EXPONENTES Y RADICALES EN LOS REALES
Analicemos la siguiente situación y solucionemos los cuestionamientos presentados: Cada uno de nosotros ha tenido dos padres; cada padre tuvo a su vez dos padres; cada abuelo tuvo a su vez dos padres. Cuántos antepasados generaciones?
tuvo
usted
hace
tres
Qué operación se debe efectuar para encontrar la respuesta?
El planteamiento inicial, lo podemos representar asĂ:
Para el análisis gráfico de la situación propuesta, utilizaremos un diagrama de árbol. Tercera Generación 8 antepasados
Segunda Generación 4 antepasados Primera Generación 2 antepasados
Al cabo de 3 generaciones, tendremos antepasados. 23 = 8 antepasados
23
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La situación anterior nos lleva a la potenciación. La potenciación es una multiplicación abreviada, donde está presente el factor a que se repite un número n de veces. Se expresa como:
a × a × a × a × a ... = a n n veces
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS En la potenciación: El número a que se repite como factor se llama BASE. El número n que indica las veces que se repite el factor, se llama EXPONENTE. El resultado recibe el nombre de POTENCIA.
a =b n
Base
Exponente Potencia
¡IMPORTANTE!
POTENCIAS PARES E IMPARES
≠
Observemos las siguientes situaciones:
−2
4
−2 = −2 × 2 × 2 × 2 = −16 4
−2
3
−2 = −2 × 2 × 2 = −8 3
( −2) ( −2 )
=
4
4
= −2 × −2 × −2 × −2= 16
( −2)
3
( −2) = −2 × −2 × −2 = −8 3
LEYES DE LOS EXPONENTES
a ×a = a m
n
2 ×2 3
2
3 3 3 5
=3
5 −3
=2
=2
a m −n = a n a m
m +n 5
3+2
a ≠0
=3
2
LEYES DE LOS EXPONENTES
(a ) n
(4 )
2 6
m
=a =4
n ×m
=4
12
2×6
(a ×b)
n
= a ×b
( 2 × 3)
5
= 2 ×3
n
5
5
n
LEYES DE LOS EXPONENTES n
n
3
3 = 3 4
a = a ÷ n b b 3 ÷ 4
a =1 0
b ≠0 3
a ≠0
LEYES DE LOS EXPONENTES
a
−n
2
−3
1 = n a
a ≠0
1 = 3 2
Un entero elevado a un número negativo es el recíproco de este número, elevado a la potencia dada positiva
¡CUIDADO! ERRORES FRECUENTES
x +x 4
4
=x
x +x =x 4
3
x ×x = x 2
3
8
7
6
x +x 4
4
= 2x
4
x4 +x3 = x4 +x3
x ×x = x 2
3
5
¡CUIDADO! ERRORES FRECUENTES
2
−3
( 13 + 2 ) ( 2 − 3)
0
2
= −2 = −8 3
= 13 + 15 = 1 + 1 0
0
= 2 −3 = 4 −9 2
2
2
−3
1 1 = 3 = 8 2
( 13 + 2) ( 2 − 3)
2
0
= 150 = 1
2
= ( −1 ) = 1
EJEMPLOS Encontrar el resultado de:
0 4 × 0 −3
63 23
= 0×
1 03
No está definido
3
6 = ÷ 2
= 33
=27
EJEMPLOS Expresar en potencias de 2 y de 3 la siguiente expresión: 4 3
( 6)
( 6)
4
× ( 18 )
3
× ( 18 )
4
= ( 2 × 3) × ( 6 × 3)
3
= 2 ×3 ×(2×3
)
4
4
4
= ( 2 × 3) × ( 2 × 3 × 3)
2 3
= 27 × 310
= 24 × 34 × 23 × 36
3
EJEMPLOS Resolver y simplificar
−9 ( 52 ) ( 42 ) 63
−9 ( 52 ) ( 42 ) 63 ( −5 ) ( 23 )
5 ) (2 ) ) ( = ( −5 ) ( 2 ) ( 2 × 3) ( −5 ) ( 2 ) 3
−(3
2
2
3
2 2 3
−32 × 52 × 24 = 3 2 × 33 × −5 × 23
5 = 3× 4
−5 = −3 × 22
5 = 12
A TRABAJAR…
EJERCICIO 3
Resolver y simplificar 3
−3
4y 2y ÷ −2 ÷ 5x x
−3
4y 2y ÷ −2 ÷ 5 x x 22 y = 5x
3
3
x −2 ÷ ÷ 2y ÷
2 y 1 = 3 3 2 5 x x 2y 6
3
3
÷ ÷
26 y 3
1 = 3 3 × 6 3 3 5 x x 2 y 23 = 3 9 5 x
=
8 125x 9
RADICALES La radicación es la operación inversa a la potenciación: POTENCIACIÓN
Entonces
RADICACIÓN
? = 144 2
Exponente Si
122 Base
=
144 Potencia
