P R O F A
E V E L Y N
MATEMÁTICA 3º E.M.
APOSTILA FUVEST Questões de
2006 a 2016
Nome: _______________________________________ no _______ série: ________
CAPÍTULOS
1.GEOMETRIA PLANA 2. GEOMETRIA ESPACIAL 3. GEOMETRIA ANALÍTICA 4. ANÁLISE COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 5. LOGARITMOS 6. PA PG 7. POLINÔMIOS, EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS 8. FUNÇÕES E INEQUAÇÕES 9. TRIGONOMETRIA 10. SISTEMAS LINEARES, MATRIZES E DETERMINANTES 11. PORCENTAGEM, RACIOCÍNIO LÓGICO, MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
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1. GEOMETRIA PLANA 1. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é
a) b) c) d) e)
17 12 19 12 23 12 25 12 29 12
2. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o °
ângulo â mede 60 e sen á =
( 3) . 4
a) Determine sen OAB em função de AB. b) Calcule AB. a) sen OAB =
b) AB =
( 3) 4 AB
[( 13) 1] 6
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3. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é α. Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de á, pela expressão:
2 2 cos α π 2 2 b) sen 2α π a)
2 2 sen 2 α cos α π 2 d) sená cos2 α π 2 2 e) sen2 α cos α π c)
°
4. (Fuvest 2006) No paralelogramo ABCD a seguir, tem-se que AD = 3 e DAB = 30 . Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DAB.
a) Calcule AP. b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 21. a) AP = 3 (2 3) b) AB =
31 2
5. (Fuvest 2006) Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de 2 m por 2 m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado a seguir, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faixa mostarda, de 5 cm de largura, será bordada em toda a volta do tapete, como na figura.
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a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito anteriormente, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o padrão será repetido? 2 b) Se com um novelo de lã pode-se bordar 400 cm , qual é o número mínimo de novelos de lã mostarda necessário para confeccionar esse tapete?
a) 1,9 m × 1,9 m ; 100 vezes b) 23 novelos
6. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo á com a reta s. Se PQ = 2R, então cos α vale
a) b) c) d) e)
( 2) 6 ( 2) 3 ( 2) 2 2( 2 ) 3 3( 2) 5
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7. (Fuvest 2007) Na figura a seguir, os pontos A1, A2, A3, A4, A5, A6 são vértices de um hexágono regular de lado 3 com centro na origem O de um sistema de coordenadas no plano. Os vértices A 1 e A4 pertencem ao eixo x. São dados também os pontos B = (2, 0) e C = (0,1).
Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine a) a equação da reta OP. b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono. a) y
x 2
36 6 3 18 3 3 b) Q , 11 11 6 3 36 3 3 18 R , 11 11
°
8. (Fuvest 2007) Na figura a seguir, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OAB mede 120 , AO = 3 e AB = 2. Sabendo-se ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3 ,
a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.
a)
(3 3) u.a. 2
b) OC = 60 u.c. e CD = 40 u.c.
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9. (Fuvest 2007) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD , inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3 2 .
a) Determine a altura do trapézio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência. a) h = 3 u.c. b) r =
5 u.c.
c) S = (5π - 9) u.a.
10. (Fuvest 2007) Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular.
Se AB = 2 3 e AD = 1, então a área do setor OAB é igual a a) b) c) d) e)
π 3 2π 3 4π 3 5π 3 7π 3
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11. (Fuvest 2007) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal AC com o segmento BE.
Então a área do triângulo BCF vale a) b) c) d) e)
6 5 5 4 4 3 7 5 3 2
12. (Fuvest 2007) Uma fazenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da fazenda que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a a) 2/9 b) 3/9 c) 4/9 d) 5/9 e) 7/9
13. (Fuvest 2007) Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a
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a) b) c) d) e)
(3 5 ) 2 (7 5 ) 8 (3 5 ) 4 (3 5 ) 5 ( 5) 3
14. (Fuvest 2008) No retângulo ABCD da figura tem-se CD = ℓ e AD = 2ℓ. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede
a) ℓ
( 2) 8
( 2) 4 ( 2) c) ℓ 2 ( 2) d) 3ℓ 4 e) ℓ 2 b) ℓ
15. (Fuvest 2008) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de α =
π radianos. 3
A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tg β = 3 3 .
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é a) 4 3 b) 5 3 c) 6 3 d) 7 3 e) 8 3 16. (Fuvest 2008) O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo equilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura.
Assim, determine a) a razão entre R e r . b) a área do triângulo DEF em função de r . a) 3. 2
b) 27 3 r .
17. (Fuvest 2008) No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, AC = 4 e cos C = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR = AC e BR/BC = 4/7, calcule a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC . b) a área do triângulo ABR.
a)
55 u.c. 2
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b)
55 u.a.
18. (Fuvest 2009)
O triangulo ABC da figura ao lado é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados , e AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF s.o retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine: a) A área do triangulo AFE em função de x. b) O valor de x para o qual o angulo FEG também é reto. a) [AFE] =
b) x =
x2 3 u.a. 2
1 u.c. 5
19. (Fuvest 2009) Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que: 1. O ponto O pertence ao segmento PQ . 2. OP = 1, OQ = 2 . 3. A e B são pontos da circunferência, AP é perpendicular a PQ e BQ é perpendicular a PQ.
Assim sendo, determine: a) A área do triangulo APO. b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C . c) A área da região hachurada.
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a)
b)
3
u.a.
2
5π 6
u.c. e
3 3 c)
19π 6
u.c.
6 5π u.a. 6
20. (Fuvest 2009) A figura a seguir representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a:
a) 3 3 b) 2 3
3 c) d) e)
3 2 3
3 2
21. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso, (1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; (2) AB = OB; (3) CÔD mede α radianos.
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ˆ O, em radianos, é igual a: Nessas condições, a medida de A B a) π - (α/4) b) π - (α/2) c) π - (2α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/2)
22. (Fuvest 2010) No triangulo ABC da figura, a mediana AM , relativa ao lado BC , e perpendicular ao lado AB . Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se α e a medida do angulo A Bˆ C, determine
a) sen α. b) o comprimento AC. c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB . d) a área do triangulo AMC.
a) 30
b) 7
c) 2
d)
3 2
23. (Fuvest 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE =
3 , então a área do paralelogramo DECF vale 2
63 25 12 b) 5 58 c) 25 56 d) 25 a)
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e)
11 5
24. (Fuvest 2010) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? x = 6/17 m
25. (Fuvest 2010) Na figura, os pontos A, B,C pertencem à circunferência de centro 0 e BC = α . A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo A Oˆ B mede
a)
π radianos. Então, a área do triângulo ABC vale: 3
α2 8
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α2 4 α2 c) 2 3α 2 d) 4 2 e) α b)
26. (Fuvest 2010) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC , BF mede
5 , 4
o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede
a) b) c) d) e)
3 5 40 7 5 40 9 5 40 11 5 40 13 5 40
27. (Fuvest 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta O1O2 no ponto Q. Sendo assim, determine a) o comprimento P1P2; b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; c) a área do triângulo QO2P2. 2 2 2 a) x + 9 = 15 x = 12 9.12 90 b) A 12.3 2 y 3 3x 12 y 4 c) y 12 12 Logo, A =
12.(12 4) 96 2
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28. (Fuvest 2011) Poema ZEN, Pedro Xisto, 1966.
Diagrama referente ao poema ZEN.
Observe as figuras acima e assinale a alternativa correta. a) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN são elementos típicos da produção poética brasileira da década de 1960. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCJI. b) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN podem ser observados tanto no conteúdo semântico da palavra por ele formada quanto na simetria de suas formas geométricas. Por exemplo, as áreas do triângulo ABF e do retângulo BCJI são iguais. c) O poema ZEN pode ser considerado concreto por apresentar proporções geométricas em sua composição. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCGF. d) O concretismo poético pode utilizar proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre os perímetros do trapézio ADGF e do retângulo ADHE é menor que 7/10. e) Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira são representantes do concretismo poético, que utiliza proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre as áreas do triângulo DHG e do retângulo ADHE é 1/6. 29. (Fuvest 2011) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale
a) 1 3 b) 2 3 Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) 3 3 d) 3 2 3 e) 3 3 3
30. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e MN 14
4
.Então, DM é igual a
2 4 2 b) 2 c) 2 a)
3 2 2 5 2 e) 2 d)
31. (Fuvest 2011) Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o segmento AB na razão áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são iguais. Esse valor comum é chamado “razão áurea”.
A razão áurea, também denominada proporção áurea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemáticas estão corretamente enunciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela. Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, Misconceptions about the golden ratio, The College Mathematics Journal, 23, 1, january, 1992, pp. 2-19. a) Reescreva o trecho “(...) mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas”, substituindo a conjunção que o inicia por “embora”, com as devidas alterações. b) O verbo da oração “Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas” está na voz passiva analítica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sintética, fazendo as devidas alterações. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágono regular. Utilize semelhança de triângulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.
a) “(...) embora muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética sejam falsas e equivocadas”. b) “Infelizmente, divulgaram-se amplamente essas afirmações sobre a razão áurea”. c) PAC ~ MBC y x xy y
AC BC AB AC Portanto, C divide o segmento AB na razão áurea.
