Fonksiyonlar
ÜNİTE
4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; • gündelik yaşamda ve matematikte fonksiyon kavramını tanımış olacak, • fonksiyonlarla yapılabilecek olan kimi işlemleri daha iyi anlayacak, • gerek duyduğunuzda bu kavramı kendi yaşamınızda da kullanabileceksiniz.
İçindekiler • Fonksiyon Kavramına Giriş • Fonksiyonlarda Özel Kümeler • Özel Fonksiyonlar • Fonksiyonların Bileşkesi; Bire-Bir, Örten Fonksiyonlar; Ters Fonksiyon • Değerlendirme Soruları • Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Çalışma Önerileri • İlk üniteler için yaptığımız çalışma önerilerimiz bu ünite için de geçerlidir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
4.1. Fonksiyon Kavramına Giriş 3. Ünite 3.1.1. Örnekte X = { Balkın, Alp, Ayşegül, İpek, Muzaffer, Utkan} kümesinden Y = {mavi, yeşil, sarı, kırmızı, turuncu, gri, mor, siyah} kümesine tanımlamış olduğumuz bir R bağıntısını şöyle göstermiştik:
Yaptığımız oklama gerçekte X kümesindeki kişilerin Y den beğendikleri renkleri görsel olarak açıklayan bir bağıntıdır; ve biraz sonra sunacağımız anlamda bir "fonksiyon" değildir. Fonksiyon bazı koşulları olan özel bir bağıntıdır. Bu koşulların neler olduğunu ve genel bağıntı kavramından farklılığını daha iyi görmek için şu iki duruma özen göstermeliyiz: • •
Yukarıdaki bağıntıda kimi x ∈ X kişisine sağ yanda bir ya da daha fazla sayıda renk karşılık gelmektedir. İpek'in Y de beğendiği bir renk yoktur.
Şimdi X den Y kümesine bir F bağıntısını bu iki durumdan farklı olarak, aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde belirleyelim: (1) Bir x ∈ X kişisi Y içindeki renklerden bir ve yalnızca bir renk seçme zorunluluğunda olsun. (2) Birinci koşulda belirtilen anlamda seçim yapma zorunluluğu herbir x ∈ X kişisi için geçerli olsun. Bu iki koşulu sağlayacak şekilde bir seçim şöyle olabilir:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
115
116
FONKSİYONLAR
Açıklamalar: a. Kişiler bu kez tek renk seçmek zorunda kaldılar. b. İpek de Y kümesinden bir renk seçti.
Kolayca anlaşılacağı gibi, yukarıda F adını taktığımız bu yeni ilişkiler ağıda sonuçta bir bağıntıdır, ancak oldukça özel bir bağıntıdır. Bu bilgilerin ışığı altında "fonksiyon" kavramını tanımlayabilme noktasındayız:
4.1.1. Tanım X, Y kümeleri ve X kümesinden Y kümesine bir f bağıntısı verilmiş olsun. (a) Bir x ∈ X öğesi için (x, y) ∈ f olacak biçimde bir ve yalnız bir y ∈ Y vardır; (b) Yukarıda (a) ile verilen özellik herbir x ∈ X için geçerlidir, koşulları sağlanıyorsa, f ye X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon denir ve f: X →Y simgesiyle gösterilir. O halde, X kümesinden Y kümesine bir f bağıntısının fonksiyon olabilmesi için her x ∈ X için (x, y) ∈ f olacak şekilde bir y∈ Y olmalıdır. Ayrıca (x, y) ∈ f ve (x, y') ∈ f olacak şekilde y, y' ∈ Y varsa, y = y' olmalıdır. Şimdi örneklere geçmeden önce "fonksiyon" ya da eşanlamlı olarak kullanılan "işlev" sözcüklerinin anlamı konusu üzerinde kısa bir tartışma yapalım: Sözcüklere bakacak olursak, "fonksiyon" ya da "işlev"in, bir kişi ya da kimsenin gördüğü iş, iş görme yetisi diye tanımlandığını görürüz: X kümesindeki herbir kişi için, bu kişiye karşılık gelen ve onun seçtiği bir ve yalnızca bir renk bulunmaktadır. Bir başka deyişle, X içinde alınan her bir x ∈ X öğesi için, Y içinde bir anlamda x in yaptığı işi gösteren bir ve yalnızca bir öğe bulunmaktadır. Sözkonusu bu ilişkiyi daha açık olarak görmek için x kişisine Y içinde karşılık gelen rengi F(x) ile gösterebiliriz. ( F(x) e x in karşılığı ya da daha genel olarak x'in F altındaki görüntüsü denir). Bu örnek için F (Balkın) = yeşil, F (Alp) = sarı, F (Ayşegül) = siyah, F (İpek) = mor, F (Muzaffer) = kırmızı, F (Utkan) = mor yazabiliriz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
117
Böylece, genel olarak, bir X kümesinden bir Y kümesine bir f fonksiyonu tanımlanmışsa, bir x∈ X öğesine Y içinde karşılık gelen öğe bundan böyle f (x) diye gösterilecektir. Bir benzetme yaparsak; f yi bir makine olarak düşünecek olursak, f ye x değeri girdiğinde bu değer işlenerek sonuçta f (x) değeri üretilmektedir. x
f f (x)
f makinesinin işlevi (fonksiyonu) x değerine karşılık f (x) değerini üretmektir.
4.1.2. Örnek X = {a, b, c} kümesinden Y = {1, 2} kümesine tüm olası fonksiyonları bulunuz. Çözüm Toplam 23 = 8 tane fonksiyon vardır ve bu fonksiyonlar şöyle verilebilirler:
f1
f2 Y
X a ●
● 1
a ●
b ●
● 1
a ●
● 2
● 2
c ●
f4
c ●
f5
X
Y
f6
X
● 1
Y a ●
b ●
● 1
X
Y a ●
b ● ● 2
● 2
c ●
f7
c ●
f8 Y ● 1
b ●
X
Y a ●
● 1
b ● ● 2
c ●
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
● 2
c ●
● 1
b ●
● 2
c ●
X
● 1
b ●
● 2
a ●
Y
X
b ●
c ●
a ●
f3 Y
X
118
FONKSİYONLAR
4.1.3. Örnek Geometriyle ilgili çeşitli fonksiyonlar üretmek olanaklıdır. Örneğin, kenar uzunlukları 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm olabilen karenin alanının, sırayla, 4 cm2, 9 cm2, 16 cm2, 25 cm2, 36 cm2 olduğunu biliriz. Bu bilgileri bir çizelgede toplayalım: x, cm cinsinden kenar uzunluğunu gösteriyorsa, alan cm2 cinsinden şöyle verilir: x
2
alan
4
3 9
4
5
6
16
25
36
Gerçekte bu bilgiler bir fonksiyon olarak da ifade edilebilir: alan: {2, 3, 4, 5, 6} → R, alan (x) = x2 (Burada fonksiyonun adını "alan" olarak ifade ettik.) Geometride, fizikte, kimyada, uygulamalı bilimlerde geçen pek çok formülün bulunduğunu bilirsiniz. Örneğin, A = π r2
(yarıçapı r olan dairenin alanı);
x = v 0 t - 1 gt2 2
( t = 0 anında v0 ilk hızıyla yukarı doğru fırlatılan bir cismin bir t anındaki konumu; burada g yerçekimi ivmesini ve t zamanı göstermektedir);
I=V R0
(R0 sabit direnci verildiğinde V gerilimi için devreden geçen akım)
. . .
gibi formüllerden her birini bir fonksiyon diye algılayabiliriz. Sözgelişi, ikinci formülde x, konumunun t zamanına bağlı bir fonksiyon olarak x : [0, ∞) → R,
x t = v 0 t - 1 g t2 2
biçiminde yazabiliriz.
