El Mundo Matemático
El Mundo GRATIS Matemático RUBIO, JUNIO 2018
GUIA ESPECIAL
Factorización
Potenciación Sistema Sexagesimal ELABORADO POR: CAMILA RIVAS GRADO: 2° SECCION “A” C.I:31.218076
El Mundo Matemático Los 10 matemáticos más sobresalientes de la historia Las matemáticas son el centro de todo lo que nos rodea, edificios, carreteras, com putadoras, todo tiene que ver con los números. Nuestro mundo se rige bajo fórmulas numéricas y si bien es cierto que a muchos las matemáticas nos hicieron la vida imposible cuando íbamos en la escuela, también es cierto que nos ayudan en nuestra vida diaria. Hablar de las matemáticas es remontarnos a muchos años en la historia… En este largo tiempo muchos hombres han dado su vida al estudio de los números y gracias a ellos es que las matemáticas tienen un avance extraordinario.
1/10 Carl Friedrich Gauss. El “Príncipe de las matemáticas”. Este físico alemán fue famoso por su aportación del teorema fundamental del álgebra, en el que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas.
Euclides. Matemático y geómetra griego, considerado como el padre de la geometría, su obra de los elementos es la más conocida, y en la se estudiaban las propiedades de los planos y líneas, círculos, triángulos y esferas.
4/10 Isaac Newton. Este científico y matemático inglés destacó por su descubrimiento de la gravedad terrestre, la naturaleza de la luz y la óptica.
René Descartes. La contribución de este matemático francés es recocida por la creación de la geometría analítica, así como por su principio racionalista, “Pienso, luego existo”.
8/10 Alan Turing. Un matemático británico, precursor de la informática y que trabajó durante la Segunda Guerra Mundial para descifrar los códigos de los Nazis. 9/10 Leonardo Pisano Bigollo. Conocido también como Leonardo Fibonacci, fue un matemático italiano que se destacó por la
5/10 GF Bernhard Riemann. Su legado más grande de este matemático alemán han sido la geometría, superficies y la integral de Riemann. difusión en Europa del sistema de numeración índigo-arábigo.
2/10 Leonhard Euler. Un notable matemático y físico suizo que destacó por sus trabajos con las funciones trigonométricas, su aportación de la letra “e” como la base del logaritmo natural y la letra griega Sigma.
3/10
6/10 Pitágoras. Filósofo y matemático griego ampliamente conocido por su teorema de Pitágoras en la trigonometría, con aplicaciones en equipo tecnológico y en mediciones.
7/10
10/10 Arquímedes. Un matemático griego famoso por su aproximación al valor de “Pi”, además de definir la espiral del Arquímedes, así como fórmulas de volúmenes y superficies.
El Mundo Matemático decir, este polinomio no tiene un factor en común. 1- Factorización Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión. Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Así,
por
ejemplo,
si
multiplicamos a por a + b podemos ver qué;
Para poder factorizar una expresión algebraica es necesario que siempre exista al menos un factor en común dentro de sus términos, ya sean números y/o letras. Factor común de una expresión algebraica es el máximo común divisor (m.c.d.) de los términos que la componen. 2.1- Factor común monomio. Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común. Ejemplos; a) Factorizar x2y + x2z.
a2
Dan como producto + ab, entonces, los factores o divisores de esta expresión algebraica son a y a + b.
2Métodos utilizados factorizar un polinomio.
para
Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1. Por ejemplo, el polinomio ax + by + cz, no se puede factorizar ya que, solo es divisible por ax + by + cz y por 1. Es
Identificamos el factor común de x2y y x2z el cual es x2, entonces dividimos los términos de la expresión por x2; x2y : x2 = y y x2 z : x2 = z. Ahora escribimos la factorización;
El Mundo Matemático 2.2- Factor Común polinomio o por agrupación de términos. Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen algún factor en común, puedes realizar una agrupación en paréntesis de los términos que si tienen, y así podrás factorizar. Generalmente la agrupación puede hacerse de varios modos, lo importante es que siempre los términos que se agrupen tengan algún factor en común. Independiente de cómo se agrupen los términos, el resultado será el mismo.
