ORTAÖGRETİM
Tarama: OMERZEN
Yayıncılık
Anonim
Şirketi
Bu kitabın her hakkı saklıdır ve "FCM YAYINCILIK A.Ş." ye aittir. İçindeki şekil, yazı, metin ve grafikler, yayın evinin izni olmadan alınamaz; fotokopi, teksir, film şeklinde ve başka hiçbir şekilde çoğaltılamaz, basılamaz ve yayımlanamaz.
EDİTÖR Turgut Erel
DİL UZMANI Nedime Özcan Arıkdal
ÖLÇME VE DEGERLENDİRME UZMANI Esra Eminoğlu Özmercan
PROGRAM GELİŞTİRME UZMANI Coşkun
Küçüktepe
REHBERLİK GELİŞİM UZMANI Nihat Akbaş
GÖRSEL TASARIM UZMANI Vuslat Merve Özkan
ISBN 978-605-61581-2-4
BASKI YERİ VE YILI Ankara, 2016 Özgün Matbaacılık San. ve Tic. A.Ş Tel: 0(312) 645 19 10 2
•
A
Marşı
istiklal orkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. benim milletimin yıldızıdır, parlayacak; benimdir, o benim milletimindir ancak.
a
Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilal! <ahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet , bu celal? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helal. -ıakk ıdır Hakk' a tapan milletimin istiklal.
Bastığın
yerleri toprak diyerek geçme, tanı: Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı. Sen şehit oğlusun , incitme, yazıktır, atanı : Verme, dünyaları alsan da bu cennet vatanı. Kim bu cennet
vatanın uğruna
olmaz ki feda?
Şüheda fışkıracak toprağı sıksan , şüheda! Canı, cananı ,
Etmesin tek
bütün
varımı alsın
vatanımdan
da Huda, beni dünyada cüda.
3en ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım. - angi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım! - kremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım . • rtarım dağları, enginlere sığmam , taşarım.
Ruhumun senden İlahf, şudur ancak emeli: Değmesin mabedimin göğsüne namahrem eli. Bu ezanlar -ki şehadetleri dinin temeliEbedf yurdumun üstünde benim inlemeli.
3arb ın afakını sarmışsa çelik zırhlı duvar, 3enim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var. usun , korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar, edeniyyet dediğin tek dişi kalmış canavar?
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım , Her cerihamdan İlahf, boşanıp kanlı yaş ı m , Fışkırır ruh-ı mücerret gibi yerden na' ş ı m ; O zaman yükselerek arşa değer belki başım .
adaş,
yurduma alçakları uğratma sakın ; er et gövdeni, dursun bu hayasızca akın. :>oğ acaktır sana va' dettiği günler Hakk' ın ; bilir, belki yarın, belki yarından da yakın
Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilal! Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helal. Ebediyyen sana yok, ırkıma yok izmihlal ; Hakkıdır hür yaşamış bayrağımın hürriyyet; Hakkıdır Hakk' a tapan milletimin istiklal! Mehmet Akif Ersoy
3
Gençliğe
Hitabe
Ey Türk gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklalini, Türk Cumhuriyetini, ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir. Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegane temeli budur. Bu temel, senin en kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni bu hazineden mahrum etmek isteyecek dahilf ve haricf
bedhahların olacaktır.
Bir gün, istiklal ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine vazifeye
atılmak
için, içinde
düşünmeyeceksin!
bulunacağın
Bu imkan ve
şerait,
düşersen,
vaziyetin imkan ve
şeraitini
çok namüsait bir mahiyette
tezahür edebilir. istiklal ve cumhuriyetine kastedecek düşmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiş bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz tersanelerine köşesi
bilfiil
girilmiş,
vatanın
bütün
işgal edilmiş
bütün kaleleri zapt
orduları dağıtılmış
olabilir. Bütün bu
edilmiş,
bütün
ve memleketin her
şeraitten
daha elfm ve
daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde iktidara sahip olanlar gaflet ve dalalet ve hatta hıyanet içinde bulunabilirler. Hatta bu iktidar sahipleri
şahsf
menfaatlerini, müstevlnerin siyasf emelleriyle tevhit
edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bftap düşmüş olabilir. Ey Türk istikbalinin evladı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi vazifen, Türk istiklal ve cumhuriyetini kudret,
damarlarındaki
kurtarmaktır.
Muhtaç
olduğun
asil kanda mevcuttur. Mustafa Kemal Atatürk
4
••
MUSTAFA KEMAL ATATURK 5
İÇİNDEKİLER ORGANİZASYON ŞEMASI ...............................................................................................................9
1. BÖLÜM: VERİ, SAYMA VE OLASILIK 1. ÜNİTE: SAYMA ..................................................................................................................... 11 10.1.1. SIRALAMA VE SEÇME ............................................................................................ 12
10.1.1.1.
Olayların Gerçekleşme Sayısını
Toplama ve Çarpma Prensiplerini Kullanarak
Hesaplama ....... .... ................................... ...... .. ... ............ ............. ..... ...................... 12 10.1.1.2.
Sınırsız Sayıda
Tekrarlayan Nesnelerin
Dizilişlerini (Permütasyolarını)
Örneklerle Açıklama ............................................................................................... 15 10.1.1.3. n
Elemanlı
Bir Kümenin r Tane
Sıralanabileceğini
10.1 .1.4. n
Elemanlı
Elemanın
Kaç
Farklı Şekilde
Seçilip
Hesaplama ............................................................................... 17
Bir Kümenin r Tane
Elemanın
Kaç
Farklı Şekilde Seçilebileceğini
Hesaplama ............................. .. ........ .... .......................... ... ...... ....... .. ... .... ............... 19 10.1 .1.5. Pascal Özdeşliğini Gösterme ve Pascal Üçgenini Oluşturma ................................ 24 10.1.1.6. Binom Teoremini Açıklama ve Açılımdaki Kat Sayıları Pascal Üçgeni ile İlişkilendirme ...................................................................................................... 27 Ünite Sonu Değerlend i rme Soru l arı .... ................................................................................... ..... 29
2. ÜNİTE: OLASILIK .................................................................................................................30 10.2.1.
KOŞULLU
OLASILIK ............................................................................................... 31
10.2.1.1. Koşullu Olasılığı Örneklerle Açıklama .................................................................... 31 10.2.1.2. Bağımlı ve Bağımsız Olayları Örneklerle Açıklama; Gerçekleşme Olasılıklarını Hesaplama ...................................................................... ....... ..... ............................ 36 10.2.1.3.
Bileşik Olayların Olasılıklarını
Hesaplama.............................................................. 39
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları. ............................. ......................................... .................... .43
il. BÖLÜM: SAYILAR VE CEBİR 3. ÜNİTE: FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARl. ........................................ 44 10.3.1. FONKSİYOLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ ........................... 45
10.3.1.1. Bir Fonksiyonun Grafiğinden, Simetri Dönüşümleri Yardımı İle Yeni Fonksiyon Grafikleri Çizme ....................................................................................................... 45 10.3.1.2. Gerçek
Sayılar
Kümesinde
f + g, f - g, f . g ve _.!_
. .
.
Tanımlı
f ve g
Fonksiyonlarını
g_
.
.
Fonksiyonlarını
Kullanarak
Elde Etme ................................................... 58
.
.
10.3.2. iKi FONKSiYONUN BiLEŞKESi VE BiR FONKSiYONUN TERSi .......................... 61
10.3.2.1. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ................................................................................ 61 10.3.2.2. Bir Fonksiyonun Bileşke İşlemine Göre Tersinin Olması İçin Gerçek ve Yeterli
Şartları
Belirleme, Verilen Bir Fonksiyonun Tersini Bulma .. : ....................... 67
6
10.3.3. FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR ......................................................... 77
10.3.3.1. İki Miktar (Nicelik) Arasındaki İlişkiyi Fonksiyon Kavramı İle Açıklama ve Problem Çözümünde Fonksiyonun Grafik ve Tablo Temsilini Kullanma .. .. .... ..... ... 77 Ünite Sonu Değerlendirme Soruları .......... .................... ... ........................................... .. .............. 86 111. BÖLÜM: GEOMETRİ 4. ÜNİTE: ANALİTİK GEOMETRİ .............................................................................................90 10.4.1. DOGRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ .................................................................. 91
10.4.1.1 . Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklığı Veren Bağıntıyı Bulma ve Uygulama Yapma ......... .. .... ... ......... .. ............ ......... .... ... .......... ....... ........ .. .... ..... ... ... 91 10.4.1.2. Bir Doğru Parçasını Belli Oranda (İçten veya Dıştan) Bölen Noktaların Koordinatlarını
Hesaplama .... .. .. ...... .... .. .... .... ..... ...... ... .. .. ..... ... ....... ... ....... ....... .. .... 93
10.4.1.3. Analitik Düzlemde Bir
Doğrunun
Denklemini
Ol uşturma
ve Denklemi Verilen
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumlarını İnceleme ........ .. ...... .. .............. ... ............ 100
10.4.1.4. Bir nite Sonu
Noktanın
Bir
doğruya
Olan
Uzaklığını Açıklama
ve Uygulama Yapma ........... . 111
Değerlendirme Soruları. ......................................................................................... 113
5. ÜNİTE: DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER ......................................................................... 115 10.5.1. DÖRTGENLER VE ÖZELLİKLERİ ......................................................................... 116
10.5.1.1. Dörtgenin Temel Elemanları ve Özellikleri .. ..... .. .. .. .... ........ .... .. .... .. ......... .. ..... ...... 116 10.5.2. ÖZEL DÖRTGENLER ............................................................................................. 122
10.5.2.1. Yamuk, Paralelkenar, Dikdörtgen , Eşkenar Dörtgen, Kare ve Deltoid İle İlgili Açı , Kenar ve Köşegen Özellikleri ........ ... .. .. .............. ......... ... ....... .... .. .......... 122
10.5.2.2. Yamuk, Paralelkenar, Dikdörtgen , Alan
Bağıntıları
Eşkenar
Dörtgen, Kare ve Deltoidin
.. ... ..... ... ......... .......... .. ......... .... ......... ............. ....... .... .. ........... ... .... 148
10.5.2.3. Dörtgenlerin Alan
Bağıntılarını
Modelleme ve Problem Çözmede Kullanma .. .... . 166
10.5.3. ÇOKGENLER ......................................................................................................... 168
10.5.3.1 . Çokgenleri Açıklama , İç ve Dış Açılarının Ölçülerini Hesaplama ......... ......... .. ..... 168
fr. te Sonu
Değerlendirme Soruları .................................................... ................... .. ................. 173
. BÖLÜM: SAYILAR VE CEBİR 6. ÜNİTE: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR ....................................... 177 10.6.1. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ................................... 178
10.6.1 .1. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü .. ..... .............................. 178 10.6.1.2. i =
r-1 Olmak Üzere Bir Karmaşık Sayının , a+ bi (a, b E
rR) Biçimindeki
İfadesi .... ....... ...... .... ....... .... ... ......... .. ..... ..... .. .... .... ...... .. ..... ... .. ........ ... ... ... ...... ... .. .. 184
10.6.1.3. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Kökleri İle Katsayıları Arasındaki İlişkiler .. .... ....... ............. .. ......... .. ...... ... ....... ... ........ ....... .. ..... ...... ..... ....... ... ..... .. ... .. . 195
10.6.2. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ .................................... 200
10.6.2.1. İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonun Grafiğinin Çizimi .. ... .............. ....... . 200 10.6.2.2. İkinci Derece Denklem ve Fonksiyonlarla modellenebilen Problemler ve Çözümleri .... ..... ... ...... .... .. ........... .... ... .......... .. ... .. ......... ... ... .... ........... .... ..... .... ...... . 216
O · e Sonu
Değerlendirme Soruları ................................... .. .. .............. .. .................. .. ..... .. ....... . 220
7
7. ÜNİTE: POLİNOMLAR .......................................................................................................222 10.7.1. POLİNOM KAVRAMI VE POLİNOMLARLA İŞLEMLER ....................................... 223
10.7.1.1. Gerçek Kat
Sayılı
ve Bir
Değişkenli
Polinom .................. .. .......... .... .... ............... ... 223
10.7.1.2. Polinomlarla Yapılan Toplama, Çıkarma , Çarpma ve Bölme İşlemleri ................. 228
=x -
1O.7 .1.3. Bir P(x) Polinomunun Q(x)
a Polinomuna Bölünmesinden Elde Edilen
Kalanı
Bulma ......... ... .................. .......................................... .... .... ....... ..... ...... ... .............. 235
10.7.1.4. Kat
Sayıları
Tam
Polinomların Olduğunu
Tam
Sayı
ve En yüksek Dereceli Terimin Kat
Sayı Sıfırlarının ,
Sabit Terimin
Sayısı
1 Olan
Çarpanları Arasında
Gösterme ......... ..................... ...... .......... ............................................... 239
10.7.2. POLİNOMLARDA ÇARPANLARA AYIRMA .......................................................... 242
10.7.2.1. Gerçek Kat
Sayılı
Bir Polinomun Çarpanlara
Ayrılması
.............. ......................... 242
10.7.3. POLİNOM VE RASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİ ..................... 255
1O.7 .3.1. Rasyonel İfadeler ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi .............. ... .. ................ 255 10.7.3.2. Polinom ve Rasyonel Denklemlerle İlgili Uygulamalar ........... .... ..................... ..... 260 Ünite Sonu Değerlend i rme So ruları ......................................................................................... 264
V. BÖLÜM: GEOMETRİ 8. ÜNİTE ÇEMBER VE DAİRE ............................................................................................... 266 10.8.1. ÇEMBERİN TEMEL ELEMANLARl ........................................................................ 267
10.8.1.1. Çemberlerde
Teğet, Kiriş,
Çap ve Yay
Kavramları .... .... .............. ..... ... ....... ... .. .. ... 267
10.8.1.2. Çemberde Kirişin Özellikleri ................ ................................... .... .... .. ...... ....... ....... 269 10.8.2. ÇEMBERDE AÇILAR .............................................................................................272
10.8.2.1. Bir Çemberde Merkez, Çevre, İç Dış ve Teğet - Kiriş Açıların Ölçüleri ve Gördükleri Yayların Ölçüleri İle İlişkileri ............ ....... ..... ............. ...... ........ .. ... .. ..... . 272
10.8.3. ÇEMBERDE TEGET ...............................................................................................280
10.8.3.1. Çemberde Teğetin Özellikleri .................................................................... ..... ..... . 280 10.8.4. DAİRENİN ÇEVRESİ VE ALANl ............................................................................. 284
10.8.4.1. Dairenin Çevresinin
Uzunluğunu
ve
Alanını
Bağıntılar .................. ..... ....... 284
Veren
Ünite Sonu Değerlendirme So ruları ......................................................................................... 290
9. ÜNİTE: GEOMETRİK CİSİMLER ........................................................................................ 292 10.9.1. KATI CİSİMLERİN YÜZEY ALANLAR! VE HACİMLERİ ....................................... 293
10.9.1.1. Dik Prizma ve Dik Piramitlerin Yüzey Alan ve Hacim 10.9.1.2. Dik Dairesel Silindir ve Dik Dairesel Koninin Yüzey 10.9.1.3. Küre, Küre Yüzeyinin 10.9.1.4.
Katı
Alanı
ve Kürenin Hacim
Cisimlerin Yüzey Alan ve Hacim
Bağıntıları .. ........ .. .............. 293
Alanı
Bağıntısı
Bağıntılarını
ve Hacim
Bağıntıları ... 302
......... .. .... ....... .... .. .. ...... .. 308
Modelleme ve Problem
Çözmede Kullanma ....... .... ............. .... ... ............. ... ..... ..... ..... ... .... ... ........ ...... ...... .. 31 O Ünite Sonu Değerlendirme Soruları .......................................................................................... 314 Cevap
Anahtarı .... ...... ........ .................. ... ................ .......... .... ... ... ......... .... .. ......... .... ........ 316
Sözlük .......................................................... .. ... ................... .... .... ..... ...... ..... ....... ... .... ..... 318 İşaretler .......... ................ ............ ..... ........... .... ....... .......... .... .. .... ..... .. .... .. .. ..... ........ ...... .. .. 319
Kaynakça ............ ................... ...... ........ ... ... .... ... .... .... .......... ...... ...... .... ...... ....... .. ..... ..... ... 320
8
r-.:.ıtnektedir.
ması
Nil Vadisi'ndo
ile kaybolan tarla
yapılan kazı larda
sımrlanm
bulunan papin1sleroen
belirlemek içtn birçok
Mısırlıların
Nil Nehrl'nln
ıaş
Her ünitenin bir ismi vardır.
yôrıtem geliştirdikleri, Fırat V&dtsi'rıde
. .zopolamya) bulunan kitabelerden (çivi yazısı ile yazılmış ve lınntanmış kil tabletlerinden) Baıbillılenrı geometrinin birçok özelliklerini bildikleri, üçgensel ve dOrtgensel bO!ge biçimindeki
sazierin alanlarını
buldukları anlaşılmıştır.
ştur (MÔ 000). Geometnnln bmı teoremleri hAIA onun adını taşır. Geometrinin sistemli ve k
kuruluşu MÔ 111. yüzyılda
~il Eukleides (Ôklid) tarafından gerçekleşbrilmiştir. Ôklid"irı ~
Ünite konusu hakkında kısa bilgi veya özgeçmiş vardır.
1
OOrtgenirı
temel elemanlarını ve ôzehiidenni, dörtgenin iç ve
dış açılarının
ölçüleri top-
kavra""""""'t'9- oQi<--4 -.J._..._
lamını, dörtgenin alanını, dışbükey ve içbükey dOrtgen 2. Ozeı dôrtgenlerdı:tn, yamuk, dik ve ikizkenar yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdOrtgen, kare, dettokl
ıle ilgilr açı, kenar ve kôşegen Ozelliklenni ~ren~ız
3 Ywnuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, cıloşturmayı
A
dıkdOrtgen, kare ve deltoidın
abn
baglanularını
modelleme ve problem çözmede kuftarımayı
Oı)reneceğiz
1
Ünite İçerisinde ogrenecegımiz öğrenme alanları vardır.
ve uygulama yapmayı Oğr~ız
06rtgonlerin alan
~ıntılanm
5 Çokgenlorden düzgün çokgenleri açıklamayı ve ıç ve dış açılarının OlçOlerlni hesapla
mayı ~re~lz
i ~
---------------------------------~---------~'
Ünite içerisinde yer alan
konuların ~
0.5.1.1. OÔRTGENIN TEMEL ELEMANLAR! VE ÔZEWKLllÜ
başlıkları vardır .
t1," a1Lal Herhangi üç d&tgerı
doQnısal
olmayan dOrt noktayı bif1eştiren dört ctoOru parçasından oluşan kapalı şekle
der*.
Bir dôrtgenın; açılarına, kOşelerine ve keoaı1anna dörtgenin temel elemenlıın '*1ir. Bil' ctı::ızlemde
hertıangl CıçO
dc$Usal olmayan A, B, C, D noktalan verilsin.