32. (Fuvest 2012)
Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO . Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3 e BC 2 3 . Nessas condições, determine a) a medida do segmento CD ; b) o raio da circunferência; Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) a área do triângulo AOB; d) a área da região hachurada na figura. Resposta da questão 13:
a) Temos:
CD 2 8
3.2 3
CD 48 CD 4 3 b) No triângulo ADC, temos:
(2r)2 4 3
8 3 2
2
4r 2 192 48 r 2 36 r 6
2 c) h2 3 3 62 h2 36 27 h2 9 h 3
A
6 3.3 A 9. 3 2
3 1 α 30 e β = 120° 6 2 Área pedida:
d) senα
A
π.62 A ΔAOB 3
A 12π 9 3
A 3 4π 3 3
33. (Fuvest 2012) O segmento AB é lado de um hexágono regular de área triz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale igual a a) 2
3 . O ponto P pertence à media-
2 . Então, a distância de P ao segmento AB é
b) 2 2 c) 3 2 d)
3
e) 2 3 34. (Fuvest 2012) Na figura, tem-se AE paralelo a CD , BC , paralelo a DE , AE 2 , 45º , 75º . Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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a)
3
b)
2
3 2 2 d) 2 2 e) 4 c)
35. (Fuvest 2012)
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5 , o ângulo interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de vértice B mede α 2 . Sabe-se, também, que
2 cos(2α) 3cos α 1 0 Nessas condições, calcule a) o valor de sen α ; b) o comprimento do lado AC . a) Observe o cálculo a seguir: 2.cos(2α ) 3.cos α 1 0
2.(cos2 α sen2α ) 3.cos α 1 0 2.(2.cos2 α 1) 3.cos α 1 0 4cos2 α 3.cos α 1 0 Δ 25 cos α
3 5 8
1 4 cos α 1(não coném) cos α
2
15 1 logo, senα = 1 4 4 b) traçando uma reta r representada na figura, temos:
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cos α
1 4
15 5x 10 x
15 5x 10 x
10x 4 15 20x 30x 4 15 x
2 15 15
36. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km.
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são (Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km; π 3. ) a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. e) junho; 0,3°.
37. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? a) ΔATD ~ ΔABC : b) AB
x 20 x 60 m. 900 300
3002 900 2
300 10
Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos: 300 10 1,5.t t 200 10.
38. (Fuvest 2013)
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. a) A = 4 3 = 12. b) No triângulo ADE, senθ
3 . x
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Logo, a área do triângulo BB’C será dada por: 1 1 3 A 2x 4 senθ 2x 4 12. 2 2 x 3 c) Considerando que senθ sen(180 θ) . x S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD) S(A’B’C’D’) =
1 1 1 1 .2x.4.sen(θ) .2.4x.sen(180 θ) .2x.4.sen(θ) .2.4x.sen(180 θ) 12 2 2 2 2
S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 S(A’B’C’D’) = 60
39. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF 15, AG 12, AB 6, CD 3 e DF 5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é
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2
a) 100 km 2 b) 108 km 2 c) 210 km 2 d) 240 km 2 e) 444 km 40. (Fuvest 2014) Considere o triângulo equilátero ΔA0OB0 de lado 7cm. a) Sendo A1 o ponto médio do segmento A0B0 , e B1 o ponto simétrico de A1 em relação à reta determinada por O e B0 , determine o comprimento de OB1. b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo ΔA1OB1, pode‐se obter o triângulo ΔA 2OB2 tal que A 2 é o ponto médio do segmento A1B1, e B2 o ponto simétrico de A 2 em relação à reta determinada por O e B1. Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo ΔA3OB3 . Assim, sucessivamente, pode‐se construir uma sequência de triângulos ΔAnOBn tais que, para todo n 1, An é o ponto médio de An1Bn1, e Bn , o ponto simétrico de A n em relação à reta determinada por O e Bn1, conforme figura abaixo.
Denotando por an , para n 1, o comprimento do segmento An1An , verifique que a1,a2,a3 , ... é uma progressão geométrica. Determine sua razão. c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A0 A1A2 ...An,n 1. O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP' é perpendicular à reta r e a interseção de PP' e r é o ponto médio de PP'.
a) Como OB0 A1B1, A1A 2 A 2B1 e OA 2 é comum aos triângulos OA1A 2 e OB1A 2 , segue-se que os triângulos OA1A 2 e OB1A 2 são congruentes por LAL. Além disso, OA1B0 OA1A2 90 e A1B0 A 2 60 implicam em OA1B1 60. Portanto, o triângulo OA1B1 é equilátero. Desse modo, o resultado pedido cor7 3 cm. responde à altura do triângulo A0OB0 , ou seja, 2 b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que
OAn
OAn1 3 , 2
com n 1.
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Daí, como an An1An
OAn1 , temos 2
OAn an1 3 2 , an 2 OAn1 2 para todo n 1 e, portanto, a1, a2, a3 , zão
é uma progressão geométrica de primeiro termo a1
7 cm e ra2
3 . 2
c) O comprimento da poligonal A0 A1A2 An, com n 1, corresponde à soma dos n primeiros termos da progressão geométrica a1, a2, a3 , , ou seja, n
3 1 n 2 7 7(2 3 ) 1 3 cm. 2 2 3 1 2 41. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual
AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 42. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. 2 a) 1.600 m 2 b) 1.800 m 2 c) 2.000 m 2 d) 2.200 m 2 e) 2.400 m
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43. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede 6cm.
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a a) b) c) d) e)
2 7 3 7 2 7 2 2 7 2 3 7
44. (Fuvest 2016) Os pontos A, B e C são colineares, AB 5, BC 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 45. (Fuvest 2016) Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, dL , e da Terra ao Sol, dS .
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É possível estimar a medida do ângulo α, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t1, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t 2 , decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando t1 14,9 dias e t 2 14,8 dias, conclui-se que a razão dL dS seria aproximadamente dada por a) cos 77,7 b) cos 80,7 c) cos 83,7 d) cos 86,7 e) cos 89,7
ˆ e ADC ˆ são retos, AB AD 1, 46. (Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC BC CD 2 e BD é uma diagonal.
ˆ vale O cosseno do ângulo BCD
3 5 2 b) 5 3 c) 5 a)
2 3 5 4 e) 5 d)
47. (Fuvest 2016) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta. b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica. Note e adote: cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos 16 0,96; sen 16 0,28 Latitude e longitude de Brasília: 16S e 48W Latitude e longitude de Moscou: 56N e 37E Raio da Terra: 6.400 km a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da Terra, o ponto B a localização de Brasília e o ponto M a localização de Moscou:
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Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se que os arcos BA e CM são iguais e delimitados pelo raio R da terra e um ângulo de 72 (56 16). Assim, pode-se calcular a distância vertical percorrida por ambos os aviões: 72πR 2πR BA CM 180 5 Para calcular a distância horizontal BC basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de B até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (48 37). Assim, pode-se escrever: distBEixo distBEixo 0,96 distBEixo 0,96R R R 85π 0,96R 16,32πR BC BC 180 36 cos16
Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de A até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (48 37). Assim, pode-se escrever: dist A Eixo dist A Eixo 0,56 dist A Eixo 0,56R R R 85π 0,56R 9,52πR AM AM 180 36
cos56
Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões: 2πR 9,52πR 119,6πR Avião 1 BA AM 5 36 180 16,32πR 2πR 153,6πR Avião 2 BC CM 36 5 180 Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância. b) A diferença das distâncias percorridas será igual a: 153,6πR 119,6πR 34 πR 34 π 6400 Avião 2 Avião 1 1208,9 π km 180 180 180 180 48. (Fuvest 2016) Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do ângulo QPR.
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a) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ? b) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a trajetória da bola será perpendicular a PQ? c) Supondo agora que 30 60, encontre uma expressão, em função de , para a medida a do ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda. a) Como a bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar, pode-se concluir que o ângulo PRO ORZ α. Pelos fundamentos da geometria plana, sabe-se que o ângulo POR também é igual a α. Como os segmentos OP e OR são iguais (raio da circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ também será igual a α. Assim, todos os ângulos do triângulo PRO são igual, fazendo deste um triângulo equilátero. Logo, α θ 60. Caso θ 0, após a primeira reflexão a trajetória também será paralela ao diâmetro PQ.
b) Analisando a figura a seguir, como PO e OZ são segmentos iguais (ambos são iguais ao raio da circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ será igual a α. Assim, pode-se escrever sobre o triângulo retângulo: 3α 90 180 3α 90 α θ 30
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c) Analisando a figura a seguir, pode-se escrever: α 3θ 180 α 180 3θ, para 30 θ 60
49. (Fuvest 2016) São dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são P1, P2 e P3 .
Calcule, em função de r, a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira; b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto P1, P2 e P3 aos dois vértices do triângulo T mais próximos a ele. a) O triângulo equilátero descrito é o “externo” que contém as três esferas. Assim, seu lado será igual a:
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Ou seja:
lado
2r 3 2r 2r 2r lado 2r tg 30 3
3 1
b) Considerando como A, B e C os vértices do triângulo equilátero “externo” pode-se desenhar:
Assim, percebe-se que a área destacada em azul se dá por: Sazul S Samarelo Sazul 3r 2 2
lado 2
3
4
3 1
2
2r r lado 3 2
3r 2
2
2
3 3
2
3 1 3r 2 3 2 3 1 3r 2 2
2
2
3 3r 6r 3r 3 3r 3r 3r 3r Sazul r 2
3 1 3 r 2r 3 1 3 4 2
3 1
2
50. (Fuvest 2017) O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB 3 e BC 4. O ponto
P pertence ao lado BC e BP 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB.
Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto 0, 3 , é 61 8 33 b) 4 17 c) 2
a)
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35 4 73 e) 8 d)
51. (Fuvest 2017) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB 4 e BC 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.
A área do triângulo AEF é igual a 24 a) 25 29 b) 30 61 c) 60 16 d) 15 23 e) 20
2. GEOMETRIA ESPACIAL
1. (Fuvest 2006) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é
2 da área de B, determine seu volume. 3
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[640( 3)π] 3 cm 9
2. (Fuvest 2006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é
3 e o volume do cone é ð. 2
Então, o comprimento g da geratriz do cone é
a)
5
b)
6
c) d)
7 10
e)
11
3. (Fuvest 2006) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é
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a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 4. (Fuvest 2007) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a.
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a
(a 5 ) 5 (a 3 ) b) 3 (a 3 ) c) 2 d) a 3 a)
e) 2a 3 5. (Fuvest 2007) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = 3 . ME. Calcule:
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a) O volume do tetraedro BCGM. b) A área do triângulo BCM. c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM. a)
a3 6
b)
5a2 8
c)
(5a 41) 41
6. (Fuvest 2007) Um castelo está cercado por uma vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios 41 m e 45 m. A profundidade da vala é constante e igual a 3 m.
O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são cilindros circulares retos com raio da base de 1,5 m e altura igual a 8 m. Determine o número mínimo de caminhões-pipa necessário para encher completamente a vala. 58 7. (Fuvest 2007) Uma empresa de construção dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos têm as seguintes características: todos são cilindros retos, o bloco X tem 120 cm de altura e o bloco Y tem 150 cm de altura.
