“Calitatea cea mai importantă a unui educator este că trebuie să fie el însuşi o persoană care învaţă; dacă şi-a pierdut capaciotatea de a învăţa nu mai are ce căuta în tovărăşia celor care şi-au păstrat-o pe a lor.”(H. Overstreet)
Timişoara – noiembrie-2009
Cuvânt introductiv Revista de matematicǎ pentru adolescenţi se vrea a fi un mijloc de a comunica cu elevii în limbajul interesant şi logic al matematicii. Aceasta revista are ca scop trezirea interesului elevilor pentru disciplina matematica. Imi doresc o participare cat mai masiva a eleviilor din aceasta scoala. Prin tematica si continut doresc sa se adreseze unui numar cat mai mare de elevi fara a pierde din rigurozitatea caracteristica matematicii. Cu ajutorul articolelor despre matematiceni si despre capitole, parti ale matematicii neglijate imi propun sa largesc orizontul matematic al eleviilor sa-i ajut sa patrunda intr-o lume logica ca atat de necesara acum in era masinii si a globalizarii. Profit de aceasta ocazie sa le urez tutor cititorilor revistei un an nou plin de satisfactii si succese. Dimitrie Cantemir consideră că scopul educaţiei este de a face virtuţi corespunzătoare. Idealul educaţiei, virtutea, se dobândeşte prin cunoaşterea de sine, a lui Dumnezeu şi a lumii. Ca “mijloace şi tocmele” de educare a virtuţii, aminteşte: exemplu, exerciţiul, lectura, dojana, rugăciunea. El împarte viaţa umană în şapte etape: pruncia, copilăria, tinereţea, voinicia, bărbăţia, cărunteţea şi bătrâneţea, pereodizare care o precede pe cea lui J. J. Rousseau. Johann Heirnich Pestalozzi(Elveţia). Distinge în domeniul educaţiei intelectuale informarea de formare, accentuând importanţa celei de-a doua. Consideră metoda ca esenţă a învăţământului şi intuiţia ca esenţă a metodei. Constatând că elementele intuiţiei sunt numărul, forma şi numele consideră că instrucţia trebuie să includă: aritmetica(numărul); geometria, desenul, scrisul, lucrul manual(forma); limba maternă, cititul, geografia, ştiinţele naturii(numele). În noua structură a învăţământului obligatoriu, nivelul ridicat de complexitate al finalităţilor este determinat de necesitatea asigurării deopotrivă a educaţiei de bază pentru toţi cetăţenii – prin dezvoltarea echilibrată a tuturor competenţelor cheie şi prin formarea pentru învăţarea pe parcursul întregii vieţi – şi a iniţierii în trasee de formare specializate. Pe baza rezultatelor studiilor efectuate, la nivelul Comisiei Europene au fost stabilite 8 domenii de competenţe-cheie, fiind precizate pentru fiecare domeniu cunoştinţele, deprinderile şi atitudinile care trebuie dobândite, respectiv formate elevilor în procesul educaţional. Studiul matematicii în ciclul inferior al liceului urmăreşte să contribuie la formarea şi dezvoltarea capacităţii elevilor de a reflecta asupra lumii, şi oferă individului cunoştinţele necesare pentru a acţiona asupra acesteia, în funcţie de propriile nevoi şi dorinţe de a formula şi a rezolva probleme pe baza relaţionării cunoştinţelor din diferite domenii, precum şi la înzestrarea cu un set de competenţe, valori şi atitudini menite să contribuie la formarea unei culturi comune pentru toţi elevii şi determinând, pe de altă parte, trasee individuale de învăţare.
