INDICE GENERAL Introducción………………………………………………1 Justificación……………………………………………….2 Contenido………….……………………………………….3 Conclusión…………………………………………………4 Propuestas………………………………………………….5 Referencia…………………………………………………..6 Agrafías………………………………………………………………7
FASE DE INVESTIGACION
1. Multiplicación y División de Polinomios. 2. Producto Notables (Cuadro de la suma de dos cantidades. 2.1) Cuadro de la Diferencia de Dos Cantidades. 2.2) El cuadrado de la diferencia de dos cantidades. 2.3) Cubo de dos cantidades. 2.4)Productos por la Suma Por la Diferencia de dos Términos. 3. Ecuacion de Entera de Primer Grado Con una Icognica. 4. Problemas de Aplicación de Ecuaciones Entera de Primer Grado de una Icognica. 5. Ecuaciones Entera de Primer Grdo con dos Icognica. 6. Ecuaciones Entera de Primer Grado con tres Icognicas. 7. Ecuaciones Cuadraticas.
INTRODUCCION En los actuales momento de en la multiplicación y división de Polinomios es una operación que tiene objetivo dados dos cantidades llamados multiplicación multiplicación que son llamados factores del producto del polinomios. Productos Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso sabe factor izarlas a simple vista: Sin necesidad de hacerlo paso a paso, las ecuaciones de primera grado de dos icognica Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas, las ecuaciones cuadráticas se pueden utilizar con formulas especiales que se llama formula cuadrática dentro de la investigación sirve para mejorar las habilidades de aprendizaje y es importante dentro el mundo de los negocios . Dentro el trabajo encontramos ciertas formulas de cómo poder utilizar lo que es algebra.
JUSTIFICACION
¿Qué es multiplicación y división de polinomios? Es una operación que tiene por objetivo, dado por el producto de dos factores (dividiendo) y uno de los dos factores (divisor). La multiplicación dada por cantidades de multiplicando y multiplicador. En álgebra para evitar confusiones en la multiplicación de cantidades conocidas (números) se acostumbra a encerrar los mismos entre paréntesis. Así, la multiplicación “12 por 20” suele indicarse como (12)*(20)o como(12).(20)o como (12)(20) El orden de los factores no altera el producto. Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb (Ley Conmutativa de la multiplicación) Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. ¿Quiénes quedara satisfecha? Los profesores y alumnos de nuestro país
1. Multiplicación y División de Polinomios. La multiplicación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicandas y multiplicadoras, hallar una tercera cantidad, llamada producto. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. En nuestras clases de aritmética nos enseñaron que esta operación es representada a través del signo “x” (por). En álgebra para evitar confusiones (por utilizar la “x” como una variable o incógnita) se ha convenido representarla de otras maneras: Es así cómo la operación “a por b” puede ser indicada de alguna de las siguientes maneras: 1) a .b 2) ab 3) a*b 4) (a).(b) 5) (a)(b) En álgebra para evitar confusiones en la multiplicación de cantidades conocidas (números) se acostumbra a encerrar los mismos entre paréntesis. Así, la multiplicación “12 por 20” suele indicarse como (12)*(20) o como (12).(20) o como (12)(20) El orden de los factores no altera el producto. Así, el producto ab puede escribirse va; el producto ABC puede escribirse también b, a, c o a, c, b (Ley Conmutativa de la multiplicación) Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicandas y multiplicadoras, hallar una tercera cantidad, llamada producto. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. En nuestras clases de aritmética nos enseñaron que esta operación es representada a través del signo “x” (por). En álgebra para evitar confusiones (por utilizar la “x” como una variable o incógnita) se ha convenido representarla de otras maneras: Es así cómo la operación “ a por b” puede ser indicada de alguna de las siguientes maneras: 1) a .b 2) ab 3) a*b 4) (a).(b) 5) (a)(b)
En álgebra para evitar confusiones en la multiplicación de cantidades conocidas (números) se acostumbra a encerrar los mismos entre paréntesis. Así, la multiplicación “12 por 20” suele indicarse como (12)*(20) o como (12).(20) o como (12)(20) El orden de los factores no altera el producto. Así, el producto ab puede escribirse va; el producto abc puede escribirse también bac o acb (Ley Conmutativa de la multiplicación) Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. Aplicación es una ópera.
2. Producto Notables (Cuadro de la suma de dos cantidades). Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factor izar las (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración:
2.1) Cuadro de la Diferencia de Dos Cantidades. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades que se expresa (a - b)2 = a2 - 2ab + b2En este caso se verifica casi lo mismo que en la suma de cuadrado, la diferencia es el signo del segundo término que será negativo.
