UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
INVESTIGACION OPERATIVA I
MATERIA
QUINTO SEMESTRE “A”
MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, preposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros entidades y relaciones entre variables para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad Existen dos tipos de modelos:
MODELOS CUALITATIVOS MODELOS CUANTITATIVOS
MODELOS CUALITATIVOS Se presenta en la vida diaria
EJEMPLOS MODELO MATEMATICO PARA IR DE COMPRAS EN UN SUPERMERCADO 1.- Ingresar al supermercado 2.-Coger el carrito para las compras 3.-Dirigirse a cada estantería para seleccionar los productos 4.-Me dirijo a la caja y me coloco en la cola 5.- Cancelo el valor de la cuenta 6.- Recojo los productos en las respectivas fundas 7.- Me dirijo a la Puerta de Salida
MODELO MATEMATICO PARA IR A ALMORZAR EN UN RESTAURANT 1.- Ingreso al restaurant 2.- Busco una mesa disponible y tomo asiento 3.- Llamo al camarero y pido que me traiga el menú 4.- Selecciono el menú que me voy a servirme 5.- Espero que me traigan
6.- Me sirvo el almuerzo 7.- Me levanto de la silla y me dirijo a la caja 8.- Cancelo el costo del almuerzo 9.- Salgo del Restaurant
MODELO MATEMÁTICO PARA LLAMAR POR TELEFONO 1.- Cojo el celular y lo habilito 2.- Selecciono el menú de contactos 3.- Escojo a la Persona que voy a llamar 4.- Presionó la tecla de llamada 5.- Espero a que contesten 6.- Saludo y pregunto por la persona q quien le llamo 7.- Transmito el mensaje 8.- Me despido 9.- Cuelgo MODELO MATEMÁTICO PARA HACER ARROZ SECO 1.- Encierro la hornilla y coloco la olla con agua 2.- Espero a que se caliente 3.- Selecciono la cantidad de arroz en un recipiente y lo lavo 4.- Vierto aceite 5.- Pongo sal y mezclo bien 6.-Espero que se cocine 7.- Vierto aceite 8.-Verifico que el arroz este en su punto 9.- Apago la hornilla
INECUACIONES Expresión matemática que esta procedida por los signos numero negativo el sentido de la desigualdad cambia Ax+by>0 Ax+by=0
EJEMPLO 2X+3Y 7 2X+3Y=7
El sentido al multiplicar o dividir Le convertimos en una ecuación
X
Y
0
7/3
7/2
0
P (0;0) 2(0)+3(0) 7 0
= FALSO
al multiplicar por un
4x-8y<12 4x-8y=12
X
Y
0
-12/8
0
12/4
P (0;0) 4(0)-8(0)<12 0<12= VERDADERO
≥= LINEA SOLIDA <= LINEA SEGMENTADA
2x-y >0 2x=y X
Y
0
0
2
1
P (2;0) 2(2)-0 > 0 4>0 VERDADERO
X+5Y < 7
P (0;0)
X+Y=7
P (0;0)
4(0)+4(0) > 3
0+ 5(0) < 7
0 > 36 FALSO
0 < 7 VEDADERO
2X+3 > Y
P ( 0;0 )
2X-Y= -3
P ( 0;0 ) 2(0) -0= -3
0 < 12 = VERDADERO
