CUADERNILLO DE APOYO DE MATEMATICAS
Escuela Normal Superior “Andrés Quintana Roo” Licenciatura en Matemáticas
Brito Amairani Guadalupe Castillo Erosa Edith Aracelly del Carmen
Cuarto Semestre Cime Poot Brenda Carolina Gómez Vázquez Franklin de Jesús Marroquín de la Cruz Gadiel Ortiz Vega Enna Piña Canul Luis David Silva Treviño José Javier
2014 A
INTRODUCCIÓN
Este libro que se presenta a continuación es una recopilación de los contenidos abordados en la asignatura Procesos de Cambio y Variación del cuarto semestre de la especialidad de matemáticas que abarca los contenidos analizados durante el curso tales como, la Razón, Geometría, Teorema de Pitágoras, entre otros, y cada uno es explicado de manera individual; los cuales están divididos por subtemas y dosificados para su fácil comprensión, contiene ejemplos aplicables a cualquier contexto escolar y formas de aplicación diversas; este libro cuenta al final con un Problemario resuelto que abarca todos los temas, con el cual los normalistas podrían entender fácilmente su aplicación, usarlo para sus trabajos en la licenciatura y
ponerle ejercicios a los alumnos de secundaria
durante sus jornadas de practica docente. El objetivo de este producto es hacer un concentrado de los principales contenidos
de
proporcionalidad
que
se
analizan
durante
la
trayectoria
escolarponiendo ejemplos adecuados al contexto social y sencillos aplicables para cualquier grado escolar, así como también convertirlo en una herramienta de uso cotidiano para el normalista e incluso para un docente. Este libro es para todas las personas que desean estudiar la licenciatura en matemáticas y se encuentran en el cuarto semstre de la especialidad, para saber lo completas e interesantes que son estas, y que así como tienen un grado de dificultad, al mismo tiempo son sencillas si se explican de una manera clara y ordenada; y también para todo el público en general ya que puede utilizarlo cualquier persona que tenga las matemáticas en su vida cotidiana, desde un estudiante de secundaria hasta un docente.
Los editores
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ÍNDICE
Introducción
Índice
1.-Razones………………………………………………………………………….…3
2.-Proporcionalidad…………………………………………………………………..7
3.-Geometría………………………………………………………………………….14
4.-Teorema de Thales………………………………………………………………22
5.-Teorema de Pitágoras…………………………………………………………...29
6.-Trigonometría…………………………………………………………………….32
7.-Problemario resuelto…………………………………………………………….38
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RAZÓN MATEMÁTICA Gadiel Marroquín De la Cruz
Razón o Relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades, las cuales pueden ser cosas, personas, objetos o figuras, pero las cantidades a comparar siempre tienen que ser de las mismas cosas, por ejemplo no se puede comparar personas
con objetos, tienen que ser personas con
personas u objetos con objetos. Dicha comparación podría indicarse como una razón, en cuatro formas distintas, de este modo: 1.- a:b 2.- a÷b 3.- a/b 4.- La razón de a es a b. 5.- restándolas I6I – I9I = I3l
Así, la razón de 8 a 4 se puede escribir: 8:4 8÷4
Razón de 8 a 4 De modo general, podemos decir que: Una razón es un cociente entre dos cantidades.
El
valor
de
ese
cociente
se
llama
valor
de
la
Normalista de la Escuela Normal Superior “Andrés Quintana Roo”, Bachiller en Ciencias Sociales, gadielmq@hotmail.com
3
razón.
Si se tiene dos cantidades a y b, se dice “a es a b” y se escribe
.
Al término “a” le llamamos antecedente y al término “b” le llamamos consecuente.
Ejemplo:
Así, en la razón 8 ÷ 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4. Hay que tener presente que las comparaciones por medio de una razón se hacen en unidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar la relación entre 6 m y 30 cm ambas cantidades deben expresarse en la misma unidad. Entonces, la forma apropiada para esta relación es 600 cm: 30 cm, no 6m: 30 cm.
Ejemplos:
1.- Suponga que en un curso hay 13 hombres y 25 mujeres. Entonces “la razón” entre hombres y mujeres del curso es
se lee “13 es a 25”
2.- En una caja hay 5 bolas rojas y 7 verdes. La razón entre las bolas verdes y las bolas rojas es , se lee “7 es a 5”
Propiedades de las razones
Como vemos en los ejemplos, debido a que la razón de dos cantidades no es más que una división indicada o una fracción, las propiedades de las razones serán las propiedades de las fracciones o quebrados.
