UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
INVESTIGACION OPERATIVA I
ELIANA CAROLINA PAGUAY QUISHPE
QUINTO SEMESTRE
MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún
tipo
de
formulismo
matemático
para
expresar
relaciones,
preposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros entidades y relaciones entre variables para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad Existen dos tipos de modelos:
MODELOS CUALITATIVOS
MODELOS CUANTITATIVOS
MODELOS CUALITATIVOS
Se presenta en la vida diaria
EJEMPLOS MODELO MATEMATICO PARA IR DE COMPRAS EN UN SUPERMERCADO 1.- Ingresar al supermercado 2.-Coger el carrito para las compras 3.-Dirigirse a cada estantería para seleccionar los productos 4.-Me dirijo a la caja y me coloco en la cola 5.- Cancelo el valor de la cuenta 6.- Recojo los productos en las respectivas fundas 7.- Me dirijo a la Puerta de Salida
MODELO MATEMATICO PARA IR A ALMORZAR EN UN RESTAURANT 1.- Ingreso al restaurant
2.- Busco una mesa disponible y tomo asiento 3.- Llamo al camarero y pido que me traiga el menú 4.- Selecciono el menú que me voy a servirme 5.- Espero que me traigan 6.- Me sirvo el almuerzo 7.- Me levanto de la silla y me dirijo a la caja 8.- Cancelo el costo del almuerzo 9.- Salgo del Restaurant
MODELO MATEMÁTICO PARA LLAMAR POR TELEFONO 1.- Cojo el celular y lo habilito 2.- Selecciono el menú de contactos 3.- Escojo a la Persona que voy a llamar 4.- Presionó la tecla de llamada 5.- Espero a que contesten 6.- Saludo y pregunto por la persona q quien le llamo 7.- Transmito el mensaje 8.- Me despido 9.- Cuelgo MODELO MATEMÁTICO PARA HACER ARROZ SECO 1.- Encierro la hornilla y coloco la olla con agua 2.- Espero a que se caliente 3.- Selecciono la cantidad de arroz en un recipiente y lo lavo 4.- Vierto aceite
5.- Pongo sal y mezclo bien 6.-Espero que se cocine 7.- Vierto aceite 8.-Verifico que el arroz este en su punto 9.- Apago la hornilla
INECUACIONES Expresión matemática que esta procedida por los signos por un numero negativo el sentido de la desigualdad cambia Ax+by>0
Ax+by=0
EJEMPLO 2X+3Y 7 2X+3Y=7
El sentido al multiplicar o dividir
Le convertimos en una ecuación
al multiplicar
X
Y
0
7/3
7/2
0
P (0;0) 2(0)+3(0) 7 0
= FALSO
4x-8y<12 4x-8y=12
X
Y
0
-12/8
0
12/4
P (0;0) 4(0)-8(0)<12 0<12= VERDADERO
≥= LINEA SOLIDA <= LINEA SEGMENTADA
2x-y >0 2x=y X
Y
0
0
2
1
P (2;0) 2(2)-0 > 0 4>0 VERDADERO
X+5Y < 7
P (0;0)
X+Y=7
P
(0;0) 4(0)+4(0) > 3
0+ 5(0)
0 > 36 FALSO
0 < 7
< 7 VEDADERO
2X+3 > Y
2X-Y= -3
P ( 0;0 )
P (
0;0 ) 2(0) -0= -3 0 < 12 = VERDADERO VERDADERO
0 ≥ 3
Cuando tienen los mismo números circunferencia P ( 0;0 )
Cuando tienen diferentes números elipse
P ( a ; b)
√
