ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة The equation of a circle
اﻟﺪاﺋﺮة
ھﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻧﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ
اﻟﻤﺴﺘﻮى وﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة . اوﻻ :ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺑﺪﻻﻟﺔ إﺣﺪاﺛﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ً إذا ﻛﺎﻧﺖ ا= )س ،ص( ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م =) ء ،ه( وطﻮل ا)س ،ص(
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ﻓﺎن ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ھﻰ: )س –ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ ٢
٢
٢
ﻧﻖ م ) ء ،ه(
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(١ إذا ﻛﺎن ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ھﻰ : ٢
٢
س +ص = ﻧﻖ
٢
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٢
إذا ﻛﺎﻧﺖ ا) س ،١ص،(١ب) س ،٢ص (٢ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﺈن ٢
-١اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦا ،ب ھﻮ :ا ب = ﰈ) س –٢س ) + (١ص –٢ص(١
٢
-٢إﺣﺪاﺛﯿﺎ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻰ طﺮﻓﺎھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ،ب ھﻮ : )ـــــــــــــــــــ ،ص +١ص م = س +١س٢ ــــــــــــــــــ( ٢ ٢ ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠١ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ١
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م ) (١- ، ٧وطﻮل ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى ٨وﺣﺪات طﻮل .
اﻟﺤﻞ Aم )(١- ، ٧
٢
٢
Bء= ، ٧ه=١-
٢
٢
٢
٢
) Aس – ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ
٢
٢
) Bس – ) + (٧ص ٤ = (١ +
٨ ﻧﻖ = = ٤ﺳﻢ ٢
) Bس – ) + (٧ص ١٦= (١ +
ﻣﺜﺎل ٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻗﻄﺮھﺎ اب ﺣﯿﺚ ا = ) ، (١- ، ٤ب = )(١ ، ٢-
اﻟﺤﻞ Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ اب ٢ ٤ Bم=) ٢
،
١ ١ ٢
ا)(١-،٤
( = ) (٠ ، ١
م )(٠ ،١ ٢
ﻧﻖ = م ا = ﰈ) س –٢س ) + (١ص –٢ص(١ ﻧﻖ =
٢
٢
٢
ﰈ) = (٠– ١–) + (١ – ٤؟ ١٠وﺣﺪة طﻮل
Aﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻰ )س – ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ ٢
٢
٢
) Bس – ) + (١ص – ) = (٠؟(١٠
ب)(١ ،٢-
٢
Aم )(٠ ، ١ Bء= ، ١ه= ٠
٢
ﻧﻖ = ؟١٠
٢ ٢
٢
أى أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺗﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ) :س – + (١ص =١٠ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٢ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٣ وﺿﻊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا) س ،١ص (١ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة د) :س – ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ ٢
إذا ﻛﺎن)س – ١ء( ) +ص – ١ه( = ﻧﻖ ٢
٢
إذا ﻛﺎن)س – ١ء( ) +ص – ١ه( <ﻧﻖ ٢
٢
٢
ﻓﺈن ا ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة
٢
ﻓﺈن ا ﺗﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة
إذا ﻛﺎن)س – ١ء( ) +ص – ١ه( > ﻧﻖ ٢
ﻣﺜﺎل ٣
٢
٢
٢
٢
ﻓﺈن ا ﺗﻘﻊ داﺧﻞ اﻟﺪاﺋﺮة
ﺑﯿﻦ ﻣﻮاﻗﻊ اﻟﻨﻘﺎط ﺣﯿﺚ ا = ) ، (٣ ،٩ب = ) ، (٥، ٧ج = ) (٣– ، ٢ ٢
٢
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة د ) :س – ) + (٦ص ٢٥ = (١+
اﻟﺤﻞ
٢
Aﻧﻖ = ٢٥ أوﻻً
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا = )(٣ ،٩ ٢
٢
) = ٢٥ = (١+ ٣ ) + (٦ – ٩ﻧﻖ ﺛﺎﻧﯿﺎً
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ب = ) (٥، ٧ ٢
٢
) <٣٧ = (١+ ٥ ) + (٦ – ٧ﻧﻖ ﺛﺎﻟﺜﺎً
٢
Bاﻟﻨﻘﻄﺔ ا ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪﺋﺮة
٢
Bاﻟﻨﻘﻄﺔ ب ﺗﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪﺋﺮة
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ج = ) (٣– ، ٢ ٢
٢
) >٢٠ = (١+٣–) + (٦ – ٢ﻧﻖ
٢
Bاﻟﻨﻘﻄﺔ ج ﺗﻘﻊ داﺧﻞ اﻟﺪﺋﺮة
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٣ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = )– ل – ،ك( ھﻰ : ٢
٢
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ج = ٠ﺣﯿﺚ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺮاج ﻗﯿﻢ ل،ك ،ج ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﻛﺎﻻﺗﻰ -: ١ ١ ل = ﻣﻌﺎﻣﻞ س ،ك = ٢ ٢ ٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ Gﻧﻖ =
ﻣﻌﺎﻣﻞ ص ٢
٢
٢
٢
ﰈل +ك – ج ،ل +ك – ج <٠
