AGRADECIMIENTO: A Dios por la vida y por la gran oportunidad que nos brinda al tener a nuestra familia y por darnos cada día la oportunidad de superarnos como jóvenes útiles para esta sociedad.
I
DEDICATORIA: “Un hombre con entusiasmo ilimitado puede triunfar en casi todo lo que se proponga” Este trabajo monográfico va dedicada a todas las personas que con su apoyo nos incentivaron y apoyaron para su realización en especial a nuestros padres que con su gran apoyo y cariño nos han guiado en este paso de la vida muy importante y los que vendrán.
II
INDICE: MEDIDAS ANGULARES Y TRIANGULARES CAPITULO I Medidas angulares
VII
-Angulo y elemento
VII
-Angulo entre dos rectas
VII
Unidades de medida
VIII
*Radian
IX
-Problemas
X-XVIII
CAPITULO II *Grado sexagesimal
XVIII-XIX
-Uso del graduador
XIX -XX
-Problemas
XXI
CAPITULO III *unidades militar (mil)
XXII
*Grado centesimal
XXII-XXIII
-Problemas
XXIII-XXXVI
CAPITULO IV Aplicaciones generales
XXXVII-XXXIV
Relaciones o razones triangulares
XXXV
-Razones fundamentales
XXXVI
-Triรกngulos rectรกngulos y oblicuรกngulos
XXXVIII
-Teoremas triangulares
XXXVIII-XXXIX
-Aplicaciones
XXXIX-XLIX III
CAPITULO V -Líneas triangulares o trigonométricas
L-LIV
Apéndices
LV
1.-Equevalencias graficas de valores en grados y radianes -Cuadros de equivalencia angular y graficas -Valores de las líneas triangulares notables -Unidades angulares 2.-Valores de las líneas triangulares de ángulos notables.
LVI-LVII
3.-Transportador sexagesimal
LVII
4.-Graduador con gradianes
ILX
5.-Transportador en radianes
LX
6.-Unidades de medida militar
LXI
Conclusión
LXII
Recomendación
LXIII
Bibliografía
LXIV
Anexos
LXV
IV
INTRODUCCION Se ha visto que la geometría surge desde muy temprano en la historia de la humanidad con fines prácticos, como por ejemplo, para medir terrenos, hacer contracciones, estudiar astros. Muchos teoremas fueron utilizados por los babilonios y egipcios, hace más de 3000 años, aun cuando ellos no se preocupaban por demostrarlos. En cambio los griegos, recopilaron información y demostraron todos los conocimientos que tenían de geometría, entre los siglos V antes de Cristo y siglo V después de cristo, siendo Euclides el que las consigna en su libro Elementos. Aun después de que la Grecia dejo de ser un gran imperio. Se sostiene que la figura geométrica del triángulo fue usada por el hombre primitivo desde hace miles de años en la resolución de sus problemas prácticos, se reconoce que Thales de Mileto (en el siglo VI antes de cristo), uno de los siete sabios griegos y que se supone fue profesor de Pitágoras, realizo los primeros estudios serios sobre el triángulo, llegando a determinadas propiedades que hasta hoy siguen vigentes. Una de las cosas más importantes en este tema es que los llamados triángulos rectángulos ya eran construidos por los egipcios usando los números 3,4 y 5 (para ello usaban piolas en las cuales hacían unos nudos según las medidas anteriores), todo esto mucho antes de Pitágoras hiciera la primera demostración acerca del teorema que lleva sus nombre y que estudiaremos más adelante. Mucha gente se preocupa ¿Porque se estudia tanto los triángulos? La explicación es muy sencilla es que de todos los polígonos el triángulo es el que tiene menor número de lados, el más simple y por lo tanto cualquier polígono siempre se descompone en un triángulo, sin tener en cuenta que muchos cuerpos geométricos tienen por caras a los triángulos de diversas formas.
V
RESUMEN Un triángulo en geometría es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo o trígono un nombre menos común para este tipo de polígonos si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico .Representado en cartografía sobre la superficie terrestre se llama triángulo geodésico. Los puntos principales de una figura geométrica como los vértices de un polígono suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,... Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices. Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC. Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina:
para BC,
para AC, para AB.
