Cap´ıtulo 11
11.1 ´ interessante que o leitor conhe¸ca de cor algumas primitivas elementares E j´ a que todo o trabalho para resolver uma integral consiste manipular algebricamente, ou modificar a forma com que a integral est´ a escrita de modo que esta torne-se uma integral conhecida. A seguir sugerimos 12 integrais que devem fazer parte do conhecimento pr´evio do leitor. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)
Z
Z
d = + C
(vii)
N +1 d = + C, se N 6= −1 N Z Z +1 1 −1 d = d = ln | | + C Z cos d = sen + C Z sen d = − cos + C Z e d = e + C N
(viii) (ix) (x) (xi) (xii)
Z Z Z
Z
Z Z
sec2 d = tg + C cosec2 d = − cotg + C sec · tg d = sec + C cosec · cotg d = − cosec + C tg d = − ln | cos | + C cotg d = ln | sen | + C
Nessa tabela, no lugar do s´ımbolo podemos ter vari´ aveis ou fun¸c˜ oes. Veja o exemplo a seguir.
306
307
˜ POR MANIPULAC ˜ ALGEBRICA ´ 11.1. INTEGRAC ¸ AO ¸ AO
Exemplo 1: Integral simples. Seja integrar
Z
esen x d(sen x). Nesse caso, = sen x e por conta de (vi)
da tabela da p. 306 temos Z esen x d(sen x) = esen x + C.
Exemplo 2: Integral simples. Z
1 d(x2 + 1). Nesse caso observe que estamos +1 diante de uma integral na forma de (iii) da tabela da p. 306 onde = x2 + 1. Observe que Z 1 d(x2 + 1) = ln |x2 +1| + C = ln(x2 + 1) + C. 2 x +1 Seja a integral
x2
Observa¸ c˜ ao: Um erro muito frequˆ ente. ´ muito comum encontrar alunos que, em um momento de desE cuido, dizem que a integral da fun¸c˜ ao y = x21+1 ´e ln(x2 + 1). Entretanto, isso n˜ ao ´e verdade. Note que n˜ ao estamos diante de (iii) da tabela da p. 306 e assim Z 1 dx 6= ln(x2 + 1) + C 2 x +1 S˜ ao diferentes
Os exemplos anteriores mostram situa¸c˜ oes onde a integral praticamente j´ a est´ a no formado daquelas apresentadas na p. 306. Entretanto, h´ a situa¸c˜ oes onde ´e necess´ ario uma manipula¸c˜ ao alg´ebrica antes que de estarmos diante de uma integral conhecida. Vejamos uma situa¸c˜ ao que ilustre tal fato.
Exemplo 3: C´ alculo de integral que exige manipula¸ ca ˜o alg´ ebrica Seja a integral
Z
cosec x dx. cosec x − sen x
Naturalmente esta n˜ ao ´e uma das integrais que est´ a na tabela da p. 306. O que iremos fazer ´e modificar a forma com que a fun¸c˜ ao que est´ a no integrando est´ a escrita de forma que ser uma integral conhecida, a partir da manipula¸c˜ ao alg´ebrica. Nesse caso espec´ıfico ´e necess´ ario que se tenha em mente a defini¸c˜ ao das fun¸c˜ oes sec x = 1/ cos x, cosec x = 1/ sen x e a identidade fundamental sen2 x + cos2 x = 1. Observe como o problema pode ser resolvido:
308
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
Z
cosec x dx = cosec x − sen x
Z
1 sen x
1 sen x 1−sen2 x sen x
dx − sen x Z Z Z 1 1 = dx = dx = sec2 x dx 1 − sen2 x cos2 x 1 sen x
dx =
Z
Note que esta u ´ltima integral ´e conhecida. Ent˜ ao, por (vii) da p. 306 temos Z Z cosec x dx = sec2 x dx = tg x + C. cosec x − sen x H´ a situa¸c˜ oes em que ´e necess´ ario o uso de uma das propriedades de integral e diferencial listadas a seguir. Z Z Z (P 1) [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx; Z Z (P 2) C · f (x) dx = C f (x) dx, C uma constante; (P 3) (P 4) (P 5)
d[f (x)] = f ′ (x) dx; d[f (x) + g(x)] = d[f (x)] + d[g(x)]; d[C · f (x)] = C · d[f (x)];
No exemplo seguinte faremos uso de algumas dessas propriedades ser´ a ilustrado.
Exemplo 4: C´ alculo de integral que exige manipula¸ ca ˜o alg´ ebrica
Seja a integral
√ 3t2 t − 2t5 √ dt. 5 2 t Mais uma vez chamamos a aten¸c˜ ao para o fato de que esta integral n˜ ao consta na lista de integrais conhecidas da p. 306. Precisamos manipular algebricamente a express˜ ao que est´ a no integrando para que tenhamos uma integral conhecida. Para tal fa¸camos da seguinte forma: Z
Z
√ 1 5 Z Z 3t2 t − 2t5 3t2 · t 2 − 2t5 3 · t2 2t5 √ dt = dt = − 2 dt 2 2 5 2 t t5 t5 tZ5 Z Z 21 23 21 23 = 3t 10 − 2t 5 dt = 3 t 10 dt − 2 t 5 dt.
Au ´ltima igualdade foi devido ` as propriedades (P 1) e (P 2). Feito isso estamos pronto para a resolver a integral j´ a que agora ambas podem ser resolvidas usando (ii) da p. 306. Ficaremos ent˜ ao com Z
√ Z Z 21 23 3t2 t − 2t5 10 dt − 2 √ dt = 3 t t 5 dt 5 2 t 21 23 31 28 t 10 +1 t 5 +1 30 t 10 5t 5 = 3 21 − 2 23 +C = − + C. 31 14 10 + 1 5 +1
309
˜ POR MANIPULAC ˜ ALGEBRICA ´ 11.1. INTEGRAC ¸ AO ¸ AO
Algumas identidades s˜ ao importantes para manipula¸c˜ ao alg´ebrica de fun¸c˜ oes trigonom´etricas. As identidades estabelecidas nos Exerc´ıcios 14-17 (p. 295) s˜ ao particularmente importantes para resolver integrais que envolvam produtos de senos e cossenos onde o argumento dessas fun¸c˜ oes n˜ ao s˜ ao iguais. No exemplo seguinte esta situa¸c˜ ao ser´ a ilustrada.
