Geometria Plana
MDPastor. Capellades Visual i PlĂ stica
Conceptes •
Una línia recta és una successió de punts en una mateixa direcció. La seva longitud és infinita.
•
Un segment és una part d’una recta. Té principi i final.
•
Una corba és una successió de punts que van canviant de direcció.
•
Un arc és una part d’una corba. Té principi i final.
•
En funció de la seva funció en l’espai les rectes poden ser: verticals, horitzontals o diagonals.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Dues rectes en la mateixa direcció són paral·leles. Si es tallen formant un angle de 90º, són perpendiculars.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Mediatriu: recta perpendicular a un segment que passa pel seu punt mitjà. • Angle: espai comprès entre dues línies rectes que es tallen. Un angle té un vèrtex i dos costats. • Bisectriu: recta que divideix un angle en dues parts iguals.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Traçats d’angles, utilitzant el joc de regles
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Polígons • Un polígon és una figura plana, tancada i limitada per segments que són els seus costats. Els extrems són els seus vèrtex. Els polígons regulars tenen els costats i els angles iguals. • Quan una circumferència passa pels seus vèrtexs, el polígon i queda inscrit: comparteix el centre i el radi.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Els cossos geomètrics
• Quan les formes tridimensionals estan estructurades a partir de raonaments matemàtics, s’anomenen cossos geomètrics. • N’hi ha de dos tipus: els políedres i els cossos de revolució.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Les formes tridimensionals estan definides per superfícies (cares planes), arestes i vèrtexs.
Altura
Els cossos ocupen una posició en l’espai que podem mesurar: el volum. Tant l’espai, com el volum són definits per tres dimensions bàsiques: altura, amplada i profunditat.
Cara
Pr o
fun d
ita t
Amplada
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Vèrtex
Aresta
Políedres • Són cossos delimitats per cares poligonals. Quan els políedres tenen totes les cares en forma de polígon regular i totes són iguals, s’anomenen políedres regulars. Només n’hi ha cinc: • • • • •
El tetràedre L'hexàedre L'octàedre El dodecàedre L'icosàedre
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Els políedres que no tenen totes les cares iguals són les piràmides i els prismes, que poden ser rectes o oblics. • Les piràmides tenen la base poligonal i les cares laterals són sempre triangulars. • Els prismes tenen per bases dos polígons, iguals i paral·lels. Les cares laterals sempre són quadrilàters.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Els cossos de revolució • Els delimiten superfícies corbes. Poden obtenir-se fent girar una figura plana al voltant del seu eix.
• • • •
Con Tronc de con Cilindre Esfera
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Dibuix dels Polígons regulars
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Pentàgon •
•
• • •
Dibuixa una circumferència de radi OA 4cm. Una vegada dibuixada marca els dos diàmetres, cal que siguin perpendiculars. Busca la meitat del radi OA, anomena’l M, fent centre a M i amb el radi MB, traça un arc que talli, en el punt N el diàmetre horitzontal. El segment NB és el costat I5 del pentàgon regular inscrit. Traslladant aquest costat sobre la circumferència determinaràs la resta de costats. El segment NO, és el costat I10 del decàgon regular inscrit en la mateixa circumferència.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Heptàgon
• • • •
Amb un radi de 4cm. descriu una circumferència i traça el diàmetre vertical. Mitjançant el Teorema de Tales dividim aquest diàmetre en el nombre de costats que ha de tenir el polígon: en aquest cas 7. Situem el centre en els extrems del diàmetre i tracem dos arcs que es tallin en els punts: M i N. Fes passar rectes auxiliars des d’aquests punts M, N per les divisions del diàmetre, alternativament (si-no). La intersecció amb la circumferència assenyala els vèrtexs del polígon inscrit. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Les formes planes • Les formes planes geomètriques.