P ( 0;0) 3(0)+0 > 6 0 > 6 FALSO VERDADERO
P( 0;0 ) 2(0) 0 < 4
EJERCICIOS UNA COMPAÑÍA DE AUDITORES SE ESPECIALIZA EN PREPARAR LIQUIDACIONES Y AUDITORIAS DE PEQUEÑAS EMPRESAS, TIENEN INTERÉS EN SABER CUÁNTAS AUDITORIAS Y LIQUIDACIONES PUEDEN
REALIZAR
MENSUALMENTE
PARA
MAXIMIZAR
SUS
INGRESOS. SE DISPONE DE 600 HORAS DE TRABAJO DIRECTO Y 220 HORAS DE REVISIÓN. UNA AUDITORIA REQUIERE DE 30 HORAS DE TRABAJO DIRECTO Y 8 HORAS DE REVISIÓN, ADEMÁS APORTA UN INGRESO DE $250, UNA LIQUIDACIÓN DE IMPUESTO REQUIERE DE 6 HORAS DE TRABAJO DIRECTO Y 4 HORAS DE REVISIÓN, PRODUCE UN INGRESO DE $90, EL MÁXIMO DE LIQUIDACIONES POSIBLES ES DE 50. FO= (max) Z= 90x + 250y 6x + 30y ≤ 600 4x + 8y ≤ 220 x ≤ 50
X,Y ≥ 0 6x + 30y = 600
X
Y
P (0,0)
0
20
100
0
6(0) + 30(0) ≤ 600 0 ≤ 600 Verdadero
4x + 8y = 220 P (0,0)
X
Y
0
27,5
55
0
4(0) + 8(0) ≤ 220 0 ≤ 220 Verdadero
x = 50 P (0,0) 0 ≤ 5 Falso
A B C D
X 0 0 25 50
Y 0 20 15 0
Z 0 5000 6000 4500
4x + 8y = 220 (6)
24x + 48y = 1320
4x + 8(15) = 220 6x + 30y = 600 (-4)
-24x – 120y = - 2400
4x = 100 -72y x = 25
=
-1080
Y = 15 Solución óptima: z = 6000 Valores óptimos: x = 25
y = 15
UN FRUTERO NECESITA 16 CAJAS DE NARANJAS, 5 DE PLÁTANO Y 20 DE MANZANA, DOS MAYORISTAS PUEDEN SUMINISTRARLE PARA SATISFACER SUS NECESIDADES, PERO SOLO VENDEN LA FRUTA EN CONTENEDORES COMPLETOS. EL MAYORISTA A ENVÍA EN CADA CONTENEDOR 8 CAJAS DE NARANJA, UNA DE PLÁTANO, Y DOS DE MANZANA. EL MAYORISTA B ENVÍA EN CADA CONTENEDOR 2 CAJAS DE NARANJA, UNA DE PLÁTANO Y 7 DE MANZANA. SI SE SABE QUE EL MAYORISTA A SE ENCUENTRA A 150 KM DE DISTANCIA Y EL MAYORISTA B A 300 KM. DETERMINE CUANTOS CONTENEDORES HABRÁ
QUE COMPRAR A CADA MAYORISTA CON EL OBJETO DE
AHORRAR TIEMPO, DINERO Y MINIMIZAR DISTANCIA. FO= (min) Z= 150x + 300y 8x + 2y ≥ 16
x+y≥5
2x + 7y ≥ 20
X,Y ≥ 0 8x + 2y = 16
X
Y
P (0,0)
0
8
2
0
8(0) + 2(0) ≥ 10 0 ≥ 16 Falso
X
Y
0
5
5
0
2x + 7y = 20
X
Y
P (0,0)
0
2,9
10
0
x + y = 5 P (0,0) 0 ≥ 5 Falso
2(0) + 7(0) ≥ 20 0 ≥ 20 Falso
A B C D
X 10 3 1 0
Y 0 2 4 8
Z 1500 1050 1350 2400
Solución óptima: z = 1050 Valores óptimos: x = 3
Maximizar Z= 5 X1+X2
y = 2
2 Sujeto A 3X1+5X2≤15 5X1+2X2≤10 Xj≥0; J=1 a 2 3X1+5X2=15 5X1+2X2=10 Xj=0
*3X1+5X2 =15
X
X2
0
3 5
*5X1+2X2=10
P(0,0) 0≤15 verdadero
0
X 0
Y
0≤10 Verdadero
5 2
ARCO CONVEXO
P(0,0)
0
X1 0 0
A B
C
D
X2 0 3
20/19 45/19 2 0
Z 0 3 5 5 (-5) 3X1+5X2=15
2x+3y=8 -15X1 -25X2=-75 15X1+6x2=30 -19X2= 45 X2=45/19
*3X1+4(45/19)=15 3X1+225/19=15 X1=15-225 19 3 X1=20/19
Este problema tiene múltiples soluciones Conjunto de soluciones 20/19≤X1≤2 Para X 0≤X2≤45/1 Para Y
Maximizar Z= 2x +3y Sujeto A X≤2
Y≥4
2X+Y≥5
X+Y≥0 x=2 y=4
2x+y=5 X
Y
0
5
5/2 0
ARCO CONVEXO
A C
X 2 0
Y 4 5
Z 16 15
Z=2(2)+3(4) Z=4+12 Z=16 Restricción x≤2 y≤3 2x+y≥18 X+y≥0
