Lógica de predicados Contextualizando No capítulo anterior você estudou a lógica das proposições. Por meio dela desenvolvem-se operações que determinam se um argumento é válido ou inválido. A lógica das proposições ou cálculo proposicional atesta a validade ou invalidade de um argumento a partir da forma como o argumento se apresenta. Por meio da lógica das proposições não há meios de simbolizar os substantivos (comuns ou próprios), adjetivos, pronomes, verbos ou advérbios. Existem argumentos cuja validade não pode ser verificada a partir da forma como se apresentam, pois dependem da estrutura interna dos seus enunciados. Para esses casos, o cálculo de proposições é insuficiente. É necessário que utilizemos a lógica de predicados, objeto de estudo deste nosso capítulo. Entre outros usos, a lógica de predicados tem várias aplicações importantes não só para matemáticos e filósofos como também para estudantes de Ciência da Computação. A linguagem da computação se utiliza da lógica de predicados. Ao final deste capítulo esperamos que você consiga: estabelecer as diferenças entre lógica de predicados e lógica proposicional; conhecer uma linguagem formal que possa expressar qualquer conjunto de fatos sistemáticos; explicar como se formaliza a lógica de predicados.
Conhecendo a teoria A lógica de predicados Como temos estudado até aqui, a lógica surge basicamente como uma análise de argumentos. Com o filósofo Aristóteles, tínhamos de certa forma um cálculo ou
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análise, baseado no silogismo em que dadas as proposições, de acordo com as suas possíveis combinações, a conclusão poderia ser verdadeira ou falsa, e isso serviria para apontar a validade de um raciocínio. A partir do final do século XIX com os estudos de filósofos e matemáticos como o britânico George Boole (1815-1864) e o alemão Gottlob Frege (1848-1925), as construções argumentativas ganharam símbolos que possibilitaram tornar a atividade de análise mais eficaz. Surgiu, assim, a lógica simbólica com seus respectivos conectivos lógicos, os quais estudamos nos capítulos cinco e seis. Frege foi, sem dúvida, quem proporcionou o avanço mais considerável no que diz respeito à análise dos discursos, proposições e orações. Até ele, tínhamos uma lógica proposicional que explicava, com o auxílio dos conectivos, a estrutura das orações e argumentos. A explicação ficava a desejar no que dizia respeito a palavras como todos, nenhum, alguns, entre outras. Também não era possível esclarecer ou destrinchar o significado de cada termo da oração, a não ser de maneira superficial. Frege introduziu os quantificadores, símbolos correspondentes a palavras como todo, algum, nenhum, entre outras. Ao mesmo tempo transformou muitas sentenças simples e sem substantivo definido em predicados, utilizando variáveis (que ele diferenciara das constantes) para significar os objetos. Além dos conectivos de uma lógica formal proposicional, temos fórmulas bem formadas compostas de objetos, predicados, variáveis e quantificadores, que compõem o que chamamos de sintaxe da lógica de predicados. Biografia Friedrich Ludwig Gottlob Frege nasceu em 8 de novembro de 1848 em Wismar, Merklenberg Schwerin (atualmente Alemanha). Estudou na Universidade de Jena (1869-1871) e na Universidade de Gottingen (1871-1873).Dedicou-se à Matemática, à Física e à Química. Frege queria mostrar que a aritmética era idêntica à lógica e pode-se dizer que recriou a disciplina da lógica ao construir o primeiro cálculo de predicados. Um cálculo de predicados é um sistema formal constituído por duas componentes: a linguagem formal e a lógica.
Lógica de predicados
(Disponível em: <www.liveinternet.ru/>.)
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Podemos dizer que a lógica de predicados (ou lógica de primeira ordem) “[...] aumenta o poder expressivo da linguagem ao permitir associar as asserções lógica às propriedades de objectos de um determinado domínio” (ALMEIDA, 2011). Ou seja, a lógica de predicados é uma extensão da lógica de proposições. Vamos explicar com mais detalhes para que você possa entender. Na Lógica Proposicional (LP)
um átomo (P, Q, R, ...) representa uma sentença declarativa que pode ser V ou F, mas não ambas. Seus atributos e componentes são desprezados. Por exemplo, se solicitarmos a você para representar na lógica proposicional: Pedro estuda. Teremos – P O estudante foi aprovado no vestibular. – Q Nos dois exemplos você pode observar que, para essa representação, os predicados ou características não são considerados. No entanto, existem vários tipos de argumentos que, apesar de válidos, não podem ser justificados com os recursos do Cálculo Proposicional. Por exemplo, considere o exemplo a seguir: Todo homem é mortal. Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mortal. Se utilizássemos a lógica proposicional teríamos: p: Todo homem é mortal. q: Sócrates é um homem. r: Sócrates é mortal. Para formalizar esse argumento por meio da lógica proposicional você teria algo do tipo: p q r
Observe que, nessa representação, não há como estabelecer uma consequência lógica entre as premissas (p, q) e a conclusão (r). Por que isso ocorre?