En rigor los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación. En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede por tolerancia y en ausencia de ambigüedad ser designado por el nombre del vértice común. Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. VI
CAPITULO I 1.1 MEDIDAS ANGULARES 1.1.1 Angulo.- Es el espacio que hay entre dos rectas que se cortan.
Recta B Angulo Recta A
1.2 Elementos: Lado inicial.- Lado desde el cual se considera la amplitud del ángulo y su medida Lado final.- Lado que define y limita al ángulo Vértice.- Punto de corte de los lados Giro.- Sentido del desplazamiento o formación del ángulo puede ser (a) horario, igual al sentido de las manecillas del reloj y de valor negativo, y (b) anti horario, de sentido contrario a las manecillas del reloj y de valor positivo.
1.3 Angulo entre dos rectas.-Para determinar y fijar el valor del Angulo formado por dos rectas que se cortan, hay que considerar la dirección de las mismas, puesto a que dos rectas al cortarse forman cuatro ángulos, dos internos y dos externos, iguales entre si por ser necesariamente opuestos por el vértice, pero tan
solo
forman
un
ángulo
cuando
dichas
rectas
están
orientadas.
VII
1.3 UNIDADES DE MEDIDA.-Cuando se considera la relación existen entre las longitudes de la circunferencia y el radio de un círculo, aparece una unidad de medida, denominada radian.
Así entonces en una media circunferencia tendremos π (3,14)
VIII
Se demuestra fácilmente que en la longitud de la circunferencia hay un valor de 2(π) radios. El
numero
pi
(π)
queda
pues
determinado
por
la
relación
entre
semicircunferencia y el radio, es decir que la longitud del radio esta contenida en la semicircunferencia 3,14159….veces.
1.4 RADIAN.- Cuando la longitud de un arco de un circulo trigonométrico es igual a la de su radio, el espacio así conformado y limitado por dos radios y un arco de longitudes iguales se denominan radian.
Radian, es la porción de un círculo comprendida entre dos radios y un arco iguales.
IX
Se llama círculo trigonométrico a aquel que sin importar el valor numérico o literal de la longitud del radio, se lo considera a esa medida como unidad. Es decir circulo trigonométrico es aquel cuyo radio vale uno (1) sin unidad métrica alguna, tan solo valor guía. De acuerdo a la definición de radian podemos conocer la medida de un ángulo, es decir su valor en radianes por ejemplo ½ radian, 2,5 radianes, 4,25 radianes etc.
1.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN (1) En forma gráfica determinar el valor del ángulo y calcular la longitud de los arcos. PROBLEMA 1 (A) Trazar un ángulo de ½ radian con un radio de tres cm.
(B) Trazar un ángulo de ¾ de radian en un circulo de 7 cm de radio
X
(C) Trace el ĂĄngulo de 2,5 radianes en un cĂrculo de radio 5cm
a= 2,5 radianes
radio= 5cm
arco=12,5 cm
XI
(D) Dibuje el รกngulo de 4,25 radianes en un circulo de radio de 3cm
a= 4,25 radianes Radio= 3cm Arco=12,75
XII
PROBLEMA 2 Del círculo como punto de partida busque el valor en radianes de los ángulos centrales formados por: (A) 2 π ( circulo completo)
(B) Semicírculo
XIII
(C) La cuarta parte del circulo
(D) Dos quintos del circulo
(E) Tres octavos del circulo
(F) Un tercio de circulo
XIV
PROBLEMA 3 Realice un cuadro esquemático de las relaciones entre las unidades de medida de los ángulos existentes en un círculo que sean múltiplos de 30° y 45°grados. A: MULTIPLOS DE 30° FIGURA
GRADOS
F (π)
RADIANES
UNIDADES DE MIL
XV
FIGURA
GRADOS F (π)
RADIANES
UNIDADES DE MIL
XVI
MULTIPLOS DE 45◦ FIGURA
GRADOS
F (π)
RADIANES
UNIDAD DE MIL
XVII
PROBLEMA 4 Un arco de círculo mide 21 cm, en tanto que su radio mide 6 cm expresar su ángulo central en radianes.
PROBLEMA 5 Si un angulo central mide 1,2 radianes en tanto que su radio 3 cm ¿ Cual es la longuitud del arco que lo subtiende?
CAPITULO II GRADO SEXAGESIMAL.-Otra unidad de medida angular es el grado sexagesimal que se define como la 360 ava parte de un circulo.
