Pfg ingenieria de la edificacion 2011 by Sarralde arquitectura ingeniería

UNIVERSIDAD DE BURGOS Escuela Politécnica Superior Grado en Ingeniería de la Edificación

Proyecto Fin de Grado. Curso 2010/11 Jesús Javier Sarralde Fernández

Dimensionado y armado de secciones sometidas a los Estados Límites Últimos de Agotamiento frente a solicitaciones de esfuerzos normales y cortantes en elementos lineales de estructuras de edificios, según la Instrucción EHE-08

Índice CAPITULO 0

GENERALIDADES

0.1 Características del hormigón

0.1.1 Definiciones

0.1.2 Tipificación de los hormigones

0.1.3 Resistencia de cálculo del hormigón

0.2 Diagramas tensión‐deformación. Hormigón y acero

0.2.1 Diagrama tensión‐deformación del hormigón

0.2.2 Diagrama tensión‐deformación de cálculo del hormigón

0.2.3 Diagrama tensión‐deformación de cálculo del acero

0.2.2.1 Diagrama parábola‐rectángulo 0.2.2.2 Diagrama rectangular

7 7 8 9

CAPÍTULO 1 ESTADO LÍMITE DE AGOTAMIENTO FRENTE A SOLICITACIONES NORMALES 10 1.1 Dominio de deformación

1.1.1 Dominio 1

1.1.2 Dominio 2

1.1.3 Dominio 3

1.1.4 Dominio 4 y 4a

1.1.5 Dominio 5

CAPÍTULO 2

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES 16

2.1 Proyecto de secciones en flexión simple

2.1.0 Canto mínimo sin armadura de compresión

2.1.1 Caso Md>Mlim

2.1.2 Caso Md<Mlim

2.2 Proyecto de secciones en tracción simple o compuesta

2.3 Proyecto de secciones en flexión o compresión compuestas

2.3.1 Grandes excentricidades

2.3.2 Canto mínimo sin armadura de compresión

2.3.3 CASO Nd e > Mlim

2.3.4 CASO Nd e < Mlim

2.3.5 Pequeñas excentricidades

2.3.6 Pequeñas excentricidades. Dominio 4

2.3.7 Pequeñas excentricidades. Dominio 4a

2.3.8 Pequeñas excentricidades. Dominio 5. (h < x ≤ ∞)

2.3.9 Pequeñas excentricidades. Dominio 5. (x= ∞)

2.4 Resumen. Esquema de armado de una sección

2.5 Solución de armadura simétrica

2.6 Excentricidad mínima

2.7 Flexión exviada simple o compuesta

CAPÍTULO 3

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

3.1 Flexión simple o compuesta

3.2 Compresión simple o compuesta

3.3 Tracción simple o compuesta

3.4 Cuantías geométricas mínimas en elementos estructurales

3.5 Elementos estructurales

3.6 Consideraciones generales sobre el armado

3.7 Anclaje de las armaduras pasivas

3.8 Durabilidad. Recubrimientos

CAPÍTULO 4

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

4.1 Comportamiento de una pieza de hormigón sin fisurar

4.2 Comportamiento de una pieza de hormigón fisurada. Sin armadura de cortante

4.3 Comportamiento de una pieza de hormigón fisurada. Con armadura de cortante

4.4 Cálculo del Estado Límite Último de Agotamiento por cortante, según la Instrucción EHE

4.5 Comprobación de agotamiento por compresión oblicua del ama

4.6 Comprobación de agotamiento por tracción en el alma

4.6.1 Piezas con armadura de cortante

4.6.1.1 Esfuerzo cortante resistido por la armadura

4.6.1.2 Esfuerzo cortante resistido por el hormigón.

4.6.2 Piezas sin armadura de cortante

4.6.2.1 En regiones no fisuradas con el alma comprimida Md < Mfis,d

4.6.2.2 En regiones fisuradas a flexión Md > Mfis,d

4.7 Decalaje de la ley de esfuerzos

4.8 Disposiciones relativas a las armaduras

CAPÍTULO 5 ARMADO DE UNA VIGA.

5.1 Presentación del ejercicio

5.2 Armado longitudinal

5.3 Armado transversal

5.4 Esquema final de armado longitudinal y transversal

101

CAPITULO 0 GENERALIDADES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

GENERALIDADES

El estudio de las secciones de hormigón armado tiene por objeto comprobar que bajo solicitaciones proyectadas, con la combinación más desfavorable de acciones, la pieza no supera cada uno de los Estados Límite, en el supuesto de que ambos materiales, hormigón y acero, tuvieran como resistencias reales las resistencias minoradas. La Instrucción EHE‐08 estable para tal fin que las estructuras deberán proyectarse, construirse, controlarse y mantenerse de forma que se cumplan unos niveles mínimos de fiabilidad para cada una de las exigencias: Exigencia de resistencia y estabilidad: La resistencia y la estabilidad de la estructura serán las adecuadas para que no se generen riesgos inadmisibles como consecuencia de las acciones e influencias previsibles, tanto durante su fase de ejecución como durante su uso, manteniéndose durante su vida útil prevista. Además, cualquier evento extraordinario no deberá producir consecuencias desproporcionadas respecto a la causa original. La Instrucción EHE especifica los procedimientos a realizar para la comprobación de los Estados Límite Últimos: Estado Límite de Equilibrio. Art. 41 Estado Límite de Agotamiento frente a solicitaciones normales. Art. 42 Estado Límite de Inestabilidad. Art. 43 Estado Límite de Agotamiento frente a cortante. Art. 44 Estado Límite de Agotamiento por torsión. Art. 45 Estado Límite de Agotamiento frente a punzonamiento. Art. 46 Estado Límite de Agotamiento por esfuerzo rasante en juntas. Art. 47 Estado Límite de Fatiga. Art.48 Exigencia de aptitud al servicio: La aptitud al servicio será conforme con el uso previsto para la estructura, de forma que no se produzcan deformaciones inadmisibles, se limite a un nivel aceptable, en su caso, la probabilidad de un comportamiento dinámico inadmisible para la confortabilidad de los usuarios y, además, no se produzcan degradaciones o fisuras inaceptables. En el caso de las estructuras de edificios se entenderá que la estructura tiene deformaciones admisibles cuando cumpla las limitaciones de flecha establecidas en el apartado 4.3.3 del Documento Básico “Seguridad Estructural” del Código Técnico de la Edificación. Procedimientos a realizar para la comprobación de los Estados Límite de Servicio : Estado Límite de Fisuración. Art 49 Estado Límite de Deformación. Art 50 Estado Límite de Vibraciones. Art 51 El presente trabajo trata del estudio de las estructuras de hormigón armado en la edificación y su comprobación de acuerdo a la Instrucción EHE‐08, en los Estados Límite Últimos de: Estado Límite de Agotamiento frente a solicitaciones normales. Art. 42 Estado Límite de Agotamiento frente a cortante. Art. 44 Solicitaciones normales son aquellas que originan tensiones de dirección normal al plano de la sección recta sobre la que actúan: N, Mx, My. GENERALIDADES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

CARÁCTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN

0.1

CARÁCTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN

0.1.1 HORM

DEFINICIONES

Se define como resistencia característica del hormigón fck la que presenta un nivel de confianza del 95%; es decir, que existe una probabilidad del 95% de que se presenten valores individuales de resistencia (medida por rotura de probetas) más altos que fck. Este concepto de resistencia característica adquiere diferentes calificativos según la fase en que nos encontremos (proyecto, construcción, control): Resistencia característica de proyecto fck Es el valor que el proyectista adopta en el proyecto para la resistencia a compresión, como base de los cálculos, y así lo especifica en los documentos de proyecto (memoria, pliego de prescripciones técnicas y planos). Se denomina también resistencia característica especificada o resistencia de proyecto. Se emplean para fck valores tipificados, expresados en N/mm2: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80, 90, 100 Resistencia característica real de obra, fc real Es el valor que corresponde a la resistencia a compresión del hormigón realmente vertido en obra. Resistencia característica estimada, fc est Es el valor que estima o cuantifica la resistencia característica real de obra a partir de un número finito de resultados de ensayos normalizados de resistencia a compresión, sobre probetas tomadas en obra. Abreviadamente se puede denominar resistencia característica. Estrictamente hablando la resistencia característica del hormigón de la estructura es de imposible averiguación, pues no se habrá curado con las condiciones de humedad relativa y temperatura del laboratorio, ni las dimensiones son las de una probeta cilíndrica, además el vertido y la compactación del hormigón en la estructura nunca son tan cuidadosos como en la probeta. Lo que si puede afirmarse es que de acuerdo con análisis teóricos, las investigaciones de laboratorio y la experiencia práctica, con los coeficientes de seguridad reglamentados y basándose en la resistencia del hormigón en probetas cilíndricas, los métodos actuales de cálculo conducen a estructuras satisfactorias y razonablemente económicas. Resistencia media a tracción fct,m Aunque no suele contarse con la resistencia a tracción del hormigón a efectos resistentes, es necesario conocer su valor ya que juega un importante papel en ciertos fenómenos como la fisuración, el esfuerzo cortante, la adherencia de las armaduras.. etc. Aunque la resistencia a tracción depende de muchas variables, la EHE liga esta resistencia a la resistencia característica del hormigón a compresión: , ,

0,30

50 /

0,58

50 /

CARÁCTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Resistencia característica inferior a tracción, fct,k 0,70

En la Instrucción EHE, la expresión resistencia característica a tracción se refiere siempre, salvo que se indique lo contrario, a la resistencia característica inferior a tracción, fct,k.

Resistencia media a flexotracción, fct,m,fl , ,

1,6

1.000

;

canto total del elemento en mm.

HORM

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

CARÁCTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN

0.1.2 HORM

TIPIFICACIÓN DE LOS HORMIGONES

Los hormigones se tipifican de acuerdo con el siguiente formato (lo que deberá reflejarse en los planos de proyecto y en el Pliego de Prescripciones Técnicas Particulares del proyecto): T ‐ R / C / TM / A donde: T

Indicativo que será HM en el caso de hormigón en masa, HA en el caso de hormigón armado y HP en el de pretensado.

Resistencia característica especificada, en N/mm².

Letra inicial del tipo de consistencia, tal y como se define en el art. 31.5.

Tamaño máximo del árido en milímetros, definido en el art. 28.3.

Designación del ambiente, de acuerdo con el art. 8.2.1.

En cuanto a la resistencia característica especificada, se recomienda utilizar la siguiente serie: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80, 90, 100 Las cifras indican la resistencia característica especificada del hormigón a compresión a 28 días, expresada en N/mm².

La resistencia de 20 N/mm² se limita en su utilización a hormigones en masa. En edificios hasta 10 plantas, y como norma general, suelen resultar aconsejables para cimentación, vigas, pilares y forjados, la utilización de hormigones de resistencia característica 25, 30 y 35 N/mm2 En edificios de mayor altura, para los pilares es recomendable la utilización de un hormigón de resistencia más alta, con las siguientes ventajas:    

Ahorro en el coste de pilares, la resistencia del hormigón crece más deprisa que su precio. Ahorro de espacio en las zonas bajas del edificios como consecuencia de secciones menores. Ahorro de coste en la cimentación como consecuencia del menor peso de la estructura. Menores plazos de ejecución, gracias a la rapidez con que los hormigones de alta resistencia desarrollan su resistencia (a 7 días suele alcanzarse el 80% de las resistencia a 28 días).

CARÁCTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

CARÁCTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN

0.1.3 HORM

RESISTENCIA DE CÁLCULO DEL HORMIGÓM Se considerará como resistencia de cálculo del hormigón en compresión el valor: αcc

Factor que tiene en cuenta el cansancio del hormigón cuando está sometido a altos niveles de tensión de compresión debido a cargas de larga duración. Se adopta, con carácter general, el valor αcc=1. No obstante, el Autor del Proyecto valorará la adopción de valores para αcc que sean menores que la unidad (0,85 ≤ αcc ≤ 1) en función de la relación entre las cargas permanentes y las totales o en función de las características de la estructura.

fck γc

Resistencia característica de proyecto.

Coeficiente parcial de seguridad del hormigón.

Se considerará como resistencia de cálculo a tracción del hormigón, el valor: ,

αct

Factor que tiene en cuenta el cansancio del hormigón cuando está sometido a altos niveles de tensión de tracción debido a cargas de larga duración. A falta de justificación experimental específica, se adoptará αct =1

fct,k Resistencia característica a tracción. γc Coeficiente parcial de seguridad del hormigón El coeficiente parcial de seguridad del hormigón adoptará los valores indicados, dependiendo de la situación de proyecto: Artículo 15º. Persistente o transitoria γc=1,50 Accidental γc=1,30 Se podrá reducir el coeficiente parcial de seguridad del hormigón: en general γc=1,40 γc=1,35 en elementos prefabricados Cuando se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: a) que la ejecución de la estructura se controle con nivel intenso, de acuerdo con lo establecido en el Capitulo XVII y que las desviaciones en la geometría de la sección transversal respecto a las nominales del proyecto sean conformes con las definidas explícitamente en el proyecto, las cuales deberán ser, al menos, igual de exigentes que las indicadas las indicadas en el apartado 6 del Anejo nº 11 de la Instrucción EHE‐08. b) que el hormigón esté en posición de un distintivo de calidad oficialmente reconocido, con nivel de garantía conforme con el apartado 8 del Anejo nº 19, o que formen parte de un elemento prefabricado que ostente un distintivo de calidad oficialmente reconocido conforme con el citado apartado.

CARÁCTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DIAGRAMAS TENSIÓN‐DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

0.2

DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

DIAGRAMA TENSIÓN‐DEFORMACIÓN DEL HORMIGÓM

0.2.1 DTD H

El diagrama tensión‐deformación característico del hormigón depende de numerosas variables: edad del hormigón, duración de la carga, forma y tipo de la sección, naturaleza de la solicitación, tipo de árido, estado de humedad, etc. La edad del hormigón en el momento de aplicación de la carga influye en la magnitud de la fluencia, en el sentido de disminuirla cuanto menos joven es el material, como puede observarse comparando las figuras Las curvas muestran la influencia de la velocidad de la carga sobre la forma de la curva tensión‐ deformación. Cuanto más rápida tenga lugar la carga , tanto más arriba llegará la curva; al mismo tiempo aumenta también la resistencia. Si solo se aumenta la carga hasta una determinada altura y se mantiene entonces constante, aumentará la deformación y alcanzará con un escalón de carga que no sea demasiado alto, el valor límite representado esquemáticamente por la línea discontinua (línea de fluencia). Pero si bajo el efecto de la carga, se sobrepasa la resistencia bajo carga permanente, la rotura tendrá lugar después de una determinada duración de la carga (línea discontinua superior, rotura bajo carga constante), lo cual durará tanto cuanto más se acerque a la resistencia bajo carga permanente. DIAGRAMAS TENSIÓN‐DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

DIAGRAMA TENSIÓN‐DEFORMACIÓN DE CÁLCULO DEL HORMIGÓN

0.2.2 DTDC H

Para el cálculo de secciones sometidas a solicitaciones normales, en los Estados Límite Últimos se adoptará uno de los diagramas siguientes: a) Diagrama parábola rectángulo b) Diagrama rectangular DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

0.2.2.1 DPR H

DIAGRAMA PARÁBOLA‐RECTÁNGULO

Está formado por una parábola de grado n y un segmento rectilíneo. El vértice de la parábola se encuentra en la abscisa εc0 (deformación de rotura del hormigón a compresión simple) y el vértice extremo del rectángulo en la abscisa εcu (deformación de rotura del hormigón en flexión). La ordenada máxima de este diagrama corresponde a una compresión igual a fcd. Ecuación de la parábola: 1

Tramo recto: Para hormigones utilizados habitualmente en los edificios (fck < 50 N/mm2), los valores que adoptan los parámetros de la parábola son: deformación de rotura a compresión simple εco = 0,002 deformación última εcu = 0,0035 grado de la parábola n = 2 quedando: Ecuación de la parábola: (fck < 50 N/mm2) 1

0,002

Tramo recto: DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

0.2.2.2 DR H

DIAGRAMA RECTANGULAR

Está formado por un rectángulo cuya profundidad λ(x)∙h, e intensidad η(x)∙fcd dependen de la profundidad del eje neutro x y de la resistencia del hormigón. La tensión σcd se mantiene constante e igual a η(x). fcd, para todas las fibras cuya profundidad no exceda de λ(x).h, en el resto de las fibras se considera σc=0. Este diagrama es de gran sencillez y de una precisión muy aceptable. Los valores que adopta son: si 0 < x ≤ h 1

si 0 < x ≤ h

si h < x < ∞

Para hormigones utilizados habitualmente en edificios (fck ≤ 50 N/mm2), los valores que adoptan los parámetros son: η = 1,0 λ = 0,8 Es decir para profundidades de la línea neutra 0 < x ≤ h: η x fcd

λ x h

0,8

para profundidades de la línea neutra h < x ≤ ∞: η x fcd λ x h

0,2

h h x

La profundidad del bloque comprimido «λ h» vale h sólo para el estado de compresión simple , es decir cuando x = +∞ Suponer nula la tensión σcd en la fibras de hormigón, que sufren acortamientos y cuya distancia a la línea neutra es «x ‐ λ(x) h» , resulta contrario a la realidad física, pero de esta forma se consigue un bloque de tensiones cuya resultante se encuentra, en magnitud y posición muy próxima a la del diagrama parábola rectángulo. Los resultados obtenidos con este diagrama son muy próximos a los obtenidos con el diagrama parábola‐rectángulo.

DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

DIAGRAMA TENSIÓN‐DEFORMACIÓN DE CÁLCULO DEL ACERO

0.2.3 DTDC A

Diagrama característico tensión‐deformación: Es el diagrama que se adopta como base de los cálculos. Tiene la propiedad de que los valores de la tensión, correspondientes a deformaciones no mayores que el 10 o/oo, presentan un nivel de confianza del 95 por 100 con respecto a los correspondientes valores obtenidos en ensayos de tracción realizados según la UNE‐EN 10080. En compresión puede adoptarse el mismo diagrama que en tracción. A falta de datos experimentales precisos, puede suponerse que el diagrama característico adopta la forma de la figura, pudiendo tomarse este diagrama como diagrama característico si se adoptan los valores tipificados del límite elástico dados en el Artículo 32º. Aceros para armaduras pasivas.

Acero B500S Acero B400S

/ . . / . .

0,00217 0,00174

Se considerará como resistencia de cálculo del acero fyd el valor: fyk γs

Límite elástico característico Coeficiente parcial de seguridad definido en el Artículo 15º

Diagrama de cálculo tensión‐deformación: Del acero en las armaduras pasivas (en tracción o en compresión) se deduce del diagrama característico mediante una afinidad oblicua, paralela a la recta de Hooke, de razón 1/γs. En el diagrama de cálculo de la figura se observa que se puede considerar a partir de fyd una segunda rama con pendiente positiva, obtenida mediante afinidad oblicua a partir del diagrama característico (a), o bien una segunda rama horizontal (b), siendo esto último suficientemente preciso en general. Se adopta una deformación máxima del acero en el cálculo:

εmáx = 0,010 εmáx = 0,0035

en tracción en compresión

DIAGRAMAS TENSIÓN DEFORMACIÓN. HORMIGÓN Y ACERO

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

El coeficiente parcial de seguridad del acero adoptará los valores indicados, dependiendo de la situación de proyecto: Artículo 15º. Persistente o transitoria γs=1,15 Accidental γs=1,10 Se podrá reducir el coeficiente parcial de seguridad del acero: γs=1,10 cuando se cumplan, al menos, dos de las siguientes condiciones: a) que la ejecución de la estructura se controle con nivel intenso, de acuerdo con lo establecido en el Capitulo XVII y que las tolerancias de colocación de la armadura sean conformes con las definidas explícitamente en el proyecto, las cuales deberán ser, al menos, igual de exigentes que las indicadas en el apartado 6 del Anejo nº 11 de esta Instrucción. b) que las armaduras pasivas o activas, según el caso, estén en posesión de un distintivo de calidad oficialmente reconocido, con nivel de garantía conforme con el apartado 8 del Anejo nº 19 de esta Instrucción, o que formen parte de un elemento prefabricado que ostente un distintivo de calidad oficialmente reconocido con nivel de garantía conforme con el citado apartado. c) que el acero para las armaduras pasivas esté en posesión de un distintivo de calidad oficialmente reconocido.

DTDC A

CAPÍTULO 1 ESTADO LÍMITE DE AGOTAMIENTO FRENTE A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE DE AGOTAMIENTO FRENTE A SOLICITACIONES NORMALES

El cálculo de la capacidad resistente última de las secciones se efectuará a partir de las hipótesis generales siguientes.

Hipótesis básicas a) El agotamiento se caracteriza por el valor de la deformación en determinadas fibras de la sección, definidas por los dominios de deformación de agotamiento detallados a continuación. b) Las deformaciones del hormigón siguen una ley plana. Esta hipótesis es válida para piezas en las que la relación entre la distancia entre puntos de momento nulo y el canto total, es superior a 2. 2 c) Las deformaciones εs de las armaduras pasivas se mantienen iguales a las del hormigón que las envuelve. d) No se considerará la resistencia del hormigón a tracción. e) Se considera que la sección se agota por deformación plástica excesiva cuando las deformaciones del hormigón y del acero alcanzan los siguientes valores: En Flexión simple o compuesta: ε

0,0035

0,0026

0,0144

100 f 100

50 /

/ 50 /

En Compresión simple: ε ε

0,002 0,002

0,000085 f

En cualquier caso: 0,010 ε En compresión compuesta el hormigón se agota dentro del dominio 5 de deformación, 0,0035 con 0,0020 ε ESTADO LÍMITE DE AGOTAMIENTO FRENTE A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

1.1

Los dominios de deformación corresponden a todas las solicitaciones normales de una forma continua, desde la tracción simple hasta la compresión simple al variar la profundidad del eje neutro X desde ‐∞ a +∞. A partir de las hipótesis básicas definidas, es posible plantear las ecuaciones de equlibrio de la sección, que constituyen un sistema de ecuaciones no lineales. DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

1.1.1 DD1

DOMINIO 1

Corresponde a solicitaciones de TRACCIÓN SIMPLE o TRACCCIÓN COMPUESTA

Este dominio agrupa todos los diagramas de deformación correspondientes a situaciones límite de agotamiento por deformación plástica excesiva, caracterizadas por sufrir alargamiento todas las secciones. En estas condiciones no es posible que se produzca el agotamiento del hormigón ya que sufre alargamientos y de acuerdo con las hipótesis de cálculo, no se considera la resistencia a tracción del hormigón, así pues la resistencia de la sección queda confiada a las armaduras. El agotamiento se produce por deformación del acero al alcanzar el valor de 0,010 El diagrama limitado por A‐A’ corresponde a la solicitación de tracción simple en la que toda la sección experimenta alargamientos de igual magnitud; la profundidad de la línea neutra será X=∞. El diagrama limitado por la recta A‐O’ ( X=0 ) corresponde al límite del dominio 1. El campo de profundidades de la fibra neutra será: ∞

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

1.1.2 DD2

DOMINIO 2

Corresponde a solicitaciones de FLEXIÓN SIMPLE o FLEXIÓN COMPUESTA

Este dominio agrupa todos los diagramas de deformación para los que se produce el agotamiento por deformación plástica del acero, al alcanzar este un alargamiento unitario del 10%0 0,010 0 0,0035 Todas las rectas que limitan los diagramas correspondientes a este dominio giran alrededor del punto A. El valor de la profundidad de la línea neutra se deduce de la ecuación de compatibilidad de las deformaciones: 0,010

El máximo valor de X corresponde al plano que pasa por el punto A y por el punto de rotura por deformación plástica del hormigón (alargamiento unitario del 3,50%0), en esta situación el valor de la profundidad de la fibra neutra será: 0,0035

0,010

0,259 Así pues, el campo de profundidades de la fibra neutra será: 0

0,259

Cuando x = 0,259 d, el agotamiento se produce simultáneamente por deformación plástica del acero y del hormigón. Las deformaciones en este dominio las obtendremos a partir de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones:

0,010

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

1.1.3 DD3

DOMINIO 3

Corresponde a solicitaciones de FLEXIÓN SIMPLE o FLEXIÓN COMPUESTA

Este dominio agrupa todos los diagramas de deformación para los que se produce el agotamiento por deformación plástica del hormigón, al alcanzar este un alargamiento unitario del 3,50%0, 0,0035 manteniéndose el alargamiento del acero traccionado, igual o superior a εyd (deformación en el límite elástico de cálculo) 0,010 Todas las rectas que limitan los diagramas correspondientes a este dominio giran alrededor del punto B. El valor de X para que εs1= εyd se obtiene de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones y recibe el nombre de Xlim.

0,035 0,0035 0,0035

Sabiendo que 200.000 1

0,00143

para γs=1,15 Xlim = 0,668 d (B400S) Xlim = 0,617 d (B500S)

Así pues, el campo de profundidades de la fibra neutra será: 0,259 El valor de la profundidad de la línea neutra se deduce de la ecuación de compatibilidad de las deformaciones: 0,010

Las deformaciones en este dominio las obtendremos a partir de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones: 0,0035

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

1.1.4 DD4, 4a

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

DOMINIOS 4 Y 4a

Corresponde a solicitaciones de FLEXIÓN SIMPLE o FLEXIÓN COMPUESTA

Dominio 4 Este dominio agrupa todos los diagramas de deformación para los que:

con 0,0035 Todas las rectas de deformación giran alrededor del punto B, al igual que en el dominio 3. Este dominio se caracteriza porque en él, el acero traccionado trabaja por debajo de su capacidad mecánica, siendo la tensión de trabajo: Las deformaciones en este dominio las obtendremos a partir de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones: 0,0035

Dominio 4a Este dominio agrupa todos los diagramas de deformación para los que:

La armadura que en los anteriores dominios sufría alargamientos y por tanto se encontraba traccionada, pasa a experimentar ahora pequeños acortamientos y en consecuencia se encontrará comprimida al igual que la armadura . Solamente el hormigón que forma parte del recubrimiento de la armadura se encuentra traccionado. Corresponde a solicitaciones de flexión compuesta. No puede darse este dominio de deformación en flexión simple , al encontrarse ambas armaduras comprimidas. DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

1.1.5 DD5

DOMINIO 5

Corresponde a solicitaciones de COMPRESIÓN SIMPLE o COMPRESIÓN COMPUESTA

Este dominio agrupa todos los diagramas de deformación correspondientes a situaciones límite por deformación excesiva del hormigón, siendo: ∞ Se caracteriza porque todas las fibras de la sección sufren acortamientos. Para cumplir con la hipótesis básica e), el paso gradual de 0,0035 a 0,002, se hacen girar las rectas de deformación alrededor del punto C, intersección de la recta (x=h) con la recta (x=∞) que cierra el diagrama de compresión simple en el que todas las fibras se acortan un 2‰. La profundidad D‐C se determina: 0,0035 0,002 3 ,, 0,429 0,0035 7 DOMINIOS DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 2 PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

Tal y como se vio en la descripción de los dominios, las distintas solicitaciones se producen en los siguientes dominios: Flexión simple o compuesta: dominios 2, 3 y 4. Tracción simple o compuesta: domino 1. Flexión compuesta: dominio 4a Compresión simple o compuesta: dominio 5

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN SIMPLE

2.1

Para proyectar una sección en flexión simple deberemos elegir uno de los tres dominios de trabajo indicados (DD 2, 3 y 4). En el dominio 2 10,0 ‰, con lo que , en consecuencia se aprovecha plenamente la capacidad mecánica de la armadura. En contra la zona comprimida es pequeña 0,259 por lo que se desaprovecha la mayor parte de la capacidad resistente del hormigón. En el domino 4 ocurre lo contrario, se aprovecha la mayor parte de la capacidad resistente del hormigón, pero la armadura trabaja por debajo de su capacidad mecánica, por lo que resulta antieconómico y además existe el riesgo de que pueda llegar a agotarse el hormigón sin aviso de fisuración previo. En el dominio 3 la armadura trabaja a plena capacidad mecánica y la zona de hormigón que trabaja a compresión 0,259 es mayor que el dominio 2. , frontera entre los dominios 3 y 4, se alcanza Para la mayor profundidad posible de la zona comprimida con por lo que resulta ser la solución óptima. PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN SIMPLE

CANTO MÍNIMO SIN ARMADURA DE COMPRESIÓN

2.1.0 Md = Mlim

Tal y como se ha comentado anteriormente, la solución optima se obtiene para una profundidad de la línea neutra de Ecuaciones de equilibrio: α = 0,668 (B400S) α = 0,617 (B500S) . Siendo: 0,80 0,40 1 0.40 de la segunda ecuación anterior se deduce: 0,80

1 0,80

0,40

si hacemos K=

K = 1,598 (B400S) K = 1,640 (B500S)

1 1 0,40

0,80

El canto útil de la sección sin armadura de compresión se puede escribir: d=

una vez determinados b y d, obtendremos la capacidad mecánica de la armadura de tracción: 0,80

siendo Us1=As1.fyd (la tensión del acero es fyd al ser X = Xlim)

Así pues el será: a

que resiste una sección sin armadura de compresión con una profundidad de la LN igual . .

Mlim = 0,392 Uc d (B400S) Mlim = 0,372 Uc d (B500S)

CAPACIDAD MECANICA (U): En una barra de acero o sección de hormigón, es el producto de su sección por la resistencia de cálculo del material en tracción o en compresión. En una armadura, suma de las capacidades mecánicas de las barras que la componen.

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN SIMPLE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Sobre la ductilidad del hormigón: Se recomienda que la profundidad de la fibra neutra no supere el valor límite x/d=0,45, con el fin de aumentar la ductilidad del hormigón, este criterio de no permitir que la fibra neutra baje más del 45% del canto útil es el que recomiendan varios autores para dimensionar a flexión simple Una sección dúctil tendrá una gran capacidad de deformación antes de la rotura, con la consiguiente disminución de su fragilidad. Cuanto más pequeña es profundidad de la línea neutra (en el dominio 3), mayor es la ductilidad y más capacidad de redistribución tendrá una estructura hiperestática, adaptándose a esfuerzos distintos a aquéllos para los que fue proyectada o absorbiendo incluso errores de proyecto . Para una profundidad de la línea neutra «x = 0,45 d», las ecuaciones de equilibrio serán: .

Siendo: 0,80 0,40

0,82

de lo que se deduce: ,

0,295

comparado con el Mlim para un acero B500S 0,372

Con el criterio expuesto, el momento a partir del cual se decide poner armadura de compresión , aumenta en una proporción de un 21% en el caso de que se trate de un acero B500S Con la reducción de la profundidad de la fibra neutra, aumenta la armadura total (compresión + tracción) y por consiguiente el coste de la pieza. No obstante en la mayoría de los casos hay que colocar una armadura de montaje que, de ser considerada en el cálculo, disminuye dicho coste. Algunos proyectistas objetan que para considerar en el cálculo esta armadura, debe garantizarse que no pandea, lo que exige disponer de estribos innecesarios. Sin embargo numerosos ensayos demuestran que las armaduras comprimidas de vigas no pandean, tal vez porque las flechas las predeforman en una dirección que impiden su pandeo.

Md = Mlim

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

2.1.1 FS C1

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN SIMPLE

CASO Md>Mlim

Cuando existe la libertad para dimensionar la sección, una solución es aumentar d o b a fin de que Md ≤ Mlim. Cuando esto no se puede o no se desea, se puede recurrir a: A. Tomar X > Xlim con lo que Rc se hace mayor y aun cuando el brazo z se hace menor, puede alcanzarse el momento resistente Md = Rc . z. Sin embargo al aumentar Rc, debe hacerlo también Us1 (Rc=Us1), este aumento puede ser importante, pero además si X>Xlim, resulta que σs<fyd por lo que el área de la armadura de tracción As1=Us1/σs se incrementa de una forma importante, resultando antieconómica por no aprovechar toda su capacidad mecánica. De lo anterior se deduce que es preferible la siguiente solución: B. Consiste en mantener la sección con X=Xlim (σs=fyd), consiguiendo una mayor respuesta de la sección mediante la introducción de una armadura de compresión.

Ecuaciones de equilibrio:

Rc + As2 σs2 – Us1 = 0 Rc . z + As2 σs2 (d – d2) ‐ Md = 0

siendo:

Rc = 0,80 α fcd b d z = d – 0,40 α d = d (1‐ 0,40α)

una vez prefijadas b y d, quedan como incógnitas σs2, As2 y Us1 0,80

0,40

0,80

Procederemos a calcular el valor de la tensión de la armadura de compresión σs2, dicho valor dependerá de la deformación relativa de la barra de compresión, es decir de la distancia de la barra a la fibra neutra. de acuerdo con las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones: 0,0035

0,0035 1

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN SIMPLE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Por lo que el alargamiento unitario de la armadura de compresión será: 0,0035 1

a partir del cual

Vamos a calcular el valor de y despejamos / : 200.000 1

0,0035 1

, para ello sustituimos en la ecuación

por

700

Es decir la armadura

trabajará a plena capacidad mecánica cuando se cumpla:

700

Resuminedo, cuando: 1 1

700

200.000

acero B400S

0,668 1

400⁄1,15 700

acero B500S

0,617 1

500⁄1,15 700

Otra forma de plantear el caso es calcular la sección con Md=Mlim solamente con armadura de tracción y aumentar la respuesta de la sección mediante la introducción de un par Us2 (d‐d2) formado por dos armaduras, una de compresión y otra de tracción, ambas de igual valor que absorban la diferencia de momentos Md – Mlim:

. .

