HIDRODINAMICA o DINAMICA DE FLUIDOS Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento. Estas leyes son enormemente complejas aunque pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos de rozamiento y viscosidad del fluido. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños. Ecuación de continuidad: Consideramos que la parte sombreada de la izquierda representa un elemento de volumen de líquido de densidad δ1 que fluye hacia el interior del tubo con una velocidad v1 y área de sección recta del tubo Al. La cantidad de masa de fluido que ingresa en el tubo en el tiempo ∆t es:
∆m1 = δ1. Vol1
y
Vol1 = A1 . ∆l1
→
∆m1 = δ1. A1. v1. ∆t (considerando que ∆l1 = v1 . ∆t)
Si el flujo es estacionario (también llamado permanente) y no existen fuentes (puntos de ingreso de fluido) ni sumideros (puntos de salida o escape de fluidos) en el sector de tubo considerado, podremos afirmar que en el mismo tiempo que ingresa por la izquierda una cantidad de fluido ∆m1, debería salir del tubo (en la zona 2, a la derecha) una cantidad igual que llamaremos ∆m2. Si la velocidad del fluido en este punto es v2, el área correspondiente de la sección recta es A2, y la densidad δ2, la cantidad de masa que saldrá deberá ser:
∆m2 = δ2. A2. v2. ∆t
(considerando que ∆l2
Como estos flujos de masa deben ser iguales, δ1. .
= v2 . ∆t)
A1. v1. ∆t. =δ2. A2. v2. ∆t, y por tanto:
.
δ1.A1 v1 = δ2.A2 v2 = constante Esta es la Ecuación de continuidad o Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos Si el fluido es incompresible, la densidad permanece constante → δ1 = δ2 y la ecuación de continuidad se reduce a:
A1.v1 = A2.v2 = constante
Si definimos a Q = A .v como flujo de volumen, gasto o caudal, la ecuación de continuidad postula que en el flujo estacionario de un fluido incompresible, el caudal se mantiene constante a lo largo del tubo (es el mismo en todas las secciones del tubo).
Q = constante Las dimensiones de cúbicos/hora, etc.
Q
son las de volumen/tiempo. Por ejemplo: litros por minuto, metros
Ejemplo La sangre circula por una arteria aorta de 1,0 cm de radio a una velocidad de 30 cm/s. ¿Cuál es el flujo de volumen o caudal que impulsa el corazón?
Q = v A = 0.30 m/s . π.(0,01m)2 = 9,4210-5m3/s Es usual dar la velocidad de bombeo del corazón en litros por minuto. Teniendo en cuenta que 1 litro = 10-3 m3 y
1 min = 60 s,
se tiene
Q = (9.4210~5 m3/s). (103) . (60/1) = 5,65 litros/minuto Ecuación o Teorema de Bernoulli: Se aplica a la circulación de fluidos incompresibles que permite explicar fenómenos tan distintos como el vuelo de un avión o la circulación de la sangre por las venas. Unos de los aportes más importantes en el campo de la dinámica de los fluidos ó hidrodinámica fue dado por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la relación fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El teorema de Bernoulli demuestra que estas variables están interrelacionadas entre sí a partir de la energía mecánica que dispone el sistema. Volvamos a la figura anterior, supongamos que un fluido ideal circula por el tubo y que al cabo de un cierto tiempo
∆t un elemento de volumen de fluido (zona sombreada), inicialmente
ubicado en el extremo izquierdo ocupará luego una nueva posición en el extremo superior derecho. ¿Cuál será la fuerza “exterior” que actúa sobre el elemento de volumen que lo impulsa hacia arriba? Para analizarlo, consideremos que sobre el extremo izquierdo el resto de fluido “el que viene desde atrás” ejercerá sobre el elemento de volumen un empuje F1 que estará dirigido hacia la derecha (recordar que todo empuje originado por presión de fluido se dirige hacia la superficie sobre la cual actúa). Este empuje, que será igual a
F1 = p1 . A1
esta dirigido en el
mismo sentido del flujo, y por tanto realizará a lo largo del desplazamiento ∆l1 un trabajo mecánico W1 de signo positivo sobre el elemento de volumen, siendo p1 la presión del fluido y
A1 la sección del tubo en dicho lugar. Análogamente, en el extremo superior derecho, el fluido “que está adelante” del elemento de volumen ejercerá sobre él un empuje
F2 = p2 . A2 que estará dirigido también hacia el
elemento, contrario al flujo, y por ende realizará un trabajo W2 de signo negativo. El trabajo total (W) de las fuerzas no conservativas que están actuando sobre el elemento de volumen de fluido considerado puede expresarse entonces de la siguiente forma:
W= F1. ∆l1 - F2. ∆l2 = p1. A1. ∆l1 - p2. A2. ∆l2 Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo Δt es el mismo que pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo (conservación de caudal). Si el trabajo será →
Vol = A1 . ∆l1 = A2 . ∆l2 W = p1 . Vol - p2 . Vol
El trabajo que se realiza sobre el volumen de fluido se “utiliza” para cambiar su velocidad y levantarlo en contra de la fuerza gravitatoria. En otras palabras, el trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre la porción del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que:
W = ∆Ecinética + ∆Epotencial = (K2 - K1) + (Ug2 - Ug1) p1 . Vol — p2 . Vol = (½ . m . v2² - ½ . m. v1²) + (m . g . h2 - m . g . h1) Considerando que la densidad del fluido está dada por
δ = m / Vol → Vol = m/δ ,
la expresión anterior puede escribirse como:
p1 + δ . g. h1+ ½ . δ . v1² = p2 + δ . g . h2 + ½ . δ. v2² Debe considerarse que las secciones 1 y 2 son en realidad dos secciones cualesquiera dentro de la tubería, y por ello podemos expresar que:
p + ½ . δ . v² + δ. g. h = constante = Cte 1 Este es el llamado Teorema de Bernoulli o Principio de conservación de la energía para fluidos ideales (sin fricción).
