny verdi = 168 kr, opprinnelig verdi = 160 kr endring i pris = ny verdi - opprinnelig verdi Nå må vi finne ut hvor stor andel endringen (8 kr) utgjør av den opprinnelige prisen (160 kr).

Andelen

omregnet til % blir

Billettprisen har steget med 5%. Dette kan generaliseres, og da kan vi sette opp følgende formel:

Endring i prosent

Endring i prosent omtales også som prosentvis endring.

Eksempel 2

En ny bil kostet 256 000 kr. Etter 3 år ville eieren selge bilen. Han fikk solgt bilen for 194 000 kr. Hvor mange prosent har prisen på bilen endret seg med? Her har vi "opprinnelig verdi"= 256 000 kr, "ny verdi" = 194 000 kr, og vi får en prosentvis endring på %

Her ser vi at vi får negativt svar, noe som stemmer fint. Bilens pris har sunket og vi kan si at prisen har sunket med 24,2%, eller at endringen i bilens pris er -24,2%. Det som er viktig når en jobber med prosentvise endringer, er å være sikker på at vi klarer å finne ut hva som skal settes inn for opprinnelig og ny verdi.

188

01.01.2000

Pluss og minus med prosent Gjennom to eksempler vil vi ta for oss situasjoner der det er lett å gå i "fella" når det gjelder pluss og minus i prosentregning.

Eksempel 1 Mads var innom sportsforretningen og kjøpte en bordtennisracket som var priset til 68 kr. Alt i butikken var nedsatt med 15%. Mads lurte på hva den opprinnelige prisen hadde vært, og han regnet på følgende måte: 68 kr + 15% av 68 kr

Hvorfor er ikke dette riktig? Butikken har trukket fra 15% av den opprinnelige prisen, mens Mads legger til 15% av den nye prisen. La oss se på et enklere eksempel hvor vi tar utgangspunkt i 100.

Minus 50%, pluss 50% Tar du vekk 50% av 100 kommer du til 50, men du kommer IKKE tilbake til 100 ved å legge til 50% på 50! Du vil komme til 75 fordi 50% av 50 er 25, og . Vær nøye med hva som er opprinnelig verdi!

La oss se på opplysningene i eksempel 1 igjen. Mads har blandet sammen "ny verdi" og "opprinnelig verdi". Her viser vi to måter han kunne regnet seg fram til opprinnelig verdi på. opprinnelig verdi - endring = ny verdi De opplysningene vi får er "ny verdi" = salgsprisen = 68 kr,

189

01.01.2000 "endring" = avslag i pris = 15% av "opprinnelig verdi" som er ukjent, "opprinnelig verdi" = x Vi kan sette opp følgende likning: . Løser vi denne, får vi at , som er den korrekte opprinnelige prisen. Vi kan også tenke som vi gjorde for å finne kjolens salgspris; med 15% rabatt må vi fremdeles betale 85% av den opprinnelige prisen og kan sette opp .

Eksempel 2 Noen ganger er det riktig å summere prosenttall, mens andre ganger blir det feil. Vi kan se på to klasser med 25 elever i hver. I den ene klassen går det 20% svensker, i den andre er det 20% dansker. Hvor stor er andelen svensker og dansker tilsammen i disse to klassene? Vi kan ikke svare at det er 20 % + 20 % = 40 % svensker og dansker tilsammen i de to klassene! Hvorfor ikke?

20% av en klasse på 25 elever utgjør 5 personer

Ved å se på svensker og dansker sammen har vi doblet antallet som utgjør "andelen", men vi har også doblet "helheten" (fra en til to klasser). I de to klassene har vi nå 5 svensker og 5 dansker, som er 10 personer. I de to klassene går det utgjør

elever. På figuren under har vi skravert 10 av 50 elever, og dette

190

01.01.2000

Om vi gjør litt om på oppgaveteksten slik at vi bare har én klasse på 25 elever hvor 20% av elevene er svenske og 20% av elevene er danske (se figuren nedenfor), og får spørsmålet: Hvor stor andel svensker og dansker er det tilsammen i klassen? Da kan vi si at det er 20 % + 20 % = 40 % svensker og dansker tilsammen.

Det skraverte feltet representerer igjen både svenske og danske elever.

La oss regne på dette for å å sjekke om vi kan legge sammen prosenttallene: Vi husker at 20 % av 25 er 5 personer. Da har vi at det er 10 svenske og danske elever av 25. 10 av 25 elever utgjør

%, eller 20 % + 20 % = 40 %.

I dette eksempelet hadde vi først to forskjellige "helheter". Vi hadde en andel som var gyldig for en klasse på 25 elever, så ble vi spurt om andelen for to klasser på tilsammen 50 elever. Ved å gjøre om teksten i spørsmålet endret vi ikke lenger helheten. Her var det hele tiden snakk om den samme klassen med 25 elever.

Altså: For at vi skal kunne legge sammen to prosenttall og få et nytt prosenttall som utgjør den riktige andelen av helheten, må helheten det beregnes prosent av være konstant (den samme hele tiden).

Renter 191

01.01.2000

Hvis du låner penger av banken, må du betale renter til banken. Hvis du setter penger i banken og sparer, er det banken som låner av deg, og da er det banken som betaler deg renter. Om banken kan tilby 3,6% rente p.a. (pro anno = per år) for penger på sparekonto, vil du i løpet av ett års sparing kunne ta ut det beløpet du satte inn pluss 3,6% ekstra. Vi sier at rentesatsen, eller rentefoten, er 3,6%. Vi setter inn 1500 kr, og antar at banken tilbyr 3,6% rente på vanlig sparekonto. Da vil kontoen øke med

3,6 % av 1500 kr

Her har vi brukt følgende regel for å finne rentebeløpet:

Regel

Om du etter 7 måneder finner ut at du trenger pengene dine igjen og må ta dem ut, vil du bare få renter for 7 av årets 12 måneder. Rentebeløpet finner vi da på følgende måte:

. Det er bestemt at antallet rentedager i et "bankår" er 360. Dersom du tar ut sparepengene dine etter 250 dager, vil du kunne heve 1500 kr pluss

. Vi har sett på sparing i ett helt år, i et helt antall måneder og et visst antall dager. La oss nå se på sparing over flere år.

Banksparing over flere år Du setter inn 1500 kr og får en rentefot på 3,6%. Pengene blir stående i 5 år uten at du setter inn nye penger på kontoen og rentefoten er 3,6% hele tiden. Etter det første året har beløpet økt til

192

01.01.2000 Når vi nå skal regne rentene for år nummer to har vi ikke lenger 1500 kr som sparebeløp, men 1554 kr, og da vil vi etter to år ha

. I årene fremover vil vi hele tiden beregne renter av renter, og dette kalles rentesrente. For å finne beløpet etter 5 år, må vi fortsette på samme måte som over. For å gjøre beregninger som denne kan vi utlede en generell formel. La oss si vi får p% rente i banken og setter inn en startkapital, K0. Startkapitalen blir stående urørt i n år, og det eneste som skjer med pengene er at p% renter blir lagt til ved utgangen av hvert år.

Startkapital

Etter 1 år har vi

= Etter 2 år har vi

= Etter 3 år har vi

Dette kan generaliseres i følgende uttrykk

Rentesrente med vekstfaktor

193

01.01.2000

, hvor Kn er kapitalen n år etter at startkapitalen K0 er satt inn. kalles vekstfaktor, hvor p er prosentsatsen.

Vekstfaktor omtales også som prosentvis vekst eller eksponentiell vekst. Vekstfaktor kan brukes til alt som øker eller avtar jevnt med en gitt prosentsats per tidsenhet. Tidsenheten kan være pr år, pr time, pr minutt osv.

Eksempel Et oppdrettsanlegg med 1000 laks ble angrepet av en veldig aggressiv og dødelig parasitt. Laksebestanden ble redusert med 0,9% hver time. Hvor mange laks var igjen etter 5 timer? Vi vet at L0 = 1000. Bestanden reduseres med p = 0,9% laks pr time. Siden antallet laks minker bruker vi minus i uttrykket for vekstfaktoren og vi får at laksebestanden etter n timer vil være

. Etter n = 5 timer vil laksebestanden være

Siden vi snakker om laks må vi runde av, og kan si at 955 laks lever etter 5 timer.

Prosentpoeng

Vi kan tenke oss følgende sitat: "Sponsorstøtten økte med 2%, fra 80% til 82%" Hvorfor er dette feil? Ved å sette ny prosentsats = "ny verdi" og gammel prosentsats = "opprinnelig verdi", kan vi bruke denne regelen:

194

01.01.2000

Prosentvis endring

Her er "ny verdi" = 82 og "opprinnelig verdi"= 80. Vi setter dette inn og får at %

En økning fra 80% til 82% er derfor på 2,5%, ikke på 2%. Det riktige ville vært å si at "Sponsorstøtten økte med 2 prosentpoeng, fra 80% til 82%" Husk Prosent er hundredeler. Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall.

Neste gang du ser eller hører om oppgang eller nedgang fra én prosentverdi til en annen sjekk om det blir omtalt som prosentpoeng!

Promille

På samme måte som prosent betyr "del av hundre", betyr promille "del av tusen". Det skrives ‰. Regel 1‰ = 0,1%

Noen ganger er det enklere å oppgi noe i centimeter enn i meter. Vi sier for eksempel ikke at "håret vokser 0,01 meter i måneden". Det er mye lettere å få et forhold til hvor langt det er snakk om når en sier at "håret vokser 1 cm i måneden". På samme måte som med meter og centimeter, har vi noen ganger bruk for en finere inndeling av andelsmål enn prosent. Da kan vi bruke benevnelsen promille. Promille brukes veldig ofte til å angi konsentrasjoner og vektenheter.

195

01.01.2000 Satellittmålinger av ozon over Oslo viser at de totale ozonmengdene er redusert med 4 promille årlig fra 1979 til 1995. (Norsk institutt for luftforskning 1996) De fleste har hørt om promille i forbindelse med alkohol, der det brukes om andelen alkohol i blodet. Dersom en person har 1,0‰ betyr det at dersom alt blodet og vannholdig kroppsvev ble delt i tusen deler som alle veide like mye, så ville én av disse delene tilsvare ren alkohol. Istedenfor å si 0,1% kan vi si 1‰. Men det er først og fremst når prosentallene blir veldig små at vi bruker benevnelsen promille. Regnereglene for promille er helt tilsvarende de for prosent, med den forskjell at man bruker 1000-deler i stedet for 100-deler.

Eksempel 1

Norge står for omtrent 2‰ av CO2 - utslippene i verden. Tall fra 1990 sier at Norge slapp ut omtrent 32 millioner tonn CO2. Omtrent hvor stort var utslippet totalt i 1990? Her ser vi på hvor stor andel av utslippet Norge står for i forhold til det totale utslippet. Vi vet at andelen skal utgjøre 2‰, eller 2 tusendeler. Setter vi totalt utslipp = x, kan vi sette opp

I 1990 ble det sluppet ut omtrent 16 milliarder tonn CO2 i verden.

Eksempel 2

Telemark fylke hadde pr. 31.12.01, i følge Riksttrygdeverkets rapport "Folketrygden Nøkkeltall 2002 (feb. 2003)", i alt 1244 personer i alderen 62-67 år med avtalefestet pensjon. 31.12.02 hadde tallet steget til 1248. Hvor stor var endringen? Her bruker vi igjen Endring i prosent

196

01.01.2000

Setter vi inn i regelen, får vi %

Endringen fra 2001 til 2002 utgjør 0,3%, eller 3‰. Når prosenttallene blir veldig små, er det vanlig å benytte promille i stedet.

197

01.01.2000

Roten av et tall - kvadratrøtter og andre røtter Introduksjon

Både ved løsning av likninger og i en del praktiske sammenhenger er det aktuelt å finne kvadratrøtter av tall. Det betyr å finne ut hvilke tall som ganget med seg selv blir lik et på forhånd gitt tall. Vi skal arbeide litt med dette, og vi utvider temaet til også å gjelde kubikkrøtter, som også kalles tredjerøtter, og videre til fjerderøtter osv. Kvadratrøtter og kvadrattall

Kvadratrøtter

La oss tenke oss at vi har et kvadrat med areal 9 cm2. Arealet A til et kvadrat i antall cm2 er lik sidelengden s i cm opphøyd i annen potens:

. Siden , forstår vi at kvadratet har sidelengde 3 cm. Det positive tallet som ganget med seg selv gir 9, kaller vi kvadratrota av 9. Vi skriver . Vi ser at sidelengden s er gitt som kvadratrota av arealet:

, når

. Definisjon

Anta at . Da er (kvadratrota av a) det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik a.

198

01.01.2000

Definisjonen legger dermed to krav på kvadratrota av a. For det første er dessuten skal vi ha

Altså,

hvis

, og

La oss se et eksempel på hva dette medfører. Vi velger a = 4. Da er at resultatet oppfyller kravene i definisjonen, siden

Nå er også

. Vi ser .

. Vi kaller likevel ikke -2 for kvadratrota av 4, siden

og dermed ikke oppfyller definisjonen av en kvadratrot. Legg ellers merke til at vi kun har definert kvadratrota av tall som er større enn eller lik null . Vi kan ikke finne kvadratrøtter av negative tall, fordi ingen reelle tall ganget med seg selv gir et negativt produkt.

Eksempel 1

Løs likningen . Vi legger til 4 på begge sider av likhetstegnet:

Vi ser at er en løsning. Men også . Begge verdiene for x stemmer i likningen, og dermed er både 2 og -2 løsninger av denne.

Det er en viktig nyanse her: Likningen ofte skrevet kort tegnet

har løsningene x = 2 og x = - 2. Dette blir

. Men

for å markere de to løsningene, og at

Generelt: Likningen

har løsningene

(og ikke lik - 2). Det er derfor vi bruker - tegnet indikerer et positivt tall. .

Kvadratrøtter og kvadrattall

199

01.01.2000

Kvadrattallene er de tallene vi får som svar når vi kvadrerer naturlige tall, dvs. ganger et naturlig tall med seg selv. De ti første, laveste kvadrattallene (over 0) er dermed 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 og 100. Det å kvadrere tall og å trekke ut kvadratrot av tall er motsatte talloperasjoner på de naturlige tallene (de positive, hele tallene). Vi starter med tallet 7. Når vi kvadrerer dette får vi

, og kvadratrota av dette er

Men hvis vi starter med et negativt tall, blir det annerledes. Vi har også men kommer ikke tilbake til -7 ved å ta kvadratrota av 49.

Hva hvis vi har et stort tall, for eksempel 324, fins det noe lurt vi kan gjøre for å finne kvadratrota? La oss som eksempel først se på et mindre tall.

Eksempel 1

Vi undersøker

Vi ser vel egentlig direkte at

. Men la oss nå primfaktorisere 36:

Vi vet også at

Da må vi ha

Dette kan tyde på at vi får følgende generelle resultat:

Regel Kvadratrota av et produkt av to positive tall a og

200

01.01.2000

b er lik produktet av kvadratrøttene av hvert tall:

For å forklare hvorfor det må være slik, går vi tilbake til definisjonen av kvadratrot. Siden alle kvadratrøtter er større enn eller lik null, er

. Men da er

også , siden produktet av to positive tall er et positivt tall. I tillegg er, og det er det avgjørende:

. Nå kan vi gå tilbake til 324, som vi ville finne kvadratrota av. Vi faktoriserer og finner at . Og da er

Eksempel 2

Regn ut

Vi ser at:

I beregningene brukte vi potensregelen:

Vi legger merke til at vi også har

. Dette antyder en slik generell regel:

Regel Kvadratrota av en brøk av to positive tall a og b er lik kvadratrota av teller delt på kvadratrota av

201

01.01.2000

nevner:

Vi ser direkte ved kvadrering at dette stemmer, fordi

ifølge reglene for regning med potenser av en brøk.

