Jogos matemáticos by Elaine Cristina Sturion

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ – UNESPAR/FECILCAM Programa Institucional De Bolsa De Iniciação À Docência - Pibid

JOGOS MATEMÁTICOS: BRINCANDO E

APRENDENDO COM AS OPERAÇÕES

BOLSISTAS BRUNO MORENO FRANCISCO brunomorenofrancisco@hotmail.com CARLA LARISSA HALUM RODRIGUES carlalarissahalumrodrigues@hotmail.com DANIELA MIRAY IGARASHI miray_dami@hotmail.com ELAINE CRISTINA STURION elaine_sturion@hotmail.com ELIANE SIVIERO DA SILVA elianesiviero@hotmail.com GREICY KELLY DELFINO MARTINHAGO greicy_pepe@hotmail.com ISADORA CRISTINA MOLINA isinha-95@hotmail.com KARINA DEZILIO Karinapdo1@hotmail.com LUCIMARA DOS SANTOS lusymara_92@hotmail.com LUÍS HENRIQUE BALTAZAR lhenriqueb@hotmail.com MAISA SILVA LEITE maisa_sanvi_@hotmail.com NATALIA MATIAS GOMES CANGUSSU IEGER nati_matias@hotmail.com RONALTI WALACI SANTIAGO MARTIN ronaltiwalace@hotmail.com SUÉLEN RITA ANDRADE MACHADO suelen_machado10@hotmail.com SUZANA DOMINGUES DA SILVA suzana369@hotmail.com TAMIRES VIEIRA CALADO tamirescalado@hotmail.com

COORD. ORIENTADOR PROF. Dr. WILLIAN BELINE

NÚMEROS: UMA LONGA HISTÓRIA

cê já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre: o modo como surgiram? Como foram as primeiras formas de contagem? Como foram criados, ou, será que eles sempre existiram? Para responder

esses e outros questionamentos, somos levados a viajar no tempo e estudar um pouco da história das épocas mais remotas: como os povos viviam, o que faziam, quais eram suas necessidades e porque precisavam registrar, com símbolos as quantidades. Isso por sua vez tem chegado até nós como vestígios que provam a sua importância. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisas. Há muito tempo, quando a quantidade a ser somada começou a ultrapassar os dedos das mãos e dos pés, ele passou a usar pedras, nós em cordas, marcas em ossos e em madeiras para representar quantidades de objetos contados. O homem primitivo, como veremos, contava os objetos um a um e registrava a quantidade contada de diversas maneiras.

CONTAR... A necessidade de contar surgiu com o desenvolvimento das atividades humanas. Registros confirmam que o primeiro contato com a contagem veio do pastoreio. Como saber se uma ovelha fugiu, se perdeu ou foi roubada? Diante disso, para o pastor controlar o seu pasto, utilizava-se de pedrinhas, onde cada pedra representava um animal. Logo pela manhã, ele soltava o seu rebanho e colocava a

quantidade

pedras

equivalente ao número de animais dentro de um saco de couro. Assim ele tinha a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco. Ao final da tarde, o pastor analisava se algum animal tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado uma nova ovelha ao rebanho. Quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, retirando uma pedra do saco para cada animal que retornava. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, ele saberia que faltava algum dos seus. Se faltassem pedras, um novo animal se juntou ao rebanho. A correspondência um a um não era feita somente com pedras, como já mencionado,