XVIII
A esta unidad de medida angular se la conoce con el nombre de GRADO y es la unica que tiene aproximaciones en MINUTOS Y SEGUNDOS. Es decir que si un círculo se divide en 360 partes cada una de estas partes se llama grado. Un grado a su vez esta constituido por 60 partes o minutos y estos es decir los minutos por 60 segundos.
Para representar grados se utiliza un cero pequeño en la parte superior derecha, para minuto una comilla y para segundos dos comillas. Así 18◦15’43” se lee 18 grados, 15 minutos y 43 segundos. Se puede usar la forma decimal por conveniencia de cálculo del valor angular expresado en grados, minutos y segundos así: 18◦15”43 equivalen a 18,2620 2.1 USO DEL GRADUADOR.-La medida geometria aproximada de un angulo en grados sexagesimales se lo realiza mediante el graduador o transportador marcando o leyendo el valor del angulo, según los casos A.-Para construir un angulo se parte del punto o vertice en el que se coloca el centro del graduador y se marca el angulo, se retira el graduador uniendo luego la marca con el vertice. B.-Para medir un angulo colocamos el graduador sobre el, con el vertice del angulo y leemos el valor correspondiente.
XIX
En el sistema sexagesimal las operaciones aritméticas obedecen a relaciones y transformaciones dadas por normas específicas. Si deseamos sumar µ=18 15’17” con β=23 53’49” procedemos así: primeros los segundos 18 15’17” + 23 53’49” 66”
como 17”+49” nos da 66” restamos 60” y lo transformamos en 1’ que lo
ponemos en la columna de minutos y continuamos escribiendo 6’ tan solo como resultado, y seguimos sumando ahora minutos. 1’ 18 15’17” + 23 53’49” 69’66” La suma de 1’ +15’+53’ nos da 69’. Restamos 60’ que equivalen a 1 y colocamos y lo colocamos a la fila de minutos escribiendo 9’ como respuesta o residuo. Ahora entonces sumamos los grados. 1 1’ 18 15’17” + 23 53’49” 42 69’66” Y queda como respuesta final 42 69’ 66 “ Estas transformaciones no se dan con otros sistemas de medida angular, son exclusivas del sistema sexagesimal.
XX
2.2 PROBLEMAS DE APLICACIÓN (2) PROBLEMA 1 Dibujar en un solo círculo los siguientes ángulos: 33◦ 215◦ 57◦ 314◦ 79◦ 356◦ 79◦ 57◦ 33◦
356◦
215◦ 314◦
PROBLEMA 2 Medir los ángulos interiores del polígono ABCD A;(2.3) B;(-5,8) C;(9,-4) D;(-3,-
XXI
CAPITULO III 3.1 UNIDAD MILITAR (mil) Llamada así esta unidad angular por ser utilizada en los estudios militares. Un mil se define como la medida del ángulo central subtendido por un arco igual a la 6400 ava pate de una circunferencia. Un mil es el valor que se obtiene de dividir un círculo en 6400 partes
Así entonces 6400 unidades militares, son iguales a 360 grados sexagesimales 1 grado sexagesimal es igual a 17,7…..unidades militares o lo que es lo mismo 1 grado es igual a 160(miles) = 360(miles) 6400 1 radian es igual a 1000 unidades militares y 1 (mil) =
1/1000 radianes
Esta unidad angular tiene sus equivalencias con las otras unidades de medida así: 1 grado= 160/9 (miles) 1 radian= 1000 (miles) 1 (mil)= 9/160 grados 1 gradian= 16 unidades militares PROBLEMAS DE APLICACIÓN (4) PROBLEMA 1.Expresar 18 grados en (miles) Como: 1 grado = 160/9 (miles)
18 grados-160 (18)/9= 320(miles)
XXII
PROBLEMA 2.A cuanto equivalen 16◦20’ en (miles) 16◦20’= 16.33 grados 16.33 160/9
=290(miles)
PROBLEMA 3.Expresar 0.22 radianes en (miles) Como 1 radian=1000(miles) 0.22 (1000)=220(miles) PROBLEMA 4.Expresar en grados y radianes 40 y 100(miles) 40 miles=40 9/160 =2◦15’ 40 miles= 40(0,001) radianes=0.04 radianes 100 miles=100 9/160 =5◦37’ 100 miles=100(0,001) radianes=0,1 radian 3.2 GRADO SEXAGESIMAL O GRADIAN Llamada esta unidad de medida angular así, por la relación directa con la centésima parte de un cuadrante de circulo. En este caso la circunferencia está dividida en 400 partes, siendo cada parte un grado centesimal o gradian.