4.1.4. Örnek Belirli bir günde mark (M) ve dolar (D) arasında 1 dolar = 1,875 mark ilişkisi vardır. O halde, doğru orantı kuralları doğrultusunda, markı dolara çevirme işlemi, Ç: {M ∈ R | M ≥ 0} → {D ∈ R| D≥ 0} ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
Ç (M) = M/1,875 gibi bir fonksiyonla ifade edilir. f: X →Y fonksiyonu y = f (x) şeklinde verilmişse x e bağımsız değişken, y, x e bağlı olarak değiştiğinden dolayı y ye bağımlı değişken denir.
4.2. Fonksiyonlarda Özel Kümeler Bu kesimde, verilen bir fonksiyona ilişkin olarak, fonksiyonun tanım kümesi, değer kümesi, grafiği gibi çeşitli kümelerden söz edeceğiz.
4.2.1. Tanım f: X → Y fonksiyonu verilmiş olsun. (a) X kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi , Y kümesine de f fonksiyonunun değer kümesi denir. (b) { (x, f(x)) | x ∈ X } ⊆ X x Y alt kümesi ise f fonksiyonunun grafiği adını alır. Şimdi çeşitli örneklerde bu kavramları inceleyelim:
4.2.2. Örnek 4.1. Kesimin başında aldığımız F fonksiyonunun tanım kümesi X = { Balkın, Alp, Ayşegül, İpek, Muzaffer, Utkan } değer kümesi de Y = { mavi, yeşil, sarı, kırmızı, turuncu, gri, mor, siyah } olur. F nin grafiğini göstermek için 3. Ünitede öğrendiğimiz yöntemlerden yararlanarak aşağıdaki biçimde bir çizenek elde ederiz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
119
FONKSİYONLAR
120
4.2.3. Örnek 4.1.2. Örnekte verilen 8 tane fonksiyondan ilk dört tanesinin grafiği şöyle çizilebilir: Y 2 1
Y 2 ●
●
●
a
b
c
Y 2 1
1 X
●
●
a
b
c
●
●
b
c
Y 2
● ●
a
●
1
●
b
●
X
c
X
a
X
Bir f: X → Y fonksiyonunun grafiğini oluştururken, X tanım kümesini yatay eksen ve Y değer kümesini düşey eksen olarak aldığımıza özen gösteriniz. Y R ● ●
●
●
● ●
X
?
Grafikte görülen R kümesi X kümesinden Y kümesine bir fonksiyonun grafiği olabilir mi? Neden?
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
121
Yukarıda örneklerle gördük ki, iki küme arasında birden çok fonksiyon tanımlanabilmektedir. O halde, tanım ve değer kümeleri aynı olan iki fonksiyonun ne zaman aynı ya da ne zaman farklı olacakları sorusu öncelikle açıklığa kavuşturulmalıdır. Bunun için iki fonksiyonun eşitliğini tanımlamak yetecektir.
4.2.4. Tanım f ve g tanım ve değer kümeleri aynı olan iki fonksiyon olsunlar; f: X → Y ve g: X → Y. Her x ∈ X için f(x) = g(x) ise f ve g ye eşit fonksiyonlar denir ve f = g yazılır. Fonksiyon eşitliği tanımında özen göstermemiz gereken iki önemli nokta şudur: • İki fonksiyonun eşit olması için öncelikle bunların tanım ve değer kümeleri eşit olmalıdır. • Tanım kümesinin her noktasında fonksiyonlar aynı değeri almalıdır. Sözgelişi, X = { 1, 2, 3, 4 } kümesinden Y = { a, b, c } kümesine f(1) = f(2) = a, f(3) = f(4) = c olarak tanımlanan f fonksiyonu ile g(1) = g(2) = a , g(3) = b , g(4) = c olarak tanımlanan g fonksiyonu farklı fonksiyonlardır. Çünkü bu fonksiyonların tanım ve değer kümelerinin aynı olmasına karşın, 3 ∈ X noktasında farklı değerler alırlar; yani f(3) ≠ g(3) dür. Uygulamalarda karşımıza çıkan fonksiyonların büyük bir çoğunluğu, tanım ve değer kümeleri R gerçel sayılar kümesi ya da onun alt kümeleri olan fonksiyonlardır. Bu tür fonksiyonların grafikleri R x R = R2 çarpım kümesinin alt kümeleridir. Dolayısıyla bu tür grafiklerin çizimlerini yapabilmek için, R nin ve R2 nin geometrik modeli olarak gerçel ekseni ve koordinat düzlemini kısaca anımsatalım: Gerçel sayılar kümesi R, adına gerçel eksen denilen bir doğru ile temsil edilir. Böyle bir doğru üzerinde sıfır sayısına karşılık gelmek üzere 0 başlangıç noktası, sağa doğru giden yön pozitif yön ve bir birim uzunluk seçilir. Başlangıç noktasından itibaren, pozitif yönde birim uzunluk katlanarak alınırsa, sırasıyla 1, 2, 3 ... sayılarına karşılık gelen noktalar bulunur. Aynı işlem başlangıç noktasının diğer yönünde yapılırsa -1, -2, -3, ... sayılarına karşılık gelen noktalar bulunur. ...
-3
-2
-1
0
1
2
3
... R
Gerçel eksen
Böylece gerçel eksen üzerinde doğal sayılar kümesi N yi, tamsayılar kümesi Z yi, rasyonel sayılar kümesi Q yu ve irrasyonel sayılar kümesi Qt yi, kısaca tüm gerçel sayılar kümesi R yi gösterebiliriz. Böyle bir doğru üzerindeki noktalarla R içindeki sayılar birebir eşlenmiş olur; yani doğru üzerindeki her noktaya bir gerçel sayı ve her gerçel sayıya da bu doğru üzerinde bir nokta karşılık gelmiş olur. İkinci aşamada iki tane gerçel ekseni, aşağıda görüldüğü gibi, birbirlerini 0 başlangıç noktalarında dik olarak kesecek biçimde çizeriz: AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
122
FONKSİYONLAR
y
● p(x,y)
y
. . . 1 . 0
-1
1
x
x
2
-1
Burada yatay olarak çizilen doğruya x-ekseni , dikey olarak çizilen doğruya y-ekseni denir. Bu yolla, düzlem üzerindeki p noktasıyla şekildeki gibi oluşan x,y sayılarının oluşturduğu (x,y) sıralı ikilisini birbirleriyle özdeşleyebiliriz. (x'e p noktasının x-koordinatı, y'ye p noktasının y-koordinatı denir.) Böylece düzlemin noktalarıyla R2 nin öğeleri birebir eşlenmiş olur. Bu biçimde oluşturulan düzleme koordinat düzlemi diyoruz. I: R → R , I(x) = x fonksiyonuna özdeşlik fonksiyonu denir. Şimdi I: R → R, I(x) = x özdeşlik fonksiyonunun grafiğini çizelim. Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için çeşitli x sayıları için buna karşılık gelen I(x) değerlerini belirlemekle işe başlayalım:
x
...
-1
0
2
3
4
5
...
I (x)
...
-1
0
2
3
4
5
...
( x, I(x) )
...
(-1, -1)
(0,0)
(2,2)
(3,3)
(4,4)
(5,5)
...