2.3- Resultado notables:
de
productos
Para factorizar de forma más rápida una expresión algebraica, puedes utilizar productos notables, los cuales son;
a) Trinomio cuadrado perfecto El trinomio cuadrado perfecto es igual al producto notable cuadrado de binomio o sea, es producto de dos binomios iguales:
Ejemplos; a) Factorizar la expresión a m + b m + a n + b n. Podemos ver que, los dos primeros términos tienen el factor común m y los dos últimos el factor común n. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro, precedido de un signo +, ya que es el signo del tercer término. Luego sacamos el factor común de cada paréntesis, y nos queda el binomio en común (a + b), que se anota como producto de (m + n).
La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es; extraer la raíz cuadrada al primer y tercer término, y separar estas raíces por el signo del segundo término. Entonces, el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo. Ejemplo: - Factorizar 4 x2 – 12 x y + 9 y2
El Mundo Matemático b) Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto notable suma por su diferencia;
La regla para factorizar una diferencia de cuadrados es; extraer la raíz cuadrada al primer y al segundo cuadrado, y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia.
del cuadrado de la raíz cubica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. - El tercer término tiene que ser sumado el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término. Si todos los términos de la expresión son positivos, es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos, la factorización será el cubo de la diferencia de dichas raíces.
Ejemplo: Ejemplo: Factorizar
25
–
36
x2 Factorizar a3 + 3 a2 + 3 a + 1. Veamos si la expresión cumple con las condiciones para ser un cubo de binomio;
c) Cubo de binomio - La expresión si tiene 4 términos. - El primer y segundo término, si son cubos perfectos. Si analizamos esta fórmula, para factorizar y llegar al producto notable cubo de binomio, es necesario que la expresión algebraica ordenada con respecto a una letra, cumpla con las siguientes condiciones;
- Como la raíz cubica de a3 es a, y la raíz cubica de 1 es 1, reemplazamos estos valores en la ecuación para comprobar si el segundo y tercer término corresponden; Segundo término: 3 (a)2 (1) = 3 a2.
- Tiene que tener cuatro términos. Tercer término: 3 (a) (1)2 = 3 a. - El primer y último término tienen que ser cubos perfectos. - El segundo término tiene que ser (sumado o restado) el triplo
Como puedes ver, la expresión algebraica cumple con todas las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la factorización es el cubo de la suma de a y 1;
El Mundo Matemático d) Suma de cubos.
Ejemplo: Factorizar x3 – 125.
La fórmula nos dice que, para factorizar la suma de dos términos elevados al cubo, se descompone en dos factores, donde;
- La raíz cubica de x3 es x, y de 125 es 5. - Según la fórmula sería, (x - 5) (x2 + x (5) + (5)2).
- El primer factor, es la suma de sus raíces cúbicas.
f) Trinomio de la forma x2 + bx + c.
- El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Los trinomios ordenados de la forma x2 + bx + c, dan como resultado el producto notable producto de binomios;
Ejemplo:
Para que aprendas a reconocer este
Factorizar a3 + 27. - La raíz cubica de a3 es a, y de 27 es 3.
tipo de trinomio, te tienes que fijar que cumpla las siguientes condiciones;
- Según la fórmula sería, (a + 3) (a2 – a (3) + (3)2).
- El coeficiente del primer término es 1.
e) Diferencia de cubos.
La fórmula nos dice que, para factorizar la diferencia de dos términos elevados al cubo, se descompone en dos factores, donde; - El primer factor, es la diferencia de sus raíces cúbicas. - El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
- El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. - El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1, y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. - El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término, y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
El Mundo Matemático Potenciación de un Número Entero
Propiedades de las potencias. Mostrar texto Veamos las propiedades básicas de las potencias (no incluimos las de las potencias que representan raíces, es decir, las que tienen una fracción en el exponente): Producto
Potencia
El producto se hace n veces. La base, a, es el factor que se repite. El exponente, n, indica el número de veces que se repite la base. Por ejemplo: a) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 b) 02 = 0 · 0 = 0 c) 40 = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí mismo 0 veces) d) 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 e) 19 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 =1 Veamos que pasa cuando la base es un número negativo. Por ejemplo:
Cociente
Exponente negativo
Inverso
Inverso
Nota: a la hora de aplicar las propiedades del producto y del cociente de potencias, no olvidemos que las bases de las potencias tienen que ser iguales. • ¿Qué es una potencia? Una potencia es una multiplicación de varios factores iguales.
