INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Grupo de métodos y técnicas aplicables a la solución de problemas operativos. Problema: Conjunto de hechos no deseados en la operación de un sistema los cuales deben ser corregidos para lograr el desarrollo óptimo. Pasos para resolver un problema 1. Definir el problema 2. Examinar posibles causas 3. Obtener los hechos 4. Evaluar las alternativas 5. Efectuar acciones correctivas 6. Controlar efectos no deseados de la decisión 7. Darle un seguimiento Determinante: Es un arreglo tabular de elemento en forma cuadrada, es decir con igual número de filas que columnas. De 1er orden Se multiplica de manera cruzada.
a11
a12
a21
a22 = a11a22-a12a21
6
-1
3
0
= (6) (0)-(1) (3) =3
. Determinante de 2do Grado
5
8
7
4
= (5) (4)-(8) (7)=-36
Determinante de 3er Grado 4
6
3
-2
5
0
3
-1
2
En este tipo de determinante se le agregan al final las dos primeras columnas y de la misma manera se realizan cruzados de ambos lados.
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
= a11a22a23+a12a23133+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a32. PROGRAMACIÓN LINEAL Es una parte de la programación matemática que maneja ecuaciones lineales, es decir aquellas donde todas las variables que intervienen tienen como exponente la unidad de todos sus términos FUNCIÓN OBJETIVO ´´Z´´ Esta es la variable normalmente simbolizada con la letra Z la cual representa aquello que se desea optimizar. VARIABLE DE PROBLEMA Son aquellas que no conocemos al momento de resolver un problema. COEFICIENTE DE FUNCIONES OBJETIVO Son las cantidades constantes que se conocen en una ecuación. RESTRICCIONES
Son las limitaciones físicas o condiciones que debe cumplir un problema. Por ejemplo la mano de obra disponible. RESTRICCIONES NO EXPLICITAS Son aquellas condiciones ocultas en el problema las cuales no aparecen en la información disponible. PASO 1: Definir las variables del problema y definirlas por letras. PASO 2: Definir la función objetivo, es aquella variable que se utiliza maximización o minimización y se define con la letra Z PASO 3: Definir las restricciones va delimitar con las desigualdades ≤ ≥ PASO 4: Definir las restricciones no explicitas. EJEMPLO 1 Un expendio naturista prepara sus alimentos que vende al público basándose en tres materias primas cuyo contenido se representa en la siguiente tabla. Materia Prima
Costo Q/lb
% Azucares
% Grasas
% Proteínas
% Inertes
X1 A 2.35 12 10 60 18 X2 B 2 10 10 50 30 X3 C 1.70 8 6 44 42 ¿Cuánto deberá de mezclar de cada una de las tres materias primas si se desea minimizar los costos, el costo de preparar una libra de alimento cuyo contenido de azucares no sea menos al 10%, su contenido de grasa sea no mayor al 9.5% y su contenido de proteínas sea no menor del 52%? Z=
2.35x1+2x2+1.70x3 12x1+10x2+8x3≥10 10x1+10x2+6x3≤9.5 60x1+50x2+44x3≥52 X1+ x2+ x3=1 Solo se coloca para 1 producto
RESTRICCIONES X1, X2, X3 No sean negativos EJEMPLO 2 Una fábrica de calzado dispone de 45 unidades de piel y 20 horas de tiempo para producir 2 tipos de botas de las cuales el primer tipo requiere 6 unidades de piel y 2.5 horas, vendiéndose a Q.140 el par
y la del segundo tipo necesita 5 unidades de piel y 2 horas, vendiéndose a Q.115 el par ¿Cuántos pares de botas de cada tipo deberán fabricarse de forma que se maximice los ingresos? Calzado A B
Piel X1 6 X2 5 45 Se opera de la siguiente manera:
Horas 2.5 2 20
Precio 140 115
Z= 140x1+115x2 6x1+5x2≤45 2.5x1+2x2<20 Restricciones X1+x2 No negativos Enteros, números enteros.
