Angewandte Baudynamik by Ernst & Sohn

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

Einfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1

Gliederung und Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Umrechnung von Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Besonderheiten der Baudynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1

Baustatik und Baudynamik

.................................

2.2

Die „sichere Seite“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Schwingungsmessungen

....................................

2.4

Fernwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Da¨mpfung und Duktilita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

Die statische Ersatzlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8

Scha¨den

................................................

Technische Regeln in der Baudynamik

........................

3.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Hamburgische Bauordnung (Auszug) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Bundes-Immissionsschutzgesetz (Auszug) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Technische Baubestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Richtlinien und Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7

Internationale technische Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8

Allgemein anerkannte Regeln der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Begriffe und Kenngro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

Zeitabha¨ngigkeit . . . . . . . . . . . . Periodische Einwirkungen . . . . Harmonische Einwirkungen . . . Nichtharmonische Einwirkungen Nichtperiodische Einwirkungen

15 15 16 20 24

.... .... .... ... ....

. . . . .

XII

Inhaltsverzeichnis

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwere Masse . . . . . . . . . . . . Tra¨ge Masse . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines Gravitationsgesetz

. . . .

25 25 27 28

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.4.8 4.4.9

Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . Stahlfedern . . . . . . . . . . . . Stu¨tzen . . . . . . . . . . . . . . . . Pfahlgru¨ndungen . . . . . . . . Statisch bestimmter Balken Elastische Matten . . . . . . . Luftfedern . . . . . . . . . . . . . Federkombinationen . . . . . Vorgespannte Schrauben . .

. . . . . . . . . .

32 32 34 35 36 37 38 40 42 44

4.5 4.5.1 4.5.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pfahlbock aus zwei Pfa¨hlen mit gleicher Neigung . . . . . . . . . . . . . . . . . Pfahlbock aus einem geneigten und einem lotrechten Pfahl . . . . . . . . .

45 45 47

Bewegungen starrer Ko¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

Reine Translation . . . Schwerpunktsatz . . . Impulssatz . . . . . . . . Impulserhaltungssatz

. . . .

49 49 50 51

5.3 5.3.1 5.3.2

Reine Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drallerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 53

5.4

Massentra¨gheitsmoment

....................................

5.5

Wuchtgu¨te von Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6 5.6.1 5.6.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kra¨ngungswinkel bei seitlicher Schiffsanfahrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilita¨t eines schwimmenden Ko¨rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 62

Stoßvorga¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4

Der harte Stoß . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . Aufprall . . . . . . . . . . . . . . . . . Anprall . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenstoß zweier Ko¨rper

. . . . .

63 63 63 68 71

6.2

Der weiche Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3

Konstruktiver Explosionsschutz Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . Stoßfunktion infolge Explosion Vorgehensweise . . . . . . . . . . . .

78 78 79 81

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XIII

Inhaltsverzeichnis

6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7

Traglastverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamisches Modell zur Berechnung plastischer Verformungen Bemessung und Ausfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel Fassadenstu¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

82 83 85 86

6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4

Anwendungsbeispiele . . . . . Elastischer Einpfahldalben . Plastischer Anfahrpoller . . . Bungee-Springen . . . . . . . . . Duktile Stahlbetontragwerke

. . . . .

88 88 93 98 101

Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

7.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4

Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . Der Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenfrequenz der freien ungeda¨mpften Schwingung Reduzierte Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

105 105 106 106 110

7.3 7.3.1 7.3.2

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der ungeda¨mpfte Zweimassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastisch gestu¨tzte starre Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112 112 114

7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5

Homogene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenfrequenzen ungeda¨mpfter Systeme Na¨herungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . Biegeeigenfrequenz mit Normalkraft . .

. . . . . .

118 118 119 124 127 128

7.5 7.5.1 7.5.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maschinenfundament auf einzelnen Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtlinearita¨t bei Stahlbetontragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130 130 137

Erzwungene Schwingungen

.................................

143

8.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.2.7 8.2.8 8.2.9 8.2.10 8.2.11

Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte konstante Anregung – kraftgesteuerte Vorga¨nge Direkte konstante Anregung – weggesteuerte Vorga¨nge Dynamische Kra¨fte bei Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte quadratische Anregung – Fliehkra¨fte . . . . . . . . Selbstzentrierung im u¨berkritischen Bereich . . . . . . . . . Passive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung . . . Aktive Schwingungsisolierung – direkte Anregung . . . . Aktive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung . . . Isolierwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resonanzu¨berho¨hung in dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 145 154 155 158 162 164 165 168 170 171 172

. . . . .

.... .... .... ... .... ....

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XIV

Inhaltsverzeichnis

8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3

Der Zweimassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Zweimassenschwinger als Schwingungstilger/-da¨mpfer Der Zweimassenschwinger als Maschinenfundament . . . . .

8.4

Lo¨sungswege der Baudynamik bei periodischer Anregung. . . . . . . . . . . 192

8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingungsda¨mpfer fu¨r eine Fußga¨ngerbru¨cke . . . . Ermu¨dungsfestigkeit bei Schmelzofenschwingungen . Schwingungsanfa¨llige Stahlbru¨cken . . . . . . . . . . . . . .

Amplitudenreduktion

9.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.2

Amplitudenreduktion an der Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.3

Amplitudenreduktion auf der bertragungsstrecke . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.4 9.4.1 9.4.2

Amplitudenreduktion am Empfa¨nger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Amplitudenreduktion im resonanzfernen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Amplitudenreduktion im resonanznahen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4 9.5.5 9.5.6

Dissipative Da¨mpfung berblick . . . . . . . . . . Rheologische Modelle Ausschwingversuch . . Resonanzversuch . . . . Hysterese-Kurve . . . . Fluidreibung . . . . . . .

9.6 9.6.1 9.6.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Da¨mpfungsberechnung aus einem Ausschwingversuch . . . . . . . . . . . . . 231 Da¨mpfungsberechnung aus einer Hysterese-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Menscheninduzierte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.2

Anregungsspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.3

Dimensionierungsfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10.4

Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.5

Zumutbare Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

11.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.2 11.2.1

Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

. . . .

. . . . . . . .

175 175 176 181 192 192 195 201

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

. . . . . . .

218 218 219 221 224 225 230

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Inhaltsverzeichnis

11.2.2 11.2.3 11.2.4 11.2.5 11.2.6 11.2.7

Fortlaufende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abschirmung durch vertikale Schlitzkonstruktionen Ausbreitung von Rammerschu¨tterungen . . . . . . . . .

. . . . . .

