Esercizi di statistica (seconda parte) by Fabio Fania

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA INFERENZIALE Stefania Naddeo

INDICE 1. EVENTI E PROBABILITA’

2. VARIABILI CASUALI

3. STATISTICHE CAMPIONARIE

4. INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST DI SIGNIFICATIVITA’

APPENDICE Tavola A: Tavola B: Tavola C: Tavola D:

59 60 61 63

Funzione di ripartizione della normale standardizzata Quantili della normale standardizzata Quantili della chi-quadrato con g gradi di libertà Quantili della t di Student con g gradi di libertà

1. EVENTI E PROBABILITA’ (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 7 delle dispense)

Esercizio 1.1 Un esperimento consiste nel lancio di 3 monete equilibrate. Determinare tutti i possibili risultati associati a questo esperimento e calcolare le probabilità corrispondenti. Soluzione I possibili risultati sono C C C C C T C T C T C C C T T T C T T T C T T T Tutti gli eventi sono equiprobabili, per cui a ciascuno di loro è associata una probabilità pari a 1/8 = 0,125.

Esercizio 1.2 Dati due eventi indipendenti A e B a cui è associata rispettivamente una probabilità P(A) = 0,6 e P(B) = 0,2, calcolare le probabilità associate agli eventi A|B, A∩B, A∪B. Soluzione P(A|B) = P(A) = 0,6 per l’indipendenza degli eventi P(A∩B) = P(A)P(B) = 0,6×0,2 = 0,12 per il teorema delle probabilità composte applicate ad eventi indipendenti P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0,6+0,2−0,12 = 0,68 per il teorema delle probabilità totali applicato ad eventi compatibili.

Esercizio 1.3 Un esperimento consiste nel lanciare 3 volte una moneta equilibrata. Calcolare le probabilità associate agli eventi: A) nei primi due lanci si ottiene testa, B) nell’ultimo lancio si ottiene testa, C) in tutti e tre i lanci si ottiene sempre testa. Soluzione P(A) = 0,5×0,5 = 0,25 per l’indipendenza dei 2 eventi considerati e perchè non interessa conoscere la faccia ottenuta nel terzo lancio P(B) = 0,5 perchè non interessa sapere cosa si è ottenuto nei primi due lanci P(C) = 0,5×0,5×0,5 = 0,125 per l’indipendenza dei tre eventi considerati.

Esercizio 1.4 Un esperimento consiste nel lancio di due dadi equilibrati. Calcolare la probabilità che uno dei due dadi presenti la faccia 6 sapendo che il punteggio complessivo è risultato pari a 10. Soluzione I casi possibili, ossia le coppie che danno un risultato pari a 10, sono 3: 4 6 5 5 6 4 Di queste solo due sono i casi favorevoli, e cioè le coppie con un dado con la faccia 6 per cui la probabilità cercata è pari a 2 / 3 = 0,6

Esercizio 1.5 Una popolazione è composta dall’80% di individui di sesso maschile e dal 20% di individui di sesso femminile. Sapendo che la quota di disoccupati è pari al 4% nel gruppo degli uomini e del 9% nel gruppo delle donne, determinare la probabilità che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione risulti disoccupato. Soluzione Sia M l’evento “maschio”, F l’evento “femmina” e D l’evento “disoccupato”, dal testo si ottengono queste probabilità: P(M) = 0,8 P(F) = 0,2 P(D|M) = 0,04 P(D|F) = 0,09. Sapendo che P(D) = P(D ∩M)+P(D ∩F) e che P(D ∩M) = P(D |M)P(M)

P(D ∩F) = P(D |F)P(F)

risulta P(D) = P(D ∩M)+P(D ∩F) = P(D |M)P(M)+P(D |F)P(F) = 0,04×0,8 + 0,09×0,2 = 0,05

Esercizio 1.6 Un esperimento consiste nell’estrazione casuale di una carta da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità che si ottenga: a) una carta di cuori o un asso, b) un re, sapendo che la carta estratta è una figura (cioè un re, una regina o un fante). Soluzione Sia C l’evento “carta di cuori”, A l’evento “asso”, R l’evento “re” e F l’evento “figura”. Si ha

a) P(C ∪ A ) = P(C)+ P(A )−P(C ∩ A ) =

13 4 1 16 + − = ≅ 0,3077 dove l’evento C∩A indica 52 52 52 52

l’evento “asso di cuori”. P(R ∩F ) 4/52 4 1 b) P(R |F ) = = = = = 0,3 P(F ) 12/52 12 3

Esercizio 1.7 Una prima urna contiene 6 palline bianche, 6 nere e 8 rosse ed una seconda urna contiene 9 palline bianche, 3 nere e 3 rosse. Determinare la probabilità che estraendo casualmente una pallina da un’urna scelta in modo casuale si ottenga una pallina bianca. Soluzione Indicato con B l’evento “pallina bianca”, con U1 l’evento “urna 1” e con U2 l’evento “urna 2” la probabilità di selezionare la prima o la seconda urna è P(U1 ) = P(U2 ) = 0,5 . L’evento B può essere scomposto nella somma degli eventi composti “pallina bianca estratta dalla prima urna” e “pallina bianca estratta dalla seconda urna”, ossia P(B ) = P(B ∩U1 )+P(B ∩U2 ) per cui, applicando il teorema delle probabilità composte, risulta 6 9 P(B ) = P(B ∩U1 )+ P(B ∩U2 ) = P(B |U1 )P(U1 )+ P(B |U2 )P(U2 ) = ×0,5 + ×0,5 = 0,45 20 15

Esercizio 1.8 Un’urna contiene 10 palline, si cui 3 bianche e 7 nere. Calcolare la probabilità che che un campione casuale di 2 palline estratto con ripetizione sia composto da palline dello stesso colore. Soluzione Occorre calcolare la somma delle probabilità associate agli eventi incompatibili “entrambe le palline sono bianche” e “entrambe le palline sono nere”. Indicato con Bi l’evento “pallina bianca alla i-esima estrazione” e con Ni l’evento “pallina nera alla i-esima estrazione” si ha 3 3 7 7 P(B1 )P(B 2 )+ P(N1 )P(N2 ) = × + × = 0,58 10 10 10 10 data l’indipendenza degli eventi considerati.

Esercizio 1.9 Un malato presenta un certo sintomo S che può essere causato dalla malattia M1 che si manifesta con una probabilità pari a 0,6 o dalla malattia M2 che si manifesta con probabilità 0,4. Sapendo che se è presente la malattia M1 il sintomo si presenta con probabilità 0,6 mentre se è presente la malattia M2 il sintomo si presenta con probabilità 0,9, determinare quale malattia risulta più probabile.

Soluzione Il problema si risolve calcolando le probabilità P(M1 | S ) e P(M2 | S ) che possono essere ottenute applicando la formula di Bayes. Dai dati del problema si ottiene P(M1)=0,6 P(M2) = 0,4 P(S|M1)=0,6 P(S|M2)=0,9 La probabilità di presentare il sintomo S risulta P(S ) = P(S |M1 )P(M1 )+P(S |M2 )P(M2 ) = 0,6×0,6 + 0,9×0,4 = 0,72 per cui

P(S |M1 )P(M1 ) 0,6 * 0,6 = = 0,50 P(S ) 0,72 P(S |M2 )P(M2 ) 0,9 * 0,4 P(M2 | S ) = = = 0,50 P(S ) 0,72 Le due malattie sono quindi equiprobabili. P(M1 | S ) =

Esercizio 1.10 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Calcolare le probabilità associate agli eventi: A) il punteggio complessivo è pari a 4, B) il punteggio complessivo è minore o uguale a 4. Soluzione Lanciando 3 dadi si possono ottenere 63=216 risultati diversi, tutti equiprobabili fra di loro. Di questi risultati solo le terne (1,1,2), (1,2,1) e (2,1,1) danno un punteggio pari a 4 per cui 3 P(A ) = = 0,0138 . 216 Per la probabilità dell’evento B basta aggiungere alle tre terne precedentemente considerate la terna (1,1,1) per cui 4 P(A ) = = 0,0185 . 216

Esercizio 1.11 Un’urna contiene palline numerate e colorate. Il 70% delle palline è di colore bianco e il restante 30% è di colore rosso. Sapendo che la probabilità che una pallina presenti un numero maggiore di 100 è 0,2 per le palline bianche ed è 0,5 per le palline rosse, calcolare la probabilità che avendo estratto una pallina con un numero maggiore di 100 si ottenga: a) una pallina bianca, b) una pallina rossa. Soluzione Indicato con B l’evento “pallina bianca”, con R l’evento “pallina rossa” e con M l’evento “pallina con numero maggiore di 100” il problema si risolve calcolando le probabilità P(B |M) e P(R |M) che possono essere ottenute applicando la formula di Bayes. Dai dati del problema si ottiene P(B)=0,7 P(R) = 0,3 6

P(M|B)=0,2 P(M|R)=0,5 Risulta anche P(M) = P(M|B )P(B )+P(M|R)P(R ) = 0,7 * 0,2 + 0,3 * 0,5 = 0,29 per cui

P(M|B )P(B ) 0,7×0,2 = ≅ 0,4828 P(M) 0,29 P(M|R)P(R ) 0,3×0,5 P(R |M) = = ≅ 0,5172 P(M) 0,29

P(B |M) =

Esercizio 1.12 Un esperimento consiste nel lancio di 4 monete equilibrate. Determinare la probabilità associata agli eventi: A) tutte e 4 le monete presentano la faccia testa, B) almeno una moneta presenta la faccia testa. Soluzione P(A) = (0,5)4 = 0,0625 per il teorema delle probabilità composte applicato ad eventi indipendenti P(B) = 1 – (0,5)4 = 0,9375 perchè P(B) può essere calcolata come 1 meno la probabilità dell’evento “tutte le monete presentano la faccia croce”.

Esercizio 1.13 Un esperimento consiste nel lanciare 5 volte un dado equilibrato. Determinare la probabilità che in tre lanci si ottenga uno stesso punteggio. Soluzione Conviene iniziare a determinare la probabilità associata ad una particolare successione di dadi e successivamente generalizzare l’ordine dei lanci. La probabilità che i primi 3 dadi presentino tutti un certo specifico punteggio, ad esempio la faccia 1, è data da 3

 1  5      6 6 La probabilità che i primi 3 dadi presentino tutti uno stesso punteggio, quale che esso sia, è data dal prodotto della probabilità precedente per 6, dato che sono 6 i possibili punteggi che si possono ottenere lanciando un dado.  1  5      ×6 6 6 Infine la probabilità che 3 dadi qualsiasi presentino uno stesso punteggio è data dal prodotto della probabilità precedente per tutte le combinazioni di 5 elementi di classe 3 3

 5  1   5       × 6 ≅ 0,1929 .  3  6   6 

Esercizio 1.14 In una popolazione il 30% degli individui presentano una certa caratteristica A che manca invece ai restanti individui. Sapendo che nel gruppo degli individui con la caratteristica A l’80% presenta anche una caratteristica B, mentre nel gruppo di individui senza la caratteristica A solo il 20% possiede la caratteristica B, determinare la probabilità che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione presenti la caratteristica B Soluzione I dati forniti dal testo sono: P(A) = 0,3 P(B)=0,7 P(B | A ) = 0,2 P(B|A) = 0,8 Per determinare P(B) è sufficiente ricordare che P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A ) = P(B | A)P(A) + P(B | A )P( A ) = 0,8×0,3 + 0,2×0,7 = 0,38

Esercizio 1.15 Un’azienda ha tre stabilimenti (A, B e C) che producono un certo articolo. Nella tabella successiva è riportato il numero di articoli prodotti da ogni stabilimento e le quote di articoli difettosi. Determinare la probabilità che estraendo in modo casuale un articolo se ne ottenga uno difettoso. Stabilimento A B C

articoli prodotti 100 200 200

quote difettosi 0,03 0,02 0,04

Soluzione Dalla tabella si ottengono le seguenti probabilità: P(A)=100/500=0,2 e P(B)=P(C)=200/500=0,4. Indicato con D l’evento “articolo difettoso” si ha quindi P(D) = P(D∩A)+P(D∩B)+P(D∩C)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)= = 0,03×0,2 + 0,02×0,4 + 0,04×0,4 = 0,03.