Şimdi bu değerleri koordinat düzleminde işaretleyelim:
Y
(5,5)
5
●
(4,4)
4
●
(3,3)
3
●
2
●
(1,1)
1 -1
●
(0,0) 0 1
●
●
(-1,-1)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
(2,2)
-1
2
3
4
5
X
FONKSİYONLAR
123
Son olarak, yukarıda verilen x değerleri dışındaki x ler için I(x) in I(x) = x şeklinde verildiğini anımsarsanız I fonksiyonunun grafiği şöyle çizilebilir: Y 4 3 2 1 0 -1
1
2
3
4
X
-1 I(x) = x özdeşlik fonksiyonunun grafiği
a ve b gerçel sayılar olmak üzere, f: R → R, f(x) = ax + b türündeki bir fonksiyonun grafiği bir "doğru" dur. Bu nedenle grafik üzerinde bulunan farklı iki nokta belirlendiği anda, bu iki noktayı birleştirerek grafiği hemen çizebiliriz. Şimdi yukarıdaki uyarıyı kullanarak bu tür iki fonksiyonun grafiğini çizeceğiz:
4.2.5. Örnek g: R → R , g(x) = 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm Bu fonksiyon yukarıdaki uyarıda anlatılan türde bir fonksiyon örneğidir. (Böyle bir fonksiyona özel olarak sabit fonksiyon adı verilir). g nin grafiğini çizmek için, isteğe bağlı iki farklı x değeri alalım ve bunlara karşılık gelen g(x) leri hesaplayalım. Sözgelişi x = 0 için g(0) = 2, x = 3 için g(3) = 2 olduğu için (0,2) ve (3,2) sıralı ikilileri g fonksiyonunun grafiği üzerinde iki nokta olur; böylece düzlemde bu noktaları işaretleyip bunları birleştiren doğruyu çizersek g nin grafiği hemen ortaya çıkar. Y
4 3 ●
(0,2)
(3,2)
●
2 1 -2
-1
0
1
2
3
4
5
g(x) = 2 sabit fonksiyonunun grafiği AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
X
FONKSİYONLAR
124
4.2.6. Örnek h: R → R , h(x) = 2x - 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm Bu fonksiyon da yukarıdaki uyarıda anlatılan türde bir fonksiyon olup grafiği yine bir doğrudur. Bu nedenle isteğe bağlı iki x değeri için karşılık gelen h(x) leri hesaplamak yetecektir. Sözgelişi x = 0 için h(0) = -3 ve x = 1 için h(1) = -1 olduğundan düzlemde (0, -3) ile (1, -1) noktalarını birleştiren doğruyu çizmekle h nin grafiği çizilmiş olur. y
1 x -1
● (1, -1)
-3 ● (0, -3)
h(x) = 2x - 3 fonksiyonunun grafiği
Örneklerde hep vurguladığımız gibi almış olduğumuz iki noktanın seçimi fonksiyonun grafiğini değiştirmeyecektir . Sözgelimi x noktalarını -1 ve 2 olarak seçip h(-1) = -5 , h(2) = 1 hesaplamalarının ardından (-1, -5) ile (2,1) noktalarını birleştirseydik yine yukarıdaki grafiği elde edecektik. Çünkü bu noktalar da çizilen doğru üzerindedirler. Ayrıca yukarıdaki grafikte çizdiğimiz doğrunun y - eksenini kestiği noktanın (0, h(0) ) = (0, -3) olduğu açıktır. Buna ek olarak doğrumuzun x-eksenini kestiği noktanın saptanması da oldukça önemli olabilir. Bu sorunun yanıtını bulmak demek h (x0) = 0 olacak biçimde x0 ∈ R değerini saptamak demektir. h (x0) = 2x0 - 3 = 0 ⇔ 2x0 = 3 ⇔ x0 = 3/2 olduğuna göre doğrumuz x-eksenini (3/2, 0) noktasında keser.
?
f x =- 3 x+1 2
kuralıyla verilen fonksiyonun eksenleri kesim noktalarını
bulunuz ve grafiğini çiziniz. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
125
Son üç örneğimizde hep "f (x) = ax + b" türündeki doğrusal fonksiyonlarla ilgilenmiş olmamız ve bunların grafiklerinin hep birer doğru olması sizi yanıltmasın. Bu örneklerde söylenenlerin pek çoğu yalnızca verilen türdeki fonksiyonlar için geçerlidir. Bu türde olmayan pek çok sayıda fonksiyon vardır ve bunların grafikleri de hiç kuşkusuz "doğru" biçiminde olmazlar. Şimdi bunların örneklerini vermeye çalışalım.
4.2.7. Örnek Kenar uzunluğu verilen bir karenin alanının bulunması problemiyle ilgilenmiş olalım. Doğal olarak kenar uzunluğunun negatif olması düşünülemeyeceğine göre "alan" diye ifade edeceğimiz bu fonksiyonun tanım kümesi [0, ∞) yarı-kapalı aralığı, değer kümesi de R olacaktır. alan: [0, ∞) → R, alan (x) = x2 (Bu fonksiyonu 4.1.3. Örnekte aldığımız fonksiyonla karıştırmayınız; adlarını aynen korumamıza karşın bunlar farklı fonksiyonlardır, çünkü tanım kümeleri farklıdır!). Şimdi bu fonksiyonun grafiğini çizmeye çalışalım. [0, ∞) aralığında sonsuz sayıda nokta bulunduğuna ve bunlardan her biri için örneğin x∈ [0, ∞) için, x2 yi hesaplayabilmemize karşın, tüm bu noktaları bulup işaretleme olanağımız yoktur. Bu nedenle bir grafiğin genel gidişini algılayabilecek sayıda x değerleri belirler, bunlara karşılık gelen alan (x) değerlerini hesaplar, ardından düzlemde (x, alan (x)) noktalarını işaretleriz. Sözgelimi biz şimdi x ler için şu seçimleri yapalım ve grafiği kabaca çizelim:
x
0
1
2
3
alan (x)
0
1
4
9
(x, alan (x) )
(0,0)
(1,1)
(2,4)
(3,9)
y 9
●
(3,9)
8 7 6 5 ● (2,4)
4 3 2
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
1
●
● 0 (0,0)
1
(1,1) 2
3
x
126
FONKSİYONLAR
Gerçekte grafiğin biçimi, çok kabaca olsa bile, hemen hemen ortaya çıkmış durumda. Ancak yine de 0, 1, 2, 3 tamsayıları arasındaki noktalarda grafiğin biçimini merak edebilirsiniz. Bu nedenle noktalarımızın sayısını biraz çoğaltalım:
x
0
1/2
1
3/2
2
5/2
3
1/4 = 0,25
alan (x)
0
1/4
1
9/4
4
25/4
9
9/4 = 2,25
(x, alan (x) )
(0,0)
(1,1)
(3/2,9/4)
(2,4)
(5/2,25/4)
(3,9)
(1/2,1/4)
y ● (3, 9)
9 8 (5/2, 25/4)
7
●
6 5 (2, 4)
4
●
3 (3/2, 9/4) ●
2 (1,1) 1
●
(1/2, 1/4) ● ● (0,0) 1/2 0 1
3/2
2
5/2
3
X
-1
Grafiğin biçimi şimdi daha açık şekilde ortaya çıkmış durumdadır. y = alan (x) y 9
●
8 7 ●
6 5 4
●
3 ●
2 1
● ● ●
0 -1
1/2
1
3/2
2
5/2
3
X
alan: [0, ∞) → R , alan (x) =x2 fonksiyonunun grafiği
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
25/4 = 6,25
FONKSİYONLAR
127
Önceki örnekte izlediğiniz yöntemi ve aşamaları artık siz genel bir fonksiyon için uyarlayabilirsiniz. Grafik konusunu iki örnek daha verip kapatalım dilerseniz.
4.2.8. Örnek f: R\ {0} → R, f(x) = 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x Çözüm x
-2
-1
-2/10
f(x)
-1/2
-1
-5
-1/10 -10
(-2, -1/2) (-1, -1) (-2/10, -5) (-1/10, -10)
(x, f(x))
y 10
1/10
2/10
1
2
10
5
1
1/2
(1/10, 10)
(1, 1)
(2, 1/2)
●
5
●
1 -2
(2/10, 5)
● ●
-1
●
0 -1
● ●
1
2
x
-5
●
●
f:R\{0} → R, f x = 1 x
-10
fonksiyonunun grafiği
4.2.9. Örnek g : R\{1} → R, g x = x + 2 x-1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
x g(x) (x,g(x))
-3 1/4 (-3, 1/4)
-2 0 (-2, 0)
-1 -1/2 (-1, -1/2)
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
0 -2 (0, -2)
1/2
3/4
5/4
-5
-11
13
(1/2, -5) (3/4, -11) (5/4, 13)
2 4 (2, 4)
3 5/2 (3, 5/2)
4
5
2
7/4
(4, 2)
(5, 7/4)
FONKSİYONLAR
128
y ●
y = g(x)
●
3
●
2 ●
●
●
0
●
1
2
3
4
●
5
x
●
●
●
g:R\{1} → R, g x = x + 2 x-1
?
fonksiyonunun grafiği
Bu fonksiyonun x = 1'de tanımlı olmadığını, x = 1'in sağ yakınlarında giderek pozitif yönde büyük değerler aldığını (+ ∞ a yaklaştığını), x = 1'in sol yakınlarında giderek negatif yönde küçük değerler aldığını (-∞ a yaklaştığını) gördünüz mü? Bu kesimde inceleyeceğimiz son iki kavram "görüntü" ve "öngörüntü" olacaktır.