Para iniciarmos uma análise da lógica de predicados, é preciso lembrar que a lógica é concebida como uma linguagem, portanto, composta de uma sintaxe e de
Lógica de predicados
Para provar que esse argumento é válido, é necessário identificar indivíduos tais como Sócrates e seus predicados; é preciso considerar a palavra todo. A lógica proposicional não tem a capacidade de representar relações entre os objetos, só determina V ou F de sentenças. É aqui que entra a lógica de predicados.
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uma semântica. A sintaxe diz respeito a tudo o que pode ser tratado como uma combinatória de símbolos, sem considerar quaisquer conteúdos que esses símbolos possam ter, isto é, sem considerar o que os símbolos simbolizam. A semântica de uma linguagem lógica é baseada na noção de interpretação (ou de estrutura). Vamos entender a sintaxe e a semântica da lógica de predicados.
Sintaxe da lógica de predicados Além dos conectivos lógicos (¬, ^, v e →), que você já aprendeu nos capítulos 5 e seis, as fórmulas bem formadas da lógica de predicados são compostas por: objeto, predicados, variáveis e quantificadores.
Saiba que Uma Fórmula Bem Formada (FBF) é uma sentença que obedece às regras de formação de sentenças da Lógica de Predicados. Veja cada um dos elementos que compõem uma fórmula bem formada. Objeto – na lógica de predicados o objeto é qualquer coisa a respeito do qual dizemos algo. De quem se afirma – do objeto. Eles podem ser: a) concretos – ex.: mesa, livro. b) abstratos – ex.: paz, amor. c) fictícios – ex.: curupira, unicórnio.
Lógica de predicados
Por convenção, os nomes dos objetos são escritos em letras minúsculas e para objetos diferentes correspondem letras diferentes. Veja os exemplos:
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O livro
p
Maria
q
Predicados – denotam uma relação entre objetos em um determinado contexto ou uma característica. O que se afirma – relação ou predicado.
Veja o exemplo: b
a
c
São predicados nesse contexto de estrelas: cor (b, azul-escuro) – a estrela b tem cor azul mais escuro. maior (c, b) – a estrela c é maior que a estrela b.
Saiba que O nome dos predicados se inicia com letras maiúsculas. Assim, os predicados serão representados por letras maiúsculas A, B, C, ..., P, ..., e os objetos serão representados por letra minúsculas a, b, c, d, ..., p, q, .... Para indicar que um sujeito sofre a ação de um predicado, utiliza-se uma notação específica. Por exemplo, se tivermos a frase: A Terra é redonda. A Terra é o objeto – de quem se afirma algo. (t) Redonda é o predicado – o que se afirma de algo. (R) Assim teremos R(t) para a sentença – A Terra é redonda. Variáveis – na lógica, “[...] a variável é um símbolo cujo significado não é determinado” (MORA, 2011). Os nomes das variáveis são escritos com letras minúsculas. Veja exemplos de variáveis: Livro (x) = x é um livro.
Nas proposições anteriores não é possível estabelecer um valor de verdade, uma vez ser impossível afirmar se livro (x) é verdadeiro ou falso até que a variável x seja substituída ou quantificada. Quantificadores – são expressões usadas nas sentenças para especificar a que elementos do universo do domínio o predicado se aplica.
Lógica de predicados
Computador (y) = y é um computador.
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São dois os quantificadores:
Quantificador Existencial -
(Todo) E
A
Quantificador Universal -
(Algum)
Utilizando cada um dos elementos vistos anteriormente, a frase: Todos os homens são mortais, torna-se: Para todo x se x é humano, então x é mortal. Simbolicamente teremos: H (homem) e M (mortal)
x (H (x)
Predicados
M (x))
A Quantificador
x - VariáveL
Veja mais um exemplo: Alguns homens são vegetarianos. Teremos: Existe algum (ao menos um) x tal que x é humano e é vegetariano. Simbolicamente teremos: x (H(x)
V(x))
E
Saiba que O que realmente torna a lógica de predicados mais expressiva que a lógica proposicional é a noção de variáveis e quantificadores. Por meio do uso de variáveis estabelecemos fatos a respeito de objetos de determinado contexto de um discurso. Usando o quantificador universal estabelecemos fatos a respeito de todos os objetos de um contexto.
Lógica de predicados
Veja que, de uma maneira geral, o vocabulário da lógica de predicados é formado
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por: Símbolos lógicos – cuja interpretação é fixa em qualquer contexto. São eles: os operadores lógicos que são os conectivos utilizados na lógica proposicional -(^, v, ~, →, ↔);
(universal),
E
A
os quantificadores -
(existencial);
os parênteses -( ). Símbolos não lógicos – constituídos por: letras nominais – letras minúsculas de ‘a’ a ‘t’; variáveis – letras minúsculas de ‘u’ a ‘z’; letras predicativas – letras maiúsculas.
