Analisis de Redes -electronica by Eric Reategui

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación UNIVERSIDAD DE VIGO web: www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/index.html web: www.tsc.uvigo.es/Docencia/FichasAsignaturas/ar.php

Análisis de redes Transparencias de clase

Enrique Sánchez Artemio Mojón

Vigo, enero 2003

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación. Lagoas-Marcosende, s/n. 36200 VIGO Tfno.: 986812142. Fax: 986812116. Correo electrónico: esanchez@tsc.uvigo.es, amojon@tsc.uvigo.es

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Índice

Conceptos básicos .......................................................................................

Régimen transitorio ....................................................................................

Régimen sinusoidal permanente....................................................................

Cuadripolos ............................................................................................... 169

Análisis de redes Transparencias de clase

Conceptos básicos

Conceptos básicos - 1: páginas 3-9 Conceptos básicos - 2: páginas 10-22 Ejercicios de repaso: página 23

Los sistemas electromagnéticos se analizan utilizando las ecuaciones de Maxwell. Se requiere un proceso de cálculo complejo para determinar las intensidades de los campos eléctrico y magnético. Se utilizan simplificaciones matemáticas (teoría de circuitos, teoría de líneas de transmisión).

Aproximación básica de la teoría de circuitos (análisis de redes) Las dimensiones de los elementos del sistema son mucho menores que la menor de las longitudes de onda de las señales. Consecuencia Las magnitudes a calcular son Magnitud Símbolo voltaje / tensión v(t) corriente i(t) potencia |p(t)| = |v(t)i(t)|

Unidades voltios (V) amperios (A) watios (W)

energía

p(t)dt

julios (J)

En general, estas magnitudes varían con el tiempo (t). Análisis: se supone que el sistema está formado por elementos ideales y se aplican las leyes de Kirchhoff.

terminales (bornes)

Esquema

+ v -

v = f (i) i = f-1 (v)

relaciones funcionales

Elementos ideales

Características Un elemento ideal no puede descomponerse en otros. Sólo tiene dos terminales. Los terminales pueden estar a distinta tensión. La corriente que entra por un terminal es igual a la que sale por el otro. La corriente y la tensión están relacionadas por una función (distinta en cada elemento). En el cálculo de la potencia se aplica el convenio pasivo. Se clasifican en activos y pasivos.

Convenio pasivo de signos Se asignan arbitrariamente la polaridad de la tensión (+ -) y el sentido de la corriente (-> <-). i -i v + = + -v = i +

v p = vi

i -

v p = - vi

i -

Si p < 0, el elemento libera energía. Si p > 0, el elemento absorbe energía.

v + p = - vi

i -

v + p = vi

Elementos activos (fuentes, generadores) Representan la excitación que se aplica al resto del circuito. Clasificación Por la magnitud: de tensión, de corriente. Por la relación con otros elementos: independientes, dependientes (su valor depende de otros elementos). Por la relación con el tiempo: continuas (el valor no cambia con el tiempo), variables (el valor cambia con el tiempo). Representación gráfica +

Fuente de tensión independiente (continua o variable)

Fuente de tensión independiente continua

Fuente de tensión independiente sinusoidal

Fuente de corriente Fuente de corriente Fuente de tensión independiente dependiente dependiente (continua o variable) (continua o variable) (continua o variable) Fuente de tensión Impone en sus bornes la tensión indicada por la relación funcional; soporta cualquier corriente. Fuente de corriente: Impone en sus bornes la corriente indicada por la relación funcional; soporta cualquier tensión.

Elementos pasivos Soportan la excitación proporcionada por las fuentes. Caracterización de los elementos pasivos Esquema + i v - R + i v - G + i v - L + i v - C + i - R=0 + i

Elemento y unidades Resistencia

Relación funcional

Observaciones

v = Ri

Ley de Ohm

i = Gv

Ley de Ohm

Ohmios (Ω) Conductancia Siemens (S) Inductancia Henrios (H) Capacidad

v = L di dt

Faradios (F)

i = C dv dt

Cortocircuito

v=0

No soporta cambios bruscos de corriente No soporta cambios bruscos de tensión Soporta cualquier corriente

Circuito i=0 Soporta abierto cualquier tensión - R=∞ Si se cambia el sentido de la corriente con relación a la tensión, hay que utilizar un signo menos en el segundo miembro de la relación funcional. L y C son elementos reactivos; almacenan y liberan energía. R y G son elementos resistivos; disipan energía.

Análisis Analizaremos exclusivamente circuitos lineales (los elementos pasivos tienen valores positivos, constantes con el tiempo, e independientes de los valores de cualquier otro elemento), con lo que podremos aplicar el principio de superposición.

Principio de superposición Si en un sistema lineal la respuesta a una excitación xk (k = 1, 2,... n) es una salida yk, la respuesta a una excitación compuesta por una combinación lineal de las excitaciones xk es una salida que es la misma combinación lineal de las excitaciones xk. sistema lineal

Σ a kx k

k = 1, 2,... n

sistema lineal

Σ a kyk

ak = cte, para todo k

La linealidad (y el principio de superposición) sólo se mantiene si las salidas son tensiones o corrientes, y no si las salidas son potencias o energías.

Leyes de Kirchhoff Definiciones Nudo: punto en el que se conectan dos o más elementos. Malla: conjunto cerrado de elementos conectados uno a uno que puede recorrerse sin pasar dos veces por ninguno de ellos. Ley de las corrientes en los nudos La suma algebraica de las corrientes en un nudo es nula. Σ ik = 0, k = 1, 2,... n n: número de elementos conectados al nudo Ley de las tensiones en las mallas La suma algebraica de las tensiones en una malla es nula. Σ vk = 0, k = 1, 2,... n n: número de elementos que forman la malla

Análisis de redes Analizar un circuito consiste en calcular las corrientes y las tensiones en sus elementos (y, en caso necesario, potencias y energías). Para ello hay que: plantear las leyes de Kirchhoff en los nudos y en las mallas; relacionar la corriente y la tensión en cada elemento mediante su correspondiente relación funcional.

Ejemplo de análisis de redes Conocidos los valores de vg, R1, R2, y R3, se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en todos los elementos del circuito.

R1 R2 vg R3

+ v1 -

ig vg d

Se identifican los nudos (a, b, c, y d) y las mallas (abcd) del circuito.

R3 i3 + v3 -

+ v2 -

i2 R2 c

Se asignan tensiones y corrientes arbitrarias a los distintos elementos (excepto para la fuente, el sentido de cuya tensión ya está especificado).

nudo a: ig - i1 = 0 nudo b: i1 + i2 = 0 nudo c: i2 - i3 = 0 nudo d: i3 + ig = 0

Se aplica la ley de las corrientes a los nudos (una ecuación por cada nudo).

malla abcd: vg - v1 - v2 + v3 = 0

Se aplica la ley de las tensiones a las mallas (una ecuación por cada malla). Se consideran las relaciones funcionales de los elementos (una relación por elemento).

v1 = R1i1 v2 = - R2i2 v3 = R3i3

A partir del sistema de ecuaciones es posible hallar las corrientes y las tensiones buscadas.

Refinamientos del análisis de redes El análisis de un circuito mediante la aplicación directa de las leyes de Kirchhoff puede ser muy complicado. Para resolver este problema pueden utilizarse simplificaciones y procedimientos derivados, sin aproximaciones matemáticas, de las leyes de Kirchhoff. Simplificaciones Elementos en serie. Elementos en paralelo. Equivalencia ∇-Y (∏-T) entre agrupaciones de resistencias. Divisores de tensión. Divisores de corriente. Procedimientos Análisis por mallas. Análisis por nudos. Otros aspectos (también derivados de las leyes de Kirchhoff) Equivalentes de Thèvenin y Norton.

Elementos en serie Se dice que dos elementos están en serie cuando tienen un nudo común, y a este nudo no se conecta ningún otro elemento. a

Los elementos a, b y c están en serie

La corriente que circula por un conjunto de elementos en serie es igual en todos ellos. Por tanto: no es posible conectar en serie fuentes de corriente de distintos valores; si los elementos en serie son idénticos en naturaleza y valor, la tensión es igual en ellos. Elementos en serie de igual naturaleza pueden agruparse. Eeq En E1 i1 = = = in = i Elementos de igual naturaleza en serie

i Elemento equivalente n

Fuentes de tensión vk (k = 1, 2,... n)

veq =

Resistencias Rk (k = 1, 2,... n)

Req =

∑

k=1 n k=1 n

Inductancias Lk (k = 1, 2,... n)

Leq =

k=1 n

Capacidades Ck (k = 1, 2,... n)

1 = ∑ 1 Ceq k = 1 Ck

Elementos en paralelo Se dice que dos elementos están en paralelo cuando los terminales de todos ellos se conectan a los mismos nudos.

Los elementos a, b y c están en paralelo

La tensión en un conjunto de elementos en paralelo es igual en todos ellos. Por tanto: no es posible conectar en paralelo fuentes de tensión de distintos valores; si los elementos en paralelo son idénticos en naturaleza y valor, la corriente es igual en ellos. Elementos en paralelo de igual naturaleza pueden agruparse. + + v1 E1 vn En v1 = ... = vn = v Elementos de igual naturaleza en paralelo

+ v Eeq -

Elemento equivalente n

Fuentes de corriente ik (k = 1, 2,... n)

ieq =

Resistencias Rk (k = 1, 2,... n)

1 = eq

Inductancias Lk (k = 1, 2,... n)

1 = eq

Capacidades Ck (k = 1, 2,... n)

Ceq =

∑

∑ ∑

1 Rk 1 Lk

∑

k=1 n k=1 n k=1 n k=1

Divisor de tensión R1 R 1 + R2 v2 = v R2 R 1 + R2

+ v1 -

v1 = v

+ R1 v2 v R2 -

Divisor de corriente i

i1 R 2

R2 R 1 + R2 i2 = i R1 R 1 + R2 i1 = i

Transformación de generadores v

a b

Desde la perspectiva de un circuito externo conectado a los terminales a y b, ambos esquemas son iguales si se cumplen las relaciones indicadas más abajo. Sin embargo, téngase presente que para cálculos de corrientes y tensiones en el conjunto generador-resistencia la equivalencia no se mantiene en general. v = Ri

i = v/R

Utilización de las simplificaciones R1 vg R2

R3 ig

R3 R12

R12

R4 R6

R5 ig

R3 ig

v12

R4 R6

i1 R1 R2 ig

R123 v12 ig

i2 R123 ig

R4 R6

R5 R4 R6

+ v6 -

vg = 60 V, ig = 5.6 mA, R1 = 30 kΩ, R2 = 60 kΩ, R3 = 5 kΩ, R4 = 100 kΩ, R5 = 1 kΩ, R6 = 4 kΩ Hallar v6 Transformación de fuente vg i1 = R1 Agrupación de resistencias en paralelo R12 = R1R2 R 1 + R2 Transformación de fuente v12 = R12i1

Agrupación de resistencias en serie R123 = R12 + R3 Transformación de fuentes i2 = v12 R123

Utilización de las simplificaciones R5 i3 R1234

R1234

Agrupación de resistencias en paralelo R1234 = R123R4 R123 + R4 Agrupación de fuentes en paralelo i 3 = ig - i2

+ v6 -

Transformación de fuente v1234 = R1234i3

+ v6 -

Agrupación de resistencias en serie R12345 = R1234 + R5

v1234

R12345 v1234

+ v6 -

Divisor de tensión R6 v6 = v1234 = 12.8 V R12345 + R6

Equivalentes de Thèvenin y Norton Un circuito puede conectarse a una red externa a través de dos o más terminales. Si una red externa está conectada a un circuito a través de dos terminales, el comportamiento del segundo puede representarse mediante los equivalentes de Thèvenin y Norton. Un circuito tiene tantos equivalentes distintos como parejas de terminales se consideren. Equivalentes de Thèvenin y Norton en continua a

RTh b

Circuito original

VTh

Equivalente de Thèvenin

Equivalente de Norton

Entre los equivalentes se cumplen las relaciones (transformación de fuentes) RTh = RN VTh = RNIN IN = VTh RTh Si entre los terminales a y b se conecta una resistencia RL = RTh la potencia disipada en dicha resistencia es la máxima posible, y vale 2 V Th pmax = 4RTh

Análisis por mallas Identificación de mallas En un circuito hay r - (n - 1) mallas independientes. n: número de nudos esenciales. nudo esencial: conecta tres o más elementos. r: número de ramas esenciales. rama esencial: camino entre dos nudos esenciales que no pasa por otro nudo esencial. Sistema de ecuaciones A cada malla independiente se asigna una corriente. Se formula una ecuación por cada malla independiente (refleja la ley de Kirchhoff de las tensiones en la malla). Las incógnitas son las corrientes de las mallas. Ecuaciones adicionales Debe formularse una ecuación adicional por: cada fuente independiente de corriente, cada fuente dependiente. Las incógnitas de las ecuaciones adicionales están relacionadas con los elementos que las introducen. Nota Las corrientes de malla no tienen existencia real. Las corrientes que tienen sentido físico y pueden medirse son las corrientes de rama. En una rama no compartida entre dos mallas la corriente coincide con la de la malla de la que forma parte la rama.

Ejemplo de an谩lisis por mallas R1

R3 i3

va R4

Datos: v a , vb , R1 , R2 , R3 , R4 , R5

R2 vb

Hallar i3 i3 = ia - ib

R1 + v1 - R3 + v2 - R2 + v3 i vb va a i3 ib R4 + v 4 - + v 5 - R5 v a - v1 - v3 + v4 = 0 v 3 - v2 - vb + v 5 = 0

Asignaci贸n de corrientes de malla (sentido arbitrario) y tensiones (polaridad arbitraria)

v3 = R3i3 = R3(ia - ib) v1 = R1ia, v4 = - R4ia v2 = R2ib, v5 = - R5ib

Relaciones funcionales

Ley de Kirchhoff de tensiones en las mallas

va - R1ia - R3(ia - ib) - R4ia = 0 Ecuaciones de malla R3(ia - ib) - R2ib - vb - R5ib = 0 va = ia(R1 + R3 + R4) - ibR3 vb = iaR3 - ib(R3 + R2 + R5)

Ecuaciones de malla (ordenadas)

Prescindiendo de signos: suma algebraica fuentes tensi贸n independientes en malla = = corriente de malla X suma resistencias malla + + suma algebraica (resistencia compartida X X corriente en resistencia compartida) Los signos dependen de las relaciones entre: corrientes y fuentes en una malla, corrientes en las ramas compartidas.

Ejemplo de análisis por mallas R3

Datos: vd = ri2, ig, r, R1, R2, R3

i2 ig

Hallar potencias en las fuentes R1 + vg -

Identificación de incógnitas

R3 i2

ig ia

vg = ia(R1 + R2) - ibR2 vd = - iaR2 + ib(R2 + R3)

Ecuaciones de malla

vd = ri2 = r(ib - ia)

Ecuación adicional para la fuente dependiente

i a = ig

Ecuación adicional para la fuente de corriente

p g = - vg i g , pd = - vd i b

Cálculos

Análisis por nudos Identificación del nudo de referencia Se escoge arbitrariamente un nudo esencial como referencia y se le asigna una tensión arbitraria. Suele escogerse el nudo con más conexiones y suele asignársele una tensión nula. Indicación del nudo de referencia con tensión nula (conexión a tierra, a masa). Sistema de ecuaciones A cada nudo esencial se asigna una tensión con relación al de referencia. Se formula una ecuación por cada nudo (refleja la ley de Kirchhoff de las corrientes en el nudo). Las incógnitas son las tensiones en los nudos (excepto la del de referencia). Ecuaciones adicionales Debe formularse una ecuación adicional por: cada fuente independiente de tensión, cada fuente dependiente. Las incógnitas de las ecuaciones adicionales están relacionadas con los elementos que las introducen. Nota Las tensiones en los nudos no tienen existencia real. Las tensiones que tienen sentido físico y pueden medirse son las diferencias de tensiones entre los nudos y el de referencia.

Ejemplo de análisis por nudos i1

Datos: i 1 , i2 , R a , R b , R c Hallar la potencia en Rc

Rc i2 Ra Rb ic v1 v2

Rc i1

ia R a R b ib vo

Identificación de nudos y asignación de tensiones (vo = 0 V). Asignación arbitraria del sentido de las corrientes de rama.

i 1 - ia - ic = 0 i 2 - ib - ic = 0

Ley de Kirchhoff de corrientes en los nudos

ia = (v1 - vo) / Ra = v1/Ra ic = (v1 - v2) / Rc ib = (vo - v2) / Rb = - v2/Rb

Relaciones funcionales

i1 - (v1/Ra) - (v1 - v2) / Rc = 0 Ecuaciones de nudo i2 - (- v2/Rb) - (v1 - v2) / Rc = 0 Ecuaciones de nudo i1 = v1 1 + 1 - v2 Ra Rc Rc (ordenadas) - i 2 = - v1 + v 2 1 + 1 Rc Rb Rc pc = ic(v1 - v2)

Cálculo

suma algebraica fuentes corriente independientes en nudo = = tensión de nudo X suma conductancias nudo - suma algebraica (conductancia compartida X X tensión en otro nudo de conductancia compartida) Los signos de las fuentes se toman positivos si sus corrientes entran en el nudo considerado.

Ejemplo de análisis por nudos + vb -

Datos: id = gvb, v g, g, R1, R2, R3

R1 vg

Hallar potencia en la fuente independiente v1 + vb - v2

Identificación de nudos y asignación de tensiones (vo = 0 V)

vg ig R3

- ig = v1 1 + R1 id = - v1 + v2 R2

1 - v2 R2 R2 1 + 1 R2 R3

Ecuaciones de nudo

id = gvb = g(v1 - v2)

Ecuación adicional para la fuente dependiente

v 1 = - vg

Ecuación adicional para la fuente de tensión

p g = - vg i g

Cálculo

CONTINUA 2003/1 ID

VG = 5 V, IS = - 1 mA, ID = gV3, g = 1 mS, R1 = R2 = R3 = R4 = 1 kΩ El circuito de la figura funciona en régimen permanente continuo. Hallad las potencias en las tres fuentes (indicando si liberan o absorben energía) y la tensión entre x e y.

CONTINUA 2003/2 VG = 1 V, IS = 250 mA, R1 = R2 = R3 = R4 = 2 Ω El circuito de la figura funciona en régimen permanente continuo. Hallad la tensión V4.

R4 R2

+ V3 - R3

+ V4 R4 -

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Régimen transitorio

Transitorio-1: páginas 27-40 Ejercicios para resolver en clase: página 41 Transitorio-2: páginas 42-51 Transitorio-3: páginas 52-69 Ejercicios para resolver en clase: página 70 Transitorio-4: páginas 71-78

En el régimen permanente la excitación mantiene sus características mucho tiempo; la excitación fue aplicada hace mucho tiempo. En régimen permanente, las salidas del circuito (corrientes, tensiones) son de la misma forma que la excitación. Una excitación continua provoca salidas continuas. Una excitación sinusoidal provoca salidas sinusoidales.

t = ta

otros elementos

excitación y elementos asociados

El régimen transitorio es el que se produce inmediatamente después de que se aplique o se suprima una excitación. Interruptor cerrado: cortocircuito. Interruptor abierto: circuito abierto.

En régimen transitorio, las salidas del circuito no son de la misma forma que la excitación. Ello se debe a la presencia de elementos reactivos (sus relaciones funcionales implican dependencias del tiempo). En un circuito puramente resistivo no hay régimen transitorio.

Condiciones de estudio del régimen transitorio La excitación que se aplica al circuito o se suprime de él es continua. Sólo se analizan respuestas de circuitos con dos elementos reactivos como mucho. Los cálculos se realizan mediante análisis integro-diferencial.

Elementos reactivos en régimen transitorio Relaciones funcionales +

v LoC

vL = L diL dt

iC = C dvC dt

Consecuencias La corriente no puede variar bruscamente (en un tiempo nulo) en una inductancia (provocaría tensión infinita). La tensión no puede variar bruscamente (en un tiempo nulo) en una capacidad (provocaría corriente infinita). La tensión en una inductancia y la corriente en una capacidad sí pueden variar bruscamente. (Las resistencias admiten cambios bruscos de corriente y tensión). En continua la inductancia se comporta como un cortocircuito (tensión nula ya que la corriente es constante); la capacidad se comporta como un circuito abierto (corriente nula ya que la tensión es constante). Condiciones iniciales y finales Iniciales (t = 0): las que hay en el circuito cuando cesa el permanente (t = 0-) y empieza el transitorio (t = 0+). Finales (t = ∞): las que hay en el circuito cuando cesa el transitorio y se llega al permanente.

