Investigacion o final by Elyana Paguay

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 24 de Abril de 2015 TAREA NO 04  Realizar tres ejercicios de minimización. Un mecánico necesita 10 cajas de bujías, 8 de aceite, y 5 de filtros, dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo envían de la siguiente manera: El mayorista A envía 6 cajas de bujías, 4 de aceite, y 2 de filtros. El mayorista B envía 4 cajas de bujías, 2 de aceite y 4 de filtros. Si se sabe que el mayorista A se encuentra a 180 Km de distancia, y el mayorista B a 220 Km. Determine cuanto habrá que comprar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo, dinero y distancia. FO= (min) Z= 180x + 200y  6x + 4y ≥ 10  4x + 2y ≥ 8  2x + 4y ≥ 5 X,Y ≥ 0

6x + 4y = 10

P (0,0)

2,5

6(0) + 4(0) ≥ 10

1,7

0 ≥ 10 Falso

2x + 4y = 5

P (0,0)

1,2

2(0) + 4(0) ≥ 5

2,5

4x + 2y = 8 P (0,0) 4(0) + 2(0) ≥ 8 0 ≥ 8 Falso

0 ≥ 5 Falso

A B C D

X 2,5 1,8 1,3 0

4x + 2y = 8 2x + 4y = 5 (-2)

Y 0 0,33 0,6 4

Z 450 390 354 800

4x + 2y = 8 - 4x – 8y = - 10 -6y = -2 Y = 0,33

4x + 2(0,33) = 8 4x = 7,34 x = 1,8

6x + 4y = 10 2x + 4y = 5 (-3)

6x + 4y = 10

6x + 2(0,6) = 10

- 6x – 12y = - 15

6x = 7,6

-8y = -5

x = 1,3

Y= 0,6 Solución óptima: z = 354 Valores óptimos: x = 1,3

y = 0,6

Un dueño de un cyber necesita 14 cajas de parlantes, 8 de mouse, y 4 de flash, dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo envían de la siguiente manera: El mayorista A envía 8 cajas de parlantes, 5 de mouse, y 2 de flash. El mayorista B envía 6 cajas de parlantes, 4 de mouse y 1 de flash. Si se sabe que el mayorista A se encuentra a 130 Km de distancia, y el mayorista B a 180 Km. Determine cuanto habrá que comprar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo, dinero y distancia. FO= (min) Z= 130x + 180y  8x + 6y ≥ 14  3x + 4y ≥ 8  2x + 1y ≥ 4 X,Y ≥ 0

8x + 6y = 14

P (0,0)

2,3

8(0) + 6(0) ≥ 14

1,8

0 ≥ 14 Falso

2,7

2x + y = 4

P (0,0)

2(0) + (0) ≥ 4

3x + 4y = 8 P (0,0) 3(0) + 4(0) ≥ 8 0 ≥ 8 Falso

0 ≥ 4 Falso

A B C D

X 2,7 1,6 0,5 0

3x + 4y = 8 2x + y = 4 (-4)

Y 0 0,8 1,7 4

Z 351 352 371 720

3x + 4y = 8 - 8x – 4y = - 16 -5x = - 8 X = 1,6

3(1,6) + 2y = 8 4y = 7,34 y = 0,8

8x + 6y = 14

(-4)

-32x - 24y = - 56

8(0,5) + 6y = 14

3x + 4y = 8

(6)

18x + 24y = 48

6y = 10

-14x = - 8

y = 1,7

X = 0,5 Solución óptima: z = 351 Valores óptimos: x = 2,7

y=0

En una librería necesitan 8 cajas de cuadernos, 5 de esferos, y 7 de borradores, dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo envían de la siguiente manera: El mayorista A envía 6 cajas de cuadernos, 4 de esferos, y 3 de borradores. El mayorista B envía 5 cajas de cuadernos, 2 de esferos y 5 de borradores. Si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia, y el mayorista B a 125 Km. Determine cuanto habrá que comprar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo, dinero y distancia. FO= (min) Z= 150x + 125y  6x + 5y ≥ 8  4x + 2y ≥ 5  3x + 5y ≥ 7 X,Y ≥ 0

6x + 5y = 8

P (0,0)

1,6

6(0) + 5(0) ≥ 8

1,3

0 ≥ 8 Falso

2,5

1,2

3x + 5y = 7

P (0,0)

1,4

3(0) + 5(0) ≥ 7

2,3

4x + 2y = 5 P (0,0) 4(0) + 2(0) ≥ 5 0 ≥ 5 Falso

0 ≥ 7 Falso

A B C D

X 2,3 1,1 0,8 0

Y 0 0,3 0,9 2,5

Z 345 202,5 232,5 312,5

6x + 5y = 8 (-2)

-12x – 10y = -16

6(1,1) + 5y = 8

4x + 2y = 5 (5)

20x + 10y = 25

5y = 1,4

8x = 9 X = 1,1

y = 0,3

4x + 2y = 5

(5)

3x + 5y = 7

(-2)

20x + 10y = 25 -6x - 10y = - 14 14x = 11 X = 0,8

Soluci贸n 贸ptima: z = 202,50 Valores 贸ptimos: x = 1,1

y = 0,3

4(0,8) + 2y = 5 2y = 1,8 y = 0,9

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor SEMESTRE: Quinto “A” FECHA: 19 de Mayo de 2014 TEMA: Corrección de la Prueba Hallar el valor óptimo, la solución óptima. Las restricciones activas. Las restricciones inactivas, la holgura o el excedente de los siguientes problemas. 1.- Una empresa elabora dos tipos de productos agrícolas, el primero de tipo a y el segundo de tipo b. El primero requiere de 4000 gramos de nitrato de amonio, 4000 gramos de sulfato de amonio y 3000 gramos de azufre. El segundo requiere de 2000 gr de nitrato de amonio, 6000 gr de sulfato de amonio y 2000 gr de azufre. El negocio dispone de 8000 gr de nitrato de amonio, 12000 gr de sulfato de amonio y 8000 gr de azufre halle la combinación óptima que maximice el beneficio si la empresa desea ganar $15 en el primero y $17 en el segundo A

NITRATO

4000

2000

8000

SULFATO

4000

6000

12000

AZUFRE

3000

2000

8000

$15

$17

UTILIDAD

MAX Z= 15X+17Y 4000X+2000Y ≤ 8000 4000X+6000Y ≤ 12000 3000X+2000Y ≤ 8000

DISPONIBILIDAD

4000X+2000Y= 8000

X 0 2

4000X+6000Y= 12000

Y 4 0

X 0 3

P (0:0) 0 ≤ 8000 VERDADERO P (0;0) 0 ≤ 12000 VERDADERO

P (0;0) 0 ≤ 8000 VERDADERO

ARCO CONVEXO

A B C D

X 2 1.5 0 0

Y 0 1 2 0

Z 30 39.5 34 0

Y 2 0

3000X+2000Y= 8000

X 0 7

Y 4 0

4000X+2000Y=8000 4000X+6000Y=12000

(-1) -4000X-2000Y= -8000 4000X+6000Y= 12000 4000Y= 4000 Y=1

SOLUCION ÓPTIMA Z=39,5 VALORES OPTIMOS X= 1.5 Y=1 CALCULO DE LA HOLGURA 4000X+2000Y+h1 ≤ 8000 6500+h3 ≤ 8000 H1 ≤ 0

4000X+6000Y+h2 ≤ 12000 12000+h2 ≤ 12000 H2 ≤ 0 3000X+2000Y +h3 ≤ 8000 6500+h3 ≤ 8000 H3 ≤ 1500

Disponibilidad 8000 12000 8000

1 2 3

SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 39,5 VALORES OPTIMOS X= 1.5 Y= 1 HOLGURA H1=0 H2=0 H3= 1500

RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2 RESTRICCIONES INACTIVAS: 3 2.- Z=600E+1000F 100E+60F ≤ 21000 4000E+800F ≤ 680 000 E+F ≤ 290 12E +30F ≤ 6000 100E+60F= 21 000 X Y 0 350 210 0 0 ≤ 21000 VERDADERO 4000E + 800F ≤ 680 000 X 0 170

Y 850 0

Ocupación 8000 12000 6500

Holgura 0 0 1500

0 ≤ 680 000 VERDADERO E+F=290 x 0 290

y 290 0

0 ≤ 290 VERDADERO

12E+30F= 6000 X Y 0 200 500 0 0 ≤ 6000 VERDADERO

ARCO CONVEXO

A B C D

X 170 150 0 0

Y 0 100 200 0

Z 10200 190000 200000 0

100E+ 60F= 21000

(-40) -4000E-2400F= 840000

4000E+ 800F= 680 000

4000E+800F= 680000 -1600F=-16000 F= 100

SOLUCION ÓPTIMA Z= 200000 VALORES OPTIMOS E=0 F= 200 CALCULO DE LA HOLGURA 100E+60F+h1≤ 21000 H1 ≤ 9000 4000E+800F+h2 ≤ 680 000 H2 ≤ 520000 E+F+h3≤ 290 H3 ≤ 90 12E +30F+h4 ≤ 6000 H4 ≤ 0

1 2 3 4

Disponibilidad 21000 680 000 290 6000

SOLUCION ÓPTIMA Z= 20000 VALORES OPTIMOS E= 0 F= 200

Ocupación 12000 110000 200 6000

Holgura 9000 52000 90 0

100E+60(100)=21000 100E= 15000 E= 150

HOLGURA H1= 9000

H2= 52000

H3= 90

H4=0

RESTRICCIONES ACTIVAS: 4 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1 2 3 2.- Max

Z=600E+1000F 100E+60F≤21000

s.a

4000E+60F≤680000 E+ F≤290 12E+ 30F≤6000 E,F≥0 Solución Optima Z=20000 Valores Óptimos E= 0 F=200 Cálculo de Holgura

Cálculo de Holgura

10000+60F+h1≤21000

4000e+ 800f+h2≤680000

12000+h1≤21000

160000+h2≤680000

H1≤9000

h2≤520000

Cálculo de Holgura

E+F+h3≤296

12E+30F+h4≤6000

H3≤90

1 2 290 1000

h4≤0

X 21000 680000 290 6000

Y 12000 160000 200 6000

Disponibilidad 9000 52000 90 0

Solución Optima Z=20000 Valores Óptimos E= 0 F=200 H1=9000

h2=52000 h3=90

h4=0

Restricciones Activas= 4 Restricciones Inactivas= 1, 2,3

3.- Min

Z=4A +5B 4A +4B≥20

s.a

6A + 3B≥24 8A + 5B≥40 A + B ≥0 Min Z= 4ª + 5B 4A +4B≥20

A 0 5

0≥20 F

6A + 3B≥24

8A + 5B≥40

0≥14 F

0≥40 V

Arco Convexo

A 4 3 0

A B C

B 0 2 5

Z 16 22 25

(-2) 4A+4B=20 (4) 6A+3B=24 -12A -12B=-60 24A+12B=96 12A

= 36 A= 3

*4(3)+ 4B=20 4B=8 B= 2

Solución Optima Z=16 Valores Óptimos A= 4 B=0 Cálculo de Holgura

Cálculo de Holgura

4A+4B+h1≤20

6A+ 3B+h2≤24

16+h1≤20

24+h2≤24

H1≤4

h2≤0

Cálculo de Holgura H3≤8

Disp. 20 24 40

1 2 3

Ocupación 16 24 32

Holgura 4 0 8

Solución Optima Z=16 Valores Óptimos A= 4 B=0 H1=4

h2=0 h3=8

Restricciones Activas= 2 Restricciones Inactivas= 1,3

4.- Max Z= 5000D + 4000E D+ E≥5

s.a

D- 3E≤0 30D+ 10E≥135 D+ E≥ 0

Max Z= 5000D + 4000E D+ E≥5 A 0 5

0≥5 F

D- 3E≤0

0 0

-5≥0 V

30D+ 10E≥135 A

13,5

4,5

0≥135 F

Arco convexo

A B C

D 5 4,25 0

E 0 0,75 13,5

Z 25000 24250 54000

(-10) -10D-10B=-50 (30) 30D+10E= 135 =85 D= 4,25

Solución Optima Z=54000 Valores Óptimos D= 0 E=13,5

Cálculo de Holgura

Cálculo de Excedente

D-3E+h1≤0

D+E≥5+E1

-40,5+H1≤0

13,5-5= E1

H1≤40,5

E1=8,5

Cálculo de Excedente 30D+10E≥135+E2

E2≥0

Disp. 5 0 155

1 2 3

Ocupación 13,5 40,5 135

Holgura 8,5 40,5 0

Solución Optima Z=54000 Valores Óptimos D= 0 E=13,5 E1=8,5

E2=0

h1=40,5

Restricciones Activas= 3 Restricciones Inactivas= 1 5.- Una Compañía posee dos minas: la Mina A Produce cada día 1 tonelada de hiero de alta calidad e Toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada dia dos toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad sabiendo que el coste diario de la operación es de 200 euros en cada mina ¿Cuantos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?

Alta Media Baja Min Z= 200x +200y Restricciones X+2y≥80 3x+2y≥160 5x+2y≥200 X,Y≥0

A 1 3 5

B 2 2 2

Disponibilidad 80 160 200

Cuadro convexo X 80 40 20 0

A B C D

Y 0 20 50 100

Z 16000 12000 14000 20000

(-x) -x—2y=--80 3x+2y= 160 2x

=80 X= 40

40+2y=80 2y=40 Y=20 Solución Optima Z=1200 Valores Óptimos x= 40 y=20 Cálculo de Holgura

Cálculo de Holgura

X+2y+h1≥80

3x+2y+h1≥160

80+H1≥80

100+h1= 160

H1≥0

h1=0

Cálculo de Excedente 5x+2y≥135+E1 E1=40 Solución Optima Z=12000 Valores Óptimos x= 40 y=20 h1=0

h2=0

e1=40

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor SEMESTRE: Quinto “A” FECHA: 19 de Mayo de 2014 TEMA: Corrección de la Prueba Hallar el valor óptimo, la solución óptima. Las restricciones activas. Las restricciones inactivas, la holgura o el excedente de los siguientes problemas. 1. Una fábrica de pintura produce pinturas para interiores y exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2.Por cada tonelada de pintura de interiores se requiere 4 toneladas de M1 y 2 toneladas de M2. Y para cada tonelada de pintura para exteriores se requiere 6 toneladas de M1 y una de M2.Se dispone de 24 toneladas de M1 y 6 de M2 diariamente. La utilidad que arroga una tonelada de pintura para exteriores es de 5000 y una tonelada para interiores es de 4000.La demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de una tonelada. La compañía quiere determinar la mezcla de producción óptima de pinturas para interiores y exteriores maximice las utilidades diarias y satisfaga las limitaciones.

Datos

INT

EXT

DISPONIBILIDAD

$4000

$5000

Max Z=4000x+5000y Restricciones 4x+6y≤24 2x+y≤6 X≤2

Y ≤3 *4x+6y≤24 X

P (0,0)

0≤24 Verdadero

*2x+y≤6 X

P (0,0)

0≤6 Verdadero

* X≤2 P (0,0) 0≤2 Verdadero *Y ≤3 P (0,0) 0≤3 Verdadero

Z=4000x+5000y X

12000

18000

10000

2x + y =6 Y= 2 (-1)

2x+y=6 -y=-2 2x= 4 X= 2

Valores Óptimos X= 2 Y=2 Holgura M1 4x+6y+h1≤24 8+12+h1≤4 H1=4 Holgura de M2 2x+y+h2≤6 4+2+h2≤6 H2=0 Holgura de 3 y+h3≤2 2+h3≤2 H3≤0

Holgura de 4 Disp.

