ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت وﻣﻔﺎھﯿﻢ أﺳﺎﺳﯿﺔ )اﻷﺣﺪاث & اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﺣﺪاث( ﻣﺴﻠﻤﺎت وﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻹﺣﺘﻤﺎل & ﺣﺴﺎب اﻹﺣﺘﻤﺎل
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٨٧ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻷﺣﺪاث & اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ Random experiment
ھﻰ ﻛﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﮭﺎ ﻗﺒﻞ إﺟﺮاﺋﮭﺎ وﻟﻜﻦ ﻻ ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ أن ﻧﺤﺪد اﯾﺎ ً ﻣﻦ ھﺬه اﻟﻨﻮاﺗﺞ ﺳﻮف ﯾﺘﺤﻘﻖ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺪ إﺟﺮاﺋﮭﺎ .
ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ )ﻓﻀﺎء اﻟﻨﻮاﺗﺞ( )Sample space (outcomes
ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻛﻞ اﻟﻨﻮاﺗﺞ ﻣﻤﻜﻨﺔ اﻟﺤﺪوث ﻟﻠﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ )ف( وﯾﺮﻣﺰ ﻟﻌﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ن )ف( ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ
) (١إذا ﻛﺎن ن ھﻮ ﻋﺪد اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،ر ﻋﺪد ﻣﺮات اﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ر
ﻓﺈن ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ = )ن(
. ٢
ﻓﻤﺜﻼ ًﻋﻨﺪ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻓﺈن ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ = )٣٦ = (٦ ) (٢ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ھﻮ ﻧﻔﺴﮫ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮى ﻧﺮد ﻣﻌﺎ ﻣﺮة واﺣﺪة. ) (٣ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ھﻮ ﻧﻔﺴﮫ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺘﻰ ﻧﻘﻮد ﻣﻌﺎ ﻣﺮة واﺣﺪة. ) (٤ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻞ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﺑﺈﺣﺪى اﻟﻄﺮق اﻷﺗﯿﺔ : )ا( ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﺠﺪول )ب( ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﺸﺒﻜﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ )ج( ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﺸﺠﺮة اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٨٨ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل١
أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ وﻣﻼﺣﻈﺔ ﺗﺘﺎﺑﻊ اﻟﺼﻮر واﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ﻣﺒﯿﻨﺎ ً ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮه . اﻟﺤﻞ
اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷوﻟﻰ
ص ك
ص
ك
)ص ،ص( )ص ،ك( )ك ،ص( )ك ،ك(
ف = )cص ،ص( ) ،ص ،ك( ) ،ك ،ص( ) ،ك ،ك(d ٢
ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ن )ف(= )٤ = (٢ ﻣﺜﺎل٢
أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻢ ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻓﯿﮫ وﺟﮭﺎن ﯾﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ١ووﺟﮭﺎن ﯾﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ، ٢ووﺟﮭﺎن ﯾﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ٣ وﻣﻼﺣﻈﺔ ﻣﺎ ﯾﻈﮭﺮ ﻋﻠﻰ وﺟﮭﯿﮭﻤﺎ اﻟﻌﻠﻮﯾﯿﻦ . اﻟﺤﻞ
ﯾﻤﻜﻦ اﯾﺠﺎد ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺠﺪول
ص
أو اﻟﺸﺒﻜﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ أو اﻟﺸﺠﺮة اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ ﻛﺎﻻﺗﻰ
ص ك
٣
)ص ) (١،ص ) (٢،ص (٣، )ك ) (١،ك ) (٢،ك (٣،
اﻟﺸﺠﺮة اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ
ﺣﺠﺮ اﻟﻨﺮد ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻨﻘﻮد
١
٢
١
ك
ف = )cص) ، (١ ،ص) ، (٢ ،ص) ، (٣ ،ك) ، (١ ،ك) ، (٢ ،كd(٣ ،
٢ ٣ ١ ٢ ٣
ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ن )ف(= ٦ = ٣ ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٨٩ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻷﺣﺪاث اﻟﺤﺪث
The event
ھﻮ أى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف
اﻟﺤﺪث اﻟﺒﺴﯿﻂ )اﻷوﻟﻰ( The simple event
The events
ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ ﻓﻘﻂ
اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪThe certain event
ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬى ﻋﻨﺎﺻﺮه ھﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ
ف وھﻮ ﺣﺪث ﻣﺆﻛﺪ اﻟﻮﻗﻮع ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﺮة ﺗﺠﺮى ﻓﯿﮭﺎ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ . اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ The impossibl event
ھﻮ ﺣﺪث ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﻘﻊ ﻋﻨﺪ إﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ وھﻮﺣﺪث ﺧﺎﻟﻰ ﻣﻦ اى ﻋﻨﺎﺻﺮ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰZ اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﺣﺪاث
Operation of the events
اﻟﺘﻘﺎطﻊ ∩ ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ھﻮ اﻟﺤﺪث ا ∩ ب اﻟﺬى ﯾﺤﻮى ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ا∩ ب
اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ اﻟﻰ ا و ب وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ ً
اﻹﺗﺤﺎد ∪ إﺗﺤﺎد اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ھﻮ اﻟﺤﺪث ا ∪ ب اﻟﺬى ﯾﺤﻮى ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ا∪ ب اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰا أو ب وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع ا أو ب أو ﻛﻠﯿﮭﻤﺎ وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ اﻹﻛﻤﺎل اﻟﺤﺪث اَ ﯾﺴﻤﻰ اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻜﻤﻞ ﻟﻠﺤﺪث ا ﻟﺬﻟﻚ ﯾﺤﻮى ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف
اﻟﺘﻰ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰ اﻟﺤﺪث ا وﯾﻌﻨﻰ ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا ا
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
اَ
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻟﻔﺮق اﻟﺤﺪث ا – ب ﯾﺤﻮى ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰ ا وﻻ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰ ب وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ) ﯾﻌﻨﻰ ﺣﺪث وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ( وھﻰ ﻧﻔﺲ ﻋﻨﺎﺻﺮ ا ∩ بَ
ا
ب
ا–ب ﻗﺎﻧﻮﻧﺎ دى ﻣﻮرﺟﺎن
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ف ﻓﺈن :
ف
ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع أى ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ أو ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ھﻮ : ا ب ب( اَ ∩ بَ = )ا ∪ َ اَ ∩ بَ ف
ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع ا أوﻋﺪم وﻗﻮع ب )ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ( ب( )ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ( اَ ∪ بَ = )ا ∩ َ اﻷﺣﺪاث اﻟﻤﺘﻨﺎﻓﯿﺔ
ا
ﯾﻘﺎل ﻟﺤﺪﺛﯿﻦ أﻧﮭﻤﺎ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن إذا اﺳﺘﺤﺎل
ب
اَ ∪ بَ
وﻗﻮﻋﮭﻤﺎ ﻣﻌﺎ) ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ( أى أن وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻤﻨﻊ وﻗﻮع اﻷﺧﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﯾﻘﺎل إن اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ف ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن ا ∩ ب = ∅ ﯾﻘﺎل ﻟﻌﺪة أﺣﺪاث اﻧﮭﺎ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ . ﻣﻼﺣﻈﺎت
اﻻﺣﺪاث اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ) اﻷوﻟﯿﺔ( اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻰ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺔ
اﻟﺤﺪث ا وﻣﻜﻤﻠﮫ اَ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن وﯾﻜﻮن : ا ∪ اَ = ف ا ∩ اَ = ∅
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩١ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻹﺣﺘﻤﺎل probability
ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل إذا ﻛﺎن ف ﻓﻀﺎءﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﺣﺪث ا ﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ل)ا( ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﺪث ا ﺣﯿﺚ إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث = ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ
Gل ) ا( =
ن )ا( ن)ف(
ﻣﺴﻠﻤﺎت اﻹﺣﺘﻤﺎل Axioms of probability
) (١إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ = ﺻﻔﺮ
Gل)∅( = ﺻﻔﺮ
) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪ = ١
Gل)ف( = ١
) (٣ﺻﻔﺮ Yإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﺣﺪث Y ٠ G ١ Yل)ا( ١ Y أى أن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﺣﺪث ھﻮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ ﯾﻨﺘﻤﻰ ﻟﻠﻔﺘﺮة ][١ ،٠ )(٤إذا ﻛﺎنا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ﻓﺈن ل)ا ∩ ب(= ﺻﻔﺮ Gل)ا ∪ ب(=ل)ا( +ل)ب( وﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻤﯿﻤﮭﺎ ﻷى ﻋﺪد ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث اﻟﻤﺘﻨﺎﻓﯿﺔ ل)ا∪ ١ا ∪٢ا∪ .............∪ ٣ان ( = ل)ا + (١ل)ا +(٢ل)ا +............. + (٣ل)ان( ) (٥ﻣﺠﻤﻮع إﺣﺘﻤﺎﻻت ﻧﻮاﺗﺞ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ = ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٢ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻧﺘﺎﺋﺞ ھﺎﻣﺔ اﻟﺘﻌﺒﯿﯩﺮ اﻟﻠﻔﻈﻰ ﻋﻦ اﻟﺤﺪث
اﻟـﻘـﺎﻧـــــــــﻮن اﻟﺮﻳـــــــــــﺎﺿﻰ
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪث = – ١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮﻋﮫ
ل)اَ ( = – ١ل)ا(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ
ل)ا – ب( = ل)بَ – اَ (
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ
= ل )ا ∩ بَ ( =ل)ا( – ل)ا ∩ ب( ل)ب– ا( = ل)اَ – بَ (
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب وﻋﺪم وﻗﻮع ا
= ل )ب ∩ اَ (= ل)ب( – ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا أو ب أوﻛﻠﯿﮭﻤﺎ
ل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
ل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب– ا(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا و ب ﻣﻌﺎ
ل)ا ∩ ب( = ل) ا – بَ ( =ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∪ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ دون اﻷﺧﺮ
ل)ا – ب(∪ ل)ب– ا(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ أو ب ﻓﻘﻂ
= ل)ا ∪ ب( – ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب
ل)اَ ∩ بَ ( = ل)اَ – ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أى ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا أو ﻋﺪم وﻗﻮع ب
= ل)ا ∪ ب(َ = –١ل)ا ∪ ب( ل)اَ ∪ بَ (= ل)ا ∩ ب(َ = –١ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا أو وﻗﻮع ب
ل)اَ ∪ب( = ل)اَ (+ل)ا ∩ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ
أول)اَ ∪ب( = ل)ا– ب(َ = –١ل) ا – ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب أو وﻗﻮع ا
ل)بَ ∪ا( = ل)بَ (+ل)ا ∩ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ
أو ل)بَ ∪ا( = ل)ب– ا(َ = –١ل)ب– ا(
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٣ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٣ إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ف ﺣﯿﺚ ل)ا( = ، ٠.٤ل)بَ ( =٣ل)ب( ،ل)ا ∩ ب ( = ٠.٢ إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل : ) (١وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ) (٢وﻗﻮع ا أو ب ) (٣ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب اﻟﺤﻞ Aل)بَ ( =٣ل)ب(
∴ – ١ل)ب( =٣ل)ب(
٣ = ١ Gل)ب( +ل)ب( ١ ∴ ٤ل)ب( = G ١ل)ب( = = ٠,٢٥ ٤
) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ل)ا – ب( = ل)ا( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٢ = ٠,٢ – ٠.٤ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا أو ب ل)ا ∪ ب( =ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٤٥ = ٠,٢ – ٠,٢٥ + ٠.٤ ) (٣إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ﺗﻌﻨﻰ ل)اَ ∩ بَ ( ل)اَ ∩ بَ (= ل)ا ∪ ب(َ = –١ل)ا ∪ ب( = ٠,٥٥ = ٠,٤٥ –١ ﻻ ﺗﻨﺤﻨﻰ ﻣﮭﻤﺎ ﻛﺎن اﻷﻣﺮ ﺿﺮورﯾﺎ ً ﻓﺮﺑﻤﺎ ﻻ ﺗﺄﺗﯿﻚ اﻟﻔﺮﺻﺔ ﻟﻜﻰ ﺗﺮﻓﻊ رأﺳﻚ ﻣﺮة أﺧﺮى " ﻋﻤﺮ اﻟﻤﺨﺘﺎر"
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٤
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎن ل)ا( =، ٠.٨ل)ب( = ، ٠.٦ل)ا ∪ب(َ = ٠.١ ﻓﺄﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث اﻷﺗﯿﺔ - : ) (١ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ) (٢ﺣﺪث وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ) (٣ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ ) (٤ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ .
) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ل)ا ∪ ب( Aل)ا ∪ ب(َ = ٠.١
G
اﻟﺤﻞ
ل)ا ∪ ب(َ = –١ل)ا ∪ ب(
∴ ل)ا ∪ ب( = –١ل)ا ∪ ب(َ = ٠,٩ = ٠,١ – ١ Aل)ا ∩ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∪ ب( = ٠,٥ = ٠,٩ – ٠,٦ + ٠,٨ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ) إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ( ل)ا – ب( = ل)ا( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٣ = ٠,٥ – ٠.٨ ) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ )إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ أو وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ( ل)ا – ب( ∪ ل)ب– ا(= ل)ا ∪ ب( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٤ = ٠,٥ – ٠,٩ ) (٤إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ) ﻋﺪم وﻗﻮع ا أو ﻋﺪم وﻗﻮع ب ( ل)اَ ∪ بَ (= ل)ا ∩ ب(َ = –١ل)ا ∩ ب( = ٠,٥ = ٠,٥ – ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٥ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٥
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺎ وﻛﺎن ٥ ٢ ١ ل)ا ∩ ب ( = ،ل)اَ ( = ،ل)اَ ∩ بَ ( = ١٢ ٣ ١٢
إﺣﺴﺐ
) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ. ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ. ) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ . اﻟﺤﻞ ٢ Aل)اَ ( = ٣ ٥ ل)اَ ∩ بَ ( = ١٢
G G
٥ ∴ –١ل)ا ∪ ب( = ١٢
١ ٢ ل)ا( = = –١ ٣ ٣ ٥ ل)ا ∪ ب(َ = ١٢
G
٧ ٥ = ل)ا ∪ ب( =–١ ١٢ ١٢
٧ ) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺗﻌﻨﻰ :ل)ا ∪ ب( = ١٢
ﻧﻮﺟﺪ ل)ب( Aل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب( ١ ١ ٧ ١ ٧ ١ ١ ٧ +ل) ب( Gل) ب( = – = = G = +ل) ب( – ٣ ٤ ١٢ ٤ ١٢ ١٢ ٣ ١٢ ١ ١ ١ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ :ل)ب – ا( = ل)ب( – ل)ا ∩ ب( = – = ٤ ١٢ ٣
) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ :ل)اَ ∪ بَ ( = ل)ا ∩ ب(َ ١١ ١ = –١ل)ا ∩ ب( == –١ ١٢ ١٢ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٦ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺧﻄﯿﺮررة )(١
إذا ﻛﺎن ا eب ﻓﺈن
ب ا
ل)ا ∩ ب( = ل)ا( ل)ا ∪ ب( = ل)ب( ل)ا – ب( = ﺻﻔﺮ ل)ب – ا( = ل)ب( – ل)ا( ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺧﻄﯿﺮررة )(٢
١ إذا ﻛﺎن ل)ا( = ل)اَ ( ﻓﺈن ل)ا( = ٢
ﻣﺜﺎل٦ إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎءاﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،وﻛﺎن ا eب ،ل)ا( =
١ ٢
،وإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ﯾﺴﺎوى ٠.٢
إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب اﻟﺤﻞ إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ل)ب – ا( Aاeب
ب ا
∴ ل)ب – ا( = ل)ب( – ل)ا( = ٠,٢ل)ب( – ل)ب( = + ٠,٢
١ ٢
١ ٢
= ٠,٧ = ٠,٥+ ٠,٢
∴ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب ل)بَ ( = ٠,٣ =٠,٧ – ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٧ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٧
إذا ﻛﺎن ف ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﯿﺚ ف = cا ،ب ،ج d ل )جَ (
ل )اَ ( ٧ = ٢ ،ل)ب( = ٣ل)بَ ( ﻓﺄوﺟﺪ وﻛﺎن ل )ا( ٣ ل )ج(
اﻟﺤﻞ ل )اَ ( ٧ = A ل )ا( ٣
G
١ل ا ٧ = ٧ Gل)ا( = ٣ – ٣ل)ا( ٣ ل )ا(
٣ل)ا( ٧+ل)ا( = ١٠ G ٣ل)ا( = G ٣ ٢ل)ب( = ٣ل)بَ (
٣ ل)ا( = ١٠
٢ Gل)ب( = –١) ٣ل)ب( (
٢ل)ب( =٣ –٣ل)ب( ٢ Gل)ب( ٣ +ل)ب( = ٣ ٣ ٥ل)ب( = G ٣ل)ب( = ٥
Aﻣﺠﻤﻮع إﺣﺘﻤﺎﻻت ﻧﻮاﺗﺞ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ = ١ ∴ ل)ا( +ل)ب( +ل)ج( = ١ ٩ ١٠