Determinación de condiciones iniciales y finales (aplicación de excitación, cálculo directo, septiembre 1999)

+ vC IG C iC

iC(0-) = 0 vL(0-) = 0 iL(0-) = 0 vC(0-) = RIG

t = 0 R iL R L

+ vL -

Datos: IG (continua), R, L, C Hallar condiciones en t = 0-, t = 0+, y t = ∞

C es un circuito abierto en continua L es un cortocircuito en continua L no está conectada a la excitación toda corriente fuente se va por R paralelo C; las tensiones en R y C son iguales

vC(0+) = vC(0-) = RIG iL(0+) = iL(0-) = 0 vL(0+) = RIG iC(0+) = 0

tensión en C no cambia bruscamente corriente en L no cambia bruscamente en la malla que contiene a L vC (0+) = RiL(0+) + vL(0+) vC (0+) = vC (0-) → toda corriente fuente se va por R paralelo C manteniendo la tensión en C

iC(∞) = 0

C es un circuito abierto en continua

vL(∞) = 0

L es un cortocircuito en continua

iL(∞) = IG/2

toda corriente fuente se reparte entre R y R (iC (∞) = 0) igual entre ambas

vC(∞) = RIG/2

tensión en C igual a tensión R paralelo C

Determinación de condiciones iniciales y finales t=0

(aplicación de excitación, cálculo directo, junio 2001)

R IG

Datos: IG (continua), a, R, L, C

+ avL R iL + vL vC L C -

Hallar: condiciones en t = 0-, t = 0+, y t = ∞; wL (0 ≤ t ≤ ∞)

iC(0-) = 0 vL(0-) = 0 iL(0-) = 0 vC(0-) = 0

C es un circuito abierto en continua L es un cortocircuito en continua iL(0-) + iC(0-) = 0 vC(0-) = avL(0-) + RiL(0-) + vL(0-)

vC(0+) = vC(0-) = 0 iL(0+) = iL(0-) = 0 iC(0+) = IG vL(0+) = 0

tensión en C no cambia bruscamente corriente en L no cambia bruscamente iC(0+) = IG - vC(0+)/R - iL(0+) vC(0+) = avL(0+) + RiL(0+) + vL(0+)

iC(∞) = 0

C es un circuito abierto en continua

vL(∞) = 0

L es un cortocircuito en continua

iL(∞) = IG/2

toda corriente fuente se reparte entre R y R (iC (∞) = 0) igual entre ambas

vC(∞) = RIG/2

vC(∞) = avL(∞) + RiL(∞) + vL(∞)

∞

pL(t)dt =

wL = 0

∞

vL(t)iL(t)dt = 0

iL(t)L 0

d iL(t) dt = L i2L(∞) - i2L(0) dt 2

Determinación de condiciones iniciales y finales (aplicación de excitación, cálculo directo, diciembre 2002)

t=0 R IG

+ iC vC C -

Datos: IG (continua), a, R, L, C

+ vL aiC L iL

Hallar: condiciones en t = 0-, t = 0+, y t = ∞; wL (0 ≤ t ≤ ∞)

iC(0-) = 0 vL(0-) = 0 iL(0-) = 0 vC(0-) = 0

C es un circuito abierto en continua L es un cortocircuito en continua L no está conectada a la excitación vC(0-) = vL(0-)

vC(0+) = vC(0-) = 0 iL(0+) = iL(0-) = 0 iC(0+) = IG/(1 - a) vL(0+) = 0

tensión en C no cambia bruscamente corriente en L no cambia bruscamente IG = vC(0+)/R + (1 -a)iC(0+) + iL(0+) vL(0+) = vC(0+)

iC(∞) = 0

C es un circuito abierto en continua

vL(∞) = 0

L es un cortocircuito en continua

iL(∞) = IG

IG = vC(∞)/R + (1 -a)iC(∞) + iL(∞)

vC(∞) = 0

vC(∞) = vL(∞) ∞

∞

pL(t)dt =

wL = 0

∞

vL(t)iL(t)dt = 0

iL(t)L 0

d iL(t) dt = L i2L(∞) - i2L(0) dt 2

Determinación de condiciones iniciales y finales (supresión de excitación, cálculo directo, julio 1999)

+ vL L iL VG R

t=0 R

Datos: VG (continua), R, L, C

+ vC C -

Hallar: condiciones en t = 0-, t = 0+, y t = ∞; wC (0 ≤ t ≤ ∞)

iC(0-) = 0 vL(0-) = 0 iL(0-) = 2VG/R vC(0-) = VG

C es un circuito abierto en continua L es un cortocircuito en continua iC (0-) = 0 → VG = vL(0-) + (R//R)iL(0-) VG = vL(0-) + vC(0-)

vC(0+) = vC(0-) = VG iL(0+) = iL(0-) = 2VG/R iC(0+) = - VG/R vL(0+) = - VG

tensión en C no cambia bruscamente corriente en L no cambia bruscamente iC(0+) + vC(0+)/R = 0 VG = vL(0+) + RiL(0+)

iC(∞) = 0

C es un circuito abierto en continua

vL(∞) = 0

L es un cortocircuito en continua

iL(∞) = VG/R

vL(∞) = 0

vC(∞) = 0

iC(∞) + vC(∞)/R = 0 ∞

wC =

∞

pC(t)dt = 0

∞

vC(t)iC(t)dt = 0

vC(t)C 0

d vC(t) dt = C v2C(∞) - v2C(0) dt 2

Determinación de condiciones iniciales y finales (supresión de excitación, cálculo directo, junio 2000)

t=0 R IG

+ vC C - R

iC(0-) = 0 vL(0-) = 0 iL(0-) = IG(1 - a)/(3 - a) vC(0-) = RIG/(3 - a)

avC R iL L

+ vL -

Datos: IG (continua), a, R, L, C Hallar condiciones en t = 0-, t = 0+, y t = ∞

C es un circuito abierto en continua L es un cortocircuito en continua IG = vC(0-)/R + iC(0-) + vC(0-)/R + iL(0-) vC(0-) = avC(0-) + RiL(0-) + vL(0-)

vC(0+) = vC(0-) tensión en C no cambia bruscamente iL(0+) = iL(0-) corriente en L no cambia bruscamente iC(0+) = IG(2 - a)/(3 - a) IG = iC(0+) + vC(0+)/R vL(0+) = RIG(a - 2)/(3 - a) 0 = RiL(0+) + vL(0+) + avC(0+) + RiL(0+) iC(∞) = 0

C es un circuito abierto en continua

vL(∞) = 0

L es un cortocircuito en continua

vC(∞) = RIG iL(∞) = - aIG/2

IG = iC(∞) + vC(∞)/R 0 = RiL(∞) + vL(∞) + avC(∞) + RiL(∞)

Determinación de condiciones iniciales y finales (aplicación de excitación, cálculo directo, otras variables, septiembre 2002)

+ v1 R VG

t=0 Ri L L

iL(0-) = 0 v1(0-) = 0 iC(0-) = 0 vC(0-) = 0 iL(0+) = iL(0-) = 0 v1(0+) = 0 vC(0+) = vC(0-) = 0 iC(0+) = 0 iL(∞) = VG/(2R) v1(∞) = VG/2 iC(∞) = 0 vC(∞) = VG/2

+ iC v C RiL C R

Datos: IG (continua), a, R, L, C

Hallar: v1, vC, iL e iC en t = 0-, t = 0+, y t = ∞ L no está conectada a la excitación v1(0-) = RiL(0-) C es un circuito abierto en continua RiL(0-) = RiC(0-) + vC(0-) corriente en L no cambia bruscamente v1(0+) = RiL(0+) tensión en C no cambia bruscamente RiL(0+) = RiC(0+) + vC(0+) VG = (R + R)iL(∞) + vL(∞), vL(∞) = 0 v1(∞) = RiL(∞) C es un circuito abierto en continua RiL(∞) = RiC(∞) + vC(∞)

Determinación de condiciones iniciales y finales (aplicación de excitación, cálculo directo, otras variables, junio 2002)

Datos: IG (continua), g, R, L, C

+ v1 R

t=0

R C

+ vC -

R i2

iL gvC

Hallar: v1, vC, iL e i2 en t = 0-, t = 0+, y t = ∞; wG (0 ≤ t ≤ ∞)

v1(0-) = 0 vC(0-) = 0 iL(0-) = 0 i2(0-) = 0

v1(0-) = RiC(0-), iC(0-) = 0 C no está conectada a la excitación gvC(0-) = iL(0-) + i2(0-) vL(0-) = 0 → iL(0-) = i2(0-)

iL(0+) = iL(0-) = 0 vC(0+) = vC(0-) = 0 v1(0+) = VG/2 i2(0+) = 0

corriente en L no cambia bruscamente tensión en C no cambia bruscamente v1(0+) = RiC(0+), VG = (R + R)iC(0+) + vC(0+) gvC(0+) = iL(0+) + i2(0+)

v1(∞) = 0

v1(∞) = RiC(∞), iC(∞) = 0

vC(∞) = VG

VG = (R + R)iC(∞) + vC(∞)

iL(∞) = gVG/2

gvC(∞) = iL(∞) + i2(∞)

i2(∞) = gVG/2

vL(∞) = 0 → iL(∞) = i2(∞) ∞

∞

wG =

pG(t)dt = 0

∞

- VGiC(t)dt = 0

- VGC 0

dv C(t) dt = - CVG[vC(∞) - vC(0)] dt

Determinación de condiciones iniciales y finales

i1 L1

i2 C2

+ i3 v3 R3 -

i4 i5 gVG R4 C5

t=0

(cálculo directo, otras variables, junio 1998)

i6 R6

+ i7 v 7 L7 -

Datos: VG (continua), g, RG, L1, C2, R3, R4, C5, R6, L7 Hallar las variables que se indican en negrita v3(0+) = vC2(0+) = vC2(0-) = vL1(0-) = 0 i1(0+) = i1(0-) = [VG - vL1(0-)]/RG = VG/RG i3(0+) = v3(0+)/R3 = 0 i2(0+) = - i1(0+) - i3(0+) = - VG/RG i7(0+) = i7(0-) = 0 v7(0+) = vC5(0+) = vC5(0-) = gVGR4 i6(0+) = vC5(0+)/R6 = gVGR4/R6 i5(0+) = gVG - i4(0+) - i6(0+) - i7(0+) = = gVG - vC5(0+)/R4 - i6(0+) - i7(0+) = - gVGR4/R6 v7(∞) = 0 i7(∞) = gVG - i4(∞) - i5(∞) - i6(∞) = = gVG - vC5(∞)/R4 - vC5(∞)/R6 = gVG

Una vez conocidas las variables fundamentales (iL, vC) para un instante dado, es posible obtener cualquier otra corriente o tensión para el mismo instante.

Determinación de condiciones iniciales y finales (cálculo de derivadas, septiembre 2000)

+ vL R L IG

Datos: IG (continua), R, L, C

t=0 R R

RiL

+ iC vC C -

Hallar las derivadas que se indican en negrita

iL(0+) = 2IG , vC(0+) = - RIG 3 3 - RiC(0+) = RiL(0+) + vC(0+) → iC(0+) I dv + G C → iC(0 ) = → = - IG = C 3 dt 0 + 3C vL(0+) + RiL(0+) IG = + iL(0+) → vL(0+) = - RIG R 3 + diL = vL(0 ) = - RIG → L dt 0 + 3L El cálculo de la corriente y la tensión en t = 0+ se hace como se indicó en problemas anteriores. Las derivadas de cualquier variable en régimen permanente continuo son nulas.

→

Determinación de condiciones iniciales y finales (influencia de distintas condiciones iniciales, diciembre 1994)

- vC +

t=0

+ +C IG i i1 v1 i2 v2 C Rb gvC L1 L2 Datos: IG (continua), g, Ra, Rb, L1, L2, C Ra

Hallar i1(∞) e i2(∞) Solución aparente: i1(∞) = i2(∞) = 0. Es falsa porque i1 e i2 tienen corrientes distintas en t = 0. t=∞

0 = iC(∞) = i1(∞) + i2(∞)

t≥0

v1(t) = v2(t) → L1 di1 = L2 di2 → dt dt → L1 di1 dt = L2 di1 dt → L1i1(t) = L2i2(t) + K dt dt

t = 0+

L1i1(0+) = L2i2(0+) + K i1(0+) = gRbIG, i2(0+) = 0 → K = L1gRbIG

t=∞

L1i1(∞) = L2i2(∞) + K gRbIGL2 i1(∞) = = - i2(∞) L 1 + L2

El cálculo de las corrientes en t = 0 se hace como se indicó en problemas anteriores.

(1)

(2) (3)

Combinando (1-3)

Determinación de condiciones iniciales y finales (influencia de distintas condiciones iniciales, diciembre 1996)

+ v1 - + v2 + iL v L i1 C 1 i2 C 2 VG L t=0 R

Datos: VG (continua), r, R, C1, C2, L

R riL

Hallar v1(∞) y v2(∞)

Solución aparente: v1(∞) = v2(∞) = 0 (C1 y C2 están entre dos cortocircuitos). Es falsa porque v1 y v2 tienen tensiones distintas en t = 0. t=∞

0 = vL(∞) = v1(∞) + v2(∞)

t≥0

i1(t) = i2(t) → C1 dv1 = C2 dv2 → dt dt → C1 dv1 dt = C2 dv2 dt → C1v1(t) = C2v2(t) + K dt dt

t = 0+

C1v1(0+) = C2v2(0+) + K v1(0+) = 0, v2(0+) = - rVG R

t=∞

(1)

→

K = C2rVG R

C1v1(∞) = C2v2(∞) + K v1(∞) = C2rVG = - v2(∞) (C1 + C2)R

(2)

(3) Combinando (1-3)

El cálculo de las tensiones en t = 0 se hace como se indicó en problemas anteriores.

Determinación de condiciones iniciales y finales (problema inverso, diciembre 1999

t=0

+ i1 i2 2 v 2 +- i4 VG i3 3 v3 -

+ 4 v 4 i5 -

+ v1 1

t 0+ 0-

i1 VG 2R VG 2R

v1 VG 2 VG 2

i2 VG 2R VG 2R

v2 0 0

i3 VG 2R VG 2R

v3 VG 2 VG 2

+ 5 v 5 i6 i4 0

-1A

v4 VG 2 VG 2

+ v6 i5 0

v5 0

i6 0

v6 0

VG 2

Identificar la naturaleza (R, L, C) de los elementos 1

i1(0-) ≠ 0 → no C; v1(0-) ≠ 0 → no L

resistencia

i2(0-) ≠ 0 → no C; v2(0-) = 0 → no R

inductancia

i3(0-) ≠ 0 → no C; v3(0-) ≠ 0 → no L

resistencia

v4(0-) ≠ 0 → no L; i4(0-) = 0 → no R

capacidad

cambio brusco de corriente y tensión

resistencia

cambio brusco de tensión → no C

inductancia

v6(0+) ≠ 0 e i6(0+) = 0 → no R

Ejercicios para resolver en clase TRANSITORIOCONDICIONES 2003/A

+ v3 i1

TRANSITORIOCONDICIONES 2003/C El circuito de la figura funciona en régimen permanente continuo. Hallad los valores de v1, vL, v3, y vC para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.

- vL +

+ v1 R

t=0

+ vC -

iC C

gvC i2

Son datos los valores de todos los elementos del circuito.

+ vL + v1 - R

L IG

t=0

El circuito de la figura funciona en régimen permanente continuo. Hallad los valores de v1, vC, i2, e iL para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.

t=0

+ + + kv R iL C vC vL v2 IG R C R L Son datos los valores de todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura funciona en régimen permanente continuo. Hallad los valores de i1, iC, v2, y vL para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.

TRANSITORIOCONDICIONES 2003/B

iL R

+ Ri L v3 i C C R -

Son datos los valores de todos los elementos del circuito.

+ vC -

Respuesta en régimen transitorio Se entiende por respuesta de un circuito en transitorio la evolución temporal de sus corrientes y tensiones entre dos estados permanentes. La respuesta de un circuito en régimen transitorio es igual para todas sus corrientes y tensiones (excepto cuando son variables desacopladas). Es decir, un circuito tiene un único tipo de respuesta en régimen transitorio. Tipos de respuestas natural: la que se tiene cuando se suprime la excitación; forzada: la que se tiene cuando se aplica la excitación. Objeto del análisis en régimen transitorio Hallar las expresiones temporales (ecuaciones que reflejan la variación de corrientes y tensiones con el tiempo) que caracterizan matemáticamente la respuesta. Metodología de estudio Análisis de respuestas en circuitos con un solo elemento reactivo. Análisis de respuestas en circuitos con dos elementos reactivos. Caso particular: circuitos con variables desacopladas. Circuitos con cambios sucesivos.

Respuesta natural de un circuito RL t=0 RG IG

+ iL vL - L R

Datos: IG (continua), RG, L, R

Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t ≥ 0. En esas condiciones la parte de interés (la que contiene a L) está caracterizada por la ecuación de malla vL + RiL = 0 → L diL + RiL = 0 dt Se trata de la ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal de iL para t ≥ 0. Por ser una ecuación diferencial de primer orden con segundo miembro nulo, la solución es de la forma iL(t) = Ae-t/τ, constante de tiempo: τ = L/R Esta ecuación es la expresión temporal de iL para t ≥ 0 y caracteriza la respuesta del circuito. Para que la expresión temporal esté completa es necesario determinar el valor de la constante A. Para ello se tienen en cuenta las condiciones iniciales. Por el circuito iL(0+) = iL(0-) = IG

Por la expresión temporal iL(0) = A

La respuesta del circuito es iL(t) = IGe-t/τ

→A

= IG

Significado de la constante de tiempo IG

iL(t) respuesta para ritmo de descenso constante respuesta natural 0.007IG

0.37I G

5τ

Representación gráfica de la expresión temporal que caracteriza la respuesta natural de un circuito RL

La constante de tiempo es una medida de lo rápido que desaparece el régimen transitorio. Puede decirse que el nuevo régimen permanente se establece una vez que ha transcurrido un tiempo igual a cinco constantes de tiempo (pasado ese tiempo apenas hay variaciones en la respuesta del circuito). Esto valida la suposición de que el circuito está en régimen permanente antes del cambio de posición del interruptor (se supone que el circuito ha permanecido en el mismo estado mucho tiempo antes de que se produzca dicho cambio).

Ejempo de respuesta natural en circuito RL t=0 + R + iL 2 R3 v1 vL - R1 - L

RG VG

Datos: VG = 24 V, L = 5 mH, RG = 12 Ω, R1 = 6 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 10 Ω Hallar: v1(t ≥ 0) y wR3(0 ≤ t ≤ ∞)

t≥0 vL + i + vL = 0 R1 + R2 L R3 1 L + 1 diL + iL = 0 R1 + R2 R3 dt 1 iL = Ae-t/τ, τ = L + 1 = 1 ms R1 + R2 R3

Ecuación de nudo Ecuación diferencial Expresión temporal

Por circuito Por expresión temporal iL(0+) = iL(0-) = iL(0) = A V GR 1 = =1A RG(R1 + R2) + R1R2

→A

=1A

vL(t) = L diL = - 5e-t V (t en ms) dt v1(t) = divisor de tensión = vL ∞

wR3 =

∞

pR3(t)dt = 0

R1 = - 3e-t V (t en ms) R 1 + R2 ∞

vR3(t)iR3(t)dt = 0

vL(t) 0

vL(t) dt = 1.25 mJ R3

Respuesta natural de un circuito RC t=0 RG IG

+ iC vC - C R

Datos: IG (continua), RG, C, R

Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t ≥ 0. En esas condiciones la parte de interés (la que contiene a C) está caracterizada por la ecuación de nudo iC + vC = 0 → C dvC + vC = 0 R dt R Se trata de la ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal de vC para t ≥ 0. Por ser una ecuación diferencial de primer orden con segundo miembro nulo, la solución es de la forma vC(t) = Ae-t/τ, constante de tiempo: τ = RC Esta ecuación es la expresión temporal de vC para t ≥ 0 y caracteriza la respuesta del circuito. Para que la expresión temporal esté completa es necesario determinar el valor de la constante A. Para ello se tienen en cuenta las condiciones iniciales. Por el circuito vC(0+) = vC(0-) = IG(RG//R)

Por la expresión temporal vC(0) = A

La respuesta del circuito es vC(t) = IG(RG//R)e-t/τ

→A

= IG(RG//R)

Ejempo de respuesta natural en circuito RC t=0 RG VG

iC1

Datos: VG (continua), RG, R, C1, C2

+ iC2 vC C1 - R C2

Hallar vC(t ≥ 0) t≥0

iC1 + vC + iC2 = 0 R (C1 + C2) dvC + vC = 0 dt R vC = Ae-t/τ, τ = R(C1 + C2) Por circuito vC(0+) = vC(0-) = = VG R RG + R

Por expresión temporal vC(0) = A

El circuito contiene dos elementos reactivos, pero, como pueden ser agrupados en un solo, el circuito es del tipo RC.