2≤0 Falso 3≤0 Falso x 0 18/2
y 18 0
2(0)+y(0)=18 0≥18
Falso
Una Compañía produce automóviles y camiones cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta solo camiones se podrían pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se podría pintar 60 si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones podría ensamblar 50 camiones al día y si ensamblara solo automóviles podría 50 automóviles al día cada camión aporta 300 dólares a la utilidad y cada automóvil 200 maximize la utilidad
X= Automóviles Y= camiones P1 (0,40) P2 (60,0) M= Y2-Y1
P1 (0,50) P2 (50,0) M=0-50
X2-X1 M=0-40
50-0 M=-1
60-0 M= -2 3 Y-50 =-1 (X-X1) X+Y=50 X+Y≤50 X+Y≥0 Y-Y1=m(x-x1) Y-40=-2/3(x) 3y-120=-2x
MAX Z=200X+300Y 2X+3Y=120
2x+3y=120 x
y
0
40
60
0
x
y
0
50
50
0
ARCO CONVEXO X 0 0 30 50
A B C D
Y 0 40 20 0
Z 0 1200 12000 10000
*5x+4y =10
Z=200(0,88)+320(1,7)
*3x+6y=12
Z=746,4
*4x+5y=15
Z=230(0,42)+320(0,33) Z=202,2
Punto B 2x+3y=120 x
+y=50 2x+3y=120
-2x-2y=-100 - Y=20
*x+20=50 X=50-20 X=30 Existen Múltiples Soluciones Restricciones Activas (1,2)
UNA JOYERÍA ELABORA DOS MODELOS DE JOYAS EL PRIMERO 5, 5, 10 EL SEGUNDO 5, 10, 5 LOS NÚMEROS QUE SE INDICAN REPRESENTAN EN PORCENTAJE ORO, PLATA Y COBRE. LA JOYERÍA DISPONE DE 110 KG DE ORO, 180 DE PLATA Y 200 DE COBRE, POR CADA TIPO DE MODELO 5, 5, 10 SE OBTIENE UNA UTILIDAD DE 18,5 DÓLARES Y POR LO OTRO TIPO SE OBTIENE UNA UTILIDAD DE
20
DÓLARES.
MAXIMICE
LA
UTILIDAD,
ESTABLEZCA
RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Y DETERMINE SI EXISTE HOLGURA O EXCEDENTE.
SA.
X
Y
X
Y
X
Y
0
2200
0
1800
0
4000
2200
SI
0
3600 0
2000 0
SOLUCIÓN ÓPTIMA
VALOR ÓPTIMO
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1, 2 RESTRICCIONES INACTIVAS: 3
CÁLCULO DE LA HOLGURA PARA EL ORO
CÁLCULO DE LA HOLGURA PARA PLATA
CÁLCULO PARA LA HOLGURA DE COBRE
DISP
OCUP
HOLG
ORO
110
110
0
PLATA
180
180
0
COBRE
200
150
50
SOLUCIÓN ÓPTIMA
VALOR ÓPTIMO
RESTRICCIÓN ACTIVA: 1, 2 RESTRICCIÓN INACTIVA: 3
CÁLCULO PARA EL EXCEDENTE DE NARANJA
CÁLCULO PARA EL EXCEDENTE DE PLÁTANO
CÁLCULO PARA EL EXCEDENTE DE MANZANAS
DISP
OCUP
HOLG
NARANJA
16
4
12
PLÁTANO
5
0
0
0
0
MANZANAS 20
EJERCICIOS Una Compañía produce automóviles y camiones cada vehículo tiene que pasar por un detalle de pintura y un taller de montaje de carrocería, si el taller de pintura pinta solamente camiones, se podían pintar 40 camiones al da y si pinta solo automóviles se podría pintar 60 automóviles. Si el taller de
carrocerías ensamblara solo camiones podría ensamblar 50 camiones al día y él en ensamblara solo automóviles podría ensamblar 50 automóviles al día. Cada camión aporta $300 a la utilidad y cada automóvil $200. Maximizar la Utilidad.