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1. Si el antecedente (equivale al numerador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2. Si el consecuente (equivale al denominador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda divida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
3. Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.
De acuerdo con estas propiedades, los términos pueden reducirse o aumentarse, simplificarse, etcétera. Por ejemplo, para reducir la razón 15: 20 a los términos de menor valor se escribe la razón como una fracción y luego se procede como éstas. Entonces, 15: 20 se transforma en
Y se lee 15 es a 20 como 3 es a 4. Por tanto, la razón de 15:20 es la misma que la razón de 3:4.
Razón inversa
Con frecuencia es útil comparar los números de una razón en el orden inverso. Para hacer esto simplemente intercambiamos el numerador y el denominador. Entonces, la inversa de 15:20 es 20:15.
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Cuando los términos de una razón se intercambian resulta una razón inversa.
Referencia Bibliográfica Razón. Profesor en Línea. http://www.profesorenlinea.mx/matematica/Razon.html
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PROPORCIONALIDAD Amairani Guadalupe Brito
La proporcionalidad es un tema esencial en las matemáticas pues se ha demostrado una clara participación de la razón proporcional en las diferentes áreas de dicha asignatura, debido a que logra vincular diversos temas que se abarcan en todo un ciclo escolar, como lo son fracciones, teorema de Tales, teorema de Pitágoras, entre muchos más. Los conceptos que aquí te dejamos te ayudarán a tener noción sobre el tema.
La proporcionalidad es la relación que se establece siempre entre dos magnitudes para verificar si sus movimientos se atan a un número en común, es muy útil en la resolución de problemas cotidianos. Así, la proporcionalidad es directa o inversa, ya sea porque al aumento de una magnitud le corresponde un aumento de la otra o porque al aumento de una magnitud le corresponda una disminución en la otra.
Ilustración 1. Barcos proporcionales
Si te preguntas de dónde surge el concepto de proporcionalidad, podemos decirte que desde el inicio de las matemáticas se dio para comprender el mundo que nos rodea y el universo en el que se encuentra éste. Se sitúa el principio de proporcionalidad cuando los egipcios empezaron a identificar algunos patrones y por ejemplo usaron las inundaciones provocada por el rio Nilo como inicio del año 7 Normalista de la Escuela Normal Superior “Andrés Quintana Roo”, Bachiller en Administración, amairani_agb@hotmail.com
y con sus registros se dieron los primeros calendarios. Hacia el año 600 a. de C. el padre tradicional de la matemática griega Tales de Mileto propone el teorema que lleva su nombre, relativo a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas. - Teorema de Tales: Si dos rectas r y r‟ se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra.
Existe una leyenda que atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia a la costa de barcos en alta mar. Diógenes Laertes, junto con Plinio y Plutarco señalan que la medida de la altura de las pirámides se llevó a cabo a través de la determinación de la longitud de la sombra que ellas producían cuando una vara clavada verticalmente en el suelo producía una sombra igual a su altura. Para medir la distancia de los barcos en alta mar a la costa, la leyenda dice que Tales fue el primero en emplear la proporcionalidad de los lados de triángulos semejantes. Hay dudas muy grandes con respecto a esto, ya que estas ideas se habían manejado con mucha anterioridad en Egipto y Mesopotamia, donde Tales invirtió una parte de su vida.
Los egipcios crearon también algunas medidas con sus cuerpos para calcular las áreas de sus tierras y saber cuánto debían pagar en impuestos y como obrar a la hora de repartirlas; Y en el uso de estos primeros procesos de medición aparecieron los números fraccionarios y las operaciones con los mismos como se comprueba en el papiro de Ahmes. No obstante, en el siglo VI d. C, fueron los hindúes quienes establecieron las reglas de las operaciones con fracciones.
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Ilustración 2. Medidas del hombre
Todo lo que se estudia debe poder aplicarse a la vida cotidiana y sobre todo si es uno de los temas más importantes en la enseñanza de las matemáticas como es el de la proporcionalidad. Desde sus orígenes la proporcionalidad ha estado presente en el estudio del mundo que rodea al hombre. La proporcionalidad es un concepto básico en las Matemáticas y es un tema de gran importancia en el currículo escolar (Fiol y Fortuny, 1990), ya que está relacionado con la mayoría de los contenidos de Matemáticas y con los de otras asignaturas como la física, la biología, la química.
