اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت واﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ. اﻟﮫﺮم واﻟﻤﺨﺮوط . اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ و اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮫﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ – ﺣﺠﻢ اﻟﮫﺮم. اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ و اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط – ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط . ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٩ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت واﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔــــــــــــــﺮاغ ﻣﻔﺎھﯿﻢ وﻣﺴﻠﻤﺎت أﺳﺎﺳﯿﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ -: ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ وﯾﺘﺤﺪد ﺗﺤﺪﯾﺪا ﺗﺎﻣﺎ ً إذا ﻋﻠﻢ اى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻋﻠﯿﮫ . اﻟﻤﺴﺘﻮى -: ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ﺗﻤﺜﻞ ﺳﻄﺢ ﻻ ﺣﺪود ﻟﮫ ﺑﺤﯿﺚ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺳﺲ
ﺑﺄى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﯾﻘﻊ ﺑﺄﻛﻤﻠﮫ داﺧﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى .
وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺄﺣﺪ اﻟﺤﺮوف اﻟﻜﺒﯿﺮة ﻣﺜﻞ ﺳﺲ أو ﺻﺺ أو ع اﻟﻔﺮاغ ) اﻟﻔﻀﺎء ( -: ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ واﻟﺬى ﯾﺤﺘﻮى ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت واﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت واﻟﻤﺠﺴﻤﺎت ﻣﺤﻞ اﻟﺪراﺳﺔ . ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺧﻄﯿﺮرررررررة )(١ –١أى ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت . –٢أى ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت . –٣أى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ . –٤أى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﻤﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت . – ٥أى ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ . – ٦أى ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٠ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻌﯿﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﺘﺤﺪد اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺤﺪﯾﺪا ﺗﺎﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﺑﺈﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ -: – ١ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة . ا٠
–٢ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﻧﻘﻄﺔ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﯿﮫ .
ب٠
ا٠
ب٠
ج٠ ج٠
ﺳﺲ
ﺳﺺ
–٤ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻄﺒﻘﯿﻦ
–٣ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎطﻌﺎن . ء٠
ا٠ ه
ج٠
ا٠ ج٠
ب٠ ع
ب٠ ء٠
ل
اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ -٣اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔـﺎن -٢اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﻳﺎن -١اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﺘﻘـﺎﻃﻌﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن واﺣﺪ وﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة واﺣﺪ وﻻ ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ أى ﻧﻘﻄﺔ ﯾﺤﺘﻮﯾﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ. ل١
ل١
ل١ ل٢ ل٢
ل٢
ا ﺳﺺ
ﺳﺲ
ﻝ١
ﺉ ﻝ٢
=
cا d
ﻝ١
ﺉ ﻝ٢
ع
ﻝ ١ﺉ ﻝ∅ = ٢
=∅
ﻝ ، ١ﻝ ٢ﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻝ ، ١ﻝ ٢ﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻝ ، ١ﻝ ٢ﻻﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧١ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ -١اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻮى ل
-٣اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺤﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى
-٢اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻗـﺎﻃﻊ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى
ﺳﺲ
ﺳﺲ
ﺳﺲ
ﻝ ﺉ ﺳﺲ=
ﻝ ﺉ ﺳﺲ= ∅
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻝ ﯾﻘﻊ ﺑﺄﻛﻤﻠﮫ ﻓﻰ ﺳﺲ
cا d
ﻝ ﺉ ﺳﺲ=
ﻝ
ﻻﺣﻆ أﻧﻪ-: إذا أﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻓﻰ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻘﻊ ﺑﺘﻤﺎﻣﮫ داﺧﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى. اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ -١اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﺎن
-٣اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﻨﻄﺒﻘـﺎن
-٢اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻘـﺎﻃﻌﺎن ل
ﺳﺺ
ﺳﺲ ﺳﺲ
ﺳﺲ
ﺳﺺ ﺳﺺ
اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺳﺲ //اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺻﺺ
اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن ﺳﺲ ،ﺻﺺ
ﺳﺲ ﺉ ﺳﺺ = ل
أى أن ﺳﺲ ﺉ ﺳﺺ = ∅
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻘﺎط ﺳﺲﺉ ﺳﺺ = ﺳﺲ =ﺻﺺ
- ٧٢ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺧﻄﯿﺮرررررررة )(٢ –١إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈﻧﮭﻤﺎ ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ. –٢اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﻮازﯾﺎن ﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﻣﺘﻮازﯾﺎن . – ٣اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﺮأﺳﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺘﻮازﯾﺔ . – ٤إذا ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﺤﺎﻣﻼن ﻟﻘﻄﺮى اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن أﺿﻼﻋﮫ ﺗﻘﻊ ﺟﻤﯿﻌﺎ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ. ا ء
ج ا
ء
م ب
ج
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ا ب ج ء أﺿﻼﻋﮫ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻷن ⃗⃖ ⃗ ⃖ اج ﺉ بء = cمd
ب اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ا ب ج ء أﺿﻼﻋﮫ ﻻ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻷن ⃗⃖ ⃗ ⃖ اج ﺉ بء = ∅ ⃗⃖ ⃗ ⃖ )اج ،بء ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن (
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٣ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٥ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎطﻌﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ...........وﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ............. -٢اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ...........وﻻ ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ .......... -٣اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺤﺘﻮﯾﮭﻤﺎ ........................ -٤اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻟﯿﺴﺎ ............أو ....................... -٥إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل //اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺳﺲ ﻓﺈن ل ﺉ ﺳﺲ = .................. -٦إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل eاﻟﻤﺴﺘﻮى ﺳﺲ ﻓﺈن ل ﺉ ﺳﺲ = .................. -٧إذا ﻛﺎن ﺳﺲ ،ﺻﺺ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﺣﯿﺚ ﺳﺲ ﺉ ﺻﺺ = Zﻓﺈن ﺳﺲ .........ﺻﺺ ================================================== ٢أذﻛﺮ ﻋﺪد اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﻜﻞ ﻣﻦ -: ا – ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ
ب – ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ
ج – ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
ء – ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
================================================== ٣ﺗﺄﻣﻞ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ،ﺛﻢ أﺟﺐ ﻋﻦ اﻷﺳﺌﻠﺔ اﻷﺗﯿﺔ -: اَ -١أﻛﺘﺐ ﺛﻼث ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا.
ءَ جَ
-٢اﻛﺘﺐ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ،ب ﻣﻌﺎ ً.
بَ
-٣أﻛﺘﺐ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎت ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا . ء
-٤أﻛﺘﺐ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎت ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ،ب ﻣﻌﺎ ً .ا
ج
ب
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٤ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"