4.2.10. Tanım f: X →Y fonksiyonu ve A ⊆ X altkümesi verilmiş olsun. Y kümesinin f (A) = {f (x) | x ∈ A} olarak tanımlanan altkümesine, A kümesinin f altındaki görüntüsü adı verilir. f X
Y A
f(A) f(x)
x ●
●
f (A) : A'nın Görüntüsü
Verilen tanımın adıyla ne denli uyum içinde olduğunu daha iyi görebilmeniz için çeşitli örnekler sunalım: ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
129
4.2.11. Örnek X = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinden Y = {a, b, c, d, e} kümesine f fonksiyonu f X
1 ●
● a
2 ●
● b
3
●
● c
4
●
● d
5
●
● e
Y
biçiminde verilmiş olsun. Şimdi A1 = {2, 3, 4}, A2 = {1, 4}, A3 = X için f (A1), f (A2), f (A3) görüntülerini saptayalım: f (A1) = {f (x) | x ∈ A1 } = {f (2), f (3), f (4)} = {b, e, c}; f (A2) = {f (x) | x ∈ A2 } = {f (1), f (4)} = {c}; f (A3) = {f (x) | x ∈ A3 } = {f (1), f (2), f (3), f (4), f (5)}} = {c, b, e, a}.
4.2.12. Örnek f : R → R, f (x) = x - 2 fonksiyonu verildiğinde A1 = {-1, 0, 1, 2}, A2 = [4, 6], A3 = [-1, 4], A4 = (-1, 4] altkümeleri için f (A1), f (A2), f (A3), f (A4) görüntülerini belirleyiniz. Çözüm Önce f'nin grafiğini çizelim: y
y = f x)
5 ●
3
● ●
2 -2
-1
0 -1
●
(x, f (x))
-2
-4
(-2, -4)
-1
-3
(-1, -3)
0
-2
(0, -2)
1
-1
(1, -1)
2
0
(2, 0)
3
1
(3, 1)
4
2
(4, 2)
5
3
(5, 3)
6
4
(6, 4)
7
5
(7, 5)
●
1 ●
●
2
3
4
5
6
7
x
● -2 ●
f (x)
●
4
1
x
-3 -4
f: R → R, f(x)= x - 2 fonksiyonunun grafiği AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
130
FONKSİYONLAR
İkinci adımda ise her bir görüntüyü tek tek saptayalım: (a) A1 = {-1, 0, 1, 2} için f (A1) = {f (x) | x ∈ A1} = {f (-1), f (0), f (1), f (2)} = {-3, -2, -1, 0} (b) A2 = [4, 6] altkümesinde sonlu sayıda öğe bulunmadığına göre bu iş için grafikten yararlanalım: y
y = f x)
5
●
4 ●
2 1 0 -1
a. f (4) = 2; f (6) = 4'tür.
●
3
-1
● ●
1 ●
●
2
3
4
5
6
7
x
● -2 ●
Açıklamalar:
-3
b. Ayrıca f (4,1) = 2,1 f (4,2) = 2,2 f (5) = 3; f (5,1) = 3,1; f (5,9) = 3,9 olur.
Böylece grafikten de kolayca görülebileceği gibi f (A2) = [2, 4] olur. (c) Yukarıda (b)'de yaptığımıza benzer olarak f (A3) = [-3, 2] olduğu saptanabilir. (NOT: f (-1) = -3; f (-0,9) = -2,9; f (-0,8) = -2,8; ... ; f (0) = -2; f (1) = -1; f (2) = 0; f (3) = 1; ... ; f (3,8) = 1, 8; f (3,9) = 1, 9; f (4) = 2 olduğuna özen gösteriniz. Diğer ayrıntıları ise size bırakıyoruz.) (d) Yukarıda A3 = [-1, 4] için f (A3) = [-3, 2] bulmuştuk. A4 = (-1, 4] altkümesinin A3'ten tek farkı, A4'ün sol uç noktası olan -1'in A3 aralığında bulunmaması, bir başka deyişle A4'ün soldan açık bir aralık olmasıdır. A3 için anlatılanları da birlikte düşünecek olursak, f (A4) = (-3, 2] elde edilir. Bu sonucu grafikten de görebiliriz:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
131
y y = f x) 3 2 -2
● ● ●
1
-1
1
0 -1
●
●
2
3
4
5
x
● -2 ●
-3 -4
●
Ele aldığımız son iki örnekte, grafiklerimizin oldukça basit görünümlü olmalarından dolayı, görüntüleri çok kolay bulabildik. Ancak her zaman olay bu denli kolay olmayabilir; şimdi buna ilişkin bir örnek verelim:
4.2.13 Örnek g : R → R, g (x) = x2 fonksiyonu verildiğinde A1 = {0, 1, 2}, A2 = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} ve A3 = [-1, 1] altkümeleri için g (A1), g (A2), g (A3) görüntülerini saptayınız. Çözüm Önce g'nin grafiğini çizelim dilerseniz: y (-3, 9) ●
y = g x)
x
g (x)
(x, g (x))
8
-3
9
(-3, 9)
7 6
-2
4
(-2, 4)
-1
1
(-1, 1)
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 1)
2
4
(2, 4)
3
9
(3, 9)
9
● (3, 9)
5 4
(-2, 4) ●
●(2, 4)
3 2 (-1, 1) ●
1
●(1, 1)
0● -3
-2
-1
1
2
3
g: R → R, g(x)= x2 fonksiyonunun grafiği
(a) g (A1) = {g (x) | x∈ A1} = {g (0), g (1), g (2)} = {0, 1, 4}
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
x
132
FONKSİYONLAR
(b) g (A2) = {g (x) | x ∈ A2} = { g (-2), g (-1), g (0), g (1), g (2), g (3)} = {4, 1, 0, 9} (c) g (A3) = {g (x) | x ∈ [-1, 1]} = [0, 1] NOT: (c)'deki ayrıntıları size bırakıyoruz! Son olarak "öngörüntü" kavramını tanıtalım:
4.2.14. Tanım f : X → Y fonksiyonu ve B ⊆Y altkümesi verilmiş olsun. X kümesinin f-1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} olarak tanımlanan altkümesine, B altkümesinin f altındaki öngörüntüsü adı verilir. f X
Y -1 f (B)
B f(x)
x
●
●
f-1 (B): B'nin öngörüntüsü
Öngörüntüyle ilgili çeşitli örnekler verelim:
4.2.15. Örnek 4.2.11. Örnekte alınan f X 1
●
● a
2
●
● b
3
●
●c
4
●
●d
5
●
● e
Y
fonksiyonunu düşünelim. B1 = {a, b, e}, B2 = {a, c}, B3 = {d}, B4 = Y altkümeleri için f-1 (B1), f-1 (B2), f-1 (B3), f-1 (B4) öngörüntülerini saptalayalım:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
133
f-1 (B1) = { x ∈ X | f (x) ∈ B1 } = { 5, 2, 3 } ; f-1 (B2) = { x ∈ X | f (x) ∈ B2 } = { 5, 1, 4 } (NOT: f (1) = c, f (4) = c olduğu için 1, 4 ∈ f-1 (B2)'dir!) ; f-1 (B3) = { x ∈ X | f (x) ∈ B3 } = ∅ ; f-1 (B4) = { x ∈ X | f (x) ∈ Y } = { 5, 2, 1, 4, 3 } = X
4.2.16. Örnek 4.2.12. Örnekteki f : R → R , f (x) = x-2 fonksiyonunu bir kez daha alalım. B1 = {-3, 2, 4 } , B2 = { 1/2} , B3 = [ 1, 4 ] altkümeleri için f-1 (B1), f-1 (B2), f-1 (B3), öngörüntülerini bulunuz. Çözüm Önce f'nin grafiğini çizelim: y y = f(x) 5
●
4
●
3
●
B3 ●
2 ●
1 -1
1 x
●
●
0
2
3
4
5
6
7
●
-1 ● -2
●
-3
-4
f: R → R, f(x)= x - 2 fonksiyonunun grafiği
(a) f-1 (B1) = { x ∈ R | f (x) ∈ B1 } öngörüntüsü f(x) = x-2 ∈ B1 = { -3, 2, 4 } koşulunu sağlayan tüm x ∈ R sayılarının kümesidir: f (x) = x-2 = -3
⇒ x = -1,
f (x) = x-2 = 2
⇒ x = 4,
f (x) = x-2 = 4
⇒x=6
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
134
FONKSİYONLAR
olduğuna göre f-1 (B1) = { -1, 4, 6 } bulunur. Bunun gerçekten böyle olduğunu grafikten de izleyebilirsiniz. (b) f-1 (B2) = { x ∈ R | f (x) ∈ B2 } kümesi, f (x) = x-2 ∈ B2 = { 1/2} ⇔ x-2 = 1/2 ⇔ x = 5/2 olması nedeniyle, f-1 (B2) = {5/2} olarak saptanabilir. (Bunu grafikten görebildiniz mi?) (c) f-1 (B3) = { x ∈ R | f (x) ∈ B3 } öngörüntüsünü bulmak için y- ekseni üzerinde B3 altkümesini tarayarak çizelim, daha sonra B3 şeritini grafikle kesiştirelim. Şeritle grafiğin kesiştiği noktalardan x-ekseni üzerine izdüşüm alınırsa, buradan, f (x) = x-2 = 1 ⇔ x = 3, f (x) = x-2 = 4 ⇔ x = 6 değerleri bulunur ve f-1 (B3) = [ 3, 6 ] biçiminde aranan öngörüntü saptanabilir.