Índice de la Raíz
? = 144
2
144
=
Radical Cantidad Subradical
12 Raíz Cuadrada
RADICALES En la potenciación se conocen la base y el exponente, y se halla la potencia. En la radicación se conocen el índice de la raíz y la cantidad subradical, y se halla la raíz. Haciendo una relación entre las dos operaciones se tiene: Potenciación
Radicación
Exponente
Índice de la raíz
Base
Raíz
Potencia
Cantidad subradical
RADICALES Definición de la Raíz n-ésima Si n es un entero positivo ≠ 1 , entonces la raíz n-ésima principal de a se define así:
n
a =b
b =a
IMPORTANTE: Si n es par, entonces
n
a≥0 y b≥0
PROPIEDADES DE LOS RADICALES n
a ×b = n a × n b
m n
n
a =
an = a
a
16 16 = 25 25
n a a = b nb
n
n
9×4 = 9 × 4
n
= a
mn
a si n es impar
si n es
par
3
729 = 6 729
3
( −5 )
( −3)
3
2
= −5 = −3 = 3
¡PRECAUCIÓN
9+ 4 = 9 + 4 =3+2 = 5
a +b ≠ a + b 9 + 4 = 13
EJEMPLOS Resolver: −16 3
4
−125
No está definida en los Reales =
1 16
9 + 36 + 25
3
( −5 )
3
= −5
1 = 2
1 4 = 24
= 70
EJEMPLOS
Resolver:
Propiedad 1
18 × 25 × 72 = 18 × 25 × 72
= 9 × 2 × 5 × 36 × 2 2
= 32 × 2 × 5 × 62 × 2 = 32 × 2 × 5 × 62 × 2 = 3×5×6× 2 × 2 = 3×5×6× = 90 × 2
( 2)
2
Descomponer en factores Expresar como potencia, los factores posibles
Propiedad 1 Resolver radicales Multiplicar
= 180
EXPONENTES RACIONALES Para definir exponente racional o, lo que es lo mismo, exponente fraccionario, debemos hacer uso de los radicales:
n
a =a
1 n
La potenciaci贸n y radicaci贸n conserva en los racionales, las mismas propiedades definidas para el conjunto num茅rico de los Enteros.
EXPONENTES RACIONALES En forma General se puede definir:
a
p q
a
p q
=a =a
1 p× q
1 ×p q
= (a = a
p
1 q
)
1 q
p
= (a)
÷ = ÷
q
(
q
a
)
p
p
EJEMPLOS Resolver:
8
2 3
x
= 8 3
3
x
2
=
3
(2 )
1 2
3 2
1 2
3 = x x ÷ 1 2
72 = x ÷
= 2 =2 3
6
2
1 2
3+ 21 = x ÷
=x
7 4
=4
EJEMPLOS Resolver:
1 3 −3
(x y ) 6
1 2 −2
(x y ) 4
−2
−1
x y = −2 −1 x y =x y 0
0
=
6 − 3
3 − 3
4 − 2
2 − 2
x y x y
=x
−2 − ( −2 )
=1
y
−1− ( −1)
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES En ocasiones resulta útil eliminar el radical del denominador de una expresión. Para esto, se multiplica tanto numerador como denominador por una expresión adecuada. A este procedimiento se le denomina “Racionalización de Denominadores”
1 5
=
1 5
×
5 5
=
5 52
5 = 5
En realidad multiplicamos la cantidad por 1, con lo que no se altera su valor
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES En general, si el denominador es de la forma n a m con m<n, entonces al multiplicar el numerador y el denominador por n n −m racionalizamos el denominador
a
1 3
x
=
1 3
x
×
3
x
2
3
x
2
=
3
x
2
3
x
3
x = x 3
2
RACIONALIZACIÓN DE NUMERADORES El mismo procedimiento descrito anteriormente, se puede utilizar para racionalizar los numeradores.
x x
3
x x = × 3 x x2 3
3
=
3
x3
x x 3
2
2
=
=
3
x ×x 3
x x
x x x 3
2
2
2
=
1 3
x
2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Conceptos Básicos Expresión Aritmética: cualquier combinación números y signos de agrupación u operación.
de
Variable: Símbolo, usualmente una letra, que representa a cualquier elemento de un conjunto de referencia dado.