Reglene over kan brukes til å forenkle uttrykk som inneholder kvadratrøtter. Når vi skal gjøre det, lønner det seg å finne de største kvadrattallene som kan faktoriseres ut av tallene under rottegnene. Eksempel 3

Regn ut:

Vi faktoriserer ut kvadrattall:

Siden vi kan dele opp faktorer når vi regner med kvadratrøtter, får vi:

Eksempel 4

Vi vil forenkle

Vi bruker samme framgangsmåte som i forrige eksempel:

Til slutt kunne vi, om vi ønsket det, erstattet

med

eller med

Det er viktig å merke seg at selv om vi har regler for kvadratrøtter av produkt og kvotient, finnes ingen tilsvarende regel for kvadratrota av en sum

eller av en

202

01.01.2000

differens

. Vanlige feiloppfatninger er for eksempel å tro at

som , eller at kvadrere begge uttrykkene:

er det samme som

er det samme

. At dette er feil kan vi se ved å

mens . Vi kan også overbevise oss ved å prøve med talleksempler. Sett for eksempel

og sammenlikn

−

og sammenlikn

− eller

med med

−

og sammenlikn

med

−

og sammenlikn

med

Kubikkrøtter

La oss tenke oss at vi har en terning med volum 8 cm3. Volumet V til en terning i antall cm3 er lik sidelengden s i cm opphøyd i tredje potens:

Siden , forstår vi at terningen har sidelengde 2 cm. Det tallet som opphøyd i tredje potens blir 8, kaller vi kubikkrota eller tredjerota av 8. Vi skriver

. Vi angir at det er tredjerota ved å skrive et lite tretall oppe til venstre for rottegnet. Vi ser at sidelengden s er gitt som kubikkrota av volumet:

203

01.01.2000

, når

. Definisjon

, kubikkrota til et tall a, er det tallet som opphøyd i tredje potens er lik a.

Altså,

hvis

Legg merke til to viktige forskjeller mellom definisjonen av kubikkrota og kvadratrota av et tall a: I definisjonen av kvadratrota til a krevde vi at kubikkrot derimot, kreves ikke at

skulle være positiv. I definisjonen av

. Kubikkrota kan godt være negativ.

Den andre viktige forskjellen mellom kvadrat- og kubikkrot, er at kvadratrota kun er definert for positive a. Dersom a er mindre enn null, eksisterer ikke kvadratrota av a. Men kubikkrota er definert for både positive og negative tall a. For eksempel er , siden

Å opphøye i tredje potens og å trekke ut tredjerot er motsatte regneoperasjoner, og dette gjelder for alle reelle tall.

Eksempel 1

Vi ser at

Vi har også

siden

Eksempel 2

Vi vil regne ut

204

01.01.2000

Vi ser at , og dermed er . Da blir . Reglene for kubikkrot av produkt og brøk blir akkurat som for kvadratrøtter:

Andre røtter

Vi har sett at siden at

, så er

. Og

. Videre kan vi regne ut

. Tallet 2 kaller vi derfor fjerderota av 16. Vi skriver

. Nå er også

. Vi kaller likevel ikke - 2 for fjerderota av 16, av samme grunner som vi ikke kaller - 2 for kvadratrota av 4. Vi definerer fjerderøtter helt tilsvarende som kvadratrøtter:

Definisjon

Når

, skal

være det positive tallet som

opphøyd i fjerde potens gir a. Altså hvis

Reglene for fjerderota av et produkt og en kvotient er akkurat som for kvadratrot, og gjelder kun for positive tall:

Eksempel 1

205

01.01.2000

Regn ut

Vi deler opp og får

. Resultat:

Eksempel 2

Regn ut fjerderota

Vi legger merke til at

, og dermed blir

. Det er vel nå lett å tenke seg hva femterøtter må være? Tilsvarende som for tredjerøttene er femterøttene definert for alle tall, ikke bare de positive. Femterøtter følger akkurat de samme regler som tredjerøtter. Vi får et mønster: Sjetterøtter er definert helt tilsvarende som kvadrat- og fjerderøtter. Vi kan definere røtter av så høy orden vi ønsker. Kvadratrot har orden 2, kubikkrot har orden 3, fjerderot har orden 4, osv. Generelt: Ei rot av orden n kalles en n-te rot. Definisjonen av en n-te rot til et tall a er: , hvis

Dersom n er et partall, må vi forutsette

, og da skal vi ha

Dersom n er et oddetall, er

definert for alle tall a og

avhengig av om

eller

slik at x er positiv.

er positiv eller negativ

Regnereglene for produkt og kvotient gjelder selvsagt også for n-te røtter:

206

01.01.2000

Eksempel 3

Regn ut

Vi får

Sammenhengen mellom røtter og potenser

Vi har hittil bare tatt for oss potenser der eksponentene var hele tall. Vi kan, hvis vi forutsetter at grunntallet , også definere potenser der eksponentene ikke er hele tall, men hvilke som helst positive tall, for eksempel en brøk.

La oss først prøve oss med en potens av a med eksponent skrive

. Denne potensen kan vi

. Men hva skal dette bety?

Vi forutsetter at regnereglene for potenser fortsatt skal gjelde. Vi husker for eksempel at: .

Vi setter nå inn

, og får

Men i avsnittet om kvadratrøtter ser vi at

. Dermed er både

207

01.01.2000

. Det betyr at vi må definere

Helt tilsvarende vil vi finne at opphøyd i

, siden

. Vi skjønner at a

kan settes som n-te rota til et tall a,

. Dermed kan vi konkludere med følgende:

Definisjon For et tall

og en brøk

sier vi at

Legg merke til at vi like gjerne kunne ha skrevet:

. Dette forteller oss at

Eller sagt med ord: Vi kan opphøye i en potens og trekke ut rot av et tall i vilkårlig rekkefølge. Resultatet blir likt. Eksempel 1

Vi vil regne ut

. Det kan vi nå gjøre på forskjellige måter.

208

01.01.2000

Alternativt:

Sannsynlighetsregning Introduksjon

Sannsynlighetsvurderinger danner bakgrunn for å fastsette størrelsen på forsikringspremier og for å forutse svingninger på børsen. Det tas politiske avgjørelser basert på sannsynlige utviklinger, og sannsynlighet er mer eller mindre direkte med på å bestemme våre egne små og store avgjørelser og disposisjoner i dagliglivet. I dette kurset skal vi ikke lære nok om sannsynlighet til å kunne forstå avanserte beregninger fra et forsikringsselskap, eller for den saks skyld modeller for demografisk utvikling. Vi skal nøye oss med å se på noen sentrale momenter fra sannsynlighetslærens grunnlag. Vi vil i

209

01.01.2000 stor grad nøye oss med sannsynlighet i spill og lek, eller ”sjansespill og hasard” som den berømte franske matematiker og astronom Pierre Simon de Laplace (1749-1827) kalte det. En forutsetning for å få utbytte av arbeidet er et godt grunnlag i prosent- og brøkregning.

Hva er sannsynlighet?

Noen eksperimenter er av en tilfeldig type, altså slik at vi ikke på forhånd kan forutsi resultatet ved hjelp av naturens lover eller et eller annet resonnement. Når vi kaster en terning vet vi at resultatet må bli ett av tallene 1, 2, 3, 4, 5 eller 6, men ikke hvilket. Dette kalles et stokastisk forsøk. Derimot kan vi si noe mer presist om akselerasjon, hastighet og falltid når en stein slippes mot jorda. Da kan vi forutse forløpet ved hjelp av kjente lover fra fysikken, og kan beskrive det som skjer presist, for eksempel ved å bruke et funksjonsuttrykk fra matematikken. Det som skjer kan kalles deterministisk, resultatet er gitt fra betingelsene. Hvis vi har kartlagt alle muligheter i et eksperiment hvor resultatet er tilfeldig, i et stokastisk forsøk, er det innlysende at det må være 100 % sannsynlighet for at vi ender med ett av de mulige resultatene. Ellers ville det bety at vi ikke greide å kartlegge alle mulighetene før eksperimentet ble gjennomført. Dersom vi kaster en mynt, skal det i prinsippet være like stor sjanse for å få mynt som for å få kron (vi ser bort fra muligheten av at mynten kan lande på høykant, uten å vise noen av delene). Vi kan godt si at mulighetene er femti-femti. I dagligtalen mener vi da vanligvis at det er like stor sjanse for å få det ene som det andre. I matematikken tolker vi uttrykket som at vi har to mulige utfall, og at vi har 50 % sannsynlighet for hvert av tilfellene. Vi kan erstatte 100 % med tallet 1. Prosent betyr jo hundredeler, og 100 % . Og da kan vi også ved myntkast si at hvert av utfallene har sannsynlighet 0,5.

Noen presiseringer Når vi regner med sannsynlighet, er alltid poenget at vi skal finne hvilke utfall som til sammen utgjør 100 % av mulighetene, og hvor stor andel av 100 % ett eller flere utfall har. Men først vil vi presisere noen begreper.

Definisjon a

Et mulig resultat av et eksperiment med tilfeldighet kalles et

210

01.01.2000

utfall. b Utfallsrommet er mengden av alle mulige, forskjellige utfall. Som symbol for utfallsrommet brukes ofte U. c En hendelse eller begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. En begivenhet består av ett eller flere utfall.

Merk at ordene hendelse og begivenhet er synonymer. De står for en del av de mulige utfallene: ingen, ett utfall, noen utfall eller alle.

Eksempler 1 Dersom det gjelder kjønnet på et barn som blir født, består utfallsrommet av mulighetene gutt eller jente. U = {gutt, jente}. Gutt og jente er hver for seg, men også sammen, begivenheter i utfallsrommet. 2

Dersom vi skal kaste en mynt, er utfallsrommet kron og mynt.

U = {kron, mynt}. Kron og mynt er hver for seg, men også sammen, begivenheter i utfallsrommet. 3

Hvis forsøket er å kaste en terning, består utfallsrommet av 1, 2, 3, 4, 5, og 6.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Å få 6 er et eksempel på en begivenhet fra utfallsrommet. Å få 1, 2 eller 5 er et annet eksempel på en begivenhet.

Uniform sannsynlighet

I den første delen av dette kurset arbeider vi med sannsynlighet i situasjoner hvor det er enkelt å telle opp eller tenke seg fram til alle de mulige utfallene i hele utfallsrommet. Seinere skal vi se på mer kompliserte utfallsrom, som en lottotrekning. Da trenger vi et kraftigere verktøy for å finne utfallsrommet. Det verktøyet kalles kombinatorikk (læren om telling).

Hvordan finner vi sannsynligheten?

211

01.01.2000 Når hvert enkelt utfall er like sannsynlig som hvert av de andre, finner vi sannsynligheten for den hendelsen vi er ute etter ved å dele antall gunstige utfall på antall mulige utfall i hele utfallsrommet. Med gunstig utfall mener vi et utfall som er med blant dem vi vil ta for oss i en hendelse. Denne sammenhengen er en hjørnestein i sannsynlighetslæren, og skal derfor få mye oppmerksomhet i dette kurset.

Statistisk sannsynlighet

Statistiske sannsynlighetsmodeller settes opp på grunnlag av mange forsøk, gjerne mange tusen. Deretter regner vi med at den relative frekvensen for utfallene representerer virkeligheten, og vi bruker dette som en statistisk sannsynlighet for de mulige utfallene. For en vanlig, symmetrisk spilleterning er sannsynligheten for hvert av utfallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 lik %. Men så viser det seg at noen har laget en jukseterning ved å feste en liten ekstra vekt på siden med verdien 1. Da er det større sannsynlighet for å få verdien på den motsatte siden, nemlig 6, siden terningen oftere vil lande med verdien 1 mot underlaget. Og det er mindre sannsynlighet for å få verdien 1. Av 10 000 kast med jukseterningen ble resultatene:

Verdi

Antall tilfeller

1009

1631

1369

1008

4952

For ideelle terninger er altså sannsynligheten for å hver av verdiene 1, 2, 3, 4, 5, 6 lik For jukseterningen er sannsynlighetene forandret. Men vi har dessverre ikke lenger mulighet til å forutsi disse sannsynlighetene teoretisk. Terningen har ikke lenger en homogen vektfordeling. I slike tilfeller må vi nøye oss med å bruke den relative

212

01.01.2000 frekvensen for terningverdiene ved mange kast som et mĂĽl for sannsynlighetsfordelingen for den vektede terningen:

Verdi

Relativ frekvens

Ideen er: Vi kaster terningen svĂŚrt mange ganger og regner med at resultatene vi har funnet vil representere et utvalg av terningkast. Men her er det en viktig forutsetning. Dersom vi istedenfor 10 000 terningkast hadde valgt 10 terningkast, kunne fordelingen blitt, for eksempel, som denne:

Verdi

Antall

Relativ frekvens

213

01.01.2000

% 5

Hvis vi brukte disse relative frekvensene som et mål for sannsynlighet, skulle det vært umulig å få terningkastene 1 og 5. Dette er opplagt urimelig. Statistiske sannsynlighetsmodeller settes opp på grunnlag av mange forsøk, gjerne mange tusen. Deretter regner vi med at den relative frekvensen for utfallene representerer virkeligheten, og vi bruker dette som en statistisk sannsynlighet for de mulige utfallene. I de tilfellene hvor vi kan beregne sannsynligheter ut fra en teoretisk modell, for eksempel som uniform sannsynlighet, kan vi få en sjekk på om forutsetningene i modellen er oppfylt ved å gjøre mange forsøk og beregne den relative frekvensen for disse. Med en rettferdig terning som kastes 10 000 ganger, bør for eksempel utfallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 oppnås omtrent det samme antall ganger, cirka 10 000 : 6, det vil si 1 650 til 1700 ganger.

Mengdelære og Venn-diagram

Hva er en mengde? Hva er unionen og snittet av to mengder? Hva er et Venn-diagram og hva brukes det til? Mengdelære Et utfallsrom består av en samling utfall, de mulige resultatene i et forsøk. Denne samlingen representeres som en mengde. Først litt repetisjon: De enkelte objektene i en mengde kalles elementer. Unionen av to mengder A og B er en ny mengde som har med alle elementene som forekommer i en eller begge de to mengdene vi danner unionen av. Snittet av to mengder A og B er mengden som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

Venn-diagram 214

01.01.2000

La oss nå tenke oss at en mengde består av utfallsrommet i en sannsynlighetsberegning. Vi velger å tegne opp hele utfallsrommet som en firkant (et rektangel), og innholdet i firkanten skal representere hele innholdet i utfallsrommet. Deretter tegner vi begivenheter som sirkler eller andre passende områder inne i utfallsrommet. Eksempel 1

Vi lar i Venn-diagrammet nedenfor hele firkanten representere utfallsrommet ved terningkast, og den røde sirkelen representerer begivenheten at resultatet blir 2 eller 3. Ellipsen kan representere begivenheten 1, 3 eller 6. Da må vi skrive 2 inne i den røde sirkelen og ikke i ellipsen. Videre må 1 og 6 være inne i ellipsen til høyre, og ikke i det røde. Men tallet 3 skal være med i begge, altså må det plasseres inne i området hvor de overlapper hverandre. Utenfor begge ringene må vi plassere tallene 4 og 5.

Vi kan eventuelt kalle mengdene for A og B:

I dette eksemplet er unionen av mengdene A og B

215

01.01.2000 Spesielt, hvis vi tar en union mellom en mengde og hele utfallsrommet, er resultatet alltid lik utfallsrommet.

Snittet av de to mengdene A og B i vårt eksempel består rett og slett bare av tallet 3.

Vi ser også at for en vilkårlig mengde er snittet av denne og hele utfallsrommet lik den oppgitte mengden:

Vi har også nytte av begrepet delmengde:

Definisjon En mengde A sies å være en delmengde av en annen mengde B dersom alle elementene som er i A også er i B.

Med et Venn-diagram kan delmengdeforholdet uttrykkes på denne måten:

Hele A må være inne i B. Da er A en delmengde av B. Symbolet vi bruker for delmengde er . Merk at en begivenhet A alltid er en delmengde av utfallsrommet. Dette kan vi dermed uttrykke på denne måten:

216

01.01.2000 Det er også et begrep som kalles differensen mellom to mengder. Differensen mellom tall og differensen mellom mengder er forskjellige begreper, og derfor bruker vi en skrå strek for å symbolisere mengdedifferens. Definisjon Differensen mellom to mengder A og B, skrevet , består av alle elementer som er i A, men ikke i B. Tilsvarende er differensen lik alle elementer som er i B, men ikke i A.

Det første vi legger merke til, er at hvis mengdene A og B er forskjellige, så er . Rekkefølgen i en differens har altså noe å si, akkurat som ved subtraksjon av tall. Men hvis mengdene A og B er like, er differensen lik den tomme mengden, som noteres ring med en strek over): Altså, dersom A = B, så er

(en

Definisjon To mengder A og B kalles disjunkte hvis de ikke har noen elementer felles. Dette betyr at A og B er disjunkte når , altså at det ikke er noen elementer som er både i A og B.

Dette har som konsekvens at dersom to mengder A og B er disjunkte, vil de elementene som er i A, men ikke B, være alle elementene i A. Altså: For disjunkte mengder A og B er

Det siste begrepet vi tar med fra mengdelære er komplementmengde: Definisjon Komplementet til en mengde er differensen mellom hele utfallsrommet (hele ”universet”) og mengden. Komplementet til en mengde A skrives AC, meden liten C oppe til høyre for mengden.