Semântica da lógica de predicados Para você interpretar uma fórmula na lógica de predicados, é preciso que especifique o domínio de interpretação e uma atribuição de valores para as constantes funções e predicados ocorrendo na fórmula. O domínio de interpretação – conjunto D # 0. Um mapeamento ligando cada objeto a um elemento fixo em D. Um mapeamento associando o predicado a uma relação em D. A
É importante que você saiba que o quantificador Universal corresponde a uma conjunção e o quantificador Existencial corresponde a uma disjunção. E
Veja o que estamos dizendo: considere o domínio D {a, b, c}, a partir dele a fórmula (x) colorido (X) corresponde a conjunção: colorido (a) ^ colorido (b) ^ colorido (c).
A
E
No caso do quantificador , a correspondência é com a disjunção. Assim teremos que dado o domínio D {a, b, c} e a fórmula x [(cor (x; azul)], teremos a disjunção: cor(a; azul) v cor(b; azul) v cor(c; azul). E
Reconhecer o tipo de sentença é importante para sua tradução para a linguagem da lógica de predicados. Veja nos exemplos a seguir: Há aves que não voam. E
tipo de sentença: x (ave(x) ^ não voa(x))
E
x (político (x) ^ honesto(x))
Os remédios são perigosos. A
x [remédio(x)
Lógica de predicados
Alguns políticos não são honestos.
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Praticando Vamos aplicar o que aprendemos até aqui? Então, usando os símbolos de predicados indicados e os quantificadores apropriados, represente simbolicamente as declarações a seguir: a) Alguém é infeliz. b) Paulo ama Isabel. c) Todos os leões são poderosos.
Enunciados categóricos Para facilitar a formalização das sentenças na lógica de predicados, destacam-se quatro tipos de enunciados representados pelas letras A, E, I, O e que são chamados enunciados categóricos: A -da forma “Todo P é Q” (universal afirmativa). E -da forma “Nenhum P é Q” ou “Todo P não é Q” (universal negativa). I -da forma “Algum P é Q” (particular afirmativa). O -da forma “Algum P não é Q” (particular negativa). Veja como simbolizamos esses enunciados: A
A -( x)(P(x) → Q(x)) A
E -( x)(P(x) → ~Q(x)) E
I -( x)(P(x) ^ Q(x)) E
O -( x)(P(x) ^ ~Q(x))
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A
Lógica de predicados
Veja como representar estas sentenças: Enunciado Universal Afirmativo – ( x)(P(x) → Q(x)) Sentença: Todos os homens são mortais.
A
Sintaxe: x[h(X) → m(X)] Semântica: Para todo x se x é h então x é m. A
Enunciado Universal Negativo – X[p(X) → ~q(X)] Sentença: Nenhum homem é imortal. A
Sintaxe: x[h(x) → ~i(x)] Semântica: Para todo x se x é h então não é i. E
Enunciado Particular Afirmativo – X[p(X) ^ q(X)] Sentença: Alguns homens são imortais. E
Sintaxe: x [h(x) ^ i(x)] Semântica: Existe um x tal que é h e é i. E
Enunciado Particular Negativo – X[p(X) ^~ q(X)] Sentença: Alguns homens não são imortais. E
Sintaxe: x[h(x) ^ ~i(x)] Semântica: Existe um x tal que x é h e x não é i.
Praticando Que tal praticar um pouco? Formalize as sentenças seguintes usando a lógica de predicados: d) Nenhuma princesa é feia. e) Existem políticos honestos. Lógica de predicados
f ) Todos gostam de férias.
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Aplicando a teoria na prática A lógica é um guia do pensamento. Dito dessa forma não fica claro, para você aluno, como aplicar a lógica na prática, especificamente a lógica de predicados. A questão que se estabelece é: afinal, a lógica tem fins práticos? Para responder essa questão é importante pensar nos avanços que tivemos a partir da década de 1950, na área da computação, com o advento e desenvolvimento da lógica proposicional e, assim, de sua extensão, a lógica de predicados. A lógica passou a se apresentar cada vez mais como um sistema completo de símbolos e regras de combinação, isso teve como principais remates o surgimento da informática e da cibernética. Ora, no momento em que o pensamento e o conhecimento humano passaram a ser expressos simbolicamente, não demoraria muito para que os pesquisadores apostassem na criação de sistemas em que tais símbolos pudessem ser combinados a fim de serem utilizados na resolução de vários problemas. Mais do que isso, tais sistemas poderiam estar à disposição para serem aplicados em qualquer hora e da forma mais eficaz possível em uma máquina, que por sua vez teria, assim, pelo conteúdo referido, a capacidade de pensar.
Lógica de predicados
É basicamente esse princípio que fundamenta o funcionamento dos primeiros aos mais modernos computadores da atualidade. Em um computador estão sistematizados e armazenados vários passos necessários para se realizar várias tarefas, em que cada sequência de tarefa é chamada de algoritmo. No momento em que estamos operando um computador, estamos lidando com sequências e combinações de símbolos que são os programas. Assim, o Windows e o internet explorer, por exemplo, são a aplicação do conceito de algoritmo no computador e esses programas, por serem algoritmos, são, portanto, sequências de raciocínios que estão ligados aos princípios básicos da lógica formal.
