ÁREAS
Aplicaciones educativas de matemáticas Con Guadalinex V3 Tarea Final - Opción A Manuel Parra Valverde
Aplicaciones educativas de matemáticas con Guadalinex V3
ÁREAS Estas figuras, aunque son diferentes, están formadas por el mismo número de cuadrados. Ocupan la misma cantidad de superficie. Se dice que tienen la misma área.
El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa. MEDIDA
DE UNA SUPERFICIE: ÁREA
Para medir una superficie, o sea, para hallar su área, hay que elegir otra superficie como unidad para poderla comparar. Por ejemplo, si se elige como unidad la superficie del cuadrado u, el área de la primera figura es 16 cuadrados, y el de la segunda, 18 cuadrados,
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UNIDADES
DE SUPERFICIE
Para entendernos mejor, en casi todos los países se han elegido las mismas unidades de superficie. Son las unidades del Sistema Métrico Decimal. En este sistema, cada unidad de un orden es 100 veces mayor que la del orden inmediato inferior, y 100 veces menor que la del orden inmediato superior (ver margen).
ÁREA
: 100 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
· 100 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
DEL RECTÁNGULO Y DEL CUADRADO
ÁREA DEL RECTÁNGULO
El largo del rectángulo de la figura es 8 cm, y el ancho es 4 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene este rectángulo?
El rectángulo tiene 4 filas con 8 cuadrados cada una. Luego tiene 8 x 4 centímetros cuadrados: 32 cm2. El largo del rectángulo se llama base. El ancho del rectángulo se llama altura. El número de centímetros cuadrados es el área del rectángulo.
A = b · h
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El área del rectángulo es igual al producto de su base por su altura, expresadas en la misma unidad. A=b·h
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ÁREA
DEL CUADRADO
El cuadrado es un rectángulo particular; la base y la altura coinciden con la longitud del lado: l. Para calcular el área se multiplica la longitud del lado por sí misma.
A=l
ÁREA ÁREA
2
El área del cuadrado es igual al producto del lado por sí mismo. Es decir, es igual al cuadrado del lado. A = l · l = l2
DEL PARALELOGRAMO Y DEL TRIÁNGULO
DEL PARALELOGRAMO
Si dibujamos el paralelogramo ABCD y lo recortamos por la línea punteada, con las dos piezas podemos armar el rectángulo PBCR.
La base y la altura del paralelogramo son la base y la altura del rectángulo. Ambas figuras tienen la misma área. Aparalelogramo = Arectángulo = b · h El área del paralelogramo es igual a la base por la altura, expresadas en la misma unidad. A=b·h
ÁREA
DEL TRIÁNGULO
A partir del triángulo ABC dibujamos el paralelogramo ABCD. La base y la altura del triángulo son la base y la altura del paralelogramo.
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El área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo: b⋅h Atriángulo = Aparalelogramo/2 = 2 El área del triángulo es igual a la mitad del producto de la base y de la altura, expresadas en la misma unidad. b⋅h A= 2
ÁREA
DEL TRAPECIO
Partiendo del trapecio EHGF, dibujamos el paralelogramo EPRF.
La base del paralelogramo es la suma de las bases del trapecio ( B + b ), y la altura h es la misma. El área del trapecio es la mitad de la del paralelogramo: Atrapecio = Aparalelogramo/2=
A=
B+b ⋅h 2
B+b ⋅h 2
El área del trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de las bases y de la altura, expresadas en la misma unidad.
A=
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B+b ⋅h 2
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ÁREA ÁREA
DE LOS POLÍGONOS
DE LOS POLÍGONOS NO REGULARES
Para hallar el área de un polígono se descompone en triángulos, uniendo un vértice con los demás. Sumando las áreas de los triángulos se obtiene el área del polígono. ÁREA
DE LOS POLÍGONOS REGULARES
A partir de un polígono regular podemos obtener un paralelogramo de igual área, como indican las figuras:
La base b del paralelogramo es la mitad del perímetro del polígono (p/2) y la altura h coincide con la apotema del mismo (a). Apolígono regular = Aparalelogramo = b · h = (p/2) · a = ( p · a) /2
A=
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro y de la apotema, expresados en la misma unidad. p⋅a A= 2
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p⋅a 2
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ÁREA
DEL CÍRCULO
Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la figura:
Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura de la derecha se aproxima a un paralelogramo cuya base es la mitad de la longitud (L/2) de la circunferencia y cuya altura coincide con el radio (r). Acírculo = Aparalelogramo = base · altura = (L/2) · r = ½ L · r Y como la longitud de la circunferencia es L = 2 · π · r, obtenemos: Acírculo = ½
A = π ⋅ r2
ÁREA ÁREA
· 2 · π · r · r = π · r2
El área del círculo es igual al número π por el cuadrado del radio. A = π · r2
DE FIGURAS CIRCULARES
DE LA CORONA CIRCULAR
Si del círculo de centro O y radio R recortamos otro círculo concéntrico más pequeño de radio r, obtenemos una corona circular.
El área de la corona circular es igual a la diferencia del área del círculo mayor y del círculo menor. A = π · R2 – π · r2 = π · (R2 – r2)
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ÁREA
DEL SECTOR CIRCULAR
La porción de círculo limitada por dos radios es un sector circular. El área del sector circular depende de su ángulo. Es proporcional al mismo:
Si consideramos el círculo como un sector circular de 360º, podemos deducir el área de un sector circular de n grados, mediante una proporción: Si a 360º corresponde π · r2 a nº corresponderá x x = (π · r2 · nº) / 360º
El área de un sector circular se calcula aplicando la siguiente fórmula: A = (π · r2 · nº) / 360º
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EJERCICIOS
PROPUESTOS
1. Averigua el área de las siguientes figuras eligiendo como unidad el centímetro cuadrado (cm2):
2. Calcula el área de la parte sombreada de la figura.
3. Calcular el área de las siguientes figuras (las longitudes vienen dadas en cm):
4. Calcula el área de la figura.
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5. Calcular el área del pentágono regular cuyo lado mide 12 cm y la apotema 8,4 cm.
6. El diámetro de un disco es 30 cm. Calcular su área.
7. Calcula el área de la corona circular, del sector circular y del segmento circular representados en estas figuras
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