Komplementet til en begivenhet er differensen mellom utfallsrommet og begivenheten. Det betyr at komplementet til en begivenhet inneholder alle elementer i utfallsrommet som ikke er i begivenheten: AC=U\A Vi merker oss dessuten at en mengde A og komplementmengden AC til A er disjunkte, og

217

01.01.2000 at unionen av en mengde og denne mengdens komplementmengde danner hele grunnmengden. I en sannsynlighetsberegning er grunnmengden hele utfallsrommet. Kort notert: A∩AC=∅ A∪AC=U

Eksempler

2 Terningkast U={1,2,3,4,5,6}. Sett begivenheten B={1,6}. Da er komplementet til B lik: BC=U\B={2,3,4,5}. Komplementet inneholder altså alle verdier i utfallsrommet som ikke er i begivenheten B.

Kjønn på baby

U={gutt,jente}. La begivenheten K={gutt}. Da er komplementet til K lik: KC=U\K={jente} 4

Myntkast

U={mynt,kron}. La begivenheten M={mynt,kron} . Siden M er lik utfallsrommet, er komplementet lik den tomme mengden:

MC=U\M=∅ Det er ingen elementer i U som ikke er i M, og dermed har vi ikke noen elementer i komplementet til M.

Sannsynlighet for kombinasjoner av begivenheter

Vi skal nå se på kombinasjoner av begivenheter og prøve å finne regler for å beregne sannsynlighet i slike situasjoner. Sannsynlighet for kombinasjoner av begivenheter: union

Eksempel

218

01.01.2000

Vi vil igjen kaste terning. Vi tenker oss to forskjellige begivenheter, A = {3}, og B = {4, 5, 6}. Hva er så sannsynligheten for et utfall i unionen sannsynligheten for å få 3, 4, 5 eller 6.

? Da spør vi etter

Den enkleste måten å regne på er å finne at antall mulige, og finne at det er

, dele antall gunstige på

sannsynlighet.

Vi kan også tenke oss fram til dette på en annen måte: Siden A og B er disjunkte, er antall gunstige tilfeller, dvs. antall elementer i , lik antall elementer i A pluss antall elementer i B. Det betyr at den totale sannsynligheten finnes som sannsynligheten av A, P(A), lagt til sannsynligheten av B, P(B). Vi ser at

. Når A og B er disjunkte mengder, blir dermed den totale sannsynligheten:

. Dette gjelder generelt:

Regel Dersom mengdene A og B er disjunkte, så er sannsynligheten for et utfall i unionen

lik summen av sannsynlighetene til utfall i A

og i B:

Men hvis vi isteden tenker oss A = {3, 5}, og B = {4, 5, 6}, kan vi ikke bare legge sammen sannsynlighetene for A og B. Sannsynligheten for et utfall i

må jo fortsatt

være . Men sannsynligheten for A, dvs. P(A) er nå . Saken er at hvis vi legger sammen P(A) og P(B), vil vi regne med tilfellet at vi får 5 i begge sannsynlighetene. Resultatet er at dette har blitt telt med to ganger. 5 er det eneste tallet som hører til snittet av A og B. Dette betyr at

Antall gunstige tilfeller, dvs. antall elementer i elementer i B minus antall elementer i

, lik antall elementer i A pluss antall

. Herav kan vi utlede en tilsvarende formel

219

01.01.2000 for sannsynlighet:

. Dette resonnementet gjelder generelt, og vi kan formulere det slik: Den totale sannsynligheten

finnes som sannsynligheten av A, P(A), lagt til sannsynligheten

av B, P(B), minus sannsynligheten

for

Sannsynlighet når A er en delmengde av B

Vi ser fortsatt på eksperimentet med å kaste terning, men endrer nå til A = {5}, og bruker som før B = {4, 5, 6}. Da er A en delmengde av B, og vi spør etter sannsynligheten for et utfall i B \ A. Da spør vi etter sannsynligheten for å få 4 eller 6 og ikke 5. Dette blir . La oss også se dette på en annen måte: Siden A og B \ A er disjunkte, og er etter det vi nettopp kom fram til

og vi får dette resultatet, som også har generell gyldighet:

Regel Dersom vi har to mengder A og B, og

I vårt eksempel er

, så er

, og vi ser at

Ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller

Her får du se to eksempler på ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller.

220

01.01.2000 Eksempel 1

Tre venner, Kari, Lars og Mari, skal bli med mor på biltur. De vil avgjøre hvem som skal sitte foran i bilen ved å kaste to mynter, og er enige om at hvis det blir to kron, så skal Kari sitte foran, blir det to mynt, vinner Lars forseteplassen, og hvis det blir en kron og en mynt, er Mari den heldige. Men så begynner de å lure på om dette var en rettferdig måte å trekke ut vinneren. For å finne ut av dette gjennomfører de 100 kast med to mynter, og får følgende resultat – vi lar K stå for kron og M for mynt: Begge viser K: 28 En K og en M: 48 Begge viser M: 24 Dette tyder jo ikke på at trekkemetoden er rettferdig. Det synes som om Mari har omtrent dobbelt så stor sjanse for å vinne som hver av de andre. Det må være opplagt at to K og to M i utgangspunktet burde være like sannsynlige ut fra en symmetritenkning. Resultatet av de hundre kastene kan derfor tyde på at sannsynlighetsfordelinga for trekkinga til Kari, Mari og Lars er:

Det sentrale poenget her er at det utfallsrommet vi opererer med, som består av de tre mulighetene to K, en K og en M, to M, ikke er uniformt. Men vi kan omformulere problemet slik at vi får en uniform sannsynlighetsfordeling. Så la oss se på dette på nytt: For mynt nr. 1 er det to muligheter, henholdsvis K og M. For mynt nr. 2 er det også to muligheter, K og M. Utfallene for de to myntene er uavhengige av hverandre. Dette gir oss fire sammensatte tilfeller, som vi kan illustrere i en tabell: Mynt 2 M

Mynt 1

Det blir fire ordnede par av utfall. Siden utfallene for hver mynt er upåvirket av den andre i hvert enkelt kast, er disse ordnede parene hver like sannsynlige. Da har vi omformet problemet til en uniform sannsynlighet med fire utfall, og hvert av de fire utfallene (K, K), (K, M), (M, K) og (M, M) har sannsynlighet utvelgelsen av forseteplass hadde Mari en sannsynlighet på erobre plassen.

. Og det viser nettopp at i % for å

221

01.01.2000 Eksempel 2

I dette eksemplet kaster vi to vanlige spillterninger og er interessert i summen av antall øyne på de to terningene. Vi kan få alle summer fra opp til . Men vi aner at ikke alle summene er like sannsynlige, og at de midt i, tenk på 6, 7 og 8, har større sjanse for å opptre enn de ekstreme verdiene, for eksempel 2 og 12. En statistisk undersøkelse, ved for eksempel å kaste to terninger hundre ganger, vil bekrefte det. De 11 mulige utfallene 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 representerer ikke en uniform sannsynlighet. Vi vil omforme problemet, slik at vi har en uniform modell. Tenk på de to terningene som terning nummer 1 og nummer 2, eller gjerne en rød og en grønn terning. Et resultat kan skrives som for eksempel (1, 2), hvor tallet til venstre er resultatet fra den røde terningen, og tallet til høyre er resultatet fra den grønne terningen. En oversikt over hele utfallsrommet kan settes opp i en tabell.

Terning 2 6

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

Terning 1

De 36 rutene i tabellen representerer 36 utfall som hver har like stor sannsynlighet, nemlig

. Vi har en uniform sannsynlighetsfordeling.

Hvis vi nå i tabellen skriver summer istedenfor tallpar, kan vi direkte ved opptelling se at for eksempel resultatet 7 som sum har en sannsynlighet på har størst sannsynlighet.

, og 7 er summen som

222

01.01.2000

Terning 2 6

Terning 1

Uavhengige hendelser

I dette avsnittet skal vi se på hvordan vi regner ut sannsynlighet ved uavhengige hendelser. Eksempel 1

Ved to myntkast er utfallsrommet . Utfallet i første kast påvirker ikke utfallet i andre kast. Vi kaller begivenheten å få kron i første kast for A, og å få kron i andre kast for B, og ser igjen på sannsynligheten for kron i begge kastene. Antall elementer i utfallsrommet er 4. Her er

Det eneste tilfellet som både er i A og B i det sammensatte forsøket (å kaste mynten to ganger), dvs. i

, er utfallet (K, K). Antall gunstige utfall i

fortsatt 4 mulige tilfeller i utfallsrommet, så sannsynligheten for

er dermed 1. Det er er dermed:

. Vi ser at

223

01.01.2000

Definisjon To begivenheter kalles uavhengige dersom utfallet i den ene ikke påvirker utfallet i den andre.

Vi merker oss også følgende, som gjelder generelt: Regel Når to begivenheter A og B er uavhengige, er

Eksempel 2

Vi går tilbake til eksempelet med å trille to terninger. Vi setter som gunstig å få 6 på begge terningene. Altså er sannsynligheten og . Her vet ikke den ene terningen noe om utfallet på den andre, så dette er uavhengige hendelser. I det sammensatte forsøket er det i alt 36 kombinasjoner av ordnede tallpar, og bare én av disse er gunstig, nemlig kombinasjonen (6, 6). Altså er sannsynligheten Og vi kan kontrollere at

Sannsynlighet ved komplementære hendelser

I tillegg til å vise hvordan vi regner ut sannsynligheten ved komplementære hendelser, skal vi også se på et eksempel. I dette eksemplet vil vi se at det utvilsomt er fornuftig og arbeidsbesparende å gå via komplementærhendelser for å beregne sannsynlighet i enkelte tilfeller. Sannsynligheten for begivenheten A, å få 6 når vi kaster en terning, er lik . Sannsynligheten for ikke å få 6, det vil si sannsynligheten for hendelsen AC, blir da . Dette gjelder selvsagt også generelt: Regel For en hendelse A og komplementærhendelsen AC gjelder at

224

01.01.2000

Regelen kan omskrives til

Eksempel

Ved et kast med en terning er sannsynligheten for å få 6 lik . Vi spør om hva sannsynligheten er for å få en 6 ved henholdsvis to og tre kast. Her er det nærliggende å anta at sannsynligheten for å få 6 ved to kast må være dobbelt så stor som for å få en 6 ved ett kast. Men da må vi være forsiktige. For videreføring av resonnementet ville bli at sannsynligheten er ved tre kast, og ved fire kast osv. Ved seks kast skulle vi da være 100 % sikre på å få en sekser, noe de fleste har opplevd slett ikke er tilfelle. Vi vil derfor analysere tilfellet med to kast litt nøyere. Kall hendelsen å få 6 i første kast for A, og likeledes å få 6 i andre kast for B. Å få 6 ved to kast betyr da å få et utfall i hendelsen

. Hvis vi legger sammen sannsynlighetene for A og for B, betyr det at

muligheten å få 6 i begge kastene, har blitt telt med to ganger. Vi må trekke fra én gang for å få det riktige resultatet. Det er nettopp hva vi har sett:

. (Merk at Resultatet

siden A og B er uavhengige hendelser). er litt mindre enn

Hvis vi skulle gjennomføre en tilsvarende analyse for tre kast med en terning, ville det blitt mer komplisert. Men nå er vi heldige, for det fins en annen og enklere måte å tenke på. Vi tar først tilfellet med to terningkast. Sannsynligheten for å få seks ved to terningkast er lik 1 minus sannsynligheten for ikke å få 6 ved de to kastene, altså verken i første eller andre kast. Sannsynligheten for ikke å få seks ved to kast er lik (minst en) 6, er da lik

. Sannsynligheten for komplementærhendelsen, å få .

Ved tre kast ser vi at sannsynligheten for å få (minst en) 6 blir %. Og som en kuriositet: Sannsynligheten for å få 225

01.01.2000

(minst en) 6 ved seks kast blir

%. Og det er jo langt unna 100 %.

I dette eksemplet ser vi at det utvilsomt er fornuftig og arbeidsbesparende å gå via komplementærhendelser for å beregne sannsynlighet i enkelte tilfeller.

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet er i prinsippet det samme som vanlig sannsynlighet. Det som skiller de to er at vi ved betinget sannsynlighet kun ser på deler av utfallsrommet. Eksempel 1

Vi ønsker ved kast med to terninger å finne sannsynligheten for å få summen 11 gitt at den første terningen viser 5. Når det er gitt at den første terningen viser 5 er den delen av utfallsrommet vi er interessert i begrenset til disse seks utfallene: (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6). Siden dette nye, begrensede utfallsrommet bare har 6 elementer, og det eneste gunstige utfallet er (5, 6), ser vi at sannsynligheten for å få summen 11 gitt at det første terningkastet ble 5, er

En betinget sannsynlighet er altså en beregning av sannsynlighet når det er lagt begrensninger på utfallsrommet. Betingelsen i sannsynligheten legger en føring på hvor stor del av utfallsrommet som er aktuell. Notasjon for sannsynligheten av en hendelse B når det er forutsatt (gitt) en hendelse A, er P(B | A), som leses sannsynligheten for B gitt A.

Definisjon For to begivenheter A og B i et uniformt utfallsrom, er betinget sannsynlighet for B gitt A definert etter følgende formel: .

Altså er sannsynligheten for B gitt A lik antallet utfall i snittmengden av A og B, delt på antallet utfall i A. Dette kan illustreres ved hjelp av et Venn-diagram.

226

01.01.2000

I definisjonen av betinget sannsynlighet kan vi dividere med n(U) (antallet elementer i hele utfallsrommet) både i teller og nevner:

Nå er , og likeledes er betinget sannsynlighet:

. Og da får vi denne formelen for

Det betyr at hvis vi skal finne sannsynligheten av B gitt A, så kan vi først finne sannsynligheten for den delen av B som er i A, nemlig sannsynligheten

, og deretter dividere

på sannsynligheten P(A) for A.

Vi går tilbake til eksempelet over, med terningkast, for å illustrere betinget sannsynlighet ved hjelp av formelen. Så kan vi se at resultatet blir det samme.

Eksempel 2

Vi kaster igjen to terninger, og skal se på hva sannsynligheten er for begivenheten B, at vi får til sammen 11, gitt begivenheten A, at den første terningen viser 5. Vi har altså A = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}. Sannsynligheten , for det er 6 gunstige av 36 mulige utfall. I snittmengden mellom A og B finner vi bare det ordnede tallparet (5, 6), fordi (5, 6) er det eneste tallparet som både er i A (5 på første terning) og i B (gir sum 11). Sannsynligheten for snittmengden er , siden det bare er ett gunstig utfall, men 36 mulige utfall i utfallsrommet. Bruker vi så formelen for betinget sannsynlighet, får vi:

227

01.01.2000

Resultatet er nødvendigvis akkurat det samme som tidligere. Omvendt kunne vi også spørre etter sannsynligheten for at det er 5 på den første terningen, gitt at summen er 11. Da er situasjonen at det er to utfall (5, 6) og (6, 5) som gir sum 11, men bare ett av disse er i A (5 på første terning), nemlig (5, 6). Vi får

Uavhengige hendelser og betinget sannsynlighet

Ofte er sannsynligheten P(B) for en hendelse B forskjellig fra en betinget sannsynlighet P(B | A) for B gitt A. I eksempelet vi studerte i sammenheng med betinget sannsynlighet, er sannsynligheten for å få sum 11 på to terninger gitt at den første terningen viser 5, forskjellig fra sannsynligheten for å få sum 11 uten å vite noe om resultatet av det første terningkastet. I uavhengige begivenheter er derimot sannsynligheten for en begivenhet gitt en annen, den samme som sannsynligheten for begivenheten i utgangspunktet. Vi fant ut at for betinget sannsynlighet gjelder

Om vi nå setter inn at for to uavhengige begivenheter er

, får vi:

Vi ser derfor at når A og B er uavhengige er den betingede sannsynligheten P(B | A) lik sannsynligheten P(B). Omvendt gjelder da selvsagt også at P(A | B) = P(A).

