Elier Alvarez
El Análisis Numérico es la técnica mediante las cual es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas,. Por otra parte la interpolación polinomial es una técnica usada en el análisis numérico para llevar acabo cálculos de funciones , este método da como resulta valores aproximados a los que toma la función de la cual solo se conoce su imagen en números finitos.
En análisis numérico, la interpolación polinomial es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. Del mismo modo La interpolación poli nómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas. El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio. Es fácil demostrar, usando el determinante de Vandermonde, que por n puntos, con la única condición de que para cada x haya una sola y, siempre se puede encontrar un polinomio de grado igual a (n-1) que pase por los n puntos
Ejemplo de tabla de diferencias divididas
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión. Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias.
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpelante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
Fórmula de Avance
Fórmula de Retroceso
La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi
Ejemplo Ejemplo del polinomio de Newton-Gregory Suponga que se desea interpolar para el valor de x = 0.73 mediante el polinomio de Newton-Gregory para los valores mostrados en la figura. Como primer paso se calculan todas las diferencias de orden 3 o menor:
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.
Ejemplo Hermite Se sabe que H4(x)=4+3(x+1)2(x+1)2 (x-1)-(1/2)(x+1)2(x-1)2 es el polinomio de interpolación de Hermite de cierta función f ,basado en los datos: f(-1), f'(-1), f(1), f'(1) y f"(1). a) Sin evaluar H4(x) ni sus derivadas en -1 y 1, completar la tabla de diferencias divididas con repetición utilizada en la construcción de H4(x).
En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. Definición El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.
Calcular la interpolación por splines de grado 2:
Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos: [3,4,5],[4,5,7],[7,9] En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue: Hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos, es decir, se debe cumplir que: s(3)=2,5 s(4,5)=1 s(7)=2,5 s(9)=0,5 Así, se forman las siguientes ecuaciones:
Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones con 9 incógnitas. El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua. Calculamos primero la primera derivada:
Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son x = 5.4 y x = 7 Por lo tanto para que s′(x) sea continua, se debe cumplir que:
También debe cumplirse que:
As铆, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 inc贸gnitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las inc贸gnitas. Elegimos por simple conveniencia a1 = 0. De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones con 8 inc贸gnitas. Estas son las siguientes:
Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.
Ejemplo Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:
donde
Sustituyendo, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:
Simplificamos, y obtenemos:
Tras realizar las diferentes operaciones la ecuaci贸n resultante quedar谩 de la siguiente forma:
f(x) = -0,0739x3 + 0,3906x2 + 0,624x - 2,978
La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos:
... , , Se usan estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas que viene dada por
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un error
Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión.
Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios de Hermite
la
compañía buscará modernizar el concepto de calculadoras a través de este interesante modelo con pantalla táctil. HP, compañía que tiene vasta tradición en el diseño y manufactura de calculadoras científicas, ha mostrado el que será su nuevo modelo a estrenarse dentro de un par de meses bajo el nombre de HP Prime, preparando un video publicitario que da cuenta de las novedades que traerá el dispositivo en busca de modernizar el concepto que mueve a esta clase
de productos, que para muchos usuarios es algo del pasado. Según se aprecia, un elegante y robusto diseño acompañará a esta calculadora, siendo de particular interés su pantalla multi-táctil de 3,5 pulgadas a color, muy similar a la que se ve en teléfonos móviles hoy en día y que servirá para ingresar opciones aparte del teclado físico que posee, cuya estructura es como la de una calculadora científica tradicional. Aparte de aquello, diversas aplicaciones permitirán disfrutar de gráficos animados y toda clase de herramientas necesarias en el estudio y trabajo de las matemáticas y ciencias, ubicándose al límite entre lo que puede ser una calculadora común y otra clase de aparatos como teléfonos inteligentes.
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Ejercicio 1 Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto x = -1
Ejercicio 2 Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto x =5