{AB), [BCJ, jCDJ. [DAJ doOru parçalanmn birleşimine ABCO dörtgeni denir. ABCO 06rtgenınin Öze iklerl ",,G
Bölümlere ait
Yandaki
kazanımların
şekilde .
1. A, 8, C, O noktalan d6rtgenln k69elet'ldir.
2. !AB), {BCJ, (COJ, {OAJ doQnı parçalan d6rtgenln Bu kenanarın uzunlukları; IABI"' a.
başlıkları vardır .
kerıarlandır .
ıecı"'
b.
ıcoı
.. c. IOAI =d"cıtr.
3. BAO , CeA . OcB ve CôA dörtgenin iç eçıları, CeF . OCG , AOH ve BAL da d 19 açılarıdır.
• · (ABJl19 (q_OJ "! [BCL ile [AD] kenarları kartıhklı kenarlar, Aile Cve Bile O kartılı klı açılardır. 5 ış;k olmayan iki kOşayı bır'.eştiren /Aq ve (BOi OOOnı parça· ::.ıı, dörtgenin k6'8g&nlerldır Bu k6şegenlerin uzunlukları ; lACI "'e,
Öğreneceğiniz
ve
merakınızı
aç ı klamalar,
1801 ,.. 1 ıle gösterilir
kazanıma
ilgi resimler,
Htw bir iÇ açısın ın ö6çCısü 180" den kfJçUk olan dörtgene d19b\1key dörtgen: herhangi bM" iç açısının ölçüsü teo- den büyük olan dOrtgene de içbükey dörtgen denır. Yandaki şekil iÇbı.ikey bir dôrtgendir.
çekecek sorular vb. vardır.
Yandaki döngenle<den ikınsıncısi rın
bırincis.
dışbükey
de içtıukey Oôftgerıdir. Bu d6ıtgeol& 4 kôşesi ve• iÇ açısı vardır.
kenarı,
4
Dtşb(ikey
dOrtqenin
kOşegenlerl
dOrtg&nin iÇ
bölgcsırıno, ıçbilk<r/ :ıortgen!n k:)şc:ıgenleflnden bıri :·ı;:gonin dış ı:ıolgesındedir. Köşegeıı!er
l
dôrt-
Dı~blıkey dörtgen
ge::lrı yardımcı e~am;:ırndır
Bu kitapta
dön
buk
ciöıtgen
denil!nce
dışbükey
dörtgen
an!aşı!acaktır.
Konu
--'
İçbükey Oôrtqen
irıcelenışlarinde
:;&dece dış·
ler lncelenccekbr.
Bir onrtgenin tç ve Dı$ Ac;ılaınnın Ôlçüı.ri Top(aımı
Öğreneceğiniz
bilgiler
1
kazanımla
~ BİLGi
ilgili
Bir döngerıırı iç
açılarının ôlç\ılef'i toplamı
360"ve
dış açılarının
OlçUleri toplamı 3609"dir.
vardır. Bır dOrtgenın köşegenlerınden
Uçgerin ıç açılarının ölçt'.llen 2 .180" .. JW'dir.
biti çizilirse dörtgen iki
toplamı
üçgeııe ayr ılır.
180" olduQundan dOrtgemn iç
ıoplamı
açı!aorı
b A
116
9
B
TETKİNLİK Araç ve Gereç: Dosya • Dosya •E
k3!}ıdına
noktasından
kağıdı,
cetvel, kalem .
bir ABCO dörtgeni çiziniz. Bu dörtgenin
dörtgenin
kenarlarına
ışınlar
paralel
dış
bölgesinde bir E
noktası alınız .
çiziniz.
• Kenarları aynı yönde paralel olan açıların ölçüleri eşit midir?
•
Köşeleri
E olan
açılardan
dörtgenin
dış aç ılarına eş olanları
belirleyiniz.
• Eş açıların ölçüleri de eşit ise dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamının kaç derece oldu!}unu
Bilgiyi uygulayabileceğiniz kendi kendinize veya grup arkadaşlarınızla yapabileceğiniz çalışmalar vardır .
-•.ın 1.
ALIŞTIRMALAR
IR 'den IR ' ye f(x) = x2 + x + 1, g(x)
a. f + g 2.
3.
f, g : IR - IR , f(x)
=x-1 fonksiyonları veriliyor. Aşa~ıdaki fonksiyonları bulunuz.
b. f - g
c. f. g
-f
=x -
=
x + 2, g(x)
4
!'
f g
Öğrendiğiniz
ç. -
fonksiyonları veriliyor. f, g, f + g ve f -
larının
grafiklerini aynı koordinat sisteminde çiziniz.
f: A -
z. f = {(a, -1), (b, 3), (c, 4) , (d. 6)) ve g: A -z. g = {(a, 2), (b, 4), (c, --3) , (d, O)) ise
ilgili uygulama yapabileceğiniz tipte sorular vardır.
-
g fonksiyon·
kazanımla
değişik
3f(b) + 4g(c) işleminin sonucunu bulunuz.
4.
IR "den IR ' ye f(x)
A.-8
= 3x + 2
ve g(x) = -x
B.O
+ 3 fonksiyonları için (f . g)(2) aşağıdakilerden hangisidir?
C.8
0 .16
E. 40
ÜNİTE SONU DEGERLENDİRME SORULAR! 1.
Aşağıdaki noktalı
yerleri doldurunuz.
Bir torba içinde aynı büyüklükte 6 mavi, 5 beyaz bilye vardır. Bu torbadan art arda 2 bilye çekiliyor. a. Çekilen bilyelerin ikisinin de mavi olma
olasılığı
• Çekilen bilyelerin birinin mavi , birinin beyaz olma olasılığı . c. İlk çekilen bilyenin mavi , ikincinin beyaz olma otas lığı Aşağıdaki
ifadeler
doğruysa
··o", yanlışsa ··y ·· yazınız.
Bir torbada 4 beyaz, 5 mavi , 6 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye torbaya atılmamak koşulu ile torbadan rastgele art arda 3 bilye çekiliyor.
Tamamladığınız
ünite ile ilgili o ünitedeki her bir kazanıma ait değişik tipte sorular vardır.
a. Çekilen 3 bilyenin 3'ünün de
kırmızı olma olasılığı ~'dir. ~
b . ilk ikisinin mavi ve üçüncüsünün
kırmızı olma olasılığı
c . 2 sinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı
ç. 3 bilyeden birinin mavi olma olasılığı * 3. 2. soruda verilenlere göre , a. 3 bilyeden en az birinin mavi olma b . Bilyelerin 4.
farklı
renkte olma
-!, "dir. ' dir.
olasılığını
oıasıhl,')ını
11' dir.
bulunuz .
bulunuz.
Bir çorap üretim atölyesindeki iki makineden l. si çoraplarını %60' ını , il. si de %40' ını üretmektedir.
1. makinenin
ürettiği çorapların
% 6 's ı , il. makinenin ürettiği çorapların % 4'ü defolu çıkmaktadır.
Rastgele seçilen bir çorabın defolu olduğu biliniyor. Bu çorabı 1. makinenin üretmiş olma olasılığını bulunuz. 5.
Bir torbada her çifti ayrı renkte 8 çift çorap vardır. Bu torbadan rastgele alınan 2 çorabın bir çift oluş turma
A. 6.
olasılığı kaçtır ?
~
B.
+
C.
Ts
O.
1~
E.
~
Bir torbada eşit sayıda mavi ve beyaz bilye vardır. Bu torbadan geri konulmamak üzere art arda çekilen iki bilyenin ikisinin de mavi olma
olasılığı
# olduğuna
göre, ilk durumda torbadaki bilye
sayısı kaçtır ?
A. 36 7.
C. 28
O. 20
E. 18
Bir kutuda bulunan 10 tebeşirin 3' ü kırmızıdır. Bu kutudan arka arkaya gelişigüzel 2 tebeşir alınıyor. Bu iki
A.Ts 8.
B. 31
tebeşirin
ikisinin de
kırmızı
B. .,;.
olma
olasılığı kaçtır ?
c.i
o.fcı
e.15
Bir torbada Üzerlerinde 1, 2, 2, 3 yazılı 4 kart, ikinci bir torbada da üzerlerinde 1, 1, 2, 2, 2, 3 yazılı 6 kart vardır. Her iki torbadan birer kart çekiliyor. Kartlardaki sayıların aynı olma olasılığını bulunuz.
10
Giriş
Saymanın en ilkel sistemi " çentik atma" olarak bilinen sistemdir. İlk çağlar
da,
avcıların avladıkları hayvanların sayısını
lara çizdikleri resim ve çentiklerden
çentik atarak belirledikleri , kaya-
anlaşılmıştır.
Basketbol oyununda da takımların ve
oyuncuların yaptıkları
basketler çete-
le tutularak ta belirlenir. Bu sayma
işlemine
"bire bir
eşleme
yoluyla sayma prensibi" denir.
Günümüzde, yoldan geçen araçlar, stadyuma giren seyirciler, banliyö trenlerine binen yolcular
nasıl sayılmaktadır? Açıklayınız.
J
EL R ÖGRENECEGİZ? 1.
Olayların gerçekleşme sayısını
toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesapla-
mayı ,
2. n tane nesnenin
dizilişlerin i (permütasyonlarını)
örneklerle
açıklamayı,
3. n
elemanlı
bir kümenin r tane
elemanının
kaç
farklı şekilde sıralanabileceğini,
4. n
elemanlı
bir kümenin r tane
elemanının
kaç
farklı şekilde seçileceğini ,
5. Kombinasyon • C(n, r) •n
= C(n , n -
elemanlı
6. Pascal
kavramının aşağıdaki
r)
• C(n , O) + C(n, 1) + ... + C(n, n)
bir kümenin alt küme
özdeşliğini
temel özelliklerini:
sayısının
2n
olduğunu ,
göstermeyi ve Pascal üçgenini
7. Binom teoremini ve Binom
oluşturmayı ,
açılımındaki katsayıları
öğreneceğiz.
11
= 2n
Pascal üçgeni ile
ilişkilendirmeyi
D
10.1.1. SIRALAMA VE SEÇME 10.1.1.1. OLAYLARIN GERÇEKLEŞME SAYISINI TOPLAMA VE ÇARPMA PRENSİPLERİNİ KULLANARAK HESAPLAMA
Sayma Bir kümenin eleman sayısı, kümenin elemanları ile 1'den başlayarak ardışık doğal sayılar arasında bire bir eşleme kurularak bulunabilir. Bu sayma işlemine eşleme ile sayma denir.
Bir deneyin
olası sonuçlarını
tek tek
saymanın dışında
sayma prensipleri de
vardır.
Toplama Prensibi ile Sayma
' BİLGİ Sonlu ve ayrık iki küme A ve Bolsun. s(AUB) = s(A) + s(B)'dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin minin eleman sayısını bu şekilde bulmaya toplama prensibi ile sayma denir.
birleşi
ÖRNEK Bir kitaplık rafında bulunan 5 roman ve 2 hikaye kitabı arasın dan, 1 roman veya 1 hikaye kitabının kaç farklı biçimde alınabilece ğini bulalım.
Çözüm Romanların
kümesi R = {R 1 , R2 , R3 , R4 , R5}
s(R) = 5'tir.
=;.
kümesi H ={H 1 , H2} =;. s(H) =2'dir. s(RUH) = s(R) + s(H) = 5 + 2 = 7'dir. Bu kitaplık rafından, 1 roman veya 1 hikaye çimde alınabilir. Hikaye
kitaplarının
kitabı
7
farklı
bi-
Çarpma Prensibi ile Sayma
,q
BİLGİ
• Her birinin eleman
sayısı
n olan m tane
ayrık
kümenin
birleşiminin
eleman
sayısı
n . m' dir.
n1 farklı şekilde, bu işlemi takip eden işlem n2 farklı şekilde, ... ve r' nci işlem de nr farklı şekilde elde ediliyorsa bu işlemlerin tamamının elde ediliş sayısı n 1 . n2 ..... nr' dir. Bu prensibe çarpma prensibi ile sayma ya da çarpmanın temel ilkesi denir.
• Bir
işlem
ÖRNEK Yukarıdaki
örnekte sözü edilen
kitaplık rafından
1 roman ve 1 hikaye
kitabınının
kaç
farklı
biçimde
alınabileceğini bulalım.
Çözüm
s(R) = 5 ve s(H) = 2 s(R) . s(H)
olduğundan , kitaplık rafından
1 roman ve 1 hikaye
kitabı,
= 5 . 2 = 1O farklı biçimde alınabilir.
ÖRNEK Bir çiçekçi bir demetinde 6 gül bulunan demetlerden bir günde 15 demet günde sattığı gül sayısını bulalım.
satmıştır.
Çiçekçinin bir
Çözüm
Bir demette 6 gül varsa 15 demetteki gül
sayısı
satmıştır.
12
6 . 15 = 90' dır. O halde çiçekci bir günde 90 gül
ÖRNEK A kentinden B kentine 2, B kentinden C kentine de 3 farklı yolla gidiliyorsa A kentinden B kentine _.Ç'amak şartıyla C kentine kaç farklı yoldan gidilebileceğini bulalım . ..,özüm arasındaki yolları
a, b; Bile C arasındaki yolları da c, Aile B arasındaki yolların kümesi {a, b}, : e C arasındaki yolların kümesi de { c, d, e} olsun. A' dan B' ye ak şartıyla C'ye gitmek isteyen bir kişinin seçebileceği yollasayısı { a, b} kümesi ile { c, e, d} kümesinin eleman sayılarının r:ımı kadardır. Yani 2. 3 = 6'dır. Aile B
- a olarak
adlandıralım:
Bu yolların seçimi yanda ağaç diyagramı ile .ar sıralı ikili olarak yazılmıştır. İnceleyiniz .
gösterilmiş
A
D
Rakamları farklı
b.
c. 500'den büyük kaç tek sayı
kaç
D --!- D
~~ b e
b ~:
={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile üç basamaklı ; sayı,
c
· ~:
ve
qNEK a. Kaç
a
~ B ~ C
sayı,
1. yol: {a, c) 2. yol: (a, d) 3. yol: (a, e) 4. yol : {b, c) 5. yol: {b, d) 6. yol: (b, e)
yazılabileceğini bulalım.
züm
x •
y
z
•
1 •
1
6
x •
6
*
*
.
1
z .
6
5
4
x
y
z
.
1
.
6
2
rakam
1
•
uyan
sayılar yazılırken;
yazılabilir .
tablodaki x yerine 6, y yerine 6 ve z yerine de 6 Çarpma yoluyla sayma prensibine göre 6 . 6 . 6 = 216 tane 3
basamaklı sayı yazılabilir.
6
y
1
Koşula
1
Koşula uyan sayılar yazılırken; tablodaki x yerine 6 rakam arasından biri, y yerine kalan 5 rakamdan biri, z yerine de kalan 4 rakamdan biri yazılır. Çarpma yoluyla sayma prensibine göre, 6 . 5 . 4 = 120 tane rakamları farklı 3 basamaklı sayı yazılabilir.
1
3
Bir sayının tek sayı olması için birler basamağındaki rakamın tek olması gerekir. Koşula uyan sayılar yazılırken; z yerine 1, 3, 5 rakamlarından biri, x yerine 5, 6 rakamlarınadan biri, y yerine de 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından biri yazılır.
3una göre, 2 . 6. 3
=36 tane 3 basamaklı 500' den büyük tek sayı yazılabilir.
EK andaki araç plakasının 1. bölmesindeki kutulara il kodu, il. bölmesindeara alfabemizdeki 29 harf arasından belirlenen 23 harf, 111. bölmedeki - ardan ilkine O gelmemek koşulu ile rakamlar yazılacaktır . Bu koşula göre, _ - aka oluşturulabileceğini bulalım.
1
il
111
!ooJoolooo!
zuın
odu tüm plakalarda
olacağından,
1. bölme içine tek seçim
yapılır.
il. bölmedeki kutulardan her
.e 23 harften biri gelecektir. 111. bölmedeki ilk kutuya O gelmiyeceğine göre 9 rakamdan biri tulara da 1O rakamdan biri ::
sayısı:
s·
yazılır.
Çarpma yoluyla sayma ilkesine göre,
1.23.23.9.10.10. = 476 100'dür.
ilimize ait plaka
sayısı
da 81 . 476 100 = 38 564100 olur. 13
koşula
yazılır.
uyan bir ile ait
ÖRNEK 6
farklı
a. Kaç
kitap bir farklı
kitaplık rafına
yan yana
konulacaktır.
Bu kitaplar
kitaplık rafına;
biçimde,
b. Belli iki kitap yan yana gelme
koşulu
ile kaç
farklı
biçimde dizilir?
Çözüm
a a. Raftaki
sıra
a yerine 6
farklı
c
b
e
d
olsun. kitaptan biri , b yerine kalan 5 kitaptan biri, c yerine kalan 4 kitaptan biri, ... , f yerine
de sona kalan 1 kitap konulur. O halde, çarpma yoluyla sayma prensibine göre, 6 kitap yan yana 6 .5 .4.3 .2 .1
= 720 farklı biçiminde dizilir.
b. Belli iki kitap yan yana geldiğinde , bu iki kitap tek kitap olarak kabul edilir. Bu durumda 5 kitap varmış gibi işlem yapılır. 5 kitap yan yana 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
farklı
biçimde dizilir.
Belli olan kitaplar A ve B olsun. Bu iki kitap birbirinden ayrılmayacağına göre, AB ya da BA gibi dizilir. O halde, belli iki kitap yan yana gelme 2 . 120 =240
farklı
koşulu
ile 6 kitap bir rafta
biçimde dizilir.
erKiNLiK ~~~~~~~~~~-......,,"""""""""""'...,.,........,,.....,,.......,,,,,,,_,.........___~
T
Araç ve Gereç: Dosya kağıdı, cetvel, kalem. a ve b harfleri ; x, y, z · şifre
rakamlarını
göstermek üzere bir evrak çantasına
yapılacaktır.
1
• Bu
şifre
için yandaki tabloyu dosya
kağıdına
çiziniz.
• 1. bölmedeki her kare için alfabemizdeki ilk 1O harften birisi, ıı. bölmeye de x yerine O gelmemek koşulu ile x, y ve z yerine ra. kamlar yazılacaktır . 1
• Verilen
koşullara
göre kaç
farklı şifre oluşturabileceğinizi
1. Bir sınıfta 32 öğrenci vardır . Bu sınıftan önce bir kaç değişik biçimde yapılabileceğini bulunuz. 2.
A ={O, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin
a. Kaç
ç. 3.
sayı yazılır?
sonra bir
başkan yardımcısı
seçiminin
elemanlarıyla rakamları farklı
b. Kaç tek
5 ile bölünebilen kaç
başkan,
bulunuz.
sayı yazılır?
ve dört basamaklı; c. Kaç çift sayı yazılır?
d. 25 ile bölünebilen kaç sayı yazılır?
sayı yazılır?
A kentinden B kentine 3 farklı yol , B kentinden C kentine de 2 farklı yol vardır. Bir kimse her seferinde B kentinden geçmek
koşulu
ile
a. A' dan C' ye kaç
değişik şekilde
gidebilir?
b. A' dan C' ye kaç
değişik şekilde
gidip dönebilir?