Eksempel 3

Ved to myntkast er det fire mulige, like sannsynlige utfall: (K, K), (K, M), (M, K) og (M, M). Vi setter A å få K i første kast, og B å få K i andre kast. Sannsynlighetene P(A) og P(B) er opplagt begge lik

. Ett av to utfall er i hvert tilfelle gunstig. Og sannsynligheten

for å få K i siste kast, gitt at vi har fått K i første kast, er jo også klart lik

. Det første

228

01.01.2000 kastet påvirker ikke utfallet i det neste. Nå kan vi sjekke formelen og se at vi får samme resultat:

Kombinatorikk – når begivenheter og utfallsrom er vanskelige å telle opp

Hittil har vi sett på sannsynligheter hvor det er enkelt å telle opp antall mulige utfall i utfallsrommet, og antall gunstige utfall i de begivenhetene vi er interessert i. Vi kunne for eksempel sette opp alle mulighetene i en tabell og dermed få full oversikt. Skal vi derimot se på sannsynligheten for å vinne med en lottorekke, eller sannsynligheten for å trekke en bestemt rekke av kort fra en kortstokk, blir det vanskeligere å telle opp utfallsrommet direkte. Kombinatorikk er den greinen av matematikk som tar for seg å gjøre slike opptellinger på en systematisk måte. Vi skal starte med utfallsrommet for kast med to terninger. Det er seks forskjellige utfall for den ene terningen, og seks for den andre. Ett utfall med den ene terningen kan derfor alltid kombineres med seks mulige utfall på den andre terningen. Sagt på en annen måte: Det er seks mulige utfall per mulig utfall i det første terningkastet. Derfor: Antall mulige utfall totalt = Men hva om vi for eksempel kaster fire terninger? Hvor mange utfall fins da i utfallsrommet? Den første terningen har 6 mulige utfall, som kan kombineres med 6 forskjellige utfall på den andre terningen. På de to første terningene er det derfor mulige utfall. De 36 mulige, kombinerte utfallene på de to første terningene kan hver kobles med 6 forskjellige utfall på den tredje terningen. Med tre terninger er det dermed mulige utfall. Hver av de 216 mulige utfallene fra de tre første terningene kan koples med 6 forskjellige utfall på den fjerde terningen. Med fire terninger kan vi dermed få mulige utfall. Vi kan lett forestille oss hvor vanskelig det er å sette opp en tabell med alle de 1 296 mulige utfallene i utfallsrommet.

Eksempel 1

Hva er sannsynligheten for å trille slik at summen blir 4 med fire terninger? Alle terningene må vise 1. Begivenheten A = {(1, 1, 1, 1)} har bare ett gunstig utfall. Antall mulige utfall, er 1296, så sannsynligheten for A er:

229

01.01.2000

Sannsynligheten for å få sum 4 med kast av fire terninger er altså

Eksempel 2

En skoleklasse har 5 forskjellige lærere, 3 kvinnelige og 2 mannlige. Klassen har 25 elever, 14 gutter og 11 jenter. Klassen skal velge en komité som består av fire personer: en kvinnelig lærer, en mannlig lærer, en gutt og ei jente fra klassen. Hvor mange forskjellige sammensetninger av en slik komité kan tenkes? Hver av de kvinnelige lærerne kan kombineres med en av de mannlige. Det er altså

forskjellige par fra lærerne som kan velges ut.

Hver av de 6 parene med lærere kan kombineres med hver av de 14 guttene. Det er forskjellige måter å velge ut en mannlig lærer, en kvinnelig lærer og en gutt fra klassen. Hver av de 84 mulighetene kan kombineres med hver av de 11 jentene. Det er derfor forskjellige kombinasjoner av 1 kvinnelig lærer, 1 mannlig lærer, 1 gutt og 1 jente fra klassen.

Legg merke til at ordet sannsynlighet ikke er nevnt i dette eksempelet. Årsaken er at det ikke nødvendigvis er slik at alle kombinasjoner av lærere og elever er like sannsynlige (Kanskje noen elever nekter?). Hvis komiteen for eksempel velges ved loddtrekning, derimot, er alle kombinasjoner like sannsynlige.

Permutasjoner

Et stafettlag består av tre personer som skal gjennomføre hver sin etappe etter hverandre. Hvor mange muligheter har vi til å organisere laget? Spørsmålet kan formuleres slik: Hvor mange rekkefølger kan vi finne for tre bokstaver a, b og c? Vi prøver og ser at det blir seks forskjellige måter (rekkefølger): abc, acb, bac, bca, cab, cba. En slik kombinasjon, en rekkefølge av de tre bokstavene, for eksempel abc, kalles en permutasjon. I dette tilfellet er det enkelt å sette opp alle permutasjonene og telle dem. Men i andre tilfeller er det ikke alltid like lett. Vi vil derfor finne en systematisk metode som gir riktig antall permutasjoner ved hjelp av litt regning. La oss igjen se på de tre bokstavene a, b og c. Det er 3 forskjellige bokstaver, a, b eller c, som kan settes opp på den første plassen. Når vi har valgt en av de tre til å stå på første plass, kan denne kombineres med de to gjenværende på plass nummer 2. Der er det da to muligheter. Til slutt er det bare én bokstav igjen som kan stå på den siste plassen. Det er med andre ord

forskjellige måter å stille opp de tre bokstavene på.

230

01.01.2000

Tenk nå at vi skal sette opp de fem bokstavene a, b, c, d og f i alle mulige rekkefølger. Hvor mange måter kan vi gjøre dette på? Det er fem forskjellige bokstaver å velge mellom på den første plassen, deretter fire, så tre osv. Derfor er det forskjellige rekkefølger vi kan sette sammen bokstavene i. Eller kanskje lettere å huske: Fem forskjellige bokstaver kan vi plasseres i forskjellige rekkefølger. Vi generaliserer dette, og tenker oss at vi har et uspesifisert antall bokstaver eller andre objekter. Da vil vi finne mulige rekkefølger, eller permutasjoner av disse. Altså: Vi ganger alle tallene fra 1 til n med hverandre, der n er et eller annet naturlig tall. Det finnes et eget symbol for dette produktet. Vi skriver det n!. Utropstegnet leses fakultet, så n! leses ”n fakultet”. n!

Permutasjoner med klasser av like objekter

I eksemplene over er objektene som sorteres, forskjellige. Hva om vi prøver å telle opp alle kombinasjoner av bokstavene i ordet PAPPA? Her er det tre P-er og to A-er. Dersom vi later som om de tre P-ene er forskjellige fra hverandre, og det samme for de to A-ene, skal vi ordne fem forskjellige bokstaver på vanlig måte. Da er antall muligheter: . Altså 120 forskjellige kombinasjoner av bokstaver. Men mange av disse er jo like, for hvis vi for eksempel bytter om på to P-er eller to A-er, endrer ikke det på ordet. Tenk for eksempel på PAAPP som ett av de mulige ordene. Vi må finne ut hvor mange ganger vi kan vi permutere P-er og A-er her uten at ordet endres. De tre P-ene kan permuteres på 3! = 6 forskjellige måter. For hver av de seks kombinasjonene av P-er, kan vi permutere de to A-ene på 2! = 2 forskjellige måter. Det betyr at antallet 120 er ganger for stort. Vi har med andre ord telt hver av kombinasjonene 12 ganger. Det vil si at antallet permutasjoner vi har til sammen, dersom vi tenker på P-ene og A-ene som innbyrdes like, er 12 ganger for stort. Derfor må vi dele antallet kombinasjoner på 12, for å få riktig antall forskjellige ordkombinasjoner. Resultatet blir at antall måter å organisere bokstavene i ordet PAPPA er:

. Vi kan altså lage 10 forskjellige ord av bokstavene i ordet PAPPA. Prøv å finne dem og skrive dem opp! Generelt, hvis vi har en mengde med totalt n objekter, og k1, k2, …, km er antallene like objekter i mengden, er antall ulike mulige kombinasjoner av disse n objektene

231

01.01.2000

Det var 3 P-er og 2 A-er i PAPPA, og da fikk vi i nevneren 3! ganget med 2!. Så da var kene henholdsvis lik 3 og 2, og n = 6 og m = 2, for tilfellet PAPPA. Eksempel 2

I et billøp er det 9 deltakende biler: 4 er av merket Porsche, 3 Ferrari og 2 Jaguar. Hvor mange rekkefølger kan det bli på resultatlistene når vi bare tenker på bilmerkene? Vi setter inn i formelen:

Antall permutasjoner

Det er altså 1 260 mulige rekkefølger av resultater mellom disse tre bilmerkene, fordelt på denne måten mellom 9 biler.

Kombinasjoner – binomialkoeffisienter Hovedspørsmålet i dette avsnittet er hvor mange kombinasjoner av k elementer det er mulig å trekke ut fra en mengde med n elementer når rekkefølgen ikke har noen betydning. Eksempel

De fleste kjenner til Lotto. Her er det snakk om å gjøre et tilfeldig uvalg av sju tall fra tallene 1, 2, 3, ... , 34. I resultatet er vi ikke opptatt av rekkefølgen på vinnertallene. To forskjellige rekkefølger av sju tall representerer samme vinnerrekke. Ingen av tallene kan trekkes to ganger. Hvordan kan vi finne hvor mange muligheter det er til å trekke sju tall, uten at noen av tallene trekkes mer enn én gang? Reint fysisk: Hvor mange muligheter er det til å trekke sju forskjellige kuler fra en boks med 34, når det er forutsatt at det ikke skal være tilbakelegging av kuler som er trukket ut? I forlengelsen av

232

01.01.2000 spørsmålet har vi jo dette: Hvor stor er sannsynligheten for at akkurat den rekka jeg satser på, er vinnerrekka? Vi begynner med å telle opp antall tilfeller i utfallsrommet. La oss først late som om rekkefølgen vi får fram tallene i er av betydning. For det første tallet har vi 34 tall å velge mellom. Det andre tallet kan velges blant 33 tall, siden vi allerede har valgt ett. Det tredje kan så velges blant de resterende 32 tallene, og så videre. Det siste tallet av de sju kan velges blant

tall. Derfor fins det, når vi

regner med at rekkefølgen har betydning, forskjellige kombinasjoner av sju tall blant tallene 1, 2, 3, ... , 34. Dette kalles antall 7-kombinasjoner. Men i Lotto har rekkefølgen på de sju vinnertallene ingen betydning. Det betyr at antallet er så mange ganger for stort som antallet permutasjoner av sju objekter. Og dette har vi nettopp funnet er lik . Hver vinnerkombinasjon er telt 7! ganger. Riktig antall kombinasjoner blir derfor

. Huskeregel: Vi ganger 7 tall nedover fra det høyeste (her 34) med hverandre, og dividerer dette med tallene fra 1 opp til 7. Det er 5 379 616 forskjellige kombinasjoner av tall i utfallsrommet. Dette viser altså at det er over 5 millioner mulige lottorekker. Sannsynligheten for at en enkelt valgt rekke skal vinne i lotteriet blir dermed

%. Hvis vi i eksemplet hadde erstattet tallet 34 med et uspesifisert n og tallet 7 med k, kunne vi gjennomført akkurat det samme resonnementet, og vi ville fått som resultat følgende viktige sammenheng: Antallet kombinasjoner av k elementer som det er mulig å trekke ut fra en mengde med i alt n elementer, når rekkefølgen ikke har noen betydning, er

. Vi kan også si det slik: Antallet uordnede utvalg med k objekter i en n-mengde er lik antall k-permutasjoner fra mengden delt på k! (antallet permutasjoner av de k objektene). Huskeregel: Vi ganger k tall nedover fra det høyeste (her n) med hverandre, og dividerer dette med tallene fra 1 opp til k.

Uttrykket

heter, av grunner vi ikke kommer inn på, en

233

01.01.2000

binomialkoeffisient, og det skrives kort

Vi kan utvikle en formel som noen synes er lettere å huske for

, og ser først på

spesialtilfellet . Vi vil utvide brøkuttrykket ved å multiplisere i teller og nevner med resten av tallene fra 27 og ned til 1:

Da kan vi bruke fakultetskrivemåten til å uttrykke

på denne måten:

. Generelt får vi på samme måte at

. Binomialkoeffisienten uttrykker antallet kombinasjoner av k elementer som det er mulig å plukke ut fra en mengde med n elementer dersom vi ikke er opptatt av rekkefølgen på de k elementene, det vi kaller et uordnet utvalg. Ved mange spill og lotterier gjøres det nettopp slike uordnede utvalg, og da er disse resultatene helt avgjørende for å kunne beregne sannsynlighet for å vinne.

234

01.01.2000

Statistikk Innledning Vi omgås og møter statistikk nesten daglig, i aviser og tidsskrifter, på TV eller i andre sammenhenger. I dagligtalen bruker vi ofte ordet statistikk om en stor samling av tall eller andre data. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på slikt datamateriale slik at det kan gi god og sann informasjon, og være grunnlag for vurderinger og for beslutninger, både privat og i offentlige sammenhenger. I dette kurset skal vi se på det vi kaller beskrivende statistikk (eller deskriptiv statistikk). Det dreier seg om å bearbeide og presentere dataene, foreta beregninger og trekke konklusjoner. I kurset vil vi spesielt ta opp disse emnene: Data, tabeller – klassedeling eller gruppering. Diagrammer – søyle- eller stolpediagram, linje- eller kurvediagram, histogram, sektordiagram. Beregninger på en datamengde – sentralmål og spredningsmål.

Data

Hva mener vi med data? Finnes det forskjellige typer data? Med data mener vi en samling av tall eller annen informasjon som vi ønsker å arbeide med ved hjelp av statistikk. Dataene stammer ofte fra en populasjon, en samling individer eller objekter som det hentes data fra. Det finnes forskjellige typer data. For det første kan vi skille mellom numeriske og ikkenumeriske data. Som navnet antyder består numeriske data av tall. De kalles også kvantitative data. Ikke-numeriske data kalles også kvalitative eller kategoriske data. Disse angir andre egenskaper enn antall, størrelse eller mengde. I en statistisk bearbeiding av et datasett er det mange ganger aktuelt å kvantifisere ikke-numeriske data. Det betyr å tillegge eller erstatte kategoriene med tallverdier. Vi skiller også mellom diskrete data og kontinuerlige data. Diskrete data kan omfatte antall og rekkefølge, slik som poeng på en prøve og avkryssing på et spørreskjema. Kontinuerlige data omfatter måleresultater av for eksempel temperatur, høyde, vekt, tid, konsentrasjon av stoff, kort sagt data som i prinsippet kan anta alle verdier fra et sammenhengende tallområde på tallinja.

235

01.01.2000

I en samling statistiske data kan det ofte være mange forskjellige verdier, noen ganger med små forskjeller på verdiene. Vi får behov for å klassifisere dataene, dele dem i passende grupper. En inndeling i klasser gir bedre oversikt, men fører til noe tap av detaljer og nøyaktighet. Vi henter ofte inn data som samsvarende par fra en populasjon, slik som høyde og vekt av ulike individer – eller en elevgruppes karakter i et fag og holdning til faget. Slike par kan gi interessant statistisk materiale og kanskje avdekke eller belyse eventuelle sammenhenger. Eksempel – eksamenskarakterer

Ved en eksamen på en høyskole oppnådde de 43 kandidatene følgende karakterer:

A er beste og E dårligste ståkarakter, F er ikke bestått. Dataene er her denne oversikten over karakterer, og populasjonen er de eksamenskandidatene det gjelder. Aktuelle spørsmål kan nå være: • Hvordan kan vi bearbeide og presentere disse dataene? • Hvilke beregninger kan vi foreta? • Hva er interessant å få fram her?

Klassedeling av data

Ved målinger kan vi få kontinuerlige data, som kan anta alle mulige verdier innenfor et tallområde. I praksis blir alltid dette tallområdet stykket opp. Det kan for eksempel ha sammenheng med hvor nøyaktig vi kan eller vil foreta målingene. Og vi deler også opp datamaterialet i klasser av hensyn til hvordan vi vil presentere det i et diagram. Det å samle dataene innefor definerte grupper, ofte intervaller på tallinja, kalles å klassedele dataene. Eksempel 236

01.01.2000

Vi tar for oss et utsnitt av høydemålinger av 30 rekrutter på en sesjon. Alle høydene er målt i centimeter.