Ecuación de nudo Ecuación diferencial Expresión temporal

→

A = VG

R RG + R

Respuesta forzada en circuitos RL y RC (t ≥ 0) t=0 RG

t=0 R

VG L L descargada para t ≤ 0

+ vC C VG C descargada para t ≤ 0 RG

Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal L diL + (RG + R)iL = VG (RG + R)C dvC + vC = VG dt dt Por ser una ecuación diferencial de primer orden con segundo miembro no nulo, la solución es de la forma iL(t) = B + (A - B)e-t/τ vC(t) = B + (A - B)e-t/τ τ = (RG + R)C τ= L RG + R Esta ecuación es la expresión temporal para t ≥ 0 y caracteriza la respuesta del circuito. Es necesario determinar las constantes A y B. Para ello se consideran condiciones iniciales y finales. Circuito Circuito iL(0+) = iL(0-) = 0 vC(0+) = vC(0-) = 0 → A = 0 Ex. temporal Ex. temporal iL(0) = A vC(0) = A Circuito Circuito → B = vC(∞) = VG iL(∞) = VG RG + R = VG Exp. temporal Exp. temporal RG + R iL(∞) = B vC(∞) = B

→

A=0

B = VG

Respuesta forzada de circuitos con un solo elemento reactivo (t ≥ 0) La ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal es de la forma (x = iL; x = vC) dx + x = K ⇔ τ dx + x = Kτ = xf dt τ dt La expresión temporal que representa la respuesta es de la forma (x = iL; x = vC) x(t) = xf + (xo - xf)e-t/τ xo = x(t = 0), xf = x(t = ∞)

Respuesta general de circuitos con un solo elemento reactivo (t ≥ 0) La respuesta natural es un caso particular de la respuesta forzada en el que K = 0 = xf Procedimiento de análisis en régimen transitorio Formular ecuaciones de mallas o de nudos. Establecer la ecuación diferencial relativa a la variable fundamental (iL, vC). Obtener la expresión temporal. Determinar la(s) constante(s) de la expresión temporal comparando lo que ocurre en el circuito (condiciones inicial y final) con la expresión temporal.

Ejemplo de respuesta forzada t=0 R1

i1 L1

Datos: IG (continua), R1, R2, L1, L2 + R2 i2 vL L2 -

Hallar i1(t ≥ 0)

t≥0 Simplificación para t ≥ 0 L = L1L2 , R = R1R2 L 1 + L2 R 1 + R2

+ vL L -

IG = iL + vL R L diL + iL = IG R dt iL = iLf + (iLo - iLf)e-t/τ, τ = L/R circuito circuito

0 = iL(0) = iLo IG = iL(∞) = iLf

Ecuación de nudo Ecuación diferencial Expresión temporal exp. temporal exp. temporal

iL = IG(1 - e-t/τ), τ = L/R circuito original

Respuesta

L1 di1 = L2 di2 = L diL dt dt dt L1 di1 dt = dt

circuito simplificado

L diL dt → L1i1 = LiL + K dt

t = 0 → i1 = 0 = iL → K = 0 → → i1(t) = LiL(t)/L1

Ejemplo de respuesta forzada t=0 R1 VA

Datos: VA = 2 V = VB, C = 1µF, R1 = R2 = R3 = 2 Ω

t=0

+ R2 iC vC iB C - R3

Hallar potencia en VB para t ≥ 0

t≥0 iB = VB - vC = iC + vC R2 R3 R2C dvC + R2 + R3 vC = VB dt R3 vC = vCf + (vCo - vCf)e-t/τ τ = R2R3C/(R2 + R3) = 1 µs

Ecuación de nudo Ecuación diferencial Expresión temporal

circuito 2 V = VA = vC(0) = vCo exp. temporal circuito 1 V = VBR3/(R2 + R3) = vC(∞) = vCf exp. temporal vC = 1 + e-t V (t en µs)

pB(t) = - VBiB(t) = - VB

Respuesta

VB - vC(t) = - 1 + e-t W (t en µs) R2

Respuesta en régimen transitorio de circuitos con dos elementos reactivos distintos, o iguales pero no agrupables t=0 R VG

(1) (2)

+ vL iL

+ vC iC C -

VG = RiL + vL + vC vL = L diL , iL = iC = C dvC dt dt

Sustituyendo (2) en (1), 2v d dv (3) LC 2C + RC C + vC = VG dt dt

(4)

Despejando vC en (1) y sustituyendo en (2), 2i d LC 2L + RC diL + iL = 0 dt dt

Caracterización de la respuesta para t ≥ 0

Ecuaciones del circuito Relaciones entre variables

(3) y (4) son las ecuaciones diferenciales que caracterizan la evolución temporal de vC e iL para t ≥ 0

La respuesta de un circuito con dos elementos reactivos se caracteriza por dos ecuaciones diferenciales de segundo orden (al igual que la de un circuito con un elemento reactivo se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden).

Respuesta de circuitos con dos elementos reactivos Las ecuaciones diferenciales que caracterizan la evolución temporal son de la forma (x = iL; x = vC) 2 a d x2 + b dx + cx = K dt dt

Los coeficientes a, b y c son iguales para todas las variables fundamentales del circuito (corrientes en inductancias, tensiones en capacidades) excepto en el caso de variables desacopladas. El valor de K puede ser distinto para cada variable. La solución general (expresión temporal) de la ecuación diferencial (ecuación diferencial de segundo orden en una sola variable con coeficientes constantes) es de la forma (x = iL; x = vC) x(t) = xf + xh(t) xf = x (t = ∞), (= 0 si K = 0) xh(t): solución de la ecuación homogénea

Solución de la ecuación homogénea Ecuación característica: as2 + bs + c = 0 (aunque K ≠ 0) Raíces de la ecuación característica: - b ± b2 - 4ac s1,2 = = - α ± α2 - ω02 2a Coeficiente de amortiguamiento: α s-1 = b/(2a) Frecuencia angular de resonancia: ω0 rad/s = s-1 = c/a Caso 1 (respuesta supercrítica o sobreamortiguada): (s1 y s2 reales y < 0) y (s1 ≠ s2) ⇔ ω02 < α2 xh(t) = Aes1t + Bes2t Caso 2 (respuesta crítica o amortiguada): (s1 y s2 reales y < 0) y (s1 = s2) ⇔ ω02 = α2 xh(t) = Ate-αt + Be-αt Caso 3 (respuesta subcrítica o subamortiguada): (s1 y s2 complejas) y (s1 = s2*) ⇔ ω02 > α2 xh(t) = Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt), ωd = + ω20 - α2

Procedimiento de an谩lisis de circuitos con dos elementos reactivos Formular dos ecuaciones de circuito aplicando las leyes de Kirchhoff. Formular relaciones entre variables. Transformar las ecuaciones de circuito en dos ecuaciones diferenciales (una por cada variable fundamental).

Seleccionar una de las variables fundamentales. Obtener la soluci贸n de la ecuaci贸n homog茅nea correspondiente a la variable seleccionada. Obtener las soluciones generales (expresiones temporales) correspondientes a las dos variables.

Determinar las constantes de las soluciones generales comparando lo que ocurre en el circuito (condiciones iniciales y finales) con las expresiones temporales (soluciones generales).

Ejemplo de análisis de circuitos con dos elementos reactivos (respuesta supercrítica)

t=0 VG

t=0

Datos: VG = 1 V, k = - 1, R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F

+ vC iC C -

kiL

+ vL iL L -

Hallar: iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)

t≥0 (1) (2)

RiC + vC = va = RiL + vL kiL = iC + va/R + iL

(3) (4)

vL = LdiL/dt iC = CdvC/dt

Ecuaciones del circuito

Relaciones entre variables

Combinando (1-4), 2v d 2LC 2C + (3 - k)RC + L dvC + (2 - k)vC = 0 R dt dt 2i d 2LC 2L + (3 - k)RC + L diL + (2 - k)iL = 0 R dt dt

a = 2LC = 2 s2, b = (3 - k)RC + L/R = 5 s, c = 2 - k = 3 α = b/(2a) = 5/4 s-1, ω0 = c/a = 3/2 s-1 α2 > ω02 → respuesta supercrítica

Ecuaciones diferenciales

Ecuación. característ.

Ejemplo de análisis de circuitos con dos elementos reactivos (respuesta supercrítica)

(5)

vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t s1,2 = - α ± α2 - ω02

→

s1 = - 1 s-1, s2 = - 1.5 s-1

Expresiones temporales

Sustituyendo (5) en (4), y el resultado en (2), iL(t) = 1 × k-1 × vCf + A 2Cs1 + 1 es1t + B 2Cs2 + 1 es2t = R R R st = - vCf + Ae 1 + Bes2t 2 2 circuito circuito circuito

1 V = VG = vC(0) = vCf + A + B 0 = vC(∞) = vCf 0 = iL(0) = - vCf + A + B 2 2 vCf = 0, A = 2 V, B = - 1 V

vC(t) = 2e-t - e-1.5t V (t en s) iL(t) = e-t - e-1.5t A (t en s)

exp. temporal exp. temporal exp. temporal

Respuesta

Circuitos con dos elementos reactivos (respuesta crítica, diciembre 1997)

t=0 R IG L

t=0

R + vC iC C -

R R

IG pG

+ vL iL L -

Datos: IG = 2 A, R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F Hallar: iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0); pG(t ≥ 0)

t≥0 (1) (2)

RCdvC/dt + vC = va = RiL + LdiL/dt IG = CdvC/dt + va/R + iL

Ecuaciones del circuito y relaciones

2v d 2LC 2C + (3RC + L ) dvC + 2vC = RIG R dt dt 2i d 2LC 2L + (3RC + L ) diL + 2iL = IG R dt dt

Ecuaciones diferenciales

a = 2LC = 2 s2, b = 3RC + L/R = 4 s, c = 2 α = b/(2a) = 1 s-1, ω0 = c/a = 1 s-1

Ecuación característica

α2 = ω02 → respuesta crítica (3)

vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt Combinando (1-3), iL(t) = IG - vCf + A 2αC - 1 te-αt + R R + -2CA + B 2αC - 1 e-αt = R = 2 - vCf + Ate-αt + (B - 2A)e-αt (t en s, vCf en V)

Expresiones temporales

Circuitos con dos elementos reactivos (respuesta crítica, diciembre 1997)

circuito circuito circuito

2 V = RIG = vC(0) = vCf + B 1 V = RIG/2 = vC(∞) = vCf 1 A = IG/2 = iL(0) = 2 - vCf + B - 2A vCf = 1 V, A = 0.5 V/s, B = 1 V

vC(t) = 1 + 0.5te-t + e-t V (t en s) iL(t) = 1 + 0.5te-t A (t en s)

exp. temporal exp. temporal exp. temporal

Respuesta

pG(t) = - va(t)IG = - RiL + L diL IG = - (2 + e-t) W (t en s) dt

Circuitos con dos elementos reactivos (respuesta subcrítica, septiembre 1999)

Datos: IG = 2 A, R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F

t=0 + iC v C IG C -

+ iL vL L -

Hallar: iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0); wC(0 ≤ t ≤ ∞)

t≥0 (1) (2)

vC = RiL + LdiL/dt IG = CdvC/dt + vC/R + iL

Ecuaciones del circuito y relaciones entre variables

2v d LC 2C + (RC + L ) dvC + 2vC = RIG R dt dt 2i d LC 2L + (RC + L ) diL + 2iL = IG R dt dt

a = LC = 1 s2, b = RC + L/R = 2 s, c = 2 α = b/(2a) = 1 s-1, ω0 = c/a = 2 s-1

Ecuaciones diferenciales

Ecuación característ.

α2 < ω02 → respuesta subcrítica, ωd = ω20 - α2 = 1 s-1 (3)

iL(t) = iLf + Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt) Expresiones temporales Sustituyendo (3) en (2), -αt (R - αL)cos(ω t) - ω Lsen(ω t) + C(t) = RiLf + Ae d d d + Be-αt (R - αL)sen(ωdt) + ωdLcos(ωdt) = = iLf - Ae-tsen(t) + Be-tcos(t) (t en s, iLf en A)

Circuitos con dos elementos reactivos (respuesta subcrítica, septiembre 1999)

circuito circuito circuito

0 = iL(0) = iLf + A 1 A = IG/2 = iL(∞) = iLf 2 V = RIG = vC(0) = iLf + B iLf = 1 A, A = - 1 A, B = 1 A

iL(t) = 1 - e-tcos(t) + e-tsen(t) A (t en s) vC(t) = 1 + e-tsen(t) + e-tcos(t) V (t en s)

∞

wC =

∞

pC(t)dt = 0

Respuesta

∞

vC(t)iC(t)dt = 0

exp. temporal exp. temporal exp. temporal

vC(t)C

d vC(t) dt = dt

= C v2C(∞) - vC2(0) = - 1.5 J 2 (los valores de vC para t = 0 y t = ∞ se obtienen directamente de la correspondiente expresión temporal)

Circuitos con dos elementos reactivos (respuesta crítica)

iL L

Datos: VG continua; RC = τ = L/R

C + vC R t=0 R VG

Hallar: iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0) t≥0

(1) VG = RiL + LdiL/dt + R(iL + CdvC/dt) Ecuaciones del circuito (2) VG = RCdvC/dt + vC + R(iL + CdvC/dt) y relaciones 2v d 2LC 2C + (3RC + L ) dvC + 2vC = VG R dt dt 2i d 2LC 2L + (3RC + L ) diL + 2iL = VG R R dt dt

Ecuaciones diferenciales

RC = τ = L/R → (RC)(L/R) = τ2 = LC

Ecuación característica

a = 2LC = 2 τ2, b = 3RC + L/R = 4 τ, c = 2 α = b/(2a) = 1/τ, ω0 = c/a = 1/τ α2 = ω02 → respuesta crítica (3)

vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt Sustituyendo (3) en (1), iL(t) = IG - vCf + A 2αC - 1 te-αt + R R + -2CA + B 2αC - 1 e-αt R

Expresiones temporales

Circuitos con dos elementos reactivos (respuesta crítica, diciembre 1997)

circuito 0 V = vC(0) = vCf + B circuito VG/2 = vC(∞) = vCf circuito 0 A = i (0) = VG - vCf - 2CA + B 2αC - 1 L

exp. temporal exp. temporal exp. temporal

vCf = VG , A = 0 V/s, B = VG 2 2 vC(t) = VG (1 - e-t/τ) 2 iL(t) = VG (1 - e-t/τ) 2R

Respuesta

Ejemplo de circuito con más de dos elementos reactivos (agrupables) Datos: VG = 0.5 V, R = 0.5 Ω, L1 = 0.6 mH, L2 = 0.4 mH, C1 = 2 mF, C2 = 2 mF

t=0 R VG

Hallar pC2(t ≥ 0) t≥0

t=0 IG R

+ + iL v L iC vC L - C -

vC = LdiL/dt - IG = CdvC/dt + vC/R + iL

Simplificación para t ≥ 0 IG = VG/R = 1 A L = L1 + L2 = 1 mH C = C1C2 = 1 mF C 1 + C2 Ecuaciones del circuito y relaciones entre variables

2v d LC 2C + L dvC + vC = 0 R dt dt 2 LC d i2L + L diL + iL = - IG R dt dt

Ecuaciones diferenciales

a = LC = 10-6 s2, b = L/R = 2×10-3 s, c = 1

Ecuación característica

α = b/(2a) = 103 s-1, ω0 = c/a = 103 s-1 α2 = ω02 → respuesta crítica

Ejemplo de circuito con más de dos elementos reactivos (agrupables) iL(t) = iLf + Ate-αt + Be-αt vC(t) = L A(1 - αt)e-αt - αBe-αt circuito circuito circuito

Expresiones temporales

0 = iL(0) = iLf + B - 1 A = - IG = iL(∞) = iLf 0 = vC(0) = L(A - αB) iLf = - 1 A, A = 103 A/s, B = 1 A

exp. temporal exp. temporal exp. temporal

iL(t) = - 1 + te-t + e-t A (t en ms) vC(t) = - te-t V (t en ms)

C dvC = iC = C2dvC2 dt dt

→

CdvC dt = dt

C2dvC2dt dt

Respuesta

→

C2vC2(t) = CvC(t) + K

t = 0 → vC2 = 0 = vC → K = 0 → vC2(t) = pC2(t) = vC2(t)iC(t) =

CvC(t) C2

CvC(t) dvC t(1 - t)e-2t W (t en ms) C = C2 dt 2

Circuitos con dos elementos reactivos (problema inverso-directo, junio 1999)

+ vL L i L VG

Datos: VG = 2 V, R = 1 Ω, α = 1 s-1, ω0 = 1 rad/s

t=0 R

+ vC iC C -

Hallar: L y C; vC (t ≥ 0) e iL (t ≥ 0) t≥0

iL = vC(1/R + 1/R) + CdvC/dt VG = LdiL/dt + vC

Ecuaciones del circuito y relaciones entre variables

2v d LC 2C + 2L dvC + vC = VG R dt dt

Ecuación diferencial

a = LC, b = 2L/R, c = 1 1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(RC) → C = 1 F

Ecuación característica

1 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → L = 1 H α2 = ω02 → respuesta crítica vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt iL(t) = 2vCf + A(1 + t)e-αt + Be-αt A (vCf en V, t en s) circuito circuito circuito

0 = vC(0) = vCf + B 2 V = VG = vC(∞) = vCf 2 A = VG/R = iL(0) = 2vCf + A + B vCf = 2 V, A = 0, B = - 2 V vC(t) = 2 - 2e-t V (t en s) iL(t) = 4 - 2e-t A (t en s)

Expresiones temporales

exp. temporal exp. temporal exp. temporal Respuesta

Circuitos con dos elementos reactivos (problema inverso-directo, septiembre 1999)

Datos: IG = 2 A, R = 1 Ω, α = 1 s-1, ω0 = 2 rad/s

t=0 + iC v C IG C -

+ iL vL L -

Hallar: L y C; vC (t ≥ 0) e iL (t ≥ 0)

t≥0 vC = RiL + LdiL/dt IG = CdvC/dt + vC/R + iL

Ecuaciones del circuito y relaciones entre variables

2v d LC 2C + (RC + L ) dvC + 2vC = RIG R dt dt

Ecuación diferencial

a = LC, b = RC + L/R, c = 2 1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(2RC) + R/(2L) 2 s-1 = ω0 = c/a = 2/(LC)

→

L=1H

Ecuación característica

C=1F

α2 < ω02 → respuesta subcrítica, ωd = ω20 - α2 = 1 s-1 vC(t) = vCf + Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt) L(t)

= (2 - vCf) + Ae-tsen(t) - Be-tcos(t) V (vCf en V, t en s)

circuito circuito circuito

2 V = RIG = vC(0) = vCf + A 1 V = RIG/2 = vC(∞) = vCf 0 = iL(0) = 2 - vCf - B vCf = 1 V, A = 1 V, B = 1 V

vC(t) = 1 + e-tsen(t) + e-tcos(t) V (t en s) iL(t) = 1 - e-tcos(t) + e-tsen(t) A (t en s)

Expresiones temporales

exp. temporal exp. temporal exp. temporal Respuesta

Circuitos con dos elementos reactivos (problema inverso, diciembre 1999)

R VG L

Datos (t ≥ 0, t en s): vC = (1 - t)e-t V iL = 0.5te-t A

t = 0 iL + + iC vC R L vL C -

t=0

Hallar: α y ω0; VG (continua), R, L y C t≥0

vC = LdiL/dt 0 = CdvC/dt + vC/R + iL

Ecuaciones del circuito y relaciones entre variables

2i d LC 2L + L diL + iL = 0 R dt dt

Ecuación diferencial

a = LC, b = L/R, c = 1

Ecuación característica

La respuesta es crítica, ya que en las expresiones temporales figuran términos de la forma te-t. En la respuesta crítica α es el coeficiente del exponente en el término exponencial; luego α = 1 s-1. En la respuesta crítica α2 = ω02; luego ω0 = 1 s-1. (circuito) VG = vC(0) = 1 V (exp. temporal) → VG = 1 V e-t - te-t = vC = diL = 0.5e-t - 0.5te-t → igualando → L = 2 H términos L L L dt 1 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC

→

C = 0.5 F

1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(2RC) → R = 1 Ω

Circuitos con dos elementos reactivos (problema inverso, septiembre 1996)

t=0 R VG

+ vL iL

+ vC iC C -

Datos (t ≥ 0, t en s): vC = 10 - 5e-9000t - 5e-9000t V iL = 9e-9000t + e-1000t mA Hallar: α y ω0; VG (continua), R, L y C

t≥0 iL = CdvC/dt VG = LdiL/dt + vC + RiL 2v d LC 2C + RC dvC + vC = VG dt dt a = LC, b = RC, c = 1

Ecuaciones del circuito y relaciones entre variables Ecuación diferencial Ecuación característica

La respuesta es supercrítica, ya que en las expresiones temporales figuran dos términos exponenciales distintos. En la respuesta supercrítica los coeficientes de los exponentes son las raíces de la ecuación característica. s1 = - 9000 s-1, s2 = - 1000 s-1 s1 + s2 = 5000 s-1 α = 2 s1,2 = - α ± α2 - ω02 → 2 ω0 = + α 2 - s1 - s2 = 3000 s-1 2 (circuito) VG = vC(∞) = 10 V (exp. temporal) → VG = 10 V 0.009e-9000t + 0.001e-1000t = iL = C C C igualando → C = 200 nF = dvC = 45000e-9000t + 5000te-1000t → términos dt 3000 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → L = 5/9 H 5000 s-1 = α = b/(2a) = R/(2L) → R = 50/9 kΩ

Ejercicios para resolver en clase TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/A

El circuito de la figura funciona en régimen permanente continuo. Llegó al estado indicado en ella en t = 0; en ese momento, la corriente en la inductancia y la tensión en la capacidad valían I0 y V0, respectivamente. Con posterioridad, el circuito no experimenta más cambios. Hallad la expresión temporal de la potencia en la fuente para t ≥ 0.