Todo el círculo tiene 400 partes o grados centesimales y cada cuadrante 100 grados centesimales o 100 gradianes. XXIII
En esta unidad de medida no existen minutos ni segundos sino tan solo unidades decimales, siendo las operaciones entre ellas sencillas pues no existen transformaciones. AsĂ por ejemplo 12.215+18.319 gradianes es igual a 30.534 gradianes. Para denominar esta unidad de medida se utiliza una letra g minĂşscula escrita en la parte superior derecha del valor angular.
XXIV
PROBLEMA 3 Medir los ĂĄngulos interiores del polĂgono A, B, C, D, E, F A dado por sus puntos: A (-3,4) B (2,8) C (7,6) D (5,-2) E (-1,2) F (-4,-7)
XXV
PROBLEMA 4 Trace el grafico ABCDE partiendo desde A con 58◦ NE y 6u de longitud, en B con 47◦ SE y 8u, en C con 63◦ SO y 5u de longitud, en D con 78◦ y 4u. Mida el ángulo interior E y longitud EA.
XXVI
3.3 PRIMER CUADRO (RADIAN) Cuadros de transformación de unidades.-Dado un ángulo en una unidad es necesario conocer su valor en las otras unidades. PRIMER CUADRO (radian) Si el ángulo esta expresado en radianes, transformarlo a grados sexagesimales, centesimales y unidades militares. RADIAN
Sexagesimal=
Centesimal=
Unidad militar=
Radian (180)/π
Radian (200)/ π
Radian (1000)
Compleja
Decimal
EJEMPLO DE APLICACIÓN Determine el valor de 2,18 radianes en las otras unidades de medida A.- Sexagesimal: (Compleja y decimal) α=2,18x180/π=124◦54’17”
Notación compleja
124◦9047993 Notación decimal Para la transformación de notación compleja a decimal y viceversa se procede así: De 124◦,9047993 se resta 124 se multiplica 0,9047993 por 60 obteniéndose 54,28795; luego se resta 54 que corresponde a los minutos y se multiplica 0,28795 por 60 para obtener 17 segundos. Entonces 124◦9047993 es igual a 124◦54’14”
XXVII
Si partimos de 124◦54’17”, dividimos 17 para 60 y a ese valor (0,28) le sumamos 54 y volvemos a dividir. Ahora 54,28 para 60 obteniendo 0,9047 que es la expresión decimal buscada. Luego el ángulo 124◦54’17” es igual a 124◦,9047993 B.-Centesimal: Α=2,18x200/π=138,7831 C.-Unidad militar: Si partimos de un valor angular expresado en radianes y multiplicamos por 1000 obtenemos ese ángulo en notación militar. Así: 2,18(1000)=2180 unidades militares
XXVIII
3.4 SEGUNDO CUADRO (SEXAGESIMAL) 2.-CUADRO Si el ángulo se da en grados sexagesimales, expresarlo en radianes, gradianes y unidades militares.
SEXAGESIMAL
Sxπ/180=
Sx400/360=
Sx160/9=
Radian
Gradian o
Unidades militares
Centesimal EJEMPLOS DE APLICACIÓN Calcule el valor del ángulo de 87◦,14 en las otras unidades A.-Radianes:
α= 87,14x3, 1416/180= 1,52 087991 radianes
B.-Centesimal: α=87,14x400/360=96,82222 gradianes o grado centesimal C.-Unidades militares: a=87,14x160/9=1549 unidades militares
XXIX
3.5 TERCER CUADRO (Gradian) El valor angular se conoce en gradianes o grados centesimales, expresarlos en grados, radianes y militares. GRADIAN
Sexagesimal=
Radianes=
Unidad militar=
Gx180/200
G x π/200
Gx16
Compleja
Decimal
EJEMPLO DE APLICACIÓN Halle el valor de 214 gradianes en las otras unidades. A.- Sexagesimal (Complejo y Decimal): a=214x180/200=192◦36’00” ------192.6◦ B.-Radianes: α= 214◦x π / 200= 3,36 radianes C.- Unidad militares α=214x16= 3424 unidades militares
XXX
3.6 CUARTO CUADRO (Unidades militares) El ángulo esta dado en unidades militares, expresarlo en grados sexagesimales, radianes y gradianes. UNIDADES MILITARES
Sexagesimal=
Radian=
Gradian=
Unidad militar (9)/160
Unidad militar/1000
Unidad militar/16
Compleja
Decimal
EJEMPLOS DE APLICACIÓN Expresar el valor de 1520 unidades militares en las otras unidades de medida angular. A.- Sexagesimal (Complejo y Decimal): 1793x9/160= 100◦51’22” 100◦8562 B.-Radian: 1793/1000= 1,7930 radianes C.-Gradian: 1793/16=112 gradianes
XXXI
3.7 APLICACIONES GENERALES PROBLEMA 1 Expresar el valor numérico y grafico de un α radian en la otras unidades de medida angular.