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Observa-se, ainda, que nas linguagens de programação conhecidas como procedurais, os programas são elaborados para “dizer” ao computador a tarefa que deve ser realizada. Em outras linguagens de programação, conhecidas como declarativas, os programas reúnem uma série de dados e regras e as usam para gerar conclusões. Esses programas são conhecidos como sistemas especialistas ou sistemas baseados no conhecimento que simulam em muitos casos a ação de um ser humano. Essas linguagens declarativas incluem predicados, quantificadores, conectivos lógicos e regras de inferência que, como vimos, fazem parte do cálculo de predicados.
Para saber mais CARNIELLI, Walter; EPSTEIN, Richard. Pensamento Crítico – o poder da lógica e da argumentação. Ridel, 2009. Na avaliação dos próprios autores, a obra tem como objetivo servir de guia para a boa argumentação e, ao mesmo tempo, de instrumento de “autodefesa intelectual contra as falácias do mundo contemporâneo”. Trata-se de um estudo introdutório de lógica, focado na questão técnica sobre argumentações e persuasão. DO CARMO, Maria Nicoletti. A Cartilha da Lógica. Edufscar, 2010 As principais temáticas da cartilha são especificamente a lógica proposicional e sua extensão, a lógica de predicados. O livro traz uma reflexão sobre a estreita relação entre lógica e computação, especificada através do desenvolvimento de linguagens capazes de modelar situações e problemas com vistas a uma solução. Como forma de tornar o aprendizado mais efetivo apresenta 138 exemplos. ZILHAO, Antonio de Sequeira. Lógica: 40 lições de lógica elementar. Colibri, 2001 A obra é um manual de lógica, por isso apresenta uma linguagem de fácil acesso. Apresenta uma divisão em quatro partes, a saber: lógica aristotélica, teoria dos conjuntos,lógica proposicional e lógica de predicados, de forma a possibilitar ao estudante uma apropriação mais metódica.
Relembrando Este capítulo traz uma abordagem sobre a lógica de predicados. Por meio de seu estudo, você ficou sabendo que foi Frege quem introduziu os quantificadores, símbolos correspondentes a palavras, como: todo, algum, nenhum, entre outras. Existem vários tipos de argumentos que, apesar de válidos, não podem ser justificados com os recursos do cálculo proposicional. A lógica proposicional não tem a capacidade de representar relações entre os objetos, só determina V ou F de sentenças. É aqui que entra a lógica de predicados.
Sintaxe da lógica de predicados Objeto - de quem se afirma algo. Predicados - o que se afirma de algo.
Lógica de predicados
O vocabulário da lógica de predicados é formado por:
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Variáveis - símbolo cujo significado não é determinado – representadas por letras minúsculas. Quantificadores:
Quantificador Existencial -
(Todo) E
A
Quantificador Universal -
(Algum)
Semântica da lógica de predicados Refere-se à interpretação de uma fórmula na lógica de predicados. Enunciados categóricos A -da forma “Todo P é Q” (universal afirmativa). E -da forma “Nenhum P é Q” ou “Todo P não é Q” (universal negativa). I -da forma “Algum P é Q” (particular afirmativa). O -da forma “Algum P não é Q” (particular negativa). Sua simbolização: A
A -( x)(P(x) . Q(x)) A
E -( x)(P(x) . ~Q(x)) E
I -( x)(P(x) ^ Q(x)) E
O -( x)(P(x) ^ ~Q(x))
Testando seus conhecimentos Agora que você conheceu a lógica de predicados, que tal exercitar um pouco? 1. Formalize as seguintes frases:
Lógica de predicados
a) Lisboa é grande e barulhenta.
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b) Lisboa é grande e barulhenta, mas bonita. c) Se Sócrates é ateniense, é grego. d) Nem todos os portugueses vivem em Portugal.
2. Formalize os seguintes argumentos: a) O Rui não é cético, pois todos os céticos são pessimistas e o Rui não é pessimista. b) Se certas pessoas acreditam em bruxas, então acreditam no diabo. Ora, a Rita é uma pessoa que acredita em bruxas. Portanto, certas pessoas acreditam no diabo.
Referências ALMEIDA, C. B. Lógica de Primeira Ordem. Disponível em: <http://wiki.di.uminho.pt/ twiki/pub/Education/LC/MaterialApoio/LogPO.pdf>. Acesso em: 25 nov. 2011. FURTADO, E. M. Raciocínio Lógico para Concursos. Curitiba: IESDE Brasil Ltda., 2010. MORA, F. Dicionário de Filosofia. Disponível em: <http://books.google.com.br/ books>. Acesso em: 22.nov. 2011. ROCHA, E. Raciocínio Lógico – você consegue aprender. Série Provas e Concursos. 2. ed. São Paulo: Campus, 2008.