mas também com nós em cordas, marcas nas paredes, talhes (cortes) em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de registros. Por muito, o tempo foi passando e as necessidades cresciam com elas. Trabalhar com grandes quantidades ajuntando pedrinhas ou fazendo marcas na madeira ou em ossos era difícil e pouco prático. Imagine só se o rebanho crescesse a tal ponto em que o pastor precisasse contar e carregar todos os dias cerca de 200 pedras? Então veio a ideia de agrupar, para melhor visualizar as quantidades, criando símbolos especiais e regras para esses agrupamentos... Dai nasce aqui os primeiros sistemas de numeração, um método mais confiável e prático, já que eles marcavam um traço num pedaço de madeira, ossos ou metal, a quantidade de animais que possuía. O tempo foi passando e cada povo foi criando seu jeito de se comunicar e contar. Seja com gestos, na escrita ou com sons. Como resultado, a palavra que usamos hoje, cálculo, nasceu deste processo, da qual é derivada da palavra latina calculus, que significa pedra. Até hoje, é muito comum usarmos marcas para representar uma contagem. A invenção da escrita numérica só aconteceu por volta doo ano 3300 a.C. e possibilitou a criação de símbolos que representavam quantidades. Diversas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração a começar dos egípcios, seguido dos maias, romanos e indo-arábicos.

VAMOS JOGAR... NUNCA 10! Objetivos: Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal; Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no Sistema de Numeração Decimal.

E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO O sistema de numeração que usamos é o sistema decimal, pois contamos em grupos de 10. A palavra decimal tem origem na palavra latina decém, que significa dez. Ele foi inventado pelos hindus, aperfeiçoado e levado para a Europa pelos árabes. Daí o nome indo-arábico. Esse sistema de numeração apresenta algumas características: Utiliza apenas os algarismos ou dígitos indo-arábicos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 para representar qualquer quantidade. Assim o número 364 é um número de três dígitos. Cada 10 unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem seguinte. Observe:

10 unidades = 1 dezena = 10 10 dezenas = 1 centena = 100 10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000 Outra característica é que segue o principio do valor posicional do algarismo, isto é, cada algarismo tem um valor de acordo à posição que ele ocupa na representação numeral.

ADIÇÃO Adicionar significa somar, ajuntar, acrescentar. Na Matemática, a operação de adição é usada quando juntamos duas ou mais quantidades. Viemos de um ensino baseado em técnicas operatórias sem significados. Digo sem significado porque muitos de nós não compreendemos o que fazemos, quando realizamos uma operação. Pergunte a si mesmo: Por que “vai” um na adição? No Ensino Fundamental quando nos referimos ao ensino das operações é essencial o desenvolvimento de diferentes estratégias de cálculo (mental, escrito e com calculadora) e a exploração e o uso de técnicas operatórias (algoritmos) que vão adquirindo significado à medida que vão sendo sistematizadas. Hoje nossa maior preocupação é fazer com que os alunos não memorizem regras para realizar técnicas operatórias. Seja qual for a técnica utilizada, os alunos precisam compreendê-la e saber explicá-la.

PROCESSO DE ADIÇÃO (VAI UM) No algoritmo da adição:

Trabalhar agrupamentos e trocas com os alunos, facilita a realização de adições com reserva, pois, a cada grupo de 10 unidades, temos 1 dezena, justificando assim o “vai um”. Pensemos... Observe o número 8257: O algarismo 7 representa 7 unidades e vale 7 O algarismo 5 representa 5 dezenas, ou seja, 5 grupos de 10 unidades e vale 50. O algarismo 2 representa 2 centenas, ou seja, 2 grupos de 100 unidades e vale 200. O algarismo 8 representa 8 unidades de milhar e vale 8000 Então, 8000 + 200 + 50 + 7 é igual a 257, que lemos oito mil e duzentos e cinquenta e sete.

COMPREENDENDO A SUBTRAÇÃO

operação da subtração pode ser compreendida por três modos distintos: a

subtrativa, a aditiva e a comparativa. A ideia de tirar (subtrativa) é aquela que as crianças identificam mais facilmente com a subtração, já as ideias de completar

(aditiva) e de comparar (comparativa) precisam ser trabalhadas, pois não é tão imediato para a criança perceber que a subtração resolve problemas desse tipo.

6 Exemplo 1: a) Subtrativa: ideia de retirar Eu tinha 5 figurinhas num álbum e perdi 2. Com quantas figurinhas fiquei?

b) Comparativa: ideia de comparar Tenho 5 figurinhas e meu irmão tem 2. Quantas figurinhas tenho a mais que meu irmão?

c) Aditiva: ideia de completar Na página de meu álbum cabem 5 figurinhas. Já tenho 2. Quantas figurinhas faltam?