Exemplo 5: C´ alculo de integral que exige manipula¸ ca ˜o alg´ ebrica Seja a integral
Z
sen(10x) · sen(7x) dx.
Essa integral n˜ ao consta na lista de integrais conhecidas da p. 306. Como modificar a forma com que esta integral est´ a escrita? Pela rela¸c˜ ao estabelecida no Exerc´ıcio 15 (p. 295) temos 2 sen a sen b = cos(a − b) − cos(a + b). e desse modo, considerando a = 10x e b = 7x ficaremos com Z
sen(10x) · sen(7x) dx = = = =
Z 1 2 Z 1 2 Z 1 2 Z 1 2
2 · sen(10x) · sen(7x) dx cos(10x − 7x) − cos(10x + 7x) dx cos(3x) − cos(17x) dx Z 1 cos(3x) dx − cos(17x) dx 2
Precisamos de um pequeno ajuste nas integrais. Observe que (iv) da p. 306 diz que Z cos d = sen + C. Entretanto,
S˜ ao diferentes Z
cos (3x) dx
ainda n˜ ao estamos em condi¸c˜ oes de usar essa integral. O ajuste que faremos aqui ´e comum e ser´ a feito em outros momentos sem necessariamente chamarmos a aten¸c˜ ao para os detalhes mostrados aqui. Note que combinando as propriedades (P 2) e (P 5) (p. 308) teremos Z Z Z 1 1 cos(3x) dx = cos(3x) 3 · dx = cos(3x) d(3x) 3 3 e agora estamos em condi¸c˜ oes de usar (iv) da p. 306. Assim, Z Z 1 1 cos(3x) dx = cos(3x) d(3x) = sen(3x) + C. 3 3 Racioc´ınio an´ alogo nos leva a concluir que Z Z 1 1 cos(17x) dx = cos(17x) d(17x) = sen(17x) + C. 17 17
310
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
Desse modo, Z
sen(10x) · sen(7x) dx = = =
Z Z 1 1 cos(3x) dx − cos(17x) dx 2 2 1 1 1 1 · sen(3x) − · sen(17x) + C 2 3 2 17 1 1 sen(3x) − sen(17x) + C. 6 34
Exemplo 6: Integrar y = cos2 (5x). As identidades estabelecidas nos Exerc´ıcios 11 e 12 da p. 295 s˜ ao im2 2 portantes para resolver integrais que envolvam cos ( ) e sen ( ) pois permitem eliminar o expoente 2. No Exerc´ıcio 16 da p. 322 o leitor ser´ a conduzido a uma demonstra¸c˜ ao da seguinte identidade: 1 + cos(2 ) 1 − cos(2 ) e sen2 = . 2 2 Essas mesmas identidades tamb´em podem ser obtidas fazendo a = 2 · nos Exerc´ıcios 11 e 12 da p. 295. cos2 =
Desse modo, usando as propriedades (P 1), (P 5) (p. 308) e a que acabamos de enunciar teremos Z
2
cos (5x) dx = = =
Z
Z 1 + cos(2 · 5x) 1 dx = [1 + cos(10x)] dx 2 2 Z Z 1 1 dx + cos(10x) dx 2 Z Z 1 1 dx + cos(10x) d(10x) . 2 10
Usando (i) e (iv) da p. 306 teremos Z
1 cos (5x) dx = 2 2
1 x sen(10x) x+ sen(10x) + C = + +C 10 2 20
Obs.: Na p. 321 encontrar´ a uma outra forma de resolver problemas en2 2 volvendo sen ( ) e cos ( ).
Exemplo 7: Integrar sen(kx), cos(kx), ekx , k ∈ R∗ . A integral de sen(kx) com k ∈ R∗ pode ser calculada da seguinte forma: Z Z 1 cos(kx) sen(kx) dx = sen(kx) d(kx) = − + C. k k Analogamente, Z
cos(kx) dx =
sen(kx) +C , k
Z
ekx dx =
ekx + C. k
311
˜ POR MANIPULAC ˜ ALGEBRICA ´ 11.1. INTEGRAC ¸ AO ¸ AO
O mesmo ocorre para as demais integrais. Assim, integrais nesta forma podem ser calculadas diretamente como por exemplo: Z
Z e5x sen(12x) e5x dx = + C, cos(12x) dx = + C; 5 12 Z cos 23 x 3 2 2 sen x dx = − = − cos · x + C; 2 3 2 3 3 R Z e− L t L R −R t + C = − e− L t + C, e L dt = R R −L
e assim sucessivamente.
Exemplo 8: Integrar y = cotg(x). A integral (xii) da tabela da p. 306 n˜ ao foi justificada (ainda). Faremos isso agora. Observe que cotg x = cos x/ sen x e d(sen x) = cos x dx (propriedade (P 3) da p. 308). Desse modo, Z
cotg x dx =
Z
cos x dx. sen x
Precisamos manipular algebricamente a fun¸c˜ ao no integrando de modo que obtenhamos uma integral conhecida. Para isso, observe que Z
cos x dx = sen x
Z
1 · cos x dx = sen x
Z
1 d(sen x). sen x
Observe que o mesmo que temos no denomindador, tamb´em temos ` a direita de “d” e assim estamos diante de uma integral na forma (ii) da tabela da p.306 e assim, Z
cotg x dx =
Z
1 d(sen x) = ln | sen x| + C. sen x
A integral da fun¸c˜ ao y = tg x ((xi) da p. 306) ´e an´ aloga e ser´ a deixado como exerc´ıcio. Note que podemos escrever Z Z 1 1 · d(sen x) = d = ln | | + C = ln | sen x| + C sen x onde = sen x, ou Z
1 · d(sen x) = sen x
Z
1 d u = ln |u| + C = ln | sen x| + C u
onde u = sen x. Isso chama-se mudan¸ca de vari´ avel e ´e um recurso que permite visualizar melhor a nova integral em termos da vari´ avel considerada e ser´ a discutido a seguir.