4. 24
kişilik
bir
sınıftan
önce bir
başkan,
sonra bir
başkan yardımcısı ,
sonra da laboratuvar sorum-
lusu seçilecektir. Bu seçimin kaç değişik biçimde yapılabileceğini bulunuz.
5. Rakamlar kümesinin koşulu
ile kaç çift
elemanları
ile 3 basamaklı sayılar yazılacaktır. Bir rakamı bir kez kullanmak
sayı yazılır?
14
10.1.1.2. SINIRSIZ SAYIDA TEKRARLAYAN NESNELERİN DİZİLİŞLERİNİ (PERMÜTASYONLARINI) ÖRNEKLERLE AÇIKLAMA 264
t t
Okul numaram 246 ' dır . Numaramdaki rakamların yerlerini değiştirerek oluşturdu ğum sayıları ağaç diyagramı ile gösterdim. Bu sayıların her biri {2 , 4, 6} kümesinin bir permütasyonudur.
Elemanlı
<1
462 642
624
t t
t
~~JJ ~~
6
Permütasyonları
Bir Kümenin n'li
BİLGİ elemanlarının farklı dizil i şlerinin
• 3-" A kümesinin
= n ise A kümesinin n' li
• -
426
her biri A kümesinin bir permütasyonudur.
permütasyonlarının sayısı
P(n, n) ile gösterilir.
EK .:. · inin dizilmiş 4 sandalyeye kaç
değişik şekilde
oturabileceklerini
bulalım .
.,, - sandalyeye 4 kişi 4 farklı
şekilde ,
- sandalyeye kalan 3 kişi 3 farklı
şekilde ,
- sarx:lalyeye kalan 2 kişi 2 farklı şekilde ve .:. sandalyeye de kalan 1 kişi oturur. G duyla sayma prensibine göre 4 kişi - 5i:?'dalyeye farklı
-
oturuşlarının sayısı ,
3. 2. 1=24
- =
Bu da 4 elemanlı bir kümenin 4' 1ü 3 . 2 . 1' dir.
permütasyonlarının sayısıdır.
Bu
sayı
P(4.4) ile ifade edilir.
~ .
- -~
4' e kadar ardışık doğal sayıların !ICr::ı:rıca.,.. okunur. 4! = 1 . 2 . 3 . 4' tür. oriyel
çarpımının
gösterimi 4!
şeklindedir.
Bu ifade " 4 faktöriyel"
Kavramı
BİLGİ
- olm ak üzere, 1' den n' ye kadar olan
-
ardışık doğal sayıların çarpımına
e gösterilir.
- = • . 2 . 3 .... . (n - 1) . n' dir.
= • ve O! = 1 olarak tanımlanır. EKLER
: =-
. 2 . 3 . 4 . 5=120' dir. 7!
- = - 2.3.4.5.6.7.8 = 7! . 8' dir. _ = - .9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10.9! ve
=- - -1) (n -
2)! biçiminde
yazılabilir .
15
n faktöriyel denir ve
ÖRNEK KALEM kelimesinde, harflerin yerlerini
değiştirerek anlamlı
ya da
anlamsız
kaç kelime
yazılabile
ceğini bulalım.
Çözüm
" KALEM" kelimesinde 5 farklı harf vardır . Bu harflerin oluşturduğu
a
b
c
d
e
5
4
3
2
1
küme {K, A, L, E, M}'dir. Yandaki tabloda a yerine bu kümedeki 5 harften biri , b yerine kalan 4 harften biri, c yerine kalan 3 harften biri , d yerine kalan 2 harften yazılır.
biri ve e yerine de kalan harf sayısı
Çarpma yoluyla sayma prensibine göre,
yazılabilecek
kelime
5. 4. 3 . 2 . 1 = 120' dir. sayı
Bu
5
elemanlı
bir kümenin 5' 1i
permütasyonlarının sayısıdır.
P(5, 5)
=5! şeklinde yazılır.
ÖRNEK Her rakam
aynı
yazılarak
büyüklükteki kartlara
tekrar torbaya konmak
koşulu
bir torbaya konuyor. Bu torbadan çekilen bir kart
ile 3 kez kart çekilirse kaç farklı
diziliş olacağını bulalım.
Çözüm Rakamların sayısı
1O olduğundan, her rakamı çekmek için 1O farklı yol vardır. Çekiliş sayısı 3 oldu-
ğundan, çarpma yoluyla sayma prensibine göre, çeşit
O halde, n
nesne ile
oluşturulabilecek
1O . 1O . 1O = 1o3 farklı şekilde diziliş oluşur. r' li
dizilişlerin sayısı
nr dir.
ÖRNEK 3 mektup 4 değişik posta kutusundan a. Her mektup
farklı
postalanacaktır.
posta kutusundan
postalandığında ,
b. Mektupların farklı posta kutusundan postalanma zorunluluğu yoksa, bu 3 mektubun kaç değişik
biçimde
postalanabileceğini bulalım.
Çözüm a. Her mektup farklı posta kutusundan
postalanırsa,
1. mektup 4 farklı kutudan birine, 2. mektup ka-
lan 3 kutudan birine ve 3. mektup da kalan 2 kutudan birine atılmak koşulu
b.
ile 3 mektup 4 . 3 . 2 = 24
Mektupların farklı
değişik
kutulara konulma
nulabilir. Bu durumda 1. mektup için 4 değişik kutu kullan ı labilir. Buna göre
biçimde
zorunluluğu
değişik
atılır.
Buna göre, her mektup
farklı
kutulara
postalanır.
yoksa 3 mektup herhangi bir kutuya birlikte ko-
kutu , 2. mektup için 4 değişik kutu ve 3. mektup için de 4
3 mektup 4 . 4 . 4 =43
=64 değişik biçimde postalanır.
ÖRNEK 3 farklı roman, 3 farklı hikaye ve 2 farklı şiir kitabının bir rafa kaç değişik şekilde romanlar bir arada olmak koşulu ile kaç değ i ş ik biçimde d izi lebi leceğini bulalım .
dizilebileceğini
ve
Çözüm
•
Kitapların sayısı
3 + 3 + 2 = 8' dir. 8
• Romanlar bir arada olur. 6 kitabın rinin
sayısı
lerinin
olduğunda,
kitabın
bir rafta
P(8,8) = 8!' dir.
romanlar 1 kitap kabul edilir. Bu durumda kitap
farklı dizilişlerinin sayısı
P(6, 6) =6!' dir. Romanların da kendi
sayısı
1+3+2
=6
aralarında farklı dizilişle
=3!' dir. Buna göre romanlar bir arada olmak koşulu ile bu kitapların farklı diziliş 6! 3! =720 . 6 =4320' dir.
P(3, 3)
sayısı
farklı dizilişlerinin sayısı
16
.1.1.3. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r TANE ELEMANININ KAÇ FARKLI ŞEKİLDE SEÇİLİP SIRALANABİLECEGİNİ HESAPLAMA --..,
ık raflarındaki kitapların
ve telefon tellerine
konmuş kırlangıçların
konumu
sıralı
bir
diziliştir.
BİLGİ :<emanlı
bir kümenin, r s n olmak üzere, birbirinden farklı r tane elemanlarından oluşan sıralı en her birine, n elemanlı bir kümenin r'li bir permütasyonu denir ve r' li permütasyon sa::: ~ r) ile gösterilir.
İNCELEYEREK ÖGRENELİM
- =n ve r sn olmak üzere, A kümesinin r' li permütasyonlarının sayısının, n! olduğunu
, = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1) ya da P(n, r) =
gösterelim.
(n-r)!
n: s(A) = n ver s n' dir.
n!
n: P(n, r) = n(n -1) (n- 2) ... (n - r + 1) =
' dir. (n - r)!
X1
ümesinin r'li permütasyonlarını
X3
Xr
(O O O
O) t , ... , t t,t' n
• erine A kümesinin n tane
X2
elemanı ,
n-1
n farklı
ile gösterelim :
n-2
n-(r-1)
şekilde yazılabilir.
_ . erine de A kümesinin elemanlarından biri x1 yerine - • 'arklı şekilde yazılabilir.
yazıldıktan
sonra geri kalan n - 1 elema-
er şekilde işleme devam edilirse xr yerine de A kümesinin kalan n - (r - 1) tane n - r + 1) farklı şekilde yazılabilir .
--
: -.:. e, A kümesinin r' li
permütasyonlarının sayısı,
çarpma yoluyla sayma prensibine göre ;
- - • =n(n-1)(n-2) .. . (n-r+1) ile bulunur. ·:::
~
r) = n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) r
eşitliğinin sağ tarafını
n(n-1)(n-2) ... (n-r+1)(n-r)! =---------
(n-r)! ile
çarpalım
ve bölelim:
[(n-r)! = (n-r)(n-r-1) ... 3. 2. 1]
(n-r)! =
n(n-1)(n-2) .. . (n-r+1)(n-r)(n-r-1) ... 3.2.1 (n-r)! e, s(A)
n! =---olur. (n-r)!
=n ise A kümesinin r' li permütasyonların ı n sayısı P(n, r) = __n_!- ' dir.
arak r = n
=
n! n! P(n, n) = - - - - - (n-n)! O!
... = n(n-1 )(n-2) ... 3.2.1' dir.
(n-r)! (O! = 1 olarak
n! = - - = n!' dir. 1
17
elemanı
tanımlanır.)
ÖRNEK A = {a, b, c, d, e} kümesinin 3' 1ü
permütasyonlarının sayısını bulalım.
Çözüm elemanının farklı sıralanışlarından
A kümesinin 3 lü bir permütasyonu, A kümesinin 3 Bu
sıralanışı
yanda çizilen kutularda gösterelim.
olduğundan
s(A) = 5
A kümesinin
Çarpma yoluyla sayma prensibine göre, 5 Bu
yazılış ,
P(5, 3) = 5.4.3
şeklinde
2
3
4
3
DDD
elemanları ;
1. kutuya 5 farklı , 2. kutuya kalan 4 eleman 4 eleman 3 farklı şekilde yerleştirilir.
biridir.
farklı ,
elemanın
5
3. kutuya da kalan 3
3' 1ü
permütasyonlarının sayısı ,
5.4.3 =
60 ' tır .
ifade edilir.
O halde, n ~ 3 = P(n, 3) = n(n -1)(n- 2) ve n ~ r = P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1) olur. Ayrıca,
n! P(n, r) = - - ifadesinden= 5 ve r = 3 (n - r)!
P(5, 3) =
5!
=-
(5 - 3)!
yazılırsa
5!
5.4.3.2! = - - - = 5.4.3 = 60 bulunur. 2! 2!
ÖRNEK P(n, 2) = 56 ise n Çözüm P(n, 2) =
değerini bulalım.
1 2 n! = n(n - )(n - )! = n(n - 1) = n2 - n olur. (n-2)! (n-2)!
n2 - n = 56 = n2 - n - 56 = O (n + 7)(n - 8) =O= n = -7 veya n = 8' dir. n EN+
olduğundan ,
n = 8 bulunur.
ÖRNEK 8 atletin
katıldığı
100 metre
yarışında altın , gümüş
ve bronz
madalyanın
kaç
farklı şekilde dağıtıla
bileceğini bulalım.
Çözüm n = 8 ve r = 3 = P(8,3} = 8. 7. 6 = 336 bulunur. Madalyalar 8 atlet
arasında
336
farklı
biçimde
dağıtılabilir .
ÖRNEK A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin 3'1ü
permütasyonlarının
kaç tanesinde 7 bulunur?
Çözüm A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin 3' 1ü P(5, 3) = 5 . 4 . 3 =
60 ' tır.
A kümesinden 7 yi
çıkarırsak
permütasyonlarının sayısı
{1 , 3, 5, 9} kümesinin 3' 1ü
18
olduğundan ,
permütasyonlarının sayısı
P(4, 3) = 4. 3 . 2 = 24 olur. Buna göre, A kümesinin 3' 1ü P(5, 3) - P(4, 3) = 60 - 24 = 36 tanesinde 7 bulunur.
s(A) = 5
permütasyonlarının ,
da
ALIŞTIRMALAR""""""'===============~
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Her çocuğa bir oyuncak verilmek koşuluyla 5 farklı oyuncak 5 çocuğa .. .......... .. ...... .. ...... . değişik biçimde dağıtılır . b. P(n + 1, 4) = 10 . P(n , 2) ~ n = ...... ........ .... .... .
c.
"BARIŞ"
kelime
kelimesinin harfleri ile AR ile başlayan anlamlı ya da anlamsız .. .. ...... .. .......... .. ...... .
yazılır.
kız ile 4 erkek öğrenci , erkekler arka sırada ve kızlar ön sırada olmak üzere kaç değişik fotoğraf çektirirler?
2. 3
3. T
4.
c. 96
B. 72
A.48
120
E. 144
={A, B, C, O , E, F} kümesinin 5' 1i permütasyonlarından kaç tanesinde A bulunur?
Aşağıdaki
ifadelerde n
değerini
a. P(n , 2) = 42 5.
o.
Aralarında Tü l in
koltuk
bulunuz.
b. 6. P(n , 2)
ve Erkan' ın
bulunduğu
6
= P(n, 3) kişi
c.
=6 . P(n , 3)
P(n , 4)
sinemaya gidiyorlar. Bu 6
kişi
sinema salonundaki
sırasında ;
a. Kaç
değişik
biçimde oturabilirler?
b. Tülin ile Erkan yan yana oturmak
koşulu
c. Tülin ile Erkan yan yana oturmamak 6. Alfabedeki harfleri kullanarak
anlamlı
ile kaç
koşulu
ya da
değişik
ile kaç
anlamsız
biçimde oturabilirler?
değişik
biçimde oturabilirler?
4 harfli kaç kelime
7. Galatasaray ile Fenerbahçe' nin maç yaptığı bir stad önünde
yazılabilir?
sıralı dikilmiş
7 bayrak' direğine 4 FB
ve 3 GS bayrağı kaç farklı biçimde asılabilir?
Vazoda bulunan 9 çiçek arasından ikisini seçmek istiyorum. Seçeceğim 2 çiçek, 9 çiçekten
oluşan
çiçek kümesinin 2' li bir
kombinasyonudur .
..Q
BİLGİ
1. s(A) = n ise A kümesinin r' li (r sn ) sayısı da C(n , r) ile gösterilir.
permütasyonlarının sayısı
P(n, r) ; r' li
kombinasyonlarının
2. A kümesinin r' li permütasyonlarının sayısı r' li kombinasyonlarının sayısının r! katıdır . P(n, r)
=r! . C(n , r) olur. 19
1
~ İNCELEYEREK ÖGRENELİM n elemanlı bir A kümesinin r' li
J
Verilen: s(A)
kombinasyonlarının sayısı C(n, r) = - - - - ' dir. n!
r!.(n-r)!
n!
= n ve P(n, r) =
' dir.
(n - r)! n! İstenen: C(n, r) = - - - r!(n-r)! İspat: A = {a 1 , a2 , . .. , ar> ar+ 1 , .. . ,an} kümesinin bir alt kümesi B = {a 1, a 2 , a3 , . .. , ar} olsun. B kümesi A kümesinin r' li kombinasyonudur. s(B) = r olduğundan , B kümesinin r! tane r'li permütasyonu vardır .
O halde , A kümesinin r' li permütasyonlarının sayısı olan P(n, r) ile r' li olan C(n, r) arasında, C(n, r) . r! = P(n , r) eşitliği yazılır.
kombinasyonlarının sayısı
n! Bu
eşitlikten ,
C(n , r) =
P(n , r)
=
(n - r)!
r!
n!
= - - - bulunur.
r!(n - r) !
r!
AÇIKLAMA
• A kümesinin r' li
kombinasyonlarının sayısı
r' li alt kümelerinin
• A kümesinin r'li bir kombinasyonundaki r tane • A kümesinin r' li permütasyonunda • Permütasyonda
sıralı diziliş ,
sayısıdır.
elemanın yazılışında sıranın
sıralanışının
önemi
önemi yoktur.
vardır.
kombinasyonda seçim söz konusudur.
• C(n , r) ifadesi ( ~ ) şeklinde de yazılır.
ÖRNEK
Tülin 7 yakın
arkadaşı arasından
a. Tülin' in 4 arkadaşını kaç b.
Arkadaşlarından
4' ünü evine davet etmek istiyor.
farklı şekilde seçebileceğini ,
ikisinin beraber olmak istememesi halinde Tülin ' in bu 4
arkadaşını
kaç
farklı
şekilde seçebileceğini bulalım.
Çözüm a.
Tu·· ı·ın 4 ar kad aşını , C(7 , 4) =
b. Beraber olmak istemeyen 2 farklı
seçebilir.
Ayrıca
Buna göre, seçim C(5 4)
'
+
bu 5
7 ·6 ·5 .4! 4 1..3.1
kişiyi
çıkarırsa
gruptan
kişi arasından
= -7 ·6 ·5 = 35 3 .2 . 1
geri kalanlar
farki ı b.ıçım . de seçe b·ı ı ·ır. arasından
seçerek elde edilen 3' 1ü gruplara 2
4
'
5
5
! 2 ' = 4!(5-4)! + . 3!(5-3)! =
5 .4! 2 5 .4. 3 ! 4!.1 ! + . 3!.2!
= 5 + 2 . 1O = 5 + 20 = 25 bulunur.
20
kişi
kişiden
sayısı,
2 C(5 3)
.
7 ( _! ) 4.1 7 4 1.
C(5, 4) kadar
biri
çağrılabilir.
ÖRNEK karşılaşan
Bayramda
7
kişi arasında
kaç
tokalaşma olabileceğini bulalım .
Çözüm Tokalaşma ""18.lllı
n
2 kişi bir kümenin 2' 1i
arasında
olur. O halde
7 ele-
C)= ___nı
=7 ve r =2 ==>
__ r!(n-r)!
7) 7! ==> 2 = 2!(7 - 2)! (
7
tokalaşma sayısı
kombinasyon l arının sayısı kadardır .
7 . 6 . 5!
=
= 21 olur.
2 . 5!
kişi arasında yapılabilecek tokalaşma sayısı
21 ' dir.
ÖRNEK 5'i kırmızı , ?'si beyaz olan güller arasından 3' ü beyaz, 2' si kırmızı bir gül demetinin kaç farklı biçimde oluşturulabileceğini bulalım. Çözüm
•
K ı rmızı
güller { K1 , K2 , K3 , K4 , K5 } ise bu kümeden
{ K1 , K2 } , {K 1, K3} , ... gibi seçilen
ikişerli
güllerin
sayısı
(!) =10' dur. G) • Beyaz güller {B 1 , B2 ,
... ,
B7} ise bu kümeden {B 1, B2 , B3} ,
{ B1 , B2 , B4}, ... gibi seçilen üçerli güllerin • G) ve ®
sayısı
G)=
35' tir.
®
den 2' si kırmızı ve 3' ü beyaz olan { K1, K2 , B1, B2 , B3} , .. . gibi gül demetlerinin sayısı , çarp-
ma yoluyla sayma prensibine göre,
(!).G)= 10. 35 =350 bulunur.