ﻣﻼﺣﻈﺔ ) :(٤ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة -١اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺗﺘﺼﻒ ﺑﺎﻻﺗﻰ -: ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻰ س ،ص . ﻻ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪ س ص أى أن ﻣﻌﺎﻣﻞ س ص = ٠ ٢
٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص =١ -٢ﻟﻜﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻰ س ،ص ﯾﻠﺰم ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮوط اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ٢
٢
ﺑﺎﻻﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ل +ك – ج < ٠ -٣ﻋﻨﺪ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰ أو طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮة ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﯾﺠﺐ أن ﯾﻜﻮن : ٢
٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = ١ﻟﺬﻟﻚ ﯾﺠﺐ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ إذا ﻛﺎن ﻏﯿﺮ ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٤ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٤
أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺰ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ٢
٢
٧س ٧ +ص ٤٢+س – ١٤ص ٠ = ٢٨ +
اﻟﺤﻞ ٢
٢
٧س ٧ +ص ٤٢+س – ١٤ص ٠ = ٢٨ +ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٧ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن ٢
٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = ١ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ : ٢
٢
Bس +ص ٦+س – ٢ص ٠ = ٤ + ١ Gل = ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ٣ ٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ٦
G
ك=–١
١ Gك = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص= –١ ٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = – ٢
G
وﯾﻜﻮن اﺣﺪاﺛﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = )– ل – ،ك( = ) – (١ ، ٣ ٢
٢
ﻧﻖ = ﰈ ل +ك – ج = ﻣﺜﺎل ٥
٢
ل=٣
ج=٤
،
٢
ﰈ) = ٤ – (١–) + (٣؟ ٦وﺣﺪة طﻮل
أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= )–(٣ ،٢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٥وﺣﺪة طﻮل .
اﻟﺤﻞ م = )– ل – ،ك( = )– G (٣ ،٢ل = ، ٢ك = – ، ٣ﻧﻖ = ٥ ٢
ل=٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )١٢– = (٥) – (٣ –) + (٢ ٢
٢
ك=–٣
Aس +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ج = ٠
ج = –١٢
Bاﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻰ : ٢
٢
س +ص ٢ ٢+س ٣ – ٢ +ص ٠ = (١٢ – )+ ٢ ٢ Bس +ص ٤+س – ٦ص – ٠ = ١٢ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٥ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٦
أى ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻻﺗﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ؟ وإذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ داﺋﺮة أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺰھﺎ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ : ١ ٢ ١ ) (١س +ص +س – ٠ = ٨ ٤ ٤ ٢
٢
٢
) (٢س +ص – ٢س ٤ +ص ٠= ٧ + ٢
٢
)٣ (٣س ٢ +ص ٦+س – ٥ص = ٠ ٢
٢
) (٤س +ص ٢ +س ص – ٠ = ١٢ أوﻻً ١ ٤
اﻟﺤﻞ ١ ٢ ٤
٢
س +ص +س –٠=٨
ﺑﺎﻟﻀﺮب
Bس +ص ٤ +س – ٠ =٣٢
G
٢
ل=٢
٤
ك=٠
٢
٢
ج = – ٣٢
٢
Aﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = ، ١واﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ س ص ٢
٢
٢
٢
،ل +ك – ج = ٠ < ٣٦ = (٣٢ –) – ٠ + ٢ Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = )– ل – ،ك( = )– (٠ ، ٢ ٢
٢
ﻧﻖ = ﰈ ل +ك – ج = ؟ ٦ = ٣٦وﺣﺪة طﻮل
وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ
ﺛﺎﻧﯿﺎً ٢ ٢ س +ص – ٢س ٤ +ص ٠= ٧ + ٢ ٢ ٢ ٢ Aل +ك – ج =) – ٠ > ٢ – = ٧ – ٢ + (١ Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ٢
ﺛﺎﻟﺜﺎً
G
ل = –١ ك=٢ ج=٧
٢
٣س ٢ +ص ٦+س – ٥ص = ٠ ٢
Aﻣﻌﺎﻣﻞ س } ﻣﻌﺎﻣﻞ ص
٢
Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٦ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
راﺑﻌﺎً
٢
٢
س +ص ٢ +س ص – ٠ = ١٢
Aاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ س ص ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٥ ﻣﺜﺎل ٧
Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة
ﺗﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن إذا ﺗﺴﺎوى طﻮﻻ ﻧﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ.