În mod concret, s-a urmărit: esenţializarea conţinuturilor în scopul accentuării laturii formative; compatibilizarea cunoştinţelor cu vârsta elevului şi cu experienţa anterioară a acestuia; continuitatea şi coerenţa intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; prezentarea conţinuturilor într-o formă accesibilă, în scopul stimulării motivaţiei pentru studiul matematicii şi, nu în ultimul rând, asigurarea unei continuităţi la nivelul experienţei didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învăţământ. Matematica presupune dezvoltarea şi stimularea creativităţii la elevi. Studiile asupra creativităţii au fost orientate spre investigarea procesului creativ, persoanelor creative, etapelor creaţiei, structurii individuale şi de grup a crativităţii, mijloacelor de identificare, evaluare şi educare a creativităţii. Matematica poate deveni atractivǎ prin coborârea modelului matematic în viaţa de toate zilele prin utilizarea unui “raţionament prin aducţie” (sintagma aceasta îi aparţine academicianului Solomon Marcus şi a fost exprimatǎ de curând de cǎtre acesta la o conferinţǎ susţinutǎ la Universitatea de Vest din Timişoara, cu ocazia Olimpiadei Naţionale de Matematicǎ, aprilie, 2008). Adolescenţii dau dovadǎ de multǎ creativitate care cu ingeniozitate un profesor talentat poate sǎ o foleseascǎ cu succes la matematicǎ. Educarea creativitǎţii presupune tocmai cultivarea la elevi a unor capacitǎţi intelectuale şi a unor trǎsǎturi de personalitate. Componenta afectiv-volutiv-atitudinalǎ se împleteşte cu cea intelectualǎ în manifestarea comportamentului creator. Adolescenţii au o înclinaţie deosebitǎ pentru aventurǎ profesorul de matematicǎ poate transforma descoperirea şi cunoaşterea adevǎrurilor matematice într-o frumoasǎ şi spectaculoasǎ aventurǎ a deducţiilor logice şi a descoperirii spectacolului matematic. Prof. Daniela Boleanţu
GEOMETRIA TOAMNEI din copacul oranj frunzele închid poligonul vieţii (haiku de Adrian Marta)
Culmea matemamticii : "Să fii singur şi să te simţi în plus"
Din păţania unui elev silitor Sau Sindromul “mulţimii vide” Mama: - Domnule Doctor sunt speriată şi foarte îngrijorată. Cu fiul meu se întâmplă ceva ciudat decând s-a apucat de învăţat. Pe stradă dansează mulţimea vidă a elefanţilor roşii, iar uneori vorbeşte doar în 1 şi în 0 care este adevărat şi fals. Mai spune ceva ciudat 2 în 10 s-a transformat dacă-n baza doi a intrat. Vă rog să-l consultaţi de delir să îl trataţi. Medicul: (Consultă pacientul) - febră n-are; - tensiune n-are; - amigdalită n-are. Pacientul: -Domnule doctor n-am nimic şi e foarte adevărat că la şcoală am învăţat şi cu mama am repetat, iar ea s-a speriat şi-a crezut că delirez când ce ştiu i-am prezentat. Vedeţi şi acum în faţa noastră se află mulţimea vidă a elefanţilor roşii. Medicul: - măi băiete ai nevoie de repaus intellectual pentru debitul verbal. -uite aici o motivare – 7 zile izolare. Pacientul: -Să ştiţi că vă înşelaţi. Tot ce spun e adevărat. Eu aşa am învăţat. Pe halatul dumneavoastră mulţimea vidă a scorpionilor negrii s-a urcat. Medicul: (nedumerit) Dacă nu-şi revine într-o săptămână trebuie consultat de un specialist.
Această scenetă a fost prezentată la balul bobocilor în anul şcolar 2008-2009 de un grup de elevi din clasa a X-a G sam.
CLASA A IX-A Teorie necesară pentru rezolvarea problemelor ce urmează Definiţie: Se numeşte parte întreagă a unui număr real numărul [x] = k, unde kZ şi k k x k + 1. Propoziţie: Partea întreagă a unui număr real are următoarele proprietăţi: x-1 [x] x , x R [n + x] = n + [x] , x R [x + y] [x] + [y] , x, y R [x] = x x Z. Probleme rezolvate 1 5a - 1 AL-IX-001 Să se determine numerele reale cu proprietatea: a , şi să se 2 3 precizeze intervalul în care se află soluţia. 1 4 3 1 4 1 3 2 a) ,1 b) , c) , d) , e) 0, f) [1, ) 5 5 5 5 5 5 5 5
Soluţie 3k 1 1 5 a 1 a 2 3 = k kZ, 5a-1 = 3k 5a = 3k+1 a = 5 1 3k 1 1 7 k a + k +1, k + k +1 10 10k 6k + 2 + 5; 4k 7 k 2 5 2 4 3k 1 1 3 + k +1 10 6k + 2 + 5 10 k +10 -4k 3:(-4) k5 2 4 3 7 k , Z k{0,1} 4 4 1 4 k=0 a= k=1 a= 5 5 Răspuns corect punctul b) 100 , unde [] notează partea k k 1 întreagă a numărului raţional scris în interior. a) 70 b) 83 c) 57 d) 91 e) 97 f) 78