ÖRNEK Bir düzlemde 8 farklı nokta veriliyor. Buna göre ;
a. Herhangi üçü doğrusal olmayan bu 8 nokta kaç doğru b. Herhangi üçü
doğrusal
parçası
belirtir?
olmayan bu 8 nokta kaç üçgen belirtir?
Çözüm N oktaların
kümesi , N ={A, B, C, D, E, F, G, H } olsun.
a. Farkl ı iki noktadan bir doğru
geçtiğ i nden ,
= · doğru parçaları oluşur . Bu doğru C(8, 2)
.e
=
8! 2! (8 - 2)!
bu noktalar ikişer ikişer birleştirilirse [AB], [AC], .. ., [GH] parçalarının sayısı , C(8, 2) kadardır .
8. 7 . 6!
=- - - - =28 bulunur. 2 . 6!
b. Bir düzlemin doğrusal olmayan farklı 3 noktası ikişer ikişer birleştirilirse bir üçgen meydana gelir . noktalardan da ABC, ..., FGH gibi üçgenler oluşturulur. Bu üçgenlerin sayıs ı, C(8, 3) kadardır .
·ıen
C(8, 3)
8!
8.7.6 . 5!
3! (8-3)!
3. 2 . 5!
=- - - - =- - - - =56 bulunur.
21
ÖRNEK 5 usta ve 4
işçi arasından
en az 2'si
işçi
olan 5
kişilik
bir ekibin kaç
farklı şekilde seçilebileceğini
bulalım.
Çözüm
4'ü
Seçilecek ekiplerin her birinde en az 2 olanlar şeklinde seçilir.
işçi olacağından
ekipler; 2' si
işçi
olanlar, 3'ü
işçi
olanlar ve
işçi
Buna göre; 2'si
işçi olan 5 kişilik ekip sayısı (:).G).
3'ü
işçi olan 5 kişilik ekip sayısı(~)·G) ve
4'ü
işçi olan 5 kişilik ekip sayısı (:).(~)'dir.
Koşula uygun ekip sayısı; (:).G)+ (;).G)+ (:).(~) 6 . 1O + 4 . 1O + 1 . 5 = 60 + 40 + 5 = 105 bulunur.
ÖRNEK Düzlemde birbirine paralel 5 doğru ile bu paralel doğruları kesen ve birbirine paralel 3 yor. Bu doğruların kaç paralelkenar oluşturduğunu bulalım.
doğru
verili-
Çözüm Şekle
göre, d 1 // d2 // d3 // d4 // d5 ve 4-~~~--,''----.,L~--.,L~--,''----.,L~~~~~- k2
k1 // k2 // k3 tür.
.-~~r----,<----,<--~r----,<--~~~~~~~ k3
Bir paralelkenar oluşturmak için d 1 , d2 , d3 , d4 , d5 doğruları arasından 2, k1 , k2 , k3 doğruları arasın dan da 2 doğru seçmek gerekir. Çünkü şekildeki paralelkenarlardan herhangi birinin karşılıklı iki kenarı d 1 , d2 , d3 , d4 , d5 doğrularından ikisi üzerinde ise diğer karşılıklı iki kenarı da k1, k2 , k3 doğrularından ikisi üzerindedir. Buna göre, şekildeki paralelkenar sayısı, C(5, 2) . C(3, 2)
= 1O . 3 = 30 bulunur.
ÖRNEK C(n, r) = C(n, n - r)
olduğunu
gösterelim.
Çözüm
C(n, r)
= ( nr ) = r! (nn!_ r) ! = a olsun . 0r1\
C(n n - r) '
CD ve ®
=(
n ) n-r
=
n! (n-r)![n-(n-r)]!
= (n - n!r) ! r! = a' dır.
®
den, C(n, r) = C(n , n - r) ve ( ~ ) = ( n ~ r ) olduğu görülür.
O halde, eleman
sayısı
n olan bir küme için
(~) = (n~o) = ( ~ ). (~) = ( n~ 1)' ( ~ ) = (n~ 2 )' 22
·· ·'
(~) = ( n~ r) ' dir.
ÖRNEK
s(A) = 20 ise A kümesinin 18' 1i
kombinasyonlarının sayısını bulalım .
':özüm
~ ) = ( n~ r ) olduğundan ,( ~~ ) = ( 20 ~0 18 ) = ( 22° )' dir. 10
220 ) =
20! p0 .19.J8f 21 (20 _ 2) ! = 1 _,2'. J8f = 190 bulunur.
EK
Bir öğrenci bir vazoda bulunan 6 gül arasından 1 veya daha fazla gülü seçerek öğretmenine vermek . Öğrencinin bu seçimi kaç farklı şekilde yapabileceğini bulalım.
m
Gül
sayısı
6
olduğundan , farklı
seçme
işlemlerinin sayısı ,
6
elemanlı
kümenin 1, 2, 3, 4, 5 ve 6
~.anlı alt kümelerinin sayıları toplamı olur. Güllerin oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 26 = 64
- ndan, öğrenci ;
Bu örnekten kombinasyonla ilgili
~)= (:
•
) = 15 ve ( ~ ) = 20
Aşağ ı daki noktalı
a
özellikleri yazabiliriz.
olduğundan 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64'tür.
yerleri doldurunuz.
0
( ~ ) +C:) = ....
Aşağ ı daki
aşağıdaki
b.
5G) =3G)~ n= ....
ifadeler doğruysa " D'',
yanlışsa
c.
(1 ~) değeri r = .... için en büyüktür.
" Y" yazınız.
a 9 basketbolcu arasından 5 kişilik bir takım 126 farklı şekilde şeçilir. b. 9 basketbolcu seçilir.
O
arasından
kaptan
değişmemek koşulu
ile 5
kişilik
O
bir
takım
60
farklı şekilde
c. 5 erkek 7 kız öğrenci arasından üçü erkek öğrenci olmak koşuluyla 5 kişilik bir ekip 21 Ofarkl ı
şeki lde seçilir.
D
23
3.
Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 11 nokta veriliyor. Buna göre ;
a. Bu noktalar kaç
doğru
belirtir?
b. Bu noktalar kaç üçgen belirtir?
c. Bu noktalarla birer köşeleri ortak olan kaç üçgen oluşturulabili r?
4. Bir çember üzerinde 10 nokta
alınıyor. Köşeleri
bu noktalardan 4'ü olan kaç dörtgen çizilebilir?
öğrenci 1O soruluk bir sınavda 8 soruya cevap verecektir. Bu öğrencinin ilk 3 soruya cevap vermesi zorunlu olduğuna göre, cevap vereceğ i soruları kaç farklı biçimde seçebilir?
5. Bir
ile bu doğruları kesen ve birbirine paralel 4 doğru veriliyor. Bu doğruların oluşturduğu şekilde kaç paralelkenar vardır?
6. Bir düzlemde 6 paralel 7.
doğru
Bir düzlemde bulunan 8 doğrudan 4' ü birbirine paraleldir. Bu doğrular en fazla kaç noktada kes i şir?
8. P(n, 1) + C(n, 1) + C(n , 2) 9. 7.C(n, 2)
= 3.C(n, 3) ise n kaçtır?
10.
5' i kırmızı olan 8 gül arasından en az biri kırmızı olmak koşulu ile 3 gül kaç değişik biçimde seçilir?
11.
Bir tebeşir kutusunda 5 beyaz 4 kırmızı tebeşir vardır. Bu kutudan 3' ü beyaz ve 2' si kırmızı 5 tebeşir
12.
1
=20 ise P(n, 3) kaçtır?
kaç farklı şekilde seçilir?
Bir sağlık ocağında 3 doktor 4 hemşire vardır . Doktor ve hemşirelerden oluşan 4 kişilik bir ekibin kaç tanesinde en az bir doktor vardır?
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları ile yazılan rakamları farklı 5 basamaklı sayı lardan kaç tanesinin rakamlarının ikisi çift 3' ü tek olduğurnı-bulunuz.
13. A
10.1.1.5. PASCAL ÖZDEŞLİGİ VE PASCAL ÜÇGENİNİ OLUŞTURMA Pascal özdeşliği veya "Pascal üçgeni" olarak isimlendirilen konu ve kavramlar, Pascal'dan önce aralarında Ömer Hayyam' ın da bulunduğu Hint, Çin ve İslam medeniyetindeki matematikçi ve düşünürler tarafın
dan ele alınmıştır.
ÖMER HAYYAM (1016-1123) Selçuklu devrinin tanınmış alim ve şairi Hayyam 'ın asıl adı Ebül Feth İbrahim Gıyasedin el Hayyami'dir. Nişabur 'da dünyaya gelen Hayyam, öğrenimini de doğduğu şehirde yapmıştır.
Ömer Hayyam, Grek, Hind ve kendisinden önceki İslam matematikçilerinin çözemedikleri cebir denklemlerini sistemli metodlarla çözmüş, cebir, astronomi, fizik, meteoroloji ve felsefeyle ilgili değerli eserler
":>)
,\.. '\ ,
yazm ıştır.
/, ~
.
Hayyam, şiir ve edebiyat dünyasında ne kadar ünlüyse, ilim aleminde de ondan daha fazla şöhrete layıktır. Çünkü o, cebirde ders kitap/arma geçecek kadar açık bir şekilde denklemleri smı/landırarak özellikle ikinci derece denklemlerin çözümünü açıklamıştır. Selçuklu Sultanı Meik<;ah tarafindan Rey Rasathanesi 'ne davet o lunmuş "Takvim-i Celalf" diğer adıyla "Zic-i Melik Şahf" (Melikşah adına astronomik tablolar)yi hazırla mıştır. Hayyam, meslektaşlarıyla fikir alışverişinde bulunmaktan haz duyan ve onlardan faydalanmaya çalışan ilmi kişiliğe sahip olmuştur. Cebir, geometri, astronomi konularında çalışmaları olan Hayyam 'ın JO 'dan fazla eseri vardır. Cebire ait Arapça metni Fransızca tercümesi ile 1851 'de Woepcke tarafından Paris 'te yayımlanmıştır. (Göker, Lütfi, Matematik Tarihi ve Türk İslam matematikçilerin yeri, MEB yaymevi, İstanbul, 1997). 24
Pascal Üçgeni x + y iki terimlisinin sıfırıncı kuvvetinden ;österilmiştir. Ayrıca , her açılımdaki terimlerin rul muştur. Bu üçgen Pascal üçgenidir. (x + y)O
başlanılarak sıra katsayıları
ile kuvvetleri alınıp özdeşleri aşağıda da gösterilmiş ve katsayılarla bir üçgen oluş
=1
(x + y) 1 = x + y
1
(x + y) 2 =x2 + 2xy + y2
1 ~1' 2 3 \ ,1 3
=x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 =x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x + y)3 (x + (x + y)5
y) 4
1
= x5 + 5x4y + 1Ox3y2 + 1Ox2y3 + 5xy4 + y5
{x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 +y6
5
4~ 4 10 10
@
6
2/
1
5
15
6
AÇIKLAMA
Pascal üçgeninde; 1. Her
satırın
2. Her
satırda baştan
3. Bir üst
ilk ve son terimleri 1' dir.
ve sondan
satırın komşu
aynı uzaklıktaki
iki teriminin
toplamı,
alt
terimler
satırdaki
aynıdır.
bu iki terim
arasındaki
terimi
oluşturur.
ÖRNEK x + y)S~mını Pascal üçgeni yardımı ile bulalım . Çözüm x + y iki terimlisinin herhangi bir kuvvetinde x'in üsleri birer azalırken y' nin üsleri birer artar. Buna
x + y)5
=• x5 + • x4 y + • x3 y2 + • x2 y3 + • x y4 + • y5 tir.
9 u açılımda • yerine, Pascal üçgenindeki (x + y) 5 açılımının katsayıları (1, 5, 1O, 1O, 5, 1) sıra ile ::..:: rsa
+ 5x4y + 1Ox3 y2 + 1Ox2 y3 + 5xy4 + y5 bulunur.
x5
E N için (x + y)n
açılımı,
n n(n-1) n(n-1)(n-2) n(n-1) n x + yr =xn + - xn--1 Y+ xn--2 y2 + xn--3 y3 + ... + x2 yn--2 + - xyn--1 + yn dir. 1 1.2 1.2.3 1.2 1 Bu
açılımda;
. Her terimde x ile y' nin üslerinin
2. x· in üsleri birer
azalırken
3.
Baştan
-.
Katsayılar toplamı
ve sondan
toplamın
olur.
y' nin üsleri birer artar.
aynı uzaklıktaki
terimlerin
x = y = 1 için (1 + 1)n
katsayıları aynıdır.
=2n olur.
5. Terimlerden biri axb ye ise bu terimden sonra gelen terimin -
katsayısı
a.b olur c+ 1
(Baştan r. terimin
- ıs ı aynı terimdeki x' in üssü ile çarpılır ; bulunan çarpım aynı terimdeki y·nin üssünün 1 fazlasına - -rse bu terimden sonra gelen yani baştan (r + 1)'inci terimin katsayısı bulunur.).
25
ÖRNEK açılımının
(x + y)n
ilk dört terimini
yazalım.
Çözüm
= 1. xn yO +
(x + y)n
* xn-1 y + *xn-2 y2 + * xn-3 y3 + .. . + *x2 yn-2 + *x yn-1 + 1 . xO yn açılı göre,
mında , yukarıdaki açıklamaya
• 1. terimin
katsayısı:
1
• 2. terimin katsayısı : 1. .!!. = n 1 • 3. terimin
• 4.
. .
katsayısı: 1. .!!. n-1 = n (n- 1) ve
terımın katsayısı:
• (x + y)n
1. 2
1.
n n-1
1 .-2-
=xn + n.xn-1 y +
1.2
n-2 .- 3
n(n-1) 1.2
=
n(n-1)(n-2) , .. .. . . tur. Buna gore; 123
xn-2 . y2 +
n(n-1)(n-2) 1. 2. 3
xn-3 y3 + .. .
ÖRNEK (x + 2) 6 açılımını Pascal üçgeni yardımı ile bulalım .
~m (x + 2)6 = *x6 + *x5. 2 + *x4.22 + *x3.23 + *x2.24 + *x.25 + *26 dır . Bu açılımda *yerine, Pascal üçgenindeki (x + y) 6 açılımının katsayılarını (1 , 6, 15, 20, 15, 6, 1) sıra ile yazalım. (x + 2)6 = 1 . x6 + 6 . x5 . 2 + 15 . x4 . 4 + 20 . x3 . 8 + 15 . x2 . 16 + 6 . x . 32 + 1 . 64
=x6 + 12xs + 60x 4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64
1.
Aşağıdaki
ifadelerin özdeşlerini Pascal üçgeninden yararlanarak bulunuz. 4 a. (2x-y) b. (x + 2y)5 c. (x + y)6 ç. (x - 1)6
2. x5 + 5x4 + 1Qx3 + 1Ox2 + 5x + 4 r
bulunur.
= (x + 1)n + m ise m + n
kaçtır?
BLAİSE PASCAL (1623 - 1662) Ünlü Fransız matematikçidir. Küçük yaşlarda matematikle ilgilenmiş 14 yaşına gelince ilmi tartışmalara kabul edilmiştir. Bu tartışmaların yapısı, Fransız İlimler Akademisi' ni doğurmuştur. dır.
Pascal, Fermat ile olasılıklar kuramını kurarak yeni bir matematik konusunu ortaya çıkarmışlar Pascal kendi adıyla anılan Pascal üçgenini oluşturmuştur. Pascal üçgeni, Binam açılımındaki
katsayıları
l
bulmaya yarar.
Pascal ' ın
bu üçgeni
olasılıklar kuramında
da
kullanılır.
Bilim Tarihi-Prof. Saraç, Celal-MEB Yaymevi 1983.
26
10.1.1.6. BİNOM TEOREMİNİ AÇIKLAMA VE AÇIUMDAKİ KATSAYILARI PASCAL ÜÇGENİ İLE İLİŞKİLENDİRME
Uçurtmamım
ğunda
kuyruhangi iki terimin
kaçıncı
kuwetinin terimler
açılımındaki
yazılıdır?
Af,
~-- İNCELEYEREK ÖGRENELİM
-
Binom teoremi: x, y E IR ven E iN olmak üzere;
(x + y)n =
(~)
xn +
(~)
xn-1 y + ... +
C)
xn-r
yr + ... + (n:
1
) xyn-1 +
(~) yn dir.
İspat: (x + y)n açılımını Pascal özdeşliğine göre ifadesini yazalım.
(x + y)n = 1. xn yO + * xn-1 y + *xn-2 y2 + ... + * x yn-1+1 . xO yn dir. Pascal üçgeninden, * yerlerine olduğunu biliyoruz. (
ile 1, n,
n (n-1) n (n-1) (n-2) _ , 1.2.3 12
n) (n) (n) n(n-1) (n) n(n-1)(n-2) _ = n, = = 1, _ , = __ , ... oldugundan bu 12 123 1 2 0 3
(x + y)n =
(~)
biçiminde
yazılır.
Bu
xn +
(~) xn-1
y + G) xn-2 y2 + ... +
C)
xn-r
yr + ... + (n:
1
açılım;
) xyn-1 +
(~)yn
açılımda;
• Her terimde x ve y'nin üsleri • Terim
sayısın+
C)
Baştan
•
Katsayıları (~). (~).G)· ... , Baştan
toplamı
n olur.
1'dir.
•
•
yazılacak katsayıların sıra
(r + 1) inci terim
ve sondan
xn-r yr dir. Bu terime genel terim de denir.
C)· . . ,C)'dir. Bu ifadelere Binom katsayıları denir.
aynı uzaklıktaki
terimlerin
katsayıları
Pascal üçgeninin
satırlarında olduğu
gibi
aynıdır.
Katsayılar toplamı
•
x = y = 1 yazılarak bulunur.
x=y=1 =:.(1 +1)n
=(~)+(~)+G)+ ... +(n:1)+C)=2ndir.
ÖRNEK
x -2y)B açılımında x2 y6 lı terimin katsayısını bulalım. Çözüm
Verilen - 2.
açılımda,
bu terim
n = 8 ve y'nin kuvveti
6'dır.
Bu terim
baştan
yedinci terimdir. Pascal üçgenine
8(8- 1)(8- 2)(8- 3)(8- 4)(8- 5) . x2 . (-2y)6 şeklinde yazılır. Buradan, 1. 2.3.4.5.6
27
9 .7 .%.%.1.1 2 6 2 6 - - - - - · x · 64 . y = 1792 x y bulunur. 1.2.$.}f.%.% ÖRNEK
(x +
; 2)
9
açılımında sabit terim varsa bu terimi bulalım.
Çözüm (X+
:2
raçılımında
sabit terim varsa bu terim k . xO = k' dir.
k . xO terimi k . xP . (x-2l = k . xP - 2r şeklinde yazılabilir (r, p E iN). Bu terimde p - 2r = O => p = 2r dir. p + r = 9 => 2r + r = 9 ve r = 3'tür. r = 3 => p = 2r = 2 . 3 = 6 ve k . xO = k . x6 . (x-2) 3 = k . x6 . x-6 = k . xO = k olur. Bu terim
baştan
n = 9 => (x +
;2
4. terimdir. Pascal üçgenine göre,
9 (9 - 1) (9 - 2) . . = 1 2 3
raçılımında
g 3 . z4 . 7 _2'. Z = 84 bulunur. 1
sabit terim
vardır. Bu terim k =84' tür.