ﺑﯿﻦ أى داﺋﺮﺗﯿﻦ ﻣﻤﺎ ﯾﺄﺗﻰ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن ؟ وﻟﻤﺎذا؟ ٢
٢
٢
٢
٢
٢
) (١س +ص –٤س ٨+ص = ، ٠س +ص ١٢+ص٠ = ١٦+ ٢
٢
) (٢س +ص –٢س ٤+ص– ، ٠ =٣س +ص ٦+س –٠ = ١١
اﻟﺤﻞ أوﻻً
٢
٢
٢
٢
س +ص –٤س ٨+ص = ٠
س +ص ١٢+ص٠ = ١٦+
ل=– ، ٢ك= ،٤ج=٠
ل = ، ٠ك = ، ٦ج = ١٦
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج ٢
٢
ﻧﻖ = ٢ﰈ ل +ك – ج ٢
٢
٢
= ﰈ)–٠ – (٤) + (٢
= ﰈ)١٦ – (٦) + (٠
= ٢؟ ٥وﺣﺪة طﻮل
= ٢؟ ٥وﺣﺪة طﻮل
Aﻧﻖ= ١
ﻧﻖ٢
Bاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٧ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺛﺎﻧﯿﺎً
٢
٢
٢
٢
س +ص –٢س ٤+ص–٠ =٣
س +ص ٦+س –٠ = ١١
ل = – ، ١ك = ، ٢ج = –٣
ل = ، ٣ك = ، ٠ج = –١١
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج
٢
٢
= ﰈ)–(٣–) – (٢) + (١
= ﰈ)(١١–) – (٠) + (٣
= ٢؟ ٢وﺣﺪة طﻮل
= ٢؟ ٥وﺣﺪة طﻮل
٢
٢
Aﻧﻖ} ١
ﻣﺜﺎل ٨
Bاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن
ﻧﻖ٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ھﻰ ﺻﻮرة اﻟﺪاﺋﺮة ٢
٢
س +ص – ١٢س ٦ +ص ٠ = ٢٠ + ﺑﺎﻻﻧﺘﻘﺎل )س ، ٢+ص – (٢
اﻟﺤﻞ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻌﻄﺎة : ٢
ل = –٦
٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ل +ك – ج = )– ٢٥ = ٢٠ – (٣) + (٦
ك=٣
٢
Aاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن
ج = ٢٠
Bﻧﻖَ = ٢٥
Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻌﻄﺎة ھﻮ م = )(٣– ، ٦
Bﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﺑﺎﻻﻧﺘﻘﺎل)س ، ٢+ص – (٢ھﻮمَ = )(٥– ،٨)=(٢ –٣– ،٢+ ٦ ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ )س – ) + (٨ص ٢٥ = (٥ +
لَ = – ٨
أو ﻧﻮﺟﺪھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺣﯿﺚ جَ =)– ٦٤ = ٢٥ – (٥) + (٨
كَ = ٥
٢
٢
٢
٢
Gس +ص – ١٦س ١٠ +ص ٠ = ٦٤ + أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
جَ = ٦٤
" - ١٠٨ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة -١ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻫﻰ -: ٢
٢
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص = ٠
أى أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻟﻤﻄﻠﻖ ) ج = (٠
أﻛﺘﺐ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (١٢–، ٥وﺗﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = ) (١٢–، ٥ –ل = ٥
Gل= –٥
– ك = –١٢
Gك = ١٢
٢
٢
س +ص ٥ – ٢+س ٢ +
ل = –٥ ك = ١٢ ج=٠
١٢ص= ٠ ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ١٠س ٢٤ +ص= ٠ -٢ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت -: ٢
٢
س +ص ٢+ل س +ج =٠
أى أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ص )ك=(٠
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٠ ،٣وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٥وﺣﺪة طﻮل ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = )(٠ ،٣ –ل = ٣
Gل= –٣
–ك = ٠ ٢
٢
ل = –٣ ك=٠
Gك= ٠ ٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )– ١٦– = (٥) – (٠) + (٣ ٢
٢
س +ص ٣ – ٢+س ٢ +
٠ ٢
ج = –١٦
ص –٠ = ١٦ ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٦س –٠ = ١٦
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٩ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
-٣ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات -: س +٢ص٢+٢ك ص +ج = ٠أى أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ س )ل = (٠ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤ – ،٠وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٣وﺣﺪة طﻮل ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = )(٤ – ،٠ –ل = ٠
Gل= ٠
–ك = – ٤
Gك= ٤ ٢
٢
٢
٢
ل=٠ ك=٤
٢
ج =٧
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )٧= (٣) – (٤) + (٠ ٢
٢
س +ص ٢+
٠
س ٤ ٢+ص ٠ = ٧+ ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ٨ +ص ٠ = ٧+ -٤ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت : ٢
٢
٢
وﯾﻜﻮن ﻧﻖ= |ك| ،ج = ل
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ل = ٠
٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٤–، ٣وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = ) (٤–، ٣ ل=–٣