1 7 7

1 8 1

1 7 2

1 8 5

1 7 9

1 8 0

1 8 1

1 8 2

1 7 3

1 7 4

1 8 9

1 7 0

1 7 3

1 7 6

1 8 2

1 8 7

1 7 7

1 8 9

1 8 1

1 8 0

1 7 2

1 8 0

1 8 8

1 8 2

1 8 4

1 8 2

1 7 1

1 7 9

1 8 9

Høydene er her allerede klassedelt, siden det er rundet av til nærmeste centimeter. Vi prøver å lage en frekvenstabell:

Høyde (cm)

Frekvens

170

171

172

173

174

176

177

179

180

181

237

01.01.2000

182

184

185

187

188

189

Vi ser at dersom vi skal tegne et stolpediagram blir det 16 stolper, og de fleste av stolpene har høyde 1. Vi velger derfor å klassedele dataene på nytt: Vi grupperer datamaterialet for eksempel i 5 centimeters intervaller, ved å samle alle høydene i intervallet [170, 175) i ei gruppe, i intervallet [175, 180) i neste gruppe, og så videre. I hver enkelt klasse blir det dermed flere tilfeller, og vi kan tegne et diagram som er mindre detaljert, men likevel gir bedre informasjon om hvordan høydene på rekruttene fordeler seg. Her har vi tatt med høydene, 175, 180 og 185 osv., som ligger akkurat på skillene mellom to klasser, i den høyeste klassen. Hver klasse leses ”fra og med ..., til ...”. I den første klassen i frekvenstabellen blir det: ”Fra og med 170 til 175”. Det er dette vi mener når vi over har skrevet [170, 175). Etter den nye klassedelingen får vi denne frekvenstabellen:

Høyde (cm)

Frekvens

170 - 175

175 - 180

180 - 185

185 - 190

Nå har vi en frekvenstabell som er mer oversiktlig og informativ, med kun fire klasser, som hver dekker et område på 5 cm. Vi sier at klassebredden er 5 cm.

238

01.01.2000

Frekvenstabell

Data kan organiseres på mange forskjellige måter. Her skal vi se på hva en frekvenstabell er. En frekvenstabell er en opptelling og ordning av dataene. Eksempel

Vi teller opp de forskjellige karakterene i eksempelet fra forrige avsnitt, og lager en tabell over resultatene. Først kan vi merke av hver enkelt karakter i et telleskjema, som gjerne kan se slik ut:

Karakter

Antall tilfeller

IIIII IIIII I

IIIII IIIII II

IIIII I

Ved bruk av telleskjema til opptelling er det ganske vanlig å erstatte fem loddrette streker ||||| med fire loddrette og en vannrett eller skrå strek over disse. Vi erstatter så strekene i telleskjemaet med siffer, og får en frekvenstabell:

Karakter

Frekvens

239

01.01.2000

Frekvens er bare et annet ord for antall tilfeller, det vil si hvor mange ganger vedkommende data forekommer. Det kalles også hyppighet. For videre statistisk bearbeiding, hvis vi for eksempel ønsker oss å angi gjennomsnittskarakter, vil det være nødvendig å kvantifisere dataene. Her betyr det å erstatte bokstavene A-E med tall, for eksempel sette A = 5, B = 4, C = 3, D = 2, E = 1 og F = 0. Da ville frekvenstabellen se slik ut:

Tallkarakter

Frekvens

Stolpe- eller søylediagram

En måte å organisere data på, er i et stolpe- eller søylediagram. Hva er et søylediagram? Et stolpediagram eller søylediagram (de to ordene betyr det samme) består av rektangler som har like stor bredde og er tegnet i jevn avstand fra hverandre. Høydene på rektanglene representerer datamaterialet. Data som egner seg til å illustrere med stolpediagrammer, er typisk slike data som ikke er definert på sammenhengende tallområder, diskrete data. Eksempel – eksamenskarakterer

Datamaterialet er ikke definert på et intervall på tallinja, men på enkeltstående

240

01.01.2000 bokstaver. Vi kan illustrere med et stolpediagram. Vi tegner stolper med lik bredde og lik innbyrdes avstand. Frekvenstabellen bestemmer høydene på stolpene.

Her er diagrammet tegnet ved hjelp av regnearkprogrammet Excel. Det kan naturligvis også tegnes for hånd. Excel gir forskjellige valgmuligheter for presentasjon av diagrammer. Et alternativ til diagrammet over er å vise søylene i perspektiv:

Linje- eller kurvediagram

Linjediagrammer og kurvediagrammer kan brukes for data som er definert på sammenhengende tallområder, ofte intervaller. Slike diagrammer er velegnede for å beskrive utvikling over tid, men de brukes også i andre sammenhenger. Et linje- eller kurvediagram består av en samling punkter i et koordinatsystem, som representerer de registrerte dataene. Det trekkes rette eller krumme linjer mellom punktene.

241

01.01.2000 Eksempel – temperatur i Oslo, 2003

På Meteorologisk Institutt, Blindern, Oslo blir det systematisk gjennomført målinger av temperatur i lufta ute. Denne tabellen viser normaltemperatur og månedlig gjennomsnitt for 2003 (i grader celsius). I dette datamaterialet er det sett bort fra svingninger i løpet av hver enkelt måned. (Kilde, SSB).

M å n e d N o r m a l G j . s n i t t

Det meteorologene kaller normaltemperatur er et gjennomsnitt over 30 år. Vi kan framstille dataene i et linjediagram:

242

01.01.2000

Den blå streken viser normaltemperatur og den lilla viser gjennomsnittstemperatur for 2003.

Histogram

Hva er et histogram, og hvordan bruker vi det? For å illustrere den typen datamateriale som vi finner i siste eksempel i avsnittet om data og klasseinndeling av data, kan vi tegne et histogram. Ordet histogram brukes i litt forskjellig betydning. Det kan ganske enkelt bety et søylediagram hvor søylene blir tegnet helt inntil hverandre, uten mellomrom. Velger vi like store klassebredder, vil søylene bli like brede, og da er det fortsatt høydene til søylene som indikerer tallverdiene (frekvensene). Men i prinsippet kan klassebreddene være forskjellige i et histogram. Da må vi huske på at det er arealforholdene vi må se på for å sammenlikne klassene. I grunnskolen velges alltid klassebreddene like for et histogram. Det betyr at dersom en velger klassebredde for én klasse av dataene, må alle andre klasser ha den samme klassebredden. Det nye når vi skal lage histogram i forhold til stolpediagram, er at stolpene står inntil hverandre. Histogrammet tar for seg data på et tallintervall, for eksempel høyde eller inntekt, mens stolpediagrammet tar for seg datamateriale som er isolerte tilfeller, for eksempel isolerte karakterer, bilmerker eller andre ikke-numeriske eller diskrete data. Eksempel

La oss så tegne opp histogrammet for rekruttenes høyder i siste eksempel:

243

01.01.2000

På bakgrunn av den klassedelingen som er gjort, vil histogrammet skjule hvordan dataene er fordelt innenfor klassene. Det er umulig for den som ser histogrammet å si noe om dette, med mindre leseren har tilgang på alle dataene.

Sektordiagram

Et sektordiagram, som også kalles kakediagram, er velegnet til å vise relative frekvenser, altså en fordeling av en helhet, gjerne som prosentmessig fordeling av data eller klasser av data. Sektordiagrammer tegnes gjerne som sirkler eller sylindere med lav høyde. Dataene blir fordelt i klasser, eller er naturlig fordelt allerede. Vi regner ut den prosentmessige fordelingen av dataene, kalt den relative frekvensen. Så tenker vi oss at arealet av hele sirkelen representerer alle dataene, det samme som 100 %. Fordelingen av dataene presenteres som sektorer (kakestykker) i sirklene, der sektorenes areal svarer til den relative frekvensen. Flere sektordiagrammer kan også sammenliknes innbyrdes. Da bør arealene til hver av sirklene være proporsjonal med den størrelsen den skal illustrere i forhold til de andre sirklene. Om vi for eksempel bruker sektordiagram og sammenlikner tre land – som Egypt, Brasil og Norge – med hensyn til sysselsatte i ulike næringsgreiner, så bør arealene til sirklene ha samme innbyrdes forhold til hverandre som folketallene i de landene sirklene representerer. Eksempel – eksamenskarakterer

Vi har denne frekvenstabellen:

244

01.01.2000

Karakter

Frekvens

Denne tabellen regner vi om til å vise relativ frekvens. For karakteren A får vi en relativ frekvens på denne tabellen:

%. Tilsvarende utregning for de andre karakterene gir

Karakter

Frekvens

Relativ frekvens i%

4,7

35,6

37,9

14,0

At den totale summen av de relative frekvensene her blir 100,2 % og ikke eksakt 100 %, kommer av den unøyaktigheten som avrundingene medfører. En sirkel skal nå deles inn i sektorer med størrelser som svarer til de relative frekvensene. Hele sirkelens 360 grader svarer til 100 %, og det betyr at 1 % tilsvarer 3,6 grader. Karakteren A skal altså ha

grader. Vi får denne tabellen:

245

01.01.2000

Karakter

Frekvens

Relativ frekvens i%

Sektor i grader

4,7

16,7

25,6

92,1

27,9

100,5

14,0

50,2

14,0

50,2

14,0

50,2

Dette gir oss et sektordiagram med slikt utseende (her tegnet ved hjelp av regnearkprogrammet Excel):

Gjennomsnitt, median og typetall

For å få oversikt over statistiske data er det nyttig å ha informasjon om blant annet sentralmål i materialet. Gjennomsnitt, median og typetall er noen av verdier som i mange tilfeller kan fortelle oss mye om datamaterialet, selv om vi ikke kan holde oversikt over hvert enkelt tall. Vi har sett på et eksempel om rekrutter. Tenk om det for eksempel var høyden til 3000 rekrutter – eller kanskje et helt årskull – istedenfor 30. Da er det jo svært interessant å vite noe om hvilke verdier som disse høydene fordeler seg omkring, og også litt om hvor spredt verdiene ligger rundt de sentrale verdiene. Dette uten å behøve å gjengi alle de 3000 verdiene.

246

01.01.2000 Gjennomsnitt

Gjennomsnittet, ofte kalt den aritmetiske middelverdien eller bare middelverdien, er summen av alle dataene delt på antall data. Eksempel

Hva er gjennomsnittshøyden for de 30 rekruttene i eksemplet? Vi summerer alle de 30 verdiene og får:

Vi har altså 5 397 centimeter å fordele på 30 rekrutter. Gjennomsnittet blir:

Gjennomsnittshøyden på rekruttene er altså 179,9 cm, som vi kan runde av til 180 cm. Median

Medianen finner vi ved å stille opp alle dataene i stigende rekkefølge, og deretter velge ut det tallet som er akkurat i midten. Dersom antallet data er et partall, er det to tall i midten. Da bruker vi gjennomsnittet av disse to tallene. Eksempel

Vi går igjen tilbake til frekvenstabellen over rekruttenes høyder:

Høyde (cm)

Frekvens

170

171

172

173

174

176

177

247

01.01.2000

179

180

181

182

184

185

187

188

189

Datapunkter nummer 15 og 16 er i midten av datamaterialet, med høydene 180 cm og 181 cm. Gjennomsnittet av de to høydene er 180,5 cm. Med andre ord: Medianhøyden til rekruttene er 180,5 cm. Typetall

Typetallet er den verdien i et datasett som forekommer flest ganger. Dersom flere data forekommer flest antall ganger (For eksempel på en prøve med tallkarakterer der 10 stykker får 5 og 10 stykker får 4), er typetallet gjennomsnittet av disse dataene, eller vi kan operere med flere typetall for datasettet. Eksempel 1

Typetallet behøver ikke å være et tall. I eksemplet med eksamenskarakterer er typetallet karakteren C, siden den karakteren forekommer flest ganger. Eksempel 2

Hva er typetallet i eksemplet med rekrutthøyder? Den høyden som forekommer flest ganger er 182 cm, hele 5 ganger. Derfor er typetallet 182 cm. Variasjonsbredde, midtspredning og gjennomsnittsavvik

For å få oversikt over statistiske data er det nyttig å ha informasjon om blant annet spredning i materialet. Variasjonsbredden, midtspredningen og gjennomsnittsavviket er

248

01.01.2000 verdier som i mange tilfeller kan fortelle oss mye om datamaterialet, selv om vi ikke kan holde oversikt over hvert enkelt tall. Her kommer vi til å se hva disse begrepene betyr og hvordan vi kan finne dem. Variasjonsbredde

Variasjonsbredden i et datamateriale er forskjellen mellom den største verdien og den minste. For rekruttene i eksempelet vårt blir variasjonsbredden 189 cm – 170 cm = 19 cm. Det er enkelt å beregne variasjonsbredde. Men som spredningsmål har variasjonsbredden den store svakheten at den bare avhenger av to av dataene: den største og den minste. Det fins andre spredningsmål som gir mer interessant informasjon. Kvartiler og midtspredning

Vi kan dele et datasett inn i fire like deler. Grensa mellom laveste og nest laveste firedel kalles første kvartil. Medianen er det samme som andre kvartil. De tre kvartilene deler altså datamengden slik at 25 % av verdiene er mindre enn første kvartil, 50 % av verdiene er mindre enn andre kvartil og 75 % er mindre enn tredje kvartil. Midtspredningen i et datasett er differensen mellom tredje og første kvartil. Det betyr at 50 % av dataene ligger i et intervall lik midtspredningen. Midtspredningen er ofte et bedre spredningsmål enn variasjonsbredden fordi den kutter ut ekstreme data. For rekruttene i eksemplet foran må vi ta vekk de sju laveste og de sju høyeste verdiene når vi skal finne midtspredningen. Vi finner at denne blir 182 cm – 176 cm = 8 cm. Gjennomsnittsavvik

Gjennomsnittsavviket er et spredningsmål som influeres av alle verdiene i datasettet. Det regnes ut som gjennomsnittet av forskjellene mellom de aktuelle dataene og middelverdien for alle dataene. Alle forskjeller regnes med positivt fortegn. For verdier som ligger under middelverdien, regner vi altså med middelverdien minus den aktuelle verdien. Og for verdier som ligger over middelverdien, tar vi den aktuelle verdien minus middelverdien. Det blir en hel jobb å regne ut dette manuelt, også for så små datamengder som eksemplet med rekruttene. Vi tar det likevel med for å vise ideen, men i praksis gjøres dette ved hjelp av dataprogrammer, for eksempel regneark. Eksempel

For rekruttene i eksemplet har vi funnet at gjennomsnittshøyden er 180 cm. Når vi skal finne gjennomsnittsavviket, regner vi først ut summen av avvikene fra middelverdien:

Så dividerer vi dette på antallet data, som er 30, og får avrundet 4,4. Dermed er gjennomsnittsavviket lik 4,4 cm.

249

01.01.2000

Normalfordeling og standardavvik

Den gaussiske normalfordeling er en modell som beskriver mange fordelinger av realistiske data på en god måte. Teoretisk er normalfordelingen definert ved en spesiell type funksjoner, en eksponentialfunksjon. Grafen til denne funksjonen blir en klokkeformet, symmetrisk kurve. Et eksempel på datasett som tilnærmet har en slik fordeling, er høyden til en aldersgruppe mennesker, for eksempel rekrutter som er inne til sesjon. Videre kan fordelingen av resultatet ved mange typer stokastiske forsøk beskrives ved hjelp av normalfordelingen. Standardavviket er et mye brukt mål for spredning. Motivasjonen for dette kommer fra normalfordelt tallmateriale. Da ligger 68 % av observasjonene innenfor en avstand på ett standardavvik S fra gjennomsnittet, og 95 % av observasjonene ligger innenfor en avstand på 2S. Formelen for å regne ut standardavviket S kan se litt komplisert ut:

Formelen forteller: Vi ser på hvert tall xi i datamengden. Avvikene fra middelverdien blir kvadrert, og alle disse kvadrerte tallene summeres. Vi dividerer så summen med antall data i utvalget, og vi tar til slutt kvadratrota av svaret. Vi må ikke ta for gitt at små datamengder er normalfordelte. Mange store datasett er det for øvrig heller ikke. Men i andre tilfeller vil den teoretiske normalfordelingen svare godt til virkeligheten. Hvis vi lager et histogram på grunnlag av et normalfordelt materiale og trekker en glatt kurve gjennom toppene av stolpene, vil denne kurven få den typiske klokkeformen. Som indikasjon på om et datamateriale er tilnærmet normalfordelt, kan vi lage et histogram for å se om kurven er klokkeformet. Vi kan også beregne standardavviket og undersøke om 68 % av observasjonene ligger innenfor

og 95 % innenfor

Eksempel

250

01.01.2000

Vi ser igjen på høyden våre 30 rekrutter. Vi bruker at gjennomsnittshøyden For å se hvordan vi beregner standardavviket kan vi lage denne tabellen:

x 170

-10

100

171

-9

172

-8

172

-8

173

-7

188

189

------

Sum

899

Deretter dividerer vi summen 899 med antallet 30 og trekker ut kvadratrota av dette. Da får vi standardavviket S. Vi får og

Vi har

Ved direkte opptelling viser det seg at mellom 174,5 og 185,5 finner vi 17 av tallene i datasettet. Dette er rundt 57 %, altså litt mindre enn det vi skulle forvente ved en normalfordeling. Og mellom

ligger i dette tilfellet alle dataene, som jo er noe mer enn 95 %. Avvikene fra normalfordeling har nok sammenheng med det lille antallet data. For eksempel er 68 %

251

01.01.2000 av 30 = 20, bare 3 mer enn det vi observerte her, og 95 % av 30 = 28,5. Så bare to-tre rekrutter kunne endre bildet mye. Det viser seg at ved en stor populasjon, for eksempel alle rekruttene i Norge som er på sesjon ett år, er fordelingen av rekruttenes høyder i svært god overensstemmelse med en normalfordeling. Når vi skal regne ut standardavvik manuelt, blir det fort en stor jobb. Men på lommeregnere som er beregnet for statistiske beregninger, fins en innebygd funksjon med en egen tast for å beregne standardavviket. Tasten har ofte betegnelsen SD – standard deviation. Også statistikkprogrammer og regneark for datamaskin kan selvsagt brukes til å lette eller spare oss for regnearbeidet.