Esercizio 1.16 In una classe di alunni i maschi sono il doppio delle femmine. Sapendo che il motorino è posseduto dal 20% dei maschi e dal 10% delle femmine, determinare la probabilità che un alunno estratto a caso dalla classe abbia il motorino. Soluzione Indicato con M l’evento “maschio”, con F l’evento “femmina” dalle due uguaglianze successive si possono determinare le probabilità dei due eventi P(M) = 2P(F) P(M) + P(F) = 1 da cui si ottiene P(M) = 2/3

P(F) = 1/3 Indicato con A l’evento “motorino” sulla base dei dati del problema sono note le probabilità P(A|M) = 0,2 P(A|F) = 0,1 Dato che P(A) = P(A∩M)+P(A∩F)=P(A|M)P(M)+P(A|F)P(F) risulta 2 1 P(A) = 0,2× + 0,1× = 0,16 . 3 3

Esercizio 1.17 Data una prova che consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati, calcolare la probabilità che su uno dei tre dadi sia apparsa la faccia 6 sapendo che il punteggio complessivo è risultato pari a 8 Soluzione Le possibili terne di risultati che forniscono un punteggio complessivo pari a 8 sono 1 1 6 (che può presentarsi in 3 modi diversi) 1 2 5 (che può presentarsi in 6 modi diversi) 1 3 4 (che può presentarsi in 6 modi diversi) 2 2 4 (che può presentarsi in 3 modi diversi) 2 3 3 (che può presentarsi in 3 modi diversi) Di questi 21 risultati possibili solo le prime 3 terne (1,1,6), (1,6,1) e (6,1,1) sono i casi favorevoli all’evento considerato, per cui la probabilità cercata è 3 ≅ 0,1429 . 21

Esercizio 1.18 Si considerino 3 urne U1, U2 e U3 delle quali U1 contiene 4 palline rosse e 6 nere, U2 5 palline rosse e 5 nere e U3 7 palline rosse e 3 nere. Una persona ha scelto in modo casuale una delle tre urne e ha estratto una pallina di colore nero. Calcolare la probabilità che la pallina nera provenga da: A) U1, B) U2, C) U3 Soluzione Indicato con N l’evento pallina nera si vogliono calcolare le probabilità P(U1|N), P(U2|N) e P(U3|N) in base alla formula di Bayes. Si ottiene P(U1) = P(U2) = P(U3) = 1/3 P(N) = P(N∩U1)+P(N∩U2)+P(N∩U3)=P(N|U1)P(U1)+P(N|U2)P(U2)+P(N|U3)P(U3)= = 0,6×(1/3) + 0,5×(1/3) + 0,3×(1/3) = 0,46

P(U1 |N) =

P(N|U1 )P(U1 ) 0,6×(1/3) = ≅ 0,4286 P(N) 0,46

P(U2 |N) =

P(N|U2 )P(U2 ) 0,5×(1/3) = ≅ 0,3571 P(N) 0,46

P(U3 |N) =

P(N| U3 )P(U3 ) 0,3×(1/3) = ≅ 0,2143 P(N) 0,46

Esercizio 1.19 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due monete equilibrate si verifichi se gli eventi E1 “su entrambe le monete appare la faccia testa” e E2 “su almeno una moneta appare la faccia testa” risultano indipendenti fra di loro. Soluzione La condizione di indipendenza si verifica se P(E1∩E2) = P(E1)P(E2) Dato che i risultati possibili sono 4 si ottiene P(E1) =1/4 perchè solo il risultato (T, T) risulta favorevole all’evento P(E2) =3/4 perchè i risultati (C, T), (T, C) e (T, T) risultano favorevoli all’evento. La probabilità che entrambi gli eventi si verifichino è data da P(E1∩E2) = 1/4 perchè l’intersezione dei due eventi dà luogo all’evento E1 I due eventi non sono quindi indipendenti fra di loro, dato che P(E1∩E2) = 1/4 ≠ P(E1)P(E2) = 3/16

Esercizio 1.20 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati si verifichi se gli eventi E1 “sul primo dado appare un punteggio minore o uguale a 3”, E2 “sul primo dado appare la faccia 3, 4 o 5” e E3 “la somma del punteggio sui due dadi è pari a 9” risultano tutti indipendenti fra di loro. Soluzione La condizione di indipendenza si verifica se P(E1∩E2∩E3) = P(E1)P(E2)P(E3) e se gli eventi sono indipendenti a coppia. L’evento (E1∩E2∩E3) si verifica solo se compare la coppia di risultati (3, 6), per cui P(E1∩E2∩E3) = 1/36. L’evento E3 si verifica solo se compaiono le coppie (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) per cui P(E3) = 4/36 Dato che P(E1) = P(E2) = 3/6 la condizione di indipendenza fra i 3 eventi 3 3 4 1 P(E1 ∩E 2 ∩E 3 ) = P(E1 )P(E 2 )P(E 3 ) = × × = = 0,02 7 è verificata. 6 6 36 36 10

L’evento (E1∩E2) si verifica se esce il 3 sul primo dado, indipendentemente dal punteggio sul secondo per cui P(E1∩E2) = 1/6 e quindi la condizione di indipendenza fra gli eventi E1 e E2 non è verificata: 1 3 3 9 P(E1 ∩E 2 ) = = 0,16 ≠ P(E1 )P(E 2 ) = × = = 0,25 6 6 6 36 Si conclude che gli eventi E1, E2 ed E3 non sono quindi tutti indipendenti fra di loro. Per quanto riguarda le altre coppie di eventi risulta che: l’evento (E1∩E3) si verifica se esce il 3 sul primo dado e 6 sul secondo per cui P(E1∩E3) = 1/36 e quindi la condizione di indipendenza fra fra gli eventi E1 e E3 non è verificata: 1 3 4 P(E1 ∩E 3 ) = = 0,027 ≠ P(E1 )P(E 3 ) = × = 0,05 . 36 6 36 L’evento (E2∩E3) si verifica se escono le coppie (3, 6), (4, 5), (5, 4)  per cui P(E2∩E3) = 3/36 e quindi neanche la condizione di indipendenza fra fra gli eventi E2 e E3 è verificata: 3 3 4 P(E 2 ∩E 3 ) = = 0,083 ≠ P(E 2 )P(E 2 ) = × = 0,05 . 36 6 36

Esercizio 1.21 Una moneta non equilibrata ha una probabilità pari a 0,2 di presentare la faccia “testa”. Determinare la probabilità che lanciando 5 volte la moneta la faccia testa compaia per la prima volta: A) al primo lancio, B) al terzo, C) al quinto. Soluzione P(A) = 0,2 P(B) = 0,82×0,2 = 0,128 P(C) = 0,84×0,2 = 0,08192

Esercizio 1.22 In un dado non equilibrato la probabilità di ottenere una faccia pari è il doppio della probabilità di una faccia dispari. Determinare la probabilità che lanciando il dado si ottenga un punteggio inferiore o uguale a 3. Soluzione Indicato con A l’evento “punteggio pari” e con B l’evento “punteggio dispari” si ha P(A) = 2P(B) che, sostituito nell’uguaglianza P(A) + P(B) =1

fornisce 3P(B) = 1. Per cui P(B) = 1/3 e P(A) = 2/3. Indicato con Ei l’evento “uscita del numero i” (i=1,2,...,6) l’evento A è un evento composto, costituito dalla somma dei seguenti eventi elementari equiprobabili A = (E2∪E4∪E6) 2/3 2 per cui P(E2) = P(E4) = P(E6) = = = 0,2 3 9 Allo stesso modo, per B risulta B = (E1∪E3∪E5) per cui le probabilità degli eventi elementari equiprobabili che lo compongono sono 1/ 3 1 = = 0,1 . e P(E1) = P(E3) = P(E5) = 3 9 Indicato con C l’evento “punteggio inferiore o uguale a 3” si ha C = (E1∪E2∪E3) e quindi, data l’incompatibilità degli eventi elementari, si ottiene infine 1 2 1 4 P(C) = P(E1∪E2∪E3) = P(E1)+P(E2)+P(E3) = + + = = 0,4 . 9 9 9 9

Esercizio 1.23 In una moneta non equilibrata la probabilità di ottenere la faccia testa è 0,25. Determinare la probabilità che lanciando 5 volte la moneta si ottengano i seguenti risultati: A) tutte croci, B) testa al primo lancio e croce nei 4 lanci successivi, C) una testa e 4 croci a prescindere dall’ordine. Soluzione Per l’indipendenza dei lanci risulta P(A) = (0,75)5 ≅ 0,2373 P(B) = 0,25×(0,75)4 ≅ 0,0791 Infine, tenendo presente che i modi in cui possono presentarsi una testa e 4 croci è dato dalle combinazioni di 5 elementi di classe 1 (o di classe 4), si ha 5 P(C) =  0,25×(0,75) 4 ≅ 0,3955 . 1 

Esercizio 1.24 Si considerino due urne: la prima contiene 6 palline bianche e 4 nere e la seconda 12 palline bianche e 8 nere. Considerato l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina da ciascuna urna, determinare la probabilità che si ottengano gli eventi: A) due palline bianche, B) due palline nere, C) una pallina bianca e una nera.

Soluzione Indicato con Bi l’evento “estrazione di una pallina bianca dall’urna i” e con Ni l’evento “estrazione di una pallina nera dall’urna i” (i=1,2) per l’indipendenza delle estrazioni risulta P(A) = P(B1∩B2) = 0,6×0,6 = 0,36 P(B) = P(N1∩N2) = 0,4×0,4 = 0,16 P(C) = P[(B1∩N2)∪(N1∩B2)] = P(B1∩N2) + P(B1∩N2) = 0,6×0,4 + 0,4×0,6 = 0,48.

Esercizio 1.25 Dati due eventi A e B determinare P(A∩B) e P(A∩B) sapendo che P(A)=0,6 e P(B|A)=0,7. Soluzione P(A∩B) = P(B|A)P(A) = 0,7×0,6 = 0,42 P(A∩B) = P(A)−P(A∩B) = 0,6–0,42 = 0,18.

Esercizio 1.26 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Calcolare le probabilità dei seguenti eventi: A) tutti e tre i dadi presentano la faccia 2; B) tutti e tre i dadi presentano una stessa faccia; C) i tre dadi presentano 3 facce diverse. Soluzione Per l’indipendenza degli eventi la probabilità di A risulta P(A) = (1/6)3 = 0,004629 e, di conseguenza, la probabilità di B è P(B) = 6×(1/6)3 = 0,027 . Per calcolare la probabilità dell’evento C si osservi che sul primo dado può presentarsi una faccia qualunque, sul secondo dado una delle 5 facce diverse dalla faccia apparsa sul primo dado e sul terzo dado una delle 4 facce diverse dalle facce apparse sul primo e secondo dado, per cui risulta P(C) = 1×(5/6)×(4/6) = 0,5

Esercizio 1.27 Un esperimento consiste nel distribuire 4 palline (2 bianche e 2 nere) in 2 urne in modo che nessuna urna rimanga vuota. Successivamente si seleziona in modo casuale un’urna e si estrae una pallina. Verificare quale distribuzione di palline rende massima la probabilità di estrarre una pallina bianca. Soluzione Indicata con U1 la prima urna e con U2 la seconda, nella tabella successiva sono indicate le possibili configurazioni di palline (senza considerare le configurazioni ottenibili

scambiando U1 e U2) e le probabilità associate a ciascuna configurazione, dove la probabilità di selezionare la prima o la seconda urna è sempre uguale a 0,5 U1 U2 probabilità B BNN (0,5)×1 + (0,5)×(1/3)=2/3= 0,6 N

BBN

(0,5)×0 + (0,5)×(2/3)=1/3= 0,3

BN BN (0,5)×(0,5) + (0,5)×(0,5)= 0,5 NN BB (0,5)×0 + (0,5)×1= 0,5 In base ai risultati della tabella la configurazione che consente di massimizzare la probabilità di estrarre una pallina bianca è quella di mettere una pallina bianca in una delle urne e le restanti palline nell’altra.

Esercizio 1.28 Dati due eventi indipendenti A e B determinare le loro probabilità sapendo che la probabilità che i due eventi si presentino contemporaneamente è 1/6 mentre la probabilità che nessuno dei due si verifichi è 1/3. Soluzione La probabilità che i due eventi si presentino contemporaneamente è 1/6 per cui P(A∩B) = P(A)P(B) = 1/6 (*) data l’indipendenza fra A e B. La probabilità che nessuno dei due si verifichi è 1/3 per cui 1−P(A∪B)=1−[P(A)+P(B)−P(A∩B)]=1−[P(A)+P(B)−1/6]=1/3 e quindi P(A)+P(B)=2/3+1/6=5/6 da cui si ottiene P(A)=5/6−P(B). Sostituendo questo risultato nella (*) si ottiene [5/6−P(B)]P(B)=1/6 e infine [P(B)]2 − 5 P(B) + 1 = 0 . 6 6 Da questa equazione di secondo grado si ottengono le due soluzioni 1/2 e 1/3 che corrispondono alle due probabilità richieste.

