MATEMÁTICA
PROFESSOR CARLOS CLEY
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
06. (UFPE) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semi-eixo r positivo 0x um ângulo de 60° é: 3 3 A) 2 x - y = 2 - 1 D) x + y = 12 2 3 3 E) -1 B) 3 x + y = 1 - 3 x-y= 2 2 C)
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTO MÉDIO, ÁREA DE UM POLÍGONO, TEORIA ANGULAR, ESTUDO DA RETA E INTERSEÇÃO ENTRE CURVAS. 01. (UNEB) Se um triângulo tem vértices nos pontos A = (1, –3), B = (–2, 0) e C = (9, 5), então o triângulo é 01) acutângulo e tem área igual a 12 u.a. 02) retângulo e tem área igual a 24 u.a. 03) obtusângulo e tem área igual a 48 u.a. 04) retângulo e tem área igual a 48 u.a. 05) obtusângulo e tem área igual a 24 u.a.
02. (UFPE) Os pontos P1 = (1, t); P2 = (1/2, 1/2) e P3 = (0, -2) são colineares se t for igual a A) 1/2 B) 2 C) 5/2
3x - y = 3 - 1
07. (UPE) O triângulo OAB tem área igual a 10 unidades de área. O vértice O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Os vértices A e B pertencem à reta de equação y = – x + 2 e B tem ordenada 1. Sabendo que o vértice A (x ; y) tem abscissa positiva, pode-se afirmar que (x + y) é igual a: A) 0; B) -2; C) 3;
D) -3; E) 2.
08. (UFBA) A, B e C são os pontos de interseção da circunferência x 2+ y 2= 4 , respectivamente, como o semi-eixo positivo das abscissas, o semieixo positivo das ordenadas e a reta y = x. Se C pertence ao 3º quadrante e m é a medida, em u.a., da área do triângulo ABC, calcule m(1 + 2 )-1
D) 3 E) 3/2
03. (UFPE) Considere um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(2, 2) e C(2, –2). Se ax + by = c é a equação da reta que contém a altura deste triângulo relativa ao lado AB, 5b determine . a
09. (CEFET-SP/07) A reta (r) e os eixos cartesianos determinam, no primeiro quadrante, um triângulo de área 2k. Se (r) é perpendicular à reta de equação y = x, então, sua equação é A) y = − x + 2k
D) y = x + 2k
B) y = − x + 2 k
E) y = x − 2 k
C) y = − x + k
04. (UPE) Se (r) é a mediatriz do segmento que liga os pontos de interseção dos gráficos das funções y = x² e y = 3x - 2, podemos afirmar que (r) tem por equação: A) x + 3y – 9 = 0 D) x + 3y + 9 = 0 B) x + 3y – 12 = 0 E) x + 3y + 12 = 0 C) x + 3y – 6 = 0
A) 12 B) 16 C) 10
05. (UFPB) Determine o menor ângulo, em graus, entre as retas de equações 2x + 2y – 3 = 0 e x – 4 = 0.
11. (PUC-RS/07) Os pontos A ( – 1, y1) e B (2, y2) 2 pertencem ao gráfico da parábola dada por y = x . A equação da reta que passa por A e B é
A) 30º B) 45º C) 60º
A) x – y + 2 = 0 B) x – y – 2 = 0 C) 3x – y + 4 = 0
D) 75º E) 90º
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10. (MACK/08) Os gráficos de y = x + 2 e x + y = 6 definem, com os eixos, no primeiro quadrante, um quadrilátero de área D) 8 E) 14
D) 3x – y – 4 = 0 E) 3x + y – 10 = 0
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12. (PUC-SP/07) Considere o quadrilátero que se obtém unindo quatro das intersecções das retas de equações x = 0, y = 0, y = 6 e 3x – y – 6 = 0 e suponha que uma xícara tem o formato do sólido gerado pela rotação desse quadrilátero em torno do eixo das ordenadas. Assim sendo, qual o volume do café na xícara no nível da metade de sua altura? A) 31π B) 29π C) 24π
D) 21π E) 19π
13. (UFMG/08) Seja P = (a,b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta figura:
16. (UPE/09) Na figura abaixo, R é a região limitada pelas inequações 5x + y ≤ 5, x ≥ 0 e y ≥ 0, e as medidas x e y são medidas em unidades de comprimento. Então o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo dos y é igual a A) 3π u.v B) 4/3π u.v C) 5/3 π u.v D) 2/3 π u.v E) 1/3π u.v
17. (UPE/04) No sistema cartesiano de eixos, a distância do ponto (5; 3) à reta que passa pelos pontos de coordenadas (0, 4 ) e (3, 0), é igual a 23 5 17 B) 5 13 C) 5
A)
11 5 9 E) 5
D)
18. (UNIVASF/08.2) Qual a área do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (0,0), (1,5) e (2,3)? Considere o ponto Q = ( a 2 + b 2 , ab) . Então, é CORRETO afirmar que o ponto Q está na região
A) I. B) II. C) III.