+ل ) ج( = ١
٩ ١ ل)جَ ( = = – ١ ١٠ ١٠
٣ ٣ + +ل ) ج( = ١ G ٥ ١٠ ١ ٩ Gل ) ج( = = – ١ ١٠ ١٠
G
١ ل )جَ ( ٩ =٩ = ÷ ١٠ ل )ج( ١٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٨ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٨
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،وﻛﺎن ل ) ب( =
١
١
٥
٣
،ل)ا ∪ ب( = أوﺟﺪ ل)ا( إذا ﻛﺎن :
) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ) A (١ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ
اﻟﺤﻞ
∴ ل)ا ∩ ب( = ﺻﻔﺮ
ل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب( G ١
ل)ا( = – ٣
١ ٥
=
١ ٣
= ل) ا ( +
١ ٥
– ﺻﻔﺮ
٢ ١٥
) A (٢ب eا Gل)ا ∪ ب( = ل)ا( = ﻣﺜﺎل٩
) (٢ب eا
١ ٣
إذا ﻛﺎن ف = } ا ،ب ،ج { ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ وﻛﺎن : ٢٠ل)ا( = ١٥ل)ب( = ١٢ل)ج( ﻓﺄوﺟﺪ ل)ا( ،ل)ب( ،ل)ج(
ﺑﻮﺿﻊ ٢٠ل)ا( = ١٥ل)ب( = ١٢ل)ج( = س ٢٠ل)ا( = س
G
١٥ل)ب( = س G
١٢ل)ج( = س
G
اﻟﺤﻞ
س ل) ا( = ٢٠ س ل) ب( = ١٥ س ل) ج( = ١٢
Aﻣﺠﻤﻮع إﺣﺘﻤﺎﻻت ﻧﻮاﺗﺞ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ =١ ١ ١ ١ س س س G ١= + +س) + + ١٢ ١٥ ٢٠ ١٢ ١٥ ٢٠ ١ ٥ ∴ ل) ا( = = ٤ ٢٠ ١ ٥ ل) ب( = = ٣ ١٥ ٥ ل) ج( = ١٢
∴ ل)ا( +ل)ب( +ل)ج( = ١ (= G ١س
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٩ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
١ ٥
= G١س=٥
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(١٤ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: ) (١اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ھﻰ ......................................................... ) (٢ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ھﻮ ......................................... ) (٣ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮة واﺣﺪة وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﺈن ﻓﻀﺎء اﻟﻨﻮاﺗﺞ ف = .................... ) (٤ﻋﻨﺪ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻓﺈن ﺣﺪث ظﮭﻮر ﺻﻮرة ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ = ........... ) (٥ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺛﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻟﻜﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن ﺣﺪث ظﮭﻮر ﻋﺪد أوﻟﻰ = ........................ ) (٦ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﺮة ﻓﺈن ﺣﺪث ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﻈﺎھﺮﯾﻦ ﯾﺴﺎوى ٥ھﻮ ........................ ) (٧ﻋﻨﺪ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺎت وﻣﻼﺣﻈﺔ ﺗﺘﺎﺑﻊ اﻟﺼﻮر واﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ﻓﺈن ﺣﺪث ظﮭﻮر ﺻﻮرﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ = .......................... ) (٨إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ = ، ...............وإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪ = ....... ) (٩إذا ﻛﺎن ا ﺣﺪث ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن ل)ا( ∋ ............... ) (١٠إذا ﻛﺎن إﺣﺘﻤﺎل ﻧﺠﺎح طﺎﻟﺐ = %٨٠ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل رﺳﻮﺑﮫ = .................. ) (١١إذا ﻛﺎن ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ﻓﺈن )ا ∩ ب ( = )،.......ا – ب(= ) ، ......ب – ا(= ...... ) (١٢إذا ﻛﺎن إذا ﻛﺎن ب eا ﻓﺈن)ا ∩ ب ( = )، .......ا ∪ ب(= ) ، ......ب – ا(= ...... ) (١٣إذا ﻛﺎن ا ∩ ب = ∅ ،ل)اَ ( = ، ٠.٧ل)بَ ( = ٠.٤ﻓﺈن : ل)ا ∩ ب ( = ، .......ل )ا ∪ ب(= ، .........ل)ا – ب(= ................