MÉTODO GRÁFICO Ejemplo 1 Paso 1 Igualdades 20X1+32X2=25 (1) X1+ X2=1 (2) 20X1+32X2=25 X=0 20(0)+32X2=25 X2=25/32 X2=0.78
P1
(0.78)
P2
(1.25,0)
X2=0 20X1=25/20 X2=1.25 Paso 2 X1=0
X2=0
X2=1
X1=1
Q1 (0,1)
Q2 (1,0)
Restricciones 45 20
Paso 3 GRAFICA
1.2 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
PasĂł 4 Sustituir Multiplicamos por un nĂşmero negativo para poder eliminar. 20x1+32x2=25 X1 + x2=1 (-20)
x1+x2=1 x1+0.42=1
20x1+32x2=25
x1=1-0.42
-20x1+-20x2=-20
x1=0.58
12x2=5 X2=5/12
0.7
0.8
0.9
1
1.2
X2=0.42 FUNCIÓN OBJETIVO Z=80x1+60x2 P1= (0,0.78) Q2= (1,0) D= (0.58, 0.42) P1= 80(0)+60(0.78)=46.8 Q2= 80(1)+60(0)= 80 D=80(0.58)+60(0.42)= 71.6 Ejemplo 2 Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28hr disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se ha vendido bien dos modelos, se estima que el modelo 1 requiere 2 unidades de madera y 7 hr de tiempo. Mientras que el modelo 2 requiere 1 unidad de madera y 8 hr de tiempo. Los `precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en venta? Modelo 1 2
Madera 2 1
Horas 7 8
Venta 120 80
Max Z= 120x1+80x2 Sujeto a desigualdades 2x1+1x2≤6 7x1+8x2≤28 Restricciones X1 y X2≥0 Enteros Paso 1 Igualdades 2x1+x2=6 7x1+8x2=28 X1=0
X2=0
2(0) +X2=6 X2=6 P1= (0, 6) X1=0 7(0) +8X2=28 0+8X2=28 X2=28/8 X2=3.5 Q1= (0, 3.5)
2X1+0=6 X1=6/3 X1=3 P2= (3, 0) X2= 0 7X1 + 8(0) =28 7X1+0= 28 X1= 28/7 X1= 4 Q2= (4, 0)
Paso 3 Grรกfica
6
(0, 6)
5 4
(0, 3.5)
3 2 1
D (2.22, 1.56) zona optima
1
2
3 (3, 0)
Paso 4 Sustituir Z=
2x1+X2=6 (-8) 7X1+8X2=28
4 (4, 0)
5
6
-16X1-8X2=-48
X1= -20/-9
7X1+8X2=28 -9X1 =-20 2(2.22)+X2=6 4.44+X2=6 X2= 6- 4.44 X2= 1.56
X1= 2.22
D= (2.22, 1.56)
FUNCIÓN OBJETIVO Z= 120X1+80X2 Q1= 120(0)+80(3.5)=280 D= 120(2.22)+80(1.56) = 391.2 P2= 120(3)+80(0)= 360 Creando 3 muebles del tipo 1 y 0 del mueble 2 maximizaremos los ingresos a $360
MÉTODO SIMPLEX Es un procedimiento matricial iterativo para manejar variables no negativos. Max
Z =0.5 A + 0.4 B
2 A + B ≤ 20 A + B ≤ 16 X1, X2 ≥ 0 PASO 1 Z – 0.5 A – 0.4 B
=0
2 A + B A + B
≤ 20 ≤ 16
PASO 2 Variables de holgura S1, S2 Z - 0.5 A – 0.4 B 2A + B A + B
=0 =20 =16
+ S1 + S2
No. 3 Tabla Simplex
R1 R2 R3
Z 1 0 0
A -0.5 2 1
B - o.4 1 1
S1 0 1 0
S2 0 0 1
El elemento pivote se tiene que hacer 1 No. 4 Z A B S1 *0.5 R 1 -0.5 -0.4 0 1 R 0 1 0.5 0.5 *-1 2 R 0 1 1 0 3 Z A B S1 *0.15 R 1 0 -0.15 -0.25 1 *0.5 R 0 1 0.5 0.5 1 Z A B S1 2 R 1 0 0 0.1 0 0.5 -0.5 1 3 R 0 1 0 1 2 R 0 0 1 -1 3
R 0 20 16
20/2= 10 16/1 = 16
S2 0
R 0
0
10
1
16
S2 0
R 5 10/0.5= 20
0 10 S2 R 0.3 6.8 1 6 -1
4
2
12
6/0.5= 12
Z = 6.8 A=4 B =12
Z = 0.5 A + 0.4B 0.5 (4) + 0.4 (12) 2 + 4.8 = 68
EJEMPLO 2 MAX Z = 120X1 +80X2 Cambiar a negativo Z – 120X1 + 80X2= 0 Z – 120X1 + 80X2 2X1 + X2+ S1 7X1 + 8X2+ Z 1 0 0
*1/2
120 -7
X1 -120 2 7
Z 1 0 0
Z 1 0 0
X2 -80 1 8
X1 -120 1 7
X1 0 1 0
S1 0 1 0
X2 -80 0.5 8
X2 -20 0.5 4.5
S2
=0 =6 =28
S2 0 0 1
R 0 6 28
S1 0 0.5 0
S1 0 0.5 0
S2 0 0 1
S2 0 0 1
6/2= 3 28/7= 4
R 360 3 7
R 360 3 7
20 -0.5
Z 1 0 0
X1 0 1 0
X2 -20 0.5 1
S1 60 0.5 -0.77
S2 0 0 0.22
Z 1 0 0
X1 0 1 0
X2 0 0 1
S1 44.60 0.89 -0.47
S2 4.4 -0.11 0.22
R 360 3 1.54