Siendo Uso1 la capacidad mecánica de la armadura de tracción calculada con Md=Mlim: 0,80 , La capacidad mecánica de las armaduras de tracción y compresión serán: FS C1

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

CASO Md<Mlim

2.1.2 FS C2

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN SIMPLE

En este caso la respuesta Rc.z debe ser menor que en el caso anterior, lo que exige que X<Xlim, trabajando la pieza en el DD3 o DD2. El valor de la profundidad de la fibra neutra X pasa ahora a ser una incógnita. Al ser X<Xlim la tensión de trabajo de la armadura de tracción será σs1 = fyd Las ecuaciones de equilibrio serán: Rc – Us1 = 0 Rc (d – 0,40x) = Md

siendo Rc= fcd b 0,80x

despejando de la segunda ecuación obtenemos: 3,125 2,5 0 1,25

De las dos raíces tomamos la correspondiente al signo ‐, ya que en flexión simple o pura x<d

de la primera ecuación obtenemos la capacidad mecánica de la armadura de tracción: 0,80 1

Si x ≥ 0,259 d, entonces la pieza trabajará en el DD3 Si x < 0,259 d, entonces la pieza trabajará en el DD2, siendo en este último caso:

0,010

0,010 (10 o/oo)

CASO Md<Mlim

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

EJEMPLOS

E01.Se trata de dimensionar y armar, sir armadura de compresión, una sección sometida a un momento flector de cálculo Md= 220 KN.m, con hormigón HA‐25 y acero B500S. Md= 220 KN.m = 220.106 N.mm fcd= 25/1,5 = 16,67 N/mm2 fyd= 500/1,15 = 434,78 N/mm2 α = 0,617 K = 1,640 Fijamos el ancho de la sección b = 300mm., y procedemos al cálculo del canto: d=

1,640

una vez determinados b y d, procedemos a calcular la armadura de tracción: Us1 = 0,80 α fcd b d = 849.162 N 1.953 mm2 (4Ø25)

E02.Dimensionar la sección, en el caso de que por necesidad del diseño el canto útil ha de fijarse en 270mm. Fijado d=270 mm =

220 . 10 16,67. 270

1,64

487

Por lo que el armado de tracción deberá ser: Us1 = 0,80 α fcd b d = 1.081.940 N 2.488

(6Ø25)

EJEMPLOS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

E03.Armar la sección con dimensiones: b=300mm d=220 mm. d1=d2= 50mm Calculamos en momento límite de la sección sin armadura de compresión . .

16,67 300 220 1,64

89.994.200 N. mm

Por lo que el momento de cálculo es mayor que el momento límite: Md > Mlim armadura de compresión: 220 . 10 89,994 10 220 50

764.740 N

Comprobamos la profundidad del recubrimiento de la armadura de compresión: 50 0,2272 0,2338 220 luego σs2 = fyd 764.740 434,78 / (4Ø25) armadura de tracción: 0,80

543.069 N 1.307.809 N

1.307.809 434,78 /

3.008 mm2

(7Ø25)

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

E04.Armar la sección con dimensiones: b=300mm d=400 mm. d1=d2= 50mm El momento límite de la sección sin armadura de compresión

. .

297.501.487 N

El momento de cálculo es menor que el momento límite: Md < Mlim Calculamos la profundidad de la fibra neutra: 1,25

0,411 d

164,6 mm

luego la armadura de tracción será: 0,80 f b x 658.532 N U

658.532 434,78 /

1.514 mm2

(4Ø25) al ser x > 0,259.d, la pieza trabajará en el DD3, siendo las deformaciones del acero y hormigón: εc2 d x 0,0035 400 164,6 εc2= 0,0035 εs1 0,0050 x 164,6

E05.Armar la sección con dimensiones: b=300mm d=500 mm. d1=d2= 50mm El momento límite de la sección sin armadura de compresión

. .

464.846.074 N

El momento de cálculo es menor que el momento límite: Md < Mlim Calculamos la profundidad de la fibra neutra: 1,25

0,2437 d

121,88 mm

luego la armadura de tracción será: 0,80 fcd b x 487.617 N Us1 487.617 N As1 1.121 mm 434,78 N/mm (3Ø25) Al ser x < 0,259 d, la pieza trabajará en el DD2, siendo las deformaciones del acero y hormigón: 0,010

0,010

0,010 . 121,88 500 121,88

0,00322

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN TRACCIÓN SIMPLE O COMPUESTA

2.2

En la figura se observa como el esfuerzo normal Nd se encuentra más próximo a la armadura As1 que de la As2, puesto que en la notación habitual la armadura As1 es la “más traccionada” o “menos comprimida”.

La solicitación de tracción simple o compuesta se presenta entre otros, en las barras traccionadas de cerchas de hormigón y en estructuras colgadas. Corresponde al dominio 1 de deformación. Toda la sección sufre alargamientos. De acuerdo con las hipótesis de cálculo, no se considera la resistencia a tracción del hormigón, así pues la resistencia de la sección queda confiada a las armaduras. El hormigón cumple la función de hacer trabajar conjuntamente ambas armaduras (hipótesis b), dar rigidez a la pieza y proteger al acero contra la corrosión. Tomando momentos respecto a la armadura «armadura menos traccionada» As2: por lo que 2 En el dominio 1 de deformación, la deformación de la «armadura más traccionada» es lo que la tensión de dicha armadura , será , es decir:

0,010 , por

el equilibrio de fuerzas horizontales exige: (tensión de la «armadura menos traccionada») podemos adoptar el Ecuación que nos indica que para valor que queramos; por razones de economía en el acero, adoptaremos un valor para la tensión de , para dicho valor la deformación unitaria de la armadura variará entre dicha armadura de y 0,010. Luego para cualquier valor de 0,010 obtenemos que la capacidad mecánica de la armadura menos traccionada deberá ser: En el caso de tracción simple: 0 ,,

2 2

PROYECTO DE SECCIONES EN TRACCIÓN SIMPLE O COMPUESTA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

EJEMPLOS

E06 Debemos de dimensionar una sección sometida a un esfuerzo de tracción de 500 KN aplicado a una distancia de 50mm del eje de la pieza. Datos: b=250 mm d=350 mm d1=d2=50mm fcd=16,67 N/mm2 fyd=434,8 N/mm2

armadura más traccionada: 50

200

5 10 200 300 333.333 767 434,8

333.333

armadura menos traccionada: 5 10 333.333 166.667 166.667 383 434,8 Si armamos la sección con armaduras de ø20mm (314mm2): La armadura estaría formada por 3 redondos de ø20mm (942mm2) La armadura estaría formada por 2 redondos de ø20mm (628mm2) para establecer el equilibro de fuerzas se debe cumplir: 333.333 Implica: 333.333 353,8 / 942 Con lo que el alargamiento unitario de dicha armadura será: 353,8 0,00177 200.000 Es decir no cumple con lo establecido para el dominio 1 de deformación, que exige que la sección trabaja en un dominio inexistente. De la misma forma para la armadura se debe cumplir 166.667 166.667 628

265,4 /

0,010, por lo

265,4 0,00132 200.000 Es decir la profundidad de la línea neutra sería: ,,

0,00132 . 350 0,00132 0,00177

1027

EJEMPLOS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN O COMPRESIÓN COMPUESTAS

2.3

Estas solicitaciones se presentan en secciones sometidas a un momento flector Md y a un esfuerzo normal de compresión Nd. Pueden presentarse los estados de solicitaciones siguientes: Flexión compuesta: parte de la sección se encuentra traccionada (DD. 2, 3, 4 y 4a) Compresión compuesta: toda la sección se encuentra comprimida (DD. 5) Compresión simple: Md=0 (DD. 5 con x=∞) El sistema formado pro Md y Nd puede sustituirse por una única fuerza de igual magnitud, dirección y sentido que Nd, cuyo efecto sea mecánicamente equivalente, tal y como se indica en la figura. Ecuaciones de equilibrio: 0,40

si hacemos: 1

positiva, la armadura

de la segunda ecuación de equilibrio podemos deducir que siendo encontrará en tracción 0 cuando: 0,40 …

0,40

1 2

Despejando : 1

0,40 1 2 se encuentra en tracción, debemos conocer/establecer la profundidad de la

Luego para saber si fibra neutra x. Anteriormente se vieron las ventajas de tomar como profundidad de la línea neutra un valor . , la condición por lo que si tomamos dicho valor, y sustituimos en la anterior ecuación (1) podría escribirse: PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN O COMPRESIÓN COMPUESTAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

0,80

2 si los recubrimientos son iguales quedando la ecuación: 1

0,80

0,40

Es decir para valores de excentricidad respecto al eje de la pieza ( superiores a profundidad de la línea neutra la armadura se encontrará en tracción.

, con una

Pueden presentarse dos casos: GE. PE.

la sección se encuentra sometida a GRANDES EXCENTRICIDADES. La sección trabaja en flexión compuesta la sección se encuentra sometida a PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES. La sección trabaja en flexión compuesta, compresión compuesta o compresión simple

En el caso de que

En este caso tenemos: por lo que no es necesaria la armadura de tracción El equilibrio de fuerzas exige: 0,80

0,80

La tensión de la armadura de compresión dependerá de su deformación, y a su vez esta deformación depende del recubrimiento de dicha armadura. trabajará a plena capacidad Tal y como se vio en flexión simple, la armadura de compresión ) cuando se cumpla: mecánica ( 1

700

acero B400S γ

1,15

acero B500S γ

1,15

2.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

2.3.1 FC GE

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA

GRANDES EXCENTRICIDADES La armadura trabaja en tracción con profudidad de la linea neutra.

siendo posible y conveniente adoptar este valor de la

El cálculo puede realizarse igual que en flexión simple, aplicando un momento aplicada en la armadura de tracción, sin más que sustituir: , ó

y una fuerza

Por lo que podrá presnetarse al igual que en flexión simple 3 casos: B.1 corresponde a B.2 corresponde a B.3 corresponde a

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA. GRANDES EXCENTRICIDADES

2.3.2 FC GE 00

CANTO MÍNIMO SIN ARMADURA DE COMPRESIÓN. Calculamos las sección igual que en flexión simple, en este caso mecánica de la armadura de tracción será: (ver flexión simple) ,

, por lo que la capacidad

siendo: 0,80. .

. .

0,80. .

El canto de la sección, lo podemos calcular: (ver flexión simple) . .

Siendo:

2 Sutituyendo en la ecuación anterior: 1

1 4

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA. GRANDES EXCENTRICIDADES

2.3.3 FC GE 01

CASO Nd e > Mlim

Al igual que haciamos en flexión simple, se mantiene la sección con ( ), consiguiendo una mayor respuesta mecánica mediante la introducción de una armadura de compresión. , por lo que: Calculamos las sección igual que en flexión simple, en este caso .

siendo: . .

La capacidad mecánica de la armadura de tracción será: , ó Siendo: (ver flexión simple) ,

0,80

Tal como vimos en flexión simpe, la tensión de la armadura la fibra neutra, si se cumple: ρ

700

dependerá de la distancia de la misma a

la armadura trabajará a plena capacidad mecánica

acero B400S acero B500S

, ,

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA. GRANDES EXCENTRICIDADES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA. GRANDES EXCENTRICIDADES

CASO Nd e < Mlim

2.3.4 FC GE 02

por lo que la profundidad de la línea neutra pasa a ser una incógnita, no siendo En este caso necesaria armadura de compresión. Al igual que en flexión simple la pieza trabaja en el DD3 o DD2. Al ser la tensión de trabajo de la armadura de tracción será La profundidad de la línea neutra será: (ver flexión, sustituyendo 1,25

Y la capacidad mecánica será: 0,80 1

)

Si x ≥ 0,259 d, entonces la pieza trabajará en el DD3 Si x < 0,259 d, entonces la pieza trabajará en el DD2

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA. GRANDES EXCENTRICIDADES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

EJEMPLOS

E07. Se trata de armar una sección sometida a un esfuerzo normal de cálculo Nd=500KN y aplicada con una excentricidad respecto al eje de la pieza de 160mm. Datos: Hormigón HA‐25 Acero B500S b 250mm d 370mm d1=d2=d´ 30mm eo 160mm ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Nd= 0,5.106 N fcd= 25/1,5 = 16,67 N/mm2 fyd= 500/1,15 = 434,78 N/mm2 ρ=d/d´= 30/370 = 0,081 α = 0,617 K = 1,640

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 1

0,80

2 1

0,081 2

0,40

0,80 . 0,617 0,40 .0,617

0,081

16,67. 250. 370 370 500000

76,6

(160mm > 76,6 mm) se trata de un caso de grandes excentricidades

Luego Calculamos:

160

0,5 . 10 . 330 . .

370

330

2 165 10

16,67 . 250 . 370 1,64

212 . 10

Luego

La profundidad de la línea neutra será: 1,25

1,25 . 370

2 .165 . 10 16,67 .250 . 370

0,4384

162,2

Y la capacidad mecánica de la armadura de tracción será: 0,80

0,80. 16,67 . 250 .162,2

500000

40.775

40775 434,78

EJEMPLOS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

E08. Se trata de armar la sección anterior sometida a un esfuerzo normal de cálculo Nd=2.00KN y aplicada con una excentricidad respecto al eje de la pieza de 160mm. Datos: Hormigón HA‐25 Acero B500S b 250mm d 370mm d1=d2=d´ 30mm eo 160mm ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Nd= 2 . 106 N fcd= 25/1,5 = 16,67 N/mm2 fyd= 500/1,15 = 434,78 N/mm2 ρ=d/d´= 30/370 = 0,081 α = 0,617 K = 1,640 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

0,80

2 1

0,081 2

0,40

0,80 . 0,617 0,40 .0,617

0,081

16,67. 250. 370 370 2.000.000

146,7

Luego

(160mm > 146,7 mm) se trata de un caso de grandes excentricidades Calculamos: 160

2 2 . 10 . 330 . . Luego

370

30 2

660 10

330

16,67 . 250 . 370 1,64

212 . 10

Armadura de compresión: 660 220 10 370 30

Como

0,2338 

1,317 10

Armadura de tracción: 0,80

0,80 . 0,617 . 16,67 . 250 .370 78.332 434,78

1,317 10

2 . 10

78.332

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

E09. Se trata de dimensionar y armar una sección rectangular de ancho 250mm sometida a un esfuerzo normal de cálculo Nd=500 KN y aplicada con una excentricidad respecto al eje de la pieza de 160mm. Datos: Hormigón HA‐25 Acero B500S b 250 mm eo 160 mm ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Nd= 0,5 . 106 N fcd= 25/1,5 = 16,67 N/mm2 fyd= 500/1,15 = 434,78 N/mm2 α = 0,617 K = 1,640 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Debemos calcular el canto de la sección, lo haremos de tal forma que no necesite armadura de compresión, es , siendo la produndidad de la línea neutra decir el Establecemos un recubrimiento tal que: ´

0,20

Cálculo del canto mínimo sin armadura de compresión: 1

1 4

0,5. 10 0,2 16,67. 250

1,64

16,67. 250 . 160 1,64 0,5 10

0,2

301

Una vez conocido el canto de la sección comprobamos que corresponda al caso de grandes excentricidades: 1

0,80

0,40

0,80 0,617 0,40 . 0,617

0,2

2 0,4 Luego

16,67 . 250 . 301 301 500.000

103

, se trata de un caso de grandes excentricidades

Armadura de tracción: , ó

0,80. .

. .

0,80. .

0,80 . 0,617 . 16,67. 250 .301 119.180 434,78

500.000 = 119.180 N

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA Y COMPRESIÓN COMPUESTA O SIMPLE

PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES

2.3.5 FC PE

En el apartado de grandes excentricidades, veíamos que para valores de excentricidad respecto al eje de la pieza , con una profundidad de la línea neutra la armadura se encontrará 0). en tracción (

Al ser ahora , (con el valor deberá ser negativo 0, lo que indica (frontera entre los DD3 y 4) que la armadura debe trabajar a compresión; pero la hipótesis exige que trabaje a tracción; luego la hipótesis de trabajo no es válida. Para

es necesario renunciar a tomar como profundidad de la línea neutra

, variando entre ∞ La profundidad de la línea neutra deberá ser mayor de trabajaremos en los dominios de deformación DD 4, DD 4a y DD 5.

. , es decir

Dominio de deformación DD 4

(flexión compuesta)

Dominio de deformación DD 4a

Dominio de deformación DD 5

∞

Dominio de deformación DD 5

∞

(flexión compuesta) (compresión compuesta) (compresión simple)

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA Y COMPRESIÓN COMPUESTA O SIMPLE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA

2.3.6 FC PE 03

PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES. DOMINIO 4

Tomando momentos respecto a la armadura comprimida 0,40 siendo

positivos, se deberá cumplir: 0,40

. Es decir en momento . es suficiente para equilibrar el momento Vemos en la figura que la armadura resulta innecesaria y contraproducente (ayuda a que es conveniente renunciar a colocar dicha armadura de tracción, ( 0). Así pues, las ecuaciones de equilibrio serán:

), por lo

0,40

0,80

Despejando de la segunda ecuación, obtenemos la profundidad de la línea neutra: 1,25

0,80

La tensión de la armadura comprimida dependerá del alargamiento de la misma, de acuerdo con las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones, el alargamiento unitario será: 0,0035 ,, 0,0035 Luego si



, en caso contrario si



El límite para el cual la profundidad de la línea neutra es menor que d será: (sustituyendo en la segunda ecuación ) 0,40 0,80 :

2 1

0,80

0,40 2 Luego la sección trabajará en el DD 4 con una profundidad de la línea neutra siempre que se cumpla: PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA

2.3.7 FC PE 03a

PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES. DOMINIO 4a

En este caso la contribución de la armadura

“es positiva” ya que ayuda al par

0,40

en condiciones normales de

pero esta contribución es mínima y antieconómica, pues recubrimiento, trabaja muy por debajo del límite elástico.