El grafico nos relaciona grados sexagesimales con radianes en una medida circunferencia
Así mismo tenemos un gráfico en grados centesimal 1 es de π radianes.
PROBLEMA 2 Sumar los valores angulares dados en diversas unidades y expresar el resultado en radianes
XXXII
PROBLEMA 3 Dar el valor de la suma anterior en grados sexagesimales
PROBLEMA 4 Y la misma suma anterior en gradianes ¿Cuánto será?
PROBLEMA 5 Dibujar el ángulo (α+β) utilizando el graduador múltiple expresado en valores; sexagesimal, centesimal y en funciones de π (radianes).
XXXIII
PROBLEMA SEIS 6.-Partiendo del punto A (7,-3) debemos llegar a B (0,8) y de allĂ a C (14,17). Determinar los ĂĄngulos internos del triĂĄngulo y expresar sus valores en todas las unidades de medida angular: sexagesimal, centesimal, en radianes y litares.
XXXIV
RESPUESTAS
CAPITULO IV 4.1 RELACIONES O RAZONES TRIANGULARES Las medidas angulares tienen una aplicación muy generalizada en el estudio de los triángulos y en ellos se consideran las longitudes de los lados que lo conforman y las relaciones o razones que pueden formarse específicamente en el triángulo rectángulo en el cual, los lados que conforman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto hipotenusa. Dado un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, los catetos se nominan como opuesto u adyacente según el ángulo determinado.
XXXV
4.2 RAZONES FUNDAMENTALES Considérese el triángulo ABC rectángulo en A, si se designa los lados con letras minúsculas que corresponden a las mayúsculas de los vértices opuestos, las razones trigonométricas se expresan como siguen: SENO.-Es la razón o el valor del cateto opuesto al ángulo, sobre la hipotenusa. Seno α= cateto opuesto = b Hipotenusa
a
COSENO.-Es la relación del cateto adyacente al ángulo, sobre la hipotenusa. Coseno α= cateto adyacente = c Hipotenusa
a
TANGENTE.-Es la relación del cateto opuesto al ángulo, sobre el cateto adyacente Tangente α= cateto opuesto = b Cateto opuesto
c
Estas razones son las más usuales y están relacionadas con sus inversas de la manera siguiente: Seno
cosecante
Coseno
secante
Tangente
cotangente
COTANGENTE.-Es la relación del cateto adyacente al cateto opuesto Ctg α = cateto adyacente = c Cateto opuesto
b
SECANTE.-Es la relación de la hipotenusa al cateto adyacente Sec α =
hipotenusa
Cateto adyacente
= a c XXXVI
COSECANTE.-Es la relación de la hipotenusa al cateto opuesto Csc α=
hipotenusa
Cateto opuesto
= a
b
Cuando se considera al triangulo inscrito en el círculo trigonométrico, la hipotenusa equivale a la unidad y entonces las razones o relaciones son directamente proporcional a la amplitud angular y a las medidas de los catetos. Dichos valores se encuentran en tablas específicas y en las calculadoras pero es necesario conocerlas gráficamente para relacionar medidas y ángulos. Como referencia el ángulo de 30 grados tiene un cateto opuesto (seno) de 0,5 unidades y un adyacente (coseno) de 0,8 unidades. Un ángulo de 45 grados tiene sus catetos (seno y coseno) iguales a 0,7 unidades.