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A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condições: cada coluna deve ser construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem ter a mesma altura. Com o material disponível, o número máximo de colunas que podem ser construídas é de a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59
8. (Fuvest 2008) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que - apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; - os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo equilátero.
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2 3 cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo. 9 2 cm3. 9. (Fuvest 2008) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de comprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 do solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo, conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces 1 e 2, mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque duas arestas da face 2 em pontos R e B, conforme a figura.
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Nessas condições, a) calcule PR. b) calcule AB.
a) PR =
b) AB =
5 . 4
5 . 4
10. (Fuvest 2008) O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD , conforme a figura:
Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e senOCD = 1/3, então a área do triângulo OCD vale
( 2) 9 ( 2) b) 32 9 ( 2) c) 48 9 ( 2) d) 64 9 a) 16
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e) 80
( 2) 9
11. (Fuvest 2009) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal que tgθ =
5 . O ponto P pertence a β e 5
a distância de P a β vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de α e β é igual a: a)
3
b)
5
c)
6
d)
7
e)
8
12. (Fuvest 2009) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:
AB = CD =
3 2
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1 AP = DQ =
1 2
Determine: a) A medida de BP. b) A área do trapézio BCQP. c) Volume da piramide BPQCE. a)
b)
c)
10 4
u.c.
9 u.a. 16
3 3 u.v. 64
13. (Fuvest 2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a: a)
b)
c) d) e)
3 6
3 3
2 3 3 3
4 3 3
14. (Fuvest 2010) Dois planos ð1 e ð2 se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o angulo entre π eles meça α radianos, 0 α .Um triangulo equilátero ABC, de lado ℓ, esta contido em ð2, de modo que AB 2 esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano ð1, e suponha que a medida θ, em radianos, do angulo CÂD, satisfaça
senθ
6 . 4
Nessas condições, determine, em função de ℓ, a) o valor de α. b) a área do triangulo ABD. c) o volume do tetraedro ABCD.
a)
π 4
3
2
b)
6 8
c)
16
15. (Fuvest 2010) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a a) b) c) d) e)
5 9 4 9 1 3 2 9 1 9
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16. (Fuvest 2011) A esfera , de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano . O plano é paralelo a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de com e, como vértice, um ponto em , é igual a
3r 3 4 5 3r 3 b) 16 a)
c)
3 3r 3 8
d)
7 3r 3 16
e)
3r 3 2
17. (Fuvest 2011) Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado ℓ. Os pontos M e N são pontos médios das arestas AB e BC , respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.
A=
13 2 . 4
9. (Fuvest 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a a) a 3 b) a 2
a 3 2 a 2 d) 2 a 2 e) 4 c)
18. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB 2, AD 3 e AE 4.
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a) Qual é a área do triângulo ABD? b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?
a área do triângulo BDE será dada por:
1 2 61 5 61. 2 5
a) A 3 2 /2 3. b) V 1/3 3 4 4. c)
1 12 12 61 61 AQ 4 AQ . 3 61 61
19. (Fuvest 2013) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é a) 2 3 b) 4 c) 3 2 d) 3 3 e) 6
20. (Fuvest 2014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é 1 a) 8 1 b) 6 2 c) 9 1 d) 4 1 e) 3
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21. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE 2cm, AD 4cm e
AB 5cm.
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a
4 do volume da pirâmide 3
SEFGH é a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm 22. (Fuvest 2015) A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é Nota: 1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da base do cilindro. 2) Adote os valores aproximados de:
2,2g / cm3 para a densidade da grafita; 12g / mol para a massa molar do carbono;
6,0 1023 mol1 para a constante de Avogadro a) 5 1023 b) 1 1023 c) 5 1022 d) 1 1022 e) 5 1021
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] Cálculo do volume da grafita:
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diâmetro 2 mm de espessura 2 10 3 m 2 10 1 cm raio 1 mm de espessura 10 1 m altura 15 cm Vcilindro (Área da base) (altura) Vcilindro π r 2 h Vcilindro π (101)2 15 Vcilindro 0,471 cm3 dgrafita 2,2 g / cm3 1 cm3 3
0,471 cm
2,2 g mgrafita
mgrafita 1,0362 g 6,0 1023 átomos de carbono
12 g de grafita 1,0362 g de grafita
x
x 5,18 1022 átomos de carbono [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] Tem-se que o volume de grafite é dado por 2
2
d 0,2 π h 3,14 15 2 2 0,47cm3 .
Daí, sabendo que a densidade da grafita é 2,2 g cm3 , vem que a massa de grafite é igual a
m 2,2 0,47 1,03 g. Portanto, sendo n o número de átomos de carbono presentes nessa grafite, temos
n
12 23
6 10
1,03 n 5 1022.
23. (Fuvest 2016) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e CD. Dado que AP 3, o quadrilátero determinado pelas interseções de α com as arestas do tetraedro tem área igual a a) 21 21 2 b) 2 c) 30 30 d) 2 30 3 e) 2
24. (Fuvest 2016) O Sistema Cantareira é constituído por represas que fornecem água para a Região Metropolitana de São Paulo. Chama-se de “volume útil” do Sistema os 982 bilhões de litros que ficam acima do nível a partir do qual a água pode ser retirada sem bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, é possível retirar e tratar parte da água armazenada abaixo desse nível. A partir de outubro de 2014, a Sabesp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhões de litros desse volume adicional, denominada “reserva técnica” ou “volume morto”, e chamou de “volume total” a soma do volume útil com a reserva técnica. A parte do volume total ainda disponível para consumo foi chamada de “volume armazenado”. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o nível do Sistema, após o início do uso da reserva técnica, foi o percentual do volume armazenado em relação ao volume útil (e não ao volume total). Chama-se este percentual de Índice 1. a) Calcule o valor que terá o Índice 1 quando as represas estiverem completamente cheias, supondo que a definição de “volume armazenado” não tenha mudado. A partir de abril de 2015, a Sabesp passou a divulgar outros dois índices, além do Índice 1 (veja o Quadro). Note que o Índice 3 pode assumir valores negativos e valerá 100% quando as represas do Sistema estiverem completamente cheias. b) No momento em que o Índice 1 for 50%, que valores terão os Índices 2 e 3? c) Qual é o valor do Índice 2 no momento em que o Índice 3 é negativo e vale 10%? QUADRO
volume armazenado Índice 1 100% volume útil Índice 3
Índice 2
volume armazenado 100% volume total
(volume armazenado) (volume da reserva técnica) 100% volume útil
Considere: o volume útil VU 982, o volume morto VM 287, o volume total VT 982 287 1269 e o volume armazenado VA. a) Se as represas estiverem completamente cheias, VA será igual a VT. Logo: VA 1269 Índice 1 1,2923 Índice 1 129,23% VU 982 b) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever: VA VA Índice 1 50% 0,5 0,5 VA 491 VU 982 VA 491 Índice 2 0,3869 Índice 2 38,69% VT 1269 VA VM 491 287 Índice 3 0,2077 Índice 3 20,77% VU 982 c) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever: VA VM VA 287 Índice 3 0,1 0,1 VA 188,8 VU 982 VA 188,8 Índice 2 0,1488 Índice 2 14,88% VT 1269 25. (Fuvest 2017) O paralelepيpedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB 4, BC 2 e BF 2.
O seno do ângulo HAF é igual a 1 a) 2 5 Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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1
b)
5 2
c)
10 2
d)
5 3
e)
10
26. (Fuvest 2017) Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente, Dados: - π é aproximadamente 3,14. - O volume V do cone circular reto de altura h e raio da base r é V a) b) c) d) e)
4 5 5 6 6
horas e horas e horas e horas e horas e
50 20 50 20 50
1 2 π r h. 3
minutos. minutos. minutos. minutos. minutos.
3. GEOMETRIA ANALÍTICA 2
1. (Fuvest 2006) O conjunto dos pontos (x,y), do plano cartesiano que satisfazem t - t - 6 = 0, onde t = │x - y│, consiste de a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas. d) uma parábola. e) duas parábolas.
2. (Fuvest 2006) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB.
2 2 3. (Fuvest 2006) a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de y = (12/x) - 1 e x + y - 6 = 0 se interceptam. b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AOB = ACB e que pertence à reta x = 2. Nota: AOB indica o ângulo cujos lados são OA e OB e ACB indica o ângulo cujos lados são CA e CB.
a) A (4; 2) e B (3; 3) b) C (2; 1- 5 ) 2
2
4. (Fuvest 2008) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x + y = 5, o Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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ponto P = (1, 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim sendo, determine a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. a) x + 2y - 5 = 0. b) (2 3 +1; 0).
2
2
5. (Fuvest 2008) A circunferência dada pela equação x + y - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale
a) π - 2 b) π + 2 c) π+ 4 d) π + 6 e) π+ 8 6. (Fuvest 2008) Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se a) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60 b) x + 3y ≤ 7 e 20x + 15y ≤ 60 c) x + 20y ≥ 7 e 3x + 15y ≥ 60 d) x + 20y ≤ 7 e 3x + 15y ≤ 60 e) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60
7. (Fuvest 2009) Na figura a seguir, a reta r tem equação y = 2( 2 )x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0 = (0,1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 = O = (0, 0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para 1 ≤ i ≤3.
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Os segmentos A1B1, A2B2 , A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos B0D1, B1D2, B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distancia entre Bi e Bi+1 é igual a 9, para 0 ≤ i ≤ 2. Nessas condições: a) Determine as abscissas de A1, A2, A3. b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1Di+1, para 0 ≤ i ≤ 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2.
a) 3, 6 e 9. b) 9 . (1 + 6 2 )u.a.
