Caderno do futuro matemática 7º ano by escolanto

• NOMerOS

interns

NOmeros racionais • Equacoes e inequaqbes • Sistemas equaciies_ • • • tialOes e wpm-6es 0 de trey • • Bella Porcentagem eluro • • Geornetsia

•

Colecao Caderno do Futuro Matematica

IBEP, 2013 Diretor superintendente Gerente editorial Editor Assistente editorial Revisit, Coordenadora de arte Assistente de arte

Coordenadora de iconografia Assistente de iconografia Producio grafica Assistente de producio grafica Projeto grafico Capa Editorasio eletronica

Jorge Yunes Celia de Assis Mizue Jyo Edson Rodrigues Maria Inez de Souza Karina Monteiro Manilla Vilela Nane Carvalho Carla Almeida Freire Maria do Ceu Pires Passuello Adriana Neves Wilson de Castilho Jose Ant6nio Ferraz Eliane M. M. Ferreira Departamento de Arte Ibep Departamento de Arte Ibep N-PublicacOes

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CIP-BRASIL. CATALOGAcAO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ S58m 3. ed Silva, Jorge Daniel Matematica, 7° ano / Jorge Daniel da Silva, Valter dos Santos Fernandes, Orlando Donisete Mabelini. - 3. ed. - Sao Paulo : IBEP, 2013. ; 28 cm

(Caderno do futuro)

ISBN 978-85-342-3585-3 (aluno) - 978-85-342-3589-1 (professor) I. Matematica (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. I. Fernandes, Valter dos Santos. II. Mabelini, Orlando Donisete. III. Titulo. IV. Serie. 12-8692.

•

CDD: 372.72 CDU: 373.3.016:510

27.11.12 03.12.12

041086

IBEP Av. Alexandre Mackenzie, 619 — Jaguare 31P14,WA,

••

Sao Paulo — SP — 05322-000 — Brasil — Tel.: (II) 2799-7799 www.editoraibep.com.br — editoras@ibep-nacional.com.br CTP, lmpressao e Acabamento IBEP Grafica 43125

•• • • •• •

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SUM AR IO 0 CAPITULO 1 - CONJUNTO DOS NUMEROS INTEIROS Z 1. 0 conjunto dos numeros inteiros (Z) 2. Sucessor e antecessor de urn nCimero inteiro

9 10

5. Valor absoluto ou modulo

CAPITULO 6

3. Numeros opostos ou simetricos 4. Nikneros consecutivos

CAPITULO 2

*0 0

2. Resolugao de uma inequagao de 1° grau

OPERACOES EM Z

1. Adicao de dois numeros inteiros de mesmo sinal

2. Adicao de dois numeros inteiros de sinais diferentes

3. Subtracao de dois numeros inteiros

4. Resolucao de expressoes numericas 5. Multiplicagao de dois numeros inteiros

SISTEMAS DE Mgt-1ES

1. Tecnicas operatorias para resolugao de sistemas

2. Sistema de equagOes corn numeros fracionarios

3. Problemas corn equacOes de 1° grau corn duas variaveis

CAPITULO 7

RAZOES E PROPOKOES

1. Razao entre duas grandezas 2. Velocidade media

74 74

3. Densidade demografica 4. Escala

75 75

5. Proporgao

6. Divisao de dois numeros inteiros

7. Expressoes numericas

8. Potenciacao de numeros inteiros

9. Raiz quadrada de urn nOrnero inteiro

CAPITULO 3 - NUMEROS RACIONAIS

1. 0 conjunto dos numeros racionais

2. Adicao e subtragao corn fragOes

3. Adicao e subtracao de numeros decimais

4. Multiplicacao e divisao de fragOes

5. Multiplicacao e divisao de numeros decimais

6. Express"cies numericas corn numeros racionais

7. Potenciacao de numeros racionais 8. Raiz quadrada de urn numero racional 9. Expressoes numericas corn numeros racionais

CAPITULO 8

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

1. Regra de tits

2. Regra de tits simples

3. Regra de tits composta

CAPITULO 9

PORCENTAGEM E JURO

1. Porcentagem

2. Juro simples

1. Angulos 2. Conversao das unidades de medida de angulos

3. Operagoes corn medidas de angulos

4. Angulo reto, angulo agudo e angulo obtuso

5. Angulos congruentes

CAPITULO 4 - EQUACOES ALGEBRICAS

6. Angulos complementares e angulos suplementares

1. Equagoes

7. Triangulos

101

2. Equagao de 1 2 grau

8. Quadrilateros

103

3. Problemas corn equagOes de 1 2 grau

9. Circunferencia

105

0 CAPITULO 5

INEQUACOES

1. Inequagao

10. Arco, corda e diametro

105

11. Solidos geornetricos

111

12. Corpos redondos

113

CAPITULO 1 - CONJUNTO DOS NOMEROS INTEIROS Z

1. Conjunto tlosnimeros

inteiros (Z) eloe

impossivel

e) 1 - 0 =

possivel, 1

f )__ 7 - 7

possivel, 0

No conjunto dos numeros naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}, as subtracoes em que o minuendo é menor que o subtraendo sao impossiveis, pois o resultado nao pertence a esse conjunto. Exemplo: 4 - 7 = ? No conjunto dos numeros inteiros (Z) essa operacao é possivel. 0 conjunto Z é formado pet° conjunto dos numeros naturais corn seus respectivos opostos (negativos). Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} reta numerica

I I I ...-3 -2 -1

I 0

inteiros negativos

3...

- 9=

ADO

crevaromo se la_estes numeros seis negativo

b) +5

cinco positivo

nove negativo

zero

3. Comumente, os valores de temperaturas

negativas sä indicados pela expressacT-e-

"abaixo de zero" e as positives pela

expressao "acima de zero". Entao, "5°C

inteiros positivos

abaixo de

origem

7Ar0"

norresponde a -5°C e

• 0 ntInnero -8 Le-se oito negativo.

"20°C acima_deiera" norresponde a

• 0 numero +3 le-se tres positivo.

+20°C.

411

Fscreva os numeros que representam

1. Considerando o conjunto dos_ntimeros naturais_N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 4,

estas temperaturas. al 3°C ahaixo de zero

-8°C

h) 37°C anima de zero

+37°C

c) 32°C abaixo de zero

-32°C

classifiqi JR as operagOes em possivel ou impossivel. Quando possivel, calcule o resultado. a) 4 -1

possivel, 3

b) 7-11 =

impossivel

c) 8 + 12 =

possivel, 20

•

d)___510acima de zero

+5°C

a 4. Fm igna conta hancAria as saldos

a a

•

altitudes.

sao positivas as altitudes

positivos, "creditos" Assim,_um debito_

acima do nivel do mar e negativas as

de R$ 600,00 indica-se por - 600 e urn

que estao abaixo_Indique corn a nbrnero

credit° de R$ 800,00, por +800, par

as altitudes positivas ou negativas

exemplo

apresentaclas_

Fscreva as niimeras que representa saldos positivos ou negativos das contas

6. aaitimetrae' um aparelhaquaregistra___

avido esta,_aproximariamente,

1 800 m acima do nivel do mar +1 800 m

apresentadas a) credito de R$ 2 000,00

+2 000,00

h) Urn submarino estA 200 m ahaixo do h) debit° rip R$500,00_

—500,00

c) dehito de. RSA. 000,00

—1 000,00

—200 m

nivel_ do mar.

7. 0 edificio Brisamar tem_19_andares e d) arAdito de R$ 10,00

+10,00

5. 0 quadro a seguir apresenta o extrato da

2 subsolos_Nonel dos elevadores desse predio aparecerno zero, numeros positivos e_negativos

movimentacio

data

06/03

+800 (saldo)

09/03

+300 (depOsito)

10/03

a a

•

500 (retirada)

0 numero zero.

b) 0 primeiro subsolo e indicado por -1 no painel dos elevadores._Qual a indicagao

+800,0(1 + 300,0(1 =

+1 100,00 500,00 = +600,00 riz m 1_01113 é de _BaspostaL0_saldo del -

do segundo subsolo?

_9. A Halanda b urn pals da Europa que

rodada_de um_carnpeonato_envolvendo

apresenta parte de seu territorio_abaixo

os times_Palmeiras, Flamengo e GrAmio.

do nivel do mar. Ynaro visitou uma cidade 5 m abaixo do nivel do mar e foi, em

12 jogo

Palmeiras

3x1

Flamengo

seguida, visitar outra 245 m acima do 2° jogo

Gremio

1x2

Flamengo

3° jogo

Palmeiras

2x3

Gremio

nivel domar._

7wiTi Desi

8. 0 quadro mostra os resultados de uma

a) Represente as altitudes rigs dues cidades

corn nOmeros positivos e negativos. 0 regulamento estabelece_que, em naso

1a cidade: de empate no niimero de vitories, a

m _71 ,- m

2a cidade: campe:o sera o time que obtiver o major saldo de gols_(diferenca entre o niimero. de gols marcados e 0 nOrnero de gols

h) Qual a_diferenca de altitude entre essas

dues cidades? +245

—

(-5) = +245 +_(+5) = 245 + 5 = 250 m

sofridos). Responda:

ED lit ID

a) Qua' o saldo de cada time ern_cada jog°

______10.Emrieterminaclarnanhii de_ inverno_ da

e o saldo final? 1°

2°

jogo

saldo final

Palmeiras -1 +1

Gremio

verificada foi de -2 °C Drente a tarde dia, a temperatur.

temperature marnava o termOrnetm na manila se.gilinte?

Tarcie —2 °C + 4 °C = +2 °C Nolte . +2 '0 7 °C, = —500 :

—

:- ••

________

11 ID ID

•

4 °C e, durante a noite, caiu 7 °C. Que

h) OHM o time campeao? Pali, luil d.,

cidade de Gramado, a temperature

CIPSCP mesmo

Flamengo

0--

verciadeiras, (V) ou falsas, (F)

CO *(

Os numeros 0, -1, -2, -3, -4, ... chamam - se inteiros nao positivos e sao representados por:

a) 0 E Z

Z_ = {..., -4, -3, -2, -1, 0}. Os numeros 0, 1, 2, 3, ..., que tambem sao escritos 0, +1, +2, +3, ..., chamamse inteiros nao negativos e sao representados por: -

Z = {0, 1, 2, 3, ...}, que é o proprio conjunto dos numeros naturais, ou seja, Z = N. + Observe:

I)) -5 E N c) 8 E Z*+ d)

1EZ

) -1 F 7*

13.,Naretanumerica,uninumero

a) Z_ U Z+ = Z

localizacio A direita de outro é major

b) Z_ U Z+ = {0}

que o que esta Iocalizado a sua

c) Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos numeros inteiros nao-nulos (sem o zero).

esqiiercia Assim,

11. Escreva cada conjunto numeric° corn

AV-

•

0 > -2

no minim° 5 Mementos a) N

[0,1,2,3,4,...

h) N

{1, 2, 3, 4, 5,...)

h) -5 < -16 )

82 < - 45

(1) -36 > -76 7

-2,-1 ,O, 1 2,...) ,

pl) -100 < -200

f) -1000 > -100 d) 7*

{-2, -1,1, 2,3...

{1, 2, 3, 4, 5,...)

> -8, pois -6 esta

a direita de -8 Escreva nos oarAnteses V ou F.

S ID 14. 0 esquema a seguir mnstra uma reta ntimArica, em que as tetras A, B, e D,

2. Sucessor e antecessor de um numero inteiro

•

411

representam numeros inteiros. Observe a localizacao do.zero, responda e justifique os itens que segt JAM.

0 sucessor de um numero inteiro e o inteiro que esta imediatamente a sua direita. E o numero que vem depois. Exemplo: o sucessor de -10 é -9 e o sucessor de 5 é 6. 0 antecessor de urn numero inteiro e o inteiro que esta imediatamente a sua esquerda. E o numero que vem antes. Exemplo: o antecessor de -8 é -9 e o antecessor de 10 é 9.

'meraik_e_negatht o9 pois esta a direita do zero.

S ID

S ID 41 S

•

ID 15. Fscreva estes numeros inteiros em ordem crescente utilizando os sinais

Sim, pois esta a esquerda do zero.

de < e >.

c) 0 numero B e positivo? -15, 8 , 3 ,-11 , 10 e-6 Sim, pois esta A direita do zero.

d) C > D?

ID 411 ID

—15 < —11 < —6 < 3 < 8 < 1 n Sim, pois C esta ci direita de D.

S 16. Responda.

e) A < B? pois A esta a esquerda de B.

a) Qual é o si icessor de 14 9

f) Qual o maior desses numeros? b) Qual é o sucessor de -11? B, pois esta a direita de todos Os outros g)

o menor desses numeros?

c -4 sucessor de qua' numero?

D, pois esta a esquerda de todos os outros.

_Qual e o sucessorde -1?

ID_ e Todo numero inteiro tern sucessor?

17. Responda.

•

a) Qual •

c) Qual P o oposto do oposto de 10? 11

antecessor de 12?

_b)QuaLOoantecessor_de -15?

IV— c)

d) Qua! P n simetrico DU oposto de

d) Qtial 6 o antecessor de 1?

• 4111

e) Todo numero inteiralem antecessor?

•

_20. Qual e o numero que tenisimetrico

Sim

zero?

-2 é antecessor de qual numero?

18. Fliane maim! 1

igual ao sucessor de -6?

errwmareta

numerics_

1111

urn numero 8 unidades para a direita

Qual Q n numero que tern oposto

•• ••

a partirdo_ntimern -9. Qual numero

ao antecessor de 8?

•

Diane marcoli? Resposta: Diane marcou o numero

_22. Resolva._ —

1. —Wirneros opostos ou smieticos

• • •

•• •• 110 410 Eli •

iguaL

a) Qual é o antecessor de -1571

—16

b) Qual é ü sucessor de -100?

-99

c) Qual é o numero que tem simetrico igual ao antecessor de 1371

Numeros opostos ou simetricos sac) aqueles que estao localizados na reta numerica a mesma distancia do zero.

d) Qual é o numero que tern oposto igual ao

Exemplo: o numero 3 e o numero -3 sao opostos.

e) Qual e o oposto do antenessor de -20?

3 unidades

3 unidades -3 -2 -1

sucessor de._11?

19. Responda. a) Qual é o simetrico de 10?

g) Qual é o oposto do simetrico de 15? 15 —10

b) Qual e o simetrico ou oposto de -1?

h) Qual é o sucessor do antecessor de 5?

eros consecuEvos_____

25, Escreva urn trio cla_nOmeros 111

Urn numero e seu antecessor, ou um numero e seu sucessor formam pares de numeros consecutivos.

consecutivos dalorma que• a)._os tres sejam positives. sposta

soal

Exemplo: 5 e 6 sac) numeros consecutivos.

b) os tres sejam_negativos. Resposta pessoal

sponda._ Qual é o consecutivo de -5 9 L

_ c) somente urn dos tres_sejanegativa_ -

1, 0, 1

b) Qua' e o consecutivo de -10 9 d) snmente um dos tres seja positivo. -

1, 0, 1

c) Qual é o consecutivo de 0?

—2 sao consecutivos?

vaum par de numeros consecutivos de forma clue: . 11 • •

Sim

0 valor absoluto ou modulo de urn numero e o valor desse numero sem considerar seu sinal. I —3 I = 3 (le-se: o modulo ou valor absoluto de tres negativo é igual a tres I +7 I = 7 (le-se: o modulo ou valor absoluto de sete positivo e sete).

1••

Resposta pessoal

termine o valor de:— . 11 • •

.11

"•

Nao existe

• ••

e) 1.6f)

+(-9 1= 0

27. Determine se as sentengas a seguir

saw___-

verdadeiras (V) ou falsas (F).. _ =

•

-H3 4= 8 b) 101=0 a 1 7-1 = d) 0 oposto de -10 6 10. e) 0 oposto de 6 é -6.

Aosimetriccute -4 é 4

9. Determine se_as sentengas._sao verdadeiras (V) nu falsas (F). 0 sinal +, antes de urn numero, pode ser dispensado, pois +5 = 5.

) - ( - 3) é o oposto de -3.

Ja o sinal - indica que esse numero é o oposto de outro. • - (+5) indica o oposto de +5, que é -5, ou seja, - (+5) = -5

42)_6 o_oposto de 2.

Exemplos: +(-3) = -3 +(+7) = +7 = 7 -(-3) = +3 = 3 -(+7) = -7

'mine os parentese expressoes. a) -(+8) =_ - 8

•

-9 indica o oposto de 9.

•

111

0 CAPITULO 2 - OPERAcOES EM Z 0

•• •

1_,Adicao de dois mimeros inteiros de mesmo sinal 1) Vamos calcular (+3) + (+5). Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a direita e, desse ponto, deslocamos mais 5 unidades tambern para a direita, uma vez que os nilmeros sao positivos. +3

...-4

-3

-2

-1

►1

►I

I-

9...

►

Entao: (+3) + (+5) = +8 = 8

•• •• •• •

2) Vamos calcular (-3) + (-5). Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a esquerda e, desse ponto, deslocamos mais 5 unidades tambem para a esquerda, uma vez que os numeros sao negativos. -5

...-9

-8

-7

-6

-3

-5

-4

-3

-2

-1

4...

►

-8

Entao: (-3) + (-5) = -8 • Na adicao de nilmeros inteiros de mesmo sinal, adicionamos os valores absolutos e conservamos o sinal comum.

1. Efetue as adigOes.

e) (-3) + (-2)= -2

•• •• ••

•

•• •• •• • •• •

• • •

•• •• ••

• •

•• •• •• •• •

• •

icao e ols numeros inteiros de sinais diferentes 1) Vamos calcular (-3) + (+7). Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a esquerda e, desse ponto, deslocamos mais 7 unidades para a direita; uma vez que o primeiro numero é negativo e o segundo, positivo: -3

...-5

••

-3

-2

-1

3 ►

5...