Por lo que al igual que en el caso anterior C.1, es conveniente prescindir de la contribución de la armadura en el cálculo, es decir tomaremos 0 . Las ecuaciones de equilibrio serán las mismas que en el caso anterior: 0,40

0,80

Despejando de la segunda ecuación, obtenemos la profundidad de la línea neutra: 1

1,25

Por lo que: 0,80

El límite para el cual la profundidad de la línea neutra es menor que h será: (sustituyendo en la segunda ecuación ) 0,80 obtenemos:

0,40 1

0,80 2

2 0,40

0,6

Luego la sección trabajará en el DD 4a con una profundidad de la línea neutra siempre que se cumpla:

PROYECTO DE SECCIONES EN FLEXIÓN COMPUESTA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN COMPRESIÓN COMPUESTA

2.3.8 CC PE 03b

PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES. DOMINIO 5. (h < x ≤ ∞)

0,20

Las ecuaciones de equilibrio serán: 0,50

sea capaz de equilibrar por si Vamos a calcular cual es el valor que ha de tener para que solo el momento . , es decir para que valores puede ser nulo ( 0) 0, quedando la misma:

Para ello en la segunda ecuación establecemos 0,50

, despejamos ,quedando:

Sustituyendo

se mantiene el equilibrio sin es decir para valores de profundidad del bloque rectangular necesidad de armadura de tracción; para que esto ocurra la profundad de la línea neutra deberá ser: 0,20

es decir, en todo el DD 5 se puede mantener el equilibrio sin necesidad de armadura , en cuyo caso la profundidad de la línea neutra será infinita. cuando

, excepto

El límite de la excentricidad para el cual la respuesta del bloque de compresiones del hormigón ( ) puede equilibrar por si solo el momento será: ó :

0,50 ,

∞ obtenemos:

1 2

, la profundidad de la fibra neutra variará entre para valores de posible el equilibrio de momentos con la sola colaboración de .

∞ , siendo

PROYECTO DE SECCIONES EN COMPRESIÓN COMPUESTA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

La capacidad mecánica de la armadura más comprimida será: 1

Puesto que las ecuaciones en los dominios de deformación DD 4 y DD 4a, y DD 5 (con son iguales, podemos clasificarlos como un solo caso. Siendo la respuesta mecánica de la armadura de compresión:

∞)

y la profundidad de la línea neutra:

1,25

0,20

CC PE 03b

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES EN COMPRESIÓN COMPUESTA

2.3.9 CC PE 04

PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES. DOMINIO 5. (x= ∞)

Para valores de , ya no es posible el equilibrio con la sola colaboración de que colocar un armadura que colabore. Las ecuación de equilibrio: ∑

0,20

, por lo que habrá

Siendo

0,20

Luego tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas: una de ellas.

, por lo que tendremos que prefijar

Puesto que toda las sección sufre acortamientos, la solución más económica se conseguirá haciendo que el hormigón trabaje a plena capacidad, haciendo ∞ , con lo que la profundidad del diagrama rectangular será ; en este caso las fibras de toda la sección sufren acortamientos, que de acuerdo con las hipótesis de cálculo, serán como máximo del 2‰. Para una deformación del 2‰ y un coeficiente parcial de seguridad de cálculo

1,15 , corresponde

una tensión del acero: 400

347,83 /

1,78 ‰

500

434,78 /

2,17 ‰

2‰

Resumiendo para determinar los valores de Acero B400S Acero B500S

400

0,002 .200000

400 /

De las ecuaciones de equilibrio: 0,50

se obtiene: .

0,50

PROYECTO DE SECCIONES EN COMPRESIÓN COMPUESTA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

En el caso de compresión simple y con recubrimientos iguales ( 0

2 2

El caso de compresión simple no se da en la realidad, ya que es difícil garantizar el perfecto centrado de la carga, por lo que la Instrucción EHE art. 41.2.1. establece una excentricidad mínima, como veremos más tarde. CC PE 04

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Como resumen y ejemplo de lo visto en flexión compuesta y compresión compuesta, vamos a analizar las solicitaciones en los pilares centrales de un pórtico de la estructura de un edificio de 10 plantas, de los que conocemos los momentos en la cabeza de los pilares y el diagrama de axiles. Hormigón Acero b d d’ fcd= 25/1,5

HA‐25 B500S 250 mm 210 mm 400 mm 16,67 N/mm2

fyd= 500/1,15 434,78 N/mm2 Nd= 70 KN Md=80 m.KN Mlim=68,3 m.KN eo= 1142,8 mm eo lim= 12,1 mm GRANDES EXCENTRICIDADES. Nd.e > Mlim DD2.3

Nd.e=86,0 m.KN

Nd= 200 KN Md=41 m.KN Mlim=68,3 m.KN eo= 205 mm eo lim= 59,5 mm GRANDES EXCENTRICIDADES. Nd.e < Mlim DD2.3

Nd.e=58,0 m.KN

FC GE 01

FC GE 02

Nd= 350 KN Md=45 m.KN Mlim=68,3 m.KN eo lim= 70,4 mm eo= 128,5 mm GRANDES EXCENTRICIDADES. Nd.e > Mlim DD2.3

Nd.e=74,7 m.KN

FC GE 01

Nd= 500 KN Md=47 m.KN Mlim=68,3 m.KN Nd.e=89,5 m.KN eo= 94,0 mm eo lim= 74,8 mm GRANDES EXCENTRICIDADES. Nd.e > Mlim DD2.3 FC GE 01 Nd= 650 KN Md=46 m.KN eo=70,8 mm eo lim= 77,2 mm PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES.

eo h= 8,1 mm eo > eoh DD4

FC PE 03

Nd= 800 KN Md=46 m.KN eo=57,5 mm eo lim= 78,6 mm PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES.

eo h= 22,5 mm eo > eoh DD4

FC PE 03

Nd= 950 KN Md=45 m.KN eo=47,4 mm eo lim= 79,6 mm PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES.

eo h= 32,4 mm eo > eoh DD4a

FC PE 03

Nd= 1.100 KN Md=45 m.KN eo=40,9 mm eo lim= 80,4 mm PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES.

eo h= 39,6 mm eo ∞= 4,5mm FC PE 03 eo > eoh DD4a

Nd= 1.250 KN Md=44 m.KN eo=35,2 mm eo lim= 80,9 mm PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES.

eo h= 45,0 mm eo > eo∞ DD5

eo ∞= 14,2mm CC PE 03

Nd= 1.400 KN Md=42 m.KN eo=30,0 mm eo lim= 81,9 mm PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES.

eo h= 49,3 mm eo > eo∞ DD5

eo ∞= 21,8mm CC PE 03

eo h= 55,6 mm eo < eo∞ DD5

eo ∞= 32,9mm CC PE 04

Nd= 1.700 KN Md=36 m.KN eo=21,2 mm eo lim= 82,0 mm PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES.

CC PE 04

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

2.4

RESUMEN. ESQUEMA DE ARMADO DE UNA SECCIÓN

FLEXIÓN SIMPLE M

fcd . b . d K

0,80

0,40

0,80

DD3

TRACCIÓN SIMPLE O COMPUESTA

∞ 0

FLEXIÓN COMPUESTA O COMPRESIÓN COMPUESTA

0,80

DD3

DD1

DD2

0,40

P. EXCENTRIC.

G. EXCENTRIC.

0,80

DD3

1 2

DD2

DD3

∞

DD4 DD4a

0,50

∞

DD5

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

2.5

SOLUCIÓN CON ARMADURA SIMÉTRICA Cuando una sección se encuentra en los casos expuestos FC PE 03a, CC PE 04 y CC PE 05, pertenece a un soporte de la estructura de un edificio. En las estructuras de edificios, en los soportes se utiliza habitualmente una solución de armadura simétrica ( ) , por simplicidad en la colocación en obra. En los casos FC PE 03a, CC PE 04 una vez obtenido quedando la sección sobredimensionada.

, tomamos

En el caso CC PE 05 hemos visto como es independiente de , siendo es la armadura más comprimida); las solución de armadura simétrica se obtiene sin más que determinar y luego tomar quedando la armadura sobredimensionada. En soportes cuadrados se suele optar por un armado simétrico a las cuatro caras. En soportes rectangulares se suele elegir una de las dos soluciones: armado simétrico a dos caras o a cuatro caras

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

2.6

EXCENTRICIDAD MÍNIMA Cuando la sección está sometida a un esfuerzo normal de compresión de compresión simple.

con

0, la solicitación es

En la práctica es difícil garantizar el perfecto centrado de la carga, por lo que la EHE‐08 art. 42.2.1 establece una excentricidad mínima debida a la incertidumbre en la posición del punto de aplicación del esfuerzo normal: 20 /20

Dicha excentricidad debe ser contada a partir del centro de gravedad de la sección bruta y en la dirección más desfavorable de las direcciones principales y sólo en una de ellas: a) En compresión simple: se introduce una excentricidad en la dirección más desfavorable y se . calcula la sección en compresión compuesta con

b) En compresión compuesta: se comprueba la sección considerando por separado la actuación de la fuerza sobre cada uno de los ejes principales de la sección con una excentricidad

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

EJEMPLOS

E10. Se trata de armar una sección rectangular de dimensiones 250mm x 350 mm, sometida a un esfuerzo normal de cálculo Nd=2.000 KN aplicado en el centro de la pieza. Datos: Hormigón HA‐25 Acero B500S Nd= 2 . 106 N d1=d2=40mm ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ fcd= 25/1,5 = 16,67 N/mm2 fyd= 500/1,15 = 434,78 N/mm2 α = 0,617 Se trata de un caso de compresión simple, de acuerdo al art. 42.2.1, se debe aplicar una excentricidad mínima de: Comprobación 1: 20

350 20

Luego aplicamos una excentricidad de

17,5 20

b=250mm h=350mm d=310mm eo=20mm. ρ=40/310=0,129 16, 66 250 310 16, 66 250 350

1.291.667 1.458.333

0,80

Luego 1 2

0,40

–

123,37

0,435

0,435 1

0,4934 0,2468

0,129

1.291.667 310 2 10

123,37

, pertenece al caso de pequeñas excentricidades. 1.458.333 310 2 10

36,56

Luego estamos en el caso CC PE 04 .

0,50

418.981

122.685

500

418.981 400 122.685 400

400

1.048

2 32 1.608

307

2 16 402

EJEMPLOS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Comprobación 2: 20

350 20

Luego aplicamos una excentricidad de

17,5 20

Comprobación 2: b=350mm h=250mm d=210mm eo=20mm. ρ=40/210=0,19 16, 66 250 310 16, 66 250 350

1.225.000 1.458.333

0,80

Luego 1 2

0,40 0

–

0,404

81,43 0,404 1

0,4934 0,2468

0,19

1.2225.000 210 2 10

81,43

, pertenece al caso de pequeñas excentricidades. 1.458.333 210 23,02 2 10

Luego estamos en el caso CC PE 04 .

0,50

506.127

35.539

500

506.127 400 35.539 400

400 1.266 89

2 32 1.608 2 10 157

Puesto que se trata de un pilar y para que cumpla con las dos comprobaciones utilizaremos un armado simétrico:

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

2.7

FLEXIÓN EXVIADA SIMPLE O COMPUESTA Una sección se encuentra en un estado de flexión exviada cuando se encuentra sometida a momentos flectores , según ambos ejes principales de inercia; es decir no se conoce a priori la dirección de la fibra neutra. 0) o compuesta (

Puede ser simple (

0).

En estructuras de edificios esta solicitación puede darse:  

Algunas vigas, que pueden estar sometidas a cargas laterales (viento, empuje de tierras en muros, etc.) En la mayoría de los pilares, sobre todo en los pertenecientes al apoyo de dos vigas no alineadas.

La Instrucción EHE Anejo 7. Cálculo simplificado de secciones. Punto 7, propone un método mediante reducción del problema a uno de flexión compuesta recta con una excentricidad ficticia. Este método es de aplicación en los casos con armadura en las cuatro esquinas y armaduras iguales en las cuatro caras. Este método es aplicable a la mayoría de las estructuras de edificios ya que como se ha comentado anteriormente, en éstas se suele utilizar una solución de armadura simétrica. Si una sección de dimensiones . está sometida a un esfuerzo axil y a momentos flectores y , el problema se reduce a uno de flexión compuesta con un momento siendo: flector β una constante cuyo valor en función de

se obtiene de la tabla siguiente:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

≥ 0,8

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

Para cuantías grandes (ω > 0,60) los valores indicados para β se aumentarán 0,1. Para cuantías pequeñas(ω < 0,20) los valores indicados para β se disminuirán en 0,1. ,

Los ejes xo e yo de la figura deben elegirse de manera que cumplam la condición:

h b

dimensión del lado paralelo a yo dimensión del lado paralelo a xo

PROYECTO DE SECCIONES SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

EJEMPLOS

E11. Se trata de armar una sección rectangular de dimensiones 250mm x 400 mm, sometida a un esfuerzo normal de cálculo Nd=500 KN y a dos momentos flectores de cálculo Mxd=40mKN y Myd=25mKN Datos: Hormigón HA‐25 Acero B500S Nd= 5 . 105 N Mxd=40 106 mm.N Myd=25 106 mm.N d1=d2=40mm ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ fcd= 25/1,5 = 16,67 N/mm2 fyd= 500/1,15 = 434,78 N/mm2 α = 0,617

calculamos: 40 10 80 5 10 25 10 50 5 10 50 400 80 250

Luego tomamos como canto h=250 y ancho b=400, siendo ahora: 80

, 80 50

50 250 400

h b

dimensión del lado paralelo a yo dimensión del lado paralelo a xo

calculamos: 5 10 0,30 16,67 400 250 Puesto que no hemos armado la sección no podemos calcular el valor de ω, así que estimamos una cuantía media; posteriormente al armado volvemos a comprobar el valor de ω y si es necesario recalcularemos el armado. Para un valor de ν=0,30 corresponde un valor de β=0,80, así pues

0,80 50

250 400

105

Luego la sección la calcularemos en flexión o compresión compuesta con: 500.000 105

EJEMPLOS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Armado de la sección: 1

0,80

105

68,67

0,40

–

68,67

, pertenece al caso de grandes excentricidades.

Calculamos: 190

2 95 10

. .

109.286.292

Luego

(caso FC GE 02)

La profundidad de la línea será: 1,25

106,4

Y la capacidad mecánica de la armadura de tracción: 0,80

67.334 67.334 434,78

155

2 10 157

Colocamos armadura simétrica con cuatro barras de Ø10mm., una en cada esquina. Volviendo al apartado anterior calculamos la cuantía de la sección ,

314 . 434,78 16.67 400 210

0,098

0,20,

Para un valor de ν=0,30 corresponde un valor de β = 0,8 ‐ 0,1 = 0,7, así pues:

0,70 . 50

Realizando los cálculos obtenemos: 68,67 caso: grandes excentricidades. 187 93,5 10 . 109.286.292 (caso FC GE 02) 104,1 55.409 127 2 2 10 157

250 400

102

Luego la sección cumple para las solicitaciones dadas.

CAPÍTULO 3 DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

Si existen armaduras pasivas en compresión, para poder tenerlas en cuenta en el cálculo será preciso que vayan sujetas por cercos o estribos, cuya separación st y diámetro φt sean: st ≤ 15ømín øt ≥ ¼ ømáx

(ømín diámetro de la barra comprimida más delgada) (ømáx diámetro de la armadura comprimida más gruesa)

Para piezas comprimidas, en cualquier caso: st < la dimensión menor del elemento st ≤ 30 cm. La armadura pasiva longitudinal resistente, o la de piel, deberá quedar distribuida convenientemente para evitar que queden zonas de hormigón sin armaduras, de forma que la distancia entre dos barras longitudinales consecutivas ‹s› cumpla las siguientes limitaciones: s ≤ 30 cm. s ≤ tres veces el espesor bruto de la parte de la sección del elemento, alma o alas, en las que vayan situadas. Para que los cercos arriostren eficazmente la armadura longitudinal es preciso que sujeten realmente las barras longitudinales en compresión, evitando su pandeo. Así, por ejemplo, si en un soporte la armadura longitudinal se disponen no sólo en las esquinas sino también a lo largo de las caras, para que las barras centrales queden realmente sujetas, convendrá adoptar disposiciones del tipo de las indicadas en las figuras, sujetando, al menos, una de cada dos barras consecutivas de la misma cara y todas aquellas que se dispongan a una distancia a > 150 mm.

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

3.1 DRA

FLEXIÓN SIMPLE O COMPUESTA

Art. 42.3.2

Cuando el agotamiento de una sección se produzca por flexión simple o compuesta, la armadura resistente longitudinal traccionada deberá cumplir la siguiente limitación: (sin armaduras activas)

, ,

Área de la armadura pasiva.

fyd

Resistencia de cálculo del acero de la armadura pasiva en tracción.

fct,m,fl

Resistencia media a flexotracción del hormigón.

Módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más traccionada.

Brazo mecánico de la sección. A falta de cálc. más precisos puede adoptarse z = 0,8 h.