249 253 256 257 258 261

11.3 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.3.4

Boden-Bauwerk Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Federsteifigkeiten und Da¨mpfungen starrer Fundamente Indirekte Anregung durch Bodenwellen . . . . . . . . . . . . Abstimmungsregel fu¨r Fundamente . . . . . . . . . . . . . . . .

... ... .. ... ...

. . . . .

263 263 263 265 268

11.4

Erschu¨tterungsbedingte Sackungen

...........................

270

11.5 11.5.1 11.5.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auswirkung einer Sprengung auf eine verankerte Spundwand . . . . . . Auswirkung einer Sprengung auf eine Windkraftanlage . . . . . . . . . . . .

272 272 276

Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

12.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

12.2

Einwirkungen auf bauliche Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

282

12.3 12.3.1 12.3.2 12.3.3 12.3.4

Einwirkungen auf Menschen . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Menschen in Geba¨uden . . . . . . . . . . . . . . . . . Menschen am Arbeitsplatz . . . . . . . . . . . . . . . Scha¨dliche und heilende Humanschwingungen

. . . . .

283 283 284 287 288

12.4

Einwirkungen auf empfindliche Gera¨te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

Schwingungsmessungen

....................................

293

13.1

Motivation

..............................................

293

13.2

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

13.3 13.3.1 13.3.2

Anregung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anregung von Schwingungen fu¨r Schwingungsmessungen . . . . . . . . . . Aktive Schwingungsbeeinflussung (Aktuatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . .

295 295 298

13.4

Aufbau einer Messkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

13.5 13.5.1 13.5.2 13.5.3 13.5.4

Schwingungsaufnehmer . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . Zweck . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanisches Grundprinzip Arbeitsweise . . . . . . . . . . . .

. . . . .

300 300 300 300 304

13.6

Durchfu¨hrung von normgerechten Schwingungsmessungen . . . . . . . . .

309

13.7

Beispiele fu¨r gemessene Freifeldschwingungen

312

. . . . .

. . . .

. . . . . ..

. . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

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..................

XVI

Fazit

Inhaltsverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

Inhaltsverzeichnis

DVD â&#x20AC;&#x201C; Baudynamik erlebbar machen Filmausschnitte der Experimente in der Versuchshalle des Instituts fuÂ¨r Massivbau, TU Hamburg-Harburg, zu den im Buch behandelten Beispielen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Titel Aufprall Anprall Eigenfrequenzen Harmonische Anregung Selbstzentrierung Transiente Wellen Rayleighwellen Passive Isolierung Anhang

Im Anschluss: Kollapssprengung Hochhaus am Millerntor. Hamburg (1995)

XVII

Stoßvorga¨nge

6.1

Der harte Stoß

6.1.1

Allgemeines

Die kinetische Energie des stoßenden Ko¨rpers wird in Forma¨nderungsarbeit des gestoßenen Ko¨rpers umgewandelt. Ist die Masse des stoßenden Ko¨rpers ms deutlich gro¨ßer als die des gestoßenen Ko¨rpers mk, wirkt Letzterer nur als masselose Feder mk ms , mk ¼ 0 (Aufprall, Anprall; Bilder 6.1 und 6.3). Fu¨r mk ms siehe Abschnitt 6.1.4 Anmerkung 4.

Bild 6.1 Aufprall auf einen Einfeldbalken

6.1.2

Aufprall

Berechnungsgrundlage fu¨r den harten Stoß ist der Energieerhaltungssatz: Ekin þ Epot þ Edef ¼ konst

ð6:1Þ

In Bild 6.1 sind die einzelnen Verformungsanteile des Aufprallstoßes dargestellt. Darin bedeuten: u u0 u^ ustat

Abstand der Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t1 zum unverformten Balken (Ausgangslage) Vorverformung infolge Balkeneigengewicht und anderer ruhender Lasten; Lage der Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t2 maximaler dynamischer Verformungsanteil (Amplitude bei harmonischen Schwingungen) zum Zeitpunkt t ¼ t3 (Umkehrpunkt) Verformungsanteil infolge der statischen Belastung ms g; Lage der Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t4 (Ruhelage nach dem Abklingen der Schwingung)

Angewandte Baudynamik. 2. Auflage. Helmut Kramer # 2013 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.

6 Stoßvorga¨nge

umax ¼ ustat þ u^ maximale Stoßverformung h ¼ u þ u0 Fallho¨he des stoßenden Ko¨rpers Die statische Ersatzlast Fers ist jene statische Kraft, die notwendig ist, um die dynamische Verformung u^ zu erzeugen. Sie la¨sst sich bestimmen durch: Fers ¼ u^ k

ð6:2Þ

Die Vergro¨ßerungsfunktion – auch dynamische berho¨hung, normierte dynamische Verformung oder Pegel genannt – ist das Verha¨ltnis der maximalen dynamischen Verformung u^ zur statischen Verformung ustat . V¼

ð6:3Þ

ustat

Die Energie hat die Dimension einer Arbeit. Mit mk ¼ 0 und ms ¼ m wird die kinetische Energie des stoßenden Ko¨rpers fu¨r t1 t t2 : m 3 Ekin ¼ v2 [kNm] ¼ ð6:4Þ b [10 Joule] 2 Die Lageenergie im Schwerefeld bei einem sinnvoll (beliebig) gewa¨hlten, dann aber festen Koordinatensystem (mit der immer positiv nach oben gerichteten geoda¨tischen Ho¨he z) ist definiert als: 3 Epot ¼ m g z [kNm] ¼ b [10 J]

ð6:5Þ

Die Deformationsenergie des Einfeldbalkens aus dem Bild 6.1 beim Aufprall kann folgendermaßen ausgedru¨ckt werden (siehe Bild 6.3): Ð Edef ¼ FðuÞ du ð6:6Þ F ist die Kontaktkraft (Stoßkraft) zwischen ms und dem Balken. Fu¨r die Anfangsbedingung t ¼ t1 und v1 ¼ 0 gilt: Ekin; 1 ¼ 0 Epot; 1 ¼ m g ð u þ u0 þ ustat þ uÞ Epot; 1 ¼ m g ðh þ umax Þ

ð6:7Þ

Edef; 1 ¼ 0 Im Umkehrpunkt zum Zeitpunkt t ¼ t3 und v3 ¼ 0 gilt: Ekin; 3 ¼ 0 Epot; 3 ¼ 0 Edef; 3

u2 ¨ ¼ max k f ur 2

ð6:8Þ umax ufl

mit: k Federkonstante des Balkens am Stoßpunkt ufl Verformung an der Fließgrenze des Balkens (siehe Bild 6.3) Anmerkung 1: Wird ein Teil der kinetischen Energie durch Da¨mpfung absorbiert, z. B. plastische Verformungen (Knautschzone), Reibung, za¨he Flu¨ssigkeit, Fender, muss