Esercizio 1.29 Un articolo viene ottenuto assemblando 3 diversi componenti: A, B e C. Sapendo che la probabilità che ciascuno dei componenti sia difettoso è pari a 0,02 per A, a 0,08 per B ed a 0,05 per C, si determini la probabilità che l’articolo non presenti parti difettose.

Soluzione Indicato con D l’evento “il componente è difettoso” le probabilità che i 3 componenti siano difettosi sono rispettivamente P(D|A) = 0,02 P(D|B) = 0,08 P(D|C) = 0,05 e quindi le probabilità che non siano difettosi sono P( D |A) = 0,98 P( D |B) = 0,92 P( D |C) = 0,95 Dato che l’articolo finale è costituito dai 3 componenti, la probabilità che sia non difettoso, supposta l’indipendenza fra gli eventi, è data da P( D |A)×P(D |B)×P(D |C) = 0,98×0,92×0,95 = 0,85652

Esercizio 1.30 Una prova consiste nel lanciare un dado equilibrato e poi, sulla base del punteggio ottenuto, nell’estrarre una pallina da un’urna differente secondo lo schema seguente: - se si ottiene 1 si estrae dall’urna U che contiene 9 palline bianche e 1 nera - se si ottiene 2, 3 o 4 si estrae dall’urna V che contiene 1 pallina bianca e 9 nere - se si ottiene 5 o 6 si estrae dall’urna W che contiene 5 palline bianche e 5 nere Sapendo che nella prova si è ottenuta una pallina bianca, determinare se sia più probabile che la pallina provenga dall’urna U, V o W. Soluzione Le probabilità associate alle 3 urne sono: P(U) = 1/6 P(V) = 3/6 P(W) = 2/6 Sapendo inoltre che in base ai dati del problema le probabilità di estrarre una pallina bianca condizionatamente alle diverse urne sono P(B|U) = 0,9 P(B|V) = 0,1 P(B|W) = 0,5 in base alla formula di Bayes si ottengono le probabilità P(B |U)P(U) 0,9×(1/6) P(U|B) = = = 0,4090 P(B) 0,36 P(B | V)P(V) 0,1×(3/6) P(V | B) = = = 0,1363 P(B) 0,36 P(B | W)P(W) 0,5×(2/6) P(W |B) = = = 0,45 P(B) 0,36 dove P(B) = 0,9×(1/6) + 0,1×(3/6) + 0,5×(2/6) = 0,36 .

Pertanto si può concludere che l’evento più probabile è che la pallina bianca estratta provenga dall’urna W.

Esercizio 1.31 Un dado è truccato in modo che le probabilità dei punteggi riportati sulle facce assumono i valori indicati nella tabella seguente punteggio probabilità 1 12/90 2 12/90 3 18/90 4 15/90 5 15/90 6 18/90 totale 1,00 Verificare che per tale dado l’evento A “punteggio pari” e l’evento B “punteggio divisibile per 3” risultano indipendenti fra di loro. Verificare se l’indipendenza esisterebbe anche nel caso in cui il dado fosse equilibrato. Soluzione Le probabilità associate ai due eventi sono: P(A) = 12/90 + 15/90 + 18/90 = 45/90 = 0,5 P(B) = 18/90 + 18/90 = 36/90 = 0,4 L’intersezione dei due eventi corrisponde all’evento “uscita della faccia 6”, per cui si ha P(A∩B) = 18/90 = 0,2. Dato che P(A)×P(B) = 0,5×0,4 = 0,2, gli eventi A e B sono indipendenti. Se il dado fosse equilibrato si avrebbe: P(A∩B) = 1/6 P(A)×P(B) = 3/6×2/6 = 1/6 per cui anche in questo caso i due eventi risulterebbero indipendenti.

Esercizio 1.32 Un dado è truccato in modo che le probabilità dei punteggi riportati sulle facce è proporzionale al punteggio stesso (per cui, per esempio, la faccia 2 ha il doppio della probabilità della faccia 1 e così via). Determinare la probabilità che lanciando il dado si ottengano gli eventi: A) punteggio pari, B) punteggio dispari. Soluzione Indicata con p la probabilità P(1) associata alla faccia 1, la probabilità di ottenere un punteggio qualsiasi (ossia la probabilità dell’evento certo) è

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1 da cui si ottiene 1 p= 21 Si ha quindi 2 4 6 12 P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = + + = ≅ 0,5714 21 21 21 21 1 3 5 9 P(B) = P(1) + P(3) +P(5) = + + = ≅ 0,4286 21 21 21 21

2. VARIABILI CASUALI (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 8 delle dispense)

Esercizio 2.1 Data la seguente serie di osservazioni relative ad una variabile casuale continua X rilevata su 8 individui: 4,5 0,3 8,5 6,4 2,8 2,1 4,6 3,9 determinare il valore del terzo decile, della mediana e del coefficiente di variazione. Soluzione Una volta ordinata la serie si ottiene 3,9 + 4,5 x0,3 = 2,8 x 0,5 = = 4,2 2 Si ha inoltre E(X) = 4,1375 E(X2) = 22,77125 e quindi s/m ≅ 0,5746.

V(X) ≅ 5,6523

Esercizio 2.2 Data la seguente serie di osservazioni relative ad una variabile casuale continua X rilevata su 12 individui: 4,3 2,5 3,0 6,4 5,8 2,9 9,2 9,7 6,4 7,2 4,0 2,2 sintetizzare i dati in una distribuzione di probabilità costituita dalle classi 2-|3, 3-|7, 7-|10. Sulla base della distribuzione così ottenuta calcolare: a) la mediana, b) l’ottavo decile, c) la probabilità che un individuo presenti un valore della variabile superiore a 5. Soluzione La distribuzione risulta X probabilità 2 -| 3 0,333 3 -| 7 0,416 7 -| 10

0,250

totale

1,000

densità 0,33333 0,10416 0,08333

Si ottiene quindi: 0,5 − 0, 3 a) x 0,5 = 3 + = 4,6 0,10416 0,8 − 0,75 b) x 0,8 = 7 + = 7,6 0,08 3

c) 1 – F(5) = 1 – [ 0,3 +0,104(5-3)] = 0,458 6

Esercizio 2.3 Data la seguente distribuzione di probabilità relativa ad una variabile casuale continua, X probabilità 2 -| 4 0,3 4 -| 8 0,4 8 -| 20 0,3 totale 1,0 disegnare l’istogramma, il grafico della funzione di ripartizione e calcolare il valore atteso. Soluzione In base alle densità di probabilità riportate nella tabella seguente X densità 2 -| 4 0,150 4 -| 8 0,100 8 -| 20 0,025 l’istogramma assume la forma 0,15 0,125 0,1 0,075 0,05 0,025 0 0

Il grafico della funzione di ripartizione risulta F(x)

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

22 x

La media della variabile è E(X) = 3×0,3 + 6×0,4 + 14×0,3 = 7,5.

Esercizio 2.4 Data una variabile casuale X la cui distribuzione di probabilità è approssimata dal modello  1 0 ≤ x ≤1  f(x) =  2 x 0 altrove si determini la funzione di ripartizione corrispondente e si calcoli la probabilità che la variabile X assuma un valore: a) inferiore a 0,25, b) superiore a 0,8. Si determini inoltre il valore dei primi due quartili della variabile. Soluzione x

[

1 -1/2 1 t dt = 2t 1/2 20 2

∫

]= x 0

per cui la funzione di ripartizione assume la forma x<0 0  F(x) =  x 0 ≤ x ≤1 1 x >1  a) F(0,25) = 0,25 = 0,5 b) 1−F(0,8) = 1− 0,8 ≅ 0,1056 Dall’uguaglianza F(x p ) = p i due quartili risultano infine x 0,25 = 0,25 ⇒ x 0,25 = ( 0,25 ) 2 = 0,0625 x 0,5 = 0,5 ⇒ x 0,5 = ( 0,5 ) 2 = 0,25

Esercizio 2.5 Data una variabile casuale X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico, determinare la mediana e il valore atteso della X. x ≤1 0  1 2 F(x) =  x −1 1< x < 5  24 x≥5 1

(

)

Soluzione Dall’uguaglianza 1 2 x 0,5 −1 = 0,5 24 si ottiene l’unica soluzione accettabile x 0,5 = 13 ≅ 3,6056 .

(

)

La funzione di densità di frequenza è data da 1  x 1< x < 5 f(x) = 12 0 altrove 5

1 1  x3  2 per cui si ottiene E(x) = x dx =   = 3,4 . 12 1 12  3  1

∫

Esercizio 2.6 Data una normale di parametri µ=10 e σ2=4, determinare: a) il primo decile, b) il terzo quartile, c) la quota di individui con un valore della variabile maggiore di 11,5. Soluzione a) x0,1 = µ + σu0,1 = 10 + 2× (−1,282) = 7,436 b) x0,75 = µ + σu0,75 = 10 + 2×0,674 = 11,348  11,5 − 10  c) 1 − F(11,5) = 1 − Φ  = 1 − Φ (0,75 ) = 1 − 0,773 = 0,227 2  

Esercizio 2.7 Data un’urna contenente 80 palline bianche e 20 nere, determinare la distribuzione di probabilità della v.c. “numero di palline bianche estratte” se la prova consiste nell’estrazione di una pallina dall’urna. Determinare il coefficiente di variazione di questa variabile, disegnare il grafico della sua funzione di ripartizione e scriverne l’espressione analitica. Soluzione Dato che si estrae una sola pallina dall’urna, la distribuzione della X è una v.c. Zero-Uno di parametro p=80/100=0,8. Pertanto la sua funzione di massa è f(x) = 0,8x0,2(1-x) x=0,1 Sapendo che E(X) = p = 0,8 V(X) = p(1-p) = 0,2×0,8 = 0,16 il coefficiente di variazione di X è s 0,16 = = 0,5 m 0,8 L’espressione analitica della funzione di ripartizione è x <0 0  F(x) = 0,2 0 ≤ x <1 1 x ≥1 ed il grafico assume quindi la forma F(x)

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

-1

2 x

Esercizio 2.8 Data una variabile casuale Y che si distribuisce come una binomiale di parametri n=3 e p=0,2, scrivere l’espressione analitica della funzione di probabilità e disegnarne il grafico corrispondente. Soluzione 3 3− y f(y) = P(Y = y) =  0,2 y (1− 0,2) y = 0,1,2,3 y   Da questa funzione si ottengono le probabilità associate ad ogni intensità della Y Y p(y) 0 0,512 1 0,384 2 0,096 3 0,008 totale 1,000 per cui la rappresentazione grafica assume la forma riportata nella figura seguente 0,6 0,512 0,5 0,384

0,4 0,3 0,2

0,096 0,1 0,008 0 0

Esercizio 2.9 Dato un esperimento che consiste nel lancio di 3 monete equilibrate, determinare la funzione di massa della variabile casuale Y “numero di teste nei primi due lanci. Soluzione I possibili risultati dell’esperimento (pari a 23=8) e i corrispondenti valori della Y sono riportati nella tabella successiva risultati Y CCC 0 CCT 0 CTC 1 TCC 1 CTT 1 TCT 1 TTC 2 TTT 2

dato che le terne sono equiprobabili la distribuzione di massa di Y risulta Y p(y) 0 2/8=0,25 1 4/8=0,50 2 2/8=0,25 totale 8/8=1,00

Esercizio 2.10 Data la variabile casuale definita nell’esercizio precedente, disegnare la sua funzione di massa, determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico. Soluzione Il grafico della funzione di massa assume la forma 0,5

0,4

f(y)

0,3

0,2

0,1 y

0 0

L’espressione formale della funzione di ripartizione è data da y<0 0 0,25 0 ≤ y <1 F(y) =  1≤ y < 2 0,75 1 y≥2 ed il grafico corrispondente assume la forma riportata nel grafico successivo 1 0,9 0,8 0,7 F(y)