4.2.17. Örnek 4.2.13. Örnekteki g : R → R, g(x) = x2 fonksiyonunu bir kez daha alalım. B1 = { 1, 4 }, B2 = [ 1, 4], B3 = { -1, 0, 1, 2}, B4 = [ -1, 3 ] altkümeleri için g-1 (B1), g-1 (B2), g-1 (B3), g-1 (B4) öngörüntülerini bulunuz. Çözüm İlgili örnekteki grafikten burada da yararlanalım. 4.2.16. Örnek (c)'de anlatılan yöntem izlenirse aşağıdaki sonuçlar elde edilir: (a) g-1 (B1) = { 1, -1, 2, -2 }, (b) g-1 (B2) = [ 1, 2 ] ∪ [ -2, -1 ], (c) g-1 (B3) = { 0, 1, -1, √2, -√2 }, (B3'deki -1 öğesinin öngörüntüde hiçbir katkısının bulunmadığına dikkat ediniz!) (d) g-1 (B4) = [ -√3, √3 ].
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
135
y y = g(x) 9
●
●
●
4
●
3 - 3 ●
1
●
3 x
-3
-2
0
-1
1
2
3
-1 -2
Şimdi genel duruma dönerek herhangi bir fonksiyon için görüntü ve öngörüntü ile ilgili olarak aşağıdaki teoremi kanıtlayalım:
4.2.18. Teorem f : X → Y fonksiyonu, A1, A2 ⊆ X ve B1, B2 ⊆ Y alt kümeleri verilmiş olsun. Bu durumda (a)
f (A1 ∪ A2)
=
f (A1) ∪ f (A2)
(b)
f (A1 ∩ A2)
⊆
f (A1) ∩ f (A2)
(c)
f-1 (B1 ∪ B2) =
f-1 (B1) ∪ f-1 (B2)
(d)
f-1 (B1 ∩ B2) =
f-1 (B1) ∩ f-1 (B2)
Kanıt (b) ve (c) yi kanıtlayıp (a) ve (d) nin kanıtını alıştırma olarak bırakıyoruz. (b) nin kanıtı: y ∈ f (A1 ∩ A2) olsun. En az bir x ∈ A1 ∩ A2 için f(x) = y olur. Buradan x ∈ A1, x ∈ A2 ve f(x) = y ; ya da y = f(x) ∈ f (A1) ve y = f(x) ∈ f (A2) çıkar. O halde, y ∈ f (A1) ∩ f (A2) dir. Öyleyse f (A1 ∩ A2) ⊆ f (A1) ∩ f (A2) olur.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
136
FONKSİYONLAR
(c) nin kanıtı:
x ∈ f-1 (B1 ∪ B2)
f (x) ∈ B1 ∪ B2 f (x) ∈ B1 veya f(x) ∈ B2 x ∈ f-1 (B1) veya x ∈ f-1 (B2) x ∈ f-1 (B1) ∪ f-1 (B2)
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
olduğu için istenilen eşitlik kanıtlanmış olur. Aşağıdaki örnek ile 4.2.18 Teorem (b) deki f(A1 ∩A2) nin f(A1) ∩ f (A2) kümesinin öz alt kümesi olabileceğini gösteren bir örnek verelim:
4.2.19. Örnek f: R → R, f(x) = x2 fonksiyonu ve A1 = [-1, 0], A2 = [1, 2] aralıkları veriliyor. f(A1 ∩A2) ⊂ f (A1) ∩ f (A2) olduğunu gösteriniz. Çözüm A1 ∩A2 = [-1, 0] ∩ [1, 2] = ∅ olduğundan f(A1 ∩A2) = f(∅) = ∅ dir. f (A1) ∩ f (A2) = f ( [-1, 0] ) ∩ f ( [1, 2] ) = [0, 1] ∩ [1, 4] = {1} dir. Sonuç olarak f (A1 ∩ A2) ⊆ f (A1) ∩ f (A2) olduğu halde f (A1 ∩ A2) ≠ f (A1) ∩ f (A2) dir.
4.3. Özel Fonksiyonlar Bu kesimde daha önce görmüş olduğumuz fonksiyon türlerine kimi eklentiler yapacağız. Önce verilen herhangi bir x∈R gerçel sayısının salt değerini, tam değerini ve işaretini sırayla aşağıdaki gibi tanımlayalım: (a) x'in salt değeri = |x| =
x,
x≥0
ise
-x,
x<0
ise
;
(b) x'in tam değeri = |x| = x'den küçük ya da eşit olan en büyük tamsayı; 1,
x>0
ise
(c) x'in işareti = sgn(x) = 0,
x=0
ise
-1,
x<0
ise
;
Büyük bir olasılıkla daha önce görmüş olduğunuz bu kavramları örneklendirelim:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
137
4.3.1. Örnek (a) |5| = 5 ;
|π| = π ;
|-2| =-(-2) = 2 ;
|0| = 0 ;
|-3/4| = -(-3/4) = 3/4
[|2,1|] = 2 ;
[|2,9|] = 2 ;
[|2,99999|] = 2 ;
[|3|] = 3 ;
[|0|] = 0 ;
[|-2|] = -2 ;
[|-2, 1|] = -3 ; [|-2 9|] = -3 ;
[|-2,99999|] = -3 ;
[|-3|] = -3 ;
[|π|] = 3 ;
sgn(-2) = -1 ;
sgn(0) = 0
|-π| = -(-π) = π ; (b) [|2|] = 2 ;
[|-π|] = -4 (c) sgn(5) = 1 ; sgn(1) = 1 ;
sgn(-1) = -1
Şimdi verilen bir f: X → R "fonksiyonunun salt değer fonksiyonunu", "tamdeğer fonksiyonunu" ve "işaret fonksiyonunu" oluşturalım:
4.3.2. Tanım f: X → R fonksiyonu verilmiş olsun. (a) f' nin salt değer fonksiyonu |f|: X → R,
|f| (x) =|f (x)|,
(b) f' nin tamdeğer fonksiyonu [|f|] : X → R,
[|f|] (x) = [|f(x)|] ,
(c) f' nin işaret fonksiyonu sgn(f) : X → R,
sgn(f) (x) = sgn(f (x))
olarak tanımlanır.