X= Autos Y= Camiones Pintura
y2-y1=m(x2-x1)
P1(0,40)
y2-40= (x)
P2(60,0)
3y-120=-2x
M=y2-y1
2x+3y=120
X2-x1 M=0-40 60-0 M=-
Ensamblaje P1(0,50) P2(50,0)
y-50=-1(x)
M=0-50
x+y=50
50-0 M=- 1
Max. Z=200x+300y
S.A 2x+3y≤120 X+y≤50 X+y≥0
2X+3Y=120 X 0 60
Y 40 0
0≤120 V
X
Y
0
50
50
0
0≤50 V
2x+3y=120 2x-2y=-100 Y=20 X=30
X+Y= 50
Cuadro convexo
A B C D
X 0 0 30 0
Y 0 40 20 10
Z 0 12000 12000 10000
Hay Múltiples soluciones En una pastelería se hacen 2 tipos de tortas vienesa y real cada torta vienesa necesita ¼ de relleno por cada kg de biscocho y produce un beneficio de $250, una torta real necesita ½ kg de relleno por cada kg de biscochos y produce $400 de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diaria hasta 150 kg de relleno, por problemas de la maquina no se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo . Determine cuantas tortas de cada tipo
deben
día
venderse
para
beneficio X Vienesa Y Real
Max. Z=250x+400y S.A x+y≤150 0,250X+0,50y≤50 x≤125 y≤125 X+y≥0
Biscoch o 1 1 150
Rellen o 0,250 0,50 50
Utilidad 250 400
al
maximizar el
X+Y=150 0,250X+0,50Y= 50
X
Y
0
150
150
0
0≤150 V
0≤50 V
X=125
0≤125 V
Y=125
0≤125 V
Cuadro convexo
A B
X 150 100
Y 0 50
Z 37500 45000
C D
0 0
100 0
40000 0
-0,250x-0,250y=-37,5 0,250x-0,250y = 50 Y=50 X=100
Solución Óptima Z=45000 Valores Óptimos X=100 Y=50
Una joyera elabora 2 tipos de joyas el primero 5510, el segundo 5105, los números que se indican representan en porcentaje oro, plata, y cobre , la joyería dispone de 110kg de oro, 180 de plata y 200 de cobre, por cada tipo 5,5,10 se obtiene una utilidad de 18,5 y por el otro tipo se obtiene una utilidad de 20 . Maximice la utilidad, establezca restricciones activas e inactivas y verifique si existe holgura o excedente.
Max. Z=18,5x+20y S.A
0,05x+0,05y≤110 0,05 X+0,10y≤180 0,10X+0,05y≤200 X+y≥0
0,05 X+0,05Y=110 0,05x+0,10Y=180
0,10x+0,05y=200
0≤110 V
0≤180 V
0≤200 V
Cuadro convexo
A B C D
X 2000 1800 800 0
Y 0 400 1400 1800
-0,10x-0,10y=-220
Z 37000 41300 42800 36000 -0,10x-0,10y=-220
0,10x+0,05y= 200
0,05x+0,10y= 200
Y=400 X=800
*0,05x+0,05y=110 *4x+5y=12 X=1800
Solución.Z= 42800 Valores Óptimos.X= 800 Y= 1400 Restricciones Activas1, 2 Inactivas 3 Calculo de la holgura para el oro
Calculo de la holgura para la plata
Calculo de la holgura para el cobre
Y=1400
Disponibilidad Ocupaci贸n
Holgura
Oro
110
110
0
Plata
180
180
0
Cobre
200
150
50
Soluci贸n optima Z= 42800 Valores 贸ptimos X=800 Y=1400 H1=0 H2=0 H3=50 Restricciones activas 1,2 Restricciones inactivas 3
Ejercicio 2
Z=1050 X=3 Y=2
Restricciones activas 2,3 Restricciones inactivas 1
Calculo del excedente naranjas
Calculo del excedente del plรกtano
Calculo del excedente de la manzana
MAXIMIZAR
S.A
X1 0 60
X2 6.67 0
X1 X2 0 15 22.5 0
X1 0 4
X2 -10 0
Calculo de la holgura
Solución optima Z= 67.56 Valores Óptimos X1=6.36 X2= 5.26 H1= 0 H2= 14 H3= 0 H4= 24
METODO DUAL Min
S.A
(
)
METODO SIMPLEX
El VECTOR ENTRANTE es el coeficiente + negativo del regl贸n El VECTOR SALIENTE es la divisi贸n del n煤mero independiente para regl贸n
MAX
S.A
FORMA ESTANDAR
FORMA DE ECUACIÓN
Z
-2X1 3X1 X1
-X2 +X2 -X2 X2
-Oh1 +h1
-0h2
-0h3
+h2 +h3
=0 =6 =2 =3
TABLA SIMPLEX VB Z H1 H2 H3
Z 1 0 0 0
X1 -2 3 1 0
X2 -1 1 -1 1
H1 0 1 0 0
H2 0 0 1 0
H3 0 0 0 1
VALOR 0 0 6 2 2 2 3
Variables VB Z H1 X1 H3
Z 1 0 0 0
V.entra X 0 0 1 0
Y -3 4 -1 1
H1 0 1 0 0
H2 2 -3 1 0
H3 0 0 0 1
VALOR 4 0 2 3
VB Z
Z 1
X 0
Y 0
X2
0
0
X1
0
H3
0
H3 0
VALOR 4
1
0
0
1
0
0
2
0
0
1
3
El problema no tiene solución.