6.1 Der harte Stoß

Gl. (6.1) durch ein Verlustglied, das die Da¨mpfungsarbeit beru¨cksichtigt, erweitert werden (siehe Abschnitte 6.1.3 und 9.5.2). Die Gl. (6.7) und (6.8) werden in die Energiebilanzgleichung (6.1) eingesetzt. Epot; 1 ¼ Edef; 3 ð6:9Þ u2max k 2 Mit ustat ¼ mg=k la¨sst sich Gl. (6.9) physikalisch sinnvoll unter Vernachla¨ssigung der negativen Wurzel schreiben als: m g ðh þ umax Þ ¼

u2max 2ustat umax ¼ 2ustat h ) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi umax ¼ ustat þ u2stat þ 2ustat h ) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ustat þ u^ ¼ ustat þ u2stat þ 2ustat h ) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u^ ¼ u2stat þ 2ustat h ) sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2h u^ ¼ ustat 1 þ ustat

ð6:10Þ

Daraus folgt die Vergro¨ßerungsfunktion: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u^ 2h ) V ¼ 1þ V¼ ustat ustat

ð6:11Þ

Beispiel 6.1 Mit einem Fallversuch ko¨nnen die hergeleiteten Formeln u¨berpru¨ft werden (! DVD, Menue 2). Entsprechend Bild 6.1 wird ein Rechteckrohr aus Stahl der Festigkeitsklasse St355 JO mit den Abmessungen (50 30 2,9 mm) u¨ber 4,0 m gespannt und ein Bleiko¨rper mit dem Gewicht mg ¼ 0,2 kN in Feldmitte aus unterschiedlicher Ho¨he fallen gelassen. Die Querschnittswerte und das Eigengewicht sind den Tabellen des Herstellers entnommen: A ¼ 4,23 cm2 ,

Iz ¼ 5,88 cm4 ,

q ¼ 0,0332

Damit lassen sich die beno¨tigten Kennwerte ermitteln: q l4 76,8 E I 3,32 10 4 4004 u0 ¼ ¼ 0,896 cm 9 mm 76,8 21 000 5,88 m g l3 ustat ¼ 48 E I 0,2 4003 ¼ 2,16 cm ¼ 21,6 mm ustat ¼ 48 21 000 5,88 48 E I k¼ l3 48 21 000 5,88 kN kN k¼ ¼ 0,09261 ¼ 9,261 3 400 cm m u0 ¼

kN 4 kN ¼ b 3,32 10 m cm

6 Stoßvorga¨nge

Gl. (6.11) wird durch einsetzen von ustat zu: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u^ 2 h h V¼ ¼ 1þ ¼ 1þ ustat ustat 10,8 Die Auswertung fu¨r unterschiedliche Fallho¨hen zeigen die Ergebnisse in Tabelle 6.1. Tabelle 6.1 Ergebnisse des Fallversuches (gerechnet) h [mm] umax [mm] u^ [mm] Vgerechnet

43,2 21,6 1

63,58 41,98 1,94

76,90 55,30 2,56

87,59 65,99 3,06

Das Bild 6.2 zeigt die Werte der Vergro¨ßerungsfunktion bei unterschiedlicher Fallho¨he. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fu¨r h ¼ 30 mm wird V ¼ 1 þ 30=10,8 ¼ 1,94 und u^ ¼ V ustat ¼ 1,94 21,6 ¼ 41,98 mm. Die maximale Auslenkung ist umax ¼ ustat þ u^ ¼ 21,60 þ 41,98 ¼ 63,58 mm. Ein alternativer Lo¨sungsweg fu¨hrt zu demselben Ergebnis. Fu¨ffir die Anfangsbedingung pffiffiffiffiffiffiffi t ¼ t2 ergibt sich eine Aufprallgeschwindigkeit von v2 ¼ 2gh (siehe Abschnitt 4.3.1). Mit der Energiebilanzgleichung (6.1) folgt: m 2 u2 v2 þ mgumax ¼ max k 2 2 Die Vergro¨ßerungsfunktion ergibt sich wieder aus der quadratischen Gleichung fu¨r umax entsprechend Gl. (6.10) zu: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v2 2h ð6:12Þ V ¼ 1þ 2 ¼ 1þ gustat ustat Ekin; 2 þ Epot; 2 ¼ Edef; 3

)

Aus Gl. (6.12) kann mit Gl. (6.2) die statische Ersatzlast Fers errechnet werden: V¼

u^ u^k ¼ ustat ustat k

)

V¼

Bild 6.2 Auswertung eines Fallversuches

Fers mg

)

Fers ¼ Vmg

6.1 Der harte Stoß

Mit der maximalen statischen Ersatzlast Fmax , die notwendig ist, um die maximale Stoßverformung umax zu erzeugen, werden die Momente und Spannungen der Konstruktion berechnet. Fmax ¼ Fstat þ Fers Fmax ¼ mg þ Vmg Fmax ¼ mgð1 þ VÞ Anhand dieser Formeln la¨sst sich das Prinzip der dynamischen Abfederung gut verstehen. Mit ustat ¼ mg=k wird sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2h V ¼ 1þ k mg Eine weiche Feder (kleines k) bedeutet demnach eine geringe Beanspruchung (kleines Fmax ) fu¨r die Konstruktion. Gleichzeitig bewirkt eine weiche Feder jedoch große Verformungen der Konstruktion. Mit Gl. (6.3) wird sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2h 1 2h 1 u^ ¼ ustat 1 þ þ k ) u^ ¼ mg mg k2 mg k Anmerkung 2: Hat sich z. B. beim Besen der Stiel gelockert, schla¨gt man mit dem Stielende (Besenhaare nach oben) auf einen harten Boden auf. Die Federsteifigkeit von Stiel und Boden wird dann sehr groß. Im Grenzfall wird: k!1