Gل= – ، ٣ك=٤ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ٢
٢
٢
Gﻖ= |ك| = |٤ = | ٤ ﻧ ٢
٢
ك=٤ ج =٩
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )– ٩ = (٤) – (٤) + (٣ ٢
٢
Bس +ص ٣ – ٢+س ٢ + ٢
٤ص ٠ =٩ + ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٦س ٨ +ص ٠ = ٩+
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٠ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٩
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٦وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ).(٠، ٤
اﻟﺤﻞ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٠، ٤ Bاﻟﻤﺮﻛﺰ م = ) – ، ٤ك ( Aﻧﻖ= |ك| = ٦
ك =إ ٦
Bﺗﻮﺟﺪ داﺋﺮﺗﺎن ﻣﺮﻛﺰ إﺣﺪاھﻤﺎ ) ، (٦ ، ٤وﻣﺮﻛﺰ اﻷﺧﺮى ) (٦ – ، ٤ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻷوﻟﻰ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ) (٦ ، ٤ ل = –٤ ك = –٦
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )–١٦ = (٦) – (٦–) + (٤ ٢
٢
Bس +ص ٤– ٢+س ٢ +
ج =١٦
٢
– ٦ص ٠ =١٦ + ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٨س – ١٢ص ٠ = ١٦+ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ) : (٦ – ، ٤ ل = –٤ ك=٦ ج =١٦
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )–١٦ = (٦) – (٦) + (٤ ٢
٢
Bس +ص ٤– ٢+س ٢ + ٢
٦ص ٠ =١٦ + ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٨س ١٢+ص ٠ =١٦+ م ) (٦ ، ٤
م) (٦ – ، ٤
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١١ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
-٥ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات : ٢
٢
٢
وﯾﻜﻮن ﻧﻖ= |ل| ،ج = ك
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ك = ٠
٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ )– (٣–، ٢وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮراﻟﺼﺎدات Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = )–(٣–، ٢ B
– ل = –٢
Gل=٢
ل=٢
B
– ك = –٣
Gك=٣
ك=٣
Gﻖ= |ل| = |٢ = | ٢ ﻧ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ٢
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج =٩
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )٩ = (٢) – (٣) + (٢ Bس +ص ٢ ٢+س ٢ +
٣ص ٠ =٩ + ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ٤ +س ٦ +ص ٠ = ٩+ ﻣﺜﺎل ١٠
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٥وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٣، ٠
اﻟﺤﻞ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٣، ٠ Bاﻟﻤﺮﻛﺰ م = )– ل (٣، ) (٣ ، ٥م
م )–(٣ ، ٥
ﻧﻖ= |ل| = G ٥ل = إ ٥ Bﺗﻮﺟﺪ داﺋﺮﺗﺎن ﻣﺮﻛﺰ إﺣﺪاھﻤﺎ ) (٣ ، ٥ ،وﻣﺮﻛﺰ اﻷﺧﺮى )– (٣ ، ٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٢ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻷوﻟﻰ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ) (٣ ، ٥ ل = –٥
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )–٩ = (٥) – (٣–) + (٥
ك = –٣
٢
٢
Bس +ص ٥– ٢+س ٢ +
ج =٩
– ٣ص ٠ =٩ + ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص –١٠س – ٦ص ٠ = ٩+ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ )– : (٣ ، ٥ ل=٥
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )٩ = (٥) – (٣–) + (٥
ك = –٣ ج =٩
٢
٢
Bس +ص ٥ ٢+س ٢ +
– ٣ص ٠ =٩ + ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ١٠+س – ٦ص ٠ = ٩+
- ٦ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺲ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ : ٢
٢
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ج = ٠
وﯾﻜﻮن ﻧﻖ= |ل| = |ك| ٢
٢
ﺣﯿﺚ ج = ل = ك = ﻧﻖ
٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ )– (٤ ، ٤وﺗﻤﺲ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ اﻟﺴﯿﻨﻰ واﻟﺼﺎدى Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ و ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م = )– ل – ،ك( = )–(٤ ، ٤ – ل = –٤
Gل= ٤
–ك = ٤
Gك = –٤
ﻧﻖ= |–٤ = | ٤| = |٤ ٢
٤
م )–(٤ ،٤
٢
Gج = ﻧﻖ = ١٦
٢
Bس +ص ٤ ٢+س ٢ +
– ٤ص ٠ = ١٦ + ٢
–٤
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ٨ +س – ٨ص ٠ = ١٦+
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٣ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٦