Ocup.

Holg.

x+h4≤3 h≤3 H4≤1

Solución optima Z= 18000 Valores Óptimos X= 2 Y= 2 H1= 4 H2= 0 H3= 0 H4= 1 Restricciones Activas: 3,2 Restricciones Inactivas: 1,4

2.-Max Z= 3A+4B Restricciones 2a+4b≤16 2a+4b≤24 (-1)+6a+3b≥+48 *2a+4b=16

P (0,0)

-8

0≤16 Verdadero

*2a+4b=24 A

P (0,0)

0≤24 Verdadero

* (-1)+6a+3b=+48 A

P (0,0)

0≥48 Falso

Z= 3A+4B A

6.6

2.7

30.6

2A+4B =24

(-3) -6A-12B=-72

2A+4(2.7)24

6A+3B= 48

6A+3B=48

2A=13.2

-9B = -24

A=6.6

B= 2.7 Solución Óptima Z=30.6 Valores Óptimos A= 6.6 B=2.7 Calculo de la holgura -2A+4B+h1≤16 h1≤16+.24 H1=13.6 Calculo de la holgura 2A+4B+h2≤24 H2≤24-24 H2=0 Calculo de la holgura -6ª+3B+h3≤48 Disp.

Ocup.

Holg.

2.4

13.6

47.7

0.3

H3≤48-47.7 H3≤0.3

Solución optimo.Z= 30.6 Valores Óptimos.A= 6.6

B= 13.6 H1= 13.6 H2= 0 H3= 0.3 Restricciones Activas: 2,3 Restricciones Inactivas: 1

Max S.A.

13.5

4.5

P(0,0)

P(1,2)

P(0,0)

0≥5 F

-5≤0 V

0≥135 F

ARCO CONVEXO D

4.5

22500

4.25

0.75

24250

20000

SOLUCIÓN ÓPTIMA VALORES ÓPTIMOS

CÁLCULO DE EXEDENTE

CÁLCULO DE HOLGURA

DISP 1

OCUP

EXEDENTE

9000

8995

135

190000

189865

2 3

SOLUCIÓN ÓPTIMA VALORES ÓPTIMOS

REST. ACTIVAS:

1, 3

REST. INACTIVAS: 4. Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo tiene 68% de carne y 32% de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor del 25%?

DISP.

Carne

0.8

0.68 1

Grasa

0.2

0.32 1

Util.

0.8

MIN Z= 0.80X+0.60Y RESTRICCIONES 0.80X+0.68Y ≥ 1 0.20X+0.32Y ≥ 1

0.6

0.20X+0.32Y ≤ 0.25 X,Y ≥0 X 0 1.25

Y 0.78 0

0.80X+0.68Y=1

X Y 0 1.47 1.25 0

0.20X+0.32Y=1 X Y 0 3.13 5 0 0.25X+0.32Y0=0.25

Este ejercicio no tiene solución

Min S.A.

P(0,0)

0 ≥ 8 falso

0 ≥ 12 falso

0≥2F

0 ≤ 10 V

ARCO CONVEXO F

(-2)

(-1)

SOLUCIÓN ÓPTIMA: VALORES ÓPTIMOS:

CÁLCULO DE HOLGURA

DISP

EXEDENTE

SOLUCIÓN ÓPTIMA: VALORES ÓPTIMOS:

REST. ACTIVAS:

OCUP

REST. INACTIVAS: 1,2,4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 26 de Mayo de 2015 TAREA NO 05  Realizar 3 ejercicios Dual. Max. Z= 6X1+ 8X2 Restricciones 2X1+ 5X2 ≤ 10 4X1+ 7X2 ≤ 20 6X1+ 2X2 ≤ 18 X1, X2 ≤ 0 2X1+ 5X2 = 10 X 0 5

4X1+7X2 = 20

Y 2 0

X 0 3

0≤10 Verdadero

Y 2,86 0 0≤20 Verdadero

6X1+ 2X2 = 18 X Y 0 9 3 0 0≤18 Verdadero

A B C D

X1 3 2,69 0 0

X2 0 0,92 2 0

Z 18 23,5 10 0

2X1+ 5X2 = 10 (-2)

-4X1- 10X2 = -20

6X1+ 2X2 = 18 (5)

30X1+ 10X2 = 90 26X1

= 70 X1= 2.69

X2= 0,92

Solución óptima: Z= 23,5 Valores óptimos: X1= 2,69

Calculo de la holgura 2X1+ 5X2 + h1 ≤ 10 H1≤ 0 H1= 0 H2= 2,8 H3= 0

X2= 0,92

Cálculo de holgura 4X1+ 7X2+ h2 ≤ 20 h2≤ 2,8

Cálculo de holgura 6X1+ 2X2+h3 ≤ 18 h3≤0

DUAL Min: Z= 10Y1+ 20Y2 + 18Y3 Restricciones 2Y1 + 4Y2 + 6Y3 ≥ 6 5Y1 + 7Y2 + 2Y3 ≥ 8 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1=

Y2= 0

2Y1 + 6Y3 = 6 5Y1 + 2Y3 = 8 (-3)

Y3=

2Y1 + 6Y3 = 6 -15 Y1 - 6Y3 = -24 13Y1

= -18 Y1 = 1,38

Y2 = 0,54

Z= 10 (1,38) + 18 (0,54) = 23,52

 Max. Z= 5X1+ 8X2 Restricciones 3X1+ 6X2 ≤ 12 7X1+ 2X2 ≤ 15 X1+ 3X2 ≤ 8 X1, X2 ≤ 0 3X1+ 6X2 = 12

7X1+2X2 = 15

X 0 4

Y 2 0

X 0 2,14

0≤12 Verdadero

Y 7,5 0

0≤15 Verdadero

X1+ 3X2 = 8 X Y 0 2,67 8 0 0≤ 8 Verdadero

A B C D

X1 2,14 2 0 0

X2 0 1 2 0

Z 10,7 18 16 0

Solución óptima: Z= 18 Valores óptimos: X1= 2

Calculo de la holgura 3X1+ 6X2 + h1 ≤ 12 H1≤ 0

X2= 1

Cálculo de excedente 7X1+ 2X2 ≤ 15 + e2 e2≤ 2,8

Cálculo de holgura X1+ 3X2+h3 ≤ 8 h3≤0

H1= 0 H2= 1 H3= 3

DUAL Min: Z= 12Y1+ 15Y2 + 8Y3 Restricciones 3Y1 + 7Y2 + Y3 ≥ 5 6Y1 + 2Y2 + 3Y3 ≥ 8 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1=

Y2= 0

Y3= 0

3Y1=5 Y1 = 1,67 Z= 20  Max. Z= 10X1+ 7X2 Restricciones 10X1+ 8X2 ≤ 20 6X1+ 3X2 ≤ 10 5X1+ X2 ≤ 6 X1, X2≤ 0 10X1+ 8X2 = 20