2
2
8. (Fuvest 2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2) + (y - 2) = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a: a) 2 2 - 2 b) 2 2 - 1 c) 2 2 d) 2 2 + 2 e) 2 2 + 4 9. (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (-5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triangulo APQ. a) P (-1,-2) 2
2
b) (x + 5) + (y - 1) =25
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c) 25/4 u.a. 10. (Fuvest 2010) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a a) b) c) d) e)
3 2 2 5 2 2 7 2 2 9 2 2 11 2 2
11. (Fuvest 2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função y
8 x
Nessas condições, determine a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função. b) a área do pentágono OABCD.
a) A 2 2; 1 , B 1; 2 2 , C 1; 2 2 e D 2 2; 1 b) 7 2 2
2
12. (Fuvest 2011) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação y = - 4x + 8x + 12 e a reta r de equação y = 3x +6. Determine: a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola P. b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r. c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V. a) V = (1,16) b) C(2,12) c) A = 36
A(-1,0) e B(3,0)
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13. (Fuvest 2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2,4) é tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C vale 5 a) 8
5 4 5 c) 2 3 5 d) 4 e) 5 b)
14. (Fuvest 2012) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10
15. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de 2 2 equação x 1 y 2 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de PaQé a) 15 b)
17
c)
18
d)
19
e)
20
16.(Fuvest 2014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (3, 4) e
C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 16 a) 4, 5 17 b) ,3 4 12 c) 5, 5 11 d) ,2 2 8 e) 6, 5
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17. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana x2 y2 4y 0 e a parábola α de equação y 4 x2 . a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α. b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x2 y2 4y 0 e
y 4 x2.
a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos
x 2 y 2 4y 0 y 4 x 2
x 2 4 y 2 y 5y 4 0
x 2 4 y y 2 5y 4 0 x 2 4 y y 1 ou y 4 ( 3, 1) ou (0, 4). b) Completando os quadrados, obtemos
x2 y2 4y 0 (x 0)2 (y 2)2 4. Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.
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Por outro lado, a equação canônica de α é y (x 0)2 4. Assim, o ponto de máximo do gráfico de α é
(0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3, 1) e ( 3, 1). Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x2 y2 4y 0 e
y 4 x2 pertencem à região sombreada da figura abaixo.
18. (Fuvest 2015) A equação x2 2x y2 my n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e 2 d) 2 e 4 e) 2 e 3 19. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P pertence à parábola de equação y x2 e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a a) 2 2 2 b) 3 2 2 c) 4 2 2 d) 5 2 2 e) 6 2 2 20. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2, 1), e a reta t é tangente a C no ponto Q (1, 5). a) Determine o raio da circunferência C. b) Encontre uma equação para a reta t. c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x. a) Como Q é tangente à circunferência C, então o segmento PQ é igual ao raio. Logo:
r
2 (1)2 1 5 2
9 16 25 r 5
b) Como t é tangente à circunferência em Q, sabe-se então que t é perpendicular ao segmento PQ. Assim, os coeficientes angulares da reta t e do segmento PQ tem a seguinte relação:
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αt
1 αPQ
αPQ
5 1 4 3 αPQ αt 1 2 3 4
Assim, a reta t é dada pela equação 3 reta t y 5 x 1 3x 4y 23 0 4 c) Se o ponto R intercepta o eixo x, então suas coordenadas são do tipo (a, 0). Para encontrar o valor de a, basta substituir na equação da reta: 23 3a 23 0 a R 23 ,0 3 3
Assim, a área S do triângulo PQR pode ser escrita como:
1 S 2
2
1 1
1
5 1
23
3
0 1
1 23 115 1 125 125 10 1 S 2 3 3 2 3 6
21. (Fuvest 2017) Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2 ). O valor de (x1 y1)2 (x2 y2 )2 é igual a a) b) c) d) e)
5 2 7 2 9 2 11 2 13 2
4. ANÁLISE COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1. (Fuvest 2006) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 b) 17 Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) 18 d) 19 e) 20 2. (Fuvest 2006) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e a escolaridade da população de uma cidade.
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior (completo ou incompleto) é a) 6,12% b) 7,27% c) 8,45% d) 9,57% e) 10,23%
3. (Fuvest 2007) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? a) 71 b) 75 c) 80 d) 83 e) 87 4. (Fuvest 2007) Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca. b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor. a) 15/56 b) 1/3 5. (Fuvest 2008) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, 1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a a) 928 b) 1152 c) 1828 d) 2412 e) 3456 6. (Fuvest 2008) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de a) Pedro vencer na primeira rodada. b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. c) um dos participantes vencer até a quarta rodada. a) 5/18. b) 4/9. c) 6305/6561 . 7. (Fuvest 2009) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas. a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote? b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França? c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?
a) 3003. b) 450.
c)
95 . 273
8. (Fuvest 2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: a) 2/9 b) 1/3 c) 4/9 d) 5/9 e) 2/3
9. (Fuvest 2010) Seja n um numero inteiro, n ≥ 0. a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio. b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) Considere, agora, um número natural k tal que 0 ≤ k ≤ n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k. Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma. a) n + 1 b) c)
n 2n 1 2
n k 2n k 1 n 2n 1
10. (Fuvest 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555
11. (Fuvest 2011) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A? a) 14! b) As questões serão assim dispostas: PPPPPPP MGMGGGM PPPPPPP MGGMGGM PPPPPPP MGGGMGM PPPPPPP GMGMGGM PPPPPPP GGMGMGM PPPPPPP GMGGMGM 7! , 4!. 3! . 6 = 4.354.560 c) P =
7!.4!.3! 6 7!.7! 35
12. (Fuvest 2011) a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9? b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5? c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4? Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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13. (Fuvest 2011) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? 4 a) 27 11 b) 54 7 c) 27 10 d) 27 23 e) 54
14. (Fuvest 2012) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3 5 , calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio. a) Observe: Grupos : A (meninas) B (meninos) C (meninas) e D (meninos e meninas)
C10,4 210
C6,4 15
C6,4 15
C4,4 1
Total 210 15 15 1 47 250 2 2 20 . 1 5 5 125 2 3 2 12 Final Maria e José e uma Maria vencer: . 5 5 5 125 2 3 2 12 Final marta e João e uma Marta vencer: . 5 5 5 125 20 12 12 44 Probabilidade pedida . 125 125 125 125 b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer:
15. (Fuvest 2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos? Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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a) b) c) d) e)
49 144 14 33 7 22 5 22 15 144
16. (Fuvest 2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b) , em que 11 a 22 e 43 b 51 . Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração
a
b
a) b) c) d) e)
seja irredutível e com denominador par?
7 27 13 54 6 27 11 54 5 27
17. (Fuvest 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. e) maior que 16%.
18. (Fuvest 2013) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas: 1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa; 2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa. a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
a) Sócrates deve obter pelo menos 2 seis.
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Portanto, a probabilidade será P = 16/216 = 2/27. b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5.
Logo, a probabilidade será P = 43/216. 19. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro. a) Quantas unidades da Federação tem cada região? b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos. c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P 1/ 50. Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores. a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul 3.
9 9! b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há 36 modos de esco 2 7! 2! 4 4! lher duas unidades da região Nordeste e 6 modos de escolher duas unidades da região Su2 2! 2! deste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3 maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos
N 36 6 7 4 3 37 25 311 7. c) Como existem 27 3 81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de
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81 81! 7 74! 7! 81 80 79 78 77 76 75 765432 50 22 34 11 13 19 79 maneiras. Logo,
P
25 311 7
50 22 34 11 13 19 79 1 18 63 108 50 19 79 143 1 , 50
pois
18 63 108 e são menores do que 1. , 19 79 143
20.(Fuvest 2014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é 1 a) 3 5 b) 12 17 c) 36 1 d) 2 19 e) 36
21. (Fuvest 2014) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana. a) 5, 5, 7, 8, 9, 10 b) 4, 5, 6, 7, 8, 8 c) 4, 5, 6, 7, 8, 9 d) 5, 5, 5, 7, 7, 9 e) 5, 5, 10, 10, 10, 10
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22. (Fuvest 2015) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é: 1 a) 130 1 b) 420 10 c) 1771 25 d) 7117 52 e) 8117 23. (Fuvest 2015) Examine o gráfico.
Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar corretamente que a idade a) mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi maior que 27 anos. b) mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi menor que 23 anos. c) mediana das mães das crianças nascidas em 1999 foi maior que 25 anos. d) média das mães das crianças nascidas em 2004 foi maior que 22 anos. e) média das mães das crianças nascidas em 1999 foi menor que 21 anos. 24. (Fuvest 2016) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1 ? 3 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 25. (Fuvest 2016) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima de a) 4,3 b) 4,5 Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) 4,7 d) 4,9 e) 5,1 26. (Fuvest 2016)
João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedro regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa. a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12? b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5? Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados. c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30? Poliedros regulares Tetraedro 4 faces Cubo 6 faces Octaedro 8 faces Dodecaedro 12 faces Icosaedro 20 faces a) Como Maria jogou apenas um dado e pretende-se verificar a probabilidade do número lançado ser maior que 12, Maria só tem uma possibilidade de sorteio: o icosaedro. Este possui 8 faces numeradas com valores maiores que 12 (faces 13 até 20). Assim, a probabilidade do número lançado ser maior que 12 é: 1 8 8 P(x 12) 8% 5 20 100 b) Como pretende-se verificar a probabilidade do número lançado ser menor que 5, Maria poderia sortear qualquer um dos 5 dados, pois todos possuem faces com valores menores que 5. Assim, a probabilidade do número lançado ser menor que 5 é: 1 4 1 Tetraedro P(x 5) 5 4 5 1 4 4 2 Cubo P(x 5) 5 6 30 15 1 4 4 1 3 3 1 30 45 6 81 Octaedro P(x 5) Pt (x 5) 54% 5 8 40 10 15 10 25 150 150 1 4 4 1 Dodecaedro P(x 5) 5 12 60 15 1 4 4 1 Icosaedro P(x 5) 5 20 100 25
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c) Como João jogou dois dados e pretende-se verificar a probabilidade de os números lançados apresentarem soma maior que 30, João só tem duas possibilidades de sorteio: o dodecaedro e icosaedro. Isso porquê qualquer outra combinação não resulta em dados cujas faces somem números maiores que 30 (mesmo o icosaedro e o octaedro somariam no máximo 28). As possíveis somas do dodecaedro e icosaedro maior que 30 seriam: 11 20 31; 12 19 31 e 12 20 32. Logo, 3 casos. Portanto, a probabilidade será: 1 1 2 1 Escolha de dados P(x) 2 5 4 20 10 1 1 3 1 Soma de faces P(x) 3 12 20 240 80
P(x 30)
1 1 1 12,5% 10 80 800
27. (Fuvest 2017) Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é 1 a) 4 7 b) 24 1 c) 3 3 d) 8 5 e) 12
5. LOGARITMOS Equações, inequações, sistemas. 1. (Fuvest 2007) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números estritamente positivos tais que log2 a1, log2 a2, log2 a3, log2 1 a4, log2 a5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão . Se a1 = 4, então o valor da soma a1 2 + a2 + a3 + a4 + a5 é igual a a) 24 +
2
b) 24 + 2 2 c) 24 + 12 2 d) 28 + 12 2 e) 28 + 18 2
2. (Fuvest 2006) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log 2(2x + 5) - log2(3x - 1) >1 é o intervalo: a) ]- ∞, - 5/2[ b) ]7/4, ∞[ c) ]- 5/2, 0[ d) ]1/3, 7/4[ e) ]0, 1/3[ 3. (Fuvest 2008) Os números reais x e y são soluções do sistema
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2 log2 x log2 y 1 1 log x 4 1/ 2 log y 2 2 2 Então 7
y - x vale
a) - 7 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 7 4. (Fuvest 2009) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 2 log2 (1 +
2 x) - log2 ( 2 x ) = 3.