Tall, mengder og tallsystemer Introduksjon

Tall har som begrep en lang kulturell og historisk utvikling. Det gjelder slike begreper som desimaltall, tallet 0 eller negative tall. I det gamle Egypt brukte de ikke desimaltall, bare enkelte brøker isteden. I europeiske land ble desimaltall og negative tall innført så seint som rundt 1500-tallet. Da var ikke dette bare dyder av nødvendighet for matematikerne, men det var også gjenstand for store filosofiske og teologiske diskusjoner. Et nyttig verktøy i forbindelse med tall er mengdelære. Vi vil antyde noen få, sentrale begreper fra mengdelære, før vi fortsetter med en kort oversikt over noen viktige tallmengder. Mengdelære

En mengde i matematisk sammenheng kan bestå av hvilke objekter som helst som vi ønsker oss. De enkelte objektene i en mengde kalles elementer. Vi kommer bare til å ta for oss mengder hvor elementene er tall.

252

01.01.2000

Mengden av tallene på en vanlig, sekssidet spilleterning består av elementene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Med mer presist språk, mer formelt, skriver vi denne mengden som {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Klammeparentesene betyr at innholdet i dem skal leses som en mengde, og vi kaller disse parentesene brukt på den måten for mengdeklammer. Vi leser det som ”mengden av”, etterfulgt av hva som står inni parentesene. Mengdene får gjerne navn i form av et symbol, for eksempel en stor bokstav. Vi kunne for eksempel kalt mengden vår for T: T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Med ord ville vi lest dette som: T er mengden som består av tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Mengder kan være ubegrenset store, det vil si bestå av et uendelig antall elementer. Det gjelder for de viktigste tallmengdene, som vi snart skal ta for oss litt mer systematisk.

Det fins symboler som angir at et element tilhører eller ikke tilhører en mengde. Tallet 2, for eksempel, er med i mengden T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Med symbolspråk kan vi skrive det som: . Vi leser det slik: 2 er element i mengden T. Tallet 7, for eksempel, er ikke element i T. Med symbolspråk: . Dette blir sagt slik med vanlige ord: 7 er ikke element i mengden T. Det fins ganske mange begreper med tilhørende symboler innen mengdelære. Vi tar her med tegnet for union av mengder. Vi kan som eksempel kalle mengden som angir alle partallene på en sekssidet terning for P. P = {2, 4, 6}. Mengden av oddetallene på en sekssidet terning kan vi kalle O. O = {1, 3, 5}. Mengden av alle tallene på en sekssidet terning består av alle partallene og alle oddetallene. En slik sammenslutning av to mengder kalles unionen av mengdene, og en union skrives på denne måten: .

253

01.01.2000 Unionen av to mengder er en ny mengde som har med alle elementene som forekommer i en eller begge av de to mengdene vi finner unionen av. Eksempel

Vi skal danne unionen av mengdene {1, 2, 3, 4, 5} og {3, 4, 5, 6, 7, 8} Vi finner alle elementene som forekommer i en eller begge av de to mengdene: . Legg merke til at vi ikke skriver opp elementene 3, 4 og 5 to ganger, selv om de forekommer i begge mengdene. Tegnene 3, 4 og 5 er kun symboler for eller navn på de tre begrepene: tallet 3, tallet 4 og tallet 5, og vi teller ikke "antall ganger" et begrep er i en mengde, det er enten med eller ikke.

Naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale eller reelle tall Naturlige tall

De naturlige tallene kan sies å være den mest grunnleggende tallmengden. De kalles også telletallene, siden de er tallene som brukes til opptelling: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Når vi skriver prikker på slutten, betyr det at tallene som kommer etter følger samme mønster som de vi allerede har satt opp. Mengden av de naturlige tallene har fått et standardsymbol: en stor, uthevet N. Vi skriver N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. Det er uendelig mange naturlige tall. En fundamental egenskap ved dem er nemlig at ethvert naturlig tall har en etterfølger som er et naturlig tall. Altså, samme hvor stort tall vi tenker på, kan vi alltid finne et større ved å legge til én. Til dette nye tallet kan vi også legge til én, og slik kan vi fortsette.

Hele tall

Hvis vi tar utgangspunkt i de naturlige tallene, og i tillegg tar med de negative tallene samt tallet null, får vi den tallmengden som kalles de hele tallene. De hele tallene har, i likhet med de naturlige tallene, et fast symbol som angir dem: en stor, uthevet Z. Z = {... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Vi legger merke til at de naturlige tallene er inneholdt i de hele tallene. Med symboler:

254

01.01.2000

Dette leses: Mengden N, som er de naturlige tall, er en delmengde av mengden Z, mengden av alle hele tall.

Rasjonale tall

Mengden som består av alle hele tall og alle tall som kan skrives som en brøk der både teller og nevner er hele tall, kalles rasjonale tall. De hele tallene er en delmengde av de rasjonale; vi kan jo også alltid skrive et helt tall n som symbolet Q.

. De rasjonale tallene har fått

Vi noterer oss: N

Man kan uttrykke de rasjonale tallene som en mengde ved hjelp av mengdeklammer:

Vi kan lese denne mengden som: De rasjonale tallene Q er mengden av alle brøker a og b er hele tall, og b er ulik 0. Skrivemåten a, b

Z er en kortform for a

Z og b

, der

Irrasjonale tall – reelle tall

Noen tall kan ikke skrives som brøk. For eksempel er det ikke mulig å skrive eksakte uttrykk for om

eller for

som brøk. Vi tar med et resonnement som viser at tanken

som en brøk vil føre til en selvmotsigelse, og derfor er umulig:

Vi forestiller oss at , og at denne brøken er forkortet så mye som mulig (hvis den ikke er forkortet, kunne vi jo bare gjøre det før vi begynte). Det betyr at for eksempel 2 ikke kan være faktor i både a og i b.

Nå, hvis , må vi ha . Så kvadrerer vi denne likningen og får betyr at a2 er et partall, og da må a selv være et partall.

Sett

. Det gir

, altså

. Det

. Da kan vi forkorte med 2, og får

255

01.01.2000 som viser at også b er et partall. Men da har a og b likevel en felles faktor, 2, som var imot forutsetningen at

var forkortet mest mulig.

Antikkens grekere var sannsynligvis de første til å finne irrasjonale tall. Tallet opp som diagonalen i et kvadrat med sidekanter lik 1 (jf. Pytagoras’ setning).

dukket

Tallet , som alle andre irrasjonale tall, er et tall som ikke kan skrives som en brøk, og dermed heller ikke som et endelig desimaltall. Vi kan likevel tilnærme irrasjonale tall med desimaltall så nøye vi skulle trenge, ved bare å ta med et tilstrekkelig antall desimaler. Vi kan som en kuriositet ta med denne tilnærmelsen til tallet :

Det er ikke noe system, for eksempel ingen periodisitet, i utviklingen av desimalene for , og heller ikke for andre irrasjonale tall. Vi kan aldri forutsi hva som blir den neste desimalen uten å regne den ut – og det kan være komplisert. Det betyr at vi aldri kan uttrykke helt eksakt ved hjelp av desimaltall. Det samme gjelder alle irrasjonale tall. Rasjonale tall kan derimot alltid uttrykkes enten som et avsluttet desimaltall, eller et desimaltall der desimalutviklinga vil gjenta seg med en periodisitet.

Eksempler:

I første tilfellet ser vi at perioden 571428 vil gjenta seg i det uendelige. De irrasjonale tallene er like ”ekte” tall som de rasjonale tallene. Et kvadrat med sidekanter 1 har jo en diagonal, og diagonalen må selvsagt ha en lengde. Vi klarer bare ikke å uttrykke lengden eksakt med desimaltall eller brøker. Vi oppsummerer: Det fins uendelig mange naturlige tall. Det fins også uendelig mange hele tall i tillegg til de naturlige, og de naturlige tallene er en delmengde av de hele tallene. I tillegg fins uendelig mange rasjonale tall som ikke er hele, og de hele tallene er en delmengde av de rasjonale. Til sist fins uendelig mange irrasjonale tall. Til sammen utgjør alle disse tallene, de rasjonale og de irrasjonale, alle tallene vi finner på tallinja, og denne komplette tallmengden kalles de reelle tallene. Symbolet for denne tallmengden er en stor, uthevd R. De reelle tallene er unionen av de rasjonale og de irrasjonale tallene R=Q

{Alle irrasjonale tall}

(Det fins ikke noe eget symbol for de irrasjonale tallene).

256

01.01.2000

Og vi har denne sammenhengen, som viser hvordan tallmengdene er utvidelser av hverandre: N

Eksempler – tall i tallmengdene

Vi vil bestemme hvilke tallmengder følgende åtte tall tilhører:

For det første: De reelle tallene omfatter alle tall vi beskjeftiger oss med, og derfor er alle disse åtte tallene reelle. Så vi vil endre spørsmålet til: Finn den minste eller snevreste av tallmengdene foran som hvert enkelt av de åtte tallene tilhører. Tallet 1 er et naturlig tall. Vi skriver:

Tallet

har vi diskutert under irrasjonale tall, og derfor kan vi si direkte at

irrasjonal,

kan vi regne ut.

, som er et positivt, helt tall, dvs. et naturlig tall.

kan vi også regne ut.

, som også er et naturlig tall.

er ikke et helt tall, men en brøk med heltallig teller og nevner. Derfor er rasjonalt tall.

0 er et helt tall. Z. (I enkelte sammenhenger tar noen med 0 blant telletallene, men vi gjorde ikke det her). er ikke rasjonal.

er et irrasjonalt tall, og dersom vi deler et irrasjonalt tall på 2, får

vi fortsatt et irrasjonalt tall.

7,05 er ikke et helt tall. Vi kan derimot skrive 7,05 som en brøk, 7,05 er et rasjonalt tall:

. Vi ser derfor at

257

01.01.2000 Tallsystemet vårt - og andre tallsystemer

Vårt tallsystem er et titallssystem. Det betyr at tallet ti danner en basis for systemet, vi grupperer i tiere. Tallsystemet vårt er også et posisjonssystem (eller plassverdisystem). Verdien til et enkelt siffer avhenger av den plassen sifferet har i forholdt til de øvrige sifrene i et tallsymbol. For eksempel betyr 5 akkurat fem enheter hvis sifferet står slik aleine. Men i det tresifrede tallsymbolet 153 betyr sifferet 5 ikke fem stykker, men femti. I dette avsnittet skal vi se litt på andre tallsystemer. Det første bruker vi stadig: 60tallssystemet. 60-tallssystemet

Det vanligste eksempelet på bruk av 60-tallssystemet er klokka. I en time er det 60 minutter, og ett minutt er 60 sekunder. Nettopp dette gjør at å regne med tid er en ekstra utfordring for mange elever i skolen. Eksempel 1

Karl skulle ta toget fra Oslo til Trondheim. Toget gikk klokka 09.28, og brukte 6 timer og 43 minutter. Når ankom toget Trondheim? – Vi kan sette det opp slik:

Opp til 60 minutter regner vi i titallsystemet. Vi får først , og flytter 1 tier over på timinuttene. Deretter legger vi sammen tierne i minuttsifrene. Vi får svaret 7, og da må vi huske at det bare er 60 minutter (6 ti-minutter) i en time, og flytte 1 time over på timeplassen. Vi sitter igjen med 1 på ti-minuttplassen. Vi legger sammen timene på vanlig måte, og finner at toget er i Trondheim klokka 16.11. Eksempel 2 - avstand, tid og fart

Trond kjørte fra Oslo til Drammen. Det er en avstand på ca 45 km. Han brukte 31 minutter på turen. Hvor fort kjørte Trond? Hvor mange km/t?

En mulighet er å regne om antall timer til titallssystemet. 31 minutter = tim

time. Fart er tilbakelagt strekning delt på tid, så Tronds gjennomsnittsfart er

258

01.01.2000

derfor . En annen mulighet er å gå via fart som km/min. Vi får . Så multipliserer vi med 60 for å få fart i km/t: .

Totallssystemet, eller det binære tallsystemet

Alle datamaskiner og alle andre elektroniske instrumenter bruker teknologi som hviler på totallsystemet, også kalt det binære tallsystemet. Binærtall er språket elektronikken kommuniserer med. En datamaskin, for eksempel, har en oversetter, vanligvis kalt et operativsystem, mellom mikroprosessoren og brukeren av maskinen, men maskinens ”hjerne” snakker i binærtall. Vi skal bare se på hvordan vi kan telle med totallsystemet, og hvordan vi oversetter vanlige tall til binærtall og omvendt. I vårt vanlige tallsystem har vi enerplass, tierplass, hundrerplass og så videre. I totallsystemet har vi isteden ener-, toer-, firer- og åtterplass og så videre. I titallsystemet baserer vi oss på at sifrene representerer potenser av 10. I totallsystemet har vi potenser av 2. I titallsystemet betyr 31 tre tiere pluss én:

Skriver vi med binærtall blir det i stedet:

De fem enersifrene representerer da henholdsvis 16, 8, 4, 2 og 1. Eksempel 1

Tallet er gitt i binærtall. Hva blir tallet i titallssystemet? Vi har 0 på enerplassen, 1 på toerplassen, 1 på firerplassen, 0 på åtterplassen og til slutt 1 på 16-plassen.

10110 i totallssystemet er det samme som 22 i titallssystemet. Eksempel 2

Tallet 41 er gitt i titallssystemet. Hva blir tallet i totallssystemet?

I totallssystemet kan vi derfor skrive 41 som:

259

01.01.2000 Andre basiser – andre tallsystemer

Tilsvarende til totallsystemet kan det konstrueres tallsystemer med andre basiser, for eksempel 4 eller 5, eller for den saks med basis over 10, et eksempel som er i praktisk bruk er 16. Da måtte vi ha nye sifre for tallene fra ti til femten, og 10seksten ville bety og 0 enere, altså tallet 16. Disse tallsystemene er posisjonssystemer, akkurat som vårt vanlige tallsystem, men de er ikke titallsystemer. Motsatt kunne det også lages tallsystemer med ti som basis, uten at disse var posisjonssystemer. En slik konstruksjon kunne være at vi hadde ett symbol for én, for eksempel bokstaven e, ett symbol for ti, for eksempel en t, ett for hundre, gjerne h, og så videre. I dette titallsystemet vil vi for eksempel oppgi • •

antall dager i februar som tteeeeeeee eller eeeeeeeett antall dager i et år som hhhtttttteeeee

I et slikt additivt system legger vi bare sammen enkeltsymbolenes verdi. Rekkefølgen betyr ingenting. Historisk kjenner vi slike tallsystemer for eksempel fra det gamle Egypt for mange tusen år siden. Det fins også eksempler på kulturer som har (eller har hatt) tallsystemer som benytter en kombinasjon av disse grunnideene, og kanskje i tillegg involverer multiplikasjon. Det gjelder for eksempel det kinesiske. Fundamentet for tallsystemet vårt

Til oppsummering: Tallsystemet vårt har to helt avgjørende, uavhengige egenskaper: • Det er et posisjonssystem. Vi bruker ofte mer enn ett siffer som symbol for et tall, og da bestemmes verdien til det enkelte sifferet av plassen dette har i forhold til de andre sifrene. • Det er et titallsystem. For hver plass lenger et siffer står mot venstre er verdien ti ganger så høy som på forrige plass.