R C

L R C

+ vC -

IG = 2 mA, V0 = 2 V, I0 = 2 mA, R = 1 kΩ, L = 1 mH, C = 1 nF

TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/C

VG = 2 V, V0 = 1 V, I0 = 2 A, R = 1 Ω, L = 1 µH, C = 1 µF

TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/B El circuito de la figura funciona en régimen permanente continuo. Llegó al estado indicado en ella en t = 0; en ese momento, la corriente en la inductancia y la tensión en la capacidad valían I0 y V0, respectivamente. Con posterioridad, el circuito no experimenta más cambios. Hallad la expresión temporal de la potencia en la fuente para t ≥ 0.

+ vC -

IG = 1 A, V0 = 1.62 V, I0 = 0 A, R = 1 Ω, L = 2.62 µH, C = 0.38 µF

Circuitos con dos elementos reactivos parcial o totalmente desacoplados (julio 1999)

+ vL L iL VG R

t=0 R

Datos: VG (continua), R, L, C

+ vC C -

Hallar iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0) t≥0

VG = LdiL/dt + RiL 0 = CdvC/dt + vC/R iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL Lo = iL(0) = 2VG /R, iLf = iL(∞) = VG/R, τL = L/R vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/τC vCo = vC(0) = VG, vCf = vC(∞) = 0, τC = RC Para t > 0 los dos elementos no se influyen entre sí (las variables son independientes -están desacopladas-). A cada variable fundamental le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. Puede haber influencia de un elemento en otro sin que el segundo influya en el primero (circuito parcialmente acoplado -desacoplado). A la variable independiente le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. A la variable acoplada le corresponde una ecuación diferencial de segundo orden. En circuitos parcial o totalmente desacoplados no hay respuesta única.

Ecuaciones del circuito Expresiones temporales

Circuito desacoplado Datos: VG = 2 V, RG = 2 Ω, R = 1 Ω, L = 1 H, C = 0.5 F

a RG

iSC

t=0

+ vC C R L

Hallar iSC(t ≥ 0)

t≥0 vC(t) + RCdvC/dt = va = 0 VG = RGiL + LdiL/dt + va = RGiL + LdiL/dt

Ecuaciones del circuito

vC(t) = vCoe-t/τC, τC = RC = 0.5 s vCo = vC(0) = VGR/(R + RG) = 2/3 V

Expresiones temporales

iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL, τL = L/RG = 0.5 s iLo = iL(0) = VG/(R + RG) = 2/3 A iLf = VG/RG = 1 A -2t iSC(t) = iL - C dvC = 1 + e A (t en s) dt 3

Circuito parcialmente acoplado (junio 2000)

t=0 + vC R C -

iC IG

kvC

Datos: IG = 2 A, k = 1, R = 1 Ω, + R L = 1 H, C = 1 F iL vL L Hallar i (t ≥ 0) y v (t ≥ 0) L

t≥0 (1) (2) (3)

IG = vC/R + CdvC/dt 0 = (R + R)iL + LdiL/dt + kvC vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/τC, τC = RC = 1 s Co

= vC(0) = RIG/(3 - k) = 1 V, vCf = vC(∞) = RIG = 2 V

Ecuaciones del circuito Cálculo de vC(t)

Despejando vC de (2) y sustituyendo en (1), 2i Ecuación d LC 2L + 2RC + L diL + 2iL = - kIG diferencial de iL R dt dt a = LC = 1 s2, b = 2RC + L/R = 3 s, c = 2 α = b/(2a) = 1.5 s-1, ω0 = c/a = 2 s-1 α2 > ω02 → respuesta supercrítica (4)

(5)

iL(t) = iLf + Aes1t + Bes2t s1,2 = - α ± α2 - ω02 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 2 s-1

Ecuación característica

Expresión temporal de iL(t)

(4) en (2) → vC(t) = - 2iLf - Ae-t V (iLf en A, t en s) (3) = (5) → iLf = - vCf/2 = - 1 A, A = - (vCo - vCf) = 1 A (circuito) 0 = iL(0) = iLf + A + B (exp. temporal) → B = 0 vC(t) = 2 - e-t V, iL(t) = - 1 - e-t A (t en s)

Circuito parcialmente acoplado (septiembre 2000)

t=0 R i L L R VG

RiL

+ vC C -

Datos: VG = 2 V, R = 1 Ω, L = 4 H, C = 1 F Hallar iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)

t≥0 (1) (2) (3)

Ecuaciones del circuito

VG = (R + R)iL + LdiL/dt 0 = RCdvC/dt + vC + RiL iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL, τL = L/(2R) = 2 s

Cálculo de iL(t)

iLo = iL(0) = 2VG/(3R) = 4/3 A, iLf = iL(∞) = VG/(2R) = 1 A

Despejando iL de (2) y sustituyendo en (1), 2v Ecuación d LC 2C + 2RC + L dvC + 2vC = - VG diferencial de vC R dt dt a = LC = 4 s2, b = 2RC + L/R = 6 s, c = 2 α = b/(2a) = 3/4 s-1, ω0 = c/a = 1/ 2 s-1 α2 > ω02 → respuesta supercrítica (4)

(5)

vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t s1,2 = - α ± α2 - ω20 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 0.5 s-1

Ecuación característica

Expresión temporal de vC(t)

(4) en (2) → iL(t) = - vCf - 0.5Be-0.5t A (vCf en V, t en s)

(3) = (5) → vCf = - iLf = - 1 V, B = - 2(iLo - iLf) = - 2/3 V (circuito) - 2/3 = vC(0) = vCf + A + B (exp. temporal) → A = 1 V -0.5t -0.5t iL(t) = 1 + e A, vC(t) = - 1 + e-t - 2e V (t en s) 3 3

Circuitos con cambios sucesivos La evolución de un circuito en régimen transitorio está determinada por las constantes de tiempo de las expresiones temporales correspondientes a variables independientes; los términos exponenciales de las expresiones temporales correspondientes a variables acopladas.

En un circuito pueden producirse cambios en distintos instantes. La evolución del circuito se calcula como se indicó anteriormente, con algunas peculiaridades: El circuito no sabe que va a producirse un cambio; en consecuencia, tras cada cambio evoluciona como si fuera a alcanzar el régimen permanente. Las condiciones iniciales correspondientes a un intervalo se obtienen de las expresiones temporales que caracterizan el intervalo anterior. La variable t ha de ser sustituida por t - t0, donde t0 es el instante final del intervalo anterior.

Circuitos con cambios sucesivos (junio 1997)

1 R iC C VA

t<0 0 ≤ t < t1 t1 ≤ t < t2 t ≥ t2

2 + vC R -

3 R

iL kvC

1 Abierto Cerrado Cerrado Cerrado

2 Abierto Abierto Cerrado Abierto

3 Abierto Abierto Abierto Cerrado

Datos: VA = 200 mV, VB = 2 V, t1 = 1 s, t2 = 2 s, R = 0.5 kΩ, L = 0.5 H, C = 2 µF, k = 2 Hallar dvC dt

, dvC dt 0+

, iL(1.1 s), e iL(t ≥ t2) 100 ms

Circuitos con cambios sucesivos (junio 1997)

dvC dt

iC(0+) 1 VA - vC(0+) VA - vC(0-) 1 = = = = VA = 200 V/s C R R RC C C 0+

0 ≤ t < t1 → VA = RCdvC/dt + vC → τC = RC = 1 ms << 100 ms Esto indica que la parte del circuito formada por VA, R y C ha alcanzado el régimen permanente para t = 100 ms (no hay cambios en el circuito entre 0 y 100 ms), con lo que iC(100 ms) = cte = 0 → dvC dt

=0 100 ms

Por el mismo motivo, vC (para todo t > 5τC = 5 ms) = cte = VA.

Así, en la parte del circuito que contiene a L, t1 ≤ t < t2 → kvC = kVA = LdiL/dt + RiL → τL1 = L/R = 1 ms << 100 ms Esto indica que la parte del circuito que contiene a L ha alcanzado el régimen permanente para t = 1.1 s (no hay cambios en el circuito entre 1 y 2 s), con lo que iL(1.1 s) = cte = kVA/R = 0.8 mA = iL(2 s)

t ≥ t2 → VB = 2RiL + LdiL/dt → → iL(t ≥ t2) = iLf + (iLo - iLf)e- (t - t2)/τL2, τL2 = L/(2R) = 0.5 ms iLo = iL(t2+) = iL(t2-) = 0.8 mA, iLf = iL(∞) = VB/(2R) = 2 mA

Circuitos con cambios sucesivos (diciembre 1998)

t=0

6 R

t = t1

t = t1 + vC 3 VB R -

C VA 5

Datos: 0 ≤ t ≤ t1 → → α = 10 s-1, ω 0 = 8 rad/s en malla 123451 Hallar: vC(t1 = 100 s), tipo de respuesta en malla 126451 para t > t1

0 ≤ t ≤ t1, malla 123451 α2 > ω02 → respuesta supercrítica α = 10 s-1 → s = - α ± α2 - ω2 → s1 = - 16 s-1 1,2 0 ω0 = 8 s-1 s2 = - 4 s-1 vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t vCf = vC(∞) = 0 ya que el circuito no sabe que va a haber cambio en t = t1 e s 1 t 1 ≈ 0 ≈ es 2 t 1 → vC(t1) ≈ 0 vCf = vC(∞) = 0 Para t ≥ t1, la malla 126451 es de la misma forma que la malla 123451; los elementos R, L y C siguen en serie, con los mismos valores, y la presencia de la fuente no afecta al tipo de respuesta. Luego ésta es también supercrítica.

Análisis de redes Transparencias de clase

Régimen sinusoidal permanente

Sinusoidal-1: páginas 81-89 Sinusoidal-2: páginas 90-101 Sinusoidal-3: páginas 102-107 Sinosoidal-4: páginas 108-115 Sinusoidal-5: páginas 116-123 Sinusoidal-6: páginas 124-139 Ejercicios para resolver en clase: 140 Sinusoidal-7: páginas 141-167 Ejercicios para resolver en clase: 164

Señales sinusoidales Una señal sinusoidal es de la forma indicada en la figura. Se hace referencia a régimen sinusoidal permanente cuando la señal no varía su forma en mucho tiempo (>> T). a(t) = Amcos(ωt + ϕ) Am T - ϕ/ω

t T - Am

Caracterización matemática de una señal sinusoidal Símbolo Significado Dimensiones a señal (corriente, tensión) A, V Am módulo, amplitud A, V f = 1/T > 0 frecuencia Hz, s-1 frecuencia angular rad/s, s-1 ω = 2πf > 0 T = 1/f > 0 período s fase rad, ˚ ϕ

Interés práctico de las señales sinusoidales Son soportadas por muchos circuitos electrónicos. Señales no sinusoidales pueden ser tratadas como combinaciones lineales de señales sinusoidales.

Respuesta de un circuito a una señal sinusoidal permanente t=0 vg

R i

Datos: R, L, vg(t) = Vmcos(ωt + ϕv) Hallar i(t > 0)

L di + Ri = Vmcos(ωt + ϕv) dt

i(t) = respuesta =

Ecuación diferencial que caracteriza la evolución del circuito para t > 0

- Imcos(ϕi)e-t/τ transitorio (desaparece para t > 5τ)

+ +

Imcos(ωt + ϕi) permanente

Consideraremos únicamente la respuesta permanente. Características de la respuesta La respuesta es una señal sinusoidal de la misma frecuencia que la excitación. El módulo y la fase de la respuesta dependen del módulo y la frecuencia de la excitación, y de los elementos del circuito. Vm Im = , ϕ i = ϕ v - arctg ωL 2 2 2 R R +ω L Objeto del análisis en régimen sinusoidal permanente Calcular el módulo y la fase de la respuesta.

Tratamiento matemático Las corrientes y las tensiones se tratan mediante fasores (el concepto de fasor deriva de las identidades de Euler). Los elementos pasivos se tratan como impedancias. Se aplican técnicas de análisis por mallas y nudos.

Identidades de Euler Un número complejo, z, verifica las identidades (a y b reales) z = a + jb ≡ kejθ ≡ k∠θ ≡ kcos(θ) + jksen(θ) unidad de los números imaginarios: j ≡ - 1 módulo: k = a2 + b2 , fase: θ = arctg ba Re z = a ≡ kcos(θ) ≡ kRe ejθ , Im z = b ≡ ksen(θ) ≡ kIm ejθ complejo conjugado de z: z* ≡ a - jb ≡ ke-jθ

Fasores A cualquier señal (corriente, tensión) sinusoidal se le puede asociar un fasor. señal: a(t) = Amcos(ωt + ϕ) fasor: A ≡ A ≡ Amejϕ Un fasor no tiene entidad real. En un circuito sólo tienen significado físico señales caracterizadas por expresiones temporales como (1). Conocido un fasor, la señal a la que aquél está asociado se obtiene como a(t) = AmRe ej(ωt + ϕ) = Re Amej(ωt + ϕ) = = Re Amejϕejωt = Re Aejωt Dado que la respuesta en régimen sinusoidal permanente es una señal con la misma frecuencia que la excitación, su cálculo se reduce a la determinación del fasor asociado a la respuesta. En otras palabras, el fasor combina en un solo parámetro la información de módulo y fase, que son las incógnitas a calcular.

Obsérvese que a la derivada de la señal, da/dt, le corresponde el fasor jωA.

(1)

Impedancias Caracterización de elementos pasivos en régimen sinusoidal Elemento Corriente y Fasores (R, L, C) tensión reales asociados + v -

v(t) = Vmcos(ωt + ϕv)

V = Vmejϕv

i(t) = Imcos(ωt + ϕi)

I = Imejϕi

Relaciones funcionales en régimen sinusoidal Elemento Relación Equivalencia funcional en términos de fasores R v = Ri V = RI

Relación entre fases ϕv = ϕi

v = Ldi/dt

V = jωLI

ϕv = ϕi + 90 ˚

i = Cdv/dt

I = jωCV

ϕv = ϕi - 90 ˚

Cualquier elemento pasivo puede representarse por una impedancia asociada V = ZI = I/Y

I = YV = V/Z

Ley de Ohm generalizada

Impedancia: Z Ω = R + jX (R: resistencia; X: reactancia) Admitancia: Y S = G + jB (G: conductancia; B: susceptancia) R , L → Z = jωL , C R → YZ==1/R Y = 1/(jωL)

→

Z = 1/(jωC) Y = jωC

Técnicas de análisis El circuito se caracteriza en términos de fasores e impedancias.

Se aplican las leyes de Kirchhoff

∑ Vk = 0, k = 1, 2,... n (n: elementos en una malla) k

∑ Ik = 0, k = 1, 2,... n (n: elementos en un nudo) k

y las simplificaciones del análisis de redes (elementos en serie y paralelo, agrupación de elementos, divisores de tensión y de corriente, equivalentes,...). El análisis se hace aplicando la técnica de corrientes en las mallas; la técnica de tensiones en los nudos. Obtenido el fasor correspondiente a la respuesta, se determina la expresión temporal. Si el circuito es lineal, es posible aplicar el principio de superposición.

Agrupación de elementos Elementos pasivos Se agrupan teniendo en cuenta sus impedancias Agrupación en serie Z eq = Z1 + ... + Zn, 1 = 1 + ... + 1 Yeq Y1 Yn Agrupación en paralelo Y eq = Y1 + ... + Yn, 1 = 1 + ... + 1 Zeq Z1 Zn En régimen sinusoidal permanente es posible agrupar elementos pasivos de distinta naturaleza (resistencias y/o inductancias y/o capacidades) una vez que cada uno de ellos ha sido caracterizado por su impedancia correspondiente; de ahí que la impedancia sea compleja en general. Elementos activos Pueden agruparse siempre que sean independientes; sean de la misma naturaleza; tengan la misma frecuencia. Agrupación de fuentes de corriente en paralelo Ieq = I1 + ... + In Agrupación de fuentes de tensión en serie V eq = V 1 + ... + V n

Ejemplo de análisis por mallas ig RL

vg L

Datos: R = 1 Ω, L = 1 µH, C = 1 µF, RL = 3 Ω, RC = 1 Ω, Ro = 1 Ω,

Rig

vg(t) = Vmcos(ωt + ϕv), Vm = 2 V,

ω = 1 Mrad/s, ϕv = 45 ° Hallar po(t) Simplificación del circuito y caracterización en términos de fasores e impedancias Vg = Vmejϕv = 1 + j V

RIg

Ig I1 Vg

I2 Z

ZL = RL + jωL = 3 + j Ω Z C = RC + 1 = 1 - j Ω jωC 1 = 1 + 1 → Z = ZLZC = 1 - j0.5 Ω Z ZL ZC Z L + ZC

V g = I1Z - I2Z 0 = - I1Z + I2(Z + Ro) + RIg Ig = I1

Ecuaciones de mallas Ecuación adicional para la fuente dependiente

Io = 0.3 - j0.1 A → io(t) = Re Ioejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) A Vo = RoIo = 0.3 - j0.1 V → vo(t) = Re Voejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) V po(t) = vo(t)io(t) = 0.1cos2(ωt + ϕo) W, ϕo = arctg - 0.1 0.3

Ejemplo de análisis por nudos ig RC

RL vg L

Datos: R = 1 Ω, L = 1 µH, C = 1 µF, RL = 3 Ω, RC = 1 Ω, Ro = 1 Ω,

Rig Ro

vg(t) = Vmcos(ωt + ϕv), Vm = 2 V, ω = 1 Mrad/s, ϕv = 45 ° Hallar po(t)

RIg

Vz Ig Z

Ig = Vz/Z + Io V z = V g = RIg + RoIo

Simplificación del circuito y caracterización en términos de fasores e impedancias Vg = Vmejϕv = 1 + j V ZL = RL + jωL = 3 + j Ω Z C = RC + 1 = 1 - j Ω jωC 1 = 1 + 1 → Z = ZLZC = 1 - j0.5 Ω Z ZL ZC Z L + ZC Ecuación de nudo Ecuaciones adicionales para las fuentes

Io = 0.3 - j0.1 A → io(t) = Re Ioejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) A Vo = RoIo = 0.3 - j0.1 V → vo(t) = Re Voejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) V po(t) = vo(t)io(t) = 0.1cos2(ωt + ϕo) W, ϕo = arctg - 0.1 0.3

Inducción mutua En general, la tensión en una inductancia depende de la corriente que circula por ella (autoinducción); la corriente que circula por inductancias próximas con las que está acoplada (inducción mutua). Está regida por la ley de Ampère (una corriente tiene un campo magnético asociado); la ley de Faraday-Henry (el voltaje inducido es proporcional a la variación del campo magnético). Dos inductancias (L1, L2) acopladas se caracterizan por el coeficiente de acoplamiento, k (0 ≤ k ≤ 1); el coeficiente de inducción mutua, M M H = + k L1L2 En continua no hay fenómenos de inducción mutua ya que no hay variación de corriente, ni, por tanto, del campo magnético creado por aquélla.