2a 4 é igual a 3
Então, log2
a)
1 4
b)
1 2
c) 1 d)
3 2
e) 2
5. (Fuvest 2010) Tendo em vista as aproximações log10 2 0,30, log10 3 0,48, então o maior número inteiro n 418 n, satisfazendo 10 12 , é igual a a) 424 b) 437 c) 443 d) 451 e) 460
6. (Fuvest 2010) Determine a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações
logy 9x 35 6 log3y 27x 81 3
Resposta: (11; 2) Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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7. (Fuvest 2010) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na + base 10, do inverso da concentração de íons H . Considere as seguintes afirmações: I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas. + II. A concentração de íons H de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3. Está correto o que se afirma somente em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.
8. (Fuvest 2011) Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 = log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, a1 + a2 + a3 é igual a 13 a) 2 15 b) 2 17 c) 2 19 d) 2 21 e) 2 9. (Fuvest 2011) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade
log16 1 x2 log4 1 x
1 . 2
3 3 S x R / x 5 5
10. (Fuvest 2013) Seja f uma função a valores reais, com domínio D , tal que
f(x) log10 (log1 3 (x2 x 1)), para todo x D.
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O conjunto que pode ser o domínio D é a) x ; 0 x 1 b) x ; x 0 ou x 1
1 x 10 3 1 d) x ; x ou x 10 3 1 10 e) x ; x 9 3 c) x ;
11. (Fuvest 2013) O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N t N0 eλt , sendo N0 o número de átomos deste isótopo em t 0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log 10N em função de t, obtido em um 99m estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável ( Tc), muito utilizado em diagnósticos do coração.
A partir do gráfico, determine a) o valor de log10N0; 99m b) o número N0 de átomos radioativos de Tc ; 99m c) a meia-vida (T1/2) do Tc. Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; log10 2 0,3; log10 5 0,7.
a) No gráfico, log10No = 6. 6
b) log10No = 6 No=10 = 1 000 000. c) N(t)
No 2
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N logN(t) log o 2 logN(t) logNo log2 logN(t) 6 0,3 logN(t) 5,7 Observando o gráfico, logN(t) = 5,7 t = 6 horas. 11. (Fuvest 2014) Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um “escorregador logarítmico”: suas coordenadas (x, y) no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função
f(x) log 1 x 4. 2
O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de abscissa x 1, e atinge o chão no ponto B, de ordenada y 0, conforme figura abaixo.
2
Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 10m/s como o valor da aceleração da gravidade, a) encontre a abscissa do ponto B; b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua velocidade escalar v; c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo; d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que
60 m / s.
a) Quando x xB yB 0. Assim:
log 1 x 4 0 log 1 x 4 2
2
1 2
4
x x 24
x 16 unidades de comprimento. b) Usando a expressão da Energia Mecânica:
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Emec Ecin Epot
Emec
v2 M v2 M g y Emec M g y 2 2
v2 Emec M 10 y unidades de energia. 2 c) Como o corpo parte do repouso em x = 1, temos v0 = 0. Na expressão dada, para x = 1, temos: y log 1 1 4 0 4 y 4. 2
Aplicando esses dados na expressão obtida no anterior: v2 02 Emec M 10 y Emec M 10 4 2 2 Emec 40 M .
Pela conservação da Energia Mecânica: 2 v v2 v2 M 10 log 1 x 4 40 M 40 10 log 1 x 40 -10 log 1 x 2 2 2 2 2 2
v
-20 log 1 x . 2
Caso queiramos eliminar o sinal (–) do radicando, podemos mudar o logaritmo para a base 2: log2 x log2 x log 1 x log 1 x log2 x. 1 1 log2 2 2 2 Assim:
v
20 log2 x unidades de velocidade.
12. (Fuvest 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão
S
1 1 1 2 log2 2016 5 log3 2016 10 log7 2016
O valor de S é 1 a) 2 1 b) 3 1 c) 5 1 d) 7 1 e) 10 13. (Fuvest 2016) Considere as funções f e g definidas por
f(x) 2log2 (x 1), se x , x 1, Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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x g(x) log2 1 , se x , x 4. 4
3 a) Calcule f , f(2), f(3), g( 4), g(0) e g(2). 2 b) Encontre x, 1 x 4, tal que f(x) g(x). c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano abaixo.
a) Realizando os cálculos: 3 3 1 3 f 2log2 1 2log2 2 1 f 2 2 2 2 2 f(2) 2log2 (2 1) 2log2 (1) 2 0 f(2) 0 f(3) 2log2 (3 1) 2log2 (2) 2 1 f(3) 2
4 g( 4) log2 1 log2 (2) g( 4) 1 4 0 g(0) log2 1 log2 (1) g(0) 0 4 2 1 g(2) log2 1 log2 g(2) 1 4 2 b) Realizando os cálculos:
x x x f(x) g(x) 2log2 (x 1) log2 1 log2 (x 1)2 log2 1 (x 1)2 1 4 4 4 x x x 2 2x 1 1 x 2 2x 0 4 4 x 0 (não convém pois 1 x 4) 7 7 x2 x 0 x x 0 x7 4 4 4
c) Na figura a seguir estão esboçados os gráficos, com g(x) em azul e f(x) em vermelho.
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6. PA - PG 1. (Fuvest 2006) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, - 4 e - 9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 2. (Fuvest 2007) Em uma progressão aritmética a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos é dada por Sn 2 = bn + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine a) o valor de b e a razão da progressão aritmética. 0 b) o 20 . termo da progressão. c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão. a) b = 6/5 e r = 12/5 b) a20 = 239/5 b) S20 = 500 3. (Fuvest 2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ... que a1 > 0 e a6 = - 9 3 . Além disso, a progressão geométrica a1, a5, a9, ... tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a2a7 vale a) - 27 3 b) - 3 3 c) - 3 d) 3 3 e) 27 3
4. (Fuvest 2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é
1 . Além disso, a dife2
rença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. a) -2. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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b)
3 . 22
5. (Fuvest 2009) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que ° o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120 , então o produto dos comprimentos dos lados é igual a: a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125 6. (Fuvest 2010) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que α1 + 3, α 2 - 3, α 3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que α1 > 0 e α 2 = 2, conclui-se que r é igual a a) 3 + 3
3 2 3 c) 3 + 4 3 d) 3 2 e) 3 - 3 b) 3
7. (Fuvest 2012) O número real x, com 0 x , satisfaz a equação log3 (1 cos x) log3 (1 cos x) 2 . Então, cos2x sen x vale 1 a) 3 2 b) 3 7 c) 9 8 d) 9 10 e) 9 8. (Fuvest 2012) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por
a1 1 x, a2 6x, a3 2x2 4 em que x é um número real. a) Determine os possíveis valores de x. b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a). 1 ou x 5 a) x 2 b) 7.575. 2 b 9. (Fuvest 2015) Dadas as sequências an n2 4n 4, bn 2n , cn an1 an e dn n1 , definidas para bn valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações: I. an é uma progressão geométrica; II. bn é uma progressão geométrica; Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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III. c n é uma progressão aritmética; IV. dn é uma progressão geométrica. São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV.
7. POLINÔMIOS, EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS 1. (Fuvest 2006) Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente,
z = 2 e Im =
z 1 1 . 1 i 2
2
Lembretes: i = - 1, se w = a + bi, com a e b reais, então
w=
(a2 b2 ) e Im (w) = b.
z = 2i ou z = - 2 2
2. (Fuvest 2007) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n) x - 5nx + (m - 2) = 0 valem, respectivamente, 5/8 e 3/32. Então m + n é igual a a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 2
2
2
3. (Fuvest 2008) A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x + (1 + 5m - 3m )x + (m + 1) = 0 é igual a a) 5/2 b) 3/2 c) 0 d) - 3/2 e) - 5/2
4. (Fuvest 2008) A figura representa o número ù =
( 1 i 3) no plano complexo, sendo i = 2
1 a uni-
dade imaginária. Nessas condições, a) determine as partes real e imaginária de b) represente
1 3 e de ù . ω
1 3 e ù na figura a seguir. ω 3
c) determine as raízes complexas da equação z - 1 = 0. 1
1 1 e Im(ω ) = 2
a) Re(ω ) = - 3
3 2
3
Re(ω ) = 1 e Im(ω ) = 0. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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b)
3 1 1 3 + i e - - i . 2 2 2 2
c) 1, -
5. (Fuvest 2008) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine a) a progressão aritmética. b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio. a) (- 7/5, 3/5, 13/5). b) - 73/5. 3
2
6. (Fuvest 2009) O polinômio p(x) = x + ax + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x - 2 e x - 1, respectivamente. Assim, o valor de a é: a) - 6 b) - 7 c) - 8 d) - 9 e) - 10
7. (Fuvest 2011) As raízes da equação do terceiro grau 3
2
x -14x + kx – 64 = 0 são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine a) as raízes da equação; b) o valor de k.
a) as raízes são 2, 4 e 8. b) k = 56
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8. (Fuvest 2011) a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo 1 1 z0 i. 1 i 2i b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz. c) Determine os números complexos w tais que z0 . w tenha módulo igual a 5 2 e tais que as partes real e imaginária de z0 . w sejam iguais. d) No plano complexo, determine o número complexo z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equação y – x = 0.