R 390.80 2.23 1.54
Z = 390.80 X1 = 2.23 X2 =1.54 MODELO DE TRANSPORTE Es una derivación de ecuación lineal trata de una situación en la cual se envía un bien de los puntos de origen (bodegas) a los puntos de destino (distribuidores) Cuyo objetivo es determinar las cantidades adecuadas a enviar desde cada punto de origen hasta cada punto de destino que minimice el costo total de envió al mismo tiempo que satisfaga tanto los límites de oferta en los orígenes como los requerimientos de demandad el destino. El modelo supone que es el costo de envío en una ruta determinada es directamente proporcional al número de unidades enviadas en esa ruta, se basa una matriz de origen y destino. MATRIZ DE ORIGEN Y DESTINO Es una matriz cuadrada o rectangular que registra 3 tipos de información. 1. Es la cantidad disponible en el origen (oferta) 2. Es la cantidad requerida en el destino (demanda) 3. El costo de cada transporte por unidad de cada origen a cada destino
TIPOS DE MODELOS DE TRANSPORTE 1. EQUILIBRIO: La sumatoria de las cantidades disponibles en el origen es igual a la sumatoria de las cantidades requeridas en el destino. 2. NO EQUILIBRADA: la sumatoria de las cantidades en el origen no es igual a la sumatoria de las cantidades de los requerimientos en los destinos en este caso es necesario crear una fila con cero o una columna ficticia. METODO DE SOLUCIO DE MODELO DE TRANSPORTE 1. 2. 3. 4.
Esquina Noroeste Mínimo costo Aproximación de vogel o multas Paso de secuencias
ESQUINA NOROESTE Inicia la asignación en la esquina noroeste de la matriz de origen y destino. Pasos. 1. Determinar si el problema es equilibrado (oferta=demanda) 2. Construir la matriz de origen y destino 3. Se principia asignando en la esquina noroeste la cantidad requerida hasta satisfacer la demanda. 4. Ajustar las cantidades de oferta y demanda restando la cantidad asignada, cancelando las celdas en los cuales ya no sea posible asignar alguna cantidad. 5. Si se agota oferta la siguiente asignación de hace en la celda de abajo si queda satisfecha la demanda las ofertas de agotan recorriendo de izquierda a derecha y las demandas se satisfacen recorriendo de arriba hacia abajo. 6. El proceso termina hasta que todas las ofertas y todas las demandas sean igual a cero. 7. Elaborar el programa de distribución 8. Respuesta EJEMPLO 1 ESQUINA NOROESTE
La compañía de Pescado Fresco tiene cuartos frio en sus almacenes localizados en Puerto Barrios, Puerto San José, Champerico y Puerto Quetzal, en cada almacén la compañía almacena para clientes localizados en varios lugares del país, la demanda mensual estimada por pedidos de langosta es de 600 cajas para Guatemala, 500 para Zacapa, 300 cajas para Barberena y 200 cajas para Huehuetenango. Los costos de transporte en quetzales por cada caja de cada almacén a cada vendedor son los siguientes.
En la siguiente semana se espera el siguiente suministro de langosta disponible 510 cajas Puerto Barrios, 475 Puerto San José, 300 cajas Champerico y 225 cajas de Puerto Quetzal. ¿Cuál es el plan de envío factible de la Compañía pescado Fresco?