Tallregning - de fire regneartene Introduksjon

De fire grunnleggende regneartene er addisjon (å legge sammen), subtraksjon (å trekke fra), multiplikasjon (å gange) og divisjon (å dele). Før vi begynner er det en fordel å ha klart for seg noen fundamentale sammenhenger mellom de fire regneartene på naturlige tall. Vi tenker oss addisjon som utgangspunktet, og konstaterer at:

260

01.01.2000 Subtraksjon er det motsatte av addisjon. Når vi adderer 3 til 5, får vi 8, og hvis vi så subtraherer 3 fra svaret 8, kommer vi tilbake til 5 igjen. Altså:

Multiplikasjon er gjentatt addisjon. 3 · 5 betyr 3 tatt fem ganger (eller 5 tatt tre ganger), altså

Divisjon er det motsatte av multiplikasjon. Når vi multipliserer 5 med 3, får vi 15, og hvis vi så dividerer svaret 15 med 3, kommer vi tilbake til 5 igjen, altså Divisjon er gjentatt subtraksjon.

betyr at vi kan ta 3 fem ganger fra 15, altså

Vi kan lage dette skjemaet:

ADDISJON

gjentatt

motsatt

SUBTRAKSJON

MULTIPLIKASJON

motsatt

gjentatt

DIVISJON

Når vi møter sammensatte oppgaver og oppstillinger hvor flere av regneartene opptrer, trenger vi å vite i hva slags rekkefølge vi skal utføre operasjonene. Mange ganger brukes parenteser når vi skal håndtere større uttrykk med mange tall. Hensikten med parentesene er nettopp å unngå misforståelser i slike sammensatte beregninger. Men da må det være klart hvordan parentesene påvirker utregningene, og det kommer vi tilbake til senere.

Vi tar her først for oss de fire regneartene på positive tall, spesielt flersifrede tall og desimaltall. Så ser vi hvilke konsekvenser vi får når vi får sammensatte beregninger og innfører bruk av parenteser. Deretter vil vi utvide dette til også å gjelde negative tall.

Addisjon

Regnetegnet for addisjon er +, og det leses "pluss". Når vi adderer, kalles resultatet for en sum. Tallene som adderes, kalles addender eller bare ledd.

261

01.01.2000

Eksempel

Vi skal regne ut papiret.

på

Vi setter tallene over hverandre og passer på at enere, tiere, hundrere og tusener kommer rett ovenfor hverandre. Deretter legger vi sammen enerne først, så tierne, så hundrerne osv.

I tabellform blir det kanskje tydeligere hva som menes med dette.

Tusener

Hundrere

Tiere

Enere

Til sammen er det

tiere. Men i svaret er ti tiere gjort om til en hundrer og en

tier, og den ene hundreren kommer igjen på hundrerplassen. Av hundrere har vi pluss den ene som kom fra de ti tierne. Altså blir det i svaret 3 på hundrerplassen. Hvorfor fungerer metoden? Vi har en viktig forutsetning, som vi formulerer som en

Regel Uavhengig av rekkefølgen vi adderer i og antall tall eller størrelser vi adderer, så blir summen alltid den samme.

Vi tar igjen for oss addisjonen

262

01.01.2000 Tallet 142 kan tolkes spaltes i tre tall: 142 = 2 enere, 4 tiere, 1 hundrer. Tallet 1172 kan vi på liknende måte spalte i fire tall: 1172 = 2 enere, 7 tiere, 1 hundrer, 1 tusener. Dermed kan vi skrive

som summen av sju tall:

= 2 enere + 4 tiere + 1 hundrer + 2 enere + 7 tiere + 1 hundrer + 1 tusener Siden rekkefølgen ikke har betydning, kan vi ordne uttrykket slik at enerne, tierne, hundrerne og tusenene kommer sammen:

Så er det bare å legge sammen enerne først, deretter tierne, så hundrerne osv.:

Når vi stiller tallene ovenfor hverandre, finner vi altså summen av enerne, summen av tierne, summen av hundrerne og summen av tusenene hver for seg, og overfører til neste plass mot venstre hvis det blir ti eller mer av noen av disse.

Subtraksjon

Regnetegnet for subtraksjon er –, og det leses "minus". Når vi subtraherer, kalles resultatet for en differens (eller differanse). Tallet vi starter med, kalles subtrahend (eller minuend), og tallet etter minustegnet kalles subtraktor. Ellers kan vi også kalle både subtrahend og subtraktor ganske enkelt for ledd. Eksempel Vi skal regne ut papiret.

på

Som når vi adderer, setter vi tallene over hverandre og passer på at enerne, tierne, hundrerne og tusenene kommer rett overfor hverandre. Deretter trekker vi enere fra enere, tiere fra tiere osv.

Det blir altså akkurat som ved addisjon, men vi trekker nå fra kolonnevis istedenfor å legge til.

263

01.01.2000

I tabellform:

Tusener

Hundrere

Tiere

Enere

Når vi begynner å subtrahere enere, ser vi at 5 er mer enn 2, og vi kan ikke direkte ta bort 5 enere. Derfor vil vi veksle en tier i ti enere (”låne” en tier). Men vi har ingen tiere. Da veksler vi en av hundrerne inn i ti tiere. Deretter veksler vi inn disse i ni tiere som blir stående på tierplassen, og en tier som vi tenker som ti enere på enerplassen. Nå har vi i alt ti enere pluss de to fra før, som vi kan trekke 5 fra og få resultatet 7. Vi kan illustrere dette slik:

Tusener

Hundrere

Tiere

Enere

Når vi så subtraherer de tre hundrerne, veksler vi på samme måte tusen til ti hundrere:

Tusener

Hundrere

Tiere

Enere

Vi setter en strek over det sifferet vi veksler fra, og vi skriver 10 over det sifferet vi veksler til. Oppstillingen blir slik:

264

01.01.2000

Hvorfor fungerer metoden?

Vi ser igjen på eksempelet

1202 kan spaltes i tre tall: 1202 er 2 enere 2 hundrere 1 tusen 345 kan også spaltes på liknende måte: 345 er 5 enere, 4 tiere, 3 hundrere. Når vi nå skal subtrahere 345, betyr det at vi må trekke fra både 5 enere, 4 tiere og 3 hundrere. Men da må vi veksle litt i tallet 1202, slik at vi har nok av henholdsvis enere, tiere og hundrere: 1202 er 12 enere, 9 tiere, 11 hundrere. Altså er 3 hundrere.

det samme som 12 enere, 9 tiere, 11 hundrere minus 5 enere, 4 tiere,

Vi ser altså at å sette opp tallene ovenfor hverandre, og trekke enere fra enere, tiere fra tiere, hundrere fra hundrere, og tusener fra tusener, tilsvarer helt det vi nettopp har gjort, det blir bare raskere og mer oversiktlig.

Addisjon og subtraksjon av desimaltall

Et desimaltall er et tall som inneholder et desimaltegn (komma). Sifrene som står etter kommaet, kalles desimaler. Første plass etter komma er tidelsplassen, neste plass hundredelsplassen osv. Desimaltall kan brukes til å angi akkurat de samme størrelsene som brøker. Det geniale med desimaltall er at all utregning går helt analogt med regning med flersifrede, hele tall. Vi må bare være omhyggelige med å få kommaet på rett plass. Eksempel To bordbiter er henholdsvis 4,2 m og 5,6 m lange. Hva er summen av lengdene? Det kan regnes ut på forskjellige måter:

265

01.01.2000

Utregningen er akkurat som for hele tall: Enere legges til enere, tideler til tideler, hundredeler til hundredeler osv. Tieroverganger blir også helt analogt med hele, flersifrede tall. Og ved subtraksjon er det helt på samme måte: Hva er differensen mellom de to lengdene?

Multiplikasjon

Multiplikasjon er på en måte en forkortet tenkemåte for addisjon av flere like ledd. Regnetegnet for multiplikasjon er (eller et kryss x), og det leses "multiplisert med" (eller "ganget med"). Når vi multipliserer, kalles svaret for et produkt. Tallene vi ganger sammen kalles faktorer, men her brukes også som i de andre regneartene betegnelsen ledd. Hvis det er bare to ledd, har faktorene også egne navn: multiplikand og multiplikator. Hvis vi tolker som 3 tatt 5 ganger, er 3 multiplikand og 5 multiplikator, men tolker vi det som 5 tatt 3 ganger, er 5 multiplikand og 3 multiplikator. I addisjon kan vi fritt bytte rekkefølge på leddene uten at svaret endres. Det kan vi selvsagt ikke i subtraksjon. Men i multiplikasjon gjelder Ombyttingsregel Vi får samme svar når faktorene bytter plass.

En annen regel som gjelder både for addisjon og multiplikasjon, er Grupperingsregel Når vi skal addere eller multiplisere tre tall, kan

266

01.01.2000

vi gruppere dem sammen som vi vil.

Eksempel: Vi skal regne ut

. Da kan vi ta tallene fra venstre og tenke

. Men vi kan også utnytte at og dermed ende med å regne ut blir samme svar. Tilsvarende gjelder for multiplikasjon.

. Det

Eksempel Kåre hadde sommerjobb i to uker à fem dager. Hver dag jobbet han 7 timer. Antallet arbeidstimer i de to ukene kan vi da finne ved enten først å regne ut at det blir for å få med begge ukene

timer i ei uke, dvs. 35 timer i uka, og så gange med 2

eller ved å gange 7 timer daglig med de

dagene

Tankegangene er dermed, når vi skal regne ut

Vi har også en tredje viktig sammenheng som angår multiplikasjon og addisjon. Vi tar et enkelt talleksempel, å regne ut

Vi kan dele opp utregningen i

. Svaret er 56, og vi kan illustrere det:

pluss

267

01.01.2000

Dette kaller vi fordelingsregelen: Vi skal gange 7 med 8. Dette kan vi utføre ved å dele opp 7 i , deretter regne ut og , og til slutt addere svarene. Fordelingsregelen gjelder naturligvis for alle tall, og den kommer til nytte når tallene blir større eller vanskeligere å regne med. Vi kan, hvis det er ønskelig, også fordele den andre faktoren, for eksempel i det slik:

, og får

Vi går nå over til multiplikasjon av flersifrede tall. I skolen har vi lært en fast oppstilling for å regne multiplikasjoner som er for store til å ta i hodet. Vi skal se på et par slike multiplikasjoner. Eksempel

Vi skal utføre multiplikasjonen

. Noen klarer en slik multiplikasjon i hodet – og det

er jo bra – ved f. eks. å tenke slik: Det er litt krevende å regne ut men

direkte i hodet,

ser vi enkelt at blir 280. Vi kan derfor ta 28 ti ganger, og deretter trekke fra

28, og når vi så tar

får vi svaret 252: .

Den vanlige oppstillingen for multiplikasjon av flersifrede tall har visse likhetstrekk med metoden vi har brukt for å addere og subtrahere. Vi spalter opp tallene i enere, tiere, hundrere osv. Vi stiller ikke opp tallene over hverandre, som i addisjon og subtraksjon, men ved siden av hverandre. Det er ofte hensiktsmessig å sette det største tallet til venstre. Vi ganger først enerne med hverandre, . Vi noterer 7 som minnesiffer (”mente”) på tierplassen, og noterer 2 på enerplassen i svaret:

268

01.01.2000

Så ganger vi de to tierne med 9.

. Vi må deretter legge 7 til tierne, og får da

tiere. 25 tiere og 2 enere er 252.

Hvordan og hvorfor fungerer dette?

Metoden utnytter fordelingsregelen: Vi deler 28 opp i 8 enere og 2 tiere. Oppstillingen er en kort og grei skrivemåte for denne tankegangen: . Eksempel

Regn ut

Å regne dette uttrykket i hodet kan være litt krevende, men noen vil kanskje tenke slik:

blir 1210, og

må være halvparten av 1210, altså 605. Da får vi at .

Vi har delt opp multiplikasjonen i enklere deler ved hjelp av fordelingsregelen. Den vanlige oppstillingen baserer seg, i likhet med hoderegningen, på å dele opp multiplikasjonen i enklere deler. Først tar vi for oss det sifferet som står på enerplassen i tallet til høyre. Vi ganger dette tallet med tallet som står til venstre, slik som i forrige eksempel:

Neste skritt er å gange sifferet som står på tierplassen i tallet til høyre med tallet som står til venstre. Vi plasserer resultatet under det foregående, og forskyver sifrene med en plass mot venstre fordi det er tiere vi ganger med. Altså, det første tallet på tierplassen, det neste på hundrerplassen, osv.

269

01.01.2000

Egentlig kunne vi godt ha skrevet det helt ut slik:

Multiplikasjon av desimaltall

Eksempel

Regn ut

Her må vi nok alle melde pass i forhold til å regne i hodet. Vi må bruke en skriftlig oppstilling, eller finne fram kalkulatoren. Likevel velger vi å gjøre et overslag først, slik at vi kan ha en mening om størrelsen på svaret:

Så vil vi regne ut nøyaktig. I likhet med multiplikasjonene med hele tall ganger vi ett og ett siffer fra faktoren til høyre inn i hele faktoren til venstre.

Her har vi ganget inn tallet 1, men vi lar foreløpig være å skrive komma i mellomsvaret. Det kommer etter at vi har regnet med de øvrige sifrene og skal finne det endelige svaret. Plassen vi setter kommaet på i svaret avhenger av antall desimaler i begge de to faktorene. Antall desimaler i resultatet er faktisk lik summen av antall desimaler i begge faktorene. I vårt tilfelle har begge faktorene to desimaler, så resultatet skal ha fire desimaler. Vi kan fortsette utregningen slik:

270

01.01.2000

Vi setter delresultatene over hverandre, og passer på å forskyve en plass mot venstre for hver gang vi går til et nytt siffer i faktoren til høyre, akkurat som når vi multipliserer hele tall. Til slutt summerer vi, og setter komma slik at vi får fire desimaler. En observasjon: Resultatet er i god overensstemmelse med overslaget. Regel Når vi multipliserer to desimaltall, er antall desimaler i svaret lik summen av antall desimaler i faktorene vi multipliserer.

Multiplikasjon med desimaltall, hvorfor fungerer oppstillingen?

Vi velger et noe enklere eksempel for at det skal bli klarere: . Prinsippet er det samme, men ideene kommer kanskje bedre fram da. Nøkkelen er igjen å dele tallene opp i flere ledd. Vi skal se hvorfor svaret får fire desimaler, slik som regelen sier oss. 4,41 er lik 1 ener, 4 tideler og 5 hundredeler. 2,91 er lik 2 enere, 9 tideler og 1 hundredel. Nå bruker vi fordelingsregelen. Det betyr at vi må gange de tre ensifrede tallene som vi har delt 4,41 opp i, med de tre ensifrede tallene som vi har delt 2,91 opp i. I alt blir det ni multiplikasjoner. Vi får

Vi tar for oss en enkelt detalj:

. Vi vet at 0,9 er tidelen av 9. Da må

være 271

01.01.2000

tidelen av , altså 3,6. Slik går det også med de andre delutregningene. De to siste desimalene i faktorene ender opp som hundredeler, og hundredeler multiplisert med hverandre gir titusendeler, altså fire desimaler. Her ligger begrunnelsen for antall desimaler i det endelige svaret. For å få det mer i overensstemmelse med den oppstillingen vi hadde foran, kan vi bytte rekkefølge, slik at stykket blir

Da kjenner vi igjen alle detaljene i denne oppstillingen:

Hadde vi for eksempel hatt én desimal i den ene faktoren, og fire i den andre, ville vi fått tideler multiplisert med titusendeler, som igjen ville gitt hundretusendeler. Da ville vi endt opp med fem desimaler i svaret.

Divisjon

Regnetegnet for divisjon er : og det leses dividert med (eller delt på). I noen sammenhenger brukes også vannrett eller skrå brøkstrek som divisjonstegn. Når vi dividerer, kalles resultatet for en kvotient. Tallet som skal divideres kalles dividend og tallet som deler divisor. Divisjon og multiplikasjon er motsatte eller inverse regneoperasjoner, akkurat som addisjon og subtraksjon. Mer presist: Divisjon er en regneoperasjon hvor kvotienten er det tallet som ganget med divisoren gir dividenden. Altså: Ganger vi et tall med et annet, og deler deretter tallet med det samme som vi ganget med, kommer vi tilbake til det opprinnelige tallet. Med utgangspunkt i konkrete situasjoner oppdager vi at det er to typer problemer som svarer til divisjon – eksempel:

272

01.01.2000 Kristine har 18 roser som hun vil dele likt i tre buketter. Hvor mange blir det i hver? Kristine har 18 roser som hun vil dele likt i buketter med tre i hver bukett. Hvor mange buketter blir det?