4.3.3. Örnek f: R → R, , f(x) = -x + 1 fonksiyonunun salt değer fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
138
FONKSİYONLAR
Çözüm Önce f'nin grafiğini çizeceğiz, ardından x- ekseninin altında kalan grafikle ilgili kısımların x-eksenine göre simetriğini alacağız. y
y
3
3
y = |f|(x)
y = f(x)
-2
-1
2
2
1
1
0
1
2
3
X
4
-2
0
-1
-1
-x + 1, |f| (x) =
-x + 1 ≥ 0
- -x + 1 ,
=
1
2
3
4
X
-1
ise
-x + 1 < 0
-x + 1,
x≤1
ise
x - 1,
x>1
ise
ise
4.3.4. Örnek g: R → R, g(x) = |x|'in grafiği ise yukarıda anlatılan düşüncelerle şöyle çıkar: y = I(x)
y
y 1
1
0
y = g (x)
1
X
I(x) = x fonksiyonunun grafiği
-1
0
1
X
y= g(x) = |x| fonksiyonunun grafiği
4.3.5. Örnek h: R → R,
h(x) = [|x|] fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm [|x|] = n;
n ∈ Z olmak üzere x'in tamdeğerinin n tamsayı olduğunu bilmekteyiz.
Tamdeğerin tanımı gereğince
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
139
[|x|] = n ⇔ n ≤ x < n+1 anlamı ortaya çıkar. ..., n = -2, n = -1, n = 0, n = 1, n = 2, ... gibi durumları tek tek inceleyelim. . . . [|x|] = -2 ⇔ -2 ≤ x < -1, [|x|] = -1 ⇔ -1 ≤ x < 0, [|x|] = 0 ⇔ 0 ≤ x < 1, [|x|] = 1 ⇔ 1 ≤ x < 2, [|x|] = 2 ⇔ 2 ≤ x < 3, . . . Böylece h'nin grafiği şöyle çizilebilir: y ●
3 2 -2
-1 ●
●
..
.
●
.
●
1 -3
..
● ●
1
1
2
3
X
2 3
h(x)= [|x|] fonksiyonunun grafiği
Grafikte içi dolu noktacıklarla içi boş noktacıkların ne anlama geldiklerini açıklar mısınız?
4.3.6. Örnek Burada da j: R → R, j(x) = [|-x|] fonksiyonunun grafiğini, diğer açıklamaları sizin yapmanız koşuluyla sunalım.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
140
FONKSİYONLAR
y
.. .
2
●
1
●
1
●
-3
-2
-1
2
3 X
-1
●
-2
●
-3
●.
..
j(x) = [|-x|] fonksiyonunun grafiği
4.3.7. Örnek i: R → R,
i(x) = sgn(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm y 1 ●
X
0 -1
i(x) = sgn(x) fonksiyonunun grafiği
4.3.8. örnek f: R → R, f(x) = x2 - 4 fonksiyonunun işaret fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm Önce f' nin grafiğini çizelim. y 6 5
●
●
4 3 2 -2
-1
1
1
●
-3
2 ●
0
3
-1 -2 -3
● ●
●
-4
f(x) = x2 - 4 fonksiyonunun grafiği ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
x
FONKSİYONLAR
141
y
1 -2
-1
1
●
2 ●
X
0 -1
y = sgn (x2 - 4) fonksiyonunun grafiği
4.4. Fonksiyon Bileşkesi; Bire-Bir, Örten Fonksiyonlar; Ters Fonksiyon f: X → Y ve g: Y → Z gibi birincisinin değer kümesi ikincisinin tanım kümesi olan iki fonksiyon verilmiş olsun. X
Y
f
x
f(x)
g
Z
g(f(x))
Bu şekilden görülebileceği gibi, X kümesinden Z kümesine adına bileşke fonksiyon diyeceğimiz ve gof simgesiyle göstereceğimiz yeni bir fonksiyon tanımlanabilir:
4.4.1. Tanım f: X → Y ile g: Y → Z fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu gof: X → Z, (gof) (x) = g(f (x)) biçiminde tanımlanan fonksiyondur. f ile g fonksiyonlarının bileşkesini bulurken, görsel olarak, aşağıdaki çizenekleri gözönünde bulundurmanız yararlı olabilir:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
142
FONKSİYONLAR
f ile g nin gof simgesiyle gösterilen bileşkesinin tanımlı olması için f nin değer kümesinin g nin tanım kümesine eşit olması ya da onun içinde kalması zorunludur. Bazı durumlarda, gof bileşkesiyle birlikte, g ile f nin bileşkesi olan fog bileşke fonksiyonu da tanımlı olabilir. Aşağıda verilen örneklerle göreceğiz ki, gof ve fog bileşke fonksiyonlarının her ikisi de tanımlı olsa bile, bunlar eşit olmayabilir.
4.4.2. Örnek X
Y
f
Y
X g
a
1
1
a
b
2
2
b
c
3
3
c
d
4
4
d
ile
fonksiyonları verildiğinde gof: X → X ve fog: Y → Y bileşke fonksiyonlarının her ikisi de oluşturulabilir: X
X
gof
Açıklamalar: • (gof) (a) = g (f (a)) = g (3) = a
a
a
b
b
c
c
d
d
Y
• (gof) (b) = g (f (b)) = g (1) = b • (gof) (c) = g (f (c)) = g (3) = a • (gof) (d) = g (f (d)) = g (4) = d
Y fog
Açıklamalar:
a
a
• (fog) (1) = f (g (1)) = f (b) = 1
b
b
• (fog) (2) = f (g (2)) = f (d) = 4
c
c
• (fog) (3) = f (g (3)) = f (a) = 3
d
d
• (fog) (4) = f (g (4)) = f (d) = 4
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
143
gof ve fog bileşke fonksiyonların her ikisinin de var olmasına karşın, bunların tanım ve değer kümeleri farklı olduğundan, farklı fonksiyonlardır.
4.4.3. Örnek f: R → R, f(x) = 2x +1 ile g: R → R; g(x) = -x + 3 fonksiyonları için gof ve fog bileşke fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm gof: R → R, (gof) (x) = g (f (x)) = g (2x + 1) = -(2x + 1) +3 = -2x + 2 fog: R → R, (fog)(x) = f ((x)) = f (-x + 3) = 2 (-x + 3) +1 = -2x + 7 olur. Bu durumda, gof ve fog bileşke fonksiyonlarının tanım ve değer kümeleri aynı olduğu halde gof ≠ fog olduğu açıktır.
4.4.4. Örnek Bir f: X → R fonksiyonu verilmiş olsun. s: R → R, s (x) = |x|; t: R → R, t (x) = [|x|]; j: R → R, i (x) = sgn(x) fonksiyonları için 4.3. kesimde öğrendiğimiz |f|, [|f|], sgn(f) fonksiyonlarını bileşke fonksiyonlar türünden yazınız. Çözüm |f|: X → R,
|f|(x) = |f (x)| = s (f(x)) = (sof) (x);
[|f|]: X → R,
[|f|] (x) = [|f (x)|] = t (f (x)) = (tof) (x);
sgn(f): X → R,
(sgn(f))(x) = sgn(f (x)) = i (f (x)) = (iof) (x)
olduğundan |f| = sof,
[|f|] = tof, sgn(f) = iof
eşitlikleri elde edilir. → R, g (x) = f: R → R, f (x) = x2 + 3 ile g: [0, ∞)→ fonksiyonlarını bulunuz. AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
x fonksiyonları için gof ve fog
?