0 ≥ 3 VERDADERO
Cuando tienen los mismo números circunferencia P ( 0;0 )
Cuando tienen diferentes números elipse
P ( a ; b)
√
P ( 0;0)
P( 0;0 )
3(0)+0 > 6
2(0)
0 > 6 FALSO
0 < 4 VERDADERO
EJERCICIOS UNA COMPAÑÍA DE AUDITORES SE ESPECIALIZA EN PREPARAR LIQUIDACIONES Y AUDITORIAS DE PEQUEÑAS EMPRESAS, TIENEN INTERÉS EN SABER CUÁNTAS AUDITORIAS Y LIQUIDACIONES PUEDEN REALIZAR MENSUALMENTE PARA MAXIMIZAR SUS INGRESOS. SE DISPONE DE 600 HORAS DE TRABAJO DIRECTO Y 220 HORAS DE REVISIÓN. UNA AUDITORIA REQUIERE DE 30 HORAS DE TRABAJO DIRECTO Y 8 HORAS DE REVISIÓN, ADEMÁS APORTA UN INGRESO DE $250, UNA LIQUIDACIÓN DE IMPUESTO REQUIERE DE 6 HORAS DE TRABAJO DIRECTO Y 4 HORAS DE REVISIÓN, PRODUCE UN INGRESO DE $90, EL MÁXIMO DE LIQUIDACIONES POSIBLES ES DE 50. FO= (max) Z= 90x + 250y 6x + 30y ≤ 600 4x + 8y ≤ 220 x ≤ 50 X,Y ≥ 0 6x + 30y = 600
X
Y
P (0,0)
0
20
6(0) + 30(0) ≤ 600
100
0
0 ≤ 600 Verdadero
4x + 8y = 220 P (0,0) 4(0) + 8(0) ≤ 220 0 ≤ 220 Verdadero
x = 50 P (0,0)
X
Y
0
27,5
55
0
0 ≤ 5 Falso
A B C D
X 0 0 25 50
Y 0 20 15 0
4x + 8y = 220 (6) 6x + 30y = 600 (-4)
Z 0 5000 6000 4500
24x + 48y = 1320 -24x – 120y = - 2400 -72y = -1080
4x + 8(15) = 220 4x = 100 x = 25
Y = 15 Solución óptima: z = 6000 Valores óptimos: x = 25
y = 15
UN FRUTERO NECESITA 16 CAJAS DE NARANJAS, 5 DE PLÁTANO Y 20 DE MANZANA, DOS MAYORISTAS PUEDEN SUMINISTRARLE PARA SATISFACER SUS NECESIDADES, PERO SOLO VENDEN LA FRUTA EN CONTENEDORES COMPLETOS. EL MAYORISTA A ENVÍA EN CADA CONTENEDOR 8 CAJAS DE NARANJA, UNA DE PLÁTANO, Y DOS DE MANZANA. EL MAYORISTA B ENVÍA EN CADA CONTENEDOR 2 CAJAS DE NARANJA, UNA DE PLÁTANO Y 7 DE MANZANA. SI SE SABE QUE EL MAYORISTA A SE ENCUENTRA A 150 KM DE DISTANCIA Y EL MAYORISTA B A 300 KM. DETERMINE CUANTOS CONTENEDORES HABRÁ QUE COMPRAR A CADA MAYORISTA CON EL OBJETO DE AHORRAR TIEMPO, DINERO Y MINIMIZAR DISTANCIA.
FO= (min) Z= 150x + 300y 8x + 2y ≥ 16 x+y≥5 2x + 7y ≥ 20 X,Y ≥ 0 8x + 2y = 16
X
Y
P (0,0)
0
8
8(0) + 2(0) ≥ 10
2
0
0 ≥ 16 Falso
X
Y
0
5
5
0
2x + 7y = 20
X
Y
P (0,0)
0
2,9
2(0) + 7(0) ≥ 20
10
0
x+y=5 P (0,0) 0 ≥ 5 Falso
0 ≥ 20 Falso
A B
X 10 3
Y 0 2
Z 1500 1050
C D
1 0
4 8
1350 2400
Solución óptima: z = 1050 Valores óptimos: x = 3
y=2
Maximizar Z= 5 X1+X2 2 Sujeto A 3X1+5X2≤15 5X1+2X2≤10 Xj≥0; J=1 a 2 3X1+5X2=15 5X1+2X2=10 Xj=0
*3X1+5X2 =15
X
X2
0 5
*5X1+2X2=10
P(0,0)
3
0≤15 verdadero
0
X
Y
0
5
P(0,0) 0≤10 Verdadero 2
0
ARCO CONVEXO
A B C D
X1 X2 0 0 0 3 20/19 45/19 2 0
Z 0 3 5 5
(-5) 3X1+5X2=15 2x+3y=8 -15X1 -25X2=-75 15X1+6x2=30 -19X2= 45 X2=45/19