En flexión simple y para piezas habituales en las estructuras de edificios (sección rectangular y 50 / ), para armadura resistente longitudinal tracionada se puede aplicar la siguiente formula simplificada: 0,04 Ac

área de la sección total del hormigón

admitiéndose disponer de una armadura mínima de tracción reducida « 1,50

12,5

»siendo:

En flexión compuesta se recomienda una armadura mínima de compresión que cumpla: 0,05

Salvo en el caso de forjados unidireccionales con elementos prefabricados, deberá continuarse hasta los apoyos: ‐ al menos un tercio de la armadura necesaria para resistir el máximo momento positivo, en el caso de apoyos extremos de vigas ‐ y al menos un cuarto en los intermedios. Esta armadura se prolongará a partir del eje del apoyo en una magnitud igual a la correspondiente longitud neta de anclaje. En forjados de viguetas armadas, la armadura longitudinal inferior se compondrá, al menos, de dos barras. La limitación impuesta a la armadura de tracción se justifica por la necesidad de evitar que, debido a la insuficiencia de dicha armadura para asegurar la transmisión de los esfuerzos en el momento que el hormigón se fisura, pueda romperse la pieza sin previo aviso al alcanzar el hormigón su resistencia a tracción. Por tanto, deberá disponerse de una armadura suficiente para resistir una fuerza de tracción igual a la del bloque traccionado de la sección antes de producirse la fisuración. Para secciones armadas sometidas a flexión compuesta, la limitación, que no tiene en cuenta el efecto del axil, es conservadora.

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

3.2 DRA

COMPRESIÓN SIMPLE O COMPUESTA

Art. 42.3.3

En las secciones sometidas a compresión simple o compuesta, las armaduras principales en compresión A's1 y A's2 deberán cumplir las limitaciones siguientes: A's1 fyc,d ≥ 0,05 Nd

A's1 fyc,d ≤ 0,5 fcd Ac

A's2 fyc,d ≥ 0,05 Nd

A's2 fyc,d ≤ 0,5 fcd Ac

fyc,d

resist. de cálculo del acero a compresión fyc,d= fyd ≤ 400 N/mm2

esfuerzo normal mayorado de compresión.

fcd

Resistencia de cálculo del hormigón en compresión.

Área de la sección total de hormigón.

En los casos de compresión simple, con armadura simétrica, las formulas anteriores quedan reducidas a: 0,1

sección total de las armaduras longitudinales comprimidas DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

3.3 DRA

TRACCIÓN SIMPLE O COMPUESTA

Art. 42.3.4

En el caso de secciones de hormigón sometidas a tracción simple o compuesta, provistas de dos armaduras principales, deberán cumplirse las siguientes limitaciones: (sin armaduras activas) ,

fct,m

Resistencia media a tracción: ,

0,30

50 /

En el caso de tracción compuesta, la fórmula no tiene en cuenta la influencia del momento en la evaluación de la resultante de tensiones, por tanto, constituye una aproximación del lado de la seguridad. DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

CUANTIAS GEOMÉTRICAS MÍNIMAS EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES

3.4 DRA

En la tabla se indican los valores de las cuantías geométricas mínimas que deben disponerse en los diferentes tipos de elementos estructurales, en función del acero utilizado, siempre que dichos valores resulten más exigentes que los señalados en los apartados anteriores Cuantías geométricas mínimas en ‰, referidas a la sección total de hormigón Elemento estructural

Tipo de acero fy=400N/mm2

fy=500N/mm2

PILARES

4,0

VIGAS (1)

3,3

2,8

(1) correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda en la cara opuesta una armadura igual al 30% de la consignada

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

ELEMENTOS ESTRUCTURALES

3.5 ELEM art. 54

Soportes: Los soportes ejecutados en obra deberán tener su dimensión mínima mayor o igual a 25 cm. La armadura principal estará formada, al menos, por cuatro barras, en el caso de secciones rectangulares y por seis barras en el caso de secciones circulares siendo la separación entre dos consecutivas de 35 cm como máximo. El diámetro de la barra comprimida más delgada no será inferior a 12 mm., dichas barras sujetas por cercos o estribos con las separaciones máximas y diámetros mínimos de la armadura transversal que se indican en 42.3.1. En soportes circulares los estribos podrán ser circulares o adoptar una distribución helicoidal.

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE EL ARMADO

3.6 ARMADO art. 69

Distancia entre barras de armaduras pasivas El armado de la ferrralla será conforme a las geometrías definidas para la misma en el proyecto, disponiendo armaduras que permitan un correcto hormigonado de la pieza de manera que todas las barras o grupos de barras queden perfectamente envueltas por el hormigón, y teniendo en cuenta, en su caso, las limitaciones que pueda imponer el empleo de vibradores internos. Cuando las barras se coloquen en capas horizontales separadas, las barras de cada capa deberán situarse verticalmente una sobre otra, de manera que el espacio entre las columnas de barras resultantes permita el paso de un vibrador interno. Las prescripciones que siguen son aplicables a las obras ordinarias hormigonadas in situ. Barras aisladas La distancia libre, horizontal y vertical, entre dos barras aisladas consecutivas, será igual o superior al mayor de los tres valores siguientes: ‐ 20 milímetros (en viguetas y losas alveolares pretensadas se tomarán 15 mm) ‐ el diámetro de la mayor; ‐ 1,25 veces el tamaño máximo del árido (art. 28.3). Grupos de barras Se llama grupo de barras a dos o más barras corrugadas puestas en contacto longitudinalmente. Como norma general, se podrán colocar grupos de hasta tres barras como armadura principal. Cuando se trate de piezas comprimidas, hormigonadas en posición vertical, y cuyas dimensiones sean tales que no hagan necesario disponer empalmes en las armaduras, podrán colocarse grupos de hasta cuatro barras. En los grupos de barras, para determinar las magnitudes de los recubrimientos y las distancias libres a las armaduras vecinas, se considerará como diámetro de cada grupo el de la sección circular de área equivalente a la suma de las áreas de las barras que lo constituyan. Los recubrimientos y distancias libres se medirán a partir del contorno real del grupo. En los grupos, el número de barras y su diámetro serán tales que el diámetro equivalente del grupo, definido en la forma indicada en el párrafo anterior, no sea mayor que 50 mm, salvo en piezas comprimidas que se hormigón en posición vertical en las que podrá elevarse a 70 mm la limitación anterior. En las zonas de solapo el número máximo de barras en contacto en la zona del empalme será de cuatro.

Consideraciones generales El armado de la ferralla puede realizarse en instalación industrial ajena a la obra o como parte del montaje de la armadura en la propia obra y se efectuará mediante procedimientos de atado con alambre o por aplicación de soldadura no resistente. Con carácter general, las barras de la armadura principal deben pasar por el interior de la armadura de cortante. La disposición de los puntos de atado cumplirá las siguientes condiciones en pilares y vigas: ‐ Se atarán todos los cruces de esquina de los estribos con la armadura principal;

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

‐

Cuando se utilice malla electrosoldada doblada formando los estribos o armadura de pre‐ armado para la disposición automática de estribos, la armadura principal debe atarse en las esquinas a una distancia no superior a 50 veces el diámetro de la armadura principal Las barras de armadura principal que no estén ubicadas en las esquinas de los estribos, deben atarse a éstos a distancias no superiores a 50 veces el diámetro de la armadura principal. En el caso de estribos múltiples formados por otros estribos simples, deberán atarse entre sí.

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

ANCLAJE DE LAS ARMADURAS PASIVAS

3.7 ANCLAJE art. 69.5

Los anclajes extremos de las barras deben asegurar la transmisión mutua de esfuerzos entre el hormigón y el acero, de tal forma que se garantice que éste es capaz de trasladar toda su capacidad mecánica sin peligro para el hormigón. El anclaje de las barras de las barras de hormigón armado se consigue mediante el mecanismo de adherencia y se realiza mediante alguna de las disposiciones siguientes:  Por prolongación recta  Por gancho o patilla  Por armaduras transversales soldadas. La longitud de anclaje de una armadura es función de sus características geométricas de adherencia, de la resistencia del hormigón, de la posición de la barra respecto de hormigonado, del esfuerzo en la armadura y de la forma del dispositivo de anclaje. Es muy aconsejable, como norma general, disponer los anclajes en zonas en las que el hormigón esté sometido a compresiones y, en todo caso, deben evitarse las zonas de fuertes tracciones. Esto conduce, en vigas, a llevar las armaduras de momento negativo, sobre apoyos intermedios al menos hasta una distancia de éstos de un tercio a un quinto de la luz; y en apoyos extremos, a bajar las armaduras, dobladas a 90o, por la cara más alejada del soporte o muro. Las longitudes de anclaje dependen de la posición que ocupan las barras en la pieza con respecto a la dirección de hormigonado. Las barras superiores están en peores condiciones de adherencia que las inferiores debido a que el hormigón que las circunda es generalmente de calidad algo más baja, a causa del efecto del reflujo de aire y lechada hacia los alto durante la compactación; es por ello que la Instrucción EHE distingue dos posiciones de las barras, la «I» y la «II». Posición I, de adherencia buena, para las armaduras que durante el hormigonado forman con la horizontal un ángulo comprendido entre 45º y 90º o que en el caso de formar un ángulo inferior a 45º, están situadas en la mitad inferior de la sección o a una distancia igual o mayor a 30 cm de la cara superior de una capa de hormigonado. Posición II, de adherencia deficiente, para las armaduras que, durante el hormigonado, no se encuentran en ninguno de los casos anteriores. DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

La longitud neta de anclaje no podrá adoptar valores inferiores al mayor de los tres siguientes:   

10 ø 150 mm la tercera parte de la longitud básica de anclaje para barras traccionadas y los dos tercios de dicha longitud para barras comprimidas. Los anclajes extremos de las barras podrán hacerse por los procedimientos normalizados indicados en la figura

Longitud básica de anclaje La longitud básica de anclaje obtenida de forma simplificada es:  

Para barras en posición I: 20

Para barras en posición II: 1,4

ø m

Diámetro de la barra, en mm. Coeficiente numérico, con los valores indicados en la tabla en función del tipo de acero, obtenido a partir de los resultados experimentales realizados con motivo del ensayo de adherencia de las barras. Límite elástico garantizado del acero, en N/mm2. fyk lbI y lbII Longitudes básicas de anclaje en posiciones I y II, respectivamente, en mm.

fck 25 30

35 40 45 ≥50

m B400S / SD

B500S / SD

1,2 1,0 0,9 0,8 0,7 0,7

1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 1,0

ANCLAJE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Longitud neta de anclaje La longitud neta de anclaje se define: ,

Factor de reducción definido en la tabla.

σsd

Tensión de trabajo de la armadura que se desea anclar, en la hipótesis de carga más desfavorable, en la sección desde la que se determinará la longitud de anclaje.

Armadura necesaria por cálculo en la sección a partir de la cual se ancla la armadura

As,real

Armadura realmente existente en la sección a partir de la cual se ancla la armadura

Factor de reducción β Tipo de anclaje

Tracción

Compresión

Prolongación recta Patilla y ganchos Barra transversal soldada

1 0,7 0,7

1 1,0 0,7

Grupos de barras Siempre que sea posible, los anclajes de las barras de un grupo se harán por prolongación recta. Cuando todas las barras del grupo dejan de ser necesarias en la misma sección, la longitud de anclaje de las barras será como mínimo: 1,3 lb para grupos de 2 barras 1,4 lb para grupos de 3 barras 1,6 lb para grupos de 4 barras lb la longitud de anclaje correspondiente a una barra aislada.

Cuando las barras del grupo dejan de ser necesarias en secciones diferentes, a cada barra se le dará la longitud de anclaje que le corresponda según el siguiente criterio: 1,2 lb si va acompañada de 1 barra en la sección en que deja de ser necesaria 1,3 lb si va acompañada de 2 barras en la sección en que deja de ser necesaria 1,4 lb si va acompañada de 3 barras en la sección en que deja de ser necesaria

teniendo en cuenta que, en ningún caso los extremos finales de las barras pueden distar entre sí menos de la longitud lb ANCLAJE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Empalme de las armaduras pasivas Los empalmes entre barras deben diseñarse de manera que la transmisión de fuerzas de una barra a la siguiente quede asegurada, sin que se produzcan desconchados o cualquier otro tipo de daño en el hormigón próximo a la zona de empalme. No se dispondrán más que aquellos empalmes indicados en los planos y los que autorice el Director de Obra. Se procurará que los empalmes queden alejados de las zonas en las que la armadura trabaje a su máxima carga. Los empalmes podrán realizarse por solapo o por soldadura. Como norma general, los empalmes de las distintas barras en tracción de una pieza, se distanciarán unos de otros de tal modo que sus centros queden separados, en la dirección de las armaduras, una longitud igual o mayor a lb

Empalmes por solapo Este tipo de empalmes se realizará colocando las barras una al lado de otra, dejando una separación entre ellas de 4ø como máximo. La longitud de solapo será igual a: ,

lb,neta

longitud neta de anclaje

coeficiente definido en la tabla, en función del porcentaje de armadura solapada en una sección respecto a la sección total de acero de esa misma sección, de la distancia transversal entre empalmes y del tipo de esfuerzo de la barra.

Valores de α Distancia entre los empalmes más próximos a ≤ 10ø a ≤ 10ø

Porcentaje de barras solapadas trabajando a tracción, con relación a la sección total de acero 20 25 33 50 >50 1,2 1,0

1,4 1,1

1,6 1,2

1,8 1,3

2,0 1,4

Barras solapadas trabajando normalmente a compresión en cualquier porcentaje 1,0 1,0

ANCLAJE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

DURABILIDAD. RECUBRIMIENTOS

3.8 RECUB

El espesor del recubrimiento constituye un parámetro de gran importancia para lograr una protección adecuada de la armadura durante la vida de servicio de la estructura. El periodo durante el cual el recubrimiento del hormigón protege a las armaduras es función del cuadrado del espesor del recubrimiento (una disminución del recubrimiento a la mitad de su valor nominal, se traduce en un periodo de protección de la armadura de la cuarta parte) El recubrimiento de hormigón es la distancia entre la superficie exterior de la armadura (incluyendo cercos y estribos) y la superficie del hormigón más cercana. Se define como recubrimiento mínimo de una armadura pasiva aquel que debe cumplirse en cualquier punto de la misma. Para garantizar estos valores mínimos, se prescribirá en el proyecto un valor nominal del recubrimiento , definido como: ∆ recubrimiento nominal rnom rmín recubrimiento mínimo Δr

margen de recubrimiento, en función del nivel de control de ejecución. 0mm elementos prefabricados con control intenso de ejecución. 5mm elementos ejecutados in situ con nivel intenso de control de ejecución 10 mm en el resto de los casos

El recubrimiento nominal es el valor que debe reflejarse en los planos, y que servirá para definir los separadores. El recubrimiento mínimo es el valor que se debe garantizar en cualquier punto del elemento y que es objeto de control, Artículo 95º. En los casos particulares de atmósfera fuertemente agresiva o especiales riesgos de incendio, los recubrimientos indicados deberán ser aumentados. En el caso de las armaduras pasivas, los recubrimientos mínimos deberán cumplir las siguientes condiciones: a) Cuando se trata de armaduras principales: rmin ≥ Ø de la barra rmin ≥ 0,80 veces el tamaño máximo del árido rmin ≥ 1,25 veces el tamaño máximo del árido cuando la disposición de armaduras respecto a los paramentos dificulte el paso del hormigón b) Para cualquier clase de armaduras pasivas (incluso estribos) el recubrimiento no será, en ningún punto, inferior a los valores mínimos recogidos en las tablas 37.2.4.1.a, 37.2.4.1.b y 37.2.4.1.c. c); estos valores son función de la clase de exposición a que estará sometida la estructura. c) El recubrimiento de las barras dobladas no será inferior a dos diámetros, medido en dirección perpendicular al plano de la curva. d) Cuando se trate de superficies límites de hormigonado que en situación definitiva queden embebidas en la masa del hormigón, el recubrimiento no será menor que el diámetro de la barra o diámetro equivalente cuando se trate de grupo de barras, ni que 0.8 veces el tamaño máximo del árido. Cuando por exigencias de cualquier tipo (durabilidad, protección frente a incendios o utilización de grupos de barras), el recubrimiento sea superior a 50 mm, deberá considerarse la posible conveniencia de colocar una malla de reparto en medio del espesor del recubrimiento en la zona de tracción, con una cuantía geométrica de: 5 ‰ del área del recubrimiento para barras igual o inferior a 32 mm 10‰ para diámetros superiores a 32 mm. En piezas hormigonadas contra el terreno, el recubrimiento mínimo será 70 mm, salvo que se haya preparado el terreno y dispuesto un hormigón de limpieza. DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

CAPÍTULO 4 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

El esfuerzo cortante aparece en una pieza como consecuencia de la variación del momento flector a lo largo de su directriz. El esfuerzo cortante da lugar a la aparición de tensiones tangenciales verticales (tensiones cortantes) y tensiones tangenciales horizontales (tensiones rasantes). Estas fuerzas contrarestan la tendencia al deslizamiento vertical y horizontal de las caras de la pieza. El comportamiento de una pieza de hormigón armado cuando se considera la actuación de los esfuerzos transversales es complejo, ya que no es posible el estudio de la pieza sección a sección, sino que es necesario el tratamiento conjunto de toda la pieza. Además en el comportamiento de la pieza influyen gran cantidad de variables que no son fáciles de introducir en una formulación simple, como son: sección, esbeltez, disposición de las armaduras longitudinales y transversales, adherencia entre hormigón y acero, tipo y posición de la carga y de los apoyos. El efecto de las tensiones tangenciales creadas por el cortante, es el de inclinar las tensiones principales de tracción con respecto a la directriz de la pieza. Para cargas pequeñas estas tensiones de tracción no superan la resistencia del hormigón a tracción, y es fácil calcular su estado de tensiones. Cuando aumentan las cargas, el hormigón se fisura y se produce un complejo reajuste de tensiones entre el hormigón y las armaduras, que varían conforme la fisuración aumenta hasta llegar a la rotura. Para entender mejor el mecanismo resistente a cortante, vamos a estudiar el mecanismo resistente de una viga biapoyada, homogénea y uniformemente cargada. Suponemos que la carga es tan moderada que la viga es capaz de aguantar las tensiones normales de tracción sin fisurarse.