Max. Z= 400A + 300B
S.A 2A + B ≤ 60 A + 3B ≤ 40 A + B ≤ 30 A, B ≥ 0
Forma de ecuación Z –400A - 300B - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 2A + B + H1= 60 A + 3B A+B
+ H2= 40 + H3 =30 V.entra
H1
H2
VB Z H1 H2 H3
Z 1 0 0 0
A -400 2 1 1
VB Z H1 H2 A
Z 1 0 0 0
A 0 0 0 1
S.O Z= 12000
V.O A= 30
B= 0
H1= 0
H2= 10
H3= 0
DUAL Min. Z= 60Y1 + 40Y2 + 30Y3
S.A 2Y1 + Y2 + Y3 ≥ 400 Y1 + 3Y2 + Y3 ≥ 300 Y1, Y2, Y3 ≥ 0
B -300 1 3 1
B 100 -1 2 1
H1 0 1 0 0
H1 0 0 0 0
H2 0 0 1 0
H3 0 0 0 1
VALOR 0 60 40 30
H2 0 0 1 0
H3 400 -2 -1 1
VALOR 12000 0 10 30
Y1= 100 Y2= 0 Y3= 20 2Y1 + Y3 = 400
2Y1 +Y3 = 400
2(100) + Y3 =
400 Y1 + Y3 = 300 (-1)
-Y1 -Y3 = -300
2Y3 =
-200 Y1 = 100 Y3 = 200 Z= 12000 Max. Z= 3X + 2Y
S.A 2X + Y ≤ 18 2X + 3Y ≤ 42 3X + Y ≤ 24 X, Y ≥ 0
Forma de ecuación
Z -3X - 2Y - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 2X + Y 2X + 3Y 3X + Y
+ h1
= 18 + h2
= 42 + h3 = 24
VB Z H1 H2 H3
Z 1 0 0 0
V.entra X -3 2 2 3
VB Z Y H2 X
Z 1 0 0 0
X 0 0 0 1
Y 0 1 0 0
VB Z
Z 1
X 0
Y 0
Y
0
0
H3
0
X
0
Max. Z= 2X1 + X2
S.A 3X1 + X2 ≤ 6 X1 – X2 ≤ 2 X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0
Y -2 1 3 1
H1 0 1 0 0
H2 0 0 1 0
H3 0 0 0 1
VALOR 0 18 42 24
H1 3 3 -7 -1
H2 0 0 1 0
H3 -1 -2 4 1
VALOR 30 6 12 6
H1
H2
H3 0
VALOR 33
1
0
9
0
0
1
1
0
0
3 3
Forma de ecuación Z -2X1 – X2 - 0h1-0h2 - 0h3 = 0 3X1 + X2
+ h1
X1 – X2
=6 + h2
X2
=2 + h3 = 3
VB Z H1 H2 H3
Z 1 0 0 0
V.entra X1 -3 2 2 3
VB Z H1 X1 H3
Z 1 0 0 0
X1 -2 3 1 0
X2 -1 1 -1 1
VB Z Y H3 X
Z 0 0 0 0
X 0 0 1 0
Y -3 4 -1 1
X2 -2 1 3 1
H1 0 1 0 0
H2 0 0 1 0
H3 0 0 0 1
VALOR 0 18 42 24
H1 0 1 0 0
H2 0 0 1 0
H3 0 0 0 1
VALOR 0 6 2 3
H1 0 1 0 0
H2 2 -3 1 0
H3 0 0 0 1
VALOR 4 0 2 3
VB Z
Z 0
X 0
Y 0
X2
0
0
X1
0
H3
0
H1
H2
H3 0
VALOR 4
1
0
0
1
0
0
2
0
0
1
3
3X1 + X2 = 6 X1 - X2 = 2 X 0 5
Y 2 0
0≤6 Verdadero Verdadero
Minimización Z= 2X + Y
S.A 3X + Y ≤ 6 X+Y ≥2
X 0 3
Y 2,86 0 0≤2
2X + Y = 3 X, Y ≥ 0
