اﻟﮫﺮم واﻟﻤﺨﺮوط
Pyramid and Cone اﻟﮫﺮم : Pyramid ھﻮ ﻣﺠﺴﻢ ﻟﮫ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪة وﺟﻤﯿﻊ أوﺟﮭﮫ اﻷﺧﺮى ﻣﺜﻠﺜﺎت ﺗﺸﺘﺮك ﻓﻰ رأس واﺣﺪة وﯾﺴﻤﻰ ھﺮﻣًﺎ ﺛﻼﺛﯿ ًﺎ أو رﺑﺎﻋﯿ ًﺎ أو ﺧﻤﺎﺳﯿ ًﺎ ...ﺣﺴﺐ ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻀﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ.
م
م
ج س
ا ن ھﺮم ﺛﻼﺛﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ
ء
ا س
ن
ب ب ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻀﻠﻊ رﺑﺎﻋﻰ
ج
إرﺗﻔﺎع اﻟﮫﺮم ) م ن ( : ھﻮ ﺑﻌﺪ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ.
اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ -:ﻫﻮﻣﻀﻠﻊ
اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ) م س (:
-١أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻄﻮل
ھﻮ ﺑﻌﺪ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻦ أﺣﺪ أﺿﻼع ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ.
-٢زواﯾﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻘﯿﺎس
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﮫﺮم
-٣ﻣﺮﻛﺰه ھﻮ ﻣﺮﻛﺰاﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ داﺧﻠﮫ أو ﺧﺎرﺟﮫ
) (١اﻟﮫﺮم اﻟﻘﺎﺋﻢ Right pyramid ﯾﻜﻮن اﻟﮭﺮم ﻗﺎﺋﻤًﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﯾﻤﺮ ﺑﻤﺮﻛﺰھﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٥ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
م
) (٢اﻟﮫﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ -: ھو اﻟﮭرم اﻟذى ﻗﺎﻋدﺗﮫ ﻣﺿﻠﻊ ﻣﻧﺗظم ﻣرﻛزه ﻣوﻗﻊ اﻟﻌﻣود اﻟﻣرﺳوم ﻣن رأس اﻟﮭرم ﻋﻠﯾﮭﺎ. أى أﻧﮫ ھﺮم ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ .
ء
ا س
ن ب
ﺧﻮاص اﻟﮫﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ -:
ج
-١أﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻄﻮل. -٢أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺳﻄﻮح ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ. -٣اﻻرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ . ﻣﻼﺣﻈﺔ ھﺎﻣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻣﻦ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾ ًﺎ ﻋﻠﻰ أى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓﯿﮭﺎ. ﻋﻼﻗﺔ أوﻳﻠﺮ ﻷى ﻣﺠﺴﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻀﻠﻌﺔ ﻳﻜﻮن : ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ +ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ﻋﺪد اﻷﺣﺮف ٢ + ﻣﺜﻼ ﻓﻲ اﻟﮭﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ﯾﻜﻮن : ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ = ٥أوﺟﮫ ،ﻋﺪد اﻟﺮوؤس = ٥روؤس ،ﻋﺪد اﻷﺣﺮف = ٨أﺣﺮف ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ +ﻋﺪد اﻟﺮوؤس = ١٠ = ٥ + ٥ ﻋﺪد اﻷﺣﺮف ١٠ = ٢ + ٨ = ٢ + Bﻋﺪد اﻷوﺟﮫ +ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ﻋﺪد اﻷﺣﺮف ٢ +
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٦ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﻤﺨﺮوط Cone ھﻮ ﻣﺠﺴﻢ ﻟﮫ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪة ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻣﻐﻠﻖ ورأس واﺣﺪة ، وﯾﺘﻜﻮن ﺳﻄﺤﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ﻣﻦ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻣﻦ رأﺳﮫ إﻟﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ واﻟﺘﻰ ﯾﻌﺮف ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﺑﺮاﺳﻢ
ا
اﻟﻤﺨﺮوط .
اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢRight circular cone ھﻮ اﻟﺠﺴﻢ اﻟﺬى ﯾﻨﺸﺄ ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل أﺣﺪ ﺿﻠﻌﻰ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻛﻤﺤﻮر.
راﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط
ل
ج ﺧﻮاص اﻟﻤﺨﺮوط
ع
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻧﻖ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط
ب
-١ﻣﺤﻮره ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﻘﺎﻋﺪة . -٢إرﺗﻔﺎﻋﮫ ھﻮ طﻮل اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﯿﻦ رأس اﻟﻤﺨﺮوط وﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ وھﻮ داﺋﻤﺎ أﻗﻞ ﻣﻦ راﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ٢
ﰈ ل – ﻧﻖ
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع =
٢
ﺗﺬﻛﺮ ٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة = πﻧﻖ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = π٢ﻧﻖ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٧ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل١
وزارة ٠
أوﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ πﻣﺤﯿﻂ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى
ﻗﺎﺋﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٤ﺳﻢ ،وطﻮل راﺳﻤﮫ ٢٦ﺳﻢ .
اﻟﺤﻞ ع = ٢٤ﺳﻢ ل = ٢٦ﺳﻢ ﻧﻖ = ؟
ل
ع
طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط : ٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ؟ل – ع = ؟ ١٠ = ٢٤ - ٢٦ﺳﻢ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط = π٢ﻧﻖ = π٢ ٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط = πﻧﻖ = π ﺷﺒﻜﺔ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت
ﻧﻖ
π ٢٠ = ١٠ﺳﻢ ٢
٢
) π ١٠٠ = (١٠ﺳﻢ
ﺗﺴﺘﺨﺪم ﺷﺒﻜﺔ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت ﻓﻰ ﺗﺼﻨﯿﻊ اﻟﻤﺠﺴﻢ وذﻟﻚ ﺑﺘﺨﻄﯿﻂ ﺷﻜﻞ
اﻟﻤﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﻣﺴﺘﻮى ﺛﻢ طﻰ ھﺬا اﻟﺴﻄﺢ ﻟﺘﻜﻮﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب . –١ﺷﺒﻜﺔ اﻟﻤﻜﻌﺐ-:
ل
ا– اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﮫ ٦أوﺟﮫ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ وﺟﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ. ب– ﻋﺪد أﺣﺮﻓﮫ ١٢أﺣﺮف . ج – ﯾﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ٨رؤوس . ٢
ء– اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﻜﻌﺐ = ٦ل ﺣﯿﺚ ل طﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ . ه – اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﻜﻌﺐ = ٤ل ٣ و– ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ = ل
٢
إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت اﻟﻤﻜﻌﺐ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٨ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
–٢ﺷﺒﻜﺔ ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت-: ا– ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت ﻟﮫ ٦أوﺟﮫ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ أو ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻛﻞ وﺟﮭﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ.
ع
ب – ﻋﺪد أﺣﺮﻓﮫ ١٢أﺣﺮف .
ص
ج – ﯾﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ٨رؤوس .
ء– اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت = )٢س ص +ص ع +س ع (
س
ه – ﺣﺠﻤﮫ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﺑﻌﺎده اﻟﺜﻼﺛﺔ = س صع ﺣﯿﺚ س ،ص ،ع أﺑﻌﺎد ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت
إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت
–٣ﺷﺒﻜﺔ اﻟﮫﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ-: ا– ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ = ٥أوﺟﮫ ﻣﻨﮭﻢ ٤ﺟﺎﻧﺒﯿﺔ ووﺟﮫ واﺣﺪ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة . ب – ﻋﺪد اﻷﺣﺮف = ٨ﻣﻨﮭﻢ ٤أﺣﺮف ﺟﺎﻧﺒﯿﺔ . ج – ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ٥وﻣﻨﮭﻢ رأس واﺣﺪة م رأس اﻟﮭﺮم . م
ء
ا
ج ب
إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت اﻟﮭﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٩ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل٢
م ا ب ج ء ھرم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻧﺗظم إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٠ﺳم ،وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺟﺎﻧﺑﻰ ٢٥ﺳم . أوﺟد طول ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋدة اﻟﮭرم ،وارﺳم ﺷﻛﻼ ً ﯾوﺿﺢ إﺣدى ﺷﺑﻛﺎﺗﮫ. م ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث -: ٢
٢٥ﺳﻢ
٢
س ن = ؟١٥ = ٢٠ – ٢٥ﺳﻢ
ء
ﻓﻲ ∆ ا ب ج :
ا
Aس ﻣﻨﺘﺼﻒ اب ،ن ﻣﻨﺘﺼﻒ ا ج Bبج = ٢
٢٠ﺳﻢ
س
ن
ج
ب
٣٠ = ١٥ﺳﻢ إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت اﻟﮭﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ اﻟﻘﺎﺋﻢ
–٤ﺷﺒﻜﺔ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ-: ا – ﻗﺎﻋﺪﺗﻰ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ داﺋﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﯿﻦ . ب – اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ﻟﻸﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻗﺒﻞ طﯿﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ .
ﻧﻖ
٢
ع
ج – اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ = π ٢ﻧﻖ π ٢ +ﻧﻖ ع ٢
ء – ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ = πﻧﻖ ع ﻧﻖ
ﺷﺒﻜﺔ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٠ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٦٠
ﺗـــــﺬﻛــــﺮ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى -:ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺪود ﺑﻨﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮﯾﻦ وﻗﻮس ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة . ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ٢ﻧﻖ +ل ١ ٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ل ﻧﻖ ﺣﯿﺚ ل طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع ١ء
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = θﻧﻖ
٢ ﻧﻖ
٢
ء
ﺣﯿﺚ θاﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮى ﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﻄﺎع . س ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ٣٦٠
ا
س ٢ πﻧﻖ = ٣٦٠
ء
θ
ﻗﻄﺎع داﺋﺮى
ب
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة
ﺣﯿﺚ س اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻰ ﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﻄﺎع . ﻗﯿﺎس اﻟﻘﻮس طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى ل = ﻗﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮة
س ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = ٣٦٠
π ٢ﻧﻖ
ﻋﻨﺪ طﻰ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ : -١ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮﺗﮫ ﯾﺴﺎوى طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع. -٢طﻮل راﺳﻤﮫ ﯾﺴﺎوى طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮة اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨١ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل٣
ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻣﻦ اﻟﻮرق طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ١٢ﺳﻢ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ْ ° ١٢٠طﻮى وﺣﻮل إﻟﻰ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط .
اﻟﺤﻞ ١٢ﺳﻢ س طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ٣٦٠ ١٢٠ = ٣٦٠
٢
١٢ﺳﻢ
ْ١٢٠
π ٢ﻧﻖ π
١٢
ا
= π ٨ﺳﻢ وھﻮ ﯾﻤﺜﻞ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط ١٢ﺳﻢ
ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮة اﻟﻤﺨﺮوط = π ٨ﺳﻢ
ع
π ٢ﻧﻖم = π ٨ ﻧﻖم = ٤ﺳﻢ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻰ ∆ ا ب م ٢
٢
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع = ؟ ٨ = ٤– ١٢؟ ٢ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ب
- ٨٢ -
٤ﺳﻢ
م
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٦ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ......................... -٢اﻻرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ .................................... -٣اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻣﻦ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ ............. -٤ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻘﺎﺋﻢ .................................................طﻮل راﺳﻤﮫ. -٥اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢ ﯾﻨﺸﺄ ﻣﻦ دوران .....................ﺣﻮل ........................ ============================================= ٢ﻓﻲ اﻟﮭﺮم اﻟﺨﻤﺎﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ : -١ﻣﺎ ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ؟ -٣ﻣﺎﻋﺪد اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ؟
-٢ﻣﺎ ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ ؟ -٤ﻣﺎ ﻋﺪد أﺣﺮﻓﮫ ؟
][١٠ ، ٥ ، ٦ ، ٥
================================================ ٣م ا ب ج ء ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٠ﺳﻢ ،إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ .
] ١٣ﺳﻢ[
=============================================== ٤م اب ج ء رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٤ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ٢٥ﺳﻢ أوﺟﺪ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم
]١٤ﺳﻢ[
================================================== ٥ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ١٧ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٥ﺳﻢ أوﺟﺪ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ.
] ٨ﺳﻢ[
================================================== ٦أوﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ πﻣﺤﯿﻂ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ وطﻮل راﺳﻤﮫ ٢ ] π١٠ﺳﻢ π٢٥ ،ﺳﻢ [ ١٣ﺳﻢ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٣ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"