ALIŞTIRMALAR = = = = = = = =........= = = = = = = " " " ' i l
1.
Aşağıdaki noktalı
a. (x +
yerleri doldurunuz.
~ )8 açılımında baştan 3. terim ....
b. (x-y)n açılımında terimlerden biri kxs y2 ise n = ..... , c. (3x -y)S açılımında katsayılar toplamı ....
k = ...
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa " O", yanlışsa " Y" yazınız. a. (x- 1)8
/
açılımında ortadaki terim 70x4 tür. D
b. (x - 2)11 açılımında 11 terim vardır. c. ( 2x 3 +
3.
O
~ )8 açılımında sabit terim 112' dir. O
(x - 2)10 açılımında x6 lı terimin katsayısını bulunuz.
4. (a - 2b)9 açılımında baştan 7. terimi bulunuz.
5.
(2x -y)9 açılımında 2. terimi bulunuz.
6.
(mx -2y) 6 açılımında katsayılar toplamı 216 ise m kaçtır? A.-2
8.2
C.4 28
D.5
E.6
ÜNİTE SONU DEGERLENDİRME SORULARI 1.
Aşağıdaki noktalı
yerleri doldurunuz.
a. A ={O, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin
elemanları
ile
yazılan rakamları farklı
dan ..... ........... tanesi 4 OOO' den büyüktür. b. Birbirinden farklı; 3 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı, koşulu ile bir rafa ..... ...... ... değişik şekilde dizilir. c. (2x - 3y)20 açılımında katsayılar toplamı ..... ......... . 2.
Aşağıdaki
ifadeler
doğruysa
" D" , yanlışsa " Y"
a. P(n + 1, 2) = 6 isen= 2' dir. b. ( x 2 +
~)
11
D
aynı
dört
basamaklı sayılar-
türden kitaplar bir arada olmak
yazınız .
açılımında sabit terim yoktur. D
c. A = {K, L, M, N} kümesinden 2; B = {A, E, İ, U, Ü} kümesinden 3 harf seçilerek birbirinden farklı anlamlı ya da anlamsız 5 harfli 4800 kelime yazılır.
O
3. P(n , 5) = 20 . P(n , 3) ise n değeri A. 5
B. 6
kaçtır?
o. 8
C. 7
E.9
Bir düzlemde 8 nokta veriliyor. Bu noktalardan 4' ü doğrusal ise bu 8 noktanın kaç üçgen bulunuz. 1 5. ( x 3 + ~
belirttiğini
)10 açılımında sabit terim kaçtır?
A. 90
B. 11 O
C. 120
o.
180
E. 210
6. Bir sınavda sorulan 8 sorudan 5 ine cevap verilmesi isteniyor. İlk üç sorudan en az ikisine cevap vermek koşulu ile 5 soru kaç farklı biçimde seçilir? B. 40
A. 48
( x2 + ; 2
8. 8.G )
f açılımında
= P(n ,3)
A.9
isen
C. 36
O. 32
E. 30
0.6
E.5
ortadaki terimi bulunuz.
kaçtır? B.8
c. 7
9. Bir okulda 3' ü bayan 7 matematik öğretmeni vardır. Bu 7 matematik öğretmeni arasından lan 4 kişilik sınav komisyonlarından kaç tanesinde en az bir bayan öğretmen vardır? A. 34
B. 36
C. 40
O. 42
oluşturu
E. 48
• Bir kalem kutusunda 5' i tükenmez olmak üzere, 12 kalem vardır. Bu kutudan en az biri tükenmez kalem olmak koşulu ile 3 kalem kaç farklı şekilde seçilebilir? A.220
B.210
C.185 29
0.180
E.175
Olasılığın
Tarihçesi
Önceleri gelecekte ne olacağını tahmin etme (gaipten haber verme) , doğa olaylarını
yorumlama ve şans oyunları gibi olaylar olan alması
olarak matematikte yerini
17. yüzy ı lın
olasılığın , olasılık kuramı
ortalarına
rastlar.
Blaise Pascal (1623 - 1662) kendisine sorulan bir şans oyunu sorusunu çözmekle yetinmeyip bu konuda çalışmış ve çalışmalarını (1601-1665) ile dalı
olan
mektuplaşarak paylaşmıştır .
olasılık kuramını
uygulama
alanını aşarak
ortaya
çıkarmıştır.
Hollandalı Fransız
Sonunda
Pierre de Fermat
matematiğin
Böylece, olasılık ,
bilim , ekonomi , spor,
ve kalite kontrol gibi birçok alanda
çağdaşı
önemli bir
şans oyunlarını
bankacılık , sigortacılık ,
endüstri
kullanılmaya başlanmıştır.
Matematikçi Christiaan Huygens (1629 - 1695),
Matematikçi Pierre - Simon Lablace (17 49 - 1827),
İngiliz Matematikçi Augustus De Morgan (1806 - 1871 ),
Rus Matematikçi Andrei Andreyevich Markov (1856 - 1922), olasılık nı geliştiren
kuramı
ünlü matematikçilerdir.*
* [(Mantık,
Matematik ve Felsefe, iV. Ulusal Sempozyumu Foça, 5, 8 Eylül
2006), Olasıltğm Temelleri (Timur Karacay- Başkent Üniversitesi)]
r--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
t
öGRENECEGİZ?
'
l
NELER 1. Koşullu olasılığı örneklerle açıklamayı öğreneceğiz. 2. Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklamayı öğreneceğiz.
'
3.
Bileşik olayların olasıklarını hesaplamayı öğreneceğiz.
,
~ '
f
' '
L---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------J 30
D
10.2.1.
KOŞULLU
OLASILIK
10.2.1.1. KOŞULLU OLASIUGI ÖRNEKLERLE AÇIKLAMA
' BİLGİ • Bir örnek
uzayında
iki olay A ve Bolsun. A
olayının çıkanları
olayının çıkanlarına bağlı
B
ise bu
olaylara, bağımlı olaylar denir. B olayına bağlı A olayının olasılığına da A olayının koşullu olasılığı denir. Bu olasılık P(A\B) biçiminde yazılır. • P(B) >O ve AnB
*0
için B
koşuluna bağlı A'nın olasılığı P(A\B) = P~(~)B) ' dir (Şekil - 1).
• B, A'nın bir alt kümesi ise BnA = B' dir. B' nin olduğu zaman Ada olur. P(A\B) =
P(AnB) P(B) , . . P(B) = P(B) = 1 dır (Şekıl - 2).
• A ve B ayrıksa AnB = 0 'dir. P(A\B) =
P(A n B) O , . p (B) = p (B) =O dır (Şekıl - 3).
3) E
® E
@E
~~~~~~~~~~
AnB
~~~~~~~~~~
AnB=B
AnB= 0
~
-
. ~ İNCELEYEREK ÖGRENELİM • İki zarın atılması deneyinde, zarlarda gelen sayıların toplamı 6 olduğu bilindiğine göre zarlardan birinde 2 gelme olasılığını bulalım. Bu deneyde, örnek uzay E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} x { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ve s(E) = 36' dır. Zarlarda gelen sayıların toplamının 6 olması B; zarların birinde 2 gelmesi olayı da A olsun.
B ={(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)}, A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} ve AnB = {(2, 4), (4, 2)} olduğundan,
2
2 5 P (A n B) P(AnB) = 36' P(B) = 36 ~ P(A\B) = P(B)
=
ÖRNEK
36 5
=
2 36 2,. 36 ·5 = 5 tır.
36
Bir sınıftaki öğrencilerden 15' i mandolin , 8' i flüt ve 5' i de hem mandolin hem flüt çalmasını bil-ektedir. Bu sınıftan rastgele bir öğrenci seçiliyor.
a.
Bu öğrenci mandolin çalıyorsa, flüt de çalma olasılığını bulalım.
b. Bu
öğrenci
flüt çalıyorsa mandolini de çalma olasılığını bulalım.
E ~~~~~~~~--.
Çözüm
a.
Mandolin çalan öğrenciler M, flüt çalan öğrenciler F olsun.
s(M) = 15 , s(F) = 8 ve s(MnF) = 5' tir. Mandolin çalan öğrencinin flüt de çalma olasılığı;
31
5
= P(F n M) =
P(F\M)
P(M)
Flüt çalan
öğrencinin
18
~ 18
= _§__ . ~ = _!_ 't ·· 18
15
mandolin çalma
3
ur.
olasılığı ;
5
b. P(M\F)
=
P(F n M) p (F)
18
=
8 18
5
18
5 , .
= 18 . B = B
dır.
Teorem: E bir örnek uzay, AcE, BcE, P(B) >O ve AnB ';/; 0 için
P(A\B)
B
s(A n B) , . s(B) dır.
=
s(A n B) s(B), . s(E) ve P (B) = s (E) dır.
=
s(A n B) s(E)
-
P(A n B) p (B)
koşullu olasılığı ,
E
İspat:Şeklegöre , P(A n B) =
P(A\B)
A' nın
=
P(A\B)
s (A n B) s (E) s (A n B) , . = s(E) · s(B) = s(B) dır.
s(B) s(E)
AnB
ÖRNEK 21 kişilik bir' turist kafilesinde 14 kişi İngilizce , 1O kişi Almanca, 6 kişi de her iki dili bilmektedir. Bu kafileden rastgele seçilen bir kişinin İngilizce bildiği biliniyor. Bu kişinin Almanca da bilen biri olma olasılığını bulalım.
Çözüm E
İngilizce bilenler kümesi İ , Almanca bilenler kümesi A olsun.
s(İ)
=14, s(A) =1O ve s(İnA) =6 olduğundan ,
A olayının İ koşullu olasılığı;
P(A\İ) = P(İ0A) = s(İ 0A) =_§__ =~ b P(I)
s(I)
7
14
1
u unur.
ÖRNEK 40
kişilik
bir
sınıftaki öğrencilere
da okulda matematik kursunun istemedikleri
I
sorulmuş
hafta sonun-
açılmasını
isteyip
ve yandaki tabloda verilen Kız
sonuçlar elde edilmiştir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir
öğrencinin
kursa
erkek
katılmak
olduğu
isteyen bir
biliniyor. Bu öğrenci
olma
(K)
s(S)
P(A\E)
=
=
10 40 22
10
13
18
12
22
olasılığını
Toplam
15
25
40
koşullu olasılığıdır .
= 40
5 10
= 40, s(An E) = 1o ' P(E) = :~ ' P(AnE) = :~ P(A n E) P(E)
Toplam
Erkek (E)
Çözüm
P(A\E)
istemeyen (B)
öğrencinin
bulalım.
Aradığımız olasılık
isteyen (A)
40 . 22
5 , .
10
= 22 = 11
40
32
dır .
ÖRNEK E örnek
uzayında iki olay A ve B' dir.
[P(A\B)]
bulalım.
~,
P{B 1) =
P(AnB)
=
!
ise
A'nın B koşullu olasılığını
Çözüm
, P(B)
2
=S
~ P(B)
2
3, .
=1 - S = S
tır. P(A\B)
P (An B) P(B)
=
=
Olasılıkta Çarpım Kuralı
4 3 5
1 5
5
= 4 .3 =1'2 bulunur.
Teorem
E örnek
uzayında
iki olay A ve Bolsun. P(A) >O, P(B) >O ise P(A ve B)
=P(A). P(A\B)'dır.
İspat
=
3 o l ayının A koşullu olasılığı , P(B\A) eşitlikten ,
3u
P(AnB)
O halde, P(A ve B)
P(An B) P(A) 'dır.
= P(A) . (B\A) elde edilir.
= P(A) . P(B\A) olur.
ÖRNEK 3 r torbada ?'si beyaz 4'ü siyah olmak üzere, 11 bilye vardır. Bu torbadan rastgele iki bilye çekiliyor. olasılığını bulalım.
a. Çekilen iki bilyenin de beyaz olma
b. Çekilen bilyelerden birinin beyaz,
diğerinin
siyah olma
olasılığını bulalım.
Çözüm a. 1. Yol: Bilyeler teker teker çekildiğinde, ilk çekilişte beyaz bilye çekme olayı A ise s(A) ıı:
.ızay :J
s(E)
=7 + 4 = 11
=7 ve
olduğundan
A) - s(A) - ı__ , d. - s(E) - 11 ır. nci
: E1)
çekilişte
de beyaz bilye çekme
olayı
B ise s(B)
=7 - 1 =6 ve örnek uzay da E1 ise ~
.
s(B)
6
3
= 11 -1 =10' dur. Bu durum da B' nın A koşullu olasılıgı, P(B\A) = s(E ) = 10 = 5
olur.
1
çekilişte
" ::ı
A ve B)
de beyaz bilye çekilme
olayının olasılığı,
7 6 . = 7 .3 = = P(A). P(B\A) = 11 10 11 5
Yol: Torbadaki bilye sayısı 7 + 4
- " sayısı s(E) = ( ~
= 11 'dir.
21 olur. 55
Bu torbadan iki bilye
)'dir. {B 1, B2 , B3 , B4 , B5 , B6 , B7} kümesinin 2
çekileceğinden,
örnek
uzayın
elemanlı alt kümelerinin sayısı
o halde çekilen iki bilyenin ikisinin de beyaz olma olasılığı
:: r
7 2
7.6 1.2 11 .10 1.2
42
2
21 't' ır.
= 2· 110 = 55
1 Yol: Birinci bilyenin beyaz olma
c·nin A
-- ..., ,......A)
=:.
olasılığı
P(A)
koşullu olasılığı,
= 1~
4 'd .. = 10 ur. Buna gore,
e C) =P(A) . P(C\A)
= 1~ · 1~ = 1~ · ~ = ~:'tir. 33
'dir.
İkinci
bilyenin siyah
olması olayı
C
Birinci
çekilişte
P(S ve B) olma olasılığı , 14 55
+
= 1~
siyah , ikinci
çekilişte
beyaz olma olasılığı da,
10
7 = ~8 = ~: olduğundan, torbadan çekilen iki bilyenin birinin beyaz birinin siyah 10 bulunan olasılıkların toplamına eşittir. ·
14 28 = bulunur. 55 55
il. Yol: Çekilen bilyelerin biri beyaz, diğeri siyah istendiğinden, 7 beyaz bilyeden 1 bilye ( ~ ) farklı biçimde, 4 siyah bilyeden 1 bilye
( ~ ) farklı biçimde seçilir. Biri beyaz diğeri siyah olan ikili bilyelerin sayısı
( ~ ).( ~ ) olur. Tüm ikili bilyelerin sayısı ( ~
~ ( ~ )·( ~ )
olma olasılıgı:
(~ )
=
7.4
)
olduğundan, çekilen iki bilyenin birinin beyaz diğerinin siyah
28
= 55
55
bulunur.
ÖRNEK İki torbadan birine 1'den 9'a kadar, ikincisine de 1'den 6'ya kadar rakamlar kartlara yazılarak konuluyor. Bu torbalardan biri rastgele seçiliyor.
- a.
Seçilen torbalardan alınan kartta tek sayı olma olasılığını bulalım .
b. Çekilen karttaki
sayı
tek ise bu
kartın
1. torbadan
çekilmiş
olma
olasılığını bulalım.
Çözüm
a. olayı
Çekilen karttaki A olsun.
sayının
tek olma
1. Yol torbanın
• 1.
P(B)
seçilme
olayı
= 1_2 ' dir.
1. torbadaki 9
tek
o
5 9
3 6
o
B ise
sayının 5 tanesi tek sayı olduğundan, A' nın B koşullu olasılığı
~.~ =
P(An B) = P(B) . P(A\B) =
tek
P(A\B)
=~
' dur.
5 18 ' dir.
• il.
torbanın seçilme olayı C ise P(C) = ~
• il.
t~rbadaki 6 sayının 3 tanesi tek sayı olduğundan A' nın C koşullu olasılığı P(A\C) = ~ ' dır.
P(AnC) A
= P(C) . P(A\C) = ~ . ~ =
olayının olasılığı
P(A)
bulunan
3 12
=
' dir.
!
'tür.
olasılıkların toplam ı dır .
= P(AnB) + P(AnC) = P(B) . P(A\B) + P(C) . P(A\ C) 1 5
1 3
10 + 9
19 = 36
5
1
= 2 --9 + 2 ·s = 18+ 4 =
36
bulunur.
34
il. Yol Ağaç diyagramı
ile
olasılığı hesaplayalım.
Tek ya da çift sayı olma olasılıkları Torbaların
seçilme
olasılıkları
1
2
1
2
Yukarıdaki ın
diyagramda, torbaların seçilme, çekilen karttaki üzerlerine yazılmıştır.
sayının
• Tye l' den geçerek
ulaşmada dallardaki olasılıkların çarpımı ~ · ~ =
• Tye il' den geçerek
ulaşmada dallardaki olasılıkların çarpımı ~ · ~ =
~
• A olayının olasılıgı da P(A) =
b. Çekilen tek
sayının
1 5
1 3 5 1 + . = + . 2 9 2 6 18 4 =
1. torbadan çekilme 1 5
P(A n B) P(I)= P(AnB)+P(AnC)
olasılığı
tek ya da çift olma
olasılıkları
5 ' dir. 18
!
'tür.
19 bulunur. 36
P(I) olsun.
5
J-a1'
2 9 5 36 10 1 5 1 3 =~=19 · 19=19 bulunur.
-·- + -·2 9
--
2 6
,%'2
,........,....._.ALIŞTIRMALAR - - - = = - = " " " " " " = " " " " " ' = = = = = = = " " " " " " ' 1 1
E örnek 2.
uzayında iki olay A ve B' dir.
P(A') =
~,
P(AnB) =
!
ise
P(B\A)'nı bulunuz.
1O - A sınıfında 12 kız 28 erkek, 10 - B sınıfında 16 kız 24 erkek öğrenci vardır. Rastgele seçilen bir öğrenci kız ise bu öğrencinin 10 - A sınıfından seçilmiş olma olasılığını bulunuz. Bir çift zar atılıyor. Zarlardan herhangi birinin 5 geldiği bilindiğine göre zarlarda okunan 8 ya da daha büyük olma olasılığını bulunuz.
sayıların
toplamının
Bir torbada 4 mavi, 5
kırmızı;
a. 1. torbadan bir bilye
alınıp
bilye çekiliyor. Bu bilyenin
ikinci bir torbada 4 rengine kırmızı
bakılmadan
olma
atılıyor.
5 mavi bilye
vardır .
2. torbaya atılıyor . Daha sonra 2. torbadan bir bulunuz.
olasılığını
b. 1. torbadan bir bilye çekilip ikinci torbaya birinci torbaya
kırmızı
atılıyor.
Daha sonra ikinci torbadan bir bilye çekilip Buna göre sonuçta ilk durumu elde etme olasılığını bulunuz.