D/O Puerto Barrios Puerto San José Champeric o Puerto Quetzal Demanda
Guatemala Zacapa 25 510 90
18
X 19 22
X
385 115 24
X 600- 510 90-90= 0
Barberena Huehuetenango Oferta 21
23
X
X
23
22
X 25 275 21
X 500-385 115-115= 0
475-90 385-385= 0
17
390-115 275-275= 0
22
225-25 200-200= 0
X 20
25
200
300-275 25-25= 0
200 -200= 0
PROGRAMA DE DISTRIBUCIÓN FACTIBLE
26
X 26
510 -510 0
1600
1600
ORIGEN
DEMANDA
UNIDADES
PRECIO /UNIDAD
C/T
Puerto Barrios
Guatemala
510
25
12750
Puerto San José
Guatemala
90
19
1710
Puerto San José
Zacapa
385
23
8855
Champerico
Zacapa
115
25
2875
Champerico
Barberena
275
26
7150
Puerto Quetzal
Barberena
25
20
500
Puerto Quetzal
Huehuetenango 200
22
4400
El costo optimo según el método Noroeste es de Q. 38,240.00
METODO DE COSTO MINIMO Este método es un algoritmo o solución inicial mejorada, típicamente ofrece mejores valores iniciales para resolver problemas de transporte o distribución, dando mejores resultados y más bajos costos que la esquina Noroeste. Este método simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeto a las restricciones de oferta y demanda) 1. De la matriz se elige la ruta menos costosa y se le asigna la mayor cantidad de unidades posibles, dicha asignación se ve restringida por las restricciones de oferta y demanda. En este mismo paso se precede a ajustar la oferta y la demanda la fila o columna afectadas, restándole la cantidad asignada. 2. En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del paso 1. 3. Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el casi se ha llegado al final del
método. La segunda es que queda más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el paso 1. EJEMPLO METODO DE COSTO MINIMO D/O Puerto Barrios Puerto San José Champeric o
Guatemala Zacapa 25
X
Barberena Huehuetenango Oferta
18
21
500
475
19
10
22
25
24
X
Demanda
600-475 125-125= 0
22
X 26
200
21
X 500-500= 0
225
20
475-475 0
17
390-300 190-125 65-65= 0 225-225= 0
22
X
300-225 75-65 10-10= 0
200-200 = 0 1600
ORIGEN
DEMANDA
UNIDADES
PRECIO /UNIDAD
C/T
Puerto Barrios
Zacapa
500
18
9000
Puerto Barrios
Barberena
10
21
210
Puerto San José
Guatemala
475
19
9025
Champerico
Guatemala
125
22
2750
Champerico
Barberena
65
26
1690
Champerico
Huehuetenango 200
17
3400
Puerto Quetzal
Barberena
20
4500
225
510-500 10-10= 0
26
X
65
X
Puerto Quetzal
X
23
X
125
23
El costo optimo según el método de Costo mínimo es de Q. 30,575.00. METODO DE APROXIMACIÓN VOGEL
1600
Este método es capaz de alcanzar una solución básica desde el inicio, este modelo requiere de la realización de un numero generalmente mayor de interacciones que los método anteriores, sin embargo producen mejores resultados iniciales que los métodos anteriores. PASOS 1. Por cada fila y por cada columna se identifican los dos costos más bajos sucesivamente. Posteriormente se restan dichos valores y al resultado y al resultado se le llama penalización. La resta debe ser positiva 2. Se identifica la fila o columna con la mayor penalización y de esa fila o columna identificar el mínimo costo y asignarle la mayor cantidad posible de oferta o demanda. 3. Reducir la tabla de transporte colocando una X en las columnas o filas satisfechas y repetir el procedimiento. EJEMPLO METODO DE APROXIMACION VOGEL D/O
X
W 25
A
X
B
410
C
190
19
10 25
60 25
X 21
600
X 500
F F F F C C C C
A B C D X W Y Z
21-18=3 22-19= 3 22-17= 5* 21-22= 1 22-19= 3 21-18= 3 21-20= 1 22-17= 5*
A B C D X W Y
475
17
390
22
200
PENALIZACION 2 F F F F C C C
26
225
X
300
PENALIZACION 1
200
20 X
510
X 26
X
23
X 22
X 22
Oferta
21
500
X
Demanda
Z
18
24
D
Y
21-18=3* 22-19= 3 25-22= 3 21-20= 1 22-19= 3 21-18= 3* 21-20= 1
1600
1600
PENALIZACION 3 PENALIZACION 4 F F F F C C
A B C D X Y
25- 21=4 22-17= 3 26-22= 4 24-20= 4 22-19= 3 21-20= 1
F F F C C
A B C X Y