Términos Semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal con igual exponente.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Conceptos Básicos
Expresión Algebraica: Cualquier combinación de números reales y letras unidos por operadores aritméticos. Las expresiones separadas por los signos de suma y resta se llaman términos.
Cada Término está conformado por un número real llamado coeficiente y una parte literal formada por una o más variables.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En el término
y 3 x 2 , el coeficiente es 1
El exponente de la variable en el término 2x es 1
El término 6 tiene como parte variable x 0
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresiones Algebraicas Especiales POLINOMIO: Combinación de números, variables con exponentes enteros no negativos y signos de agrupación u operación. El grado del polinomio está determinado por el mayor exponente de la variable en que está dado. La forma general de un polinomio de grado n en una variable es:
a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + ... + a1 x 1 + a 0
+ n ∈¢ U{ 0}
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresiones Algebraicas Especiales Monomio: Es aquel que tiene un solo término
2x
3y
Binomio: Es aquel que tiene dos términos no semejantes
x +y
x + x2 Trinomio: Es semejantes
aquel
que
x + x2 + x3
tiene
tres
términos
x +y +z
no
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Simplificar una expresión algebraica es convertirla en su forma equivalente más simple. Ejemplo: Simplificar
6x 2 − 9x + 3 − 4x − 7
6x − 9x + 3 − 4x − 7 2
= 6x 2 − 9x − 4x + 3 − 7 = 6x − 13x − 4 2
Reorganizar términos semejantes
Sumar términos semejantes
SIMPLIFICACIĂ&#x201C;N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo 2: Encontrar el Polinomio que resulta de sumar los siguientes polinomios: 2x - 3b - 3c; x + 5b - 2c y 3x - 2b + 4c
(2x - 3b - 3c) + ( x +5b - 2c) + (3x - 2b + 4c)
= 2x + x + 3x - 3b + 5b - 2b - 3c - 2c + 4c = 6x - c
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo 2: Encontrar el Polinomio que resulta de restar los siguientes polinomios: 4x - 6b - 5c y -2x + 4b - 7c
(4x - 6b - 5c) - ( - 2x + 4b - 7c) = 4x - 6b - 5c + 2x - 4b + 7c = 4x + 2x – 6b - 4b – 5c + 7c
= 6x – 10b + 2c
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
−x y 3
Ejemplo 3. Simplificar
−x y 3
3
( −3 xy ) 3
5
= − ( −3
3
3
( −3 xy )
) (x x ) (y 3
3
3
= 33 ( x 3 x ) ( y 3 y 5 ) = 33 ( x 3+1 ) ( y 3+ 5 ) = 27 x y 4
8
y
5
5
)
P. Asociativa y Conmutativa
P. Opuesto Aditivo
P. Potencias
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2y ( 4y + 2x )
Ejemplo 4. Simplificar
2y ( 4y + 2x ) = 2y ( 4y ) + 2y ( 2x ) P. Distributiva
= 8y + 4xy 2
P. Potencias
PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de un binomio Cuadrado de la Suma Binomio: conformado por dos términos no semejantes
( a + b )2
( 5x + 7 )2
=
a2
= 25x2
+
2ab +
+ 70x +
b2
49
PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de un binomio Cuadrado de la Diferencia ( a - b )2
( 3x - 8y2 )2
=
a2
= 9x2
-
-
2ab +
48xy2
b2
+ 64y4
PRODUCTOS NOTABLES Producto de la Suma por la Diferencia de Dos Cantidades (a+b)(a-b)
( 4x + 9y ) ( 4x - 9y ) =
=
a2
16x2
-
-
81y2
b2
PRODUCTOS NOTABLES Cubo de una Suma ( a + b )3 = a3
+ 3a2b + 3ab2 +
b3
( 2x + 4y )3 = (2x)3 + 3(2x)2(4y) + 3(2x)(4y)2 + ( 2x + 4y )3 = 8x3
+
48x2y
+
96xy2 +
(4y)3
64y3
PRODUCTOS NOTABLES Cubo de una Diferencia ( a - b )3 = a3
- 3a2b + 3ab2 -
b3
Observe: los signos se alternan
( 6x - 2y )3 = (6x)3 - 3(6x)2(2y) + 3(6x)(2y)2 - (2y)3
( 6x - 2y )3 =
216x3 - 216x2y + 72xy2
-
8y3
¡CUIDADO! ERRORES FRECUENTES
(a ±b)
2
(a ±b)
3
= a ±b 2
2
= a ±b 3
3
FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir una expresión como un producto de otras.