Entao: (-3) + (+7) = +4 = 4 2) Vamos calcular (+3) + (-7). Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a direita e, desse ponto, deslocamos 7 unidades para a esquerda, uma vez que o primeiro numero é positivo e o segundo, negativo. +3

1 -4

1 -3

1 -2

I -1

I 2

-4

Entao: (+3) + (-7) = -4 •

Na adicao de numeros inteiros de sinais diferentes, calculamos a diferenca entre o numero maior e o menor, e atribuimos o sinal do numero maior ao resultado.

2. Calcule as adigoes. a) (+8) + _(-5) =

A adicao de mais de dois nitmeros inteiros de sinais diferentes deve ser feita por agrupamento. Exemplo:

c) (+10) + (-4) = d)

Efetue estas adigoes.

6.0

._b) (+15) +_(=3)_= + (+20) =

(+3 ) + ( -5 ) + ( -7 ) = —20

e) (-30) + (±10) =

= (-2) + (-7) = -9

-f)—(+-1) + (-8) = +8) + (-3) + (+7) =

g) (+3) ± (-10)

h) (- 4) + (+1) = i) (-8)

•

-4

+ (+8) =

—3

+ (+3)__=

(+7) =

+1) + (-4) + (+10) = =(- 3) -0+101= 7_

,) (+2) +

(-8) =

.) (-5) - (+R) =

= ( 7) + ( 8) = 15 -

= 5 - 8 = 13

d) ( 5) + ( 2) + (+3) = -

d) (+10)

e) ( 12) + ( 9) + (+1) = -

—

( 20) = -

= +10 + 20 = 30

= (-7) ± (±4 -

e) (+18)

,-J,721) + (+1) = —20

(+15) =

=18-15=3

f) +8). +4+10) +. ( 15) + ( 20) = -

—

= (+2) + (-35) = —33

3. SubbsaVao de dois numeros intairos

f) (-1)— (-2) = = —1+2= 1

5. Ffetue as_operagOes (-5) + (-3) = —5-3=-8

ego • Para eliminar os parenteses que vem depois do sinal negativo (—) trocamos o sinal do nUmero de dentro dos parenteses. Exemplo: (+8) — (+2) = +8 — 2 = +8 —2 = +6 = 6 • Para obter a diferenca entre dois numeros inteiros, adicionamos ao primeiro o oposto do segundo. Exemplos:

b) (+7) + (+2) + (-8) =

c) (+15) + (-1) + (-7) = = -Ei - -7 = = ±14 7 = 7 -

d) (+8) + (+3) + (-10) = =+8+3-10=

a) (+5) — (-3) = +5 + 3 = +8 = 8 b) (-4) — (+1) = —4 —1 = —5 c) (+3) — (-2) + (+7) =

-L. 3_ =

= +3 + 2 + 7 = 5 + 7 = 12

f) (+5) + (0) — (-5) = =-E5+5=10

4. Ffetue as subtragOes a) (+3) - (+ 5) =

g) (-12) — (+3) — (-20) =

= +3 = —2_

b) (+10) — (-9) = = TIU

h) (-5) + (- 8) - (+ 5) = .

5 -13 -

J = 1:3

8 5= 18 - 5 =

•• •• •• •• •• •• ava• •

•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • •

4:1Resolii00 de expressoes

b) (13 — 4)— 8 =

numeiricas Na resolucao de expressties numericas em que aparecem parenteses, colchetes e chaves, efetuamos as operacaes na seguinte ordem: 12: resolvemos o que esta nos parenteses, eliminando-os.

c) 12 - (7 - 3) =

d) (20 - 3) 7 + 5

22: resolvemos o que esta nos colchetes, eliminando-os. 32: resolvemos o que esta nas Chaves. Exemplos: a) 7

e) 5 - 3 +(2 - 5)1=

=7+8= = 15

b) — [4 + (3 8) — 9] = = —[4 -F(-5) — 9] = = —[4 — 5 — 9] = = -[-10] =

f 3 — [5 — (4 — 6)1= 3

= _3

(-2)] = [5 + 2] = -4 -

= +10 = 10

c) {-5 + [7 — (3 + 1) — 10] + 2} = = {-5 + [7 T4+4) — 10] + 2} =

g) 2 + [8 - (7 - 5) + 3] = + 3] =

=2+

= {-5 + [7 — 4 — 10] + 2} = = {-5 +47] + 2} = ={-5 — 7 + 2} = = {-10} = -10

h) -8 + [4 - (7 - 13)- 1] + 5 -844 ±6) 1] + 5. = -8 +44 + 6 1] + 5 = -8 + 9 + 5_ = 6 -

6. Resolva as expressbes. a) 5 + (3 — 1) =

1 — [5 + (1 — 9)] = r- j)] = —

• =13 -_(7 + 5)] —13 [10 12] = = —13 [-21 —

—

= —13 +

—11

5. MultiphcacWdedois numeros inteiros

•

GOO

I•c)

[32

—

(50

—

• Quando os dois numeros tern sinais iguais: o produto é sempre urn nCimero positivo. Seu valor absoluto é igual ao produto dos numeros dados sem o sinal. Exemplos:

20)]1 =

{5 [32 30]) = {5 2) = —

—

• (+5) x (+2) = 5 • 2 = 10 • (-1) x (-4) = + (1 x 4) = +4

{16

• Quando os dois numeros tern sinais diferentes: o produto é sempre urn riner° negativo. Seu valor absoluto e igual ao produto dos numeros dados sem o sinal. Exemplos:

[12 + (20 25)]} = -(-5)il =

—

• (-3) • (+2) = — (3 • 2) = —6 • (+2) • (-4) = — (2 • 4) = —8

•

m) 10 — [30 + [4 — (5 + 2)]} = 10 — 1 [4 = 10 {30 + [-3 ) = 1_0_-7421) 27 = —17 —

7. Efetue as multiplicagoes. a) (+3) • (+2) = +6 = 6

—

ADY (+8) • (+3) +?4 = 24

n) (+7) • (+1) = +7 = 7

n) -2 - {5 - [3 - (-3 - 1)]) (5 [3 (-4)]) = = -2 -[5 -[7]) = 2 -[5- 7)

-2

ii) (+8) • (-4) -32

—

-[-2)

e) (+1) • (-A) =

-q

f) (-8) • (+ 1)----=8

•

g) (+10) • (+9) =

h) (-F1). (+15) = +15 = 15

-41

•• •

8. Ffett le as mtiltiplinacnes.

-4) • ( +12) = -48

( •

A-4) (- 5) (+2) = •

•

(+3) • (+74,, -E21--- 21

•

= (+20) • (+2) =

•

(+3) (-2) = •

• •

-4) (+7) =

b) -

(-7) (+2) (-1) = •

•

28 = (-14) • (-1) ,

• m) (

•

=14

+2) (+35) = •

•

• •

•

• (-3) • (-5) • (-120) =

74 +4=

d) (-5) • (+3) • (-2) =

(1k. j_178)

•

• (4 )

0E-

•• •• •• •

Na multiplicagdo de mais de dois numeros inteiros, multiplicamos por agrupamento. Exemplos:

•

•• ••

•

Multiplicacio com mais de 2 fatores

•

=_H

•

c) (+9) (-2) (+5) =

(+21) (-12) = -252

•

(-5) = = 30

(-5) =

600

• (-)• (-5) • (+4) • (-2) • (-1) =

(-10) • (+2) • ( 3

= (+15) - (+4) • (-2) • (-1) = (+60) • (-2) • (-1) = = (-120) (-1)

= -60

= +120 = 120 (+2) • (+3) • (-1) • (-2) • (-1) = = (-F6) • (-1 ) • (-2) • (-1) = = (-6) • (-2) • (-1) = = (+12) • (-1) = = -12

(-1) • (-4) • (+3) • (-2) = = (+4) • = -24

(-6) =

g) (-5) • (-3)

= (+15) • (-24) =

Propriedade distributive da multipticacio Exemplos:

--,-- 360

a) (-2) • (5 ® 3) =

= (-2) • (+5) ® (-2) • (+3) = = -10 + (-6) = -10 - 6 = -10 + (-6) = h) (+10) • ( 2) • (+1)• (-3) • (+2.) = -

= -16

= (_-2O) • (-3) • (+-2)-=

b) (-3) • (789) = = (-20), (-6) =

= (-3 ) • (+7) O+• ( -9) = = -21 + (+27) = -21 + 27 = -F6 = 6

= 12 1

i) ( 3) • (+2) • (-1) • (+4) • (-10) = -

=1-b) •

(-44 4=1-i-j)=

9. Aplique a propriedade distributiva e efetue as operactjes.

=4-6) • (40) =

a) (-3)48 + 4) =

= -240

(± 8) + (-3) •

(-1) • (+1) • ) • =-(-1 )

(±4)---

= (-24) + (-12) = -36

• (-1) • (7--1)-=

b)_ _(±5)

, (+1) • (-1),

(10+3)=

(+5) • (on) + (+5) (+3)

= (+50) + (+15) = +65 = 65

k) ( 2) • ( 9) • (-2) • (-2) • (-2) = -

(+-4)-• (44)-• (-2)

- • (5 +1_) = (+5) + 0)_+4,2)

-32

• (=1)•(-1) • (-1_)_•_ (-1)2

= (+1) • (+ 1) • (+1) =

= 1

d) (-3) • (-2 - 5) = =

(-3) • (-2) + (-3) • (-5)

•• • •

•• •• •

•a

Dansaa_dellois ninneros inteiros Para a divisao de inteiros, valem as mesmas regras de sinais da multiplicacao.

• Sinais iguais: o quociente é urn marnero positivo. Seu valor absoluto é igual ao quociente dos numeros dados sem o sinal. Exemplos:

•• • •aro •• •• •• a) _ ••

t)—(+---1-5)-÷+5) = -3

(-10) ÷ (+2) -5

h) (-4) + 1 - 4

• (+10) + (+2) = +5

• (-4) (-2) = +2

• Sinais diferentes: o quociente é urn numero negativo. Seu valor absoluto é igual ao quociente dos mjrneros dados sem o sinal. Exemplos: • (+4) + (-2) = —2

(-4)

(-4 )

+1 = 1

• (-8) + (+8) = —1 k) (+24).

10. Efetue as divisdes. (+8) - (+2) =

•• •

• • • • • • • • • •

•

I) (-18) +(=1)_=

h) (+30) + (+1 0) = +3 = 3

m) (+15) -L (+1) = +15 = 15

c) (-12) - (-3) =

n) (+18)÷ +9 = +2 = 2

d) (-20) ÷ (-10) = o) (-32) + (+2) = -16

e) (+5) - (-1

4,2)J-40)(+20) = -2

_d) 30 + ÷ ( -2) 30 — 4 = 26

Na resolucao de expressoes numericas em que aparecem parenteses, colchetes e chaves, resolvemos primeiro o que esta nos parenteses, depois o que esta nos colchetes, e por fim, o que esta nas chaves.

_..e) 15 = 5 — 10 = 3

Quanto as operacoes, resolvemos primeiro as multiplicacoes e divisoes, depois as adicoes e subtracoes.

3 + 6 x 2 — 15 ÷ (-3) = IL

Exemplos. —3 + 7

•

(-2) =

= —3 + (-14) = V = —3 — 14 = —17

— [2 x (8 — 12)] ÷ 2} = =(r — (- 4)1 4 ±8.] ÷ 2 = {4 — (-4)} = 4 4 = 8 -

20 ÷ (-2 — 8) + 3 = = 20 ÷ (-10) + 3 = = —2 + 3 = 1 [18 — (3 + 10 ÷ (-2) + 5)] = = [18 — (3 — 5 + 5)] =

h) {2 + [3 ÷ (10 — 11) + 1] 1" • ' ' = {2 + [-3 + 1] ÷ = ={2 +(-2) = 2} =

= [18 —(+)] = = [18 — 3] = 15

5 x [(8 - 5) x (2 + 7)] = 5 x [3 x 9] = 5 x 27 = 135

11. Ffptt IP as operacOes a) - 7 x 3 = 3 - 21 =

{[(A + 4) -- 3] x (3 — 1)1 = =4x2=8

= 5 + 16 = 21

k) ([(50 x 3) + (2 x 25) ÷ 4 = c) 50

—

25 x 2 =

÷ 4=

= 200 ÷ 4 = 5 50 - 50 =

••• •• • ••• • •• •• • ••• • •• • • ••• ••• •• •• •• • ••• • •••

1:-Expressties numeticas

•• •• •• •• •• •• •• •• •• • •• ••

•• •• •• •• •• •

••

8. Potenciacao de niimeros inteiros

f) (-1)5 = g) (Q) 10 =

t•

(

• Quando a base é positiva: sendo expoente par ou impar, o valor da potencia é sempre positivo. Exemplo: expoente par

• (+3) 2 = (+3)

_Expressoes numericas corn potencias •

(+3)

base

potencia

expoente impar •

(+4)

(+4) 3 = (+4)

(+4) = +64

•

potencia

base

Quando a base é negativa: se o expoente for par, a potencia é positiva. Se o expoente for impar, a potencia é negativa. Exemplos: expoente par

•

(1 2 = ( -3 )

•

(-10) 2 + 20 + 4 =

= (+100) + 20 + 4 =

( -3 ) =

(-2) 4 + (-4) 2 - 3 =

potencia

expoente impar (-4) 3 = (-4)

Nas expressoes numericas em que aparecem as quatro operacoes, mais a potenciacao, resolvemos primeiro as potencias, seguido das multiplicacoes e divisoes, e por fim as adicoes e subtracoes.

= +5 + 4 = +9

base

•

h) (-2)3 =

= (+16) ÷ (+16) - 3 =

(-4)

base

12. Calcule as potencias.

•

(-4) = -64 potencia

(+1) - 3 = = +1 - 3 = -2

13. Resolva as expressaes numericas.

a) (+2) 2 = 4 a) (+3) 2 ÷ 3 + 5 = b) (+3)2 =

=9+3+5=

3+5=8

c) (-2) 2 = d) (-5) 2 =

e) (-3)3 =

b) (+12)2 + 72 — 3 =

c) ( 1) 4 - (+8)2 ÷ (-2) 4 =

C) (- a)3 • -a 2 =

-64= 1 6

d ) (+3)" • (+3)m =

(+-311

'--' 11

d) (-1)1 - (-4) 3 + (+2)3 = - -1

el (-1 01 9 + - 1 012 = -1 (1)1_

(-64) ± 8 =-

(

= -1

(-8) =

a (-8)3 (-8)3 = (-81° = 1

Propriedades da potenciacia_ -MI

nl (A-1 112 + (+1 112 = ,01

MultipLica*: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (_ 3 )2 (_ 3 )3 = (_3)2 + 3 = (_3)5

(+111° = 1

Divisao: Conserva-se a base e subtraemse os expoentes. (-5 ) 5

( -5 ) 3 = (_ 5 ) 5 3

= (_5)2

Potencia de uma potencia: Conserva se a base e multiplicam-se os expoentes. [( + 2)12 = ( + 2)3 x 2 = (+2)6 = 26 -

Potencia corn expoente zero, e base nao-nula: é sempre igual a 1.

(+1:14 - (+1:13 = (+1 3)

9° = 1

[(_5)14 =

14. Corn

base nas propriedades da

(- 5 ) 8

potenciagdo, resolva. a) (-5) 2 • (-5)3 =

kl (471512 =

(-51 5 (+71 1 °

hl (-413 • I-41 • (-414 =

(-4)

h ft-4121x = (-41 2x

_110

••• •• ••• ••• ••e ••• •• •• •• •• • II I I

5 [5x2Y] =

Potencia de urn produto

• x' • y5

9,o Para efetuar a potencia de urn produto, basta elevar cada fator ao expoente do produto. Exemplos: (+3)] 2 =

a) [(-2) = [( -2 ) = (-2) 2

• •

(+3 )] (+3) 2

[(-2)

(+3)] =

16. Resolva as expressOes. m (-3r

b) [(-5)

•

= (-5) 3 c) [(-2) 3

(-8)] 3 = •

•

(-8) 3

b) (-3)3

(+3)1 2 =

= R-2 ) 3 E

•

[(+ 3 ) 4] 2 = ( -2 ) 6

-27 ( + 3)8 •

c) (+3)2 • (+3) =

15. Desenvolva as potOncias. )

[(+5 (+

)

•

( 2)

]5 =

(+3) 3

= 27

d) e_Fiy (-S)2 =

5)5 • (- r (-8) 2 =

bl f(---1) • 16)1:7_ =

e) (+2)6 ÷ (+2)3 = (+ 2)3 =

(--2) 7 • (-6) 7

1(-2)12 = ) [(2)3 • (+3)1 2 =

• •

• • 41, • • • S

(-2) 4 = 16

(-2) 6 • (+3) 8

a) d) 11+41 • (-5) 313 =

[(2)2 . (+2) 4 • (+3) 2 =

4413 . (_5)9 / -1

1-11 (-15)2 = 255

) [(-2a3f_= (-2) 2 • a'

i) (4-1R12 = 256

16 • 9 = 144

1) (-12)2 =

36 =

cl)

169

• SO

e) V-64 =

nao

k) ( 2) ( 2)2 = -

f) —181 =

—9

( 2) , = 64 -

nao existe

(3a2)3 = 27a 6

18._Resoiva ou simplifique as expresstie&

)

A.)

