GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 Definición y medida de ángulo Un ángulo es la región del plano comprendi da entre dos semi rrectas con origen común. También se conoce como giro de una amplitud determinada.
A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice. El ángulo es positi vo si se desplaza en senti do contrario al movimiento de las agujas del reloj y negati vo en caso contrario
Clasificación de ángulos según su medida Agudo < 90°
Convexo < 180°
Nulo = 0º
Recto = 90°
Llano = 180°
Completo = 360°
Obtuso > 90°
Cóncavo > 180°
Negativo < 0º
GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 Mayor de 360°
2 Tipos de ángulos según su posición 2 . 1 . Ángulo s
consecutiv os:
Ángulos consecuti vos son aquel los que ti enen el vérti ce y un lado común.
2 . 2 . Ángulo s
adyacentes:
Ángulos adyacentes son aquell os que ti enen el vérti ce y un l ado común, y l os otros lados si tuados uno en polongaci ón del otro. Forman un ángulo llano.
2.3.
Ángulo s o puestos po r el vértice :
Son los que teni endo el vérti ce común, los lados de uno son prol ongación de l os lados del otro.
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Los ángulos 1 y 3 son igual es. Los ángulos 2 y 4 son igual es.
3 Clases de ángulos según su suma 3 . 1 . Ángulo s
complementarios :
Dos ángul os son compl ementari os si suman 90°.
3.2.
Ángulos suplementari os
Dos ángul os son suplementari os si suman 180°.
4 Ángulos entre paralelas y una recta transversal 4.1.
Ángulo s cor respondi entes
Los ángulos 1 y 2 son igual es.
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4.2.
Ángulo s alternos internos
Los ángulos 2 y 3 son igual es.
4.3.
Ángulo s alternos externos
Los ángulos 1 y 4 son igual es.
5 Ángulos en la circunferencia 5.1.
Ángulo central
El ángulo central ti ene su vérti ce en el centro de la ci rcunferenci a y sus lados son dos radios. La medi da de un arco es la de su ángul o central correspondiente.>
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5.2.
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la ci rcunferenci a y sus l ados son secantes a el la. Mi de l a mitad
5.3.
del ar co
que abarca.
Ángulo semiinsc rito
El vérti ce de ángulo semi inscrito está en l a ci rcunferenci a, un l ado secante y el otro
tangente
Mi de l a mitad del ar co que abarca.
5.4.
Ángulo inter ior
a
ell a.
GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 Su
vérti ce
es
i nterior
a
la
ci rcunferenci a
y
sus
Mi de la mitad de l a suma de l as medi das de lo s arcos
l ados
secantes
a
ella.
que abarcan sus l ados y
las prolongaci ones de sus lados.
5.5.
Ángulo exterio r
Su vérti ce es un punto exteri or a la ci rcunferenci a y los l ados de sus ángulos son: o secantes a ell a, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ell a.
Mi de la mitad de l a di ferenci a entre las medi das de los arcos que abarcan sus lados sobre l a ci rcunferenci a.
6 Ángulos de un polígono regular
6.1.
Ángulo central de un polí gono regular
GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 Es el formado por dos radi os consecuti vos. Ejempl o: Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360° : n Ángulo central del pentágono regul ar= 360° : 5 = 72º 6.2.
Ángulo inter ior de un polí gono regular
Es el formado por dos lados consecuti vos. Ángulo interior = 180° − Ángul o central Ángulo interior del pentágono regul ar = 180° − 72º = 108º 6.3.
Ángulo exterio r de un políg ono re gular
Es el formado por un lado y la prol ongación de un lado consecuti vo. Los ángul os exteri ores e interi ores son supl ementarios, es deci r, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regul ar = 72º
Definición GRADO SEXAGESIMAL
El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:
GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 •
1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
•
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
•
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).
La circunferencia en total suma 360º , cada grado se divide en 60 minutos , y estos a su vez en 60 segundos , los segundos se dividen en décimas , centésimas , milésimas ... Los grados sexagesimales se designan poniendo " o " como superíndice a los grados " , " en los minutos y " ,, " en los segundos . 32º 58´ 27´´ = 32 grados, 58 minutos, 27 segundos
Notación sexagesimal Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo: 12°34′34″ 13°3′23,8″ 124°45′34,70″ -2°34′10″ Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir: escribir 12°34′34″ y no 12° 34′ 34″ Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que: 1’ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígitos) 1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0,00027778° Así 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°
Notación decimal Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el segundo números decimales, por ejemplo. 23,2345° 12,32° -50,265° 123,696° ACTIVIDA A REALIZAR Desarrollar el taller anexo fotocopia.
Relación entre radianes y grados sexagesimales MEDIDA
GIRO
SISTEMA DE MEDIDA
SISTEMA DE MEDIDA EN
SISTEMA DE MEDIDA EN
GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 SEXAGESIMAL
RADIANES
1
360°
1/2
180°
π
1/4
90°
π /2
6,2832
3,1416..
GRADIANTES
400
200
100
1,5708…
1/8
45°
π /4
50
0,78539..
Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:
radianes, y que una
Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:
Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:
GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en grados es):
Radianes Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.
1 rad= 57° 17' 44.8'' 360º = 2 180º = 30º
/3 rad
rad rad rad
º
Ejercicios Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
1.
3 rad
GUIA DE TRABAJO LOS ANGULOS AREA: MATEMATICAS 2014 2.
2π/5rad.
3. 3π/10 rad.
Expresa en radianes los si guientes ángulos:
1. 316°
2. 10°
3.
127º