6X1+3X2 = 10

X 0 2

Y 2,5 0

X 0 1,67

0≤10 Verdadero

Y 3,33 0

0≤20 Verdadero

5X1+ X2 = 6 X Y 0 6 1,2 0 0≤6 Verdadero

A B C D

X1 1,2 1 0 0

X2 0 1 2,5 0

Z 12 17 17,5 0

Solución óptima: Z= 17,5 Valores óptimos: X1= 0

X2= 2,5

Calculo de la holgura

Cálculo de excedente

Cálculo de holgura

10X1+ 8X2 + h1 ≤ 20

6X1+ 3X2 + h2 ≤ 10

5X1+ X2+h3 ≤ 6

H1≤ 0

h2≤ 2,5

h3≤ 3,5

H1= 0 H2= 2,5 H3= 3,5

DUAL Min: Z= 20Y1+ 10Y2 + 6Y3 Restricciones 10Y1 + 6Y2 + 5Y3 ≥ 10 8Y1 + 3Y2 + Y3 ≥ 7 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1= Y1=1 Z= 20

Y2= 0

Y3= 0

3x + 5y + 2z = 10 4x + 3y + 7z = 12 5x + 2y + 3z = 5

3 4 5

0 1

5 3 2

2 7 3

10 12 5

(/3)

1 0 0

5/3 -11/3 -19/3

2/3 13/3 -1/3

10/3 -4/3 -35/3

(-4) (-3/11)

1 0 0

0 1 0

29/11 -13/11 -86/11

30/11 4/11 -103/11

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-2727/946 2723/946 183/86

-29/11 29/11

-5307/946 30/11

0 0

(-5)

(-5/3) (86/11)

(13/11)

(19/3)

-4 4

-20/3 3

-8/3 7

-40/3 12

-5 5

-25/3 2

-10/3 -50/3 3 5

0 1

-5/3 5/3

65/33 -20/33 2/3 10/3

0 0

19/3 -247/33 76/33 -19/3 -1/3 -35/3

0 0

0 1

13/11 -13/11

2379/946 4/11

Comprobaci贸n: 3(-2727/946) + 5(2723/946) + 2(186/86) = 10 10= 10

Segundo ejercicio

5x + 4y + 2z = 15 2x + 7y + 3z = 14 4x + 3y + 6z = 18

5 2 4

0 1

4 7 3

2 3 6

1 0 0

4/5 -27/5 -1/5

2/5 11/5 22/5

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0

15 14 18

98/135 -11/27 583/135

0 0 1

-98/135 98/135

(/5)

3 8 16

(-2) (-27/5)

113/27 -40/27 424/27

17/11 0 40/11

-784/297 113/27

Comprobaci贸n: 5(17/11) + 4(0) + 2(40/11) = 15 15= 15

(-4)

(-4/5)

(-98/135)

(1/5)

(11/27)

-2 2

-8/5 7

-4/5 3

-6 14

-4 4

-16/5 3

-8/5 6

-12 18

0 1

-4/5 4/5

44/135 32/27 2/5 3

0 0

1/5 -1/5

-11/135 -8/27 22/5 16

0 0

0 1

11/27 -11/27

40/27 -40/27

Tercer ejercicio

2x + 3y + 4z = 5 4x + y + 5z = 6 3x - 2y + 4z = 7

2 4 3

0 1

3 1 -2

4 5 4

1 0 0

3/2 -5 -13/2

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0

5 6 7

2 -3 -2

11/10 3/5 19/10

(/2)

5/2 -4 -1/2

(-4) (/-5)

13/10 4/5 47/10

0 0 1

-27/19 -13/19 47/19

-11/10 11/10

-517/190 13/10

Comprobaci贸n: 2(-27/19) + 3(-13/19) + 4(47/19) = 5 5=5

(-3)

(-3/2) (19/10)

(-11/10)

(13/2)

(-3/5)

-4 4

-6 1

-8 5

-10 6

-3 3

-9/2 -2

-6 4

-15/2 7

0 1

-3/2 3/2

-9/10 2

-6/5 5/2

0 0

13/2 39/10 -13/2 -2

26/5 -1/2

0 0

0 1

-141/95 4/5

-3/5 3/5

Cuarto ejercicio

6x + 3y + 2z = 12 4x + 5y + 1z = 8 3x + 2y + 5z = 10

6 4 3

0 1

3 5 2

2 1 5

12 8 10

(/6)

1 0 0

1/2 3 1/2

1/3 -1/3 4

1 0 0

0 1 0

7/18 -1/9 73/18

2 0 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

118/73 8/73 72/73

0 0

-7/18 7/18

2 0 4

(-4) (/3)

-28/73 2

Comprobaci贸n: 6(118/73) + 3(8/73) + 2(72/73) = 12 12= 12

(-3)

(-1/2) (173/18)

(-7/18)

(-1/2)

(1/9)

-4 4

-2 5

-4/3 1

-8 8

-3 3

-3/2 2

-1 5

-6 10

0 1

-1/2 1/2

1/18 1/3

0 2

0 0

-1/2 1/2

1/18 4

76/33 4

0 0

0 1

1/9 -1/9

8/73 0

1.-

3A + 4B + 2C - D = 10 2A + 3B + 4C + 2D = 14 5A + 2B - 3C + 4D = 8 4A + 6B – 2C + 2D = 6

3 2 5 4

4 3 2 6

2 4 -3 -2

-1 2 4 2

10 14 8 6

(÷3)

((-2) f1 + f2= f2 ) ((-5) f1 + f3= f3 ) ((-4) f1 + f4= f4 )

(÷ )

0 0

-10

-11

-26

((

0 0

31 -10

43 -2

94 -22

(÷31)

) f2 + f1=f1) (( ) f2 + f3= f3) ((

) f2 + f4= f4)

((10) f3 + f1= f1 ) ((-8) f3 + f2= f2 ) ((10) f3 + f4= f4 )

(÷

((

)

) f4 + f1=f1) (( ) f4 + f2= f2) ((

Comprobación: 3(

) + 4(

) + 2(

) – 1(

2.-

3A + 3B - 4C + D = 10 2A + 3B - 2C + 3D = 12 2A + 3B + 3C - 2D = 8 4A + 4B + 5C - 4D = 5

(÷ 3)

)= 10

10 = 10

) f4 + f3= f3)

0 0

((-2) f1 + f2= f2 ) ((-2) f1 + f3= f3 ) ((-4) f1 + f4= f4 )

-2

-2 ((-1) f2 + f1=f1) ((-1) f2 + f3= f3) ((-1) f2 + f4= f4)

-5

-4

(รท5)

-4

-1

((2) f3 + f1= f1 ) ((

(รท 2 )

) + 3(

) + -4( ) + 1(

) f3 + f4= f4 )

((4) f4 + f1=f1) ((-3) f4 + f2= f2) ((1) f4 + f3= f3)

Comprobaciรณn: 3(

) f3 + f2= f2 ) ((

)= 10

10 = 10

3.-

2A + 3B + 4C - 2D = 8

(รท 2)

3A - 2B + 3C + 4D = 10 4A + 5B - 2C + D = 6 2A - 3B + 2C - 3D = 4

-1

((-3) f1 + f2= f2 ) ((-4) f1 + f3= f3 ) ((-2) f1 + f4= f4 )

-3

-2

(รท

-1

-10

-6

-2

-1

-4

-8

)

-1 ((

) f2 + f1=f1) ((1) f2 + f3= f3) ((6) f2 + f4= f4)

(รท -8)

((1) f3 + f1= f1 ) ((

(รท

)

) f3 + f2= f2 ) ((-10) f3 + f4= f4 )

((

) f4 + f1=f1) (( ) f4 + f2= f2) ((

Comprobación: 2( ) + 3(

) + 4( ) – 2(

)= 8

8=8

) f4 + f3= f3)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 03 de Junio de 2015 TAREA NO 08  Realizar 3 ejercicios del método simplex. Max. Z= 200X + 100 Y S.A 4X + 3Y ≤ 60 2X + 4Y ≤ 40 2X + 2Y ≤ 30 X, Y ≥ 0 Forma de estándar Z= 200X + 100 Y + 0h1+0h2 + 0h3 S.A 4X + 3Y + h1 ≤ 60 2X + 4Y 2X + 2Y