144
FONKSİYONLAR
Kimi zaman ikiden fazla sayıda fonksiyonun bileşkesi de söz konusu olabilir. Örneğin, f: X → Y, g: Y → Z, h: Z → T fonksiyonları verildiğinde hogof bileşke fonksiyonu hogof: X → T, (hogof) (x) = h (g (f(x)) olarak tanımlanır. X
Y
f
Z
g
f(x)
x
h
g(f(x))
T
h(g(f(x)))
hogof
Tanımlı bileşkeler için fonksiyon bileşke işleminin birleşme özelliğinin varlığı, yani ho (gof) = (hog)of eşitliği doğrulanabilir. Ünitenin son konusu olan "ters fonksiyonları" tanıtmaya geçmeden önce size "birebir fonksiyon" ile "örten fonksiyon" kavramlarını tanıtmak istiyoruz:
4.4.5. Tanım f: X → Y fonksiyonu verilsin. (a) Her x1, x2 ∈ X ve f (x1) = f (x2) için x1 = x2 oluyorsa, f'ye bire-bir fonksiyondur denir. (b) Her bir y ∈ Y için f (x) = y olacak biçimde bir x ∈ X varsa, f' ye örten fonksiyondur denir. Şimdi olumlu ve olumsuz örnekler verelim:
4.4.6. Örnek Aşağıdaki f fonksiyonu hem bire-birdir hem de örtendir; ancak g fonksiyonu birebir de değildir, örten de değildir: X
Y
f a b
c d
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
1 2 3 4
X a b c d
Y
g 1 2 3 4
FONKSİYONLAR
145
4.4.7. Örnek f : R → R, f(x) = 2x - 3 fonksiyonu hem bire-birdir hem de örtendir. (a) Her x1 , x2 , ∈ R için f (x1) = f (x2) ⇒ 2x1 - 3 = 2x2 - 3 ⇒ 2x1 = 2x2 ⇒ x1 = x2 olup f bire-birdir. (b) Herhangi bir y ∈ R için y = f(x) = 2x - 3 olacak biçimde bir x ∈ R vardır; gerçekten y = 2x - 3 ⇔ 2x = y + 3 ⇔ x = 1 y + 3 2 2 olacak şekilde x ∈ R belirlenebilir. Fonksiyonun grafiğini çizerseniz bu iki özelliği çok daha rahat gözlemleyebilirsiniz.
4.4.8. Örnek Tanım ve değer kümeleri bir fonksiyonun bire-bir ve örten olmasında oldukça önemlidir: y
(a) f1 : R → R , f1 (x) = x2 0
fonksiyonu bire-bir de değildir, örten de değildir.
x
y
(b) f2 : R → [0, ∞) , f2 (x) = x2 x 0
fonksiyonu bire-bir değildir, ancak örtendir.
y
(c) f3 : [0, ∞) → R , f3 (x) = x2 fonksiyonu bire-birdir, ancak örten değildir.
0
x
0
x
(d) f4 : [0, ∞) → [0, ∞) , f4 (x) = x2 fonksiyonu hem bire-birdir, hem de örtendir. AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
146
FONKSİYONLAR
f : X → Y bir fonksiyon olsun. • f 'nin bire-bir olması şu önermeye denktir: Her x1 , x2 ∈ X için x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (2). • f 'nin örten olması ise şu önermeye denktir. f (X) = Y. Aşağıdaki tanımda X üzerindeki Ix özdeşlik fonksiyonunu Ix : X → X , Ix (x) = x ve Y üzerindeki IY özdeşlik fonksiyonunu da IY : Y → Y, IY (y) = y olarak almaktayız:
4.4.9. Tanım Bir f : X → Y fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer h o f = Ix
ve
f o h = IY
olacak biçimde bir h : Y → X fonksiyonu varsa, f 'ye tersinirdir deriz. Bu durumda h fonksiyonuna da f 'nin ters fonksiyonu adı verilir. f fonksiyonu tersinir ise, f nin ters fonksiyonunun tek olduğunu aşağıdaki teorem ile kanıtlayalım.
4.4.10. Teorem f : X → Y fonksiyonu tersinir ise, f nin ters fonksiyonu tektir. Kanıt f nin h ve h' gibi iki ters fonksiyonu olduğunu varsayıp h = h' olduğunu gösterelim. h : Y → X ve h' : Y → X fonksiyonları 4.4.9. Tanımın koşullarını sağlarlar; yani h o f = Ix , f o h = IY ve h' o f = Ix , f o h' = IY eşitlikleri vardır. Şimdi her y ∈ Y için y = IY (y) = (foh) (y) ve h (y) ∈ X olduğundan
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
147
h' (y) = h' [(foh) (y) ] = [h'o (foh) ] (y) = [(h'of) oh] (y) = (Ix oh) (y) = Ix (h(y) ) = h(y) olur. Böylece her y ∈ Y için h'(y) = h(y) eşitliği elde edilmiş olur. Bu bize h = h' olduğu sonucunu verir. f fonksiyonu tersinir ise, ters fonksiyonun tekliği nedeniyle, bu ters fonksiyon f-1 simgesiyle gösterilir. O halde, f-1 of = Ix
ve
f o f-1 = IY
dir. Ayrıca, bu eşitlikler f-1 fonksiyonunun tersinir olduğunu ve (f-1)-1 = f sonucunu da verir. Bir f : X → Y fonksiyonu ve B ⊆ Y için, f tersinir olmasa bile, f-1(B) öngörüntüsünden söz etmiştik (4.2.14. Tanım). Eğer f tersinir ise, f-1(B) aynı zamanda f-1 fonksiyonu altında B nin görüntü kümesidir. Şimdi bir fonksiyonun ne zaman tersinir olduğuna dair önemli bir teorem kanıtlayalım:
4.4.11. Teorem Bir f : X → Y fonksiyonunun tersinir olması için gerekli ve yeterli koşul f nin bire-bir ve örten olmasıdır. Kanıt Önce f nin tersinir olduğunu kabul edelim. O halde, ters fonksiyon f-1 var ve f-1 o f = Ix ,
f o f-1 = IY
eşitlikleri sağlanır. Şimdi x1 , x2 ∈ X için f(x1) = f(x2 ) ise f-1 (f (x1) = f-1 (f (x2) ), (f-1 o f) (x1) = (f-1 o f) (x2) , Ix (x1) = Ix (x2) , x 1 = x2
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
148
FONKSİYONLAR
olur. O halde, f bire-bir fonksiyondur. Diğer taraftan y ∈ Y için f-1(y) ∈ X dir ve böylece f (f-1 (y) ) = (f of-1) (y) = IY (y) = y olduğundan f örtendir. Tersine, f nin bire-bir ve örten olduğunu varsayalım ve f-1 in var olduğunu kanıtlayalım. Y kümesinden X kümesine bir h fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her bir y ∈ Y için, f örten olduğundan, f(x) = y olacak biçimde en az bir x ∈ X vardır. f bire-bir olduğundan bu koşulu sağlayan bir ve yalnız bir x ∈ X bulunur; böylece h : Y → X, h(y) = x olarak bir fonksiyon oluşturmuş oluruz. Şimdi de h o f = Ix ve f o h = IY eşitliklerini göstermeliyiz. x ∈ X için f(x) = y ise, h nın tanımından dolayı, x = h (y) = h (f (x) ) = (hof) (x) , yani hof = Ix olur. Yine y ∈ Y için f (x) = y olacak biçimde bir ve yalnız bir x ∈ X var olacağından, h (y) = x olur. Böylece (foh) (y) = f (h (y) ) = f (x) = y , yani foh = IY olur. Sonuç olarak, h = f-1 olduğu görülmüş olur.
4.4.12. Örnek (a) f : R → R , f(x) = |x| fonksiyonu ne bire-bir ne de örtendir. Dolayısıyla f tersinir değildir. (b) f : [0, ∞) → R , f(x) = x2 fonksiyonu bire-bir olmasına karşın örten değildir. Dolayısıyla f tersinir değildir. (c) f : R → R , f(x) = 2x fonksiyonu bire-bir ve örtendir. f tersinirdir ve açıktır ki
f -1 : R →R, f -1(x) = 1 x dır. 2 4.4.13. Örnek 4.4.6 Örnekte g tersinir değildir (neden?), ancak f fonksiyonu tersinirdir. f'nin tersi olan f-1 fonksiyonunu saptamak için f o f-1 = IY ve f-1 of = Ix koşullarının sağlanması gerekir:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYONLAR
149
f-1 →
Y 1 ●
f
X →
Y
●a ●
● 1
●b ●
● 2
3 ●
●c ●
4 ●
●d ●
2 ●
?