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
٢إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ -: ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻓﺈن : ) (١اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ٥ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﻌﺪد ٦ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ھﻮ ..... ١ ا ٢٤
١ ج ٣٦
١ ب ٣٠
١ ٦
ء
) (٢اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ٥ﻓﻰ إﺣﺪى اﻟﺮﻣﯿﺘﯿﻦ واﻟﻌﺪد ٦ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷﺧﺮى ھﻮ ..... ١ ا ١٢
٥ ج ٣٦
١ ب ٦
ء
١ ١٨
) (٣إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺘﯿﻦ ھﻮ ................ ١ ب ٣٦
١ ا ٥
١ ء ١٨
١ ج ٦
إذا اﻟﻘﯿﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم ظﮭﻮر اﻟﺼﻮرة ﯾﺴﺎوى ........ ا ﺻﻔﺮ
ب
١ ج ٢
١ ٣
ء ١
إذا أﺧﺘﯿﺮ ﺣﺮف ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻣﻦ ﺣﺮوف اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ف = cا،ب ،ج،د،ه ،و ،ر ،ك ،م ،
عd
ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻜﻮن ھﺬا اﻟﺤﺮف أﺣﺪ ﺣﺮوف ﻛﻠﻤﺔ ﻣﺒﺮوك ھﻮ ................. ا
١ ٤
١ ج ٢
١ ب ٣
ء
٢ ٣
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،ا eب ﻓﺈن )ا ∪ ب(= ......... ا ل) ا(
ب ل) ب(
ج
ل)ا( +ل)ب(
ء ل) ا ∩ ب (
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،ا eب ﻓﺈن ا ل )ا ∪ ب(= ل)ب(
ب ل )ا ∪ ب(= -١ل)اَ (
ج ل )ا ∩ ب(= ل)ب(
ء ل )ا ∩ ب(= ﺻﻔﺮ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠١ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
أﻟﻘﻰ ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻋﻠﻰ ﻣﻨﻀﺪة وﻟﻮﺣﻆ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ وﺟﮭﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل اﻻ ﯾﺰﯾﺪ ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻋﻦ ٥وﻻ ﯾﻘﻞ ﻋﻦ ٣ھﻮ ................. ا
١ ٦
١ ٣
ب
ج
١ ٢
ء
٢ ٣
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻓﻘﻂ ھﻮ ا ل )ا ∪ ب(
ب ل )ا ∪ ب(َ
ج ل )ا ∪ ب( – ل)ا ∩ ب ( ء ل)ا ∩ ب (
١ إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل )ب( = ، ٢
ل)ا( = – ١ل)ب( ﻓﺈن ............. ا ن)ا( = ن)ب( ب ن)ا( < ن)ب( ج ن)ا( >ن)ب(
ء ن)ا( +ن)ب(=١
ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ وﻟﻮﺣﻆ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﺮة ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ﺣﺪث اﻟﻔﺮق اﻟﻤﻄﻠﻖ ﻟﻠﻌﺪدﯾﻦ ﯾﺴﺎوى ٤ھﻮ ...... ا
٥ ١٨
ب
١ ٦
ج
٥ ء ٣٦
١ ٩
أى ﻣﻦ اﻷﺗﻰ ﯾﺼﻠﺢ ﻷن ﯾﻜﻮن إﺣﺘﻤﺎل أﺣﺪ اﻷﺣﺪاث ؟ ا
٥ ١٨
ب
١ – ٦
ج
٥ ٣
ء ١,٢
================================================== ٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ٠,٦ ،ل)ب( = ، ٠,٥ل)اَ ∪ بَ ( = ٠,٧ﻓﺄوﺟﺪ إﺣﺘﻤﺎل ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﯾﺄﺗﻰ : ) (١وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ﻣﻌﺎ
][٠,٣
) (٢وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ
][٠,٣
) (٣وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
][٠,٨
) (٤وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ
][٠,٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٢ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