43 - 34 =

•

• •

•

gat 1s

h) 7°— 1

n) (— 5) 3 2±5)—= ( - 5)

- 8.1 —17

1 —1 =0

= 7F

9. Raiz quadrada de um numero inteiro

• (24 —3 — 2 = —5

e) a5 a5 =

Raiz quadrada de numeros inteiros positivos

Ain = V(±5)2 = 1±51 = 5 f) (3a2b2)2 =

Assim, Ain = 5, pois 5 2 = 5 x 5 = 25

•

9a4b2

WPM

Atencao!

Nao ha raiz quadrada de numeros inteiros negativos, pois nao existe urn numero inteiro que, multiplicado por ele mesmo, resulte urn numero negativo.

_x_ • x =

• (-9)3 — 9 =

17. Determine as raizes quadradas dos ros inteiros a seguir. = b ) —J4=

-13_7E3 = -5

(-1)4

V8T

1 — 9 = —8

+ 1/64. = —2

•

—7 + = 1

•• ••

•• •• •• •• •• ••

•• •• •• •• • ••

0 CAPITULO 3 - NOMEROS RACIONAIS 0

1. 0 conjunto dos mimeros racionait 0 conjunto dos numeros inteiros Z e formado pelo conjunto dos numeros naturais N e seus simetricos (opostos), como mostra a reta nunnerica.

I I I I I - 5 -4 -3 -2 -1

I 0

I 1

I 2

I 3

I 4

I 5

Entre dois numeros inteiros existem infinitos outros numeros. Exemplos: entre o numero 0 e o 1 existe a fracao ; entre o 2 e o 3, ha o numero 2,5. 2 0 conjunto dos numeros racionais é formado pelo conjunto dos numeros inteiros e os numeros que podem ser representados como o quociente de dois numeros inteiros (corn divisor diferente de zero), como mostra a reta numerica.

- 5 -4 -3 -2 -1 5 2

I 1

1 2

r I 3 4 —3,1

I 5

Adicao e subtr as corn fracties Na adicao e subtracao de numeros fracionarios, procedemos da seguinte maneira: • se as fracoes tiverem denominadores iguais, adicionamos ou subtraimos os numeradores e conservamos o denominador comum. • se as fracoes tiverem denominadores diferentes, reduzimos as fracoes ao mesmo denominador e efetuamos as operacoes. Exempla: 1 35 -F 2-6 1 6

1 3 5 + = 4 2 12 2 - 9 + 30 12

9 30 + = 12 12

23 12

Atencao: o denominador comum 12 é o mmc (6, 4, 2).

3 + 2 + 8 = -3 + 2 + 8 5 5 5 5

** m e m o

1. Efetue as adicaes e simplifique o

7 5

resultado quando possivel

5 ± 7 = 5 + 7 _ 12 _ 4 3 3 3 3

4 5

1 ± 2 _ 5 5 -

2. Efetue as adic:Oes e,sempre qua possivel, simplifique o resultado.

1 6

7 = 6

3 6

1 2

2 3

2 6

-8

3+ 4

7 12

-4 + 1 - 7

10 ,-1 10

•• S

4 3

8 5

1 3

2 = 4 -1 3 3

1 = 8 5

10 5

2 7

17 7

1 3

10 + 1 5 =

1 + 2 - 17 7

3 5

2 3

18-20- 15 30

6 5

1+ 3 = 12 - 1 + 3 _ 14 _ 10 10 10 10

••

1 5

-14 7

_2 2

1 2

17 30

ci)

9-16 __19 12 12

•S ••

•• ••• ••• •• • •• •• •• ••• ••0 •••$ 0••••• ••••••••••

4 3

1 5

19 35

0,1

b) 1,4 - 1,3

2 = 140 + 21 + 30 105 7

191 105

c) 3,8 - 1,5 - 0,2 = 2,3 - 1,5 0,2 2 1 2,3

2,1

1 ± 2 + 1 _ 6+02 3 4

1 2

7 6

17 12

9-6-14 = 12

11 12

3. Adicao e subtracao de m:irneros decimais

d) 0,05 + 1,25 = 1,255 0,005 -125 1,255

e) 5,025 + 0,004

5,029

0,U 04

5 Q29

ego Na adicao e subtracao de numeros decimais, colocamos virgula sob virgula e efetuamos as operacoes. Exemplo: Vamos determinar o valor de 0,25 + 0,36 + 1,05 - 0,2.

0,25 0,36 + 1,05 1,66

1,66 - 0,2 1,46

3. Efetue as adigoes e simplifique o rest iltado quando possfvet a) 0,5 + 1,3 = 05 + 13 18 ,

1,8

±)__2,56 - 1,05 - 0,09 = 1 ,51 2,.36 1.51

1.42

1,42

4. Multiplicagao e divisao de fracties Para o conjunto dos nUmeros racionais valem as propriedades da multiplicacao e divisao dos nameros inteiros. Exemplos:

a)J.— 3

•

(- 1

b) 3

(-1) 3 5 3 (:)

3 )2

(-1) 4

3 20

(-3) 5

6 15

•

4 15

•

3 = — 4

r 1 \

(-5) 2

•

15 8

4. Observe o quadro dos sinais e, em

5. Calcule o resultado das expressOes e

seguida, calcule o resultado das

sempre que passive! simplifique-o.

expressoes simplificando-as sempre que

2 ( 3 3•

passive!.

5) 5

•

2 1_ 3 5

1 2

7\ 4,

(-1) -1 2.5

(-4) 7

—1

•

(-3) 5 8

4 21

•• •• •• •

•• •• •• •• •

••

Quadro de sinais multiplicacao/divisao

•• •• •• •

•

•• •• •

•• •• •• •

•• •• ••

•

48 9

• (-1) • (-2) 3•4•5 • 6

420

140

•

(-3)

• (-7) • ( ) • 3•1

112 9

5. Multiplicacao e nufrieros decimals

151,6789

Na multiplicacao de numeros decimais adotamos o seguinte procedimento: ignoramos as virgulas e efetuamos a operacao. 0 resultado tera a quantidade total de casas decimais dos fatores. Exemplo: Vamos efetuar 1,25 1,25

x 3,84

82,3_ 5529 3686 14744 151,6_7_89_

3,84

2 casas decimais 4 casas

c) 0,9 ÷ 0,03

[6,0-3

2 casas decimais decimais

—90 30 0.

5 00 1000 375

4,8000

4 casas decimais

Reposta: 4,8

d) 0,036 0,012 =

Exemplo: Vamos efetuar a divisao 0,60 ÷ 0,02.

0;0361 0,012 —36 3 0

0,60 0,02 — 60 30 00

6. Desenvolva as operacoes seguintes.

e) 0,12 x 5 =

13,12 x5

a) 12,2 x 4,$3_=

12,2 4,83 366_ 97_6

f) 2,8 ÷ 0,2=

5B,926 —28 14 0

corn

18,005

d) 25,005 - 7 =

numeros radon=

25,005

7. Observe_o exempt° e resolva as

-7 18,005

expressbes.

) (_ -21

2,73 0,2_ + 2 53 2,73

0,3

1 2 =-3-3

•• • s

+ 1

4 -45 + 20 60

ID 111

•

31 )±(

( 4) (

- 0,1

1 2

- 24

0,2

•

1 4

140

21 + 24 84

•

• S

_0,03 + 0,5_=

2 3

43 60

49 60

5 3

2 = 3

(

143 84

+ +

2 3

20 30

2 -

13 30

0,53

0,03 n rn

-1

30 + 12 60

-18

1 2

-45

b) ( 35 \ - i+ 1 \+/+ 2 )\ 7 4 ) ) 3

21 ) (+ 51 )

)

(-1) • (

2' • 2 • 2

( 1 ) 2)

2) ( 1 \ 3/ k. 5)

(

3 3 2 5 5 5 4 15

-1 • (-2) • (-2) 3 5•1

1 21

1 2

3 5

3 12 + 15 6 + 50 25 10

3 •1 2 -+ 5 •2 5

•

27 50

0,09

k) 0,3 x 0, = 02

c) 21

x 0,3

61 )

n ng 2

2 3

0,40

I) 0,5 x 0,8 = 0.5

I). _ 1 .2 6 _7. 3_ _ _ _z • 0

-1

1 12

3 7

/1 4

„3-° 1 ., 4

0,8

ma. 1,8

m) 0,18 x 2 x 5= =_0,18x10=18

—

Exemplo: 1 ) 3 ( 2 + 5 7 4 ) =

( 2 ) 7 )

6 35

3 20

140

4 • (-6) + 7 (-3) 140 5 9 = 28 5

—

1 14

3 28

•

1 7

2 42 + 10 _52 7 35 35

15 21 = 15

1 _371 1—a-3 4 7 • ,V3 28 1 28

2•1 •7

=9 10

•

• •• S

= _1 + 7 = -5 + 14

2 5

1 2

•

= _7, 1 + 7 . 3 =

5 + 7) 2 1

•

( •

X14 15,

8. Ffetue as operacaes. a) 2 ( 3

3 7

3 5

-24-21

•

1\ 6/

O-

• ••

•

7. Potenciacio de numeros facionais Valero as mesmas regras da potenciacao de nilmeros inteiros. • Base positiva ---> potencia positiva

••

• Base negativa e expoente par -) potencia positiva • Base negativa e expoente impar -> potencia negativa a)( -3 ) 2 = ( -3 )

••

•

f)(_ 1 V = 8)

( -3 ) = 9

3 5

9 25

g)(_ 32 )

2 3

h) (0,5) 2 = 0,25 d)(

3 5 ) =

) 2= (- 35 )

9 25

i) (0,3) 2 = 0,9

9 25

j) (0,0 3) 2 = 0,0009 e)(

k) (1,5) 3 = 3,375

9. Calcule as seguintes potencies. 2

•

•• • S S

•

16 25

1 2 2 2

(

4 \2

2 3

2 2-

c) 0,72 = 0,7 = 0,49

\ 3/ \

ri) 0,92 = 0,9 x 0,9 =0,B1

•

e) 1,22 = t2 x 1,2 = 1,44

q) 3 4) (

3 4)

Q,23

02h

9 16

__ _ . .. _

3 4

7 \

3 4

_ 9

1 )3 4

_ _ k)

__s) (251,2514)°_ =

3 \ =

(---1) +) (- 1

04)

3 4 4

9 16

( 1 1a

Er= 3 3 3

27 -8-

1 2)

(7)3

111) 2/ 2)

= (-7) • (-7) • '(-7) =

343

( .,_, \

(

7 =1

_____ _ ... 4 y_ _.. __ 4

10)_(=floV =

)

12 )'=. 5

2 -2

Potencias corn expoentes negatives

3 \ 2 32

)

\2/

Sabemos que 8 5 ÷ 87 = 85-7= 8-2 .

• S

Representando essa operacao por meio de fracoes: 85 = 87

= •

,V•g:r • ,V• ,8'• 8

•

- ( 5\3 =53 =125 \1

;

1 82

Assim: 8-2 = 1 82

Qualquer niimero nao nulo elevado a um expoente inteiro negativo é igual ao inverso desse nitmero elevado ao oposto do expoente. Exemplos: 1 . • 5-3 = — 53

• ( 1 ) -4 = 21 2

g ) 4-1 = 1

1 125 =

• ( 2 ) -3 _ ( 3 ) 3 = 3 3 = 27 \2) 3) 23 8

7-1 =

=__

• ( 0,5 )_2 = 1 2 0,5

•

0,25

1= 1 0,3 3 0,027

• (0,3) 3 -

i) (0 , 2)-2 =

1 0,22

1 0,4

10. Calcule as potancias

a) 3- = 1

j) (n,5)- =

32 9

053

0.125

1,2'

1,44

S S

•

jp) 5_2 = 1 52 25

S o •

S S S

0) 7 2 = 1 = 1 72 49

1441,47-?-=-

X0,9)-1 =

1 = 1 0,9 0 91

RativrwaiihriaraLikufn_ __

_g)

ji â&#x20AC;&#x201D; 2 5

25 â&#x2013; 125

numero racional

100

JOU

1 10

Exennplos: a) Vamos determinar o valor de \

9 4

i) _ 11 1 64

9 = V14 = 3 V4 24 Aplicamos a raiz quadrada no numerador e no denominador da fracao. b) Vamos determinar o oposto de \ 9=_ 4

9 4 .

_3 2

V.64

9 169

lig

3 13

k) V0,25 = 0,5

I) V0,49 =07

c)V0,09 = 0,3 d)V0,0144 = 0,12

111.

n) Nia,01.69A = ,13

Determine_d_vator das ralzes seguintes.

4_ 9

9-28 12

4 Ei 5 ,/25 25 =

Upressiies numericas com mimeros racionais

19 12

S • •

• •

Iv-

4 3

j) (564,1258)° =

1 ■ 4 2 L 2'• 5 3 •,2',2.

k) 1 22

= 4 _2 1 = 4 _ 2 = 12 - 10 = 2

= 144

•

3•1

•

••

13. Calcule o valor das expresseies,

•

simplificando-o sempre clue passive'.

•

••

-7+3 42

A,s2

2 21

2•7

=3+

X 2

3 +22 =a+_4=7

1125

1)--8)

•

-1 2•3

-V36

V25 1' 1

f) 1 2\ =

6 5

v7)

•

23 = g) (0

+ 1,5)

1,3 = ,7 x 1,3 = 2,21 =4 8=32

••

h) (2,6 — 1,5)

1,8 = ,1 x1,8=1,98

3 1+ 9 -2 =

0 3-2 +2-1

1 1 1 3 2-+ 2 1+ 3 1 + 2 2

, 1

•

• • S

i) (5.8_+_2.8)°

18= 1

x 1 8=1 8

4+18+12+ 36

43 36

e) (0,056)° + 2,8 =

\-1

k) ( 1 \-2 _ 2

•• • e• • •

1 -2 3

‘2

(2 1 )2 \ =4+9+9-16_

= 22 + 3 ± 32_

-f)-(1,2)-7-÷. 2...= =

1 1,22

2_ 1 : 2 = 1 x1 _1 1 44 1,44 2 2,88

(3 ' 1 4 2/ \5 7/ 9 1 9 4 5 + 4' 9. 1 9 4 5 X-7

I 1

-TA

(

7) 9 20

9 7

63 -180 140

117 140

g) (0,3)-3 x 2,8 = 1 x_24_ 1 x 2 , 8 _ 2,8 0,33 0,027 0,027

I 1 .4_ V9 3 3

2 3

9 32

27 16

54 32 -

45 32

•e_ ••• • S 0_ 0-

11E nl

x 0.2 = 0.5 x 0.2 = 0.1

_411_ 0-

_3 5 5

VT4T4 x0.23 2 x 0.04 = 0 048

0_ 0-

16 J64 25 \ 49

j) 1

/621

Arig

V25

VAT

p) (0,8 - 0,3) 1 x V0,25 = 0,5 x 0,5 = 0,25 _

8 5

4 7

36 35

•• •• S

0 0

• 41.

CAPiTULO 4 - EOUAPOES ALGEBRICAS x +F3 = 10 k=10-8 x= 2

cto Sentencas que exprimem uma igualdade entre expressoes maternaticas sac chamadas de equacoes.

g) x + 3 = 10

x_=10 x =7

x — 4 = 12

•

membro a) x — 4 = 12

membro

h) x - 3 = -1 =

-E

x= 2

x = 12 + 4 x = 16 --> S = {16}

Observe os exemplos e resolva b) x + 5 = 3

equagbes.

x=3—5

5x = 30

x = —2 --> S = {-2}

S S

30 X = — 5 x=6

1. Resolva as equagbes. a) x - 2 = 10 x = 1 (1+9

a) 2x = -

—8

x = 12

x_= —4_

•

b) x

—

5 = 15

x=5+15

b) 3y = 18

18 3

c) 2x

• S S S

•

= 0_ 0

2 x=8-4 x= 4_

-3x_=__6 x+3=1

—3 x = —2

-6x = -12 x = -12 -6 x-2

e) 2x+4=6 2x = 6 4 2x =2 2

x = 3 • (-3) x = -9

••

x= 1

3 2

ril Y

3 x=

-16

2y = 3 • 3 2y = 9

4 x = -4

g) -2Y= 0 Y=

-2

y=0

h) 3y + 1 =10 3y = 10 3Y = 9 9 Y= 3 v=3

x 7 3

•

x = 21

f) Y = 8 4 = 4 v = 32

F--

•

3. Observe os exemplos e resolva as_ equacaes. x =5 2 x=2•5 x = 10

2 3 5 5x = 3 • (-2)

g) x = 1 2 3 3x = 2 1 3x = 2 .

5x = - 6 3

x=6 5

•

Y = 1 5 3

-1111-

ay = 5 ..1 _ay_= _5_

Y _-1 2

5 3

x = 2 -4-1) x = -2

••

0 So

• - .-lis

•

iesolva as

e) 7x + 5 =_68=2x_ 7x + ?x 68 9x = 63

equagnes.