+ h2 ≤ 40 + h3 ≤ 30

Forma de ecuación Z - 200X - 100 Y - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 4X + 3Y

+ h1

= 60

2X + 4Y

+ h2

2X + 2Y

= 40 + h3 = 30

Variables VB Z H1 H2 H3

Z 1 0 0 0

VB Z H1 H2 X

Z 1 0 0 0

V.entra X -200 4 2 2

X 0 0 0 1

S.O Z= 3000 V.O X= 15

Y= 0

H1= 0

H2= 10

H3= 0

DUAL Min. Z= 60Y1 + 40Y2 + 30Y3 S.A 4Y1 + 2Y2 + 2Y3 ≥ 200 3Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≥ 100 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

Y -100 3 4 2

Y 100 -1 2 1

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

H3 100 -2 -1 1/2

VALOR 0 60 40 30

VALOR 3000 0 10 15

0 15 20 15

V.sale

Y1= 100 Y2= 0 Y3= -100 4Y1 + 2Y3 = 200

4Y1 +2Y3 = 200

4(100) + 2Y3 = 200

3Y1 + 2Y3 = 100 (-1)

-3Y1 -2Y3 = -100

2Y3 = -200

Y1 = 100 Z= 60(100) + 40(0) +30(-100) Z= 3000

2.Max. Z= 4X + 5 Y S.A 2X + 4Y ≤ 10 3X + 5Y ≤ 20 4X + 2Y ≤ 12 X, Y ≥ 0

Forma de ecuación Z - 4X - 5Y - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 2X + 4Y + h1

= 10

3X + 5Y

= 20

4X + 2Y

+ h2

+ h3 = 12

Y3 = -100

Variables VB Z H1 H2 H3

Z 1 0 0 0

VB Z Y H2 H3

Z 1 0 0 0

VB Z Y H2 X

Z 1 0 0 0

V.entra Y -5 4 5 2

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

VALOR 0 10 20 12

0 2,5 4 6

Y 0 1 0 0

H1 5 1 -5 -2

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

VALOR 50/4 10/4 15/2 7

8,33 5 15 2,33 V.sale

X 0 0 0 1

Y 0 1 0 0

H1 4 4/3 -14/3 -2/3

H2 0 0 1 0

VALOR 16 4/3 19/3 7/3

X -4 2 3 4

V.entra X -3/2

½ ½

S.O Z= 16 V.O X= 7/3

Y= 4/3

H1= 0

H2= 19/3

H3= 0

DUAL Min. Z= 10Y1 + 20Y2 + 12Y3 S.A 2Y1 + 3Y2 + 4Y3 ≥ 4

½ -1/6 -1/6 1/3

V.sale

4Y1 +5Y2 + 2Y3 ≥ 5 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1= 1 Y2= 0 Y3= 1/2 2Y1 + 4Y3 = 4 (-2)

-4Y1 -8Y3 = -8

4Y1 + 2Y3 = 5

4Y1 +2Y3 = 5 -6Y3 = -3 Y3 = 1/2

Z= 10(1) + 20(0) +12(1/2) Z= 16

3.Max. Z= 60X + 40 Y S.A 2X + 3Y ≤ 30 4X + 2Y ≤ 40 X + Y ≤ 10 X, Y ≥ 0 Forma de ecuación Z - 60X - 40 Y - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 2X + 3Y 4X + 2Y X+Y

+ h1 + h2

= 30 = 40 + h3 = 10

2Y1 + 4(1/2) = 4 2Y1 = 2 Y1 = 1

Variables VB Z H1 H2 H3

Z 1 0 0 0

VB Z H1 H2 X

Z 1 0 0 0

V.entra X -60 2 4 1

X 0 0 0 1

S.O Z= 600 V.O X= 10

Y= 0

H1= 10

H2= 0

H3= 0

DUAL Min. Z= 30Y1 + 40Y2 + 10Y3 S.A 2Y1 + 4Y2 + Y3 ≥ 60 3Y1 + 2Y2 + Y3 ≥ 40 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1= 0 Y2= 10 Y3= 20

Y -40 3 2 1

Y 20 1 -2 1

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

H3 60 -2 -4 1

VALOR 0 30 40 10

VALOR 600 10 0 10

0 15 10 10

V.sale

4Y2 + Y3 = 60

4Y2 +Y3 = 60

2Y2 + Y3 = 40 (-1)

-2Y2 - Y3 = -40 2Y2 = 20 Y2 = 10

Z= 30(0) + 40(10) +10(20) Z= 600

4(10) + Y3 = 60 Y3 = 20

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 09 de Junio de 2015 TAREA NO 09  Realizar 3 ejercicios con el método simplex, método dual, y método gráfico.

Max. Z= 60X + 40 Y S.A 2X + 3Y ≤ 30 4X + 2Y ≤ 40 X + Y ≤ 10 X, Y ≥ 0

Forma de ecuación Z - 60X - 40 Y - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 2X + 3Y 4X + 2Y X+Y

+ h1 + h2

= 30 = 40 + h3 = 10

Variables VB Z H1 H2 H3

Z 1 0 0 0

VB Z H1 H2 X

Z 1 0 0 0

V.entra X -60 2 4 1

X 0 0 0 1

S.O Z= 600 V.O X= 10

Y= 0

H1= 10

H2= 0

H3= 0

DUAL Min. Z= 30Y1 + 40Y2 + 10Y3 S.A 2Y1 + 4Y2 + Y3 ≥ 60 3Y1 + 2Y2 + Y3 ≥ 40 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1= 0 Y2= 10 Y3= 20

Y -40 3 2 1

Y 20 1 -2 1

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

H3 60 -2 -4 1

VALOR 0 30 40 10

VALOR 600 10 0 10

0 15 10 10

V.sale

4Y2 + Y3 = 60

4Y2 +Y3 = 60

4(10) + Y3 = 60

2Y2 + Y3 = 40 (-1)

-2Y2 - Y3 = -40

Y3 = 20

2Y2 = 20 Y2 = 10 Z= 30(0) + 40(10) +10(20) Z= 600 MÉTODO GRÁFICO 2X + 3Y = 30 X 0 15

4X +2Y = 40

Y 10 0

X 0 10

0≤30 Verdadero

Y 20 0

0≤40 Verdadero

X + Y = 10 X 0 10

Y 10 0

0≤10 Verdadero

X 10 0 0

A B C

Z 600 400 0

0 10 0

Solución óptima: Z= 600 Valores óptimos: X= 10

Y= 0

2.Max. Z= 200X + 100 Y S.A 4X + 3Y ≤ 60 2X + 4Y ≤ 40 2X + 2Y ≤ 30 X, Y ≥ 0 Forma de ecuación Z - 200X - 100 Y - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 4X + 3Y 2X + 4Y

+ h1

= 60 + h2

2X + 2Y

= 40 + h3 = 30

Variables VB Z H1 H2 H3

Z 1 0 0 0

V.entra X -200 4 2 2

Y -100 3 4 2

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

VALOR 0 60 40 30

0 15 20 15

V.sale

VB Z H1 H2 X

Z 1 0 0 0

X 0 0 0 1

Y 100 -1 2 1

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 100 -2 -1 1/2

VALOR 3000 0 10 15

S.O Z= 3000

V.O X= 15

Y= 0

H1= 0

H2= 10

H3= 0

DUAL Min. Z= 60Y1 + 40Y2 + 30Y3 S.A 4Y1 + 2Y2 + 2Y3 ≥ 200 3Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≥ 100 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1= 100 Y2= 0 Y3= -100 4Y1 + 2Y3 = 200

4Y1 +2Y3 = 200

4(100) + 2Y3 = 200

3Y1 + 2Y3 = 100 (-1)