Si por alguna razón se quiere gráficamente conocer el valor angular dada la medida de los catetos, se dibujaría está en un círculo trigonométrico y se mediría el ángulo. Así por ejemplo si el cateto adyacente vale 0,78; el ángulo seria 39; y procederíamos en D levantaríamos una perpendicular que cortaría el arco en C que al unir con A dos daría el ángulo central C A B. la longitud del radio C A B será 10 cm para poder relacionar las medidas.
XXXVII
4.3 TRIANGULOS Existen dos clases de triángulos completamente definidos: el rectángulo y el oblicuo, en las cuales su diferencia fundamental es poseer o no ángulo recto.
4.4 TRIANGULOS RECTANGULOS; Resolver un triángulo es hallar el valor de sus lados y de sus ángulos y para ello podemos recurrir a sus teoremas. Teorema (A) Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto al cateto que se busca o por el coseno del ángulo adyacente al cateto.
Teorema (B) Un cateto es igual a otro cateto por la tangente del ángulo opuesto al cateto que se busca o por la cotangente del ángulo adyacente.
Teorema (C) El teorema construido sobre la hipotenusa (de un triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
XXXVIII
Este teorema se conoce como el teorema de las áreas o como el de Pitágoras para diferenciar de los otros teoremas relacionados con la cultura y las proyecciones.
4.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1 Halle el perímetro y el valor de los ángulos interiores del polígono A B C D a cuyos datos se dan así: AB= 19 cm; AD= 7 cm; DC= 10 cm y un ángulo A y C rectos. DATOS: AB=19 cm AD= 7 cm DC= 10 cm < A= ángulo recto = < C
XXXIX
XL
PROBLEMA 2 2.- Verifique el teorema de “Pitágoras” en el triángulo BDC en donde BD= 3 CM y <D =20
PROBLEMA 3 Halle el perímetro del triángulo ABC cuyos datos se dan. AB = 8 cm Y < B = 52◦
XLI
PROBLEMA 4 4.- Determine el área y el perímetro del polígono ABCDEA cuyos datos son:
Trazamos la línea auxiliar AG y conformamos tres figuras, dos triángulos rectángulos y un rectángulo. En el triángulo ABF calculamos sus elementos, tenemos: Sugerencia (ver el problema 3) AF= 6,3 cm; BF= 4,9 cm y el ángulo BAF = 38◦
XLII
XLIII
4.6 TRIANGULOS OBLICUANGULOS.- estos triángulos se rigen por teoremas que vinculan valores del seno y del coseno de sus ángulos. TEOREMA (1) Teorema del seno en el cual se relaciona la longitud del lado con el seno del ángulo respectivo.
TEOREMA 2 Este teorema llamado del coseno vincula a los lados y al coseno del ángulo comprendido.
4.6 PROBLEMA DE APLICACION PROBLEMA (1) Resolver el triángulo ABC conociendo los valores de A = 26 CM, C = 10 cm y el ángulo B = 113
XLIV
Aplicando el teorema del coseno, por tener los datos respectivos, tenemos:
Y mediante el teorema del Seno.
PROBLEMA (2) Resuelva el triรกngulo ABC del cual se conoce los valores de A =8 unidades, C= 6 unidades y un รกngulo A igual 36 grados.
XLV
PROBLEMA (3) Determine el รกrea del poligono A B F G H I J A, cuyos datos se adjuntan al grรกfico.
XLVI
En el triรกngulo A B J (1) tenemos:
En el triรกngulo B C J (2) tenemos:
Para determinar el รกrea de un triรกngulo oblicuรกngulo podemos utilizar la formula siguiente:
XLVII
Resolviendo el triรกngulo J C D (3) tenemos:
En el triรกngulo J D H (4) tenemos:
Resolvemos el triรกngulo I J H (5) tenemos:
En el triรกngulo C D E (6) tenemos:
XLVIII
En el triángulo E F D (7) tenemos:
Resolviendo el triángulo D H F (9) tenemos:
H Y el triángulo (8) tenemos: G=6+11-2 (6)11 coseno 27◦ G=HF= 6,2 cm
XLIX
CAPITULO V 5.1 LINEAS TRIANGULARES O TRIGONOMETRICAS Cuando las relaciones
o razones angulares se las considera en un círculo
trigonométrico la hipotenusa equivale al radio del circulo y por lo tanto tiene valor
unidad,
y
las
relaciones
se
consideran
líneas
triangulares
o
trigonométricas. 5.2 PRIMER CUADRANTE O= Centro del circulo A= Origen del arco M= Fin del arco AM= Arco OA=OM=OB=radio=1 B=Origen de los complementos.