312
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
11.2 Sejam f e F duas fun¸c˜ oes tais que F ′ = f . Ent˜ ao, pela regra de deriva¸c˜ ao em cadeia, d F (g(x)) = F ′ (g(x))g′ (x) = f (g(x))g′ (x), dx donde segue-se que Z
f (g(x))g′ (x) dx = F (g(x)) + C.
Se pusermos u = g(x), teremos, evidentemente, Z
Z z}|{ ′ f (g(x)) · g (x) dx = f (u) · du = F (u) + C | {z }
pois, por hip´ otese, F ´e primitiva de f . Daremos, a seguir, v´ arios exemplos ilustrativos de aplica¸c˜ ao dessa f´ ormula na integra¸c˜ ao. O que temos de fazer, em cada caso, ´e procuR rar reduzir a fun¸c˜ ao que desejamos integrar ` a forma f (g(x)) · g′ (x) dx, onde f seja f´ acil de integrar.
Exemplo 9: Integrar 2x(x2 + 1)3 .
A integral
Z
√ x x + 1 dx pode ser resol-
vida com substitui¸ca ˜o u = x + 1, mas n˜ ao ir´ a escrevˆ e-la na forma Z
f (g(x)) · g ′ (x) dx.
Nesse caso substitu´ımos x = u − 1 e dx = du para obter Z
√ x x + 1 dx =
Z
√ (u − 1) udu.
A resolu¸ca ˜o fica como exerc´ıcio e a resposta ser´ a 5
Para resolver uma integral usando ao simples, devemos procuR substitui¸c˜ rar escrever a integral na forma f (g(x))·g′ (x) dx. Para isso, precisamos identificar duas fun¸c˜ oes (uma multiplicando a outra) de tal forma que uma delas deja (a menos de uma constante multiplicando) a derivada do argumento da outra. Ent˜ ao escrevemos: Z Z 2 3 2 2x(x + 1) dx = (x + 1})3 · |{z} 2x dx | {z ´ e a derivada de
De sorte que, fazendo a mudan¸ca de vari´ avel u = g(x) = x2 + 1, teremos du = 2x dx, donde Z
2
3
(x + 1) · 2x dx =
Z
3
2 (x + 1) 2 2 (x + 1) 2 − + C. 5 3
Exemplo 10: Integrar
(x3
u3 du =
u4 (x2 + 1)4 +C = + C. 4 4
x2 . − 2)5
Seguindo as id´eias do exemplo anterior, iniciamos o exerc´ıcio escrevendo a fun¸c˜ ao dada como um produto de fun¸c˜ oes. A partir da´ı tentaremos encontrar uma fun¸c˜ ao que ´e (a menos de uma constante multiplicando) a derivada do argumento da outra. Observe:
313
˜ POR SUBSTITUIC ˜ OU MUDANC ´ 11.2. INTEGRAC ¸ AO ¸ AO, ¸ A DE VARIAVEL
Z
x2 dx = (x3 − 2)5
Z
(x3
1 · x2 dx − 2)5
Observe que o candidato a ser g′ (x) ´e a express˜ ao x2 . Esta deve ser a derivada do argumento da fun¸c˜ ao que est´ a no outro fator; Fazendo 3 2 u = x − 2 teremos du = 3x dx. Como o fator “3” junto com x2 dx n˜ ao est´ a no integrando, podemos fazer duas coisas: a primeira ´e isolar a express˜ ao x2 dx e obter du/3. Fazendo a substitui¸c˜ ao ficaremos com Lembre-se:
Z
d[f (x)] = f ′ (x) dx. Desse modo, d(x2 )
=
(x2 )′ dx
d(sen(x))
=
(sen(x))′ dx = cos x dx
1 · x2 dx = 3 (x − 2)5
Z
1 du 1 · = 5 u 3 3
Z
1 du = 5 u 3
Z
u−5 du =
u−6 +C −18
Como u = x3 − 2 ent˜ ao Z 1 (x3 − 2)−6 2 +C · x dx = − (x3 − 2)5 18
e assim sucessivamente.
O segundo modo de resolver o problema ´e multiplicar o integrando por uma forma de 1 de modo que o n´ umero necess´ ario apare¸ca junto ` a 3 diferencial x dx, no caso. Ter´ıamos: Z Z Z 1 1 1 1 1 2 2 · x dx = · 3 · x dx = du 3 | 3 5 {z } 5 (x − 2) 3 3 u5 (x − 2 ) | {z } du u
Multiplicar por uma forma de 1 ´ e o mesmo que multiplicar por um n´ umero que ´ e igual a 1. Por exemplo: 3 ·
5·
1 , 5
sen2
x + cos2
x,
sec2
x − tg2
1 , 3
x etc.
e o resultado segue do que feito anteriormente.
Exemplo 11: Integrar x sen(3x2 ). Seguindo a id´eia dos u ´ltimos exemplos temos Z Z 2 x sen(3x ) dx = sen(3x2 ) · x dx Fazendo u = 3x2 encontraremos du = 6x dx e assim, Z
sen(3x ) · x dx =
1 6
Z
=
1 6
Z
2
sen(|{z} 3x2 ) · 6 x dx} | · {z u
du
1 1 sen u du = − cos u + C = − cos(3x2 ) + C 6 6
Substitui¸c˜ ao em integral definida Em se tratando de integral definida, (11.1) passa a ser Z
b ′
f (g(x))g (x) dx =
a
Z
g(b)
f (u) du,
g(a)
Vejamos alguns exemplos de aplica¸c˜ oes desta u ´ltima f´ ormula.