35
10.2.1.2. BAGIMU VE BAGIMSIZ OLAYLARI ÖRNEKLERLE AÇIKLAMA; GERÇEKLEŞME OLASILIKLARINI HESAPLAMA
Benim sınavı kazanmam ya da kazanamamam, arkadaşımın sına vı kazanmasını etkiler mi?
BİLGİ
..q
1
uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) > O, P(B) > O için B olayının gerçekleşip gerçekleşme
E örnek ~nin A olayının
gerçekleşmesi olasılığına bir etkisi yoksa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir.
~ İNCELEYEREK ÖGRENELİM Bir madenf parayı iki kez üst üste attığımızda 1. atışta paranın yazı gelmesi olayı A; ikinci atışta da paranın yazı gelmesi olayı B olsun. 1. at ı şta paranın yazı gelmesi ikinci atışta da paranın yazı gelmesini etkilemez. Bu deneyde A ve B olayları bağımsız olaylardır. Bu olayların olasılıkları P(A)
=~
ve P(B)
=~
'dir.
Koşullu olasılıkta çarpım
prensibine göre, P(AnB)
= P(A)
. P(B\A)
olduğunu
biliyoruz. A ve B
olayları bağımsız olduğunda,
P(B\A)
=P(B) ve P(A\8) =P(A) dır.
O halde, P(AnB) = P(A) . P(B/A) = P(A) . P(B) olur. Bu deneyin örnek uzayı E ile gösterelim.
={YY, YT, TY, TT}'dir. Örnek uzayı
Venn şeması ile olasılıkları da
ağaç diyagramı
-1
y
2
=
yy --+
21 ·21 = 41 't"ur.
E
. YY .TV
. YT
.TT
ZT 2 1
2
P(A ve B) = P(A) . P(B) =
1 2
-
T-YT Y-+TY
T-+TT
~ · ~ = ~ 'tür.
ÖRNEK Bir zar ile bir madenf para birlikte atılıyor. Zarın 6 ve paranın tura gelme olasılığını bulalım.
Çözüm Paranın
tura gelmesi ile
zarın
6 gelmesi
Zarın 6 gelmesi olayı A ise P(A) =
!
olayları bağımsız
ve
paranın tura gelmesi olayı B ise P(B) = ~ ' dir. P(AnB)
1 =P(A). P(B) =61 .21 = 12" bulunur.
36
iki
olaydır.
Bir pil kutusundaki piller arasında 2 kalem pil
asılığı
;
5
A ve B olayları
olayı A; 2. pilin bitik olma olayı da Bolsun. P(A) =
's
2
ve P(B) =
2~ 'tir.
bağımsız olduğundan,
1
1
P(A n B) =P(A) . P(B) = 25 . 25
Bağımlt
Bu kalem pillerden herhangi birinin bitik olma
olasılığını bulalım.
' tir. Her iki pilin de bitik olma
Bu deneyde 1. pilin bitik olması
vardır.
=
4
4
100. 100
=
16
10 000
'
= 0,0016 dır.
Olaylar
~ BİLGİ Bir E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. A olayının gerçekleşmesi B olayının e 'liyorsa, Aile B olaylarına bağımlı olaylar; B olayının da A olayına bağlı olay denir.
gerçekleşmesini
Bir torbada, 5 beyaz 4 siyah bilye vardır. Torbaya geri atmama koşulu ile arka arkaya çekilen iki • eden birincisinin beyaz ikincisinin de siyah olma olasılığını bulalım.
ozum
İlk çekilen bilyenin beyaz olması olayı A ise P(A) = ~ ' dur. İkinci çekilen bilyenin siyah olma olayı
B ise torbada 8 bilye
= P(A) . P(B) = ~ . : = ~ . ~ =
P(AnB)
Bu deneydeki olaylardan birinin
kaldığından,P(B) = :
' dir. Buna göre,
5 18 ' dir.
gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilediğinden
bu olaylar
oağıml ı olaylardır .
Eğer
-
ilk çekilen bilye torbaya
atılarak
ikinci bilye çekilseydi olaylar
durumda çekilen bilyelerin birinin beyaz
bağımlı değil , bağımsız
diğerinin siyah olmasının olasılığı da ~ · : = ~~
olurdu.
olurdu.
N
İki kişiden 1.' nin hedefi vurma olasılığı ~, 2.' nin hedefi vurma olasılığı ıkl arında
hedefin vurulma
1.' nin hedefi vurma ıldı ğında
kişiler hedefe atış
olasılığını bulalım.
olayı A ise P(A) = ~ , 2.' nin hedefi vurma olayı B ise P(B) = ; olasılığı
hedefin vurulma
1.' nin hedefi vurma
; ' dir. Bu
olayı ,
P(An B)
= P(A) . P(B)'dir.
P(AUB)
= P(A) + P(B) -
P(AUB)'dir.
2.' nin hedefi vurma
P(AnB)
olayından bağımsızdır.
= P(A) + P(B) 1
2
1 2
P(A) . P(B)
=3+7- 3 ·7 = (7) (3)
37
7 + 6 + (-2) 21
11
=21 bulunur.
' dir. Hedefe
atış
T
eTKiNLiK
.,,,,,,,,,,===========---========~
Araç ve Gereçler: Dosya
kağıdı,
bir madenf para, bir zar, kalem.
• Madenf parayı ve zarı ayrı ayrı atınız. Para atma deneyinde paranın yazı gelme olayı A, zar atma deneyinde de zarın 2 gelme olayı Bolsun. • P(A), P(B) ve P(A) . P(B) değerlerini bulunuz. • Madenf para ile zarı birlikte atınız. Bu deneyin örnek uzayını liste yöntemi ile yazınız. • P(AnB) olasılığını bulunuz. • P(AnB) ile P(A) . P(B) sonuçlarını karşılaştırınız. • A ile B olayları bağımsız mı?
1.
İki tebeşir kutusundan 1. sinde 3'ü kırmızı 8 tebeşir, il. sinde 2'si kırmızı 5 tebeşir vardır. Rastgele seçilen bir kutudan bir tebeşir alınıyor. Buna göre;
a.
Alınan tebeşirin kırmızı
b.
Alınan tebeşir kırmızı
olma
olasılığını
bulunuz.
ise bu tebeşirin 1. kutudan alınmış olma olasılığını bulunuz.
2.
1O kişilik bir' turist grubundaki'turistlerin 3' ü Alman' dır. Bu gruptan seçilen 3 kişinin Alman olmama olasılığını bulunuz.
3.
Bir sınıfta 18 erkek ve 8 kız öğrenci vardır. Bu sınıftan 3 öğrenci art arda seçiliyor. Bu öğrenci lerin ilk ikisinin erkek, üçüncüsünün kız olma olasılığını bulunuz.
4.
İki avcıdan hedefe
5.
atış yaptıklarında
Ayşe'nin sınavı
kazanma
a. En az birinin
sınavı
b.
6.
l. ' nin hedefi vurma
Yalnız
olasılığı ~,
hedefin vurulma
11. ' nin hedefi vurma
olasılığını
olasılığını
da
~ 'dir.
Bu
avcılar
bulunuz.
olasılığı ~,Tülin' in sınavı
kazanma
olasılığı
kazanma
olasılığı
; 'dir. Buna göre;
bulunuz.
Tülin' in sınavı kazanma olasılığını bulunuz.
Üç kalem kutusundan 1. sinde 2 kırmızı , 3 mavi; 2. sinde 3 kırmızı, 1 mavi; 3. sünde 1 kırmızı, 4 mavi kalem vardır. Bu kalem kutularından biri seçiliyor ve içinden bir kalem alınıyor. Alınan kalemin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
7.
Bir zar art arda iki kez atılıyor. Birincisinde gelen sayının ikincide gelen sayıdan büyük olma olasılığını
8.
bulunuz.
İki torbadan 1. sinde 3 kırmızı, 2 mavi ve 5 beyaz bilye vardır. 2. torbada 2 kırmızı, 3 beyaz
bilye vardır. Bir zar atılıyor . Atılan zarda 3 ten küçük gelirse 2. torbadan, 2'den büyük gelirse 1. torbadan bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
38
10.2.1.3. BİLEŞİK OLAYLARIN OLASILIKLARINI HESAPLAMA
Menüye göre; lzgara, ayran ve yemek sonu yiyeceklerden birini seçme olasılığım kaçtır?
ecek
İçecek
Yemek Sonu Yiyecek
Ayran
Dondurma
Meyve Suyu
Meyve Kurabiye
BİLGİ • 3 r deneyde bir ya da daha çok çıktının kümesi bir olaydır. deneyin sadece bir çıktısının kümesi basit olay; birden çok çıktısından oluşan küme de bileşik olaydır. eği n ,
1
bir zar atma deneyinde 2 gelmesi basit olay, tek sayı gelmesi bileşik bir olaydır.
3 grup insana organ naklini destekleyip desteklemedikleri
hakkında görüşleri sorulduğunda ,
bir
aesteklediğini bir kısmı da karşı olduğunu belirtiyor. Bu gruptan iki kişiye organ nakli ile ilgili görü"' u duğ unda oluşan durumları Venn şeması ve ağaç diyagramı ile gösterelim . Basit ve bileşik birer azalım.
gan naklini destekleyen O, karşı çıkan da K olayı olsun . ek uzayı Venn şeması ile olasılıkları da ağaç diyagramı ile gösterelim .
Bu deneyde A B DD KD
={OD} olayı basit,
={DK, KD} olayı da bileşik bir
olaydır.
. DK . KK
ızgara< u arı da
verilen menüye göre seçenekler yanda cryagramı ile gösterilmiştir. ';,J
agrama göre; ızgara , ayran, yemek sonu yierden birinin seçilmesinin olasılığı :
. < Pıde
~ 8 --~-118 - 6 ' d ır. Pizza <
Ayran
Meyve ~ Dondurma Suyu Meyve Kurabiye Dondurma Ayran Meyve Kurabiye Meyve ~ Dondurma Meyve Suyu Kurabiye / ' Dondurma Ayran ~ Meyve Kurabiye Meyve ~ Dondurma
Suyu
39
Dondurma Meyve Kurabiye
Meyve Kurabiye
ÖRNEK Murat ve Cem 100 metre yarışı yapıyorlar . Murat' ın yarışı kazanma olasılığı% 60, Cem' in yarışı kazanma olasılığı da% 40' tır . Bu kişiler 2 kez yarışıyorlar. Birinci yarışı Murat' ın , ikinci yarışı da Cem' in kazanma olasılığını bulalım .
Çözüm
yarışı kazanma olasılıkları; P(M) =
Murat ve Cem' in
° = ~ ve P(C) = 1~ 0 = ~ ' tir. 0
6 100
3
M~ - M Yandaki P(M
ağaç diyagramına
n C) =P(M)
3 5
göre,
3 2
5
C---+ P(M n C) = - · 5 5
. P(C)
=~5 . _g_5 = ___§__ ' tir 25 .
3
C<=M c 2
ÖRNEK
5
İlaçların yan etkileri olduğu gibi bazı ilaçların da insanlarda alerji yapma özellikleri vardır . Bir A ila-
cının bir hastada alerji yapma olasığılı ~ ' dur.
1
a.
Olası durumları ağaç diyagramı
Bu ilaç üç hastaya
verildiğinde ;
ile gösterelim.
b. Üç hastada da alerji yapma olayı A ise P(A) değerini bulalım .
c. A' olayının
olasılığını bulalım.
Çözüm
a. Hastalar H1, H2, H3 olsun . Aşağıdaki diyagramda
noktalı
yerleri doldurunuz.
9 10
P(H' H' H' ) 9 9 9 _ 729 1• 2• 3 = 10·10·10- 1000
b. P(A)
= P(H1 n H2 n H3) = P(H1) . P(H2) . P(H3) = 1~ . 110 . 1~
c. P(A) = ~
10 0
olduğundan ,
P(A')
=
10~0
=1-P(A) = 1- 10~ 0 = 19ı090 ' dir. 40
' dir.
ÖRNEK doğal sayılar aynı
B°r torbaya 1' den 12' ye kadar
büyüklükteki kartlara
yazılarak
konuluyor. Bu tor-
rastgele bir kart çekiliyor.
a. Çekilen karttaki
sayının
?'den büyük veya tek sayı
b. ?' den büyük veya 4' ten küçük bir
olma
sayı
olma
olasılığını ,
olasılığını ,
c. ?' den büyük ve 4' ten küçük bir sayı olma olasılığını
bulalım .
Çözüm
a. E ={1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1O, 11 , 12} = s(E)
= 12' dir. Sayının ?'den büyük olma olayı
A ise A = {8 , 9, 10, 11 , 12} ve s(A) = S' tir. Sayının
An B
tek olma
olayı
B ise B = {1 , 3, 5, 7, 9, 11} ve s(B) =
6' d ı r.
={9 , 11} ve s(An B) = 2' dir.
P(A) =
olduğundan ,
5 6 2 • P(B) = ve P(An B) = 12 12 12
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(An B)
5
6
sayı
olma
= Sayının
b.
4' ten küçük bir
2
olayı
3 An C = 0' dir. P(C) = 12 ve P(An C) = P(AUC) = P(A) + P(C) - P(An C) =
c. ?'den büyük ve 4' ten küçük An C
=0
olduğundan ,
9
3't"
12 + 12 - 12 = 12 = 4
~ 12
C ise C
ur.
={1 , 2, 3} ve s(C) =3' tür.
O' dır. ~ 12
+
sayılar aynı
o= ~ = _g_ 12 3
-
anda
' tür
.
oluşmaz.
= O ' dır .
P(An C)
ÖRNEK Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır . Bu sınıfta kızların ?'si ve erkeklerin 8' i FB' lidir. Bu -
ı ftan
bir
öğrenci
rastgele seçiliyor. Seçilen
öğrencinin kız
veya FB li olma
olasılığını bulalım .
Çözüm
Örnek uzay Sise s(S) = s(K) + s(E) = 12 + 18 = 30' dur. Seçilen
öğrencinin kız
Seçilen
öğrencinin
olma
olayı
FB li olma
=s(K) = 12' dir. B ise s(B) = 7 + 8 = 15' tir.
A ise s(A)
olayı
Aradığımız olasılık
12 , P(A) = 30
AU B olayının olasılığıdır. 15 7 P(B) = ve P(AnB) = 3o oldugundan , 30 v
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB) =
E30
+ 1§_ - __!__ = 30
30
20 = _g_ ' tür 30 3 .
ÖRNEK İki madeni para ile iki zar birlikte atılıyor. Paraların farklı , zarların aynı gelme olasılığını bulalım.
Çözüm
•
Paraların farklı
•
Zarların aynı gelme olayı
A ve B olayları
gelme
olayı A ise P(A) = ~ ' tür. B ise P(B)
= 366 ' dır.
bağımsızdır.
P(AnB) = P(A) . P(B) =
~
·
6 = 36
1~ ' dir. 41
Ayrık İki Olayın Bileşik Olasılığı Ayrık
iki
olayın bileşik olasılığı
O (sıfır)'dır.
ÖRNEK Bora ve arkadaşlarının hafta sonunda spor salonunda maç yapmak için okul idaresine yaptıkları ait iki olay:
başvuruya
A
= Maç yapma başvurusunun kabul edilmesi,
B
=Maç yapma başvurusunun kabul edilmemesi,
olsun. A ve B olayları ayrık olaylardır. A ve B olayının olasılığı P(A ve B) =O' dır.
ÖRNEK Bir zar atma deneyinde, A olayı tek sayılar ve B olayı da çift sayılar olsun. A
={1, 3, 5}, B ={2, 4, 6}'dır.
A ve B olayları
E
ayrık olaylardır.
A ve B olayları birbirinin
dışındadır.
AnB = 0 olduğundan P(AnB) = P(A ve B) =O' dır . AnB=0
1.
Erkek ve kadınlardan oluşan 100 kişinin Avrupa Birliğine (AB) girip girmeme konusundaki göve sonuçlar aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
rüşleri sorulmuş
Tablo: AB' ye Girip Girmeme Konusundaki
Görüşler
Cinsiyet
Destekliyor
Karşı Çıkıyor
Çekimser
Toplam
Kadın
37
5
8
50
Erkek
35
10
5
50
Toplam
72
15
13
100
Yukarıdaki
a. AB' ye
tabloya göre
aşağıdaki noktalı
yerleri doldurunuz.
karşı çıkanların olasılığı
................................................................................ .. b. AB' ye girmeyi destekleyen kadınların olasılığı ................. ..... ................................................ . c. AB'ye girmeye karşı çıkan v~ya çekimser olanların olasılığı ................................................. .
2.
Bir tebeşir kutusunda 5'i beyaz, 3' ü kırmızı 8 tebeşir vardır. Bu tebeşir kutusundan rastgele iki tebeşirin ikisinin de beyaz olma olasılığını bulunuz.
alınan
3.
4.
Turistik eşya satılan bir mağazanın sorumlusu, mağazasında satılmak üzere A, B ve C köylerindeki kadınlara parça iş yaptırıyor. Mağaza kayıtlarına göre ayda A köyünden 150, B köyünden 200 ve C köyünden de 100 parça yapılmış eşya alınıyor. Alınan ürünler mağazanın deposuna konulurken A, B ve C köylerinde yaptırılan parça işlerin sırasıyla %4, %2 ve %5 inin defolu çık tığı tespit ediliyor. Bu depodan rastgele alınan bir parça işin; a. Defolu çıkma olasılığını,
b. c.
Sağlam çıkma olasılığını,
ç.
Eğer sağlam
Eğer
defolu ise bu parça işin A köyünde yaptırılmış olma olasılığını , ise bu parça işin A köyünde yaptırılmış olma olasılığını bulunuz.
Bir çift zar
atılıyor.
Zarlarda gelen sayıların her ikisinin de tek 6 olma olasılığını bulunuz.
sayıların toplamının
42
sayı olduğu bilindiğine
göre, gelen
ÜNİTE SONU DEGERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. Bir torba içinde aynı büyüklükte 6 mavi, 5 beyaz bilye vardır. Bu torbadan art arda 2 bilye çekiliyor. a. Çekilen bilyelerin ikisinin de mavi olma olasılığı .... ...... .. .. ... .. .... ... ..... .. ......... . b. Çekilen bilyelerin birinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı .......................... . c. İlk çekilen bilyenin mavi, ikincinin beyaz olma olaslığı .. ...... .. ... .. ......... ...... ...
2.
Aşağıdaki
ifadeler
doğruysa
" D'',
yanlışsa
yazınız.
" Y"
Bir torbada 4 beyaz, 5 mavi , 6 kırmızı bilye badan rastgele art arda 3 bilye çekiliyor.
vardır.
Çekilen bilye torbaya
a. Çekilen 3 bilyenin 3' ünün de kırmızı olma olasılığı ~ ' dir.
9
b.
9
İlk ikisinin mavi ve üçüncüsünün kırmızı olma olasılığı ~
D :~ ' dir. D
atılmamak koşulu
ile tor-
D ' dir.
D
c. 2 sinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı ~ ' dir.
9
ç. 3 bilyeden birinin mavi olma olasılığı 3. 2. soruda verilenlere göre,
a. 3 bilyeden en az birinin mavi olma olasılığını bulunuz. b. Bilyelerin
farklı
renkte olma olasılığını bulunuz .