Lógica de predicados
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Sequências lógicas e algoritmos Contextualizando No capítulo um, você ficou sabendo que a lógica é um ramo da Filosofia que cuida das regras do pensamento racional ou do modo de pensar de forma organizada. A utilização das atividades lógicas contribui na formação de indivíduos capazes de criar ferramentas e mecanismos responsáveis pela obtenção de resultados efetivos na academia, no ambiente de trabalho, enfim, na vida prática. O tema que iniciamos agora e ao mesmo tempo encerra esta disciplina trata de um aspecto importante na organização do nosso pensamento. Estamos falando de sequências lógicas e algoritmos. Sabemos que na vida acadêmica e profissional nosso discurso precisa de ordem lógica para ser eficaz e transmitir uma mensagem. Ao final deste capítulo esperamos que você possa: conceituar uma sequência lógica e entender qual a importância desse tema para a organização de seus argumentos; definir as leis de formação das sequências lógicas; conceituar algoritmo e identificar sua aplicação.
Conhecendo a teoria Sequências lógicas e suas leis de formação De tudo que você já aprendeu até aqui pode perceber que a lógica é uma ferramenta fundamental ao desenvolvimento cognitivo, induzindo à organização do pensamento e das ideias e à formação de conceitos básicos necessários a uma compreensão efetiva da realidade. Entre as diversas temáticas da lógica encerraremos este livro com uma discussão acerca de sequências lógicas e algoritmos. Essa é uma temática muito cobrada em concursos públicos das diversas áreas profissionais. Além do que, se você observar
135
ao seu redor, tudo que você faz segue uma sequência lógica e os avanços na área de informática têm como uma de suas ferramentas os algoritmos.
BECK.
Observe a sequência a seguir:
Figura 1 - As sequências no cotidiano.
Perceba que o menino sobe na cadeira, fica em pé, desequilibra-se e, por isso, cai. Veja como existiu uma série de passos para a cena final. Assim acontece com as nossas ações. Vamos ver uma cena do cotidiano. Descrição de uma sequência lógica para mudar um pneu de carro: 1. pegar o pneu estepe; 2. pegar macaco e triângulo sinalizador; 3. afrouxar os parafusos do pneu vazio; 4. colocar o macaco;
Sequências lógicas e algoritmos
5. tirar os parafusos;
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6. substituir o pneu; 7. apertar os parafusos; 8. tirar o macaco; 9. voltar a apertar os parafusos; 10. guardar o material.
Claro que outra pessoa, diante da situação de um pneu furado, pode estabelecer um caminho diferente do seu, mas sempre existirá uma sequência lógica do que se faz. A primeira questão que você precisa entender é: o que é uma sequência lógica? A partir do que vimos, no exemplo do pneu furado, você já pode inferir uma resposta. Podemos dizer que uma sequência lógica é um conjunto de passos que devem ser executados para atingirmos um objetivo ou solucionarmos um problema. Você pode ver que essa temática está diretamente ligada com o processo de planejamento. Quando planejamos precisamos estabelecer os passos que serão executados. Isto é, precisamos estabelecer a sequência das etapas que serão efetivadas. Uma sequência pode ser finita ou infinita. As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, entre outros. Existem várias formas de se estabelecer uma sequência, o importante é que existam pelo menos três elementos que caracterizem a lógica de sua formação, entretanto, determinadas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, são elas: as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos. Veja cada uma delas.
Sequências de números Progressão Aritmética Soma-se constantemente um mesmo número. 2
5 +3
8 +3
11 +3
14 +3
17 +3
Chama-se Progressão Aritmética (PA) toda sequência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante, denominado razão. Veja agora alguns exemplos para melhor visualizar a definição.
Sequências lógicas e algoritmos
Definição:
137
Exemplos: A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) razão = 4 (PA crescente) B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, ...) razão = 9 (PA crescente) C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) razão = 0 (PA constante) D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) razão = -10 ( PA decrescente) Progressão Geométrica Multiplica-se constantemente um mesmo número. 2
6
18 x3
x3
54 x3
162 x3
486 x3
Definição: Chama-se Progressão Geométrica (PG) toda sequência de números reais, formada por termos que, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da PG.
As Progressões Geométricas são formadas por uma sequência numérica, em que os números são definidos (exceto o primeiro) utilizando a constante q, chamada de razão. O próximo número da PG é o número atual multiplicado por q. Incremento em Progressão O valor somado é que está em progressão.
Sequências lógicas e algoritmos
1
138
2
4 +2
+1
7 +3
11 +4
Série de Fibonacci Cada termo é igual à soma dos dois anteriores. 1
1
2
3
5
8
13...
16... +5
Números Primos Números naturais que possuem apenas dois divisores naturais (o 1 e o próprio número). 2
3
5
7
11
13
17...
Quadrados Perfeitos Números naturais cujas raízes são naturais. 1
4
9
16
25
36
4...