Es
indispensable
saber
que
en
la
cotidianeidad
los
principios
de
proporcionalidad pueden emplearse, ya sea en la construcción de casas, planos y figuras a escala, además de reparto de algún objeto o producto entre distintas personas, la cantidad que hay que pagarle a una persona por sus horas trabajadas; en el área de física o química al momento de realizar cálculos y experimentos. La proporcionalidad es aplicable en todo contexto y las matemáticas no es la excepción; las áreas que abarca son álgebra (expresiones algebraicas, igualdades, funciones), geometría (polígonos: lados y áreas), trigonometría (teoremas, ángulos) y finalmente estadística (recolección de datos). Cabe mencionar que la proporcionalidad abarca todas las áreas de las matemáticas. 9
En la actualidad, la manera más preponderante para recibir información es la visual, dando la importancia al uso de imágenes, puesto que logra captar la atención del educando, acoplándose así a los objetivos del docente, por ello para que tengas una mayor noción de todo lo dicho anteriormente se anexa una historieta sobre proporcionalidad, la cual es un gran recurso para mejorar tú compresión. ¡Espero te diviertas!
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Historia de la evoluci贸n del concepto de proporcionalidad
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Referencia Bibliogrรกfica
Ltda, Q. y. (s.f.). PROFESOR EN LINEA. Recuperado el 17 de FEBRERO de 2014, de PROFESOR EN LINEA: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.htm
Vร LEZ, L. M. (2012). BIBLIOTECA DIGITAL. Recuperado el 17 de FEBRERO de 2014, de BIBLIOTECA DIGITAL: http://www.bdigital.unal.edu.co/6969/1/43573968.2012.pdf
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GEOMETRÍA José Javier Silva Treviño La geometría es una parte de la matemática que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros. En la práctica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías. La geometría clásica o axiomática es una matemática en la cual los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas. (disfrutalasmatematicas, 2011). Origen El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. (wikipedia). 14 Normalista de la Escuela Normal Superior “Andrés Quintana Roo”, Técnico en Enfermería, gusanito.26@gmail.com
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). (wikipedia). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días. Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882. (vitutor, 2000). Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias 15
físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas. Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Geometría analítica
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna. (uprm, 2001). Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.
El punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es 16
posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en
el
espacio,
determinada
respecto
de
un sistema
de
coordenadas preestablecidas. (uprm, 2001).
El segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremoso finales. Así, dado dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B con la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B son extremos del segmento y los puntos sobre la recta a la que pertenece el segmento (la «recta sostén»), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este. (uprm, 2001).
La recta
En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin. (vitutor, 2000). Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es 17
posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Segmento de recta Es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos dónde empieza y donde termina por ende lo podemos medir.
Plano Tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.
La semirrecta El concepto de semirrecta se utiliza en geometría para identificar a cada uno de los fragmentos en que toda recta puede ser dividida por cualquiera de los puntos que la componen. Es importante tener en cuenta que la forma correcta de escribir esta palabra es con dos „r‟ y no semirrecta (con una sola R).
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La semirrecta, por lo tanto, puede presentarse como la porción de una línea recta que está compuesta por todos los puntos que se localizan hacia uno de los costados de un determinado punto fijo que se toma como referencia: esto quiere decir que una semirrecta tiene un origen (el punto que le da inicio) pero se extiende hacia el infinito. La recta, en cambio, no tiene ni comienzo ni final. (disfrutalasmatematicas, 2011).
Polígonos Un polígono es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono solo se intersectan en sus puntos extremos. Los polígonos se nombran de acuerdo al número de lados que están formados. (uprm, 2001). Triángulo: polígono de 3 lados Octágono: polígono de 8 lados Cuadrilátero: polígono de 4 lados Nonágono: polígono de 9 lados Pentágono: polígono de 5 lados Decágono: polígono de 10 lados Hexágono: polígono de 6 lados Dodecágono: polígono de 12 lados Heptágono: polígono de 7 lados
n - ágono: polígono de n lados
Las partes de un polígono son:
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Vértices: puntos finales de los segmentos que forma el polígono, en la figura: A, B, C, D, E. Lados: segmentos de recta que unen dos vértices consecutivos del polígono, en la figura los lados son: AB, Lados consecutivos: cualquier par de lados que comparten un vértice, en la figura: AB y BC, BC y CD, Diagonal: un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos, en la figura: AC. Apotema: de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado. (uprm, 2001).
Círculos El círculo es una figura plana que consiste de todos los puntos que están sobre una curva cerrada y de los puntos interiores de ella, en la cual cada punto sobre la curva tiene la misma distancia al centro del círculo. (uprm, 2001).
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El radio de un círculo es la distancia entre el centro y cualquier punto de la curva y tiene longitud r.
El diámetro de un círculo es la distancia entre dos puntos cualesquiera de la curva cerrada y que pasa por el centro y tiene longitud d = 2r y divide a un círculo en dos partes iguales.
La Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). El centro no es parte de la circunferencia.
El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia del círculo dado.
Referencia Bibliográfica
disfrutalasmatematicas. (2011). disfrutalasmatematicas. Recuperado el 01 de Julio de 2014, de disfrutalasmatematicas: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/ uprm. (2001). quiz.uprm.edu. Recuperado el 01 de Julio de 2014, de quiz.uprm.edu: http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part1/geometria_part1_home.ht ml vitutor. (2000). vitutor. Recuperado el 01 de Julio de 2014, de vitutor: http://www.vitutor.com/geometria.html wikipedia. (s.f.). wikipedia. Recuperado el 01 de Julio de 2014, de wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
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TEOREMA DE THALES Luis David Piña Canul
Cuando miramos a nuestro alrededor o salimos a dar un paseo, apreciamos en cada paso que damos la cantidad de cosas que representan figuras o formas geométricas sean regulares o irregulares. El conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en nuestra vida cotidiana para orientarse reflexivamente en el espacio, como para hacer estimaciones de alturas, distancias a veces inaccesibles. Tal es el caso que podemos calcular la altura de monumentos, edificios, de las piedras enormes, entre otros . Un método muy antiguo de calcular la altura de un objeto es con la proyección de su sombra y la ayuda de una estaca, mediante relación de triángulos semejantes conocida como el Teorema de Thales: "La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". A partir de esa prueba empírica Tales de Mileto dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura." (Portillo, 2013).
Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C., sin embargo nos enfocaremos al primero, relacionándolo con los triángulos.
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.
22 Normalista de la Escuela Normal Superior “Andrés Quintana Roo”, PTB en Informática, deisan396769@gmail.com
El primer teorema de Thales recoge uno de los resultados mĂĄs bĂĄsicos de la geometrĂa. Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
-
23
Para que tengas una nociĂłn mĂĄs clara del teorema de tales, aquĂ te damos algunos ejercicios y las formas de resolverlos:
Figura. 1 Ejemplo de Teorema de Thales.
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El teorema de Thales se aplica mayormente a los tri谩ngulos para su mejor comprensi贸n. Aqu铆 te dejamos una breve explicaci贸n:
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El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Teorema segundo
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
Figura. 2.3
En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig. 2.3), los segmentos OA, OB y OC Son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
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Figura. 3
Aplicación de este teorema El “segundo teorema” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura 3).
Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.
Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.
Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.
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Esta última circunferencia trazada se intersecará con la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema
Referencia Bibliográfica
Portillo, E. Z. (2013). Aula matemática. Obtenido de Aula matemática: http://aulaedmate.blogspot.mx/2009/07/teorema-de-thales-aplicaciones.html ViTutor. (22 de 4 de 2004). Vitutor. (Javascript, Ed.) Obtenido de http://www.ditutor.com/geometria/triangulo_thales.html
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TEOREMA DE PITÁGORAS Brenda Carolina Cime Poot
En geometría, uno de los teoremas más importantes es el teorema de Pitágoras porque se aplica muy frecuente para resolver problemas. El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. En todo triangulo rectángulo que se encuentre en un plano, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Algebraicamente, si a y b son longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y c es la longitud de su hipotenusa, entonces se cumple:
De esta fórmula se obtienen las siguientes:
Para demostrarlo consideramos el siguiente triángulo:
29 Normalista de la Escuela Normal Superior “Andrés Quintana Roo”, Técnico en Mantenimiento de Equipos y Sistemas, brenda.cime@hotmail.com
Empezamos creando las siguientes figuras utilizando el triángulo considerado:
En las dos figuras tenemos un cuadrado de lado a + b. Observa que en la figura de la izquierda hay un cuadrado inclinando en medio, este es un cuadrado porque de los tres angulos del triangulo rectangulo los dos agudos suman 90°. Luego, el angulo interno del cuadrilatero que esta dentro de la figura de la izquierda mide 90°, porque la suma de los tres es 180°. Entonces, el area de este cuadrado es
, porque su lado mide
unidades.
Por otra parte, cada triangulo que queda alrededor del cuadrado tiene un area de ab /2, y en total son cuatro. Entonces, el area de los cuatro triangulos es: 2 ab. El área de este cuadrado es:
+
+ 2 ab.
Comparando las áreas de las dos figuras, obtenemos: +
+ 2 ab =
+ 2 ab
Al restar 2 ab en ambos lados de la igualdad obtenemos: que establece el teorema.