وﺿﻊ داﺋﺮة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ داﺋﺮة أﺧﺮى :إذا ﻛﺎن م ،داﺋﺮة طﻮل ﻧﺼﻒ
ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ،١ن داﺋﺮة طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ٢ﺣﯿﺚ ﻧﻖ < ١ﻧﻖ: ٢ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن م ،ن ﻓــــــــــــــــــــــــــﺈن ) (١ﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
م ن<
ﻧﻖ + ١ﻧﻖ٢
) (٢ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج
م
) (٣ﻣﺘﻘﺎطﻌﺘﯿﻦ
ﻧﻖ – ١ﻧﻖ > ٢م ن
ن= ﻧﻖ + ١ﻧﻖ٢
) (٤ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ
م
ن= ﻧﻖ – ١ﻧﻖ٢
) (٥ﻣﺘﺪاﺧﻠﺘﯿﻦ
م
ن> ﻧﻖ –١ﻧﻖ٢
) (٦ﻣﺘﺤﺪﺗﻰ اﻟﻤﺮﻛﺰ
م ن= ﺻﻔﺮ
ﻣﺜﺎل ١١
٢
> ﻧﻖ + ١ﻧﻖ٢
٢
ھﻞ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن د : ١س +ص – ١٠س – ٨ص ٠ = ١٦+ ٢
٢
،د : ٢س +ص ١٤+س١٠ +ص – ٠ = ٢٦ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج ؟ ﻓـــﺴـﺮ إﺟﺎﺑﺘﻚ . ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻷوﻟﻰ د١ﺣﯿﺚ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م=)(٤ ، ٥
اﻟﺤﻞ
ل = – ، ٥ك = – ، ٤ج =١٦ ٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج = ﰈ)– ٥ = (١٦) – (٤–)+ (٥وﺣﺪة طﻮل ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ د٢ﺣﯿﺚ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ن=)–(٥– ، ٧ ل = ، ٧ك = ، ٥ج =–٢٦ ٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ٢ﰈ ل +ك – ج = ﰈ) ١٠ = (٢٦–) – (٥)+ (٧وﺣﺪة طﻮل أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٤ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻧﻖ + ١ﻧﻖ ١٥ = ١٠+ ٥ = ٢وﺣﺪة طﻮل ٢
اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰى اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ م ن= ﰈ) س –٢س ) + (١ص –٢ص(١ ٢
م= )(٤ ، ٥ ن = )–(٥– ، ٧
٢
م ن = ﰈ)– ١٥ = (٤ –٥–) + (٥ –٧وﺣﺪة طﻮل Aم ن = ﻧﻖ+ ١
ﻧﻖ٢
٢
Bاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٧ –١اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس . –٢اﻟﻤﻤﺎﺳﺎن اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺎن ﻣﻦ ﻧﮭﺎﯾﺘﻰ ﻗﻄﺮ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻣﺘﻮازﯾﺎن . – ٣طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )س ،١ص (١ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ : ــــــــــــــــــــــــــــــــــ | اس +ب ص +ج = ٠ھﻮ ل = | اس +١ب ص +١ج ٢ ٢ ﰈا +ب ﻣﺜﺎل ١٢ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = ) (٣، ٢واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س٤+ص ٠ = ٢+ ﻣﻤﺎس ﻟﮭﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ه
اﻟﺤﻞ
طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﯾﺴﺎوى طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﮭﺎ | اس +١ب ص +١ج | ا= ، ٣ب = ، ٤ج = ٢ م ه = ﻧﻖ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ٢ س ، ٢ =١ص٣ = ١ ﰈا +ب | | ٢ +٣ ٤+٢ ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٤وﺣﺪة طﻮل ٢ ٢ ﰈ٤+ ٣ ٢
م )(٣ ،٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ )س–)+ (٢ص–٤ = (٣ ٢
٢
) Gس–)+ (٢ص–١٦ = (٣
٢
ه ٣س٤+ص ٠ = ٢+
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٥ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٨ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔا gل اﻟﺬى ﯾﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺪاﺋﺮة م اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ﻓﺈذا ﻛﺎن م ا < ﻧﻖ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة م ﻓﺈذا ﻛﺎن م ا = ﻧﻖ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﻣﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة م ﻓﺈذا ﻛﺎن م ا > ﻧﻖ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة م ﻣﺜﺎل ١٣
٢
٢
ﺣﺪد وﺿﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ) :س) + (٣+ص – ٩ = (٤ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ھﻰ : ) ٣ (١س–٤ص ٠ = ٥+ )٦ (٢س– ٨ص ٠ = ٢٣+ ) ٣ (٣س–٤ص ٠ = ١٠+
اﻟﺤﻞ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻧﻖ= ؟ ٣ = ٩وﺣﺪة طﻮل.