Det første kalles delingsdivisjon, det andre målingsdivisjon. Ved delingsdivisjon vet vi hvor mange det skal fordeles på. Svaret forteller hvor mange det blir til hver. Ved målingsdivisjon sier divisor hvor mange det skal være i hver mengde. Svaret er hvor mange det rekker til. Som multiplikasjon kan tenkes som gjentatt addisjon, kan divisjon tenkes som gjentatt subtraksjon: Hvor mange ganger kan 3 subtraheres fra 18? Eksempel

Du skal kjøpe tre sparelyspærer i butikken, men ser ikke på prisen. Etter å ha betalt 210 kroner i kassa, regner du raskt ut at hver av pærene må ha kostet kroner. Hver av pærene har altså kostet 70 kroner. Multiplikasjon og divisjon er motsatte regnearter:

Vi vil så studere hvordan vi kan dividere større tall med en systematisk oppstilling. Det kan gi en bedre forståelse av tallenes egenskaper å ta seg litt tid til å gjennomskue dette, og enkelte ganger har vi jo ikke kalkulator tilgjengelig når vi trenger å utføre en slik beregning. En forutsetning nå er sikre kunnskaper om multiplikasjon, og spesielt bør vi kunne gangetabellene. Eksempel

Fire personer drar sammen på tur. De får grupperabatt på flyet og betaler samlet 1852 kroner. Hvor mye blir det på hver? Utregningen kan gjennomføres trinn for trinn slik:

Vi kan ikke dele 1 på 4. Da tar vi neste siffer... 18 : 4 = 4 med 2 som rest

Vi trekker ned sifferet 5 i 1852 og dividerer 25 på 4.

273

01.01.2000

25 : 4 = 6 med 1 til rest

Vi trekker ned sifferet 2, det siste sifferet i 1852, og dividerer 12 på 4.

12 : 4 =3

Hva er det så som ligger bak denne metoden? Jo: betyr i oppstillingen egentlig 4. Vi finner hvor mange hele hundre hver skal betale, og ser at det blir 4 hundre. Det er 2 hundrere igjen. Dette er det samme som 20 tiere. Det betyr at det i alt er 25 tiere som skal fordeles. Altså er en kort skrivemåte for (25 tiere : 4). Og når vi har plassert 6 tiere på hver, blir det 1 tier igjen. 1 tier pluss 2 kronestykker – da er det til slutt 12 kroner å fordele. Vi kan skrive resonnementet slik: 400 på hver 60 på hver 3 på hver I alt 400 + 60 + 3 = 463 kr på hver.

Hva skjer så når divisjonen ikke går opp, når kvotienten ikke blir et helt tall? Eksempel

Vi velger talleksemplet

274

01.01.2000

Følger vi oppstillingen fra foran, får vi

Hvis det her dreier seg om å fordele penger, kan vi nå bare tenke de 3 kronene til rest som 30 tiører, og fordele videre. Det blir 5 tiører = 0,5 kr på hver. Da ville oppstillingen blitt slik:

Hvis det ennå hadde vært noe igjen, kunne vi bare fortsatt til hundredeler osv. Parenteser og rekkefølgen i en utregning

Vi bruker parenteser i matematikken. Nå skal vi se på hva de egentlig brukes til, og hvilke regler som gjelder. Vi starter med et spørsmål: Hva er 2 ganger 2 pluss 3? Spørsmålet kan ha to forskjellige tolkninger som gir forskjellige svar: Tolkning 1:

Vi kan gange 2 med 2 og deretter legge til 3. Da får vi 7.

275

01.01.2000 Tolkning 2: Vi kan gange 2 med summen av 2 og 3, altså først legge sammen 2 og 3, og deretter gange med 2. Da får vi 10. For å gjøre spørsmålet entydig, skiller vi disse to tolkningene ved hjelp av parenteser. I tillegg er det innført noen enkle regler for rekkefølger i en sammensatt utregning slik at vi ikke trenger å skrive veldig mange parenteser. Ved hjelp av parenteser kunne vi skrive de to tolkningene over slik: Tolkning 1: Tolkning 2: Parentesen betyr i begge tilfellene at det som står inne i parentesen skal regnes ut først. Det er imidlertid laget en tilleggsregel for rekkefølgen i en utregning for å kunne begrense antall parenteser i et uttrykk: Regel Dersom et uttrykk med flere ledd inneholder multiplikasjon(er), skal vi alltid gange før vi begynner å legge til eller trekke fra, med mindre noe annet er gitt ved parenteser. Da må vi regne ut innholdet av parentesene først, også kjent som å løse de opp.

Dette betyr at tolkning 1 kan skrives

Eksempel

Vi skal regne ut ti minus fire ganger to. Dette uttrykket har tilsvarende som i forrige eksempel to forskjellige tolkninger. Tolkning 1: Vi husker fra forrige eksempel at dette er en forkortet skrivemåte for vi sløyfer altså parentesene rundt tallene på begge sider av et gangetegn.

, men

Tolkning 2: Vi regner først ut

, og deretter ganger vi 6 med 2 og får 12.

Konklusjon: Hvis det ikke er skrevet parenteser, er det tolkning 1 som gjelder.

Vi nevnte tidligere fordelingsregelen, som dreide seg om en sammensatt utregning med

276

01.01.2000 addisjon og/eller subtraksjon og multiplikasjon. Denne regelen kan vi nå skrive kort med parenteser, slik som i eksemplet med å gange 7 med 8. Siden

Her skal det altså tolkes som om det står parenteser om selvsagt på samme måte om parentesen står til sist:

og om

, er

. Det gjelder

Vi formulerer fordelingsregelen slik: Regel Dersom vi multipliserer et tall med innholdet i en parentes, kan vi løse opp parentesen ved å multiplisere tallet med hvert av leddene inni parentesen.

Eksempel

Regn ut

Vi kan enten regne ut innholdet inni parentesen, og deretter gange med 4. . Eller vi kan gange 4 med hvert av leddene inni parentesen og deretter summere. . At disse to framgangsmåtene gir samme resultat, er noe som vi får mye bruk for når vi skal regne med bokstaver som ukjente og variable størrelser (algebra). Vi vil også se på tilfellet der vi multipliserer to parenteser med hverandre. Vi går da tilbake til eksemplet med at

. Hvis vi nå både erstatter 7 med 5 + 2 og 8 med 5 + 3, får vi

. Vi hadde denne illustrasjonen:

277

01.01.2000

Resultatet er at

Ved vanlig tallregning er vi kanskje ikke så ofte bevisst dette, men dersom vi regner med bokstaver, er det straks svært viktig (Se kvadratsetningsavsnittene i algebrakurset). Regning med negative tall

Hva er egentlig et negativt tall? Symbolet for negative tall er greit, vi setter bare et minustegn foran tallet og kaller det negativt. Men hva betyr det egentlig begrepsmessig? De fleste kan være enig i at 100 kroner i gjeld godt kan beskrives som minus 100 kroner. Alle skjønner også hva det vil si dersom minibanken skriver ut saldo på -240,34 kroner, eller et annet negativt beløp. I dette avsnittet skal vi se litt nærmere på hva negative tall er, og hvordan de oppfører seg i forhold til de fire regneartene. Spesielt skal vi ta for oss bruk av parenteser. Det kalles ofte å regne med fortegnstall når vi opererer med positive og negative tall. Vi kan illustrere fortegnstall på ei tallinje som strekker seg i begge retninger fra 0:

Merk hvordan minustegnet brukes på en ny måte her: Vi har foran sett det som et regnetegn i forbindelse med subtraksjon. Det nye her er at det brukes for å angi et negativt tall, som -5. Vi kan også si at tegnet skal angi det motsatte tallet til et tall: det tallet som ligger like langt fra 0, men på motsatt side på tallinja. Dermed blir det også mening i å skrive -(-5). Vi konkluderer med at -5 både er et negativt tall og at det er det motsatte tallet til 5. Og videre er -(-5) det motsatte tallet til -5. Dermed er -(-5) = 5, altså et positivt tall. Noen ganger skriver vi også de positive tallene med fortegn, for eksempel +5. Da betyr altså ikke + addisjon: Det er i det tilfellet ikke et regnetegn, men et fortegn. Et fortegnstall skrives altså med et fortegn (+ eller -) etterfulgt av ett eller flere siffer.

278

01.01.2000

Eksempel 1

Du har til din forskrekkelse oppdaget at du har -240,34 kroner på kontoen din. Du ønsker selvsagt ikke å ha negativ saldo, så du setter straks inn for eksempel 500 kroner. Hva er din nye saldo? Du har altså -240,34 på kontoen og legger til 500: . Den nye saldoen er 259,66 kroner. Vi kunne også si dette slik: Du setter inn 500 kroner. For å finne den nye saldoen må du trekke fra de 240,34 kronene du skylder: . Disse to vinklingene på problemet gir oss et resultat om utregninger med negative tall: . Eller sagt med ord: Å addere et negativt tall og et positivt tall er det samme som å trekke det negative tallet fra det positive. Siden vi kan bytte rekkefølge ved addisjon, må vi også kunne skrive dette slik: . Det betyr: Når vi skal legge til et negativt tall, får vi samme resultat som å trekke fra det motsatte av dette tallet. Legg også merke til parentesen rundt det negative tallet. Det er vanlig å sette parentes rundt et negativt tall når tallet kommer etter et regnetegn. Nå vil vi også undersøke hva som skjer når vi subtraherer et negativt tall.

Eksempel 2

La oss gå tilbake til situasjonen med den negative saldoen -240,34 kroner. Dette liker du fortsatt ikke, men nå har du ikke penger til å slette gjelda. Du får det likevel til ved å overtale ei rik tante til å ordne opp. Du hadde altså gjelda di, og så blir gjelda tatt vekk: .

279

01.01.2000 Men det betyr at tante setter inn 240,34 kroner på kontoen: . Vi har -240,34 kroner, og noen setter inn 240,34 kroner. Det blir som i forrige eksempel. Vi kan tenke at å legge til noe positivt er det samme som å fjerne noe negativt: . Regel Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det motsatte, positive tallet.

For å få fullstendig oversikt over regning med negative tall, må vi ta for oss det å multiplisere og dividere et positivt tall med et negativt, og å multiplisere eller dividere to negative tall med hverandre. Det første kan vi illustrere med et eksempel.

Eksempel 3

Det er vanlig å betegne havets (middel-)nivå som nullnivå for høyde. Tenk deg at to sportsdykkere befinner seg i sjøen 4 meter under vannflata. Vi kan si at de er på -4 meter. Nå bestemmer de seg for å dykke fire ganger så langt ned. Hvilket nivå er da dykkerne på? -16 meter. Det betyr: . Så finner de ut at de vil halvere dybden: . Dykkerne er da 8 meter under havoverflata, på -8 meter. Regel Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, utfører vi multiplikasjonen eller divisjonen av de to tallene som om begge var positive, men det endelige resultatet er negativt.

Så til det mindre intuitive. Hva skjer når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre? Slike problemer dukker ofte opp i likninger og annen regning med bokstavuttrykk, men er sjeldne i hverdagen. Resultatet er ikke vanskelig å huske.

280

01.01.2000

Regel Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir resultatet positivt.

Det kan kanskje virke paradoksalt at produktet av to negative tall blir et positivt tall. Hvorfor er det rimelig? Det viser seg at det må være slik for at de regnereglene vi har sett foran, slik som ombyttingsregelen og fordelingsregelen, fortsatt skal gjelde. Vi undersøker som eksempel hvorfor

Ifølge fordelingsregelen må vi ha

Men

, slik at vi også har

. Det betyr at

. Dette resultatet og resonnementet gjelder selvsagt for alle tall, ikke bare for -3 og -5. Når det gjelder divisjon, må dette følge multiplikasjon, siden dette er motsatte regnearter. Vi kan spørre: Hva er

? Jo, fordi

Hva er

? Det må være -5, fordi

Hva er

, må vi ha

. .

? Jo, 5, fordi

Til slutt vil vi se på et par eksempler på utregninger med parenteser.

Eksempel 4

Hvis vi skal regne ut

, kan vi tenke på to måter:

Vi adderer først tallene i parentesen, og får

Vi tenker at vi skal subtrahere både 20 og 50 fra 100. Vi kan subtrahere 20 først, og deretter 50. Altså må det bli

Dette betyr at

281

01.01.2000 Vi kan si dette slik: Fra et tall skal vi subtrahere en sum, som står inni en parentes. Da kan vi fjerne parentesen når vi samtidig endrer fortegnene eller regnetegnene foran begge tallene som sto inni parentesen, til det motsatte tegnet. Vi kaller det å løse opp parentesen. Dette resultatet gjelder generelt når vi har minus foran en parentes, og vi ønsker å løse den opp, også om noen av leddene er negative.

Eksempel 5

Vi skal regne ut

Det enkleste er selvfølgelig å regne ut innholdet i parentesene først, og deretter multiplisere ut og legge sammen: . Regneteknikkene vi har sett på blir som nevnt avgjørende ved bokstavregning, og vi viser derfor også hvordan vi kan regne dette ut ved å løse opp parenteser: . Legg merke til hvordan vi endrer tegnene og løser opp parentesene. Vi får ”heldigvis” samme resultat med begge teknikkene.

Nå vil vi se på multiplikasjon av to parenteser som inneholder ett eller flere negative tall.

Eksempel 6

Regn ut

Liten merknad: Vi har her ikke skrevet gangetegn mellom parentesene. Det er vanlig å sløyfe dette i slike tilfeller. Vi kan som første alternativ regne ut det som står inni parentesene, og får: . Men vi kan jo også først multiplisere alle leddene i den ene parentesen med leddene i den andre: . Flere eksempler

282

01.01.2000

. .

. Primtall og faktorisering

Merk: Vi sier at et tall er delelig med et annet tall dersom kvotienten – det første tallet delt på det andre – er et helt tall. For eksempel er 12 delelig med 3, siden kvotienten er 4. 12 er derimot ikke delelig med 8, siden kvotienten er 1,5.

Definisjon Et primtall er et tall som er større enn 1 og som kun er delelig med seg selv og 1.

Tallet 1 er ikke definert som primtall. 2 er det minste primtallet. 2 er også det eneste partallet som er primtall, siden alle andre partall er delelige med 2. Primtallene mellom 1 og 20 er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Et av de viktigste og mest grunnleggende resultatene i matematikk kalles

Tallteoriens fundamentalsetning Alle naturlige tall utenom tallet 1 som ikke selv er primtall kan faktoriseres på en slik måte at alle faktorene er primtall, og denne faktoriseringen er entydig.

Å skrive et tall som et produkt av primtall kalles å primtallsfaktorisere – eller kortere å primfaktorisere – tallet. Et tall kan altså primfaktoriseres på bare én eneste måte, bortsett fra at rekkefølgen på faktorene kan variere. Når vi har faktorisert et tall slik at alle faktorene er primtall, vet vi derfor med sikkerhet at dette ikke kan gjøres på noen annen måte. Eksempel 1

283

01.01.2000

12 er et partall, dvs. 12 er delelig med 2, og 2 er et primtall:

6 også er et partall. Så vi faktoriserer igjen: Her er alle faktorene primtall. Da er vi er ferdige og har funnet den eneste mulige primfaktoriseringen.

Eksempel 2

Tallet 17 er ikke delelig med noe mindre tall, utenom med 1. Sjekk det! Altså er 17 et primtall. Eksempel 3

Vi undersøker tallet 84. 84 er et partall, det er delelig med 2: Dermed er

42 er også et partall. Vi deler med 2 igjen og får

, som gir

. 21 er heller ikke et primtall, men produktet av 3 og 7. Nå er både 2, 3 og 7 primtall, og dermed blir den endelige primfaktoriseringen av 84 slik: . En praktisk oppstilling ved primfaktorisering er denne:

Primtallene er av stor teoretisk interesse. Vi kan si at primtallene er byggesteinene for alle naturlige tall. I skolematematikk og praktisk regning er primfaktoriseringer nyttige når vi skal finne fellesnevneren til store brøkuttrykk, og når vi skal forkorte brøker. Vi skal se eksempler på begge deler.

284

01.01.2000 Eksempel 4

Forkort brøken

Vi begynner med å primfaktorisere telleren og nevneren:

Så brøken blir

Vi kan nå forkorte ett 3-tall. Vi får da

Telleren og nevneren har ikke lenger noen felles faktorer, og brøken kan ikke forkortes ytterligere. Eksempel 5

Forkort brøken

Igjen begynner vi med å primfaktorisere telleren og nevneren:

Deretter forkorter vi ved å stryke felles faktorer over og under brøkstreken: .

285