V!1

Fmax ! 1

u^ ! 0

Anmerkung 3: Fu¨r h ¼ 0 und v2 ¼ 0, also dem plo¨tzlichem Absetzen einer Last ohne Fallho¨he wird V ¼ 1 und Fmax ¼ 2mg. Die Beanspruchung der Konstruktion verdoppelt sich im Vergleich zur statischen Belastung. Anmerkung 4: Die Bedingung fu¨r Gl. (6.8) umax ufl stellt sicher, dass die Konstruktion zur Abfederung nach dem Stoß wieder verwendet werden kann. Fu¨r Stoßvorga¨nge, die als Katastrophenlastfall eingestuft werden, kann Gl. (6.8) fu¨r umax > ufl erweitert werden (siehe Abschnitt 6.1.3). Die Konstruktion muss dann nach dem Stoßvorgang wieder hergestellt werden. Bei der dynamischen Abfederung von fallenden oder horizontal bewegten Massen soll die Beanspruchung der Feder und der Auflagerkonstruktion mo¨glichst gering sein. a) Wird eine linear-elastische Feder (Hooke-Modell in Bild 9.1) eingesetzt, tritt die maximale Kraft (Beanspruchung) nur im Umkehrpunkt auf. u 2Edef Edef ¼ Fmax ! Fmax ¼ k umax ! Fmax ¼ u 2 b) Mit Industriestoßda¨mpfern oder Polyetherurethan (z. B. ACE, Langenfeld) (Voigt-KelvinModell Bild 9.1) tritt die maximale Kraft (Beanspruchung) im gu¨nstigsten Fall wa¨hrend des ganzen Bremsvorganges auf und wird dadurch bei gleichem Edef nur halb so groß. Edef ¼ Fmax u ! Fmax ¼ konst: ! Fmax ¼

Edef u

6.1.3

6 Stoßvorga¨nge

Anprall

Typische Konstruktionen mit Anfahrschutzfunktion sind Poller vor Geba¨udestu¨tzen neben Verkehrswegen, Gela¨nder zur Absturzsicherung und Dalben, die nach EAU (siehe Abschnitt 3.6) fu¨r Schiffsstoß bemessen werden. Nach dem Energieerhaltungssatz (6.1) ist: Ekin; 1 þ Edef; 1 ¼ Ekin; 2 þ Edef; 2 Die Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t ¼ t1 lautet unter Beachtung von mk ms ¼ m (Bild 6.3): ms 2 v Ekin; 1 ¼ 2 1 ð6:13Þ Edef; 1 ¼ 0 In diesem Fall wird wie im Abschnitt 6.1.2 beschrieben mit einer masselosen Feder gerechnet. Die Lageenergie Epot bleibt bei horizontalem Anprall (z ¼ konst) unvera¨ndert und tritt bei der Energiebilanz daher nicht auf. Im Umkehrpunkt zum Zeitpunkt t ¼ t2 wird die kinetische Energie Ekin; 2 ¼ 0. Beim Anfahrschutz fu¨r Pfeiler oder Stu¨tzen werden ha¨ufig bleibende plastische Verformungen bewusst in Kauf genommen, wenn umax > ufl ist. Hierbei sind Materialien mit einer hohen Werkstoffduktilita¨t aufgrund ihrer großen Verformungsfa¨higkeit bis zum Bruch vorteilhaft. Allerdings mu¨ssen die Anschlu¨sse und Verbindungen der Konstruktion fu¨r die Kraft Fmax ¼ g ufl k bemessen werden. Der Sicherheitsbeiwert g deckt Materialverfestigung im plastischen Bereich (Edef; v in Bild 6.3) und berfestigkeiten gegenu¨ber den Angaben in den Normen ab. Außerdem ist auf Instabilita¨ten im Bereich der Fließgelenke zu achten. Die Rotationsfa¨higkeit der Fließgelenke muss konstruktiv sichergestellt sein. Im Kraft-Verformungsdiagramm von Bild 6.3 bedeuten: Edef; el Edef; pl Edef; v

reversible elastische Deformationsarbeit irreversible plastische Deformationsarbeit (siehe Abschnitt 9.5) Verfestigungsanteil wird meistens vernachla¨ssigt

Anders als in Abschnitt 6.1.2 mit umax ¼ ustat þ u^ wird jetzt wegen ustat ¼ 0 umax ¼ u^ umax ¼ uel þ upl maximale Verformung der Stu¨tze Fu¨r Edef ;v ¼ 0 spricht man von elasto-plastischem, wenn auch Edef ;el 0 von starr-plastischem Materialverhalten. Die Deformationsarbeit zum Zeitpunkt t ¼ t2 kann folgendermaßen beschrieben werden: Edef; 2 ¼ Edef; 2; el þ Edef; 2; pl 1 2 u k þ ufl kupl 2 fl Die Gl. (6.14) wird in den Energieerhaltungssatz (6.1) eingesetzt:

ð6:14Þ

Edef; 2 ¼

Ekin; 1 ¼ Edef; 2 Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el þ Edef; 2; pl Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el þ ufl kupl

ð6:15Þ

6.1 Der harte Stoß

Bild 6.3 Stu¨tzenanprall: Kraft-Verformungs-Beziehung

Die plastische Forma¨nderung ergibt sich dann aus Gl. (6.15) zu: upl ¼ ðEkin; 1 Edef; 2; el Þ

1 ufl k

¨ f ur

umax > ufl

ð6:16Þ

Das plastische Grenzmoment an der Einspannstelle betra¨gt (Bild 6.3): M ¼ Fers lk

mit

Fers ¼ g ufl k

Anmerkung: In der Baustatik kann eine Konstruktion nur bis zur Traglast (kinematische Kette) beansprucht werden. In der Baudynamik ko¨nnen daru¨ber hinaus die plastischen Verformungen der Fließgelenke oder Fachwerksta¨be bis zum Bruch ausgenutzt werden. Stabilita¨t, nichtduktile Anschlu¨sse und Ermu¨dung sind allerdings gesondert zu betrachten. Horizontale Stoßbelastung von Pfa¨hlen/Dalben Die innere Tragfa¨higkeit von Pfa¨hlen unter horizontaler Stoßbelastung wird wie bei statischer Belastung mit Hilfe des Bettungsmodulverfahrens ermittelt. Gema¨ß DIN 1054-100 darf fu¨r die dynamische Belastung na¨herungsweise der statische Bettungsmodul angesetzt werden. Na¨here Angaben dazu in ½40; 64 : Sollen Dalben oder Stu¨tzen so bemessen werden, dass ihre Verformungen im elastischen Bereich bleiben, darf die Verschiebung ho¨chstens umax ¼ uel ufl betragen. Fu¨r die Deformationsarbeit gilt demnach: Edef; 2 ¼

1 2 u k 2 el

ð6:17Þ

Das erforderliche Arbeitsvermo¨gen eines Dalbens muss so groß sein, dass von ihm die kinetische Energie des anfahrenden Schiffes aufgezehrt wird, ohne dass plastische Verfor-