Siendo:
p = energía de presión por unidad de volumen δ . g . h = energía potencial por unidad de volumen ½. δ. v² = energía cinética por unidad de volumen Cte 1 = energía mecánica total del flujo por unidad de volumen El Teorema de Bernoulli puede también interpretarse como suma de presiones, siendo
p1 + δ . g . h1
la presión estática y presión dinámica del flujo.
½ . δ. v1² la
De esta manera Bernoulli puede leerse como:
presión estática + presión dinámica = constante Otras expresiones de Bernoulli. De acuerdo a sus diversas aplicaciones lo podremos expresar bajo otras formas: a- Sin dividimos todos los términos por la densidad del fluido obtenemos lo siguiente:
p1/δ + g . h1 + ½ . v1² = p2/δ + g . h2 + ½ . v2² = Cte 2 Donde:
p/ δ = energía de presión por unidad de masa. g.h = energía potencial por unidad de masa. v²/2 = energía cinética por unidad de masa. Cte 2 = energía mecánica total del flujo por unidad de masa γ = δ . g obtenemos p1 / δ.g + h1 + ½ . g. v1² = p2 / δ.g + h2 + ½ . g .v2² = Cte 3
b- Si dividimos todos los términos por el peso especifico del fluido Donde:
p/ δ.g = energía de presión por unidad de peso h = energía potencial por unidad de peso ½ . g .v² = energía cinética por unidad de peso Cte 3 = energía mecánica total del flujo por unidad de peso c- Si el fluido esta en reposo (v1
= v2 = 0), el Teorema de Bernoulli
se transforma en:
p1 + δ . g . h1 = p2 + δ . g . h2 = Cte 4 Siendo esta una nueva forma de expresar el Principio Fundamental de la Hidrostática con la diferencia que “h” en esta expresión es una altura y no la profundidad que también llamamos h
APLICACIONES: Consideremos un depósito ancho con un tubo de desagote angosto como indica la figura. Si destapamos este tubo el agua comenzará a circular. ¿Cuál será la velocidad de descarga y cuál el caudal? En A y en B la presión es la atmosférica pA = pB= patm. Como el diámetro del depósito es muy grande respecto del diámetro del caño, podemos considerar que la velocidad con que desciende la superficie libre del agua del depósito será muy baja comparada con la velocidad de salida, y por lo tanto, con cierto margen de error, podremos considerarla despreciable o igual a cero →
vA = 0.
Si tomamos como plano de comparación el fondo del depósito → hB
=0
pA + δ . g . hA + ½ . δ. VA² = pB + δ . g . hB + ½ . δ . vB² La ecuación de Bernoulli quedará entonces como:
patm + δ . g. hA + 0 = patm + 0 + ½ . δ . vB2 restando la patm y simplificando
δ en ambos términos : g . hA = ½ . vB²
se deduce que:
vB² = 2. g. hA → v B = 2.g.h A
Este resultado, que hemos deducido a partir de la aplicación de la ecuación de Bernoulli, se conoce como el teorema de Torricelli, quien lo enunciara casi un siglo antes de que Bernoulli realizara sus estudios hidrodinámicos. El mismo nos indica que la velocidad con que sale el liquido por el desagote es la misma que hubiera adquirido en caída libre desde una altura hA demostrando la transformación total de la energía potencial del líquido en energía cinética.
EL AERÓGRAFO: Las pistolas pulverizadoras de pintura funcionan con aire comprimido. Se dispara aire a gran velocidad por un tubo fino, justo por encima de otro tubito sumergido en un depósito de pintura. De acuerdo con el teorema de Bernoulli, se crea una zona de baja presión sobre el tubo de suministro de pintura y, en consecuencia, sube un chorro que se fragmenta en pequeñas gotas en forma de fina niebla.
Experimentos sencillos que podemos realizar. a) Al soplar por encima de una hoja de papel dispuesto horizontalmente bajo la boca, como se indica en la figura 81, el papel se levanta. Una variante de este experimento consiste en soplar por el espacio que hay entre dos globos ligeramente separados, como lo indica la figura 82, y se observará que los globos se juntan. b) Si se sopla por una pajilla doblada sobre una abertura de modo que funcione como atomizador, tal como se ilustra en la figura 83, el agua asciende por la pajilla vertical inmersa en ella. c) Si se afirma con un dedo una pelota de pimpón en un embudo (preferiblemente transparente) y justo cuando soples fuertemente por el vástago del embudo se saca el dedo, la pelotita, en vez de caer, se mantiene dentro del embudo, como muestra la figura 84.
d) Con un secador de pelo se puede mantener flotando en el aire una pelotita de pimpón del modo que se ilustra en la figura. Cuando la pelota está en equilibrio, al mover el chorro de aire de un lado a otro, la pelota sigue al chorro y continúa en equilibrio. Si se inclina un poco el chorro de aire, constatarás que tampoco cae. e) Al acercar una pelota que cuelga de un hilo al chorro de agua que sale de una llave se observa que la pelota puede mantenerse en equilibrio en la posición que se indica en la figura 86; es decir, parece que el flujo de agua y la pelota se atraen.
e) Si presionamos de igual manera el pistón de dos jeringas idénticas, una sin aguja y otra con aguja, podremos apreciar que el líquido sale mucho más veloz en el segundo caso; es decir, cuando la sección del conducto es menor. En realidad, la rapidez v con que se mueve el fluido es inversamente proporcional a la sección A de la cañería. Ello ocurre igual con el agua que fluye por un río o canal, que se mueve más rápido en los lugares en que éste es más angosto o menos profundo.