Exemplo 12: C´ alculo de ´ area
(11.1)
314
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
Encontre a ´ area da regi˜ ao mostrada na Fig. 11.1. A´ area ser´ a calculada resolvendo a seguinte integral: Z
2
2
x −1
p
x3
1 + 1 dx = 3
Z
x=2
x=−1
p
x3 + 1 d(x3 + 1).
Com a substitui¸c˜ ao u = x3 + 1, • se x = −1 ent˜ ao u = (−1)3 + 1 = 0; • se x = 2 ent˜ ao u = (2)3 + 1 = 9. Da´ı, essa integral assume a forma Z
1 3
9√
0
√
√ 1 2u u
9 2 u du = · = · 9 · 9 = 6.
3 3 0 9
Logo, a a´rea ´e de 6 u.a.
Exemplo 13: Calcular a integral definida Z
1 p Calcule a integral (1 − x)3 (1 + (1 − x)4 dx. 0 Z 1 p Como (1 − x)3 (1 + (1 − x)4 dx 0
=
−1 4
Z
x=1 p
x=0
1 + (1 − x)4 d[1 + (1 − x)4 ].
Com a substitui¸c˜ ao u = 1 + (1 − x)4 , Figura 11.1
• se x = 0 ent˜ ao u = 1 + (1 − 0)4 = 2; • se x = 1 ent˜ ao u = 1 + (1 − 1)4 = 1. Da´ı, essa integral assume a seguinte forma: −1 4
Z
1√
2
1 u du = 4
Z
√ √
1 2u u
2 2 2 − 1 u du = · = . 4 3 1 6
2√ 1
Exemplo 14: Calcular a integral definida Z
π 0
3
(cos x) sen x dx = −
Z
Com a substitui¸c˜ ao u = cos x, • se x = 0 ent˜ ao u = cos 0 = 1; • se x = π ent˜ ao u = cos π = −1.
x=π
x=0
(cos x)3 d(cos x).
315
˜ POR SUBSTITUIC ˜ OU MUDANC ´ 11.2. INTEGRAC ¸ AO ¸ AO, ¸ A DE VARIAVEL
Da´ı, essa integral assume a seguinte forma: Z
0
π
3
(cos x) sen x dx = −
Z
−1 1
−u4
−1 1 − (−1)4 = 0. u du = = 4 1 4 3
Exemplo 15: Calcular a integral impr´ opria Z
∞
(e−x + 1)2 e−x dx.
0
Com a substitui¸c˜ ao u = e−x + 1, • se x = 0 ent˜ ao u = e−0 + 1 = 2; • se x → ∞ ent˜ ao u = e−x + 1 → 0 + 1 = 1. Assim, a integral se transforma em: −
Z
2
1
2
u du =
Z
2 1
u3
2 7 u du = = . 3 1 3 2
Geometricamente, esse resultado ´e a medida da ´ area da regi˜ ao ilimitada, compreendida entre a curva y = (e−x + 1)2 e−x e os eixos Ox e Oy (Fig. 11.2).
Figura 11.2
316
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
Calcule as integrais dadas nos Exerc´ıcios 1 a 23. 1.
Z
x dx. x2 + 1
3.
Z
xex dx.
5.
Z
∞
π/2
6.
Z
8.
Z
10.
Z
2
2.
Z
sen2 x cos x dx.
4.
Z
tg x · sec2 x dx
2
xe−x dx. Interprete o resultado geometricamente
0
sen x cos x dx.
7.
Z
dx . x+5
9.
Z
dx . 3x + 1
11.
Z
0
dx . (x − 2)4
dx . (3x − 5)7
∞
e−2x dx.
0
12.
Z
13.
Z
ex sen(ex ) dx.
14.
Z
15.
Z
cos(2x + 1) dx.
ln x dx. x
16.
Z
x3 (1 + x4 ) dx.
17.
Z
18.
Z
19.
Z
sen x dx. cos3 x
20.
Z
21.
Z
sen x dx. cos5 x
22.
Z
23.
Z
e x √ dx. x
(x + 1)
24.
Z
sen2 (3x) dx.
25.
Z
sen(3x) cos(8x) dx.
26.
Z
cos(10x) cos(13x) dx.
27.
Z
tg x dx.
28.
Z
sec x dx. Sugest˜ ao: multipl. o num. e o denomin. por sec x + tg x.
29.
Z
cosec x dx. Sugest˜ ao: multipl. o num. e o denomin. por cosec x+ cotg x.
0
√ 3x + 5 dx.
0
π
cos x dx. 3 − sen x
(ln x)3 dx. x 3
1/3 2
x dx.
1
p x 1 − x2 dx.
√
30. Seja f uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo p, isto ´e, f (x + p) = f (x). Use mudan¸ca de vari´avel para provar que Z a Z p+a f (x)dx = f (x) dx. 0
p
Interprete esse resultado geometricamente.
317
˜ POR SUBSTITUIC ˜ OU MUDANC ´ 11.2. INTEGRAC ¸ AO ¸ AO, ¸ A DE VARIAVEL
31. Seja f uma fun¸c˜ao par. Prove que Z a Z f (x) dx = 2
a
f (x) dx.
0
−a
Interprete esse resultado geometricamente. 32. Se f ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo p, prove que Z a+p Z p f (x) dx = f (x) dx. a
0
33. Se f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, prove que Z a f (x) dx = 0 −a
e interprete esse resultado geometricamente. 34. Seja f uma fun¸c˜ao ´ımpar e peri´odica, de per´ıodo p. Prove que Z p f (x) dx = 0. 0
35. Calcule a integral
Z
a
−a
x3 cos15 x dx. x2 + 1
36. Continue o exerc´ıcio 21 da p. 277. Integre ambos os membros em rela¸c˜ao a t a rela¸c˜ao V R R d I · e L ·t = e L ·t dt L e mostre que V R V R −R ·t ·t I(t) = e L · eL + C = + C · e− L ·t R R onde C ´e uma constante. 37. Mostre, a partir do resultado obtido no exerc´ıcio anterior que se I(t) =
V R + C · e− L ·t R
ent˜ao a condi¸c˜ao inicial I(0) = 0 nos leva ao valor da constante C = −
assim, a EDO (9.4) da p. 274 tem como solu¸c˜ao I(t) =
V e R
V R 1 − e− L ·t R
38. Considere um circuito RL semelhante ao mostrado na p. 274. Suponha que o circuito esteja est´avel, ou seja, a corrente I = V /R. Suponha que a bateria seja desligada. Como a tens˜ao passa a ser nula o modelo matem´atico passa a ter a seguinte forma L·
dI +R·I =0 dt
onde
I(0) =
V . R
Mostre que nesse caso a corrente tende a diminuir tendendo a zero. Expresse a corrente I em fun¸c˜ao do tempo t.