6 Stoßvorga¨nge

mungen entstehen. In der Regel wird das erforderliche Arbeitsvermo¨gen des Dalbens Edef von der zusta¨ndigen Hafenverwaltung festgelegt. Gl. (6.15) verku¨rzt sich dann zu: Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el m 2 1 v ¼ u2el k 2 1 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffi 2 Ekin; 1 m uel ¼ ¼ v1 k k

¨ f ur umax ¼ uel < ufl

Mit rffiffiffiffi k wird: w¼ m

uel ¼

v1 w

ð6:18Þ

v1 ¼ uel w ist die Schwinggeschwindigkeit einer harmonischen Schwingung. ¨ umax < ufl Fers ¼ uel k f ur pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fers ¼ 2Ekin; 1 k

ð6:19Þ

Die Kraft Fers gibt die maximale Kontaktkraft (Stoßkraft) zwischen Schiff und Dalben an, anhand derer die Dalbenkonstruktion dimensioniert wird. Kleines k bedeutet kleine Stoßkraft also geringe Belastung von Schiff und Dalben aber große Verformung. Beispiel 6.2 Gema¨ß Bild 6.3 wird beispielhaft eine Dalbenbemessung durchgefu¨hrt, die im Modellversuch u¨berpru¨ft werden kann (! DVD, Menue 3). Eine Holzlatte aus Kiefer der Sortierklasse S 10 mit den Abmessungen (35 16 mm) hat eine Kragla¨nge von lk ¼ 0,685 m. Der Dalben erfa¨hrt den Anprall einer Masse ms ¼ 20 kg und es wird die aufnehmbare Verformung smax bis zum Fließen des Materials am Einspannungspunkt bestimmt. Der Elastizita¨tsmodul und die Fließspannung des Holzquerschnittes bei Biegebeanspruchung wurden experimentell ermittelt: Ejj ¼ 107

kN m2

sfl ¼ 3 104

kN m2

Mit dem Fla¨chentra¨gheitsmoment kann schließlich die zula¨ssige Verformung bis zum Eintritt der Plastifizierung angegeben werden: b h3 3,5 1,63 ¼ 1,2 cm4 12 12

Iz ¼

Wz ¼ k¼

b h2 3,5 1,62 ¼ 1,5 cm3 6 6

3 E Iz 3 103 1,2 kN ¼ ¼ 0,0112 68,53 cm lk3

ufl ¼

Mfl s fl Wz Fers ¼ ¼ k lk k lk k

6.1 Der harte Stoß

ufl ¼

3 1,5 68,5 0,0112

umax ¼ ufl 6,0 cm Sollen also die Verformungen im elastischen Bereich bleiben, muss gema¨ß Gl. (6.15): Ekin; 1 Edef; 2; el ¼

1 2 1 u k ¼ 62 0,0112 ¼ 0,20 kN cm 2 fl 2

sein. Daraus ergibt sich die maximal zula¨ssige Anprallgeschwindigkeit von v1 ¼ 0,45 m=s. Ekin; 1 ¼

20 10 3 0,452 ¼ 0,20 kN cm 2

In diesem Fall gelten die Gleichungen (6.18) und (6.19). Wenn Ekin, 1 > 0,20 kN cm ist, gilt die Formel (6.16) mit F ers ¼ ufl k ¼ 6 0,0112 ¼ 0,067 kN.

6.1.4

Zusammenstoß zweier Ko¨rper

In diesem Abschnitt wird beim Zusammenstoß zweier Ko¨rper von einem geraden zentralen Stoß ausgegangen (Impulserhaltungssatz, siehe Abschnitt 5.2.3). Die Geschwindigkeitsvektoren der beiden Ko¨rper und die Kontaktkraft liegen auf der Verbindungsgerade der Schwerpunkte. Die Einzelimpulse der Ko¨rper werden als Gesamtimpuls zusammengefasst (Gl. 5.5). Im Augenblick unmittelbar vor dem Stoß (Bild 6.4) zur Zeit t ¼ t0 ist der Gesamtimpuls I ¼ mk vk; 0 þ ms vs; 0 . Der gestoßene Ko¨rper habe die Geschwindigkeit vk; 0 ¼ 0. Dann wird I ¼ ms vs; 0 .

Bild 6.4 Zusammenstoß zweier Ko¨rper zum Zeitpunkt t ¼ t0

Am Ende der ersten Stoßperiode zum Zeitpunkt t ¼ t1 haben beide Ko¨rper dieselbe Geschwindigkeit v (Bild 6.5). Aus Gl. (5.5) I ¼ konst folgt: ðmk þ ms Þ v ¼ ms vs; 0 I1 ¼ ms ðvs; 0 vÞ ¼ mk v

ð6:20Þ

Die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Ko¨rper kann aus Gl. (6.20) bestimmt werden zu: ms vs; 0 ð6:21Þ v¼ mk þ ms Am Ende der 2. Stoßperiode zum Zeitpunkt t ¼ t2 hat der gestoßene Ko¨rper die Geschwindigkeiten vk; 2 und der stoßende Ko¨rper die Geschwindigkeiten vs; 2 (Bild 6.6).

6 Stoßvorga¨nge

Bild 6.5 Geschwindigkeit und Kontaktkraft zum Zeitpunkt t ¼ t1

Bild 6.6 Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t ¼ t2

Aus Gl. (5.5) I ¼ konst folgt: mk vk; 2 þ ms vs; 2 ¼ ðmk þ ms Þ v I2 ¼ ms ðv vs; 2 Þ ¼ mk ðvk; 2 vÞ

ð6:22Þ

Wa¨hrend des Stoßvorganges kann ein Teil der Bewegungsenergie durch plastische Deformationen und durch Druckwellen in irreversible Energieformen umgewandelt werden (siehe Abschnitt 9.5). Der Impulserhaltungssatz (Gl. 5.5) und der Energieerhaltungssatz (Gl. 6.1) gelten dann nicht mehr, es sei denn man fu¨hrt mit dem mechanischen Wa¨rmea¨quivalent (Gl. 9.2) ein Verlustglied ein. Q¼ b DE ¼ Ekin ðt ¼ t0 Þ Ekin ðt ¼ t2 Þ Um die Energiedissipation bei der Anwendung des Impulserhaltungssatzes zu beru¨cksichtigen, wird die materialabha¨ngige Stoßzahl e eingefu¨hrt (Bild 6.7). Die von Newton ent-