25- 24=1 22-19= 3 26-22= 4 22-19= 3 22-21= 1
PENALIZACION 5 F B 22-19= 3 F C 26-22= 4 C X 22-19= 3 C Y 26-22= 4 CT= 500(18)+ 10(21) + 410(19) + 65 (22) + 190 (22)+ 200(17)+ 225(20) CT= 30,510
METODO DE RUSSELL El método de Russell es comparable al método de vogel en cuanto a la aproximación respecto a la solución optima que tienen ambos, solo que este método es menos popular que el anterior debido a que requiere una mayor cantidad de trabajo. DESTINO ORIGEN A (F1)
C1
C2
C3
C4
OFERTA
25
18
21
23
510
B(F2)
19
23
22
26
475
C (F3)
22
25
26
17
390
D (F4)
24
21
20
20
225
DEMANDA
600
500
300
200
1600 1600
No. 1 M11= F1 + C1- I11= 25+25-25= 25 M12= F1 + C2 – I12= 25 +25 -18= 32 M13= F1+C3 – I13= 25 +25-21= 30 M14= F1+C4- I14= 25+26 -23 =28 M21= F2 + C1 –I21= 26+25 -19 = 32 M22= F2+ C2 –I22= 26 + 25 – 23 =28 M23 = F2 + C3 –I23= 26+ 25 – 22 = 30 M24 = F2 + C4 –I24= 26+ 26 – 26= 26 M31= F3 + C1 – I31 = 26+ 25 -22= 29 M32= F3+ C2 – I32= 26+ 26 +25= 26 M33= F3+ C3 –I33= 26 + 26 -26= 26 M34= F3 + C4 –I34= 26+ 26- 17=35 M41= F4+ C1 – I41= 24+ 25-24 =25 M42= F4+ C2- I42= 24+ 25-21= 28 M43= F4+ C3-I43= 24+ 26 – 20= 30 M44= F4+ C4- I44= 24+26-22= 28 Al mínimo costo se le asigna el máximo valor No. 2 M11= F1 + C1- I11= 25+25-25= 25 M12= F1 + C2 – I12= 25 +25 -18= 32 M13= F1 +C3 –I13= 25+26-21= 28 M21= F2 + C1 – I21= 23+25-29= 19 M22= F2 + C2 – I22= 23+25-23= 25 M23= F2+ C3- I23= 23+26-22= 27 M31= F3+ C2-I31= 26+25-22= 29 M32= F3 + C2-I32= 26+25-25= 26 M33= F3 + C3-I33= 26+26-26= 26 M41= F1+ C1-I41= 24+25-24= 25
M42=F2+ C2-I42= 24+25-24= 25 M43=F3+ C3-I43= 24+26-20= 30 No. 3 M11= F1+C1 25+25-25= 25 M13= 25+26-21= 30 M21= 22+25-19= 28 M23= 22+26-22= 26 M31= 26+25-22= 29 M33= 26+26-26= 26 M41= 24+25-24= 25 M43= 24+26-20= 30
Programa de Distribución Factible
Origen Destino A X A Y B W B Y C W C Z D Y Costo Optimo = Q. 30,510.00
Factible Unidades 500 10 410 65 190 200 225
Costo Unidad 18 21 19 22 22 17 20
Costo Total 9,000 210 7,790 1,430 4,180 3,400 4,500
PERT O CPM Estos métodos han Ganado mucha popularidad debido a que pueden aplicarse a un gran número de casos que puedan aparecer en los negocios, la industria y en las areas de investigación y desarrollo de nuevas tecnologías. PERT Es igual a la técnica de evaluación y revisión de programas.
CPM Es el método de la ruta crítica, ambos se han utilizado ampliamente en proyectos industriales y del ramo de la construcción. Metodología Las actividades se representan por flechas y los eventos con círculos o nodos. 8 reglas prácticas para solucionar los diagramas PERT Y CPM 1. Antes de presentar cualquier actividad en la red, deberán haberse indicado ya en ella todas las actividades precedentes. 2. Las flechas indicaran, tanto las actividades como también las procedencias no importando la longitud de las mismas. 3. Todas las flechas de la red deberán iniciar y terminar en un nodo. 4. No pueden haber dos nodos que queden conectados entre sí por más de una flecha. 5. No puede haber más de un nodo inicial o final. 6. No puede haber en la red signos, es decir, flechas que regresen de un nodo al otro anterior. 7. Puede haber actividades ficticias, las cuales se representaran por medio de flechas punteadas y que servirán solamente para mostrar precedencias, con el tiempo de duración cero. 8. Deben numerarse los nodos de los eventos en orden creciente desde el inicio hasta el final de la red.
2
A4
1
B1
8
G 3
C2
D4
5
E 2.5
6
F 2.5
H
7
9
I 4
10
J 11
11
Determinación de Camino Crítico Una vez que se ha construido la red del proyecto, el siguiente paso es determinar que es el camino crítico, dado que se determinara el plazo de tiempo para su finalización. Para lograr esto, primeramente debemos estimar para cada evento de la red, dos variables. El primero es el tiempo más próximo. El segundo es el tiempo más lejano.