1 i i i (1 i)(1 i) 2i.i 1 i i ) z0 1 2 2 1 2i 1 z0 z0 1.i 2 2 z0
Parte real =
1 e parte imaginária = 1.i 2
1 1 i é raiz, então seu conjugado i também será. 2 2 1 1 Calculando a soma das raízes S = i + i = 1 2 2 1 1 5 Calculando o produto de raízes: P = i . i = 2 2 4
b) Se
2
Utilizando a equação x – S.x + P = 0, temos: 5 2 x – x + = 0 (multiplicando por 4) 4 2 4x – 4x + 5 = 0 c) zo.w = 5 2.( W=
2 2 ) 2 2
5(1 i ) 6 2i 1 i 2
Ou
2 2 zo.w = 5 2. 2 2 5( 1 i) W= 6 2i 1 i 2 d)
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Resposta: Z1 = 1 +
1 .i 2
9. (Fuvest 2012) O polinômio p(x) x 4 ax3 bx2 cx 8 , em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes. a) a 2, c 2 e c 8. b) Subtraindo 1 de cada uma das raízes, temos; 1 i 1 i
1 i 1 i 2 1 1 2 1 3 Portanto, q x k. x i . x i . x – 1 . x 3
q x k. x2 1 . x 1 . x 3 Para k diferente de zero. 10. (Fuvest 2013) Considere o polinômio p x x4 1. a) Ache todas as raízes complexas de p(x). b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais. 4
2
a) P(x) = x + 2.x + 1 – 2x
2
P(x) (x2 1) ( 2 x)2 P(x) (x2 2 x 1)(x 2 2 x 1) Resolvendo as equações:
2 2i 2 2i ou x 2 2 2 2i 2 2i ou x x2 2 x 1 0, temos x 2 2
x2 2 x 1 0, temos x
4
2
b) P(x) = x + 2.x + 1 – 2x
2
P(x) (x2 1) ( 2 x)2 P(x) (x2 2 x 1)(x 2 2 x 1)
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11. (Fuvest 2016) As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade
1 2
2
(x 2x 2) (x 4)
Ax B 2
x 2x 2
Dx C x2 4
é válida para x . a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações, satisfeito pelas constantes A, B, C e D. b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.
a) Resolvendo a igualdade, pode-se escrever:
1 (x 2 2x 2) (x 2 4)
(Ax B)(x 2 4) (Dx C)(x 2 2x 2) (x 2 2x 2) (x 2 4)
Ax3 4Ax Bx 2 4B Dx3 2Dx 2 2Dx Cx 2 2Cx 2C 1 (A D)x3 (B C 2D)x 2 2(2A C D)x (4B 2C) 1 A D 0 B C 2D 0 2A C D 0 4B 2C 1 b) Resolvendo o sistema, tem-se: A D 0 ( 2) L 3 A D 0 ( 4) L4 B C 2D 0 B C 2D 0 2A C D 0 C D 0 4B 2C 1 4B 2C 1
CD
A D 0 B C 2D 0 C D 0 ( 2) L4 8D 2C 1
A D 0 B C 2D 0 C D 0 ( 2) L4 10D 1
1 10
1 10 3 B 10 A
12. (Fuvest 2017) O polinômio P(x) x3 3x2 7x 5 possui uma raiz complexa ξ cuja parte imaginária é positiva. A parte real de ξ 3 é igual a a) 11 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12
8. FUNÇÕES E INEQUAÇÕES 1. (Fuvest 2006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x - 1) + 1 para todo o número real x. a) Calcule g(3). b) Determine f(x), para todo x real. c) Resolva a equação g(x) = 8. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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a) g(3) = 2 b) f(x) = x/2 c) S = {15}
2. (Fuvest 2007) a) Represente, no sistema de coordenadas a seguir, os gráficos das funções f(x) =
| 4 x2 | e g x
x
7
2
b) Resolva a inequação
.
| 4 x2 | 2
x
7
.
a)
b) S = x IR | 5
2
x 1 ou 1 x 3 2
2
3. (Fuvest 2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx + 2. Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x). b) Determine os valores de m ∈ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ∈ IR : y≥ 1}. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ∈ IR : y ≥ 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x ∈ IR : x ≥ 0}. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y ≥ 2, o único valor de x ≥ 0 tal que f(x) = y.
m / 2, 8 m2 . a) V = 4 b) m ≤ - 2 ou m ≥ 2. c) m = 2
c) x = [ y 1 ] - 1. 4. (Fuvest 2010) A função f: R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a
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11 6 7 b) 6 5 c) 6 a)
d) 0 e)
5 6
5. (Fuvest 2010) Seja f(x) = x 1, x
, e considere também a função composta g(x) = f(f(x)), x
.
a) Esboce o gráfico da função f, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados. b) Esboce o gráfico da função g, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados. c) Determine os valores de x para os quais g(x) = 5.
a)
b)
c) x - 1 - 1 = 5 x - 1 = 6
x 1 6 x 7 x 7 x 1 6 x 5 (não convém)
a) Os pontos de intersecção são (1; 0), (– 1; 0) e (0; – 1). Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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b) Os pontos de intersecção são (2; 0), (0; 0) e (– 2; 0) c) S = {– 7; 7} 2
6. (Fuvest 2011) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f g x g x é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 7. (Fuvest 2011) Seja f x a 2bx c , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta
1, e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4). Então, o produto abc vale a) 4 b) 2 c) 0 d) - 2 e) - 4 8. (Fuvest 2012)
Considere a função f, cujo domínio é o intervalo fechado [0, 5] e que está definida pelas condições: - para 0 x 1 , tem-se f(x) = 3x + 1; - para 1 x 2 , tem-se f(x) 2x 6 ; - f é linear no intervalo [2, 4] e também no intervalo [4, 5], conforme mostra a figura ao lado; - a área sob o gráfico de f no intervalo [2, 5] é o triplo da área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2]. Com base nessas informações, a) desenhe, no sistema de coordenadas indicado a seguir, o gráfico de f no intervalo [0, 2];
b) determine a área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2]; Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) determine f(4).
a)
b)
A A1 A 2 A
(1 4).1 (2 4).1 11 2 2 2
A
11 2
c)
Considerando que f(4) = k, temos: A 3 A 4 3. A1 A 2
(2 k).2 1.k 11 29 3 3k 4 33 k 2 2 2 3 Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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Logo, f 4
29 . 3
9. (Fuvest 2012) Considere a função f(x) 1
4x , a qual está definida para x 1. Então, para todo (x 1)2
x 1 e x 1, o produto f(x)f( x) é igual a a) 1 b) 1 c) x 1 d) x2 1 e) (x 1)2 10. (Fuvest 2012) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade x2 10x 21 3x 15
s x
/ 1 x 4 ou 6 x 9
11. (Fuvest 2012) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) cakt , em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos? a) 10% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2% 12. (Fuvest 2013) O imposto de renda devido por uma pessoa física à Receita Federal é função da chamada base de cálculo, que se calcula subtraindo o valor das deduções do valor dos rendimentos tributáveis. O gráfico dessa função, representado na figura, é a união dos segmentos de reta OA, AB, BC, CD e da semirreta DE. João preparou sua declaração tendo apurado como base de cálculo o valor de R$43.800,00. Pouco antes de enviar a declaração, ele encontrou um documento esquecido numa gaveta que comprovava uma renda tributável adicional de R$1.000,00. Ao corrigir a declaração, informando essa renda adicional, o valor do imposto devido será acrescido de
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a) R$100,00 b) R$200,00 c) R$225,00 d) R$450,00 e) R$600,00 13. (Fuvest 2014) Dados m e n inteiros, considere a função f definida por
f(x) 2
m , xn
para x n. a) No caso em que m n 2, mostre que a igualdade f( 2) 2 se verifica. b) No caso em que m n 2, ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados. c) No caso em que m n 2, esboce a parte do gráfico de f em que x 2, levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas. d) Existe um par de inteiros (m,n) (2,2) tal que a condição f( 2) 2 continue sendo satisfeita?2 a) Se m n 2, então
f( 2 ) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 ( 2 2) 2
2 2 2 2.
2 2 , com x 2. Tomando x 0, vem f(0) 2 1. Logo, o ponto x2 02 de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é (0, 1). Por outro lado, pondo f(x) 0, obtemos
b) Se m n 2, então f(x) 2
0 2
2 x 1. Portanto, o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abscissas é ( 1, 0). x2
c) O gráfico de f, para x 2, pode ser obtido a partir do gráfico da função g : , definida por
2 , da seguinte forma: (i) um deslocamento horizontal de duas unidades para a esquerda; (ii) uma x reflexão em torno do eixo das abscissas; e (iii) um deslocamento vertical de duas unidades para cima. g(x)
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d) Se f( 2) 2, então
2 2
m 2 n
m 2 n
2 2
m 2 2 2 2n 2n m 2n 2 2 (2 n). Sendo m, n , tem-se que m 2n 2 e 2 n . Logo, a igualdade é verificada se, e somente se, m 2n 2 0 e 2 n 0, o que ocorre apenas para m n 2. 2 14. (Fuvest 2014) Sobre a equação (x 3)2x 9 log | x2 x 1| 0, é correto afirmar que a) ela não possui raízes reais. b) sua única raiz real é 3. c) duas de suas raízes reais são 3 e 3. d) suas únicas raízes reais são 3 , 0 e 1. e) ela possui cinco raízes reais distintas.