AL-IX.002 Să se determine numărul natural N =
6
2
Soluţie 100 100 100 100 100 100 N= + + + + + = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 2 4 8 16 32 64 Răspuns corect punctul e)
AL-IX.003 Dacă [] reprezintă partea întreagă a lui R să se rezolve ecuaţia: x 1 x 1 3 2 precizându-se în care din următoarele intervale se află soluţia a) (2,7)(9,15) b) (-5,-3)(1,3][5,7) c) (-3,2)[3,4)(6,14) 3 d) 1, (2,4)[5,7) e) (-1,1][2,3)(5,8) f) [0,2][4,7](9,+) 2 Soluţie x 1 x 1 =k x = 2k + 1 kZ k k+13 3k x+1 3k+3 2 3 3k 2k+1+1 3k+3 3k 2k+2 3k+3 3k-2k 2 k 2 2k-3k 3-2 -k 1 k -1 k (-1,2] Z k{0,1,2} x 1 x 1 x 1 =0 x-1 = 0 x = 1 =1 x-1 = 2 x = 3 =2 x-1 = 4 x = 5 2 2 2 x{1,3,5} Răspuns corect punctul d) AL-IX.004 Să se rezolve ecuaţia 5[x2] - 3[x] + 2 = 0 a) x [1, 2 ) b) x (1, 2 ) c) x (0,1) d) x (0,1] e) x
f) x[ 2 ,2)
Soluţie [x] = k; 3k-2 0 ; k 1 deci x 1 rezultă x 0 deci [x] 0 [x] x [x] + 12 rezultă k2 x2 (k + 1)2 5k2 - 3k + 2 0 dar 0 rezultă k rezultă x . Răspuns corect punctul e) PARALELISM ŞI CALCUL VECTORIAL Originea calcului vectorial se află în fizică (mecanică), prin vectori reprezentându-se mărimi mecanice ca: forţa, viteza, acceleraţia etc. Totodată studiul vectorilor se justifică deoarece în multe probleme de geometrie metoda vectorială este mai directă şi mai elocventă. § 1. Vectori legaţi. Vectori liberi. Egalitatea a doi vectori Definiţie O pereche ordonată (A, B)P (P -plan) se numeşte segment orientat sau vector legat şi se notează AB (fig. 1). Punctul A se numeşte origine, iar punctul B extremitate. Dacă AB, dreapta determinată de punctele A şi B se numeşte dreapta suport a vectorului AB . Vectorul legat AA se B numeşte vectorul legat nul, dreapta sa suport fiind nedeterminată. Vectorii legaţi nenuli AB şi BA se numesc opuşi şi A fig. 1. sunt distincţi dacă AB. Definiţie. Doi vectori legaţi nenuli AB şi CD au aceeaşi direcţie dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Un vector legat nenul AB determină în mod unic dreapta AB şi un sens de parcurs pe această dreaptă şi anume sensul de la A la B.
Definiţie. Fie A, B, C, DP patru puncte necoliniare. Vectorii legaţi AB şi CD au acelaşi sens ( aceeaşi orientare) dacă au aceeaşi direcţie B şi punctele B şi D se află în acelaşi semiplan D determinat de dreapta AC (fig.2) şi au sensuri opuse fig. 2 dacă punctele B şi D se află în semiplane diferite. A C Definiţie. Se numeşte lungimea sau norma (modulul sau mărimea) vectorului AB şi se notează ll AB ll , numărul real şi pozitiv care reprezintă distanţa d(A, B) între punctele A, B (relativ la o unitate de măsură fixată). Evident AA =0; vectorul AA nu are nici direcţie nici sens. Definiţie.
Doi vectori legaţi AB şi CD sunt egali dacă şi numai dacă A = C şi B D Definiţie. Doi vectori legaţi nenuli AB şi CD se numesc echipolenţi şi se notează AB CD fig. 3 dacă au acelaşi sens şi modul (fig. 3). A C Observaţii 1) AB CD AC BD 2) AB CD ABCD paralelogram. 3) AB CD AD şi BC au acelaşi mijloc (fig.3). APLICAŢIE. În patrulaterul ABCD, fie I, J, K, L, M, N mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], [CD], [DA], [AC] şi respectiv [BD]. Stabiliţi care dintre vectorii IJ, KL, LM, JN sunt echipolenţi şi arătaţi că segmentele [IK], [JL], [MN] au acelaşi mijloc. Se observă că IJ KL deoarece IJ şi KL sunt linii mijlocii în triunghiurile ABC 1 respectiv ACD. În plus IJ KL AC . Cum punctele J, L se află în semiplane 2 diferite, vectorii IJ şi KL au sensuri opuse. Aşadar IJKL este paralelogram, deci IJ KL . În consecinţă [IK] şi [LJ] au acelaşi mijloc. Pe de altă parte NL JM deoarece NL şi JM sunt linii mijlocii în triunghiurile ABD, 1 respectiv ABC. Totodată NL JM AB . Cum L şi M se află de aceeaşi parte a 2 dreptei NJ, vectorii NL şi JM au acelaşi sens, deci NL JM . În consecinţă [LJ] şi [MN] au acelaşi mijloc. Similar se arată că LM JN . B = D.