٤إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا = ٠,٥وإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ب = ٠,٦وإﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ = ٠,٨ﻓﺄوﺟﺪ ) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا واﻟﺤﺪث ب ﻣﻌﺎ
][٠,٢
) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
][٠,٩
) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ب وﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا
][٠,٤
================================================== ٥إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ا eب ، ٥ ٣ ل) ا ∪ ب ( = ،ل) ا ∩ ب ( = ٨ ٤ ١ ) (١إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب ] [ ٤ ١ ) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ] [ ٨
أوﺟﺪ : ٥ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ٨ ١ ) (٤إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻓﻘﻂ ] [ ٨
] [
================================================== ٦إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)اَ ( = ، ٠,٦ ل)ب( = ، ٠,٢٥ل)ا ∩ ب ( = ٠,٢إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل : ) (١وﻗﻮع ا
] [٠,٤
) (٢وﻗﻮع ا أو ب
][٠,٤٥
) (٣ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب
][٠,٥٥
================================================== ٧إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا(َ = ٣ل)ا( ٣ ] [ ﻓﺄوﺟﺪ ل)ا(َ ٤
================================================== ٨إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ف ،ل)ا( = ، ٠,٦ل)ب( = ، ٠,٨ ل)اَ ∪ بَ (= ٠,٥ﻓﺄﺣﺴﺐ ل)اَ ∩ ب ( أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٣ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
][٠,٣ " اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
٩إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا ∪ ب( = ٠,٨٥ ل)ا( = ، ٠,٧٥ل)ب(َ = ٠,٦أوﺟﺪ : ل) ا ∩ ب (
،ل)ا ∩ بَ ( ،ل)اَ ∪ بَ (
] [٠,٧ ، ٠,٤٥ ، ٠,٣
================================================== ١ ١٠إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ٢ ١ ب( = ل) ب( = س ،ل) ا ∪ َ ٣
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س إذا ﻛﺎن ) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن ١ إذا ﻛﺎﻧﺖ س = ٤
) (٢ا eب
أوﺟﺪ ل)ا ∩ ب (
،
٢ ١ ] [ ، ٣ ٦ ١ ] [ ١٢
================================================== ١١إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ٣ ٥
ل)ا(َ = ل)ا ∪ ب( = ٠,٤٥ﻓﺄوﺟﺪ ل)ب( ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ : ) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن
] [٠,٢
) (٢ا eب
] [٠,٧٥
================================================== ١ ١٢إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ٤ ١ ٢ ل)ب( = ،ل)ا ∩ ب ( = ﻓﺄﺣﺴﺐ :ل)ا ∪ ب ( ،ل)ا ∪ بَ ( ٦ ٣
، ١ ٣ ٢ ٤
] [ ،
================================================== ١٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ، ٠,٣ ل)ب( = ، ٠,٨ل)ا ∩ ب ( = ٠,٢إﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ : ل)اَ ( ،ل)ا ∪ ب ( ،ل)ا – ب( ،ل)اَ ∪ بَ (
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] [٠,٨ ، ٠,١ ، ٠,٩ ، ٠,٧
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"