ا= ، ٣ب = – ، ٤ج = ٥ س ، ٣– =١ص٤ = ١
ﻧﺤﺴﺐ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– (٤ ، ٣ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ أوﻻً طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٣ : ١س–٤ص ٠ = ٥+ | | ٥ + ٤ ٤– ٣– ٣ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = < ٤ﻧﻖ ٢ ٢ ﰈ)( ٤ –)+ (٣ Bاﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ١ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة ﺛﺎﻧﯿﺎً طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل٦ : ٢س– ٨ص ٠ =٢٣+ | ٢٣ + ٤ ٨– ٣– ٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ | = > ٢.٧ﻧﻖ ا= ،٦ب = – ، ٨ج =٢٣ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ٢ ٢ س ، ٣– =١ص٤ = ١ ﰈ)( ٨ –)+ (٦ Bاﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٢ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٦ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺛﺎﻟﺜﺎً طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل٣: ٣س–٤ص ٠ = ١٠+ | | ١٠ + ٤ ٤– ٣– ٣ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = = ٣ﻧﻖ ا= ، ٣ب = – ، ٤ج = ١٠ ٢ ٢ ﰈ)( ٤ –)+ (٣ س ، ٣– =١ص٤ = ١ Bاﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٣ﻣﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٩
إذا ﻛﺎن ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ = ن ﺿﻠﻌﺎ ،وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ
ن اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮءوﺳﮫ = ﻧﻖ ﻓﺈن :ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ = ٢
٢
ﻧﻖ ﺟﺎ
ْ ٣٦٠ ن
ﻣﺜﺎل ١٤
ﺻﻤﻢ ﻣﮭﻨﺪس ﻣﻌﻤﺎرى ﻣﺒﻨﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺛﻤﺎﻧﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺗﻤﺮ ﺑﺮؤوﺳﮫ ٢
٢
اﻟﺪاﺋﺮة س +ص –٤س ١٢ +ص – ٠ = ٦٠إﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺒﻨﻰ ﻷﻗﺮب وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ .
اﻟﺤﻞ ٢
٢
ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص –٤س ١٢ +ص – ٠ = ٦٠ ل = –٢ ك=٦ ج =– ٦٠
٢
٢
٢
٢
٢
Bﻧﻖ = ل +ك – ج = )–١٠٠ = (٦٠–) – (٦) + (٢ Aﻋﺪد أﺿﻼع ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺒﻨﻰ ن = ٨أﺿﻼع ن Bﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺒﻨﻰ = ﻧﻖ ﺟﺎ ٢ ٢
٨ = ٢
ْ ٣٦٠ ١٠٠ﺟﺎ ٨
ْ ٣٦٠ ن
= ٤٠٠ﺟﺎ ٢٠٠ = ٤٥؟ ٢وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٧ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ١٥
أوﺟﺪ ﻷﻗﺮب ﺳﻨﺘﯿﻤﺘﺮ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺷﻜﻞ ﺧﻤﺎﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺗﻤﺮ ٢
٢
ﺑﺮؤوﺳﮫ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص ٦+س – ١٢ص ٠ = ٥ +ﻋﻠﻤﺎ ً ﺑﺄن ﻛﻞ وﺣﺪة ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪاﺛﻰ ﺗﻤﺜﻞ ٥ﺳﻢ .