Proprietăţi ale relaţiei de echipolenţă 1) AB AB (reflexivitate) 2) AB CD CD AB (simetrie) 3) AB CD şi CD EF AB EF (tranzitivitate) Definiţie. Se numeşte vector liber mulţimea tuturor vectorilor legaţi echipolenţi cu un vector legat.
Vom nota vectorii liberi cu litere mici cu săgeată: a, b,... Dacă AB este un vector legat, putem considera vectorul liber a {CD CD ~ AB }. Orice vector legat din a se numeşte reprezentant al vectorului liber a . Normal ar fi să scriem AB a , însă, cum se obişnuieşte, prin abuz, vom scrie AB = a . Vectorul liber determinat de toţi vectorii legaţi nuli îl vom nota cu 0 şi se va numi vector nul. NotămVP mulţimea tuturor vectorilor liberi din planul P . Fie acum a VP . Prin direcţie, sens şi lungime ale vectorului liber a vom înţelege direcţia, sensul, respectiv lungimea comună a tuturor vectorilor legaţi din a . Pntru orice vector liber a vom nota cu a lungimea sau norma lui a . Dacă a = AB , atunci a vectorul liber de reprezentant BA îl vom nota cu - a = BA . Deosebirea esenţială între vectorii legaţi şi vectorii liberi este că în timp ce
AB = CD dacă şi numai dacă A=C şi B=D, egalitatea a = b , unde a = AB şi b = CD , are loc dacă şi numai dacă AB CD . Aşadar vectorii liberi pot avea originea în orice punct. Definiţie. Vectorul liber u , de normă 1, se numeşte versor. Definiţie. Doi vectori se numesc ortogonali dacă direcţiile lor sunt perpendiculare. Observaţie Fie O P un punct fixat numit origine. Pentru orice a VP , există un singur punct M astfel încât OM a . În acest fel se stabileşte o bijecţie între VP înzestrat cu originea O.
şi mulţimea punctelor planului P
§ 2. Operaţii cu vectori liberi 2.1. Adunarea vectorilor Definiţie. Fie a, b V P şi OA a, AB b. Vectorul liber c de reprezentant OB (fig.4.) se numeşte vectorul sumă al vectorilor a şi b şi se notează c = a + b sau în reprezentanţi: OB = OA AB .
A
b
a O
Prin adunarea vectorilor se înţelege o aplicaţie
+: VP
B
xVP
c VP
, care asociază
fiecărei perechi de vectori ( a , b ), vectorul sumă c = a + b . Regula cuprinsă în această definiţie se numeşte regula triunghiului. Observaţii 1) Definiţia este "corectă", adică vectorul c = a + b nu depinde de alegerea punctului O. Deci dacă O' O şi O' A' a, A' B' b , atunci O' B' OB .
A
B
2) Fie OA a şi OC b, atunci vectorul liber c de reprezentant OB , unde OB este paralelogramului OABC, este evident
diagonala
Vectori Noţiunea de vector este o noţiune geometrică, dar ea apare ca o generalizare a noţiunii algebrice de număr. Definiţie. Segmentele orientate AB şi CD se numesc segmente orientate echipolente dacă au aceeaşi direcţie şi aceeaşi lungime. Vom nota proprietatea de echipolenţă astfel: AB CD . Dacă dorim să scriem acest lucru cu ajutorul simbolurilor matematice obţinem: ” AB CD atunci şi numai atunci când [AB /// [CD şi AB=CD". Proprietăţiile relaţiei de echipolenţă a) AB AB oricare ar fi segmentul orientat AB ; b) dacă AB şi CD sunt segmente orientate distincte, atunci AB CD atunci şi numai atunci când ABCD este un paralelogram; c) dacă AB CD atunci şi CD AB (relaţia de echipolenţă este simetrică); d) dacă AB CD şi CD EF , atunci AB EF (relaţia de echipolenţă este tranzitivă). Definiţie. Se numeşte vector mulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment dat.