*3X1+4(45/19)=15 3X1+225/19=15 X1=15-225 19 3 X1=20/19
Este problema tiene múltiples soluciones Conjunto de soluciones 20/19≤X1≤2 Para X 0≤X2≤45/1 Para Y
Maximizar Z= 2x +3y Sujeto A X≤2 Y≥4
2X+Y≥5
X+Y≥0 x=2 y=4
2x+y=5 X
Y
0 5/2 0
ARCO CONVEXO
A C
X 2 0
Z=2(2)+3(4) Z=4+12 Z=16 Restricción
Y 4 5
Z 16 15
5
x≤2 y≤3 2x+y≥18 X+y≥0
2≤0 Falso 3≤0 Falso x
y
0
18
18/2 0 2(0)+y(0)=18 0≥18 Falso
Una Compañía produce automóviles y camiones cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta solo camiones se podrían pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se podría pintar 60 si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones podría ensamblar 50 camiones al día y si ensamblara solo automóviles podría 50 automóviles al día cada camión aporta 300 dólares a la utilidad y cada automóvil 200 maximize la utilidad X= Automóviles Y= camiones P1 (0,40)
P1 (0,50)
P2 (60,0)
P2 (50,0)
M= Y2-Y1 X2-X1 M=0-40 60-0
M=0-50 50-0 M=-1
M= -2 3 Y-50 =-1 (X-X1) X+Y=50
Y-Y1=m(x-x1) Y-40=-2/3(x) 3y-120=-2x 2x+3y=120 x
y
0
40
60
0
x
y
0
50
50
0
MAX Z=200X+300Y 2X+3Y=120 X+Y≤50 X+Y≥0
ARCO CONVEXO A B C D
X 0 0 30 50
*5x+4y =10
Y 0 40 20 0
Z 0 1200 12000 10000 Z=200(0,88)+320(1,7)
*3x+6y=12
Z=746,4
*4x+5y=15
Z=230(0,42)+320(0,33) Z=202,2
Punto B 2x+3y=120 x +y=50 2x+3y=120 -2x-2y=-100 - Y=20
*x+20=50 X=50-20 X=30 Existen Múltiples Soluciones Restricciones Activas (1,2)
UNA JOYERÍA ELABORA DOS MODELOS DE JOYAS EL PRIMERO 5, 5, 10 EL SEGUNDO 5, 10, 5 LOS NÚMEROS QUE SE INDICAN REPRESENTAN EN PORCENTAJE ORO, PLATA Y COBRE. LA JOYERÍA DISPONE DE 110 KG DE ORO, 180 DE PLATA Y 200 DE COBRE, POR CADA TIPO DE MODELO 5, 5, 10 SE OBTIENE UNA UTILIDAD DE 18,5 DÓLARES Y POR LO OTRO TIPO SE OBTIENE UNA UTILIDAD DE 20 DÓLARES. MAXIMICE LA UTILIDAD, ESTABLEZCA RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Y DETERMINE SI EXISTE HOLGURA O EXCEDENTE.
SA.
X
Y
X
Y
X
Y
0
2200
0
1800
0
4000
2200 0
3600 0
2000 0
SI
SOLUCIÓN ÓPTIMA
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1, 2
VALOR ÓPTIMO
RESTRICCIONES INACTIVAS: 3
CÁLCULO DE LA HOLGURA PARA EL ORO
CÁLCULO DE LA HOLGURA PARA PLATA
CÁLCULO PARA LA HOLGURA DE COBRE
DISP
OCUP
HOLG
ORO
110
110
0
PLATA
180
180
0
COBRE
200
150
50
SOLUCIÓN ÓPTIMA
VALOR ÓPTIMO
RESTRICCIÓN ACTIVA: 1, 2 RESTRICCIÓN INACTIVA: 3
CÁLCULO PARA EL EXCEDENTE DE NARANJA
CÁLCULO PARA EL EXCEDENTE DE PLÁTANO
CÁLCULO PARA EL EXCEDENTE DE MANZANAS
DISP
OCUP
HOLG
NARANJA
16
4
12
PLÁTANO
5
0
0
MANZANAS
20
0
0