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 y

0 -1

Esercizio 2.11 Data una variabile casuale Y che si distribuisce come una binomiale di media pari a 3 e varianza pari a 2 determinare la probablità che Y sia uguale a 7. Soluzione Per trovare i parametri della binomiale bisogna risolvere il seguente sistema di equazioni np = 3 np( 1− p ) = 2  da cui si ottengono i valori dei parametri n=9 p=1/3 7

 9  1   2  Pertanto P(Y = 7) =      ≅ 0,007316 .  7  3   3 

Esercizio 2.12 Data un’urna che contiene 10 palline, si cui 7 bianche e 3 nere, si consideri un esperimento che consiste nell’estrazione di 3 palline senza ripetizione. Indicata con W la variabile casuale “numero di palline bianche estratte” determinare l’espressione della funzione di massa di W, la sua media e la sua varianza. Soluzione La funzione di massa di W assume la forma  7  3     w  3 − w   P(W = w ) = w = 0,1,2,3 10    3 mentre i valori della media e della varianza risultano N E(W ) = np = n 1 = 3×0,7 = 2,1 N N −n 10 - 3 V (W ) = np(1-p ) = 3×0,7×0,3× = 0,49 N−1 10 -1

Esercizio 2.13 Un’urna contiene 15 palline, si cui 3 bianche, 5 nere e 7 rosse. Calcolare la probabilità che che un campione casuale di 3 palline estratto senza ripetizione contenga: a) tutte palline bianche, b) almeno una pallina rossa, c) almeno 2 palline nere. Soluzione a) Indicando con Bi (i=1,2,3) l’evento “estrazione di una pallina bianca alla i-esima prova”, la probabilità cercata P(B1 ∩B 2 ∩B 3 ) corrisponde a P(B1 )×P(B 2 | B1 )×P[B 3 | (B1 ∩B 2 )] Risulta quindi P(B1 ∩B 2 ∩B 3 ) =

3 2 1 × × ≅ 0,0022 15 14 13

oppure, utilizzando una variabile ipergeometrica in cui la variabile W indica il numero delle palline bianche estratte si ha  3 12     3 0 P( W = 3 ) =    ≅ 0,0022 15    3 b) La probabilità dell’evento “almeno una pallina rossa” si può calcolare come differenza fra 1 e la probabilità che nessuna pallina sia rossa. Utilizzando la distribuzione ipergeometrica in cui la variabile W indica il numero di palline rosse estratte si ha  7  8     0 3 1−P( W = 0 ) = 1−    ≅ 0,8769 15    3 c) sempre utilizzando una distribuzione ipergeometrica in cui la variabile W indica questa volta il numero di palline nere estratte si ottiene  5 10   5 10        2 1 3 0 P(W = 2) + P(W = 3) =    +    ≅ 0,2418 15  15      3 3

Esercizio 2.14 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale S “somma dei punteggi ottenuti”. Soluzione I possibili risultati sono 62=36 e sono elencati di seguito (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Effettuando le somme dei valori delle coppie di risultati e tenendo presente che tutte le coppie sono equiprobabili, si ottiene la seguente distribuzione di probabilità S p(s) 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36 totale 1,00

Esercizio 2.15 Un’urna contiene 20 palline di cui 16 sono bianche e 4 sono nere. Calcolare la probabilità che in un campione casuale di 5 elementi estratto senza ripetizione siano presenti: A) due palline bianche, B) due palline nere, C) tutte palline bianche, D) tutte palline nere. Soluzione Le probabilità richieste si possono trovare utilizzando il modello ipergeometrico in cui W indica il numero delle palline bianche 16  4     2 3 480 A) P(W = 2) =    = ≅ 0,0310 15.504  20    5  16  4     3 2 3360 B) P(W = 3) =    = ≅ 0,2167 15.504  20    5 16  4     5 0 4368 C) P(W = 5) =    = ≅ 0,2817 15.504  20    5 D) P(W = 0) = 0 perchè questo evento è impossibile.

Esercizio 2.16 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Indicata con X la variabile casuale “numero di facce pari a 2 che sono apparse nel lancio” determinare la probabilità che X assuma i valori 0, 1, 2 e 3. Soluzione Data l’indipendenza degli eventi, le probabilità richieste si possono trovare utilizzando un modello binomiale di parametri n=3 e p=1/6, dove p indica la probabilità che uno dei dadi presenti la faccia 2. 0

 3  1   5  P(X = 0) =      ≅ 0,579  0  6   6  2

 3  1  5  P(X = 1) =     ≅ 0,347 1  6  6  2

 3  1   5  P(X = 2) =      ≅ 0,069  2  6   6   3  1  P(X = 3) =     3  6  Si osservi che la 1.

5   ≅ 0,005 6 somma di tutte queste probabilità deve necessariamente risultare pari ad

Esercizio 2.17 Data una partita di 20 articoli di cui il 15% risulta difettoso, determinare la probabilità che estraendo un campione di 2 elementi senza ripetizione si ottengano: A) due articoli difettosi, B) un articolo difettoso e uno non difettoso, C) due articoli non difettosi. Soluzione Dato che la partita è composta da 20 articoli di cui il 15% risulta difettoso, il numero di 15 articoli difettosi nella partita è 20× =3 . 100 L’estrazione è senza ripetizione, per cui le probabilità richieste si possono ottenere sulla base di un modello ipergeometrico in cui W indica il numero di articoli difettosi:  3 17     2 0 3 A) P(W = 2) =    = ≅ 0,0158 , 190  20    2  3 17     1 1 51 ≅ 0,2684 , B) P(W = 1) =    = 190  20    2  3 17     0 2 136 C) P(W = 0) =    = ≅ 0,7158 . 190  20    2 Anche in questo caso le tre probabilità sommano necessariamente ad 1.

Esercizio 2.18 Data la seguente distribuzione doppia relativa alle variabili casuali X e Y, si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale S=X+Y. Y 0 1 2 totale X 1 0,05 0,05 0,10 0,20 2 0,05 0,10 0,15 0,30 3 0,10 0,20 0,20 0,50 totale 0,20 0,35 0,45 1,00 Soluzione La distribuzione richiesta si ottiene considerando tutti i risultati che forniscono uno stesso valore s di S e sommando le probabilità corrispondenti. Per esempio, la variabile S assume il valore 1 solo se X=1 e contemporaneamente Y=0, dove a questo risultato è associata una probabilità pari a 0,05, per cui P(S=1)=0,05. La S assume il valore 2 se X=1 e contemporaneamente Y=1, dove a questo risultato è associata una probabilità pari a 0,05, oppure se X=2 e contemporaneamente Y=0, dove a questo risultato è associata una probabilità pari a 0,05, pertanto P(S=2)=0,05+0,05=0,10. Seguendo questo stesso procedimento per tutti i possibili valori di S si ottiene la distribuzione riportata nella tabella successiva.

S 1 2 3 4 5 totale

p(s) 0,05 0,10 0,30 0,35 0,20 1,00

Esercizio 2.19 Data un’urna contenente 3 palline bianche, 5 palline nere e 12 palline rosse, si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale Y “numero di palline nere estratte” per un campione di 4 palline estratte con ripetizione. Determinare il valore modale della variabile casuale Y. Soluzione Considerando in un unico gruppo le palline “non nere”, si può utilizzare un modello binomiale in cui la variabile Y indica il numero di palline nere estratte, il parametro p indica la probabilità di estrarre una pallina nera (p=5/20=0,25) e n=4 è il numero complessivo di palline estratte. La funzione di massa assume la forma  4 P(Y = y) =  0,25 y 0,75 4 − y y = 0,1,2,3,4 y Calcolando le probabilità per tutti i possibili valori assunti dalla variabile casuale Y si ottengono i risultati riportati nella tabella successiva, dalla quale risulta che il risultato più probabile è pari ad 1. Y 0 1 2 3 4 totale

p(y) 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039 1,0000

Esercizio 2.20 Data una popolazione di 100 elementi in cui il 70% degli individui presenta una certa caratteristica A, determinare se sia più probabile che in un campione casuale di 3 elementi estratto senza ripetizione il numero di individui con la caratteristica A sia 0, 1, 2 oppure 3. Soluzione Il numero di individui con la caratteristica A nella popolazione è 70, mentre gli altri 30 non possiedono tale caratteristica. Indicata con W la variabile casuale “numero di individui con la caratteristica A”, in base al modello ipergeometrico risulta

 70  30   70  30        0  3  1 2 4.060 30.450  P(W = 0) = = ≅ 0,0251 , P(W = 1) =    = ≅ 0,1883 , 161.700 161.700 100  100       3   3   70  30   70  30        2  1  72.450 3 0 54.740  P(W = 2) = = ≅ 0,4481, P(W = 3) =    = ≅ 0,3385 . 161.700 161.700 100  100       3   3  Il risultato più probabile è che ci siano 2 individui con la caratteristica A in un campione casuale di 3 elementi.

Esercizio 2.21 Una prova consiste nel lancio di due dadi non equilibrati. Indicata con X1 la variabile casuale “punteggio sul primo dado” e con X2 la variabile “punteggio sul secondo dado”, calcolare la probabilità che si ottenga un punteggio pari a 4 sapendo che le funzioni di massa delle due variabili sono quelle indicate nelle due tabelle successive. X1 1 2 3 4 5 6 totale

p(x1) 0,1 0,2 0,3 0,1 0,1 0,2 1,0

X2 1 2 3 4 5 6 totale

p(x2) 0,1 0,3 0,3 0,1 0,1 0,1 1,0

Soluzione Il punteggio pari a 4 si ha solo se si ottengono le coppie: (1, 3), (2, 2) e (3, 1). Pertanto l’evento composto cercato corrisponde all’unione delle seguenti coppie di eventi eventi [(X1 = 1)∩(X 2 = 3)]∪[(X1 = 2)∩(X 2 = 2)]∪[(X1 = 3)∩(X 2 = 1)] Dato che le coppie di eventi sono incompatibili fra di loro, mentre gli eventi all’interno di ogni coppia sono indipendenti, la probabilitè cercata è data da P[(X1 = 1)∩(X 2 = 3)]+P[(X1 = 2) ∩(X 2 = 2)]+P[(X1 = 3)∩(X 2 = 1)]= 0,1×0,3 + 0,2×0,3 + 0,3×0,1= 0,12

Esercizio 2.22 Un’urna contiene 20 palline di cui 4 bianche, 6 nere e 10 rosse. Calcolare la probabilità che estraendo 5 palline senza ripetizione si verifichino gli eventi: A) 5 palline nere, B) almeno una pallina nera. Soluzione In base al modello ipergeometrico in cui W indica il numero di palline nere estratte, si ottiene

 6 14     5 0 6 A) P(W = 5) =    = ≅ 0,0004 , 15.504  20     5  6 14     0 5 2.002 B) P(W ≥ 1) = 1−P(W = 0) = 1−    = 1− ≅ 0,8709 15.504  20    5

Esercizio 2.23 Dato un esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale X che assume il valore 0 se il punteggio è inferiore o uguale a 3, valore 1 se il punteggio è 4 o 5 e valore 2 se il punteggio è 6. Si consideri poi l’esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati e si determini la distribuzione della variabile casuale S=X1+X2 dove le variabili X1 e X2 associate ai punteggi ottenuti sui due dadi hanno la medesima distribuzione di X. Soluzione La distribuzione di probabilità di X risulta X p(x) 0 3/6 1 2/6 2 1/6 totale 1,00 Per quanto riguarda l’esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati, la distribuzione di probabilità di S è data da S p(s) 0 9/36 1 12/36 2 10/36 3 4/36 4 1/36 totale 1,00 dato che, per esempio, 3 3 9 P(S = 0) = P[(X1 = 0)∩(X 2 = 0)]= P(X1 = 0)×P(X 2 = 0) = × = 6 6 36 3 2 2 3 12 P(S = 1) = P[(X1 = 0) ∩(X 2 = 1)]+P[(X1 = 1)∩(X 2 = 0)]= × + × = 6 6 6 6 36 e così via.