D) IV.
14. (UFRN/08) Um triângulo ABC possui vértices A = (2, 3), B = (5, 3) e C = (2, 6). A equação da reta bissetriz do ângulo  é:
A) y = 3x + 1 B) y = 2x C) y = x – 3 D) y = x + 1 15. (UPE/08) As retas perpendiculares à reta de equação 3x + 4y – 9 = 0, que distam 4 unidades da origem, são: A) 4x – 3y = 5 e 4x – 3y = – 5 B) 4x – 3y = 20 e 4x – 3y = – 20 C) 4x – 3y = 4 e 4x – 3y = – 4 D) 3x + 4y = 10 e 3x + 4y = –10 E) 4x – 3y = 10 e 4x – 3y = – 10
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A) 3,1 B) 3,2 C) 3,3
D) 3,4 E) 3,5
19. (UPE/09) Sejam A, B e C pontos de intersecção 2 2 da circunferência x + y = 4x com as retas de equação y = x e y = - x. Então, a área do triângulo de vértices A , B e C, em u.a (unidades de área), vale A) 6 u.a
D) 10 u.a
B) 8 u.a C) 4 u.a
E) 2 2 u.a
20. (UFPE/06) O conjunto solução do sistema x 2 + y 2 ≤ 5 y − 2x = 0 consiste: A) dos pontos (1,2) e (-1,-2). B) do segmento com extremos nos pontos (1,2) e (-1,-2). C) dos pontos (1,-2) e (1,2). D) do segmento com extremos nos pontos (0,0) e (1,2). E) dos pontos (0,0), (1,2) e (-1,-2).
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21. (UNIVASF/08) Calcule a distância d entre os pontos de interseção das circunferências com equações. 2
2
2
2
x + y – 2x – 2y +1 = 0 e x + y – 4x – 2y + 4 = 0. 2
Indique 4d .
26. (UFBA) Considerando-se os pontos A = (1, 2), B = (–1, 4) e C(2, 7) no plano cartesiano, é válido afirmar: (01) Se A, B, C e D são, nessa ordem, vértices consecutivos de um retângulo, então o produto das coordenadas de D é 20. (02) A área do triângulo ABC é 6 u.a.
22. (UEFS/08.2) Os amigos J e P combinaram de se encontrar em um restaurante R da cidade. Analisando-se o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o ponto de encontro, pode-se concluir que a razão entre as distâncias percorridas por P e J é
3 2 5 B) 4 C) 1 4 D) 5 2 E) 3
A)
(16) O coeficiente angular da reta AC é positivo. (32) O simétrico do segmento AB, em relação ao eixo Oy, está contido no 2º quadrante.
23. (UNEB/09) A reta r de equação 6x + 8y– 48 = 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q. Desse modo, a distância, em u.c., de P a Q é igual a 01) 7 02) 8 03) 10
(04) O ponto médio do segmento BD pertence à 21 reta y = x + . 5 3 9 (08) A circunferência de centro ( , ) e raio 2 2 26 está circunscrita ao retângulo ABCD. 2
04) 14 05) 18
24. (UFBA/09) No plano cartesiano, considere a reta r que passa pelos pontos P(24, 0) e Q(0, 18) e a reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto médio de P e Q. Assim sendo, determine a hipotenusa do triângulo cujos vértices são o ponto Q e os pontos de intersecção da reta s com a reta r e com o eixo Oy. 25. (UFPE) Qual a área da região, no plano cartesiano, determinada pelas seguintes desigualdades:
27. (UFPE) Calcule a soma das coordenadas do pé da perpendicular à reta y = 2x + 36 passando pelo ponto (21, 18).