• •

63 9

5x - 4 = 8 + 2x

5 • (2x +3) = 24 + x

5x - 2x = 8 + 4 3x = 12 x= 12 3 x= 4

10x + 15 = 24 +-X 10x - x = 24 - 15 9x = 9 9 x= 9 x= 1

3x = 2x + 29 -

- 3x- 2x = 29 - 5x = 15

x + 9 = 18 x 8= 9

-0--0

8x 2x = 11 +9 6x = 20 -

b) x - 1 = - 8 x=

8 +1

X-

10 - 3

c) 3y _8 = 13 -

aY=13 + 8 3Y__= 21

-0 y

21 = 3

h) 10 - 4x = 9 -2x - 4x + - 10 - 2x = -1

• -0

d) 12x - 10 = 5x + 11

1 2

1.2x 5x_=. 11 + 7x = 21 -

• S

21 7 x=3

A 2 . (7x + 2)± 12 • (x..+ I) =2 14x +_4__+ 12x_+_12 = a 14X_±..12X= 2 4 12 26x = -1_4_ -

142 262

7 13

2 • (x -

p) a - 3a__+ 5a = 12

a=4

-2 x=

q) 3•(x-1)=6

k) 4 (x

—

(3x + 4) = 6

—2

6 4x — 6x = fi +_4± 8_ 2x = 1. 8 -

3x-3= 6 3x=6 + 3 3x =9 9

3 x=

x 3

—2

x = —9

r) 2 (x + 5) = -4 I) 3 • (2x 5) = 6x — = 2x —

—

6x + 2x = 9 + 15 ___8x_= 24 24 8 x =3

—14 2 x = —7 x—

s) 3 • (2y

m) y+4=-15

5) = 9 =9

—

y19

Y-

n) 3x + 9 = 1 2 3x = 12 — 9

6 y=4

•

3 3

t) 5 • (y - 3) = 2y + 3

x=1

`- 3

5y — 2y = 3 + 15 3y =18

o) 10 - 4x = _9 + 2x

- - 6x = -1 x

2x = 9

-1

-6

Y 3 x

1111r

3x=

- 4x

•

2x + 10 = —4 2x = —4 — 10 2x = —14

y=6

S u.)..=8 • (x - 1)_ = -16 S.

Exemplo 2: 3x-5 _ - 2 _ 7 2 - 5 m.m.c. (2, 5) = 10

__-8x + 8 = _ Ax= -16 -.8 x_.= -24

- -x=

-24 -8

5 (3x - 5) - 2 • (x - 2) 1ff

5 • (3x - 5) - 2 • (x - 2) = 70 15x - 25 -2x + 4 = 70 15x - 2x = 70 + 25 - 4 13x = 91 _ 91 x _ 13 x=7

4• 8x- 12 =5x+15

3x =- 27

27 3 =9

)

a _5

3a - 20

ID-

70 -1-0"

Observe os exemplos e resolva as

1)?, 3a 20 = 3a =1 + 20 3a = 21 -

equacaes.

a-= 21

Exemplo 1: x _ 7 x 3 8 = 4 m.m.c. (3, 8, 4) = 24 8x - 21

6x - 24

a=7

" 3 _-1 5 x+3

8x - 21 = 6x - 24 8x - 6x - -24 + 21 2x = -3

-5

x + 3 = -5 x = - 5 -3 x= 8 -

c) y-2_ 3

2 2y - 4 2y

4=3

2y = 7 Y.=

•

d) 27 + _

- 7 I

6z+ 9

5x - 3 3x + 8 6x - 3 4 2 3

\3,

6L+ 9 = 37 + 2 6z - 3z = 2 9 3z = -7 z -7 3 __ 7 3 -

P)_ x + 5 = 8 + 2x 5 (x + 5) , 2 (8 + 2x) 111 5x+ 25 , 16+4x 5x - 4x = 16 - 25 x = -9

+ 2 = 3 +x 2

5x - 5

60 - 2 (5x -5)

15x - 30 =__60=10x_±_10 15x+ 10x= 60 + 10 + 30 25x = 100 100 25

4 28x - (2x -3) _

35 84

12 (x - 8)

2B.x2x___+ 3 = 12x - 96 28x - 2x - 12x = -96 - 3 14x = -99 99 x– 14

-AD—.w-

x + 3 _ 10 '8. '8, x+3=10 x = 10 - 3 x=7

3 (5x -10)

0 -110-

-{) 5x - 10 _ 10 2

4 (6x - 3) + 6x 3 (5x -3) -6 (3x + ) 'h2 'h2 15x -2=18x=48= 24x=12+6x______ 15x 18x=241=6 =L:=12+1+AL_ -33x = 45 :3 _ 15 , 45 :3 -33 11

3z+ 2

•• •

3x+4 = 3+2x

3x - 2x = 3 - 4

x 2

5 =_x_f_ 3 4

2x - 20 _ 4x + 3 \4. 2x - 4x = 3 + 20 -2x = -23 _ 23 -2 _ 23 2

-40-

•

x 2

1 =4 3

3x + 2

—1 (x — 1) , 2x

Ic 3x.= 24 — 2

—x + 1

=2x

3x= 22 22

—1

2-3

— x — Lx '6. —5x = 4 4 —5

4 • (x + 1) 3

3 — 3x "3, 'S. —2 + 2x = 3 — 2x + 3x = 3 + 2 5x = 5

3 • (x 2

8 (x —1) — 9(x — ) _ 3

8x-8-9x+ 9=3 Rx-9x=3 +8-9

-x = 2 x = —2

2 (x - 1) 3

2 1— 3 —2 (1 —

•

110

x — x -1 =x 2 2 x — (x — 1)

2 (x — 2)

x — x + 1 = 2x — 4 x — x — 2x = —4 — 1 —2x = —5

3 (x + 1) 2

— 5

4(x-1) — 9(x+1)

)S. 4x-4=9x+9 4x-9x =9+4 —5x = 13 13

-5 13

6,Besaiva as equacoes. a) 8x - 1 6 = 6x - 1 0 8x-6x=-10+16 2x = 6

• h) 2y+ 5 = 12-y 3y+y=12-5 4y = 7

g) 3x _ 5 _ x 3 7 7 -

7 4

3x —35 _— 7x — 3 `7\ 3x —/x = —3 + 35 9x = 32 32 x=

c) 9x - 92 = 7x - 5

—4

2x — 7x = — 5 +22 —5y = 17

17 —5

—8

14 x -10 - 2x - 3x ±_6 6 3

17 5

x —42

60 —4x — 1 8x + 36

x + 4x + 18x = 60 + 36 + 42 23x=138 x-- 1 38 23 x=6

ri) 12x - ex + 5) = 10 12x — 2x — = 10 12x — 2x = 10 + 5

0x =. 15 X

= a5

0 3 2

x-1 3 4 (x — 1)

3x — 1

4x — 4 = 3x — 1 4x — 3x = —1 + 4 x=3

5 - 3 - (a - 4) = 29 5 — 3a + 12 = 29 32 = 29 5 —12

=3,a =12 12 e=-—3 a = —4

f) 13 . (x -_-_1.). -_4_=-- 6x - 17 13x-13-4=6x-17 13x=6x-17 +13 +4 7x = 0

—IV 0 --AD0

•a

0—

—

3x + 7 3

5x + 1 17 _ 3x 2 6

2 (3x + 7) — (5x + 1) 51 —18x '6, '6, 6x + 14 — 5x=.1 =_51=18x. ____..._ 6x —5x+ 18x = 51 —14+1 19x = 38

38 X._7

_x 1 4 12

0 0

0 di lb—IV ID

•

a+3 2

4 1 4-3a _o 5 3

15 (a + 3) - 24 + 10 (4 - 3a) =

4Ib

15a + 45

- 24 + 40 -30a =

-15a = -61 61

-4 5 4

3) -4 . (5 -_2y)_ =

5y-15-20+8y=3 5y + By = 3 +_1_5_+ 20 _13y = 38_

• •• • • •

)

410-

6x 2 3 (6x

- 30 = 5

18x

'3. '3. 18x - 30 = 18x +_.3f1 18x = 35

5+2x_o 3

A-

- 7) - 2 (5 + 2x)

35 18

- = 18x-21 18x - 4x =21 + 1G. x+(x+8)=10

.14x= 31 =

-41/k

111,

q) 6x - 1 0 = 5 3

38 13

011-

x+x_+8 = 10 2x = 10 - 8 2x 2

31 14

x 2x - 3 x - 8 4 4 5

2 2

X_=

5 (x - 8)

4 (3 - x) + 5 (2x - 3)

x + 3 =8 3 5

41+.1.0x. 15 =5x 40_ -4x + 10x - 5x = -40 - 1 2 + 15 12

- A 120 5x 4 9 = 120. 5x = 12O=9_ 5x = 111 -

111-

o) 3x - 2 (x - 1) = 1 a 3x =0 _3x7_2x._=_14 2 _ -

••

- 4x)

8I+ = 12 ___8x__12x_:= 12 - 8=2 -4x = -5

.., _ -61

3 - 4x) = 1 4

8 (x + 1) + 3 (3

i5a 3Oa --45 ±24 - 40_ 0 0

(x + 1) + 3

111 5

• sp

2. Equagao deVIrau

d) 10 + ex=50 .8x =_50 - 10 _8x , 40 40 x. 8 x=5

Chamamos de incognita o valor desconhecido da equacao, em geral representado por uma tetra.

1111

Chamamos de raiz da equacao o valor numeric° da incognita que torna a equacao verdadeira, ou seja, a sua solucao.

4x+8=24

Exemplos:

4x= 116 x= 4 x=4

a) x + 3 = 5 x = 5 -3

x=2

x é a incognita dessa equacao. A raiz dessa equacao é 2.

_1). 4-12 = b) 3a + 10 = 25

y_= .8_+ 12 y = 20_

3a = 25 - 10 3a = 15 a= 15 >a=5 3 a 6 a incognita dessa equacao.

A raiz dessa equacao é 5. E, ..10000 "

7. Rao,olva as aqi 'Vie&

3k - 2 = 25 3k = 25 + 2 3k. 27 27 k= 3 k=9

a) 2x -4 = 8 2x= 8 + 4

h) 3x+8—x=10

2x=12

A+8.10

h) 5a + 5 = 20 52=20-5 5a . 15

3a - 12 +a= 12

15 5 a=3

c) m+8=10 10 m =2

2x = 10 2x = 2 2 2 x =1

12 4a . 12 + 12 4a = 24 24 a= 4 a= 6

li-

411Ir

a S

•

4111

110-

II) 41b 410_

•• •• lb

3. Probiemas corn equagoes de 1°- grau

•

11. Dimintlindo 23 de turn numero, n rest iltado 6 40 alai 6 esse ntimero?

x 23 = 40

x = 40 + 22 —4 x = 63

Um numero mais 8 unidades é igual a 20 unidades. Qual é esse numero?

Resposta . 0 numero e 63

Resolucao

I I -

Na linguagem matematica, em forma de equacao: x + 8 = 20

—

Resolvendo a equacao:

0 dobro de um numero menos o propdo numero é igual a 5. Qual é esse numero?

x + 8 = 20

Resolucao

x = 20 - 8 -p x = 12

Na linguagem matematica, em forma de equacao: 2x - x = 5

0 numero é 12.

2x - x = 5

1 Jsando ling ragem matematica, resolva S 0 os problemas.

•

8. llm numero adininnado a 20 é igual a 37. QualkessenumeraT x + 20 = 37 x = 37 20 --> x —

—

Etesposta: 0 numero 6 17

—> x = 5

Resposta: 0 numero procurado é 5.

12. C) dobro de urn numero mais 0 proprio numero e igual a 24. Qual 6 esse

numera9_ 2x + x = 24 x= 2x = 24 Resposta . 0 numero a 8

13. 0 triplo de urn numero mais o seu 9. Subtraindo 32 de urn numero, o d•

••- • . . I

resulted° 6 18 0 la' 6 esse Mmero 9

•

. -- -

numero? x 32 = 18 x = 18 + 32 x = 50 Respostamero A 50 —

'Ix + 2x = 20 5x = 20 x=

Resposta . 0 numero 6 4.

10. Qual A o numero clue aumentado em

14. C) dohro de tim Mr-nem mais 10 6 igual

15 reslilta 29?

a 20 ()Hal 6 esse numero? x + 15 = 29 x=29-15

x=14

Resposta: 0 numero é 14.

2x + 10 = 20 2x = 20 10 = 10 ---> x = 5

Resposta: 0 numero é 5.

I••

menos 18 resulta nele proprio.

17. Determine tres numeros naturais consecutivos, sabendo que sua soma é 24.

__3x = 3x x = 18 2x = 18 --> x = 9

_1 9_ribrnero = x Tres °boleros consacutivos_ 1 2ntimero = x + 1 3L-Lmkoero =I x i x ±. 1 + x +.___2 = 24_ x±xt x= 24 — 1 —2 3x = 21 2 x_ 1 3 1 (-)._nboaero = _7_ 2_) minim = 7± 1 = 8 (i_niiimer_o_ 7 + 2 = ,

Resnasta,D .numero 6

Resolucao A soma de dois numeros naturais consecutivos é 39. Qual é esse numero?

Resposta: Os nbmeros sao 7, 8 a .9 Numeros consecutivos 11Q numero = x 2Q numero = x + 1 1 numero numero

Exemplos:

"T"T x 1= 39 x + x = 39 - 1 2x = 38 —> x = x + 1 = 20

38 2

x = 19

a) Divida 48 em duas partes, de modo que uma tenha 8 unidades a mais do que a outra. Resolucao

Resposta: Os numeros sac) 19 e 20.

16. Determine dois numeros naturais consecutivos, sabendo que sua soma e_ 25. flumems..consecutios..1 ..11nbrnem =_.x. 2, _nbmaro =_.x_+_. 1. I ngo . x +_x__+ 1 = 25 2x = 25 — 1 x _ 24 2x_=_2 2 x=12

x+1 =13

Respostal Ds_nbmaos sal 12 e_13

{ 1 , parte = x

2, parte = x + 8 x + x + 8 = 48 x + x = 48 - 8 2x = 40 —> x = 40 x = 20 2 x + 8 = 28 Resposta: As partes sao 20 e 28. b) 0 quociente de urn numero dividido por 7 é 6, e o resto, 3. Determine esse numero. Resolugao xl 7 36 dividendo = quociente x divisor + resto x 7 x= 6 + 3 x= x=

42 45

Resposta: 0 numero procurado é 45.

•• •• ••••• •• • •• •••• • •••• • • • ••• •• ••• •• • •• ••• 1

15. Determine urn numero cujo triplo

• • fra

18. Divida

104 em dual partes, de modo

20. C) quociente de um ntimero dividido

e 3, e o recto A 5. Dial A else

que Lima tenha 4 unidades a mail do

por 8

que _a outra.

nCirnero? X 8 53

Ingo: _x+ =_104 2x = 11)4-4 2x = 100

a •

x=8 3 + 5 + 5_

Respnsta• 0 rilimero e 29

100

▪ 2 x = 50 x+ 4 = 50 + 4 = 54

21. Qual é o. nOmero clue multiplicado por .4

Respnsta• Os numerns sn'o_50

•

e subtraido de 5 resulta errLat?_

•

4 • x 5 = 31 4x=31+5 4x = 3_6 —

•

fib

•

••

36 4

de modo aue umastelassiontenhal 40

•

a •

Distribua 580 laranfas_ern dual caixas,

laranjas a menos do que a outra.

RespostaL0 numero é 9

caixa_ =_x_-- --.___

1 2caixa =x-140 a9 A 22„unnUmeraacoonacio

I ago .

14.0 7- 580

_ .

igual a

21. Qi e_esse nOmero?

2x = 720

•

720 2 x = 360 X 140 = 360 —140 = 220

II II

Respostal Uma_casixa.de.va_ter_3601aranialeanutra, 220 laranjas

III 0

a • • a a

x+9=21 x-21 9 _____x . 12

Resposta: 0.niimero e .12

23. Subtraindo12thum nUmero resulta 18 ()Hal é esse ntimero9 x 12 =18 x = 18 + 12 x

de_dois nOmeros naturals impares consecutivos_e_32_Quais sao esses numeros? DoianiimeroLimpares

I' se .• I l'ie•

•

24. 0 dohro claumnilmero_mais3 é 'gin! a_ Qual é esse nUmero?

consecutivos x+x+ 2= 32 2x=32-2 x =

30 2

x__= 15

2x + 3 = 17 2x — 17 —1 2x = 14 14

nOmero =x ._22 °Omer° = x + 2

rithero =15 22 nilmem = 15 + 2 = 17

Resposta•fls nnmeros sao 15 e 17.

2 x =2_

27. A soma das idades de urn pai e de

Resposta: 0 nnmero e 7.

seu filho A 55 anos. Determine esses

25. A soma de dois ntimeros naturals

idades, sabendo que a do pai P o quadruplo da do filho.

consecutivos é 41. Quaffs sac) esses ntimems9 Dois nurneros consecutivos 1 2 numero = x 22 fluffier° = x + 1 x+x+1= 41 2x = 41 —1 2x = 40 4 0 2 x = 20

Idades do filho = x do pai = 4x x + 4.x_= 55 5x = 55 55 5 x = 11

idade do Mho = 11 anos idacie do pai = 4 11 = 44 anos

Respt o As idades sao L1_anos e 44 anos.

0 2g- nilmero = 20 + 1 = 21

Resposta: Os nilmeros sao 20 e 21.

a a e a

•

e•

0• •• • • ••• 111•• •• •O • • •

'Vida 100 em dins partes, de mod()

30. nistrihila 40 hales entre trAsmeninos.

que ilma tenha 14 t unidades a mais do

de modo que o segi Ind° reneha 8

que aDutra

balas_amenos que o primeiro e o

a_parte = x

terceiro,_3_balas amais que o primpim.

patle = x + 14

1 2 menino: x 22 menino: x menino . x + 3

x+x+ 14=100

—

4_ 2x = 86

x+x-2 +x+ 3=40 x + x + x = 40 + 8 —1

3x = 45

2 1 2 parte = 22 parte = 43 + 14 = 57

= 43

x = 15

sta: As panes s'ao 43 e 57 1 2. menino . 15 halas 22 menino: 15 8 = 7 halas 32 menino: 15 + 3 =18 halas —

ida

taaem di ias partes, de modo_

due uma seja o dobro da outra,

...