Esercizio 2.24 Data una collettività composta da 20 individui, di cui 12 uomini e 8 donne, calcolare la probabilità che estraendo un gruppo di 6 individui distinti il gruppo risulti composto da: A) tutte donne, B) tutti uomini, C) 3 donne e 3 uomini. Soluzione Dato che il gruppo deve essere formato da individui distinti, l’estrazione deve essere fatta senza ripetizione. Se si indica con W la variabile “numero di donne estratte”, si ottengono le seguenti probabilità  8 12     6 0 28 A) P(W = 6) =    = ≅ 0,000722 38.760  20    6  8 12     0 6 924 B) P(W = 0) =    = ≅ 0,023839 38.760  20    6  8 12     3 3 12.320 C) P(W = 3) =    = ≅ 0,317853 38.760  20    6

Esercizio 2.25 Data una collettività di 100 individui, di cui 10 sono disoccupati. determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “quota di disoccupati” per un campione di 4 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione La distribuzione della variabile casuale W “numero di disoccupati” si ottiene dal modello ipergeometrico di parametri N1=10, N2=90, n=4 10  90     w  4 − w   P(W = w) = w = 0,1,2,3,4 100     4  ˆ = W “quota di e da questa si ottiene facilmente la distribuzione della variabile casuale Q n ˆ disoccupati”, tenendo presente che W = nQ 10  90   ˆ   4q  4 − 4qˆ   ˆ ˆ P(Q = q) = 100     4 

1 2 3 qˆ = 0, , , ,1. 4 4 4

Esercizio 2.26 Data una popolazione di 10 individui, di cui 4 presentano una certa caratteristica A determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “quota di individui con la caratteristica A” per un campione bernoulliano di 5 elementi. Soluzione La distribuzione della variabile casuale Y “numero di individui con la caratteristica A ” si ottiene dal modello binomiale di paramentri n=5 e p=4/10=0,4 5 P(Y = y) =  0,4 y 0,6 5 − y y = 0,1,...,5 y ˆ = Y “quota di e da questa si ottiene facilmente la distribuzione della variabile casuale P n ˆ disoccupati”, tenendo presente che Y = nP 1 5 ˆ ˆ P(Pˆ = pˆ) =  0,4 5p 0,6 5−5p pˆ = 0, ,...,1 5  5pˆ 

Esercizio 2.27 Dato un esperimento che consiste nell’estrazione con ripetizione di 3 palline da un’urna che contiene 10 palline bianche, 10 nere e 80 rosse, determinare il valore modale, la media e la varianza della variabile casuale “quota di palline rosse estratte”. Soluzione La distribuzione della variabile casuale Pˆ “quota di palline rosse” si ottiene da un modello binomiale di parametri p=0,8 ed n=3 1 2 3 ˆ ˆ P(Pˆ = pˆ) =  0,8 3p 0,2 3 −3p pˆ = 0, , ,1 3 3  3pˆ  Le probabilità associate ai diversi valori della variabile assumono i valori indicati nella tabella successiva, da cui risulta che il valore modale è 1. p( pˆ ) Pˆ 0 0,008 1/3 0,096 2/3 0,384 1 0,512 totale 1,000 ˆ La media è E(P )=p=0,8. La varianza è V(Pˆ) =

p × (1 − p) 0,8 × 0,2 = 0,05 3 . n 3

Esercizio 2.28 Data un’urna che contiene 5 palline bianche e 15 nere, determinare la probabilità che estraendo 10 palline si ottengano 4 palline bianche se l’estrazione è effettuata: A) con ripetizione, B) senza ripetizione.

Soluzione Nel primo caso, indicata con Y la v.c. “numero di palline bianche estratte, la probabilità richiesta si ottiene da un modello binomiale di paramentri n=10 e p=5/20=0,25, per cui 10  A) P(Y = 4) =  0,25 4 0,75 6 ≅ 0,1460 . 4 Nel secondo caso, invece, bisogna utilizzare un modello ipergeometrico di parametri N1=5, N2=15 e n=10  5 15     4 6 25025 B) P(Y = 4) =    = ≅ 0,1354 . 184.756  20    10 

Esercizio 2.29 Determinare la media e la varianza della variabile casuale Y “numero di palline bianche estratte” per l’urna considerata nell’esercizio precedente se l’estrazione è effettuata: A) con ripetizione, B) senza ripetizione. Soluzione Se l’estrazione è con ripetizione la Y si distribuisce come una binomiale di parametri n=10 e p=0,25 per cui E(Y) = np = 10×0,25 = 2,5 V(Y) = np(1-p) = 10×0,25×0,75 = 1,875 Se l’estrazione è senza ripetizione la Y si distribuisce come una ipergeometrica di parametri N1=5, N2=15 e n=10, per cui risulta N1 5 = 10 = 2,5 N 20 N  N  N −n 5 15 20 −10 V(Y) = n 1 1− 1  = 10 ≅ 0,9868 . N  N  N −1 20 20 20 −1

E(Y) = n

Esercizio 2.30 Data una variabile X che si distribuisce in modo normale con parametri µ e σ, determinare la probabilità che la X assuma un valore compreso: a) nell’intervallo (µ−σ, µ+σ), b) nell’intervallo (µ−2σ, µ+2σ). Soluzione Effettuando la solita operazione di standardizzazione della variabile X risulta (µ+ σ )−µ  = Φ(1)− Φ(−1) = 2Φ(1)−1≅ 0,682  (µ- σ )−µ a) P[(µ- σ ) < X ≤ (µ + σ)]= P  <U≤  σ  σ (µ+ 2σ )−µ  = Φ(2)− Φ(− 2) = 2Φ(2)−1≅ 0,954  (µ- 2σ )−µ b) P[(µ- 2σ ) < X ≤ (µ + 2σ)] = P  <U≤  σ σ 

3. STATISTICHE CAMPIONARIE (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitoli 9 e 10 delle dispense)

Esercizio 3.1 Data una popolazione in cui una variabile Z ha la seguente distribuzione di frequenza Z frequenze ass. 1 5 2 3 3 2 totale 10 determinare le possibili composizioni di un campione di bernoulliano di 2 elementi estratto da questa popolazione e le probabilità corrispondenti. Soluzione Con riferimento ai possibili valori della variabile Z, i campioni diversi per gli elementi o per l’ordine di estrazione sono 32=9. Indicata con Xi (i=1, 2) la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione”, la distribuzione di probabilità di questa variabile assume la forma Xi probabilità 1 0,5 2 0,3 3 0,2 totale 1,0 le possibili composizioni di un campione di bernoulliano di 2 elementi e le probabilità corrispondenti assumono i valori indicati nella tabella seguente X2 probabilità X1 1 1 0,52 = 0,25 1 2 0,5×0,3 = 0,15 1 3 0,5×0,2 = 0,10 2 1 0,3×0,5 = 0,15 2 2 0,32 = 0,09 2 3 0,3×0,2 = 0,06 3 1 0,2×0,5 = 0,10 3 2 0,2×0,3 = 0,06 3 3 0,22 = 0,04 1,000

Esercizio 3.2 Data una popolazione in cui una variabile Z ha una distribuzione Zero-Uno di parametro p=0,4 determinare le possibili composizioni di un campione di bernoulliano di 3 elementi estratto da questa popolazione e le probabilità corrispondenti. Soluzione Dato che la Z può assumere due soli valori diversi, i campioni diversi per gli elementi o per l’ordine di estrazione sono 23=8. Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla iesima estrazione” si ha 34

X1 0 0 0 1 0 1 1 1

X2 0 0 1 0 1 0 1 1

X3 0 1 0 0 1 1 0 1

prob. 0,6 = 0,216 0,62×0,4 = 0,144 0,62×0,4 = 0,144 0,62×0,4 = 0,144 0,6×0,42 = 0,096 0,6×0,42 = 0,096 0,6×0,42 = 0,096 0,43 = 0,064 1,000 3

Esercizio 3.3 Data una popolazione di 3 elementi su cui una variabile Z assume rispettivamente i valori 2, 4 e 6, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto con ripetizione. Soluzione Avendo una popolazione formata da 3 individui, i possibili campioni bernoulliani diversi per gli individui estratti sono 32=9. Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha X1 X2 X 2 2 2 2 4 3 2 6 4 4 2 3 4 4 4 4 6 5 6 2 4 6 4 5 6 6 6 Tutti questi campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione richiesta risulta p(x) X 2 1/9 3 2/9 4 3/9 5 2/9 6 1/9 totale 1

Esercizio 3.4 Data una variabile Z che su una popolazione di 4 elementi assume i valori −1, 0, 1 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Verificare che la media di tale variabile casuale corrisponde alla media della variabile Z nella popolazione.

Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli individui estratti (e non per l’ordine in cui si estraggono) è uguale alle disposizioni senza ripetizione di 4 elementi di classe 2 ed è 4×3 = 6. quindi 2 Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha X1 X2 X 0 −1 −0,5 1 0,0 −1 3 1,0 −1 0 1 0,5 0 3 1,5 1 3 2,0 Tutti questi campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione di probabilità della media campionaria risulta p(x) X 1/6 −0,5 0,0 1/6 0,5 1/6 1,0 1/6 1,5 1/6 2,0 1/6 totale 1,0 La media della media campionaria è 1 1 1 1 1 E( X ) = − 0,5× + 0,5× + +1,5× + 2× = 0,75 6 6 6 6 6 mentre la media della variabile Z è −1+1+ 3 = 0,75 E(Z) = 4 per cui risulta verificata l’uguaglianza E( X ) = E(Z)

Esercizio 3.5 Data una popolazione di 5 elementi su cui una variabile Z assume rispettivamente i valori 1, 2, 3, 4 e 5, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è dato dalle 5× 4 disposizioni senza ripetizione di 5 elementi di classe 2 ed è quindi pari a =10. Indicata 2 con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha

X1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3

X2 2 2 2 3 3 4 3 3 4 4

X3 3 4 5 4 5 5 4 5 5 5

X 2,0 2, 3 2, 6 2, 6 3,0 3, 3 3,0 3, 3 3, 6 4,0

Tutti questi campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione risulta p(x) X 2,0 0,1 0,1 2, 3 0,2 2, 6 3,0 0,2 0,2 3, 3 0,1 3, 6 4,0 0,1 totale 1,0

Esercizio 3.6 Data una popolazione di 4 individui su cui una variabile Z assume i valori 0, 1, 3 e 4, si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Si verifichi che tale variabile casuale è uno stimatore corretto della media della popolazione. Soluzione 4×3 = 6. 2 Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha X1 X2 X 1 0,5 0 3 1,5 0 4 2,0 0 1 3 2,0 1 4 2,5 3 4 3,5 La distribuzione di probabilità della media campionaria risulta Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi è

X 0,5 1,5 2,0 2,5 3,5 totale

p(x) 1/6 1/6 2/6 1/6 1/6 1,0

La media della media campionaria è 1 1 2 1 1 E( X ) = 0,5× +1,5× + 2× + 2,5× + 3,5× = 2 6 6 6 6 6 mentre la media della variabile Z è 1+ 3 + 4 E(Z) = µ = =2 4 per cui risulta verificata l’uguaglianza E( X ) = E(Z) = µ e si può concludere che è verificata la correttezza dello stimatore X .