318
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
1.
p ln(x2 + 1) sen3 x + C = ln x2 + 1 + C. 2. + C. 2 3 2
ex 3. + C. 2
4.
tg2 x +C 2 2
5. 1/2. Isto ´e a ´area da figura delimitada pelo semi-eixo Ox e a curva y = e−x . Fa¸ca o gr´afico. 6. 1/2. 8. C − 10. C −
7. ln |x + 5| + C. 1 . 3(x − 2)3
9.
1 . 18(3x − 5)6
ln |3x + 1| + C. 3
11. 1/2.
12.
2(3x + 5)3/2 + C. 9
13. C − cos ex .
14.
sen(2x + 1) + C. 2
15.
(1 + x4 )2 + C. 8
π
18. − ln(3 − sen x)
= 0.
(ln x)2 + C. 2
17. 1/3.
16.
19.
1 + C. 2 cos2 x
21.
1 + C. 4 cos4 x
0
(ln x)4 + C. 4 1p 3 (x3 + 1)4 + C. 22. 4 20.
23. 2e
√ x
+ C.
24.
x sen (6 x) − + C. 2 12
25.
26.
sen (23 x) sen (3 x) + + C. 46 6
27. − ln | cos x| + C = ln | sec x| + C.
28. ln | sec x + tg x| + C. Z
30. Com x = u − p, 31.
Z
Z−a a
f (x) dx
=
a
f (x) dx =
Z
− a
Z
−a
Z
f (x) dx.
a
f (x + p) dx =
Z
a+p
f (u)du.
p
0
Fazendo x
0
=
−u ficaremos com
f (u)du. pois f ´e par. Mudando o s´ımbolo na u ´ltima Z 0 Z a integral ficamos com f (x) dx = f (x)dx. Deixamos o final da de0
f (−u)dy =
29. − ln | cosec x + cotg x| + C
0
0
cos (5 x) cos (11 x) − + C. 10 22
0
−a
monstra¸c˜ao por conta do leitor.
0
319
˜ POR PARTES 11.3. INTEGRAC ¸ AO
32.
Z
a+p
f (x) dx =
a
Z
p
f (x) dx +
a
Z
a+p
f (x) dx considerando a < p < a + p.
p
Da´ı passamos a ter Z
p
f (x) dx +
a
=
Z
Z
a+p
f (x − p) dp
p
p
f (x) dx +
a
Z
a
f (u)du = 0
Z
p
f (x) dx.
0
O t´ermino ´e deixado por conta to leitor. 33. Como
Z
0
−a
f (x) dx = −
Pondo x = −u teremos
Z
Z
−a
Z
f (x) dx =
0
f (−x) dx, pois f ´e ´ımpar.
0
a
0
−a
f (u)du = −
Z
a
f (u)du.
0
O t´ermino ´e deixado por conta do leitor. 34.
Z
p
0Z
−
f (x) dx = (pelo Exerc´ıcio anterior) = − p
Z
0
−p
f (x) dx = −
Z
0
f (x+p) dx =
−p
f (y)dy.
0
35. O integrando ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, logo a integral ´e zero em intervalo cujo ponto m´edio ´e a origem. 36. Ap´ os resolver as integrais, deixe I isolado no primeiro membro. Lembre-se que Z R R e L ·t L R e L ·t dt = R = · e L ·t . R L 37. Trivial. 38. Note que se L· e assim
dI +R·I = 0 dt
dI R = − dt I L
assim,
dI R =− I dt L Z Z dI R =− dt. I L
ent˜ao
Resolvendo a integral, isolando I e impondo a condi¸c˜ao inicial chegaremos em I(t) =
V −Rt e L R
que tende a zero se t → ∞.
11.3 Pela regra de deriva¸c˜ ao do produto de duas fun¸c˜ oes u = u(x) e v = v(x), (uv)′ = u′ v + uv ′ .
320
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
Integrando, obtemos: Z
u(x)v(x) =
u′ (x)v(x) dx +
Z
u(x)v ′ (x) dx,
ou ainda, Z
′
uv dx = uv −
Z
u′ v dx.
Esta ´e a f´ ormula de integra¸ca ˜o por partes, assim chamada porque pera integra¸c˜ ao do produto u′ v. mite reduzir a integra¸c˜ ao do produto uv ′ ` Devido a isto costumamos dizer que atrav´es dela estamos “derivando”u e “integrando”v ′ . Observe que ela pode tamb´em ser escrita na forma seguinte: Z
u dv = uv −
Z
v du.
(11.2)
Em geral usamos integra¸ca ˜o por parte para integrar PRODUTO de fun¸co ˜es quando o m´ etodo de integra¸ca ˜o por substitui¸ca ˜o simples n˜ ao se aplica.
Em se tratando de integral definida, a f´ ormula de integra¸ca˜o por partes assume a forma:
x=b Z b Z b
′ uv dx = uv
− u′ v dx. a
ou
x=a
Z
b
a
a
x=b Z b
u dv = uv
− v du. x=a
a
Exemplo 1: Integrar xex .
A fun¸ca ˜o que escolher para u multipli-
Seja integrar xex . A integra¸c˜ ao seria imediata se n˜ ao tiv´essemos o x fator x, mas apenas e . Isto sugere derivar x e integrar ex , da´ı pormos u = x, dv = ex (portanto, v = ex ). Obtemos:
cada pela que escolheu para dv deve ter como produto o integrando. N˜ ao escolha para u o argumento de uma fun¸ca ˜o.