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

4.1 CORT

COMPORTAMIENTO DE UNA PIEZA DE HORMIGÓN SIN FISURAR

Estudiando un elemento de viga comprendido entre dos secciones infinitamente próximas, vemos que el equilibrio de este elemento exige la existencia de tensiones tangenciales horizontales (tensiones rasantes) en planos paralelos a la fibra neutra.

Tomando momentos en el pto. O, tenemos: 2

2 2

0 0

Simplificando y eliminando términos infinitesimales de segundo orden, obtenemos: Es decir las tensiones tangenciales ligadas a 2 planos perpendiculares entre sí, son del mismo valor y signo contrario. Las tensiones cortante y rasantes deben variar desde la cara superior a la inferior de la pieza y en las superficies libres de la pieza han de ser nulas.

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Vamos a estudiar el comportamiento de una pieza sometida a la acción del esfuerzo cortante. Tal y como se estableció en las hipótesis previas, los esfuerzos internos en la sección son moderados, de tal forma que la pieza es capaz de aguantar las tensiones normales de tracción sin fisurarse.

Consideremos una pieza de hormigón armado sometida a flexión simple; tomamos una rebanada elemental de longitud sometida a los esfuerzos indicados en la figura (resultantes de las tensiones internas normales de flexión y tangenciales que actúan en las dos caras de la rebanada). Si aislamos el bloque elemental indicado, observamos como las tensiones normales de flexión varían de una sección a otra debido a la diferencia de momentos existentes en ambas caras ( , ). del equilibrio de fuerzas en la cabeza comprimida: . . 0 . . al no estar fisurado el hormigón, las tensiones normales a las que están sometidos los distintos puntos de la sección sometida a un momento flector M, vienen dadas por la Ley de Navier, según las expresión siguiente: » . sustituyendo obtenemos:

. .

. . .

. .

tensión tangencial en el plano que dista de la superficie neutra Io momento de inercia de la sección respecto al centro de gravedad de la sección total del H. y distancia del punto del plano considerado a la fibra neutra

CORT

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

representa el momento estático respecto a la fibra neutra de la porción rayada de la sección.

Luego la tensión tangencial en el plano distante de la superficie neutra podemos escribirlo como: .

Fórmula de Colignon‐Jourawski, 1857 Veremos posteriormente como la Instrucción EHE‐08 aplica esta fórmula para la comprobación a cortante en regiones no fisuradas con el alma comprimida de piezas sin armadura de cortante; limitando el valor máximo de la tensión tangencial a la resistencia a tracción del hormigón

si en el planteamiento anterior: . .

sustituimos . . .

Si sustituimos como en el caso anterior:

. .

obtenemos: .

brazo mecánico

De las dos expresiones deducimos que las tensiones tangenciales son nulas en la fibras externas 0 ) y que la tensión máxima , se produce a la altura del C.G. de la sección total homogénea, ( donde el momento estático alcanza su valor máximo (para una sección rectangular / . es cte.). La distribución de tensiones tangenciales en una sección rectangular se indica en la figura. /

. .

2 4

12 6

3 2 0

Se comprueba que las tensiones tangenciales son mínimas en las fibras externa y aumentan conforme se avanza al interior de la sección. En el caso de una sección de ancho variable deducimos que la tensión tangencial aumenta conforme disminuye el ancho de la misma. CORT

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

En la siguiente figura se representa el estado tensional en la «viga sin fisurar» debido a las solicitación normales y cortantes. Si observamos el estado tensioanal en tres secciones situadas en el apoyo, en una zona intermedia y en el eje de la pieza deducimos: Sección S3: se anula el esfuerzo cortante y por tanto dicha sección se encuentra sometida a tensiones normales de compresión y tracción debidos al momento flector. Sección S2: soporta simultáneamente tensiones normales y tangenciales. Sección S1: soporta solamente tensiones tangenciales, no existen tensiones normales ya que el momento es nulo Estudiemos una sección en la que el momento flector y el cortante no sea nulo: (sección S2) Un elemento inmediato a la cara superior o inferior (A,E) soportará solamente tensiones normales de compresión debidas al momento flector (en esta zona son nulas las tensiones tangenciales). Los elementos situados en la línea neutra (C) estarán sometidos a solamente a tensiones cortantes y rasantes del mismo valor (en esta zona las tensiones normales debidas al momento son nulas). Por último los elementos B y D, soportarán a la vez tensiones normales y tangenciales, para estos elementos el estado de tensiones en el plano será: recordando las expresiones de las tensiones principales, aquellas correspondientes a los planos en que la tensión cortante es cero 0 1 2

1 2

tan 2

CORT

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

0 ,,

tan 2

1 2

: ó

Si aplicamos las ecuaciones anteriores a los elementos A y E de la sección S2: 0 ,, ,, 0 Obtenemos : 0 tan 2

0 ;

Es decir en las superficies libres superior e inferior, las direcciones de las tensiones principales son paralelas y normales al eje de la pieza. De igual forma para el elemento C de la sección S2: 0 ,, 0 45 ; 45 tan 2 ∞; 45 ; Por tanto en los puntos de la línea neutra, las direcciones de las tensiones principales cortan al eje de la pieza con pendientes de 45o. Determinando , para varios puntos, y trazando las curvas cuya tangente coincide con la dirección de las tensiones principales en dichos puntos podemos dibujar las líneas isostáticas de esfuerzos de la pieza. Circulo de Mohr CORT

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Analizando las líneas isostáticas se comprueba que en la zona traccionada las líneas isostáticas son dos familias de líneas rectas ortogonales entre sí e inclinadas 45o. La actuación de estas tensiones ortogonales, unas de tracción y otras de compresión, producen la formación de fisuras oblicuas, con una inclinación de 45o La solución a estas fisuras es ‹coser› estas fisuras por medio de barras que forman lo que denominamos armadura transversal. En la práctica la armadura transversal está formada por: ‐ Cercos o estribos perpendiculares a la directriz de la barra. ‐ Barras levantadas a 45o, estas barras por lo general son barras de la armadura de tracción que se doblan, donde dejan de ser necesarias para resistir el momento flector, y se suben hasta la zona comprimida para anclarlas o prolongarlas como pare de la armadura longitudinal de compresión.

CORT

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

COMPORTAMIENTO DE UNA PIEZA DE HORMIGÓN FISURADA.

4.2 CORT

SIN ARMADURA DE CORTANTE El estado de tensiones representado por las líneas isostáticas, es válido en un primer nivel de carga, a medida que se incrementa la carga en la viga se observa la aparición de dos tipos de fisuras unas verticales perpendiculares al eje de la pieza en la zona de flectores máximos y otras inclinadas donde el cortante es importante, siguiendo a grandes rasgos las líneas isostáticas. Al aumentar aún más la carga y aumentar en ancho de las fisuras, el esquema de isostáticas deja de ser válido y el mecanismo resistente se vuelve más complejo. Varios son los modelos y los mecanismos para explicar la resistencia a contante de una viga fisurada sin armadura de contante, entre los parámetros más importantes de cara a la resistencia a cortante podemos destacar: a) Canto de la pieza. Cuanto mayor es el canto de la pieza, mayor es el ancho de las fisuras (es lo que se conoce como efecto tamaño). Así, la fuerza que se puede transmitir por entrelazado entre las dos caras de una fisura, unos de los mecanismos de transmisión mas importantes en el efecto viga, disminuye considerablemente al aumentar d, y con ella, la capacidad de la pieza de transmitir el cortante. b) Efecto arco. La cabeza comprimida se inclina en las proximidades del apoyo, zona de máximo cortante, por lo que la compresión longitudinal en dicha cabeza N, tiene una componente . que contribuye a resistir el cortante V, transmitiéndolo al apoyo. Se forma así en la viga un arco atirantado por la armadura inferior que llega al apoyo. Este efecto depende de la relación entre canto y luz de la viga, cuanto mayor es la relacción mayor es el efecto arco. En el caso de vigas de gran canto puede llegar el colapso por exceso de compresión del hormigón. c) Resistencia del hormigón: experimentalmente se comprueba que la relación resistencia del hormigón / resistencia a cortante, es aproximadamente lineal para hormigones convencionales utilizados en las estructuras de edificios en cuanto a cantos y tipos de hormigón. d) Armadura longitudinal: experimentalmente se comprueba que la capacidad de resistir cortantes aumenta según la cantidad de armadura elevada a 1/3, ya que la armadura longitudinal de flexión reduce el ancho de las fisuras, aumentando la capacidad de transmisión de cortante por entrelazado de las caras de la fisura. ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

COMPORTAMIENTO DE UNA PIEZA DE HORMIGÓN FISURADA.

4.3 CORT

CON ARMADURA DE CORTANTE El principal objetivo de la armadura de refuerzo (cercos o barras levantadas), es asegurar que se desarrolle totalmente la resistencia a flexión antes de que se produzca la rotura a cortante. Los cercos no previenen la fisuración a cortante, antes de que se produzca la fisuración inclinada, la deformación de los cercos es igual a la del hormigón, por lo que la tensión en los cercos es pequeña. Es decir, éstos sólo trabajan una vez el hormigón se ha fisurado. Una forma de estudiar el comportamiento de una pieza de hormigón armado frente a esfuerzos cortantes, consiste en asimilarla a una celosía. Esta analogía consiste en considerar a la pieza de hormigón armado como una celosía de cordones paralelos, con un cordón superior y diagonales comprimidos (bielas) inclinadas θ° con respecto al eje longitudinal de la viga; las barras traccionadas (tirantes) están formadas por la armadura longitudinal y los cercos o barras inclinadas.

Así la Instrucción EHE‐08, en su Artículo 44.º Estado Límite de Agotamiento frente a cortante. Consideraciones generales, establece que el análisis de la capacidad resistente de las estructuras de hormigón frente a esfuerzos cortantes, se establece como método general de cálculo el de Bielas y Tirantes, que deberá utilizarse en todos aquellos elementos estructurales o partes de los mismos que, presentando estados planos de tensión o asimilables a tales, estén sometidos a solicitaciones tangentes según un plano conocido y no correspondan a los casos particulares tratados de forma explícita en esta Instrucción, tales como elementos lineales, placas, losas y forjados unidireccionales o asimilables.

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

Cálculo del Estado Límite Último de Agotamiento por cortante, según la Instrucción EHE

4.4 CORT EHE

La Instrucción EHE art.44.2, establece las condiciones de comprobación de agotamiento por cortante de aplicación exclusiva a elementos lineales sometidos a esfuerzos combinados de flexión, cortante y axil (compresión o tracción) y a placas, losas o forjados trabajando fundamentalmente en una dirección. Se consideran elementos lineales aquellos cuya distancia entre puntos de momento nulo es igual o superior a dos veces su canto total y cuya anchura es igual o inferior a cinco veces dicho canto, pudiendo ser su directriz recta o curva. Se denominan placas o losas a los elementos superficiales planos, de sección llena o aligerada, cargados normalmente a su plano medio. De acuerdo con la EHE, una pieza está en buenas condiciones a cortante si se verifican las dos condiciones: Vrd ≤ Vu1 Vrd ≤ Vu2 Vrd

esfuerzo cortante efectivo.

Vu1

esfuerzo cortante de agotamiento por compresión oblicua del alma.

Vu2

esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma.

La comprobación del agotamiento por compresión oblicua del alma se realizará en el borde del apoyo, y no en su eje. Esta comprobación no será necesaria en piezas sin armadura de cortante. La comprobación correspondiente al agotamiento por tracción en el alma se efectúa para una sección situada a una distancia de un canto útil del borde del apoyo, excepto en el caso de piezas sin armaduras de cortante en regiones no fisuradas a flexión, para las que se seguirá lo indicado en el art. 44.2.3.2.1.1(Piezas sin armadura de cortante en regiones no fisuradas)

La EHE define el esfuerzo cortante efectivo mediante la siguiente expresión:

Vrd = Vd + Vpd + Vcd Vd

valor de cálculo del esfuerzo cortante producido por las acciones exteriores.

Vpd

componente de la fuerza de pretensado en piezas pretensadas.

Vcd

componente de compresiones y tracciones inclinadas en las cabezas en piezas de canto variable.

En el caso habitual en edificaciones, de piezas de hormigón armado sin pretensar y de canto constante, el esfuerzo cortante efectivo es simplemente:

Vrd = Vd ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Si en la sección considerada la anchura del alma no es constante, se adoptará cómo bo el menor ancho que presente la sección en una altura igual a los tres cuartos del canto útil contados a partir de la armadura de tracción.

Esquema de comprobación de piezas a cortante según la instrucción EHE:

Comprobación de agotamento por compresión

oblicua del alma Vu1

Piezas sin armadura de cortante

Piezas con armadura de cortante

No hace falta comprobación

Vu1

Comprobación de agotamento por tracción en el alma Vu2

Piezas sin armadura de cortante

Piezas con armadura de cortante

Vu2

Vu2 = Vcu + Vsu

El hormigón del alma se ha fisurado

El hormigón del alma no se ha fisurado

Contribución del hormigón Contribución de la armadura

Md > Mfis,d

Md ≤ Mfis,d

CORT EHE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

4.5 Vu1

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR COMPRESIÓN OBLICUA DEL AMA

En este apartado vamos a calcular el esfuerzo cortante de agotamiento por compresión oblicua del alma Vu1 Si tomamos un trozo de viga entre dos fisuras consecutivas, comprendiendo un tirante y la correspondiente parte del bloque comprimido (biela):

Las armaduras transversales forman un ángulo α con la directriz de la pieza, y el hormigón está fisurado formando un ángulo θ con dicha directriz, siendo : Fc resultante de las tensiones de compresión sobre la sección recta de la biela. T fuerza ejercida por la armadura de tracción. τd tensión tangencial en la sección A‐B del empotramiento (b x s) σc tensión de compresión del hormigón en la biela comprimida. Estableciendo el equilibrio de fuerzas de la figura: Δ sen 180 sen siendo : Δ se obtiene :

Δ sen

1 sabiendo que la tensión tangencial cortante es τ

, siendo z = d (instrucción EHE), tendremos:

Vu1= τd bo d d

1 puesto que la capacidad resistente del hormigón de las bielas disminuye debido a la fisuración de las mismas y al efecto provocado por la presencia de tirantes que la atraviesan, la instrucción EHE art.44.2.3.1 establece un coeficiente de minoración de la resistencia: 0,60 0,90

60 /

0,50 60 / 200 Para el caso de hormigones utilizados habitualmente en la edificación (

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

0,60

el ángulo θ, entre las bielas de compresión de hormigón y el eje de la pieza, adoptará un valor que cumpla: (según la Instrucción EHE) 0,5 2,0 o lo que es lo mismo 26,6° 63,4° Particularizando para los casos de estribos rectos y barras levantadas a 45°, (eligiendo θ=45°), caso habitual en la edificación, con piezas de hormigón armado en flexión simple o con axiles despreciables, la ecuación anterior (cortante último por agotamiento de las bielas) resulta:

Estribos rectos: Barras levantadas a 45°:

α=90° α=45°

Vu1 = 0,30 fcd bo d Vu1 = 0,45 fcd bo d

En el caso de que la pieza esté sometida a la vez un esfuerzo axil, al valor se le aplica un coeficiente de reducción/mayoración K, debido al efecto beneficioso de esfuerzos de axiles de compresión y perjudicial de en el caso de esfuerzos axiles de tracción: 1,00 estructuras sin esfuerzo axil de compresión o sin pretensado (vigas y losas) 1,00

1,25 2,50 1

0 <

< 0,25 fcd

0,25 fcd <

< 0,50 fcd

0,50 fcd <

< 1,00 fcd

tensión axil efectiva en el hormigón (compresión positiva). En pilares debe calcularseteniendo en cuenta la compresión absorbida por las armaduras comprimidas: –

esfuerzo axil de cálculo (compresión positiva)

área total de la sección de hormigón

As’

área total de armadura comprimida. En compresión compuesta puede suponerse que toda la armadura está sometida a la tensión fyd

fyd

resistencia de cálculo de la armadura As’. fyd = σsd ≤ 400 N/mm2

Tal y como se ha comentado anteriormente se puede extender el uso de la fórmula: Vu1 = 0,30 fcd b d al caso habitual en edificación, de piezas de hormigón armado en flexión simple o con axiles pequeños, armadas con cercos o estibos (α=90°) y eligiendo θ=45°. También puede extenderse el uso de esta fórmula a los pilares de edificación de dimensiones y solicitaciones habituales, ya que, aunque en ellos no sea despreciable el axil, no suelen estar sometidos a cortantes importantes, por lo que la limitación del cortante no es relevante para ellos. Evidentemente esta simplificación no es posible hacerla cuando los esfuerzos cortantes no son despreciables, como sucede, por ejemplo, en edificios con acciones horizontales de sismo o viento. Si no se cumple la comprobación Vd ≤ Vu1, se recomienda aumentar las sección de la pieza. Vu1

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

4.6 Vu2

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA

De acuerdo a la Instrucción EHE, para el cálculo de agotamiento por tracción en el alma, hay que distinguir:

I. II.

Agotamiento de piezas con armadura de cortante EHE art. 44.2.3.2.2. es el caso de vigas, pilares y otras piezas con armadura transversal Agotamiento de piezas sin armadura de cortante EHE art. 44.2.3.2.1. es el caso de piezas sin armaduras transversales de cortante, como son las placas, losas, zapatas, muros, viguetas pretensadas, etc.