اﻟﺤﻞ ٢
٢
ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص ٦+س – ١٢ص ٠ = ٥ + ٢
ل=٣ ك=–٦ ج=٥
٢
٢
٢
٢
Bﻧﻖ = ل +ك – ج = )٤٠ = ٥ – (٦–) + (٣ ن Bﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺨﻤﺎﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ﻧﻖ ﺟﺎ ٢ ٢
٥ = ٢
ْ ٣٦٠ ن
ْ ٣٦٠ = ١٠٠ﺟﺎ ٩٥,١ = ٧٢وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ ٤٠ﺟﺎ ٥
Aﻛﻞ وﺣﺪة ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪاﺛﻰ ﺗﻤﺜﻞ ٥ﺳﻢ . ٢
Bاﻟﻮﺣﺪة اﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺪرھﺎ ) ٢٥ = (٥ﺳﻢ
٢
Bﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺨﻤﺎﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ٢٣٧٧,٥ =٢٥ ٩٥,١ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢
" - ١١٨ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٩ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: ٢
٢
) -١س + (٢+ص = ٩ﻣﻌﺎدﻟﺔ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (.... ، ....وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ...... ٢
٢
-٢ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص – ٦س ٨ +ص= ٠ھﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )(...... ،...... ٢
٢
-٣اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤، ٢ﺗﻘﻊ ............اﻟﺪاﺋﺮة ) س ) + (٢+ص –٢٥ = (٧ -٤ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ = ؟ ٢وﺣﺪة طﻮل ھﻰ ... ٢
٢
-٥طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص – ٠ = ١٨ﯾﺴﺎوى ..............وﺣﺪة طﻮل ٢
٢
-٦إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ٢س +ا ص +ب س ص – ٠ = ٥ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ﻓﺈن ا= ،...ب = .... ٢
٢
-٧اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ٣س ٢ +ص – ٦س ٨ +ص= ٠ﻻ ﺗﻌﺒﺮﻋﻦ داﺋﺮة ﻷن ............ ٢إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ -: ٢
٢
-١اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة ) س – + (٢ص = ١٣ھﻰ ..................... ا )(٣، ٢
ب )(٢– ، ٣
ج
ء ) (٣ ، ٤
) (٥ ، ٢
-٢ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٥– ، ٣وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى ٧وﺣﺪات ھﻰ ..... ٢ ٢ ا )س –) + (٣ص –٤٩ = (٥
ج
٢
٢
)س –) + (٣ص ٤٩ = (٥+ ٢
٢
٢
ب )س ) + (٣+ص –٤٩ = (٥ ٢
٢
ء )س ) + (٣+ص ٤٩ = (٥+
٢
-٣ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة :س +ص – ٦س ٨ +ص= ٠ھﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ..................... ا )(٤– ، ٣
ب ٢
)(٣– ، ٤
ج
)– (٤ ، ٣ء
)–(٣ ، ٤
٢
-٤طﻮل ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص – ٢س – ٦ص ٠ =١+ﯾﺴﺎوى .........وﺣﺪة طﻮل ا
٣
ب ٤
ج
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٥
ء
٦
" - ١١٩ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٣أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= ) (٢– ،٣وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى ٢
٧وﺣﺪة طﻮل .