Praticando A seguir algumas sequências numéricas para você completar. (PUC-SP/2003) Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; ...) obedecem a uma lei de formação. Qual o próximo termo? a) 58 b) 10 c) 11 d) 7 e) 15 Qual o próximo número em cada sequência abaixo? 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ____ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ____
As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, você deve escrever todo o alfabeto (observando se deve ou não contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta. Veja os dois exemplos a seguir:
Sequências lógicas e algoritmos
Sequências de letras
139
Exemplo 1 Considere a sequência A C F J O U Vamos colocar todo alfabeto para tentar resolver. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU De imediato você pode perceber que as letras foram saltadas em progressão: 1, 2, 3, 4 e 5 letras. Exemplo 2 Veja uma sequência alfa numérica B2 4 F H8 16L N32 64R Para resolver essa sequência, comece por colocar todo o alfabeto para entender o processo. ABCDEFGHIJKLMNOPQRST Veja que a sequência obedece a um crescendo em que as letras saltam 1 3 1 3 1. E os números? 2 4 8 12 32 64 Você pode perceber que a sucessão é construída elevando o número à potência de 2. Assim teremos: 22 = 4 42 =8 82 = 16 e, assim, sucessivamente.
Sequências lógicas e algoritmos
Sequências de figuras
140
No caso de sequência com figuras, bastante presente em concursos, a primeira coisa a fazer é identificar o que muda de uma figura para outra. Assim, veja:
Figuras
1.ª
2.ª
3.ª
n.º de quadrados
1
3
6
Da 1.a para a 2.a figura pulam-se 2 (1+2) Da 2.a para a 3.a pulam-se 3 (3+3) Da 3.a para a 4.a deve-se pular 4, assim teremos 6+4 = 10
Algoritmos Uma vez que você compreendeu o que é uma sequência lógica, vamos passar à noção de algoritmo, que nada mais é que uma sequência lógica finita de passos necessários à execução de uma tarefa. Para que você possa melhor compreender, visualize uma receita de bolo. Para que se atinja o objetivo desejado, essa receita não pode ser entranhada de subjetividades, deve ser clara e objetiva. Vamos ilustrar o que estamos dizendo. Torta de chocolate fácil Tempo: 35min Rendimento : 10 Porções Dificuldade: Fácil Ingredientes: 6 ovos 6 colheres (sopa) de açúcar 6 colheres (sopa) de chocolate em pó 6 colheres (sopa) de farinha de trigo
1/2 xícara (chá) de margarina 1 colher (sopa) de fermento em pó Margarina e farinha de trigo para untar Cobertura: 1 lata de leite condensado
Sequências lógicas e algoritmos
100g de coco ralado
141
2 colheres (sopa) de chocolate em pó 1 colher (sobremesa) de margarina Modo de preparo Bata todos os ingredientes no liquidificador e despeje em uma fôrma untada e enfarinhada. Leve ao forno médio, preaquecido, por 35 minutos. Para a cobertura, leve ao fogo todos os ingredientes, mexendo até engrossar. Cubra a torta e sirva em seguida. Para obter essa torta de chocolate fácil é necessário seguir essa sequência de etapas descritas de forma clara e objetiva. Qualquer pessoa que consiga ler atinge o objetivo. Diariamente lidamos com o algoritmo quando usamos o computador. Os programas de computador são algoritmos escritos em linguagem de computador. A linguagem de computador ou linguagem informática é destinada a descrever o conjunto das ações consecutivas que um computador deve executar. Estas se constituem em sequências finitas de ações. É uma maneira prática para nós (humanos) darmos instruções a um computador. Uma linguagem informática é rigorosa: a cada instrução corresponde uma ação do processador.
Linguagem da informática
Sequências lógicas e algoritmos
Linguagem
142
Domínio de aplicação principal
Compilada/ Interpretada
ADA
O tempo real
Linguagem compilada
BASIC
Programação básica com objetivos educativos Linguagem interpretada
C
Programação sistema
Linguagem compilada
C++
Programação sistema objeto
Linguagem compilada
Cobol
Gestão
Linguagem compilada
Fortran
Cálculo
Linguagem compilada
Java
Programação orientada Internet
Linguagem intermédia
MATLAB
Cálculo matemático
Linguagem interpretada
Mathematica
Cálculo matemático
Linguagem interpretada
LISP
Inteligência artificial
Linguagem intermédia
Pascal
Ensino
Linguagem compilada
PHP
Desenvolvimento de sites web dinâmicos
Linguagem interpretada
Prolog
Inteligência artificial
Linguagem interpretada
Perl
Tratamento de cadeias de caracteres
Linguagem interpretada
Disponível em: <http://pt.kioskea.net/contents/langages/langages.php3>. Acesso em: 22 fev. 2012.
A título de ilustração, veja os principais tipos de linguagem informática que são construídas a partir de algoritmos:
Desenvolvimento de algoritmos
ENTRADA - são os dados de entrada do algoritmo.
PROCESSAMENTO procedimentos utilizados para chegar ao resultado final.
SAÍDA - os dados já processados.