15. (Fuvest 2016) A figura abaixo representa o gráfico de uma função f : [5, 5] . Note que
f(5) f(2) 0. A restrição de f ao intervalo [5, 0] tem como gráfico parte de uma parábola com vértice no ponto (2, 3); restrita ao intervalo [0,5], f tem como gráfico um segmento de reta.
a) Calcule f( 1) e f(3). Usando os sistemas de eixos abaixo de cada item e esboce b) o gráfico de g(x) | f(x) |, x [5, 5]; Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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c) o gráfico de h(x) f(| x |), x [5, 5].
a) De acordo com o gráfico, uma das raízes da parábola é 5. Por simetria pode-se perceber que a outra raiz será 1 e sua função será do tipo f(x) a (x 5) (x 1). Se o vértice da parábola é (2, 3), então pode-se escrever: f( 2) 3
f( 2) a ( 2 5) ( 2 1) 3 a (3) ( 3) 3 a
1 3
Assim, a função da parábola será: 1 f(x) (x 5) (x 1) 3 De acordo com o gráfico, ponto de encontro entre a parábola e a reta será quando x for igual a zero, ou seja: 1 5 f(0) (0 5) (0 1) f(0) 3 3 Sabe-se também que a equação de reta tem o formato f(x) bx c, e, pelo enunciado, que f(2) 0. Assim, pode-se escrever a função da reta: f(0) b 0 c 5 c 5 5 5 3 3 f(x) x 5 5 6 3 f(2) b 2 c 0 b 2 0b 3 6 Por fim, pode-se calcular f( 1) e f(3) :
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1 8 ( 1 5) ( 1 1) f( 1) 3 3 5 5 5 f(3) Está na reta! f(3) 3 f(3) 6 3 6 f( 1) Está na parábola! f( 1)
b) Desenhando o gráfico de g(x) | f(x) |, x [5, 5], tem-se:
c) Desenhando o gráfico de h(x) f(| x |), x [5, 5], tem-se:
15. (Fuvest 2017) Um caminhão deve transportar, em uma única viagem, dois materiais diferentes, X e Y, cujos volumes em m3 são denotados por x e y, respectivamente. Sabe-se que todo o material transportado será vendido. A densidade desses materiais e o lucro por unidade de volume na venda de cada um deles são dados na tabela a seguir. Material
Densidade
Lucro
X
3
125 kg m
R$ 120,00 m3
Y
400 kg m3
R$ 240,00 m3
Para realizar esse transporte, as seguintes restrições são impostas: I. o volume total máximo de material transportado deve ser de 50 m3 ; II. a massa total máxima de material transportado deve ser de 10 toneladas. Considerando essas restrições:
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a) esboce, no plano cartesiano preparado a seguir, a região correspondente aos pares (x, y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser transportados pelo caminhão;
b) supondo que a quantidade transportada do material Y seja exatamente 10 m3 , determine a quantidade de material X que deve ser transportada para que o lucro total seja máximo; c) supondo que a quantidade total de material transportado seja de 36 m3 , determine o par (x, y) que maximiza o lucro total.
a) Do enunciado, pode-se escrever: x y 50 125x 400y 10000 Esboçando o gráfico:
b) Sendo y 10 o lucro será:
Lmáx xmáx L 120x 10 240 x y 50 x 40 c) Sendo x y 36, pode-se esboçar:
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x 16 x y 36 5x 5y 180 P(16, 20) y 20 125x 400y 10000 5x 16y 400
16. (Fuvest 2017) Considere as funções f(x) x2 4 e g(x) 1 log 1 x, em que o domínio de f é o conjunto dos 2
números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja
h(x) 3f(g(x)) 2g(f(x)), em que x 0. Então, h(2) é igual a a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20 17. (Fuvest 2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?
a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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e) 180
9. TRIGONOMETRIA 1. (Fuvest 2007) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5 cos 2x + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen x e cos x. a) sen OAB =
b) AB =
( 3) 4 AB
[( 13) 1] 6
2. (Fuvest 2008) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz ð/2 < x < ð e verifica a equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0. Assim, a) determine x. b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x. a) 2π/3. b) 0.
3. (Fuvest 2009) Seja x no intervalo 0,
2 sec x= 5
tg x +
π satisfazendo a equação 2
3 2.
Assim calcule o valor de: a) sec x.
π . 4
b) sen x
a)
b)
5 2
3 10 10
4. (Fuvest 2011) Sejam x e y números reais positivos tais que x y . Sabendo-se que sen y x 1 , 2 3 o valor de tg2 y tg2 x é igual a
3 2 5 b) 4 1 c) 2 1 d) 4 a)
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e)
1 8
5. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com π 2 α π 2 e 0 β π. Se o sistema de equações, dado em notação matricial,
3 6 tg α 0 , 6 8 cos β 2 3 for satisfeito, então α β é igual a
π 3 π b) 6 c) 0 π d) 6 π e) 3 a)
6. (Fuvest 2013)
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço P1P2 tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine ˆ entre a reta OP e o plano do chão; a) o seno e o cosseno do ângulo P2OQ 2 ˆ b) a medida do ângulo OP P entre os braços do guindaste; 1 2
ˆ entre o braço OP e o plano do chão. c) o seno do ângulo P1OQ 1
a) sen P2ÔQ
2 2 10
1 10
10 . 10
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ˆ P 90 , pois OP 2 P P 2 OP 2 b) OP 1 2 2 1 2 1 ˆ ˆ c) ΔOP1P2 ΔOP2Q logo P1OP 2 P2OQ α
ˆ Então, sen P1OQ sen 2α 2senα.cos α 2
2
6
2 10 2 10
6 3 . 10 5
7. (Fuvest 2013) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente, θ 1 cos θ Dados: 3 1,73; sen2 . 2 2 a) 7 m b) 26 m c) 40 m d) 52 m e) 67 m
8. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida ˆ do ângulo AOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317 a) 14 θ 28 b) 15 θ 60 c) 20 θ 90 d) 25 θ 120 e) 30 θ 150 9. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ. Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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pertencente a L.
Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo,
RS 2 ST e, portanto, RT 3 ST. Do triângulo PRT, vem
tg60
PT RT
PT 3 3 ST
e
sen60
PT PR
PR
3 3 ST 3 2
PR 6 ST. Do triângulo PST, obtemos
tg α
PT ST
tg α
3 3 ST ST
tg α 3 3. Sabendo que cossec2 α 1 cotg2 α e que α é agudo, encontramos 2
1 cossec α 1 sen α 3 3 2
sen α
27 28 3 21 . 14
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem
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PR QR RS 2 ST 2 sen α sen θ 3 21 sen θ 14 sen θ
21 . 7
10. (Fuvest 2015) Sabe-se que existem números reais A e x0 , sendo A 0, tais que
senx 2 cos x A cos(x x0 ) para todo x real. O valor de A é igual a a) 2 b)
3
c)
5
d) 2 2 e) 2 3 11. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
V(t) log2 (5 2 sen( πt)), 0 t 2, em que t é medido em horas e V(t) é medido em m3 . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2] ocorre no instante a) t 0,4 b) t 0,5 c) t 1 d) t 1,5 e) t 2
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10. SISTEMAS LINEARES, MATRIZES E DETERMINANTES 1. (Fuvest 2006) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:
x cos2a y sen2a z 0 2 2 x cos b y sen b z 0 cos2c y sen2c z 0 a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? 2
2
c) Calcule as soluções do sistema quando sen a = 1 e cos c =
1 . 5
a) sen (a + b) . sen (a - b) b) Para qualquer c real e b = ±a + kπ, k ∈ Z c) S = { (0; 0; 0) }, se cos b ≠ 0 e S = {(-α; -4α; α), α ∈ R}, se cos b = 0
2. (Fuvest 2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João? a) R$ 20.000,00 b) R$ 22.000,00 c) R$ 24.000,00 d) R$ 26.000,00 e) R$ 28.000,00
3. (Fuvest 2008) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens. hambúrguer: R$ 4,00 suco de laranja: R$ 2,50 cocada: R$ 3,50 4. (Fuvest 2009) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por:
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4x 2m2 y 0 2mx 2m 1 y 0 Desse modo: a) Resolva o sistema para m = 1. b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções. c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (α,1), sendo α um número irracional. a) S = {(α, - 2α); α ∈ IR}
b) m = 1 ou m =
c) m =
1 5 ou m = 1 5
1 5 2
2
ou m =
2
1 5 2
5. (Fuvest 2010) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem. a) Indique a localização das cidades A, B e C no esquema apresentado na folha de respostas. b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproximação 2 = 1,4) c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta. d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.
a) B
A C
b)
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x. 2 85 x
85 2 x 59,5km 2
Considerando
2 =1,4
B
85km x A C
x
c) 2.59,5 – 85 = 34 km d)diferença do tempo de percurso: 34/70 horas combustível gasto a mais: 34/7 Litros valor mínio=
34 34 748 .200 .2 106,86 70 7 7
Respostas: a) desenho b) 59,5 km c) 34 km d) R$ 106,86
2a 1 a 6. (Fuvest 2012) Considere a matriz A em que a é um número real. Sabendo que A admite a 1 a 1 2a 1 1 inversa A 1 cuja primeira coluna é , a soma dos elementos da diagonal principal de A é igual a 1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7. (Fuvest 2012) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135
ax y 1 8. (Fuvest 2015) No sistema linear y z 1 , nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É xzm correto afirmar: a) No caso em que a 1, o sistema tem solução se, e somente se, m 2. b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m 2, o sistema tem solução se, e somente se, a 1. d) O sistema só tem solução se a m 1. Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. 9. (Fuvest 2016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 pontos: -
4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco. 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco. 4 colheres de arroz + 1 bife. Note e adote:
Massa de alimento (g)
% de umidade + macronutriente minoritário + micronutrientes % de macronutriente majoritário
1 colher de arroz
1 colher de azeite
1 bife
20
5
100
75
0
60
25
100
40
São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos.
Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes afirmações: I. A pontuação de um bife de 100 g é 45. II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão número de pontos do lipídeo é 1,5. número de pontos do carboidrato É correto o que se afirma em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III.