Veamos: Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: elevar (a – b) equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma. a-b a-b a2 - ab - ab + b2 a2 - 2ab + b2 Por esta razón (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 La regla para este caso es: 2.2) El cuadrado de la diferencia de dos cantidades: es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo (doble) de la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. Veamos algunos ejemplos 1.1)
(x - z)2 (x)2 – 2(x) (z) + (z)2 X2 – 2xz + z2
1.2)
(2a - 3b)2 (2a)2 – 2(2a) (3b) + (3b)2 4a2 – 12ab + 9b2 respuesta
1.3)
(4 – 4y)2
(4)2 – 2 (4) (4y) + (4y)2 16 – 32y + 16y2 respuesta
2.3) Cubo de dos Cantidades. 2.4) Productos por la Suma Por la Diferencia de dos Términos.
Explicar y ejemplificar cómo se realiza el producto de la suma por la diferencia de dos términos. Definir los principales problemas de aplicación que se presentan en la resolución del presente producto notable. El producto de la suma por la diferencia de dos términos sería: ( 8x +3) (8x – 3), expresión que es igual a (8x-3)(8x+3) debido a la conmutatividad de la multiplicación, a este tipo de expresiones también se les conoce como binomios conjugados. E este producto notable es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla: a) Primero se saca el cuadrado del primer término b) Se resta el cuadrado del segundo término, ejemplos;
1.- ( 5x +9) (5x – 9)= 25x^2 -81 a) Primero se saca el cuadrado del primer término: (5x)^2= (5x) (5x) = 25x^2 b) Se resta el cuadrado del segundo término. (9)^2 =(9).(9) = 81
2.- ( a + 2b^3) (a -2b^3) = a + a ( c + d) + cd a) Primero se saca el cuadrado del primer término: (a)^2= (a)(a) =a^2 b) Se resta el cuadrado del segundo término. (2b^3)^2 =(2b^3).(2b^3) = 4b^6
3. Ecuaciones Entera de Primer Grado con una Icognica Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:
ax + b = 0
Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.
Solución La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es simpre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobretodo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales. La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable está despejada.
4. Problemas de Aplicación Entera de Ecuaciones Entera de Primer Grado con una Icognica. 5. Se muestra cómo utilizar ecuaciones de primer grado para solucionar este par de problemas: 1. Se desean repartir 290 naranjas entre Juan y Pedro de forma que Pedro reciba 40 más que Juan. ¿Cuántas naranjas le corresponden a cada uno? 2. La edad de María es el doble que la edad de Juana y ambas edades suman 45 años. ¿Cuáles son las edades de cada una? En cada caso el enunciado se convierte en una ecuación que depende de una sola incógnita El estudio de las ecuaciones de primer grado puede ser muy útil para solucionar problemas reales en la medida que convirtamos el problema en una ecuación. En este video se explica cómo convertir un problema en una ecuación, para luego encontrarle una solución.
corresponden a Pedro. Para convertir el problema en una ecuación debemos identificar la incógnita, en este caso el número de naranjas de Juan, que llamamos X. Como en el enunciado nos dicen que Pedro recibe 40 naranjas más que Juan, entonces el número de naranjas de Pedro sería x+40. Para convertir todo el enunciado en una ecuación lo que hacemos es observar que el total de la suma de las naranjas de Pedro y Juan es 290, por lo que la ecuación quedaría como x+x+40=290. Para resolver esta ecuación podemos utilizar transposición de términos. En el segundo ejemplo nos dicen que la edad de María es el doble que la edad de Juana y ambas edades suman 45 años. Nos piden encontrar entonces cuáles son las edades de cada una. Para resolver el problema procedemos a escoger la incógnita. En este caso x va a ser la edad de Juana. Ahora, la edad de María es dos veces la edad de Juana, es decir 2x. Como ambas edades suman 45 años, entonces la ecuación quedaría x+2x=45. Para resolver la ecuación podemos utilizar la transposición de términos y así obtener las edades.
5. Ecuaciones Entera de Primer Grado con dos Icognica. Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera: Ax + By = C ; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales. Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormente estudiadas. Ejemplo #01 3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuación debemos tomar en cuenta lo siguiente: Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver:
Tomamos como Y= 0 3X + 6(0) = 3 , Dicha multiplicación se nos hace 0 y obtenemos 3X = 3
ahora dividimos ambos miembros entre 3
3X / 3 = 3 / 3 X =1 Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando: 3(1) + 6Y = 3 3 + 6Y = 3 -3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos: 6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha división nos da 0 de tal manera que Y = 0/ 6 Y=0 y así hallamos en valor de Y.