Esercizio 3.7 Data una popolazione di 4 individui su cui una variabile Z assume i valori 1, 2, 3 e 4, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è dato dalle disposizioni senza ripetizione di 4 elementi di classe 2 ed è quindi pari a 6. Indicata con X la media campionaria, con E(X2) il secondo momento e con S2 la varianza campionaria risulta X1 1 1 1 2 2 3

X2 2 3 4 3 4 4

X 1,5 2,0 2,5 2,5 3,0 3,5

E(X2) 2,5 5,0 8,5 6,5 10,0 12,5

La distribuzione della varianza campionaria risulta S2 p(s2) 0,25 3/6 1,00 2/6 2,25 1/6 totale 1,0

S2 0,25 1,00 2,25 0,25 1,00 0,25

Esercizio 3.8 Data una variabile Z che su popolazione di 4 individui assume i valori 0, 0, 1 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Con riferimento al numero di individui che compongono la popolazione, il numero dei possibili campioni diversi per gli individui estratti è dato dalle disposizioni senza ripetizione di 4 elementi di classe 3 ed è quindi pari a 4. Indicata con X la media campionaria, con E(X2) il secondo momento e con S2 la varianza campionaria risulta X1 0 0 0 0

X2 0 0 1 1

X3 1 3 3 3

X 1/3 3/3 4/3 4/3

E(X2) 1/3 9/3 10/3 10/3

S2 2/9 18/9 14/9 14/9

La distribuzione della varianza campionaria risulta S2 p(s2) 0,25 2/9 = 0,2 0,50 14/9 = 1,5 18/9 = 2,0 totale

0,25 1,00

Esercizio 3.9 Data una variabile Z che su popolazione di 3 individui assume i valori 1, 3 e 5, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria” per un campione di 2 elementi estratto con ripetizione. Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono o per il loro ordine è dato da 32 = 9. Indicata con X la media campionaria, con E(X2) il secondo momento e con S2 la varianza campionaria risulta X1 1 1 1 3 3 3 5 5 5

X2 1 3 5 1 3 5 1 3 5

X 1 2 3 2 3 4 3 4 5

E(X2) 1 5 13 5 9 17 13 17 25

S2 0 1 4 1 0 1 4 1 0

La distribuzione della varianza campionaria risulta S2 p(s2) 0 3/9 1 4/9 4 2/9 totale 1,00

Esercizio 3.10 Data una popolazione in cui il 20% degli individui presenta un valore di una variabile Z pari ad 1 mentre il restante 80% ha un valore pari a zero, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria corretta” per un campione di due elementi estratto con ripetizione. Verificare inoltre che la media di questa variabile casuale corrisponde al valore della varianza della variabile Z nella popolazione. Soluzione La distribuzione di frequenza della Z è Z quote 0 0,8 1 0,2 totale 1,00 per cui E(Z) = 0,2 V(Z) = 0,2×0,8 = 0,16. Con riferimento ai possibili valori della Z, il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono o per il loro ordine è dato da 22 = 4. Indicata con X la media campionaria, con L(x) la probabilità dell’ennupla campionaria, con ˆ 2 la varianza E(X2) il secondo momento, con S2 la varianza campionaria e con S campionaria corretta risulta X1 0 0 1 1

X2 0 1 0 1

L(x) 0,64 0,16 0,16 0,04

X 0,0 0,5 0,5 1,0

E(X2) 0,0 0,5 0,5 1,0

S2 0,00 0,25 0,25 0,00

ˆ2 S 0,0 0,5 0,5 0,0

La distribuzione della varianza campionaria corretta risulta ˆ2 S p(sˆ 2 ) 0,0 0,68 0,5 0,32 totale 1,00 La media della varianza campionaria corretta è ˆ 2 ) = 0,0×0,68 + 0,5×0,32 = 0,16 E( S e corrisponde quindi alla varianza V(Z) = 0,16 della variabile Z nella popolazione.

Esercizio 3.11 Data una variabile Z che su una collettività di 4 individui assume i valori 0, 0, 1 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria corretta” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Con riferimento al numero di individui che compongono la popolazione, il numero dei  4 possibili campioni diversi per gli individui estratti è   = 4 . 3 2 Indicata con X la media campionaria, con E(X ) il secondo momento, con S2 la varianza ˆ 2 la varianza campionaria corretta si ottiene campionaria e con S ˆ2 X1 X2 X3 E(X2) S2 X S 0 0 1 1/3 1/3 2/9 1/3 0 0 3 1 3 2 3 0 1 3 4/3 10/3 14/9 7/3 0 1 3 4/3 10/3 14/9 7/3 Dato che ogni campione è equiprobabile, la distribuzione della varianza campionaria corretta risulta ˆ2 S p(sˆ 2 ) 1/3 7/3 9/3 totale

0,25 0,50 0,25 1,00

Esercizio 3.12 Data una variabile Z che su una collettività di 4 elementi assume rispettivamente i valori 1, 2, 2 e 2, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Verificare che lo stimatore “media campionaria” risulta corretto. Soluzione  4 Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è   = 6 . 2 Per semplicità si può assegnare un’etichetta ai 4 elementi della popolazione. Assegnando le lettere “a”, “b”, “c” e “d” agli individuidella popolazione, gli individui estratti sono riportati dalle prime due colonne della tabella successiva, i corrispondenti valori della variabile Z nella terza e quarta colonna e nella quinta colonna il valore della media campionaria. prima seconda X1 X2 X estrazione estrazione a b 1 2 1,5 a c 1 2 1,5 a d 1 2 1,5 b c 2 2 2,0 b d 2 2 2,0 c d 2 2 2,0

La distribuzione della media campionaria risulta quindi p(x) X 1,5 0,5 2,0 0,5 totale 1,0 La media della media campionaria è E( X ) = 1,5×0,5 + 2×0,5 = 1,75 1+ 2 + 2 + 2 e corrisponde quindi alla media E(Z) = = 1,75 della variabile Z nella popolazione. 4 Pertanto lo stimatore risulta essere corretto.

Esercizio 3.13 Data una variabile Z che su una collettività di 4 elementi assume rispettivamente i valori 0, 1, 2 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “mediana campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione  4 Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è   = 6 . 2 Dato che ciascun campione è composto da 2 soli elementi, la mediana campionaria, indicata con X0,5, corrisponde alla semisomma degli elementi estratti X1 X2 X0,5 0 1 0,5 0 2 1,0 0 3 1,5 1 2 1,5 1 3 2,0 2 3 2,5 La distribuzione della mediana campionaria risulta quindi X0,5 p(x0,5) 0,5 1/6 1,0 1/6 1,5 2/6 2,0 1/6 2,5 1/6 totale 1,0

Esercizio 3.14 Data una variabile Z che su una popolazione di 10 individui assume il valore 0 con frequenza pari a 2 ed il valore 1 con frequenza 8, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “somma campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione.

Soluzione Con riferimento ai possibili valori della variabile Z, il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è 22 = 4. Indicata con T la variabile casuale “somma campionaria” si ottiene X1 X2 T L(x) 0 0 0 2 1 2 × = 10 9 90 0 1 1 2 8 16 × = 10 9 90 1 0 1 8 2 16 × = 10 9 90 1 1 2 8 7 56 × = 10 9 90 La distribuzione della mediana campionaria risulta quindi T p(t) 0 2/90 1 32/90 2 56/90 totale 1,0

Esercizio 3.15 Data una variabile Z che su una collettività di 5 elementi assume rispettivamente i valori 1, 2, 3, 3 e 6 determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Verificare che la media campionaria è uno stimatore corretto. Soluzione Con riferimento al numero di individui della popolazione, il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono (e non per l’ordine degli elementi stessi) è pari a  5   = 10 .  2 Si ottiene X2 X1 X 1 2 1,5 1 3 2,0 1 3 2,0 1 6 3,5 2 3 2,5 2 3 2,5 2 6 4,0 3 3 3,0 3 6 4,5 3 6 4,5 I 10 campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione della media campionaria risulta

p(x) X 1,5 0,1 2,0 0,2 2,5 0,2 3,0 0,1 3,5 0,1 4,0 0,1 4,5 0,2 totale 1,0 La media della media campionaria è E( X ) = 1,5×0,1 + 2×0,2 +...+ 4,5×0,2 = 3 1+ 2 + 3 + 3 + 6 e corrisponde quindi alla media E(Z) = = 3 della variabile Z nella popolazione. 5 Pertanto lo stimatore risulta essere corretto.

Esercizio 3.16 Data una variabile Z che nella popolazione si distribuisce in modo normale con media pari a 100 e varianza pari a 25, calcolare la probabilità che la media di un campione casuale di 16 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore compreso fra 98 e 102. Soluzione Dato che X ∼ N(100, 5/4) la probabilità richiesta risulta  102 − 100   98 − 100  P 98 < X ≤ 102 = Φ  − Φ  = 2Φ (1,6 ) − 1 = 0,89  5/4   5/4 

(

)

Esercizio 3.17 Data una variabile Z che nella popolazione si distribuisce come una normale di parametri µ=4 e σ=3, calcolare la probabilità che la media di un campione casuale di 16 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) inferiore o uguale a 2, b) maggiore di 5, c) compreso fra 2 e 5. Soluzione Dato che X ∼ N(4, 3/4) le probabilità richieste risultano  2− 4  a) P X ≤ 2 = Φ  = Φ (− 2,67 ) = 0,004  0,75 

(

)

(

)

 5−4  b) P X > 5 = 1− Φ  = 1− Φ (1,33 ) = 0,092  0,75 

(

)

5−4 2−4 c) P 2 < X ≤ 5 = Φ  − Φ  = 0,908 − 0,004 = 0,904  0,75   0,75 

Esercizio 3.18 Data una popolazione in cui il 20% degli individui possiede una certa caratteristica A, calcolare la probabilità che un campione casuale di 10 individui estratto con ripetizione contenga: a) nessun elemento con la caratteristica A, b) almeno un elemento con la caratteristica A. Soluzione Indicata con Y la variabile casuale “numero di elementi campionari con la caratteristica A” risulta: 10  a) P(Y = 0 ) =  0,2 0 ×0,810 ≅ 0,1074 0 10  b) P(Y ≥ 1) = 1−P(Y = 0 ) =  0,2 0 ×0,810 ≅ 0,8926 0

Esercizio 3.19 Data una variabile Z che in una popolazione di 100 individui assume il valore 0 con frequenza pari a 20 e il valore 1 con frequenza 80, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Utilizzando il modello ipergeometrico si ottiene immediatamente la distribuzione di ˆ che corrisponde esattamente alla distribuzione di probabilità della quota campionaria Q probabilità della media campionaria X . Posto N1=80, N2=20 e n=3, si ha  80  20     ˆ  3 − 3qˆ  3 q 1 2  ˆ = qˆ = PQ qˆ = 0, , ,1 3 3 100     3 

(

)

per cui risulta X 0 1/3 2/3 1 totale

p(x) 0,0071 0,0940 0,3908 0,5081 1,0000

Esercizio 3.20 Data una popolazione normale di varianza unitaria, calcolare la probabilità che la varianza campionaria corretta di un campione bernoulliano di 21 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore inferiore o uguale a 2.

Soluzione La soluzione si ottiene tenendo presente che sotto ipotesi di normalità, la variabile (n −1)Sˆ 2 σ2 si distribuisce come una chi-quadrato con n-1 gradi di libertà. Pertanto ˆ2   ˆ 2 ≤ 2 = P  (n −1)S ≤ (n −1)× 2  = P χ 2 ≤ (n −1)×2  PS n−1 2 2 σ σ2   σ   per cui risulta 20× 2   P χ 220 ≤ = 40  1   e dalle tavole risulta che la probabilità cercata è pari a 0,995.

(

)

Esercizio 3.21 Data una popolazione normale di varianza pari a 100, calcolare la probabilità che la varianza campionaria corretta di un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore maggiore di 30. Soluzione Analogamente all’esercizio precedente, si ha ˆ2   ˆ 2 > 30 = P  (n −1)S > (n −1)×30  = P χ 2 > (n −1)×30  PS n−1 2 2 σ σ2   σ   per cui risulta 9×30   P χ 92 > = 2,7  100   e dalle tavole risulta che la probabilità cercata è pari a 0,975.

(

)

Esercizio 3.22 Data una popolazione normale di media pari a 10 e varianza 25, calcolare la probabilità che la media campionaria di un campione casuale di 100 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) inferiore o uguale a 9, b) maggiore di 12, c) compreso fra 9 e 12. Soluzione Dato che X ∼ N(10; 0,5) le probabilità richieste risultano

(

)

 9 −10  a) P X ≤ 9 = Φ  = Φ (− 2) = 1− Φ(2) = 0,023  0,5 

(

)

 12 − 10  b) P X > 12 = 1 − Φ  = 1 − Φ (4 ) ≅ 0,0000...  0,5 

(

)

c) P 9 < X ≤ 12 ≅ 0,977

Esercizio 3.23 Data una variabile la cui distribuzione nella collettività può essere approssimata da una normale di media pari a 50 e varianza 25, calcolare la probabilità che la media campionaria di un campione casuale di 10 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) uguale a 48, b) minore di 48, c) maggiore di 48. Soluzione Dato che X ∼ N(50; 5

10 )

le probabilità richieste risultano a) P X = 48 = 0 dato che si tratta di una variabile casuale continua

(

)

 48 − 50   = Φ(−1,26 ) = 0,104 b) P X < 48 = Φ  5 10  

(

)

 48 − 50   = 1 − Φ (1,26 ) = 0,896 c) P X > 48 = 1 − Φ  5 10  

(

)

Esercizio 3.24 Data una variabile Z che nella collettività si distribuisce approssimativamente in modo normale con media pari a 40 e scarto quadratico medio 4, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione casuale di 25 elementi estratto da questa popolazione. Calcolare il valore dei tre quartili di questa variabile casuale. Soluzione Dalla distribuzione della variabile Z risulta che X ∼ N(40; 0,8) Pertanto i tre quartili risultano: x 0,25 = 40 + 0,8 × ( −0,674) = 39,4608 x 0,5 = 40 x 0,25 = 40 + 0,8 × 0,674 = 40,5392