31. Urn numero_excede a outro em 5

= 180 - 1 2_31artez__) 2!_part x

unidades, e a soma deles é 25. Quais sao ASSAS nOmeros9

180 3

I II

22: x +

1 a parte = 60 a

—

2 . 60 = 120

x+x+ 5=25 2x= 25 —5 2x = 20 x

—

2 0 2

x = 10

1 2 ntimero• 10

22 mirnerm_10_+__5 =15 8espostaLOs_nimieros_sda_15__e 10 _

a 12. Determine umnumero que somata a sua metade é igual a 12 x+ x

2x + x

35. A area de_urnretangulo 6 de 40 cm2.. Determine sua altura, sabendo que a

basarnieth,arm_

SugestaoLarea = base x.altura.

40 = 5 x

dir

-40 x= 5

x=R

Resposta: 0 rulmero é 8 Resposta: A altura e 8 cm.

33. Urn n

merd_excede a outro em

16-1,4uftiplicitlei urn nOmero por 3 e stibtraf unidades, e_a_soma_deles

25. Quais 4. Deu 20. Qual

41)

é esse nOmero?

sao esses numeros? 3x-4 = nrimeros

1 4: x 2°:x+5

x= x + 5 = 25 2x = 25 - 5 2x = 20 20 x=

3x = 20 + 4 3x = 24 24

x=_$____ x = 10

Resposta• 0 nthero et 8 .

ru'imero: 1a riumaroLl 0_+ 5 = 15_

37. 0 dobro de um nUrnero menos os seus trPS

Resposta . Os rilimeros sao 15 e 10.

it a0-

tos 6 igual a 7. Qual a esse

n6mero?

34. 0 rit toniente de urn ntimero dividido por 4a e o resto,_3. Determine nilmera x4 35 x=4.5+3 x = 20 + 3 x = 23 spogaLc) nijmero A 23

PSSA

2x- 3 x = 7 5

10x - 3x = 35 N5, '5, 7x = 35 35 7 x =5 Resposta: 0 n6mero A 5

a a aa a

111

•

somasle dois_numeros_ 24. 0 menor é a terra parte do maior Dials

sao esses numer_os2

x ±2L.-24 3 3x + x 72 ‘3. 4x = 72 x

_ 72 —

-->

x = 18

ni)rnero major...AL _fluille10.

m.enor: 18 3

Resposta• Os rulmeros sae 6 e 18

39. Urn numero é triplo do outro e a soma entre des P PO. Determine esses

•• • •

ntimeros. x + 3x = 2_ 4x = 20 20 x= 4

lo nrimprn• x = 5

_antintemaL]La3-5=15 Rpsnnsta . Os ntimerns san 9 e 15

[00 0

CAPiTULO 5 - INEQUAcOES

Mill • qua* Inequacao a uma sentenca aberta que exprime uma desigualdade entre expressoes. Exemplos: • x > 5 (16-se: x maior que cinco) • x - 3 < 7 (le-se: x menos tres menor que sete) • x 2 (re-se: x maior ou igual a dois) • x 6 (16-se: x menor ou igual a seis)

2. Resolugao de uma tnequagao de l gran eee Chamamos de U (conjunto universo) o conjunto de todos os valores que a incognita pode assumir. Chamamos de S (conjunto-solucao) o conjunto dos valores de U que satisfazem a inequacao. Exemplo: Vamos determinar o conjunto-solucao das inequacoes nos seguintes casos. a) U=N

b) U = Z

x-4>3

2x - 3 > 5 + x

x>3+4

2x - x > 5 + 3

x>7

x>8

S= {x ENIx> 7}

S= {x EZIx> 8}

c) U = R 2x - 5 < 5x + 7 2x - 5x < 7 + 5 -3x < 12 Quando o coeficiente da incognita a negativo, multipticamos ambos os membros por -1 e invertemos o sentido da desigualdade. -3x < 12

(Multiplicamos os dois membros por -1...)

(...e invertemos o sinal da desigualdade.) 3x > -12 12 x>-— 1 ---> x > -4 S = {x -E R I x > -4}

Atencio! No item c, se o conjunto U fosse o conjunto N, o conjunto-solucao seria S = {x E N / x > 0} pois -4 nao pertence a N.

• •• •• •• •• • •• •• •• •• •• •• •• • •• •• •• • •

terming, n conjunto solugAo das

Px > 10

inequagbes.__ Sendo U = N, determine o conjunto

verdade das inequagoes.

S=fx

N I x 5)

S=tx F NIx <7)

3x -4.. S= tx E N I x>

h) 2x+ 1.2 < 30 2x< 30 -V 2x_<...1-8

s=txeNix<9)

1,1_ 5x

2. Dado U = Z, determine o

5x 2x_L=12Âą-9_ -

conjunto

solugao das inequagbes

2x .9> 17 -

2x> 17+9

2x_>_2E x->

3 > 11x + 5

26 2

c) 5x - 8 < 12

â&#x20AC;˘

•

e) 6x + 30_s_x - 5 30 _ _ _

3 • (x.+144x=11___

_ 5 --_3x_7_24_< 11_ 7_3x < -11 +24

••

-4x < 8

x_< -7

S = {x E 71_x < -7}

> -8

x > -2

S S

3x > 4 +2

6x L 6

•

x>1

3 • (x

S=fx_EZEx_ 11_

3x 27 +

+ 5 > 24x

31- 2x > -2 + 27

S S

•

x<13-5

4x > -8

x 1 5 3 2 6

_x.> -2

S S

•S S S S

• S

E_Z I x > 7_21_ 2x

5 6

h) 2•(x+8)<18 2x + 16 < 18

2x < 8

x<4 S= jx E Z I x<

1)_

•

5 x -Ak_.-E

4x > -18

0•

18 4

3. Sendo U = Q, determine o

e11-

conjunto

solugdo das inequagaes.

a 4x - 73(x- 4)

itd) 17x_ 2 < 0 3 51x

0 3

2 51 CQIx>

•a

S =(xF0Ix>-4)

• a

•

P) 2x

9 _>_10x_ 3 5 2

12x + 12 3

•

h) 7 • (x

9) + 5

9x) > 4 • (3

7x- 14 + 15 -10x> 12- 4x

7x-10x+ 4x> 12 + 14-15

[x E I x > 11) 80x < -3

3 80

fl •

3 3x - 4 3 2 -

15x

S S

EQI

24 9 6x 24 -

x>_ 33 14

17 9

S- xeOlx> 33 -

g) 2x 5 + x > 3 4 5 3

40x

75 + 60x 36 60 < 60

100x> 111 X>

14x> 33

S S S

9x < 17 17 9

x 1 > 3 3

8x+ 6x> 9 +24

•

)

15x-6x<8+ 9

•S S S

6x + 8 6

111 100

S S-{xEQ1x>

111 100 }

S S S S

S S

•• •• ••

0 0 CAPITULO 6 - SISTEMAS DE EOLJAPOES

0 1-:-Tecnicas operat6rias para reuelio de sistemas o da substituicao o.

Exemplo 1 No sitio de Luzia, ha patos e ovelhas num total de 17 animais. Ao todo sao 48 pes. Quantos patos e quantas ovelhas ha nesse sitio?

Res°lucao

equacao: x + y = 17

1> total de animais > numero de ovelhas numero de patos Na 2a equacao vamos representar quantidade total de pes: dos patos e das ovelhas. equacao: 2x + 4y = 48

S S S

•

1---> total de pes > 4 pes por ovelha

S S

2 pes por pato 0 sistema formado pelas duas equacoes é:

x + y = 17

S S

2x + 4y = 48 No metodo da substituicao, isolamos uma das variaveis em uma das equacoes e substituimos na outra equacao. Vamos isolar x.

S S

x + y = 17

S S S

x = 17 — y

Substituindo esse valor de x na 2a equacao: 2x + 4y = 48

2 (17 — y) + 4y = 48

Desenvolvendo-a, encontramos:

34 — 2y + 4y = 48

S S S S S S

2y = 14 --> y = 7 Substituindo o valor de y na equacao x = 17 — y: x = 17 — y --> x = 17 — 7 --> x = 10 Resposta: No sitio ha 10 ovelhas e 7 patos.

Exempt° 2 Em uma sala de aula havia 40 alunos. Quando 7 meninas sairam, o numero de meninos passou a ser o dobro do numero de meninas. Quantos meninos estavam na sala?

Resolucao Vamos chamar de x a quantidade de meninas e de y a quantidades de meninos. f x + y= 40 y = 2(x — 7) Agora, vamos resolve-lo. Como a incognita y esta isolada na segunda equacao, podemos usar o metodo da substituicao. Temos, entao: x + y = 40 x + 2(x — 7) = 40 x + 2x — 14 = 40 3x = 40 + 14

3x = 54

3x 3

54 3

x = 18 Substituindo esse valor na primeira equacao, temos: 18 + y = 40 y = 40 — 18 y = 22 Logo, havia 22 meninos na sala de aula.

Em urn estacionamento havia carros e motocicletas no total de 44_velculos e 152 rodas. Calcule o numero de carros e de motocicletas estacionados.

Carron x x y = 44 Moths y 4x. + 2y = 152 x + y = 44 { 4x +2y=152

y = 44 —..x

4x + 2y -4 152 4x+ 2 (44 — x) = 152 4x + 88 —2x_=. 152 2x + 88 = 152 2x_= 152 — 88 2x = 64

•

S S S S S S S

Na 1a equacao vamos representar a quantidade de animais: patos e ovelhas.

__1.

S S

64 2

_ x = 32 _

Jouantidade. de _v_einulos). (quantidade de _rodas) Como x + y. _= 44 e x = 32 + y = 44 _ y 44 — 32 __ y_= 12

temos:_

Resposta . 32 carros e_12_ mots

• 2. Resolva Os sistemas_

x - y =_ 2 _

x+y=12 x+y=5 x a) { -

x= 2+y 2 +y+y=12 2y = 10 Y=5 x = 2+ 5 _x = 7

x = 5 - y_ y -y=1 2y = 1 - 5 -2y = -4 Y=2 x=5 -2 -

-4111

•

= (75

S = ((3 ,2))

x+y=9 x-y=3 - y =1 - 1

+y= 9

x=1+y 2y =_8_ y=4 x=1+4

> x=5

=1(5,4)1

x= -y =3 -2y = -2y.= Y---=-3x=9 -3 x=6 S = [(6 ,3))

ADx = 5 - 2y x+3y=10

x+y=6 x=2+ y 2 ±_y_+ y = 6 2y = 4______ y=2 x=2+ =4 ={(4,2)}

y=3+x x+y=5 y=3 +x x+3+x=5 2x = 2 x=1 y =3 + 1 y=4

{

x = - 2y 5 - 2y + 3y =10 4=10-5 Y.= 5_ x=5 - 25 x = 5 - 10 =

•

= Y-5 , 5)) y = 3- 5x x + 2y = 1 5 y = 3 - 5x

x + 2 (3 - 5x) = 15 x+6-10x=15 9 x = -1 y=3-5 (-1) y=3+5 y=8

S =1(1,4)) = {(-1,8)}

•

00 11O O M O O S O O M O O OO O SO O M OO O OMS OOMO SO

Metodo da adicao

0 metodo da adicao e utilizado para eliminar uma das incognitas na resolucao de urn sistema.

1° caso: quando os coeficientes de uma incognita sao simetricos.

{

2x - 5/ = 2 (D 3x + 5y= 28 = 30 5x

(Somam-se as equacoes membro a membro.)

x=6

x= 30 5

Substituindo o valor de x em uma das equacoes, temos: 3x + 5y = 28 3

6 + 5y = 28

•

18 + 5y = 28 5y = 28 - 18 = 10 10

-›

y=2

Solucao: x = 6 e y = 2.

3. Resolva os sistemas.

x+y=7 x—y=3 I

{3x + 5y =_11 5x — 5y=5 3x +_,5y_= 11

x +fit=7 x=it = 3 2x = 10

8x = 16

x=5

3 . _2 + 5y= 11 =5 y =1

x=2

y= 2 S = {(2,1)} S = {(5,2)}

x+y= 2 2x - y = 1 =2 2x Af= 1 3x = 3 -

1 +y=2 y=1

Y-= 7 x+y_= 5

X+ y = 7 -x-y=-5 2y=2 y =1 x + 1 =7 x=6

S =1(6,1))

• •• •• • •• •• •• •• •• • up

0C) 2° caso: quando os coeficientes de uma das incognitas sao iguais. 2x - 3y = 1 4x - 3y = 11

{

Multiplicamos uma das equacoes por -1, de modo a obter coeficientes simetricos. -2x + 3y = -1 4x - 3y = 11 2x = 10 10 x= 2 > x = 5 Substituindo o valor de x em uma das equacoes: 2x - 3y = 1 2

•

5 - 3y = 1 -

3y = 1

- 3y = 1 - 10 - 3y = - 9 -> y = 3

Resnlva os sistemas

S = {(5,3)}

o) 3x + 7y = 38_ _x_Ar_ly_= 26_ {

2x + y = 5 { 2x + 8y = 12

_7y = 7

2x =2

—5 +_.8y = 1 2

?Af

—

3x +,7 = 38 —x — pf = —36

2x+y=5 2x + 1 =5

_3x__± 7y =38 3 • 1 + 7y = 38 7y = 35 y=5 S = ,5)}

_2x = -4 > x.= 2_ S =4(2,1)} -.

b) 5x - 4y = 15 6x - 4y = 18 -5x+41=-15 6x — = 18

x =3, 5x — 4y = 15 5 • 3 — 4y = 15 15-4y=15

4y = y-= QS = {(3,0)}

d) { 6x + y = 25 6x - 2y = 10 pl+y=2:-)

2y=-10_ 3y = 15 y=5 6x+5=25

6x x 20 6 10 3

_s - { 64

•

•• •• • •• •• • 41,

ao •

••

•• • •• • •• •

• • • • •

• •• • •• •

••

•• • •S •• •• ••

+y=9

x-5y=-7 5x-5y= 5

x+3y= 23 /x/-

- -9

-x +,XL:= 7 5x —51=. 5

,X_±.3y_= 23 2y = 14 y=7

x =3 x 5y = -7 3 —5y = —7 —5y = —10

S = {(2 7)}_

S = {(3,2)}

x + 3y= =311

—8x +_4= —10 1_3x 5x=0 x=0

7:3 _X+ 3y = 11

4y =R

y= x— y = 3 mac_ = 3

•

> y— 2

Rx — 2y = 10 _13x 2y=10

—

Rx — 2y = 10 0 2y = 10 x

—2y =10 S__--- f(0,-75))

S = 0,2)1_

_= —5_

3° caso: quando os coeficientes das incognitas sao diferentes e nao simetricos.

{

3x + 2y = 8 4x + 5y = 13

Multiplicamos uma das equacoes por -1, de modo a obter coeficientes simetricos. 2x + 2y = 8 • (4) ---> 4x + 5y = 13 • ( 3) -

+ 8y = 32 -1.2* - 15y = -39 - 7y = -7 y=1

Depois substituimos o valor de y em uma das equacoes. 3x + 2y = 8 3x + 2 • 1 = 8 3x + 2 = 8 3x = 8 - 2 3x = 6 x=2

••

x+y= 9 x+ 7 =9 --> x=2

Solucao: x = 2 e y = 1.

5. Resolva os sistemas.

x+y=2 6x + 2y = 10 - 2x - ?.y (multiplicando por 2) 61_±_?4 =10 6 3 • 4 2 x+y=2 > 3 +y=2 =2 > 2 3 + 2y = 4 2 2 2y = 1 —›

2x 2x =_8y = 32 -(1) 2x - 8y = 32 ___L+ 3y = 24-4 ____>._=2x=_6y = -4, 1_4_= 28 y= --- -2 .

•

_x_8

>_y= 1 2

•

flx=_15y = 18 =36 _6x -10y =16 •(3)

- = 2x= 15 (0) =18 x =_18_=> .x= 6_

•

31 2 2 ft

- 90y 1_08 60y = 0 Y--=0

9x + 4y = 6 3x - 2y = 2y._=_12

•

3x = -5 21x = 7 > x= 7

x+ 3y = 9

9x+y=6 A'. 1 4.v=6

2' 3+y=6 y=3

=9 -1 Lx = -102

x=6

x + 3y = 9 6 + 3y = 9 S = {(6,1)) y=1

+ 4y = 6 _ 9.8 - 2

- =

> 2x - 4y = 6

• .•• • x - 2y = 3 3 -2 - 2y = 0 S = {(3,0)} 68

y=0

111 1 • • 0 001 0• 040 0 00 0• 40 • 01, 0 0*. 0 0s es si ess

•• •• •• S

2. Sistema de equagOes com ntimeros fracionarios x-y=1

Determine a saki* do sistema:

x + y = 7 3 2

o •

Resolucao

••

AD-

SOSos s000 s

•

4111

1° passo: simplificar a 2 4 equacao. 2x + 3y = 42 6 6

Podemos escrever o sistema da seguinte forma: x-y=1 2x + 3y = 42 Resolvendo-o, encontramos a seguinte solucao: x = 9 e y = 8.

fli -

0111—

4 Y 2

12 x -3y 6

12 -6

3x+y=35

3 • 10+y=35 y=5 y = 35 30 = {(10, 5)}

2x + y

ci)

3 2y = 6

-y=2 _1(_+_21 = 18_ 3x=4_= 6 > _x_F 4_ 3x 2y = 6 3 • 4 2y = 6 -2y = 6 12 -2y = -6 --> y = 3 S = {(4, 3)} -

2x + y = 16 2 • 6+y=16 y=16-12 --> y=4 S = [(6,4)}

40 10

= 40 6x_+2 =70 > x=10 11x=110

x-3y=- 6 3y =- 6 -3y = -12 S = {(6,4)}

2x +X7--_16 x -)f= 2 3x = 18 x= 6

5x + 2y 10

5)L_-_-2y = 40 3x + y = 35 •(2) ---> 6x + 2y = 70

4x + 2,9 = 36 = -6 x 5x = 30 x=6

•

• •

x y 2 5 3x + y = 35

Resolva os sistemas

fib 11111

•

2x + 3y = 42

3x + 2y 6

7. Resolva os sistemas•

x - y = -5

x+y=6

3 (x + y) = 27

Wig M1641 3x + 2y 6

=15 +.3y_+ 3y =_27 • =42 > y = 7 = _+5_+3

16 6

Wig = —2 —.3 y =2 S = {(4, 2)}

x = 4_±_y

5x + 2y = 20 10 10 +4)_+_2y-20 + 2y = 20

3y = —3

—

•

= _x_= 5 3 —

y _ 13 10 2 5 y = 2x — 1 x

=x-

2x + 5y , 13 10 10 y = 2x 1 2x + 5 (2x 1) = 13 2x+ 10x-5 = 13 12x = 18 x 18 ou x= 3 2 12 y=2 3 —1 2 y = 3 —1 y=2 > 5— —

—

x + 5y 5

8, 5

••

•• •

3. Froblemas corn equagiies de to—grau cam &las variameis ce

Problema 1 A soma de dois numeros naturais é 30, e a diferenca entre eles é 6. Quais sao esses numeros?