٢
]) س – ) + ( ٣ص [٤٩ = (٢ +
================================================== ٤أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة إذا ﻛﺎن اب ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮭﺎ ﺣﯿﺚ ا = ) ، ( ٤–، ٦ب =)(٢، ٠ ٢
٢
]) س – ) + ( ٣ص [١٨ = (١ +
================================================== ٥ﺑﯿﻦ ﻣﻮاﻗﻊ اﻟﻨﻘﺎط ا = )– ، (٣ ،١ب = ) ، (٥ – ، ٠ج = ) (٤ ، ٢ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ٢
٢
د ) :س ) + (٢ +ص –٢٥ = (٧
]ا داﺧﻞ اﻟﺪاﺋﺮة ،ب ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة ،ج ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة[
================================================== ٦أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻰ اﻟﻤﺮﻛﺰ وطﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺪواﺋﺮ اﻷﺗﯿﺔ : ٢
٢
]م = ) ، (٠ ، ٠ﻧﻖ= ٣؟ ٣وﺣﺪة طﻮل[
)ا( س +ص = ٢٧ ٢
٢
)ب( ) س – + ( ٢ص = ١٦ ٢
]م = ) ، ( ٠ ، ٢ﻧﻖ= ٤وﺣﺪة طﻮل[
٢
)ج( )س ) + (٣+ص – ٤٩ = (٥
]م = )– ، (٥ ، ٣ﻧﻖ= ٧وﺣﺪة طﻮل[
)ء( س +ص – ٤س ٦ +ص–٠= ١٢
]م = ) ، (٣– ،٢ﻧﻖ= ٥وﺣﺪة طﻮل[
)ه( س +ص ٢ +س = ٨
]م = )– ، (٠، ١ﻧﻖ= ٣وﺣﺪة طﻮل[
٢
٢
٢
٢
٢
٢
)و( س +ص – ٦س ١٠ +ص =٠
]م = ) ، (٥– ، ٣ﻧﻖ= ؟ ٣٤وﺣﺪة طﻮل[
================================================== ٧أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= )– (٥ ،٢وﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ٢
٢
ا)]. (٢ ، ٣إرﺷﺎد :إﺣﺴﺐ ﻧﻖ= م ا وﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻰ س +ص ٤ +س – ١٠ص–[٠= ٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٢٠ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٨ﺑﯿﻦ أى ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻻﺗﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة واﻳﮫﺎ ﻻ ﻳﻤﺜﻞ داﺋﺮةﻣﻊ ذﻛﺮ اﻟﺴﺒﺐ . ٢
٢
) (١س ٣ +ص – ٢س ٤ +ص٠ = ٥+
]ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
)٢ (٢س – س ص ٢+ص ٥+س – ص– ٠ = ٢
]ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
)٢ (٣س ٢ +ص – ٦س ٤ +ص٠ = ٩+
]ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
٢
٢ ٢
٢
٢
٢
) (٤س +ص – ٢س ٤ +ص –٠ = ٤
]ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
================================================== ٩أي ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن ؟ ٢
٢
٢
٢
٢
٢
)ا( س +ص ١٤ +ص = ، ١س +ص ١٠ +س – ٠= ٢٥ )ب( س +ص – ٢س ٦ +ص ٠ = ٣ +
،
٢
]ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن[
٢
س +ص – ٠=٤٩
]ﻏﯿﺮﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن[
================================================== ١٠
أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤ ، ٣وﺗﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ . ٢
٢
]س +ص – ٦س – ٨ص =[٠
================================================== ١١
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٥، ٤وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ٢
٢
]س +ص – ٨س – ١٠ص [٠= ١٦ +
================================================== ١٢أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٣وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ ٢
٢
٢
٢
اﻟﻨﻘﻄﺔ )] .(٠، ٥س +ص – ١٠س – ٦ص٠= ٢٥+أو س +ص – ١٠س ٦ +ص[٠= ٢٥+
================================================== ١٣
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٤–، ٢وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮراﻟﺼﺎدات ٢
٢
]س +ص – ٤س ٨ +ص [٠= ١٦ + أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٢١ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
١٤
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٤وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻋﻨﺪ
اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٣، ٠
٢
٢
٢
٢
]س +ص – ٨س – ٦ص٠= ٩+أو س +ص ٨+س – ٦ص[٠= ٩+
================================================== ١٥أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٥– ، ٥وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت. ٢ ٢ ]س +ص – ١٠س ١٠+ص [٠ =٢٥+
================================================== ١٦
٢
٢
ﺣﺪد ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪاﺋﺮة د) : ١س –) + (٥ص ٤ = (٢+ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ٢
٢
د): ٢س ) + (٧+ص –١ = (٣
]ﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺗﺎن[
================================================== ٢
٢
٢
٢
١٧اﺛﺒﺖ أن اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ )س – ١ = (٢+ص ،س +ص – ٢س – ٨ص–٠ = ١٩ ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ . ================================================== ١٨
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = ) (٣، ٢واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٥س١٢+ص –٠ =٧
ﻣﻤﺎس ﻟﮭﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ه .
٢
٢
])س – ) + (٢ص – [٩ = (٣
================================================== ١٩ﺣﺪد وﺿﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٥ :س– ١٢ص ٠ =١٣+ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ٢
٢
س +ص – ٦س ٤ +ص–٠ = ١٢
]ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة[
================================================== ٢٠أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻋﺪد أﺿﻼﻋﮫ ١٢ﺿﻠﻌﺎ وﺗﻤﺮ ﺑﺮؤوﺳﮫ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة ٢
٢
س +ص – . ٠ =١٦
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ٤٨وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ[
" - ١٢٢ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"