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA

4.6.1 AC/Vu2

PIEZAS CON ARMADURA DE CORTANTE

El esfuerzo cortante último de vigas y otras piezas con armadura transversal es, según la Instrucción EHE art. 44.2.3.2.2.

Vu2 = Vcu + Vsu Vcu

contribución del hormigón frente al esfuerzo cortante

Vsu

contribución de la armadura transversal frente al esfuerzo cortante.

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA. PIEZAS CON ARMADURA DE CORTANTE

4.6.1.1

ESFUERZO CORTANTE RESISTIDO POR LA ARMADURA.

AC/Vsu

Para calcular el esfuerzo cortante de tracción Vsu absorbido por los cercos, partimos del polígono de fuerzas representado en la figura.

Δ sen siendo:

sen 180

sen

Δ y sabiendo que la tensión tangencial cortante es:

τ sen

sen

V b z V s z sen

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

deduciéndose: V siendo:

sen sen θ

F z

F z sen α cotg α

cotg θ

Ast es el área de la armadura transversal en la longitud s fyαd resistencia de cálculo de la armadura transversal. fyd = σsd ≤ 400 N/mm2 Si expresamos el área por unidad de longitud de los estribos o cercos que atraviesan la sección:

Aα st

área por unidad de longitud de cada grupo de armaduras que forman un ángulo α separación de cercos o estribos

Por lo que la ecuación se transforma en:

z sen α cotg α

cotg θ Σ A fyαd

** El ángulo θ entre las bielas de compresión del hormigón y el eje de la pieza, deberá tener el mismo valor que para la comprobación del cortante de agotamiento por compresión oblicua del alma visto en el punto anterior. z

brazo mecánico. En flexión simple, y a falta de cálculos más precisos, puede adoptarse el valor aproximado z = 0,9 d. En flexotracción puede adoptarse también z = 0,9 d. En caso de flexocompresión, z puede aproximarse como:

zo d

distancia desde la armadura traccionada hasta el punto de aplicación del axil. distancia desde la fibra más comprimida de hormigón hasta el centro de gravedad de la armadura traccionada. d’ distancia desde la fibra más comprimida de hormigón hasta el centro de gravedad de la armadura comprimida. Us=As fyd capacidad mecánica de la armadura de tracción. U’s=A’s fyd capacidad mecánica de la armadura de compresión.

En el caso de piezas armadas con cercos circulares, el valor de Vsu se multiplicará por un factor 0,85 para tener en cuenta la pérdida de eficacia de la armadura de cortante, debido a la inclinación transversal de las ramas que la conforman. En el caso, habitual en edificación, de piezas armadas trabajando a flexión, con cercos o estribos normales a la directriz (α=90°) situados en planos en los que el área total de estribos en un mismo plano es separados entre si una distancia y suponiendo un ángulo de las bielas θ=45°), resulta: 0,90

0,90

Si las armaduras son barras levantadas de área

,separadas a una distancia St, resulta:

0,90

√2

Tal y como se ha comentado anteriormente, en estas fórmulas, la resistencia de cálculo de la armadura transversal fyd no se podrá tomar superior a 400 N/mm2, pues el trabajo a tensiones superiores conllevaría deformaciones que podrían causar una fisuración excesiva. acero B 400

σs = 347,83 N/mm2

εyd = fyd / Es

acero B 500

σs = 400,00 N/mm2

εyd = fyd / Es

N/ N/

1,74 ‰ 2,00 ‰ AC/Vsu

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA.

ESFUERZO CORTANTE RESISTIDO POR EL HORMIGÓN. PIEZAS CON ARMADURA DE CORTANTE

4.6.1.2

AC/Vcu

La contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante, Vcu se deduce de la fórmula experimental siguiente, según la Instrucción EHE art. 44.2.3.2.2.: 0,15 fcv fck

100

0,15

resistencia efectiva del hormigón a cortante en N/mm2 de valor fcv= fck con fcv no mayor que 15 N/mm2 en el caso de control reducido del hormigón. resistencia a compresión del hormigón en N/mm2, fck ≤ 100 N/mm2. 2 2

1 1

θe

si 0,5 ≤ cotg θ ≤ cotg θe

si cotg θe ≤ cotg θ ≤ 2,0

ángulo de inclinación de las fisuras en el alma de la pieza en el momento de la fisuración deducido de la expresión (método general):

29 7 deformación longitudinal en el alma, expresada en tanto por mil, y obtenida mediante la siguiente ecuación: 0,5

1000 0 2 Para evaluar deben tenerse en cuenta las siguientes consideraciones: a) Vrd y Md deben ser tomados como positivos, se tomará Md ≥ z .Vrd b) Nd se considera positivo en compresión c) El valor de As es el de la armadura anclada en la sección de estudio. En caso contrario, se reducirá en proporción a su falta de longitud de anclaje. d) Si la tensión de tracción puede producir la fisuración de la cabeza comprimida, se doblará el valor de ε obtenido en la ecuación. 1

ξ d

σ’cd

2,0 , ,

canto útil de la sección referido a la armadura longitudinal de flexión. tensión axial media en el alma de la sección (compresión positiva). 0,30

γc ρ1

12 /

coeficiente parcial de seguridad EHE art.15 cuantía geométrica de la armadura longitudinal principal de tracción As anclada a una distancia igual o mayor que d a partir de la sección de estudio, con objeto de garantizar que la armadura considerada ha sido anclada convenientemente teniendo en cuenta el efecto del decalaje

0,02

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA.

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

En el caso habitual en edificación, en el que 0 y en el que las piezas están sometidas a flexión simple o compuesta con armadura transversal dispuesta con α=90o, despreciando el efecto favorable de las compresiones y para θ = θe = 45o , la contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante puede calcularse como: 0,15

100

Esta simplificación viene recogida en los comentarios de la Instrucción EHE, se simplifica la ecuación tomando 1. Comentarios a la formula: La fórmula semiempirica que propone la Instrucción EHE, para el cálculo del esfuerzo cortante resistido por el hormigón en piezas con armadura de cortante 0,15

100

0,15

tiene en cuenta los parámetros vistos en el punto 4.2 ‐ Canto de la pieza. Cuanto mayor es el canto de la pieza, mayor es el ancho de las fisuras, con lo que se reduce la resistencia del hormigón a cortante (efecto tamaño), este efecto se tiene en cuenta mediante el término: 1 ‐

‐

200

2,0

Resistencia del hormigón: tal y como se comentó, se comprueba que la relación resistencia del hormigón / resistencia a cortante, es aproximadamente lineal, este término se tiene en cuenta en la fórmula mediante la resistencia efectiva del hormigón a cortante: Presencia de la armadura longitudinal: anteriormente decíamos que experimentalmente se comprueba que la capacidad de resistir cortantes aumenta según la cantidad de armadura elevada a 1/3, ya que la armadura longitudinal de flexión reduce el ancho de las fisuras, aumentando la capacidad de transmisión de cortante por entrelazado de las caras de la fisura, este término se incluye en la fórmula mediante: 0,02

‐

Compresión axial: la presencia beneficiosa de una compresión axial se evalúa mediante la expresión: 0,15 Efecto arco. No se incluye ningún término que considere este efecto, ya que el mismo depende de la relación entre canto y la luz de la viga. Este efecto se produce de forma relevante en vigas de gran canto, y la aplicación de este articulado según la Instrucción EHE no afecta a éstas, solamente afecta a elementos lineales cuya distancia entre puntos de momento nulo es igual o superior a dos veces su canto total y cuya anchura es igual o inferior a cinco veces dicho canto.

AC/Vcu

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

La fórmula presenta un buen resultado experimental cuando hay una cantidad «razonable» de armadura longitudinal a tracción , pero cuando la presencia de la armadura longitudinal de tracción es pequeña, la formula da resultados incoherentes con la realidad; veámoslo en el caso límite de una pieza sin armadura longitudinal y con un axil despreciable o nulo, como resultado obtenemos que el esfuerzo cortante resistido por el hormigón es nulo. En cualquier caso el resultado obtenido va por el lado de la seguridad. En el caso, que se expone posteriormente, de comprobación de agotamiento por tracción en el alma de piezas sin armadura de cortante en regiones fisuradas a flexión, vemos que la Instrucción EHE propone la fórmula: 0,18 / 100 0,15 Pero en este caso y previendo cuantías pequeñas de armadura longitudinal de tracción, establece un mínimo de resistencia: 0,075 / / 0,15

AC/Vcu

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA

PIEZAS SIN ARMADURA DE CORTANTE

4.6.2 SAC/Vu2

En el caso de piezas sin armaduras transversales de cortante, como son las placas, losas, zapatas, muros, viguetas, pretensadas, etc., se deben de diferenciar dos casos según la Instrucción española: a) Aquellos en los que el hormigón del alma no se ha fisurado b) Aquellos en los que el hormigón del alma se ha fisurado. COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA PIEZAS SIN ARMADURA DE CORTANTE

4.6.2.1

EN REGIONES NO FISURADAS CON EL ALMA COMPRIMIDA Md < Mfis,d SAC/Vu2 Esta condición suele cumplirse solo en secciones comprimidas, debido a la existencia de una compresión permanente En piezas con zonas no fisuradas y con el alma comprimida, la resistencia a cortante debe limitarse según la resistencia a tracción del hormigón. Dicha resistencia para hormigones sin pretensar vale : ,

Momento de cálculo de la sección.

Mfis,d

Momento de fisuración de la sección calculado con fct,d = fct,k / γs

Momento de inercia de la sección transversal.

Ancho del alma según punto 44.2.1.

Momento estático de la sección transversal.

fct,d

Resistencia de cálculo a tracción del hormigón.

El momento nominal de fisuración de la sección, se calcula mediante la expresión art. 50.2.2.2: ,

Módulo resistente de la sección bruta respecto a la fibra extrema en tracción Wb = (b h2)/6

Esta comprobación se realizará en una sección situada a una distancia del borde del apoyo que se corresponde con la intersección del eje longitudinal que pasa por el centro de gravedad de la sección con una línea a 45º que parte del borde del apoyo. Tal como vimos al principio del capítulo, la resistencia a cortante que indica la Instrucción deriva de la fórmula Colignon‐Jourawski limitando el valor máximo de la tensión tangencial a la resistencia a tracción del hormigón . .

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA PIEZAS SIN ARMADURA DE CORTANTE

4.6.2.2

EN REGIONES FISURADAS A FLEXIÓN Md > Mfis,d SAC/Vu2 Este caso es más habitual en regiones fisuradas a flexión. El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma para piezas de hormigón convencional y de alta resistencia vale: 0,18 / 100 0,15 Con un valor mínimo de: 0,075

0,15

fcv

ξ d

σ’cd

Resistencia efectiva del hormigón a cortante en N/mm2 de valor: fcv = fck fcv ≤ 15 N/mm2 en caso de control indirecto de la resistencia del hormigón, resistencia a compresión del hormigón ≤ 60 N/mm2 fck 1

2,0 , ,

canto útil de la sección referido a la armadura longitudinal de flexión siempre que ésta sea capaz de resistir el incremento de tracción producido por la interacción cortante‐ flexión (art. 44.2.3.4.2). tensión axial media en el alma de la sección (compresión positiva). 0,30

γc Nd

ρ1

coeficiente parcial de seguridad EHE art.15 Axil de cálculo. cuantía geométrica de la armadura longitudinal principal de tracción pasiva As, anclada a una distancia igual o mayor que d a partir de la sección de estudio.

0,02

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

4.7

DECALAJE DE LA LEY DE ESFUERZOS Art. 44.2.3.4.2.

Por efecto del trabajo en celosía se modifican los esfuerzos axiles en las cabezas de la viga, con respecto a los que se producirían en el trabajo a flexión de la misma, aumentando los esfuerzos de la armadura de tracción y reduciendo los existentes en la zona de comprimida de hormigón. Tomando momentos en el punto O, se obtiene: ∆ .

teniendo en cuenta que se obtiene: (aumento de tensión en la armadura de tracción debido al cortante) ∆ Vrd Vsu

esfuerzo cortante efectivo. contribución de la armadura transversal frente al esfuerzo cortante.

Esta prescripción se cumple de forma automática decalando la ley de momentos de cálculo Md , en el sentido más desfavorable una magnitud igual a la indicada: 2 En el caso de no existir armadura de cortante se tomará Vsu=0, en la expresión anterior. El decalaje lo deberemos tener en cuenta a la hora de ahorrar barras longitudinales en secciones de menor solicitación, ya que las barras longitudinales de la viga están sometidas a más tensión que la debida a ello por la sola consideración del momento flector. Los puntos de corte a partir de los cuales las barras no serán necesarias para resistir el momento flector los obtendremos de la ley de momentos flectores decalada, a partir de la cual se considera la longitud de anclaje. Tradicionalmente la distancia se tomaba igual al canto útil de la pieza

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

DISPOSICIONES RELATIVAS A LAS ARMADURAS

4.8 CORT/ARM Instrucción EHE art. 44.2.3.4

Armaduras transversales

La separación longitudinal st entre armaduras transversales deberá cumplir las condiciones siguientes para asegurar un adecuado confinamiento del hormigón sometido a compresión oblicua: ≤ 0,75 d (1+cotgα) ≤ 600 mm ≤ 0,60 d (1+cotgα) ≤ 450 mm ≤ 0,30 d (1+cotgα) ≤ 300 mm

si Vrd ≤ 0.20 Vu1 si 0.20 Vu1 < Vrd ≤ 0,67 Vu1 si Vrd > 0,67 Vu1

Para barras levantadas esta separación no superará nunca el valor: 0,60 d (1+cotα) La separación transversal St,trans entre ramas de armaduras transversales deberá cumplir la condición siguiente:

St,trans ≤ d ≤ 500 mm En el caso de vigas en elementos de edificación con cantos no superiores a 300 mm., la limitación para , podría obligar a disponer en algunos casos de ramas adicionales de estribos que no fueran estrictamente necesarias. En estos casos, puede aceptarse que la separación entre ramas de armaduras transversales cumpla la siguiente condición: 2 350 , Si existe armadura de compresión y se tiene en cuenta en el cálculo, los cercos o estribos cumplirán, además lo indicado en el apartado Disposiciones Relativas a las Armaduras. Si existen armaduras pasivas en compresión, para poder tenerlas en cuenta en el cálculo será preciso que vayan sujetas por cercos o estribos, cuya separación St y diámetro φt sean: St ≤ 15 φmín (φmín diámetro de la barra comprimida más delgada) φt ≥ ¼ φmáx (φmáx diámetro de la armadura comprimida más gruesa) Para piezas comprimidas, en cualquier caso, St debe ser inferior que la dimensión menor del elemento y no mayor que 30 cm. En zonas de solapo o de doblado de las barras puede ser necesario aumentar la armadura transversal. En general, los elementos lineales dispondrán de armadura transversal de forma efectiva. En todos los casos, se prolongará la colocación de cercos o estribos en una longitud igual a medio canto de la pieza, más allá de la sección en la que teóricamente dejen de ser necesarios. En el caso de apoyos, los cercos o estribos se dispondrán hasta el borde de los mismos. ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO FRENTE A CORTANTE

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Las armaduras de cortante deben formar con el eje de la viga un ángulo comprendido entre 45° y 90°, inclinadas en el mismo sentido que la tensión principal de tracción producida por las cargas exteriores, al nivel del centro de gravedad de la sección de la viga supuesta no fisurada. Las barras que constituyen la armadura transversal pueden ser activas o pasivas, pudiendo disponerse ambos tipos de forma aislada o en combinación. La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la relación: ,

7,5 Aα fyαd fct,m

área por unidad de longitud de cada grupo de armaduras que forman un ángulo α resistencia de cálculo de la armadura transversal. Para armaduras pasivas: fyd = σsd ≤ 400 N/mm2 resistencia media a tracción del hormigón, a falta de resultados de ensayos puede estimarse en: / 0,30 para fck ≤ 50 N/mm2 , / 0,58 para fck > 50 N/mm2 ,

Al menos un tercio de la armadura necesaria por cortante, y en todo caso la cuantía mínima indicada, se dispondrá en forma de estribos que formen un ángulo de 90° con el eje de la viga. No obstante, en forjados unidireccionales nervados de canto no superior a 40 cm, puede utilizarse armadura básica en celosía como armadura de cortante tanto si se utiliza una zapatilla prefabricada como si el nervio es totalmente hormigonado in situ.