ResoLuca° Vamos chamar de x o primeiro numero e de y o segundo. • a soma: x + y = 30 • a diferenca: x - y = 6 Resolvendo o sistema pelo metodo da adicao: x + y = 30 x-y=6

•

2x =36 -> x=

36 2

x = 18

Substituindo o valor de x na primeira equacao: x + y = 30 18 + y = 30 y = 30 - 18

y = 12

Resposta: Os numeros sao 18 e 12.

Problema 2 A soma das idades de urn pai e de seu filho e 64 anos. A idade do pai é o triplo da idade do filho. Determine quantos anos tern cada urn.

Resolucao x: idade do pai y: idade do filho

}

x + y = 64 x = 3y

Substituindo x = 3y na primeira equacao:

411

3y + y = 64 --> 4y = 64 x = 3y

4 4

x = 3 • 16 —) x = 48

Resposta: 0 pai tem 48 anos e o filho tern 16.

•

y = 16

S Resolve os seguintes4rotilemas. Determine dois numeros cuja somas 45 deles e o dobro do outro.

d) netermine dois numeros, sendo a soma 60 a dif xena 16 x +.y= 60 x 2x = 76 x = 38 38 + y = 60

> y = 22

_Reposta Os numeros sac] 38 a 22

e) netermine_dois humerus cula_soma_e22 e a diferenca_entre_o_dobro do primeiro b) Determine dois numeros cuja diferenca

o triplo do segundo

-Off

10 e tim cieles_e_o triplo do outro x + y = 22 2x

3y = 9

x = 22

2 (22 y)- 3T= >y=7 -fiy = -35 > x = 22 x = 22 y -

7 ---> x = 15

Reposta: Os numeros sao 15 e 7. _Reposta: Osiatiraeros sap] 5_e__5

c) Duas familias tern juntas 18 filhos. Uma

f) A soma de dois numeros é 20 0

delas possuLo dobro quantidade de_ quintuplo de um deles menos o triplo do

filhos

da outra. Quantos filhos tern cada

outro é 4, Calcule esses numeros.

—410Ai-

x _y = 20 x y 3.y.:= 4 --> 5 (20 y) 3y = 4 > 100 y = 12 = —96 >x=8 y _x _ __ Reposta . Os numeros sac) 8 e 12 —

3y= 18 =2

> y =fi

fibs e a oda:1211ns_

—

• fib

• II • . .

ades de duas pessoas é 42

j) _Eniumalazendalad. porcos e galinhas, num total de 45 cabecas e 130 Ns_

e-se que uma delas tern 18 anos

a mais que a outra. Calcule essas idades.

Quantos sao_os animals de cada especie? x ±_y = 45

4x + 2y = 130 +18+y=42 v= 12 2y =24 ___x=v+ 12 + 18 x = 30

=A5 4 (45 — y)_+ 2y_= 1 ao 180 - 4y ± 2y = 130_ —2y = —50 > y = 25 x = 45 — y > x = 45 —25_. > x = 20

des_sao 30 anns e 12 anos Repo_sta.—Sao_20_porcos e 25 galinhas.

11) Foram distribuidos R$ 120,00 entre duas Numa loja ha bicicletas e triciclos Ores pessoas. Sabe-se_que_umarecebeu rodas), num total de 69 rodas e 27 •

R$ 30,00 a mais que outra. Quanto veiculos_ Quantas sao as bicicletas e recebeu calla uma? quantos sao os triciclos?

x+v= 120 x l = y +._30_ y y = 90

—

x=y+30 x 45 + 30

120

x = 27 — y

Y— 45 x = 75

Repostalimapessoaraceb_ei.t11$75,00_e a outra+13$.45,00,

410 •

fib

411 • • •

411

2-_(27 — y) 3y = 6_9 54 — 2v + 3v = 69 = = 97 - 1 =19 Fleposta:„Sao 12 iileicletas .e 151riciclos_

Emma oficina ha automoveis e. motocicletas, num total de la veiculos e

56 rodas. Quantos_sao os automoveis e 4111 • , _ as motocicletas?

11)-

y = 27

x+ y = 18

fix_+_2y =_56

x = 1R v 4 (18 y) + 2y = 56 72 — 4y + y =_ 8 -2y = —16 y=8 -

—

x= 18—y

x=18-8

x=10

Reposta: Sao 10 automoveis e 8 motocicletas.

•

CAPiTULO 7 - RAZOES E PROPOKOES

1. Rub entre-&tas grandezas

2. Velocidade Media

Razao entre duas grandezas corresponde ao quociente entre seus valores. Observe o quadro.

Tamanho maximo

Reptit Jacare do Pantanal

2,5 m

Jacare-acu, da AmazOnia

Crocodilo que vive na Asia e na Australia (maior reptil do planeta)

E a razao entre a distancia percorrida por urn movel e o tempo gasto para percorrer essa distancia. Exemplo: A velocidade media de urn trem-bala que percorre 800 km em 2 horas é dada pela razao 800 . Ou seja, a velocidade media 2h desse trem é de 400 km/h.

a)Qual é a razao entre o comprimento: do maior reptil do planeta e do jacare do Pantanal? 7m _ 7 2,5 m 2,5

1. Determine a velocidade media desenvolvida por um trem ao percorrer uma distancia de 250 km em 5 horas.

_ Resposta: A razao é de 7 para 2,5.

250 km = 50 km/h 5h

liesposta . 50_km/11 • do jacare-acu e do jacare do 6 2,5

Resposta: A razao é de 6 para 2,5. • do jacare-acu e do maior reptil do planeta? 6m 7m

220 km em 4 horas. Qual a velocidade

media desenvolvida? 6 7

220 km —

Resposta: A razao é de 6 para 7. 1:1)Qual é a razao entre 1 m e 200 cm? 1 m1 m ____ 2m 200 cm

1 2

Resposta: A razao a de 1 para 2.

Urn motorista percorre uma distancia de

4h Resposta: 55_km/h

.11

.s. . se s ss s.

Pantanal.? 6m 2,5 m

•• •• ••

• •• •• • •

•

• •

•• •• •• •• •• •

•• •

•• •• •• •• •• •

DentMade demografica qCY E a razao entre o rulmero de habitantes (populacao) de uma regiao e a area dessa regiao.

Escala é a razao entre a medida do comprimento de urn desenho e a medida do comprimento real do objeto. Exemplo:

Exemplos:

A planta deste dormitorio foi desenhada

Segundo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatistica), a cidade de FlorianOpolis tern 421 240 habitantes, em uma area aproximada de 675 km 2 .

na escala de

(1 : 100), o que 100 significa dizer que cada 1 cm no desenho corresponde a 100 cm ou 1 metro do comprimento real.

Fonte: http://www.ibge.gov.br/cidadesat/painet/painel .

php?codmun=420540 em 11/01/2013.

Sua densidade demografica é dada pela razao: d = 421 240 hab 675 km 2 d = 624 hab/km 2 A cidade de Rio Branco, capital do Acre, tern aproximadamente 336 038 habitantes em uma area de 8 836 km 2 .

Sabendo que o desenho tern 4cm de comprimento e 3cm de largura, vamos calcular o comprimento real do quarto.

Sua densidade demografica é de:

4cm x 100 = 400 cm = 4 m (comprimento real do quarto)

d = 336 038 hab — 37 hab/km 2 836km'

3. Urn pals tern

100 004 000 de habitantes

e uma area de 5 000 000 km 2 . Qual a densidade riemografica dense pals? _

100 000 000 hab = 20 hab/kaL__ 5 000 000 km'

Determine a densidade demografica de COM

20 000 habitantes.e

Alma area de 400 km2.

—

d _ 20 000 hab 50 hab/km 2 400 km' Resposta: 50 hab/km 2

3 cm x 100 = 300 cm = 3 m (largura real do quarto) Logo, as dinnensOes reais do quarto sao 4m e 3m. Indicamos por 4m x 3m (le-se: 4 m por 3 m).

5. EmArnclasenha,urn com primenta de 0 mastasepresentado por 5 cm_ Qual a escala utili7aria4Dara_fa7er_esse desenho?

Respastal 20J:tab/km'

uma cidade

•

5cm 5cm 10m 1000cm

200

endo que 1nom P.m urn desenho

5. Proporcao

norrespondenarealidacia, Dizer que a ma° entre o nUmero de meninas e o numero de meninos de urn colegio é 2 , significa: 3 • para cada 2 meninas existem 3 meninos, ou • para cada 4 meninas existem 6 meninos, ou • para cada 6 meninas existem 9 meninos etc. 2 4 6 Lembre-se que as fracoes 3 9 sao 6 4 equivalentes. Simplificando as fracoes 6 2 e 6 chegaremos na fracao . 9 3

determine a escala medal:lame desenho. 10cm 5cm

10cm 500cm

Respnsta• 1

7. A miniature de um carro

fni con,struicia

na escala de 1 : 50. Determine o comprimento e a largura desse carro

Chamamos a igualdade entre razoes de proporcao. 4 6 A proporcao — = — le-se "4 esta para 6 9 6 assim como 6 esta para 9". Para resolver urn problema que envolve proporcao, Basta multipticar em cruz, como mostra o exemplo: 3x

1 4cm 50 x= 4 .50 = 200cm = 1 50

10cm y

Resposta. comprimento

4 • x = 3 • 8 -->

--> -->4x=24

A. Determine o valor de x nas proporgbes a) 15 _ 30 4 x 15 .x. 4 .30 15x = 120 x _ 120 15

Calcule a razdaeniquilome — tros por hora de urn carro que percorre_500 km em 5 horas. 500krramm 5h

Resposta: 100 km/h

x=6

10 10_

5.x= x _ 30 5 x=6

•• ••

•• •• •• • •• ••

fb41D

-4110-

3 x 9 3x=19

t = 2 9 7 7 t= it = 1_8

3x=9 9

t_ 18

x_= 3

x=1 15 5

5 • x = 1 • 15 5x = 15 _= 15

m = 20

ic) 1 = x 7 8

x=3

7 x = 1 • 8_

x = 3 9 1

7x =8

x= 8 7

x • 1 =3 _x = 27

y = 15 2 — 10 10 • y =2_15 10y_,- 30_ y_— 30 10 =

5•x=11 -10 _5x=i10_ x _ 110

_ x = 22

m ) 45 = 15 9 x

5= 3 y 6 3 .y__= a. 6

x = 15 9 45x =185 x =135 45 x=3

3y = 30 30 Y

3 y = 10

•• ••

10 _ 1 m 3 m1=3

7 = 14 a 8 7 • a = • _14 _la = 112 a _ 112 7 a = 16

216 ) z 100 600 6C10, •_z_=__216•109 6_00z = 21600_ z__ 21600 600 z = 36_

•

• Outro exemplo de proporgdo: x+3 20

1 _ (x + 3) 4 20 (sempre coloque parenteses nas expressdes) 1 4

4 • (x + 3) = 1 • 20 7 4x + 12 = 20

4x = 20— 12 4x = 8 8 x=2 x= — 4

x=2

U. Determine o valor de x nas oroborcOes I

2 :Ix = 4 • (x + 3) 6x = 4x + 1? •

6x - 4x = 1? 2x =_12 x:7_ 12

s seat iir.

2 = 1 x+ 1 5 , r 1) =

411

x+3 2

•

3x+2=fl 3x = 8 - 2 3x = 6 x_ 6

_x = 6

41 S

x+i =10

= 10 =9

—

(-1)

X+ X+ 2 3 3 •(x +1) =2•(x +2)

_3x + 3 = 2x..± 4 3x - 7_ 3 x=1

5 _ x-3 8 2• (x

= 5 .8

2x - 6 = 40 2x = 40 + 6 2x = 46 x _ 46 2

1-1)52c L-1. 1 14 2 10x-6 = 14 10x = 14 + 6 10x = 20 x _ 20 10 X = 9

(x_+ ,

9x + = 36 9x = 36 - 9 cly = 27 27

fit 0

fit

)

x-2 2 3 • (x - 2) = 2 • (x - 1) 3x - 6 =- 2x - 2 3x 2x = - 2 + 6 -

x=4 X

x-2

4 x-1

i) 5 x

2 (2x •

5 -(x-1)=4 •x 5x

= 4x

5x - 4x = 5 x =5

x=0

2 -

11 = 1 •(x

a Allk

110 41,

•• •• •• •• •• •• • •• •• •

•

•a •

•• • •• •• •• •• • •• •

•• •

CAPITULO 8 - GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Regra de tres ;0

Regra de tres e o processo utilizado para resolver problemas de proporcionalidade, em que sac) conhecidos tres termos e se procura o valor do 4'2 termo. Uma regra de tres e simples quando ha apenas duas grandezas envolvidas, e é composta quando ha mais de duas.

2. Regradetre Problema 1 Uma costureira gasta 18 metros de tecido para fazer 12 camisas. Quanto tecido ela gasta para fazer 16 camisas?

Resolucio camisas (metros)

tecido

Observe: "Quanto mais camisas, mais tecido."

Entao essas grandezas sac) diretamente proporcionais, e desenhamos as setas no mesmo sentido. Resolvendo a proporcao:

1218 = 16 x

•

x = 18

•

12x = 288

x = 288 --> x = 24 12

Resposta: Gastara 24 metros.

Problema 2 Seis homens constroem um muro em 12 dias. Quantos dias serao necessarios para 9 homens construirem o mesmo muro?

Resolucao homens

dias

Observe: "Quanto mais homens menos dias." Entao essas grandezas sao inversamente proporcionais, e desenhamos as setas em sentidos contrarios. Montamos a proporcao invertendo os termos da razao que nao possui o x. 9 12 9x = 6 • 12 x 6 Resposta: Serao necessarios 8 dias.

9x = 72

x = 72 9

x=8

Resolva os problemas.

3. Se 10 maquinas produzem 8Q0 pegas, quantas pecas serao produzidas por 15 _

1. Urn automdvel corn a velocidade de_

dessas macwinas?

velnririarie 60 t 90 J

tempo

10 800 15 x

90 _ 12

y 12

non

60 x x = 1 200 x_=-6_. 12_

>x= 72 >x=8

9x-72

Resposta:_Serao produ7idas 1200 pecas.

9 Resposta: Gastara 8 horas

4. Se 6 operanos fazem urn trabalho em 30 dias,emquantos dias 15operanos farao 2. Se 4 metros de urn tecido oustarn amesmoirahalho? R$ 18,00, quanto custarao 12 metros _desse tecido? custo 18 x

metros 4 12 18

operarios_ 6 15 15

x = 54 Resposta: Custardo R$ 54,00.

30 x

15 x = 30 . 6 15 x=180

dies 30 x

180 15

Respostaâ&#x20AC;˘ FaraÂ° em 12 dias

5. t Jm autornovel corn a velocidade de 40 •

• • •• a•

•• •• • •

a __

7. Um_ automovel percorre 120 km corn 15

km/h faz uma viagem em 5 horas. Qual

litros de gasolina. Quantos litros serao

devera ser sua velocidade para fazer a

necessarios para percorrer 200 km?

mesma viagem em 2 horas 2 velocidade 40

tiaras 5 • 2

ciistancia 120 200 120 200

40 x

tiff-Qs

15 x

120 • x = 200 15

:._4Q

120x = 3 000

2x . 200

3 000 120

./ A

= nn

Resposta: .Serao aecessarlos..25 Resposta: Devera ser 100 km/h

6. Urn operario ganha R$ 600,00 em 20

8. Se em 200 litros de gasolina ha 50 litros

fli

dias. Quanto recebera se trabalhar

de alcool, quantos litros de alcool havera

•

apenas 6 dias?

em 300 litros dessa gasolina?

4111 •

• • •

•

ganho _600_ x

_dias 20 6 i

600 20 x 6

50 200 x 300

9n . Y = Rnn

•

Gan

3 600 41 = 20

•

x=180

Resposta: Recebera R$ 180,00.

• •

•• •

gasolina 200 300

alcool 50 x

—

50 x

= 150

= 75 Resposta . Havera 75 litros.

Sabendo que 9 mulheres fazem 200 camisas em 10 dias, quantas camisas 18 mulheres -Fara() em 15 dias?