30
+
=
, que es lo
El teorema de Pitágoras puede servir para calcular la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo, cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto. Ejemplo: Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distancia horizontal de 35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa a los puntos A y B? R= AB: 37 m.
√ C=37
Referencia Bibliográfica
Apolinar,
P.
E.
(2009).
Teorema
de
Pitágoras.
Obtenido
http://www.aprendematematicas.org.mx/LaTeX2e/TeoremaPitagoras.pdf
31
de
TRIGONOMETRÍA Franklin de Jesús Gómez Vázquez
La trigonometría es etimológico
es
una
rama
de
'la medición de
la matemática,
los triángulos'.
cuyo
Deriva
significado de
los
términos griegos τριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Historia
Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.
Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre 32 Normalista de la Escuela Normal Superior “Andrés Quintana Roo”, Bachiller en Administración Empresarial, iron_man93@live.com.mx
la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a.C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla trigonométrica.
Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a.C.), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:
"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?"
La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.
Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:
La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado:
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Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera Goniometría Se llama circunferencia goniometría a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniometría es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.
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Ejercicio: Sabiendo que sen = 0,86 α calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas Solución: Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: • Sen 0,86 α =
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Referencia bibliogrรกfica
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PROBLEMARIO RESUELTO
1. Razones En una caja hay 5 bolas rojas y 7 verdes. La razón entre las bolas verdes y las bolas rojas es , se lee “7 es a 5”.
2. Proporcionalidad Si 4 libros cuestan 20 pesos, ¿cuánto costaran 3 docenas de libros? Procedimiento Se obtiene el valor unitario de los libros: 20/4= 5 Valor unitario del libro 3 docenas = 36 libros Se multiplican el valor unitario del libro por los 36 libros para obtener el total (36)(5)= 180 pesos
3. Thales Un polígono tiene por lados segmentos que miden a=2 cm, b=3 cm, c=8 cm y d=10 cm. Halla los lados de un polígono semejante a él y cuyo perímetro es 35 cm. Datos
Procedimiento 1.
Perímetro 1= 23 Perímetro 2= 35 ( 1. Como primer paso se calcula el lado que mide 2 en el polígono chico, comparándolo con los perímetros, para
)
2.
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saber su longitud, que corresponde en el polígono grande.
(
)
(
)
(
)
3. 2. Se hace el mismo procedimiento pero con otro lado del chico para hallar el del grande. 3. Se repite el procedimiento con los demás lados y al final se suman para saber si se acercan al perímetro del mayor.
12.17+15.21+4.56+3.04=35
4. Pitágoras
Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de la escalera se encuentra a 9 metros de esa pared. Calcula la altura metros, que alcanza la escalera sobre la pared. Datos
Procedimiento
Escalera de 15 m. Pie de la escalera 9 m.
1.- = + 2.= + 3.- = 4.- X= √ 5.- X= 12
Se sustituyen los valores en la fórmula de Pitágoras y se resuelve. Y en este caso se utiliza la formula
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5. Trigonometría
Desde el lugar donde me encuentro, la visual a la torre de una Iglesia forma un ángulo de 52º con la horizontal. Si me alejo 25 m más de la torre, el ángulo es de 34° ¿Cuál es la altura de la torre? Datos
Procedimiento <a=52º <b=34° L1=z L2=25+x L3=y
Imagen
Figura original
Como primer paso: se dibujan líneas auxiliares tal como se muestra en la figura.
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Segundo paso: Dividí, en números lo triángulos nuevos que se formaron
Tercer paso: Hallé las longitudes de los dos lados faltantes del triángulo 1.
(
) X=16.86
X=30.15 Ya tengo la medida del ángulo a, y puedo saber la medida del ángulo complementario. Tenemos un nuevo ángulo, a‟= 38° Y se sabe el cateto adyacente al ángulo a‟. Puedo calcular el cateto opuesto.
90°-52°=38° (
)
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Aplique los conocimiento del Teorema de Tales, para hallar un lado del triángulo, claro para es teorema de Tales se necesita un triángulo dividido con dos rectas tal como se muestra en la imagen. Encuentro la suma de los ángulos, pues sé que estos dos triángulos son correspondientes a los dos primero así que tienen los mismos ángulos. Si sé que mide 34° solo se lo resto a 90° y con eso obtengo el ángulo.
Con el teorema de Tales puedo hallar la base del triángulo más grande y de ahí con Pitágoras la altura. 25.54 es la altura de la torre.
( ) ( )
( (
) )
X=15.88
( ) y=20.17 ( ) X=8.87
( ) 15.88 8.87 7
25+13.29=38.29
X
√ 25.54=x
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