CORT/ARM

CAPÍTULO 5 ARMADO DE UNA VIGA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ARMADO DE UNA VIGA

COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR ESFUERZOS NORMALES COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR CORTANTE

PRESENTACIÓN DEL EJERCICIO

5.1

Se desea armar el pórtico indicado en la figura, con la armadura longitudinal y transversal necesaria. Datos de cálculo: Hormigón HA‐25 Acero B500S La estructura está sometida a las acciones de peso propio y a la carga permanente indicada, se ha 1,5 , obteniéndose los diagramas de calculado con la combinación más desfavorable 1,35 momentos flectores y cortantes indicados. No se han tenido en cuenta los esfuerzos axiles por su poca cuantía, debido a la inexistencia de fuerzas horizontales. Procedemos a decalar el diagrama de momentos flectores en una magnitud, tal como indica la Instrucción EHE: 2 Con el fin de simplificar el ejercicio y proceder primero al cálculo y armado de las secciones a flexión, ; posteriormente tomaremos como decalaje una distancia igual al canto útil de la pieza, es decir al cálculo comprobaremos si al tomar este valor de decalaje estamos por el lado de la seguridad, en caso contrario podremos añadir a las barras una longitud . A continuación figuran los diagramas de momentos flectores y cortantes que utilizaremos en el armado. Los cálculos se ha realizado con una sencilla hoja de cálculo. ARMADO DE UNA VIGA

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES

5.1

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

5.1

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ARMADO LONGITUDINAL

5.2

Recubrimiento: estimamos que vamos a armar con una armadura longitudinal de , 20 armadura transversal de , 8 , y con una recubrimiento de 25mm correspondiente a:

, una

clase de exposición I tipo cemento cualquiera vida útil de proyecto 100 años con estos datos el valor de cálculo del recubrimientos (desde el exterior de la pieza hasta el eje de la armadura) será de: 20 25 8 43 2 Siendo el canto de la sección de la pieza: 350 43 307 Datos de cálculo: 1,15 1,50 16, 66 / 25⁄ 434,78 / 500⁄ 1,64 43 307 350 300

VANO P1‐P2 Viga sometida a un esfuerzo de flexión simple. Momento de cálculo

126

Calculamos el Momento Límite, para el cual no es necesaria armadura de compresión: . .

16,67.300. 307 175.172.176 . 1,64 Comprobamos que el momento de cálculo es menor que el momento límite, por lo que se hace necesaria solamente armadura longitudinal de tracción: 1 La viga trabaja en el DD2 o DD3, siendo luego la sección de acero necesaria será:

487.992

por lo que la tensión de trabajo de la armadura es 1.122

, las barras 2 20 Elegimos 2 20 3 16 1.231 llevaremos hasta que sea necesario.

las llevaremos hasta los pilares y las 2 16

1 16 las

Calculamos a la inversa, el momento flector que resiste cada grupo de barras (en la hoja de cálculo “buscar objetivo”): 2 20 628

… … 76,4

trazamos una línea horizontal correspondiente al momento obtenido y hallamos la intersección de la misma con el diagrama de momentos flectores previamente decalado. Desde la intersección trazamos una línea vertical hasta el encuentro con la siguiente línea horizontal: (vamos trazando una envolvente de rectángulos)

5.2

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Repetimos el proceso: 2 16 402 1.030 … … 117,4 . 2 20 628 2 20 628 2 16 402 1 16 201 1.231 … … 135,6 . A partir de la intersección de las líneas trazadas con el diagrama decalado de momentos, no tenemos más que añadir la longitud de anclaje de cada barra: Para barras en posición I:

20 1,5.

así para las barras: 600 400 220

20 16 12

. . .

Comprobaciones: debemos tener en cuenta todos los apartados referentes a “disposiciones de las armaduras”, en especial: Deberá continuarse hasta los apoyos: al menos un tercio de la armadura necesaria para resistir el máximo momento positivo, en el caso de apoyos extremos de vigas, y al menos un cuarto en los intermedios. Esta armadura se prolongará a partir del eje del apoyo en una magnitud igual a la correspondiente longitud neta de anclaje. Como armadura superior de montaje en la viga tomamos 2 10

50 / En flexión simple y para piezas habituales en las estructuras de edificios (sección rectangular y para armadura resistente longitudinal tracionada se puede aplicar la siguiente formula simplificada: 0,04 0,04 300 307

16,67 434,78

141,25

CUMPLE Esta comprobación no la haremos en los demás tramos ya que la sección es constante y la armadura de montaje será de 2 10 157 Una vez armado este vano repetimos el proceso:

VANO P2‐P3 Viga sometida a un esfuerzo de flexión simple. Momento de cálculo

, siendo

206.006 474 , las barras 2 16

Elegimos 2 16 1 12 515 hasta que sea necesario.

las llevaremos hasta los pilares y la 1 12 las llevaremos

Calculamos a la inversa, el momento flector que resiste cada grupo de barras: 2 16 402

… … 50,6

trazamos una línea horizontal correspondiente ……………

2 16 402 1 12 113 515 … … 63,7 . A partir de la intersección de las líneas trazadas con el diagrama decalado de momentos, no tenemos más que añadir la longitud de anclaje de cada barra para barras en posición I, anteriores. Como armadura superior de montaje en la viga tomamos 2 10

5.2

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

PILAR P1 Viga sometida a un esfuerzo de flexión simple. 104

Momento de cálculo

175,2 . 387.732 892 Elegimos 2 16 2 16 804

(Mom. de cálculo en el borde del pilar, ya que la viga una vez dentro del mismo tiene la inercia del pilar)

y las llevaremos hasta que sea necesario, pues tenemos como armadura superior de montaje 2 10

Calculamos a la inversa, el momento flector que resiste cada grupo de barras: 2 10

… … 20,5

157

2 10 157 2 10 157

2 16 402 2 16 402

trazamos una línea horizontal correspondiente …………… 559 … … 68,7 . 2 16 402 961

… … 110,8

A partir de la intersección de las líneas trazadas con el diagrama decalado de momentos, no tenemos más que añadir la longitud de anclaje de cada barra para barras en posición II: 1,4

20 1,5 . 1,4

así para las barras: 20 16 12 10

850 550 310 210

. . . .

PILAR P2 Viga sometida a un esfuerzo de flexión simple. 138

Momento de cálculo

175,2 . 546.522 1.257 Elegimos 2 20 2 20 1.257

(Mom. de cálculo en el borde del pilar, ya que la viga una vez dentro del mismo tiene la inercia del pilar)

y las llevaremos hasta que sea necesario, pues tenemos como armadura superior de montaje 2 10

Calculamos a la inversa, el momento flector que resiste cada grupo de barras: 2 10

… … 20,5

157

2 10 157 2 10 157

2 20 628 2 16 628

trazamos una línea horizontal correspondiente …………… 785 … … 93,1 . 2 20 628 1.414

… … 150,9

A partir de la intersección de las líneas trazadas con el diagrama decalado de momentos, no tenemos más que añadir la longitud de anclaje de cada barra para barras en posición II:

PILAR P3 Viga sometida a un esfuerzo de flexión simple. 5

Momento de cálculo 175,2 16.374 38

Basta con la armadura superior de montaje 2 10 157

5.2

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

ARMADO TRANSVERSAL

5.3

Se armarán las vigas de la siguiente forma: Vigas P1‐P2 y P2‐P: en tres tramos, los dos extremos hasta una longitud de L/4, donde son mayores los esfuerzos cortantes y el tramo central de longitud L/2. Viga V‐P1: en dos tramos, de longitud L/2.

5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z6 Vu1 COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR COMPRESIÓN OBLICUA DEL ALMA ó 157 0,30

0,30 . 16,67 . 300 . 307

460.500 CUMPLE

Vu2 COMPROBACIÓN DE AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA 138.000

Vu2.Vcu ESFUERZO CORTANTE RESISTIDO POR EL HORMIGÓN De acuerdo a la Instrucción EHE, el esfuerzo cortante resistido por el hormigón es: 0,15

100

0,15

1,50

200

2 ,,

1,807

4 20 2 10 300 .307

0,02 , , 25 /

200 307

0,01535

si 0,5 ≤ cotg θ ≤ cotg θe

si cotg θe ≤ cotg θ ≤ 2,0

2 .1 1 0,527 2 . 1,449 1 29 7 29 7 .0,8 34,6 cotg 34,6 1,449 45 1,0 cotg cotg 45 0,5 2 87 . 0,90 . 276,3 138

1000

0 ,,

87 10 138 10 276,3 1000 2 . . 1.413,7

0,80086

200.000 / 4 20 2 10

1.413,7

0,15 1,807 100 . 0,01535 . 25 1,5

0,15 .0 0,527 .300 .307

. 5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

Vu2.Vsu ESFUERZO CORTANTE RESISTIDO POR LA ARMADURA Como: El esfuerzo cortante resistido por la armadura deberá de ser: ,, 138.000 29.570 108.430 La contribución del acero depende de: ‐ Número de ramas ‐ Diámetro de los estribos ‐ Separación de estribos Armaremos con cercos 2 (dos ramas). Sabiendo: 0,90 108.430 0,9026 / 0,90 307 434,78 0,90 si armamos con cercos de 6 2 . 28,27 0,9026 ,, 63,3

Muy juntos, armaremos con cercos 8 2 . 50,27 ,, 111,4 0,9026

Luego el armado transversal será: .

TRAMO 6 Cercos Comprobaciones: Cuantía mínima: ,

0,9026 400 361,04 1

7,5 0,30 25 / 300 102,60 7,5 CUMPLE

Separación de cercos:

0,20 0,67

138.000 460.500 92.100 307.000

luego st ≤ 0,60 d (1+cotgα) ≤ 450 mm

si 0.20 Vu1 < Vrd ≤ 0,67 Vu1 0,60 307 1 0 184,20 CUMPLE

5.2

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z5 De la misma forma calculamos los demás tramos de las vigas. Para este fin se ha utilizado una sencilla hoja de cálculo, introduciendo los datos variables de la sección: 174 ( ó ) 156 ó 84 . 4 20 2 10

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

29.719 N 126.282 N

Vu2

156.001 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.)

CUMPLE

84.000.000 mm N 174.000 N 156.000 N b d d' fck fyk

γc γs st Øt ramas fcd fyd As ξ ρ1 fvc β θe cotg θe εx z ξ (p) Aα Aα min st min

300 307 43 25 500 1,5 1,15

mm mm mm N/mm2 N/mm2 95,634 mm 8 mm

2 16,67 434,78 1.413,72 1,807 0,01535 25 0,529 34,694 1,444 0,81349 276,3 1,807 1,05121 0,256 184,2

N/mm2 N/mm2 mm2

N/mm2 o

mm mm2/mm CUMPLE CUMPLE

TRAMO 5 Cercos

. 5.2

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z8 84 ( 64 0 . 2 10 Obtenemos:

) ó

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

15.514 N 48.487 N

Vu2

64.000 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.)

CUMPLE

0 mm N 84.000 N 64.000 N b d d' fck fyk

300 307 43 25 500 1,5 1,15

mm mm mm N/mm2 N/mm2 140,105 mm 6 mm

γc γs st Øt ramas

fcd fyd As ξ ρ1 fvc β θe cotg θe εx z ξ (p) Aα Aα min st min

16,67 434,78 157,08 1,807 0,00171 25 0,575 36,130 1,370 1,01859 276,3 1,807 0,40362 0,256 230,25

N/mm2 N/mm2 mm2

N/mm2 o

mm mm2/mm CUMPLE CUMPLE

TRAMO 8 Cercos

5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z3 157 ( 140 102 . 4 16 2 10 Obtenemos:

) ó

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

32.155 N 107.845 N

Vu2

140.000 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.) b d d' fck fyk

γc γs st Øt ramas fcd fyd As ξ ρ1 fvc β θe cotg θe εx z ξ (p) Aα Aα min st min

102.000.000 157.000 140.000 300 307 43 25 500 1,5 1,15

CUMPLE

mm N N N

mm mm mm N/mm2 N/mm2 111,983 mm 8 mm

2 16,67 434,78 961,33 1,807 0,01044 25 0,651 38,269 1,268 1,32412 276,3 1,807 0,89773 0,256 184,2

N/mm2 N/mm2 mm2

N/mm2 o

mm mm2/mm CUMPLE CUMPLE

TRAMO 3 Cercos

5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z2 108 ( 90 70 . 4 16 2 10 Obtenemos:

) ó

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

26.978 N 63.022 N

Vu2

90.000 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.)

CUMPLE

70.000.000 mm N 108.000 N 90.000 N b d d' fck fyk

γc γs st Øt ramas fcd fyd As ξ ρ1 fvc β θe cotg θe εx z ξ (p) Aα Aα min st min

300 307 43 25 500 1,5 1,15

mm mm mm N/mm2 N/mm2 107,791 mm 6 mm

2 16,67 434,78 961,33 1,807 0,01044 25 0,546 35,250 1,415 0,89290 276,3 1,807 0,52462 0,256 230,25

N/mm2 N/mm2 mm2

N/mm2 o

mm mm2/mm CUMPLE CUMPLE

TRAMO 2 Cercos

5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z7 100 ( 81 53 . 2 16 Obtenemos:

) ó

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

28.160 N 52.840 N

Vu2

81.000 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.)

CUMPLE

53.000.000 mm N 100.000 N 81.000 N b d d' fck fyk

γc γs st Øt ramas fcd fyd As ξ ρ1 fvc β θe cotg θe εx z ξ (p) Aα Aα min st min

300 307 43 25 500 1,5 1,15

mm mm mm N/mm2 N/mm2 128,562 mm 6 mm

2 16,67 434,78 402,12 1,807 0,00437 25 0,763 40,873 1,156 1,69612 276,3 1,807 0,43986 0,256 230,25

N/mm2 N/mm2 mm2

N/mm2 o

mm mm2/mm CUMPLE CUMPLE

TRAMO 7 Cercos

5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z4 95 ( 77 49 . 2 20 Obtenemos:

) ó

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

24.561 N 52.439 N

Vu2

77.000 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.)

CUMPLE

49.000.000 mm N 95.000 N 77.000 N b d d' fck fyk

γc γs st Øt ramas fcd fyd As ξ ρ1 fvc β θe cotg θe εx z ξ (p) Aα Aα min st min

300 307 43 25 500 1,5 1,15

mm mm mm N/mm2 N/mm2 129,546 mm 6 mm

2 16,67 434,78 628,32 1,807 0,00682 25 0,573 36,084 1,372 1,01200 276,3 1,807 0,43652 0,256 230,25

N/mm2 N/mm2 mm2

N/mm2 o

mm mm2/mm CUMPLE CUMPLE

TRAMO 2 Cercos

5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

TRAMO Z1 58 ( 40 29 . 2 16+2 10 Obtenemos:

) ó

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

20.426 N 19.574 N

Vu2

40.000 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.)

CUMPLE

29.000.000 mm N 58.000 N 40.000 N b d d' fck fyk

γc γs st Øt ramas

300 307 43 25 500 1,5 1,15

mm mm mm N/mm2 N/mm2 347,055 mm 6 mm

fcd 16,67 N/mm2 fyd 434,78 N/mm2 As 559,20 mm2 ξ 1,807 ρ1 0,00607 fvc 25 N/mm2 β 0,496 θe 33,536 o cotg θe 1,509 εx 0,64806 z 276,3 mm ξ (p) 1,807 Aα 0,16294 mm2/mm Aα min 0,256 NO CUMPLE st min 230,25 NO CUMPLE Como podemos observar no cumple con la cuantía mínima ni con la separación de la armadura transversal, luego deberemos disminuir la separación de estribos y si es necesario aumentar su diámetro.

5.3

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

A continuación se indican los resultados obtenidos en la hoja de cálculo para que cumplan las dos condiciones:

TRAMO Z1.b

Vu1

460.500 N

Vcu Vsu

20.426 N 30.813 N

Vu2

51.239 N

Md (sección estudio) Vrd (sección de estudio) Vrd (a un canto de la S.E.)

CUMPLE

29.000.000 mm N 58.000 N 40.000 N b d d' fck fyk

300 307 43 25 500 1,5 1,15

mm mm mm N/mm2 N/mm2 220,465 mm 6 mm

γc γs st Øt ramas

fcd fyd As ξ ρ1 fvc β θe cotg θe εx z ξ (p) Aα Aα min st min

16,67 434,78 559,20 1,807 0,00607 25 0,496 33,536 1,509 0,64806 276,3 1,807 0,25650 0,256 230,25

N/mm2 N/mm2 mm2

N/mm2 o

mm mm2/mm CUMPLE CUMPLE

TRAMO 1 Cercos

5.3

100

UNIVERSIDAD DE BURGOS. ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grado en Ingeniería de la Edificación. Proyecto Fin de Grado 2010.2011. Javier Sarralde Fernández

5.3

101

Bibliografía

Normas Instrucción de Hormigón Estructural (EHE‐08). Real Decreto 1247/2008 de 18 de julio.

Libros Hormigón armado 15ª edición. Jiménez Montoya, Álvaro García Meseguer, Francisco Morán Cabré, Juan Carlos Arroyo Portero. Editorial Gustavo Gili S.L. Barcelona 2009

Hormigón armado según la EH‐80. Luis Felipe Rodríguez Martín. Colegio Oficial de Arquitectos de Madrid. 1980

Artículos Interacción flexión‐cortante‐axil en piezas de hormigón armado. Víctor Romía Portolés. Tesina de especialidad de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos de Barcelona (UPC)

E.L.U. Agotamiento por cortante Jesús Montero Martínez, Pablo Galletero Montero Curso de cálculo de estructuras de hormigón armado. Universidad de Castilla La Mancha. E.T.S.I. Agrónomos de Albacete. Departamento de Producción Vegetal y Tecnología Agraria.

Comportamiento en servicio y resistencia a esfuerzo cortante de forjados unidireccionales continuos con armadura básica en celosía construidos in situ. Capítulo 2. Estado del conocimiento de la resistencia a cortante Marta de la Torre Estapé Universidad Politécnica de Cataluña. Departamento de Ingeniería de la Construcción.