– Són formes bidimensionals de superfícies planes limitades per rectes i corbes. Els seus elements (costats, angles, vèrtexs, diagonals, arcs, radis...) es descriuen amb raonaments matemàtics. En els processos de creació d’aquestes formes s’utilitzen sovint els conceptes i traçats d’igualtat, simetria i semblança.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Igualtat • Dues figures són iguals quan en sobreposar-se coincideixen punt per punts, o sigui, tenen els costats i els angles iguals. • Les figures iguals tenen la mateixa forma i la mateixa grandària.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Simetria • Dues formes són simètriques a un eix (recta) quan coincideixen en girar al seu voltant. • Dues formes són simètriques respecte un centre (punt) quan coincideixen en girar 180º al seu voltant • En les formes simètriques, els punts que es corresponen equidisten de l’eix o centre.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Semblança – mètodes de construcció de figures semblants •
Dues figures són semblants quan els seus costats corresponents són proporcionals i els seus angles corresponents són iguals.
Les figures tenen la mateixa forma però diferent grandària
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Oval •
• •
•
Oval és una corba tancada formada per quatre arcs de circumferència tangents i iguals dos a dos. Els centres estan situats sobre dos eixos perpendiculars. Donats l’eix major AB, es divideix en tres parts iguals, i s’obtenen els centres 1 i 2. Per aquests centres, amb radi A1, es tracen dues circumferències els punts d’intersecció de les quals són els centres 3 i 4. Les rectes que uneixen els centres determinen els punts de tangència dels quatre arcs de l’oval.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Ovoide •
• •
•
L’ovoide és una corba tancada formada per quatre arcs de circumferència tangents. Només dos arcs són iguals entre si. Els centres estan situats sobre dos eixos perpendiculars. Donat l’eix menor AB, el seu punt mitjà és el centre 1 i els seus extrems són els centres 2 i 3. Traçant la circumferència de diàmetre AB es determina el centre 4 sobre l’eix major. Les rectes que uneixen els centres determinen els punts de tangència dels quatre arcs.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Espiral •
•
• •
L’espiral és una corba oberta formada per infinits arcs de circumferència tangents. Els centres estan situats en els vèrtexs d’un polígon que fa de nucli central (un triangle en l’exemple) Es prolonguen els costats del polígon. Fent centre a A, traçar un arc de C al costat a. Fent centre a B continuar l’arc fins al costat b, fent centre a C continuar l’arc fins al costat c, i així successivament.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Sistemes de Representació tècnica
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• El dibuix industrial permet la descripció tècnica dels objectes per a la seva comprensió i/o fabricació. • Amb la normalització s’han establert les normes per unificar els criteris i fer de la descripció tècnica un llenguatge universal. • Normes internacionals (ISO). • Normes Nacionals. (UNE, Una norma Espanyola)
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
La normalització en el dibuix tècnic. • Els formats del paper:
• El més utilitzat és el format DIN, a partir de l’A0 s’obtenen la resta de mesures, que mantenen entre si una relació de proporció.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Tipus de línies. (En el dibuix tècnic cada línia té un significat diferent. La interpretació clara dels plànols depèn de la seva correcta utilització)
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Les escales – Una escala és la relació entre la grandària de la forma dibuixada i el de la forma real. És una relació de proporcionalitat.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Tipus d’escales numèriques
• Escala natural (Escala 1:1)
• Escala de reducció (Escala 1:2 o 1/2)
• Escala d’ampliació (Escala 2:1 o 2/1)
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Exercicis
• Què és l’escala gràfica? Busca 1 exemple real on s’utilitzi una escala gràfica. • Què és un escalímetre? • Visita la pàgina de l’Associació espanyola de Normalització i Certificació (AENOR) • Informa’t sobre les activitats d’aquest organisme i les normes que estableix (quins són els seus àmbits d’actuació?)(www.aenor.es)