IY →
Y
Y
1 ●
●1
2 ●
●2
● 3
3 ●
●3
● 4
4 ●
●4
=
fof -1 f →
X
f-1 →
Y
a ●
●1 ●
b ●
●2 ●
X ● a ● b
?
IX →
X a ●
● a
b ●
● b
=
c ●
●3 ●
● c
c ●
● c
d ●
●4 ●
● d
d ●
● d
f-1 o f
Bu koşulları sağlayan f-1 : Y → X fonksiyonunun f-1 →
Y
X
1
●
●a
2
●
●b
3
●
●c
4
●
●d
olması gerektiği açıktır.
4.4.14. Örnek 4.4.7. Örnekte f fonksiyonunun, bire-bir ve örten olması nedeniyle, tersinir olduğunu bilmekteyiz. f-1 : R → R ters fonksiyonunu bulmak için tanımı uygulayalım: (a) Her y ∈ R için (f o f-1) (y) = I (y) ⇒ f (f-1 (y) ) = y 'dir. (b) Her x ∈ R için (f o f-1) (x) = I (x) ⇒ f-1 (f (x) ) = x 'dir. Dolayısıyla x = f-1 (y) dersek, f(x) = y = 2x-3 ⇔ 2x = y + 3⇔ x = 1 y + 3 olup 2 2 f -1(y) = 1 y + 3 elde edilir. O halde 2 2 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
150
FONKSİYONLAR
f -1: R →R , f -1(y) = 1 y + 3 2 2 olur. Dilersek, bu fonksiyonu f -1: R →R , f -1(x) = 1 x + 3 2 2 biçiminde de yazabiliriz. Şimdi aynı düzlemde hem f'nin hem de f-1 'in grafiklerini birlikte çizelim: y=x y
y = f (x)
y = f-1 (x)
3 2
●
1
●
x -3
-2
1
-1 -1
2
3
4
5
6
●
-2 ● -3
-4
f : R → R tersinir olduğunda, f 'nin grafiği ile f-1 'in grafiğinin y = x açıortay doğrusuna göre simetrik olduğuna özen gösteriniz!
4.4.15. Örnek 4.4.8. Örnek (d) 'deki f4 : [0, ∞) → [0, ∞), f4 (x) = x2 fonksiyonunun tersinir olduğu açıktır. O halde f -1 4 'in önce kendisini bulalım: x = f -1(y) ⇔ y = f(x) = x2 ⇔ x = y -1 -1 O halde f -1 4 (y) = y olur; yani f 4 : [0, ∞) → [0, ∞), f 4 (y) = y 'nin ve f-1 'in grafiklerini yan yana çizelim:
y
'dir. Şimdi f
y
y = f4 (x) y = f-1 4 (x)
0
x
y= f4(x)= x2 fonksiyonunun grafiği ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
x
0 -1
y = f4
x =
x
fonksiyonunun grafiği
FONKSİYONLAR
151
f : R \ 1 → R \ -1 , f(x) = x + 1 2 2x -1
fonksiyonu tersinir mi? f tersinir ise
f-1 hangi fonksiyondur?
Değerlendirme Soruları Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz. 1.
X = { a, b, c, d } kümesinden Y = { 1, 2, 3 } kümesine tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi X 'ten Y 'ye bir fonksiyondur? Y A. 3
●
2
●
1
●
a
B.
●
b
●
d
X
c
d
X
●
●
c
Y 3
●
2
●
a
C.
●
●
1
b
Y 3
●
2
●
1
●
a
D.
b
c
d
X
Y 3
●
●
2 1
●
a
E.
b
c
d
●
●
c
d
X
Y 3
●
2 1
●
a
b
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
X
?
152
FONKSİYONLAR
2.
X = { a, b } kümesinden Y = { 1, 2, 3 } kümesine toplam kaç fonksiyon tanımlanabilir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 27 E) 64
3.
X = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinden Y = Z kümesine f : X → Y , f (x) = -x + 2 fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A. y 2 ●
1
●
0
1
3
4
5
x
2
-1
● ●
-2
●
-3 -4
B.
y
2 ●
1
●
0
1
3
4
5
x
2
-1
● ●
-2 -3
●
-4
C.
y
2 ●
1 3 0
1
4
●
2
-1
x
5
● ●
-2 -3
●
-4
y
D.
2 ●
1
● ●
0
1
-1
3
4
●
2 ●
-2 -3 -4
E. Hiçbiri ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5
x
FONKSİYONLAR
4. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği yandaki şekilde olduğu gibi verilir? (Burada X = {0, 1, 2, 3, 4 } tür.) A. f: X → R , f (x) = -x B. f: X → R , f (x) = 4 + x C. f: X → R , f (x) = 4 - x D. f: X → R , f (x) = x - 4 E. f: X → R , f (x) = x
153
y = f (x)
y 4 ● 3
● ●
2
●
1
●
0 1
2
3
x
4
5. f: R → R , f (x) = 2x - 1 fonksiyonu ve K = [-2 , 3] altkümesi için f (K) görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. f (K) = [-5 , 5] B. f (K) = [-3 , 2] C. f (K) = [-2 , 3] D. f (K) = {-5, 5} E. Hiçbiri 6. f: R → R , f(x) = 3x + 2 fonksiyonu ve L = [0 , 3] altkümesi için f-1 (L) öngörüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. f-1 (L) = [2 , 20] B. f-1 (L) = {-2/3 , 1/3} C. f-1 (L) = [-2/3 , 0] D. f-1 (L) = [-2/3 , 1/3] E. Hiçbiri 7. f: R → R , f (x) = -x + 2 fonksiyonu ile g: R → R , g(x) = -3x - 5 fonksiyonu verildiğinde gof bileşke fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A. (gof) (x) = 3x + 7 B. (gof) (x) = 3x -11 C. (gof) (x) = - 3x -3 D. (gof) (x) = - 3x + 1 E. (gof) (x) = x - 7 8. f: R → R , f (x) = 3x + 5 fonksiyonunun f-1 ile gösterilen ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A. f-1: R → R , f -1(x) = 1 x - 5 3 3 -1 -1 1 B. f : R → R , f (x) = x + 1 3 5 C. f-1: R → R , f -1(x) = 1 x + 5 3 3 -1 D. f-1: R → R , f (x) = 1 x - 1 3 5
E. Hiçbiri AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
154
FONKSİYONLAR
9. f: R → R , f (x) = 2x - 1 fonksiyonu verildiğinde |f| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A. B. y y 5
5
y = f (x)
4
4
3
●
●
2 ●
●
●
1 ● x
0
C.
3
2
1
-1
y = f (x)
1
2
-1
D.
y 5
0
x 1/2 1
2
y 5
y = f (x)
4
4
y = f (x) 3 ●
●
2 1 ●
-1
0
3
●
2
●
x 1
1 ●
2
-1
0
●
x 1/2 1
2
E. Hiçbiri 10. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bire-bir değil fakat örtendir? (Fonksiyonlar R'den R 'yedir!) A. B. y y
x
0
C.
D.
y
x
0
E.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
y
0
y
0
x
0
x
x
FONKSİYONLAR
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Karaçay, T. Soyut Matematiğe Giriş İstanbul; Milli Eğitim Basımevi, 1975. Karaçay, T; Özer, O ve Diğerleri. Mantık Anadolu Üniversitesi, Açıköğretim Fakültesi Yayınları, 1966. Lipschutz, S. Schaum's Outline of Theory and Problems of Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. Özer, O; Çoker, D ve Taş, K. Soyut Matematik 3. Baskı. Ankara İzgi Kitap ve Yayınevi, 1996.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
155