MP=SENO.- es el segmento de la perpendicular trazada al diámetro que pasa por el origen del arco y comprendido entre ese punto de corte y el fin del arco. OP=COSENO.- Es la distancia del centro al pie del seno. AT=TANGENTE.- Es el segmento de la tangente trazado en el círculo en el origen del arco y comprendido entre este punto y la prolongación del radio que pasa por la extremidad del arco.
L
BS=.COTANGENTE.- Es el segmento de la tangente trazada al círculo en el origen de los complementos y comprendido entre ese punto y la prolongación del radio que pasa por la extremidad del arco.
OT=SECANTE.-Es la distancia medida en la que va desde el centro del círculo, hasta y el corte de la tangente trazada en el origen del arco. También es igual a la distancia medida en la recta que pasa por el origen del arco y que va desde el centro del círculo al corte de la tangente trazado en la extremidad del arco (OT).
OS=COSECANTE.- Es la distancia medida en la recta que va desde el centro del circulo hasta el corte de la tangente trazada en el origen de los complementos. También es igual a la distancia medida en la recta que pasa por el origen de los complementos y que va desde el centro del circulo la corte con la tangente trazada en la extremidad del arco (os).
*En el primer cuadrante todas las líneas
trigonométricas se consideran
positivas.
LI
5.3 SEGUNDO CUADRANTE: En el segundo cuadrante las líneas
trigonométricas
tienen los siguientes
signos:
LII
5.4 TERCER CUADRANTE: Los signos en el tercer cuadrante son:
LIII
5.5 CUARTO CUADRANTE: En el cuadrante los signos quedan como se expresan en el cuadro:
LIV
5.6 APENDICE 1.- Equivalencia grafica de los valores angulares en grados y radianes expresados en función de π.
LV
APENDICE 2.-
Valores
de
las
líneas
trigonométricas
de
los
ángulos
notables
LVI
LVII
APENDICE 3.- Un graduador o transportador sexagesimal o en grados trae divisiones de medio grado en medio grado y con doble entrada numérica desde 0◦ a 360◦ y desde 360◦ A 0◦.
LVIII
APĂ&#x2030;NDICE 4.- Un transportador de grados centesimal o gradianes trae divisiones de un gradian en un gradian, con entrada simple.
LIX
APĂ&#x2030;NDICE 5.- Los transportadores en unidades de
o radianes vienen graficados de la
manera siguiente y son pocos usuales en el mercado pero es bueno tenerlo a mano para ubicar o relacionar medidas angulares.
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APENDICE 6.- Las unidades de medida angular llamadas militares tiene uso restringido y sus divisiones viene en transportadores grandes y especiales. Una idea de ellos la expresaremos en el siguiente grรกfico.
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CONCLUSION Luego de haber concluido la monografía hemos llegado a la resolución de que los triángulos son de gran uso en la rama de las matemáticas por q con lo cual esto es una cadena que va todo de la mano con lo cual los triángulos son una base esencial para los estudiantes que se pueden interesar más sobre este tema y con lo cual esta monografía les puede ayudar mucho para conocer las proyecciones de los triángulos y a más de eso no da a conocer también sobre la clase de triángulos y como ya dijimos anteriormente las matemáticas todo es una cadena y las proyecciones de los triángulos pueden ayudar a las personas que se pueden interesar por la carrera de ingeniería que lea ayudaría mucho para desarrollar planos etc.
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RECOMENDACIÓN: Nosotros después de haber concluido este tema monográfico recomendamos utilizar este material monográfico para ser empleado en el área de matemáticas para mejor entendimiento de los estudiantes en trigonometría ya que este tema puede ser de difícil entendimiento por lo cual este trabajo de manera simple y concisa explica a fondo los triángulos y su proyección por lo cual puede ser usado como guía para las futuras promociones de bachilleres.
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BIBLIOGRAFIA: *Geometría básica.
Eladio Oliveros Sauco
*Trigonometría Plana y Esférica
Frank Ayres. Jr.
*Algebra con aplicaciones técnicas.
Goodson
* Geometría Intuitiva.
Juan Viedma
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ANEXOS
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