28. (UFG/08) Para que, na figura apresentada, a área da região sombreada seja o dobro da área da região não sombreada, a equação cartesiana da reta r deve ser: A) y =
3 x 3
2 x 2 1 C) y = x 2 3 D) y = x 2 1 E) y = x 3 B) y =
Y ≥ 0, X + Y ≤ 10 e 3X – Y ≥ 6 A) 24 B) 30 C) 31
D) 35 E) 60
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ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
01) −6 e −2 02) −2 e 2 03) 2 e 6
04) 6 e 10 05) 10 e 14
34. (UESB/07) A circunferência C, de centro no ponto M(1,–3), é tangente à reta de equação 3x + 4y -26 = 0. Com base nessa informação, é correto afirmar que a medida do raio de C, em u.c., é igual a 29. (UPE) A equação x 2 + y 2 - 4x - 4y + 8 = 0 representa, no plano cartesiano ortogonal, A) uma circunferência de raio 2 e centro no ponto (2; 2). B) uma parábola. C) uma elipse. D) um ponto no plano. E) uma reta.
30. (FACAPE/08.2) Considere a circunferência cujo diâmetro é o segmento de reta com extremos em A(0; 6) e B(10; 2). O comprimento da corda determinada pela interseção do eixo y com a circunferência é: A) 5 B) 4,5 C) 4
D) 3,75 E) 3
01) 7
04) 3 2
02) 3 3 03) 5
05) 3
35. (UFPE) Determine o maior valor de r de forma que as circunferências (x – 1)² + (y – 1)² = 1 e (x – 3)² + (y – 3)² = r² tenham um único ponto de interseção. Indique o inteiro mais próximo de 10r.
36. (UFBA) No sistema de coordenadas XOY, tem-se uma circunferência C, de centro no ponto A(1, 1) e tangente à reta s: 4x + 3y + 3 = 0. (01) O raio de C mede 2 u.c. (02) A equação de C é x 2+ y 2= 4 . (04) A área do quadrado inscrito em C tem 12 u.a.
31. (MACK/08) Com relação à reta que passa pela origem e é tangente à curva (x − 3 )2 + (y − 4 )2 = 25 , considere as afirmações: I. é paralela à reta 3x – 4y = 25. II. é paralela à bissetriz dos quadrantes pares. III. é perpendicular à reta 4x – 3y = 0. Dessa forma, A) somente I está correta. B) somente II está correta. C) somente III está correta. D) somente I e III estão corretas. E) I, II e III estão incorretas.
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centro da circunferência x + 2 3 x+ y – 6y + 7 = 0, então (– 3m + 01) 6 3 02) 1 03) 0
(16) Sendo B(x, 1) ponto da região interior a C, então – 1 < x < 3.
37. (UPE/08) Seja C o centro da circunferência de
32. (UNEB/09) Se (m,n) são as coordenadas do 2
(08) A reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta s tem equação 3x – 4y + 1 = 0.
3 n) é igual a 04) − 3 05) – 3
equação x 2 + y 2 − 6 2 y = 0 . Considere A e B os pontos de interseção dessa circunferência com a reta de equação y = 2 x . Nessas condições a área do triângulo de vértices A, B e C é igual a A) 6 2
D) 7 2
B) 4 2
E) 4 3
C) 5 2
33. (UESB/06) O maior valor da constante m, para que a reta y = −2x + m seja tangente à 2 2 circunferência de equação x + y − 2x − 4y = 0, está entre cleyladislau10@hotmail.com
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38. (UNEB) A circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A(0, 0), B(6, 0) e C(0, 8) tem uma equação na forma x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 . Nessas condições, a + b + c é igual a 01) –14 02) –8 03) 2
04) 6 05) 8
39. (UFPE) Sendo α a circunferência de equação (x – 3)2 +(y – 2)2 = 4 e r a reta de equação y = 2x–4 ,é incorreto afirmar que: A) r contém um diâmetro de α. B) α é tangente ao eixo dos x no ponto (3,0). C) A área do círculo determinado por α é 4π unidades de área. D) O ponto (2,0) está mais próximo do centro de α que o ponto (5,4). E) Os pontos (1,1) e (4,3) estão no interior de α.
