Escuela Superior de Audio Y Acústica
5 de Abril 2017 Volumen 2, nº 1
José Mujica
Planos 3D Aplicaciones de la Interseccion de Planos en Disenos de Electroacustica.
Contenido
Una de las aplicaciones que tiene la Geometría Analítica en el Campo del Diseño consiste En encontrar coordenadas exactas en el cruce de superficies planas para la simulación computarizada 3D.
Ecuación del plano ...................... 2
En el caso que nos ocupa levantamos el recinto de un Teatro sin disponer de los planos originales. Por ser simétrico y compuesto por formas geométricas regulares, no se presentaron inconvenientes con la mayoría de la estructura, pero en el punto exacto de las escaleras se presentaba un problema con la coordenada de la altura que intersectaba al piso del patio.
Audio Utilities patio .................... 3
En otras palabras, de los puntos inferiores extremos de la escalera que llegan al patio se disponen de las coordenadas X e Y pero no la altura exacta de sus coordenadas Z. Si se hacía una vista ortogonal de alguno de los dos laterales, se podría haber resuelto por la ecuación de la recta, pero esto requeriría obtener cuatro ecuaciones de recta distintas, para obtener las cuatro cotas. En esta guía procederemos a determinar la ecuación del plano de una de las escaleras y la correspondiente al piso del patio. Una vez que dispongamos de las dos ecuaciones, procederemos intersectar analíticamente los dos planos y obtendremos una recta que al colocarle la coordenada disponible para cada lateral de la escalera, nos dará la coordenada faltante. . Para su entendimiento resolveremos las ecuaciones tanto manualmente, como con el uso de la Aplicación Planos de nuestro software Audio Utilities 2.0.
Ecuación del plano patio ............. 2
Solución del plano escalera......... 3 Audio Utilities escalera ............... 4 Intersección de planos ................ 4 Determinación de cotas .............. 4
Puntos Vectores del plano. Se Toman tres puntos del pano (x;y;z) y restarlos entre sí para obtener dos vectores del plano. Vector Normal al Plano. Multiplicar los dos vectores representados por sus coordenadas (x;y;z) y se multiplican en una matriz, obteniéndose el vector Normal al plano. Se estructura la ecuación del plano con las coordenadas del vector normal y un punto del mismo.
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Ecuacion del plano del piso del patio Las coordenadas del piso son
I j
P1
(8
0
0)
P2
(24
0
4)
P3
(24
24
4)
P4
(8
24
0)
Tomaremos tres puntos para construir dos vectores P2-P1(24-8;0-0;4-0) con lo que nos queda P2P1(16;0;4). El segundo será P4-P1(88; 24-0;0-0) y obtendremos el Vector P4P1 (0;24,0). Con estos dos vectores pertenecientes al plano procedemos a hace un producto cruz en una matriz , para obtener el vector Normal.
k
16 0 4
= i(0*0-4*24)-j(16*0-4*0)+k(16*24-0*0)
0 24 0
Con eso obtendremos el Vector Normal que será. -i(96)-j0+k384
Sustituyéndolo en la ecuación general del plano junto con uno de los puntos, obtenemos la ecuación del plano de piso. Ax+by+cz+d=0 -96(X-8)+0(Y-0)+384(Z-0) -96X+768+384Z=0
“El Producto cruz de vectores arroja como resultado un vector normal al plano”
Ecuacion del Plano por Audio Utilities. La Aplicación Plano de nuestro Software Audio Utilities permite obtener de manera sencilla la ecuación de un plano.
Producto de vectores Para el producto de vectores se puede aplicar el siguiente método .
Todo lo que se debe hacer es suministrarle las coordenadas de tres puntos y oprimir el botón de calcular. La aplicación se encarga de generar los vectores pertenecientes al plano, restando las coordenadas de los puntos. Luego, colocarlos en una matriz y hacer el cálculo vectorial. Con este producto se obtiene el Vector Normal al plano. Una vez que se obtiene el vector Normal se procede a colocar sus coordenadas en la ecuación del plano, descrita en el punto anterior y se escoge uno de los puntos para armar la ecuación del plano. La aplicación permite igualmente comprobar la ecuación. En la sección comprobación podemos verificar si la ecuación ha resultado correcta. Todo lo que se debe hacer es introducir dos de las coordenadas y la aplicación nos entregará el tercer valor.
2
Ecuacion del plano de escalera Este Las coordenadas de la escalera son: P1
(18
1,5
6)
P2
(22
1,5
4)
P3
(22
0
4)
P4
(18
0
6)
Tomaremos tres puntos para construir dos vectores P2-P1(22-18;1.5-1.5;4-6) con lo que nos queda P2P1(4;0;-2). El segundo será P3P1(22-18; 0-1.5;4-6) y obtendremos el Vector P4P1(4;1,5,-2). Con estos dos vectores pertenecientes al plano procedemos a hace un producto cruz en una matriz para obtener el vector Normal. I j
k
Producto de Vectores
4 0 -2 0 -1,5 0
= i(0*0-(-2*-1,5))-j(4*0-(-2*0))+k(4*-1,5-0*0)
En cada directriz de los vectores unitarios (i; j, k) se generan unas
Con eso obtendremos el Vector Normal que será. -i(3)-j0-k6
líneas imaginarias sobre sí, en sentido horizontal y vertical que ocultan los factores que no serán operados.
Sustituyéndolo en la ecuación general del plano junto con uno de los puntos, obtenemos la ecuación del plano de piso. Ax+by+cz+d=0 -3(X-18)+0*(Y-1,5)-6(Z-6) -3X-6Z+90=0
Ecuacion del plano de la escalera por Audio Utilities Una vez resueltas las tres determinantes, se tendrán las coordenadas del vector Normal al plano, referido al origen.
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Interseccion de Planos. Interseccion de planos Para la intersección de planos se procederá a obtener las tres ecuacio-
Filnalmente obtenidas las dos ecuaciones de los plano, procederemos a hallar la Ecuación Paramétrica de la recta que se forma cuando los dos planos se intersectan. -96X+384Z+768=0 -3X-6Z+90=0
nes paramétricas de las rectas referidas a dos variables.
Despejando de para X en la primera ecuación
En este caso, como las variables obtenidas en ambos casos fueron dos
-96X= -768-384z
X y Z, solo hizo falta despejarla de
X= 8 +4Z
alguna de las dos ecuaciones y sustituirla en la segunda.
Por último Sustituyendo la X obtenida -3(8+4z)-6z+90=0
Para obtener las coordenadas exactas de la intersección entre el plano de la escalera y el plano del piso, hizo falta recalcular el valor de X con la
-24-12Z-6Z+90=0 18Z=66 Z=3.6
altura 3.6 , debido a que las empleadas para determinar la ecuación del plano de las escaleras, estaban referidas a una altura flotante de 4 mt.
Método gráfico. Al referir un punto al origen restando sus coordenadas de O(0;0;09) obtenemos dos vectores. Si se restan los dos vectores cuyo puntos finales (P1 y P2) se encuentran en el plano, se obtiene un vector perteneciente al plano.
Repitiendo esta misma operación para un tercer punto (P3), obtendremos un segundo vector perteneciente al plano. Multiplicándolos entre sí obtendremos el vector Normal al plano.
Esta es la altura exacta de la escalera en la cual se intersecta con el plano del piso.