Z
x
xe dx =
Z
x
x
xd(e ) = xe −
Z
ex dx = xex − ex + C.
Se fosse x2 ex o integrando, ter´ıamos de integrar por partes duas vezes, na primeira derivando x2 e integrando ex . Assim, Z Z Z 2 x 2 x 2 x x e dx = x d(e ) = x e − 2 xex dx = x2 ex − 2(xex + ex ) + C = x2 ex − 2xex + 2ex ) + C.
Exemplo 2: Integrar x cos x. Seja integrar x cos x. Como no exemplo anterior, a integra¸c˜ ao seria imediata, n˜ ao fosse pela existˆencia do fator x. Da´ı a id´eia de usar integra¸ca˜o por partes para eliminar esse x: Z Z Z x cos x dx = x d(sen x) = x sen x − sen x dx = x sen x + cos x + C.
321
˜ POR PARTES 11.3. INTEGRAC ¸ AO
Se fosse x2 cos x a fun¸c˜ ao a integrar, ter´ıamos de fazer duas integra¸c˜ oes por partes, na primeira derivando x2 e integrando cos x: Z
Z x2 d(sen x) = x2 sen x − 2 x sen x dx Z 2 = x sen x + 2 x d(cos x) Z 2 = x sen x + 2 x cos x − cos x dx
x2 cos x dx =
Z
ou seja, Z
x2 cos x dx = x2 sen x + 2x cos x − 2 sen x dx = (x2 − 2)sen x + 2x cos x + C.
Exemplo 3: Outra forma de integrar sen2 (x). A integra¸c˜ ao por partes ` as vezes nos leva de volta ` a integral inicial: Z Z Z 2 sen x dx = − sen x d(cos x) = −sen x cos x + cos2 x dx Z = −sen x cos x + (1 − sen2 x) dx Z = x − sen x cos x − sen2 x dx; portanto, 2 e, finalmente,
Z
Z
sen2 x dx = x − sen x cos x
sen2 x dx =
x − sen x cos x + C. 2
Exemplo 4: A integral inicial aparece. Eis aqui um exemplo em que duas sucessivas integra¸c˜ oes por partes nos levam de volta ` a integral inicial: Z Z Z x x x e cos x dx = cos x de = e cos x − ex (−sen x) dx Z x = e cos x + sen x dex Z x x = e cos x + e sen x − ex cos x dx; portanto, passando esta u ´ltima integral para o primeiro membro e dividindo por 2, obtemos Z ex (sen x + cos x) ex cos x dx = + C. 2
322
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
Exemplo 5: Integrar ln x. Para integrar ln x, usamos (11.3) com u = ln x e dv = dx. Com isso, du = 1/x dx e v = x. Logo, Z Z Z 1 ln x dx = x ln x − x d(ln x) = x ln x − x · dx; x portanto,
Z
ln x dx = x ln x − x + C.
Calcule as integrais propostas nos Exerc´ıcios 1 a 15. x3 ex dx.
2.
Z
xe3x dx.
x sen x dx.
4.
Z
x2 sen x dx.
x cos 5x dx.
6.
Z
cos2 x dx.
ex sen x dx.
8.
Z
√ x x + 2 dx.
x ln x dx.
10.
Z
ln x dx. x
xr ln x dx, r 6= −1.
12.
Z
sen3 x dx.
14.
Z
x2 e−5x dx.
1.
R
3.
Z
5.
Z
7.
Z
9.
Z
11.
Z
13.
Z
cos x dx.
15.
Z
xe−x dx.
3
16. Calcule as integrais de sen2 x e cos2 x, integrando as identidades cos2 x + sen2 x = 1 cos2 x − sen2 x = cos 2x e adicionando e subtraindo as identidades resultantes.
323
˜ POR PARTES 11.3. INTEGRAC ¸ AO
xe3x e3x e3x − = (x − 1/3). 3 9 3
1. ex (x3 − 3x2 + 6x − 6) + C.
2.
3. sen x − x cos x + C.
4. (2 − x2 ) cos x + 2x sen x + C.
x sen 5x cos 5x + . 5 25 Z Z Z 6. cos2 x dx = cos x d sen x = sen x cos x + sen2 x dx
5.
= sen x cos x + x − Resp.:
7.
Z
cos2 x dx =
Z
cos2 x dx.
sen x cos x + x + C. 2
ex (sen x − cos x) + C. 2
′ 2(x + 2)3/2 8. Observe que x + 2 = . 3 2x 4 Resp.: (x + 2)3/2 − (x + 2)5/2 + C. 3 15
√
9.
x2 1 (ln x − ) + C. 2 2
10.
ln2 x + C. 2
xr+1 1 (ln x − ) + C. r+1 r+1 Z Z Z 12. sen3 x dx = − sen2 x d cos x = −sen2 x cos x + 2 cos2 x sen x dx
11.
2
= −sen x cos x + 2 Resp.: 13.
Z
sen x dx − 2
Z
sen3 x dx.
− cos x (sen2 x + 2) + C. 3
sen x (cos2 x + 2) + C. 3
15. C − e−x (x + 1).
14. C −
2 e−5x 2 2x x + + . 5 5 25
11.4 Nesta se¸c˜ ao usaremos o MAXIMA e o GeoGebra para explorar conceitos vistos no Cap´ıtulo 11. Caso o leitor sinta necessidade de rever as apresenta¸c˜ oes dos softwares basta ir ao apˆendice do Cap´ıtulo 1 (p. 47) para apresenta¸c˜ ao do GeoGebra e ao apˆendice do Cap´ıtulo 2 (p. 87), mais precisamente na p.90 para apresenta¸c˜ ao do MAXIMA.