Bild 6.7 Stoßverlauf und dessen Einteilung in zwei Abschnitte

6.1 Der harte Stoß

wickelte Stoßhypothese lautet: I2 ¼ eI1

ð6:23Þ

Die Stoßzahl betra¨gt beim vollkommen elastischen Stoß e ¼ 1 (upl ¼ 0 in Bild 6.3), was im Umkehrschluss bedeutet, dass die Energiedissipation den Wert Null annimmt. Beim idealplastischen Stoß (starr-plastisches Materialverhalten) nimmt die Stoßzahl den Wert e ¼ 0 an (uel ¼ 0 in Bild 6.3), wodurch die Energiedissipation maximal wird. Im Folgenden sind einige typische Stoßzahlen aufgefu¨hrt: – Glas e ¼ 0,8 – Stahl e ¼ 0,6 – Holz e ¼ 0,5 Die Stoßzahl ist von der Form der zusammenstoßenden Ko¨rper und ihrer Anprallgeschwindigkeit abha¨ngig. Die Gl. (6.20) und (6.22) lassen sich in Gl. (6.23) einsetzen. Der Impuls fu¨r den gestoßenen und den stoßenden Ko¨rper lautet dann: ms ðv vs; 2 Þ ¼ ems ðvs; 0 vÞ

ð6:24Þ

mk ðvk; 2 vÞ ¼ emk v

ð6:25Þ

Aus den Gl. (6.24) und (6.25) lassen sich die Massen herausku¨rzen. Nach Addition der Gl. (6.24) und (6.25) ergibt sich: v vs; 2 þ vk; 2 v ¼ eðvs; 0 v þ vÞ ¼ evs; 0 e¼

vs; 2 þ vk; 2 vs; 0

ð6:26Þ ð6:27Þ

Die Stoßzahl kann durch Versuche aus den Geschwindigkeiten vor und nach dem Aufprall bestimmt werden (Bild 6.8). Aus Gl. (6.27) folgt: vs; 2 ¼ vk; 2 evs; 0

ð6:28Þ

Aus Gl. (6.25) folgt. vk; 2 ¼ vðe þ 1Þ

ð6:29Þ

und schließlich (6.21) in (6.29) eingesetzt ergibt: vk; 2 ¼

ms vs; 0 ðe þ 1Þ ms þ mk

ð6:30Þ

Sto¨ßt ein Ko¨rper ms mit der Geschwindigkeit vs; 0 auf einen ruhenden Ko¨rper mk , dann sind die Geschwindigkeiten der stoßenden und der gestoßenen Ko¨rper am Ende der 2. Stoßperiode mit den Gl. (6.28) und (6.30) bestimmt. Angenommen, der Stoß sei idealplastisch, so folgt mit e ¼ 0 und vk; 0 ¼ 0 aus den Gl. (6.28) und (6.30): vs; 2 ¼ vk; 2 ¼ v

)

v¼

ms vs; 0 ms þ mk

ð6:31Þ

Die beiden Ko¨rper lo¨sen sich nach dem Stoß nicht mehr und haben die gemeinsame Geschwindigkeit v, siehe auch Gl. (6.21).

6 Stoßvorga¨nge

Beispiel 6.3 Um die Stoßzahl e zu ermitteln, nimmt man eine Kugel aus dem Material, dessen Stoßzahl bestimmt werden soll und la¨sst diese aus einer fest definierten Ho¨he h1 auf einen starren Boden fallen. Nach dem Aufprall wird die Ho¨he h2 gemessen (Bild 6.8).

Bild 6.8 Experimentelle Bestimmung der Stoßzahl

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Unmittelbar vor dem Aufprall t ¼ t0 hat die Kugel die Geschwindigkeit vs; 0 ¼ 2gh1 . Nach Gl. (6.27) gilt mit vk; 2 ¼ 0 fu¨r die Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Aufprall t ¼ t2 : vs; 2 ) vs; 2 ¼ evs; 0 e¼ vs; 0 Weil mit dem Energieerhaltungssatz Ekin; t2 ¼ Epot; tE erfu¨llt sein muss, kann die Geschwindigkeit vs; 2 berechnet werden aus: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v2s; 2 ms ¼ ms gh2 ) vs; 2 ¼ 2gh2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2gh2 evs; 0 ¼ 2gh2 ) e ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ) 2gh1 sffiffiffiffiffi h2 e¼ h1

)

Die Stoßzahl ist folglich unabha¨ngig von der Gro¨ße der stoßenden Masse ms. Alternativ kann die Stoßzahl auch mit Pendelversuchen ermittelt werden. Anmerkung 1: Bei der Kollision eines bewegten Fahrzeuges (Schiff, Flugzeug, Auto) mit einem Ruhenden handelt es sich um einen vollplastischen Stoß e ¼ 0. Die durch die Knautschzone zwischen den kollidierenden Fahrzeugen maximal mo¨gliche Umwandlung mechanischer Energie muss so bemessen sein, dass fu¨r die Insassen oder die Ladung kein Schaden entsteht. Diese Bedingung fu¨hrt zu einer kritischen Kollisionsgeschwindigkeit vs; kr (Gl. 6.34). Der Energieerhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenem System die Gesamtenergie erhalten bleibt, folglich gilt Ekin þ Edef ¼ konst. Vor dem Zu-

6.1 Der harte Stoß

sammenprall gilt: Ekin; 0 ¼

1 ms v2s; 0 2

vk; 0 ¼ 0 Die irreversible plastische Deformationsarbeit der Knautschzone wird mit dem Term Edef; 2; pl erfasst (siehe Bild 6.3), wohingegen die reversible elastische Deformationsarbeit Edef; 2; el vernachla¨ssigt wird. Nach dem Zusammenprall betra¨gt die kinetische Energie Ekin; 2 mit vs; 2 ¼ vk; 2 ¼ v und v ¼ ms vs; 0 =ðms þ mk Þ (Gl. (6.31): 2 ms þ mk 2 ms þ mk ms v2s; 0 ð6:32Þ v ¼ Ekin; 2 ¼ 2 2 ms þ mk Mit Ekin; 0 ¼ Ekin; 2 þ Edef; 2; pl wird: 2 1 ms þ mk ms v2s; 0 ms v2s; 0 2 ms þ mk 2 1 2 ms ðms þ mk Þ m2s ¼ vs; 0 2 ms þ mk ms þ mk 1 2 ms mk ¼ v 2 s; 0 ms þ mk

Edef; 2; pl ¼ Edef; 2; pl Edef; 2; pl

Aus Gl. (6.33) folgt die kritische Kollisionsgeschwindigkeit: vs; 0 ) vs; kr rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ms þ mk vs; kr ¼ 2Edef; 2; pl ms mk