• Bir çorap üretim atölyesindeki iki makineden 1. si çoraplarını %60' ını, il. si de %40 ' ını üretmektedir. 1. makinenin ürettiği çorapların % 6' sı, il. makinenin ürettiği çorapların %4' ü defolu çıkmaktadır. Rastgele seçilen bir çorabın defolu olduğu biliniyor. Bu çorabı 1. makinenin üretmiş olma olasılığını bulunuz. Bir torbada her çitti ayrı renkte 8 çift çorap vardır. Bu torbadan rastgele alınan 2 çorabın bir çift oluş turma olasılığı kaçtır?
1
A.S
1
B.4
Bir torbada eşit sayıda mavi ve beyaz bilye vardır . Bu torbadan geri konulmamak üzere art arda çekllen iki bllyenin ikisinin de mavi olma
olasılığı
sayısı kaçtır?
A, 34
B. 30
C. 28
4
17
olduğuna
göre, ilk durumda torbadaki bilye
O. 20
E. 18
Bir kutuda bulunan 10 tebeşirin 3' ü kırmızıdır . Bu kutudan arka arkaya gelişigüzel 2 tebeşir alınıyor. Bu iki tebeşirin ikisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
1
A.15
1 8 '12
2
C.9
Bir torbada üzerlerinde 1, 2, 2, 3 yazılı 4 kart, ikinci bir torbada da üzerlerinde 1, 1, 2, 2, 2, 3 yazılı 6 kart vardır. Her iki torbadan birer kart çekiliyor. Kartlardaki sayıların aynı olma olasılığını bulunuz.
43
Fonksiyonların
Tarihsel Gelişimi
Fonksiyonlar, 17. yüzyıldan beri matematiğin dallarından biri olarak yerini almıştır. Fonksiyon, kuralının
bir denklemle, değişkeninin
farklı değerlerine karşılık
gelen
değerleri nin
tabloda gösterimiyle
ve analitik düzlemde de göze hitap eden temsili ile ifade edilir. Fonksiyonlarla ilgilenen matematikçiler; Alman Filozofu Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), İsviçreli Matematikçi Leonhard Euler (1707 - 1783), Alman Matematikçi Cari Fredric Gaus (1777 -
1855), Alman Matematikçi, Bernhard Riemann
(1826-1866)'dır.
Fonksiyonlar teorisi ile ilgili önemli
kitaplardan biri Fransız Matematikçi C. Jordan'ın (1838 -1922). Analiz Kursu ; diğeri İtalyan Matematikçi U. Dini'nin (1845 - 1918) Reel
Değişkenli
1878 yılında fonksiyonlar teorisi serbest bilim bu müfredat kabul
Fonksiyonlar Teorisinin
dalı
olarak
ayrılmıştır.
Esasları kitabıdır.
Bu kitapla
O günden bu güne matematikte
edilmiştir. *
*(Kastamonu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi Eğitim Dergisi 2006)
r-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------~
'
1
ÖGRENECEGİZ? ~ Bir fonksiyonun grafiğinden simetri dönüşümleri yardımı ile yeni fonksiyon grafikleri çiz~
NELER 1.
'
meyi, tek ve çift
fonksiyonların tanımlarını, bu tür fonksiyonların hem cebirsel ifadesi
'
~ ~
hem de grafiğinin simetri özelliklerini ve geometri yazılım programları ile ilgili bilgi ve
'
iletişim teknolojilerinden yararlanmayı öğreneceğiz.
'
~
~ ' ' '
~ ' '
~ ~ '
~ '
~ '
2. Gerçek
t
sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonlarını kullanarak f + g, f - g, f . g ve
fonksiyonlarını elde et~eyi,
f ve g
elde edilen f + g, f - g,
fonksiyonlarını karşılaştırarak
incelemeyi ve
fonksiyonları
ilişkileri
ile
başlangıçtaki
grafiksel olarak
açıklamayı
öğreneceğiz.
bileşke işlemini açıklamayı, bileşke işleminin cebirsel ve grafik gösterimlerini , fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliğinin olduğunu, değişme özelliğinin olmadığını , öğreneceğiz.
3. Fonksiyonlarda
4. Bir fonksiyonun
bileşke işlemine göre tersinin olması için gerekli ve yeterli şartları belir-
bulmayı, grafiği verilen bire bir ve örten fonksiyonun grafiğini çizmeyi, bir fonksiyonun tersinin grafiğinin y =x doğrusuna göre simetrik olduğunu göstermeyi öğreneceğiz. lemeyi, bir fonksiyonun tersini
yapmayı öğreneceğiz. Grafiğin x ve y eksenlerini kestiği noktaları, fonksiyonun pozitif, negatif, artan ve azalan olduğu aralıkları belirlemeyi ,
5. Fonksiyonlarla ilgili uygulamalar
' ' ' ' ' ' \ ' ' '
~ ' '
grafik veya tablo ile verilen bir fonksiyonun belli bir aralıktaki ortalama değişim hızını
~
hesaplamayı öğreneceğiz.
'
L~---~-~-~-------------~-----~-----------------------,J 44
10.3.1. FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ 10.3.1.1 BİR FONKSİYONUN GRAFİGİNDEN, SİMETRİ DÖNÜŞÜMLERİ YARDIMI İLE YENİ FONKSİYON GRAFİKLERİ ÇİZME Satranç oyununu bilmiyorsanız, öğreniniz. Bu oyunda kalenin hareketi bir ötelemedir.
•
y
=f(x) =x" (n E ~) Biçimindeki Fonksiyonun y =f(x) + b Dönüşümünün Grafiği BİLGİ
• ı
- IR, f(x) = x" + b fonksiyonunun grafiği, y = f(x)= x" fonksiyonunun grafiğinin y ekseninin :x>zitif yönde b br ötelenmiş biçimidir (b >O) .
erilen f fonksiyonunda (x, y) yerine (x, y- b) yazılırsa f fonksiyonunun y ekseninin pozitif yönünde; ' y + b) yazılırsa, y ekseninin negatif yönünde b br ötelenmişinin kuralı bulunur.
•
RNEK IR, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için = x) + 2 dönüşümlerinin grafiklerini çizelim . f:
-
_özüm . = f(x) + 2 => y - 2 = f(x)'tir. y = f(x) kuralında y yerine y - 2 gelmiştir. Bu da f fonksiyonunun grafiğinin y ekseninin pozitif yönünde 2 br ötelenmesidir. Aşağıdaki
1. şekilde, f(x) = x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin pozitif yönünde
ö e lenmiştir. 2. şekilde, f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin pozitif yö-
2 br ötelenmiştir . 3. şekilde de f(x) = x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve grafik y ekseninin pozitif e 2 br ötelenmiştir . İnceleyiniz. y
y = f(x) + 2 = x + 2
2 ~
y=f(X) =X
~~---~----~~~.x
® y = f(x)
+ 2 = x2 + 2
qNEK - IR, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için = x - 1 dönüşümlerinin grafiklerini çizelim . ""özüm . = t(x) - 1 => y + 1 = f(x)'tir. y = f(x) kuralında y yerine y + 1 gelmiştir . Bu da f fonksiyonunun gra- in y ekseninin negatif yönünde 1 br ötelenmesidir.
45
=
Aşağıdaki
1. şekilde, f(x) x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin negatif yönünde 1 br ötelenmiştir. 2. şekilde, f(x) x 2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin negatif yö-
=
nünde 1 br ötelenmiştir. 3 . şekilde de f(x) yönünde 1 br ötelenmiştir. İnceleyiniz.
=x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve grafik y ekseninin negatif y
y
y = x-1 ----~.,.__---x
y = f(x) = x" (n E ~) Biçimindeki Fonksiyonun y = f(x - a) Dönüşümünün Grafiği
=
=
• f: IR - IR, y f(x - a) (x - a)n fonksiyonunun grafiği, y ekseninin pozitif yönünde a br ötelenmişidir (a >O).
= f(x) = xn fonksiyonunun grafiğinin x
• Verilen f fonksiyonunda (x, y) yerine (x- a, y) yazılırsa f fonksiyonunun x ekseninin pozitif yönünde; (x + a, y) yazılırsa x ekseninin negatif yönünde a br ötelenmişinin kuralı bulunur.
ff f: IR y
=f(x -
IR, y
=f(x) =x,
y
=f(x) =x2
ve y
=f(x) =x3
fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için
2) ve dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
z··..,,
= =
f: IR -+ IR, y f(x) x" fonksiyonunda x yerine x - 2 yazıldığında f fonksiyonunun x ekseninin pozitif yönünde 2 br ötelenmişi elde edilir. Aşağıdaki 1. şekilde, f(x)
=x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin pozitif yönünde =
2 br ötelenmiştir. 2. şekilde, f(x) x2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin pozitif yönünde 2 br ötelenmiştir. 3. şekilde de f(x) =x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve çizilen grafik x ekseninin pozitif yönünde 2 br ötelenmiştir. inceleyiniz.
y
y
y
®
=f(x) = x
'
y
= =x2
y f(x)
=f(x) =x3
y = f(x-2) = (x-2)3
__.........__'-----• x
=
...._.. y f(x - 2)
=x - 2
46
[
f: IR -
IR, y
= (x + 1)
=f(x) =x,
y
=f(x) =x2
ve y
=f(x) = x3
fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için
ve dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
y = f(x) = xn fonksiyonunda x yerine x + 1 yazıldığında, f fonksiyonun x ekseninin negatif yönünde 1
•
or ötelenmişinin kuralı elde edilir.
=x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin negatif yönünde ötelenmiştir. 2. şekilde , f(x) =x 2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin negatif yöe 1 br ötelenmiştir. 3. şekilde de f(x) =x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve çizilen grafik x ekseninin
Aşağıdaki 1. şekilde, f(x)
-
-eg atif yönünde 1 br ötelenmiştir. İnceleyiniz. y
y
y =f(x + 1) =x + 1
'
® y = f(x + 1) = (x + 1)3
= f(x) = x" (n E
y
®
Z) Biçimindeki Fonksiyonun y = k . f(x) ve y = f(k . x) Dönüşümünün
Grafiği
=k. f(x) ve y =f(k. x) dö=f(x) kuralında ; k . f(x) işlemi yapılır. Sonra y =k . f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir. x yerine k . x yazılarak f(k . x) bulunur. Sonra y =f(k . x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
f: IR---+ IR, y
=f(x) =xn,
(n EZ) fonksiyonu ile k E IR verildiğinde, y
-:şüm ünün grafiğini çizmek için y
a. b.
r y
~c
=f(x) =x
ve y
=f(x) =x2 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için y =2f(x)
ve y
=f(2x) dönü-
s........, erinin grafiklerini çizelim .
m
=f(x) =x = y =2.f(x) =2 . x =2x ve y =f(2x) =2x' tir. y =f(x) =x2 = y =2.f(x) =2 . x2 =2x2 ve y =f(2x) = (2x)2 =4x2 dir.
a. y
b.
Aşağıdaki 1. şekilde, y = x ve y = 2x fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. 2. şekilde , y
_ ı(Siyonlarının grafikleri çizilmiştir. 3. şekilde de y
=x2 ve y =2x2
=x2 ve y =4x2 fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.
~ eyi niz.
47
y
ÖRNEK y = f(x) =
~
x + 3 fonksiyonunun
grafiği
yanda
verilmiştir.
Bu
fonksiyon için aşağıdaki dönüşümlerin grafiklerini çizelim .
a. y =f(x) + 1
-~---2-+-~+--~~~--- x
o
b. y =f(x + 1)
Çözüm a. y = f(x) + 1 dönüşümü, f fonksiyonunun pozitif yönünde 1 br ötelenmişidir .
grafiğinin
y
y ekseninin
Yandaki grafiği inceleyiniz. IAA' I = 1 br ve IAA'I
8(-2, O) ve B' (y = f(x) + 1 = (
3
= -
3 2
1
8 3 , O) ' dır. x + 3) + 1
2
=-
* IBB l' dür.
x+3+1
3 X + 4' t"' ur. 2 y
b. y = f(x + 1)
dönüşümü ,
f fonksiyonunun grafiğin i n x
ekseninin negatif yönünde 1 br ötelenmişidir. Yandaki grafiği inceleyiniz. IBB 11 1 = 1 br ve IBB 11 1 y
* IAA'I dür. A(O , 3) ve A (0, 1
~ )'dır.
=f(x + 1) =23
(x + 1) + 3
= - 3 x+ - 3 + 3 = - 3 x +9- ' d"ır .
2
2
2
2
y
ÖRNEK Yanda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için y = f(x - 1) dönü ş ü münün grafiğini çizelim.
2
x
o y = f(x) y
Çözüm y = f(x) kuralında x yerine x - 1 geldiğinden y = f(x) ' in grafi ğ i x ekseninin pozitif yönünde 1 br ötelenecektir. Verilen grafik yandaki şekilde x ekseninin pozitif yönünde 1 br ötelenerek çizilmiştir . İn cel e yiniz.
48
2 ------------------
o
1
2
x
y
Simetri
Analitik düzlemde bir metrisini hatırlayalım.
noktanın
eksenlere ve orijine göre siAı(-x , y)
Analitik düzlemde 1. bölgede bulunan bir A(x, y)
A(x, y)
noktasının;
y eksenine göre simetrisi A'(-x, y) , ~~~~-+-~~~~~--x
•
o
x eksenine göre simetrisi A 11 (x, -y) ve Başlangıç noktasına
(orijine) göre simetrisi A 111
(-
x, - y) nok-
tasıdır .
y
·---------------- ----------------· A 11 (x, -y)
Aııı(-x, -y)
= f(x) = x" (n E :l'.) Biçimindeki Fonksiyonun y = Al)
.
f(x) = -x" Dönüşümünün Grafiği
.
BiLGi
• f: IR -
IR, y = -f(x) ==> -y = f(x)'tir. y = f(x) fonksiyonunda y yerine -y, x yerine x gelmiştir . y = -f(x)
fonksiyonunun
grafiği,
f fonksiyonunun
grafiğinin
• Bir f fonksiyonunda (x, y) yerine (x, - y) kuralı
x eksenine göre
yazılırsa
simetriğidir .
f fonksiyonunun x eksenine göre
simetriğinin
bulunur.
ÖRNEK IR, y = f(x) = x, y = f(x) = x 2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonların y = -f(x) = - x, y = - f(x) = - x 2 ve y = - f(x) =- x 3 dönüşümlerinin grafiklerini IR -
çizelim.
Çözüm Aşağıdaki
şekilde, y
1.
şekilde,
y
= f(x) = x fonksiyonu
= f(x) = x2 fonksiyonu
ile bu fonksiyonun y
ile bu fonksiyonunun y
y = f(x) =x3 fonksiyonu ile bu fonksiyonun y =- f(x)
=-x3
=-
f(x)
=-
=-
f(x) = -x dönüşümünün ; 2. 2 x dönüşümünün ; 3. şekilde de
dönüşümünün grafikleri çizilmiştir . İnceleyiniz . y
y
y
8
1 ı:
ı:
'
""'-y = x
't--- y = x3
y-Y=-x
r
'
' ' ' ' ''
-s r----,
49
y=-x3
y = f(x)
= x" (n E ~) Biçimindeki Fonksiyonun y = f(-x) Dönüşümünün Grafiği
- ~ BİLGİ
=
=
=
=(-x)"
f fonksiyonunun y eksenine göre
simetriğinin
• f: IR -+ IR , y f(-x) => y f(x) kuralında x yerine -x; y yerine de y geldiğinden, y f(-x) fonksiyonunun grafiği, y =f(x) x2 fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriğidir.
=
• Bir f fonksiyonunda (x, y) yerine (-x, y) kuralı bulunur.
F=K
ÖR
f: IR Bu
yazılırsa
-+
IR, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor.
fonksiyonların
y
=f(- x) dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
ozum
y = f(x) = x => y = f(-x) = (-x) = -x, y = f(x) = x2 => y = f(-x) = (-x)2 = x2 dir. y = f(x) = x3 => y = f(-x) = (-x)3 = -x3 tür. Aşağıdaki 1. şekilde,
y = f(x) = x ile bu fonksiyonun y = f(-x) = -x
dönüşümünün ;
2.
şekilde ,
y = f(x) = x2 fonksiyonu ile bu fonksiyonun y = f(-x) = (-x)2 = x2 dönüşümünün ; 3. şekilde de y = f(x) = x3 fonksiyonu ile bu fonksiyonun y = f(-x) = (-x)3 = -x3 dönüşümünün grafiği çizilmiştir . İnce leyiniz. y
CD
y
®
y ={-x)2
'--y = x -2 -
• y 8
.._,,__y = x3
y-Y =-x3
•
-8
50
y y = f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. Bu fonksiyon için çizelim.
aşağıdaki dönüşümlerin
grafiklerini
a. y =-f(x)
b. y =f(-x)
y
,...··~··
a. y = -f(x) e senine göre Yandaki
dönüşümü,
f fonksiyonunun
grafiğinin
x
simetriğidir.
grafiği
inceleyiniz.
y=x+2=y-x=2
B
CD
2
'-_y=f(x)
y = f (x) = - y = f(x) = x + 2 =-y-x=2 ®
CD ve ®
~y=-f(x)
yi karşılaştıralım.
® de (x, y) yerine (x, - y) gelmiştir.
y
b. y = f(-x) e senine göre Yandaki
dönüşümü,
f fonksiyonunun
grafiğinin
y
simetriğidir.
grafiği
inceleyiniz.
y = f(x) = x + 2'dir. y = f(-x) = -x
y =f(x)
CD
+ 2'dir. ®
® de (x, y) yerine (-x, y) gelmiştir.
y =f(-x) ÖRNEK
f: IR - IR, y = f(x)
=~
x + 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun
grafiğinin,
a. x eksenine göre simetriğini, b. y eksenine göre simetriğini, c. Orijine göre simetriğini bulalım ve analitik düzlemde gösterelim.
a. A(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği A1(x, -y) olduğundan, y =f(x) fonksiyonunun x ekse., e göre simetriği bulunurken x yerine x; y yerine -y yazılır. 2 x eksenine 2 y = x+ 2 - y= 3 3 x + 2 ve göre simetriği
2 3
y =- - x- 2'd'ır.
51
y grafiği
Yandaki
inceleyiniz. 2 ky=-x+ 3
b. A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği A 1(-x, y) olduğundan , y nine göre simetriği bulunurken x yerine -x; y yerine y yazıl ı r . 2 y eksenine 2 y= 3 x + 2 göre simetriği y = 3 (-x) + 2 ve
y =-
2 2'd" 3 x + ır.
Yandaki
grafiği
=f(x) fonksiyonunun y
y
inceleyiniz. 2
c. A(x, y)
noktasının
orijine göre simetriği A 1(-x, -y) olduğundan , y simetriği bulunurken x yerine -x; y yerine de -y yazılır. 2 orijine göre 2
y =- x + 2
3
simetriği
(-y)
=-
3
~y=_g_X+2 3
=f(x) fonksiyonunun orijine
(-x) + 2
2
-y= - 3 x + 2 y
=-32
x- 2' d"ır .
y
Yandaki grafiği inceleyiniz.