Inducción mutua La tensión total en una inductancia es la suma algebraica de las debidas a la autoinducción y a la inducción mutua. Caracterización de la autoinducción + va v'a i' i L - +

va = L di = - L di' = - v'a dt dt

Caracterización de la inducción mutua Si la corriente entra en (sale de) uno de los elementos por el terminal marcado con el punto, la tensión inducida en el otro es positiva (negativa) en el terminal marcado con el punto. i'1 i'2 i1 i2 v1m = M di2 = - M di'2 = - v'1m dt dt + - + v2m v'2m v'1m v1m M v2m = M di1 = - M di'1 = - v'2m + - L1 L2 - + dt dt Tensión total en L1 Tensión total en L2

v1 = v1a + v1m = v1a - v'1m = = - v'1a + v1m = - v'1a - v'1m = - v'1 v2 = v2a + v2m = v2a - v'2m = = - v'2a + v2m = - v'2a - v'2m = - v'2

En régimen sinusoidal permanente Tensión total en L1 V1 = V1a + V1m = - V'1a - V'1m = - V'1 V1m = jωMI2 = - jωMI'2 = - V'1m Tensión total en L2 V2 = V2a + V2m = - V'2a - V'2m = - V'2 V2m = jωMI1 = - jωMI'1 = - V'2m

Circuito con inducción mutua (septiembre 1992)

M12 L1 I1

L2 R1

M34 Vg

L3 C2

L4 R3 M45 I3

Hallar I1, I2, e I3

Datos: V g = 35 + j77 V, Is = 1 A, R1 = 100 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 15 Ω, ωL1 = 4 Ω, ωL2 = 9 Ω, ωL3 = 1 Ω, ωL4 = 25 Ω, ωL5 = 25 Ω, ωM12 = 4 Ω, ωM34 = 3 Ω, ωM45 = 20 Ω, (ωC1)-1 = 5 Ω, (ωC2)-1 = 7 Ω, (ωC3)-1 = 10 Ω V s: tensión en la fuente de corriente (positiva en el extremo por el que sale la corriente) 1 + jωL1 + jωL2 + R1 - I2R1 - I1jωM12 - I1jωM12 jωC1 ec. malla 1 sin inducción mutua L1 en L2 L2 en L1

0 = I1

1 + R2 + Vs + I3jωM34 jωC2 ec. malla 2 sin inducción mutua L4 en L3

- Vg = -I1R1 + I2 R1 + jωL3 +

1 + I2jωM34 + I3jωM45 + I3jωM45 jωC3 ec. malla 3 sin induc. mutua L3 en L4 L4 en L5 L5 en L4 V s = I3 jωL4 + R3 + jωL5 +

Is = I3 - I2

ecuación adicional para la fuente de corriente I1 = - 2 A, I2 = - 2 A, I3 = - 1 A

Circuito con inducción mutua (septiembre 1996)

V g I1

+ R2 V2 I2 M L3 L2 -

Datos: V g = 9 + j30 V, R1 = 3 Ω, R2 = 5 Ω, ωL1 = 1 Ω, ωL2 = 4 Ω, ωL3 = 1 Ω, ωM = 1 Ω Hallar k y V 2

ωM = 0.5 (ωL1)(ωL2)

Vg = I1(R1 + jωL1 + jωL2) - I2jωL2 - I1jωM - (I1 - I2)jωM ec. malla 1 sin inducción mutua L1 en L2 L2 en L1 0 = - I1jωL2 + I2(jωL2 + R2 + jωL3) + I1jωM ec. malla 2 sin inducción mutua L1 en L2 I1 = 5 + j5 A, I2 = j3 A V2 = (I1 - I2)jωL2 - I1jωM = - 3 + j15 V = I2(R2 + jωL3)

Transformadores Son dispositivos que incluyen dos inductancias acopladas electromagnéticamente (afectadas por inducción mutua).

excitación + otros elementos

primario

transformador

bobinas acopladas

otros elementos

Esquema general de un transformador

secundario

Un transformador modifica las condiciones en las que una excitación llega a una carga (conjunto de elementos pasivos) con relación a las que existen en ausencia de aquél. Tipos Transformador lineal. Transformador ideal. Serán analizados sólo en régimen sinusoidal permanente. Un transformador no funciona como tal en continua ya que en dichas condiciones no hay inducción mutua (las inductancias que lo constituyen se comportan como simples cortocircuitos). Un transformador elimina la componente continua de una excitación combinada.

Transformador lineal transformador lineal ZG VG

Z1 IG

excitación

M L1

Esquema

L2 carga

ZG: impedancia asociada a la excitación Z1: impedancia de pérdidas asociada al primario Z2: impedancia de pérdidas asociada al secundario ZL: impedancia de carga En un transformador lineal se cumple (con independencia de las posiciones de los puntos en las inductancias) VG = IG(ZG + Z), Z = ZP + ZR impedancia del primario: ZP = Z1 + jωL1 (ωM)2 impedancia reflejada en el primario: ZR = ZTS impedancia total en el circuito secundario: ZTS = ZS + ZL impedancia del secundario: ZS = Z2 + jωL2 El transformador altera las condiciones en las que la excitación v e la carga. Si no estuviera el transformador, se cumpliría VG = IG(ZG + ZL)

Ejemplo de transformador lineal (diciembre 1996)

VG L1

Hallar V L

ZG VG

+ VL -

Datos: V G = 1 + j V, Z G = 0.75 Ω, ωL1 = 1 Ω, ωL2 = 1 Ω, ωM = 0.5 Ω, ωC2 = 1 S, ZL = 1 + j Ω

1 //ZL = 1 Ω jωC2 (ωM)2 ZR = = 0.25 Ω ZTS Z = jωL1 + ZR = 0.25 + j Ω

ZTS = jωL2 +

VG = IG(ZG + Z) → IG = 1 A

L2 I2 Z2L

+ VL -

1 = jωC2 + 1 Z2L ZL

→

Z2L = 1 - j Ω

= IG jωM + I2(jωL2 + Z2L) → I2 = - j0.5 A VL = I2Z2L = - 0.5 - j0.5 V

Ejemplo de transformador lineal (febrero 1992)

Z1 M12 I1 G

Datos:

Z2 I3 I2 M23 L3

Hallar: I1, I2, e I3; impedancia total del secundario

V G = - j54 V, Z1 = 2 - j4 Ω, ωL1 = 4 Ω, ωL2 = 9 Ω, ωM 12 = 4 Ω, Z2 = 8 - 65 Ω, ωL3 = 36 Ω, ωM23 = 10 Ω, Z3 = 23 - j36 Ω

VG = I1(Z1 + jωL1) + I2jωM12 0 = I2(jωL2 + Z2 + jωL3) - I3jωL3 + + I1jωM12 + I2jωM23 + (I2 - I3)jωM23 0 = - I2jωL3 + I3(jωL3 + Z3) - I2jωM23 I1 = - j25 A, I2 = - 1 A, I3 = - j2 A

VG = I1(Z1 + jωL1 + ZR) → ZR = 0.16 Ω (ωM12)2 ZR = ZTS

→

ZTS = 100 Ω

Transformador ideal Es un transformador lineal llevado al límite. k = 1, L1 = ∞ = L2 Se caracteriza por la relación de transformación. a = n2/n1; ni: número de espiras de la bobina i, i = 1, 2 Los voltajes en los terminales de las inductancias incluyen los efectos de autoinducción e inducción mutua. i'1

i'2 1:a - + + v'1 v1 v2 v'2 n2 - + + - n1 1/a:1

Esquema v2 = i1 = n2 = a v1 i2 n1

Caracterización matemática Relación de voltajes: positiva si ambos tienen la misma polaridad en los puntos v2 = av1 = - av'1, v'2 = - av1 = av'1 Relación de corrientes: negativa si ambas entran o salen simultáneamente por los puntos i1 = - ai2 = ai'2, i'1 = ai2 = - ai'2

En régimen sinusoidal permanente V 2 = aV 1 = - aV'1, V'2 = - aV 1 = aV'1 I1 = - aI2 = aI'2, I'1 = aI2 = - aI'2

Transformador ideal ZG IG

1:a ZL

Esquema

ZG: impedancia asociada a la excitación ZL: impedancia de carga En un transformador ideal se cumple (con independencia de las posiciones de los puntos en las inductancias) VG = IG(ZG + ZR) impedancia reflejada en el primario: ZR = Z2L a El transformador altera las condiciones en las que la excitación v e la carga. Si no estuviera el transformador, se cumpliría VG = IG(ZG + ZL)

Obsérvese que, si se refleja la impedancia del primario en el secundario, se tiene Z R = a2 Z G Es decir, el transformador ideal es asimétrico, mientras que el lineal es simétrico.

Ejemplo de transformador ideal (febrero 1992)

1/a2:1 R3 + + + + + V2 Ib V3 VS V4 Ic Ia V1 IS VG Datos: V G = 600 V, IS = 12 A, a1 = 6, a2 = 1/3, R1 = 24 Ω, R2 = 18 Ω, R3 = 2 Ω 1:a1

V G = I aR 1 + V 1 V 2 = IbR 2 + V 3 V 4 = I cR 3 + V S

Hallar V S

Ecuaciones de mallas

Ic = - IS

Ecuación adicional para la fuente

V 2 = a1 V 1 , I a = a1 I b V 4 = - a2 V 3 , I b = - a2 I c

Ecuaciones de los transformadores

VS = 0 V

Ejemplo de transformadores (septiembre 1999)

R bVL I1 VG

1:a R

C I2

R L

C I3

+ VL -

Son datos las características de todos los elementos. Escribir un sistema algebraico de tres ecuaciones cuyas incógnitas sean únicamente las corrientes de malla.

(ωM)2 1 1 V G = R + 2 R + jωL + + I1 + bZLI3 a jωC R + jωL + 1 + Z L jωC impedancia reflejada en el primario del lineal impedancia reflejada en el primario del ideal

I1 = aI2 0 = I3 R + jωL + 1 + ZL + I2jωM jωC Nota No se puede reflejar impedancias en el primario si el secundario contiene fuentes (a menos que se trate de fuentes independientes que estén desactivadas).

Potencia en régimen sinusoidal Potencia instantánea (real):

p(t) = v(t)i(t)

(¡signos!)

Caso particular v(t) = Vmcos(ωt + ϕ) ↔ V, i(t) = Imcos(ωt) ↔ I Potencia media W : P = VmIm cos(ϕ), factor de potencia: cos(ϕ) 2 Potencia reactiva VAR (voltio-amperio reactivo) : Q = VmIm sen(ϕ) 2 Potencia instantánea: p(t) = VmIm cos(ϕ) + VmIm cos(ϕ)cos(2ωt) 2 2 - VmIm sen(ϕ)sen(2ωt) = P + Pcos(2ωt) - Qsen(2ωt) 2 Potencia compleja VA (voltio-amperio) : S = P + jQ = VI* 2 Siempre Potencia media en un elemento resistivo puro V 2 I 2R P= = 2R 2

Potencia reactiva en un elemento reactivo puro V 2 I 2X Q= = 2X 2

Conclusiones La potencia instantánea tiene frecuencia doble. R → ϕ = 0 ° → p(t) = P + Pcos(2ωt) ≥ 0 para todo t (la resistencia siempre absorbe energía) L → ϕ = 90 ° → p(t) = - Qsen(2ωt) (absorbe-libera energía en cada ciclo) C → ϕ = - 90 ° → p(t) = - Qsen(2ωt) (absorbe-libera energía en cada ciclo)

Valores eficaces (rms, root mean square -valor cuadrático medio-) Valor eficaz de una función f(t) de período T: Feff =

1 T

f2(t)dt T

En régimen sinusoidal permanente V I ensión eficaz: Veff = Vm = , corriente eficaz: Ieff = Im = 2 2 2 2 fasores eficaces: Veff = V , Ieff = I 2 2 potencias: S = VeffI*eff P = VeffIeffcos(ϕ) Q = VeffIeffsen(ϕ)

Cálculos de potencias (septiembre 2001)

- VG + Ia

V S L1

R2 + 1:a + Ic V2 V3 Ib L2 R3

Hallar V G y pL1(t)

Datos: V S = 2 + j2 V, IG = - j2 A, ω = 100 krad/s, a = 2, R2 = 5 Ω, R3 = 4 Ω, L1 = 10 µH, L 2 = 50 µH, M = 10 µH V S = I ajωL1 + IbjωM 0 = I ajωM + Ib(jωL2 + R2) - VG + V 2 V 3 = I cR 3

Ecuaciones de mallas

Ib = IG

Ecuación adicional fuente de corriente Transformador ideal

Ib = - aIc, V 3 = - aV 2

Ia = 2 A, Ib = - j2 A, VG = 10 - j10 V IajωL1 + IbjωM = VL1 = V S = 2 + j2 V ∠VL1 ≠ 0 °, ∠Ia = 0 ° →

* V I L1 a SL1 = = 2 + j2 VA 2

P = Re SL1 = 2 W, Q = Im SL1 = 2 VAR pL1(t) = 2 + 2cos(2ωt) - 2sen(2ωt) W

Cálculos de potencias (junio 2001)

CMIM

VG L1

R1 C1 + V1 I1 -

1:a

+ Ra V2 Ia IS -

+ VS -

Hallar pV1(t)

Datos: V G = 10 V, IS = j A, ω = 100 krad/s, a = 5, RM = 1 Ω, R1 = 1 Ω, Ra = 50 Ω, CM = 5 µF, C1 = 5 µF, L1 = 20 µH, L2 = 20 µH, M = 10 µH 1 + RM + jωL2 - I1jωM jωCM V G = I1 1 + R1 + jωL1 - IMjωM + V1 jωC1 V 2 = I aR a + V S

Ecuaciones de mallas

0 = IM

Ia = - IS

Ecuación adicional fuente de corriente

I1 = aIa, V 2 = aV 1

Transformador ideal

I1 = - j5 A, IM = 5 A, V1 = 10 + j10 V ∠V1 ≠ 0 °, ∠I1 ≠ 0 ° → caso general i1(t) = 5cos(ωt - 90 °) A, v1(t) = 10 2cos(ωt + 45 °) V pV1(t) = v1(t)i1(t)

Cálculos de potencias (diciembre 2000)

a:1 L3

C2 L2

L1 IG

C1 VG

Hallar las potencias media y reactiva en la fuente

Datos: VG = 2 + j2 V, ω = 100 krad/s, a = 10, R1 = 1 Ω, C1 = 10 µF, C2 = 50 nF, L1 = 10 µH, L2 = 1 mH, L3 = 2 mH Reflejando impedancias, V G = IG

1 + jωL1 + R1 + 1 jωL2 + 1 + jωL3 a2 jωC1 jωC2

∠V G ≠ 0 °, ∠IG = 0 ° →

→

IG = 2 A

* V I G G SG = = - 2 - j2 VA 2

PG = Re SG = - 2 W, QG = Im SL1 = - 2 VAR

Cálculos de potencias (junio 1997)

L1 R2 I1

Hallar pG(t)

1:a R3 C3

(se supone ω conocida)

Datos: V G = - j2 V, a = 0.5, R 1 = 2 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 0.5 Ω, ωL1 = 3 Ω, ωL2 = 1 Ω, ωL3 = 2 Ω, (ωC1)-1 = 6 Ω, (ωC2)-1 = 0.75 Ω, ωM = 1 Ω

Reflejando impedancias, V G = I 1 R1 +

1 + jωL + jωL - I jωL + I jωM + (I - I )jωM 2 2 1 2 1 1 2 jωC1

0 = - I1jωL2 + I2 jωL2 + R2 + jωL3 + 12 R3 + 1 - I1jωM a jωC3 I1 = - j0.75 A ∠VG ≠ 0 °, ∠I1 ≠ 0 ° → caso general i1(t) = 0.75cos(ωt - 90 °) A, vG(t) = 2cos(ωt - 90 °) V pG1(t) = - vG(t)i1(t)

Equivalente Thèvenin en régimen sinusoidal permanente Dado un circuito su comportamiento hacia el exterior, desde la perspectiva de dos de sus terminales, puede ser caracterizado mediante los equivalentes de Thèvenin y Norton. Equivalentes de Thèvenin y Norton a b

ZTh = ZN

ZTh VTh

VTh = ZNIN

IN = VTh/ZTh

Procedimientos para calcular el equivalente (a-b) V Th: tensión de circuito abierto entre a y b. IN:: corriente de cortocircuito de a a b. ZTh: cociente entre V Th e IN. Desactivación de fuentes independientes, aplicación de V aux (positivo en a), cálculo de Iaux (sale por el positivo de V aux), y ZTh = V aux/Iaux. Si no hay fuentes dependientes, desactivación de fuentes independientes, y ZTh = impedancia total entre a y b.

ZTh = RTh + jXTh a VTh b

ZL = RL + jXL

Máxima transferencia de potencia Dado un circuito caracterizado por su equivalente Thèvenin, se trata de determinar la carga que debe conectarse entre sus terminales.

Si ZL = Z*Th ⇔ RL = RTh, XL = - XTh la potencia media en la carga es la máxima posible y vale VTh 2 PL = Pmax = 8RTh Casos particulares RL y XL no pueden tomar valores cualesquiera, sino algunos fijados previamente: se escoge el valor de XL lo más próximo posible a - XTh, se escoge el valor de RL lo más próximo posible a 2 + (X + X )2 RTh L Th La fase de ZL no puede ser cualquiera, sino una fija: se escoge el módulo de ZL lo más próximo posible al de ZTh.

Cálculo de equivalente Thèvenin (cálculo completo, septiembre 1997)

1:a

+ V5 C5

c R2

M L3

bV5

Hallar eq. Th. entre cyd

d Datos: IG = - j5 A, a = 2, b = 2, ωL3 = 2 Ω, ωL4 = 8 Ω, ωM = 2 Ω, (ωC1)-1 = 0.5 Ω, (ωC5)-1 = 0.5 Ω, R2 = 2 Ω

Cálculo de la tensión de circuito abierto c

+ V5 C5

+ R2 + M V2 V3 I 2 bV5 L4 - L3 IG d V 1 = bV 5 = b - IG = 5 V, V 2 = aV 1 = 10 V jωC5 C1

+ V1 -

1:a

V2 = I2(R2 + jωL3) + IGjωM → I2 = 0 A I2jωL3 + IGjωM = V3 = VTh = Vcd = V2 - I2R2 = 10 V

Cálculo de equivalente Thèvenin (cálculo completo, septiembre 1997)

Cálculo de la corriente de cortocircuito

C1 bV5

+ V1 -

1:a

+ V5 C5

c + R2 V2 - I2

I3 M L3 L4

d V 1 = bV 5 = b - IG = 5 V, V2 = aV 1 = 10 V, I2 = V 2 = 5 A jωC5 R2 0 = Vcd = - I3jωL3 + IGjωM → I3 = - j5 A Icd = IN = I2 + I3

Cálculo de la impedancia equivalente ZTh = VTh = 1 + j Ω IN

Cálculo de equivalente Thèvenin (cálculo de impedancia con fuente auxiliar, junio 1999)

1:a R

bVL

R ZL

+ VL -

Datos: IG = - j5 A, ω = 1 Mrad/s, a = 2, b = 0.25, R = 1 Ω, L = 2 µH, M = 1 µH, C = 500 nF Hallar el valor de ZL para que disipe la máxima potencia Se desactiva la fuente de corriente (queda en circuito abierto) con lo que el primario del transformador lineal no actúa. El cálculo se hace sin ZL ya que es la impedancia a calcular. Se aplica una fuente auxiliar. 1:a + R Vaux + C bVL + V2 V3 VL I 2 L Iaux 0 = I2 jωL + R + 1 - bVaux + V2 jωC Vaux = IauxR + V3, V3 = - aV2, I2 = aIaux R

Eliminando I2, V 2, y V 3, ZTh = Vaux Iaux

a jωL + R + 1 - R jωC a = = 3.33 Ω 1 b+a * = 3.33 Ω ZL = ZTh

Cálculo de equivalente Thévenin (cálculo agrupando impedancias, febrero 1994)

1:a R VG L

R ZL

Se suponen conocidos los datos de todos los elementos. Hallar ZL para que disipe la máxima potencia El cálculo se hace sin ZL ya que es la impedancia a calcular. Se desactiva la fuente de tensión (queda en cortocircuito) y se van reflejando impedancias. 1:a R

M L

1:a

C L ZR1

R ZR2

ZTh = R + ZR2 = R + a2 ZR1 + jωL + 1 = jωC (ωM)2 2 + jωL + 1 =R+a R + jωL jωC * ZL = ZTh

Cálculo de equivalente Thèvenin (cálculo completo, junio 2002)

I2 I3 x y + C L + VG 2 V2 V3 M L3 L1 I1 Datos: V G = j5 V, a = 2, ω = 100 krad/s, L1 = 40 µH, L2 = 20 µH, L3 = 160 µH, M = 10 µH, C = 5 µF

Hallar eq. Thèvenin entre x e y I1, I2 e I3 son corrientes de rama

Cálculo de la tensión de circuito abierto Se considera el circuito tal y como está VG = I1jωL1 + I2jωM, V3 = I3jωL3 VG = I1jωM + I2 jωL2 + 1 jωC V 3 = aV 2, I2 = aI3

⇒

VTh = Vxy = I2 jωL2 + 1 + I1jωM = j V jωV

I1 = 1 A I2 = 1 A

Cálculo de equivalente Thèvenin (cálculo completo, junio 2002)

Cálculo de la corriente de cortocircuito I3 I2 IN x y + + C L2 VG V3 V2 M L3 IP L1 I1 a:1 IP = V 2 = V G = 5 A jωL3 jωL3 4 a2 a2 VG = I1jωL1 + I2jωM ⇒ 0 = Vxy = I1jωM + I2 jωL2 + 1 jωC IN = IP - I2 = - 15 A 4

Cálculo de la impedancia equivalente ZTh = VTh = - 4 Ω IN 15

I1 = 0 A I2 = 5 A

Aplicación del principio de superposición Cuando un circuito soporta distintas excitaciones, una o más continuas y/o una o más sinusoidales de distintas frecuencias, el análisis se realiza aplicando el principio de superposición. Si las excitaciones están simbolizadas en una sola fuente independiente (sólo es posible si las excitaciones son de igual naturaleza -corrientes o tensiones-), se realiza un análisis separado para cada una de las excitaciones. Si las excitaciones están simbolizadas en más de una fuente independiente, se realiza un análisis para cada una de ellas, estando las restantes fuentes independientes desactivadas.