Forma de estándar Z= 2X + Y + 0h1+0h2 + MA1+ MA2 S.A 3X + Y + h1 = 6 X + Y + A1- h2 = 2 2X + Y + A2
=3
X, Y ≥ 0
Forma de ecuación Z -2X - Y - 0h1-0h2 – MA1- MA2 = 0 S.A 3X + Y
+ h1
X + Y +A1 2X + Y + A2
=6 - h2
= 2 (M) = 3 (M)
Z - 2X - Y - 0H1 - OH2 - MA1- MA2 = 0 XM + YM 2XM + YM
- MH2 + MA1
= 2M +MA2 =3M
Z – 2X + 3XM – Y + 2YM – OH1 – MH2 = 5M (-1)
-Z + 2X - 3XM + Y - 2YM + OH1 + MH2 = -5M
-Z +X (2 - 3M) + Y (1 - 2M) + OH1 + MH2 = -5M 3X + Y
+ h1
X + Y +A1
=6 - h2
= 2 (M)
2X + Y + A2
=3
X, Y, H1, H2, A1,A2 ≥ 0 Variables
Z
Z -1
V.entra X 2 – 3M
H1 A1 A2
0 0 0
3 1 2
Z
Z -1
X 0
H1
0
A1 X
Z H1 Y X
S.O
Y 1– 2M 1 1 1 V.ent a Y
H1 0
H2 M
A1 0
A2 0
VALOR -5M
1 0 0
0 -1 0
0 1 0
0 0 1
6 2 3
A2
H1 0
H2 M
A1 0
0
1
0
0
0
0
0
-1
1
0
1
0
0
0
Z -1 0 0 0
X 0 0 0 1
Y 0 0 1 0
H1 0 1 0 0
-1
H2 0 -1 -2 1
VALOR -3
A1 M 1 2 -1
A2 -1 + M -2 -1 1
VALOR -3 2 1 1
Z= 3
V.O X= 1
Y= 1
H1= 2
H2= 0
A1= 0
A2= 0
Min. Z = 4X + 5Y S.A 2X + 2Y ≤ 10 2X + 6Y ≥ 18 X+Y=7 X, Y ≥ 0
Forma estándar. Z = 4X + 5Y + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2
S.A 2X + 2Y + H1 = 10 2X + 6Y + A1 – H2 = 18 X + Y + A2 = 7 X, Y ≥ 0 FORMA ECUACIÓN
S.A
S.A.
Z
X
Y
Z
-1
4-3M
H1
0
A1 A2
H2
A1
A2
VALOR
5-7M 0
M
0
0
-25M
2
2
1
0
0
0
10
0
2
6
0
-1
1
0
18
0
1
1
0
0
0
1
7
Z
Y
H1
A2
VALOR
-1
0
0
0
-15-4M
H1 0
0
1
0
4
Y
0
1
0
0
3
A2 0
0
0
1
4
Z
Min.
X
H1
H2
A1
SA.
FORMA ESTÁNDAR
SA.
FORMA ECUACIÓN
Z
X
Y
H1
H2
A1
VALOR
Z
-1
4-4M
2-6M
0
M
0
-12M
H1
0
2
3
1
0
0
10
A1
0
4
6
0
-1
1
12
X
Z
Z -1
Y 0
H1 0
H1
0
0
0
1
4
Y
0
1
0
2
H2
A1
VALOR
S.O.
V.O.
Min.
S.A.
FORMA ESTÁNDAR
S.A.
FORMA ECUACIÓN
Z
X
Y
H1
H2
A1
A2
Z
-1
4-3M
5-7M
0
M
0
0
H1
0
2
2
1
0
0
0
10
A1
0
2
6
0
-1
1
0
18
A2
0
1
1
0
0
0
1
7
Z
X
H1
H2
Y
A1
VALOR
A2
VALOR
Z
-1
0
0
0
H1
0
0
1
0
4
Y
0
1
0
0
3
A2
0
0
0
1
4
A2
VALOR
Z Z
-1
X
Y
H1
H2 A1
0
0
0
X
0
1
0
0
3
Y
0
0
1
0
2
A2
0
0
0
1
2
0
0
S 0
NO HAY SOLUCIÓN
Min.
S.A.
FORMA ECUACIÓN
SA.