Esercizio 3.25 Determinare la probabilità che in un campione bernoulliano di 1.000 elementi la quota di elementi con una certa caratteristica A sia compresa fra 0,19 e 0,22 sapendo che la quota di elementi con tale caratteristica nella popolazione è pari a 0,2. Soluzione ˆ la variabile casuale Sia p la quota di individui con la caratteristica A nella popolazione e P “quota di individui con la caratteristica A presenti nel campione”. Dato che per campioni di numerosità elevata la distribuzione di tale variabile casuale può essere approssimata dal modello normale 47

  ˆ ∼ N p, p×(1− p)  P   n   la probabilità richiesta risulta

      0,22 − 0,2   0,19 − 0,2  ˆ −Φ P 0,19 < P ≤ 0,22 = Φ  0,2×0,8   0,2×0,8     1.000   1.000

(

)

   = Φ(1,58 )− Φ (− 0,79 ) = Φ (1,58 )+ Φ (0,79 )−1= 0,728   

Esercizio 3.26 Data una popolazione in cui il 40% degli individui possiede una certa caratteristica A, mentre il restante 60% non la possiede, determinare la probabilità che in un campione bernoulliano di 2.000 elementi la quota di elementi con una certa caratteristica A sia compresa fra il 37% ed il 43%. Soluzione ˆ la variabile Sia p=0,4 la quota di individui con la caratteristica A nella popolazione e P casuale “quota di individui con la caratteristica A presenti nel campione”. Dalla distribuzione asintotica di tale variabile casuale   ˆ ∼ N p, p×(1− p)  P   n   la probabilità richiesta risulta         0,43 − 0,4  0,37 − 0,4    ˆ P 0,37 < P ≤ 0,43 = Φ − Φ = 2Φ(2,74 ) − 1 = 0,994 0,4 × 0,6  0,4 × 0,6       2.000   2.000 

(

)

4. INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST DI SIGNIFICATIVITA’ (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 11 delle dispense)

Esercizio 4.1 Da una popolazione in cui una variabile Z si distribuisce in modo normale con media µ ignota e con varianza σ2 = 9 è stato tratto un campione di 8 elementi la cui media è risultata uguale a 6. Determinare l’intervallo di confidenza di µ al livello di probabilità 1−α=0,95.

Soluzione Sotto l’potesi che la distribuzione di Z è normale e che la varianza della popolazione è nota, la variabile X-µ σ n si distribuisce come una normale standardizzata, per cui l’intervallo di confidenza della media della popolazione è delimitato dagli estremi 3,9211 3 σ x m u 0,975 = 6 m 1,96 × ≅ n 8 8,0789

Esercizio 4.2 Da una popolazione normale è stato estratto un campione casuale di 16 elementi di media pari a 10 mentre la varianza corretta è pari a 9. Determinare l’intervallo di confidenza di µ al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Sotto l’potesi che la distribuzione di Z è normale con varianza ignota, la variabile X-µ sˆ n si distribuisce come una t di Student con n-1 gradi di libertà. Data la scarsa numerosità campionaria, l’intervallo di confidenza della media della popolazione è delimitato dagli estremi sˆ 3 8,40175 x m t 15 (0,975 ) = 10 m 2,131× =  4 11,59825 n

Esercizio 4.3 Dato un campione casuale di 16 elementi estratto da una popolazione normale su cui la media campionaria è pari a 6 e la varianza campionaria a 3,75, costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,99. Soluzione La varianza campionaria corretta risulta

n 2 16 s = × 3,75 = 4 n −1 15 per cui l’intervallo di confidenza di µ al livello di probabilità 0,99 è delimitato dagli estremi sˆ 2 4,5265 x m t 15 (0,995 ) = 6 m 2,947 × =  4 7,4735 n sˆ 2 =

Esercizio 4.4 Date le seguenti osservazioni campionarie tratte da una popolazione normale -2 -3 0 1 2 2 3 5 costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Si ottiene x = 1,0 sˆ 2x ≅ 6,8571 L’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 0,95 è (-1,1896; 3,1896) dato che sˆ 6,8571 − 1,1896 x m t 7 (0,975 ) = 1 m 2,365 × = 8 n + 3,1896

Esercizio 4.5 Dato un campione casuale di 500 elementi su cui la media campionaria è risultata pari a 19,80 e la varianza corretta a 160, costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria, la variabile X-µ sˆ n si distribuisce come una normale standardizzata. L’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 0,95 è quindi delimitato dagli estremi sˆ 160 18,6913 x m u 0,975 = 19,80 m 1,96 × ≅ 500 20,9087 n

Esercizio 4.6 Dati i seguenti risultati campionari, Freq. Classi ass. -2 -| 2 20 2 -| 4 20 4 -| 6 10 Totale 50 50

costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,90. Soluzione Sulla base dei valori campionari rilevati risulta 50 x = 2,2 sˆ 2x = 3,76 × ≅ 3,8367 49 L’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 0,90 è quindi delimitato dagli estremi sˆ 3,8367 1,7443 x m u 0,95 = 2,2 m 1,645 × ≅ 50 n 2,6557

Esercizio 4.7 Da una popolazione normale è stato estratto un campione casuale di 20 elementi di media pari a 100 e varianza corretta 4. Determinare l’intervallo di confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Sotto ipotesi di normalità, la variabile 2

 Sˆ  2 (n − 1)  ∼ χ n− 1 σ per cui l’intervallo di confidenza di σ2 è delimitato dagli estremi (n - 1) sˆ 2 = 19 × 4 ≅ 2,3135 χ n2−1 (1 − α/2) 32,85

(n - 1) sˆ 2 = 19 × 4 ≅ 8,5326 χ n2−1 (α/2) 8,907

Esercizio 4.8 Dato un campione casuale di 18 elementi estratto da una popolazione normale in cui la varianza corretta è risultata pari a 25, costruire l’intervallo di confidenza di σ2 al livello di probabilità 1−α=0,90.

Soluzione L’intervallo di confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 0,90 è (15,40; 49,01) dato che (n - 1) sˆ 2 ≅ 17 × 25 ≅ 15,40 2 χ17 (0,95) 27,59

(n - 1) sˆ 2 ≅ 17 × 25 ≅ 49,01 2 (0,05) 8,672 χ17

Esercizio 4.9 Dato un campione casuale di 45 elementi estratto da una popolazione normale in cui la varianza è risultata pari a 9,7 , costruire l’intervallo di confidenza di σ2 al livello di probabilità 1−α=0,99. Soluzione 45 = 10 per cui l’’intervallo di 44 confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 0,99 è (6,12; 18,66) dato che (n - 1) sˆ 2 ≅ 44 × 10 ≅ 6,12 71,89 χ 244 (0,995 )

La varianza campionaria corretta è pari a sˆ 2 = 9, 7 ×

(n - 1) sˆ 2 ≅ 44 × 10 ≅ 18,66 χ 244 (0,005 ) 23,58

Esercizio 4.10 Dato un campione casuale di 5000 elementi estratto da una popolazione normale in cui la varianza corretta è risultata pari a 160, costruire l’intervallo di confidenza di σ2 al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria si utilizza la distribuzione asintotica Sˆ 2 − σ 2 ∼ N(0, 1) σ 2 2/(n − 1) per cui l’’intervallo di confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 0,95 è delimitato dagli estremi sˆ 2 . 2 1 m u1-α/2 n −1 Risulta quindi sˆ 2 160 = ≅ 153,9640 2 2 1 + u 0,975 1 + 1,96 n −1 4999 2 sˆ 160 = ≅ 166,5286 2 2 1 − u 0,975 1 − 1,96 n −1 4999

Esercizio 4.11 In un campione casuale di 5000 elementi la quota di individui con una certa caratteristica A è risultata pari a 0,24. Determinare l’intervallo di confidenza della quota di individui con tale caratteristica nella popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95. 52

Soluzione Per campioni di numerosità elevata lo stimatore Pˆ del parametro p di una popolazione Zero-uno si distribuisce come una variabile normale con media p e varianza pari a p(1−p)/n. Pertanto l’intervallo di confidenza della quota è delimitato dagli estremi

pˆ m u 0,975

pˆ(1 − pˆ ) 0,24 × 0,76 0,2282 = 0,24 m 1,96 ≅ n 5000 0,2518

Esercizio 4.12 Determinare l’intervallo di confidenza della quota di individui con una certa caratteristica A nella popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95 sapendo che su un campione casuale di 1000 individui estratto da questa popolazione il numero di individui con la caratteristica A è risultato pari a 600. Soluzione L’intervallo di confidenza della quota è delimitato dagli estremi pˆ(1 − pˆ ) 0,6 × 0,4 0,5696 pˆ m u1-α/2 = 0,6 m 1,96 ≅ n 1000 0,6304

Esercizio 4.13 Determinare l’intervallo di confidenza della quota di individui favorevoli all’abrogazione di una legge al livello di probabilità 1−α=0,99 sapendo che su un campione casuale di 2000 individui estratto da questa popolazione il numero di individui favorevoli all’abrogazione è risultato pari a 750. Soluzione L’intervallo di confidenza richiesto è delimitato dagli estremi pˆ(1 − pˆ ) 0,375 × 0,625 0,3471 pˆ m u1-α/2 = 0,375 m 2,576 ≅ n 2000 0,4029

Esercizio 4.14 Su un campione di 9 elementi estratto da una popolazione normale di varianza nota σ2=4 è stata ottenuta una media campionaria pari a 148. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 150 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Per la verifica dell’ipotesi nulla bisogna utilizzare la distribuzione della media campionaria considerata sotto la condizione che H0 : µ = µ0 = 150 sia vera. La statistica X - µ0 σ

si distribuisce come una normale standardizzata, per cui il valore della statistica x − µ0 148 − 150 ≅ =3 23 σ n va confrontato con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standard. Dato che il risultato ottenuto è maggiore di u0,975=1,96 l’ipotesi nulla deve essere rifiutata al livello di significatività α=0,05.

Esercizio 4.15 Date le seguenti osservazioni campionarie tratte da una popolazione normale 0,8 1,0 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 2,0 verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 1,5 al livello di significatività α=0,10. Soluzione E(X) = x = 1,25

E( X 2 ) = 1,6725

8 × 0,11 ≅ 0,1257 7 Sotto l’potesi che la distribuzione di Z è normale con varianza ignota, la variabile s 2x = 0,11

sˆ 2x =

X-µ sˆ n si distribuisce come una t di Student con n-1 gradi di libertà. La statistica x − µ0 1,25 − 1,50 ≅ ≅ 1,9944 sˆ n 0,1257 8 risulta maggiore del quantile t7(0,95)=1,895 per cui l’ipotesi nulla H0:µ=1,5 va rifiutata al livello di significatività α=0,10.

Esercizio 4.16 Dato il seguente campione casuale estratto da una popolazione normale 2 2 3 3 3 5 6 7 verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 3 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Risulta E(X) = 3,875 E(X2) = 18,125 La statistica x − µ 0 3,875 − 3 ≅ ≅ 1,313 sˆ n 3,5536

V(X) = 3,109375

Sˆ 2 ≅ 3,5536

8 risulta minore del quantile t7(0,975)=2,365 per cui non si ha motivo di respingere l’ipotesi H0:µ=3 al livello di significatività α=0,10.

Esercizio 4.17 Dato un campione casuale di 100 elementi su cui la media è risultata pari a 820 e la varianza corretta a 1000, verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 800 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria, per la statistica X-µ sˆ n si può utilizzare la distribuzione asintotica. Per verificare l’ipotesi nulla H0: µ = 800 il risultato della statistica x − µ 0 820 − 800 ≅ ≅ 6,325 sˆ n 1000 100 va quindi confrontato con il quantile della normale standardizzata u0,975=1,96. Dato che 6,325>1,96 l’ipotesi nulla va rifiutata al livello di significatività α=0,05.

Esercizio 4.18 Su un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da una popolazione normale la varianza campionaria corretta è risultata pari a 120. Verificare l’ipotesi che la varianza della popolazione sia pari a 100 al livello di significatività α=0,05. Soluzione La variabile 2

 Sˆ  2 (n − 1)  ∼ χ n− 1 σ   Pertanto, data l’ipotesi H0:σ2=100, il risultato della statistica (n − 1)sˆ 2x = 9 × 120 = 10,8 100 σ 02 va confrontato con i due quantili di ordine α/2 e 1−α/2 della chi-quadrato con n-1 gradi di libertà. Dato che 10,8 risulta compreso fra i due quantili χ 92 (0,025 ) = 2,70 χ 92 (0,975 ) = 19,02 non c’è motivo di rifiutare l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,05.