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Sistema dièdric • És el més aplicat en les representacions tècniques. Defineix l’objecte a partir de vistes projectades ortogonalment sobre un pla de projecció. • Aquestes projeccions sempre estan relacionades entre si i són: • L’alçat (l’objecte vist de cara) • La planta (l’objecte vist des de dalt) • I el perfil. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Planta
Perfil Alçat
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Planta
Sistema dièdric europeu
Perfil
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Alçat
Sistema dièdric americà
• Practica: •
http://www.grec.net/home/escolar/Recursos/Tecno_1/Data/TE CNO.htm
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
El sistema acotat • Acotar un dibuix significa afegir-hi traçats, xifres i signes que indiquin les mesures reals de l’element representat. • Les cotes han de ser expressades per a la seva lectura directa. • Les indicacions sempre han de ser adequades a l’ús al qual es destinen. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Normes Generals d’ Acotació • Utilitzarem les cotes necessàries per tal que la peça quedi definida: – Les cotes no s’han de repetir, col·locarem les mínimes necessàries. • Col·locar les cotes en aquella vista que defineixi millor la magnitud acotada. • Totes les cotes s’expressaran amb la mateixa unitat. • Les xifres de cota es situen a sobre de la línia de cota i en la mateixa direcció. – Les cotes es llegeixen de baix a d’alt (horitzontals) i de la dreta a l’esquerra (verticals). MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Elements de l’ Acotació Línies auxiliars de cota
2 mm. 7 mm. La línia de cota estarà separada, de l’aresta, com a mínim 7 mm. Les línies auxiliars de cota sobresortiran de la línia de cota 2 mm. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Línia de cota Fletxes
Cota
59
Tipus de Fletxes
• Hi ha diferents tipus de fletxes normalitzades; aquestes en són algunes.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Simbologia que precedeix la xifra de cota
R
Diàmetre
SR
Radi de l’esfera
Radi
S
Diàmetre d’esfera
Quadrat
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Inscripció de les xifres de cota Existeixen dos mètodes d’inscripció de cotes: •
MÉTODE 1 Les xifres de cota es col·loquen paral·lelament a les línies de cota, centrades, per sobre i lleugerament separades d’aquestes.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
27
20
40
Inscripció de les xifres de cota •
MÈTODE 2
50
18 24
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Acotament en sèrie.
• Acotament en paral·lel.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Quan s’acota un dibuix cal tenir en compte les normes establertes i fer servir de manera adequada els tipus de línies, signes i símbols d’identificació.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Repàs Teoria Normes generals d’Acotació • • • • • •
Utilitzar les cotes necessàries per tal que la figura quedi ben definida. Les cotes no s’han de repetir. Cal col·locar les mínimes necessàries. Les cotes es col·locaran en la vista que defineix millor la magnitud acotada. Totes les cotes s’expressen en la mateixa unitat. Col·locar la xifra de cota sobre la línia de cota i en la mateixa direcció. Podem acotar en sèrie i en paral·lel. Si acotem en sèrie les cotes es col·loquen alineades, si acotem en paral·lel les cotes més petites es col·loquen a la vora de la peça i les més grans més allunyades.
•
Les línies de cota: • No poden coincidir amb les arestes. • No poden ser la continuació d’aquestes. • No han de coincidir amb els eixos. Si les fletxes de la línia de cota queden molt juntes es col·loquen a fora de les línies auxiliars de cota. Si la xifra de cota no té espai es col·loca a fora, a la dreta. I si les fletxes no es poden treure a fora, per manca d’espai, es substitueixen per punts.
•
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
MDPastor. Capellades Visual i PlĂ stica
Perspectives axonomètriques • Les axonometries són perspectives que permeten representar de manera fàcil i ràpida la tridimensionalitat dels cossos.
Altura (Z)
• Es representa aquesta tridimensionalitat a partir dels tres eixos que defineixen l’espai: altura (Z), amplada (X) i profunditat (Y).
lada Amp MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
(X)
Pr ofu
nd ita t
(Y )
• Hi ha dos tipus de projeccions paral·leles: – Les projeccions cilíndriques ortogonals – Les projeccions cilíndriques obliqües.