Z Z
-1
A
B
H1
H2
A1
A2
VALOR
104M 3
0
M
0
0
1
0
0
0
60
H1
0
147M 7
A1
0
3
-2
0
-1
1
0
50
A2
0
4
6
0
0
0
1
80
Z
A
B
A2
VALOR
Z
-1
0
4-M
A
0
1
A1
0
0
A2
0
0
H1
H2
A1
M
0
0
0
0
1
0
0
1
MÉTODO ALGEBRAICO
Max.
S.A.
X
Y
X
Y
0
10
0
7
5
0
7
0
ARCO CONVEXO
PUNTO
X
Y
Z
A
0
7
14
B
3
4
17
C
5
0
15
S.O
V.O
SIMPLEX
Z
X
Y
H1
H2
1
-3
-2
0
0
VALO R 0
H1
0
2
1
1
0
10
H2
0
1
1
0
1
7
Z
X
Y
H1
H2
VALO R
Z
Z
1
0
0
15
X
0
1
0
5
H2
0
0
1
2
0 -1 1
1
1
0
1
7
0 -3 Z
1
0
0
1
1
17
X
0
1
0
1
-1
3
Y
0
0
1
-1
2
4
DUAL Min.f(Y1,Y2)=10Y1+7Y2 S.A 2Y1+Y2≥3 Y1+Y2≥2 Y1, Y2≥0
2Y1+Y2=3
-Y1-Y2=-2 Y1=1 2(1)+Y2=3 Y2=1 f(Y1,Y2)=10(1)+7(2) =17 MINIMIZAR f(X, Y)= 5X+4Y S.A 3X+Y≤7 X+2Y≥4 X, Y≥0 MÉTODO ALGEBRAICO X+2Y=4 3(4-2Y)+y=7 12-6Y+Y=7 12-5Y=7 -5Y=7-12 -5Y=-5 Y=1
*3X+Y=7 X
Y
0
7
X=4-2Y (4-2) =2
2.33
0
* X+2Y=4
X
Y
0
2
4
0
ARCO CONVEXO.X
Y
Z
A
2
2
8
B
0
7
28
C
2
1
14
FORMA DE ECUACIÓN Z-5X-4Y-0H1-0H2-MA1=0
3X+Y+ H1 X+2Y
=7
-H2+A1=4 (M)
Z-5X-4Y-0H1-0H2-MA1=0 XM+2YM
-MH2+MA1=4M
Z-5X+XM-4Y+2YM-0H1-MH2=4M (-1)
-Z+5X-XM+4Y-2YM+0H1+MH2=-4M -Z+X (5-M)+Y (4-2M)+0H1+MH2=-4M
TABLA SIMPLEX
V.D Z H1 H2
Z -1 0 0
X 5-M 3 1
Y 4-2M 1 2
Z X
-1 0
3
0 0
H2
0
0 0
0 3
1 1 0
0 -2+M -4+2M
H1 0 1 0
1
1
-2 0 7
2-M
-2+M -8+4M
H2 M 0 1
H3 0 0 0
2
-2+M
VALOR -4M 7 4
-8 5 2
-1 5-M
4-2M
0
M
0
S.O Z= 8 V.O Y= 2 X= 0 H1= 5 H2= 0 A1= 0
MAXIMIZAR f(X, Y)= 40X+30Y S.A 0,4X+0,5Y≤20 0,2Y≥5 0,6X+0,3Y≤21 X, Y≥0
MÉTODO ALGEBRAICO 0,4+0,5Y=20 0,6X+0,3Y=21 X=21-0,3Y 0,6
0,6X=21-0,3Y
-4M
0,4(21-0,3Y) +0,5Y=20 0,6 8,4-0,12Y +0,3Y=12 0,18Y=3,6 Y=20 0,4X+0,5(20)=20 0,4X+10=20 X=25
Z=1600
S.A *0,4X+0,5Y=20 X
Y
0
40
50
0
* 0,2Y=5 Y=25 *0.6X+0, 3Y=21
X
Y
0
70
35
0
ARCO CONVEXO.-
0,4X+0,5Y=20(0,3) 0,6X+0,3Y=21(-0,5) 0,12X+0,15Y=6 -0,30X-0,15Y=-10,5 -0,18X X=25 0,4(25)+0,5Y
= -4,5
X
Y
Z
A
35
0
1400
B
25
20
1600
C
0
20
600
D
0
0
0
FORMA DE SIMPLEX Z-40X-30Y-0H1-0H2-OH3=0
0,4X+0,5Y+ H1 0,2Y 0,6X+0,3Y
=20 +H2=5 +H3
=21
TABLA SIMPLEX
V.D Z H1 H2 H3
Z 1 0 0 0
X -40 0,4 0 0,6
Z
1
0
X H2 X
0 0 0
S.O Z= 8 V.O Y= 2 X= 0
Y -30 0,5 0,2 0,3
H1 0 1 0 0
H2 0 0 1 0
0
VALOR 0 20 5 21
0
1400
0
6 5 35
1 1
H3 0 0 0 1
H1= 5 H2= 0 A1= 0 MÈTODO DE TRANSPORTE Es un método que siempre debe estar en equilibrio. A
200
B
300
DEMANDA
200
300
500