Desactivación de fuentes Desactivar una fuente de corriente supone sustituirla por un circuito abierto. Desactivar una fuente de tensión supone sustituirla por un cortocircuito.

Ejemplo de aplicación del principio de superposición (diciembre 2000)

vg R

Datos: vg(t) = VD + VAcos(ωt), D = 2 V, VA = 26 V, ω = 2 rad/s, R = 2 Ω, L = 2 H, C = 5/8 F Hallar pC(t)

El circuito tiene una componente continua (VD) y una componente sinusoidal. La respuesta es vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕv), iC(t) = ICD + ICAcos(ωt + ϕi) ICD

R VD R

R VA

Continua En continua la inductancia y la capacidad son, respectivamente, un cortocircuito y un circuito abierto. VCD = VDR = 1 V, ICD = 0 A R+R

+ VCD C -

ICA R Z

Sinusoidal Z = 1/(jωC) + (jωL)//R = 1.6 Ω

VA∠0 ° = VA = IG(R + R) - ICAR 0 = - IGR + ICA(R + Z) ICA = 5 A → ICA = 5 A, ϕi = 0 ° VCA = ICA/(jωC) = - j4 V → VCA = 4 V, ϕv = - 90 ° Respuesta pC(t) = vC(t)iC(t) = 1 + 4cos(ωt - 90 °) 5cos(ωt) W

Ejemplo de aplicación del principio de superposición (febrero 1994)

Datos: vg(t) = VC + L1

C1 C2

R1 vg

+ V1cos(ω1t) + V2cos(ω2t + 270 °), ω1 = 1 Mrad/s, ω2 = 2 Mrad/s,

vO -

VC = 3 V, V1 = 1 V, V2 = 2 V, L1 = 1 µH, L 2 = 2 µH, C1 = 1 µF, C 2 = 2 µF, R1 = 1 kΩ, R2 = 2 kΩ Hallar vO(t)

El circuito tiene una componente continua (VC) y dos componentes sinusoidales de distintas frecuencias. Ha de ser analizado aplicando el principio de superposición. La respuesta es vO(t) = VOC + VO1cos(ω1t + ϕ1) + VO2cos(ω2t + ϕ2) Continua Dado que en continua la inductancia y la capacidad son, respectivamente, un cortocircuito y un circuito abierto, el circuito queda reducido a la fuente y a las dos resistencias. Por tanto, VCR2 = 2 V VOC = dedivisor = tensión R1 + R2

Ejemplo de aplicación del principio de superposición (febrero 1994)

Régimen sinusoidal Hacemos las siguientes agrupaciones de elementos: L1/C1 Z1(ω) = R1 + (jωL1)// 1/(jωC1) = R1 + jωL1 + 1/(jωC1) Z2(ω) = R2// jωL2 + 1/(jωC2) =

R2 jωL2 + 1/(jωC2) R2 + jωL1 + 1/(jωC1)

con lo que la respuesta para cualquier frecuencia es VkZ2(ωk) VOk∠ϕk = VOk = dedivisor = tensión Z1(ωk) + Z2(ωk) ; k = 1, 2 En consecuencia, respuesta para la frecuencia 1: k = 1 → V1 = V1ej0 ° = 1 V → VO1 = 0 V respuesta para la frecuencia 2: k = 2 → V2 = V2ej270 ° = - j2 V → VO2 = 0 V Respuesta total La respuesta es continua, ya que son nulas las componentes sinusoidales.

Ejemplo de aplicación del principio de superposición vD

- vR + R iA

R L

C C

R R R GvR

+ vd -

Datos: iA(t) = IAcos(ωt), IA = 1 A, ω = 1 rad/s, vD(t) = VD = 2 V, R = 1 Ω, G = 2 S, L = 1 H, C = 1 F Hallar vd(t)

El circuito tiene una componente continua (vD(t)) y una componente sinusoidal. La respuesta es vd(t) = VdD + VdAcos(ωt + ϕv) Continua + Se desactiva la fuente independiente R VdD de corriente (se sustituye por un circuito abierto), VD R con lo que vRD = 0 V. En consecuencia, y teniendo en cuenta que en continua la inductancia V R y la capacidad son, respectivamente, VdD = D = 1 V R+R un cortocircuito y un circuito abierto, el circuito queda como se indica en la figura adjunta.

Ejemplo de aplicación del principio de superposición R

- VRA + R I Z1

GVRA

+ VdA -

Sinusoidal Se desactiva la fuente de tensión (se sustituye por un cortocircuito).

Z1 = jωL + 1 = 0 Ω (cortocircuito) jωC Z2 = (jωL)// 1/(jωC) = ∞ Ω (circuito abierto) VRA = - IAR, VdA = GVRA R + (R + R)//(R + R) →

VdA = 4 V → VdA = 4 V, ϕv = 0 °

Respuesta vd(t) = 1 + 4cos(ωt) V

→

Ejemplo de aplicación del principio de superposición (septiembre 2000)

vg R

Datos: vg(t) = VD + VAcos(ωt), VD = 3 V, VA = 4 V, ω = 1 rad/s, R = 1 Ω, L = 0.5 H, C = 1 F Hallar pL(t)

El circuito tiene una componente continua (VD) y una componente sinusoidal. La respuesta es vL(t) = VLD + VLAcos(ωt + ϕv), iL(t) = ILD + ILAcos(ωt + ϕi)

R VD R

+ VLD ILD

Continua En continua la inductancia y la capacidad son, respectivamente, un cortocircuito y un circuito abierto.

ILD = VD = 1 A, VLD = 0 V 3R R VA

ILA R Z

Sinusoidal Z = jωL + R// 1/(jωC) = 0.5 Ω

VA∠0 ° = VA = IG(R + R) - ILAR 0 = - IGR + ILA(R + Z) ILA = 2 A → ILA = 2 A, ϕi = 0 ° VLA = ILAjωL = j V → VLA = 1 V, ϕv = 90 ° Respuesta pL(t) = vL(t)iL(t) = 1 + 2cos(ωt) cos(ωt + 90 °) W

Ejemplo de aplicación del principio de superposición R iS

L iL R C

R vG

Datos: vG(t) = cos(ωGt) V, ωS = 1 Mrad/s, iS(t) = 2cos(ωSt - 45 °) A, ωS = 1 krad/s, R = 1 Ω, L = 1 mH, C = 1 mF Hallar iL(t)

El circuito tiene dos componentes sinusoidales de distintas frecuencias. La respuesta es iL(t) = ILScos(ωSt + ϕS) + ILGcos(ωGt + ϕG)

R IS R

L ILS

R I3S

IS = 2 ∠- 45 ° A

L R

ILG

R I3G

VG = 1 V

Componente ωs 0 = - ISR + ILS R + jωL + 1 - I3S jωC jωC 0 = - ILS + I3S R + 1 jωC jωC ILS = 4 A ⇒ ILS = 4 A, ϕS = 0 °

Componente ωG 0 = ILG R + jωL + 1 - I3G jωC jωC V G = ILG - I3G R + 1 jωC jωC ILG ≈ 0 A ⇒ ILG = 0 A

Problemas de repaso (cortocircuito en inductancia mutua, diciembre 1994)

Isc L 1 b

a R1

ZG VG

Son datos las características de todos los elementos I2

Escribir un sistema algebraico de ecuaciones cuyas incógnitas sean las corrientes de malla

Podría pensarse que no circula corriente por R1 y L1 ya que el cortocircuito impone una tensión nula en los extremos de esa rama. Sin embargo hay tensión en L1 debido al efecto de inducción mutua. Esa tensión debe ser compensada por otra igual y de signo opuesto en R1 y L1 para que la tensión total sea nula. Y, si hay tensión en la resistencia, también hay corriente en ella. En consecuencia el sistema de ecuaciones es Vab = I1(R1 + jωL1) - Isc(R1 + jωL1) - (I1 - I2)jωM = 0 VG = I1(ZG + R2 + jωL2) + Vab - I2(R2 + jωL2) - (I1 - Isc)jωM 0 = - I1 (R2 + jωL2) + I2(ZL + R2 + jωL2) + (I1 - Isc)jωM

Problemas de repaso (inducción mutua, potencia)

x + V4 IG -

aV3 C4 I 1

Hallar: Zxy, y P en R

+ R M I2 C 3 V 3 L

L y

Datos: IG = 1 A, ω = 1 krad/s, a = 0.5, L = 1 mH, M = 0.5 mH, R = 0.5 Ω, C3 = 1 mF, C4 = 1.5 mF V4 + aV3 = I1jωL - I2jωM 0 = - I1jωM + I2 jωL + R +

1 jωC3

V 4 = IG - I1 ,V 3 = I2 jωC4 jωC3 I1 = - 2 A, I2 = - j2 A

Vxy = I1jωL - I2jωM = - 1 - j2 V ⇒ Zxy = I2 2R PR = =1W 2

Vxy = 0.5 + j Ω I1

Problemas de repaso (inducción mutua, potencia)

L + M V1 I L IG - C 1

C I2

aV1

Hallar: Zxy, y la potencia instantánea en la fuente independiente

Datos: IG = 1 A, ω = 1 krad/s, a = 0.5, L = 1 mH, M = 0.5 mH, C = 1 mF V1 = I1(jωL + jωL) - I2jωL + I1jωM + (I1 - I2)jωM 0 = - I1(jωM + jωL) + I2 jωL + 1 + aV1 jωC V 1 = IG - I1 jωC I1 = - 0.5 A, I2 = 0 A

Vxy = I1jωL + (I1 - I2)jωM = - j0.75 V ⇒ Zxy =

Vxy = j1.5 Ω I1

V 1 = IG - I1 = - 1.5 V ⇒ v1(t) = 1.5cos(ωt - 90 °) V jωC IG = 1 A ⇒ iG(t) = cos(ωt) A pG(t) = - v1(t)iG(t)

Problemas de repaso (inverso a partir de potencia, febrero 1995)

Datos: R = 3 kΩ, ZG = 300 + j21 kΩ, V = Vmejϕ, Vm = 5 V, arctg(4/3) = ϕ ∈ primer cuadrante; X absorbe 2 mVAR y minimiza la potencia media en R

ZG + R V VG jX

Hallar V G

La corriente que circula por el circuito es V Vm I= V → I = = R + jX R + jX R 2 + X2 La potencia absorbida en el elemento reactivo es 2 I 2X = V2mX 2 → X = 4 kΩ QX = 2 2(R + X ) X = 2.25 kΩ La potencia media en R es 2R I 2R V m = PR = 2 2(R2 + X2)

PR mínima → I mínimo → X máximo = 4 kΩ Vm = Re2 V + Im2 V Im V V = Re V + jIm V = tg(ϕ) = Re V ϕ primer cuadrante

= 3 + j4 V

I = V/(R + jX) = 1 mA, VG = IZG + V = 303 + j25 V

Problemas de repaso (equivalente Thèvenin, junio 2001)

M L

VG L

R C + V1 -

1:a

RS IS

Datos: V G = 10 V, IS = j A, ω = 100 krad/s, a = 5, R = 1 Ω, RS = 50 Ω, C = 5 µF, L = 20 µH, M = 10 µH Hallar el equivalente Thèvenin entre x e y

Aplicando las propiedades de los transformadores, V G = - aI S

(ωM)2 + R + jωL + 1 + V 1 R + jωL + 1/(jωC) jωC

→

V 1 = 10 + j10 V

VTh = Vxy = aV1 + ISR = 50 + j100 V

Desactivando las fuentes, y reflejando y agrupando impedancias, ZTh = Zxy = RS +

(ωM)2 + R + jωL + 1 = 100 Ω R + jωL + 1/(jωC) jωC

Problemas de repaso (potencia, equivalente Thèvenin, septiembre 2002)

L1 R1 VG

L2 I1

Hallar: la potencia instantánea en L1, y el equivalente Thèvenin entre x e y

x 1:a C

R2 y

Datos: V G = 4 V, ω = 100 krad/s, a = 2, R1 = 1 Ω, R2 = 4 Ω, L1 = 40 µH, L 2 = 40 µH, M = 10 µH, C = 1 µF Reflejando impedancias en el transformador ideal, VG = I1 R1 + jωL1 + jωL2 + j2ωM + 1 + R22 ⇒ I1 = 2 A ⇒ jωC a ⇒ i1(t) = Re I1ejωt = 2cos(ωt) A VL1 = I1(jωM + jωL) = j10 V ⇒ ⇒ vL1(t) = Re VL1ejωt = 10cos(ωt + 90 °) V pG(t) = vL1(t)i1(t) Decir “equivalente entre x e y” es lo mismo que “equivalente en el primario del transformador ideal”. La tensión de circuito abierto se calcula en las condiciones de la figura. 2 = 2 V VTh = Vxy = I1R 2 a Cuando hay un cortocircuito entre x e y, la tensión es nula en el primario. V G = IN R1 + jωL1 + jωL2 + j2ωM + 1 ⇒ IN = 4 A jωC ZTh = VTh = 0.5 Ω IN

Problemas de repaso (equivalente Thèvenin, diciembre 2002)

x RS IS

1:a M

CG VG

R4 C4

Hallar la impedancia que hay que colocar entre x e y para que en ella se disipe la máxima potencia

Datos: V G = - 1 + j V, IS =1 A, ω = 100 krad/s, a = 2, RS = 1 Ω, RG = 1 Ω, R4 = 1 Ω, LS = 20 µH, L G = 20 µH, M = 10 µH, C G = 5 µF, C 4 = 10 µF Desactivando las fuentes y reflejando impedancias, ZTh = Zxy = jωLS +

(ωM)2 jωL2 + RG + 1 jωCG

* = 1 - j2 Ω ZL = ZTh

= 1 + j2 Ω

Problemas de repaso (equivalente Thèvenin, máxima potencia con limitación de impedancias)

1:a1 R1

1:a2

1:a3 R2

R3 ZL

Son datos las características de todos los elementos Hallar el valor que ha de tomar ZL para que en ella se disipe la máxima potencia posible sabiendo que tal valor sólo puede ser resistivo

Se desactiva la fuente. El cálculo se hace sin ZL ya que es la impedancia a calcular. Se reflejan impedancias. ZTh = R3 + a32 R2 + a22 1 + a12R1 jωC En principio debería ser ZL = Z*Th, pero ello resultaría en una impedancia compleja. Puesto que la impedancia ha de ser resistiva, ello significa que hay una limitación de fase (0 ˚). En consecuencia ZL = ZTh

Problemas de repaso (equivalente Thèvenin, problema inverso, junio 1998)

R VG IG

+ VC - C

M L IL

1:a

I1 bVC

I2 RL

Demostrar que V C no depende de RL Hallar R sabiendo que a = 2, RL = 4 Ω, y que en RL se disipa la máxima potencia media posible

Sabiendo que V C = (IG - IC)/(jωC) y reflejando impedancias, el circuito queda descrito por el sistema de ecuaciones V G = I G R + 1 - IC jωC jωC 0 = - IG + IC 1 + j2ωL + j2ωM - IL(jωL + jωM) jωC jωC 0 = - IC(jωL + jωM) + IL jωL + jωM +

b(IG - IC) jωC

b(IG - IC) = I1 R + R2L , I1 = - aI2 a jωC Las tres primeras ecuaciones conforman un sistema cerrado del que es posible obtener IG e IC independientemente de RL. En consecuencia V C también puede ser obtenida independientemente de la resistencia.

Problemas de repaso (equivalente Thèvenin, problema inverso, junio 1998)

Equivalente Thèvenin Sustituyendo RL por un circuito abierto, I2 = 0 → I1 = 0 → VTh = - abVC Sustituyendo RL por un cortocircuito, I1 = bVC R

→

IN = - Ia1 = - bVC aR

Puesto que V C es igual en ambos casos ya que no depende de RL (en general sí cambiaría), RL = RL* = ZTh = VTh = a2R → R = 1 Ω IN

Problemas de repaso (equivalente Thèvenin, problema inverso, junio 1996)

1:a ZG VG

M L

Hallar ZG

Datos: V G = 5 - j V, ω = 1 Mrad/s, L = 1 µH, M = 0.5 µH, a = 2, Z2 = 1 - j5 Ω, ZL = 0.25 - j Ω; en ZL se disipa la máxima potencia media posible

Desactivando la fuente, prescindiendo de ZL, y reflejando impedancias,

ZL*

(ωM)2 = ZTh = jωL + jωL + Z2 + a2ZG

→

ZG = j Ω

Problemas de repaso (superposición, septiembre 2001)

RG vG

C L

Hallar la potencia instantánea en la capacidad en serie con RG

Datos: vG(t) = V1 + V2cos(ωt), V1 = 12 V, V2 = 5 V, ω = 1 rad/s, L = 1 H, C = 1 F, RG = 2 Ω, RC = 2 Ω

El circuito tiene una componente continua (V1) y una componente sinusoidal. La respuesta es vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕv), iC(t) = ICD + ICAcos(ωt + ϕi) RG vG

Continua La inductancia y las capacidades son, respectivamente, un cortocircuito y circuitos abiertos. ICD = 0 A, VCD = V1 = 12 V

Vale el circuito del enunciado, con V G = V2

Sinusoidal Z1 = RG + jωC = 2 - j Ω Z2 = jωL // RC + jωC = 0.5 + j Ω

V G = 2 A ⇒ I = 2 A, ϕ = 0 ° CA i Z 1 + Z2 VCA = ICA = - j2 V ⇒ VCA = 2 V, ϕv = - 90 ° jωC ICA =

Respuesta pC(t) = vC(t)iC(t)

Problemas de repaso (superposición)

1:a

vg R1

R2 R3

Hallar vC(t)

+ vC -

Datos: vg(t) = VD + VAcos(ωt), VD = 46 V, VA = 220 2 V, R 1 = 6.5 Ω, R2 = 5 Ω, R3 = 45 Ω, ωL1 = 10.8 Ω, ωL2 = 22 Ω, (ωC)-1 = 2 Ω, a = 10

Por haber dos excitaciones de distinta naturaleza, vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕ)

R1 VD R2

+ VCD -

Continua Excitación sinusoidal desactivada L = cortocircuito, C = circuito abierto

VCD = VDR2 = 20 V R 1 + R2

Problemas de repaso (superposición)

L1 + V1 VA I1 R1

1:a

+ L2 + VCA V2 - C I2

Sinusoidal Excitación continua desactivada

VA = I1(R1 + jωL1 + R2) + V1 - I2R2 0 = - I1R2 - V2 + I2 R2 + jωL2 + 1 + R3 jωC I1 = aI2, V 2 = aV 1 I2 = 2(1 - j) A, VCA = I2 = - 2 2(1 + j) V jωC

Respuesta vC(t) = 20 + 4cos(ωt + 225 °) V

Problemas de repaso (superposición)

L R

R iS

Hallar la expresión temporal de la potencia en la capacidad

Datos: vG(t) = 4 V, iS(t) = 2cos(ωt) A, ω = 1 krad/s, L = 2 mH, C = 0.5 mF, R = 2 Ω

El circuito tiene una componente continua (vG) y una componente sinusoidal. La respuesta es vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕv), iC(t) = ICD + ICAcos(ωt + ϕi)

+ VCD -

Continua Excitación sinusoidal desactivada L = cortocircuito, C = circuito abierto VCD = vG = 4 V, ICD = 0 A

Problemas de repaso (superposición)

+ VCA I3 - L

L C I2

R IS

Sinusoidal Excitación continua desactivada

IS = 2 A (IS - I2)R = I2 jωL + 1 - I3 jωC jωC 0 = I3 jωL + 1 - I2 jωC jωC I2 = 0 A, I3 = - j2 A ICA = I2 - I3= j2 A ⇒ ICA = 2 A, ϕi = 90 ° VCA = ICA = 4 V ⇒ VCA = 4 V, ϕv = 0 ° jωC Respuesta pC(t) = vC(t)iC(t)

Ejercicios para resolver en clase SINUSOIDAL 2003/A vG(t) = 1.8cos(ω 1t + 33.69 ˚) + 2cos(ω 2t) V, ω 1 = 1 krad/s, ω 2 = 1 Mrad/s, L = 1 mH, C = 1 mF, R = 1 Ω

SINUSOIDAL 2003/B El circuito de la figura, en cuya representación se ha utilizado notación fasorial, funciona en régimen sinusoidal permanente. Hallad la impedancia entre x e y, justificando el signo del resultado, y la potencia reactiva en la fuente dependiente.