11. PORCENTAGEM, RACIOCÍNIO LÓGICO, MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 1. (Fuvest 2006) Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de 20%, 40% e 30% respectivamente. O preço x que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de 10% sobre o preço total. a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x? b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda? a) 4,17x b) 13,73% Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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2. (Fuvest 2006) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 3. (Fuvest 2007) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? a) R$ 136,00 b) R$ 138,00 c) R$ 140,00 d) R$ 142,00 e) R$ 144,00
4. (Fuvest 2007) No filme A MARCHA DOS PINGUINS, há uma cena em que o Sol e a Lua aparecem simultaneamente no céu. Apesar de o diâmetro do Sol ser cerca de 400 vezes maior do que o diâmetro da Lua, nesta cena, os dois corpos parecem ter o mesmo tamanho. A explicação cientificamente aceitável para a aparente igualdade de tamanhos é: a) O Sol está cerca de 400 vezes mais distante da Terra do que a Lua, mas a luz do Sol é 400 vezes mais intensa do que a luz da Lua, o que o faz parecer mais próximo da Terra. b) A distância do Sol à Terra é cerca de 400 vezes maior do que a da Terra à Lua, mas o volume do Sol é aproximadamente 400 vezes maior do que o da Lua, o que faz ambos parecerem do mesmo tamanho. c) Trata-se de um recurso do diretor do filme, que produziu uma imagem impossível de ser vista na realidade, fora da tela do cinema. d) O efeito magnético perturba a observação, distorcendo as imagens, pois a filmagem foi realizada em região próxima ao Polo. e) A distância da Terra ao Sol é cerca de 400 vezes maior do que a da Terra à Lua, compensando o fato de o diâmetro do Sol ser aproximadamente 400 vezes maior do que o da Lua. 5. (Fuvest 2008) No próximo dia 08/12, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação: 1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias; 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação. Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1, a) desvantagem de 22,50 euros. b) vantagem de 22,50 euros. c) desvantagem de 21,52 euros. d) vantagem de 21,52 euros. e) vantagem de 20,48 euros.
6. (Fuvest 2008) Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi seApostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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gunda-feira, o próximo ano a começar também em uma segunda-feira será a) 2012 b) 2014 c) 2016 d) 2018 e) 2020 7. (Fuvest 2009) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$10.000,00 de Edson e R$10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de: a) R$ 400,00 b) R$ 500,00 c) R$ 600,00 d) R$ 700,00 e) R$ 800,00
8. (Fuvest 2010) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da massa de um indivíduo adulto, em quilogramas, pelo quadrado da altura, medida em metros. É uma referência adotada pela Organização Mundial de Saúde para classificar um indivíduo adulto, com relação ao seu peso e altura, conforme a tabela a seguir. IMC até 18,4 de 18,5 a 24,9 de 25,0 a 29,9 de 30,0 a 34,9 de 35,0 a 39,9 a partir de 40,0
Classificação Abaixo do peso Peso normal Sobrepeso Obesidade grau 1 Obesidade grau 2 Obesidade grau 3
Levando em conta esses dados, considere as seguintes afirmações: I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta Obesidade Grau 1. II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade na população é aumentar a altura média de seus indivíduos por meio de atividades físicas orientadas para adultos. III. Uma nova classificação que considere obesos somente indivíduos com IMC maior que 40 pode diminuir os problemas de saúde pública. Está correto o que se afirma somente em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. 9. (Fuvest 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Apostila Fuvest 2006 a 2016- PROFESSORA EVELYN
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10. (Fuvest 2013) Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente, Dado: 20 2 1,035. a) 4,2% b) 5,2% c) 6,4% d) 7,5% e) 8,9%
11. (Fuvest 2013) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço? b) Quanto recebeu cada um deles? n = número inicial de trabalhadores. 10800 . Cada trabalhador deveria receber n Como três desistiram e os demais receberam cada 600 reais a mais referente ao valor que caberia aos três desistentes, temos a equação:
600.(n 3) 3
10800 324 6.(n 3) 6n2 18n 324 0 n n
Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = –6 (não convém). a) Portanto, 6 (9 – 3) trabalhadores realizaram o serviço. 10800 b) Cada um deles recebeu 1800 reais. 6 12. (Fuvest 2013) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta? a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que a b a b. b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a2 b2 0, é verdadeiro que a b. c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que a2 a. d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a b, é verdadeiro que 1/ b 1/ a. e) Qualquer que seja o número real a, com 0 a 1, é verdadeiro que a2 a.
13. (Fuvest 2013) A tabela informa a extensão territorial e a população de cada uma das regiões do Brasil, segundo o IBGE. Região Centro-Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul
Extensão territorial 2 (km ) 1.606.371 1.554.257 3.853.327 924.511 576.409
População (habitantes) 14.058.094 53.081.950 15.864.454 80.364.410 27.386.891
IBGE: Sinopse do Censo Demográfico 2010 e Brasil em números, 2011.
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Sabendo que a extensão territorial do Brasil é de, aproximadamente, 8,5 milhões de km , é correto afirmar que a 2 a) densidade demográfica da região sudeste é de, aproximadamente, 87 habitantes por km . b) região norte corresponde a cerca de 30% do território nacional. c) região sul é a que tem a maior densidade demográfica. d) região centro-oeste corresponde a cerca de 40% do território nacional. 2 e) densidade demográfica da região nordeste é de, aproximadamente, 20 habitantes por km .
14. (Fuvest 2014) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por: i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas. Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine a) os quocientes
PA P e R; PB PB
b) o número nA de bolas azuis e o número nB de bolas brancas no recipiente.
a) Temos
nA PA nB PB PR 16 PB 10 PB 5 PA 4 PR. Logo,
16 PB 10 PB 5 PA 5 PA 6 PB
PA 6 PB 5
e
16 PB 4 PR
PR 4. PB
b) Dividindo ambos os lados da igualdade nA PA nB PB PR 16 PB por PB , vem
nA
PA P P P 6 nB B R 16 B nA nB 12 PB PB PB PB 5 nA
5 (12 nB ). 6
Como nA e nB são inteiros maiores do que 1, segue-se, por inspeção, que só pode ser nA 5 e nB 6. 15.(Fuvest 2014)
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Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ e ρ, respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a Nota: Entende-se por “plano horizontal”, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra. a) ρ b) μ c) 90 ρ d) 90 μ e) 180 ρ ] Considere a figura, em que O é o centro da Terra, BOC μ é a latitude do ponto C e CD é a linha inclinada do relógio solar.
Como AOB ACO 90, segue-se que AOC 90 μ e, portanto, OAC μ. Agora, sabendo que CD OA, tem-se ACD μ, que é o resultado pedido.
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16. (Fuvest 2014) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações: I. x é irracional. 10 II. x 3 III. x 102.000.000 é um inteiro par. Então, a) nenhuma das três afirmações é verdadeira. b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) apenas a afirmação I é verdadeira. d) apenas a afirmação II é verdadeira. e) apenas a afirmação III é verdadeira.
17.(Fuvest 2014) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, a) R$ 200.000,00 b) R$ 175.000,00 c) R$ 150.000,00 d) R$ 125.000,00 e) R$ 100.000,00
18. (Fuvest 2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é a) R$ 0,85 b) R$ 1,15 c) R$ 1,45 d) R$ 2,50 e) R$ 2,80 19. (Fuvest 2016) Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60km h, a terça parte seguinte a 40km h e o restante do percurso a 20km h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo nessa viagem, em km h, é a) b) c) d) e)
32,5 35 37,5 40 42,5
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20. (Fuvest 2016) De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes mudanças de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil réis; (2) em 1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3) em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; (4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado novo passou a se chamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o real, cada um valendo 2.750 cruzeiros reais. Quando morreu, em 1869, Brás Cubas possuía 300 contos. Se esse valor tivesse ficado até hoje em uma conta bancária, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudança de moeda, o depósito tivesse sido normalmente convertido para a nova moeda, o saldo hipotético dessa conta seria, aproximadamente, de um décimo de
Dados: Um conto equivalia a um milhão de réis. Um bilhão é igual a 109 e um trilhão é igual a 1012. a) real. b) milésimo de real. c) milionésimo de real. d) bilionésimo de real. e) trilionésimo de real. 21. (Fuvest 2016) A igualdade correta para quaisquer a e b, números reais maiores do que zero, é 3 3
a b3 a b 1 1 b) b a a2 b2 a)
c) ( a b)2 a b d) e)
1 1 1 ab a b a3 b3 a2 ab b2
ab
22. (Fuvest 2016) A hortênsia (Hydrangea macrophylla) produz flores azuis quando cultivada em solo de pH 5. Quando o pH do solo é maior do que 5, as flores tornam-se rosadas. Um jardineiro recebeu uma encomenda de hortênsias rosadas. Ele dispõe de um jardim plano, com as formas e dimensões descritas na figura abaixo, e cujo solo apresenta pH 4. Para obter um solo adequado à produção de flores rosadas, o jardineiro deverá adicionar uniformemente 300 g de calcário dolomítico por m2 de terreno. a) Calcule a massa, em quilogramas, de calcário dolomítico necessária para a correção do solo do jardim. O calcário dolomítico é uma mistura de carbonato de cálcio e carbonato de magnésio. Ao adquirir um pacote desse produto, o jardineiro observou que, no rótulo, sua composição estava expressa na forma das porcentagens, em massa, dos óxidos de cálcio e de magnésio que poderiam ser obtidos a partir dos correspondentes carbonatos contidos no calcário dolomítico. b) Calcule a porcentagem, em massa, de carbonato de magnésio presente no calcário dolomítico adquirido pelo jardineiro.
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a) Para saber quantos quilogramas de calcário dolomítico serão necessários para correção do solo primeiramente é necessário saber a área do jardim. Da figura, pode-se escrever: (4 2) 2 A jar dim 4 1 A jar dim 10 m2 2 Assim, se para 1m2 são necessários 300g de calcário dolomítico para corrigir o pH, para 10 m2 serão necessários 3000g, ou 3kg. b) A partir das informações do enunciado sobre o calcário dolomítico Limeira (obtido pelo jardineiro), vem:
CaO................. 28 % MgO................. 20 % mcalcário 3 kg 3.000 g 20 3.000 g 600 g 100 MgO 40 g / mol mMgO
MgCO3 84 g / mol MgO CO2 MgCO3 40 g
84 g
600 g
mMgCO3
mMgCO3 1.260 g pMgCO3
1.260 g 0,42 42 % 3.000 g
pMgCO3 42 %
23. (Fuvest 2017) João tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa R$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e há 25 canetas em estoque. O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$ 150,00 é igual a a) 46 b) 45 c) 44 d) 43 e) 42
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24. (Fuvest 2017) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b. Constituem dois inteiros positivos equivalentes: a) 8 e 9. b) 9 e 11. c) 10 e 12. d) 15 e 20. e) 16 e 25.
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