Las ficticias tiene costo 0 porque solo sirven para equilibrar. MCM= Método de costo mínimo
EJERCICIO El almacén BC tiene cuatro plantas ubicadas en Quito, Guayaquil, Cuenca y Riobamba, las maquinas usadas en estas plantas se producen es Estados Unidos y llega a los puertos de Manta, Esmeraldas, Portoviejo los planes de producción del Tercer Trimestre ya han sido formulados y sus requerimientos son los siguientes:
Almacén
Cantidad de Materiales
Quito400 Guayaquil900 Cuenca200 Riobamba Total = 2000
500
La cantidad disponible en los puertos son los siguientes:
Puerto
Cantidad de Motores
Manta
500
Esmeraldas
700
Portoviejo
800
Total = 2000 Los costos de transporte de un origen a un destino son los siguientes:
ORIGEN
QUITO
MANTA
GUAYAQUIL
TENA
RIOBAMBA
OFERTA
12
13
4
6
500
ESMERALDAS
6
4
10
11
700
PORTOVIEJO
10
9
4
800
DEMANDA
400
ORIGEN
AMBATO
MANTA
300
ESMERALDAS PORTOVIEJO
100
DEMANDA
0
I= 1,3
900
200
PUYO
TENA 13
12
200
500
6
0
11
0
4
0
4
10
10
200
9
12
0
OFERTA
4
700
0
2000
RIOBAMBA
6
VARIABLES DE DECISIﾃ誰 Xij
12
500 0
2000
J=1,4
F.O MIN.Z=12X11+13X12+4X13+6X14+4X22+10X23+11X24+10X31+9X32+12X33+4X3 4 RESTRIC
OFERTA X11+X12+X13+X14≤500 X21+X22+X23+X24≤700 X31+X42+X33+X134≤800
DEMANDA X11+X21+X31≥500 X12+X22+X3≥2700 X13+X23+X3≥3800 XIJ≥0
MCM Z=12(300)=3600 4(200)=800 4(700)=2800
10(100)=1000 9(200)=1800 4(500)=2000 12000 Z=9200
EJERCICIO
ORIGEN
1
MANTA
400
2 12
3
100 13
ESMERALDAS
6
700
4
PORTOVIEJO
10
200
9
DEMANDA
0
0
MCM Z=12(400) 13(100) 4(700) 9(100) 12(200) 4(500) Z=12000 No Nos da soluciones 贸ptimas solo b谩sicas
200 0
4
OFERTA
4
6
0
10
11
0
4
0
12
500 0
2000
ORIGEN
1
MANTA
500
2 12
ESMERALDAS
6
PORTOVIEJO
10
DEMANDA
3
50013 300
4
OFERTA
4
6
1000
11
900
4
900
4
600
10
9
400
12
500
500
800
1000
500
2800
ORIGEN
1
2
3
4
OFERTA
MANTA
700
Z=21800 Ejercicio
12
ESMERALDAS
6
PORTOVIEJO
10
DEMANDA
50013 300
4
9
500 400
4
6
1200
10
11
800
12
600
4
1000
700
800
900
600
3000
ORIGEN
1
2
3
4
OFERTA
MANTA
200
Z=28400 Ejercicio
12
30013
ESMERALDAS
6
4
PORTOVIEJO
10
9
DEMANDA
200 200
4
6
500
10
11
200
4
400
12
200
200
300
400
200
1100
1
2
3
4
OFERTA
Z=9600 Ejercicio ORIGEN
CUENCA
600
12
AZOGUEZ
6
CAÑAR
10
DEMANDA
100 13 800
4
9
100 600
4
6
700
10
11
900
12
4
900
0
0
100
500
600
600
900
800
500
2800