R L

e y.

x VG

C L

gVR

V G = 1.5 V, ω = 1 krad/s, L = 1 mH, M = 0.5 mH, C = 1 mF, R = 0.5 Ω, g = - 1 S

SINUSOIDAL 2003/C Hallad el equivalente Thèvenin entre x

+ v3 L -

Hallad la expresión temporal de v3.

y + VR -

x gV2

L L M

+ V2 -

VG Se desea colocar entre tales puntos una El circuito de la figura, en cuya impedancia en la que se disipe la máxima representación se ha utilizado notación potencia media posible, pero las partes real fasorial, funciona en régimen sinusoidal e imaginaria de dicha impedancia sólo permanente. pueden tomar valores (positivos o negativos) iguales a múltiplos enteros de V G = 0.75 V, ω = 1 krad/s, 0.5 Ω. L = 1 mH, M = 0.5 mH, C = 1 mF, g = 4 S Determinad los elementos que han de constituir esa impedancia.

Respuesta en frecuencia Función de transferencia es una expresión matemática que relaciona los fasores correspondientes a la salida y a la entrada de un circuito. La función de transferencia depende de las características de los elementos del circuito, la frecuencia de operación del circuito. La función de transferencia suele representarse como T(jω).

T(jω) =

Vo 1 = Zeq = IG 1 + 1 + jωC R jωL

Vo = Vo∠ϕ

V G = VG∠0 °

Vo = Vo∠ϕ

IG = IG∠0 °

Función de transferencia en resonadores ideales Resonador RLC paralelo Resonador RLC serie + + L C R R L CR (jω) = V o = R = V G Z eq R + jωL + 1 jωC

ω → 0 ⇒ Zeq ≈ jωL → j0

ω → 0 ⇒ Zeq ≈ 1/(jωC) → - j∞

ω → ∞ ⇒ Zeq ≈ 1/(jωC) → - j0

ω → ∞ ⇒ Zeq ≈ jωL → j∞

ω intermedia ⇒ Zeq no despreciable

ω intermedia ⇒ Zeq finita

Resonador paralelo ideal Vomax

(para el serie son aplicables consideraciones similares) Vo

ω1 ω0 ω2 ω creciente →

90 °

Frecuencia central ω0 = 1 LC

0°

T(jω0) máximo

- 90 °

∠T(jω0) = 0 ° Zeq(ω0) = R

Frecuencia de resonancia Suele denominarse frecuencia de resonancia a la frecuencia central; es decir, la frecuencia para la que se cumplen las tres condiciones indicadas. Sin embargo, las tres condiciones sólo se dan a la vez en los resonadores ideales. Para nosotros, frecuencia de resonancia es aquélla para la que la impedancia del circuito es resistiva (los efectos inductivos y capacitivos se cancelan mutuamente). ω0 = 1 LC ω0 = 1 LC

Zeq(ω0) = 0 Ω (cortocircuito)

Zeq(ω0) = ∞ Ω (circuito abierto)

Banda de paso Conjunto de frecuencias en las que se cumple T(jω0) T(jω) ≥ 2 Ancho de banda Intervalo de frecuencias correspondiente a la banda de paso. Se representa por BW. Ancho de banda relativo bw = BW ω0 Factor de calidad

Q = ω0 = 1 BW bw

Cuanto mayor es Q, más afilada es la curva de la función de transferencia. En resonadores ideales Paralelo

ω0 = 1 = ω1ω2 LC BW = ω2 - ω1 = 1 , Q = ω0RC RC

Serie

ω0 = 1 = ω1ω2 LC BW = ω2 - ω1 = R , Q = 1 L ω0RC

La frecuencia de resonancia depende sólo de los elementos reactivos. La resistencia influye en el ancho de banda.

Otras observaciones sobre la respuesta en frecuencia Para unos valores dados de L y C 0

∞

- j∞ Ω (circuito abierto, fase = - 90 ˚)

- j0 Ω (cortocircuito, fase = - 90 ˚)

j0 Ω (cortocircuito, fase = 90 ˚)

j∞ Ω (circuito abierto, fase = 90 ˚)

ω Z = 1/(jωC)

Z = jωL

Para un valor dado de ω

Z = 1/(jωC)

C → 0 ⇒ Z → - j∞ Ω (circuito abierto, fase = - 90 ˚)

C → ∞ ⇒ Z → - j0 Ω (cortocircuito, fase = - 90 ˚)

Z = jωL

L → 0 ⇒ Z → j0 Ω (cortocircuito, fase = 90 ˚)

L → ∞ ⇒ Z → j∞ Ω (circuito abierto, fase = 90 ˚)

Ejemplo de respuesta en frecuencia (función de transferencia, junio 2001)

R VG

L C C R

+ Vo L -

Datos: características de los elementos, ∠V G = 0 °

Si la función de transferencia es T(jω) = V o VG hallar los valores a los que tienden su módulo y su fase para ω → 0, ω = 1/ LC, yω→∞

T(jω) = V o = Z2 V G Z 1 + Z2 Z1 = R + jωL + 1/(jωC), Z2 = 1/R + 1/(jωL) + jωC -1 ω → 0 ⇒ Z1 → - j/(ωC), Z2 → jωL ⇒ T(jω) → - ω2LC ⇒ ⇒ T(jω)

→

ω2LC, ∠T(jω) → 180 °

ω = 1/ LC ⇒ Z1 = R, Z2 = R ⇒ T(jω) = 1/2 ⇒ ⇒ T(jω) = 1/2, ∠T(jω) = 0 ° ω → ∞ ⇒ Z1 → jωL, Z2 → - j/(ωC) ⇒ T(jω) → -1/(ω2LC) ⇒ ⇒ T(jω)

→

1/(ω2LC), ∠T(jω) → 180 °

Ejemplo de respuesta en frecuencia (función de transferencia, septiembre 1993)

+ Vo -

Son datos las características de todos los elementos. Además, las bandas de paso de los dos resonadores están muy separadas, y ω2 = 1 >> 1 = ω1, R1 > R2 L2C2 L1C1

Si la función de transferencia es T(jω) = V o VG se pide dibujar la variación cualitativa de su módulo en función de ω.

Ro T(jω) = V o = ; Zi = Ri + jωLi + 1 , i = 1, 2 V G Ro + Z1//Z2 jωCi Ro R2 + Ro

T(jω)

ω1

res 2

Ro R1 + Ro

res 1

total

ωc

ω2 ω

Si el circuito incluyera sólo el resonador 1 (2), la gráfica buscada sería la marcada en la figura como res 1 (res 2), ya que es un resonador serie ideal.

La posición relativa de las curvas deriva de los datos (bandas de paso muy separadas, frecuencia de resonancia más elevada en el segundo, etc.).

Ejemplo de respuesta en frecuencia (función de transferencia, septiembre 1993)

Para cualquiera de los dos resonadores se tiene ω << ωi → Zi ≈ - j∞ (por la capacidad) ω ≈ ωi → Zi ≈ Ri (por estar en resonancia) ω >> ωi → Zi ≈ j∞ (por la inductancia) Sea ωc una frecuencia cualquiera mucho mayor (menor) que las correspondientes a la banda de paso del resonador 1 (2). Cuando están presentes los dos resonadores se tiene ω << ωc → Z = Z1//Z2 ≈

Z1(- j∞) Z1 - j∞

≈ Z1 → T(jω) ≈

Ro R o + Z1

ω ≈ ω 1 → R o + Z1 ≈ R o + R 1 ω≈

ωc →

Z = Z1//Z2 ≈

ω >> ωc → Z = Z1//Z2 ≈

j∞(- j∞) j∞ - j∞

(j∞)Z2 j∞ + Z2

≈ ∞ → T(jω) ≈ 0

≈ Z2 → T(jω) ≈

Ro R o + Z2

ω ≈ ω 2 → R o + Z2 ≈ R o + R 2 Luego la curva pedida es la marcada como total en la figura.

Ejemplo de respuesta en frecuencia (función de transferencia, septiembre 1998)

C VG L

Si la función de transferencia es T(jω) = V o VG hallar: los valores a los que tienden su módulo y su fase para ω → 0, ω = 1/ LC, y ω → ∞; las condiciones para que el módulo sea superior a la unidad.

+ Vo R -

Son datos las características de todos los elementos

T(jω) =

R//(jωL) N(ω) Vo - ω2LRC = = = V G 1/(jωC) + R//(jωL) R(1 - ω2LC) + jωL D(ω)

ω → 0 ⇒ T(jω) ≈ - ω2LC ⇒ T(jω) ≈ ω2LC, ∠T(jω) ≈ 180 ° ω = 1/ LC ⇒ T(jω) = jR C/L ⇒ T(jω) = R L/C, ∠T(jω) = 90 ° ω → ∞ ⇒ T(jω) ≈ 1 ⇒ T(jω) ≈ 1, ∠T(jω) ≈ 0 °

T(jω) =

N(ω) N(ω) ω2RLC = = D(ω) D(ω) R2(1 - ω2LC)2 + (ωL)2

T(jω) ≥ 1 → N(ω) ≥ D(ω) →

→

(ω2LRC)2 ≥ R2(1 - ω2LC)2 + (ωL)2 →

ω ≥ ωm =

R L(2R2C - L)

→

L < 2R2C

Ejemplo de respuesta en frecuencia (función de transferencia, junio 2000)

Datos: características de los elementos, ∠V G = 0 ° R

VG R

+ Vo C R -

Vo =

Hallar: módulo y fase de V o para ω → 0 y para ω → ∞; frecuencia de resonancia.

V GR R(3 - 2ω2LC) + jω(R2C + 2L)

ω → 0 ⇒ Vo → VG/3 ⇒ V o

→

V G /3, ∠V o → 0 °

ω → ∞ ⇒ Vo → - VG/(2ω2LC) ⇒ V o

→

V G /(2ω2LC), ∠Vo → 180 °

La impedancia que v e la fuente es Z = R + R//Z1 R ωR2C Z1 = jωL + R// 1/(jωC) = + j ωL (ωRC)2 + 1 (ωRC)2 + 1 ω = ω0 → Z resistiva → Z1 resistiva → Im Z1 = 0 → 2C ω R 0 → ω0L = 0 → ω0 = (ω0RC)2 + 1

R 2C - L LR2C2

Ejemplo de respuesta en frecuencia (función de transferencia, junio 1999)

R, L y C datos; ¿∠V - ∠I para ω → 0?

I +

R L

R, L y C datos; ¿ ω (≠ 0) para ∠V = ∠I?

V R, L y ω = ωa datos; ¿ C para ∠I = ∠V + 45 °?

V = IZ, Z = (R + jωL)// 1/(jωC) =

R + jωL N(ω) = (1 - ω2LC) + jωRC D(ω)

ω → 0 ⇒ Z → R ⇒ ∠V = ∠I ∠V = ∠I → ∠N(ω) = ∠D(ω) → ωL = ωRC R 1 - ω2LC

→

ω=

1 - R2LC LC

∠V = ∠I + ∠Z = ∠V + 45 ° + ∠Z → ∠Z = - 45 ° Z=

N(ω) N(ω)D*(ω) ya que , ∠Z = - 45 ° → = D(ω)D*(ω) real D(ω) D(ω)D*(ω)

→

Re N(ωa)D*(ωa) = - Im N(ωa)D*(ωa)

→

a C = L2 + R/ω 2 R + ωa L2

Ejemplo de respuesta en frecuencia (resonancia, junio 2002)

Datos: R, L, C, a, IG (real)

El circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. IG = IG

aiC L iC C ig = IGcos(ωt)

+ VG -

R IG

R IC C

aIC L

Impedancia que ve la fuente independiente IG + aIC = V G + VGjωC + V G ⇒ IG = V GY = V G R R + jωL Z 1 Y = 1 + j(1 - a)ωC + ,Z= 1 R R + jωL Y Módulo y fase de la tensión en la fuente dependiente para ω ≈ 0 rad/s y ω ≈ ∞ rad/s La tensión en ambas fuentes es igual ω → 0 rad/s ⇒ Y → 2 ⇒ V G → IGR ⇒ R 2

V G → IG R 2 ∠V G → 0 °

ω → ∞ rad/s ⇒ ⇒ Y → j(1 - a)ωC ⇒ VG → - j

IG ⇒ (1 -a)ωC

VG →

IG (1 - a)ωC

∠V G → - 90 °

Ejemplo de respuesta en frecuencia (resonancia, junio 2002)

Frecuencia angular (ω0 ≠ 0 rad/s) para Z puramente resistiva; condiciones para que exista Z resistiva ⇒ Im Y = 0 Ω ⇒ (1 - a)ω0C - 2 ω0L 2 = 0 ⇒ R + (ω0L) 0 rad/s (no vale)

⇒ ω0 = +

L - (1 - a)R2C (1 - a)L2C

L - (1 - a)R2C ; condición: > 0 s-2 2C (1 - a)L

Hallar iC(t) para C = ∞ F C = ∞ F ⇒ VG = 0 V ⇒ IG + aIC = IC ⇒ I cos(ωt) ⇒ IC = IG ⇒ iC(t) = Re ICejωt = G 1-a 1-a

Ejemplo de respuesta en frecuencia (superposición, junio 2002)

Datos: R, L, C, a, ID (real), IA (real), ω = ω0 Hallar la potencia en la capacidad

Continua C = circuito abierto; L = cortocircuito ICD = 0 A, VGD = ID(R // R) = IDR 2

aiC L iC C ig(t) = ID + IAcos(ωt) ig

+ VGD -

R ID

ICD R

Sinusoidal + R R V GA Y(ω0) = 1 + 2 R real IA ICA C 2 aICA L R R + (ω0L) VGA = IA ⇒ vGA(t) = Re VGAejω0t = IA cos(ω0t) Y(ω0) Y(ω0) jIAω0C I ωC ⇒ iCA(t) = Re ICAejω0 t = G 0 cos(ω0t + 90 °) CA = VGAjω0C = Y(ω0) Y(ω0) Respuesta total iC(t) = ICD + iCA(t), vC(t) = VGD + vGA(t), pC(t) = vC(t)iC(t)

Ejemplo de respuesta en frecuencia (resonancia, septiembre 2002)

Datos: R, L, C, a, IG (real)

L R

R aiL

ig = IGcos(ωt) El circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. IG = IG

+ VG -

IL IG

L R

aIL

Impedancia que ve la fuente independiente IG + aIL = V G + VGjωC + V G ⇒ IG = V GY = V G R R + jωL Z Y = 1 + jωC + 1 - a , Z = 1 R R + jωL Y Valor de a para Z imaginaria pura (1 - a)R ωL Z imaginaria ⇒ Re Y = 0 Ω ⇒ 1 + 2 = 0 ⇒ a = 2 + R R R + (ωL)2

Ejemplo de respuesta en frecuencia (resonancia, diciembre 2002)

Datos: R, L, C, a, IG (real)

iL ig

aiL

ig = IGcos(ωt) Hallar iC(t) para C = ∞ F y L = ∞ H El circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. C = ∞ F ⇒ C es un cortocircuito L = ∞ H ⇒ L es un circuito abierto ⇒ ⇒ la fuente dependiente es un circuito abierto La corriente proporcionada por la fuente independiente se reparte por igual entre las dos resistencias i (t) iC(t) = g 2

Ejemplo de respuesta en frecuencia (frecuencia para entrada y salida en fase)

RG R

Son datos las características de todos los elementos

RL + aIL IL

Hallar la frecuencia angular para la que V o y V G están en fase

L -

Vo Vo + IL, IL = aIL = V o - V G + V o + RG R RC + 1/(jωC) RL + jωL Vo = VG

1 1+

jωRGC (1 - a)RG + RG + 1 + jωRCC R RL + jωL

1 D(ω)

Puesto que el numerador es real, también ha de serlo el denominador. ∠V o = ∠V G → Im D(ω) = 0 → ω =

RL2C + (a - 1)L (1 - a)RC2LC2 - L2C

Ejemplo de respuesta en frecuencia (frecuencia para entrada y salida en fase)

C C M IG I1 L VG L

Son datos las características de todos los elementos

1:a

R I2

+ Vo -

Hallar la frecuencia angular para la que V o y V G están en fase

Reflejando impedancias, X = ωL - 1/(ωC), Z = jX + R/a2, ZG = jX + (ωM)2/Z IG = V G/ZG, I1 = IGjωM/Z, I 2 = I1/a V o = I2R =

VGjωRM V GjωRM = aZGZ a (ωM)2 - X2 + jXR/a2

Puesto que el numerador es imaginario, también ha de serlo el denominador. ∠Vo = ∠VG →

(ωM)2

(ωM)2 - X2 = 0 X > 0 → 1/(ωC) < ωL

ω = - X/M =0→ ω = X/M

Incompatible con la condición indicada Solución correcta

Ejemplo de respuesta en frecuencia (frecuencia para tensión máxima)

+ VR R1

Son datos las características de todos los elementos

Hallar la frecuencia angular para la que es máximo el módulo de V R

Transformando la fuente y reflejando impedancias, (ωM)2 1 I G R 1 = I R 1 + R2 + + jωL1 + = IZ jωL2 + jωL3 jωC VR = IR2, I = IGR1/Z

V R máximo → I máximo → Z mínimo → →

2 (R1 + R2)2 + ωL1 - 1 - ωM ωC L2 + L3 →

Im Z = 0 → ω =

La parte real de Z no depende de ω. Z sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria.

mínimo → 1 C L1 - M/(L2 + L3)

Ejemplo de respuesta en frecuencia (frecuencia para tensión máxima)

IC IG VG

+ 1:a + I1 V 1 V2 I2 -

Son datos las características de todos los elementos

+ VL -

Hallar la frecuencia angular para la que es máximo el módulo de V L

V G = IGR + V 1, V 1 = IC + V2, V2 = ILjωL jωC IG = I1 + IC, IC = I2 + IL, I1 = - aI2, V 2 = aV 1 VL =

VG VG = D(ω) 1 + j (1 - a2)ωRC - aR a a ωL

VL máximo → D(ω) mínimo → Im D(ω) = 0 → →

La parte real de D no depende de ω. D sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria.

ω=

a (1 - a) LC

Ejemplo de respuesta en frecuencia (frecuencia para impedancia resistiva, diciembre 1998)

a:1 + + R + L R VD V1 M I2 V 2 - gVC L Son datos las características de todos los elementos

- VC + L I1

C VG

Hallar la frecuencia angular para la que la impedancia que v e la fuente independiente es puramente resistiva

VD = gVC(R + jωL) + I2jωM 0 = gVCjωM + I2jωL + V2 VG = I1 R + jωL + 1/(jωC) + V 1 VC = I1/(jωC), V2 = aV1, I1 = - aI2

VG = I1 R - gM/(aC) + j ωL(1 + 1/a2) - 1/(ωC)

Z resistiva → Im Z = 0 → ω =

a (a2 + 1)LC

= I1Z

Ejemplo de respuesta en frecuencia (frecuencia para potencia máxima, septiembre 1998)

R IR IG

2C L

L/2 L

Son datos las características de todos los elementos

1:a

bIR

Hallar la frecuencia angular para la que la potencia media en Rd es máxima

bIR 2Rd PRd = máxima → IR máxima 2 El módulo de IR será máximo cuando toda la corriente de la fuente independiente circule por R. Ello ocurrirá cuando las corrientes en L y C se compensen; es decir, cuando L y C estén en resonancia. Para que eso suceda ha de ser Z C = - ZL → ω = 1 LC

Ejemplo de respuesta en frecuencia (frecuencia para corriente máxima, junio 1996)

L VG I1

+ V1 n1 - R + V 2 I2 n2 - C

Son datos las características de todos los elementos Hallar la frecuencia angular para la que es máximo el módulo de I2

V G = I1jωL + V 1 + V 2, V 2 = I2 R + 1/(jωC) V2/V1 = n2/n1 = a, I1/(I1 - I2) = - n2/n1 = a I2 =

aVG/(1 + a) VG = R + 1/(jωC) + a2jωL/(1 + a)2 D(ω)

I2 máximo → D(ω) mínimo → →

R2 + a2ωL/(1 + a)2 - 1/(ωC) 2 mínimo → →

Im D(ω) = 0 → ω = 1 + a aLC

La parte real de D no depende de ω. D sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria.

