Sumário: Resolução de equações de 2º grau. Fórmula resolvente.
5.
a) ( x + 2 ) ( 3 − x ) = 3x
−x 2 +6 −2 x = − x 2 + x + 6
−2 a 1 a 8a 1 b) + a ÷( −2 − a ) = − − 2a − a 2 = − a 2 − − − = 4 4 2 4 4 4 9a 1 2 = −a − − 4 2 2 3 + 3 y 2 − y = 6 − 3 y + 6 y − 3 y = 3 1 + y 2 − y = )( ) )( ) ( c) (
= −3 y 2 + 3 y + 6
1 1 2 2x + x − ÷= d) 2 − ( 2 x + 1) x − ÷ = 2 − 2 x − 2 2 2
1 2 1 2 = 2 − 2x − x + x − ÷= 2 − 2x − ÷= 2 2 4 1 5 1 2 2 = 2 − 2 x + = − 2 x + + = −2 x + 2 2 2 2 2
Casos Notáveis da Multiplicação:
( A + B) 6.
2
= A + 2 AB + B 2
2
2 2 2 = a + 10a + 25 a + 5 = ) a + 2× a ×5 + 5 a) ( 2
b) ( 3 y − 2 )
2
= ( 3y ) + 2 × 3 y × ( −2 ) + ( −2 ) 2 = 9 y 2 − 12 y + 4 2
Casos Notáveis da Multiplicação: 2 2 A + B A − B = A − B ( )( )
2 c) ( x − 4 ) ( x + 4 ) = x − ( 4 ) = x − 16 2
2
2
1 2 1 1 1 d) − 10 x ÷ + 10 x ÷ = ÷ − ( 10 x ) = − 100 x 2 4 2 2 2
7.
a) 3 x + 15 = 3 × x + 3 × 5 = 3 ( x + 5 ) 2 6 b + 5b = 6b × b + 5 × b = b ( 6b + 5 ) b)
2 c) 10x + x = x × 10 x + x × 1 = x ( 10 x + 1)
2 x − 1 = ( x + 1) ( x − 1) d)
e) 36 − y 2 = 62 − y 2 = ( 6 + y ) ( 6 − y ) 2 2 x − 10 = ( 2 x + 10 ) ( 2 x − 10 ) = 4 x − 100 = ( ) f) 2
2
= 2 ( x + 5 ) 2 ( x − 5 ) = 2 × 2 × ( x + 5 ) ( x − 5 ) = = 4 ( x + 5) ( x − 5)
2 2 g) x 2 − 6 x + 9 = x − 2 × x × 3 + 3 = ( x − 3) ( x − 3)
2 x + 2 x + 1 = ( x + 1) ( x + 1) h)
Lei do Anulamento do Produto:
A× B = 0 8.
⇔ A=0
∨
B=0
a) ( x + 4 ) ( 2 − x ) = 0 ⇔ x + 4 = 0 ∨ 2 − x = 0 ⇔
⇔ x = −4 ∨ x = 2
S = { −4, 2}
b) ( − a − 1) ( a + 5 ) = 0 ⇔ − a − 1 = 0 ∨ a + 5 = 0 ⇔
⇔ a = −1 ∨ x = −5
S = { −5, −1}
c) x ( x + 3) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x + 3 = 0 ⇔
⇔ x = 0 ∨ x = −3
S = { −3, 0}
d) b − 7b 2 = 0 ⇔ b ( 1 − 7b ) = 0 ⇔ b = 0 ∨ 1 − 7b = 0 ⇔
1 ⇔ b = 0 ∨ 7b = 1 ⇔ b = 0 ∨ b = 7
1 S = 0, 7
2 e) 3 y = 2 y ⇔ 3 y 2 − 2 y = 0 ⇔ y ( 3 y − 2 ) = 0 ⇔
2 ⇔ y = 0 ∨ 3y − 2 = 0 ⇔ y = 0 ∨ 3y = 2 ⇔ y = 0 ∨ y = 3 2 S = 0, 3 f)
x 2 − 9 = 0 ⇔ ( x + 3) ( x − 3) = 0 ⇔ x + 3 = 0 ∨ x − 3 = 0 ⇔
⇔ x = −3 ∨ x = 3
S = { −3,3}
Resolução de Equações do 2º Grau INCOMPLETAS
Equações do tipo
ax = 0 2
a ≠ 0 sempre!
0 Exemplo: 3 x = 0 ⇔ x = 3 2
2
⇔ x =0 2
⇔ x=0
S = { 0}
As equações deste tipo têm sempre uma única solução
x = 0.
Equações do tipo
ax + c = 0 2
8 Exemplo: 2 x − 8 = 0 ⇔ 2 x = 8 ⇔ x = ⇔ 2 2
2
2
⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ ⇔ x = −2 ∨ x = 2 S = { −2, 2} Sempre que a e c têm sinais opostos, as equações deste tipo têm duas soluções simétricas.
Equações do tipo
ax + c = 0 2
8 Exemplo: 2 x + 8 = 0 ⇔ 2 x = −8 ⇔ x = − ⇔ 2 2
2
2
⇔ x 2 = −4 Equação Impossível (em R)
S = ∅ ou S = { Sempre que a e c têm o mesmo sinal, as equações deste tipo são impossíveis, isto é, não têm soluções.
}
Equações do tipo ax
2
+ bx = 0
2 x + 2x = 0 ⇔ x ( x + 2) = 0 ⇔ Exemplo:
⇔ x = 0∨ x + 2 = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ∨ x = −2 S = { −2, 0} As equações deste tipo podem sempre ser resolvidas utilizando a Lei do Anulamento do Produto, colocando o x em evidência. Obtêmse duas soluções, sendo uma delas a solução nula.
Resolução de Equações do 2º Grau COMPLETAS Certas equações do 2º grau podem ser resolvidas através da aplicação do desenvolvimento do quadrado do binómio Exemplo: x + 8 x + 16 = 0 2
⇔ ( x + 4) = 0 ⇔ 2
⇔ ( x + 4) ( x + 4) = 0 ⇔ ⇔ x + 4 = 0∨ x + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = −4 ∨ x = − 4
x
2
16 = 4
2
8x = 2 × x × 4
S = { −4}
Neste caso, diz-se que -4 é uma solução (ou raíz) dupla!
Fórmula Resolvente das equações do 2º grau com uma incógnita
bx c ax + bx + c = 0 ⇔ x + + = 0 a a 2
2
2
2
bx b b c ⇔ x + + ÷ − ÷ + = 0 a 2a 2a a 2
2
2
b b c ⇔ x+ ÷ − ÷ + = 0 2 a 2a a 2
b b2 c ⇔x+ ÷ = 2− 2a 4a |a
×2 a
2
2 b b 4ac ⇔x+ ÷ = 2− 2 2a 4a 4a
b b 2 − 4ac ⇔ x+ =± 2a 4a 2
b b 2 − 4ac ⇔ x=− ± 2a 4a 2
−b ± b 2 − 4ac ⇔x= 2a
FÓRMULA RESOLVENTE DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Exemplo: x + 8 x + 12 = 0 2
⇔
−8 ± 82 − 4 ×1×12 ⇔x= ⇔ 2 ×1
a=1 b=8 c = 12
−8 ± 16 − 8 ± 64 − 48 ⇔ = ⇔ x= −b ± b 2⇔− x4ac 2 2 x= 2a −8 + 4 −8 − 4 −8 ± 4 ∨x= ⇔ ⇔x= ⇔ x= 2 2 2 −4 −12 ⇔x= ∨x= ⇔ 2 2
⇔ x = −2 ∨ x = −6
S = { −6, −2}