ð6:33Þ

ð6:34Þ

Kollidiert das Fahrzeug mit einem starren Widerlager ðmk ! 1Þ, vera¨ndert sich demgema¨ß die Gl. (6.34) zu: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Edef; 2; pl ð6:35Þ vs; kr ¼ 2 ms Durch einen Crashtest an einem starren Widerlager kann vs; kr gemessen und daraus die vorhandene Edef; 2; pl der Knautschzone des kollidierenden Fahrzeuges berechnet werden. Anmerkung 2: Die Gro¨ße der Kontaktkraft F bleibt in den oben aus der Impulsbilanz abgeleiteten Stoßformeln unbekannt. Mit der Newtonschen Stoßhypothese ko¨nnen nur die Geschwindigkeiten nach dem Stoß berechnet werden unter Annahme eines Verlustes an mechanischer Energie. Wenn die Masse mk bekannt ist und ihre Beschleunigung wa¨hrend des Stoßvorganges a gemessen wird, dann la¨sst sich die Kontaktkraft F berechnen. Am Ende der 1. Stoßperiode wird die Beschleunigung a und die Kraft F zwischen den beiden Ko¨rpern maximal Fmax ¼ mk amax . Die Kontaktkraft kann auch mit Druckmessdosen ermittelt werden. Sie ist jedoch keine statische Kraft, sondern wirkt nur wa¨hrend der Zeit t0 t t2 . Anmerkung 3: Um ein vollsta¨ndiges Bild des Stoßverlaufes zu bekommen, muss der Kraft-Zeit Verlauf FðtÞ (Bild 6.7) oder der Kraft-Weg Verlauf FðuÞ (siehe Bild 6.3) aus Crashversuchen oder Berechnungen bekannt sein.

6 Stoßvorga¨nge

Die wa¨hrend der Stoßzeit t0 t t2 wirkende Kontaktkraft FðtÞ fu¨hrt zu einer nderung des Impulses (siehe Bild 6.7): ^

F¼

Ðt2

FðtÞ dt ¼ Iðt2 Þ Iðt0 Þ ¼ DI

t0 ^

Siehe auch Gl. (5.4). Das Zeitintegral F wird Kraftstoß oder Stoßimpuls genannt und hat die Dimension eines Impulses. Mit den nach der Newtonschen Stoßhypothese ermittelten Geschwindigkeiten vs; 2 und vk; 2 am Stoßende la¨sst sich DI berechnen mit Iðt2 Þ ¼ mk vk; 2 þ ms vs; 2 (Gl. 6.22) und Iðt0 Þ ¼ ms vs; 0 (Gl. 6.20). Mit Hilfe des Integrals ^ u¨ber den Kraft-Zeit Verlauf F la¨sst sich dann die maximale Kontaktkraft Fmax und die Stoßdauer t2 berechnen. Die la¨ngs des Weges uel þ upl wirkende Kontaktkraft FðuÞ fu¨hrt zu einer nderung der kinetischen Energie (siehe Bild 6.3). Edef ¼

uel Ðþupl

FðuÞ du ¼ Ekin ðt2 Þ Ekin ðt0 Þ ¼ DE

u¼0

Das Wegintegral Edef wird Deformationsenergie genannt und hat die Dimension einer Arbeit. Mit vs; 2 und vk; 2 la¨sst sich DE und schließlich mit dem Integral u¨ber den Kraft-WegVerlauf Edef la¨sst sich Fmax und die Stoßdeformation uel þ upl (Knautschweg) berechnen. Die beiden Kennlinien (FðuÞ Bild 6.3 und FðtÞ Bild 6.7) sind a¨quivalent. Sie unterscheiden sich durch den Faktor v (Geschwindigkeit). Mit F ¼ maðtÞ ¼ m dv=dt und vðtÞ ¼ du=dt wird: ð ð ð dv FðuÞ du ¼ m du ) mvðtÞ dv ) dt ð 1 mvðtÞ dv ¼ mðvðtÞÞ2 2 ð ð ð dv FðtÞ vðtÞ dt ¼ m vðtÞ dt ) mvðtÞ dv ) dt ð 1 mvðtÞ dv ¼ mðvðtÞÞ2 2 Anmerkung 4: Trifft der stoßende Ko¨rper ms auf einen elastisch gelagerten Ko¨rper mk , dessen Masse gleich oder gro¨ßer ist ðmk,red ms Þ (Bild 6.9), so muss nach Abschnitt 6.1.4 zuna¨chst die Geschwindigkeit des gestoßenen Ko¨rpers mk ; red unmittelbar nach dem Stoß vk; 2 berechnet werden (Bild 6.9). Bei massebehafteten Federn (Sta¨ben) wird mk durch mk,red ersetzt (Abschn. 7.2.4). Anschließend kann mit vk; 2 ¼ b v1 und mk; red ¼ b ms gema¨ß Bilder 6.1 und 6.3 die Verformung der masselosen Feder k berechnet werden (Amboss-Hammer, Rammgera¨t, hydraulischer Meißel, Auf- und Anprallstoß gegen Bauteile mit großer Masse). Mit Fmax ¼ umax k kann dann die elastische Haltekonstruktion bemessen werden.

6.2 Der weiche Stoß

Bild 6.9 Zusammenstoß zweier Ko¨rper mit mk,red ms

6.2

Der weiche Stoß

Die kinetische Energie des stoßenden Ko¨rpers wird in Forma¨nderungsarbeit des stoßenden Ko¨rpers umgewandelt (Knautschzone bei Fahrzeugen, Schiffsanprall bei Bru¨cken, Flugzeugabsturz). Die Stoßfunktion FðtÞ – Impulsanregung – muss aus Crashversuchen oder FE-Berechnungen bekannt sein (siehe z. B. DIN 1055-9). Fu¨r einfache Stoßfunktionen existieren Diagramme, welche den dynamischen Erho¨hungsfaktor (hier D, anstelle V in Bild 8.6) des Einmassenschwingers angeben (Bild 6.10). Bei Impulsanregung ist die dynamische berho¨hung vom Quotienten aus Stoßdauer und Periodendauer abha¨ngig, wa¨hrend bei periodischer Anregung (Kapitel 8) der Quotient aus Anregungs- und Eigenfrequenz maßgeblich ist. Fu¨r eine na¨herungsweise Berechnung reichen diese Diagramme aus. Bemerkenswert ist, dass der dynamische Erho¨hungsfaktor D (Stoßfaktor) fu¨r eine plo¨tzlich einwirkende Kraft td 0,5 T wiederum 2,0 ist (Bild 6.10 oben). Es kommt also zu einer Verdopplung der statischen Beanspruchung wie in Anmerkung 3 in Abschnitt 6.1.2 fu¨r den harten Stoß beim plo¨tzlichen Absetzten einer Last gezeigt wurde. Derartige dynamische Lasten treten beispielsweise auf beim Anheben oder Absetzen von Kranlasten und beim Versagen von Konstruktionsteilen infolge berlastung oder Abbruchsprengung [79]. Man liegt auf der sicheren Seite, wenn man mit der doppelten statischen Last rechnet. Die Diagramme Bild 6.10 gelten nur fu¨r den elastischen Bereich Fers ¼ wdyn k ¼ D wstat Fpl (Traglast). Werden auch plastische Verformungen beno¨tigt, um den Impuls abzufangen, werden erweiterte Diagramme gebraucht (Abschn. 6.3). Genauere Angaben sind in [1] enthalten.