(CAVALCANTI, 2012)
Qualquer tarefa que siga determinado padrão pode ser descrita por um algoritmo. Para escrever um algoritmo, precisamos descrever a sequência de instruções de maneira simples e objetiva. É preciso ainda desenvolver a tarefa em três etapas:
Um algoritmo tem cinco características importantes: Finitude – um algoritmo deve sempre terminar após um número finito de passos. Definição – cada passo de um algoritmo deve ser precisamente definido. As ações devem ser definidas rigorosamente e sem ambiguidades. Entradas – um algoritmo deve ter zero ou mais entradas, isto é, informações que lhe são fornecidas antes do algoritmo iniciar. Saídas – um algoritmo deve ter uma ou mais saídas, isto é, quantidades que têm uma relação específica com as entradas. Efetividade – um algoritmo deve ser efetivo. Isso significa que todas as operações devem ser suficientemente básicas, de modo que possam ser, em princípio, executadas com precisão, em um tempo finito, por um humano usando papel e lápis. Esse teste se chama teste de mesa. Ele consiste em seguir as instruções fornecidas para observar se estão corretas ou não. Lembra o exemplo inicial que demos com a torta de chocolate? Pois é, o teste de mesa seria seguir a receita passo a passo para saber se ao final teremos a torta.
Calcule a média final dos alunos da 3ª Série. Os alunos têm notas de duas unidades: U1 e U2 Onde: Média Final = (U1 + U2 )/ 2
Sequências lógicas e algoritmos
Vamos agora colocar em prática tudo o que dissemos até aqui sobre algoritmo? Imagine o seguinte problema:
143
Para montar o algoritmo proposto, faremos três perguntas: a) Quais são os dados de entrada? R: Os dados de entrada são U1 e U2. b) Qual será o processamento a ser utilizado? R: O procedimento será somar todos os dados de entrada e dividi-los por dois. c) Quais serão os dados de saída?
ENTRADA U1 = 7 U2 = 8
PROCESSAMENTO 7 + 8 = 15 15 : 2 =
SAÍDA 7,5
(CAVALCANTI, 2012)
R: O dado de saída será a média final.
Com a montagem, veja como ficaria o algoritmo: receba a nota da prova 1; receba a nota de prova 2; some todas as notas e divida o resultado por 2; mostre o resultado da divisão. Os algoritmos podem ser representados por meio das seguintes linguagens: a) Linguagem Natural – os algoritmos são expressos diretamente em linguagem natural. Veja um exemplo: Filé de peixe com molho branco Sequências lógicas e algoritmos
Preparo dos peixes
144
Lave os filés e tempere com o suco dos limões, sal, pimenta e salsinha picada. Deixe por 1/2 hora neste tempero. Enxugue e passe cada filé na farinha de trigo. Depois passe pelos ovos batidos e frite na manteiga até ficarem dourados dos dois lados. Preparo do molho branco Coloque numa panela a manteiga, a farinha e o leite e misture bem. Em fogo médio, cozinhe até engrossar. Adicione o sal, a pimenta e o queijo. Continue com a panela no fogo, cozinhando até que o queijo derreta, mexendo constantemente.
Juntando os dois Adicione queijo parmesão ralado e queijo gruyère. Misture e ponha sobre os filés. Fim da receita do filé de peixe com molho branco. b) Fluxograma Convencional – essa é uma representação gráfica que emprega formas geométricas padronizadas para indicar as diversas ações e decisões que devem ser executadas para resolver o problema. Para exemplificar esta forma de linguagem, vamos a um exemplo do algoritmo para decidir o que fazer em um dia de domingo. Fluxograma para um domingo Início
Acordar
Tomar café
Não
Dia de Sol?
Ler jornal
Sim
Ir à praia
Ir ao cinema
Ir dormir
Fim
Sequências lógicas e algoritmos
Fazer refeição
145
c) Pseudolinguagem – emprega uma linguagem intermediária entre a linguagem natural e uma linguagem de programação para descrever os algoritmos. Essa é uma linguagem que colocamos aqui apenas para que você tenha conhecimento. Ela é empregada no campo da computação. Veja o exemplo: principal ()¶ inicio¶ imprimir “Alo mundo.”¶ fim¶ Veja no exemplo que o algoritmo começa com a função principal, que é a função obrigatória em todos os algoritmos. Os parênteses, após o nome principal, são normalmente usados para delimitar a lista de argumentos, também chamados parâmetros, que a função irá receber para executar a sua tarefa. Nesse caso, a função não está recebendo nenhum parâmetro. Esse algoritmo executa um único comando que imprime o texto “Alô mundo” em um dispositivo qualquer de saída de dados.
Aplicando a teoria na prática Como você pôde aprender, algoritmos – apesar de a palavra parecer estranha – são sequências finitas de etapas necessárias à resolução de problemas. Funcionam como receitas que, se seguidas, deverão chegar ao resultado indicado. Cotidianamente fazemos uso de algoritmos nas receitas culinárias, nas tarefas domésticas, no dia a dia profissional.
Sequências lógicas e algoritmos
Veja a situação em que é possível identificar o uso de algoritmos para promover interações sociais.
146
No decorrer da trama do filme A Rede Social é apresentada uma cena de ação com o uso de algoritmos, quando a versão cinematográfica de Mark Zuckerberg, criador do Facebook, se debruça sobre a programação do site: seu desafio é descobrir fórmulas matemáticas para a amizade. O resultado se traduz no fato de que com mais de 500 milhões de usuários, o Facebook é um sucesso global pelos recursos de conectividade entre as pessoas, desenvolvidos a partir de algoritmos. Na medicina, o uso de algoritmos é difundido na análise de tomografias, radiografias e ressonâncias magnéticas. A principal função da máquina, nesses casos, é comparar um exame com outro feito anteriormente para detectar mudanças no padrão da imagem.