En les projeccions cilíndriques ortogonals, els raig són perpendiculars al pla de projecció. (la perspectiva isomètrica és la més coneguda d’aquest tipus de projecció) En les projeccions cilíndriques Obliqües, els raigs no formen angle recte amb el pla de projecció. (L’objecte se situa amb una cara paral·lela al pla de projecció. Segons el pla, la representació serà en perspectiva cavallera o en la militar) MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Segons com col·loquem els eixos obtenim les diferents perspectives. • Perspectiva isomètrica (els eixos formen angles de 120º)
• Perspectiva cavallera (els eixos X i Z formen un angle de 90º entre si)
• Perspectiva militar (els eixos X i Y formen un angle de 90º entre si) MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Perspectiva Isomètrica
• En la isometria, el pla de projecció se situa amb la mateixa inclinació respecte les tres direccions fonamentals, representades pels eixos X,Y i Z, i que formen entre si angles de 120º. • En la projecció resultant s’aplica la mateixa reducció en cada eix, s’accepta, també, que es representi amb les mides reals. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Perspectiva cavallera • L’objecte se situa amb una de les cares paral·leles al pla vertical i es fa una projecció cilíndrica obliqua sobre aquest pla. • L’angle que formen els eixos X i Z és, sempre, de 90º. La suma dels angles és de 360º
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Sobre els eixos X i Z es traslladen les mesures reals de l’objecte. • Les mesures que es traslladen sobre l’eix Y s’acostumen a reduir, per fer més convincent la representació. Els coeficients de reducció més usuals són 1/2 i 2/3. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Perspectiva militar • Simula la visualització que es té d’un objecte des d’un punt de vista elevat.
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• Els eixos X i Y formen sempre un angle de 90º, i es manté la magnitud veritable de l’objecte. • Sobre l’eix Z, les altures, s’aplica un coeficient de reducció que pot ser 2/3, 1/2, o 1/3. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Els indicadors de profunditat
MDPastor. Capellades Visual i PlĂ stica
Els indicadors de profunditat
La disminució de grandària
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
La superposició
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
La separació respecte el marge inferior
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
La perspectiva aèria Els colors propers són nítids, els que estan lluny pàl·lids i difusos
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
El clarobscur
MDPastor. Capellades Visual i PlĂ stica
Les perspectives lineals
MDPastor. Capellades Visual i PlĂ stica
Indicadors de profunditat • La disminució de grandària • La superposició • La posició • La perspectiva aèria • El clarobscur • Les perspectives lineals MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Perspectiva lineal o Perspectiva cònica • És la perspectiva que imita millor l’ull humà. • El Punt de vista és un element important i correspon a la posició de l’espectador. • Per produir l’efecte ( que produeix la visió humana) de disminució aparent de les distàncies i de la grandària dels objectes, la perspectiva cònica fa confluir en un punt, el Punt de fuga, les línies que s’allunyen i que en l’espai són paral·leles. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• La línia de terra coincideix amb el marge inferior del pla del dibuix • La línia de l’horitzó és aquella línia horitzontal, traçada en el pla del dibuix, que coincideix amb l’altura del punt de vista. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• La separació entre la línia de terra i la línia de l’horitzó indica i depèn de l’alçada des d’on es mira, és a dir de l’alçada del punt de vista. Com més separades més alt és el punt de vista. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• En un dibuix amb un únic Punt de Fuga (P), les alçades es dibuixen amb línies verticals, i les amplades amb línies horitzontals. • Només van a parar al punt de fuga les línies que indiquen la profunditat. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
• En els dibuixos amb més d’un punt de fuga (F, F’), només les alçades es dibuixen com a línies paral·leles verticals. Les amplades i les profunditats van a parar a un o altre punt de fuga. MDPastor. Capellades Visual i Plàstica
Un punt de fuga
Dos punts de fuga
Tres punts de fuga
MDPastor. Capellades Visual i PlĂ stica
• Indicadors de profunditat • Perspectiva pictòrica • Perspectiva cònica
MDPastor. Capellades Visual i Plàstica