Esercizio 4.19 Su un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da una popolazione normale sono state rilevate le seguenti intensità della variabile oggetto di studio 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 Verificare l’ipotesi che la varianza della popolazione sia pari a 3 al livello di significatività α=0,01. Soluzione Si ottiene E(X) = x = 3

E( X 2 ) = 10,6

10 × 1,6 = 1, 7 9 I due quantili della chi-quadrato con 9 gradi di libertà sono χ 92 (0,005 ) = 1,735 s 2x = 1,6

sˆ 2x =

χ 92 (0,995 ) = 23,59 e, dato che la statistica (n − 1)sˆ 2x = 9 × 1, 7 = 5, 3 3 σ 02 risulta compresa fra questi due quantili non c’è motivo di rifiutare l’ipotesi nulla H0:σ2=3 al livello di significatività α=0,01.

Esercizio 4.20 Verificare l’ipotesi H0: σ2 = 5 al livello di significatività α=0,01 per una variabile normale Z sapendo che su un campione bernoulliano di 5 elementi estratto da questa popolazione sono state rilevate le seguenti intensità 1,2 2,3 2,5 3,1 4,9 Soluzione E(X) = x = 2,8

s 2x = 1,48

sˆ 2x =

5 × 1,48 = 1,85 4

La statistica (n − 1)sˆ 2x = 4 × 1,85 = 1,48 5 σ 02 risulta compresa fra i due quantili χ 24 (0,005 ) = 0,207 χ 24 (0,995 ) = 14,86 per cui non c’è motivo di rifiutare l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,01.

Esercizio 4.21 Verificare l’ipotesi H0: σ2 = 1.000 al livello di significatività α=0,10 per una variabile normale Z sapendo che su un campione bernoulliano di 500 elementi estratto da questa popolazione si è ottenuta una varianza campionaria corretta pari a 1.600. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria si utilizza la distribuzione asintotica Sˆ 2 − σ 2 ∼ N(0, 1) σ 2 2/(n − 1) La statistica, considerata sotto ipotesi nulla, Sˆ 2 − σ 2 0

σ 02

2/(n − 1)

va quindi confrontata con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standardizzata. Dato che 1.600 − 1.000 ≅ 9,4773 > u 0,95 = 1,645 1.000 × 2/499 si rifiuta l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,01. Esercizio 4.22 Date le seguenti informazioni ottenute su un campione di 200 elementi estratto da una popolazione normale Freq. Classi ass. 80 -| 120 30 120 -| 180 100 180 -| 220 70 Totale 200 verificare l’ipotesi H0: σ2 = 1200 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Dai dati della tabella si ottiene E(X) = x = 160

s 2x = 1.150

sˆ 2x =

200 × 1.150 ≅ 1.155,7789 199

La statistica Sˆ 2 − σ 2 0

σ 02

2/(n − 1)

va confrontata con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standardizzata. Dato che 1.155,7789 − 1.200 ≅ 0,3676 < u 0,975 = 1,96 1.200 × 2/199 57

non si ha motivo rifiutare l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,01.

Esercizio 4.23 Sapendo che su un campione bernoulliano di numerosità pari a 1000 sono 840 gli elementi che presentano una certa caratteristica A, verificare l’ipotesi che nella popolazione la quota di elementi con tale caratteristica sia pari a 0,7 al livello di significatività α=0,10. Soluzione Per verificare l’ipotesi H0: p=0,7 si utilizza la statistica pˆ − p 0

0,84 − 0,7

≅ 9,66 p 0 (1 − p 0 ) 0,7 × 0,3 1000 n che va confrontata con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standard. Dato che 9,66 risulta maggiore di u0,95=1,645 l’ipotesi nulla deve essere rifiutata al livello di significatività α=0,10.

Esercizio 4.24 Da un’urna sono state estratte 4.000 palline con ripetizione. Verificare al livello di significatività α=0,05 l’ipotesi che la quota di palline bianche presenti nell’urna sia pari al 50% sapendo che nel campione estratto 1.900 palline sono risultate di colore bianco. Soluzione Per verificare l’ipotesi H0: p=0,5 si utilizza la statistica pˆ − p 0

0,475 − 0,5

≅ 3,16 p 0 (1 − p 0 ) 0,5 × 0,5 4000 n che risulta maggiore di u0,975=1,96 per cui l’ipotesi deve essere rifiutata al livello di significatività α=0,10.

Tavola A Funzione di ripartizione della variabile casuale normale standardizzata u

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,500

0,504

0,508

0,512

0,516

0,520

0,524

0,528

0,532

0,536

0,1

0,540

0,544

0,548

0,552

0,556

0,560

0,564

0,567

0,571

0,575

0,2

0,579

0,583

0,587

0,591

0,595

0,599

0,603

0,606

0,610

0,614

0,3

0,618

0,622

0,626

0,629

0,633

0,637

0,641

0,644

0,648

0,652

0,4

0,655

0,659

0,663

0,666

0,670

0,674

0,677

0,681

0,684

0,688

0,5

0,691

0,695

0,698

0,702

0,705

0,709

0,712

0,716

0,719

0,722

0,6

0,726

0,729

0,732

0,736

0,739

0,742

0,745

0,749

0,752

0,755

0,7

0,758

0,761

0,764

0,767

0,770

0,773

0,776

0,779

0,782

0,785

0,8

0,788

0,791

0,794

0,797

0,800

0,802

0,805

0,808

0,811

0,813

0,9

0,816

0,819

0,821

0,824

0,826

0,829

0,831

0,834

0,836

0,839

1,0

0,841

0,844

0,846

0,848

0,851

0,853

0,855

0,858

0,860

0,862

1,1

0,864

0,867

0,869

0,871

0,873

0,875

0,877

0,879

0,881

0,883

1,2

0,885

0,887

0,889

0,891

0,893

0,894

0,896

0,898

0,900

0,901

1,3

0,903

0,905

0,907

0,908

0,910

0,911

0,913

0,915

0,916

0,918

1,4

0,919

0,921

0,922

0,924

0,925

0,926

0,928

0,929

0,931

0,932

1,5

0,933

0,934

0,936

0,937

0,938

0,939

0,941

0,942

0,943

0,944

1,6

0,945

0,946

0,947

0,948

0,949

0,951

0,952

0,953

0,954

1,7

0,955

0,956

0,957

0,958

0,959

0,960

0,961

0,962

0,963

1,8

0,964

0,965

0,966

0,967

0,968

0,969

0,970

0,971

1,9

0,971

0,972

0,973

0,974

0,975

0,976

0,977

2,0

0,977

0,978

0,979

0,980

0,981

0,982

2,1

0,982

0,983

0,984

0,985

0,986

2,2

0,986

0,987

0,988

0,989

2,3

0,989

0,990

0,991

0,992

2,4

0,992

0,993

0,994

2,5

0,994

0,995

2,6

0,995

0,996

2,7

0,997

2,8

0,997

0,998

2,9

0,998

0,999

3,0

0,999

Tavola B Quantili della variabile casuale normale standardizzata p

0,001

-3,090

0,005

-2,576

0,010

-2,326

0,025

-1,960

0,050

-1,645

0,100

-1,282

0,150

-1,036

0,200

-0,842

0,250

-0,674

0,300

-0,524

0,350

-0,385

0,400

-0,253

0,450

-0,126

0,500

0,000

0,550

0,126

0,600

0,253

0,650

0,385

0,700

0,524

0,750

0,674

0,800

0,842

0,850

1,036

0,900

1,282

0,950

1,645

0,975

1,960

0,990

2,326

0,995

2,576

0,999

3,090

Tavola C Quantili della variabile casuale chi-quadrato con g gradi di libertĂ p

0,005

0,010

0,025

0,050

0,950

0,975

0,990

0,995

0,000

0,001

0,004

3,841

5,024

6,635

7,879

0,010

0,020

0,051

0,103

5,991

7,378

9,210

10,60

0,072

0,115

0,216

0,352

7,815

9,348

11,34

12,84

0,207

0,297

0,484

0,711

9,488

11,14

13,28

14,86

0,412

0,554

0,831

1,145

11,07

12,83

15,09

16,75

0,676

0,872

1,237

1,635

12,59

14,45

16,81

18,55

0,989

1,239

1,690

2,167

14,07

16,01

18,48

20,28

1,344

1,646

2,180

2,733

15,51

17,53

20,09

21,95

1,735

2,088

2,700

3,325

16,92

19,02

21,67

23,59

2,156

2,558

3,247

3,940

18,31

20,48

23,21

25,19

2,603

3,053

3,816

4,575

19,68

21,92

24,72

26,76

3,074

3,571

4,404

5,226

21,03

23,34

26,22

28,30

3,565

4,107

5,009

5,892

22,36

24,74

27,69

29,82

4,075

4,660

5,629

6,571

23,68

26,12

29,14

31,32

4,601

5,229

6,262

7,261

25,00

27,49

30,58

32,80

5,142

5,812

6,908

7,962

26,30

28,85

32,00

34,27

5,697

6,408

7,564

8,672

27,59

30,19

33,41

35,72

6,265

7,015

8,231

9,390

28,87

31,53

34,81

37,16

6,844

7,633

8,907

10,12

30,14

32,85

36,19

38,58

7,434

8,260

9,591

10,85

31,41

34,17

37,57

40,00

8,034

8,897

10,28

11,59

32,67

35,48

38,93

41,40

8,643

9,542

10,98

12,34

33,92

36,78

40,29

42,80

9,260

10,20

11,69

13,09

35,17

38,08

41,64

44,18

9,886

10,86

12,40

13,85

36,42

39,36

42,98

45,56

10,52

11,52

13,12

14,61

37,65

40,65

44,31

46,93

11,16

12,20

13,84

15,38

38,89

41,92

45,64

48,29

11,81

12,88

14,57

16,15

40,11

43,19

46,96

49,64

12,46

13,56

15,31

16,93

41,34

44,46

48,28

50,99

13,12

14,26

16,05

17,71

42,56

45,72

49,59

52,34

13,79

14,95

16,79

18,49

43,77

46,98

50,89

53,67

Tavola C Quantili della variabile casuale chi-quadrato con g gradi di libertĂ (segue) p

0,005

0,010

0,025

0,050

0,950

0,975

0,990

0,995

14,46

15,66

17,54

19,28

44,99

48,23

52,19

55,00

15,13

16,36

18,29

20,07

46,19

49,48

53,49

56,33

15,82

17,07

19,05

20,87

47,40

50,73

54,78

57,65

16,50

17,79

19,81

21,66

48,60

51,97

56,06

58,96

17,19

18,51

20,57

22,47

49,80

53,20

57,34

60,27

17,89

19,23

21,34

23,27

51,00

54,44

58,62

61,58

18,59

19,96

22,11

24,07

52,19

55,67

59,89

62,88

19,29

20,69

22,88

24,88

53,38

56,90

61,16

64,18

20,00

21,43

23,65

25,70

54,57

58,12

62,43

65,48

20,71

22,16

24,43

26,51

55,76

59,34

63,69

66,77

21,42

22,91

25,21

27,33

56,94

60,56

64,95

68,05

22,14

23,65

26,00

28,14

58,12

61,78

66,21

69,34

22,86

24,40

26,79

28,96

59,30

62,99

67,46

70,62

23,58

25,15

27,57

29,79

60,48

64,20

68,71

71,89

24,31

25,90

28,37

30,61

61,66

65,41

69,96

73,17

25,04

26,66

29,16

31,44

62,83

66,62

71,20

74,44

25,77

27,42

29,96

32,27

64,00

67,82

72,44

75,70

26,51

28,18

30,75

33,10

65,17

69,02

73,68

76,97

27,25

28,94

31,55

33,93

66,34

70,22

74,92

78,23

27,99

29,71

32,36

34,76

67,50

71,42

76,15

79,49

Tavola D Quantili della variabile casuale t di Student con g gradi di libertĂ p 0,900

0,950

0,975

0,990

0,995

1 3,078

6,314

12,71

31,82

63,66

2 1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

3 1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

4 1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

5 1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

6 1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

7 1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

8 1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

9 1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

10 1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

11 1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

12 1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

13 1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

14 1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

15 1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

16 1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

17 1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

18 1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

19 1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

20 1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

21 1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

22 1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

23 1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

24 1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

25 1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

26 1,315

1,706

2,056

2,479

2,779

27 1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

28 1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

29 1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

30 1,310

1,697

2,042

2,457

2,750