Em todos os dois exemplos, foram criados algoritmos que descrevem uma sequência de etapas (com entrada, processamento e saída) que, se seguidas, chegarão a um resultado eficaz.
Para saber mais FERTIG, Cristina; MEDINA, Marco. Algoritmo e Programação. Novatec, 2005. Com esse livro os autores se propõem a superar as dificuldades que surgem na formação acadêmica quando o assunto são os algoritmos. A temática é trabalhada a partir da exposição de conceitos formais, seguidos da resolução de problemas, identificando erros comuns na construção de algoritmos. CORMEN, Thomas H.; LEISERSON, Charles; RIVEST, Ronald; STEIN, Clifford. Algoritmo – teoria e prática. Campus, 2002. Os autores procuraram imprimir nesse livro a marca do rigor e da abrangência no tratamento da temática. No entanto, a apresentação do conteúdo é feita em linguagem comum, elaborada para ser lida por qualquer pessoa que tenha interesse na área de programação. ZERO, Marco. Testes de Lógica. Treine o raciocínio e mantenha sua mente sempre afiada. Marco Zero, 2010. A prática regular de exercícios de lógica desenvolve a capacidade de elaborar raciocínios coerentes e de pensar com clareza, além de melhorar a concentração e a agilidade mental. Essa é a proposta deste livro, que apresenta uma série de exercícios com respostas, especialmente formulados para desenvolver o raciocínio lógico, com níveis diversos de dificuldades.
Relembrando
a lógica é uma ferramenta fundamental ao desenvolvimento cognitivo; no contexto da lógica, um aspecto importante na organização do nosso pensamento é o estudo das sequências lógicas; o que é uma sequência lógica? Uma sequência lógica é um conjunto de passos
Sequências lógicas e algoritmos
Com este capítulo encerramos nossa reflexão sobre lógica. Na discussão que fizemos anteriormente você aprendeu sobre sequências lógicas e algoritmos. Entre as questões fundamentais destacamos:
147
que devem ser executados para atingirmos um objetivo ou solucionarmos um problema; uma sequência pode ser finita ou infinita e pode ser formada por números, letras, pessoas, figuras, entre outros; algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, são elas: as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos: 1. Progressão Aritmética Soma-se constantemente um mesmo número. 2
5
8 +3
+3
11 +3
14 +3
17... +3
2. Progressão Geométrica Multiplica-se constantemente um mesmo número. 2
6
18 x3
x3
54 x3
162 x3
486 x3
3. Incremento em Progressão O valor somado é que está em progressão. 1
2
4 +2
Sequências lógicas e algoritmos
+1
148
7 +3
11 +4
16... +5
4. Série de Fibonacci Cada termo é igual à soma dos dois anteriores. 1
1
2
3
5
8
13...
5. Números Primos Números naturais que possuem apenas dois divisores naturais (o 1 e o próprio número).
2
3
5
7
11
13
17...
6. Quadrados Perfeitos Números naturais cujas raízes são naturais. 1
4
9
16
25
36
4...
algoritmo é uma sequência lógica finita de passos necessários à execução de uma tarefa; para escrever um algoritmo precisamos descrever a sequência de instruções de maneira simples e objetiva. É preciso ainda desenvolver a tarefa em três etapas: entrada – processamento – saída; características importantes de um algoritmo: finitude, definição, entradas, saídas e efetividade; quando construímos um algoritmo, é importante que ele seja testado. Esse teste se chama teste de mesa. Ele consiste em seguir as instruções fornecidas para observar se estão corretas ou não.
Testando seus conhecimentos Uma vez que você aprendeu sobre sequências lógicas e algoritmos, convidamoste a testar os conhecimentos adquiridos. 1. Qual a carta que falta? As cartas abaixo foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?
K
J
1
7
7
Q
2
4
10
8
?
Sequências lógicas e algoritmos
A
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2. Identifique os dados de entrada, processamento e saída no algoritmo a seguir: (
) Receba código da peça.
(
) Receba valor da peça.
(
) Receba quantidade de peças.
(
) Calcule o valor total da peça (quantidade * valor da peça).
(
) Mostre o código da peça e seu valor total.
Agora exercite com uma questão de concurso público! 3. (FCC) Considere os seguintes pares de números: (3,10) (1,8)
(5,12) (2,9)
(4,10)
Observe que quatro desses pares tem uma característica comum. O único par que não apresenta tal característica é: a) (3,10) b) (1,8) c) (5,12) d) (2,9) e) (4,10)
Referências ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
Sequências lógicas e algoritmos
DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2002.
150
FORBELLONE, A. L. V. Lógica de Programação – a construção de algoritmos e estruturas de dados. São Paulo: Makron, 1993.