-3Y1 -2Y3 = -100

2Y3 = -200

Y1 = 100

Y3 = -100

Z= 60(100) + 40(0) +30(-100) Z= 3000 MÉTODO GRÁFICO 4X + 3Y = 60 X 0 15

2X +4Y = 40

Y 20 0

X 0 20

0≤60 Verdadero

0≤40 Verdadero 2X + 2Y = 30 X 0 15

Y 15 0

0≤30 Verdadero

A B C D

X 15 10 0 0

Y 0 5 10 0

Y 10 0

Z 3000 2500 1000 0

Solución óptima: Z= 3000 Valores óptimos: X= 15

Y= 0

3.Max. Z= 4X + 5 Y S.A 2X + 4Y ≤ 10 3X + 5Y ≤ 20 4X + 2Y ≤ 12 X, Y ≥ 0

Forma de ecuación Z - 4X - 5Y - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 2X + 4Y + h1

= 10

3X + 5Y

= 20

+ h2

4X + 2Y

+ h3 = 12

Variables VB Z H1 H2 H3

Z 1 0 0 0

VB Z Y H2 H3

Z 1 0 0 0

X -4 2 3 4

V.entra X -3/2

½ ½ 3

V.entra Y -5 4 5 2

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

VALOR 0 10 20 12

0 2,5 4 6

Y 0 1 0 0

H1 5 1 -5 -2

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

VALOR 50/4 10/4 15/2 7

8,33 5 15 2,33 V.sale

V.sale

VB Z Y H2 X

Z 1 0 0 0

X 0 0 0 1

Y 0 1 0 0

H1 4 4/3 -14/3 -2/3

H2 0 0 1 0

½ -1/6 -1/6 1/3

VALOR 16 4/3 19/3 7/3

S.O Z= 16 V.O X= 7/3

Y= 4/3

H1= 0

H2= 19/3

H3= 0

DUAL Min. Z= 10Y1 + 20Y2 + 12Y3 S.A 2Y1 + 3Y2 + 4Y3 ≥ 4 4Y1 +5Y2 + 2Y3 ≥ 5 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1= 1 Y2= 0 Y3= 1/2 2Y1 + 4Y3 = 4 (-2)

-4Y1 -8Y3 = -8

4Y1 + 2Y3 = 5

4Y1 +2Y3 = 5 -6Y3 = -3 Y3 = 1/2

2Y1 + 4(1/2) = 4 2Y1 = 2 Y1 = 1

Z= 10(1) + 20(0) +12(1/2) Z= 16

MÉTODO GRÁFICO 2X + 4Y = 10 X 0 5

3X +5Y = 20

Y 2,5 0

X 0 6,67

0≤10 Verdadero

Y 4 0

0≤20 Verdadero

4 X +2 Y = 12 X 0 3

Y 6 0

0≤12 Verdadero

A B C D

X 3 2,34 0 0

Y 0 1,33 3 0

Z 12 16,01 15 0

2X + 4Y = 10 (-2)

-4X – 8Y = -20

4X + 2Y = 12

4X+ 2Y = 12 -6Y = - 8 Y= 1,33

Solución óptima: Z= 16,01 Valores óptimos: X= 2,34

Y= 1,33

X= 2,34

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 10 de Junio de 2015 TAREA NO 10  Corrección de la prueba del método dual. 1.-Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante los cuales fabrica escritorios. Con anterioridad se han vendido bien 2 modelos, de manera que se limitara a producir estos dos. El modelo 1 requiere 2 unidades de madera y 7 horas de trabajo, el modelo 2 necesita 1 unidad de madera y 8 horas de trabajo, los precios de cada modelo son $120 y $80 respectivamente. Cuantos escritorios de cada modelo se deben fabricar para maximizar su ingreso en la venta. Halle el método dual. Max. Z= 120X+ 80Y S.A 2X + Y ≤ 6 7X + 8Y ≤ 28 X,Y ≤0 2X + Y = 6 X 0 3

Y 6 0

0≤6 Verdadero

7X +8Y = 28 X 0 4

Y 3,5 0

0≤28 Verdadero

A B C D

X 3 2,22 0 0

Y 0 1,56 3,5 0

Z 360 391,20 280 0 -16X – 8Y = -48

2X + Y = 6 (-8) 7X + 8Y = 28

7X + 8Y = 28 -9X

= 20 X = 2,22

Y= 1,56

Solución óptima: Z= 360 Valores óptimos: X = 3

Calculo de la holgura 2X + Y + h1 ≤ 6 H1≤ 0

Y=0

Cálculo de holgura 7X + 8Y + h2 ≤ 28 H2≤ 7

DUAL Min: Z= 6Y1+ 28Y2 S.A 2Y1 + 7Y2 ≥ 120 Y1 + 8Y2 ≥ 80 Y1, Y2 ≥ 0 Y1= 60

Y2= 0

2Y1 = 120 Y1= 60 Z= 6 (60) + 28 (0) = 360

2. Max. Z= 400A+ 300B S.A 2A + B ≤ 60 A + 3B ≤ 40 A + B ≤ 30 A, B ≥ 0 2A + B = 60 X 0 30

Y 60 0

0≤60 Verdadero

A + 3B = 40 X 0 40

Y 13,33 0

0≤40 Verdadero

A + B = 30 X 0 30

Y 30 0

0≤ 30 Verdadero

A B C D

A 30 25 0 0

B 0 5 13,33 0

Z 12000 11500 3999 0

Solución óptima: Z= 12000 Valores óptimos: A= 30

Calculo de la holgura 2A + B + h1 ≤ 60 H1≤ 0

B= 0

Cálculo de Holgura A+ 3B + h2 ≤ 40 h2≤ 10

Cálculo de holgura A + B +h3 ≤ 30 h3≤0

DUAL Min: Z= 60Y1+ 40Y2 + 30Y3 S.A 2Y1 + Y2 + Y3 ≥ 400 Y1 + 3Y2 + Y3 ≥ 300 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Y1= 100

Y2= 0

Y3= 200

2Y1 + Y3 = 400

Y1 + Y3 = 300 (-1)

-Y1 - Y3 = -300 Y1

Z= 60 (100) + 40 (0) + 30 (200) = 12000 3. Max. Z= 600E + 1000F S.A 100E + 60F ≤ 21000 4000E + 800F ≤ 680000 E + F ≤ 290 12E + 30F ≤ 6000 X1, X2≤ 0

= 100

Y3= 200

100E + 60F = 21000 X 0 210

4000E + 800F = 680000

Y 350 0

X 0 170

0≤21000 Verdadero

0≤680000 Verdadero

E + F = 290 X 0 290

12E + 30F = 6000

Y 290 0

X 0 500

0≤290 Verdadero

-4000E – 2400F = -840000

4000E + 800F = 680000

4000E + 800F = 680000 F = 100

12E + 30F = 6000 (-2)

100E + 60F = 21000 -24E - 60F = -12000 E = E=

100 ( F=

)+ 60F = 21000

Y 200 0

0≤6000 Verdadero

100E + 60F = 21000 (-40)

100E + 60F = 21000

Y 850 0

E= 150

A B C D

E 170 150

F 0 100

Z 102000 190000

200

200000

Solución óptima: Z= Valores óptimos: E=

Cálculo de la holgura 100E+ 60F + h1 ≤ 21000 H1≤ 0

Cálculo de la holgura E+ F + h3 ≤ 290 H3≤ 18,95

Cálculo de holgura 400E + 800F + h2 ≤ 680000 h2≤ 84210,53

Cálculo de holgura 12E + 30F + h4 ≤ 6000 h4≤ 0

DUAL Min: Z= 21000Y1+ 680000Y2 + 290Y3 + 6000Y4 S.A 100Y1 + 4000Y2 + Y3 + 12Y4 ≥ 600 60Y1 + 800Y2 + Y3 + 30Y4 ≥ 1000 Y1, Y2, Y3, Y4 ≥ 0