Anecdote Matematiceanul distrat Întorcându-se acasă,un matematicean întâlneşte un fost student al său,foarte apropiat acestuia,pe care nu-l mai recunoaşte.Fostul student ,voind să-l ajute să-şi amintească de numele lui se recomandă: -Claude Mirambel… Matematiceanul işi scutură capul şi spune distrat: -Nu-s eu acesta,tinere!Cred că ma-i confundat.La revedere! Formula înţelepciunii În anul 1901,Albert Einstein scria unui prieten cu umor: “Am descoperit formula înţelepciunii vieţii. Ea se exprimă prin ecuaţia :X=A+B+C unde X=succesul în viaţă;A=munca;B=odihna; C=stăpâneste-ţi limba!;(vorbeşte cât mai puţin) Cea mai folosită pasăre La şcoală ,învăţătoarea întreabă un elev: -Care este cea mai cunoscută pasăre,Daniel? -Găina,răspunse elevul.
-De ce tocmai găina? Întreabă mirată învăţătoarea. -Pentru că ea poate fi mâncată si înainte de naştere şi după moarte. Iertarea cuvenită La începutul orei,un elev îl întreabă pe profesor: -Poate fi cineva pedepsit pentru ceva ce nu face,domnule profesor? -Nici vorbă ! răspunde profesorul.Dar de ce întrebi asta? -Ve-ţi vedea imediat,domnule profesor.Eu nu am făcut tema la matematică pentru azi. Cifra cunoscută La o lună după începerea şcolii,învăţătorul întreabă pe un elev din clasa a I-a: -Spune,Georgel,cunoşti tu această cifră? -Da,răspunde elevul. -Dacă o cunoşti spune cum o cheamă? -Nu-i ştiu numele , o cunosc doar din vedere. Nu mi s-a recomandat.
BOGAT SAU SĂRAC? Într-o zi, un tată bogat şi-a dus copilul să-şi petreacă o noapte la o familie foarte săracă, cu scopul de a-i arăta acestuia realităţile vieţii oamenilor care nu au bani. La întoarcerea acasă, tatăl l-a întrebat pe copil despre ceea ce crede în privinţa experienţei trăite, iar acesta i-a spus: "Tată, a fost o experienţă foarte bună. Am învăţat că noi avem un câine, iar ei au patru câini, noi avem o piscina, iar ei au lacul întreg, noi avem un acoperiş luminos, iar ei au cerul cu stelele şi luna, noi avem o verandă şi o gradină frumoasă, iar ei au pădurea întreagă. Ei au prieteni adevăraţi care îi iubesc, noi avem doar relaţii superficiale, oameni interesaţi de avantaje." Tatăl său încremeni la cele auzite, iar fiul încheia: "Îţi mulţumesc, tată, că mi-ai arătat ce săraci suntem!" Pentru tine, prietenul meu drag: Când măsurăm ceea ce avem, rezultatele sunt percepţia noastră despre viaţă. Dacă avem dragoste, prieteni, sănatate, simţul umorului si gândire pozitivă, avem totul în viaţă. Dacă apreciem oamenii pentru ceea ce sunt şi nu pentru ceea ce posedă, atunci avem perspectiva lui Dumnezeu. Poţi fi bogat din punctul de vedere al lumii şi foarte sărac din punctul de vedere al lui Dumnezeu. Ceea ce contează şi rămâne veşnic este ultima variantă. Restul, azi e, mâine nu e! Gândeşte-te un moment şi decide: EŞTI BOGAT SAU SARAC?"
Din cuprins:
Echipa de redactie: Kovacs Andrada IX C Gruber Adina IX C Cozac Adrian XI F
Cuvant introductiv
2
Geometria toamnei
3
Culmea matematicii: “Sa fii singur si sa te simti in plus”
4
Probleme reozlvate clasa a IX-a cu teorie aferenta(pentru adimiterea la la Politehnica Paralelism si calcul vectorial-teorie 6 Anecdote
5
9
Profesor coordonator: Boleantu Daniela
Colaboratori: Cocoş Iasmina IX C Golubovici Alexandra IX C Sinko Raul XI B