O assunto estudado nas referidas se¸c˜ oes foram: resolu¸c˜ao de integrais por manipula¸c˜ ao alg´ebrica e por substitui¸c˜ ao simples. Nessa se¸c˜ ao veremos como usar o MAXIMA para mostrar partes da resolu¸c˜ ao e n˜ ao somente o resultado final.
Integra¸c˜ ao por manipula¸ c˜ ao alg´ ebrica
Lembre-se que para executar um comando ´ e necess´ ario que segure a tecla SHIFT (⇑) e aperte ENTER.
No que a respeito manipula¸c˜ ao alg´ebrica, o procedimento n˜ ao ´e diferente do que j´a foi discutido. Basicamente guardar´ a a express˜ ao em alguma vari´ avel e depois usar´ a um dos bot˜ oes EXPANDIR e/ou SIMPLIFICAR. Como exemplo, considere o Exemplo 4 da p. 308 √ Z 3t2 t − 2t5 √ dt. 5 2 t Para que tenha algum resultado parcial para esse problema, poder´a proceder da seguinte forma: entre com os seguintes comandos >> f:(3*t^2*sqrt(t)-2*t^5)/t^(2/5) >> expand(%); e teremos como resultado (%i1) f:(3*t^2*sqrt(t)-2*t^5)/t^(2/5);
325
ˆ 11.4. EXPERIENCIAS NO COMPUTADOR
5
(%o1)
3 t 2 − 2 t5 2
t5
(%i2) expand(%); (%o2)
21
23
3 t 10 − 2 t 5
Com isso, ´e poss´ıvel saber qual express˜ ao ´e equivalente ` aquela que est´ a no integrando e tentar fazer a manipula¸c˜ ao necess´ aria at´e chegar `a este resultado. Feito isso, o pr´ oximo passo talvez seja integrando u ´ltimo resultado. Para isso, basta entrar com o seguinte comando: >> integrate(%,t) se a u ´ltima sa´ıda ´e a express˜ ao depois da expans˜ ao ou >> integrate(f,t) e encontraremos o mesmo resultado dado no Exemplo 4 ou seja, (%i3) integrate(%,t); 31
(%o3)
28
30 t 10 5t 5 − 31 14
Integra¸c˜ ao por substitui¸ c˜ ao ou mudan¸ ca de vari´ avel Para uma melhor explora¸c˜ ao desse assunto precisamos aprender um pouco mais sobre o MAXIMA. Ao mesmo tempo, iremos aprender a us´ a-lo para ajudar na resolu¸c˜ ao de integrais por esse m´etodo. Como escrever uma integral sem resolvˆ e-la? Para que uma integral seja apenas escrita e n˜ ao resolvida, basta colocar um ap´ ostrofe ` a esquerda do comando. Vamos a um exemplo. Seja a integral Z p x x2 + 1 dx. Para apenas escrever a integral, entre com o comando >> ’integrate(x*sqrt(x^2+1) e teremos como resultado, (%i4) ’integrate(x*sqrt(x^2+1),x); Z p (%o4) x x2 + 1dx O mesmo ocorre para outros comandos. Se o comando n˜ ao deve ser executado, apenas coloque um ap´ ostrofe ` a esquerda do comando como ilustrado.
326
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
Substitui¸ c˜ ao em integral indefinida H´ a duas formas de se fazer isso. A primeira ´e por meio de um comando escrito cuja sintaxe ´e a seguinte: changevar(integral, mudan¸ ca de var, var nova, var antiga); onde ´ a integral escrita, mas n˜ integral: E ao resolvida, como mostrado na se¸c˜ ao ´ anterior. E comum (e indicado) que se grave a integral em uma vari´ avel em uma vari´ avel e no caso, basta colocar o nome da vari´ avel no espa¸co reservado para “integral”. Quando se grava a integral na vari´ avel h´ a a possibilidade de se verificar se a integral ´e realmente aquela que se deseja. ´ a mudan¸ca de vari´ mudan¸ ca de var: E avel que ser´ a feita, como por exemplo: u=x^2+1. ´ a nova vari´ van nova: E avel da integral. Por exemplo, se a integral est´ a com a vari´ avel x e fazemos uma mudan¸ca de vari´ avel do tipo u = · · · ent˜ ao a vari´ avel nova ser´ a u. ´ a vari´ var antiga: E avel antiga, ou seja, a vari´ avel em que a integral original est´ a escrita. Continuaremos com o exemplo da se¸c˜ ao anterior. Suponha que a u ´ltima sa´ıda do programa tenha sido a integral escrita (mas n˜ ao resolvida). Ent˜ ao, a vari´ avel % est´ a com esta integral. Para fazer a mudan¸ca de vari´ avel u = x2 + 1 basta escrever: changevar(%, u=x^2+1, u, x); e obteremos como resultado, (%i5) changevar(%, u=x^2+1, u, x); R√ udu (%o5) 2 que ´e precisamente o que se obt´em ao se fazer a mudan¸ca de vari´avel sugerida. Com isso passa a ser poss´ıvel verificar se a mudan¸ca de vari´ avel feita est´ a correta. Este procedimento ´e interessante de se usar para procurar erros. Lembre-se que o leitor deve fazer todos os c´ alculos. O computador n˜ ao ir´ a substituir esses, apenas lhe mostrar´ a se at´e certo ponto fez de forma correta. Usaremos uma integral diferente para mostrar outro modo de se fazer substitui¸c˜ oes em integral indefinida. Seja a integral Z √ x x + 1 dx. Queremos primeiro escrever a integral. Dessa vez, gravaremos ela na vari´ avel “int”. Entre com o seguinte comando >> int:’integrate(x*sqrt(x+1),x)
327
ˆ 11.4. EXPERIENCIAS NO COMPUTADOR