Es el proceso contrario a la multiplicación. La factorización implica encontrar el máximo número de factores primos dentro del conjunto de los enteros.
Ejemplo:
Factorizar
24
Factorizar 24 es expresarlo en el producto de sus factores primos:
24 = 2 × 3 3
Factorización – Factor Común Factorizar:
2xa + 3a
En la expresión existe un factor común: Por consiguiente:
2xa + 3a
= a ( 2x + 3)
a.
Factorización – Factor Común Factorizar: 9u 2v + 6uv 2 Factores comunes de la expresión:
6 = 3×2
9 = 32
u
v
2
u v
2
Factor común a 9 y 6
3
Factor común
u , “menor exponente”
Factor común
v , “menor exponente”
Por consiguiente:
9u 2v + 6uv 2
= 3uv ( 3u + 2v )
Factorización de Binomios Factorizar:
9x 2 − 49
Este binomio cumple con las características de un producto notable. Es una diferencia de cuadrados.
(a+b)(a-b) 9x − 49 2
=
a2
= ( 3x ) − 7 2 2
= ( 3x − 7 ) ( 3x + 7 )
-
b2
Factorización de Binomios Factorizar:
x3 −1
La expresión es una diferencia de cubos:
a 3 −b 3 = ( a −b ) ( a 2 +ab +b 2 ) Entonces…
x −1 3
= ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
Factorización de Binomios 6 Factorizar: 1 + 1000x
La expresión es una suma de cubos:
a 3 +b 3 =( a +b ) ( a 2 −ab +b 2 Entonces…
1 + 1000x
6
= 1 + ( 10x 3
)
2 3
= ( 1 + 10x 2 ) ( 1 − 10x 2 + 100x 4 )
)
¡CUIDADO!
a ±b 3
3
(
= ( a ± b ) a 2 + 2ab + b 2
)
Factorización de Trinomios Expresiones de la forma
x 2 + bx + c
2 x − 2x − 15 Factorizar:
Para factorizar la expresión, se deben encontrar dos números para los que su producto sea –15 y su suma sea -2
x 2 − 2x − 15 =( x Producto = - 15 Suma:
-3 x 5 -3 + 5 = 2
)(x
)
Producto = - 15 Suma:
= ( x − 5 ) ( x + 3)
-5 x 3
-5 + 3 = - 2
Factorización de Trinomios Expresiones de la forma
ax 2 + bx + c
Factorizar: 2x 3 + 8x 2 + 8x El mayor factor común de la expresión es 2x: = 2x ( x + 4x + 4 )
2x + 8x + 8x 3
2
( a + b )2
2
=
a2
+
2ab +
Trinomio cuadrado perfecto - Producto Notable
b2
Entonces… 2x 3 + 8x 2 + 8x
= 2x ( x + 2 )
2
Factorización de Trinomios Expresiones de la forma
ax 2 + bx + c
Factorizar: 2x 2 − 3x − 5 Para llevar expresiones de la forma ax + bx + c a la 2 forma x + bx + c se multiplica y se divide por a. 2
2x 2 − 3x − 5
=
=
= =
2 ( 2x 2 ) − 2 ( 3x ) − 2 ( 5 )
Se multiplica y se divide por 2
2
( 4x )
2
− 3 ( 2x ) − 10 2
( 2x
− 5 ) ( 2x + 2 )
Se factoriza
2
( 2x
− 5 ) 2 ( x + 1 ) = ( 2x − 5 ) ( x + 1 ) 2
Factorización Completa de una Expresión
Factorizar: 4x 4 − 64y 4
4x 4 − 64y 4
Factor Común
= 4 ( x 4 − 16y 4 )
= 4 ( x + 4y 2
= 4 ( x + 4y 2
2
2
) (x
2
− 4y
2
)
Diferencia cuadrados
) ( x − 2y ) ( x + 2y )
Diferencia cuadrados
de
de