Y1= 2,63

Y2= 0

Y3= 0

Y4= 28,08

100Y1 + 12Y4 = 600 (30)

3000Y1 + 360Y4 = 18000

60Y1 + 30Y4 = 1000 (-12)

-720Y1 – 360Y4 = -12000 Y1 = 2,63

Z= 223710

Y4= 28,08

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 17 de Junio de 2015 TAREA NO 11  Realizar 1 ejercicio del método simplex con minimización. Max. Z= 4X + 2 Y S.A 2X + 3Y ≤ 10 4X + 6Y ≥ 12 X, Y ≥ 0 Forma de estándar Z= 4X + 2Y + 0h1+0h2 + MA1 S.A 2X + 3Y + h1 = 10 4X + 6Y + A1- h2 = 12 X, Y ≥ 0 Forma de ecuación Z - 4X - 2Y - 0h1-0h2 – MA1 = 0 2X + 3Y

+ h1

4X + 6Y +A1

= 10 - h2

= 12 (M)

Z - 4X - 2Y - 0H1 - OH2 - MA1 = 0 4XM + 6YM

- MH2 + MA1= 12M

Z – 4X + 4XM – 2Y + 6YM – OH1 – MH2 = 12 M (-1)

-Z + 4X - 4XM + 2Y - 6YM + OH1 + MH2 = -12 M -Z +X (4 - 4M) + Y (2 - 6M) + OH1 + MH2 = -12 M

2X + 3Y

+ h1

4X + 6Y +A1

= 10 - h2

= 12

X, Y, H1, H2, A1 ≥ 0 Variables

Z H1 A1

Z -1 0 0

V.entra Y 2 – 6M 3 6

X 4 – 4M 2 4

H1 0 1 0

H2 M 0 -1

A1 0 0 1

Z -1

Y 0

H1 0

S.O Z= 4 V.O X= 0 H1= 4

Y= 2 H2= 0

A1= 0

VALOR -12M 0 3,33 12 2

VALOR 4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 23 de Junio de 2015 TAREA NO 12  Realizar 4 ejercicios simplex con minimización. Min. Z= 2X + Y S.A 3X + Y ≤ 6 X+Y ≥2 2X + Y = 3 X, Y ≥ 0 Forma de estándar Z= 2X + Y + 0h1+0h2 + MA1+ MA2 S.A 3X + Y + h1 = 6 X + Y + A1- h2 = 2 2X + Y + A2

X, Y ≥ 0 Forma de ecuación Z - 2X - Y - 0h1-0h2 – MA1- MA2 = 0

S.A 3X + Y

+ h1

X + Y +A1

=6 - h2

2X + Y + A2

= 2 (M) = 3 (M)

Z - 2X - Y - 0H1 - OH2 - MA1- MA2 = 0 XM + YM

- MH2 + MA1

2XM + YM

= 2M

+MA2 =3M

Z – 2X + 3XM – Y + 2YM – OH1 – MH2 = 5M (-1)

-Z + 2X - 3XM + Y - 2YM + OH1 + MH2 = -5M -Z +X (2 - 3M) + Y (1 - 2M) + OH1 + MH2 = -5M 3X + Y

+ h1

X + Y +A1

=6 - h2

2X + Y + A2

= 2 (M) =3

X, Y, H1, H2, A1,A2 ≥ 0 Variables

Z H1 A1 A2

Z -1 0 0 0

V.entra X 2 – 3M 3 1 2

Y 1 – 2M 1 1 1

H1 0 1 0 0

H2 M 0 -1 0

A1 0 0 1 0

A2 0 0 0 1

VALOR -5M 6 2 3

Z -1

X 0

A1 X

V.entra Y

H1 0

H2 M

A1 0

-1

Z -1 0 0 0

Z H1 Y X

X 0 0 0 1

Y 0 0 1 0

S.O Z= 3 V.O X= 1 H1= 2

Y= 1 H2= 0

2.Min. Z= 10X + 5Y S.A 2X + 3Y ≤ 10 4X + 2Y ≥ 8 X, Y ≥ 0

A1= 0

A2= 0

H1 0 1 0 0

A2 -1

H2 0 -1 -2 1

VALOR -3

A1 M 1 2 -1

A2 -1 + M -2 -1 1

VALOR -3 2 1 1

Forma de ecuación Z - 10X - 5Y - 0h1-0h2 – MA1 = 0 S.A 2X + 3Y

+ h1

= 10

4X + 2Y +A1

- h2

= 8 (M)

Z - 10X - 5Y - 0H1 - OH2 - MA1 = 0 4XM + 2YM

- MH2 + MA1= 8M

Z – 10X + 4XM – 5Y + 2YM – OH1 – MH2 = 8M (-1)

-Z + 10X - 4XM + 5Y - 2YM + OH1 + MH2 = -8M -Z +X (10 - 4M) + Y (5 - 2M) + OH1 + MH2 = -8M

2X + 3Y

+ h1

= 10

4X + 2Y +A1

- h2

X, Y, H1, H2, A1 ≥ 0 Variables

Z H1 A1

Z -1 0 0

X 10 –4M 2 4

Y 5 – 2M 3 2

H1 0 1 0

H2 M 0 -1

A1 0 0 1

VALOR -8M 10 8

Z -1

X 0

Y 0

H1 0

VALOR -20

S.O Z= 20 V.O X= 2 H1= 6

Y= 0 H2= 0

A1= 0

3.Min. Z= 8X + 4Y S.A 2X + 4Y ≤ 8 3X + 2Y ≥ 5 2X + Y = 4 X, Y ≥ 0 Forma de ecuación Z - 8X - 4Y - 0h1-0h2 – MA1- MA2 = 0 S.A 2X + 4Y

+ h1

3X + 2Y +A1 2X + Y + A2

=8 - h2

= 5 (M) = 4 (M)

Z - 8X - 4Y - 0H1 - OH2 - MA1- MA2 = 0 3XM + 2YM 2XM + YM

-MH2 + MA1

= 5M

+MA2 =4M

Z – 8X + 5XM – 4Y + 3YM – OH1 – MH2 = 9M (-1)

-Z + 8X - 5XM + 4Y - 3YM + OH1 + MH2 = -9M -Z +X (8 - 5M) + Y (4 - 3M) + OH1 + MH2 = -9M 2X + 4Y

+ h1

3X + 2Y +A1

- h2

= 5 (M)

2X + Y + A2

= 4 (M)

X, Y, H1, H2, A1,A2 ≥ 0 Variables Z -1 0 0 0

Z H1 A1 A2

X 8 – 5M 2 3 2

Y 4 – 3M 4 2 1

H1 0 1 0 0

A2 0 0 0 1

Z H1

Z H1 X H2

Y 0 3

VALOR -9M 8 5 4

X 0

X 0 0 1

A1 0 0 1 0

Z -1

Z -1 0 0

H1 0

H2 M 0 -1 0

A2 0

H1 0 1 0

H2 0 0 0

A1 M 0 0

-1

VALOR

A2 -4 + M -1

VALOR -16 4 2 1

S.O Z= 16 V.O X= 2

Y= 0

H1= 4

H2= 1

A1= 0

A2= 0

4.Min. Z= 4X + 2 Y S.A 2X + 3Y ≤ 10 4X + 6Y ≥ 12 X, Y ≥ 0 Forma de ecuación Z - 4X - 2Y - 0h1-0h2 – MA1 = 0 2X + 3Y

+ h1

4X + 6Y +A1

= 10 - h2

= 12 (M)

Z - 4X - 2Y - 0H1 - OH2 - MA1 = 0 4XM + 6YM

- MH2 + MA1= 12M

Z – 4X + 4XM – 2Y + 6YM – OH1 – MH2 = 12 M (-1)