Nas três situações a operação é a mesma, porém as ideias são diferentes.

O “EMPRESTA UM” A principal dificuldade no ensino da conta de subtração é explicar o significado do “empresta um”. A grande questão envolvida são as trocas entre ordens, pois nos algoritmos, dez unidades serão trocadas por uma dezena, dez dezenas por uma centena e vice-versa, traduzindo a essência do sistema de numeração decimal. Para facilitar à compreensão da criança em relação ao algoritmo de subtração as subtrações podem ser propostas com um nível de dificuldade crescente.

NÍVEL 1: O aluno vivencia problemas cuja solução requer as técnicas de subtração sem empréstimos ou sem recurso, enquanto aprende as ideias possíveis da operação. Exemplo 2: Ideia de tirar o subtraendo do minuendo. Colocamos no ábaco o minuendo e retiramos o subtraendo, o que está representado nas figuras que seguem por um risco.

Atividade 1:

1ª Ação: c d u 3 6 8 2ª Ação: c d u 3 6 8 -1 2 3

3ª Ação: c d u 3 6 8 -1 2 3 2 4 5 O professor pode fazer a leitura em voz alta: } Como na adição, a subtração deve ser feita da esquerda para a direita. Exemplo 3: Ideia de completar o subtraendo para obter o minuendo. Colocamos no ábaco os dois números e verificamos “quanto falta para chegar” ao minuendo.

Atividade 2:

1ª Ação : c d u 3 6 8 -1 2 3 2ª Ação: c d u 3 6 8 -1 2 3 2 4 5 A leitura fica: }

NÍVEL 2: O aluno passa a trabalhar com as técnicas de subtração que necessitam de “empréstimos” de uma dezena para as unidades. A técnica do recurso à unidade de ordem superior, conhecida como a técnica do “empresta um”, corresponde a uma dezena do minuendo que se transforma em dez unidades.

Exemplo 4:

8 1ª Ação: c d u 3 9 5 2ª Ação: c d u 8

3 9 5 3ª Ação: c d U 8

3 9 5 -1 7 6 2 1 9 Mostrando a subtração com os algoritmos, a leitura pode ser feita em voz alta: 15 menos 6 é igual a 9 8 menos 7 é igual a 1 3 menos 1 é igual a 2

6 para chegar a 15 faltam 9 ou

8 para chegar a 9 falta 1 1 para chegar a 3 faltam 2

NÍVEL 3: Na operação de subtração existe a necessidade de empréstimo de uma centena para as dezenas, uma centena do minuendo se transforma em dez dezenas.

Atividade :

1ª Ação : c d u 3 5 7 2ª Ação: c d u 2

3 5 -2 7

7 1

3ª Ação: c d u 2

3 5 -2 7 0 8

7 1 6

NÍVEL 4: Na técnica de subtração que necessita de empréstimos de uma centena para as dezenas e uma dezena para as unidades, podemos aplicar as duas técnicas anteriores.

Atividade:

1ª Ação : c d u 3 5 7 2ª Ação: c d u 4

3 5 7 -2 7 8 3ª Ação: c d u 2

3 5 -2 7

7 8

4ª Ação: c d u 2

3 5 -2 7 0 7

7 8 9

ENTÃO... O empresta um na verdade nada mais é do que uma forma de reagrupar o número de forma que se consiga fazer a subtração.

O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO

multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de

números iguais, ou seja, um processo rápido para verificar a soma de vários números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto.

Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

10 x . y = y + y +...+ y

x (lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo, 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Se quiser multiplicar 235 por 17. Como fazer manualmente? Basta por os números desta forma: +235 + x17 +1645 +2350 +3995 Pergunta-se: Como aparece o número 1645? A resposta é simples. Multiplica-se 7 (algarismo das unidades do 17) por 5 (algarismo das unidades do 235). O resultado é: 35. Ou

seja,

“e

vão”

Assim

aparece

unidades

1645.