6. Ecuaciones Entera de Primer Grado de Tres Icognica toma la segunda ecuación, y has el despeje de tal forma que haya igualdad para x, te quedará así:
x=-23-3y+6z Ahora, toma otra ecuación distinta a la del despeje... tomaré en este caso 3x-2y+3z=16 (por ser más sencilla que la última) y sustituyes x, el despeje de arriba... será... 3(Aquí va X)-2y+3z=16 3(-23-3y+6z)-2y+3z=16 -69-9y+18z-2y+3z=16 -11y+21z=85
y tomamos la Ăşltima (recuerda que tiene que ser distinta a la que tomaste como inicial para el despeje) 5(-23-3y+6z)+4y-2z=-9 -115-15y+30z+4y-2z=-9 -11y+28z=106 Ahora fijamos los dos resultados: -11y+21z=85 -11y+28z=106 ___________
multiplica por -1 el segundo y por 1 la primera... -11y+21z=85 11y-28z=-106 ___________ -7z=-21 z=-21/-7=3 z=3 <--- primer valor
Ahora con las mismas dos ecuaciones anteriores encontraremos el valor de Y sustituyendo ya el valor de z obtenido... toma una, en este caso escogerĂŠ la primera... -11y+21(3)=85 -11y+63=85 -11y=85-63 y=22/-11 y=-2 <--- otro valor
Ahora, vámonos desde la primera ecuación que tomaste para despejar X y sustituyes los dos valores obtenidos... x+3(-2)-6(3)=-23 x-6-18=-23 x=-23+6+18 x=1 <--- tercer valor.
7. Ecuaciones Cuadratica. Esto es una ecuación cuadrática:
(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)
La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra)
Y el nombre cuadrática viene de "cuadro" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas: En esta a=2, b=5 y c=3
Aquí hay una un poco más complicada:
¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)
¿Qué tienen de especial? Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:
El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!
La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .
Solución Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos. Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0 Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1
Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5 Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10 Respuesta: x = -0.2 and -1 (Comprobación: 5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0 5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0) Ecuaciones cuadráticas disfrazadas Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una: Disfrazadas
2
x = 3x -1
Qué hacer
En forma estándar a, b y c
Mueve todos los términos a la izquierda
x2 - 3x + 1 = 0
a=1, b=-3, c=1
CONCLUSION
1. Es muy importante tener alternativas para el algebra y poder enfrentar los obstรกculos.
2. El posicionamiento actual de la multiplicaciรณn y divisiรณn de polinomios, los productos notables es muy importante para nuestro futuro.
3. La investigaciรณn que se llevo a cabo es importante, y es una poderosa fuente de motivaciรณn para el trabajo escolar.
PROPUESTAS.
1. Al actor profundizar sus conocimientos acerca del ALGEBRA ya que es de mucha utilidad saber más sobre las multiplicaciones de los poligominios, las ecuaciones entera de primer grado con una icognica y las ecuaciones cuadráticas etc. 2. El actor del libro del algebra debe de usar en sus libros colores en su doble estético y funcional, que implica la representación de las cantidades. 3. Demostrar más sus habilidades dándonos más ejemplos, sobre los temas de acorde que trae el libro de Algebra.
EGRAFIAS MULTIPLIACION Y DIVISION DE POLINOMIOS http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/multiplicacion-y-division-polinomios
PRODUCTOS NOTABLES CUADRO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm
CUADRO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES http://www.matematicasincomplicacion.com/2013/01/el-cuadrado-de-la-diferenciade-dos.html
CUBO DE DOS CANTIDADES http://www.opentor.com/algebra-1-gonzalezmancil/cubo-de-la-suma-de-dos-terminos.html
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES http://prodnotables.wikispaces.com/Producto+de+la+Suma+por+la+Diferencia+de +dos+T%C3%A9rminos.
ECUACIONES ENTERA DE PRIMER GRADOV http://schollaris.com.mx/010401ec1grado.php PROBLEMAS DE APLICACIONES https://aula.tareasplus.com/RobertoCuartas/Algebra-Elemental/Aplicacion-de-las-ecuaciones-de-primer-grado
Ecuaciones entera de primer grado con dos igcognica http://deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/p/ecuacion-de-primer-grado-condos.html ECUACIONES ENTERA DE PRIMER GRADO CON TRES IGCOGNICAS https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070716231458AA4tgv3 ECUACIONES CUADRATICA http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html