Ejemplo de respuesta en frecuencia (impedancia mínima y corriente máxima, problema inverso)

Son datos IG, ω, R1, C1, R2 y L2

R2 C2

Hallar el valor de L1 que minimiza el módulo de la impedancia de su rama, y el valor de C2 que maximiza el módulo de I1

Z1 = R1 + jωL1 +

1 jωC1

→

Z1 =

R21 + ωL1 - 1 ωC1

Z1 mínimo → Im Z1 = 0 → L1 = 1/(ω2C1) La parte real de Z1 no depende de L1. Z1 sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria. El módulo de I1 será máximo cuando toda la corriente de la fuente circule por R1 y R2. Ello ocurrirá cuando las corrientes en L2 y C2 se compensen; es decir, cuando L2 y C2 estén en resonancia. Para que eso suceda ha de ser ZC2 = - ZL2 → C2 =

ω2L2

Ejercicios para resolver en clase RESPUESTA EN FRECUENCIA 2003/A

R iG

Hallad los valores hacia los que tienden el módulo y la fase de vO cuando ω tiende a 0 rad/s y cuando ω tiende a ∞ rad/s. Hallad la frecuencia angular de resonancia.

L iG

+ vO -

iG(t) = IGcos(ωt) Son datos IG (real, > 0), R, L y C.

RESPUESTA EN FRECUENCIA 2003/C

L R

Hallad los valores hacia los que tienden el módulo y la fase de vO cuando ω tiende a 0 rad/s y cuando ω tiende a ∞ rad/s. Hallad la frecuencia angular de resonancia.

+ vO -

iG(t) = IGcos(ωt) Son datos IG (real, > 0), R, L y C.

RESPUESTA EN FRECUENCIA 2003/B Hallad los valores hacia los que tienden el módulo y la fase de vO cuando ω tiende a 0 rad/s y cuando ω tiende a ∞ rad/s. Hallad la frecuencia angular de resonancia.

+ vO -

iG(t) = IGcos(ωt) Son datos IG (real, > 0), R, L y C.

Ejemplo de respuesta en frecuencia (circuito resonante, equivalente Thèvenin)

x L R

VG ZL

Son datos las características de todos los elementos excepto ZL

1:a L

m R

C R

Hallar la frecuencia angular para la que el módulo de la corriente en la rama x y es mínimo Puede observarse que a la frecuencia de resonancia del secundario éste presenta una impedancia infinita, con lo que también es infinita la reflejada en el primario, haciendo así nulo el módulo de la corriente en él. Luego ω = 1/ LC Para la frecuencia calculada hallar ZL para que disipe máxima potencia y el valor de dicha potencia

R R

VG x R y

n R

En las condiciones indicadas el circuito se reduce al de la figura. La impedancia equivalente se calcula desactivando la fuente y agrupando resistencias.

* = R + (R + R)//R * = 5R/3 ZL = ZTh

VTh = Vxn = Vmn = VG - VGR = 2V G 3R 3 Pmax = VTh 2/ 8Re ZTh = V G 2/(30R)

Ejemplo de respuesta en frecuencia (superposición, resonancia, inverso a partir de expresiones temporales, diciembre 1996)

iS RL

R bvP

+ vL -

1:a

Hallar a y b (reales)

R L V G vP C

Datos: iS(t) = IScos(ωt), IS = 8 mA, ω = π krad/s, VG = 30 V, R = 1 kΩ, RL = 250 Ω, L = π-2 H, C = 1 µF, vL(1 ms) = - 6 V, vL(4 ms) = - 4 V

Por haber dos fuentes de distinta naturaleza, vL(t) = VLD + VLAcos(ωt + ϕ)

+ VLD RL -

R bVPD

+ R VG vPD R - IG

(1)

Continua Fuente corriente desactivada L = c.c., C = c.a.

VLD = - bVPD = - b(VG - IG R) = - b VG -

VGR = - 10 b R + R//R

(2)

Ejemplo de respuesta en frecuencia (superposición, resonancia, inverso a partir de expresiones temporales, diciembre 1996)

bVPA R 1:a + + RL + + I2 V VLA V2 PA I1 V1 I L IS - R -

Sinusoidal Fuente tens. ind. desactivada L-C serie = c.c. y L-C paralelo = c.a. por ser ω = 1/ LC

IS = IL + I1, I1 = aI2, V 2 = aV 1, V PA = V 2/2 LRL

= VLA = bV PA + V1 → V LA =

8 (2 - ab) = VLA∠0 ° a2 + 4(2 - ab)

Respuesta combinada Ya que la fase de la componente sinusoidal es nula, de (1) vL(1 ms) = VLD - VLA = - 6 V vL(4 ms) = VLD + VLA = - 4 V

VLD = - 5 V VLA = 1 V

Igualando estos resultados a (2-3), b = 0.5, a = - 4 o a = 2 El valor negativo de a es posible; equivaldría a invertir la posición de uno de los puntos en el transformador.

(3)

Anรกlisis de redes Transparencias de clase

Cuadripolos

Cuadripolos-1: pรกginas 171-175 Cuadripolos-2: pรกginas 176-187

Cuadripolos Un circuito se reduce a una caja negra con dos puertas.

cuadripolo

No hay fuentes independientes en el cuadripolo.

i2 + v2 -

carga

+ v1 -

salida

circuito

entrada

excitación

La caracterización del circuito como cuadripolo pretende describir su comportamiento en función de lo que ocurre en las puertas.

Sin excitación externa no hay energía almacenada en el cuadripolo.

Clasificación Pasivos: la potencia entregada a la carga es siempre igual o inferior a la que la excitación entrega a la entrada. Activos: la potencia entregada a la carga puede ser mayor que la que la excitación entrega a la entrada del cuadripolo.

Caracterización de un cuadripolo Se hace en función de un juego de cuatro parámetros (parámetros característicos) que relacionan las corrientes y tensiones en la entrada y la salida del cuadripolo. Parámetros Impedancia Admitancia Híbridos (h) Híbridos (g) Transmisión

Ecuaciones v1 = z11i1 + z12i2 v2 = z21i1 + z22i2 i1 = y11v1 + y12v2 i2 = y21v1 + y22v2 v1 = h11i1 + h12v2 i2 = h21i1 + h22v2 i1 = g11v1 + g12i2 v2 = g21v1 + g22i2 v1 = Av2 - Bi2 i1 = Cv2 - Di2

Matrices v1 = z11 z12 × v2 z21 z22 i1 = y11 y12 i2 y21 y22 v1 = h11 h12 i2 h21 h22 i1 = g11 g12 v2 g21 g22 v1 = A B × i1 C D

i1 i2 × vv1 2 × vi1 2 × v1 i2 v2 - i2

En continua los parámetros de impedancia y admitancia son, respectivamente, de resistencia y conductancia. En régimen sinusoidal permanente la caracterización puede ser expresada en términos de fasores. Cuadripolos recíprocos Cuadripolos simétricos

z12 = z21, y12 = y21, h12 = - h21, g12 = - g21, AD - BC = 1 Son recíprocos y, además, z11 = z22, y11 = y22, h11h22 - h12h21 = 1, g11g22 - g12g21 = 1, A = D

Obtención de parámetros Caso general: aplicando las definiciones z11 = v1 i1 i2 = 0 h21 = i2 i1 v2 = 0 A = vv1 2 i2 = 0

impedancia de entrada con la salida en circuito abierto ganancia de corriente directa con la salida en cortocircuito ganancia inversa de tensión con la salida en circuito abierto

Caso particular Si se conoce el interior del cuadripolo, se puede caracterizar el comportamiento del circuito mediante dos ecuaciones e identificar sus términos con los de las ecuaciones de los parámetros deseados. Equivalencia entre parámetros Conocido un juego de parámetros es posible obtener otro manipulando las ecuaciones del primero. v1 = z11i1 + z12i2 v2 = z21i1 + z22i2

→

i1 = z22 v1 - z12 v2 y11 = z22 , y12 = ∆z ∆z ∆z → z z z i2 = - 21 v1 + 11 v2 y21 = - 21 , y22 = ∆z ∆z ∆z ∆z = z11z22 - z12z21

z12 ∆z z11 ∆z

Utilización práctica i1 ZG vG

i2 + + v1 cuadripolo v2 -

v G = i1 Z G + v1 v 2 = - i2 Z L dos ecuaciones de parámetros

Utilizando las cuatro ecuaciones es posible encontrar cualquier relación deseada en el circuito

Zin = v1 = z11 - z12z21 i1 z22 + ZL

impedancia de entrada al cuadripolo

y21 i2 = vG 1 + y22ZL

transconductancia

* ZL = v2 = B + DZG i2 A + CZG

h21 Gi = i2 = i1 1 + h22ZL

impedancia de carga para máxima potencia (prescindiendo de excitación) ganancia de corriente

Interconexión de cuadripolos Conexión Cascada

Esquema 1

Resultado 2

ABCD = = ABCD 1 × ABCD 2

z = z1+ z2

Serie 2 1

y = y1+ y2

Paralelo 2

Serieparalelo

Paraleloserie

h = h1+ h2 2 1

g = g1+ g2 2

Supondremos que las reglas son válidas en todos los casos, aunque estrictamente hablando sólo lo son en el caso de la agrupación en cascada.

Problemas de cuadripolos (parámetros a partir de definición, junio 1998)

I1 + Z V1 1 Z2 -

I2 + V2 -

z11 = V 1 I1

Hallar los parámetros indicados

= Z1 + Z2//Z3

V1 = I1(Z1 + Z2//Z3)

=-1

I2 se va por Z1, ya que, de lo contrario, V 2 ≠ 0

= Z1

V 1 = I1Z 1 = - I2Z 1

I2 = 0

h21 = I2 I1

V2 = 0

B = - V1 I2 y22 = I2 V2

Régimen sinusoidal; son datos las características de los elementos

V2 = 0

= 1/(Z1//Z2//Z3) V1 = 0

Problemas de cuadripolos (parámetros y a partir de definición, junio 1999)

I1 + Z V1 1 Z2 -

I2 + V2 -

Régimen sinusoidal; son datos las características de los elementos Hallar los parámetros de admitancia, y las condiciones de reciprocidad y simetría

y11 = I1 V1

= 1 Z1 V2 = 0

y12 = I1 V2

=- 1 Z1 V1 = 0

V 1 = I1Z 1 + V 2

y21 = I2 V1

=- 1 Z1 V2 = 0

I2 se va por Z1, ya que, de lo contrario, V 2 ≠ 0

y22 = I2 V2

V 1 = I1Z 1

= 1/(Z1//Z2//Z3) = 1 + 1 + 1 Z1 Z2 Z3 V1 = 0

recíproco → y12 = y21 se cumple siempre, independientemente de los valores de las impedancias simétrico → y11 = y22 → Z2 = - Z3

Problemas de cuadripolos (parámetros z a partir del circuito, relaciones, potencias, septiembre 1996)

+ V4 -

I1 ZG VG

+ + R1 R2 M V1 V3 L2 I3 - n3 - L1

n4 + V2 -

Régimen sinusoidal permanente; son datos las características de todos los elementos Hallar los parámetros de impedancia del cuadripolo, I2, y las potencias media y reactiva en ZL V 1 = I1(R1 + jωL1) - I3jωM, 0 = - I1jωM + I2(R2 + jωL2) + V 3 V3 = V4 + V2, V4/V3 = - n4/n3, (I3 + I2)/I2 = - n4/n3 V1 = I1(R1 + jωL1) + I2jωM(1 + n4/n3) ⇔ V2 = I1jωM(1 + n4/n3) + I2(R2 + jωL2)(1 + n4/n3)2 ⇔ V1 = I1z11 + I2z12 V2 = I1z21 + I2z22 →

→

z11 = R1 + jωL1, z12 = jωM(1 + n4/n3) z21 = jωM(1 + n4/n3), z22 = (R2 + jωL2)(1 + n4/n3)2

V1 = I1z11 + I2z12, V2 = I1z21 + I2z22 V G = I 1 Z G + V 1 , V 2 = - I2Z L →

I2 = -

→

z21VG (ZG + z11)(ZL + z22) - z12z21

SL = - V2I*2/2 = - I 2 2ZL/2 → PL = Re SL , QL = Im SL

Problemas de cuadripolos (parámetros z a partir del circuito, simetría, parámetros abcd, junio 2002)

¿Qué condiciones han de cumplirse para que sea simétrico? Hallar los parámetros abcd

C2 + + I2 V 2 V1 I1 L Régimen sinusoidal permanente; son datos las características de todos los elementos C1

1 + jωL + I2jωL jωC1 ⇔ V1 = I1z11 + I2z12 ⇒ V2 = I1z21 + I2z22 V2 = I1jωL + I2 1 + jωL jωC2 z11 = 1 + jωL, z12 = jωL recíproco (z12 = z21 siempre) jωC1 ⇒ ⇒ z21 = jωL, z22 = 1 + jωL simétrico si z11 = z22 ⇒ C1 = C2 jωC2 V 1 = I1

V1 = I1z11 + I2z12 V2 = I1z21 + I2z22

I1 = zV 2 - Iz2z22 21 21 ⇔ I2(z11z22 - z12z21) ⇒ V z 2 11 V1 = z z21 21

+L 1 + 1 C1 C2 a = zz11 = 1 - 2 1 , b = z11z22z z12z21 = ω 1C2 21 21 jωL ω LC1 ⇒ c = z1 = 1 , d = zz21 = 1 - 2 1 21 21 jωL ω LC2 -

Problemas de cuadripolos (parámetros ABCD a partir del circuito, agrupación, diciembre 1998)

I1 + R V1 1 - gVV2

Cuadripolo en continua; son datos las características de todos los elementos

I2 R2 g II 1

+ V2 -

Hallar parámetros ABCD

I2 = gII1 + V2 R2 ≡ V1 = AV2 - BI2 I1 = CV2 - DI2 V 1 = R1 I 1 + gv V 2

→

1 gv - R1 - R g I gIR2 ABCD = - 1 - g1 I gIR2

gv y (1/R2) despreciables; se conectan en cascada k cuadripolos idénticos Hallar los parámetros ABCD del cuadripolo resultante

gv, (1/R2) despreciables →

1 0 -R gI ABCD ind = 0 - g1

→

0 (- 1)k Rk1 gI ABCD k = ABCD kind = 0 (- 1)k 1k gI

Problemas de cuadripolos (parámetros ABCD a partir del circuito, agrupación, diciembre 1998)

Se carga el cuadripolo resultante del apartado anterior con una resistencia RL Hallar el valor de k para que el módulo de I2/I1 valga al menos GI

En un cuadripolo cargado, 1 I1 = CV2 - DI2, V2 = - I2RL → I2 = I1 CRL + D Sustituyendo los resultados del apartado anterior en esta expresión, gkI I 2 1 GI ≤ =- = I1 D (- 1)k

→

k≥

log(GI) log( gI )

Problemas de cuadripolos (parámetros ABCD a partir de medidas, agrupaciones, junio 1997)

Datos: continua, cuadripolo simétrico; medida: V1 = 8 V, I1 = 6 A, V2 = 2 V; I2 = 0 A

+ V1 -

+ V2 -

Hallar parámetros ABCD

V1 = AV2 - BI2, I1 = CV2 - DI2 A = V1 = 4, C = I1 =3S V2 I2 = 0 V2 I2 = 0 simétrico (y recíproco) → D = A = 4, B = (AD - 1)/C = 5 Ω I1 1

+ V1 2 -

R=1Ω

I2 +3 R V2 - 4

Hallar parámetros ABCD del cuadripolo 1234; ¿es recíproco, simétrico?

Se trata de la agrupación en cascada de dos cuadripolos: el original y el constituido por la resistencia. En el segundo, V1 = V2 + I1R → A = 1, B = R = 1 Ω, C = 0 S, D = 1 I 1 = - I2 ABCD 1234 = ABCD × ABCD R = 43 S9 Ω 7 AD - BC = 1 (recíproco), A ≠ D (no simétrico)

Problemas de cuadripolos (parámetros ABCD a partir de medidas, agrupaciones, junio 1997)

Se conectan en paralelo-serie dos cuadripolos 1234 Hallar los parámetros g del cuadripolo resultante; ¿es recíproco, simétrico?

V1 = AV2 - BI2 I1 = CV2 - DI2

→

V2 = V1 + BI2 I = g11V1 + g12I2 A A ≡ 1 CV1 + BC - D I V2 = g21V1 + g22I2 I1 = 2 A A g 1234 =

0.75 S - 0.25 0.25 2.25 Ω

Por tratarse de una conexión paralelo-serie, g = g 1234 + g 1234 =

1.5 S - 0.5 0.5 4.5 Ω

g12 = - g21 (recíproco), g11g22 - g12g21 ≠ 1 (no simétrico)

Problemas de cuadripolos (parámetros z a partir de medidas, potencias, septiembre 1997)

I1 RG VG

Hallar RL para máxima transferencia de potencia, y la potencia en el cuadripolo Datos: VG = 8 V, RG = 11 Ω, continua, cuadripolo recíproco, parámetros z positivos; medida 1: V1 = 100 V, I1 = 20 A, I2 = 0 A; medida 2: V1 = 0 V, I1 = 8 A, V2 = 2 V; medida 3: I1 = 0 A, V2 = 3 V, I2 = 1 A + V1 -

+ V2 RL -

V1 = I1z11 + I2z12 V2 = I1z21 + I2z22

(1) (2)

Despejando I2 de (2) y sabiendo que z12 = z21 (recíproco), 2 /z ) + V z /z V1 = I1(z11 - z12 (3) 22 2 12 22 medida 1 en (1) → z11 = 5 Ω medida 3 en (2) → z22 = 3 Ω medida 2 en (3) → z12 = z21 = 4 Ω, - 3.75 Ω (no vale) V1 = I1z11 + I2z12, V2 = I1z21 + I2z22 → V G = I1 R G + V 1 V2 → RL = RTh = = z22 - z12z21 = 2 Ω I2 VG = 0 RG + z11 p(VG) = - VGI1 = - 5 W , p(RG ) = I21RG = 4.3 W, p(RL) = I22RL = 0.5 W p(VG) = p(RG) + p(RL) + pcuad → pcuad = 0.2 W

Problemas de cuadripolos (parámetros ABCD a partir de un cuadripolo mayor, simetría, septiembre 1998)

Un cuadripolo tiene los parámetros de transmisión A B = 7 12 Ω C D 4S 7 Es el resultado de agrupar en cascada dos cuadripolos idénticos con parámetros a b c d tales que b = 3c y a es un entero positivo. Hallar a, b, c y d

A B = a b × a b = a2 + bc b(a + d) C D c d c d c(a + d) d2 + bc El cuadripolo original es simétrico (AD - BC = 1, A = D); por tanto, d A = D ⇒ a2 = d2 → a = - d (no vale, aya= que → B = 0 = C) Teniendo en cuenta esto, y que b = 3c, 4 = C = c(a + d) → c = 2/a 7 = A = a2 + bc = a2 + 3c2 = a2 + 12/a2 → a = 2 → b = 3 Ω, c = 1 S, d = 2 → a = -2 (ha de ser positivo) a = ± 3 (ha de ser entero)

Problemas de cuadripolos (parámetros h a partir de un cuadripolo mayor, simetría, septiembre 2001)

Un cuadripolo es el resultado de la conexión serie-paralelo de otros dos idénticos y simétricos. En el cuadripolo se hacen dos medidas con la salida en cortocircuito: medida 1: V1 = VX, I1 = YVX medida 2: I1 = IX, I2 = GIX Hallar los parámetros h de los cuadripolos individuales.

En conexión serie-paralelo H11 H12 = h11 h12 H21 H22 h21 h22

h11 h21

recíproco ⇒ h12 = - h21 simétrico ⇒ h11h22 - h12h21

h12 h22

2h11 =

2h12 2

- 2h12 2 1 - h12 h11

A partir de la definición de los parámetros h y de las medidas se tiene V1 = H11I1 + H12V2, I2 = H21I1 + H22V2; V2 = 0 V H11 = V1 = 1 = 2h11 ⇒ h11 = 1 I1 V2 = 0 V Y 2Y H21 = I2 = G = - 2h12 ⇒ h12 = - G = - h21 I1 V2 = 0 V 2 2 Y(4 - G2) 1 h 12 2 2h22 = H22 = 2 = Y(4 - G ) ⇒ h22 = 2 h11

Problemas de cuadripolos (parámetros h, equivalente Thèvenin, junio 2001)

De un cuadripolo, que funciona en régimen sinusoidal permanente, se conocen sus parámetros híbridos. A su entrada se conecta una fuente (V G) con una impedancia en serie (ZG). Hallar el equivalente Thèvenin en la salida.

Tensión de circuito abierto I2 = h21I1 + h22V2 = 0 A ⇒ I1 = - h22 V 2 h21 h (Z + h11) VG = I1ZG + V1 = I1(ZG + h11) + h12V2 = h12 - 22 G V2 ⇒ h21 h21VG = VTh ⇒ V2 = h12h21 - h22(ZG + h11) Corriente de cortocircuito V2 = 0 V ⇒ I2 = h21I1 VG = I1ZG + V1 = I1(ZG + h11) = - ZG + h11 I2 ⇒ I2 = - h21VG = IN h21 ZG + h11 Impedancia equivalente ZG + h11 ZTh = VTh = IN h22(ZG + h11) - h12h21