6 Stoßvorga¨nge

Bild 6.10 Dynamischer Erho¨hungsfaktor infolge eines weichen Stoßes [2]

6.3

Konstruktiver Explosionsschutz

Dr.-Ing. Kira Holtzendorff

6.3.1

Allgemeines

Mit steigendem Sicherheitsbedu¨rfnis der Bevo¨lkerung nimmt auch der bauliche Explosionsschutz an Bedeutung zu. Gefahren durch Terroranschla¨ge, defekte Gasleitungen und Industriebetriebe mit explosiven Chemikalien sowie Staubexplosionen sind vorrangig zu nennen. Die Einwirkungen auf bauliche Anlagen in Form von Druckwellen aufgrund ei-

6.3 Konstruktiver Explosionsschutz

nes Explosionsereignisses ko¨nnen als Stoßfunktion pðtÞ beschrieben werden. Fu¨r einfache Stoßfunktionen sind in Bild 6.10 (rechteck-, dreieck- oder parabelfo¨rmige Kraft-Stoßfunktionen FðtÞ, welche sinngema¨ß auch als Druckstoßfunktionen pðtÞ verwendet werden ko¨nnen) die dynamischen Erho¨hungsfaktoren des Einmassenschwingers angegeben, sofern die Verformung im elastischen Bereich der Konstruktion bleibt. Praktische Anwendungsfa¨lle zeigen allerdings, dass fu¨r den außergewo¨hnlichen Lastfall einer Explosionseinwirkung plastische Verformungen der Konstruktion aus wirtschaftlichen Gru¨nden meist unvermeidbar sind. Sie ko¨nnen hingenommen werden, so lange die plastischen Verformungen im Hinblick auf die zu erhaltende, globale Standsicherheit der baulichen Anlagen begrenzt bleiben. Grundsa¨tzlich basiert die explosionssichere Bemessung von Konstruktionen auf dem Energieerhaltungssatz (siehe Abschnitt 6.1), wonach die Explosionsenergie durch ausreichende (plastische) Verformungen der Konstruktion vollsta¨ndig dissipiert werden muss. Die Berechnung plastischer Verformungen infolge einer Stoßfunktion wird im Folgenden behandelt. Zusa¨tzlich werden Hinweise gegeben, welche konstruktiven Maßnahmen zur Sicherstellung einer ausreichenden Duktilita¨t, also eines plastischen Verformungsvermo¨gens (siehe dazu auch Abschnitt 6.4.4) von Querschnitten, Tragsystemen und Anschlu¨ssen ergriffen werden ko¨nnen.

6.3.2

Stoßfunktion infolge Explosion

Bei einer Explosion wird eine Druckwelle erzeugt, die zu einer sprunghaften Erho¨hung des Luftdrucks, dem Spitzenu¨berdruck ps , fu¨hrt, welcher dann mit der Dauer der Einwirkung t exponentiell abnimmt, wie im Bild 6.11 dargestellt ist. Die absolute Gro¨ße des Freifeld- berdrucks ps ha¨ngt vom Explosionsereignis und von der Entfernung zur Explosionsquelle ab. In Bild 6.11 ist zu erkennen, dass auf die Phase des positiven berdrucks die Phase des negativen Unterdrucks folgt, in welcher eine Sogwirkung auftritt. Diese Sogwirkung wird im Folgenden vernachla¨ssigt, muss jedoch konstruktiv, z. B. durch zusa¨tzliche Bewehrung im planma¨ßigen Druckbereich, beru¨cksichtigt werden.

Bild 6.11 berdruck ps der freien Explosionswelle [72]

6 Stoßvorga¨nge

Bild 6.12 Reflektierter berdruck pr am Bauteil [72] und Belastungsschema

Wenn die Druckwelle auf ein Hindernis wie z. B. ein Gebaüde trifft, staut sich der berdruck und wird reflektiert. Dieser reflektierte berdruck pr (siehe Bild 6.12) ist fu¨r die Bauteil-Bemessung maßgebend und kann je nach Orientierung der Gebaüdewand oder des Gebaüdedaches deutlich gro¨ßer als der berdruck einer freien Explosionswelle sein. Die Gro¨ße des reflektierten berdrucks wird mit Hilfe von Reflexionskoeffizienten Cr in Abha¨ngigkeit des Auftreffwinkels und des Verha¨ltnisses des Freifelddruckes ps zum atmospha¨rischen Druck p0 bestimmt. Ein entsprechendes Diagramm ist z. B. in [75, 78] angegeben. Fu¨r geringere Explosionsdru¨cke aus gro¨ßerer Entfernung kann unabha¨ngig vom Auftreffwinkel auf der sicheren Seite liegend ein Reflexionskoeffizient von Cr ¼ 3 angenommen werden [77]. Auf der rechten Seite des Bildes 6.12 ist als Beispiel der reflektierte allseitige berdruck auf ein Gebaüde mit rechteckigem Grundriss skizziert. Typischerweise wirkt hier der gro¨ßte, reflektierte berdruck auf die Vorderwand. Auf die Seitenwa¨nde wirkt ein leicht ho¨herer Druck als derjenige der freien Explosionswelle und auf die Ru¨ckwand wirkt nur noch der Druck der freien Explosionswelle. Der zeitliche Verlauf der Belastung der einzelnen Bauteile des Gebaüdes durch eine Druck- bzw. Stoßwelle infolge Explosion wird nun fu¨r die Bemessung vereinfachend

Bild 6.13 Dreiecksfo¨rmige Bemessungs-Stoßfunktion infolge Explosion

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