El factor que se repite se denomina base; el número que indica la cantidad de veces que se repite la base se llama exponente, y el resultado, potencia. Es decir: an = a · a · a · … · a
a) b) c) d) e)
(-3)2 = 9 (-3)3 =- 27 (-2)8 = 256 (-2)9 = -512 28 = 256
¿qué relación observas con el signo de la potencia y el exponente? Como ves en los ejemplos anteriores todas las potencias que dan como resultado un número negativo, sus exponentes son números impares, volvé a mirar los ejemplos b) y d). En cambio, si los exponentes son números pares, como el ejemplo a) y c) sus resultados son siempre números positivos. Por lo tanto se puede decir en general que: Si la base es negativa y exponente par o cero, el valor de potencia será positivo. Pero si la base es negativa y exponente es impar, el valor de potencia será negativo.
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El Mundo Matemático Potencia de una potencia Ahora observa estas dos potencias: -28 =- 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =256 (-2)8 = (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) ·(- 2) · (-2) · (-2) ·(- 2) = 256
El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. Por ejemplo: (23)5 = 23.5 = 215
Como podes observar -28 no es igual a (-2)8 Distributiva respecto a multiplicación y a la división Multiplicación de potencias de igual base Observa el siguiente ejemplo: 23 . 23 . 23 . 23 = 23+3+3+3 = 2 3.4 = 212 Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.
la
Para hacer el producto de dos números levado a una misma potencia tines dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo: Puedes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia: (4·5)4 = 204= 160000
O bien podes elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los resultados. Cociente de potencias de igual base (4·5)4 = 4 4 . 54 = 256·625 = 160000 Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base: 58 : 54 = 58 - 4 = 54 = 625 Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.
De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la misma potencia. (3 : 2)4 = 1, 5 4 = 5, 0625 (3 : 2)4 = 34 : 24 = 81 : 16 = 5,0625
El Mundo Matemático Observa que de las dos formas obtienes el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será igual de sencillo de las dos formas. Así que piensa de antemano qué método va a ser más conveniente para realizar el cálculo. NO distributiva respecto a la suma y a la resta No se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta: Por ejemplo: (10-6)2 ≠102 -62porque(10-6)2 =42 =16 102 - 62 = 100 - 36 = 64 16 ≠ 64 Resolvé las siguientes potencias utilizando las propiedades: a)
-22 =
b)
(35) 0 =
c)
(-2) 0 =
d)
(-4) 2 =
e)
35.32=
f)
(-7)0 . (-7)5 =
g)
24 . 21 .2 2 =
h)
x4 . x 10 =
i)
56 : 52 =
Sistema sexagesimal El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. 1h 1º
60 min 60'
Operaciones sexagesimal
60 s 60'' en
el
sistema
Suma 1 Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman. Ejemplo:
2 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. Ejemplo:
3 Se hace lo mismo para los minutos. Ejemplo:
El Mundo Matemático Resta 1 Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
Multiplicación por un número 1 Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número. Ejemplo:
Ejemplo:
2 Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 2 Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
Ejemplo:
Ejemplo: 3 Se hace lo mismo para los minutos. Ejemplo:
3 Hacemos lo mismo con los minutos. Y después restamos las horas. Ejemplo:
El Mundo Matemático División por un número Dividir 37º 48' 25'' entre 5: 1 Se dividen las horas grados) entre el número. Ejemplo:
(o
BUSCA EN LA SOPA DE LETRAS LAS SIGUIENTES PALABRAS:
2 El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. Ejemplo:
3 Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. Ejemplo:
4 Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. Ejemplo:
DIVISION ECUACION EXPONENTE FACTOR FRACTORIZACION LOGARITMO POLINOMIO POTENCIA PRODUCTO RADICACION
El Mundo Matemático EL CARACOL Y LA TAPIA Un caracol sube verticalmente por una tapia de 10 metros de altura. Durante el día sube 2 metros, y durante la noche resbala, retrocediendo un metro. ¿Cuántos días tardará en subir la tapia? Encuentra con tus soluciones el camino que debe seguir la bruja para llegar hasta su escoba:
4 2 a) + 1 − = 3 3 4 4 b) 2 • − + 1 = 3 6 5 4 1 c) + − = 6 3 6 5 15 1 d) − + : = 3 9 3 4 2 1 5 e) : • + = 7 7 3 3 3 10 f) 5 : − = 4 6 6 3 3 g) : − = 7 5 7 −1 11 h) 4 + ( ) : = 3 2 4 5 i) − • + 3 = 3 2 2 14 j) + = 3 21