e obteremos o seguinte (%i6) int:’integrate(x*sqrt(x+1),x); Z √ (%o6) x x + 1dx A segunda forma de se executar a mesma a¸c˜ ao ´e por meio de uma janela para entrada de dados. Para isso, no MENU PRINCIPAL, clique em ´ ´ CALCULO e depois em “MUDAR VARIAVEL...”(Fig. 11.3). Na janela que aparecer´ a (Fig. 11.4) h´ a quatro campos:
Integral/Sum: Entre com a integral escrita (sem resolver). No caso, como gravamos na vari´ avel “int”, basta escrever nesse campo int Figura 11.3
Old variable: Entre com a vari´ avel antiga, ou seja, a vari´ avel da integral original. Nesse caso ser´ a x. New variable: Entre com a nova vari´ avel. Se a mudan¸ca de vari´ avel for u = · · · , a nova vari´ avel ser´ a u. Nesse caso ser´ a u. ´ a mudan¸ca de vari´ Equa¸ c~ ao: E avel que ir´ a usar, como u = x2 +1, x = u+3 e assim por diante. Nesse caso ser´ a u=x+1. O preenchimento dever´ a ser como o mostrado na Fig. 11.4. Ao apertar OK o programa retornar´ a
Figura 11.4
(%i7) changevar(int, u=x+1, u, x); Z √ (%o7) (u − 1) udu Se clicar no bot˜ ao EXPANDIR teremos (%i8) expand(%); (%o8)
Z
3
u2 −
√ udu
Essa ´e nova integral obtida a partir da primeira usando a mudan¸ca de vari´ avel u = x + 1. Agora o leitor deve tentar resolver a integral (manualmente) e caso n˜ ao tenha chegado at´e o u ´ltimo resultado, dever´ a procurar saber onde houve o erro. Substitui¸ c˜ ao em integral definida Em rela¸c˜ ao ` a integral indefinida, o que muda para o c´ alculo de uma integral definida ´e o acr´escimo dos extremos de integra¸c˜ao no comando. Seja a integral Z 3 p x x2 + 1 dx. 0
Se entrar com os comandos >> int:’integrate(x*sqrt(x^2+1),x,0,3) changevar(%, u=x^2+1, u, x)
328
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
obteremos o seguinte (%i9) int:’integrate(x*sqrt(x^2+1),x,0,3); Z 3 p x x2 + 1dx (%o9) 0
(%i10) changevar(%, u=x^2+1, u, x); R 10 √ udu 1 (%o10) 2 Observe que os extremos de integra¸c˜ ao foram ajustados. Na primeira integral eram 0 e 3 e na u ´ltima foi 1 e 10. Com isso, ´e poss´ıvel verificar se a mudan¸ca de vari´ avel em integral definida est´ a sendo feita de forma correta. Seja a integral
Z
5
√ x x + 1 dx.
1
Se entrar com os seguintes comandos >> int:’integrate(x*sqrt(x+1),x,1,5) >> changevar(%, u=x+1, u, x) obteremos o seguinte resultado (%i11) int:’integrate(x*sqrt(x+1),x,1,5); Z 5 √ (%o11) x x + 1dx 1
(%i12) changevar(%, u=x+1, u, x); Z 6 √ (%o12) (u − 1) udu 2
Note novamente que a mudan¸ca de vari´ avel foi feita e o ajuste nos extremos de integra¸ca˜o tamb´em. Use esse recurso para lhe auxiliar nos c´ alculos.
Para usar o MAXIMA para resolver integrais por partes basicamente precisamos conhecer o procedimento. Dado uma integral, precisamos escolher u e dv de forma que u · dv seja igual ao integrando. Depois de verificado isso, devemos derivar u (e encontrar du) e integrar dv (e encontrar v). Feito isso, precisamos escrever a rela¸c˜ ao Z Z u · dv = u · v − v du. Seja a integral digitar
Z
x cos xdx. Para obter o resultado dessa integral, basta integrate(x*cos(x),x)
329
ˆ 11.4. EXPERIENCIAS NO COMPUTADOR
Entretanto, ´e nosso desejo mostrar um resultado parcial antes do final. Para isso procederemos da seguinte forma (observe o uso do ap´ ostrofe para n˜ ao resolver a integral): >> ’integrate(x*cos(x),x) >> u:x >> dv:cos(x) >> u*dv Nesse ponto, observe se a escolha de u e dv est˜ ao corretas verificando se u·dv ´e igual ao integrando. Caso sim, prossiga com os seguintes comandos: >> du:diff(u,x) >> v:integrate(dv,x) Com isso temos as quatro informa¸c˜ oes necess´ arias para usar a integra¸c˜ ao por partes. Para finalizar a ilustra¸c˜ ao, entre com os seguintes comandos: >> ’integrate(u*dv,x)=u*v-’integrate(v*du,x) Ap´ os esse u ´ltimo procedimento temos qual o formato a integral ter´ a ap´ os usar esse m´etodo. O resultado dever´ a ser como segue: (%i13) ’integrate(x*cos(x),x); Z (%o13) x cos (x) dx (%i14) u:x; (%o14)
x
(%i15) dv:cos(x); (%o15)
cos (x)
(%i16) u*dv; (%o16)
x cos (x)
(%i17) du:diff(u,x); (%o17)
1
(%i18) v:integrate(dv,x); (%o18)
sin (x)
(%i19) ’integrate(u*dv,x)=u*v-’integrate(v*du,x); Z Z (%o19) x cos (x) dx = x sin (x) − sin (x) dx Para que a integral seja resolvida, basta retirar o ap´ ostrofe ` a esquerda do comando. Lembre-se tamb´em que ´e poss´ıvel agrupar os comandos como pode ver a seguir
330
´ ˜ CAP´ITULO 11: METODOS DE INTEGRAC ¸ AO
(%i20) ’integrate(x*cos(x),x); u:x; dv:cos(x); u*dv; du:diff(u,x); v:integrate(dv,x); ’integrate(u*dv,x)=u*v-’integrate(v*du,x); Se optar por esse modelo, para mudar de problema, basta alterar as trˆes primeiras linhas e com um u ´nico SHIFT (⇑)+ENTER e todo o procedimento ser´ a executado. No modelo anterior s˜ ao necess´ arios sete execu¸c˜ oes (SHIFT (⇑)+ENTER).