Resolucao mulheres

camisas

dias

200

Por convencao, adotamos a seta para baixo na razao que possui o x, e a comparamos corn cada uma das grandezas. Observe. • Quanto mais mulheres, mais camisas. Entao, a quantidade de mulheres e de camisas sao diretamente proporcionais. Logo, adotamos seta para baixo na razao "mutheres". • Quanto mais dias, mais camisas. Entao, dias e camisas sao diretamente proporcionais. Logo, na razao "dias" tambern adotamos seta para baixo. 9 18+

200

101

Por fim, escrevemos a razao que contem x igual ao produto das outras raz6es. 200 9 10 200 90 90 • x = 200 • 270 x 18 15 x 270 90x = 54 000 x = 54 000 x = 600 90 Resposta: Fara° 600 camisas.

Exempt° 2 Dez operarios fazem uma casa em 8 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operarios sao necessarios para fazer uma casa igual em 12 dias, trabalhando 2 horas por dia? Resolucao operarios

dias

horas/dia 6

Na razao que possui o x, por convencao, adotamos a seta para baixo.

• Quanto mais operarios, menos dias sao necessarios para construir o muro. Entao, a quantidade de operarios e de dias sacs inversamente proporcionais. Assim, na razao "dias" adotamos a seta para circa. • Quanto mais operarios, menos horas por dia sao necessarias para construir o muro. Entao, a quantidade de operarios e de horas/dia sac) inversamente proporcionais. Logo, na razao "horas" adotamos seta para circa. Por fim escrevemos a razao que contern x igual ao produto das outras razoes. Assim: 1012 2 _ • x 8 6

10_24 x 48

•

x = 48

Resposta: Sera() necessarios 20 operarios.

•

10 ---> 24x = 480

x = 480 ---> x = 20 24

••• • •• •

Exemplo 1

• 11 0 11 60 00 •11 •• 0 0• • •11 • • 0•• •• •• • • •• • • 11/• 0

3. Regra de ties composta

••

9. Se 12 maquinas produzem 1 200 pegas,

trabalhando 8 horas por dia, quantas

11. Se 10 kg de arroz alimentam 36 pessoas durante 30 dias, quantos quilogramas

pegas serao produzidas por 6 dessas

serao necessarios para alimentar a

•

maquinas, trabalhando 10 horas por dia?

metade dessas pessoas durante 45 dias?

pficas_ 1_211

12 6

• a

R' 2

10 3-6 2 x.

1 200 2 4 — — x 1 5

1 200 8 x 5

8 x_=1 20a 5

10 x

dia, constroem uma ponte em 15 dias, quantos operarios sera° necessarios para construir essa mesma ponte em 14 dias, trabalhando 6 horas por dia? operarios_

dins 761

a a

•a

14 7 15 x

8 x

84 105

8 . 1.0.5

B4.1-7.840

= 840

•

x = 10 13spostz,Serdo necess6r[Ds 10 operarios_

2 1

2 3

0 x

4x = 30

30 x -75 4 _Resposta:_Serao ner essadas_7,5_kg__

10. Se 8 operarios, trabalhando 7 horas par

pessoas_ .36 8* 30 2

4 x = 3 -10

8x=_6.000

•

)( 6 000 7.5.0 8 Rasposta. Serao.produzidas 750 pacas

kg de arro7 10_

1 200

_borastdia

dias

45*

12. Os 2500 operarios de uma industria automobilistica produzem 500 veiculos

metros em 12 dias, trabalhando 4 horas

em 30 dias, trabalhando 8 horas por dia.

por dia. Em quantos dias 4 dessas

Quantos dias serao necessarios para

maquinas escavarao urn tilinel de 80

1200 desses operarios produzirem 450

metros, trabalhando 6 horas por dia?

veiculos, trabalhando 10 horas por dia? operAnos 2500 1200 30 x

13. Lima maquina escava urn tbnel de 20

veiciilos 500 450 ....

590•' 0 450 9

12Q0 2 59X1

30 x

12 25

30 x

61X1 9Q.0

10 9

11ias 304

x__ IX/ 5

horas/dia_

maquinas

metros 20

dias_

80r

x v

horas/dia AA

•• • •• • ID

a — 111-

1111

10_

12 4 20 6 x 1 80 4

5 4

= 30 . 9

= 270

480 320

480 x = 12 320

12 x

480 x = 3 840

x _ 3 840 480 Resposta: Em 8 dias.

x = 270 6 45_

Resposta: Serao necessados 45 dias.

1110

-a 111,-

•

_or S 84

•• S S

••

0 0

0 CAPITULO 9 — PORCENTAGEM E JURO

Porcentagem

Converta a fracao 3 para uma razao 4 centesimal e apresente-a como uma porcentagem.

GOO Observe:

3 100 Como essa razao tern denominador 100, a chamamos de razao centesimal ou porcentual.

S S

Podemos representar a razao

•

(le-se tres por cento).

3 x (multiplicamos ern cruz) 4 - 100 4x = 3 • 100

3 por 3%. 100

nomo porcentagens

lb it

•

41)

•

411

41 • •

•• •

nsc:reva as frames

3. Converts as frames em razaes centesimais, e as apresente como

100

b) 15

100 _

join

100

porcentagens

100

a) 2

= 100 -

100%

90 100

90%

100

•

240 _10% 5 100 -

porcentagens como razaes centesimais, b) 8 8% =

100 -

_a) 7%=

7 100

IP • •

c) 1,5% = 1,5 100

x 100

2,0bserve o exemplo e escreva as

b) 13% = 10 100

•

2 5

•

x = 75

Entao: 375 75% 4 - 100 -

= 5%

100

3 00 x= 4

4x = 300

•

1. Observe_o_exempin

d) 10%=

10 100

20%_= 20 100 f) _0,5% = oT5 100

4 8 100

4 = X 100 8

8x = 50%

=.5.0

4._Agora, deterrninaa solugao das

3 10

problemas que seguem.

x 100

a) Em uma urns ha 40 bolas das quais 30°

x = 300 10

x = 30

3 10

200/i,

30 100

_sao verdes._Quantas sao as bolas verdes? _4 0

100%

30%

inn

5 20

10n x ,1200 ---> 20x 500

v =

X = 25

100 25°/G

1200 100

x = 12

Resposta: 12. bolas_saa verdes_

el h) Em uma cidade ha 20 000 hahitantes 7

100

.,.4x=700

x=175

dos quais 60% sao mulheres. Quantas sao as mulheres nessa_cidade?

_ 175% 5

100

20 000

Exemplo: Em uma testa ha 60 laranjas das quais 20% estao estragadas. Quantas laranjas estao estragadas? 60 — 100% (60 laranjas correspondem a 100%) X

100%

100 x x 20 000 x 60 100 x = 1 200 000

_ 1 200 000

-2G00

100

20% (x laranjas correspondem a 20 0/0)

60 100 x 20 Resolvendo a regra de tres simples: 100 • x = 20 • 60 (multiplicamos em cruz) 100 x = 1 200 x = 1200 > x = 12 100

Logo, 12 laranjas estao estragadas.

Resnosta. SAn 12000 millheres

••••• •• •• • •• •• • • •• • • • ••• • • •• • • •• • • •• •• ••• ••

_c)

••

•

c) Numa classe de 40 alunos,15% foram

•

il b • •

•

reprovados Quantos alunos foram

urn desconto de 12%. Quanto pagarei

reprovados?

por ele?

100%

•

• • • • •

• •

•• •• • ••

dio

ma_

400

12%

15% ___1_09_xx=40.x 15

100 xx= 400 x 12

100x = 600 x

600 100

100 x = 4 800 x = 4 800 100

x_ 6

.•• . II

1 .11 'I S AO

•• • •

e) Urn radio que custava RS_400,00 sofreu

_400

x = 48

48 = 352

Laga,a radiaLostara as 352,Q0.

d) Uma televisan

R$ 900,00 a pram .

a vista tem um desconto de 20%.

2. Ju_ro simples Observe a situacao. Depositei R$ 2 000,00 em um banco, taxa de 10 0/0 ao ano, e recebi ap6s 1 ano R$ 200,00 de renda. Chamamos: c = capital. inicial (dep6sito) c = R$ 2 000,00 i = taxa percentual ou razao centesimal i = 10% a.a. (ao ano) t = tempo (periodo da aplicacao) t = 1 ano j = juro (renda obtida) R$ 200,00 Assim, chegamos a seguinte formula para determinar o valor do juro obtido: j = c•i•t 100 Substituindo os valores fornecidos na situacao descrita, temos: j = 2 000 • 10 • 1 _ 20 000 = 200 100 100 Assim, j = R$ 200,00.

*pm

111

B) Qual o capital que devo ter para ganhar R$50,00 de juro a 2% a.a., durante 5 anos? j = 50 i=2 t=5 c=? c i•t . Substituindo em j = 100 50 50

•

—

100 •

100 = 5 000

c = 500 Resposta: 0 capital é R$500,00. C) Durante quanto tempo devo empregar R$ 200,00, a 6% a.a., para ganhar R$ 36,00? j = 36 i=6 c = 200 t=? Substituindo em j = 36 = 200

Agora, acompanhe os exercicios resolvidos

6 100

•

Substituindo em j —

c• i • t

c •i 100 t • 1200 • t 36 = 100

30 100 =t 1 200 36 t= = 3 --->t= 3 12 •

A) Qual é a taxa que deve ser aplicada para que o capital de R$ 20 000,00, em 3 anos, renda urn juro de R$1 200,00? c = 20 000 t=3 j = 1 200 =?

—

•

3 600 1 200 = t

Resposta: 0 tempo é 3 anos.

5. Depositei em um banco R$ 300,00

6% a.a., durante 5 anos. Quanta ganhei

100

1 200 = 20 000 i • 3 100

de juro?

•

1 200 = 60 000 i 100 110 000 1200 100 _ = i 60 000 60 000 2 = 12 = 2 6 Resposta: A taxa é 2% a.a.

300 • 6

•

100 j=

9_0.

Resposta: ._j = R$ 90,00

•• • • •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •

•

•• •• •• •• •• •• •• •• ••

•• •• •• •• •• •• •• •• •

•• •• •• •

•

= 2 anos = 24 meses

100 6 000 10

• 11

Resposta: c = R$ 600,00

600

5 • 24 720_ 100

•

=R$ 720,00 'iesposta: 0 iuro_produzido foi.R$ 720,00.

0 capital de R$ 16000,00, durante 2 anos, rendeu R$ 640,00. Qual foi a taxa de juro anual? 640 _ d 000

•

10. Qual o juro produzido por R$ 5 000,00, em 15 dias, a taxa de 2% a.m.? t =_15_dias = 1 mas 2

i • 2

100

5 000. 2 . 2

64 000

. > L=2

_50_

100

32 000 Resposta . R$ 50,00 i = 2% a.a.

Respnsta . Maxa_deduro_foi 2%_ a a

8. Durante quanto tempo devo aplicar urn

11. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 5000,00, a 20% a.m.,

capital de R$ 40000,00, a 20% a.a., para para obter de juro uma importancia obter de juro uma importancia igual ao igual ao dobro do capital aplicado? = 2c --> = 2

= 10 000

40 000 _ 40 00 0 • 20 • t 100 10 000 _ 5000 • 20 • t 4 000 000

800 000

100

10 000

_.> t=10

1 000 ftespostal_Devo aplicar par_5_anos,

=10 m_esea

41)

_As unidades de medida devem ser compativeis

12. Calcule o juro que urn capital de R$ 18600,00 produz ern 12 meses a

A taxa percentual e tempo devem ser compativeis, isto é: • Quando a taxa for anual temos que trabalhar corn o tempo em anos; • Quando a taxa for mensal. temos que trabalhar corn o tempo em meses; • Quando tivermos taxa diaria temos que trabalhar corn tempo em dias. Porem, nem sempre isso acontece. Entao, é necessario fazer as devidas conversoes antes da resolucao do problema.

taxa de 30% a.a.

t = 12_ mesas = 1 anD 18 600 • 30 • 100

5 580

Respnsta• j = R$ 5 580,00

13. Qual o capital que devo empregar durante 18 meses, a taxa de 24%

i = 2% a.m. (ao mes)

ao ano, Para obter urn iuro de

t = 1 ano = 12 meses 7 WC)

j=?

100 j = R$ 120,00

100

•• •

c = R$ 500,00

= 500 • 2 • 12 = 12 000 = 120

Exemplo:

Primeiro convertemos a unidade de medida do tempo, de ano para meses, de modo que fique compativel corn o tempo da taxa percentual. Depois, efetuamos os calculos para determinar o valor de j.

•• • • • •

nn?

i =..24% = 2% am Egon

c•

•

100 100 • 7 920 _ 22 000 2 • 18 = ti$ 2200.0,00

•

••

•

• •

S S S

• • • •• S

•• •• ••

•

•• •• •• •• •• •• • •• •• •• •• •• ••

0 CAPITULO 10 - GEOMETRIA

Angulos 1*

c) 1 ' corresponde a d) 5' correspondem a

(

segundos.

300

Adotamos o grau como unidade de medida de angulos.

e) 1° corresponde a

Vamos determinar a medida do Angulo AOB corn auxilio de urn transferidor.

f) 10° correspondem a

3 600

segundos. segundos.

360001

segundos. g) 120' correspondem a L

Os submultiplos do grau sao o minuto (1° = 60') e o segundo (1' = 60"). Exemplo: Represente numericamente o Angulo de medida vinte e seis graus, quinze minutos e nove segundos. Resposta: 26° 15' 9"

1. Represente

o angulo cuja medida é: 38°

a) trinta e oito gratis.

b) sessenta_erlois graus e quinze minutos._ 62° 15' 20° 08'

c) vinte graus_eoitominutos_

(1) cio7e graus, treze minutos e quarenta

______segundos.

grat is

h) 360' correspondem

dem a

gratis.

minutos.

j) 3 600" correspondem a

' grau.

Exemplos: a) 40° 15' correspondem a quantos minutos? 40° correspondem a 40 x 60' = 2 400'. 2 400' + 15' = 2 415' Resposta: 2 415' b) 20° 12' 18" correspondem a quantos segundos? 20° correspondem a 20 x 60' = 1 200'. 1 200' + 12' = 1 212' 1 212' correspondem a 1 212 x 60" 1 212' — 72 720" 72 720" + 18" = 72 738" Resposta: 72 738"

12° 13' 40"

ra, complete as lacunas das e) 11M

grau, vinte e cinco_minutos e Wes sentencas seguintes

segundos_

1° 25' 03"

a) 15° 12' correspondem a

2. Complete corn o valor correspondente:

912

minutos. 15° = 15 • 60' 900' 900' + 12' = 912' —

a) 1° corresponde a

••

b) 3° correspondem a

60 180

minutos. minutos.

h) 5° 35' correspondem a

335

mini dos. 5° = 5 • 60' = 300' 300' + 35' = 335'

c) 10° 50' correspondem a

2. ethiversao das unitad-6-k de medida de angulos

Rik 650

minutos.

Os minutos e segundos, quando expressos por nOmeros maiores ou iguais a 60, devem ser convertidos para a unidade de medida imediatamente superior. Exemplo: 20° 12' 82"

100 =Ali • 6.0' =_600' 600' + 50' = 650'

Como os segundos sao expressos por urn numero maior do que 60, temos que converte-los para minutos.

•

80" = 1' 22"

82" 60

ri) 30° 15' corresponde

22" 1'

_segundos.

20° 12' + 1' 22" = 20° 13' 22"

30° = 30 60' = 1 800! 1 800' + 15' = 1 815' 1 815' = 1 815 • 60" = 108 900"

complete as lanunas, fazendo as

conversOes necessarias. a) 5° 65' correspondem a e) 20° 20' 20" correspondem_a

73 220 5

graus e

minutos.

•

segundos, 1 200' 1 220' = 1 220 • 60" = 73 200" 73 200" + 20" = 73 220"

65'1 60 05' 1°

5° 65' = 6° 05'

b) 72° 80'

correspondem a

graus

•

00 11801190

•• • •• •• •• •• •• •• •• •

graus,

minutos ...e

11. Operagoes corn medidas de angulos

c) 2° 02' 75" corresponderna 15

segundos.