-Z + 4X - 4XM + 2Y - 6YM + OH1 + MH2 = -12 M -Z +X (4 - 4M) + Y (2 - 6M) + OH1 + MH2 = -12 M

2X + 3Y

+ h1

4X + 6Y +A1

= 10 - h2

= 12

X, Y, H1, H2, A1 ≥ 0 Variables

Z H1 A1

Z -1 0 0

V.entra Y 2 – 6M 3 6

X 4 – 4M 2 4

H1 0 1 0

H2 M 0 -1

A1 0 0 1

Z -1

Y 0

H1 0

S.O Z= 4 V.O X= 0 H1= 4

Y= 2 H2= 0

A1= 0

VALOR -12M 0 12

VALOR 4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 24 de Junio de 2015 TAREA NO 13  Realizar dos ejercicios con el método algebraico, gráfico y simplex. 1. Max. F (X,Y) = 400X + 300Y S.A 2X + Y ≤ 60 X + 3Y ≤ 40 X + Y ≤ 30 X, Y ≥ 0 Método Algebraico. 2X + Y = 60 X + 3Y =40 X= 40 – 3Y

X = 40 – 3(4)

2 (40 – 3Y) + Y = 60

X = 40 - 12

80 – 6Y + Y = 60

X = 28

80 – 5Y = 60 Y=4

Z = 400(28)+ 300(4) Z = 12400 Método Gráfico. 2X + Y = 60 X 0 30

X + 3Y = 40

Y 60 0

X 0 40

0≤60 Verdadero

0≤40 Verdadero

X + Y = 30 X 0 30

Y 30 0

0≤ 30 Verdadero

A B C D

X 30 25 0 0

Y 0 5 13,33 0

Z 12000 11500 3999 0

Y 13,33 0

Solución óptima: F (X, Y) = 12000 Valores óptimos: X= 30

Z = 12000

Y= 0

Calculo de la holgura

Cálculo de Holgura

2X + Y + h1 ≤ 60

Cálculo de holgura

X+ 3Y + h2 ≤ 40

H1≤ 0

X + Y +h3 ≤ 30

h2≤ 10

h3≤0

Método Simplex. Z – 400X – 300Y – 0H1 – 0H2 – 0H3= 0 S.A 2X + Y + H1 = 60 X + 3Y

+ H2 = 40

X+Y

+ H3 = 30

VB Z H1 H2 H3

Z 1 0 0 0

VB Z H1 H2 X

Z 1 0 0 0

V.entra X -400 2 1 1

X 0 0 0 1

Y -300 1 3 1

Y 100 -1 2 1

H1 0 1 0 0

S.O F(X, Y) = 12000

Z = 12000

V.O X = 30

Y=0

H1 = 0

H2 = 10

H3 = 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

H3 400 -2 -1 1

VALOR 0 60 40 30 V.sale

VALOR 12000 0 10 30

2.Min. F(X,Y) = 10X + 5Y S.A 2X + 3Y ≤ 10 4X + 2Y ≥ 8 X, Y ≥ 0 Método Algebraico. 2X + 3Y = 10 4X + 2Y = 8 4X = 8 – 2Y X=

)+ 3Y = 10

X=2

16 – 4Y + 12Y = 10 16 + 8Y = 10 Y=0

Z = 10(2) + 5(0) Z = 20 Método Gráfico. 2X + 3Y = 10 X 0 5

Y 3,33 0

0≤10 Verdadero

4X + 2Y = 8 X 0 2

Y 4 0

0≤8 Verdadero

A B C

X 2 0,5 0

Y 0 3 4

Z 20 20 20

Solución óptima: F (X, Y) = 20 Valores óptimos: X= 2

Y= 0

Calculo de la holgura

Cálculo de Holgura

2X + 3Y + h1 ≤ 10

4X+ 2Y + h2 ≤ 8

H1≤ 6

h2≤ 0

Método Simplex. Z - 10X - 5Y - 0h1-0h2 – MA1 = 0 S.A 2X + 3Y

+ h1

4X + 2Y +A1

= 10 - h2

Z = 20

= 8 (M)

Z - 10X - 5Y - 0H1 - OH2 - MA1 = 0 4XM + 2YM

- MH2 + MA1= 8M

Z – 10X + 4XM – 5Y + 2YM – OH1 – MH2 = 8M (-1)

-Z + 10X - 4XM + 5Y - 2YM + OH1 + MH2 = -8M -Z +X (10 - 4M) + Y (5 - 2M) + OH1 + MH2 = -8M

2X + 3Y

+ h1

= 10

4X + 2Y +A1

- h2

X, Y, H1, H2, A1 ≥ 0 Variables Z -1 0 0

Z H1 A1

X 10 –4M 2 4

Y 5 – 2M 3 2

H1 0 1 0

H2 M 0 -1

A1 0 0 1

Z -1

X 0

Y 0

H1 0

S.O F(X,Y) = 20

Z= 20

V.O X= 2 H1= 6

Y= 0 H2= 0

A1= 0

VALOR -8M 10 8

VALOR -20

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA INVESTIGACION OPERATIVA I NOMBRE: Shirley Cóndor Ch. SEMESTRE: 5to “A” FECHA: 30 de Junio de 2015 TAREA NO 14  Realizar dos ejercicios con el Método de Costo Mínimo. 1.- La panadería “El trigal” tiene cuatro sucursales ubicadas en Ambato, Latacunga, Quito y Riobamba, la harina usada en estas panaderías se produce en la ciudad de Loja, y llegan a las ciudades de Cuenca, Azogues y Cañar, los planes de producción del segundo trimestre (Abril-Junio) ya han sido formuladas y sus requerimientos son: Sucursal Ambato Latacunga Quito Riobamba

Cantidad de quintales de harina 200 200 300 400 1100

La cantidad disponible en las diferentes ciudades son: Ciudades Cuenca Azogues Cañar

Cantidad de quintales de harina 500 300 300 1100 Los costos de transporte desde un origen a un destino son los siguientes: O R I G E N

DESTINOS 2

1 Cuenca Azogues Cañar DEMANDA

200

300

400

OFERTA 500 300 300 1100

1 Cuenca Azogues Cañar DEMANDA

200

2 10

200

3 200 100

4 300

7 11

OFERTA 12 13

100

MCM Z = 6(200) = 1200 4(200) = 800 9(200) = 1800 7(100) = 700 12(300) = 3600 5(100) = 500 8600

2.- El Almacén “El Austro” tiene 5 plantas ubicadas en Quito, Cuenca, Loja, Ambato, Guayaquil, las maquinas usadas en estas plantas se producen en Japón y llegan a los puertos de Esmeraldas, Baquerizo Moreno, Manta y Portoviejo, los planes de producción del cuarto trimestre (Octubre- Diciembre) ya han sido formulados y sus requerimientos son: Planta Quito Cuenca Loja Ambato Guayaquil

Cantidad de motores 300 500 400 200 800 2200

La cantidad disponible en los diferentes puertos son: Puertos Esmeraldas Baquerizo Moreno Manta Portoviejo

Cantidad de motores 500 400 600 700 2200

Los costos de transporte desde un origen a un destino son los siguientes:

1 Esmeraldas Baquerizo Moreno Manta Portoviejo DEMANDA

Z = 10(300) = 3000 6(500) = 3000 9(200) = 1800 8(200) = 1600 10(100) = 1000 17(100) = 1700 5(400) = 2000 4(400) = 1600 15700

500

MCM

300

Esmeraldas Baquerizo Moreno Manta Portoviejo DEMANDA

300

400

200

4 100

800

5 400 400

OFERTA

500

200 200

100

OFERTA 500 400 600 700 2200

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