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PROGRAMACIÓN LINEAL. Es una parte de la investigación operativa que la podremos aplicar cuando el problema que tratamos se puede traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que las limitaciones o restricciones que tenga el sistema productivo se pueda también traducir en expresiones matemáticas de tipo lineal. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Un problema de programación lineal tendrá la siguiente forma: Función Objetivo: Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del problema. Es la expresión que tendremos que maximizar o minimizar. Función Objetivo: (Max. ó Min.) Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción: Expresiones matemáticas, ecuaciones o inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del problema. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >= b2 a31x1 + a32x2 + … + a3nxn ≤ b3 ……………………………… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones: x1; x2; xn >= 0 Las variables no tomaran valores negativos. Conceptos propios de la programación Lineal: Solución Posible: Es cualquier conjunto de valores de la variable que satisface el sistema de ecuaciones de la restricción. Solución Posible Básica: Es aquella solución posible en la que ninguna variable toma valores negativos. Solución Básica Posible Degenerada: Solución básica posible en la que al menos una variable toma el valor cero. Solución Óptima: Es aquella solución básica posible que optimiza a la función objetivo. ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL 1. FUNCIÓN OBJETIVO Consiste en optimizar el objetivo que persigue una
situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximiza o se minimiza 2. VARIABLES DE DECISIÓN. Son las incógnitas del problema, La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en l0s niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
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3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES.
Diferentes requisitos que deben cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc. 4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos
MODELO GENERAL DE PL
n
c x OPTIMIZAR Z =
j
j 1
n
a SUJETO A:
j 1
ij
xj 0
j
x j bi
i 1, 2,......, m
j 1, 2,......., n
GRÁFICA DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos 1. 2. 3. 4.
Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta Escoja un punto de ensayo Evalúe el primer miembro de la expresión Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.
Existen varios métodos de solución entre los cuales tenemos el gráfico, el simplex, el algebraico, el dual, etc. EL MÉTODO GRÁFICO. El método gráfico es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible. Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas y función objetivo. Los pasos necesarios para realizar el método son: 1. Hallar las restricciones del problema UNACH
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2. Las restricciones de no negatividad Xi ≥ 0 confían todos los valores posibles. 3. Sustituir ≥ y ≤ por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 4. Trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área correspondiente 5. El espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible. 6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo. 7. La solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de minimización la solución óptima es el primer punto factible que toque la función Z, y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos factibles que toque la función Z Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, múltiples soluciones, solución no acotada y no factible. CONJUNTO CONVEXO. Un conjunto C es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos de C se encuentra totalmente en C
CONJUNTO CONVEXO
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CONJUNTO NO CONVEXO
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EJEMPLO DEL MÉTODO GRÁFICO
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO : Maximizar el ingreso total. VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1). Cantidad de liquidaciones (X2). RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones.
Maximizar Sujeto a:
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La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.
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VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE Variable de holgura.
Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menor o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado. 6X + 3Y ≤ 12
6X+3Y+h=24
Variable de Excedente.
Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido. 2X + 3Y ≥14
2X+3Y-h =14
Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD RESTRICCIÓN ACTIVA. Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las variables se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o excedente, según sea el caso es CERO RESTRICCIÓN INACTIVA. Dada una solución factible, una restricción es inactiva si al sustituir el valor de las variables no se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o excedente, según sea el caso es DIFERENTE A CERO PROBLEMAS NO ACOTADOS Hay que distinguir el término “problema no acotado” con el término “conjunto factible no acotado”, éste último se refiere a una región factible en la que al menos una de las variables de decisión puede asumir valores indefinidamente grandes. Si un programa lineal es no acotado, el conjunto factible también debe ser no acotado. Sin embargo, es posible tener un conjunto factible no acotado sin que el problema sea no acotado Max z= 5000A + 4000B S.A.
A+B >=5 A-3B<=0
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30 A+10B>=135 A , B >=0
Planteamiento del problema
Cuando la región factible no está acotada la única solución que podemos obtener es un mínimo.
- Construimos una tabla con los datos del enunciado
Región factible no acotada Mayorista A
Mayorista B
Disponible
Naranjas
8
2
16
Plátanos
1
1
5
Manzanas
2
7
20
Distancia
150
300
- Expresamos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita
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- Representamos las restricciones y calculamos los puntos de la regi贸n factible
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PROBLEMAS NO FACTIBLES. Son problemas que tiene un conjunto factible vacío: es decir no existe combinación de valores para las variables de decisión que satisfaga simultáneamente todas las restricciones
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