44. (UESB/07) Sabe-se que, na figura, OM e MN têm a mesma medida, MN é paralelo ao eixo OY e M (4,3). Nessas condições, pode-se afirmar que uma equação da circunferência que circunscreve o triângulo OPN é 2
45. (UEFS/07.2) Uma reta de coeficiente angular positivo m passa pelo ponto P(0, 2) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado ABCD, representada na figura. É verdade que A) B)
40. (UFPE) Deseja-se preencher a região 2 delimitada por 0 ≤ y ≤ 50x , 0,1 ≤ x ≤ 1 utilizando retângulos de base horizontal medindo 0,2, inteiramente contidos na referida região e com altura ≥ 2. Qual a área máxima possível de preencher com tais retângulos sem ponto interior comum? 41. (UFPE) A reta (r) de equação 3 x − 4 y + 17 = 0 é
2
01) (x−2) + (y−4) = 20 2 2 02) (x−2) + (y−4) = 80 2 2 03) (x−4) + (y−2) = 20 2 2 04) (x+2) + (y−4) = 20 2 05) (x+4) + (y−2)2 = 20
C) D) E)
1 1 < m2 < 7 4 1 2 2 <m < 4 5 2 3 < m2 < 5 4 3 5 < m2 < 4 4 5 3 < m2 < 4 2
tangente à circunferência ( λ1 ) de centro no ponto
46. (FUVEST/08-2ª FASE) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de
(1;-10). A reta (r) determina na circunferência ( λ2 ) , concêntrica com ( λ1 ) , uma corda de 18cm
equação x 2 + y 2 = 5 , o ponto P(1, 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim sendo, determine
de comprimento. Podemos afirmar que o raio de ( λ2 ) mede: A) 13cm B) 12cm C) 14cm
D) 15cm E) 8cm
42. (UFBA/08) Considere os pontos A(−1,2), B(1,4) e C(−2, 5) do plano cartesiano. Sendo D o ponto simétrico de C em relação à reta que passa por A e é perpendicular ao segmento AB, determine a área do quadrilátero ABCD.
a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.
47. (UNEB/09) A reta 3x + 4y – 6 = 0 determina na 2 2 circunferência x + y – 2x – 4y + 1 = 0 uma corda MN de comprimento igual, em u.c., a
43. (UNEB/08) Na circunferência de equação
01) 6
04) 2 2
(x − 1) + (y − 2) = 9 , o ponto que tem menor abscissa pertence à reta r que é paralela à reta x – y – 5 = 0 e que tem como equação
02) 2 3 03) 3
05)
2
01) y = x + 4 02) y = x + 2 03) y = x – 1
2
3
04) y = – x + 2 05) y = – x – 1
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3 48. (UNEB) Da intersecção da reta y = com a 2 circunferência de raio igual a 1 u.c. e centro em (1, 1), obtém-se uma corda que mede, em unidades de comprimento
51. (UPE) A equação da reta que passa pelo ponto (3, 4) e que é tangente à circunferência 2 2 x + y – 2x – 4y – 3 = 0 é ax + by + c = 0. Podemos afirmar que |a + b + c| pode ser igual a:
01) 1 + 3
04) 2
02) 2 3
05) 1
A) 2. B) 4. C) 5.
03)
3
49. (UFBA/08) Sendo r a reta no plano cartesiano, representada pela equação 2x + 3y = 5, é correto afirmar:
D) 7. E) 8.
52. (UFPE) Assinale a soma das coordenadas do ponto da parábola y = 2x2 mais próximo da reta y = 4x - 20. 53. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso:
(01) A reta paralela à reta r que passa pelo ponto (−3, 0) pode ser representada pela equação 2x + 3y = − 6 . (02) A reta perpendicular à reta r que passa pela origem pode ser representada pela equação − 3x + 2y = 0 . 5 (04) Para cada c ∈ R − , existe uma única 2 circunferência com centro (c, 0) que é tangente à reta r.
(08) O triângulo cujos vértices são a origem e os pontos de interseção da reta r com os eixos 25 coordenados tem área igual a unidades 12 de área. (16) A imagem da reta r pela rotação de ângulo 5 de 60º, em torno do ponto , 0 , no sentido 2 anti-horário, coincide com o eixo das abscissas. (32) Dado um ponto (a, b) ∉ r, existem infinitas circunferências de centro (a, b) que interceptam r.