~~~--~~~o+-~~--.3~~-x
-2
~Y=_g_x-2 3
Tek ve Çift Fonksiyonlar
i il
f: IR
~~~i
f(-x)
f fonksiyonu her x E IR için
=f(x) ~ f çift fonksiyondur.
f(-x)
=-f(x) ~ f tek fonksiyondur.
Çift fonksiyonlar y eksenine göre; tek fonksiyonlar da başlangıç noktasına (orijine) göre simetriktir.
ÖRNEK
f: "ll.. - "ll.., y da tek olup
=f(x) =xn fonksiyonu veriliyor. n E {-1 , 1, 2, 3, 4} için elde edilen fonksiyonların çift ya
olmadığını ,
simetri özelliklerini inceleyelim ve
grafiğini
çizelim.
Çözüm
a. n =-1 ~ y =f(x)
-+
=x -1 =-x1
ve
= =-f(x) olduğundan f fonksiyonu tek fonksiyondur. f(-x) =-f(x) dönüşümünde (x, y) yerine (-x, -y) geldiğinden, y = :
f(-x)
fonksiyonu
başlangıç noktasına
(orijine) göre simetriktir. y ~ ' '
'
'- A
1 ----------: -,
1 -2
-1
2
: --- B ----------ı-------~~r-
--- -
~~~~~~+--~~~----x
o
i
1 1
--------~, ~---:----i---------- - 2 A.ı ~.--------- -1
2
'
b. n =1 ~ y =f(x) f(-x)
=xn =x ve
=-x =-f(x) olduğundan,
t fonksiyonu tek fonksiyondur. f(-x)
=-f(x) dönüşümünde (x, y) yerine (-x, -y) geldiğinden y =x fonksiyonu orijine göre simetriktir.
Yandaki grafikte Aile A 1, Bile 8 1 orijine göre simetriktir.
53
c. n = 2 = y = f (x) = xn = x 2 ve f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) olduğundan ,
. i .....
f fonksiyonu çift fonksiyondur. f(-x) = f(x) = y dönüşümünde (x, y) yerine (-x, y) geldiğinden, y = x 2 fonksiyonu y eksenine göre simetriktir.Aile A 1, Bile 8 1 noktalarının
olduğunu
y eksenine göre simetrik
Y
''
y=x2
' '
8 11--------4 ----------i B ,'!
i\
~\
fark ettiniz mi?
/!
i A1, ____1 ---1'/A 1i
1
ç. n = 3
ı
= y = f(x) = xn = x3 ve
\
i\
/!
~x
-=-2-1 o 1 2
f(-x) = (-x3) = -x3 = f(x) olduğundan , f fonksiyonu tek fonksiyondur. y = x3 fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetriktir. Aşağıdaki
Q). grafiği
inceleyiniz. A ile A1 ve B ile 8 1 noktalarının orijine göre simetrik olduğu
görünüz.
d. n = 4
= y = f(x) = xn = x4 ve f(-x) = (-x)4 = x4 = f(x) olduğundan , f fonksiyonu çift fonksiyondıs. ®· grafiği inceleyiniz. A ile A
y = x4 fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. Aşağıdaki B ile B'
noktalarının
y eksenine göre simetrik
olduğunu
y
CD
®
t : a ------------; A :: .: ::
:L
f
t
. i/' B '.~:
.... .. ..:l::
___
~
16
t
:
..:ı
.
:ı
ı:
ti
"
~
:ı
ı:
,:I'
,,•:
:ı
y = x3
1 1
ı:
1
::
: f
1:
1 •
1:
:;
1:
::
:
~---/s :i
o- /:
:
;
+I :ı
:;
-2 -1
y
,,
..' :: .' l : :
,'
:
A 1 ~~ ----------------------~1 A
ı
:l
görünüz.
1
•
/~ y=x4
1
.. x
-1
::
..::ı: :::. :: :: ~
~
!
A' L ---------r - 8
54
E' f : [-6, n] __.., IR, f(x)
=x2 + (m -3)x + 4 fonksiyonu çift fonksiyon ise n ve m değerlerini bulalım.
Cözüm
f çift fonksiyon ise f(-6)
=f(6) olacağından, n =6'dır.
f çift fonksiyon ise y = f(x) kuralında x in tek kuwetli terimi bulunmaz. Bu nedenle x li terimin kat sayısı olan m - 3 = O olmalıdır.
=O =
m- 3
Ayrıca ,
f(-x)
m
=3' tür.
=f(x) ise
= (-x)2 + (m - 3)(-x) + 4 =x2 + (m - 3)x + 4 = x2 + (-m + 3) x + 4 =x2 + (m - 3)x + 4'tür. Bu
eşitlikten
- m+3 -2m
Aşağıda
a. f(x)
=m -
3
=-6 =
m
=3 bulunur.
verilen fonksiyonların tek ya da çift olup olmadıklarını ve simetri özelliklerini inceleyelim.
=5x2 + 2
b. f(x)
=2x3 -
5x
c. f(x)
=x -
3
· ..,ÜM
a. f(x) = 5x 2 + 2 fonksiyonu için f(-x) = 5(-x)2 + 2
=5x 2 + 2 = f(x) olduğundan f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(-x) riktir.
=f(x) = y dönüşümünde (x, y) yerine (-x, y) geldiğinden f fonksiyonu y eksenine göre simet-
b. f(x) = 2x3 - 5x fonksiyonu için f(-x) = 2(-x)3 -5(-x)
=-2x3 + 5x'tir. f(x) = 2x3 - 5x
G)
= -f(x) = -(2x3 - 5x) =-2x3 + 5x' tir.
®
f fonksiyonu tek fonksiyondur. f(-x) = -y dönüşümünde (x, y) yerine (-x, - y) geldiğinden f fonksiyonu başlangıç noktasına (orijine) göre simetriktir.
G) ve ® ' den f(-x)
=-f(x) olduğundan,
c. f(x) = x - 3 fonksiyonu için f(-x) = (-x) - 3 = - x - 3' tür.
-f(x) = -(x - 3) = -x + 3' tür.
*
f(- x) f(x) ve f(- x) yon da değildir .
* -f(x) olduğundan f fonksiyonu çift fonksiyon değildir. f fonksiyonu tek fonksi-
55
AÇIKLAMA
Günümüzde bilgi ve iletişim teknolojileri hızla gelişmektedir. Bunun sonucu olarak da eğitim ve öğreti mle ilgili programların ve yazılımların alternatifleri de çoğalmakta ve programların uygulanması da kolaylaşmaktadır . Her öğrenci hesap makinesini yerinde ve etkin kullanmayı bilmesi gerektiği gibi bilgisayarı da yerinde ve etkin kullanmasını öğrenmelidir. Temel düzeyde bilgisayar bilgisine sahip olmak; bilgisayardan , uygun bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanmayı kolaylaştırır. Dinamik geometri yazılımları ile çalışmalar yapma becerisini kazanmak için bilgisayarınızda ücretsiz olarak erişilebilen bir yazılım programının indirilmiş ve kurulmuş olması gerekir. Bunun için ; Öğretmeninize danışın.
• (www.ankarageogebra.org) ardesinden ya da "geogebra ile matematik öğretimi " yazarak internete giriniz. "[PDF] İlköğretim ve Ortaöğretim Matematik Öğretmenleri için ... "* sayfasını tıklayınız . Açılan
sayfalarda, kitabın 2 ve 3. bölümlerini okuduktan sonra 4. bölümdeki etkinlik örneklerini inceleyiniz . (*Kabaca, T., Aktümen , M., Aksoy, Y. ve Bulut, M., (2010) . Geogebra ile Matematik Eğitimi ; İs tanbul Kültür Üniversitesi Yayınları.)
Dinamik matematik I geometri
yazılımı yard ı mı
ile verilen bir fonksiyonun
grafiğini
çizelim .
Araç ve Gereçler: Dosya kağıdı, kalem, Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
• Geogebra yaz ı lım n eğini tıklayınız .
a :y • Araç
programını açınız . Sağdaki
Alttaki
giriş
bölümüne "y
perspektifler penceresinden "cebir ve grafik" seçe-
=x" yazarak " enter" tuşuna tıklayınız. Cebir bölümünde
=x doğrusal denklemi ; grafik bölümünde de bu fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur. çubuğundaki
tıklayınız
ve
üzerinde ok bulunan
parmağınızı
n oktasına getirdiğinizde ,
y = x + 2' yi ötele m iş
çizmiş
kaldırmadan grafiği sağa
cebir bölümde a : y
grafiği
silmeden
koordinat sisteminde
giriş
sonra grafik üzerindeki bir
ya da sola hareket ettiriniz.
noktayı
Grafiği
(O, 2)
= x + 2 denklemi oluşur. Böylece y =x verilmiş iken
oldunuz. Yani verilen fonksiyonunun
oldunuz. Bu
tıkl arsanız, aynı
düğmeyi tıkladıktan
grafiğ i ni
y ekseninin pozitif yönünde 2 br
bölümüne yeni bir fonksiyon yazarak " enter"
grafiğini çizmiş
tuşuna
olursunuz.
• Çizd iğ i n iz grafiği silerek benzer şekilde, giriş bölümüne aşağıda verilen fonksiyonları sıra ile yazarak grafiklerin i çizdiriniz. y •
=2x , y =2x + 1 ,
Ayn ı
y
=3x -
2, y
=x2 , y =x2 + 2, y = x2 -
çizimleri dosya kağıdına siz de çiziniz. Hangi
belirtiniz.
56
fonksiyonların
1, y
= x3
ve y
= x3 -
çift ya da tek fonksiyon
x olduğunu
1
ALIŞTIRMALAR
1.
Yanda y
=f(x) =-x + 1 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Verilen
bu fonksiyona göre
a. y =f(x) + 2
2.
b. y =f(x + 3)
=3x -
ç) y = f(-x)
-----+.o=-1---- x
=x2 + 2
=2x -
b. f(x)
5
=x2 -
dönüşümleri
1
b. f(x) = -2x + 2
IR'den IR'ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y lunuz ve grafiklerini çiziniz.
=-2x -
4
b. f(x)
=3x -
c. f(x) = x2
=f(x + 2) ve y =f(x -
=3x + 6
b. f(x)
= -2x + 4
2) dönüşümlerini bu-
c. f(x)
3
IR'den IR'ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y =-f(x) ve y ve grafiklerini çiziniz.
a. f(x)
=x2
=f(-x) dönüşümlerini bulunuz
c. f(x)
=x2 + 1 y
7.
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Verilen f fonksiyonu için y
8.
=f(x -
Yanda y
2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Verilen f fonksiyo-
nun için y
9.
ile
IR ' den IR'ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y =f(x)-2, y =f(x) + 2 dönüşümlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz.
a. f(x) 6.
c. y =-f(x)
b. f(x)
2
a. f(x) = 2x + 4 5.
grafiklerini çiziniz.
IR'den IR'ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların k = -2 ve k = 3 için y = k. f(x) elde edilen fonksiyonlarını bulunuz.
a. f(x) 4.
aşağıdaki dönüşümlerin
IR'den IR'ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y = f(x) + 1, y = f(x -1) ve y = f(-x) dönüşüm leri ile elde edilen fonksiyonlarını bulunuz.
a. f(x) 3.
y
Y
=f(x) + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
IR'den IR'ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların tek veya çift fonksiyon olup olmadığını belirtiniz.
a. f(x) = 2x3 -x
b. f(x) = x4 -3x2 + 2
57
c. f(x) = x2 + 2x + 3
10.3.1.2 GERÇEK SAYILAR KÜMESİNDE TANIMLI f ve g FONKSİYONLARINI KULLANARAK f + g, f - g, f. g ve+ FONKSİYONLARINI ELDE ETME BİLGİ
• Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için;
a.
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
b. (f - g)(x) = f(x) - g(x)
ç. (-f) (x) = f(x) •tir (g(x) :;; O).
c. (f . g)(x) = f(x) . g(x) • A
c
IR , B
c
g
g(x)
IR ve f :A --+ IR , g: B--+ IR ise f + g, f - g, f. g ve -
Ltanımlıdır.
f g
fonksiyonları
ÖRNEK IR --+ IR, f(x) = x2- x ve g(x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. f + g,
f - g,
f . g,
fonksiyonlarını bulalım .
An B' den IR ' ye
f
g
ve
2f - 3g
Çözüm Aşağıda
verilen fonksiyonların toplamları , farkları , çarpımları ve bölümleri ile elde edilen fonksiyon-
lar bulunmuştur. İnceleyiniz. • (f
+ g) (x) = f(x) + g(x) = (x2 - x) + (x + 1) = x2 - x + x + 1 = x2 + 1' dir.
• (f - g) (x) = f(x) - g(x) = (x2 - x) - (x + 1) = x2 - x - x - 1 = x2 - 2x - 1' dir. • (f . g) (x) = f(x) . g(x) = (x2 - x) . (x + 1) = x3 + x2 - x2 - x = x3 - x' tir.
• ( gf ) (x) =
f(x) x2 - x g(x) = ~' dir (g(x) :;; O).
• (2f - 3g)x = 2(f(x)) - 3(g(x)) = 2(x2 - x) - 3(x + 1) = 2x2 - 2x ~ 3x - 3 = 2x2 - 5x - 3'tür.
ÖRNEK f: A --+ IR, g: B --+ IR tanımlı f ve g fonksiyonları liste yöntemi ile f = {(-2, 3), (O, -1 ), (1, O) , (2, 3)}, g ={(O, -3), (2, 1), (5, 7)} olarak veriliyor. f + 2g ve f . g
fonksiyonlarını
liste yöntemi ile
yazalım.
Çözüm f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri, A = {-2, O, 1, 2}, B ={O, 2, 5} ve AnB ={O, 2}'dir. (f + 2g) : An B--+ IR, tanımlı olduğundan, (f + 2g)(O) = f(O) + 2g(O) = (-1) + 2(-3) = -1 -6 = -7 ve (f + 2g)(2) = f(2) + 2g(2) = (3) + 2(1) = 3 + 2 = 5 ise f + 2g ={(O, -7), (2, 5)}' dir f . g: A n B --+ IR
tanımlı olduğundan,
(f. g)(O) = f(O) . g(O) = (-1) . (-3) = 3,
(f . g) (2) = f(2) . g(2) = 3 . 1 = 3'tür.
f . g = {(0,3), (2, 3)} bulunur.
58
ÖRNEK
(-8, 8] ve f, g, f + g
tanımlı f(x) = x -
IR
fonksiyonlarının
1 ve g(x) = - : x - 2 fonksiyonları veriliyor. f + g fonksiyonunu
grafiklerini
aynı
bulalım
koordinat sisteminde çizelim.
Çözüm
~
•
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x - 1) + (- : x - 2) = x - 1 - : x - 2 =
•
f fonksiyonunun
•
x = -8::;. f(- 8) = -8 - 1 = -9 ve g(-8) = _ _§__ · (-8) -2 = 3'tür. f(-8) + g(-8) = -9 + 3 = -6' dır.
3
8
(f + g)(8) = B
8
(-8) - 3 = -6' dır.
x = 8::;. f(8) = 8 - 1 = 7 ve g(8) = _
3
•
eksenleri
kestiği
noktalar (O, -1 ), (1 ,0) , 16 , O) ve g fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar (O, -2) , (5 f + g fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar (O, -3) , (8, O)' dır .
(f+ g)(-8) = •
grafiğinin
x - 3'tür.
·8 -
3 =O' dır.
_§_ · 8 - 2 = -7'dir. f(8) + g(8) = 7 + (-7) =O' dır. 8
x =O ::;. f(O) = -1, g(O) = -2 ve f(O) + g(O) = (-1) + (-2) = -3' tür. (f + g)(O) = Aşağıdaki
grafiklerin çizimlerini inceleyiniz.
~
· O - 3 = -3' tür.
y
8 7 ·········································································
6 5
f(x) = x - 1
4 ······················································---------------a 2
r
~--a-·:.~~~~~~~--->~~~~~-t-::~7'"-~~~~~~~~~~--:::....-~x
-7
-8
-5
-2
-1
2
3
4
5
3
g(x) =-4
5
8
:
x-2
-5 ------------------·---···············- ~
- 7 ·························-------------------------------------··--···-·· !
-8 - ·····-································-··················-9-
59
ÖRNEK f , g : IR larının
= ~ x + 2, g(x) =- ~ x + 4 fonksiyonları veriliyor. f,
IR, f(x)
grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizelim.
g, f + g ve f - g fonksiyon-
y
Çözüm (f + g)(x)
2 4 2 =(-x + 2) + (- - x + 4) =- - x + 6 ve 3 3 3
(f - g)(x)
=(_g_x + 2) 3
(- _i_x + 4)
3
=2x -
2' dir. )Cf+g
x
f(x)
g(x)
(f + g)(x)
(f-g)(x)
o
f(O) = 2
g(O) = 4
(f + g)(O) = 6
(f - g)(O) = -2
3
f(3) = 4
g(3} =o
(f + g)(3) =4
(f - g)(3) = 4
(f + g)
•
n (f -
g)
={A}
ı?.! v~ ~~reçler: 1
.IR'den IR'ye
~f
-3 1
ise A E f' dir.
Dosya
kağıdı, cetvel.~alem
tanımlı f(x) =2x2 + 1,
g(x)
1
..
= x3- x, h(x) =x2 + 2, k(x) =2x3- 3x, t(x) =x ve n(x) =3 il
fonksiyonları veriliyor.
• Verilen fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını belirtiniz. • İki çift fonksiyonun çarpımı ve bölümü ile elde edilen fonksiyonların çift fonksiyon olup olmadığını tartışınız.
• İki tek fonksiyonun çarpımı ve bölümü ile elde edilen fonksiyonun çift fonksiyon olup olmadığını tartışınız.
• Bir çift fonksiyon ile bir tek fonksiyonun
çarpımının nasıl
bir fonksiyon
olduğunu
belirtiniz.
• İki çift fonksiyonun toplamını, iki tek fonksiyonun toplamını bulunuz. Elde ettiğiniz fonksiyonların nasıl
bir fonksiyon
olduğunu
Ş
1.
f, g: IR -
IR, f(x)
3.
IR
LAR
=x2 + x + 1, g(x) =x -
a. f + g
2.
belirtiniz.
IR, f(x) =-
larının
grafiklerini
f: A -
Z, f
aynı
~ x + 2,
f
ç.-
c. f. g
b. f-g
f, g: IR -
1 fonksiyonları veriliyor. Aşağıdaki fonksiyonları bulunuz.
g(x) = x- 4
g
fonksiyonları veriliyor. f, g, f + g
ve f- g fonksiyon-
koordinat sisteminde çiziniz.
={(a, -1 ), (b, 3), (c, 4), (d, 6)}
ve g: A -
Z, g
= {(a, 2), (b, 4) , (c, -3), (d, O)}
ise
3f(b) + 4g(c) işleminin sonucunu bulunuz.
4.
f, g: IR -
A.-8
IR, f(x)
=3x + 2 B.O
ve g(x)
=-x + 3 fonksiyonları için (f. g)(2) aşağıdakilerden hangisidir? o. 16
C.8 60
E.40