Seguidamente, multiplica-se novamente o 7 por 3 (algarismo das dezenas do 235). Somamse 3 da conta anterior e o resultado é: 21+3 = 24, ou seja, a resposta é 4, “aí vão” 2. Depois, multiplica-se de novo o 7 por 2. A resposta é 14. Somando os dois da conta anterior, o resultado é 16. Ficando o número 1645. O número 235 aparece porque passamos agora para o algarismo das dezenas do multiplicador. Este algarismo é 1 Portanto: Multiplica-se o 1 por 5. 1 * 5 = 5. Multiplica-se o 1 por 3. 1 * 3 = 3. Finalmente, multiplica-se o 1 por 2. 1 * 2 = 2.

NOTA: Cada vez que passa da casa das unidades para a das dezenas, ou da casa das dezenas para a das centenas, É NECESSÁRIO que os resultados das novas contas

andem uma casa para frente. Explicando: Na conta anterior, o número 235 não aparece diretamente por baixo do 1645. Aparece uma casa desviada para a esquerda. Isto deve ser feito cada vez que acaba de multiplicar um número do multiplicador por todos os do multiplicando.

MÉTODOS DE MULTIPLICAÇÃO Para calcular 25 x 13:

1- Devemos efetuar 3 x 25 para a parte menor, 10 x 25 para a parte maior, e somar os resultados. 1

x 10

+2 5 0

250

325

2- Esse processo pode ser resumido assim:

0025

0 025

0x13

0 x13

0075

+250

+ 2 5_

0325

Processo

Processo “enxuto”

“enxuto”

na forma habitual

Observe novamente que o algoritmo está ligado á propriedade distributiva: ao multiplicar por 13, multiplicamos por 3 e por 10, somando depois os resultados. O algoritmo também está ligado ao nosso sistema de numeração: quando multiplicamos 2 dezenas e 5 unidades (25) por 10, obtemos 2 centenas e 5 dezenas (250) e por isto, no "processo enxuto", o 5 de 250 é escrito embaixo do 7 do 75.

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS A operação de multiplicação é operada com dois fatores e a multiplicação deles resulta em um produto. Para multiplicar números decimais devemos agir como se fossem números inteiros, desconsiderando a vírgula em um primeiro momento. Depois de concluída

a operação, separamos com vírgula, a partir da direita do resultado final, somando o numero de casas decimais dos dois fatores. 6 x 3,25 → são os fatores 3,25 → fator x 6 → fator 19,50 → produto

12 Na multiplicação acima: Quando multiplicamos 5 centésimos por 6 obtivemos 30 centésimos. Deixamos 0 centésimos e transformamos os 30 centésimos em 3 décimos. Quando multiplicamos 2 décimos por 6 e somamos com 3 obtivemos 15 décimos, deixamos 5 décimos e transformamos os 10 décimos em 1 inteiro.

Para multiplicarmos decimal com decimal resolveremos da mesma forma se fosse multiplicação de número natural com decimal, o que difere é quando formos colocar a vírgula no produto devemos contar as casas decimais dos dois fatores. 0 0 9, 3 0 x 1, 2 1186 +93_ 1 1,1 6 Como somando as casas decimais dos dois fatores, teremos 2 casas decimais, assim andaremos 2 casas decimais da direita para a esquerda para colocarmos a vírgula.

Exemplo Prático: 253,66 x 2,34 = . 0 0 0 2 5 3, 6 6 0 0 0 0 x 2, 3 4 00101464 +76098 _ 5 0 7 3 2___ 05935644

Colocando a vírgula no local correto temos o número: 593,5644

DIVISÃO

RESOLVENDO PROBLEMAS DE DIVISÃO João tem 15 bolinhas de gude e quer distribui-las para três amigos, onde cada amigo fique com a mesma quantidade. Quantas bolinhas de gude receberá cada um deles? E se um amigo for embora, como João fará a distribuição de bolinhas de gude para os dois amigos que restaram, de forma que os dois fiquem com a mesma quantidade? Na aula de artes, uma turma fez cartazes. Cada criança usou suas mãos para pintar o cartaz. Se estiverem desenhadas 14 mãos, quantas crianças ajudaram a pintar o cartaz? Resolução:

FORMALIZANDO A DIVISÃO A divisão pode ser representada de algumas maneiras, como: a/b (com barras) a:b (com dois pontos) a÷b (com sinal da divisão) Exemplos: a)

10/2

4:4

4÷2

OS VALORES NÚMERICOS DA DIVISÃO RECEBEM NOMES... Dividendo: número que representa o total que vai ser dividido. Divisor: número que representa a quantidade de partes em que o total irá ser repartido.

Quociente: é o resultado da divisão. Resto: é o valor que sobra da divisão, para que o quociente permaneça inteiro.

São representados da seguinte forma:

Exemplo:

15 | 2__ -14 7 01

EXISTE DIVISÃO POR ZERO? Não. Por exemplo: 3÷0, deveria ser o número que multiplicado por zero resultasse 3, mas não há número que multiplicado por zero dê 3. Então não existe 3÷0, isso vale para qualquer outro valor no dividendo, logo: é indefinida ou impossível a divisão por zero.

O ALGORITMO TRADICIONAL DA DIVISÃO Você já conhece este algoritmo:

Trata-se de uma técnica para dividir que é, sem dúvida, bastante eficiente. Vamos discutir a compreensão da mesma. Por que dividimos 7 por 6? Por que abaixamos o 9 e não o 98? Por que dizemos: 3 vezes 6 é 18, para 19 falta 1?

Par facilitar a compreensão do algoritmo usaremos materiais didáticos. São adequados o ábaco e o material dourado. Vamos representar o número 798 com o material dourado:

Para dividir 798 por 6 vamos distribuir igualmente 798 em 6 grupos:

Começaremos distribuindo as centenas.

Desagrupamos a centena restante transformando-a em 10 dezenas. Agora temos 19 dezenas.

Distribuímos as dezenas.

16 Desagrupamos a dezena restante transformando-a em 10 unidades. Agora temos 18 unidades.

Finalmente distribuímos as unidades.

Em cada um dos 6 grupos temos 133 unidades. Esta divisão é exata, isto é, seu resto é zero. A compreensão deste algoritmo da divisão depende da compreensão do nosso sistema de numeração, do domínio da subtração e de uma certa experiência com estimativas e cálculo mental. No trabalho de sala de aula constatamos que a compreensão e o domínio desta técnica por parte dos alunos não é um processo simples.

REFERÊNCIAS BOCK, F. S. Adição e subtração com o material dourado. Monografia. AJES – Instituto Superior de Educação do Vale do Jurema. Juina - MT, 2010. CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. 6 ed. São Paulo: 2005, IMEUSP. Pró-Letramento : Programa de Formação Continuada de Professores dos Anos/Séries Iniciais do Ensino Fundamental : matemática . – ed. rev. e ampl. incluindo SAEB/Prova Brasil matriz de referência /Secretaria de Educação Básica – Brasília : Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2008. 308 p. Aprenda a fazer contas de multiplicar. Disponível em: <http://www.aprenderafazer.com/dicas/aprender-a-fazer-contas-de-multiplicar/>. Acesso em: 07 mar. 2013. Algoritmo tradicional da divisão. Disponível <http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t6.htm> Acesso em: 28 de mar. 2013.

em:

MIRANDA, Danielle. Multiplicação de numero decimal. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/numeros-decimais-multiplicacao.htm> Acesso em: 28 de fevereiro de 2013. Orientações Pedagógicas para o Professor de Matemática. Disponível em: <www.portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000014233.pdf> Acesso em: 27 mar. 2013. PIETRO, A. C. S. Vai um? Empresta um? Disponível em: <http://www.planetaeducacao.com.br/portal/artigo.asp?artigo=590> Acesso em: 20 de mar. de 2013.