Adicao e subtracao 75"1 60

2° 02' 75" rni5"

15" 1'

Exemplo: 12° 35' 18" + 5° 45' 12"

2° 03' 15"

+ 12° 5° 17°

35' 45' 80'

Como 80' > 60', devemos converter 80' para graus: 80' 60

d) 16°

70Thorrespondem

graus,

minutos e

20' 1° Assim: 12° 35' 18" + 5° 45' 12" = = 18° 20' 30"

segundos. 16° 89'70" '1)10"

16° 90' 70" 30"

70" 60"

5. Agora, efettla as seguintes operagoes.

10"

a) 25° 12'_+ asa

60'

20'

25° 12' 35° 20' 60° 32'

30'

17° 30' 10"

b)_8° 18' 10" + 10° 15' 20" 8° 18' 10" 10° 15' 30"

•

18" 12" 30"

18° 33' 40"

25° 10' — 12° 09' 25 IL)

12° 05' 13° 05'

ri) 58° 20' 45" — 18° 12' 15" urn numero natural

58° 20' 45 18° 12' 15" 40° 08' 30"

Para multiplicar a medida de urn angulo por um numero natural, basta multiplicar os graus, minutos e segundos por esse numero e, quando necessario, fazer as devidas conversoes de unidades de medida.

e) 12° 50' + 18° 20' 12" 50

70' 60 10' 1°

18° 20' 30° 70'

• •

Efetue as multiplicacbes.

a) 5°12' 10" x 3

f) 51° 20' — 10° 30' 51° 20'

50'80'

10° 30'

10° 30' 40° 50'

hl 190

_ctL 15° 32' 10"

12° 08' x 5 60° 40'

—

20' 30"

5° 12 10" x 3 15° 36' 30"

5°— 31 - /0" 4° 20' 30" 11° 11' 40"

c) 15°10' x 6 x

h) 32° 20' 40" + 17° 50' 12"

32' 2U 40 17° 50' 12"

70' 60 10' 1°

150 10' 6 90° 60'

91°

60' 60 00' 1°

•• ••

•• •• •• •• ••

ri) 15° 18' 32" x 2

15° 18' 32" 2 30° 36. _30° 37' 04"

Divisan da medida de um Angulo par um amen) natural 64" 160 04' 1'

e) 50° 12' 30" x 4 50° 12

3u" 4 200° 48' 120"

120"1 60 901_2L

Para dividir a medida de urn 'Angulo por urn numero natural, dividimos os graus pelo numero dado. Se houver resto ern graus, os convertemos para minutos, somando aos minutos do Angulo; e dividimos o valor obtido pelo numero dado. Se houver resto em minutos, basta converte-lo para segundos, adicionar aos segundos do Angulo, e dividir essa soma pelo numero dado. Exemplo:

290° 50'

25° 13' 20"

24°

12° 36'40"

1° 13' 20" 60' + 13' 20"

•• • •

73'

f) 3° 02' 06" x 10 3°

02' 06" 10'

20"

72'

60"160 00" -1

,1'

20",

60"+20"

80" 8 0"

7. Agora, 5°

_efetue as divisOes

04" x 3

ra)_ 25° 30' + 5 5° 31 04"

3 ° 93' 12" \

93'160 33' 1°

25.°_0Q 0 30' 0

5 5L06'

16° .33'

b) 27° 12' ÷ 2 2L

12:4 2

130 36

— 07°

•• ••

_69' ± 72' 12' 0

ngu o rttiVailgulo agudo e angulo obttiso

c) 50° 16' 40"_÷.2 50° 16' 40" 12 tooA 25° Q8' 2T_

40"

(

• Urn angulo reto mede 90°.

r • Angulos agudos sac) angulos que medem menos de 90°.

d) 7° 15' 12" ÷ 9 7°

15'

12" 37' 36"

79' 15' .1

4 • Angulos obtusos medem mais de 90° e menos de 180°.

12" 0

e) 16° 08' 24" 4 •

0 08' 0 24"

° 02' 06"

8. Classifique as sentengss Pm verdadeim (V) ou falso (F).

41 -41 -

a) Os kigulos retos medem 90°. h) A medida de urn angulo agt idn P maior

que 90°. _A) 17° 13' 20"_+__5. 17°

13' 120' 133' 33'

c) Dois angulosreto_s sao congruentes_

201

d) A medidadaitarangulo °lotus() é m1310E_

que PO° V = 180"

200"

e) Dois angulos obtusos sao sempre congruentes. f) A medida de urn angulo obtuso e major due a de urn angulo agudo. V

••

oscongruentet

x20° = 4D° x___= 20°

40°

Dois angulos opostos por urn vertice sao congruentes, pois tem a mesma medida.

x + 20°

•• es

bissetriz

a=b e c=d

A bissetriz de um Angulo divide-o em dois outros angulos congruentes.

6. Angulos complemmtares e angulos supf— ementares_ Fie 0

• Dois angulos sao complementaresi quando a soma de suas medidas é igual a 90°. • Dois angulos sao suplementares quando a soma de suas medidas igual a 180°.

_9_,Calcule 0 valor de x nos itens abaixo_ x = 50°

Exemplo 1 Calcule o complemento de 25° 20'. 90° 2 5° 20'

500

89° 60' 2 5° 20' 64° 40' 0 complemento de 25° 20' é 64° 40'. X 20°

x + 20° = 180°

Exemplo 2 Calcule o suplemento de 100° 12' 40".

180° 100° 12' 40" 180° = 179° 60' = 179° 59' 60"

Assim: 179° 59' 60" 100° 12' 40" 79° 47' 20" 0 suplemento de 100° 12' 40" 6 79° 47' 20".

•

10,Deterrnine_ocomptemento dos _____11._Datermineosuplemento dos seguintes seguintes angulos a) 40°

Anal ilos

—

a) 100° j00

-- - -

180°

_400

- -

nn.

50°

111U

_80°

AIL h) 250

hl 125°

go o - 25°

- 125°

650

55°

c) 10° 12'

•

89,2_110 ,

10° 19°

S S

12no ;fin'

t7.95, 60' 120° 30'

12' A8!.

5P° 30'

dl 15° 40'

d) 118° 12'

89" 60' 15° 40' 74? 20:

179° 60'

118° 12' 61° 40'

RI 5° in' 2n" 89° 5°

a4°__

p..)

1.0' 49:

6.0" 20"

40"

220 02' 20" 89°

59'

3 8°

02'

51°

57'

15'

:vy aL)-

613"

(-)0 1 r,' 29° 44' 30"

0 130° 10' 10" 60:' 3Q'

119° 59' 60" _130° 10' 11Y' 49° 49' 50"

•• •

12. Chamando da x a medicia de um

Resolve os seguintes problemas

anguh qualquer, escreva,

13. A medida de urn angulo

linguagem matematica, as seguintes sentengas:

dobro igual a 120°. Determine esse —

0 dobro da medida de um angulo. 0 triplo da medida de urn angulo

mail o seu

angulo. _ x + 2x = 120°

> 3x = 120° --> x = 40°

sa'o complementares e

•

d) A terga parte da medida de urn angulo.

A mptarie da medida de uniangulo_

medida do outro. Determine esses

x + 2x = qn. 2x = 60°

5. Determine o angulo cujo dobro de sua medida mais 10° é igual a 140°.

lc) A quinta parte da medida de urn angulo. 2x + 10° = 140° --> 2x = 130°

•

menos a medida desse angulo é igual a 90°_ iletermine esse angulo.

h) 0 suplemento de um angulo.

x = 90°

> 2x _

> x = 45°

____.17..A_medida de urn angulo mais sua terga

2 (90° - x)

•

angulo_.

180 - x 3

parte é igual a 40°. Determine_ esse

angulo.

) A terra parte do suplemento de urn

• •

180° - x

Q.-dobro do complement° de um angulo.

•

> x = 65'

16. 0 triplo da medida de urn angulo

g) 0 complemento de urn angulo 906 - x

•• •

e) 0 guadruplo da medida de urn angulo.

•

angiilos

x 3

•

• •

a medida de urn deles é o dobro da

x1 x = 4Q 3 4x = 120°

3x + x _ 120° x = 30°

18. C) dobro_damedida de um_Angulo

23. nois anguioasao suplementares

mais sua quinta parte e igual a 22°.

a medida de urn deles e o triplo da

Determine esse angulo._ 2x

220 X 5 11x = 110°

10x + x = 110°

medida do outro. Determine esses >

Angulos.

x = 10°

3x ±_x_= 180° 4x = lay = 135°

19. C) dnbro da medidade um_angulainais_ . SPIlcomplemento e igual a 130° Qua! 6

esse angulo? 2x + 90°

x = 1_30°

x = 40°

20. 0 suplemento de urn angulo menos o

24.

0 dobro do complemento de urn

angulo mais o suplemento desse

•

mesmo angulo e igual a 2400

11 AI-

2(90° x) + (180L- x) = 240° 180° 2x + 1811° - x = 240° -3x = -120° x = 40° -

dohro _da medida desse angulo A igual a30° Qual é esse angulo? 1$0° - x - 2x = 30° x = 50°

-.3x = -150°

25. A medida de urn angulo menos seu

•

igual a 80° Qual P esse 21. Urn angulo mais a metade do sell complemento é igual a 75°. Determine

arigt tln9 j18E=4=B0 o___ x 180° + x = 80° 2x = 260° --) x = 130° -

esse a ngulo. x + 90°

x = 75°

2x + 90° - x = 150°

2 x = 60°

diferenca entre st ias medidas é 100°-

22.Araedidade urn 'Angulo menos_seu_ Determine_essasAngulos_ igual a 50°. Determine complentsP x (180° x) = 100° 2x = 100° + 180° 2x = 280° x = 140° Logo: x = 140° 180° - x = 40° -

esse angulo. x 90° + x 50° x (90° x) = 50° = 140° x = 70° -

411Aga -

18_01+___x = 1_00°

1111GO

•• ••

7. Trialgtil0.5

Classificacao quanto aos Lagos: • equilatero: tern tres lados congruentes. • isosceles: tern dois lados congruentes. • escaleno: seus lados nao sacs congruentes.

••

•

isosceles

Classificacao quanto aos angulos: • acutangulo: tern tres angulos agudos. • retangulo: tern urn angulo reto. • obtusangulo: tem um angulo obtuso.

• •

•• • •• ••

I II

egraleno

27. Classifique as triangulos quanta aos larios.

28. Classifique os triangulos quanta aos

equilatera

_angulos 8 cm

a) 8 cm

70°

aculangulo

• •

esoaleno

•

obtusdogub 1.20°

isosceles 3 cm

••

4 cm

.tetangulo

29. 15. Associe a coluna da esquerda a da direita.

90°

1 + 30° = 180°

3x + .1 0

a) equilatem

dois lados .congruentes

1D)_retangulo c) isosceles_ d) obttisangtilo

urn angulo reto

e) escaleno

tres lados congruentes

f) acutangulo

50°

_x + 10° + 50° + 50.° = 18,0° x = 70°

_tress lados nao-congruentes

Soma dos angulos internos de um triangulo

2x 10° + 20° + 20° = 180° 2x = 140° —› x = 702 -

A soma dos angulos internos de urn triangulo é igual a 180°

30. Calcille o valor do Angulo x nos triangulos a seguir.

2x + x 10° + x ao° = 180° 4x .= 160° x = 40° -

3x „ + 70° = 180°

x = 60°

2 6x + 2x + x = 360° 9x = 360° —› x = 40°

•• ••

••

Quadriliteros

1. _Observe o. diagrama e escreva_V__ouE____

Ciassificacao

nas afirmativas a s_eguir retangulos

trapezios

Paralelogramos

•• ••

4111

Sao os quadrilateros que possuem os lados opostos paralelos.

paralelogramo

•

••

•• ••

411111---

••

losangos

paralelogramos

a) Tod° quadrado é paralelogramo

ID •

• •• •• S• ••

quadrilateros

quadrado

b) Todo paralelogramo é quadrado c) Todo quadrado é losango. V Losango

retangulo

d) Tocin_losango e quadrado.

e)Todo quadrado é losango .e retangulo ao

Trapezios

Sao os quadrilateros que possuem

mesrno tempo.

somente dois lados paraleLos.

f) Todo quadrilatera é paralelogramo. g) 0 trapezia isosc_eles possui os lados nao trapezia

trapezio

isosceles

retangulo

paralelos congruentes.

h.)

0 trapAgio retangulo possui quatro anguins retos.

trapezio escaleno

i) 0 trapezio escaleno possuios quatro lados

nao-congruentes.

j) Paralelogramo A o qtladrilatera_que possui os lados opostos paralelos.

•• • ••

Soma dos fingulos internos de urn quadrilatero

GOO A soma dos angulos internos de urn quadrilatero é igual a 360°. jc+ 2110± 8110± 200.7 2600

32. Determine o valor do angulo x nos

2x = 240° ----> x = 120°

seguintes quadrilateros. a)

x + x + 130° + 40° = 360° 2 tar_ J -h = 2 3x = 38Q° x = 126°40'

x + X

X = 360°

2 2 2x + 2x + x + x = 720° 6x__.= 721 720° 6 x = 120°

2 x ± 10° + 3x 70° + 80° + x = 360° x = 56° 40' 6x = 340° —

(ID

• •• •

•• •• •• •• •• •• •• 416

•• •• •• •

•• •• •• ••

6•• • •• •111• ••••SII •• • •S •• S• •S • S••S•S ••SO• •••

9. Circunferencia

AO. Arco, c ;0

Circunferencia e o Lugar geometric° dos pontos de um plan° que estao a mesma distancia de urn ponto desse plano (centro).

Arco é uma da partes ern que uma circunferencia fica dividida por dois de seus pontos.

arco

Indica-se o arco AB por

• 0 é o centro da circunferencia. • A distancia constante de medida r o raio da circunferencia.

Corda é o nome dado ao segmento que tern por extremos dois pontos da circunferencia (une as extremidades de um arco).

III

• Representamos a circunferencia por C (0, r). (Le-se: circunferencia de centro 0 e raio r.)

33. Qual

é a medida do raio de cada

circunferencia?

110

■411

Diametro é a corda que passa pelo centro da circunferencia. E a linha que divide a circunferencia em duas partes iguais.

A medida do diametro é igual a vezes a medida do raio.

duaslr

m (AB) = 2 x r 0 diametro divide a circunferencia em duas regioes denominadas semicircunferencias.

34. Calcule o que se pede.

Angulo central

a) Se o raio de uma circunferencia mede 7 cm, calcule a medida de seu diametro. 2 x7cm=14cm

Angulo central e o que tern como vertice o centro da circunferencia.

b) Calcule o diametro de uma circunferencia de raio 10 dm. _2_x 10 dm = 20 dm 20 dm = 200 rm 2 m

c) Calcule o raio de uma circunferencia de diametro 26 cm.

A medida de um arco de circunferencia ĂŠ igual a medida do Angulo central correspondente.

m 26 cm

(a) = m (AOB)

Aim

d) Calcule o raio de uma circunferencia de 32 m de diametro. 2

e) Desenhe uma circunferencia corn 2 cm de raio. Nela, trace uma corda de 3 cm e uma de

35. Agora calcule o valor da medida do arr..() x.

gala inscrito

Angulo inscrito e o Angulo cujo vertice pertence a circunferencia e cujos lados sao secantes a circunferencia.

•• •• •• •• ••

•• •• •• • •• •• •• • •• ••

x + 20° = 70° x = 50°

A medida do Angulo inscrito é igual a metade da medida do arco correspondente. m (ABC) =

m (At)

Exemplo:

3x = 120°

> x _ 40°

36. Calcule o valor cia x.

2x 60° = x + 20° 2x x = ao±i±6_0° x = 80°_ _ -

x = 100 2

x = 50°

x 40 0 = 2

+an°

2 = 80°

x = 8D °

30.° = 40° _x_= 10°

90° ----> x = 45°

x= 110°

55.

37. Calcule os angulos assinalados.

= 120°

X = 0 40_° = 90° = 450

108

13_ , 120Â°

b 6(1°_= 180° c 180°

b = 120°

—

38. Na figura, temos a =

4Q°. Ouais sac) os

valores de b, c e d?

a=h=r =d=

(mesmn arc° AR) 2

1 ngo . h

= Ano

•

• • • •• •• •• • •• •• ••

•• •• •• • •• •• • 411/

•• •• ••

11. Solidos geornetricos Cubo

Prisma de base triangular face

aresta da base

V face lateral aresta lateral

aresta

base

Vertices (V) = 8 Arestas (A) = 12 Faces (F) = 6

Paralelepipedo

Vertices (V) = 6 Arestas (A) = 9 Faces (F) = 5

Piramide de base quadrangular •--

vertice da piramide

<--- aresta lateral face

aresta

Vertices (V) = 8 Arestas (A) = 12 Faces (F) = 6

1‘ vertice da base

aresta de base

Vertices (V) = 5 Arestas (A) = 8 Faces (F) = 5

Relacao de Euler Para determinar a quantidade de vertices, arestas ou faces de urn sOlido qualquer, utilizamos a relacao V + F = A + 2, conhecida como relacao de Euler. Exemplo: Vamos determinar a quantidade de faces de um solid° que tern 22 arestas e 12 vertices. Sabemos, pela relacao de Euler, que V + F = A + 2. Substituindo os valores dados na relacao, temos: 12 + F = 22 + 2 F = 22 + 2 — 12 F = 12

411

V = 28._± 2.— 17 V=13

vertice

40. Determine a quantidade de arestas e

aresta

que urn said° clue possuLlO vertices e

••

14 faces_ 10 + 14 . A + 2

10_± 14 - 2 = A

41.

Determine a quantidade de faces de

urn solid() aue possui 10 arestas e 6 vertices 6 F 1Q +_2 F - .6 E=6

c) nirAmide

42. Desenhe as seguintes figurasindicando__

/LIB

v6rtite aresta

face

•

12,torpos redondos Corpos redondos sao solidos geornetricos que apresentam superficie nao plana. Sao corpos redondos a esfera, o cilindro e o cone.

•• •• •• •• • • •• •• •• •• • •

<----Superficie plana (base)

F--- Superficie nao plana

4-Superficie mac) plana

Superficie plana (base)

E--- Superfide plana (base)

A esfera nao tern superficie plana.

0 cilindro tern duas superficies planas (bases) e uma superficie nao plana.

0 cone tern uma superficie plana e uma nao plana.

43. Escrevau nome de doffs objetos_quelembramcada corpo reriondo apresentado. uma esferaResposta pessoal

b) urn cilindro Resposta pessoal

C) um pone Resposta pessoal

44. Qt ial das figiwas raprasenta a planifinacao de um cilindro?

• •so Figura 1

•• •

Resposta:

Figura 2

Figura 3.

ngura3

Etementas dos corpas redondos

• 111-

••

• • •

s as bases de urn cilindro? 45._Que–formatem Tern a forma de uma circunferencia.

• •

11146.

Que forma tern a base de urn cone? Tern a forma de uma circunferencia.

_47,Quantos verticestern urn cone? 0 cone tern urn vertice..

•• •• ••

000 â&#x20AC;¢ 0 000 S O 0

S..

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