I II
0 0 A excentricidade da curva
16(x - 2)2 + 25(y - 4)2 = 400 é
5 . 3
1 1 Os focos da hipérbole (x - 1) 2 (y - 2) 2 = 1 são (2, 6) e (2, –6). 9 16 2 2 O centro da elipse de focos F1(16, –2) e F2(–8, –2) é (4, –2). 3 3 A distância focal da curva
4x 2 + 9y 2 - 8x - 36y + 4 = 0 é 2 5 . 4 4 O centro da curva x 2 + y 2 - 4x - 2y - 4 = 0 é (2, 1). 54. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso: I
II
0 0 Se o segmento de reta AB, onde A(2; 1) e B(5; 3) é o diâmetro de uma circunferência, então o centro da circunferência é (7, 4 ) . 1 1 A circunferência de equação x 2 + y 2 - 4x - 6y + 9 = 0 tem como centro (2; 3). x2 y2 + = 1 tem 4 9 5 excentricidade igual a . 9 3 3 Pelo ponto (2; 3) podemos traçar duas tangentes à curva x 2 + y 2 = 15 .
2 2 A elipse de equação
50. (UFPE) Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada:
A) circunferência B) parábola C) hipérbole
D) elipse E) reta
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4 4 A área da elipse
x2 y2 + = 1 é 6π unidades 4 9
de área.
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55. (UPE) As retas x = a e x = b são tangentes à circunferência x2 + y2 + 8x + 6x = 0. Podemos afirmar que a + b é igual a:
I II
A) 7; B) 8; C) 9;
0 0 A reta de equação y = 2x – 1 passa pelo centro da circunferência x 2 + y 2 - 4x - 6y - 12 = 0 .
D) 10; E) 6.
56. (UFPB) Na figura abaixo, estão representadas a circunferência x 2 + y 2 = 9 e uma reta r. A equação da reta r é A) 3x – y + 3 = 0 B) x + y – 3 = 0 C) 2x + y – 2 = 0 D) x + 2y – 3 = 0 E) x + 2y – 4 = 0
57. (UEFS) Sejam a circunferência de centro (–1; 3) e raio 3, um ponto P1 dessa circunferência e o ponto P(2, –1). Se d é a distância de P a P1, então P é um ponto A) exterior à circunferência e d ≤ 3. B) exterior à circunferência e d ≥ 2. C) da circunferência. D) interior à circunferência e d ≥ 2. E) interior à circunferência e d < 2.
58. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso: Dada a curva de equação 4x 2 + 9y 2 - 16x - 18y - 11 = 0 , conclui-se que
I
59. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso:
1 1 A reta de equação 3x – 4y – 43 = 0 é tangente à circunferência de centro (2; 3) e raio 5. 2 2 A área da elipse
x2 y2 + = 1 é 36π unidades 4 9
de área. 3 3 A área do triângulo de vértices A(0; 0), B(4; 0) e C(0; 3) é 12 unidades de área. 4 4 A equação x 2 - y 2 = 0 representa, no plano, um par de retas perpendiculares.
60. (UPE/09) Uma hipérbole cujo eixo real é horizontal, e o eixo imaginário mede 6, o eixo real mede 8, e o centro é C (-2; 1). Sobre essa hipérbole, é CORRETO afirmar. A) Os pontos A (2 , 1) hipérbole
e
B (6 , 1) estão na
5 4 (y − 1)2 (x + 2)2 C) Sua equação reduzida é − =1 16 9 D) Os focos são F(1,−2 ± 5) E) A distância focal é 10 B) Possui excentricidade e =
II
0 0 A área da região do plano limitada pela curva é numericamente igual a 6π. 1 1 A excentricidade da curva é numericamente 2 igual a . 3 2 2 As coordenadas dos focos são ( 5 , 0) e ( - 5 ,0) . 3 3 A curva é uma elipse de distância focal igual a 2 5. 4 4 A curva é uma elipse de eixo maior numericamente igual a 6.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 • a)
02 D 05 A B C E 02 B 14 A E B D B
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
•
02 03 47 D C 03 F,F,V,V,V F,V,F,F,V
B B B V,F,F,V,V V,F,F,F,V
E
x + 2y – 5 = 0
(
b) 2 3 + 1; 0
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GABARITO C 31 D B 32 01 E 33 04 C 34 01 B 35 38 12 36 25 E 37 A 03 38 01 25 39 E A 40 12 27 41 D 27 42 08 A 43 01 D 44 01 C 45 B
)
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